প্রিয় ছাত্র-ছাত্রী এশিয়ার দক্ষিন-পূর্বে প্রশান্ত মহাসাগরের বুকে অসংখ্য ছোট বড় দ্বীপ ও দ্বীপপুঞ্জ নিয়ে গঠিত হয়েছে ওশেনিয়া মহাদেশ। এটি পৃথিবীর সবচেয়ে ক্ষুদ্রতম মহাদেশ। আজকের পোষ্টে আমরা ওশেনিয়া মহাদেশটি কোন কোন দেশ নিয়ে গঠিত হয়েছে এবং সেই সমস্ত দেশের রাজধানী ও মুদ্রার নাম কি তা তোমাদের জানাব। আমরা এর আগের তিনটি পোষ্টে এশিয়া, ইউরোপ ও আফ্রিকা মহাদেশের বিভিন্ন দেশ ও তাদের রাজধানী এবং মুদ্রার সম্বন্ধে বিস্তারিত আলোচনা করেছিলাম। এই ধরনের বিভিন্ন পোস্ট পেতে আমাদের পেজটি নিয়মিত ফলো করতে থাকো। এছাড়া মাধ্চারকের ইংরাজি, গণিত সহ অন্যান্য বিষয়ের উপর এবং উচ্চমাধ্যমিকের গণিত, ইংরাজি সহ অন্যান্য বিষয়ের উপর প্রশ্নোত্তর পেতে আমাদের পেজটি নিয়মিত follow করতে থাকো।
Complete Solution of Quadratic Equation with one variable দ্বিঘাত সমীকরণ Chapter-1.1
মাধ্যমিক পরীক্ষার্থীদের কাছে খুবই গুরুত্বপূর্ণ উপকরণ হল বিগত বছরের প্রশ্ন। সুতরাং মাধ্যমিক পরীক্ষায় ভালো ফল করার জন্য প্রত্যেক পরীক্ষার্থীর উচিত তাদের পাঠ্যক্রম (Syllabus) শেষ করে বিগত বছরের প্রশ্ন সমাধান করা। তাই তোমাদের মাধ্যমিক পরীক্ষার প্রস্তুতিতে সাহায্য করার জন্য Prostuti2022 এর পক্ষ থেকে বিগত বছরের অর্থাৎ 2017 – 2024 সালের গণিত প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান করে দেওয়া হল। তোমাদের পরীক্ষার প্রস্তুতিতে যদি এটি সাহায্য কর তবে আমাদের এ প্রচেষ্টা সার্থক হবে।
Complete Solution of Quadratic Equation with one variable
Madhyamik Previous Year (2017 – 2026) MATHEMATICS Question with complete solution| বিগত বছরের (2017 – 2026) মাধ্যমিক গণিত প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নীচে CLICK করো|
যদি কোন বহুপদী রাশিমালায় একটি মাত্র চল অর্থাৎ x বা y বা অন্য কোনো এক্লটি মাত্র চল থাকে তবে ওই বহুপদী রাশিমালাকে একচলবিশিষ্ট বহুপদী রাশিমালা বলে। যেমন 2x -3, 4×2 -6x + 3 আবার একচলবিশিষ্ট বহুপদী রাশিমালার চলের সর্বোচ্চ ঘাত 2 হলে ওই বহুপদী রাশিমালাকে একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত বহুপদী রাশিমালা বলে। যেমন 4x2 -6x + 3 ; 3y2 +5y + -1 একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত বহুপদী রাশিমালা দ্বারা কোন সমীকরণ গঠন করা হলো ওই সমীকরণকে একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ বলে।
একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণের সাধারণ আকার হলো: ax2 + bx + c = 0 যেখানে a, b, c যেকোনো বাস্তব সংখ্যা এবং a ≠ 0 হয়। অর্থাৎ যেসব সমীকরণকে ax2 + bx + c = 0 (যেখানে a, b, c যেকোনো বাস্তব সংখ্যা এবং a ≠ 0) আকারে প্রকাশ করা যায় তাদেরকে বাস্তব সহগযুক্ত একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ বলে। 🔅(i) বিশুদ্ধ দ্বিঘাত সমীকরণ ঃ- ax2 + c = 0 (যেখানে a, c বাস্তব সংখ্যা এবং a ≠ 0) 🔅(ii) মিশ্র বা অবিশুদ্ধ দ্বিঘাত সমীকরণ ঃ- ax2 + bx + c = 0 (যেখানে a, b, c বাস্তব সংখ্যা এবং a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0)
একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ এর বৈশিষ্ট্য হলো: (i) একটিমাত্র চল থাকবে। (ii) চলের সর্বোচ্চ ঘাত 2 হতে হবে। (iii) দ্বিঘাত চলযুক্ত পদের সহগ অবশ্যই কোনো অশূন্য বাস্তব সংখ্যা হবে। (iv) চলের সহগগুলো বাস্তব হবে।
অধ্যায়
বিষয়
কষে দেখি
1
একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic Equations with one variable)
সমাধানঃ- (i) x²-7x+2 বহুপদী সংখ্যামালাটির চলরাশি x এর সর্বোচ্চ ঘাত 2 । তাই সংখ্যামালাটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা ।
(ii) 7x⁵-x(x+2) = 7x⁵-x²-2x বহুপদী সংখ্যামালাটির চলরাশি x এর সর্বোচ্চ ঘাত 5 । তাই সংখ্যামালাটি বহুপদী সংখ্যামালা কিন্তু দ্বিঘাত নয়।
(iii) 2x(x+5)+1 =2x²+10x+1 বহুপদী সংখ্যামালাটির চলরাশি x এর সর্বোচ্চ ঘাত 2 । তাই সংখ্যামালাটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা ।
(iv) 2x-1 = 2x1-1 এখানে x এর সর্বোচ্চ ঘাত 1। তাই এটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা নয়।
Quadratic Equation
প্রশ্ন নম্বর – 2
2. নিচের সমীকরণগুলির কোনটি ax²+bx+c = 0 , যেখানে a, b, c বাস্তব সংখ্যা এবং a ≠ 0, আকারে লেখা যায় তা লিখি ।
$$\Large{(i) \quad x -1+\frac{1}{x}= 6, (x≠0)\\(ii) \quad x +\frac{3}{x}=x^2, (x≠0)\\(iii) \quad x^2 -6\sqrt{x}+2=0, \\ (iv) \quad (x-2)^2 = x^2-4x+4 }$$
সমাধানঃ- (i) x – 1 + 1/x = 6 বা, x2 – x + 1 = 6x ব, x2– x + 1 – 6x = 0 বা, x2– 7x + 1 = 0 ∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax2 + bx + c আকারে প্রকাশ করলে হয়- x2– 7x + 1 = 0
(ii) x + 3/x = x2 বা, x2 + 3 = x3 বা, x2– x3 + 3 = 0 ∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax2 + bx + c আকারে প্রকাশ করা যায় না ।
(iii) x2 – 6√x + 2 = 0 বা, x2 – 6x1/2 + 2 = 0 ∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax2 + bx + c আকারে প্রকাশ করা যায় না ।
(iv) (x-2)2 = x2 – 4x + 4 বা, x2 – 4x + 4 = x2 – 4x + 4 উভয় দিকের রাশিমালা একই। ∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax2 + bx + c আকারে প্রকাশ করা যায় না । [✴️এটি একটি অভেদ]
Quadratic Equationঃ
কষে দেখি – 1.1 প্রশ্ন নম্বর – 3
3. x6 – x3 – 2 = 0 সমীকরণটি চলের কোন ঘাতের সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ তা নির্ণয় করি । সমাধানঃ- x6 – x3 – 2 = 0 বা, (x3)2 – x3 – 2 = 0 বা, (a)2 – a – 2 = 0 ———[ধরি, a = x3] ∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax2 + bx + c আকারে প্রকাশ করলে সমীকরণটি a অর্থাৎ x3 এর সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ হবে। ∴ প্রদত্ত সমীকরণটি x চলের ত্রিঘাতের সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ ।
Quadratic Equation
কষে দেখি – 1.1 প্রশ্ন নম্বর – 4-(i), (ii)
4.(i) (a-2)2 + 3x + 5 = 0 সমীকরণটি a এর কোন মানের জন্য দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না তা নির্ণয় করি । সমাধানঃ- সমীকরণটি দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না যদি a – 2 = 0 বা a = 2 হয়। ∴ a = 2 হলে প্রদত্ত সমীকরণটি দ্বিঘাত সমীকরণ হবেনা ।
$$\Large{4.(ii)\quad \frac{x}{4-x}=\frac{1}{3x},(x ≠ 0 , x ≠ 4 )\\}$$
কে ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) দ্বিঘাত সমীকরনের আকারে প্রকাশ করলে x এর সহগ কত হবে তা নির্ণয় করি । সমাধানঃ-
$$\Large{ \quad \frac{x}{4-x}=\frac{1}{3x},(x ≠ 0 , x ≠ 4 )\\= 3x^2= 4 – x\\ = 3x^2+x-4=0}$$ ∴ x এর সহগ হবে 1।
প্রশ্ন নম্বর – 4-(iii), (iv)
4.(iii) 3x2 + 7x + 23 = (x+4)(x+3) + 2 কে ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে প্রকাশ করি ।
6.নিচের বিবৃত গুলি থেকে একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি । (i) একটি আয়তকার ক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 15 মিটার এবং তার দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা 3 মিটার বেশি ।
(ii) এক ব্যক্তি 80 টাকায়ে কয়েক কিগ্রা চিনি ক্রয় করলেন । যদি ওই টাকায় তিনি আরও 4 কিগ্রা চিনি বেশি পেতেন তবে তার কিগ্রা প্রতি চিনির দাম 1 টাকা কম হতো ।
সমাধানঃ- ধরি, প্রতি কিগ্রা চিনির মূল্য x টাকা ∴ 80 টাকায় পাওয়া যায় = 80/x কিগ্রা প্রতি কিগ্রা চিনির দাম 1 টাকা কম হলে, চিনির দাম হতো (x-1) টাকা। ∴ এখন 80 টাকায়ে পাওয়া যায় = 80/(X-1)কিগ্রা
(iii) দুটি ষ্টেশনের মধ্যে দূরত্ব 300 কিমি । একটি ট্রেন প্রথম ষ্টেশন থেকে সমবেগে দ্বিতীয় ষ্টেশনে গেল । ট্রেনটির গতিবেগ ঘণ্টায় 5 কিমি বেশি হলে ট্রেনটির দ্বিতীয় ষ্টেশনে যেতে 2 ঘণ্টা সময় কম লাগত।
সমাধানঃ- ধরি, ট্রেনটির গতিবেগ x কিমি/ঘন্টা ∴ 300 কিমি যেতে সময় লাগবে 300/x ঘণ্টা [ সময় = দূরত্ব/গতিবেগ ] ট্রেনটির গতিবেগ (x+5) কিমি প্রতি ঘন্টা হলে, 300 কিমি যেতে সময় লাগবে 300/(x+5) ঘন্টা।. শর্তানুসারে,
(iv) একজন ঘড়ি বিক্রেতা একটি ঘড়ি ক্রয় করে 336 টাকায় বিক্রি করলেন । তিনি যত টাকায় ঘড়িটি ক্রয় করেছিলেন শতকরা তত টাকা তার লাভ হল ।
সমাধানঃ- ধরি, ঘড়ি বিক্রেতা x টাকায় ঘড়িটির ক্রয় করেছিলেন । ঘড়িটির বিক্রয়মূল্য 336 টাকা ∴ লাভ = (336 – x) টাকা। শতকরা লাভ = x % ∴ লাভ = x . x/100 টাকা শর্তানুসারে,
(vi) আমাদের বাড়ির বাগান পরিষ্কার করতে মহিম অপেক্ষা মজিদের 3 ঘণ্টা বেশি সময় লাগে । তারা উভয়ে একসঙ্গে কাজটি 2 ঘণ্টায়ে শেষ করতে পারে ।
সমাধানঃ- ধরি, মহিমের বাগান পরিষ্কার করতে সময় লাগে x ঘন্টা। মজিদের সময় লাগে (x+3) ঘন্টা এবং মোট কাজের পরিমাণ 1 অংশ। মহিম x ঘন্টায় কাজ করে 1 অংশ ∴ মহিম 1 ঘন্টায় কাজ করে 1/x অংশ মহিম 2 ঘন্টায় কাজ করে 2/x অংশ। ∴মজিদ 2 ঘন্টায় কাজ করে 2/(x+3) অংশ তারা উভয়ে একসঙ্গে 2 ঘন্টায় কাজ করে {2/x + 2/(x+3)} অংশ। শর্তানুসারে,
(viii) 45 মিটার দীর্ঘ ও 40 মিটার প্রশস্ত একটি আয়তক্ষেত্রাকার খেলার মাঠের মাঠের বাইরের চারিপাশে সমান চওড়া একটি রাস্তা আছে এবং ওই রাস্তার ক্ষেত্রফল 450 বর্গ মিটার।
সমাধানঃ- আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = 45 মিটারএবং প্রস্থ = 40 মিটার ∴ আয়তক্ষেত্রাকার মাঠের ক্ষেত্রফল = 45 x40 বর্গ মিটার = 1800 বর্গ মিটার ধরি, রাস্তাটি x মিটার চওড়া ∴ রাস্তাসহ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = (45+2x) মিটারএবং আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = (40+2x) মিটার রাস্তাসহ আয়তক্ষেত্রাকার মাঠের ক্ষেত্রফল = (45+2x) x (40+2x) বর্গ মিটার শর্তানুসারে, (45+2x) x (40+2x) – (45.40) = 450 বা, 1800 + 90x + 80x + 4x2 – 1800 = 450 , 4x2 + 170X – 450 = 0 বা, 2( 2x2 + 85X – 225 ) = 0 বা, 2x2 + 85X – 225 = 0 ∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ হল 2x2 + 85x – 225 = 0 ।
Madhyamik Question
▶️ কোন শর্তে ax2 + bx + c = 0 দ্বিঘাত সমীকরণটির একটি বীজ শূন্য হবে? (a) a = 0 (b) b = 0(c) c = 0(d) এদের কোনটিই নয়। (বহুবিকল্পভিত্তিক প্রশ্ন) M.P-2017 Ans: (c) c = 0 [দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ শূন্য হয় যদি ধ্রুবক পদের সহগ শূন্য হয়]
▶️ (a – 2)x2 + 3x + 5 = 0 সমীকরণটিতে a-এর মান _______ এর জন্য দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না।(শূন্যস্থান পূরণ) M.P-2018 Ans: 2 [x2 এর সহগ শূন্য হলে সমীকরণটি দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না। ∴ a – 2 = 0 ⇒ a = 2]
▶️ P এর মান কত হলে (P-3) x2+ 5x + 10 = 0 সমীকরণটি দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না। P = _______________ (শূন্যস্থান পূরণ) M.P-2024 Ans:Ans: 3 [সমীকরণটি দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না যদি – P – 3 = 0 হয় বা, P = 3 হয়]
