PROSTUTI

Author: TEAM PROSTUTI

  • Complete Solution of Quadratic Equation with one variable Chapter-1.1

    Complete Solution of Quadratic Equation with one variable Chapter-1.1

    Complete Solution of Quadratic Equation with one variable
    দ্বিঘাত সমীকরণ
    Chapter-1.1

    মাধ্যমিক পরীক্ষার্থীদের কাছে খুবই গুরুত্বপূর্ণ উপকরণ হল বিগত বছরের প্রশ্ন। সুতরাং মাধ্যমিক পরীক্ষায় ভালো ফল করার জন্য প্রত্যেক  পরীক্ষার্থীর উচিত তাদের পাঠ্যক্রম (Syllabus) শেষ করে বিগত বছরের প্রশ্ন সমাধান করা। তাই তোমাদের মাধ্যমিক পরীক্ষার প্রস্তুতিতে সাহায্য করার জন্য Prostuti2022 এর পক্ষ থেকে বিগত বছরের অর্থাৎ 2017 – 2024 সালের গণিত প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান করে দেওয়া হল। তোমাদের পরীক্ষার প্রস্তুতিতে যদি এটি সাহায্য কর তবে আমাদের এ প্রচেষ্টা সার্থক হবে।

    Complete Solution of Quadratic Equation with one variable

    Madhyamik Previous Year (2017 – 2026) MATHEMATICS Question with complete solution|
    বিগত বছরের (2017 – 2026) মাধ্যমিক গণিত প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নীচে CLICK করো|

    2026 সালের মাধ্যমিক গণিত প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধানCLICK HERE
    2025 সালের মাধ্যমিক গণিত প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধানCLICK HERE
    2024 সালের মাধ্যমিক গণিত প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধানCLICK HERE
    2023 সালের মাধ্যমিক গণিত প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধানCLICK HERE
    2022 সালের মাধ্যমিক গণিত প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধানCLICK HERE
    2021 সালে মাধ্যমিক পরীক্ষা হয়নি।CLICK HERE
    2020 সালের মাধ্যমিক গণিত প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধানCLICK HERE
    2019 সালের মাধ্যমিক গণিত প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধানCLICK HERE
    2018 সালের মাধ্যমিক গণিত প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধানCLICK HERE
    2017 সালের মাধ্যমিক গণিত প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধানCLICK HERE
    বিগত বছরের মাধ্যমিক ভৌত বিজ্ঞান প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধানCLICK HERE
    বিগত বছরের মাধ্যমিক English প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধানCLICK HERE

    দ্বিঘাত সমীকরণ

    যদি কোন বহুপদী রাশিমালায় একটি মাত্র চল অর্থাৎ x বা y বা অন্য কোনো এক্লটি মাত্র চল থাকে তবে ওই বহুপদী রাশিমালাকে একচলবিশিষ্ট বহুপদী রাশিমালা বলে।
    যেমন 2x -3, 4×2 -6x + 3
    আবার একচলবিশিষ্ট বহুপদী রাশিমালার চলের সর্বোচ্চ ঘাত 2 হলে ওই বহুপদী রাশিমালাকে একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত বহুপদী রাশিমালা বলে।
    যেমন 4x2 -6x + 3 ;
    3y2 +5y + -1
    একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত বহুপদী রাশিমালা দ্বারা কোন সমীকরণ গঠন করা হলো ওই সমীকরণকে একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ বলে। 

    একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণের সাধারণ আকার হলো:
    ax2 + bx + c = 0 যেখানে a, b, c যেকোনো বাস্তব সংখ্যা এবং a ≠ 0 হয়।
    অর্থাৎ যেসব সমীকরণকে ax2 + bx + c = 0 (যেখানে a, b, c যেকোনো বাস্তব সংখ্যা এবং a ≠ 0) আকারে প্রকাশ করা যায় তাদেরকে বাস্তব সহগযুক্ত একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ বলে। 
    🔅(i) বিশুদ্ধ দ্বিঘাত সমীকরণ ঃ-
    ax2 + c = 0   (যেখানে a, c বাস্তব সংখ্যা এবং  a ≠ 0)
    🔅(ii) মিশ্র বা অবিশুদ্ধ দ্বিঘাত সমীকরণ ঃ-
    ax2 + bx + c = 0   (যেখানে a, b, c বাস্তব সংখ্যা এবং  a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0)

    একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ এর বৈশিষ্ট্য হলো:  
    (i) একটিমাত্র চল থাকবে।
    (ii) চলের সর্বোচ্চ ঘাত 2 হতে হবে।
    (iii) দ্বিঘাত চলযুক্ত পদের সহগ অবশ্যই কোনো অশূন্য বাস্তব সংখ্যা হবে।
    (iv) চলের সহগগুলো বাস্তব হবে।

    অধ্যায়বিষয়কষে দেখি
    1একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ
    (Quadratic Equations
    with one variable)
    		কষে দেখি – 1.1
    কষে দেখি – 1.2
    কষে দেখি – 1.3
    কষে দেখি – 1.4
    কষে দেখি – 1.5
    2সরল সুদকষা (Simple Interest)কষে দেখি – 2
    3বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য
    (Theorems related to circle)    		কষে দেখি – 3.1
    কষে দেখি – 3.2
    4আয়তঘন
    (Rectangular Parallelopiped or Cuboid)    		কষে দেখি – 4
    5অনুপাত ও সমানুপাত
    (Ratio and Proportion)    		কষে দেখি – 5.1
    কষে দেখি – 5.2
    কষে দেখি – 5.3
    6চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সমহার বৃদ্ধি বা হ্রাস
    (Compound Interest and
    Uniform Rate of Increase or Decrease)    		কষে দেখি – 6.1
    কষে দেখি – 6.2
    7বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য
    (Theorems related to
    Angles in a Circle)    		কষে দেখি – 7.1
    কষে দেখি – 7.2
    কষে দেখি – 7.3
    8লম্ব বৃত্তাকার চোঙ (Right Circular Cylinder)কষে দেখি – 8
    9দ্বিঘাত করণী
    (Quadratic Surd)    		কষে দেখি – 9.1
    কষে দেখি – 9.2
    কষে দেখি – 9.3
    10বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য
    (Theorems related to Cyclic Quadrilateral)    		কষে দেখি – 10
    11সম্পাদ্য : ত্রিভুজের পরিবৃত্ত ও অন্তবৃত্ত অঙ্কন
    (Construction : Construction of circumcircle
    and incircle of a triangle)    		কষে দেখি – 11.1
    কষে দেখি – 11.2
    12গোলক (Sphere)কষে দেখি – 12
    13ভেদ (Variation)কষে দেখি – 13
    14অংশীদারি কারবার (Partnership Business)কষে দেখি – 14
    15বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য
    (Theorems related to Tangent to a Circle)    		কষে দেখি – 15.1
    কষে দেখি – 15.2
    16লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু (Right Circular Cone)কষে দেখি – 16
    17সম্পাদ্য : বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন
    (Construction: Construction of Tangent to a circle)    		কষে দেখি – 17
    18সদৃশতা (Similarity)কষে দেখি – 18.1
    কষে দেখি – 18.2
    কষে দেখি – 18.3
    কষে দেখি – 18.4
    19বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা
    (Real life Problems related to different Solid Objects)    		কষে দেখি – 19
    20ত্রিকোণমিতি:
    কোণ পরিমাপের ধারণা    		কষে দেখি – 20
    21সম্পাদ্য : মধ্যসমানুপাতী নির্ণয়
    (Construction : Determination of Mean Proportional )    		কষে দেখি – 21
    22পিথাগোরাসের উপপাদ্য
    (Pythagoras Theorem)    		কষে দেখি – 22
    23ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি
    (Trigonometric Ratios and
    Trigonometric Identities)    		কষে দেখি – 23.1
    কষে দেখি – 23.2
    কষে দেখি – 23.3
    24পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত
    (Trigonometric Ratios of Complementrary angle )    		কষে দেখি – 24
    25ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ : উচ্চতা ও দূরত্ব
    (Application of Trigonometric Ratios: Heights & Distances)    		কষে দেখি – 25
    26রাশিবিজ্ঞান : গড়, মধ্যমা,
    ওজাইভ, সংখ্যাগুরুমান
    (Statistics : Mean, Median,
    Ogive, Mode)    		কষে দেখি – 26.1
    কষে দেখি – 26.2
    কষে দেখি – 26.3
    কষে দেখি – 26.4

    Quadratic Equation

    কষে দেখি – 1.1
    প্রশ্ন নম্বর – 1

    1. নিচের বহুপদী সংখ্যামালার মধ্যে কোনটি / কোনগুলি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা বুঝে লিখি ।
      • (i) x²-7x+2
      • (ii) 7x⁵-x(x+2)
      • 2x(x+5)+1
      • (iv) 2x-1

    সমাধানঃ-
    (i) x²-7x+2 বহুপদী সংখ্যামালাটির চলরাশি x এর সর্বোচ্চ ঘাত 2 ।
    তাই সংখ্যামালাটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা ।

    (ii) 7x⁵-x(x+2)
    = 7x⁵-x²-2x
    বহুপদী সংখ্যামালাটির চলরাশি x এর সর্বোচ্চ ঘাত 5 ।
    তাই সংখ্যামালাটি বহুপদী সংখ্যামালা কিন্তু দ্বিঘাত নয়।

    (iii) 2x(x+5)+1
    =2x²+10x+1
    বহুপদী সংখ্যামালাটির চলরাশি x এর সর্বোচ্চ ঘাত 2 ।
    তাই সংখ্যামালাটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা ।

    (iv) 2x-1
    = 2x1-1
    এখানে x এর সর্বোচ্চ ঘাত 1।
    তাই এটি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা নয়।

    Quadratic Equation

    প্রশ্ন নম্বর – 2

    2. নিচের সমীকরণগুলির কোনটি ax²+bx+c = 0 , যেখানে a, b, c বাস্তব সংখ্যা এবং a ≠ 0, আকারে লেখা যায় তা লিখি ।

    $$\Large{(i) \quad x -1+\frac{1}{x}= 6, (x≠0)\\(ii) \quad x +\frac{3}{x}=x^2, (x≠0)\\(iii) \quad x^2 -6\sqrt{x}+2=0, \\ (iv) \quad (x-2)^2 = x^2-4x+4 }$$

    সমাধানঃ-
    (i) x – 1 + 1/x = 6
    বা, x2 – x + 1 = 6x
    ব, x2– x + 1 – 6x = 0
    বা, x2– 7x + 1 = 0
    ∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax2 + bx + c আকারে প্রকাশ করলে হয়-
    x2– 7x + 1 = 0

    (ii) x + 3/x = x2 
    বা, x2 + 3 = x3
    বা, x2– x3 + 3 = 0
    ∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax2 + bx + c আকারে প্রকাশ করা যায় না ।

    (iii) x2 – 6√x + 2 = 0
    বা, x2 – 6x1/2 + 2 = 0
    ∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax2 + bx + c আকারে প্রকাশ করা যায় না ।

    (iv) (x-2)2 = x2 – 4x + 4
    বা, x2 – 4x + 4 = x2 – 4x + 4
    উভয় দিকের রাশিমালা একই।
    ∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax2 + bx + c আকারে প্রকাশ করা যায় না ।
    [✴️এটি একটি অভেদ]

    Quadratic Equationঃ

    কষে দেখি – 1.1
    প্রশ্ন নম্বর – 3

    3. x6 – x3 – 2 = 0 সমীকরণটি চলের কোন ঘাতের সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ তা নির্ণয় করি ।
    সমাধানঃ-
    x6 – x3 – 2 = 0
    বা, (x3)2 – x3 – 2 = 0
    বা, (a)2 – a – 2 = 0 ———[ধরি, a = x3]
    ∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax2 + bx + c আকারে প্রকাশ করলে সমীকরণটি a অর্থাৎ x3 এর সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ হবে।
    ∴ প্রদত্ত সমীকরণটি x চলের ত্রিঘাতের সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ ।

    Quadratic Equation

    কষে দেখি – 1.1
    প্রশ্ন নম্বর – 4-(i), (ii)

    4.(i) (a-2)2 + 3x + 5 = 0 সমীকরণটি a এর কোন মানের জন্য দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না তা নির্ণয় করি ।
    সমাধানঃ-
    সমীকরণটি দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না যদি
    a – 2 = 0
    বা a = 2 হয়।
    ∴ a = 2 হলে প্রদত্ত সমীকরণটি দ্বিঘাত সমীকরণ হবেনা ।

    $$\Large{4.(ii)\quad \frac{x}{4-x}=\frac{1}{3x},(x ≠ 0 , x ≠ 4 )\\}$$

    কে ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) দ্বিঘাত সমীকরনের আকারে প্রকাশ করলে x এর সহগ কত হবে তা নির্ণয় করি ।
    সমাধানঃ-

    $$\Large{ \quad \frac{x}{4-x}=\frac{1}{3x},(x ≠ 0 , x ≠ 4 )\\= 3x^2= 4 – x\\ = 3x^2+x-4=0}$$ ∴ x এর সহগ হবে 1।

    প্রশ্ন নম্বর – 4-(iii), (iv)

    4.(iii) 3x2 + 7x + 23 = (x+4)(x+3) + 2 কে ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে প্রকাশ করি ।

    সমাধানঃ-
    3x2 + 7x + 23 = (x+4)(x+3) + 2
    বা, 3x2 + 7x + 23 = x2 + 4x + 3x + 12 + 2
    বা, 3x2 + 7x + 23 = x2 + 7x + 14
    , 3x2 – x2 + 7x -7x + 23 – 14 = 0
    বা, 2x2 + 9 = 0
    বা, 2x2 + 0x + 9 = 0
    ∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax2 + bx + c আকারে প্রকাশ করা হল যেখানে a ≠ 0 ।

    4.(iv) (x+2)3 = x (x2 – 1 ) কে ax2 + bx + c = 0 , ( a ≠ 0 ) দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে প্রকাশ করি এবং x2 , x ও x0 এর সহগ লিখি ।

    সমাধানঃ-
    (x+2)3 = x (x2 – 1 )
    বা, (x)3 + 3 (x)2 (2) + 3 (x) (2)2 + (2)3 = x3 – x
    বা, x3 + 6x2 + 12x + 8 = x3 – x
    ব, 6x2 + 12x + 8 + x = 0
    বা, 6x2 + 13x + 8x0 = 0
    ∴ প্রদত্ত সমীকরণটিকে ax2 + bx + c আকারে প্রকাশ করা হল যেখানে a ≠ 0
    x2 এর সহগ 6 ,
    x এর সহগ 13 এবং
    x0 এর সহগ 8 ।

    প্রশ্ন নম্বর – 5

    5. নিচের বিবৃতিগুলি থেকে একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি ।
    (i) 42 কে এমন দুটি অংশে ভাগ করো যাতে একটি অংশ অপর অংশের বর্গের সমান হয় ।

    সমাধানঃ-
    ধরি, একটি অংশ = x
    ∴ অপর অংশটি = (42-x) ,
    শর্তানুসারে,
    x2 = 42 – x
    বা,  x2 + x – 42 = 0
    ∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ হল x2 + x – 42 = 0 ।

    (ii) দুটি ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যার গুনফল 143।

    সমাধানঃ-
    ধরি, একটি সংখ্যা = 2x – 1
    ∴ অপর সংখ্যাটি হবে = (2x + 1) , [ দুটি ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যার পার্থক্য 2 ]
    শর্তানুসারে, 
    (2x – 1)(2x + 1) = 143
    বা, 4x2 – 1 – 143 = 0
    বা, 4x2 – 144 = 0
    ∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ হল 4x2 – 144 = 0 ।

    (iii) দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 143 ।

    সমাধানঃ-
    ধরি, একটি সংখ্যা = x
    ∴ অপর সংখ্যাটি হবে = (x + 1) , [ দুটি ক্রমিক সংখ্যার পার্থক্য 1 ]
    শর্তানুসারে,
    x2 + (x+1)2 = 313
    বা, x2 + x2 + 2x + 1 = 313
    বা, 2x2 + 2x + 1 – 313 = 0
    ব, 2x2 + 2x – 312 = 0
    বা, 2(x2 + x – 156 ) = 0
    বা, x2 + x – 156 = 0
    ∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ হল: x2 + x – 156 = 0 ।

    Fb_Prostuti
    আমাদের লেটেস্ট পোস্টের আপডেট পেতে আমাদের ফেসবুক পেজে জয়েন করতে পারো ।

    Quadratic Equation

    কষে দেখি – 1.1
    প্রশ্ন নম্বর – 6-(i), (ii)

    6.নিচের বিবৃত গুলি থেকে একচল বিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি ।
    (i) একটি আয়তকার ক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 15 মিটার এবং তার দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা 3 মিটার বেশি ।

    সমাধানঃ-
    ধরি, আয়তকার ক্ষেত্রের প্রস্থ x মিটার
    ∴ আয়তকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য (x+3) মিটার।
    আয়তকার ক্ষেত্রের,
    (দৈর্ঘ্য)2 + (প্রস্থ)2 = (কর্ণ)2
    ∴ (x + 3)2 + (x)2 = (15)2
    বা, x2 + 6x + 9 + x2 = 225
    বা, 2x2 + 6x + 9 – 225 = 0
    ব, 2x2 + 6x – 216 = 0
    বা, 2( x2 + 3x – 108 ) = 0
    বা, x2 + 3x – 108 = 0
    ∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ হল x2 + 3x – 108 = 0

    (ii) এক ব্যক্তি 80 টাকায়ে কয়েক কিগ্রা চিনি ক্রয় করলেন । যদি ওই টাকায় তিনি আরও 4 কিগ্রা চিনি বেশি পেতেন তবে তার কিগ্রা প্রতি চিনির দাম 1 টাকা কম হতো ।

    সমাধানঃ-
    ধরি, প্রতি কিগ্রা চিনির মূল্য x টাকা
    ∴ 80 টাকায় পাওয়া যায় = 80/x কিগ্রা
    প্রতি কিগ্রা চিনির দাম 1 টাকা কম হলে, চিনির দাম হতো (x-1) টাকা।
    ∴ এখন 80 টাকায়ে পাওয়া যায় = 80/(X-1)কিগ্রা

    শর্তানুসারে,\(\Large{\quad\frac{80}{x-1}-\frac{80}{x}=4\\⇒\frac{80x-80(x-1)}{x(x-1)}=4\\⇒\frac{80x-80x+80}{x^2 -x}=4\\⇒\frac{80}{x^2 -x}=4\\⇒\frac{20}{x^2 -x}=1\\⇒ x^2 -x=20\\⇒ x^2 -x-20=0}\)

    ∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ হল x2 – x – 20 = 0 ।

    দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নিচের BUTTON-এ ক্লিক করো।

    CLICK

    প্রশ্ন নম্বর – 6-(iii), (iv)

    (iii) দুটি ষ্টেশনের মধ্যে দূরত্ব 300 কিমি । একটি ট্রেন প্রথম ষ্টেশন থেকে সমবেগে দ্বিতীয় ষ্টেশনে গেল । ট্রেনটির গতিবেগ ঘণ্টায় 5 কিমি বেশি হলে ট্রেনটির দ্বিতীয় ষ্টেশনে যেতে 2 ঘণ্টা সময় কম লাগত।

    সমাধানঃ-
    ধরি, ট্রেনটির গতিবেগ x কিমি/ঘন্টা
    ∴ 300 কিমি যেতে সময় লাগবে 300/x ঘণ্টা
      [ সময় = দূরত্ব/গতিবেগ ]
    ট্রেনটির গতিবেগ (x+5) কিমি প্রতি ঘন্টা হলে,
    300 কিমি যেতে সময় লাগবে 300/(x+5) ঘন্টা।.
    শর্তানুসারে,

    \(\Large{\frac{300}{x}-\frac{300}{x+5}=2\\⇒\frac{300(x+5)-300×x}{x(x+5)}=2\\⇒\frac{300x+1500-300x}{x^2+5x}=2\\⇒\frac{1500}{x^2+5x}=2\\⇒\frac{750}{x2+5x}=1\\⇒x^2+5x=750\\⇒x^2+5x-750=0}\)

    ∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ হল: x2 + 5x – 750 = 0 ।

    (iv) একজন ঘড়ি বিক্রেতা একটি ঘড়ি ক্রয় করে 336 টাকায় বিক্রি করলেন । তিনি যত টাকায় ঘড়িটি ক্রয় করেছিলেন শতকরা তত টাকা তার লাভ হল ।

    সমাধানঃ-
    ধরি, ঘড়ি বিক্রেতা x টাকায় ঘড়িটির ক্রয় করেছিলেন ।
    ঘড়িটির বিক্রয়মূল্য 336 টাকা
    ∴ লাভ = (336 – x) টাকা।
    শতকরা লাভ = x %
    ∴  লাভ =  x . x/100 টাকা
    শর্তানুসারে,

    \(\Large{x.\frac {x}{100}=(336-x)\\⇒ \frac {x^2}{100}=(336-x)\\⇒x^2=100\times (336-x)\\⇒x^2=33600-100x\\⇒x^2+100x-33600=0}\)

    ∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ হল: x2 +100x-33600=0।

    Quadratic Equationঃকষে দেখি – 1.1
    প্রশ্ন নম্বর – 6-(v), (vi)

    (v) স্রোতের বেগ ঘন্টায় 2 কিমি. হলে, রতনমাঝির স্রোতের অনুকূলে 21 কিমি. গিয়ে ঐ দূরত্ত্ব ফিরে আসতে 10 ঘন্টা সময় লাগে ।

    সমাধানঃ-
    ধরি, নৌকার বেগ x কিমি/ঘন্টা।
    স্রোতের বেগ ঘন্টায় 2 কিমি।
    ∴ স্রোতের অনুকূলে নৌকার বেগ = (x+2) কিমি/ঘন্টা এবং
    স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ = (x-2) কিমি/ঘন্টা ।
    ∴ স্রোতের অনুকূলে 21 কিমি. যেতে সময় লাগে = 21/(x+2) ঘন্টা এবং
    স্রোতের প্রতিকূলে 21 কিমি. ফিরে আসতে সময় লাগে = 21/(x-2) ঘন্টা ।
    [ সময় = দূরত্ব / গতিবেগ ।]
    শর্তানুসারে,

    \(\Large{\frac{21}{x+2}+\frac{21}{x-2}=10\\⇒\frac{21(x-2)+21(x+2}{(x+2)(x-2)}=10\\⇒\frac{21x-42+21x+42}{x^2 -4}=10\\⇒\frac{42x}{x^2 -4}=10\\⇒\frac{21x}{x^2 -4}=5\\⇒5x^2 -20=21x\\⇒5x^2 -21x-20=0}\)

    ∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হল: 5x2 – 21x – 20=0।

    (vi) আমাদের বাড়ির বাগান পরিষ্কার করতে মহিম অপেক্ষা মজিদের 3 ঘণ্টা বেশি সময় লাগে । তারা উভয়ে একসঙ্গে কাজটি 2 ঘণ্টায়ে শেষ করতে পারে ।

    সমাধানঃ-
    ধরি, মহিমের বাগান পরিষ্কার করতে সময় লাগে x ঘন্টা।
    মজিদের সময় লাগে (x+3) ঘন্টা
    এবং মোট কাজের পরিমাণ 1 অংশ।
    মহিম x ঘন্টায় কাজ করে 1 অংশ
    ∴ মহিম 1 ঘন্টায় কাজ করে 1/x অংশ
    মহিম 2 ঘন্টায় কাজ করে 2/x অংশ।
    ∴মজিদ 2 ঘন্টায় কাজ করে 2/(x+3) অংশ
    তারা উভয়ে একসঙ্গে 2 ঘন্টায় কাজ করে {2/x + 2/(x+3)} অংশ।
    শর্তানুসারে,

    \(\Large{\frac{2}{x}+\frac{2}{x+3}=1\\⇒\frac{2(x+3)+2x}{x(x+3)}=1\\⇒\frac{2x+6+2x}{x^2+3x}=1\\⇒x^2+3x=4x+6\\⇒x^2+3x-4x-6=0\\⇒x^2-x-6=0}\)

    ∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ হল : x2 – x – 6 = 0 ।

    Quadratic Equation

    প্রশ্ন নম্বর – 6-(vii), (viii)

    (vii) দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্কটি দশক স্থানীয় অঙ্ক অপেক্ষা 6 বেশি এবং অঙ্কদ্বয়ের গুণফল সংখ্যাটি থেকে 12 কম ।

    সমাধানঃ-
    ধরি, দুই অঙ্ক বিশিষ্ট সংখ্যার দশক স্থানীয় অঙ্ক x
    ∴একক স্থানীয় অঙ্ক হবে = (x+6)
    ∴ সংখ্যাটি হল = 10.x + 1. (x+6)
    = 10x + x+6
    = 11x + 6
    অঙ্কদ্বয়ের গুণফল = x.(x+6)
    শর্তানুসারে,
    (11x + 6) – x(x+6) = 12
    বা, 11x + 6 – x2 – 6x = 12
    বা, 5x + 6 – x2 – 12 = 0
    , 5x – x2 – 6 = 0
    বা, – ( x2 – 5x + 6) = 0
    বা, x2 – 5x + 6 = 0
    ∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ হল :- x2 – 5x + 6 = 0 ।

    (viii) 45 মিটার দীর্ঘ ও 40 মিটার প্রশস্ত একটি আয়তক্ষেত্রাকার খেলার মাঠের মাঠের বাইরের চারিপাশে সমান চওড়া একটি রাস্তা আছে এবং ওই রাস্তার ক্ষেত্রফল 450 বর্গ মিটার।

    সমাধানঃ-
    আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = 45 মিটারএবং
    প্রস্থ = 40 মিটার
    ∴ আয়তক্ষেত্রাকার মাঠের ক্ষেত্রফল = 45 x40 বর্গ মিটার
    = 1800 বর্গ মিটার
    ধরি, রাস্তাটি x মিটার চওড়া
    ∴ রাস্তাসহ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = (45+2x) মিটারএবং
    আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = (40+2x) মিটার
    রাস্তাসহ আয়তক্ষেত্রাকার মাঠের ক্ষেত্রফল = (45+2x) x (40+2x) বর্গ মিটার
    শর্তানুসারে,
    (45+2x) x (40+2x) – (45.40) = 450
    বা, 1800 + 90x + 80x + 4x2 – 1800 = 450
    , 4x2 + 170X – 450 = 0
    বা, 2( 2x2 + 85X – 225 ) = 0
    বা, 2x2 + 85X – 225 = 0
    ∴ নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ হল 2x2 + 85x – 225 = 0 ।

    Madhyamik Question

    ▶️ কোন শর্তে ax2 + bx + c = 0 দ্বিঘাত সমীকরণটির একটি বীজ শূন্য হবে?
    (a) a = 0 (b) b = 0 (c) c = 0 (d) এদের কোনটিই নয়। (বহুবিকল্পভিত্তিক প্রশ্ন) M.P-2017
    Ans: (c) c = 0
    [দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ শূন্য হয় যদি ধ্রুবক পদের সহগ শূন্য হয়]

    ▶️ (a – 2)x2 + 3x + 5 = 0 সমীকরণটিতে a-এর মান _______ এর জন্য দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না।(শূন্যস্থান পূরণ) M.P-2018
    Ans: 2
    [x2 এর সহগ শূন্য হলে সমীকরণটি দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না।
    ∴ a – 2 = 0
    ⇒ a = 2]

    ▶️ P এর মান কত হলে (P-3) x2+ 5x + 10 = 0 সমীকরণটি দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না। P = _______________ (শূন্যস্থান পূরণ) M.P-2024
    Ans: Ans: 3
    [সমীকরণটি দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না যদি –
    P – 3 = 0 হয়
    বা, P =  3 হয়]

    PREVIOUS
    NEXT
  • Complete List of Country, Capital and Currency of Africa

    Complete List of Country, Capital and Currency of Africa

    List of Country, Capital and Currency of Africa

    List of Country, Capital and Currency of Africa

    Africa
    আফ্রিকা মহাদেশ

    gk-africa
    gk-africa

    Africa
    আফ্রিকা মহাদেশ সংক্রান্ত কিছু প্রশ্নোত্তর
    set – 1

    1. আয়তনের বিচারে আফ্রিকা মহাদেশ পৃথিবীর কততম মহাদেশ?
      আয়তনের বিচারে আফ্রিকা মহাদেশ পৃথিবীর দ্বিতীয় বৃহত্তম মহাদেশ।
    2. আয়তনে আফ্রিকার বৃহত্তম দেশ কোনটি ?
      আলজেরিয়া (23,81,740 বর্গকিমি) আয়তনে আফ্রিকার বৃহত্তম দেশ।
    3. আয়তনে আফ্রিকার ক্ষুদ্রতম দেশ কোনটি ?
      আয়তনে আফ্রিকার ক্ষুদ্রতম দেশ সিসিলি।
    4. লোকসংখ্যায় আফ্রিকার বৃহত্তম দেশ কোনটি ?
      লোকসংখ্যায় আফ্রিকার বৃহত্তম দেশ নাইজেরিয়া।
    5. আফ্রিকার বৃহত্তম মরূভূমি কোনটি ?
      সাহারা (9,200,000 বর্গ কি.মি.) মরূভূমি আফ্রিকার বৃহত্তম মরূভূমি। এটি বিশ্বের তৃতীয় বৃহত্তম মরূভূমি।
    6. আফ্রিকা মহাদেশের বৃহত্তম দ্বীপের নাম কি ?
      মাদাগাস্কার আফ্রিকা মহাদেশের বৃহত্তম দ্বীপ।
    7. কোন মহাদেশে স্বাধীন দেশের সংখ্যা সবচেয়ে বেশি?
      আফ্রিকা মহাদেশে স্বাধীন দেশের সংখ্যা সবচেয়ে বেশি (54 টি)।
    8. আফ্রিকার সর্বোচ্চ পর্বতশৃঙ্গ কোনটি ?
      কিলিমাঞ্জারো (5895 মিটার) আফ্রিকার সর্বোচ্চ পর্বতশৃঙ্গ।
    9. আফ্রিকার দীর্ঘতম নদীর নাম কি?
      নীলনদ আফ্রিকার দীর্ঘতম (6,853 কিমি) নদী।এটি বিশ্বেরও দীর্ঘতম নদ।
    10. আফ্রিকার বৃহত্তম হ্রদ কোনটি ?
      ভিক্টোরিয়া হ্রদ আফ্রিকার বৃহত্তম হ্রদ। এটি পৃথিবীর তৃতীয় বৃহত্তম হ্রদ।

    Africa
    আফ্রিকা মহাদেশ সংক্রান্ত কিছু প্রশ্নোত্তর
    set – 2

    1. পৃথিবীর একমাত্র কোন মহাদেশের উপর দিয়ে নিরক্ষরেখা, কর্কটক্রান্তি রেখা, মকরক্রান্টি রেখা ও মূল মধ্যরেখা বিস্তৃত হয়েছে?
      আফ্রিকা মহাদেশের উপর দিয়ে নিরক্ষরেখা, কর্কটক্রান্তি রেখা, মকরক্রান্টি রেখা ও মূল মধ্যরেখা বিস্তৃত হয়েছে।
    2. কোন প্রণালী ইউরোপ ও আফ্রিকা মহাদেশকে পৃথক করেছে?
      জিব্রাল্টার প্রণালী ইউরোপ ও আফ্রিকা মহাদেশকে পৃথক করেছে।
    3. অন্ধকারাচ্ছন্ন মহাদেশ কাকে বলে?
      আফ্রিকা মহাদেশকে অন্ধকারাচ্ছন্ন মহাদেশ বলে।
    4. নীল নদের তীরে প্রাচীনকালে কোন সভ্যতা গড়ে উঠেছিল?
      নীল নদের তীরে প্রাচীনকালে মিশরীয় সভ্যতা গড়ে উঠেছিল।
    5. আফ্রিকা মহাদেশের দ্বিতীয় দীর্ঘতম নদীর নাম কি?
      কঙ্গো নদী আফ্রিকা মহাদেশের দ্বিতীয় দীর্ঘতম নদী।
    6. কোন দেশের মুদ্রার নাম ওয়াচা?
      মালাবির মুদ্রার নাম ওয়াচা।
    7. সাহারা মরুভূমি অঞ্চলে প্রবাহিত গরম ও শুকনো স্থানীয় বায়ু কি নামে পরিচিত?
      সাহারা মরুভূমি অঞ্চলে প্রবাহিত গরম ও শুকনো স্থানীয় বায়ু খামসিন নামে পরিচিত।
    8. আফ্রিকা মহাদেশে নাতিশীতোষ্ণ তৃণভূমি কি নামে পরিচিত?
      আফ্রিকা মহাদেশে নাতিশীতোষ্ণ তৃণভূমি ভেল্ড নামে পরিচিত।
    9. ভিক্টোরিয়া জলপ্রপাত কোন নদীর গতিপথে অবস্থিত?
      ভিক্টোরিয়া জলপ্রপাত জাম্বেসি নদীর নদীর গতিপথে অবস্থিত।
    10. বৃহদাকার চিড়িয়াখানা বলা হয় কোন মহাদেশকে ?
      আফ্রিকা মহাদেশকে বৃহদাকার চিড়িয়াখানা বলা হয়।

    আফ্রিকা মহাদেশ সংক্রান্ত কিছু প্রশ্নোত্তর
    set – 3

    1. মানুষের প্রথম আবির্ভাব হয়েছিল কোন মহাদেশে?
      আফ্রিকা মহাদেশের পূর্ব অংশে মানুষের প্রথম আবির্ভাব হয়েছিল।
    2. বিশ্বের বৃহত্তম গরম মরুভূমির নাম কি?
       সাহারা (9,200,000 বর্গ কি.মি.) মরুভূমি বিশ্বের বৃহত্তম গরম মরুভূমি।
    3. কোন জলরাশি আফ্রিকা ও এশিয়া মহাদেশকে পৃথক করেছে?
      লোহিত সাগর ও সুয়েজ খাল আফ্রিকা ও এশিয়া মহাদেশকে পৃথক করেছে।
    4. কোন দেশকে নীল নদের দান বলা হয়?
      মিশরকে নীল নদের দান বলা হয়।
    5. কিলিমাঞ্জারো পর্বতশৃঙ্গ কোন দেশে অবস্থিত ?
      তাঞ্জানিয়ায় কিলিমাঞ্জারো পর্বতশৃঙ্গ দেশে অবস্থিত।
    6. আক্রা কোন দেশের রাজধানি?
      আক্রা ঘানার রাজধানি।
    7. আফ্রিকার গভীরতম হ্রদ কোনটি ?
      ট্যাঙ্গানিকা হ্রদ আফ্রিকার গভীরতম (1470 মি) হ্রদ । এটি বিশ্বের সর্বোচ্চ দৈর্ঘ্যের (673 কিমি) হ্রদ ৷
    8. মৌরিশাসের রাজধানীর নাম কি?
      মৌরিশাসের রাজধানীর নাম পোর্ট লুইস।
    9. কালাহারি মালভূমি কোথায় অবস্থিত ?
      দক্ষিণ আফ্রিকা ও বতসোয়ানায় কালাহারি মালভূমি অবস্থিত।
    10. আফ্রিকার সর্বনিন্ম বিন্দু কোনটি ?
      জিবুতির আসাল হ্রদ আফ্রিকার সর্বনিন্ম বিন্দু। এটি সমুদ্র সমতলের ১৫৫ মিটার নিচে অবস্থিত।

    Different Zone of Africa

    NOZONENO OF
    COUNTRY
    1East Africa18
    2Northern Africa06
    3Central or Middle Africa09
    4Southern Africa countries05
    5Western Africa16

    এশিয়ার দেশ,
    রাজধানী ও
    মু    দ্রা

    ইউরোপের দেশ,
    রাজধানী ও
    মুদ্রা

    ওশেনিয়ার দেশ,
    রাজধানী ও
    মুদ্রা

    Countries In East Africa
    পূর্ব আফ্রিকার দেশসমূহ

    নংদেশরাজধানীমুদ্রা
    1ইথিওপিয়াআদ্দিস আবাবাইথিওপিয়ান বির(ETB)
    2তানজানিয়াদার-এস-সালাম,
    দোদমা    		তাঞ্জানিয়ান
    সিলিং(TZS)
    3মোজাম্বিকমাপুতোমোজাম্বিকান মেটিকাল(MZN)
    4জাম্বিয়ালুসাকাজাম্বিয়ান কওছা/কঞ্চা(ZMW)
    5দক্ষিণ সুদানজুবাদক্ষিণ সুদানি পাউন্ড(SSP)
    6সোমালিয়ামোগাদিসুসোমালিল্যান্ড শিলিং(SLSH)
    7মাদাগাস্কার/আন্তা নানারিভোমালাগাসি এরিআরি(MGA)
    8কেনিয়ানাইরোবিকেনিয়ান সিলিং(KES)
    9জিম্বাবুয়েহারারেজিম্বাবুয়ান ডলার(ZWD)
    10উগান্ডাকামপালাউগান্ডান সিলিং(UGX)
    11মালাবিলিলংউইওয়াচা(MWK)
    12ইরিত্রিয়াআসমেরাইরিত্রিয়ান নাকফা(ERN)
    13বুরুন্ডিবুজুমবুরা,
    জীটেগা    		বুরুন্ডিয়ান ফ্রাঙ্ক(BIF)
    14রুয়ান্ডাকিগালিরুয়ান্ডান ফ্রাঙ্ক(RWF)
    15জিবুতিজিবুতি সিটিজিবুতিয়ান ফ্রাঙ্ক(DJF)
    16কমরোসমোরোনিকমোরিয়ান ফ্রাঁ(KMF)
    17মৌরিশাসপোর্ট লুইসমৌরিতানিয়ান রুপি(‎MUR‎)‎
    18সিসিলিভিক্টোরিয়াসিসিলিয়াস রূপি(SCR)

    Countries In Northern Africa
    উত্তর আফ্রিকার দেশসমূহ

    নংদেশরাজধানীমুদ্রা
    1আলজেরিয়াআলজিয়ার্সআলজেরিয়ান দিনার(DZD)
    2সুদানখার্তুমসুদানিস পাউন্ড(SDG)
    3লিবিয়াত্রিপোলিলিবিয়ান দিনার(LYD)
    4মিশরকায়রোইজিপ্টিয়ান পাউন্ড(EGP)
    5মরক্কোরাবাতমরক্কোয়ান দিরহাম(MAD)
    7টিউনিশিয়াটিউনিশটিউনিশিয়ান দিনার(TND)

    দশম শ্রেণীর ভৌত বিজ্ঞান এবং জীবন বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন

    Africa

    Countries In Central or Middle Africa
    মধ্য আফ্রিকার দেশসমূহ

    নংদেশরাজধানীমুদ্রা
    1কঙ্গো প্রজাতন্ত্রকিনশাসাসেন্ট্রাল আফ্রিকান সিএফএ ফ্রাঙ্ক(XAF)
    2চাদএজামেনাসেন্ট্রাল আফ্রিকান সিএফএ ফ্রাঙ্ক(XAF)
    3এঙ্গোলালুয়ান্ডাএঙ্গোলা খোয়াঞ্জা(OA)
    4মধ্য আফ্রিকান প্রজাতন্ত্রবাঙ্গুইসেন্ট্রাল আফ্রিকান সিএফএ ফ্রাঙ্ক(XAF)
    5ক্যামেরুনইয়াউন্ডিসেন্ট্রাল আফ্রিকান সিএফএ ফ্রাঙ্ক(XAF)
    6কঙ্গোব্রাজেভিলকঙ্গোলিস ফ্রাঙ্ক
    7গ্যাবনলিব্রেভিলসেন্ট্রাল আফ্রিকান সিএফএ ফ্রাঙ্ক(XAF)
    8ইকুটোরিয়াল গিনিমালাবোসেন্ট্রাল আফ্রিকান সিএফএ ফ্রাঙ্ক(XAF)
    9সাওটোমে এন্ড প্রিন্সিপিসাওটোমেসাওটোমে এন্ড প্রিন্সিপি দোবরা(STN)

    Countries In Southern Africa
    দক্ষিণ আফ্রিকার দেশসমূহ

    নংদেশরাজধানীমুদ্রা
    1দক্ষিণ আফ্রিকাপ্রিটোরিয়া,
    কেপটাউন    		সাউথ আফ্রিকান রান্ড(ZAR)
    2নামিবিয়াউইন্ডহোকনামিবিয়ান ডলার(NAD)
    3বতসোয়ানাগ্যাব্রোনবতসোয়ানা পুলা(BWP)
    4লেসোথোমাসেরুলেসোথো লোটি(LSL)
    5ইসোয়াতিনি/
    সোয়াজিল্যান্ড    		এম্বাবানে
    লোবাম্বা    		সোয়াজি লিলাংগিনি(SZL)

    উত্তর আমেরিকার দেশ,
    রাজধানী ও
    মুদ্রা

    দক্ষিণ আমেরিকার দেশ,
    রাজধানী ও
    মুদ্রা

    Africa

    Countries In Western Africa
    পশ্চিম আফ্রিকার দেশসমূহ

    নংদেশরাজধানীমুদ্রা
    1নাইজারনিয়ামিওয়েস্ট আফ্রিকান সিএফএ ফ্রাঙ্ক(XOF)
    2মালিবামাকোওয়েস্ট আফ্রিকান সিএফএ ফ্রাঙ্ক(XOF)
    3মৌরিতানিয়া ওগিয়ানৌয়াকচটমৌরিতানিয়ান ওগিয়া(MRU)
    4নাইজেরিয়া নায়েরাআবুজানাইজেরিয়া নায়েরা(NGN)
    5কোত দিভোয়ার/
    আইভোরিকোস্ট    		ইয়ামুসুক্রো
    আবিদজান    		ওয়েস্ট আফ্রিকান সিএফএ ফ্রাঙ্ক(XOF)
    6বুরকিনা ফাসোউয়াগাদুগুওয়েস্ট আফ্রিকান সিএফএ ফ্রাঙ্ক(XOF)
    7গিনিকোনাক্রিগায়ানিয়ান  ফ্রাঙ্ক(GNF)
    8ঘানাআক্রাঘানাসেডি(GHS)
    9সেনেগালডাকারওয়েস্ট আফ্রিকান সিএফএ ফ্রাঙ্ক(XOF)
    10বেনিনপোর্ট্রো নোভোওয়েস্ট আফ্রিকান সিএফএ ফ্রাঙ্ক(XOF)
    11লাইবেরিয়ামনরোভিয়ালাইবেরিয়ান ডলার(LRD)
    12সিয়েরালিওনফ্রিটাউনসিয়েরালিওন লিওন(SLL)
    13টোগোলোমওয়েস্ট আফ্রিকান সিএফএ ফ্রাঙ্ক(XOF)
    14গিনিবিসাওগিনিয়ান ফ্রাঙ্ক(GNF)
    15গাম্বিয়াবানজুলগাম্বিয়া ডালাসি(GMD)
    16কেপভার্দে এসকুডোপ্রিয়াকেপভার্দেন এসকুডো(CVE)
    PREVIOUS
    HOME
    NEXT
    error: Content is protected !!
    Verified by MonsterInsights