Author: TEAM PROSTUTI

গাণিতিক আরোহ তত্ত্ব Mathematical Induction Semester2

গাণিতিক আরোহ তত্ত্ব Mathematical Induction Semester2

1. (2²ⁿ – 1) যদি 3 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে দেখাও যে,
[2^{2(n + 1)} – 1] -ও 3 দ্বারা বিভাজ্য হবে।

Ans: 2²ⁿ – 1, 3 দ্বারা বিভাজ্য।
ধরি, 2²ⁿ – 1 = 3k যেখানে k ∈ N 
∴ [2^{2(n + 1)} – 1]
= 2²ⁿ.2² – 1
= 4.2²ⁿ – 1
== 3.2²ⁿ + 2²ⁿ – 1
= 3.2²ⁿ + 3k
= 3(2²ⁿ + k) → যা 3 দ্বারা বিভাজ্য।
∴ [2^{2(n + 1)} – 1] , 3 দ্বারা বিভাজ্য।

2. সব n ∈ N এর জন্য 2n + 7 < (n + 3)^2 হলে দেখাও যে,
2(n + 1) + 7 < (n + 4)²  |

Ans: 2n + 7 < (n + 3)² যেখানে n ∈ N
nএর স্থলে (n + 1) বসিয়ে পাই,
2.(n + 1) + 7 < (n + 1 + 3)²
⇒ 2.(n + 1) + 7 < (n + 4)²

3. (2³ⁿ – 1) যদি 7 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে প্রমাণ করো যে,
[2^{3(n + 1)} – 1] -ও 7 দ্বারা বিভাজ্য হবে।

Ans: ধরি, (2³ⁿ – 1) = 7λ   যেখানে λ ∈ N
∴ 2^{3(n + 1)} – 1
= 2³ⁿ.2³ – 1
= 8.2³ⁿ – 1
== 7.2³ⁿ + 2³ⁿ – 1
== 7.2³ⁿ + 7λ
= 7(2³ⁿ + λ) → যা সর্বদা 7 দ্বারা বিভাজ্য।
∴ 2^{3(n + 1)} – 1, 7 দ্বারা বিভাজ্য।

4. 1.1! + 2.2! + 3.3!  + . . . . .  + n. n! = (n + 1)! – 1 হলে, দেখাও যে,
1.1! + 2.2! + 3.3!  + . . . . .  + n.n! + (n + 1).(n + 1)! = (n + 2)! – 1

Ans: 1.1! + 2.2! + 3.3!  + . . . . . + n.n!
= (n + 1)! – 1
∴ 1.1! + 2.2! + 3.3!  + ……..  + n.n! + (n + 1).(n + 1)!
=  (n + 1)! – 1 + (n + 1).(n + 1)!
= (n + 1)! + (n + 1).(n + 1)! – 1
= (n + 1)!(1 + n + 1) – 1
= (n + 1)!(n + 2) – 1
= (n + 2)! – 1  (Proved)

5. 10^{2n – 1} + 1 যদি 11 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে প্রমাণ করো যে,
10^{2n + 1} + 1 -ও 11 দ্বারা বিভাজ্য হবে।

Ans: ধরি, 10^{2n – 1} + 1 = 11k  যেখানে k ∈ N
∴ 10^{2n + 1} + 1
= 10^{2n – 1 + 2} + 1
= 10^{2n – 1} . 10² + 1
= 100 . 10 ^{2n – 1} + 1
= 99 . 10^{2n – 1} + 10^{2n – 1} + 1
= 99 . 10^{2n – 1} + 11k
= 11[9 . 10^{2n – 1} + k]
→ যা সর্বদা 11 দ্বারা বিভাজ্য।
∴ 10^{2n + 1} + 1, 11 দ্বারা বিভাজ্য।

6. 15^{2n – 1} + 1 যদি 16 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে দেখাও যে,
15^{2n + 1} + 1, 16 দ্বারা বিভাজ্য হবে।

SEMESTER-2
সূচিপত্র

👉 UNIT-1       বীজগণিত

• 1. গাণিতিক আরোহ তত্ত্ব
• 2. দ্বিপদ উপপাদ্য
• 3. অনুক্রম এবং শ্রেণি
  • অনুক্রম
  • সমান্তর প্রগতি
  • গুণোত্তর প্রগতি

👉 UNIT-2       স্থানাঙ্ক জ্যামিতি (দ্বিমাত্রিক)

• 1. দ্বিমাত্রিক স্থানাঙ্ক জ্যামিতির পূর্বপাঠের পুনরালোচনা
• 2. সরলরেখা
  • সরলরেখা PART-I
  • দুটি সরলরেখার অন্তর্গত কোণ নির্ণয়
  • একটি প্রদত্ত সরলরেখা থেকে প্রদত্ত বিন্দুর লম্বদূরত্ব নির্ণয়
• 3. বৃত্ত
• 4. অধিবৃত্ত
• 5. উপবৃত্ত
• 6. পরাবৃত্ত
• UNIT-3   পরিসংখ্যানবিদ্যা ও সম্ভাবনা
• 1. চিত্রের মাধ্যমে রাশিতথ্যের উপস্থাপনা
• 2. কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপ
• 3. বিস্তৃতির পরিমাপ
• 4. সম্ভাবনা তত্ত্ব

👉 UNIT-3       পরিসংখ্যানবিদ্যা ও সম্ভাবনা

• 1. চিত্রের মাধ্যমে রাশিতথ্যের উপস্থাপনা
• 2. কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপ
• 3. বিস্তৃতির পরিমাপ
• 4. সম্ভাবনা তত্ত্ব

Ans: ধরি, 15^{2n – 1} + 1 = 16k  যেখানে k ∈ N
∴ 15^{2n + 1} + 1
= 15^{2n – 1 + 2} + 1
= 15^{2n – 1} . 15² + 1
= 225 . 15^{2n – 1} + 1
= 224 . 15^{2n – 1} + 15^{2n – 1} + 1
= 224 . 15^{2n – 1} + 16k
= 16[14 . 15^{2n – 1} + k] → যা সর্বদা 16 দ্বারা বিভাজ্য।
∴ 15^{2n – 1} + 1, 16 দ্বারা বিভাজ্য।

7. [(12)ⁿ + (25)^{n – 1}] যদি 13 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে দেখাও যে,
[(12)^{n + 1} + 25)ⁿ] -ও 13 দ্বারা বিভাজ্য হবে।

Ans: ধরি, [(12)ⁿ + (25)^{n – 1}]= 13λ   যেখানে λ ∈ N
∴ (12)^{n + 1} + (25)ⁿ
= 12ⁿ.12 + 25.25^{n – 1}
= 12.12ⁿ + 12.25^{n – 1} + 13.25^{n – 1}
== 12(12ⁿ + 25^{n – 1}) + 13.25^{n – 1}
= 12.13λ + 13.25^{n – 1}
= 13(12λ + 25^{n – 1}) → যা সর্বদা 13 দ্বারা বিভাজ্য।
∴ [(12)^{n + 1} + 25)ⁿ], 13 দ্বারা বিভাজ্য।

8. যদি [n^3 + (n + 1)^3 + (n + 2)^3] সর্বদা 9 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে দেখাও যে,
(n + 1)³ + (n + 2)³+ (n + 3)³ – ও সর্বদা 9 দ্বারা বিভাজ্য হবে।

Ans: n³ + (n + 1)³ + (n + 2)³ = 9λ   যেখানে λ ∈ N
∴ (n + 1)³ + (n + 2)³ + (n + 3)³
= (n + 1)³ + (n + 2)³ + n³ + 3.n².3 + 3.n.3² + 3³
= n³ + (n + 1)³ + (n + 2)³ +  9.n² + 27.n + 27
= 9λ + 9(n² + 3n + 3)
= 9(λ + n² + 3n + 3) → যা সর্বদা 9 দ্বারা বিভাজ্য।

9. n ∈ N, x >  -1 এবং (1 + x)ⁿ ≥ 1 + nx হলে, প্রমাণ করো যে, (1 + x)^{n + 1} ≥ 1 + (n+1)x।

Ans: (1 + x)ⁿ ≥ 1 + n x যখন n ∈ N, x >  -1
∴ (1 + x)^{n + 1}
= (1 + x)ⁿ.(1 + x)
≥ (1 + nx)(1 + x) . . . [∵ (1 + x)ⁿ ≥ 1 + n x]
≥ 1 + nx + x + nx²
≥ 1 + (n + 1)x + nx²
∵ x > -1
∴ x² > 1
⇒ nx² > n
∴ (1 + x)^{n + 1}  ≥ 1 + (n + 1)x

দশম শ্রেণীর ভৌত বিজ্ঞান এবং জীবন বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন

10. মনে করো, f(n) = n(n + 1)(2n + 1) যদি f(n) সর্বদা 6 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে প্রমাণ করো যে,
f(n + 1) -ও সর্বদা 6 দ্বারা বিভাজ্য হবে।

Ans: f(n) = n(n + 1)(2n + 1) = 6k  যেখানে k ∈ N
∴ f(n + 1) = (n + 1)(n + 1 + 1){2(n + 1) + 1}
= (n + 1)(n + 2)(2n + 3)
= (n + 2)(n + 1)(2n + 1 + 2)
== (n + 2)(n + 1)(2n + 1) + (n + 2)(n + 1).2
= n(n + 1)(2n + 1) + 2(n + 1)(2n + 1) + 2(n + 1)(n + 2)
= n(n + 1)(2n + 1) + 2(n + 1)[(2n + 1) + (n + 2)]
⇒ 6k + 2(n + 1)(3n + 3)
= 6k + 6(n + 1)(n + 1)
= 6[k + (n + 1)²]
∴  f(n + 1) -ও সর্বদা 6 দ্বারা বিভাজ্য হবে।

11(i). n ∈ N হলে গাণিতিক আরোহ নীতির প্রয়োগে প্রমাণ করো:
1 + 3 + 5 + . . . . . + (2n – 1) = n²

Ans: ধরি, গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n) অর্থাৎ
P(n): 1 + 3 + 5 + . . . . . . + (2n – 1) = n² 
n = 1 হলে,
P(1): 1 = 1² = 1 অর্থাৎ, P(1) সত্য।
এখন, ধরি n = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়।
∴ P(m):  1 + 3 + 5 + . . . . . . + (2m – 1) = m² 
∴ P(m + 1)
=  1 + 3 + 5 + . . . . . . + (2n – 1) + { 2(m + 1) – 1}
= m²+ (2m + 1)
== m² + 2m + 1
= (m + 1)²
∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m + 1) সত্য হয়। 
∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ∈ N

11(ii). n ∈ N হলে গাণিতিক আরোহ নীতির প্রয়োগে প্রমাণ করো:
a + (a + d) + (a + 2d) + . . . . . n -সংখ্যক পদ পর্যন্ত = ⁿ/₂[2a + (n – 1)d]

Solution: ধরি, গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n) অর্থাৎ
P(n): a + (a + d) + (a + 2d) + . . . . . n -সংখ্যক পদ পর্যন্ত = ⁿ/₂[2a + (n – 1)d]
a + (a + d) + (a + 2d) + . . . . . n -সংখ্যক পদ পর্যন্ত শ্রেনিটির n তম পদ
= a + (n – 1)d
∴ P(n): a + (a + d) + (a + 2d) + . . . . . + [a + (n – 1)d] = ⁿ/₂[2a + (n – 1)d]
n = 1 হলে,
P(1): a = ¹/₂[2a + (1 – 1)d]
⇒ a = ¹/₂[2a] = a অর্থাৎ, P(1) সত্য।
এখন, ধরি n = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়।
∴ P(m): a + (a + d) + (a + 2d) + . . . . . + [a + (m – 1)d] = ^m/₂[2a + (m – 1)d]
∴ P(m + 1)
= a + (a + d) + (a + 2d) + . . . . . [a + (m – 1)d] + [a + (m + 1 – 1)d]
= ^m/₂[2a + (m – 1)d] + [a + md]
= ma + ^m/₂(m – 1)d + a + md
== ma + a + ^m/₂(m – 1)d + md
= (m + 1)a + md[^{m – 1}/₂ + 1]
= (m + 1)a + md . ^{m + 1}/₂
= ^{m + 1}/₂(2a + md)
= ^{m + 1}/₂[2a + (m + 1 – 1)d]
∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m + 1) সত্য হয়।
∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ∈ N

11(iii). n ∈ N হলে গাণিতিক আরোহ নীতির প্রয়োগে প্রমাণ করো:

Ans: ধরি, গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n) অর্থাৎ

n = 1 হলে,

অর্থাৎ, P(1) সত্য।
এখন, ধরি n = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়।

∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m + 1) সত্য হয়। 
∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ∈ N

11(iv). n ∈ N হলে গাণিতিক আরোহ নীতির প্রয়োগে প্রমাণ করো:

Ans: ধরি, গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n) অর্থাৎ  

n = 1 হলে,
P(1):  sin x , ^sin21.x/_{sin x}
⇒ sin x = sin x
অর্থাৎ, P(1) সত্য।
এখন, ধরি n = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়।

∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m + 1) সত্য হয়। 
∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ∈ N

11(v). n ∈ N হলে গাণিতিক আরোহ নীতির প্রয়োগে প্রমাণ করো:
(cos θ + i sin θ)ⁿ = cos nθ + i sin nθ  (i = √-1)

Ans: ধরি, গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n)
অর্থাৎ P(n): (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos nθ + i sin nθ
n = 1 হলে,
P(1): (cos θ + i sin θ)¹ , cos 1.θ + i sin 1.θ
⇒ (cos θ + i sin θ) = cos θ + i sin θ
অর্থাৎ, P(1) সত্য।
এখন, ধরি n = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়।
∴ P(m): (cos θ + i sin θ)^m = cos mθ + i sin mθ
∴ P(m + 1)
= (cos θ + i sin θ)^{m + 1}
= (cos θ + i sin θ)^m .(cos θ + i sin θ)
= (cos mθ + i sin mθ) .(cos θ + i sin θ)
= cos mθ.cos θ + i cos mθ.sin θ + i sin mθ.cos mθ + i² sin mθ.sin θ
= cos mθ.cos θ – sin mθ.sin θ+ i(cos mθ.sin θ + sin mθ.cos mθ) . . . [∵ i² = -1]
= cos (mθ + θ) – i sin (mθ + θ)
= cos (m + 1)θ – i sin (m + 1)θ
∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m + 1) সত্য হয়। 
∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ∈ N

11(vi). n ∈ N হলে গাণিতিক আরোহ নীতির প্রয়োগে প্রমাণ করো:
¹/₂ + ¹/₄ + ¹/₈ + . . . . . + ¹/_2ⁿ = 1 – ¹/_2ⁿ

Ans: ধরি, গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n)
অর্থাৎ P(n): ¹/₂ + ¹/₄ + ¹/₈ + . . . . . + ¹/_2ⁿ = 1 – ¹/_2ⁿ
n = 1 হলে,
P(1):  ¹/₂ , 1 – ¹/₂
⇒ ¹/₂ = ¹/₂
অর্থাৎ, P(1) সত্য।
এখন, ধরি n = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়।
∴ P(m):  ¹/₂ + ¹/₄ + ¹/₈ + . . . . . + ¹/_2^m = 1 – ¹/_2^m
∴ P(m + 1)
=  ¹/₂ + ¹/₄ + ¹/₈ + . . . . . + ¹/_2^m + ¹/_{2^{m + 1}}
=  1 – ¹/_2^m + ¹/_{2^m .2}
⇒  1 – ¹/_2^m(1 – ¹/₂)
=  1 – ¹/_2^m.¹/₂)
=  1 – ¹/_{2^{m + 1}}
∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m + 1) সত্য হয়।
∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ∈ N

11(vii). n ∈ N হলে গাণিতিক আরোহ নীতির প্রয়োগে প্রমাণ করো:
a + ar + ar² + . . . . . n -সংখ্যক পদ পর্যন্ত = a (rⁿ – 1/_{r – 1})  [ r ≠ 1]

Ans: ধরি, গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n) অর্থাৎ
P(n): a + ar + ar² + . . . . . n -সংখ্যক পদ পর্যন্ত = a (rⁿ – 1/_{r – 1})  [ r ≠ 1]
a + ar + ar² + . . . . . n সংখ্যক পদ পর্যন্ত শ্রেনিটির n তম পদ
= a r^{n – 1}
∴ P(n): a + ar + ar² + . . . . . + a r^{n – 1} = a (rⁿ – 1/_{r – 1})  [ r ≠ 1]
n = 1 হলে,
P(1): a , a (r¹ – ¹/_{1 – 1})
⇒ a = a
অর্থাৎ, P(1) সত্য।

এখন, ধরি n = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়।
∴ P(m): a + ar + ar² + . . . . . + a r^{m – 1} = a (r^m – 1/_{r – 1})
∴ P(m + 1)
=  a + ar + ar² + . . . . . + a r^{m – 1} + a r^{m + 1 – 1}
= a (r^m – 1/_{r – 1}) + a r^m
⇒ ¹/_{r – 1} [ar^m – a + a r^m(r – 1)]
⇒ ¹/_{r – 1} (ar^m – a + a r^m.r – a r^m)
= ¹/_{r – 1} (a r^{m + 1} – a)
= a .^{rm + 1 – 1}/_{r – 1}
∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m + 1) সত্য হয়।
∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ∈ N

11(viii). n ∈ N হলে গাণিতিক আরোহ নীতির প্রয়োগে প্রমাণ করো:
1² + 3² + 5² + . . . . . + (2n – 1)² = ⁿ/₃(4n² – 1)

Ans: ধরি, গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n) অর্থাৎ
P(n): 1² + 3² + 5² + . . . . . + (2n – 1)² = ⁿ/₃(4n² – 1)
n = 1 হলে,
P(1): 1² ,  ¹/₃(4.1² – 1)
⇒ 1 , = ¹/₃(4 – 1)
⇒ 1  = 1
অর্থাৎ, P(1) সত্য।
এখন, ধরি n = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়।
∴ P(m): 1² + 3² + 5² + . . . . . + (2m – 1)² = ^m/₃(4m² – 1)
∴ P(m + 1)
=  1² + 3² + 5² + . . . . . + (2m – 1)²  + [2(m + 1) – 1]²
= ^m/₃(4m² – 1) + [2(m + 1) – 1]²
== ^m/₃[(4m)² – (1)²] + (2m + 1)²
= ^m/₃(2m + 1)(2m – 1) + (2m + 1)²
= ¹/₃(2m + 1)(2m² – m + 6m + 3)
⇒ ¹/₃(2m + 1)(2m² + 5m + 3)
⇒ ¹/₃(2m + 1)(2m² + 3m + 2m + 3)
= ¹/₃(2m + 1)[m(2m + 3) + 1(2m + 3)]
= ¹/₃(2m + 1)(2m + 3)(m + 1)
⇒ ^{1 + 1}/₃(2m + 1)(2m + 3)
⇒ ^{m + 1}/₃(4m² + 8m + 3)
= ^{m + 1}/₃[(2m)² + 2.2m.2 + (2)² – 1]
⇒ ^{m + 1}/₃[(2m + 2)² – 1]
⇒ ^{m + 1}/₃[4(m + 1)² – 1]
∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m + 1) সত্য হয়। 
∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ∈ N

11(ix). n ∈ N হলে গাণিতিক আরোহ নীতির প্রয়োগে প্রমাণ করো:
1.2 + 2.3 + 3.4 + . . . . . + n(n + 1) = ¹/₃n(n + 1)(n + 2)

Solution: ধরি, গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n) 
অর্থাৎ P(n):  1.2 + 2.3 + 3.4 + . . . . . + n(n + 1) = ¹/₃n(n + 1)(n + 2)
n = 1 হলে,
P(1):  1.2, ¹/₃1(1 + 1)(1 + 2)
⇒ 2 , ¹/₃.2.3
⇒ 2 = 2
অর্থাৎ, P(1) সত্য।
এখন, ধরি n = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়।
∴ P(m): 1.2 + 2.3 + 3.4 + . . . . . + m(m + 1) = ¹/₃m(m + 1)(m + 2)
∴ P(m + 1) = 1.2 + 2.3 + 3.4 + . . . . . + m(m + 1) + (m + 1)(m + 2)
= ¹/₃m(m + 1)(m + 2) + (m + 1)(m + 2)
= ¹/₃(m + 1)(m² + 2m + 3m + 6)
== ¹/₃(m + 1)(m² + 5m + 6]
= ¹/₃(m + 1)[m² + 3m + 2m + 6]
⇒ ¹/₃(m + 1)[m(m + 3) +2(m + 3)]
= ¹/₃(m + 1)(m + 2)(m + 3)
= ¹/₃(m + 1)[(m + 1) + 1][(m + 1) + 2]
∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m + 1) সত্য হয়।
∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ∈ N

11(x). n ∈ N হলে গাণিতিক আরোহ নীতির প্রয়োগে প্রমাণ করো:
2² + 5² + 8² + . . . . . n সংখ্যক পদ পর্যন্ত = ⁿ/₂(6n² + 3n – 1)

Ans: ধরি, প্রদত্ত গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n) অর্থাৎ
P(n): 2² + 5² + 8² + . . . . . n সংখ্যক পদ পর্যন্ত = ⁿ/₂(6n² + 3n – 1)
2² + 5² + 8² + . . . . . n সংখ্যক পদ পর্যন্ত শ্রেনিটির n তম পদ
= [2 + (n – 1).3]²
= [2 + 3n – 3]²
== (3n – 1)²
∴ P(n): 2² + 5² + 8² + . . . . . + (3n – 1)² = ⁿ/₂(6n² + 3n – 1)
n = 1 হলে,
P(1): 2² , ¹/₂(^{6.12 + 3.1 – 1})
⇒ 4 , ¹/₂(6 + 3 – 1)
⇒ 4, ¹/₂.8
বা, 4 = 4 অর্থাৎ, P(1) সত্য।
এখন, ধরি n = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়।
∴ P(m): 2² + 5² + 8² + . . . . . + (3m – 1)² = ^m/₂(6m² + 3m – 1)
∴ P(m + 1) = 2² + 5² + 8² + . . . . . + (3m – 1)² + [3(m + 1) – 1]²
= ^m/₂(6m² + 3m – 1) + (3m + 2)²
= ^m/₂(6m² + 3m – 1) + (9m² + 12m + 4)
⇒ ¹/₂(6m³ + 3m² – m + 18m² + 24m + 8)
⇒ ¹/₂(6m³ + 21m² + 23m + 8)
= ¹/₂(6m³ + 6m² + 15m² + 15m + 8m + 8)
= ¹/₂[6m²(m + 1) + 15m(m + 1) + 8(m + 1)]
⇒ ¹/₂[(m + 1)(6m² + 15m + 8)]
= ¹/₂(m + 1)[6(m² + 2m + 1) + 3m + 2]
= ¹/₂(m + 1)[6(m + 1)² + 3(m + 1) – 1]
∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m + 1) সত্য হয়। 
∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ∈ N

11(xi). n ∈ N হলে গাণিতিক আরোহ নীতির প্রয়োগে প্রমাণ করো:
¹/_1.2 + ¹/_2.3 + ¹/_3.4 + . . . . . + ¹/_{n(n + 1)} = ⁿ/_{n +} 1

Ans: ধরি, প্রদত্ত গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n) অর্থাৎ
P(n): ¹/_1.2 + ¹/_2.3 + ¹/_3.4 + . . . . . + ¹/_{n(n + 1)} = ⁿ/_{n + 1}
n = 1 হলে,
P(1): ¹/_1.2 , ¹/_{1(1 + 1)}
⇒ ¹/₂ = ¹/₂ অর্থাৎ, P(1) সত্য।
এখন, ধরি n = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়।
∴ P(m): ¹/_1.2 + ¹/_2.3 + ¹/_3.4 + . . . . . + ¹/_{m(m + 1)} = ^m/_{m + 1}
∴ P(m + 1)
= ¹/_1.2 + ¹/_2.3 + ¹/_3.4 + . . . . . + ¹/_{m(m + 1)} + ¹/_{(m + 1)(m + 2)}
= ^m/_{m + 1} + ¹/_{(m + 1)(m + 2)}
== ¹/_{(m + 1)}[m + ¹/_{(m + 2)}]
= ¹/_{(m + 1)}[^{m2 +2m  + 1}/_{m + 2}]
= ¹/_{(m + 1)}[^{(m + 1)2}/_{m + 2}]
== ^{m + 1}/_{m + 2}
= ^{m + 1}/_{(m + 1) + 1}
∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m + 1) সত্য হয়। 
∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ∈ N

11(xii). n ∈ N হলে গাণিতিক আরোহ নীতির প্রয়োগে প্রমাণ করো:
¹/_1.4 + ¹/_4.7 + ¹/_7.10 + . . . n -সংখ্যক পদ পর্যন্ত = ⁿ/_{3n + 1}

Ans: ধরি, প্রদত্ত গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n) অর্থাৎ
P(n): ¹/_1.4 + ¹/_4.7 + ¹/_7.10 + . . . n -সংখ্যক পদ পর্যন্ত = ⁿ/_{3n + 1}
¹/_1.4 + ¹/_4.7 + ¹/_7.10 + . . . n -সংখ্যক পদ পর্যন্ত শ্রেনিটির n তম পদ
= ¹/_{[1 + (n – 1).3][4 + (n – 1).3]}
= ¹/_{(3n – 2)(3n + 1)}
∴ P(n): ¹/_1.4 + ¹/_4.7 + ¹/_7.10 + . . . + ¹/_{(3n – 2)(3n + 1)} = ⁿ/_{3n + 1}
n = 1 হলে,
P(1): ¹/₄,   ¹/_{3.1 + 1}
⇒ ¹/₄  = ¹/₄ অর্থাৎ, P(1) সত্য।
এখন, ধরি n = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়।
∴ P(m): ¹/_1.4 + ¹/_4.7 + ¹/_7.10 + . . . + ¹/_{(3m – 2)(3m + 1)} = ^m/_{3m + 1} . . .  (i)
∴ P(m + 1)
= ¹/_1.4 + ¹/_4.7 + ¹/_7.10 + . . . + ¹/_{(3m – 2)(3m + 1)} + ¹/_{[3(m + 1) – 2][3(m + 1) + 1]}
= ^m/_{3m + 1} + ¹/_{(3m + 1)[3m + 4)}
= [¹/_{3m + 1}][m + ^m/_{3m + 4}]
== [¹/_{3m + 1}][[^{3m2 + 4m + 1}/_{3m + 4}]
== [¹/_{3m + 1}][[^{3m2 + 3m + m + 1}/_{3m + 4}]
= [¹/_{3m + 1}][[^{3m(m + 1) + 1(m + 1)}/_{3m + 4}]
= = ¹/_{3m + 1} . ^{(m + 1)(3m + 1)}/_{(3m + 4)}
= ^{m + 1}/_{3m + 4}
= ^{m + 1}/_{3(m + 1) + 1}
∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m+1) সত্য হয়। 
∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ∈ N

11(xiii). n ∈ N হলে গাণিতিক আরোহ নীতির প্রয়োগে প্রমাণ করো:
(1 – ¹/₂)(1 – ¹/₃)(1 – ¹/₄) . . . . . (1 – ¹/_{2n + 1} ) = ¹/_{n + 1}

Ans: ধরি, প্রদত্ত গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n) অর্থাৎ
P(n): (1 – ¹/₂)(1 – ¹/₃)(1 – ¹/₄) . . . . . (1 – ¹/_{2n + 1} ) = ¹/_{n + 1}
n = 1 হলে,
P(1): 1 – ¹/₂, ¹/_{1 + 1}
⇒ ¹/₂ = ¹/₂ অর্থাৎ, P(1) সত্য।
এখন, ধরি n = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়।
∴ P(m): (1 – ¹/₂)(1 – ¹/₃)(1 – ¹/₄) . . . . . (1 – ¹/_{2m + 1} ) = ¹/_{m + 1}
∴ P(m + 1) = (1 – ¹/₂)(1 – ¹/₃)(1 – ¹/₄) . . . . . (1 – ¹/_{2m + 1} )(1 – ¹/_{2m + 1 +1} )
= (1/m + 1)(1 – 1/m + 2) = (1/m + 1)(m + 2  – 1/m + 2) = (1/m + 1)(m + 1/m + 2) = 1/m + 2 = 1/(m + 1) + 1 ∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m+1) সত্য হয়।  ∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ∈ N

(xiii) (1 – 1/2)(1 – 1/3)(1 – 1/4) . . . (1 – 1/n+1 )= 1/n+1 Solution:

11(xiv). n ∈ N হলে গাণিতিক আরোহ নীতির প্রয়োগে নিম্নলিখিতগুলি প্রমাণ করো:
1 + ¹/_{1 + 2} + ¹/_{1 + 2 +3} + . . . + ¹/_{1 + 2 + 3 + . . . + n} = ²ⁿ/_{n + 1}

Ans: ধরি, প্রদত্ত গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n) অর্থাৎ
P(n): 1 + ¹/_{1 + 2} + ¹/_{1 + 2 +3} + . . . + ¹/_{1 + 2 + 3 + . . . + n} = ²ⁿ/_{n + 1}
n = 1 হলে,
P(1): 1, ^2.1/_{1 + 1}
⇒ 1, ²/₂
⇒ 1 = 1 অর্থাৎ, P(1) সত্য।
এখন, ধরি n = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়।

∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m + 1) সত্য হয়। 
∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ∈ N

11(xv). n ∈ N হলে গাণিতিক আরোহ নীতির প্রয়োগে নিম্নলিখিতগুলি প্রমাণ করো:
1.1! + 2.2! + 3.3! + . . . + n.n! = (n + 1)! – 1

Ans:  ধরি, গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n) অর্থাৎ
P(n): 1.1! + 2.2! + 3.3! + . . . + n.n! = (n + 1)! – 1
n = 1 হলে, P(1): 1.1!, (1 + 1)! – 1
⇒ 1, 2! – 1
⇒ 1 =1
অর্থাৎ P(1) সত্য।
এখন, ধরি n = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়।
∴ P(m): 1.1! + 2.2! + 3.3! + . . . + m.m! = (m + 1)! – 1 যেখানে k ∈ N
∴ P(m + 1) = 1.1! + 2.2! + 3.3! + . . . + m.m! + (m + 1)(m + 1)!
= (m + 1)! – 1 + (m + 1)(m + 1)!
= (m + 1)! + (m + 1)(m + 1)! – 1
== (m + 1)! (m + 1 + 1) – 1
= (m + 2)(m + 1)! – 1
= (m + 2)! – 1
∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m + 1) সত্য হয়।
∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ∈ N

11(xvi). n ∈ N হলে গাণিতিক আরোহ নীতির প্রয়োগে নিম্নলিখিতগুলি প্রমাণ করো:
2³ⁿ – 1 সর্বদা 7 দ্বারা বিভাজ্য।

Ans: ধরি, গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n) অর্থাৎ
P(n): 2³ⁿ – 1 সর্বদা 7 দ্বারা বিভাজ্য। 
n = 1 হলে,
P(1): 2^3.1 – 1 = 8 – 1 = 7 -যা 7 দ্বারা বিভাজ্য।
অর্থাৎ, P(1) সত্য। 
এখন, ধরি n = m হলে,
P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়।
∴ P(m): 2^3m – 1 = 7k যেখানে k ∈ N 
∴ P(m+1) = 2^{3(m + 1)} – 1
= 2^3m .2³ – 1
= 8(7k + 1) – 1
== 56k + 8 – 1
= 56k + 7 = 7(8k + 1) → যা 7 দ্বারা বিভাজ্য। 
∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m + 1) সত্য হয়।
∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ∈ N

11(xvii). n ∈ N হলে গাণিতিক আরোহ নীতির প্রয়োগে নিম্নলিখিতগুলি প্রমাণ করো:
4ⁿ + 15n – 1 সর্বদা 9 -এর গুণিতক।

Ans: ধরি, গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n) অর্থাৎ
P(n): 4ⁿ + 15n – 1 সর্বদা 576 দ্বারা বিভাজ্য। 
n = 1 হলে,
P(1): 4¹ + 15.1 – 1
= 4 + 15 – 1 = 18 – যা 9 দ্বারা বিভাজ্য।
অর্থাৎ, P(1) সত্য। 
এখন, ধরি n = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়।
∴ P(m): 4^m + 15m – 1 = 9k যেখানে k ∈ N 
∴ P(m + 1) = 4^{m + 1} + 15(m + 1) – 1
= 4^m .4¹ + 15(m + 1) – 1
= 4(9k – 15m + 1) + 15(m + 1) – 1
== 36k – 60m + 4 + 15m + 15 – 1
= 36k – 45m + 18 
= 9(4k – 5m + 2) → যা 9 দ্বারা বিভাজ্য।
∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m + 1) সত্য হয়।
∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ∈ N

11(xviii). n ∈ N হলে গাণিতিক আরোহ নীতির প্রয়োগে নিম্নলিখিতগুলি প্রমাণ করো:
2.7ⁿ + 3.5ⁿ – 5 সর্বদা 24 দ্বারা বিভাজ্য

Ans: ধরি, গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n) অর্থাৎ P(n): 2.7ⁿ + 3.5ⁿ – 5 সর্বদা 24 দ্বারা বিভাজ্য। 
n = 1 হলে,
P(1): 2.7¹ + 3.5¹ – 5
= 14 + 15 – 5 = 24 যা 24 দ্বারা বিভাজ্য।
অর্থাৎ, P(1) সত্য।
এখন, ধরি n = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়।
∴ P(m): 2.7ⁿ + 3.5ⁿ – 5 = 24k  যেখানে k ∈ N 
∴ P(m + 1) = 2.7^{m + 1} + 3.5^{m + 1} – 5
= 2.7^m.7 + 3.5^m.3 – 5
= 14.7^m + 15.5^m + 1 – 5
== (2.7^m + 3.5^m – 5) + (12.7^m + 12.5^m)
= 24k + 12(7^m + 5^m)
= 24k + 12.2p . . . [∵ 7^m ও 5^m অযুগ্ম সংখ্যা, ∴ 7^m + 5^m একটি যুগ্ম সংখ্যা হবে। ধরি (7^m + 5^m ) = 2p]
= 24(k + p)→ যা 24 দ্বারা বিভাজ্য। 
∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m + 1) সত্য হয়।
∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ∈ N

11(xix). n ∈ N হলে গাণিতিক আরোহ নীতির প্রয়োগে নিম্নলিখিতগুলি প্রমাণ করো:
15^{2n – 1} + 1 সর্বদা 16 দ্বারা বিভাজ্য

Ans: ধরি, গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n) অর্থাৎ P(n): 15^{2n – 1} + 1 সর্বদা 16 দ্বারা বিভাজ্য। 
n = 1 হলে,
P(1): 15^{2.1 – 1} + 1 = 15 + 1 = 16 -যা 16 দ্বারা বিভাজ্য।
অর্থাৎ, P(1) সত্য। 
এখন, ধরি n = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়।
∴ P(m):  = 15^{2m – 1} + 1 = 16k যেখানে k ∈ N
∴ P(m + 1) = 15^{2(m + 1) – 1} + 1
= 15^{2m + 1 + 1}
= 15^{2m – 1 + 2} + 1
==15^{2m – 1}.15² + 1
= 225(16k -1) + 1
= 225.16k – 225 + 1
== 225.16k – 224
= 26(225k – 14) → যা 16 দ্বারা বিভাজ্য। 
∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m + 1) সত্য হয়।
∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ∈ N

11(xx). n ∈ N হলে গাণিতিক আরোহ নীতির প্রয়োগে নিম্নলিখিতগুলি প্রমাণ করো:
12ⁿ + 25^{n – 1} সর্বদা 13 দ্বারা বিভাজ্য

Ans: ধরি, গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n) অর্থাৎ
P(n): 12ⁿ + 25^{n – 1} সর্বদা 13 দ্বারা বিভাজ্য। 
n = 1 হলে, P(1): 12¹ + 25^{1 – 1}
= 12 + 1 = 13 -যা 13 দ্বারা বিভাজ্য।
অর্থাৎ, P(1) সত্য। এখন, ধরি n = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়।
∴ P(m): 12^m + 25^{m – 1} = 13k যেখানে k ∈ N 
∴ P(m + 1) = 12^{m + 1} + 25^{m + 1 – 1}
= 12.12^m + 25^{m – 1 + 1}
= 12.12^m + 25 25^{m – 1}
== 12(12^m + 25^m) + 13.25^{m – 1}
= 12.13k + 13.25^{m – 1}
= 13.(12k + 25^{m – 1} ) → যা 13 দ্বারা বিভাজ্য। 
∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m + 1) সত্য হয়।
∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ∈ N

12. স্বাভাবিক সংখ্যা -এর মানসমূহ নির্ণয় করো যাতে 2ⁿ > 2n + 1 অসমতা সিদ্ধ হয়।

Ans: n = 1 হলে,
2¹,  2.1 + 1 ⇒ 2 > 3 অর্থাৎ অসমতাটি সিদ্ধ হয় না।
n = 2 হলে,
2²,  2.2 + 1 ⇒ 4 > 5 অর্থাৎ অসমতাটি সিদ্ধ হয় না।
আবার n = 3 হলে,
2³,  2.3 + 1 ⇒ 8 > 7 অর্থাৎ অসমতাটি সিদ্ধ হয়।
ধরি, প্রদত্ত গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n)
অর্থাৎ P(n): 2ⁿ > 2n + 1 (n ≥ 3)
এখন, ধরি n = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়।
∴ P(m): 2^m > 2m + 1 (m ≥ 3)
2^{m + 1} = 2.2^m > 2(2m + 1)
⇒ 2^{m + 1} > 4m + 1
⇒ 2^{m + 1} > 2m + 2m + 1
⇒⇒ 2^{m + 1} > 2m + 2 + 1. . .  [∵ m ≥ 3, ∴ 2m > 2]
⇒ 2^{m + 1} > 2(m + 1) + 1
∴ P(m + 1) = 2^m + 1 > 2(m + 1) + 1
∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m + 1) সত্য হয়। 
∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ≥ 3 এবং n ∈ N

13(i). n ∈ N হলে গাণিতিক আরোহ নীতির প্রয়োগে প্রমাণ করো:
5^{2n + 2} – 24n – 25 সর্বদা 576 দ্বারা বিভাজ্য।

Ans: ধরি, গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n) অর্থাৎ
P(n): 5^{2n + 2} – 24n – 25 সর্বদা 576 দ্বারা বিভাজ্য।
n = 1 হলে, P(1): 5^{2.1 + 2} – 24.1 – 25
= 5⁴ – 24 – 25 = 625 – 49 = 576 -যা 576 দ্বারা বিভাজ্য।
অর্থাৎ, P(1) সত্য।
এখন, ধরি n = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়।
∴ P(m): 5^{2m + 2} – 24m – 25 = 576k যেখানে k ∈ N
∴ P(m + 1) = 5^{2(m + 1) + 2} – 24(m + 1) – 25
= 5^{2m + 4} – 24m – 24 – 25
= 5^{2m + 2}.5² – 24m – 49
== 25.5^{2m + 2} – 24m – 49
= 25.(576k + 24m + 25) – 24m – 49
= 25.576k + 600m + 625 – 24m – 49
== 25.576k + 576m + 576
= 576(25k + m + 1) → যা 576 দ্বারা বিভাজ্য।
∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m + 1) সত্য হয়।
∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ∈ N

13(ii). n ∈ N হলে গাণিতিক আরোহ নীতির প্রয়োগে প্রমাণ করো:
10ⁿ + 3.4^{n + 2} + 5 (n ≥ 0) সর্বদা 9 দ্বারা বিভাজ্য।

Ans: ধরি, গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n) অর্থাৎ P(n): 10ⁿ + 3.4^{n + 2} + 5 (n ≥ 0 এবং n ∈ N) সর্বদা 9 দ্বারা বিভাজ্য।
n = 1 হলে,
P(1): 10⁰ + 3.4^{0 + 2} + 5
= 1 + 3.4 ² + 5
= 6 + 3.16 = 6 + 48 = 54 যা 9 দ্বারা বিভাজ্য। অর্থাৎ, P(1) সত্য।
এখন, ধরি n = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়।
∴ P(m): 10m + 3.4^{m + 2} + 5 = 9k যেখানে k ∈ N
∴ P(m + 1) = 10^{m + 1} + 3.4^{(m + 1) + 2} + 5
= 10^m.10¹ + 3.4^{m + 2}.4¹ + 5
= 10.10^m  + 12.4^{m + 2} + 5
== 10^m + 3.4^{m + 2} + 5 + 9.10^m + 9.4^{m + 2}
= 9k + 9(10^m + 4^{^m + 2})
= 9(k + 10^m + 4^{m + 2)} → যা 9 দ্বারা বিভাজ্য।
∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m + 1) সত্য হয়।
∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ∈ N

13(iii). n ∈ N হলে গাণিতিক আরোহ নীতির প্রয়োগে প্রমাণ করো: 
3^{4n + 1} + 2^{2n + 2} (n ≥ 0) সর্বদা 7-এর গুণিতক।

Ans: ধরি, গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n) অর্থাৎ
P(n): 3^{4n + 1} + 2^{2n + 2} (n ≥ 0) সর্বদা 7-এর গুণিতক।
n = 1 হলে,
P(0): 3^{4.0 + 1} + 2^{2.0 + 2}
= 3¹ + 2² = 3 + 4 = 7 -যা 7 দ্বারা বিভাজ্য।
অর্থাৎ, P(0) সত্য।
এখন, ধরি n = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়।
∴ P(m): 3^{4m + 1} + 2^{2m + 2} = 7k যেখানে k ∈ N
∴ P(m+1) = 3^{4(m + 1) + 1} + 2^{2(m + 1) + 2}
= 3^{4m + 5} + 2^{2m + 4}
= 81.3^{4m + 1} + 4.2^{2m + 2}
== 81(7k – 2^{2m + 2}) + 4.2^{2m + 2}
== 81.7k – 81.2^{2m + 2} + 4.2^{2m + 2}
= 81.7k – 77.2^{2m + 2}
= 7(81k – 11.2^2m + 2)  → যা 7 দ্বারা বিভাজ্য।
∵ P(0) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m + 1) সত্য হয়।
∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ≥ 0 এবং n ∈ N 

13(iv). n ∈ N হলে গাণিতিক আরোহ নীতির প্রয়োগে প্রমাণ করো:
3^{2n + 2} – 8n – 9 সর্বদা 64 দ্বারা বিভাজ্য।

Ans: ধরি, গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n) অর্থাৎ P(n): 3^{2n + 2} – 8n – 9 সর্বদা 64 দ্বারা বিভাজ্য।
 n = 1 হলে, P(1): 3^{2.1 + 2} – 8.1 – 9
= 3⁴ – 8 – 9 = 81 – 17 = 64 যা 64 দ্বারা বিভাজ্য।
অর্থাৎ, P(1) সত্য।
এখন, ধরি n = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়।
∴ P(m): 3^{2m + 2} – 8m – 9 = 64k যেখানে k ∈ N
∴ P(m+1) = 3^{[2(m + 1) + 2]} – 8(m + 1) – 9
= 3^{2m + 2}.3² – 8m – 8 – 9
= 9(64k + 8m + 9) – 8m – 17
== 9.64k + 72m + 81 – 8m – 17
= 9.64k + 64m + 64
= 64(9k + m + 1)  → যা 64 দ্বারা বিভাজ্য।
∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m + 1) সত্য হয়।
∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ∈ N

13(v)(a). n ∈ N হলে গাণিতিক আরোহ নীতির প্রয়োগে প্রমাণ করো:
n < 2ⁿ

Ans: ধরি, গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n) অর্থাৎ
P(n): n < 2ⁿ
n = 1 হলে, P(1): 1 < 2¹ অর্থাৎ P(1) সত্য।
এখন, ধরি n = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়।
∴ P(m): m < 2^m
∵ m < 2^m
⇒ 1 + m < 1 + 2^m
⇒ 1 + m < 2^m + 2^m. . .  [∵ 2^m > 1]
⇒ 1 + m < 2.2^m
⇒ 1 + m < 2^{m + 1}
∴ P(m + 1): 1 + m < 2^{m + 1}
∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m + 1) সত্য হয়।
∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ∈ N

13(v)(b). n ∈ N হলে গাণিতিক আরোহ নীতির প্রয়োগে প্রমাণ করো:
3ⁿ > n³ (n ≥ 4)

Ans: ধরি, গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n) অর্থাৎ
P(n): 3ⁿ > n³ যখন n ≥ 4)
n = 4 হলে,
P(1): 3⁴ ,  4³
⇒ 81 > 64 অর্থাৎ P(1) সত্য।
এখন, ধরি n = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়।
∴ P(m): 3^m > m³ (m ≥ 4)
∵ 3^m > 3m² এবং 3^m > 3m + 1
আবার 3^m > m³
∴ 3^m + 3^m + 3^m > m³ + 3m² + 3m + 1³
⇒ 3.3^m > (m + 1)³
⇒ 3^{m + 1} > (m + 1)³
∴ P(m + 1): 3^{m + 1} > (m + 1)³
∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m+1) সত্য হয়। 
∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ∈ N

13(v)(c). n ∈ N হলে গাণিতিক আরোহ নীতির প্রয়োগে প্রমাণ করো:
2ⁿ <n! (n ≥ 4)

Ans: ধরি, প্রদত্ত গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n) অর্থাৎ P(n):
2ⁿ < n! (n ≥ 4)
এখন n = 4 হলে,
P(4): 2⁴,   4!
⇒ 16 < 24 অর্থাৎ P(4) সত্য।
এখন, ধরি n = m (m ≥ 4) হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়।
∴ P(m):  2^m < m! (m ≥ 4)
∵ 2^m < m!
∴ 2.2^m < 2.m!
⇒ 2^{m + 1} < (m + 1).m! . . . [∵ m ≥ 4, ∴ (m + 1) > 2]
⇒ 2^{m + 1} < (m + 1)!
∴ P(m + 1): 2^{m + 1} < (m + 1)!
∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m + 1) সত্য হয়। 
∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ∈ N

13(v)(d). n ∈ N হলে গাণিতিক আরোহ নীতির প্রয়োগে প্রমাণ করো: 3ⁿ > 2ⁿ

Ans: ধরি, প্রদত্ত গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n) অর্থাৎ
P(n): 3ⁿ > 2ⁿ
n = 1 হলে,
P(1): 3¹,   2¹
⇒ 3 > 2 অর্থাৎ P(1) সত্য।
এখন, ধরি n = m হলে,
P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়।
∴ P(m): 3^m > 2^m
∵ 3^m > 2^m
∴ 3.3^m > 3.2^m
⇒ 3.3^m > 2.2^m
⇒ 3^{m + 1} > 2^{m + 1}
∴ P(m + 1): 3^{m + 1} > 2^{m + 1}
∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m + 1) সত্য হয়। 
∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ∈ N

13(vi). n ∈ N হলে গাণিতিক আরোহ নীতির প্রয়োগে প্রমাণ করো:
1 + 2 + 3+ . . . + n < ¹/₈.(2n + 1)²

Ans: ধরি, প্রদত্ত গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n) অর্থাৎ
P(n): 1 + 2 + 3+ . . . + n < ¹/₈.(2n + 1)²
n = 1 হলে,
P(1): 1, ¹/₈.(2.1 + 1)²
⇒ 1, ¹/₈.3²
⇒ 1  < ⁹/₈ অর্থাৎ, P(1) সত্য।

এখন, ধরি n = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়।
∴ P(m): 1 + 2 + 3+ . . . + m < ¹/₈.(2m + 1)²
∵ 1 + 2 + 3+ . . . + m < ¹/₈.(2m + 1)²
∴ 1 + 2 + 3+ . . . + m + (m + 1) < ¹/₈.(2m + 1)² + (m + 1)
⇒ 1 + 2 + 3+ . . . + m + (m + 1) < ¹/₈.[4m² + 4m + 1 + 8m + 8)
⇒ 1 + 2 + 3+ . . . + m + (m + 1) < ¹/₈.[4m² + 12m + 8m + 9)
⇒ 1 + 2 + 3+ . . . + m + (m + 1) < ¹/₈.[(2m)² + 2.2m.3 + 3²]
⇒ 1 + 2 + 3+ . . . + m + (m + 1) < ¹/₈.(2m + 3)²
⇒ 1 + 2 + 3+ . . . + m + (m + 1) < ¹/₈.(2(m + 1) + 1]²

∴ P(m + 1): 1 + 2 + 3+ . . . + m + (m + 1) < ¹/₈.(2(m + 1) + 1]²
∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m+1) সত্য হয়। 
∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ∈ N

13(vii). n ∈ N হলে গাণিতিক আরোহ নীতির প্রয়োগে প্রমাণ করো:
1² + 2² + 3² + . . . + n² > ⁿ³/₃

Ans: ধরি, প্রদত্ত গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n) অর্থাৎ
P(n):  1² + 2² + 3² + . . . + n² > ⁿ³/₃
n = 1 হলে,
P(1):  1² = 1 , ¹³/₃
⇒ 1 > ¹/₃
অর্থাৎ, P(1) সত্য। 
এখন, ধরি n = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়। 
∴ P(m): 1² + 2² + 3² + . . . + m² > ^{m 3}/₃
∴ P(m + 1)
∵ 1² + 2² + 3² + . . . + m² > ^{m 3}/₃
∴ 1² + 2² + 3² + . . . + m² + (m + 1)² > ^{m 3}/₃ + (m + 1)²
⇒ P(m + 1) > ^{m 3}/₃ + m² + 2m + 1
⇒ P(m + 1) > ^{m 3 + 3m2 + 6m + 3}/₃
বা, P(m + 1) > ^{m 3 + 3m2.1 + 3.m.12 + 13 + 3m2 + 2}/₃
বা, P(m + 1) > ^{(m + 1) 3 + 3m12 + 2}/₃
⇒ P(m + 1) > ^{(m + 1) 3}/₃ + ^{3m2 + 2}/₃
⇒ P(m + 1) > ^{(m + 1) 3}/₃ . . . [∵ m ∈ N, ∴ ^{3m2 + 2}/₃ > 0]
∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m+1) সত্য হয়। 
∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ∈ N

13(viii). n ∈ N হলে গাণিতিক আরোহ নীতির প্রয়োগে প্রমাণ করো:
¹/₅ n⁵ + ¹/₃ n³ + ¹/₁₅.7n একটি অখণ্ড সংখ্যা

Ans: ধরি, প্রদত্ত গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n) অর্থাৎ
P(n):  ¹/₅ n⁵ + ¹/₃ n³ + ¹/₁₅.7n একটি অখণ্ড সংখ্যা।
n = 1 হলে,
P(1):  ¹/₅ + ¹/₃ + ¹/₁₅.7
= ^{3 + 5+ 7}/₁₅ = 1 -একটি অখণ্ড সংখ্যা।
অর্থাৎ, P(1) সত্য। 

এখন, ধরি n = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়। 
∴ P(m): ¹/₅ m⁵ + ¹/₃ m³ + ¹/₁₅.7m = k যেখানে k ∈ N
∴ P(m + 1)
= ¹/₅ (m + 1)⁵ + ¹/₃ (m + 1)³ + ¹/₁₅.7(m + 1)
= [¹/₅ m⁵ + ¹/₃ m³ + ¹/₁₅.7m] + ¹/₅[⁵C₁.m⁴ + ⁵C₂.m³ + ⁵C₃.m² + ⁵C₄.m] + ¹/₃[³C₁.m² + ³C₂.m] + [ ¹/₅ + ¹/₃ + ⁷/₁₅]
= k + অখণ্ড সংখ্যা + অখণ্ড সংখ্যা + 1
= অখণ্ড সংখ্যা
∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m+1) সত্য হয়। 
∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ∈ N

13(ix). n ∈ N হলে গাণিতিক আরোহ নীতির প্রয়োগে প্রমাণ করো:
ⁿ¹¹/₁₁ + ⁿ⁵/₅ + ⁿ³/₃ + ⁶²ⁿ/₁₆₅ একটি পূর্ণসংখ্যা

Ans: ধরি, গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n) অর্থাৎ
P(n): ⁿ¹¹/₁₁ + ⁿ⁵/₅ + ⁿ³/₃ + ⁶²ⁿ/₁₆₅ একটি পূর্ণসংখ্যা
n = 1 হলে, P(1):  ¹/₁₁ + ¹/₅ + ¹/₃ + ⁶²/₁₆₅
= ^{15 + 33 + 55 + 62}/₁₆₅
= ¹⁶⁵/₁₆₅ = 1 – একটি পূর্ণসংখ্যা
অর্থাৎ, P(1) সত্য। 

এখন, ধরি n = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়। 
∴ P(m): ^m11/₁₁ + ^m5/₅ + ^m3/₃ + ^62m/₁₆₅ = k যেখানে k ∈ N
∴ P(m + 1) = ^{(m + 1)11}/₁₁ + ^{(m + 1)5}/₅ + ^{(m + 1)3}/₃ + ^{62(m + 1)}/₁₆₅
= [^m11/₁₁ + ^m5/₅ + ^m3/₃ + ^62m/₁₆₅] + ¹/₁₁ [¹¹C₁.m¹⁰ + ¹¹C₂.m⁹ + . . . + ¹¹C₁₀.m] + ¹/₅[⁵C₁.m⁴ + ⁵C₂.m³ + . . . + ⁵C₄.m] + ¹/₃[³C₁.m² + ³C₂.m] + [ ¹/₁₁ + ¹/₅ + ¹/₃ + ⁶²/₁₆₅]
= k + পূর্ণসংখ্যা + পূর্ণসংখ্যা + পূর্ণসংখ্যা + 1
= পূর্ণসংখ্যা
∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m+1) সত্য হয়। 
∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ∈ N

13 (x). n ∈ N হলে গাণিতিক আরোহ নীতির প্রয়োগে প্রমাণ করো:
n.1 + (n – 1).2 + (n – 2).3 + . . . + 2.(n – 1) + 1.n = ¹/₆n(n + 1)(n + 2)

Ans: ধরি, গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n) অর্থাৎ
P(n): n.1 + (n – 1).2 + (n – 2).3 + . . . + 2.(n – 1) + 1.n = ¹/₆n(n + 1)(n + 2)
n = 1 হলে,
P(1): 1.1, ¹/₆.1(1 + 1)(1 + 2)
1, ¹/₆.1.2.3 = 1
অর্থাৎ, P(1) সত্য। 
এখন, ধরি n = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়। 
∴ P(m):  m.1 + (m – 1).2 + (m – 2).3 + . . . + 2.(m – 1) + 1.m = ¹/₆m(m + 1)(m + 2)
∴ P(m + 1)
= (m + 1).1 + (m + 1 – 1).2 + (m + 1 – 2).3 + . . . + 2.(m + 1 – 1) + 1.(m + 1)
= (m + 1).1 + m.2 + (m – 1).3 + . . . + 2.m + 1.(m + 1)
= [m.1 + (m – 1).2 + (m – 2).3 + . . . + 2.(m – 1) + 1.m ] – [1 + 2+ 3 + . . . + (m – 1)]
= ¹/₆m(m + 1)(m + 2)+ ¹/₂(m + 1)(m + 2)
= ¹/₂(m + 1)(m + 2)(^m/₃ + 1)
== ¹/₂(m + 1)(m + 2)(^{m + 3}/₃)
= ¹/₆(m + 1)(m + 2)(m + 3)
= ¹/₆(m + 1)(m + 1 + 1)(m + 1 + 2)
∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m+1) সত্য হয়। 
∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ∈ N

13(xi). n ∈ N হলে গাণিতিক আরোহ নীতির প্রয়োগে প্রমাণ করো:

Ans: ধরি, গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n) অর্থাৎ

n = 1 হলে, P(1): 2 < 4 অর্থাৎ, P(1) সত্য। 
এখন, ধরি n = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়।

∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m+1) সত্য হয়।
∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ∈ N

13(xii). n ∈ N হলে গাণিতিক আরোহ নীতির প্রয়োগে প্রমাণ করো:
(1 – ¹/_2²)(1 – ¹/_3²)(1 – ¹/_4²) . . . (1 – ¹/_{(n + 1)²} ) = ^{n + 2}/_{2n + 2}

Ans: ধরি, গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n) অর্থাৎ
P(n): (1 – ¹/_2²)(1 – ¹/_3²)(1 – ¹/_4²) . . . (1 – ¹/_{(n + 1)²} ) = ^{n + 2}/_{2n + 2}
n = 1 হলে,
P(1): 1 – ¹/_2², ^{1 + 2}/_{2.1 + 2}
⇒ 1 – ¹/₄, ³/_{2 + 2}
⇒ ³/₄, ³/₄
অর্থাৎ, P(1) সত্য।
এখন, ধরি n = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়।
∴ P(m):  (1 – ¹/_2²)(1 – ¹/_3²)(1 – ¹/_4²) . . . (1 – ¹/_{(m + 1)²} ) = ^{m + 2}/_{2m + 2}
∴ P(m + 1)
= 1 – ¹/_2²)(1 – ¹/_3²)(1 – ¹/_4²) . . . (1 – ¹/_{(m + 1)²} )[1 – ¹/_{(m + 1) + 1)²}]
= [1 – ¹/_2²)(1 – ¹/_3²)(1 – ¹/_4²) . . . (1 – ¹/_{(m + 1)²} )][1 – ¹/_{(m + 2)²}]
= ^{m + 2}/_{2m + 2} .[^{m2 + 4m + 4 – 1}/_{(m + 2)²}]
= ^{m + 2}/_{2(m + 1)} . ¹/_{(m + 2)²}(m² + 4m + 3)
= ^{m + 2}/_{2(m + 1)} . ¹/_{(m + 2)²}(m² + 3m + m + 3)
= ¹/_{2(m + 1)} . ¹/_{(m + 2)}[(m(m + 3) + 1(m + 3)]
= ¹/_{2(m + 1)} . ¹/_{(m + 2)}.(m + 3)(m + 1)
= ^{(m + 3)}/_{2(m + 2)}
= ^{(m + 1) + 2}/_{2(m + 1) + 2}
∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m+1) সত্য হয়। 
∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ∈ N

13(xiii). n ∈ N হলে গাণিতিক আরোহ নীতির প্রয়োগে প্রমাণ করো:
2 + 222 + 22222 + . . . + 222 . . . 2 (2n – 1 সংখ্যক) = ²⁰/₈₉₁(10²ⁿ – 1) – ²ⁿ/₉

Ans: ধরি, গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n) অর্থাৎ
P(n): 2 + 222 + 22222 + . . . + 222 . . . 2 (2n – 1 সংখ্যক) = ²⁰/₈₉₁(10²ⁿ – 1) – ²ⁿ/₉
n = 1 হলে,
P(1):
2, ²⁰/₈₉₁(10^2.1 – 1) – ^2.1/₉
বা, 2, = ²⁰/₈₉₁(10² – 1) – ²/₉
বা, 2, = ²⁰/₈₉₁(100 – 1) – ²/₉ = ²⁰/₈₉₁.99 – ²/₉
∴ 2 = ²⁰/₉ – ²/₉ = 2 অর্থাৎ, P(1) সত্য। 
এখন, ধরি n = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়। 
∴ P(m): 2 + 222 + 22222 + . . . + 222 . . . 2 (2m – 1 সংখ্যক) = ²⁰/₈₉₁(10^2m – 1) – ^2m/₉
∴ P(m + 1)
= 2 + 222 + 22222 + . . . + 222 . . . 2 [2(m + 1) – 1 সংখ্যক]
= [2 + 222 + 22222 + . . . + 222 . . . 2 (2m – 1 সংখ্যক)] + 222 . . . 2 [2(m + 1) – 1 সংখ্যক]
= ²⁰/₈₉₁(10^2m – 1) – ^2m/₉ + 222 . . . 2 [2(m + 1) – 1 সংখ্যক] . . . (i)
আবার 222 . . . 2 [2(m + 1) – 1 সংখ্যক]
= 2 + 20 + 200 + . . . [2(m + 1) – 1 সংখ্যক পদ]
= 2 + 2.10 + 2.10² + . . . [^{2(m + 1) – 1} সংখ্যক পদ]
== 2.10 ^{102(m + 1) – 1– 1} /_10-1
= ²/₉[10^{2(m + 1) – 1} – 1]
= ²/₉ .10^{2m + 2 – 1} – ²/₉
== ²/₉ .10^{2m + 1} – ²/₉
= ²/₉ .10^2m .10 – ²/₉
= ²⁰/₉ .10^2m – ²/₉

গাণিতিক আরোহ তত্ত্ব Mathematical Induction Semester2

(i) নং থেকে পাই,
²⁰/₈₉₁(10^2m – 1) – ^2m/₉ + 222 . . . 2 [2(m + 1) – 1 সংখ্যক]
= ²⁰/₈₉₁(10^2m – 1) – ^2m/₉ + ²⁰/₉ .10^2m – ²/₉
= ²⁰/₈₉₁ .10^2m – ²⁰/₈₉₁ – ^2m/₉ + ²⁰/₉ .10^2m – ²/₉
== 10^2m [²⁰/₈₉₁ + ²⁰/₉] – ²⁰/₈₉₁ – ²/₉(m + 1)
= 10^2m [^{20 + 1980}/₈₉₁] – ²⁰/₈₉₁ – ²/₉(m + 1)
= ²⁰⁰⁰/₈₉₁.10^2m – ²⁰/₈₉₁ – ²/₉(m + 1)
== ^20.100/₈₉₁.10^2m – ²⁰/₈₉₁ – ²/₉(m + 1)
= ²⁰/₈₉₁(100.10^2m – 1) – ²/₉(m + 1)
= ²⁰/₈₉₁(10².10^2m – 1) – ²/₉(m + 1)
== ²⁰/₈₉₁(10^{2m + 1} – 1) – ²/₉(m + 1)
= ²⁰/₈₉₁(10^{2(m + 1)} – 1) – ²/₉(m + 1)
∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m+1) সত্য হয়। 
∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ∈ N

13(xiv). n ∈ N হলে গাণিতিক আরোহ নীতির প্রয়োগে প্রমাণ করো:
ⁿC₀ + ⁿC₁ + ⁿC₂ + . . . + ⁿC_n = 2ⁿ

Ans: ধরি, গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n) অর্থাৎ
P(n): ⁿC₀ + ⁿC₁ + ⁿC₂ + . . . + ⁿC_n = 2ⁿ
n = 1 হলে,
P(1): ¹C₀ + ¹C₁ = 1 + 1 = 2 = 2¹
 অর্থাৎ, P(1) সত্য। 
এখন, ধরি n = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়।
∴ P(m): ^mC₀ + ^mC₁ + ^mC₂ + . . . + ^mC_m = 2^m
∴ P(m + 1)
= ^{m + 1}C₀ + ^{m + 1}C₁ + ^{m + 1}C₂ + . . . + ^{m + 1}C_{m + 1}
= ^{m + 1}C₀ + ^{m + 1}C₁.1¹ + ^{m + 1}C₂.1² + . . . + ^{m + 1}C_{m + 1}.1^{m + 1}
== (1 + 1)^{m + 1} . . . [∵ ⁿC₀ + ⁿC₁.x¹ + ⁿC₂.x² + . . . . + ⁿCn.xⁿ = (1 + x)ⁿ]
= 2^{m +1}
∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m+1) সত্য হয়। 
∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ∈ N

14. x ও y দুটি বাস্তব সংখ্যা হলে গাণিতিক আরোহ নীতির প্রয়োগে দেখাও যে, (xⁿ – yⁿ) সর্বদা (x – y) দ্বারা বিভাজ্য, যখন n ∈ N

Ans:  ধরি, প্রদত্ত গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n) অর্থাৎ
P(n): (xⁿ – yⁿ) সর্বদা (x – y) দ্বারা বিভাজ্য, যখন n ∈ N
n = 1 হলে, P(1): (x¹ – y¹) = x – y -যা (x – y) দ্বারা বিভাজ্য।  অর্থাৎ, P(1) সত্য।
এখন, ধরি n = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়।
∴ P(m): (x^m – y^m) = r(x – y) যেখানে r ∈ N
বা, x^m = r(x – y) + y^m
∴ P(m + 1)
= x^{m + 1} – y^{m + 1}
= x.x^m – y.y^m
= x.[r(x – y) + y^m] – y.y^m
= x.r(x – y) + x.y^m – y.y^m
= x.r(x – y) + y^m(x – y)
= (x – y)(xr + y^m) -এই রাশিমালাটি (x – y) দ্বারা বিভাজ্য।
∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m+1) সত্য হয়। 
∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ∈ N

15. n একটি অযুগ্ম ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হলে, আরোহ নীতির প্রয়োগে প্রমান করো যে, (aⁿ + bⁿ) সর্বদা (a + b) দ্বারা বিভাজ্য।

Ans: n একটি অযুগ্ম ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা।
ধরি, n = 2k – 1 যেখানে k ∈ N
∴  (aⁿ + bⁿ) 
= (a^{2k – 1} + b^{2k – 1})  সর্বদা (a + b) দ্বারা বিভাজ্য — এই গাণিতিক বিবৃতিটি P(k) দ্বারা সূচিত হয়।
k = 1 হলে, P(1):  a^{2.1 – 1} + b^{2.1 – 1} = a + b যা (a + b) দ্বারা বিভাজ্য অর্থাৎ, P(1) সত্য।
এখন, ধরি k = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয় যেখানে m ∈ N
∴ P(m) = a^{2m – 1} + b^{2m – 1} = r(a + b)
∴ P(m + 1)
=  a^{2(m + 1) – 1} + b^{2(m + 1) – 1}
= a^{2m + 1} + b^{2m + 1}
== a^{2m – 1 + 2} + b^{2m – 1 + 2}
= a².a^{2m – 1} + b².b^{2m – 1}
= a²[r(a + b) – b^{2m – 1}] + b².b^{2m – 1}
= a².r(a + b) – a^2.b^{2m – 1} + b².b^{2m – 1}
= a².r(a + b) – b^{2m – 1}[a² – b²]
= a².r(a + b) – b^{2m – 1}.(a + b)(a – b)
= (a + b)[a².r – (a – b)b^{2m – 1}]  – রাশিমালাটি (a + b) দ্বারা বিভাজ্য।
∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m+1) সত্য হয়। 
∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(k) সত্য যখন n ∈ N

16. যদি n ∈ N হয় এবং (2.1 + 1) + (2.2 + 1) + (2.3 + 1) + …………. + (2.n + 1) = n² + 2n + 5 বিবৃতি n = m এ সত্য হয়, তবে প্রমাণ করো যে, বিবৃতিটি n = (m + 1) -ও সত্য। n ∈ N সকল মানে বিবৃতিটি সত্য বলা যায় কি?

Ans: ধরি, গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n) অর্থাৎ
P(n): (2.1 + 1) + (2.2 + 1) + (2.3 + 1) + …………. + (2.n + 1) = n² + 2n + 5 যেখানে n ∈ N বিবৃতিটি n = m এ সত্য হয় ।
অর্থাৎ P(m): (2.1 + 1) + (2.2 + 1) + (2.3 + 1) + …………. + (2.m + 1) = m² + 2m + 5
n = (m + 1) হলে
P(m +1): [(2.1 + 1) + (2.2 + 1) + (2.3 + 1) + …………. + (2.m + 1)] + [2.(m + 1) + 1]
= m² + 2m + 5 + (2m + 2 + 1)
= m² + 2m + 5 + 2m + 3
== (m²+ 2m + 1) + 2m + 2 + 5
= (m + 1)² + 2(m + 1) + 5
∴ n = (m + 1) -এ বিবৃতিটি সত্য। 
n = 1 হলে,
P(1): 2.1 + 1 , 1² + 2.1 + 5
= 3 ≠ 8
অর্থাৎ, P(1) সত্য নয়।
∴ n ∈ N -এর সকল মানের জন্য বিবৃতিটি সত্য নয়।

17. n একটি ধনাত্মক অযুগ্ম পূর্ণসংখ্যা হলে আরোহ নীতির সাহায্যে প্রমাণ করো যে, n(n² – 1) সর্বদা 24 দ্বারা বিভাজ্য।

Ans: n একটি ধনাত্মক অযুগ্ম পূর্ণসংখ্যা।
ধরি, n = 2k – 1 যেখানে k ∈ N
∴ n(n² – 1)
= (2k – 1)[(2k – 1)² – 1]
= (2k – 1)(4k² – 4k +1 – 1)
== (2k – 1)(4k² – 4k)
= 4k(k – 1)(2k – 1)
আরও ধরি, 4k(k – 1)(2k – 1) সর্বদা 24 দ্বারা বিভাজ্য, যখন k ∈ N — এই গাণিতিক বিবৃতিটি P(k) দ্বারা সূচিত হয়।
k = 1 হলে,
P(1):  4.1(1 – 1)(2.1 – 1)
= 4.0.3 = 0, যা 24 দ্বারা বিভাজ্য অর্থাৎ, P(1) সত্য।
এখন, ধরি k = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয় যেখানে m ∈ N
∴ P(m) = 4m(m – 1)(2m – 1) = 24r, যখন r ∈ N
বা, m(2m² – m – 2m + 1) = 6r
বা, m(2m² – 3m + 1) = 6r
⇒ 2m³ – 3m² + m = 6r
বা, 2m³ = 6r + 3m² – m
∴ P(m + 1)
=  4(m + 1)(m + 1 – 1)[2(m + 1) – 1]
=  4(m + 1).m[2m + 2 – 1]
==  4m(m + 1)(2m + 1)
=  4m(2m² + m + 2m + 1)
= 4m(2m² + 3m + 1)
== 4(2m³ + 3m² + m)
= 4(6r + 3m² – m + 3m² + m)
= 4(6r + 6m²)
== 4.6(r + m²)
= 24(r + m²) – রাশিমালাটি 24 দ্বারা বিভাজ্য।
∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m+1) সত্য হয়।
∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(k) সত্য যখন n ∈ N

18. 2ⁿ > n² অসমতা সত্য হতে হলে n -এর ধনাত্মক অখণ্ড মান নির্নয় করো।

Ans: ধরি, গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n) অর্থাৎ P(n): 2ⁿ > n²
n = 1, 2, 3 …..  হলে, 
P(1): 2¹ , 1² ⇒ 2 > 1 – বিবৃতিটি সত্য।
P(2): 2² , 2² ⇒ 4 > 4 – বিবৃতিটি সত্য  নয়।
P(3): 2³ , 3² ⇒ 8 > 9 – বিবৃতিটি সত্য  নয়।
P(4): 2⁴ , 4² ⇒ 16 > 16 – বিবৃতিটি সত্য  নয়।
P(5): 2⁵ , 5² ⇒ 32 > 25 – বিবৃতিটি সত্য।
P(6): 2⁶ , 6² ⇒ 64 > 36 – বিবৃতিটি সত্য।
ধরি P(n) সত্য যখন n = 1 এবং n ≥ 5 
∴ P(1) এবং P(n ≥ 5) সত্য। 
এখন, ধরি n = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়। 
∴ P(m): 2^m > m²
আবার m > 2 হলে m² > 2m + 1 হয়।
∵ 2^m > m² 
∴ 2^m + 2^m > m² + m²
⇒ 2.2^m > m² + 2m + 1
⇒ 2^{m + 1} > (m + 1)² 
∵ P(5) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m+1) সত্য হয়। 
∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ≥ 5
∴ n -এর ধনাত্মক অখণ্ড মান n = 1 এবং n ≥ 5

19. গাণিতিক আরোহ নীতির প্রয়োগে প্রমাণ করো যে, n ∈ N হলে 3²ⁿ কে যখন 8 দ্বারা ভাগ করা হয় তখন ভাগশেষ সর্বদা 1 হয়।

Ans: ধরি, 3²ⁿ কে – 8 দ্বারা ভাগ করা হলে ভাগশেষ সর্বদা 1 হয়, যখন n ∈ N — এই গাণিতিক বিবৃতিটি P(n) দ্বারা সূচিত হয়। 
n = 1 হলে,
P(1): 3^2.1= 9 = 8 + 1 যা 8 দ্বারা ভাগ করা হলে ভাগশেষ 1 হয় অর্থাৎ, P(1) সত্য। 
এখন, ধরি n = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়।
∴ P(m): 3^2m = 8k + 1 যেখানে k ∈ N
∴ P(m + 1) = 3^{2(m + 1)}
= 3^2m . 3^2m
= 9.3²ⁿ
⇒ 9(8k + 1)
= 72k + 9
= 8(9k + 1) + 1 – রাশিমালাটিকে 8 দ্বারা ভাগ করা হলে ভাগশেষ 1 হয়।
∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m+1) সত্য হয়। 
∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ∈ N

20. আরোহ নীতির সাহায্যে প্রমাণ করো যে, 5^{n + 1} + 4.6ⁿ কে 20- দ্বারা ভাগ করা হলে ভাগশেষ সর্বদা 9 হয়, যখন n ∈ N

Ans: ধরি, 5^{n + 1} + 4.6ⁿ কে 20- দ্বারা ভাগ করা হলে ভাগশেষ সর্বদা 9 হয়, যখন n ∈ N — এই গাণিতিক বিবৃতিটি P(n) দ্বারা সূচিত হয়।  
n = 1 হলে,
P(1): 5^{1 + 1} + 4.6¹
= 5²+ 4.6 = 25 + 24 = 49 = 2.20 + 9 → 20- দ্বারা ভাগ করা হলে ভাগশেষ 9 হয়।
অর্থাৎ, P(1) সত্য।
এখন, ধরি n = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়।
∴ P(m): 5^{(m + 1)} + 4.6^m = 20k + 9…  যেখানে k ∈ N
∴ P(m + 1) = 5^{[(m + 1) + 1]} + 4.6^{(m + 1)}
= 5^{(m + 1)}.5 + 4.6^m.6
= 5.5^{(m + 1)} + 24.6^m
⇒ 5(20k + 9 – 4.6^m) + 24.6^m 
⇒ 100k + 45 – 20.6^m + 24.6^m
= 100k + 45 + 4.6^m
= 100k + 45 + 4.(1 + 5)^m
= 100k + 45 + 4.(1 + ^mC₁.5 + ^mC₂.5² + ^mC₃.5³ + ……  + ^mCm.5^m)
= 100k + 45 + 4 + 4.(^mC₁.5 + ^mC₂.5² + ^mC₃.5³ + ……  + ^mCm.5^m )
= 100k + 49 + 4.5(^mC₁ + ^mC₂.5 + ^mC₃.5² + ……  + ^mCm.5^{m – 1})
= 100k + 49 + 20(^mC₁ + ^mC₂.5 + ^mC₃.5² + ……  + ^mCm.5^{m – 1})
= 100k + 40 + 20(^mC₁ + ^mC₂.5 + ^mC₃.5² + ……  + ^mCm.5^{m – 1}) + 9
= 20(5k + 2 + ^mC₁ + ^mC₂.5 + ^mC₃.5² + ……  + ^mCm.5^{m – 1}) + 9 -রাশিমালাটিকে 20- দ্বারা ভাগ করা হলে ভাগশেষ সর্বদা 9 হবে।
∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m+1) সত্য হয়। 
∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ∈ N

গাণিতিক আরোহ তত্ত্ব Mathematical Induction Semester2

21. n ∈ N হলে আরোহ নীতির সাহায্যে প্রমাণ করো যে 8.7ⁿ + 4^{n + 2} সর্বদা 24 দ্বারা বিভাজ্য কিন্তু 48 দ্বারা বিভাজ্য নয়।

Solution: ধরি, গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n) অর্থাৎ P(n): 8.7ⁿ + 4^{n + 2} সর্বদা 24 দ্বারা বিভাজ্য কিন্তু 48 দ্বারা বিভাজ্য নয়।
n = 1 হলে,
P(1): 8.7¹ + 4^{1 + 2}
= 8.7 + 4³ = 56 + 64 = 120 যা 24 দ্বারা বিভাজ্য কিন্তু 48 দ্বারা বিভাজ্য নয়।
অর্থাৎ, P(1) সত্য। 
এখন, ধরি n = m হলে,
P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়।
∴ P(m): 8.7^m + 4^{m + 2} = 24k যেখানে k ∈ N
বা, 8.7^m + 16.4^m = 24k
বা, 8.7^m = 24k – 16.4^m
∴ P(m + 1) = 8.7^{m + 1} + 4^{m + 1 + 2}
= 8.7^m . 7 + 4^{m + 2}.4
= (24k – 16.4^m).7 + 4.16.4^m
= (24k – 16.4^m).7 + 4.16.4^m
⇒ 24.7k – 112.4^m + 64.4^m
= 24.7k – 48.4^m
= 24(7k – 2.4^m)
k অযুগ্ম সংখ্যা হলে 24(7k – 2.4^m) 24 দ্বারা বিভাজ্য কিন্তু 48 দ্বারা বিভাজ্য হবে না।
∴ P(n) সর্বদা 24 দ্বারা বিভাজ্য কিন্তু 48 দ্বারা বিভাজ্য নয়।
∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m+1) সত্য হয়।
∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ∈ N

22. গাণিতিক আরোহ নীতির সাহায্যে প্রমাণ করো যে, n -এর সকল ধনাত্মক পূর্ণমানের জন্য |sin nx| ≤ n|sin x|

Solution: ধরি, গাণিতিক বিবৃতিটি হল P(n) অর্থাৎ
P(n): |sin nx| ≤ n |sin x|
n = 1 হলে,
P(1): |sin 1.x| ≤ 1|sin x|
⇒ |sin x| ≤ |sin x|
অর্থাৎ, P(1) সত্য।
এখন, ধরি n = m হলে, P(m) বিবৃতিটি সত্য হয়।
∴ P(m):  |sin mx| ≤ m |sin x|
∴ P(m + 1)
=  |sin (m + 1)x|
=   |sin mx cos x + cos mx sin x|
≤ |sin mx cos x| + |cos mx sin x|
≤ |sin mx| |cos x| + |cos mx| |sin x|
<≤ |sin mx| . 1 + 1. |sin x|……… [∵ cos x ≤ 1]
≤ |sin mx| +  |sin x|
≤ m |sin mx| +  |sin x| …….. [∵ |sin mx| ≤ m|sin x|]
. ≤ (m + 1)|sin mx|
∵ P(1) সত্য এবং P(m) সত্য হলে P(m+1) সত্য হয়। 
∴ গাণিতিক আরোহণ পদ্ধতির সাহায্যে বলা যায় P(n) সত্য যখন n ∈ N

VARIABLE AND CONSTANT
SN DEY SEMESTER-I
(চল ও ধ্রুবক)

N. DEY CLASS XI MATHEMATICS SOLUTION
SEMESTER-I
CHAPTER 2
সম্বন্ধ এবং অপেক্ষক (Relation and Function)
চল ও ধ্রুবক
VARIABLE AND CONSTANT

SEMESTER-I CHAPTER 2

চল ও ধ্রুবক VARIABLE AND CONSTANT

বহুবিকল্পভিত্তিক প্রশ্নাবলি (MCQ)
Conventional Type

1. f(x+2) = 2x² – 3x + 5 হলে f(1) =
Ⓐ 2 Ⓑ 5
Ⓒ 10 Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

Solution: f(x+2) = 2x² – 3x + 5
x-এর স্থলে -1 বসিয়ে পাই,
f(-1 + 2) = 2.(-1)² – 3.(-1) + 5
⇒ f(1) = 2 + 3 + 5
⇒f(1) = 10
Ans: Ⓒ 10

2. f(x) = 4^x হলে f(log₄x) =
Ⓐ 4             Ⓑ x
Ⓒ 4^x         Ⓓ x⁴

Solution: f(log₄x)
=4^log₄x = x (∵ e^log_ex= x)
Ans: Ⓑ x

Semester 1
সূচিপত্র

👉 UNIT-1       সেট ও অপেক্ষক

• CHAPTER 1 সেট তত্ত্ব
• CHAPTER 2 সম্বন্ধ ও অপেক্ষক (Relation and Function)
  • ক্রমিত জোড় ও কার্তেসীয় গুনফল Ordered Pair and Cartesian Product PART I
  • সম্বন্ধ (Relation) PART II
  • অপেক্ষক (বা চিত্রন) [Function (or Mapping)] PART III
  • চল ও ধ্রুবক (Variable and Constant) PART IV
  • অপেক্ষকের লৈখিক প্রকাশ (Graphical Representation of Functions) PART V
  • CHAPTER 3 ত্রিকোণমিতিক কোণ-পরিমাপন
  • CHAPTER 4 ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকসমূহ ও আদর্শ কোণসমূহ
  • CHAPTER 5 সংযুক্ত কোণসমূহের ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকসমূহ
  • CHAPTER 6 যৌগিক কোণের ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক
  • CHAPTER 7 ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকের যোগফল ও গুণফলের রূপান্তর
  • CHAPTER 8 গুণিতক কোণের ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক
  • CHAPTER 9 অংশ কোণের ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক
  • CHAPTER 10 ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকের সমীকরণসমূহের সাধারণ সমাধান
  • CHAPTER 11 ত্রিভুজের ধর্মাবলি

👉 UNIT-2       বীজগণিত

• CHAPTER 1 সূচকের নিয়মাবলি
• CHAPTER 2 লগারিদম্
• CHAPTER 3 দ্বিঘাত সমীকরণ (পূর্বপাঠের পুনরালোচনা)
• CHAPTER 4 জটিল সংখ্যা ও দ্বিঘাত সমীকরণ
• CHAPTER 5 রৈখিক অসমীকরণ
• CHAPTER 6 বিন্যাস ও সমবায়
• UNIT-3 কলনবিদ্যা

👉 UNIT-3       কলনবিদ্যা

• CHAPTER 1 বাস্তব সংখ্যা
• CHAPTER 2 সীমা
• CHAPTER 3 অন্তরকলন বা অবকলন
• CHAPTER 4 অন্তরকলজের তাৎপর্য

3. নীচের কোন্ বিবৃতিটি সত্য?
Ⓐ y² = x হলে, y-কে x-এর একটি অপেক্ষক বলা যায়।
Ⓑ f(x) = ^x2/_x ও φ(x) = x অপেক্ষক দুটি অভিন্ন।
Ⓒ y³ – 3y² – 2x + 11 = 0 সমীকরণটি x-কে y-এর একটি অপেক্ষকরূপে প্রকাশ করে।
Ⓓ f(x) = √(x^2 + 4x – 1) হলে, f(- 2) -এর মানের অস্তিত্ব আছে। 

Solution:
Ⓐ y² = x
বা y = ±√x
∴ x-এর একটি মানের জন্য y-এর দুটি মান পাওয়া যায়, তাই y, x-এর অপেক্ষক নয়। → বিবৃতিটি সত্য নয়।
Ⓑ f(x) = ^x2/_x অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে সংজ্ঞাত নয়, কিন্তু ϕ(x) = x অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে সংজ্ঞাত।
তাই এই দুটি অপেক্ষক অভিন্ন নয়।→ বিবৃতিটি সত্য নয়।
Ⓒ y³ – 3y² – 2x + 11 = 0
বা, x = ¹/₂[y³ – 3y² + 11]
∴  y³ – 3y² – 2x + 11 = 0 সমীকরণটি x-কে y-এর একটি অপেক্ষকরূপে প্রকাশ করা যায়।→ বিবৃতিটি সত্য।
Ans: Ⓒ y³ – 3y² – 2x + 11 = 0 সমীকরণটি x-কে y-এর একটি অপেক্ষকরূপে প্রকাশ করে।

VARIABLE AND CONSTANT

4. নীচের কোনটির জন্য f(x) = x ও φ(x) = √x² অপেক্ষক দুটি অভিন্ন?
Ⓐ 0 < x < ∞ Ⓑ – ∞ < x < ∞
Ⓒ 0 ≤ x < ∞ Ⓓ – ∞ < x ≤ 0

Solution: f(x) = x অপেক্ষকটি x- এর সকল বাস্তব মানের জন্য সংজ্ঞাত হবে।
φ(x) = √x² অপেক্ষকটি সংজ্ঞাত হবে,
যদি x² ≥ 0
⇒, x ≥ 0
∴ অপেক্ষক দুটি অভিন্ন হবে যদি 0 ≤ x < ∞ হয়।
Ans: Ⓒ 0 ≤ x < ∞

5. f(x) = 3x – 9 হলে, নীচের কোনটি f(x² – 1) -এর মান হবে?
Ⓐ 3x² – 9 Ⓑ 3x² – 12
Ⓒ x² – 10 Ⓓ 3x² – 10

Solution: x-এর স্থলে x² – 1 বসিয়ে পাই,
f(x² – 1) = 3(x² – 1) – 9
= 3x² – 3 – 9
= 3x² – 12
Ans: Ⓑ 3x² – 12

6. f(x – 1) = 7x – 5 হলে, নীচের কোনটি f(x) -এর মান হবে?
Ⓐ 7x + 2 Ⓑ 7x – 12
Ⓒ 8x – 4 Ⓓ 7(x + 1)

Solution: x-এর স্থলে x + 1 বসিয়ে পাই,
f(x + 1 – 1) = 7(x + 1) – 5
⇒ f(x) = 7x + 7 – 5 = 7x + 2
Ans: Ⓐ 7x + 2

7. 2f(x) + 3f(-x) = 15 – 4x হলে, নীচের কোনটি [f(1) + f(-1)] -এর মান হবে?
Ⓐ 5 Ⓑ 7
Ⓒ -6 Ⓓ 6

Solution: 2f(x) + 3f(-x) = 15 – 4x
x-এর স্থলে 1 এবং -1 বসিয়ে পাই,
2f(1) + 3f(-1) = 15 – 4.1 = 11…… (i)
2f(-1) + 3f(1) = 15 – 4.(-1) = 19…… (ii)
(ii) +  (ii) করে পাই,
2f(1) + 3f(-1) + 2f(-1) + 3f(1) = 11 + 19
⇒ 5f(1) + 5f(-1) = 30
⇒ 5[f(1) + f(-1)] = 30
বা f(1) + f(-1) = 6
Ans: Ⓓ 6

8. 3f(x) + 2f(- x) = 5(x – 2) হলে, নীচের কোনটির f(0) -এর মান –
Ⓐ 0 Ⓑ -2
Ⓒ 2 Ⓓ 1

Solution: x-এর স্থলে 0 বসিয়ে পাই,
3f(0) + 2f(-0) = 5(0 – 2)
⇒ 3f(0) + 2f(0) = 5×(-2)
⇒5f(0) = 5×(-2)
∴ f(0) = -2
Ans: Ⓑ -2

SN DEY SEMESTER-I

9. f(x) = log₃ x এবং φ(x) = x² হলে, নীচের কোনটি f{φ(3)} -এর মান?
Ⓐ 0 Ⓑ 1
Ⓒ 2 Ⓓ 3

Solution: f(x) = log₃ x এবং φ(x) = x²
∴ φ(3) = 3²
∴ f{φ(3)} = f{3²} = log₃ 3²
⇒ f{φ(3)} = 2log₃ 3 = 2.1 = 2
Ans: Ⓒ 2 

10. f(x) = √(x + 3) অপেক্ষকের সংজ্ঞার অঞ্চল হল –
Ⓐ (-∞, 3) Ⓑ (-∞, 3]
Ⓒ (3, ∞) Ⓓ [-3, ∞)
Solution: f(x) = √(x + 3)
অপেক্ষকটি সংজ্ঞাত হবে যদি x + 3 ≥ 0 বা, x ≥ -3 হয়।
∴ অপেক্ষকের সংজ্ঞার অঞ্চল [-3, ∞)
Ans: Ⓓ [-3, ∞)

চল ও ধ্রুবক

11. নীচের কোন্ বিবৃতিটি সত্য নয়?
Ⓐ f(x) = 3x – 9 হলে f(x² + 1) = 3x² – 6
Ⓑ f(x – 1) = 7x – 5 হলে, f(x + 1) – f(x + 2) -এর মান -7
Ⓒ f(x + 3) = 2x² – 3x – 1 হলে, f(x + 1) = 2x² – 11x + 13
Ⓓ f(x + 2) = x² – 6x + 2 হলে f(x) = x² + 10x – 18

Solution: Ⓐ f(x) = 3x – 9
∴  f(x² + 1) = 3(x² + 1) – 9
= 3x² + 3 – 9
= 3x² – 6→ বিবৃতিটি সত্য।
Ⓑ f(x – 1) = 7x – 5
∴ f(x + 1) – f(x + 2)
= f[(x + 2) – 1] – f[(x + 3) -1]
= 7(x + 2) – 5 – [7(x + 3) – 5]
⇒ 7x + 14 – 5 – 7x – 21 + 5
= -7→ বিবৃতিটি সত্য।
Ⓒ f(x + 3) = 2x² – 3x – 1
∴ f(x + 1)
= f[(x – 2) + 3]
= 2(x – 2)² – 3(x – 2) – 1
⇒ 2x² – 8x + 8 – 3x + 6 – 1
= 2x² – 11x +13 → বিবৃতিটি সত্য।
Ⓓ f(x + 2) = x² – 6x + 2
∴ f(x)
= f[(x – 2) + 2]
= (x – 2)² – 6(x – 2) + 2
⇒ x² – 4x + 4 – 6x + 12 + 2
= x² – 10x + 18→ বিবৃতিটি সত্য নয়।
Ans: Ⓓ f(x + 2) = x² – 6x + 2 হলে f(x) = x² + 10x – 18

12. যদি 2f(x) + 3f(- x) = x² – x + 1 হয়, তবে f(2) -এর মান-
Ⓐ 3 Ⓑ 2
Ⓒ -2 Ⓓ 3

Solution: 2f(x) + 3f(-x) = x² – x + 1……. (i)
x-এর স্থলে -x বসিয়ে পাই,
2f(-x) + 3f(x) = (-x)² – (-x) + 1
= x^2 + x + 1……. (ii)
(i)×2 – (ii)×3 করে পাই,
4f(x) + 6f(-x) – [6f(-x) + 9f(x)] = 2x² – 2x + 2 – [3x² + 3x + 3]
⇒ 4f(x) + 6f(-x) – 6f(-x) – 9f(x) = 2x² – 2x + 2 – 3x² – 3x – 3
⇒ -5f(x) = -x² – 5x – 1
বা, 5f(x) = x² + 5x + 1
⇒f(x) = ¹/₅[x² + 5x + 1]
∴ f(2) = ¹/₅[2² + 5.2 + 1]
⇒ f(2) = ¹/₅[4 + 10 + 1] = ¹/₅.15 = 3
Ans: Ⓓ 3

VARIABLE AND CONSTANT SN DEY SEMESTER-I (চল ও ধ্রুবক)

13. f(x) = 5^x হলে –
Ⓐ f(x + 2) = 25 + f(x)
Ⓑ f(x + y) = f(x) + f(y)
Ⓒ ^{f(x + 1)}/_{f(x – 1)} = 25
Ⓓ f(log₅ x) = f(x)

Solution: f(x) = 5^x
Ⓐ f(x + 2) = 5^x+2 = 5^x.5² = 25.5^x = 25f(x)
Ⓑ f(x + y) = 5^x+y = 5^x.5^y =  f(x).f(y)
Ⓒ ^{f(x + 1)}/_{f(x – 1)} = ^5x+1/_5^x-1
= ^5x.⁵¹/_5^x._5^-1
= ⁵¹/_5^-1 = 5¹⁺¹ =5²=25
Ans: Ⓒ ^{f(x + 1)}/_{f(x – 1)} = 25

হলে f(a) + f(b) =
Ⓐ f(a – b) Ⓑ f(a + b)
Ⓒ f(ab) Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

SN DEY SEMESTER-I (চল ও ধ্রুবক)

15. φ(x) = log_ex হলে কোনটি সঠিক নয়?
Ⓐ φ(e^x) = x Ⓑ φ(x^m) = mφ(x)
Ⓒ φ(xy) = φ(x) φ(y) Ⓓ φ(^x/_y) = φ(x) – φ(y)
Solution: Ⓐ φ(x) = log_ex
∴ φ(e^x) = log_ee^x
= x.log_ee = x→ বিবৃতিটি সত্য।
Ⓑ φ(x^m) = log_ex^m
= m.log_ex = mφ(x)→ বিবৃতিটি সত্য।
Ⓒ φ(xy) = log_exy
= log_ex + log_ey = φ(x) + φ(y)→ বিবৃতিটি সত্য নয়।
Ans: Ⓒ φ(xy) = φ(x) φ(y)

16. f(x) = e^{px + q} (p, q ধ্রুবক) হলে – f(a) f(b) f(c) ÷ f(a + b + c) =
Ⓐ 1 Ⓑ e^q
Ⓒ e^2q Ⓓ 3^3q
Solution: f(x) = e^{px + q} (p, q ধ্রুবক)
∴ f(a) f(b) f(c)
= e^{pa + q}.e^{pb + q}.e^{pc + q}
= e^{pa + q + pb + q + pc + q}
⇒ e^{p(a + b + c) + 3q}
= e^{p(a + b + c) + q + 2q}
= e^{p(a + b + c) + q}.e^2q
f(a + b + c)
= e^{p(a + b + c) + q}
∴ f(a) f(b) f(c) ÷ f(a + b + c)
= e^{p(a + b + c) + q}.e^2q ÷ e^{p(a + b + c) + q}
= e^2q
Ans: Ⓒ e^2q 

17. f(x) = |x| – 2x হলে, f(-1) + f(1) -এর মান
Ⓐ 4 Ⓑ 1
Ⓒ -1 Ⓓ 2
Solution: f(x) = |x| – 2x
∴ f(-1) + f(1)
= |-1| – 2.(-1) + |1| – 2.1
= 1 + 2 + 1 – 2 = 2
Ans: Ⓓ 2

সেমেস্টার -1

চল ও ধ্রুবক

19. 19. যদি f(x) -কে (x – a)(x – b) -এর দ্বারা ভাগ করা হলে ভাগশেষ R হয়, তবে R =

Solution: ধরি, f(x) = (x – a)(x – b).g(x) + (px + q) …… [যেখানে (px + q) = R]
∴ f(a) = (a – a)(a – b).g(a) + (pa + q)
= (pa + q)
এবং f(b) = (b – a)(b – b).g(b) + (pb + q)
= (pb + q)
∴ f(a) – f(b) = (pa + q) –  (pb + q)
⇒ f(a) – f(b) = pa + q –  pb + q
⇒ f(a) – f(b) = p(a – b)
বা p =  ^{f(a) – f(b)}/_{a – b}
আবার,  f(a) = pa + q
⇒ f(a) =  ^{f(a) – f(b)}/_{(a – b)} . a + q
⇒ q = f(a) – ^{f(a) – f(b)}/_{(a – b)} . a
বা, q = ^{f(a)(a – b) – (f(a) – f(b))×a}/_{a – b}
বা, q = ^{f(a)(a – b) – a.f(a) + a.f(b)}/_{a – b}
⇒ q = ^{f(a)(a – b – a) + a.f(b)}/_{a – b}
⇒ q = ^{-bf(a) + a.f(b)}/_{a – b}
বা, q = ^{af(b) – bf(a)}/_{a – b}
∴ R = ^{f(a) – f(b)}/_{a – b} . x + ^{af(b) – bf(a)}/_{a – b}
⇒ R = ^{xf(a) – xf(b) + af(b) – bf(a)}/_{a – b}
⇒ R = ^{(x – b)f(a) – (x – a)f(b)}/_{a – b}
বা, R = ^{f(a)(x – b) – f(b)(x – a)}/_{a – b}
Ans: Ⓓ (f(a)(x – b) – f(b)(x – a))/(a – b)

20. f(x) = ¹/_x² হলে, f(x + h) – f(x – h) =
Ⓐ 0 Ⓑ ¹/_h²
Ⓒ – ^4xh/_{(x² – h²)²} Ⓓ ^4xh/_{(x² – h²)²}
Solution: f(x) = ¹/_x²
∴ f(x + h) – f(x – h)
= ¹/_{(x + h)²} – ¹/_{(x – h)²}
= ^{(x – h)2 – (x + h)2}/_{(x + h)².(x – h)²}
= –^4xh/_{(x² – h²)²}
Ans: Ⓒ – ^4xh/_{(x² – h²)²} 

VARIABLE AND CONSTANT SN DEY SEMESTER-I (চল ও ধ্রুবক)

21. f(x) = log_ex এবং g(x) = e^x হলে
Ⓐ f{f(x)} = x Ⓑ g{g(x)} = g(x)
Ⓒ f{g(x)} = g{f(x)} Ⓓ এদের কোনোটিই নয়
Solution: f(x) = log_ex এবং g(x) = e^x ∴
Ⓐ f{f(x)} = f(log_ex) = log_e(log_ex)
Ⓑ g{g(x)} = g{e^x} = e^ex
Ⓒ f{e^x} = log_ee^x = xlog_ee = x
g{f(x)} = g{log_ex} = e^log_ex = x
∴ f{g(x)} = g{f(x)}
Ans: Ⓒ f{g(x)} = g{f(x)}

22. f(x) = 10x^2 – 13x + 13 হলে, f(x) = 16 সমীকরণটির সমাধান হবে
Ⓐ – ³/₂, ¹/₅ Ⓑ 3, -1
Ⓒ ³/₂, –¹/₅ Ⓓ ³/₂, – 1
Solution: f(x) = 10x² – 13x + 13
∵ f(x) = 16
∴ 10x² – 13x + 13 = 16
⇒ 10x^2 – 13x – 3 = 0
⇒ 10x² – 15x + 2x – 3 = 0
বা, 5x(2x – 3) + 1(2x – 3) = 0
⇒ (2x – 3)(5x + 1) = 0
∴ x = ³/₂  বা, x = –¹/₅
Ans: Ⓒ ³/₂, –¹/₅

23. f(x)= 4[x] – 3|x| হলে f(3.5) + f(-3.5) -এর মান হবে
Ⓐ 25 Ⓑ -26
Ⓒ -25 Ⓓ -28
Solution: f(x)= 4[x] – 3|x|
∴ f(3.5) + f(-3.5)
= 4[3.5] – 3.|3.5| + 4[-3.5] – 3.|-3.5|
= 4×3.5 – 3×3.5 + 4×-4 – 3×3.5
⇒ 14 – 10.5 – 16 -10.5
= 14 – 37 = -25
Ans: Ⓒ -25

সম্বন্ধ ও অপেক্ষক

24. r ব্যাসার্ধবিশিষ্ট কোনো গোলকে x উচ্চতাবিশিষ্ট একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙ অন্তর্লিখিত হল। চোঙটির ঘনফল v =
Ⓐ ^πx/₄ .(4r² + x²) Ⓑ πxr²
Ⓒ ^πx/₄ .(4r² – x²) Ⓓ ^πx/₄ .(r² – 4x²)
Solution: গোলকের ব্যাসার্ধ r, লম্ব বৃত্তাকার চোঙের উচ্চতা x; চোঙটি গোলকে অন্তর্লিখিত
∴ চোঙের তীর্যক উচ্চতা = গোলকের ব্যাস = 2r

Ans: Ⓒ ^πx/₄ .(4r² – x²)

25. 25 সেমি ব্যাসার্ধবিশিষ্ট কোনো বৃত্তে একটি আয়তক্ষেত্র অন্তর্লিখিত হয়। আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল y (বর্গসেমি)-কে তার একটি বাহুর দৈর্ঘ্য x সেমি-র অপেক্ষকরূপে প্রকাশ করলে হয়

Solution: আয়তক্ষেত্রের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য x সেমি,
ধরি অপর বাহুর দৈর্ঘ্য a সেমি
∴ y = xa
বা, a = ^y/_x
25 সেমি ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তে আয়তক্ষেত্রটি অন্তর্লিখিত।
∴ আয়তক্ষেত্রটির কর্ন = বৃত্তের ব্যাস = 2×25 = 50 সেমি।
∴ x² + a² = (50)²
বা, x² + ^y2/_x² = 2500
বা, ^y2/_x² = 2500 – x²
⇒ y² = x²(2500 – x²)
⇒ y = x√(2500 – x²)

হলে F(0) = Ⓐ 0 Ⓑ 2 Ⓒ 1 Ⓓ 3

Relation and Function

28. f(x) = ¹/_{1 – x} হলে f[f(f(x))] =
Ⓐ 1 – x         Ⓑ ¹/_x
Ⓒ x               Ⓓ x²
Solution:

29. y = f(x) = ^{px + q}/_{rx – p} হলে x =
Ⓐ f(y²)      Ⓑ f(2y)
Ⓒ f(y) Ⓓ f(y + 1)
Solution: y = f(x)
= ^{px + q}/_{rx – p}
বা, px + q = y(rx – p)
বা, px – rxy = -py – q
⇒ x(p – ry) = -(py + q)
বা, -x(ry – p) = -(py + q)
বা, x(ry – p) = (py + q)
⇒ x = ^{py + q}/_{ry – p} = f(y)
Ans: Ⓒ f(y)

30. y = f(x) = ^{3x – 5}/_{2x – m} হলে, m -এর মান কত হবে, যাতে f(y) = x হয়?
Ⓐ 1 Ⓑ 0
Ⓒ 2 Ⓓ 3
Solution: y = f(x) = ^{3x – 5}/_{2x – m}
∴ ^{3x – 5}/_{2x – m} = y
বা, 2xy – my = 3x – 5
বা, 2xy – 3x = my – 5
⇒ x(2y – 3) = my – 5
বা, x = ^{my – 5} /_{2y – 3}
m = 3 হলে x = ^{3y – 5}/_{2y – 3} হয় অর্থাৎ f(y) = x 
Ans: Ⓓ 3

বহুবিকল্পভিত্তিক প্রশ্নাবলি (MCQ)

Ⓐ 2x              Ⓑ 1
Ⓒ x²           Ⓓ x
Solution:

33. a > 0, n = ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং f(x) = (a – xⁿ)^1/n হলে f{f(x)} =
Ⓐ xⁿ Ⓑ aⁿ
Ⓒ x² Ⓓ x
Solution: f(x) = (a – xⁿ)^1/n
∴ f{f(x)} = f{(a – xⁿ)^1/n}
= [a – [(a – xⁿ)^1/n]ⁿ]^1/n
= [a – (a – xⁿ)]^1/n
⇒ [a – a + xⁿ)]^1/n
= (xⁿ)^1/n = x
Ans: Ⓓ x

Ⓐ -x Ⓑ 1 – x
Ⓒ x² Ⓓ x

35. ^x/_{sin x} অপেক্ষকটি x-এর কোন্ মানে অসংজ্ঞাত?
Ⓐ nπ + π Ⓑ ^nπ/₂
Ⓒ nπ Ⓓ ^{n(n + 1)π}/₂ (যেখানে n ∈ Z)
Solution: ^x/_{sin x} অপেক্ষকটি অসংজ্ঞাত হবে যদি
sin x = 0 হয়
বা, x = nπ হয়।
Ans: Ⓒ nπ

Relation and Function

36. f(x) = a + b sin x অপেক্ষকের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মান যথাক্রমে 7 ও 1 হলে, f(^π/₆) -এর মান হবে –
Ⓐ 11 Ⓑ ¹¹/₄
Ⓒ ¹¹/₂ Ⓓ ⁵/₂
Solution: আমরা জানি,
-1 ≤ sin x ≤ 1
⇒ -b ≤ b sin x ≤ b
⇒ a – b ≤ f(x) ≤ a + b
বা, a – b ≤ a + b sin x ≤ a + b
∴ a + b = 7 ……. (i) এবং
a – b = 1 ……. (ii)
(i) + (ii) করে পাই,
a + b + a – b = 7 + 1
বা, 2a = 8
বা, a = 4
(i) নং থেকে পাই,
4 + b = 7
বা, b = 3
∴ f(x) = 4 + 3sin x  
f(^π/₆)
= 4 + 3sin ^π/₆
= 4 + 3×¹/₂  = 4 + ³/₂  = 11/₂
Ans: Ⓒ ¹¹/₂

37. f(x) = ax² + bx + c হলে a ও b-এর যে মানের জন্য, f(x + 1) = f(x) + x + 1 একটি অভেদ হয় তা হল –
Ⓐ 1, 1 Ⓑ ¹/₂, ¹/₂
Ⓒ 2, 2 Ⓓ 1, 2
Solution:  f(x) = ax² + bx + c;
f(x + 1) = f(x) + x + 1 একটি অভেদ।
∴ a(x + 1)² + b(x + 1) + c = ax² + bx + c + x + 1
⇒ ax² + 2ax + a + bx + b + c = ax² + bx + c + x + 1
⇒ ax² + (2a + b)x + (a + b + c) = ax² + (b + 1)x + (c + 1)
এটি একটি অভেদ।
∴ 2a + b = b + 1
বা, 2a = 1
বা, a = ¹/₂
এবং a + b + c = c + 1
বা, a + b = 1
বা, ¹/₂ + b = 1
∴ b = ¹/₂
Ans: Ⓑ ¹/₂, ¹/₂

বহুবিকল্পভিত্তিক প্রশ্নাবলি (MCQ)

38. f(x) = 3 – |x – 3| অপেক্ষকের পাল্লা
Ⓐ (-∞, 3) Ⓑ R
Ⓒ (∞, 3] Ⓓ [3, ∞)
Solution:  f(x) = 3 – |x – 3|
|x – 3| সর্বনিম্ন মান 0 এবং সর্বোচ্চ মান ∞
∴ f(x) -এর সর্বোচ্চ মান 3 – 0 = 3
f(x) -এর সর্বনিম্ন মান 3 – ∞ = -∞
∴ অপেক্ষকের পাল্লা (-∞, 3)
Ans: Ⓐ (-∞, 3)

39. যদি f(x) = ^x/_{x + 1}, g(x) = x¹⁰ এবং h(x) = x + 3 হয়, তবে f[g{h(x)}] =
Ⓐ 1 Ⓑ ^{(x + 3)10}/_{(x + 3)¹⁰ + 1}
Ⓒ ^{x + 3}/_{x + 4} Ⓓ (^{x + 3}/_{x + 4})¹⁰
Solution:  f(x) = ^x/_{x + 1}, g(x) = x¹⁰, h(x) = x + 3 
∴ g[h(x)]
= g(x + 3)
= (x + 3)¹⁰
f[g{h(x)}]
=f[(x + 3)¹⁰]
= ^{(x + 3)10}/_{(x + 3)¹⁰ + 1}
Ans: Ⓑ ^{(x + 3)10}/_{(x + 3)¹⁰ + 1}

Ⓐ [-1, ∞) Ⓑ (-∞, 4]
Ⓒ [-1, 4] Ⓓ [0, 4]
Solution:

⇒ (x + 1) ≥ 0 এবং (4 – x) ≥ 0 হয়।
⇒ x ≥ -1 এবং  – x ≥ -4 হয়।
∵ x ≥ -1 এবং  x ≤ 4 হয়।
অর্থাৎ -1 ≤ x ≤ 4 হয়।
Ans: Ⓒ [-1, 4]

আমাদের YOUTUBE CHANNEL “COMPTECH” দেখার জন্য এখানে ক্লিক করো। 

Ⓐ (-3, 2) Ⓑ [-3, 2)
Ⓒ [- 3, 2) – {1} Ⓓ এদের কোনোটিই নয়
Solution: f(x) অপেক্ষকটি সংজ্ঞাত হবে যদি
log_e(2 – x) ≠ 0 হয়।
অর্থাৎ 2 – x > 0  এবং 2 – x ≠ 1 হয়।
⇒ -x > -2 এবং -x ≠ -1;
⇒ x < 2 এবং x ≠ 1;  
x + 3 ≥ 0 হয়।
⇒ x ≥ -3 হয়।
∴ x ≠ 1; x < 2  এবং x ≥ -3 হয়।
অর্থাৎ -3 ≤ x < 1 এবং 1 < x < 2
Ans: Ⓒ [- 3, 2) – {1}

S.N.Dey (MCQ)

42. নীচের কোন্ বিবৃতিটি সত্য নয়?

Solution:  Ⓐ f(x) অপেক্ষকটি সংজ্ঞাত হবে যখন
      x + [x] > 0 হয়।
এখন x < 0 হলে, |x| = -x
∴  x + [x] > 0
বা, x – x = 0 > 0
ইহা অসম্ভব।
আবার x > 0 হলে, |x| = x
∴  x + [x] > 0
বা, x + x  > 0
বা, 2x > 0
∴  x > 0
∴ f(x) -এর ক্ষেত্র (০, ∞) → বিবৃতিটি সত্য।Ⓐ f(x) অপেক্ষকটি সংজ্ঞাত হবে যখন

Ⓑ g(x) অপেক্ষকটি সংজ্ঞাত হবে যখন
      x – |x| > 0 হয়।
বা, x > |x| হয়।
এখন x < 0 হলে, |x| = -x
∴  x > -x
বা, 2x > 0
বা, x > 0
x < 0 হলে, x > 0 হচ্ছে।
ইহা অসম্ভব।
আবার x > 0 হলে, |x| = x
∴ x > x যা অসম্ভব।
∴ g(x) -এর ক্ষেত্র φ → বিবৃতিটি সত্য।

Ⓒ h(x) অপেক্ষকটি সংজ্ঞাত হবে যদি
x + [x] > 0 হয়। 
∴ h(x) -এর ক্ষেত্র (০, ∞) → বিবৃতিটি সত্য ।

Ⓓ φ(x) অপেক্ষকটি সংজ্ঞাত হবে যদি
 x – [x]  ≥ 0 হয়।
আবার x – [x] = {x}
∴ 0 ≤ {x} < 1
∴ φ(x) অপেক্ষকের ক্ষেত্র [0, 1)
φ(x) = sqrt(x – [x]) -এর ক্ষেত্র [০, ∞)→ বিবৃতিটি সত্য নয়।

VARIABLE AND CONSTANT SN DEY SEMESTER-I

43. নীচের কোন্ বিবৃতিটি সত্য?
Ⓐ f(x) = 2 – |x – 2| -এর পাল্লা [0, 2]

Ⓒ h(x) = ^{|x – 3|}/_{x – 3} -এর পাল্লা [-1, 1]
Ⓓ এদের কোনোটিই নয়
Solution:  Ⓐ সব x ∈ Rএর জন্য,
0 ≤ |x – 2| < ∞
বা,  – ∞ < – |x – 2| ≤ 0
বা, 2 – ∞ < 2 – |x – 2| ≤ 2
⇒ -∞ < f(x) ≤ 2
∴ f(x) -এর পাল্লা (-∞, 2] → বিবৃতিটি সত্য নয়।
Ⓑ g(x) অপেক্ষকটি সংজ্ঞাত হবে যখন

0 < sqrt(x + [x]) < ∞
∵ 0 < sqrt(x + [x]) < ∞
∴ 0 < 1/sqrt(x + [x]) < ∞….. [x→0⁺  হলে ¹/_x → ∞ হয় এবং x→∞  হলে ¹/_x → 0 হয় ]
∴ g(x) -এর পাল্লা (0, ∞) → বিবৃতিটি সত্য নয়।
Ⓒ h(x) অপেক্ষকটি সংজ্ঞাত হবে যখন x ≠ 3
(x – 3) < 0 হলে,
h(x) = ^{-(x – 3)}/_{(x – 3)} = -1
(x – 3) > 0 হলে,
h(x) = ^{(x – 3)}/_{(x – 3)} = 1
h(x)অপেক্ষকটির পাল্লা {-1, 1}→ বিবৃতিটি সত্য নয়।
Ans: Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

Ⓐ [¹/₃, 1]                      Ⓑ [- 1, ¹/₂]
Ⓒ (- ∞, -1] ∪ [¹/₃, ∞)     Ⓓ [-¹/₃, 1]
Solution:  -1 ≤ cos x ≤ 1
⇒ -2 ≤ 2cos x ≤ 2
⇒ 2 ≥ -2cos x ≥ -2
বা, -2 ≤ -2cos x ≤ 2
⇒ -1 ≤ 1 – 2cos x ≤ 3
∴ ¹/_{1 – 2cos x} ≤ -1
⇒ f(x) ≤ -1 …… (ii)
1 – 2cos x ≥ ¹/₃
⇒f(x) ≥ ¹/₃…… (ii)
(i) এবং (ii) থেকে পাই,
f(x) -এর পাল্লা (- ∞, -1] ∪ [¹/₃, ∞)
Ans: Ⓒ (- ∞, -1] ∪ [¹/₃, ∞)

45. যদি f(x) = log_x² x³ হয়, তবে f(x) =
Ⓐ ³/₂ Ⓑ 1
Ⓒ 0 Ⓓ 2³²
Solution: f(x) = log_x² x³
= ^logx3/_logx²
= ^3logx/_2logx = ³/₂
Ans: Ⓐ ³/₂

Analytical/Skill Based Type

Fill in the Blanks

1. ওপর-খোলা একটি উল্লম্ব জলাধারের ভূমি x মিটার বাহুবিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র। জলাধারের আয়তন 40 ঘনমিটার হলে তার সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলকে x-এর অপেক্ষকরূপে প্রকাশ করলে হবে _________________
Ⓐ x² + ⁴⁰/_x Ⓑ x² + ¹⁶⁰/_x²
Ⓒ x² + ¹⁶⁰/_x Ⓓ এদের কোনোটিই নয়
Solution: জলাধারের ভূমি x মিটার বাহুবিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র।
ধরি, জলাধারের উচ্চতা h মিটার।
∴ জলাধারের আয়তন = x²h ঘনমিটার
প্রশ্নানুযায়ী,
x²h = 40
বা, h = ⁴⁰/_x²
জলাধারের উপর দিক খোলা।
∴ জলাধারের সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল
= x² + 4x.h
= (x² + 4x.⁴⁰/_x²) বর্গমিটার
= (x² + ¹⁶⁰/_x) বর্গমিটার
Ans: Ⓒ x^2 + 160/x [

2. f(x – 2) = 2x³ + 3x² – 3 হলে f(- 1) = _________________
Ⓐ 1 Ⓑ -2 Ⓒ 2 Ⓓ 0
Solution: (x – 2) = 2x³ + 3x² – 3
x-এর পরিবর্তে 1 বসিয়ে পাই,,
f(1 – 2) = 2.1³ + 3.1² – 3
⇒ f(-1) = 2 + 3 – 3 = 2
Ans: Ⓒ 2

3. f(x) = 2x² – 3x + 5 হলে, ^{f(a + h) – f(a)}/_h -এর মান _________________
Ⓐ 4a + 2h + 3 Ⓑ 4a – 2h – 3
Ⓒ 4a + 3h – 2 Ⓓ 4a + 2h – 3
Solution: f(x) = 2x² – 3x + 5
∴ ^{f(a + h) – f(a)}/_h
= ¹/_h.[2(a + h)² – 3(a + h) + 5 – (2a² – 3a + 5)]
= ¹/_h.[2a² + 4ah + 2h² – 3a – 3h + 5 – 2a² + 3a – 5]
⇒ ¹/_h.[4ah + 2h² – 3h]
= ¹/_h.h(4a + 2h – 3)
= 4a + 2h – 3
Ans: Ⓓ 4a + 2h – 3

VARIABLE AND CONSTANT SN DEY SEMESTER-I (চল ও ধ্রুবক)

Ⓐ cot θ Ⓑ tan θ Ⓒ -tan θ Ⓓ 2tan θ
Solution:

Ⓐ f(x) Ⓑ xf(x) Ⓒ 2f(x) Ⓓ 4f(x)
Solution:

6. ( [- 3] + [- 3.6] – |2.6| + |-3| ) -এর মান _________________
Ⓐ 6.6 Ⓑ -6.6 Ⓒ 6 Ⓓ 4.6
Solution: [- 3] + [- 3.6] – |2.6| + |-3|
= – 3 – 4 – 2.6 +3 = -6.6]
Ans: Ⓑ -6.6

7. f(x) = cos(log(x)) হলে, f(x)f(y) – ¹/₂[f(^x/_y) + f(xy)] এর মান _________________
Ⓐ -1 Ⓑ 2 Ⓒ 1 Ⓓ 0
Solution: f(x) = cos(log(x))
∴ f(x)f(y) – ¹/₂[f(^x/_y) + f(xy)]
= cos log(x).cos log(y) – ¹/₂[cos log(^x/_y) + cos log(xy)
= cos log(x).cos log(y) – ¹/₂[cos(logx – logy) + cos(logx + logy)
⇒ cos log(x).cos log(y) – ¹/₂[cos logx.cos logy + sin logx .sin logy + cos logx. cos logy – sin logx, sinlogy
= cos log(x).cos log(y) – ¹/₂[2×cos logx.cos logy]
= cos log(x).cos log(y) – cos log(x).cos log(y) = 0
Ans: Ⓓ 0

8. f(x) = x² + ax + b এবং f(1) = 1 , f(2) = 2 হলে f(3) -এর মান 1 _________________
Ⓐ 3 Ⓑ 4 Ⓒ 7 Ⓓ 5
Solution: f(x) = x² + ax + b
∴ f(1) = 1
⇒ (1)² + a.1 + b = 1
⇒ 1 + a + b = 1
বা, a + b = 0
⇒ b = -a
f(2) = 2
⇒ (2)² + a.2 + b = 1
⇒ 4 + 2a + b = 1
বা, 2a + b = -3
⇒ 2a – a = -2 ……..  [∵ b = -a]
⇒a = -2 এবং b = 2
∴ f(x) = x² – 2x + 2
∴ f(3) = (3)² – 2.3 + 2 = 9 – 6 + 2 = 5
Ans: Ⓓ 5

VARIABLE AND CONSTANT

9. f(x) = sinx, g(x) = x² এবং h(x) = log(x) হলে, h[g(f(x))] = _________________
Ⓐ log(sin x) Ⓑ 2sin log(x) Ⓒ 2 log(sin x)Ⓓ {log(sin x)}²
Solution:
f(x) = sinx, g(x) = x² এবং h(x) = log(x)
h[g(f(x))]
∴ g(f(x)) = g(sinx) = (sinx)²
h[g(f(x))] = h[(sinx)²] = log(sinx)² = 2log(sinx)]
Ans: Ⓒ 2 log(sin x)

10. log₁₀x-এর সংজ্ঞার ক্ষেত্র = _________________
Ⓐ R Ⓑ (0,1) Ⓒ (0, ∞) Ⓓ R – {0}
Solution: log₁₀x অপেক্ষক সংজ্ঞাত হবে যখন x > 0 
∴ অপেক্ষকটির সংজ্ঞার ক্ষেত্র (0, ∞)
Ans: Ⓒ (0, ∞)

Ⓐ R – {63} Ⓑ (63, ∞) Ⓒ (⁷/₃, 63) ∪ (63, ∞)Ⓓ (3, ∞) – {63}
Solution: [f(x) অপেক্ষক সংজ্ঞাত হবে,
যখন – 3x – 7 ≥ 0
⇒ 3x ≥ 7
⇒ x ≥ ⁷/₃
এবং ⁶√(x + 1) ) – 2 > 0
⇒ ⁶√(x + 1) > 2
⇒ (x + 1) > 2⁶
বা, x + 1> 64
বা, x > 63
∴ অপেক্ষকটির সংজ্ঞার ক্ষেত্র (7/3, 63) ∪ (63, ∞)
Ans: Ⓒ (⁷/₃, 63) ∪ (63, ∞)

Ⓐ (¹/₁₀, ∞) Ⓑ (¹/₁₀₀, ¹/₁₀) ∪ (10, 100)
Ⓒ (10, 100) ∪ (100, ∞)Ⓓ (0, ¹/₁₀₀ ) ∪ (¹/₁₀₀, ¹/₁₀)
Solution: f(x) অপেক্ষক সংজ্ঞাত হবে যখন
– 100x > 0, 100x ≠ 1, 2log₁₀ x + 2 > 0 এবং – x > 0 হবে।
100x > 0 হলে, x > 0 হবে।
আবার 100x ≠ 1 হলে, x ≠ ¹/₁₀₀ হবে।
2log₁₀ x + 2) > 0 হলে,
2log₁₀ x > -2
বা, log₁₀ x > -1
বা, x = 10^-1  = ¹/₁₀ হবে।
এবং – x > 0 হলে, x < 0 হবে।
∴ অপেক্ষকটির সংজ্ঞার ক্ষেত্র (0, ¹/₁₀₀ ) ∪ (¹/₁₀₀, ¹/₁₀)
Ans: Ⓓ (0, ¹/₁₀₀ ) ∪ (¹/₁₀₀, ¹/₁₀)

SN DEY SEMESTER-I (চল ও ধ্রুবক)

13. f(x) একটি দ্বিঘাত অপেক্ষক এবং f(1) = 5 , f(- 1) = 11 ও f(2) = 8 হলে, f(-2) = _________________
Ⓐ 10 Ⓑ 21 Ⓒ 20 Ⓓ 19
Solution: ধরি f(x) = ax² + bx + c  (a ≠0)  
f(1) = 5
⇒ a.(1)² + b.1 + c = 5
⇒ a + b + c = 5 ……….. (i)
f(- 1) = 11
⇒ a.(-1)² + b.(-1) + c = 11
⇒ a – b + c = 11 ……….. (ii)
f(2) = 8
⇒ a.(2)² + b.(2) + c = 8
⇒ 4a + 2b + c = 8 ……….. (iii)
(i) – (ii) করে পাই,
a + b + c – (a – b + c) = 5 -11
⇒ a + b + c – a + b – c = -6
⇒ 2b = -6
∴ b = -3
(iii) – (ii) করে পাই,
4a + 2b + c – (a + b + c) = 8 – 5
⇒ 4a + 2b + c – a – b – c = 3
⇒ 3a + b = 3
বা, 3a – 3 = 3 ….. [∴ b = -3]
বা, a = 2
(i) নং থেকে পাই,
2 – 3 + c = 5
⇒ c = 6
∴  f(x) = 2x² – 3x + 6
∴  f(-2) = 2.(-2)² – 3.(-2) + 6 = 8 + 6 + 6 = 20
Ans: Ⓒ 20

VARIABLE AND CONSTANT SN DEY SEMESTER-I (চল ও ধ্রুবক)

14. p(x) = ^a/_x + b + cx এবং p(1) = 5, p(- 2) = 2, p(- 1) = – 3 হলে, p(-3) = _________________ 
Ⓐ 6 Ⓑ 7 Ⓒ 4 Ⓓ 5

Solution: p(x) = ^a/_x + b + cx
p(1) = 5
⇒ ^a/₁ + b + c.1 = 5
⇒ a + b + c = 5 ……….. (i)
p(-2) = 2
⇒ ^a/_-2 + b + c.(-2) = 2
⇒ a – 2b + 4c = -4 ……….. (ii)
p(-1) = -3
⇒ ^a/_-1 + b + c.(-1) = -3
⇒ -a + b – c = -3 ……….. (iii)
(i) + (iii) করে পাই,
a + b + c – a + b – c = 5 – 3
⇒ 2b = 2
⇒ b = 1
(i) – (ii) করে পাই,
a + b + c – (a – 2b + 4c) = 5 – (-4)
⇒ a + b + c – a + 2b – 4c = 5 + 4
⇒ 3b – 3c = 9
বা, b – c = 3
⇒ 1 – c = 3 ….. [∴ b = 1]
⇒ c = -2
(i) নং থেকে পাই,
a + 1 – 2 = 5
⇒ a = 6
∴ p(x) = ⁶/_x + 1 – 2x
অতএব p(-3) = ⁶/_-3 + 1 – 2.(-3)
= -2 +1 + 6 = 5
Ans: Ⓓ 5

15. যদি f(n + 1) = ^{2f(n) + 1}/₂, n = 1, 2, 3 ,…. এবং f(1) = 2 হয় তবে f(101) = _________________
Ⓐ 102 Ⓑ 52 Ⓒ 51 Ⓓ 50

Solution: f(n + 1) = ^{2f(n) + 1}/₂ এবং f(1) = 2
n = 1 হলে,
f(1 + 1) = ^{2f(1) + 1}/₂
বা,  f(2) = ^{2.2 + 1}/₂ = ⁵/₂
n = 2 হলে,
f(2 + 1) = ^{2f(2) + 1}/₂
বা,  f(3) = ^{2.5/₂ + 1}/₂ = ⁶/₂ = 3
n = 3 হলে,
f(3 + 1) = ^{2f(3) + 1}/₂
বা,  f(4) = ^{2.3 + 1}/₂ = ⁷/₂
∴ শ্রেণিটি হল 2, ⁵/₂, 3, ⁷/₂
এখানে ⁵/₂ – 2 = 3 – ⁵/₂ = ¹/₂
∴ শ্রেণিটি সমান্তর প্রগতিভুক্ত যার প্রথম পদ (a) 2 এবং সাধারণ অন্তর (d) ¹/₂
∴ f(101) = 2 + (101 – 1).¹/₂
= 2 + 50 = 52
Ans: Ⓑ 52

3. Column Matching

1. স্তম্ভ A-তে কিছু অপেক্ষক এবং স্তম্ভ B-তে কিছু সংজ্ঞার ক্ষেত্র (domain) দেওয়া রয়েছে। স্তম্ভ A-এর সঙ্গে স্তম্ভ B মেলাও।

Ⓐ [i]-[d], [ii]-[b], [iii]-[c], [iv]-[a]
Ⓑ [i]-[d], [ii]-[c], [iii]-[b], [iv]-[a]
Ⓒ [i]-[d], [ii]-[b], [iii]-[a], [iv]-[c]
Ⓓ [i]-[a], [ii]-[b], [iii]-[d], [iv]-[c]
Solution:[i] √(x² – 7x + 10) অপেক্ষকটি সংজ্ঞাত হবে যখন
x² – 7x + 10 ≥ 0
বা, x² – 5x – 2x + 10 ≥ 0
বা, x(x – 5) – 2(x – 5) ≥ 0
⇒ (x – 5)(x – 2) ≥ 0
বা, x ≤ 2 এবং  x ≥ 5
∴ অপেক্ষকটির সংজ্ঞার অঞ্চল  (- ∞, 2] ∪ [5, ∞) → [d]
[ii] ^{x – 2}/_{x² – 3x + 2} অপেক্ষকটি সংজ্ঞাত হবে যখন
x² – 3x + 2 ≠ 0
বা, x² – 2x – x + 2 ≠ 0
বা, x(x – 2) – 1(x – 2) ≠ 0
⇒ (x – 2)(x – 1) ≠ 0
বা, x ≠ 2, x ≠ 1
∴ অপেক্ষকটির সংজ্ঞার অঞ্চল R – {1, 2} → [b]
[iii] ¹/_{√(x – 2)(x + 6)} অপেক্ষকটি সংজ্ঞাত হবে যখন (x – 2)(x + 6) > 0
(x – 2)(x + 6) > 0 হবে যদি x < 0 এবং x > 0 হয়।
∴ অপেক্ষকটির সংজ্ঞার অঞ্চল (- ∞, – 6) ∪ (2, ∞) → [a]
[iv] ¹/_{√(x – 2)(3 – x)} অপেক্ষকটি সংজ্ঞাত হবে যখন
(x – 2)(3 – x) > 0
বা, -(x – 2)(x – 3) > 0
বা,  (x – 2)(x – 3) < 0 হবে।
∴ অপেক্ষকটি সংজ্ঞাত হবে যখন x > 2 এবং x < 3 হয়।
∴ অপেক্ষকটির সংজ্ঞার অঞ্চল (2, -3) → [c]]
Ans: Ⓒ [i]-[d], [ii]-[b], [iii]-[a], [iv]-[c]

2. স্তম্ভ A-তে কিছু অপেক্ষক এবং স্তম্ভ B-তে কিছু সংজ্ঞার ক্ষেত্র (domain) দেওয়া রয়েছে। স্তম্ভ A-এর সঙ্গে স্তম্ভ B মেলাও।

Ⓐ [i]-[b], [ii]-[d], [iii]-[c], [iv]-[a]
Ⓑ [i]-[b], [ii]-[d], [iii]-[a], [iv]-[c]
Ⓒ [i]-[b], [ii]-[a], [iii]-[d], [iv]-[c]
Ⓓ [i]-[b], [ii]-[c], [iii]-[a], [iv]-[d]
Solution: [i] cotx = ^cosx/_sinx.
cotx সংজ্ঞাত হবে যদি,
sinx ≠ 0
বা, sinx ≠ sinnπ…… [যেখানে n ∈ z]
বা, x ≠ nπ
∴ অপেক্ষকটির সংজ্ঞার অঞ্চল R – {nπ} → [b]
[ii] ¹/_{sin x – cos x} সংজ্ঞাত হবে যদি,
sin x – cos x ≠ 0
বা, sin x ≠ cos x 
বা, tan x ≠ 1
⇒ tan x ≠ tanπ/4
বা, tan x ≠ tan(nπ + π/4) …… [যেখানে n ∈ z]
বা, x ≠ nπ + π/4
∴ অপেক্ষকটির সংজ্ঞার অঞ্চল R – {^{nπ + π}/₄: n ∈ z} → [d]
[iii] x-এর যেকোনো বাস্তব মানের জন্য
x² ≥ 0
বা, 1 + x² ≥ 1
∴ x-এর সকল বাস্তব মানের জন্য ^x2/_{1 + x²} সংজ্ঞাত হবে।
[iv] sin^-1 2x সংজ্ঞাত হবে যদি
-1 ≤ 2x ≤ 1
বা, -1/2 ≤ x ≤ 1/2
∴ অপেক্ষকটির সংজ্ঞার অঞ্চল  [- ¹/₂, ¹/₂]  → [c]
Ans: Ⓑ [i]-[b], [ii]-[d], [iii]-[a], [iv]-[c]

3. স্তম্ভ A-তে কিছু অপেক্ষক এবং স্তম্ভ B-তে কিছু সংজ্ঞার অঞ্চল দেওয়া রয়েছে। স্তম্ভ A-এর সঙ্গে স্তম্ভ B মেলাও।

Ⓐ [i]-[b], [ii]-[d], [iii]-[c], [iv]-[a]
Ⓑ [i]-[b], [ii]-[d], [iii]-[a], [iv]-[c] 
Ⓒ [i]-[b], [ii]-[a], [iii]-[d], [iv]-[c] 
Ⓓ [i]-[b], [ii]-[c], [iii]-[a], [iv]-[d]
Solution:[i] ^x/_{x + 2} অপেক্ষকটি সংজ্ঞাত হবে যদি
x + 2 ≠ 0
বা, x ≠ – 2 হয়।
∴ অপেক্ষকটির সংজ্ঞার অঞ্চল R – {-2} → [b]
[ii] √(4x – 4x² – 1) অপেক্ষকটি সংজ্ঞাত হবে যদি
4x – 4x² – 1 ≥ 0
বা, -(4x² – 4x + 1) ≥ 0
বা, 4x² – 4x + 1 ≤ 0
⇒ (2x)² – 2.2x.1 + (1)² ≤ 0
বা, (2x – 1)² ≤ 0
কিন্তু x-এর যেকোনো বাস্তব মানের জন্য (2x – 1)² সর্বদা শূন্য বা শূন্যের থেকে বড়ো হবে।
∴ (2x – 1)² = 0
বা, 2x – 1 = 0
বা, x = ¹/₂ ∴ অপেক্ষকটির সংজ্ঞার অঞ্চল R – {¹/₂} → [d]
[iii] ^{x2 + x – 6}/_{2x² – x – 6}  অপেক্ষকটি সংজ্ঞাত হবে যদি
2x² – x – 6 ≠ 0
বা, 2x² – 4x + 3x – 6 ≠ 0
বা, 2x(x – 2) + 3(x – 2) ≠ 0
⇒ (x – 2)(2x + 3) ≠ 0
বা, x = 2, –³/₂
∴ অপেক্ষকটির সংজ্ঞার অঞ্চল R – {-³/₂, 2} → [a]
[iv] √(x² – 4x + 3) অপেক্ষকটি সংজ্ঞাত হবে যদি
x² – 4x + 3 ≥ 0
বা, x² – 3x – x + 3 ≥ 0
বা, x(x – 3) – 1(x – 3) ≥ 0
⇒ (x – 3)(x – 1) ≥ 0
∴ x ≤ 1, x ≥ 3
∴ অপেক্ষকটির সংজ্ঞার অঞ্চল (-∞, 1) ∪ (3, ∞) → [c] উত্তরটি ভুল আছে।
Ans: Ⓑ [i]-[b], [ii]-[d], [iii]-[a], [iv]-[c]

4. স্তম্ভ A-তে কিছু অপেক্ষক এবং স্তম্ভ B-তে কিছু পাল্লা (range) দেওয়া রয়েছে। স্তম্ভ A-এর সঙ্গে স্তম্ভ B মেলাও।

Ⓐ [i]-[b], [ii]-[c], [iii]-[d], [iv]-[a]
Ⓑ [i]-[b], [ii]-[c], [iii]-[a], [iv]-[d]
Ⓒ [i]-[b], [ii]-[d], [iii]-[c], [iv]-[a]
Ⓓ [i]-[c], [ii]-[b], [iii]-[d], [iv]-[a]
Solution:
[i] y = sin x (0 ≤ x ≤ π)
0 ≤ x ≤ π বিস্তারে
0 ≤ sin x ≤ 1 হয়
বা, 0 ≤ y ≤ 1 হয়।
∴ y = sin x অপেক্ষকের পাল্লা [0, 1] → [b]
[ii] y = tan x  (-^π/₂ < x < ^π/₂)
–^π/₂ < x < ^π/₂ বিস্তারে
-∞ ≤ tan x ≤ ∞ হয়
বা, -∞ ≤ y ≤ ∞ হয়।
∴ y = tan x অপেক্ষকের পাল্লা (-∞, ∞) → [c]
[iii] y = ¹/_{2 – cos3x}
∵ -1 ≤ cos3x ≤ 1
⇒ 1 ≥ – cos3x ≥ -1
⇒ 2 + 1 ≥ 2 – cos3x ≥ -1 + 2
বা, 3 ≥ 2 – cos3x ≥ 1
⇒ ¹/₃ ≤ ¹/_{2 – cos3x} ≤ 1
⇒ ¹/₃ ≤ y ≤ 1
∴ অপেক্ষকের পাল্লা [¹/₃, 1] →  [d]
[iv] y = sin x + cos x
বা, y = √2(¹/_√2 sin x + ¹/_√2 cos x)
বা, y = √2(sinx.cos45° + cosx sin45°)
∴ y = √2sin(x + 45°)
∵ -1 ≤ sin(x + 45°) ≤ 1
⇒ √2 ≤ √2sin(x + 45°) ≤ √2
⇒ √2 ≤ y ≤ √2 
∴ y = sin x + cos x অপেক্ষকের পাল্লা [√2, √2] →  [a]]
Ans: Ⓐ [i]-[b], [ii]-[c], [iii]-[d], [iv]-[a]

5. স্তম্ভ A-তে কিছু অপেক্ষক এবং স্তম্ভ B-তে কিছু পাল্লা (range) দেওয়া রয়েছে। স্তম্ভ A-এর সঙ্গে স্তম্ভ B মেলাও।

Ⓐ [i]-[a], [ii]-[d], [iii]-[c], [iv]-[b]
Ⓑ [i]-[a], [ii]-[b], [iii]-[d], [iv]-[c]
Ⓒ [i]-[a], [ii]-[d], [iii]-[b], [iv]-[c]
Ⓓ [1]-[d], [ii]-[a], [iii]-[b], [iv]-[c]
Solution:
[i] y = ^x2/_{1 + x²}
বা, y =  ^{1 + x2 – 1}/_{1 + x²}
বা, y = 1 –  ¹/_{1 + x²}
আমরা জানি,
0 ≤ x² ≤ ∞
⇒ 1 ≤ 1 + x² ≤ ∞
⇒ 1 ≥ ¹/_{1 + x²} > 0
বা, -1 ≤ –¹/_{1 + x²} < 0
⇒ 0 ≤ 1 – ¹/_{1 + x²} < 1
⇒ 0 ≤ y < 1
∴ y-এর পাল্লা [0, 1) → [a]

VARIABLE AND CONSTANT SN DEY SEMESTER-I (চল ও ধ্রুবক)

[ii] x-এর যে-কোনো মানের জন্য x² ≥ 0 হয়।
আবার y = √(9 – x²)
বা, y² = 9 – x²
বা, 9 – y² = x²
∴ 9 – y² ≥ 0 ……… [∴ x² ≥ 0]
বা, (3 + y) (3 – y)  ≥ 0
∴ -3 ≤ y ≤ 3 কিন্তু y ≥ 0
∴ অপেক্ষকটির পাল্লা [0, 3] → [d]
[iii] y = ^x/_{x² – 5x + 9}
বা, y(x² – 5x + 9) = x
বা, x²y – 5xy + 9y = x
⇒ x²y – 5xy – x + 9y = 0
বা, x²y – (5y + 1)x + 9y = 0
∵ x বাস্তব এবং সসীম,
∴ [- (5y + 1)]² – 4.y.9y ≥ 0
বা, (5y + 1)² – 4.y.9y ≥ 0
বা, 25y² + 10y + 1 – 36y² ≥ 0
⇒ -11y² + 10y + 1 ≥ 0
⇒ -(11y² – 10y – 1) ≥ 0
বা, 11y² – 10y – 1 ≤ 0
বা, 11y² – 11y + y – 1 ≤ 0
⇒ 11y(y – 1) + 1(y – 1) ≤ 0
⇒ (y – 1)(11y + 1) ≤ 0
∴ – ¹/₁₁ ≤ y ≤ 1
∴ অপেক্ষকটির পাল্লা [- ¹/₁₁, 1] → [b][iv]
y = ^{3x – 5}/_{x² – 1}
বা, y(x² – 1) = 3x -5
বা, x²y – 3x – y + 5 = 0
⇒ x²y – 3x – (y – 5) = 0
∵ x বাস্তব এবং সসীম,
∴ (-3)² – 4.y.[-(y – 5)] ≥ 0
বা, 9 + 4y² – 20y  ≥ 0
বা, 4y² – 20y + 9 ≥ 0
⇒ 4y² – 18y – 2y + 9 ≥ 0
বা, 2y(2y – 9) – 1(2y – 9) ≥ 0
বা, (2y – 9)(2y – 1) ≥ 0
∴ y ≥ ⁹/₂ এবং y ≤ ¹/₂
∴ অপেক্ষকটির পাল্লা (- ∞, ¹/₂] ∪ [ ⁹/₂ , ∞) → [c]]
Ans: Ⓒ [i]-[a], [ii]-[d], [iii]-[b], [iv]-[c]

6. দুটি বাস্তব অপেক্ষক f(x) ও φ(x) নিম্নরূপে সংজ্ঞাত:
f(x) = √(x – 2) ও φ(x) = x + 3 ;
তাহলে, কোন্ অপেক্ষকের কোনটি ক্ষেত্র তা নির্ণয় করে স্তম্ভ A ও স্তম্ভ B মেলাও।

Ⓐ [i]-[c], [ii]-[a], [iii]-[b], [iv]-[d]
Ⓑ [i]-[c], [ii]-[b], [iii]-[d], [iv]-[a]
Ⓒ [i]-[c], [ii]-[d], [iii]-[a], [iv]-[b]
Ⓓ [i]-[c], [ii]-[a], [iii]-[d], [iv]-[b]
Solution:
f(x) = √(x – 2) ও φ(x) = x + 3
[i] x-এর সকল বাস্তব মানের জন্য φ(x) সংজ্ঞাত হবে। 
∴ φ(x)-এর সংজ্ঞার অঞ্চল R → [c]
[ii] ¹/_f(x) = ¹/_{√(x – 2)}
¹/_f(x) সংজ্ঞাত হবে যদি 
x – 2 > 0 হয় বা, x > 2
∴ ¹/_f(x)-এর সংজ্ঞার অঞ্চল (2, ∞) → [a]
[iii] ¹/_φ(x) = ¹/_{(x + 3)}
¹/_φ(x) সংজ্ঞাত হবে যদি  x + 3 ≠ 0 হয় বা, x ≠ -3
∴ ¹/_φ(x)-এর সংজ্ঞার অঞ্চল (-∞, -3) U (-3, ∞) → [d]
[iv] ^f/_φ(x) = sqrt(x – 2)/x + 3
∴ ^f/_φ(x) সংজ্ঞাত হবে,
যদি x – 2 ≥ 0 এবং x + 3 ≠ 0 হয়
বা, x ≥ 2 এবং x ≠ -3 হয়।
∴ ^f/_φ(x)-এর সংজ্ঞার অঞ্চল [2, ∞) → [b]
Ans: Ⓓ [i]-[c], [ii]-[a], [iii]-[d], [iv]-[b]

4. Rearrangement of Sentences/Events

1. 2f(¹/_x) + f(x) = 3x হলে f(^{x – 1}/_x) নির্ণয় করার জন্য নিম্নোক্ত ধাপগুলি উল্লেখ করা হলো।
[i] x-এর পরিবর্তে (^{x – 1}/_x) বসাতে হবে
[ii] f(x) -এর মান পাওয়া যাবে
[iii] x-এর পরিবর্তে ¹/_x বসিয়ে নতুন একটি সমীকরণ পাওয়া যাবে
[iv] প্রদত্ত সমীকরণ ও প্রাপ্ত সমীকরণ সমাধান করতে হবে
সঠিক ক্রম হবে-
Ⓐ [i] — [ii] – [iii] — [iv]
Ⓑ [i] — [iv] – [iii] — [ii]
Ⓒ [iii] — [iv] – [ii] — [i]
Ⓓ [i] — [iii] – [iv] — [i]
Solution: 2f(¹/_x) + f(x) = 3x ………..(i)
(i) নং সমীকরণে x-এর পরিবর্তে ¹/_x বসিয়ে পাই,
2f(x) + f(¹/_x) = 3.¹/_x ………..(ii) → [iii]
(ii).2 – (i) করে পাই,
2[2f(x) + f(¹/_x)] – [2f(¹/_x) + f(x)] = 2.3.¹/_x – 3x → [iv]
⇒ 4f(x) + 2f(¹/_x) – 2f(¹/_x) – f(x) = 6.¹/_x – 3x
⇒ 3f(x) = 3[²/_x – x]
বা, f(x) = ²/_x – x = ^{2 – x2}/_x → [ii]

5. Relationship between Statements

প্রতিটি প্রশ্নে বিবৃতি A এবং বিবৃতি B দেওয়া আছে। নীচের কোন বিকল্পটি বিবৃতি A এবং বিবৃতি B-এর মধ্যে সঠিক সম্পর্ক নির্দেশ করে?
Ⓐ বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পরবিরোধী
Ⓑ বিবৃতি B হল বিবৃতি A এর কারণ
Ⓒ  বিবৃতি A হল সত্য কিন্তু বিবৃতি B মিথ্যা
Ⓓ বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পর নির্ভরশীল নয়

1. বিবৃতি-A: f(x) = ^{x2 – 3x + 2}/_{x² + x – 6} অপেক্ষকের সংজ্ঞার ক্ষেত্র R – {- 3, 2}
বিবৃতি-B: f(x) = ^{x2 – 3x + 2}/_{x² + x – 6} অপেক্ষকের পাল্লা R।

f(x) = ^{x2 – 3x + 2}/_{x² + x – 6}
x² + 3x – 2x – 6)
= x(x + 3) – 2(x + 3)
= (x + 3)(x – 2)
∴ f(x) অপেক্ষকটি সংজ্ঞাত হবে
যদি x + 3 ≠ 0 এবং x – 2 ≠ 0 হয়
অর্থাৎ x ≠ -3 এবং x ≠ 2 হয়।
∴ অপেক্ষকটির সংজ্ঞার ক্ষেত্র R – {- 3, 2}
ধরি y = f(x) = ^{x2 – 3x + 2}/_{x² + x – 6}
বা, y = ^{(x – 2)(x – 1)}/_{(x + 3)(x – 2)}
বা, y = ^{x – 1}/_{x + 3} ……….. [∵ x ≠ 2]
⇒ xy + 3y = x – 1
বা, xy – x = – 1 – 3y
বা, -x(1 – y) = -(1 + 3y)
⇒ x(1 – y) = (1 + 3y)
বা, x = (1 + 3y)(1 – y)
x অসংজ্ঞাত হবে যদি y = 1 হয়।
∴ y ≠ 1
আবার যেহেতু x ≠ -3 এবং x ≠ 2
সুতরাং y = (x – 1)/(x + 3) থেকে পাই,
x = -3 হলে y অসংজ্ঞাত হবে।
x ≠ 2 হলে
y ≠ ^{(2 – 1)}/_{(2 + 3)} ≠ ¹/₅ 
∴ অপেক্ষকটির পাল্লা R – {¹/₅, 1}
Ans: Ⓒ  বিবৃতি A হল সত্য কিন্তু বিবৃতি B মিথ্যা

2. বিবৃতি-A: f(x) = cos log(x)) হলে f(^x/_y) + f(xy) – 2f(x)f(y) এর মান 0
বিবৃতি-B: f(x) = log cos x হলে f(xy) = f(x) + f(y)
Solution:
বিবৃতি-A: f(x) = cos log(x)
∴ f(^x/_y) + f(xy) – 2f(x)f(y)
= cos log(x/y) + cos log(xy) – 2f(x)f(y
= cos(log x – log y) + cos(log x + log y) – 2f(x)f(y)
⇒ 2cos^{log x + log y + log x – log y}/₂ .cos ^{log x + log y – log x + log y}/₂ – 2f(x)f(y)
⇒ 2cos ^2logx/₂.cos ^2logy/₂ – 2f(x)f(y)
= 2cos log x . cos logy – 2f(x)f(y)
= 2f(x)f(y) – 2f(x)f(y) = 0 →  বিবৃতি A সত্য
বিবৃতি-B: f(x) = log(cos x)
∴ f(xy) = cos log(xy)
= cos(log x + log y)
≠ f(x) + f(y) → বিবৃতি B মিথ্যা।
Ans: Ⓒ  বিবৃতি A হল সতা কিন্তু বিবৃতি B মিথ্যা

6. Assertion-Reasoning

প্রতিটি প্রশ্নে বিবৃতি । (Assertion বা উক্তি) এবং বিবৃতি II (Reason বা উক্তির কারণ) দেওয়া আছে।
প্রতিটি প্রশ্নের বিবৃতি দুটি নীচের কোন বিকল্পটিকে (Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ) সঠিকভাবে ব্যাখ্যা করে?
Ⓐ বিবৃতি। সঠিক, বিবৃতি ।। সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি ।-এর-সঠিক কারণ।
Ⓑ বিবৃতি। সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি ।-এর সঠিক কারণ নয়।
Ⓒ বিবৃতি । সঠিক এবং বিবৃতি II সঠিক নয়।
Ⓓ বিবৃতি । সঠিক নয় এবং বিবৃতি II  সঠিক।

Solution: বিবৃতি II

= 1 + 1 +……+ 998 তম পদ পর্যন্ত = 998 → বিবৃতি। সঠিক।
Ans: Ⓐ বিবৃতি। সঠিক, বিবৃতি ।। সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি ।-এর-সঠিক কারণ।

2. বিবৃতি-I(A): f(x + y) = f(x) + f(y) হলে f(x) একটি অযুগ্ম অপেক্ষক।
বিবৃতি-II(R): যে-কোনো অপেক্ষক হয় যুগ্ম অথবা অযুগ্ম অপেক্ষক হবে।

Solution: f(x + y) = f(x) + f(y) ………(i)
(i) নং -এ x = y = 0 বসিয়ে পাই,,
f(0 + 0) = f(0) + f(0)
বা, f(0) = 2f(0)
বা, f(0) = 0
(i) নং -এ y-এর পরিবর্তে -x বসিয়ে পাই,
f(x – x) = f(x) + f(-x)
বা, f(0) = f(x) + f(-x)
বা, 0 = f(x) + f(-x)
∴ f(x) = -f(-x)
∴ অপেক্ষকটি অযুগ্ম অপেক্ষক। 
কারণ প্রত্যেকটি অপেক্ষক হয় যুগ্ম অথবা অযুগ্ম হবে আবার নাও হতে পারে। 
Ans: Ⓒ বিবৃতি । সঠিক এবং বিবৃতি II সঠিক নয়।

7. Case Based

1. মনে করো, y = f(x) = ^{ax – b}/_{bx – a}
[i] f(x)f(¹/_x) =
Ⓐ a Ⓑ b Ⓒ ¹/₂ Ⓓ 1

[ii] f(y) =
Ⓐ y Ⓑ ax Ⓒ x Ⓓ by

[i] ^f/_g(1) এর মান-
Ⓐ 1 Ⓑ 0 Ⓒ 2 Ⓓ অস্তিত্ব নেই

Ans: Ⓓ অস্তিত্ব নেই

[ii] ^g/_f(1) -এর মান- 
Ⓐ 1 Ⓑ 2 Ⓒ 0 Ⓓ অস্তিত্ব নেই

Ans: Ⓒ 0

[iii] ^f/_g -এর সংজ্ঞার অঞ্চল- 

Ⓐ [1, ∞) Ⓑ (1, ∞) Ⓒ R – {1} Ⓓ (0, ∞) – {1}

^f/_g(x) সংজ্ঞাত হবে যদি
x + 1 ≥ 0 এবং x – 1 > 0 হয়।
⇒ x  ≥ -1 এবং x > 1 হয়।
∴ ^f/_g -এর সংজ্ঞার অঞ্চল (1, ∞)]
Ans: Ⓑ (1, ∞)

[iv] ^g/_f-এর সংজ্ঞার অঞ্চল- 
Ⓐ (1, ∞) Ⓑ R – {1} Ⓒ [1, ∞) Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

^g/_f(x) সংজ্ঞাত হবে যদি
x – 1 ≥ 0 এবং x + 1 > 0 হয়।
⇒ x  ≥ 1 এবং x > -1 হয়।
∴ ^g/_f -এর সংজ্ঞার অঞ্চল [1, ∞)
Ans: Ⓒ [1, ∞)

3. f(x) অপেক্ষক {x: x ∈ R এবং 0 ≤ x ≤ 1} ক্ষেত্রে সংজ্ঞাত।

[i] f(2x – 1) -এর সংজ্ঞার ক্ষেত্র- 
Ⓐ [0, 1] Ⓑ (0, 1] Ⓒ [¹/₂, 1] Ⓓ (¹/₂, 1)
Solution: {x: x ∈ R এবং 0 ≤ x ≤ 1}
∴ 2x – 1 ≥ 0
বা, 2x ≥ 1
বা, x ≥ ¹/₂
এবং 2x – 1 ≤ 1
বা, 2x ≤ 2
বা, x ≤ 1
∴ f(2x – 1) -এর সংজ্ঞার ক্ষেত্র  [¹/₂, 1]]
Ans: Ⓒ [¹/₂, 1]

[ii] f(x²) -এর সংজ্ঞার ক্ষেত্র-
Ⓐ [0, 1] Ⓑ [-1, 1] Ⓒ (-1, 1] Ⓓ (0, 1)
Solution:   {x: x ∈ R এবং 0 ≤ x ≤ 1}
∴ x² ≥ 0
বা, x ≥ 0
এবং x² ≤ 1
বা, x ≤ ±1 
∴ f(x²) -এর সংজ্ঞার ক্ষেত্র [-1, 1]
Ans: Ⓑ [-1, 1]