Author: TEAM PROSTUTI

ভারতের ইতিহাসের গুরুত্বপূর্ণ যুদ্ধ list of important wars and battles in Indian history
list of important wars and battles in Indian history
ভারতের ইতিহাসের গুরুত্বপূর্ণ যুদ্ধ
list of important wars and battles in Indian history
প্রিয় পাঠক
আজকের পোস্টে ভারতের ইতিহাসের বিভিন্ন গুরুত্বপূর্ণ ও উল্লেখযোগ্য যুদ্ধ সম্বন্ধে বিভিন্ন তথ্য শেয়ার করা হলো। বিভিন্ন গুরুত্বপূর্ণ যুদ্ধগুলো কবে হয়েছিল, কোথায় হয়েছিল, সেই গুরুত্বপূর্ণ যুদ্ধগুলো কাদের মধ্যে সংঘটিত হয়েছিল, কে জিতেছে, বা কারা পরাজিত হয়েছে এবং সর্বোপরি সেই যুদ্ধের ফলাফল ও গুরুত্ব সম্বন্ধে সংক্ষেপে আলোচনা করা হলো। আশাকরি এই পোস্টটি তোমাদের ভালো লাগবে এবং এই ধরনের আরও পোস্ট পেতে আমাদের পেজটি নিয়মিত ফলো করতে থাকো।

এছাড়া মাধ্যমিক ইংরাজি সহ অন্যান্য বিষয়ের উপর এবং উচ্চমাধ্যমিকের গণিত, ইংরাজি সহ অন্যান্য বিষয়ের উপর প্রশ্নোত্তর পেতে আমাদের পেজটি নিয়মিত follow করতে থাকো
list of important wars and battles in Indian history ভারতের ইতিহাসের গুরুত্বপূর্ণ যুদ্ধ
ভারতের ইতিহাসের গুরুত্বপূর্ণ যুদ্ধ
326 খ্রীস্টপূর্ব – 1194 খ্রিস্টাব্দ
1. হিদাসপিসের যুদ্ধ
  - সময়ঃ 326 খ্রীস্টপূর্ব
    
    স্থানঃ পাঞ্জাবের (পাকিস্তান) ঝিলাম নদী বা হিদাসপিস নদীর তীর
  - প্রতিপক্ষঃ আলেকজান্ডার ও পুরুরাজ
    
    বিজয়ীঃ আলেকজান্ডার
  - গুরুত্বঃ ভারতীয় উপমহাদেশে প্রাচীন গ্রীক রাজনৈতিক ও সাংস্কৃতিক প্রভাব দেখা দিয়েছিল যার ফলে গ্রিকো-বৌদ্ধ শিল্পের বিকাশ ঘটে।
2. কলিঙ্গ যুদ্ধ
  - সময়ঃ 261 খ্রীস্টপূর্ব
    
    স্থানঃ কলিঙ্গের (উড়িষ্যা) দয়া নদীর নিকটবর্তী ধৌলি পাহাড়ের কাছে
  - প্রতিপক্ষঃ অশোক ও কলিঙ্গরাজ
    
    বিজয়ীঃ অশোক
  - গুরুত্বঃ কলিঙ্গ যুদ্ধের পর অশোক বৌদ্ধ ধর্ম গ্রহণ করেন।
3. তরাইনের প্রথম যুদ্ধ
  - সময়ঃ 1191 খ্রিস্টাব্দ
    
    স্থানঃ হরিয়ানার থানেশ্বরের নিকট তরাইন শহর
  - প্রতিপক্ষঃ পৃথ্বীরাজ চৌহান ও মহম্মদ ঘোরী
    
    বিজয়ীঃ পৃথ্বীরাজ চৌহান
  - গুরুত্বঃ মহম্মদ ঘোরী হেরে যাওয়ায়, আবার যুদ্ধ পরিস্থিতির সৃষ্টি হয়।
4. তরাইনের দ্বিতীয় যুদ্ধ
  - সময়ঃ 1192 খ্রিস্টাব্দ
    
    স্থানঃ হরিয়ানার থানেশ্বরের নিকট তরাইন শহর
  - প্রতিপক্ষঃ মোহাম্মদ ঘোরি ও পৃথ্বীরাজ চৌহান
    
    বিজয়ীঃ মহম্মদ ঘোরী
  - গুরুত্বঃ মহম্মদ ঘোরীর তরাইনের যুদ্ধে জয়ের মাধ্যমে ভারতে তুর্কি সাম্রাজ্য স্থাপনের পথ উন্মুক্ত হয়।
5. চান্দাভারের যুদ্ধ
  - সময়ঃ 1194 খ্রিস্টাব্দ
    
    স্থানঃ ফিরোজাবাদের কাছে চান্দাবালে যমুনা নদীর পাশে
  - প্রতিপক্ষঃ মহম্মদ ঘোরী ও জয়চাঁদ
    
    বিজয়ীঃ মহম্মদ ঘোরী
  - গুরুত্বঃ উত্তর ভারতে মহম্মদ ঘোরীর কর্তৃত্ব বৃদ্ধি পায়।
ভারতের ইতিহাসের গুরুত্বপূর্ণ যুদ্ধ
1526 খ্রিস্টাব্দ– 1534 খ্রিস্টাব্দ
1. প্রথম পানিপথের যুদ্ধ
  - সময়ঃ 1526 খ্রিস্টাব্দ
    
    স্থানঃ ভারতের হরিয়ানা রাজ্যের পানিপথ গ্রাম
  - প্রতিপক্ষঃ বাবর ও ইব্রাহিম লোদি
    
    বিজয়ীঃ বাবর
  - গুরুত্বঃ ভারতে মুঘল সাম্রাজ্যে প্রতিষ্ঠিত হয়।
2. খানুয়ার যুদ্ধ
  - সময়ঃ 1527 খ্রিস্টাব্দ
    
    স্থানঃ রাজস্থানের ভরতপুর জেলার খানুয়া গ্রামের কাছে
  - প্রতিপক্ষঃ বাবর ও মেবারের রানা সংগ্রাম সিংহ
    
    বিজয়ীঃ বাবর
  - গুরুত্বঃ খানুয়ার যুদ্ধের পর থেকেই মুঘল সাম্রাজ্যের রাজনৈতিক কেন্দ্র কাবুল থেকে দিল্লিতে স্থানান্তরিত হয়।
3. চান্দেরি যুদ্ধ
  - সময়ঃ 1528 খ্রিস্টাব্দ
    
    স্থানঃ মালওয়া রাজ্যের রাজধানী চান্দেরি (মধ্যপ্রদেশ)
  - প্রতিপক্ষঃ বাবর ও মেদনী রায়
    
    বিজয়ীঃ বাবর
  - গুরুত্বঃ রাজপুতনায় মুঘল সাম্রাজ্যের প্রতিষ্ঠা করেন।
4. ঘর্ঘরার যুদ্ধ
  - সময়ঃ 1529 খ্রিস্টাব্দ
    
    স্থানঃ পাটনার উত্তরে গঙ্গা ও ঘর্ঘরা নদীর সংগমস্থল।
  - প্রতিপক্ষঃ বাবর এবং মাহমুদ লোদি (আফগান শাসক), শের খাঁ (বিহার) ও নসরৎ শাহ (বাংলা)
    
    বিজয়ীঃ বাবর
  - গুরুত্বঃ মোগল সাম্রাজ্য ঘর্ঘরা নদী পর্যন্ত বিস্তারিত হয়।
5. সুরজগরের যুদ্ধ
  - সময়ঃ 1534 খ্রিস্টাব্দ
    
    স্থানঃ সুরজগর (রাজস্থান)
  - প্রতিপক্ষঃ শেরশাহ ও মাহমুদ শাহ ও জালাল খানের সম্মিলিত বাহিনী
    
    বিজয়ীঃ শেরশাহ
  - গুরুত্বঃ বিহারের ওপর শেরশাহের নিরঙ্কুশ কর্তৃত্ব প্রতিষ্ঠিত হয়।
এশিয়ার দেশ,
রাজধানী ও
মুদ্রা
ইউরোপের দেশ,
রাজধানী ও
মুদ্রা
আফ্রিকার দেশ,
রাজধানী ও
মুদ্রা
ভারতের ইতিহাসের গুরুত্বপূর্ণ যুদ্ধ
1539 খ্রিস্টাব্দ– 1582 খ্রিস্টাব্দ
1. চৌসার যুদ্ধ
  - সময়ঃ 1539 খ্রিস্টাব্দ
    
    স্থানঃ বক্সারের (বিহার) দক্ষিণ-পশ্চিমে অবস্থিত চৌসা
  - প্রতিপক্ষঃ মুঘল সম্রাট হুমায়ুন এবং আফগান সম্রাট শের শাহ সুরি
    
    বিজয়ীঃ শের শাহ সুরি
  - গুরুত্বঃ বাংলা বিহার ও জৌনপুর শের খাঁর অধীনে আসে।
2. কনৌজের যুদ্ধ
  - সময়ঃ ১৫৪০ খ্রিস্টাব্দ
    
    স্থানঃ কনৌজের নিকটবর্তী বিলগ্রাম
  - প্রতিপক্ষঃ শেরশাহ ও হুমায়ুন
    
    বিজয়ীঃ শেরশাহ বিজয়ীঃ
  - গুরুত্বঃ শেরশাহ দিল্লি ও আগ্রা দখল করে মোগল শাসনের অবসান ঘটিয়ে দিল্লীতে আফগান শাসন প্রতিষ্ঠা করেন।
3. দ্বিতীয় পানিপথের যুদ্ধ
  - সময়ঃ 1556 খ্রিস্টাব্দ
    
    স্থানঃ ভারতের হরিয়ানা রাজ্যের পানিপথ গ্রাম
  - প্রতিপক্ষঃ হিমু (মোহাম্মদ আদিল শাহ) ও বৈরাম খাঁ (আকবর)
    
    বিজয়ীঃ আকবর
  - গুরুত্বঃ ৩০ বছর ধরে চলতে থাকা মােগল-আফগান দ্বন্দ্বের পরিসমাপ্তি ঘটে
4. তালিকোটার যুদ্ধ
  - সময়ঃ 1565 খ্রিস্টাব্দ
    
    স্থানঃ কর্ণাটকের বিজাপুরের কাছে তালিকোটিতে
  - প্রতিপক্ষঃ বিজয়নগর ও সুলতানি রাজ্য
    
    বিজয়ীঃ সুলতানি রাজ্য
  - গুরুত্বঃ বিজয়নগর সাম্রাজ্যের সম্পূর্ণ পতন ঘটে এবং দাক্ষিণাত্যের শেষ হিন্দু সাম্রাজ্যের অবসান ঘটে।
5. হলদিঘাটের যুদ্ধ
  - সময়ঃ 1576 খ্রিস্টাব্দ
    
    স্থানঃ উদয়পুরের (রাজস্থান) নিকট হলদিঘাটে
  - প্রতিপক্ষঃ আকবর ও মহারানা প্রতাপ সিংহ
    
    বিজয়ীঃ আকবর
  - গুরুত্বঃ
6. দিওয়ারের যুদ্ধ
  - সময়ঃ 1582 খ্রিস্টাব্দ
    
    স্থানঃ দিওয়ার
  - প্রতিপক্ষঃ মহারানা প্রতাপ সিংহ ও আকবর
    
    বিজয়ীঃ মহারানা প্রতাপ সিংহ
  - গুরুত্বঃ মেবারে পুনরায় মহারানার শাসন প্রতিষ্ঠিত হয়।
ভারতের ইতিহাসের গুরুত্বপূর্ণ যুদ্ধ
1658 খ্রিস্টাব্দ– 1748 খ্রিস্টাব্দ
1. সামুগড়ের যুদ্ধ
  - সময়ঃ 1658 খ্রিস্টাব্দ
    
    স্থানঃ আগ্রার কাছে সামুগড়ে
  - প্রতিপক্ষঃ ঔরঙ্গজেব ও দারাসিকো
    
    বিজয়ীঃ ঔরঙ্গজেব
  - গুরুত্বঃ
2. দেওরাই যুদ্ধ
  - সময়ঃ 1659 খ্রিস্টাব্দ
    
    স্থানঃ উত্তর-পূর্ব ভারতের দেওরাই
  - প্রতিপক্ষঃ ঔরঙ্গজেব ও দারাসিকো
    
    বিজয়ীঃ ঔরঙ্গজেব
  - গুরুত্বঃ ঔরঙ্গজেবের মুঘল সম্রাট হওয়ার পথ নিশ্চিত হয়।
3. ভোপাল যুদ্ধ
  - সময়ঃ 1737 খ্রিস্টাব্দ
    
    স্থানঃ ভোপাল
  - প্রতিপক্ষঃ প্রথম বাজীরাও ও নিজাম-উল-মূলক
    
    বিজয়ীঃ প্রথম বাজীরাও
  - গুরুত্বঃ ভোপাল একটি আধা-স্বায়ত্তশাসিত রাজ্য হিসাবে মারাঠা সাম্রাজ্যের আধিপত্যের অধীনে আসে।
4. গিরিয়ার যুদ্ধ
  - সময়ঃ 1740 খ্রিস্টাব্দ
    
    স্থানঃ মুর্শিদাবাদের (পশ্চিমবঙ্গ) গিরিয়ায়
  - প্রতিপক্ষঃ আলীবর্দি খাঁ ও বাংলার নবাব সরফরাজ খাঁ
    
    বিজয়ীঃ আলীবর্দি খাঁ
  - গুরুত্বঃ আলীবর্দী খান বাংলার মসনদ দখল করেন।
5. কর্নাটকের প্রথম যুদ্ধ
  - সময়ঃ 1744 – 1748 খ্রিস্টাব্দ
    
    স্থানঃ দাক্ষিণাত্য
  - প্রতিপক্ষঃ ইংরেজ ও নিজাম আনোয়ার উদ্দিন এবং চাঁদাসাহেব ও ফরাসি বাহিনী
    
    বিজয়ীঃ সংঘর্ষ অমীমাংসিত ছিল।
  - গুরুত্বঃ এই যুদ্ধে ভারতীয় শাসকদের রাজনৈতিক ও সামরিক শক্তির দুর্বলতা বিদেশী বণিকদের নিকট স্পষ্ট হয়ে উঠেছিল
ভারতের ইতিহাসের গুরুত্বপূর্ণ যুদ্ধ
1750 খ্রিস্টাব্দ– 1760 খ্রিস্টাব্দ
1. কর্নাটকের দ্বিতীয় যুদ্ধ
  - সময়ঃ 1750 – 1754 খ্রিস্টাব্দ
    
    স্থানঃ দাক্ষিণাত্য
  - প্রতিপক্ষঃ রবার্ট ক্লাইভ ও নিজাম আনোয়ার উদ্দিন এবং চাঁদাসাহেব ও ফরাসি বাহিনী (ডুপ্লে)
    
    বিজয়ীঃ অমীমাংসিত
  - গুরুত্বঃ কর্নাটকের দ্বিতীয় যুদ্ধ দ্ধের পর দাক্ষিণাত্যে ফরাসীদের প্রতিপত্তি হ্রাস পেতে থাকে এবং সেই স্থান দখল করতে থাকে ইংরেজরা।
2. কর্নাটকের তৃতীয় যুদ্ধ
  - সময়ঃ 1756 – 1763 খ্রিস্টাব্দ
    
    স্থানঃ দাক্ষিণাত্য
  - প্রতিপক্ষঃ আয়ারকুট ও কাউন্ট লালি
    
    বিজয়ীঃ ইংরেজ
  - গুরুত্বঃ ইংরেজরা দ্রুত দাক্ষিণাত্যে তাদের প্রতিপত্তি বৃদ্ধি করতে থাকে।
3. পলাশির যুদ্ধ
  - সময়ঃ 1757 খ্রিস্টাব্দ
    
    স্থানঃ এবং মুর্শিদাবাদের দক্ষিণে হুগলী নদীর তীরে পলাশিতে
  - প্রতিপক্ষঃ রবার্ট ক্লাইভ (ইংরেজ) ও সিরাজউদদ্দৌলা
    
    বিজয়ীঃ ইংরেজ
  - গুরুত্বঃ সিরাজউদ্দৌলা পরাজিত হন এবং বাংলায় ইংরেজ শাসনের ভিত্তি স্থাপিত হয়।ভারতবর্ষে ইংরেজ শাসন প্রতিষ্ঠার পথ সূচিত হয়।
4. বিদারার যুদ্ধ
  - সময়ঃ 1759 খ্রিস্টাব্দ
    
    স্থানঃ হুগলী জেলার চুঁচুড়া
  - প্রতিপক্ষঃ ইস্ট ইন্ডিয়া কোম্পানি (ইংরেজ) ও ওলন্দাজ
    
    বিজয়ীঃ ইংরেজ
  - গুরুত্বঃ বাংলায় ইংরেজ শাসন প্রতিষ্ঠিত হয়।
5. বন্দিবাসের যুদ্ধ
  - সময়ঃ 1760 খ্রিস্টাব্দ
    
    স্থানঃ তামিলনাড়ুর বন্দিবাস
  - প্রতিপক্ষঃ ইংরেজ ও ফরাসি
    
    বিজয়ীঃ ইংরেজ
  - গুরুত্বঃ ইংরেজরা চেটপেট, তিরুভান্নামালাই), তিণ্ডিভানাম এবং পেরুমুক্কাল দখল করেছিল।
দশম শ্রেণীর জীবন বিজ্ঞান অসম্পূর্ণ প্রকটতা/ Incomplete Dominance
ভারতের ইতিহাসের গুরুত্বপূর্ণ যুদ্ধ
1761 খ্রিস্টাব্দ– 1784 খ্রিস্টাব্দ
1. তৃতীয় পানিপথের যুদ্ধ
  - সময়ঃ 1761 খ্রিস্টাব্দ
    
    স্থানঃ ভারতের হরিয়ানা রাজ্যের পানিপথ গ্রাম
  - প্রতিপক্ষঃ আহমেদ শাহ আবদালি ও সদাশিব রাও (মারাঠা বাহিনী)
    
    বিজয়ীঃ আহমেদ শাহ আবদালি
  - গুরুত্বঃ দক্ষিণ ভারতে হায়দার আলি ও ভারতে ইংরেজ ইস্ট ইন্ডিয়া কোম্পানীর উত্থানের পথ প্রশস্ত করেছিল।
2. বক্সারের যুদ্ধ
  - সময়ঃ 1764 খ্রিস্টাব্দ
    
    স্থানঃ বিহারের বক্সার
  - প্রতিপক্ষঃ ইস্ট ইন্ডিয়া কোম্পানি (মেজর মুনরোর নেতৃত্বে) ও মিরকাশিম
    
    বিজয়ীঃ ইংরেজ
  - গুরুত্বঃ বাংলায় ব্রিটিশদের চূড়ান্ত কর্তৃত্ব প্রতিষ্ঠার পথ সুগম হয়।
3. প্রথম ইঙ্গ-মহীশূর যুদ্ধ
  - সময়ঃ 1765 – 1768 খ্রিস্টাব্দ
    
    স্থানঃ মহীশূর
  - প্রতিপক্ষঃ হায়দার আলি ও ইস্ট ইন্ডিয়া কোম্পানি
    
    বিজয়ীঃ হায়দার আলি
  - গুরুত্বঃ এই যুদ্ধের ফলে কোনো সম্যসার স্থায়ী সমাধান হয় নি।
4. প্রথম ইঙ্গ-মারাঠা যুদ্ধ
  - সময়ঃ 1775 – 1782 খ্রিস্টাব্দ
    
    স্থানঃ পুনে
  - প্রতিপক্ষঃ মারাঠা ও ইস্ট ইন্ডিয়া কোম্পানি (ওয়ারেন হেস্টিংস)
    
    বিজয়ীঃ মারাঠা
  - গুরুত্বঃ আর্থিকভাবে ইংরেজরা ক্ষতিগ্রস্ত হয়েছিল কিন্তু তাদের কূটনৈতিক জয় হয়েছিল।
5. দ্বিতীয় ইঙ্গ-মহীশূর যুদ্ধ
  - সময়ঃ 1780 – 1784 খ্রিস্টাব্দ
    
    স্থানঃ ফরাসিদের বাণিজ্যকেন্দ্র মাহে
  - প্রতিপক্ষঃ টিপু সুলতান ও হায়দার আলী ও ইস্ট ইন্ডিয়া কোম্পানি (ইংরেজ)
    
    বিজয়ীঃ হায়দার আলী
  - গুরুত্বঃ এই যুদ্ধ দ্বারা প্রমাণিত হয় ইংরেজের সেনাবাহিনী ভারতীয় বাহিনীর তুলনায় উন্নত এবং পারদর্শী ।
ভারতের ইতিহাসের গুরুত্বপূর্ণ যুদ্ধ
1789 খ্রিস্টাব্দ– 1846 খ্রিস্টাব্দ
1. তৃতীয় ইঙ্গ-মহীশূর যুদ্ধ
  - সময়ঃ 1789 – 1792 খ্রিস্টাব্দ
    
    স্থানঃ
  - প্রতিপক্ষঃ টিপু সুলতান এবং ইস্ট ইন্ডিয়া কোম্পানি (ইংরেজ), মারাঠা ও হায়দরাবাদের নিজাম
    
    বিজয়ীঃ ইস্ট ইন্ডিয়া কোম্পানি (ইংরেজ),
  - গুরুত্বঃ দক্ষিণ ভারতে ইংরেজদের রাজ্য, শক্তি ও প্রভাব বৃদ্ধি পায় ।
2. চতুর্থ ইঙ্গ-মহীশূর যুদ্ধ
  - সময়ঃ 1799 খ্রিস্টাব্দ
    
    স্থানঃ মহীশূর
  - প্রতিপক্ষঃ ইংরেজ ও টিপু সুলতান
    
    বিজয়ীঃ ইংরেজ
  - গুরুত্বঃ মহীশূর রাজ্যের বিলোপ ঘটে।
3. দ্বিতীয় ইঙ্গ-মারাঠা যুদ্ধ
  - সময়ঃ 1803 – 1805 খ্রিস্টাব্দ
    
    স্থানঃ উত্তর ও দক্ষিণ ভারত
  - প্রতিপক্ষঃ ইংরেজ এবং ভোঁসলে ও সিন্ধিয়া
    
    বিজয়ীঃ ইংরেজ
  - গুরুত্বঃ ভারতের মাটিতে ব্রিটিশ আধিপত্য আরও বিস্তৃত ও সুদৃড় হয় এবং পেশোয়ার সার্বভৌমত্ব লোপ পায়।
4. তৃতীয় ইঙ্গ-মারাঠা যুদ্ধ
  - সময়ঃ 1817 – 1818/19 খ্রিস্টাব্দ
    
    স্থানঃ কোরেগাঁওয
  - প্রতিপক্ষঃ ইংরেজ ও দ্বিতীয় বাজিরাও (মারাঠা)
    
    বিজয়ীঃ ইংরেজ
  - গুরুত্বঃ রাজপুতানায় ব্রিটিশ আধিপত্য প্রতিষ্ঠিত হয় এবং মারাঠা শক্তির পতন ঘটে
5. প্রথম ইঙ্গ-শিখ যুদ্ধ
  - সময়ঃ 1845 – 1846 খ্রিস্টাব্দ
    
    স্থানঃ শতদ্রুর ওপারের ব্রিটিশ রাজ্য
  - প্রতিপক্ষঃ ইংরেজ এবং খালসা শিখ বাহিনী
    
    বিজয়ীঃ ইংরেজ
  - গুরুত্বঃ শিখরা অপমানজনক লাহোর চুক্তি স্বাক্ষর করতে বাধ্য হয়।
ভারতের ইতিহাসের গুরুত্বপূর্ণ যুদ্ধ
1848 খ্রিস্টাব্দ– 1999 খ্রিস্টাব্দ
1. দ্বিতীয় ইঙ্গ-শিখ যুদ্ধ
  - সময়ঃ 1848 – 1849 খ্রিস্টাব্দ
    
    স্থানঃ অবিভক্ত পাঞ্জাব
  - প্রতিপক্ষঃ ইংরেজ ও শিখ বাহিনী
    
    বিজয়ীঃ ইংরেজ
  - গুরুত্বঃ সমগ্র পাঞ্জাব ব্রিটিশ সাম্রাজ্যের অন্তর্ভুক্ত হয়।
2. প্রথম ভারত-পাকিস্তান যুদ্ধ বা প্রথম কাশ্মীর যুদ্ধ
  - সময়ঃ 1947 সালের 21 অক্টোবর
    
    স্থানঃ কাশ্মীর
  - প্রতিপক্ষঃ ভারত ও পাকিস্তান
    
    বিজয়ীঃ ভারত
  - গুরুত্বঃ ভারত জম্মু ও কাশ্মীর রাজ্যের নিয়ন্ত্রণ লাভ করে।
3. ভারত-চীন যুদ্ধ
  - সময়ঃ 1962 সালের 20 অক্টোবর
    
    স্থানঃ লাদাখ
  - প্রতিপক্ষঃ ভারত ও চীন
    
    বিজয়ীঃ চীন
  - গুরুত্বঃ চীন ভারতের ৪২,৭৩৫ বর্গকিলোমিটার জমি দখল করে নিয়েছিলো।
4. দ্বিতীয় ভারত–পাকিস্তান যুদ্ধ
  - সময়ঃ 1965 সালের 5 আগস্ট
    
    স্থানঃ উত্তর ফ্রন্টের কারগিল
  - প্রতিপক্ষঃ ভারত ও চীন
    
    বিজয়ীঃ অমীমাংসিত
  - গুরুত্বঃ ১৯৬৫ সালের যুদ্ধ আইয়ুব শাসনের শেষ পরিণতির সূচনা করে।
5. দ্বিতীয় ভারত-চীন যুদ্ধ
  - সময়ঃ 1967 সালের 11 সেপ্টেম্বর
    
    স্থানঃ নাথু লা ও চো লা
  - প্রতিপক্ষঃ ভারত ও চীন
    
    বিজয়ীঃ ভারত
  - গুরুত্বঃ এই জয় ভারতীয় সেনাদের মনোবলকে বাড়িয়ে তুলেছিল।
6. ভারত–পাকিস্তান যুদ্ধ 1971
  - সময়ঃ 1971 সালের 25 মার্চ
    
    স্থানঃ বাংলাদেশ
  - প্রতিপক্ষঃ ভারত ও বাংলাদেশ মিত্র বাহিনী এবং পাকিস্তান
    
    বিজয়ীঃ ভারত
  - গুরুত্বঃ 16 ডিসেম্বর ভারত-বাংলাদেশ মিত্র বাহিনীর কাছে আত্মসমর্পণ করে পাকিস্তান আর জন্ম নেয় স্বাধীন বাংলাদেশ।
7. সিয়াচেন কনফ্লিক্ট
  - সময়ঃ 1984 খ্রিস্টাব্দ
    
    স্থানঃ কাশ্মীর
  - প্রতিপক্ষঃ ভারত ও পাকিস্তান
    
    বিজয়ীঃ ভারত
  - গুরুত্বঃ ভারত সিয়াচেনের দখল নিয়ে নেয় যা পুনরুদ্ধারে পাকিস্তান 1985, 1987 ও 1995 চেষ্টা করেও ব্যর্থ হয়।
8. কার্গিল যুদ্ধ
  - সময়ঃ 1999 খ্রিস্টাব্দ
    
    স্থানঃ কাশ্মীরের কার্গিল জেলা
  - প্রতিপক্ষঃ ভারত ও পাকিস্তান
    
    বিজয়ীঃ ভারত
  - গুরুত্বঃ ১৯৭২ এর সিমলা চুক্তি অনুযায়ী নিয়ন্ত্রণ রেখার দক্ষিণ ও পূর্বের সমগ্র অংশে ভারতের কর্তৃত্ব প্রতিষ্ঠা হয়।
PREVIOUS
HOME
NEXT
January 15, 2023
দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.2 Complete Solution of Quadratic Equation
দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.2
Complete Solution of Quadratic Equation
দ্বিঘাত সমীকরন
কষে দেখি-1.2
Complete Solution of Quadratic Equation
দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.2
দ্বিঘাত সমীকরন
কষে দেখি-1.2
প্রিয় ছাত্র-ছাত্রী
X-Mathematics এই ক্যাটাগরিতে আমরা আগের পোস্টে দশম শ্রেণীর এর গণিত প্রকাশ বইয়ের প্রথম অধ্যায়ের একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণের কষে দেখি 1.1 এর সমস্ত প্রশ্নের সমাধান করেছিলাম। আমাদের আজকের পোস্টে কষে দেখি 1.2 এর সমস্ত প্রশ্ন সহ উত্তর করে দেওয়া হল। পরবর্তী পোষ্টে কষে দেখি 1.3 এর সমস্ত প্রশ্ন সহ উত্তর করে দেওয়া হবে। তাই আমাদের এই পোস্টগুলো পেতে আমাদের পেজটিকে নিয়মিত ফলো করতে থাকো। মাধ্যমিক পরীক্ষায় ভাল ফল করতে এই প্রশ্নগুলি তৈরি করে নাও।
মাধ্যমিক ইংরাজি সহ অন্যান্য বিষয়ের উপর এই ধরনের প্রশ্নোত্তর পেতে আমাদের পেজটি নিয়মিত follow করতে থাকো।
একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণের সাধারণ আকার হলো:
ax² + bx + c = 0 যেখানে a, b, c যেকোনো বাস্তব সংখ্যা এবং a ≠ 0 হয়।
অর্থাৎ যেসব সমীকরণকে ax² + bx + c = 0 (যেখানে a, b, c যেকোনো বাস্তব সংখ্যা এবং a ≠ 0) আকারে প্রকাশ করা যায় তাদেরকে বাস্তব সহগযুক্ত একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ বলে।
একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ এর বৈশিষ্ট্য হলো:
(i) একটিমাত্র চল থাকবে।
(ii) চলের সর্বোচ্চ ঘাত 2 হতে হবে।
(iii) দ্বিঘাত চলযুক্ত পদের সহগ অবশ্যই কোনো অশূন্য বাস্তব সংখ্যা হবে।
(iv) চলের সহগগুলো বাস্তব হবে।
বীজ: যে সকল বাস্তব সংখ্যা বা রাশি কোন প্রদত্ত সমীকরণকে সিদ্ধ করে সেই সমস্ত বাস্তব সংখ্যা বা রাশিকে ওই সমীকরণের বীজ বলে।
একটি একচলবিশিষ্ট একঘাত সমীকরণের বীজের সংখ্যা হবে 1 এবং একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণের বীজের সংখ্যা হবে 2
দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.2
প্রশ্ন নম্বর – 1-(i),(ii)
1. নীচের প্রতিক্ষেত্রে প্রদত্ত মানগুলি প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ কিনা যাচাই করে লিখি:
(i) x² + x + 1 = 0, 1 ও -1
(ii) 8x² + 7x = 0, 0 ও 2
(iii) x + ¹/_x = ¹³/₆, ⁵/₆ ও ⁴/₃
(iv) x²- √3x – 6=0, -√3 ও 2√3

সমাধানঃ
(i) x² + x + 1 = 0
সমীকরণের বামপক্ষে x = 1 বসিয়ে পাই,
(1)² + 1 + 1
= 1 + 1 + 1
= 3 ≠ 0
আবার সমীকরণের বামপক্ষে x = -1 বসিয়ে পাই,
(-1)² + (-1) +1
= 1 – 1 + 1 = 1 ≠ 0
∴ 1 ও -1 দ্বারা সমীকরণটী সিদ্ধ হচ্ছে না।
তাই 1 ও -1 দ্বিঘাত সমীকরণটীর বীজ নয়।

(ii) 8x² + 7x = 0
সমীকরণের বামপক্ষে x = 0 বসিয়ে পাই,
8x(0)² + 7×0
= 0 + 0 = 0 = 0
আবার সমীকরণের বামপক্ষে x = 2 বসিয়ে পাই,
8x(2)² + 7×2
= 8×4 + 14
= 32 +14 = 46 ≠ 0
∴ 0 দ্বারা সমীকরণটী সিদ্ধ হচ্ছে । কিন্তু 2 দ্বারা সমীকরনটী সিদ্ধ হচ্ছে না।
তাই 0 দ্বিঘাত সমীকরণটীর বীজ কিন্তু 2 দ্বিঘাত সমীকরণটীর বীজ নয়।
Madhyamik Previous Year (2017 – 2024) MATHEMATICS Question with complete solution|
বিগত বছরের (2017 – 2024) মাধ্যমিক গণিত প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নীচের BUTTON-এ CLICK করো|
CLICK
দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.2
প্রশ্ন নম্বর – 1-(iii),(iv)
(iii) Solution:
x + ¹/_x = ¹³/₆ সমীকরণের বামপক্ষে x = ⁵/₆ বসিয়ে পাই,
\(\Large{\quad\frac {4}{3}+\frac {1}{\frac {4}{3}}\\=\frac {4}{3}+\frac {3}{4}\\=\frac {16+9}{12}\\=\quad\frac {25}{12}≠\quad\frac {13}{6}}\) আবার
x + ¹/_x = ¹³/₆ সমীকরণের বামপক্ষে x = ⁴/₃ বসিয়ে পাই,
\(\Large{\quad\frac {5}{6}+\frac {1}{\frac {5}{6}}\\=\frac {5}{6}+\frac {6}{5}\\=\frac {25+36}{30}\\=\frac {61}{30}\\≠\quad\frac {13}{6}}\)
∴ ⁵/₆ ও ⁴/₃ দ্বারা সমীকরণটী সিদ্ধ হচ্ছে না।
তাই ⁵/₆ ও ⁴/₃ দ্বিঘাত সমীকরণটীর বীজ নয়।
(iv) x²– √3x – 6 = 0, -√3 ও 2√3
সমীকরণের বামপক্ষে x = -√3 বসিয়ে পাই,
(-√3)² – √3x(-√3) – 6 = 3 + 3 – 6 = 6 – 6 = 0
আবার সমীকরণের বামপক্ষে x = 2√3 বসিয়ে পাই,
(2√3)² – √3x(2√3) – 6 = 12 – 6 – 6 = 12 – 12 = 0
∴ -√3 ও 2√3 দ্বারা সমীকরণটী সিদ্ধ হচ্ছে ।
তাই -√3 ও 2√3 দ্বিঘাত সমীকরণটীর দুটি বীজ ।
দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.2
প্রশ্ন নম্বর – 2-(i),(ii),(iii)
2 (i) k-এর কোন মানের জন্য 7x² + kx – 3 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ ²/₃ হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
7x² + kx – 3 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ ²/₃
∴ 7(²/₃)² + k.²/₃ – 3 = 0
বা, ²⁸/₉ + ^2k/₃ – 3 = 0
⇒ 28 + 6k – 27 =0
বা, 6k – 1 =0
বা, k = –¹/₆
উত্তরঃ k-এর মান –¹/₆ হলে 7x² + kx – 3 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ ²/₃ হবে ।
(ii) k-এর কোন মানের জন্য x² + 3ax + k = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ -a হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
x²+3ax+k=0 দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ -a;
∴ (-a)² + 3a.(-)a – k = 0
বা, a² – 3a² – k = 0
⇒ -2a²– k =0
বা, k = 2a²
উত্তরঃ k-এর মান 2a² হলে x² + 3ax + k = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ -a হবে ।
দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নিচের BUTTON-এ ক্লিক করো।
CLICK
দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.2
প্রশ্ন নম্বর – 3
3. যদি ax² + 7x + b = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ ²/₃ এবং -3 হয় তবে a ও b-এর মান নির্ণয় করি
সমাধানঃ
ax² + 7x + b = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ ⅔ এবং -3
∴ a(²/₃)² + 7.²/₃ + b = 0
বা, ^4a/₉ + ¹⁴/₃ + b =0
বা, 4a + 42 + 9b = 0 ………………….(i)
আবার,
a(-3)² + 7.(-3) + b = 0
বা, 9a – 21 + b = 0
বা, b = 21 – 9a………………….(ii)
(i) নং সমীকরণে b = 21 – 9a বসিয়ে পাই,
4a + 42 + 9(21 – 9a) = 0
বা, 4a + 42 + 189 – 81a = 0
⇒ -77a + 231 = 0
বা, -77a = -231
বা, a = 3
(ii) নং-এ সমীকরণে a = 3 বসিয়ে পাই,
b = 21 – 9a
বা, b = 21 – 9×3
বা, b = 21 -27
∴ b = -6
উত্তরঃ a = 3 এবং b = -6
মাধ্যমিকের গণিতের App Madhyamik Mathematics ডাউনলোড করতে এখানে CLICK কর।
দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.2
প্রশ্ন নম্বর – 4-(i),(ii),(iii)
4. সমাধান করোঃ
(i) 3y² – 20 = 160 -2y²
সমাধানঃ
3y² – 20 = 160 -2y²
⇒ 3y² + 2y² = 160 – 20
⇒ 5y² = 180
∴ y² = 36
⇒ y = ± √36
⇒ y = ± 6
নির্ণেয় সমাধানঃ y = – 6 এবং y = 6
(ii) (2x + 1)² + (x + 1)² = 6x + 47
সমাধানঃ
(2x + 1)² + (x + 1)² = 6x + 47
⇒ 4x² + 4x + 1 + x² + 2x + 1 = 6x + 47
⇒ 5x² + 6x + 2 = 6x + 47
5×2 = 6x – 6x + 47 – 2
⇒ 5x² = 45
⇒ x² = 9
x = ±√9
⇒ x = ± 3
নির্ণেয় সমাধানঃ x = – 3 এবং x = 3
(iii) (x – 7)(x -9) = 195
সমাধানঃ
(x – 7)(x -9) = 195
⇒ x² – 9x -7x + 63 = 195
⇒ x² – 16x + 63 – 195 = 0
x² – 16x – 132 = 0
⇒ x² -22x + 6x – 132 = 0
∴ x(x -22) + 6(x – 22) = 0
⇒ (x -22)(x + 6) = 0
হয় (x -22) = 0 নতুবা, (x + 6) = 0
∴ x = 22 . ∴ x = – 6
নির্ণেয় সমাধানঃ x = – 6 এবং x = 22
দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.2
প্রশ্ন নম্বর – 4-(iv),(v),(vi)
\(\Large{\mathbf{(iv) \quad 3x-\frac {24}{x}=\frac {x}{3},\quad x≠0\\Solution:}}\)\(\Large{\quad 3x-\frac {24}{x}=\frac {x}{3}\\⇒ \frac {3x^{2}-24}{x}=\frac {x}{3}}\)
⇒ 3(3x² – 24) = x²
9x² – 72 = x²
⇒ 9x² – x² = 72
⇒ 8x² = 72
∴ x² = 9
∴ x = ±3
Ans: নির্ণেয় সমাধানঃ x = – 3 এবং x = 3
\(\Large{}\) \(\Large{\mathbf{(v) \quad \frac {x}{3}+\frac {3}{x}=\frac {15}{x},\quad x≠0\\Solution:}}\)
\(\Large{ \quad \frac {x}{3}+\frac {3}{x}=\frac {15}{x}\\⇒ \frac {x^{2}+9}{3x}=\frac {15}{x}\\⇒ \frac {x^{2}+9}{3}=15….[∵ x≠0] }\)
x² + 9 = 45
⇒ x² = 45 – 9
⇒ x² = 36
∴ x = √36
∴ x = ±6
Ans: নির্ণেয় সমাধানঃ x = – 6 এবং x = 6
\(\Large{\mathbf{(vi) \quad 10x-\frac {1}{x}=3,\quad x≠0}}\)
Solution:
\(\Large{ \quad 10x-\frac {1}{x}=3\\⇒\frac {10x^{2}-1}{x}=3}\)
⇒ 10x² – 1 = 3x
10x² – 3x – 1 = 0
⇒ 10x² – 5x + 2x – 1 = 0
⇒ 5x(2x – 1) +1(2x – 1) = 0
(2x – 1)(5x + 1) = 0
হয় (2x – 1) = 0 বা, (5x + 1) = 0
∴ 2x = 1 ∴ 5x = -1
∴ x = ¹/₂ ∴ x = –¹/₅
Ans: নির্ণেয় সমাধানঃ x = – ¹/₅ এবং x = ¹/₂
ত্রিভুজের অন্তর্বৃত্ত অঙ্কন পদ্ধতি : CLICK HERE
দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.2
প্রশ্ন নম্বর – 4-(vii),(viii)
\(\Large{\mathbf{(vii) \quad \frac {2}{x^2}-\frac {5}{x}+2=0,\quad x≠0\\Solution:}}\)\(\Large{\quad \frac {2}{x^2}-\frac {5}{x}+2=0\\⇒ \frac {2-5x+2x^{2}}{x^2}=0}\)
⇒ 2x² – 5x + 2 = 0
2x² – 4x – x + 2 = 0
⇒ 2x(x – 2) -1(x – 2) = 0
⇒ (x – 2)(2x – 1) = 0
হয় x – 2 = 0 নতুবা, 2x – 1 = 0
∴ x = 2 ∴ 2x = 1
∴ x = ¹/₂
Ans: নির্ণেয় সমাধানঃ x = ¹/₂ এবং x = 2
\(\Large{\mathbf{(viii) \quad\frac{x-2}{x+2}-6\left(\frac{x-2}{x-6}\right)=1,\\\quad x≠-2,6\\Solution:}}\)\(\Large{\quad\frac{x-2}{x+2}+6\left(\frac{x-2}{x-6}\right)=1\\⇒\frac{x-2}{x+2}=1-6\left(\frac{x-2}{x-6}\right)\\⇒\frac{x-2}{x+2}=1-\frac {6x-12}{x-6}\\\quad \frac{x-2}{x+2}=\frac{(x-6)-(6x-12)}{x-6}\\⇒\frac{x-2}{x+2}=\frac{x-6-6x+12}{x-6}\\⇒\frac{x-2}{x+2}=\frac{x-6-6x+12}{x-6}\\\quad \frac {x-2}{x+2}=\frac {6-5x}{x-6}}\)
⇒ (x – 2)(x – 6) = (6 – 5x)(x + 2)
⇒ x² – 6x – 2x + 12 = 6x + 12 -5x² -10x
x² + 5x² – 8x + 4x = 0
⇒ 6x² – 4x = 0
⇒ 2x(3x – 2) = 0
হয় 2x = 0 নতুবা, 3x – 2 = 0
∴ x = 0 ∴ 3x = 2
∴ x = ²/₃
Ans: নির্ণেয় সমাধানঃ x = 0 এবং x = ²/₃
দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.2
প্রশ্ন নম্বর – 4-(ix),(x),(xi)
\(\Large{\mathbf{(ix)\quad \frac {1}{x-3}-\frac {1}{x+5}=\frac {1}{6},\quad x≠3,-5\\Solution:}}\)\(\Large{\quad\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+5}=\frac{1}{6}\\⇒\frac{(x+5)-(x-3)}{(x-3)(x+5)}=\frac{1}{6}\\⇒\frac{x+5-x+3}{x^{2}+5x-3x-15}=\frac {1}{6}\\\quad \frac {8}{x^{2}+2x-15}=\frac {1}{6}}\)
⇒ x² + 2x – 15 = 48
⇒ x² + 2x – 15 – 48 = 0
x² + 2x – 63 = 0
⇒ x² + 9x – 7x – 63 = 0
⇒ x(x + 9) – 7(x + 9) = 0
(x + 9)(x – 7) = 0
হয় x + 9 = 0 নতুবা, x – 7 = 0
∴ x = -9 ∴ x = 7
Ans: নির্ণেয় সমাধানঃ x = -9 এবং x = 7
\(\Large{\mathbf{(x)\quad \frac {x}{x+1}+\frac {x+1}{x}=2\frac {1}{12},\quad x≠0,-1\\Solution:}}\)\(\Large{ \quad \frac {x}{x+1}+\frac {x+1}{x}=2\frac {1}{12}}\)
ধরি, ^x/_x+1 = a
∴ a + ¹/_a =2 ¹/₁₂
⇒ ^{a² + 1}/_a = ²⁵/₁₂
⇒ 12(a² + 1) = 25a
12a² + 12 = 25a
⇒ 12a² – 25a + 12 = 0
⇒ 12a² – 16a – 9a + 12 = 0
4a(3a – 4) -3(a – 4) = 0
⇒ (3a – 4)(4a – 3) = 0
হয় 3a – 4 = 0 নতুবা, 4a – 3 = 0
বা, a = ⁴/₃ বা, a = ³/₄
a = ^x/_x+1 বসিয়ে পাই,
^x/_x+1 = ⁴/₃ ^x/_x+1 = ³/₄
বা, 4x + 4 = 3x বা, 4x = 3x + 3
বা, x = -4 বা, x = 3
Ans: নির্ণেয় সমাধানঃ x = -4 এবং x = 3
\(\Large{\mathbf{(xi)\quad \frac {ax+b}{a+bx}=\frac {cx+d}{c+dx},\quad [a≠b,c≠d], x≠\frac {a}{-b},\frac {-c}{d}\\Solution:}}\)\(\Large{ \quad\quad \frac {ax+b}{a+bx}=\frac {cx+d}{c+dx}}\)
⇒ (ax + b)(c + dx) = (cx + d)(a + bx)
acx + adx² + bc + bdx = acx + bcx² + ad + bdx
⇒ acx + adx² + bdx – acx – bcx² – bdx = ad – bc
⇒ adx² – bcx² = ad – bc
(ad – bc)x² = (ad – bc)
⇒ x² = 1
⇒ x = ±1
Ans: নির্ণেয় সমাধানঃ x = 1 এবং x = -1
দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.2
প্রশ্ন নম্বর – 4-(xii),(xiii),(xiv)
\(\Large{\mathbf{(xii)\quad (2x+1)+ \frac {3}{2x+1}=4, \quad x≠ -\frac {1}{2}\\Solution:}}\)\(\Large{ \quad (2x+1)+ \frac {3}{2x+1}=4}\)
ধরি, 2x + 1 = a
\(\Large{ \quad\therefore \quad a+\frac {3}{a}=4\\⇒\quad \frac {a^{2}+3}{a}=4}\)
⇒ a² – 4a +3 = 0
a² – 3a – a +3 = 0
⇒ a(a – 3) -1(a – 3) = 0
⇒ (a – 3)(a – 1) = 0
হয় a – 3 = 0 নতুবা, a – 1 = 0
বা, a = 3 বা, a = 1
a = (2x + 1) বসিয়ে পাই,
2x + 1 =3 2x + 1 = 1
বা, 2x = 2 বা, 2x = 0
বা, x = 1 বা, x = 0
Ans: নির্ণেয় সমাধানঃ x = 0 এবং x = 1
\(\Large{\mathbf{(xiii)\quad \frac {x+1}{2}+ \frac {2}{x+1}=\frac {x+1}{3}+\frac {3}{x+1}-\frac {5}{6}, \quad x≠ -1\\Solution:}}\)
\(\Large{\quad\frac {x+1}{2}+ \frac {2}{x+1}=\frac {x+1}{3}+\frac {3}{x+1}-\frac {5}{6}\\⇒ \frac {2}{x+1}-\frac {3}{x+1}=\frac {x+1}{3}-\frac {x+1}{2}-\frac {5}{6}\\⇒ \frac {2-3}{x+1}=\frac {2(x+1)-3(x+1)-5}{6}\\\quad \frac {-1}{x+1}=\frac {2x+2-3x-3-5}{6}\\⇒ \frac {-1}{x+1}=\frac {-x-6}{6}\\⇒ \frac {-1}{x+1}=\frac {-(x+6)}{6}\\\quad \frac {1}{x+1}=\frac {x+6}{6}}\)
⇒ (x + 1)(x + 6) = 0
⇒ x² + 6x + x + 6 – 6 = 0
x² + 7x = 0
⇒ x(x + 7) = 0
হয় x = 0 নতুবা, x + 7 = 0
∴ x = -7
Ans: নির্ণেয় সমাধানঃ x = -7 এবং x = 0
দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.2
প্রশ্ন নম্বর – 4-(xv),(xvi)
\(\Large{\mathbf{(xiv)\quad \frac {12x+17}{3x+1}- \frac {2x+15}{x+7}=3\frac {1}{5}, \quad x≠ \frac {1}{3},-7\\Solution:}}\)
\(\Large{\quad{12x+17}{3x+1}-\frac{2x+15}{x+7}=3\frac{1}{5}\\⇒\frac{4(3x+1)+13}{3x+1}-\frac{2(x+7)+1}{x+7}=3\frac {1}{5}\\ ⇒ 4+\frac {13}{3x+1}-2- \frac {1}{x+7}=3+\frac {1}{5}\\\quad 2+\frac {13}{3x+1}-\frac{1}{x+7}=3+\frac{1}{5}\\⇒\frac {13}{3x+1}-\frac{1}{x+7}=3+\frac{1}{5}-2\\⇒\frac{13(x+7)-(3x+1)}{(3x+1)(x+7)}=1+\frac{1}{5}\\\quad\frac{13x+91-3x-1}{3x^{2}+21x+x+7}=\frac{5+1}{5}\\⇒\frac{10x+90}{3x^{2}+22x+7}=\frac{6}{5}\\⇒\frac{2(5x+45)}{3x^{2}+22x+7}=\frac{6}{5}\\\quad\frac{5x+45}{3x^{2}+22x+7}=\frac {3}{5}}\)
3(3x² + 22x + 7) = 5(5x + 45)
⇒ 9x² + 66x + 21 = 25x + 225
⇒ 9x² + 66x + 21 – 25x – 225 = 0
9x² + 41x – 204 = 0
⇒ 9×2 + 68x – 27x – 204 = 0
⇒ x(9x + 68) – 3(9x + 68) = 0
(9x + 68)(x – 3) = 0
হয় 9x + 68 = 0 নতুবা, x – 3 = 0
বা, 9x = -68 ∴ x = 3
বা, x= –⁶⁸/₉
Ans: নির্ণেয় সমাধানঃ x = – ⁶⁸/₉ এবং x = 3
\(\Large{}\) \(\Large{\mathbf{(xv)\quad \left ( \frac {x+3}{x-3}\right)^2 + 6 \left( \frac {x-3}{x+3}\right)=5, \quad x≠ 3,-3\\Solution: }}\)\(\Large{\left ( \frac {x+3}{x-3}\right) + 6 \left( \frac {x-3}{x+3}\right)=5}\)
ধরি, \(\Large{ \quad\frac {x+3}{x-3}=a\\ \therefore \quad a + 6\times \frac {1}{a}=5\\ ⇒ \quad \frac {a^{2}+6}{a}=5}\)
⇒ a² + 6 = 5a
a² – 5a + 6 = 0
⇒ a² – 3a – 2a + 6 = 0
⇒ a(a – 3) – 2(a – 3) = 0
(a – 3)(a – 2) = 0
হয় a – 3 = 0 নতুবা, a – 2 = 0
∴ a = 3 ∴ a = 2
a = ^(x+3)/_(x-3) বসিয়ে পাই,
^(x+3)/_(x-3) = 3 ^(x+3)/_(x-3) = 2
∴ 3(x – 3) = x + 3 ∴ 2(x – 3) = x + 3
∴ 3x – x = 3 + 9 ∴ 2x – x = 3 + 6
x = 6 x = 9
Ans: নির্ণেয় সমাধানঃ x = 6 এবং x = 9
\(\large{\mathbf{(xvi)\quad \frac {1}{x+a+b}=\frac {1}{a}+\frac {1}{b}+\frac {1}{x}\quad x≠ 0,-(a+b)\\Solution:}\\\quad\frac{1}{x+a+b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{x}\\⇒\frac {1}{x+a+b}-\frac{1}{x}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\\⇒\frac{x-(x+a+b)}{x(x+a+b)}=\frac{b+a}{ab}\\\quad\frac {x-x-a-b}{x^{2}+ax+bx}=\frac{b+a}{ab}\\⇒ \frac {-a-b}{x^{2}+ax+bx}=\frac {b+a}{ab}\\⇒\frac{-(a+b)}{x^{2}+ax+bx}=\frac{b+a}{ab}\\\quad\frac {-1}{x^{2}+ax+bx}=\frac {1}{ab}}\)
Solution:
∴ x² + ax + bx = -ab
∴ x² + ax + bx + ab = 0
⇒ x(x + a) + b(x + a) = 0
⇒ (x + a)(x + b) = 0
হয় x + a = 0 নতুবা x + b = 0
∴ x = -a ∴ x = -b
Ans: নির্ণেয় সমাধানঃ x = – a এবং x = – b
দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.2
প্রশ্ন নম্বর – 4-(xvii),(xviii)
\(\Large{}\) \(\Large{\mathbf{(xvii)\quad \left( \quad \frac {x+a}{x-a}\right)^2 – 5\left( \frac {x+a}{x-a}\right)+6=0 \quad x≠ a}}\) \(\Large{ \quad}\)
Solution:
\(\Large{ \quad\quad \left( \quad \frac {x+a}{x-a}\right)^2 – 5\left( \frac {x+a}{x-a}\right)+6=0\\}\)ধরি,\(\Large{ \quad\frac {x+a}{x-a}=p}\)
∴ p² – 5p + 6 = 0
∴ p² – 3p – 2p + 6 = 0
⇒ p(p – 3) -2(p – 3) = 0
⇒ (p – 3)(p – 2) = 0
হয় p – 3 = 0 নতুবা, p – 2 = 0
∴ p = 3 ∴ p = 2
p = ^(x+a)/_(x-a) বসিয়ে পাই,
^(x+a)/_(x-a) = 3 ^(x+a)/_(x-a) = 2
∴ 3(x – a) = x + a ∴ 2(x – a) = x + a
∴ 3x – x = a + 3a ∴ 2x – x = a + 2a
x = 2a x = 3a
Ans: নির্ণেয় সমাধানঃ x = 2a এবং x = 3a
\(\Large{}\) \(\Large{\mathbf{(xviii)\quad \frac {1}{x}-\frac {1}{x+b}=\frac {1}{a}-\frac {1}{a+b},\quad x≠0,-b}}\)
Solution:
\(\Large{ \quad\quad\frac {1}{x}-\frac {1}{x+b}=\frac {1}{a}-\frac {1}{a+b}\\⇒ \frac {(x+b)-x}{x(x+b)}=\frac {(a+b)-a}{a(a+b)}\\⇒ \frac {x+b-x}{x^{2}+bx}=\frac {a+b-a}{a^{2}+ab}\\\quad\frac {b}{x^{2}+bx}=\frac {b}{a^{2}+ab}\\⇒ \frac {1}{x^{2}+bx}=\frac {1}{a^{2}+ab}\\}\)
∴ x² + bx = a² + ab
∴ x² – a² + bx – ab = 0
⇒ (x + a)(x – a) + b(x – a) = 0
⇒ (x – a)(x + a + b) = 0
হয় x – a = 0 নতুবা, x + a + b = 0
∴ x = a ∴ x = -(a + b)
Ans: নির্ণেয় সমাধানঃ x = a, -(a + b)
দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.2
প্রশ্ন নম্বর – 4-(xix),(xx),(xxi)
\(\Large{}\) \(\Large{\mathbf{(xix)\quad \frac {1}{(x-1)(x-2)}+\frac {1}{(x-2)(x-3)}+\frac {1}{(x-3)(x-4)}=\frac {1}{6},x≠1,2,3,4}}\)
Solution:
\(\Large{ \quad\quad\frac {1}{(x-1)(x-2)}+\frac {1}{(x-2)(x-3)}+\frac {1}{(x-3)(x-4)}=\frac {1}{6}\\⇒ \frac {(x-1)-(x-2)}{(x-1)(x-2)}+\frac {(x-2)-(x-3)}{(x-2)(x-3)}+\frac {(x-3)-(x-4)}{(x-3)(x-4}=\frac {1}{6}\\⇒ \frac {1}{x-2}-\frac {1}{x-1}+\frac {1}{x-3}-\frac {1}{x-2}+\frac {1}{x-4}-\frac {1}{x-3}=\frac {1}{6}\\∴ -\frac {1}{x-1}+\frac {1}{x-4}=\frac {1}{6}\\⇒ \frac {-(x-4)+(x-1)}{(x-1)(x-4)}=\frac {1}{6}\\⇒ \frac {-x+4+x-1}{x^{2}-4x-x+4}=\frac {1}{6}\\∴ \frac {3}{x^{2}-5x+4}=\frac {1}{6}}\)
⇒ x² – 5x + 4 = 18
⇒ x² – 5x – 14 = 0
x² – 7x + 2x – 14 = 0
⇒ x(x – 7) + 2(x – 7) = 0
⇒ (x – 7)(x + 2) = 0
হয় x – 7 = 0 নতুবা, x + 2 = 0
∴ x = 7 ∴ x = -2
Ans: নির্ণেয় সমাধানঃ x = -2, 7
\(\Large{}\) \(\Large{\mathbf{(xx)\quad \frac {a}{x-a}+\frac {b}{x-b}=\frac {2c}{x-c},\quad x≠a,b,c}}\)
Solution:
\(\Large{ \quad\frac{a}{x – a } + \frac{b}{x – b} = \frac{2c}{x – c}\\= \frac{a}{x – a } + 1 + \frac{b}{x – b} + 1= \frac{2c}{x – c} + 2\\= \frac{a + x – a}{x – a } + \frac{b + x – b}{x – b} = \frac{2c + 2x – 2c}{x – c}\\⇒ \frac{x}{x – a } + \frac{x}{x – b} = \frac{2x}{x – c}⇒ \frac{x}{x – a } + \frac{x}{x – b} – \frac{2x}{x – c} =0\\=x\left(\frac{1}{x – a } + \frac{1}{x – b} – \frac{2}{x – c}\right) =0}\)
হয় x = 0
অথবা
\(\Large{ \quad\frac{1}{x – a } + \frac{1}{x – b} – \frac{2}{x – c} =0\\=\frac{1}{x – a } – \frac{1}{x – c} = \frac{1}{x – c} – \frac{1}{x – b}\\=\frac{x – c – x + a}{(x – a)(x – c)} = \frac{x – b – x + c}{(x – b)(x – c)}\\⇒\frac{a – c}{x – a} = \frac{c – b}{x – b}}\)
∴ (x – a)(c – b) = (x – b)(a – c)
⇒ cx – ac – bx + ab = ax – cx – ab + bc
⇒ cx – bx – ax + cx = ac – ab – ab + bc
2cx – bx – ax = ac – 2ab + bc
⇒ x(2c – b – a) = ac + bc – 2ab
∴ x = ^{ac + bc – 2ab}/_{2c – a – b}
Ans: নির্ণেয় সমাধানঃ x = 0, ^{ac + bc – 2ab}/_{2c – a – b}
(xxi) x² – (√3 + 2)x + 2√3 = 0
Solution:
x² – (√3 + 2)x + 2√3 = 0
⇒ x² – (√3 + 2)x + 2√3 = 0
⇒ x² – √3x – 2x + 2√3 = 0
বা, x(x – √3) – 2(x – √3) = 0
বা, (x – √3)(x – 2) = 0
হয় x – √3 = 0 নতুবা, x – 2 = 0
∴ x = √3 ∴ x = 2
Ans: নির্ণেয় সমাধানঃ x = √3, 2
Madhyamik Question
MP-2024
▶️ সমাধান কর:
\(\Large{\mathbf{\quad (2x+1)+ \frac {3}{2x+1}=4, \quad x≠ -\frac {1}{2}}}\)
VIEW ANSER
MP-2023
▶️ সমাধান কর:
\(\Large{\mathbf{\quad\frac{x-3}{x+3}-\frac{x+3}{x-3}+6\frac{6}{7}=0\quad (x ≠ 3, -3)}}\)
VIEW ANSER
MP-2022
▶️ x² = 100 সমীকরণের দুটি বীজ হল ± 10. (সত্য বা মিথ্যা)
Ans: সত্য
[ x² = 100
⇒ x = ±√100
∴ x = ±10]
▶️ সমাধান কর:
\(\Large{\mathbf{\quad \frac {1}{x+a+b}=\frac {1}{a}+\frac {1}{b}+\frac {1}{x}\quad x≠ 0,-(a+b)}}\)
VIEW ANSER
MP-2020
▶️ সমাধান কর:
\(\Large{\mathbf{\quad\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+5}=\frac{1}{6}}}\) \(\Large{}\)
VIEW ANSER
MP-2018
▶️ সমাধান কর:
\(\large{\mathbf{\quad\left(\frac{x+4}{x-4}\right)^2-5\left(\frac{x+4}{x-4}\right)+6=0, (x≠4)}}\)
VIEW ANSER
MP-2017
▶️ সমাধান কর:
\(\Large{\mathbf{\quad \frac {1}{x+a+b}=\frac {1}{a}+\frac {1}{b}+\frac {1}{x}\quad x≠ 0,-(a+b)}}\)
VIEW ANSER
PREVIOUS
NEXT
January 12, 2023

error: Content is protected !!