PROSTUTI

Author: TEAM PROSTUTI

  • Set Theory From SN DeyClass-XI Free Solution Of সেটতত্ত্ব প্রশ্নমালা- 1 (SA)

    Set Theory From SN DeyClass-XI Free Solution Of সেটতত্ত্ব প্রশ্নমালা- 1 (SA)

    Set Theory From SN DeyClass-XI Free Solution Of সেটতত্ত্ব প্রশ্নমালা- 1 (SA)

    Set Theory From SN DeyClass-XI Free Solution Of সেটতত্ত্ব প্রশ্নমালা- 1 (SA)

    সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী (SA)

    1 সংক্ষিপ্ত টীকা লেখো:
    (i) সেট্সমূহের ধারণা, উপসেট্‌, দুটি সেটের সমতা, সার্বিক সেট্ এবং শূন্য সেট্, সসীম ও অসীম সেট্।
    S. N. DEY এর অনুচ্ছেদ 1.3 , অনুচ্ছেদ 1.5 এর 4, 5, 7, 3,1 দেখো।

    (ii) দুটি সেটের যোগ, ছেদ ও অন্তর, পূরকতা।
    S. N. DEY এর অনুচ্ছেদ 1.8 এর 1, 2, 4, 5 দেখো।

    2. ভেন চিত্র কী? সেট তত্ত্বে এর গুরুত্ব ব্যাখ্যা করো।

    3 সেটের বীজগাণিতিক সূত্রসমূহ বিবৃত করো।

    ▶️ বর্গৈকসম সূত্র
    A যেকোনো একটি সেট হলে
    (i) A ⋃ A = A
    (ii) A ⋂ A = A

    ▶️ বিনিময় সূত্র
    A এবং B যেকোনো দুটি সেট হলে
    (i) A ⋃ B = B ⋃ A 
    (ii) A ⋂ B = B ⋂ A 
    এবং AB = BA 

    ▶️ সেটের সংযোগ সূত্র (Associative Law):
    A, B, C যে-কোনো তিনটি সেট হলে,
    (i) (A ⋃ B) ⋃ C = A ⋃ (B ⋃ C 
    (ii) (A ⋂ B) ⋂ C = A ⋂ (B ⋂ C)

    ▶️ সেটের বণ্টন সূত্র (Distributive Law):
    A,B,C যে-কোনো তিনটি সেট হলে,
    (i) A ⋃ ( B ⋂ C) = (A ⋃ B) ⋂ (A ⋃ C)
    (ii) A ⋂ (B ⋃ C) = (A ⋂ B) ⋃ (A ⋂ C)

    ▶️ অভেদ সূত্র (Identity Law):
    A যে-কোনো সেট এবং U সার্বিক সেট এবং ∅ শুন্য সেট হলে,
    (i) A ⋃ ϕ = A
    (ii) A ⋂ U = A
    (iii) A ⋃ U = U
    (iv) A ⋂ ϕ = ϕ

    Set Theory

    ▶️ পূরক সূত্র(Complement Law):
    U সার্বিক সেট, A যেকোন একটি সেট এবং ϕ শুন্য সেট এবং U′, A′ এবং ϕ′ যথাক্রমে তাদের পূরক সেট হলে,
    (i) A ⋃ A′ = U
    (ii) A ⋂ A′ = ϕ
    (iii) (A′)′ = A
    (iv) U′ = ϕ
    (v) ϕ′ = U

    ডি মরগানের সূত্র(De Morgan’s Law) :
    A,B যেকোন দুইটি সেট এবং A′ ও B′ তাদের পূরক সেট হলে,
    (i) (A ⋃ B)′ = A′ ⋂ B′
    (ii) (A ⋂ B)′ = A′ ⋃ B′

    একাধিক সসীম সেটের যোগের পদসংখ্যা নির্ণয়ঃ
    A একটি সসীম সেট হলে, A এর পদসংখ্যা n(A) দিয়ে প্রকাশ করা হয়।
    A এবং B দুইটি সসীম সেট হলে (A⋃B) ও একটি সসীম সেট হবে।
    (i) n(A⋃B) = n(A) + n(B) – n(A⋂B)
    (ii) n(A⋃B)′ = n(S) – n(A⋃B) = n(S) – n(A) – n(B) + n(A⋂B)
    (iii) n(A⋃B⋃C) = n(A) + n(B) + n(C) – (A⋂B) – n(B⋂C) – n(C⋂A) + n(A⋂B⋂C)

    4 দেখাও যে, n-সংখ্যক পদবিশিষ্ট কোনো সসীম সেট্ A-র সূচক সেট্ 2n -সংখ্যক পদবিশিষ্ট হবে।

    সমাধানঃ
    ধরি, A একটি সেট যার উপাদান বা পদের সংখ্যা n.
    A সেটে যদি কোনো পদ না থাকে সেক্ষেত্রে উপসেটের সংখ্যা = nC0
    A সেটে যদি 1টি পদ থাকে সেক্ষেত্রে উপসেটের সংখ্যা = nC1
    আবার A সেটে যদি 2টি পদ থাকে সেক্ষেত্রে উপসেটের সংখ্যা = nC2
    – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –
    A সেটে যদি nটি পদ থাকে সেক্ষেত্রে উপসেটের সংখ্যা = nCn
    ∴A সেট্‌ থেকে যে সকল উপসেট্ গঠন করা যায় তার মোট সংখ্যা
    = nC0 + nC1 + nC2 + ….. + nCn
    এখন, (1 + x)n = nC0 + nC1.x+ nC2.x2 + ….. + nCn.xn
    x-এর স্থলে 1 বসিয়ে পাই,
    2″ = nC0 + nC1 + nC2 + ….. + nCn
    ∴ নির্ণেয় মোট উপসেটের সংখ্যা = 2. 1

    সেটতত্ত্ব || SN Dey Class-XI Free Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1

    সেট তত্ত্ব Set Theoryপ্রশ্নমালা- 1
    সসীম সেট, অসীম সেট ও শূন্য সেটCLICK HERE
    উপসেট , অধিসেট, সমান সেট,সার্বিক সেট,সূচক সেটCLICK HERE
    ভেনচিত্র, সেট প্রক্রিয়াসমূহCLICK HERE
    বহু বিকল্প উত্তরধর্মী (MCQ)CLICK HERE
    অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী (VSA)CLICK HERE
    সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী (SA)CLICK HERE
    দীর্ঘ উত্তরধর্মী (LA)CLICK HERE

    Set Theory
    Q. NO. 5, 6

    5. মনে করো, A = {a, b, c}, B = {a, b}, C = {a, b, d}, D = {c, d} এবং E = {d} ; যুক্তিসহ নিম্নলিখিত বক্তব্যসমূহের কোন্গুলি সত্য বলো:
    (i) B ⊂ A
    (ii) D ⊅ E
    (iii) D ⊂ B
    (iv) {a} ⊂ A

    (i) B ⊂ A
    সমাধানঃ
    a, b ∈ A এবং a, b ∈ B
    আবার c ∈ A কিন্তু c ∉ B
    ∴ B ⊂ A বক্তব্যটি সত্য।

    (ii) D ⊅ E
    সমাধানঃ
    d ∈ E এবং d ∈ D
    আবার c ∈ D কিন্তু c ∉ E
    ∴ E ⊂ D
    ∴ D ⊅ E বক্তব্যটি সত্য নয়।

    (iii) D ⊂ B
    সমাধানঃ
    c ∈ D কিন্তু c ∉ B 
    ∴ D ⊂ B বক্তব্যটি সত্য নয়।

    (iv) {a} ⊂ A
    সমাধানঃ
    ∵ a ∈ A
    ∴ {a} ⊂ A বক্তব্যটি সত্য।

    Set Theory

    6. মনে করো, A = {a, b, c. d, e, f, g, h, i}, B = {b, d, f, h}, C = {a, c, e, g, i}, D = { c, d, e} এবং E = {c, e}। যদি নিম্নলিখিত তথ্য দেওয়া থাকে তবে কোন্ সেট্ X-এর সঙ্গে সমান হতে পারে?
    (i) X এবং B পরস্পর বিচ্ছেদ সেট
    (ii) X ⊂ A কিন্তু X ⊄ C
    (iii) X ⊂ D কিন্তু X ⊄ B
    (iv) X ⊂ C কিন্তু X ⊄ A

    (i) X এবং B পরস্পর বিচ্ছেদ সেট
    সমাধানঃ
    X এবং B পরস্পর বিচ্ছেদ সেট্ হবে যদি x ∈ B হয় কিন্তু x ∉ X হয়।
    এখানে b, d, f, h ∈ B কিন্তু b, d, f, h ∉ C এবং b, d, f, h ∉ E
    ∴ X = C বা X = E হতে পারে। (Ans)

    (ii) X ⊂ A কিন্তু X ⊄ C
    সমাধানঃ
    এখানে B, C, D, E প্রতিটি সেটই A এর সাবসেট।
    আবার B এবং D, C এর সাবসেট নয়।
    X = B বা X = D হতে পারে। (Ans)

    (iii) X ⊂ D কিন্তু X ⊄ B
    সমাধানঃ
    এখানে E সেট D এর সাবসেট। কিন্তু E এর সাবসেট নয়।
    X = E হতে পারে। (Ans)

    (iv) X ⊂ C কিন্তু X ⊄ A
    সমাধানঃ
    এখানে E সেট C এর সাবসেট।
    কিন্তু B, C, D, E প্রতিটি সেটই A এর সাবসেট।
    সুতরাং কোনো সেটই X-এর সঙ্গে সমান হতে পারে না। (Ans)

    Set Theory
    Q. NO. 7

    7. A = { a, b, c, d, e }, B = { a, c, e, g } এবং C = { b, c, f, g } হলে দেখাও যে,
    (i) ( A ∪ B) ∩ C = ( A ∩ C) ∪ ( B ∩ C)
    (ii) ( A ∩ B)  ∪ C = ( A ∪ C)  ∩ ( B ∪ C)

    (i) ( A ∪ B) ∩ C = ( A ∩ C) ∪ ( B ∩ C)
    সমাধানঃ
    A ∪ B = { a, b, c, d, e } ∪ { a, c, e, g }
    = { a, b, c, d, e, g }
    ( A ∪ B) ∩ C = { a, b, c, d, e, g } ∩ { b, c, f, g }
    = { b, c, g }
    A ∩ C = { a, b, c, d, e } ∩ { b, c, f, g }
    = { b, c }
    B ∩ C = { a, c, e, g } ∩ { b, c, f, g }
    = { c, g }
    ( A ∩ C) ∪ ( B ∩ C) = { b, c } ∪ { c, g }
    = {b, c, g }
    ∴( A ∪ B) ∩ C = ( A ∩ C) ∪ ( B ∩ C) (Proved)

    Set Theory

    (ii) ( A ∩ B)  ∪ C = ( A ∪ C)  ∩ ( B ∪ C)
    সমাধানঃ
    A ∩ B = { a, b, c, d, e } ∩ { a, c, e, g }
    = { a, c, e, }
    (A ∩ B)  ∪ C = { a, c, e, } ∪ { b, c, f, g }
    = {a, b, c, e, f, g }
    A ∪ C = { a, b, c, d, e } ∪ { b, c, f, g }
    = {a, b, c, e, f, g }
    B ∪ C = { a, c, e, g } ∪ { b, c, f, g }
    = {a, b, c, e, f, g }
    ∴ ( A ∪ C)  ∩ ( B ∪ C)
    = { a, b, c, d, e } ∩  {a, b, c, e, f, g }
    = {a, b, c, e, f, g } (Proved)

    Set Theory
    Q. NO. 8 (i), (ii)

    8. (i) মনে করো, সার্বিক সেট্ S = { 1, 2, 3, 4, 5 } এবং A = { 3, 4, 5 } ও B = { 1, 4, 5 } তার দুটি উপসেট্। যাচাই করে দেখাও যে, ( A ∪ B)’ = A’ ∩ B’ ।
    সমাধানঃ
    A ∪ B = { 3, 4, 5 } ∪  { 1, 4, 5 }
    = { 1, 3, 4, 5 }
    (A ∪ B)’ = S – (A ∪ B)
    = { 1, 2, 3, 4, 5 } – { 1, 3, 4, 5 }
    = {2}
    A’ = S – A
    = { 1, 2, 3, 4, 5 } – { 3, 4, 5 }
    = {1, 2}
    B’ = S – B
    =  { 1, 2, 3, 4, 5 } – {1, 4, 5}
    = {2, 3}
    A’ ∩ B’ =  {1, 2} ∩ {2, 3}
    = {2}
    ( A ∪ B)’ = A’ ∩ B’ (Proved)

    (ii) S = { 1, 2, 3, … ,  12 }-কে তিনটি সম উপাদান সংখ্যা বিশিষ্ট সেট্ A, B, C-তে বিভক্ত করা হল যাতে A ∪ B ∪ C = S, A ∩ B = B ∩ C = C ∩ A = ϕ হয়। এরূপে S-কে কত রকমভাবে বিভক্ত করা যাবে?
    সমাধানঃ
    S সেটে মোট পদ আছে 12টি।
    ∴ সেটটিকে তিনটি সম উপাদান সংখ্যা বিশিষ্ট সেটে ভাগ করলে প্রতিটি সেটে পদের সংখ্যা হবে 4 টি করে।
    আবার, A ∩ B = B ∩ C = C ∩ A = ϕ সুতরাং, A, B, C সেটের প্রতিটির পদ ভিন্ন ভিন্ন হবে। সুতরাং, এরূপে S-কে যতরকম ভাবে বিন্যস্ত করা যায় তা হল

    $$ \Large{=\frac {12!}{4! × 4! × 4!} \\ ⇒ \frac {12!}{(4!)^{3}}}$$

    Set Theory
    Q. NO. 9 (i), (ii), 10 (i) – (iii)

    9. A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 3, 4, 5}, C ={1, 3, 4, 5, 6, 7} হলে
    (i) A – B
    (ii) A – C নির্ণয় করো এবং
    তারপর দেখাও যে, A – (B ∩ C) = (A – B) ∪ (A – C)
    সমাধানঃ
    A – B = {1, 2, 3, 4} – {2, 3, 4, 5}
    = {1}
    (ii) A – C = {1, 2, 3, 4} – {1, 3, 4, 5, 6, 7}
    = {2}
    B ∩ C = {2, 3, 4, 5} ∩ {1, 3, 4, 5, 6, 7}
    = {3, 4, 5}
    ∴ A – (B ∩ C) = {1, 2, 3, 4} – {3, 4, 5}
    = {1, 2}
    (A – B) ∪ (A – C) = {1} ∪ {1, 2}
    = {1, 2}
    ∴ A – (B ∩ C) = (A – B) ∪ (A – C) (Proved)

    10. সার্বিক সেট্ S = { 1, 2, 4, 8, 16, 32 }  এবং A = { 1, 2, 8, 32 } , B = { 4, 8, 32 } তার দুটি উপসেট্‌ হলে দেখাও যে,
    (i) (AC)C = A
    (ii) ( A ∩ B)C = AC ∪ BC
    (iii) ( A ∪ B)C = AC ∩ BC

    (i) (AC)C = A
    সমাধানঃ
    AC = S – A
    = { 1, 2, 4, 8, 16, 32 } – { 1, 2, 8, 32 }
    = { 4, 16 }
    (AC)C = S – AC
    = { 1, 2, 4, 8, 16, 32 } – { 4, 16 }
    = { 1, 2, 8, 32 }
    ∴ (AC)C = A (প্রমাণিত)

    Set Theory

    (ii) ( A ∩ B)C = AC ∪ BC
    সমাধানঃ
    A ∩ B = { 1, 2, 8, 32 }∩{ 4, 8, 32 }
    = { 8, 32 }
    ∴ ( A ∩ B)C = S – ( A∩B)
    = { 1, 2, 4, 8, 16, 32 } – { 8, 32 }
    = { 1, 2, 4, 16 }
    আবার, AC = S – A
    = { 1, 2, 4, 8, 16, 32 } – { 1, 2, 8, 32 }
    = { 4, 16 }
    BC = S – B
    = { 1, 2, 4, 8, 16, 32 } – { 4, 8, 32 }
    = { 1, 2, 16 }
    ∴ AC ∪ BC = { 4, 16 } ∪ { 1, 2, 16 }
    = {1, 2, 4, 16}
    ∴ ( A ∩ B)C  = AC ∪ BC (Proved)

    (iii) ( A ∪ B)C = AC ∩ BC
    সমাধানঃ
    A ∪ B = { 1, 2, 8, 32 } ∪ { 4, 8, 32 }
    = { 1, 2, 4, 8, 32 }
    (A ∪ B)C = S – ( A ∪ B)
    = { 1, 2, 4, 8, 16, 32 } – { 1, 2, 4, 8, 32 }
    = { 16 }
    AC = S – A
    = { 1, 2, 4, 8, 16, 32 } – { 1, 2, 8, 32 }
    = { 4, 16 }
    BC = S – B
    = { 1, 2, 4, 8, 16, 32 } – { 4, 8, 32 }
    = { 1, 2, 16 }
    ∴ AC ∩ BC  =  { 4, 16 } ∩ { 1, 2, 16 }
    ={ 16 }
    ∴  ( A ∪ B)C = AC ∩ BC (Proved)

    Set Theory
    Q. NO. 11

    11. (i) P = { a, b, c, d, e, f } এবং Q = { a, c, e, f } হলে প্রমাণ করো যে, ( P – Q)  ∪ ( P ∩ Q)  = P।
    সমাধানঃ
    (i) P – Q = { a, b, c, d, e, f } – { a, c, e, f }
    = { b, d }
    P ∩ Q = { a, b, c, d, e, f } ∩ { a, c, e, f }
    = { a, c, e, f  }
    ∴ ( P – Q)  ∪ ( P ∩ Q) 
    = { b, d } ∪ { a, c, e, f  }
    = { a, b, c, d, e, f } = P (Proved)

    (ii) যদি P = { θ :  sinθ – cosθ  = √2 cosθ } এবং Q = { θ : sinθ + cosθ  = √2 sinθ }  হয়, তবে প্রমাণ করো যে, P = Q।
    সমাধানঃ
    ধরি, x ∈ P যে-কোনো একটি পদ।
    ∴ sinx – cosx  = √2 cosx
    বা, sinx  = √2 cosx + cosx
    বা, sinx  = (√2 + 1) cosx 
    ।বা, 1 /(√2 + 1)  sinx = cos x
    বা, (√2 – 1) /(2 – 1) sinx = cosx
    বা, √2 sinx – sinx = cosx
    ⇒ √2 sinx  = cosx + sin x
    ⇒ x ∈ Q
    ∵ x একটি যে-কোনো পদ,
    ∴ P ⊆ Q – – – (i)
    আবার ধরা যাক, y ∈ Q যে-কোনো একটি পদ।
    ∴ siny + cosy  = √2 siny
    ⇒ cosy  = √2 siny – siny
    ⇒ cosy  = (√2 – 1) siny 
    = siny  = 1 /(√2 – 1) cosy 
    ⇒ siny  = (√2 + 1) /(2 – 1) cosy
    ⇒ siny  = (√2 + 1) cosy
    = siny  = √2 cosy + cosy
    ⇒ siny – cosy = √2 cosy
    ⇒ y ∈ P যেহেতু, y একটি যে-কোনো পদ।
    ∴ Q ⊆ P – – – (ii)
    (i) ও (ii) থেকে পাই,
    P = Q (প্রমাণিত)

    Set Theory
    Q. NO. 12 – 13

    12. প্রদত্ত A = {1, 2, 3, 4, 5}  এবং ( B ∪ C)  = { 3, 4, 6}  হলে,
    (i) ( A ∩ B)  ∪ ( A ∩ C)
    (ii) ( A – B)  ∩ ( A – C)  নির্ণয় করো।

    সমাধানঃ
    (i) ( A ∩ B)  ∪ ( A ∩ C)
    = A ∩ ( B ∪ C)
    = {1, 2, 3, 4, 5} ∩ { 3, 4, 6} = {3, 4} (Ans)

    (ii) ( A – B)  ∩ ( A – C)
    = A – ( B ∪ C)
    = { 1, 2, 3, 4, 5 } – { 3, 4, 6 } = { 1, 2, 5 } (Ans)

    13. তিনটি সেট্ P,  Q এবং R এমনভাবে গঠন করো, যাতে P ∩ Q ≠ ϕ, Q ∩ R ≠ ϕ, R ∩ P ≠ ϕ কিন্তু P ∩ Q ∩ R = ϕ হয়।
    সমাধানঃ
    ধরা যাক, P = { p, q },
    Q = { q, r },
    R = { r, p }
    ∴ P ∩ Q = { p, q } ∩ { q, r }
    = { q } ≠ ϕ
    Q ∩ R = { q, r } ∩ { r, p }
    = { r } ≠ ϕ
    R ∩ P = { r, p } ∩ { p, q }
    = { p } ≠ ϕ
    ∴ P ∩ Q ∩ R = ( P ∩ Q)  ∩ R
    = { q } ∩ { r, p }
    = ϕ (Proved)

    Set Theory
    Q. NO. 14 – 15

    14. মনে করো, A, B এবং C  তিনটি সেট্। যদি A ⊂ B এবং B ⊂ C হয়, তবে A ⊂ C হবে কি? একটি উদাহরণের সাহায্যে তোমার উত্তরের সত্যতা প্রতিষ্ঠা করো।
    সমাধানঃ
    ধরা যাক, x ∈ A
    এখন, x ∈ A ⇒ x ∈ B [ ∵ A ⊂ B ] – – (i)
    আবার, x ∈ B ⇒ x ∈ C [ ∵ B ⊂ C ] – – (ii)
    (i) ও (ii) থেকে,
    x ∈ A ⇒ x ∈ C
    ∴ A ⊂ C
    A ⊂ B এবং B ⊂ C হলে, A ⊂ C হবে। (Proved)

    15. মনে করো, সার্বিক সেট্ S = {a, b, c, d, e}  এবং A = {a, b, d} ও B = {b, d, e} তার দুটি উপসেট্। ( A ∩ B)’  এবং ( A ∪ B)’ নির্ণয় করো।
    সমাধানঃ
    A ∩ B = {a, b, d} ∩ {b, d, e}
    = {b, d}
    ∴ ( A ∩ B)’ = S – (A ∩ B)
    = {a, b, c, d, e} – {b, d}
    = {a, c, e} (Ans)
    A ∪ B = {a, b, d} ∪ {b, d, e}
    = {a, b, d, e}
    ∴ ( A ∪ B)’ = S – (A ∪ B)
    = {a, b, c, d, e} – {a, b, d, e}
    = {c} (Ans)

    Set Theory
    Q. NO. 16 – 19 (i)

    16. মনে করো, সার্বিক সেট্ S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}  এবং A ∪ B = {2, 3, 4}; AC ∩ BC নির্ণয় করো।
    সমাধানঃ
    AC ∩ BC = ( A ∪ B)C
    = S – ( A ∪ B)
    ⇒ {1, 2, 3, 4, 5, 6} – {2, 3, 4}
    = {1, 5, 6} (Ans)

    17. স্বাভাবিক সংখ্যাসমূহের সেট্ ℕ এবং aℕ = { ax : x ∈ ℕ } হলে, 3ℕ ∩ 7ℕ নির্ণয় করো।
    সমাধানঃ
    aℕ = { ax : x ∈ ℕ }
    3ℕ = { 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, ….. }
    7ℕ = {7, 14, 21, 28, 35, 42, 49…… }
    ∴  3ℕ ∩ 7ℕ = { 21, 42, ……}
    = 21ℕ (Ans)

    18. মনে করো, সব অখণ্ড সংখ্যার সেট্ ℤ এবং A = { x : x = 6n, n ∈ ℤ } ও B = { x : x = 4n, n ∈ of ℤ } : A ∩ B নির্ণয় করো।
    সমাধানঃ
    A = { x : x = 6n, n ∈ ℤ }
    = 6ℕ
    B = { x : x = 4n, n ∈ ℤ }
    = 4ℕ
    ∴ A ∩ B = 6ℕ ∩ 4ℕ
    = kℕ – – [যেখানে k = 6 ও 4 এর লসাগু]
    ⇒ 12ℕ
    = { x: x = 12n, n ∈ ℤ} (Ans)

    19 যে-কোনো দুটি সেট্ A ও B-এর ক্ষেত্রে নিম্নলিখিতগুলি প্রমাণ করো:
    (i) ( B – A) ∩ A = ϕ
    সমাধানঃ
    (B-A) ∩ A
    = (B ∩ AC) ∩ A
    = B ∩ ( AC ∩ A)
    ⇒ B ∩ ϕ
    = ϕ
    ∴ ( B – A) ∩ A = ϕ (Proved)

    Set Theory
    Q. NO. 19 (ii), (iii)

    (ii) AC – BC  = B – A 
    সমাধানঃ
    ধরি, ∀x ∈ (AC – BC)
    ⇒ x ∈ AC এবং x ∉ BC
    ⇒ x ∉ A এবং x ∈ B
    বা, x ∈ B এবং  x ∉ A
    ⇒ x ∈ (B – A)
    ∴ AC – BC  ⊆ B – A – – – (i)
    আবার ধরি,
    ∀y ∈ (B – A)
    ⇒ y ∈ B এবং y ∉ A
    ⇒ y ∉ A এবং y ∈ B
    বা,y ∈ AC এবং y ∉ BC
    ⇒ y ∈ (AC – BC)
    ∴ B – A ⊆ AC – BC – – – (ii)
    (i) ও (ii) থেকে পাই,
    AC – BC  = B – A
    ∴ AC – BC  = B – A (Proved)

    (iii) A-B = A-(A∩B)
    সমাধানঃ
    যে-কোনো দুটি সেট্ A ও B এর জন্য,
    A∩B ⊆ B

    ধরা যাক, x ∈ A-B যে-কোনো পদ
    ⇒ x∈A এবং x∉B
    ⇒ x∈A এবং x∉A∩B  [ ∵ A∩B ⊆ B ]
    ∴ x ∈ A – ( A ∩ B)
    সুতরাং, x ∈ A-B
    ⇒ x∈A – (A∩B)
    ∴ A – B ⊆ A – (A∩B) – – – (i)
    ধরা যাক, y ∈ A – (A∩B)  যে-কোনো পদ
    ⇒ y ∈ A এবং y ∉ A∩B
    ⇒ y ∈ A এবং (y ∉ A অথবা y ∉ B)
    বা, (y ∈ A এবং y ∉ A) অথবা (y ∈ A অথবা y ∉ B)
    ⇒ (y ∈ A এবং y ∈ AC) অথবা (y ∈ A অথবা y ∉ B)
    ⇒ y ∈ ( A ∩ AC)  অথবা y ∈ ( A – B)
    বা, y ∈ ( A ∩ AC)  ∪ ( A – B)
    ⇒ y ∈ ϕ ∩ ( A – B)
    ⇒ y ∈ A – B
    সুতরাং, y ∈ A – ( A – B)
    ⇒ y ∈ A – B
    ∴ A – (A∩B) ⊆ A – B – – – (ii)
    (i) ও (ii) থেকে পাওয়া যায়,
    A-B = A-(A∩B) (Proved)

    Set Theory
    Q. NO. 19 (iv) – (viii), 20 (i)

    (iv) A-B = A∩BC 
    সমাধানঃ
    ∀x ∈(A-B)
    ⇒ x∈A এবং x∉B
    ⇒ x∈A এবং x∈BC
    ∴ x∈A∩BC
    A-B = A∩BC (Proved)

    (v) B-AC = A∩B 
    সমাধানঃ
    ∀x ∈ (B – AC)
    ⇒ x∈B এবং x∉AC
    ⇒ x∈B এবং x∈ A
    বা, x∈B∩A
    ⇒ x∈A∩B 
    ∴ B-AC = A∩B (Proved)

    (vi) B⊆(A-B)C
    সমাধানঃ
    যে-কোনো দুটি সেটে A ও B-এর জন্য
    B⊆AC∪B
    ⇒ B⊆(A∩BC)C.   [ডি মর্গানের সূত্র]
    ⇒ B⊆(A-BC)
    ∴ B⊆(A-B)C (Proved)

    (vii) (A∪B)-(A∩B) = (A-B)∪(B-A)
    সমাধানঃ
    (A∪B)-(A∩B)
    = [ (A∪B)-A]∪[(A∪B)-B]
    = [(A∪B)∩AC]∪[(A∪B)∩BC]
    ⇒ [(A∩AC)∪(B∩AC)]∪[(A∩BC)∪(B∩BC)]…. [বণ্টন সূত্র]
    = [ϕ∪(B-A)]∪[(A-B)∪ϕ)
    = (B-A)∪(A-B)
    ⇒ (A-B)∪(B-A)
    ∴ (A∪B)-(A∩B)=(A-B)∪(B-A) (Proved)

    (viii) (A-B)∪(A∩B) = A
    সমাধানঃ
    (A-B)∪(A∩B)
    = (A∩BC)∪(A∩B)
    = A∩(BC∪B) ….. [বণ্টন সূত্র]
    = A∩S  [S হল সার্বিক সেট্‌]
    = A
    ∴ ( A – B)  ∪ ( A ∩ B)  = A (Proved)

    20. মনে করো, A, B এবং C তিনটি প্রদত্ত সেট্‌; উদাহরণের সাহায্যে প্রমাণ করো যে, নীচের বিবৃতিগুলি সত্য নয়:
    (i) B ∈ A এবং x ∈ B হলে, x ∈ A হবে,
    সমাধানঃ
    ধরি, B = {x}
    ∵ B ∈ A
    ∴ A = {B} ={{x}}
    ∴ x ∉ A
    x ∈ A হবে, বিবৃতিটি সত্য নয়।(Proved)

    Set Theory
    Q. NO. 20 (ii)- (iii), 21 – 22

    (ii) B ⊂ A এবং A ∈ C হলে, B ∈ C হবে
    সমাধানঃ
    ধরি, B = {b} এবং
    A = {a, b},
    ∵ A ∈ C
    ∴ C = {A}
    অর্থাৎ, C = {{a, b}}
    স্পষ্টতই, {b} ∉ C
    ∴ B ∉ C
    সুতরাং, B ∉ C বিবৃতিটি সত্য নয়।(Proved)

    (iii) A ⊄ B এবং B ⊄ C হলে, A ⊄ C হবে
    সমাধানঃ
    ধরি, A = { a } এবং
    B = { b, c },
    C = { a, c }
    স্পষ্টতই, A ⊄ B এবং B ⊄ C কিন্তু, A ⊂ C
    ∴ প্রদত্ত বিবৃতিটি সত্য নয়।(Proved)

    21. সেট্ প্রক্রিয়া প্রয়োগে 12, 15 এবং 18 সংখ্যা তিনটির গসাগু নির্ণয় করো।
    সমাধানঃ
    ধরি, 12, 15 এবং 18 সংখ্যা তিনটির উৎপাদকগুলির সেট A, B এবং C ;
    A = {1, 2, 3, 4, 6, 12 }
    B = {1, 3, 5, 15 } এবং
    C = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
    সুতরাং A∩B∩C সেটের অন্তর্গত পদগুলির বৃহত্তম উপাদান হবে সংখ্যা তিনটির গসাগু।
    A∩B∩C = {1, 3}
    A∩B∩C এর বৃহত্তম উপাদানটি হল 3
    Ans: 15,  25 এবং 30 সংখ্যা তিনটির গসাগু 3.

    22. (i) সেট্ তত্ত্বের প্রয়োগে 15,  25 এবং 30 সংখ্যা তিনটির লসাগু নির্ণয় করো।
    সমাধানঃ
    ধরি, 15, 25 এবং 30 সংখ্যা তিনটির গুননীয়কের সেট A, B এবং C ;
    A = {15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150, 165, 180 ……. }
    B = {25, 50, 75, 100, 125, 150, 175, 200……. } এবং
    C = {30, 60, 90, 120, 150, 180.. }
    সুতরাং A∩B∩C সেটের অন্তর্গত পদগুলির ক্ষুদ্রতম উপাদান হবে সংখ্যা তিনটির লসাগু।
    A∩B∩C = {150, 300….. }
    A∩B∩C এর ক্ষুদ্রতম উপাদানটি হল 150
    Ans: 15,  25 এবং 30 সংখ্যা তিনটির লসাগু 150

    Fb_Prostuti
    আমাদের লেটেস্ট পোস্টের আপডেট পেতে আমাদের ফেসবুক পেজে জয়েন করতে পারো ।

    Set Theory
    Q. NO. 23 & 24

    23. ভেন্ চিত্রের প্রয়োগে বা অন্য পদ্ধতিতে নীচের প্রশ্নটির সমাধান করো: একটি শ্রেণিতে 70 জন ছাত্র আছে যাদের প্রত্যেকে হয় ইংরেজি বা হিন্দি বা উভয় বিষয় পাঠ করে। 45 জন ছাত্র ইংরেজি এবং 30 জন হিন্দি পাঠ করে। কতজন ছাত্র উভয় বিষয় পাঠ করে তা নির্ণয় করো।
    সমাধানঃ
    যে সমস্ত ছাত্ররা ইংরেজি পাঠ করে তাদের সেটকে E এবং যে সমস্ত ছাত্ররা হিন্দি পাঠ করে তাদের সেটকে H দ্বারা সূচিত করা হল।
    প্রশ্নানুসারে, n(E) = 45 এবং n(H) = 30
    ইংরেজি বা হিন্দি বা উভয় বিষয়ে পাঠ করে 70 জন ছাত্র।
    ∴ n(EUH) = 70
    ∵ n(EUH) = n(E) + n(H) – n(E∩H)
    ⇒ 70 = 45 + 30 – n(E∩H)
    ⇒ n(E∩H) = 45 + 30 – 70
    ∴ n(E∩H) = 5
    Ans: 5 জন ছাত্র উভয় বিষয় পাঠ করে।

    24. কলকাতার 1003টি পরিবারের তথ্যানুসন্ধানে দেখা গেল 63টি পরিবারের রেডিয়ো বা টিভি ছিল না; 794টি পরিবারের রেডিয়ো এবং 187টি পরিবারের টিভি ছিল। কতগুলো পরিবারের রেডিয়ো এবং টিভি উভয়ই ছিল?
    সমাধানঃ
    ধরি ,কলকাতার পরিবারের সেট S, রেডিয়ো ছিল এমন পরিবারের সেট R এবং টিভি ছিল এমন পরিবারের সেট T ;
    এখানে, n(S) = 1003, n(R) = 794, n(T)= 187
    রেডিয়ো বা টিভি ছিল এমন পরিবারসমূহের সেট = RUT
    ∴ রেডিয়ো বা টিভি ছিল না এমন পরিবারসমূহের সেট্ = (RUT)C
    প্রশ্নানুযায়ী,
    n(RUT)C = 63
    ∴ n(S) – n(RUT) = n(RUT)C
    ⇒ 1003 – n(RUT) = 63
    ⇒ n(R) + n(T) – n(R∩T) = 940
    বা, 794 +187 – n( R∩T) = 940
    ⇒ 981- 940 = n(R∩T)
    ⇒ 41 = n(R∩T)
    Ans: রেডিয়ো এবং টিভি উভয়ই ছিল এমন পরিবারের সংখ্যা 41।

    Set Theory
    Q. NO. 25

    25. কোনো বাজার অনুসন্ধানকারী দল 1000 জন ব্যবহারকারীর তথ্যানুসন্ধান করল এবং রিপোর্ট করল যে, 720 জন ব্যবহারকারী A সামগ্রী এবং 450 জন ব্যবহারকারী B সামগ্রী পছন্দ করে। কমপক্ষে কতজন উভয় সামগ্রীই পছন্দ করে?
    সমাধানঃ
    ধরি , A সামগ্রী ব্যবহারকারীদের সেট  A এবং B সামগ্রী ব্যবহারকারীদের সেট B;
    প্রশ্নানুযায়ী,
    n(A) = 720
    n(B) = 450
    n(A ∪ B) = 1000
    n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B)
    ⇒ 1000 = 720 + 450 – n(A∩B)
    ⇒1000 = 1170 – n(A∩B)
    ⇒ n(A∩B) = 1170 -1000 = 170
    Ans: 170 জন উভয় সামগ্রীই পছন্দ করে।

    Set Theory
    Q. NO. 26

    26. কোনো শহরে শতকরা 60 জন A পত্রিকা পাঠ করে এবং শতকরা 25 জন A পত্রিকা পাঠ করে না কিন্তু B পত্রিকা পাঠ করে। শতকরা কতজন কোনো পত্রিকা পাঠ করে না তা গণনা করো। সম্ভাব্য সর্বাধিক ও সর্বনিম্ন কতজন B পত্রিকা পাঠ করা তাও নির্ণয় করো।
    সমাধানঃ
    ধরি, A এবং B পত্রিকা পাঠ করে এমন ব্যক্তিদের সেট যথাক্রমে A এবং B।
    প্রদত্ত শর্তানুসারে,
    n(A) = 60 এবং
    n(B∩AC) = 25
    কোনো না কোনো পত্রিকা পাঠ করে, এমন ব্যক্তির শতকরা সংখ্যা
    n(A∪B) =  n(A) + n(B∩AC)
    = 60 + 25 = 85
    ∴ কোনো পত্রিকাই পাঠ করে না এমন ব্যক্তির শতকরা সংখ্যা = 100 – 85 = 15(Ans)

    আবার, B ⊆ A∪B
    ⇒  n(B) ≤ n(A∪B)
    ⇒ n(B) ≤ 85
    ∴ সম্ভাব্য সর্বাধিক শতকরা 85 জন B পত্রিকা পাঠ করে।(Ans)
    আবার, n(A∩B) ≥ 0
    ⇒ n(A)+ n(B) – n(A∪B) ≥ 0
    বা, 60 + n(B) – 85 ≥ 0
    বা, n(B) ≥ 25
    ∴ সম্ভাব্য সর্বনিম্ন শতকরা 25 জন B পত্রিকা পাঠ করে।(Ans)

    Set Theory
    Q. NO. 27

    27. (i) দুটি সেট্ A ও B-এর পদসংখ্যা যথাক্রমে p ও q; যদি A সেটের উপসেটের সংখ্যা, B সেটের উপসেটের সংখ্যার চেয়ে 56 বেশি হয়, তবে p ও q-এর মান নির্ণয় করো।
    সমাধানঃ (i) A সেটের পদসংখ্যা, n(A)  = p এবং
    B সেটের পদসংখ্যা, n(B) = q
    A সেটের উপসেটের সংখ্যা = n(P(A))  = 2p এবং
    B সেটের উপসেটের সংখ্যা =n(P(B))  = 2q
    প্রশ্নানুসারে,
    2p – 2q = 56
    ⇒ 2q (2p – q – 1) = 8×7
    ⇒2q (2p – q – 1) = 8×7
    ⇒2q (2p – q – 1) = 23 (23 – 1)
    স্পষ্টতই, উপরের শর্ত সিদ্ধ হবে যদি q = 3 এবং p – q = 3 হয়।
    ∵ p – q = 3
    বা, p – 3 = 3
    বা p = 6
    Ans: p = 6 এবং q = 327.

    (ii) দুটি সসীম সেট্ A এবং B-এর উপাদান সংখ্যা যথাক্রমে m এবং n হলে, A∪B-এর সবচেয়ে বেশি এবং সবচেয়ে কম কতগুলি উপাদান সংখ্যা পাওয়া যাবে।
    সমাধানঃ A সেটের উপাদান সংখ্যা n(A)  = m এবং
    B সেটের উপাদান সংখ্যা n(B) = n
    আমরা জানি,
    n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B) = m + n – n(A∩B)
    A∩B = ϕ হবে যদি A এবং B বিছিন্ন সেট হয়।
    সেক্ষেত্রে n(A∩B) = 0
    ∴ n(A) + n(B) – n(A∩B)
    = m + n – 0
    = m + n
    ∴ n(A∪B) ≤ m + n হবে।
    Ans: n(A∪B) এর বৃহত্তম মান = m + n
    আবার n(A∩B)  ≤ [n(A), n(B) এর মধ্যে ক্ষুদ্রতম = {m, n} এর মধ্যে ক্ষুদ্রতম]
    ∴ n(A) + n(B) – n(A∩B) ≥ m + n – {m, n} এর মধ্যে ক্ষুদ্রতম
    ⇒ n(A∪B) ≥ m + n – {m, n} এর মধ্যে ক্ষুদ্রতম
    Ans: n(A ∪ B) এর ক্ষুদ্রতম মান = m + n – {m, n} এর মধ্যে ক্ষুদ্রতম।

    PREVIOUS
    HOME
    NEXT
  • দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.5 Complete Solution of Quadratic Equation

    দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.5 Complete Solution of Quadratic Equation

    দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.5

    🔅🔅দ্বিঘাত সমীকরণের সাধারণ রূপ ঃ-
      ax2 + bx + c = 0   (যেখানে a, b, c বাস্তব সংখ্যা এবং  a ≠ 0)

    ✴️ শ্রীধর আচার্যের সূত্র ঃ
    ax2 + bx + c = 0 হলে

    \(\Large{🔅\quad\quad x = \frac{-b\pm\sqrt{b^{2} – 4ac}}{2a}}\)

    b2 – 4ac কে নিরূপক বলে।
    ⛔(i) যদি b2 – 4ac < 0 হয়, তবে বীজদ্বয় অবাস্তব বা কাল্পনিক এবং অসমান হবে। 
    ⛔⛔(ii) যদি b2 – 4ac = 0 হয়, তবে বীজদ্বয় বাস্তব, মূলদ এবং সমান হবে।
    ⛔⛔⛔(iii) যদি b2 – 4ac > 0 কিন্তু ধনাত্মক পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয়, তবে বীজদ্বয় বাস্তব, মূলদ এবং অসমান হবে।
    ⛔⛔⛔⛔(iv) যদি b2 – 4ac > 0 কিন্তু ধনাত্মক পূর্ণবর্গ সংখ্যা না হয়, তবে বীজদ্বয় বাস্তব, অমূলদ এবং অসমান হবে।
    ⭕ দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ p ও q হলে দ্বিঘাত সমীকরণটি হবে ঃ 
      x2 – (বীজদ্বয়ের সমষ্টি)x + বীজদ্বয়ের গুনফল = 0
      ⇒ x2 – (p + q)x + pq = 0
    ⭕ ax2 + bx + c = 0    (a ≠ 0) দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ p ও q হলে,

    🔅বীজদ্বয়ের সমষ্টি\(\Large{\quad\quad p+ q =-\frac{b}{a}\\}\) 🔅বীজদ্বয়ের গুনফল\(\Large{\\\quad\quad pq =-\frac{c}{a}}\)

    দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.5

    Q. NO. 1

    1.নীচের দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের প্রকৃতি লিখি—

    (i) 2x2 + 7x + 3 = 0  

    সমাধানঃ
    2x2 + 7x + 3 = 0
    এখানে, a = 2; b = 7; c  = 3;
    সমীকরণের নিরূপক
    ⇒ b2 – 4ac
    = (-7)2 – 4.2.3
    = 49 – 24 = 25 > 0
    Ans: সমীকরণটির বীজদ্বয় বাস্তব ও অসমান।

    (ii) 3x2 – 2√6x + 2 = 0

    সমাধানঃ
    3x2 – 2√6x + 2 = 0
    এখানে, a = 3; b = -2√6; c = 2;
    সমীকরণের নিরূপক
    ⇒ b2 – 4ac
    = (-2√6)2 + 4.3.2
    = 24 – 24 = 0
    সমীকরণটির বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান

    (iii) 2x2 -7x + 9 = 0

    সমাধানঃ
    2x2 – 7x + 9 = 0
    এখানে, a = 2; b = – 7; c  = 9;
    সমীকরণের নিরূপক
    ⇒ b2 – 4ac
    = (-7)2 + 4.2.9
    = 49 – 72  =  -23 <0
    সমীকরণটির বীজদ্বয় অবাস্তব ও কাল্পনিক

    (iv) 2/5 x2 – 2/3 x + 1 = 0

    সমাধানঃ
    2/5x2 – 2/3 x + 1 = 0
    এখানে, a = 2/5 ; b = – 2/3 ; c  = 1;
    প্রদত্ত সমীকরণটির নিরূপক
    ⇒ b2 – 4ac
    = ( – 2/3 )2 – 4 .2/5.1
    = 4/9 – 8/5
    ⇒ 20-72/45
    = – 52/45  < 0
    সমীকরণটির বীজদ্বয় অবাস্তব ও কাল্পনিক।

    Madhyamik Previous Year (2017 – 2024) MATHEMATICS Question with complete solution|
    বিগত বছরের (2017 – 2024) মাধ্যমিক গণিত প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নীচের BUTTON-এ CLICK করো|

    CLICK

    দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.5

    Q. NO. 2

    2. k-এর কোন মান/ মানগুলির জন্য নীচের প্রতিটি দ্বিঘাত সমীকরণের বাস্তব ও সমান বীজ থাকবে হিসাব করে লিখি—

    (i) 49x2 + kx + 1 = 0

    সমাধানঃ
    49x2 + kx + 1 = 0
    এখানে, a = 49 ; b = k ; c = 1;
    সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে নিরূপক b2 – 4ac = 0 হয়।
    ∴ b2 – 4ac
    ⇒ (k)2 – 4.49.1 = 0
    বা, k2 =  196
    বা, k = ±√196 = ±14
    Ans: k = ±14

    (ii) 3x2 -5x + 2k = 0

    সমাধানঃ 
    3x2 – 5x + 2k = 0
    এখানে, a = 3 ; b = – 5 ; c  = 2 ;
    সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে নিরূপক b2 – 4ac = 0 হয়।  
    ∴ b2 – 4ac = 0
    ⇒ b2 – 4ac = 0
    বা, (-5)2 – 4.3.2k = 0
    বা‌, 25  – 24k =  0
    বা  – 24k = – 25
    বা, k = 25/24
    Ans: k-এর মান 25/24

    (iii) 9x2 -24x + k = 0

    সমাধানঃ
    9x2 – 24x + k = 0
    এখানে, a = -9 ; b = -24 ; c  = k ;
    সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে নিরূপক b2 – 4ac = 0 হয়।  
    ∴ b2 – 4ac = 0 
    ⇒ b2 – 4ac = 0
    বা, (- 24)2 – 4.9.k = 0
    বা, 36k = 576
    ∴ k = 16
    Ans: k-এর মান 16

    (iv) 2x2 + 3x + k = 0

    সমাধানঃ
    2x2 + 3x + k = 0
    এখানে, a = 2 ; b = 3 ; c  = k ;
    সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে নিরূপক b2 – 4ac = 0 হয়।  ∴
    ∴ b2 – 4ac = 0
    বা, (3)2 – 4.2.k = 0
    বা, 8k = 9
    ∴ k = 9/8
    Ans: k – এর মান 9/8

    (v) x2 – 2(5+2k)x + 3(7+10k) = 0

    সমাধানঃ
    x²- 2(5+2k)x +3 (7+10k)=0
    এখানে,
    a = 1;
    b =  -2(5+2k);
    c  =3 (7+10k);
    সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে নিরূপক b² – 4ac = 0 হয়।
    ∴ b² – 4ac = 0
    বা, {-2(5+2k)}2 – 4.1.3(7+10k) = 0
    বা, 4{(5+2k)2 – 1.3(7+10k)} = 0
    ⇒ (5+2k)2 – 3 (7+10k) = 0
    বা, 25 + 20k + 4k² – 21 – 30k = 0
    বা, 4k² – 10k + 4 = 0
    ⇒ 2(2k² – 5k + 2) = 0
    ⇒ 2k² – 5k + 2 = 0
    বা, 2k² – 4k – k + 2 = 0
    বা, 2k(k-2) – 1(k-2)= 0
    ⇒ (k -2)(2k-1)=0
    হয় (k -2) =0   নতুবা (2k-1)=0
    বা, k = 2 বা,   k = ½
    Ans: k = 2 ও ½

    (vi) (3k+1)x2 + (2k+1)x + k = 0

    সমাধানঃ
    (3k+1)x2 + 2(k+1)x + k = 0
    এখানে,
    a = (3k+1);
    b =  2(k+1);
    c  = k;
    সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে নিরুপক : b2 – 4ac = 0 হয়।
    ∴ b2 – 4ac = 0
    বা, {2(k+1)}2 – 4. (3k+1).k = 0
    বা, 4{(k+1)2 – (3k+1).k} = 0
    বা, (k+1)2 – (3k+1).k = 0
    ⇒ k²+ 2k + 1 – 3k² – k = 0
    বা, -2k² + k + 1 = 0
    বা, -(2k² -k – 1) = 0
    ⇒ 2k² – k – 1 = 0
    বা, 2k² – 2k + k – 1 = 0
    বা, 2k(k -1 ) + 1(k – 1) = 0
    ⇒ (2k + 1)(k – 1) = 0
    হয় (2k + 1)= 0  নতুবা (k – 1) = 0
    বা, 2k = – 1 বা, k = 1
    বা, k = – 1/2 
    Ans: k = 2 ও – 1/2

    দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নিচের BUTTON-এ ক্লিক করো।

    CLICK

    Q. NO. 3

    3. নীচে প্রদত্ত বীজদ্বয় দ্বারা দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি—-

    (i) প্রদত্ত বীজদ্বয় দ্বারা দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি—-
    4, 2

    সমাধানঃ
    সমীকরণের প্রদত্ত বীজদ্বয় 4 ও 2 ; 
    ∴ সমীকরণটি হলঃ
    x2 – (বীজদ্বয়ের সমষ্টি) x + বীজদ্বয়ের গুণফল = 0
    বা, x2 – (4 + 2) x + 4 . 2 = 0 
    বা, x2 – 6 x + 8 = 0 (Ans.)

    (ii) প্রদত্ত বীজদ্বয় দ্বারা দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি—-
    -4, -3

    সমাধানঃ
    সমীকরণের প্রদত্ত বীজদ্বয় – 4 ও – 3 ; 
    ∴ সমীকরণটি হলঃ
    x2 – (বীজদ্বয়ের সমষ্টি) x + বীজদ্বয়ের গুণফল = 0
    বা, x2 – (-4 – 3) x + (-4 x- 3) = 0 
    বা, x2 + 7x + 12 = 0 (Ans.)

    (iii) প্রদত্ত বীজদ্বয় দ্বারা দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি—-
    -4, 3

    সমাধানঃ
    সমীকরণের প্রদত্ত বীজদ্বয় – 4 ও  3 ; 
    ∴ সমীকরণটি হলঃ
    x2 – (বীজদ্বয়ের সমষ্টি) x + বীজদ্বয়ের গুণফল = 0
    বা, x2 – (-4 + 3) x + (-4 x 3) = 0 
    বা, x2 + x – 12 = 0 (Ans.)

    (iv) প্রদত্ত বীজদ্বয় দ্বারা দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন করি—-
    5, -3

    সমাধানঃ সমীকরণের প্রদত্ত বীজদ্বয় 5 ও  – 3 ; 
    ∴ সমীকরণটি হলঃ
    x2 – (বীজদ্বয়ের সমষ্টি) x + বীজদ্বয়ের গুণফল = 0
    বা, x2 – (5 – 3) x + (5 x- 3) = 0 
    বা, x2 – 2x – 15 = 0 (Ans.)

    দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.5

    Q. NO. 4 & 5

    4. m এর মান কত হলে 4x2 + 4(3m-1)x + m + 7 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ দুটি পরস্পর অন্যোন্যক হবে? 

    সমাধানঃ
    4x2 + 4(3m – 1)x + (m + 7) = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের 
    বীজ দুটি পরস্পর অনোন্যক হলে
    (m + 7)/4 = 1 হবে
    বা, (m -+7) = 4 হবে।
    বা, m = – 3
    Ans:  m-এর মান হবে -3

    5. (b – c)x2 + (c – a)x + (a-b) = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে, প্রমাণ করি যে, 2b = a + c

    সমাধানঃ  
    (b – c)x2 + (c – a)x + (a – b) = 0
    দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের মান সমান হলে নিরুপক শূন্য হবে।  অর্থাৎ b2 – 4ac = 0 হবে।
    এখানে, a = (b – c);
    b = (c – a);
    c = (a – b)
    ∴  (c – a)² – 4(b – c)(a – b) = 0
    বা, c² – 2ac + a² – 4ab + 4ac + 4b² – 4bc = 0
    বা, a² + 4b²+ c² – 4ab – 4bc + 2ac = 0
    ⇒ (a)2 + (-2b)2+ (c)2 + 2.a.(-2b) + 2.(-2b).c + 2.a.c = 0
    বা,  (a -2b + c)2 = 0
    বা, (a – 2b + c) = 0
    ⇒ a + c = 2b
    ∴  2b = a + c (প্রমাণিত)

    Q. NO. 6 & 7

    6. (a2 + b2)x2– 2(ac + bd)x + 1 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে, প্রমাণ করি যে, a/b = c/d 

    সমাধানঃ
    (a2 + b2)x – 2(ac + bd)x + (c2 + d2) = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় সমান.
    ∴ সমীকরণের  নিরূপক অর্থাৎ b2-4ac = 0
    এখানে,
    a = (a2 + b2);
    b = -2(ac + bd);
    c = (c2 + d2) ;
    ∴ {- 2(ac + bd)}2 -4.(a2 + b2) (c2 + d2) = 0
    বা,  4(ac+bd)2 – 4.(a2 + b2) (c2 + d2) = 0
    বা, 4{(ac+bd)2 – (a2 + b2) (c2 + d2)} = 0 
    বা, (ac+bd)2 – (a2 + b2) (c2 + d2) = 0
    ⇒ a2c2 + 2abcd + b2d2 – a2c2 – a2d2 – b2c2 – b2d2 = 0
    বা,  2abcd  – a2d2 – b2c2 = 0
    বা, -(a2d2 – 2abcd + b2c2) = 0
    ⇒ (ad – bc)2 = 0
    বা, ad – bc = 0
    বা, ad = bc
    ∴ a/b = c/d (Proved)

    7. প্রমাণ করি যে,  2(a2 + b2)x2  + 2(a + b)x + 1 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের কোন বাস্তব বীজ থাকবে না যদি a ≠ b হয়।

    সমাধানঃ
    এখানে,
    a = 2(a2 + b2);
    b = 2(a+b);
    c = 1; 
    ∴ 2(a2 + b2)x2 + 2(a + b)x + 1 = 0
    সমীকরণের নিরূপক
    = b2 – 4ac
    = {2(a + b)}2 – 4.{2(a2 + b2)}.1
    = 4{(a + b)2 – (2a2 +2b2)}
    = 4(a2 + 2ab + b2– 2a2 – 2b2)
    ⇒ 4(- a2 + 2ab – b2)
    = – 4(a2 – 2ab + b2)
    = – 4(a – b)2 
    ∵ (a – b)2 ≥ 0
    ∴ 4(a – b)2 ≥ 4.0
    ∴ – 4(a – b)² ≤ 0
    a ≠ b হলে,
    – 4(a – b)2 = 0 হয় অর্থাৎ নিরূপক শূন্য হয়।
    নিরূপক শূন্য হলে বীজদ্বয়ের কোন বাস্তব বীজ থাকে না।
    ∴  a ≠ b হলে সমীকরণটির কোন বাস্তব বীজ থাকবে না। (প্রমাণিত)

    Q. NO. 8 & 9

    8. 5x2 + 2x – 3 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ α ও β হলে,
    (i) α2     + β2 এর মান নির্ণয় করি।

    (i) সমাধানঃ
    5x2 + 2x – 3 = 0 সমীকরণের দুটি বীজ α ও β; 
    ∴  বীজদ্বয়ের সমষ্টি –
    α +.β = – 2/5   এবং
    বীজদ্বয়ের গুণফল –
    α×β = – 3/5
    প্রদত্ত রাশিঃ
    = α2 + β2
    =  (α+β)2 – 2.α.β
    ⇒ (- 2/5)2 – 2. (-3/5)
    = 4/25 + 6/5
    = (4 +30)/25
    ⇒ 34/25 (Ans)

    8. 5x2 + 2x – 3 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ α ও β হলে,
    (ii) α3 + β3 এর মান নির্ণয় করি।

    (ii) সমাধানঃ
    5x2 + 2x – 3 = 0 সমীকরণের দুটি বীজ α ও β; 
    ∴  বীজদ্বয়ের সমষ্টি –
    α +.β = – 2/5   এবং
    বীজদ্বয়ের গুণফল –
    α×β = – 3/5
    প্রদত্ত রাশিঃ
    = α3 + β3
    = (α+β)3 – 3.α.β (α+β)
    ⇒ (- 2/5)3 – 3.(- 3/5).(- 2/5 )
    = – 8/125 – 18/25
    = (- 8 – 90)/125
    ⇒ –98/125 (Ans)

    8. 5x2 + 2x – 3 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ α ও β হলে,
    (iii) 1/α + 1/β     এর মান নির্ণয় করি।

    (iii) সমাধানঃ
    5x2 + 2x – 3 = 0 সমীকরণের দুটি বীজ α ও β; 
    ∴  বীজদ্বয়ের সমষ্টি –
    α +.β = – 2/5   এবং
    বীজদ্বয়ের গুণফল –
    α×β = – 3/5
    প্রদত্ত রাশিঃ
    ⇒ 1/α + 1/β
    ⇒ (α +.β)/αβ
    = – 2/5/– ⅗
    = 2/3 (Ans)

    8. 5x2 + 2x – 3 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ α ও β হলে,
    (iv) α2/β + β2/α এর মান নির্ণয় করি।

    সমাধানঃ
    5x2 + 2x – 3 = 0 সমীকরণের দুটি বীজ α ও β; 
    ∴  বীজদ্বয়ের সমষ্টি –
    α +β = – 2/5   এবং
    বীজদ্বয়ের গুণফল –
    α×β = – 3/5
    প্রদত্ত রাশিঃ

    \(\Large{=\frac{α^2}{β}+\frac{β^2}{α}\\=\frac{α^3+β^3}{αβ}\\=\frac{(α +β)^3-3α β(α +β)}{αβ}\\=\frac{\frac{-8}{125}-\frac{18}{25}}{\frac{-3}{5}}\\=\frac{\frac{-8-90}{125}}{\frac{-3}{5}}\\=\frac{\frac{-98}{125}}{\frac{-3}{5}}\\=\frac{-98\times 5}{-3\times 125}\\=\frac{98}{75}\quad Ans}\)

    দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.5

    9. ax2 + bx + c = 0 দ্বিঘাত সমীকরণটির একটি বীজ অপরটির দ্বিগুণ হলে, দেখাই যে, 2b2 = 9ac

    সমাধানঃ
    ধরি ax2 + bx + c = 0 সমীকরণের বীজ দুটি যথাক্রমে   α ও 2α বীজদ্বয়ের সমষ্টি –
    α + 2 α  = – b/a 
    বা, 3α = – b/a
    বা, α = – b/3a
    বীজদ্বয়ের গুণফল-

    \(\Large{\quad α\times 2α. =\frac{c}{a}\\⇒2α^2=\frac{c}{a}\\⇒2\left(\frac{-b}{3a}\right)^2=\frac{c}{a}\\⇒\frac{2b^2}{9a^2}=\frac{c}{a}\\⇒\frac{2b^2}{9a}=c\\⇒2b^2=9ac\quad (Proved)}\)
    পরিবৃত্ত অঙ্কন পদ্ধতি

    Q. NO. 10 & 11

    10. যে সমীকরণের বীজগুলি x2 + px + 1 = 0 সমীকরণের বীজগুলির অন্যোন্যক , সেই সমীকরণটি গঠন করি।

    সমাধানঃ
    x2 + px + 1 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয়  α ও β হলে,
    বীজদ্বয়ের সমষ্টি = α + β = – p এবং
    বীজদ্বয়ের গুণফল = αβ = 1
    ∴ নির্ণেয় সমীকরনের বীজদ্বয় 1/α ও 1/β
    নির্ণেয় সমীকরনের
    বীজদ্বয়ের সমষ্টি
    = 1/α + 1/β
    = (α +.β)/αβ
    ⇒ -p/1
    = -p এবং
    বীজদ্বয়ের গুণফল
    = 1/α . 1/β
    = 1/αβ = 1
    Ans: নির্ণেয় সমীকরণটি হবে –
    x2 – (- p)x + 1 = 0
    বা, x2 + px + 1 = 0

    11. x2 + x + 1 = 0 সমীকরণটির বীজগুলির বর্গ যে সমীকরণের বীজ, সেই সমীকরণটি নির্ণয় করি।

    সমাধানঃ
    x2 + x + 1 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় α. ও β হলে,
    বীজদ্বয়ের সমষ্টি = α + β = -1, এবং
    বীজদ্বয়ের গুণফল = αβ = 1
    ∴ নির্ণেয় সমীকরনের বীজদ্বয় α2 ও β2
    নির্ণেয় সমীকরনের,
    বীজদ্বয়ের সমষ্টি = α2 + β2
    = (α +.β)2 – 2α.β
    ⇒ (-1)2 – 2.1
    = 1- 2 = -1 এবং
    বীজদ্বয়ের গুণফল = α2.β2
    =  (α.β)2 = (1)2 = 1
    Ans: নির্ণেয় সমীকরণটি হবে –
    x2 – (-1)x + 1 = 0
    বা, x2 + x + 1 = 0

    দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.5
    12. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

    (A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.)

    (i) x2– 6x + 2 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি
    (a) 2 (b) – 2 (c) 6 (d) – 6

    Ans: (c) 6
    সমাধানঃ
    α + β = –b/a
    = – (-6)/1 = 6

    (ii) x2 – 3x + k = 10 সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুণফল – 2 হলে, k-এর মান
    (a) – 2 (b) – 8 (c) 8 (d) 12

    Ans: (c) 8
    সমাধানঃ  
    x2 – 3x + k = 10
    বা, x2 – 3x + k-10 = 0
    ∴ c/a = k-10 
    প্রশ্নানুযায়ী 
    k-10 = – 2
    বা, k= -2+10 = 8

    (iii) ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব এবং অসমান হলে, b2 – 4ac হবে
    (a) > 0 (b) = 0 (c) < 0 (d) কোনােটিই নয়

    Ans: (a) > 0

    (iv) ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে
    (a) c = – b/2a  (b) c = b/2a (c) c = – b2/4a (d) c = b2/4a

    Ans:  (d) c = b2/4a
    সমাধানঃ
    বীজদ্বয় সমান হলে নিরুপক শূন্য হবে অর্থাৎ 
    b2 – 4ac = 0 হবে।
    বা, – 4ac = – b2
    ⇒ 4ac = b2 
    বা, c = b2/4a

    (v) 3x2 + 8x + 2 = 0 সমীকরণের বীজয় α এবং β হলে 1/α + 1/β এর মান
    (a) – 3/8  (b) 2/3  (c) – 4 (d) 4

    Ans: (c) 4
    সমাধানঃ
    α + β = – b/a
    = – (8)/3 = –8/3 এবং
    αβ = c/a
    = 2/3 
    ∴ 1/α + 1/β = (β+ α)/αβ
    = –8/3/ 2/3
    = -4

    দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.5
    (B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি :

    (i) x2 + x + 1 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব।

    Ans: উক্তিটি মিথ্যা।
    সমাধানঃ
    নিরুপক = b2 – 4ac
    = (-1)2 – 4.1.1
    ⇒ 1 – 4
    = -3 < 0

    (ii) x2 – x + 2 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব নয়।

    Ans: উক্তিটি সত্য ।
    সমাধানঃ
    নিরুপক = b2 – 4ac
    = (1)2 – 4.1.2
    ⇒ 1 – 8
    = -7 < 0

    দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.5
    (C) শূন্যস্থান পূরণ করি:

    (i)7x2 – 12x + 18 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি এবং গুণফলের অনুপাত ________

    Ans: 2 : 3
    সমাধানঃ
    বীজদ্বয়ের সমষ্টি = – (-12)/7 = 12/7
    বীজদ্বয়ের গুণফল = 18/7 ;
    ∴ বীজদ্বয়ের সমষ্টি এবং গুণফলের অনুপাত
    = 12/7 : 18/7
    ⇒ 12 : 18
    = 2 : 3

    (ii) ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) সমীকরণের বীজদ্বয় পরস্পর অন্যোন্যক হলে, c = ________

    Ans: a
    সমাধানঃ
    বীজদ্বয়ের গুণফল : c/a = 1
    বা, c = a

    (iii) ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) সমীকরণের বীজদ্বয় পরস্পর অন্যোন্যক এবং বিপরীত (ঋণাত্মক) হলে a + c = ________

    Ans: 0
    সমাধানঃ
    বীজদ্বয়ের গুণফল : c/a = – 1
    বা, c = -a
    বা, a + c = 0

    দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.5
    13.সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

    (i) একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি 14 এবং গুণফল 24 হলে, দ্বিঘাত সমীকরণটি লিখি।

    সমাধানঃ
    বীজদ্বয়ের সমষ্টি 14 এবং
    বীজদ্বয়ের গুণফল 24
    ∴  দ্বিঘাত সমীকরণটি হলঃ 
    x2 – ( বীজদ্বয়ের সমষ্টি).x+ বীজদ্বয়ের গুণফল = 0
    বা, x2 – 14x + 24 = 0
    Ans: দ্বিঘাত সমীকরণটি হলঃ  x2 – 14x + 24 = 0

    (ii) kx2 + 2x + 3k = 0 (k ≠ 0) সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি এবং গুণফল সমান হলে, k-এর মান লিখি।

    সমাধানঃ
    kx2+ 2x + 3k = 0 সমীকরণের
    বীজদ্বয়ের সমষ্টি = –2/k এবং
    বীজদ্বয়ের গুণফল = 3k/k = 3
    ∵ বীজদ্বয়ের সমষ্টি ও গুনফল সমান।
    ∴ –2/k = 3
    বা, k = – 2/3
    Ans: k-এর মান – 2/3

    (iii) x2 – 22x + 105 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয়  α এবং β হলে, ( α – β )এর মান লিখি।

    সমাধানঃ
    x2 – 22x + 105 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় α এবং β ;
    α + β = -(-22) = 22 এবং
    α.β = 105
    ∴ ( α – β )2 = ( α + β )2 – 4α β
    বা, ( α – β )2 = (22)2 – 4 x 105 
    বা, ( α – β )2= 484 – 420 = 64
    ⇒ α – β  = ±√64
    বা, α – β  = ±8
     Ans: α – β = এর মান ± 8.

    (iv) x2 – x = k(2x – 1) সমীকরণের বীজদ্বয়ের সমষ্টি শূন্য হলে, k-এর মান লিখি।

    সমাধানঃ
    x2 – x = k(2x – 1)
    বা, x2 – x – 2kx  + k = 0
    বা, x2 – (1 + 2k)x  + k = 0
    প্রশ্নানুযায়ী,
    1 + 2k = 0
    বা, 2k = -1
    বা, k = – 1/2
    Ans: k-এর মান – 1/2

    (v) x2 + bx + 12 = 0 এবং x2 + bx + q = 0 সমীকরণদ্বয়ের একটি বীজ 2 হলে, q-এর মান লিখি।

    সমাধানঃ
    x2 + bx + 12 = 0 এর একটি বীজ 2,
    ∴ (2)2 + b.2 + 12 = 0
    বা, 4 +2b +12 = 0
    বা, 2b +16 = 0
    ⇒ 2b = -16
    বা, b = -8
    আবার, x2 + bx + q = 0 সমীকরণেরও একটি বীজ 2
    ∴ (2)2 + b.2 + q = 0
    বা, 4 +2.(-8) +q = 0 . . . . . .[∵ b = -8]
    বা, 4 – 16 +q = 0
    ⇒ – 12 +q = 0
    বা, q = 12
    Ans: q-এর মান 12

    Madhyamik Question

    MP-2024

    ▶️ x2 – 22x + 105 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় α, β হলে 1/α + 1/β এর মান নির্ণয় করো।

    VIEW ANSER

    ▶️ যদি ax2 + abcx + bc= 0 (a≠0) দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ অপর বীজের অনোন্যক হয় তাহলে-
    (a) abc = 1 (b) b = ac (c) bc = 1 (d) a = bc
    Ans:     (d) a = bc
    [ধরি, বীজদ্বয় α ও 1/α
    ∴  α × 1/α = bc/a
    বা, 1 = bc/a
    বা, a = bc]

    MP-2022

    ▶️ 7x2 – 66x + 27 = 0 সমীকরণটির বীজদ্বয়ের যোগফল ও গুণফলের অনুপাত কতো?

    VIEW ANSER

    ▶️ সমীকরণের বীজদ্বয় -4, 3 হলে দ্বিঘাত সমীকরণটি নির্ণয় করো।

    VIEW ANSER

    MP-2020

    ▶️ 5x2 – 2x + 3 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদুটি α ও β হলে 1/α + 1/β-এর মান নির্ণয় করো।

    VIEW ANSER

    ▶️ ax2 + 2bx + c = 0 (a≠ 0) দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে, b2 = ________ হবে

    VIEW ANSER



    ▶️ x2 – 7x + 3 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুণফল
    (a) 7 (b) -7 (c) 3 (d) -3

    Ans: (c) 3

    MP-2019

    ▶️ x2 + x + 1 = 0 সমীকরণটির বীজগুলির বর্গ যে সমীকরণের বীজ, সেই সমীকরণটি নির্ণয় করো।

    VIEW ANSER

    MP-2018

    ▶️ কোনো দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় 2, -3 হলে সমীকরণটি লেখ।

    VIEW ANSER

    MP-2017

    ▶️ সমাধান না করে ‘p’ এর যে সকল মানের জন্য x2 + (p-3)x + p =0 সমীকরণের বাস্তব ও সমান বীজ আছে তা নির্ণয় করো।

    VIEW ANSER

    ▶️ ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) দ্বিঘাত সমীকরণের b2 = 4ac হলে ধীজদ্বয় বাস্তব ও __________ হবে। (শূন্যস্থান পূরণ)

    Ans: সমান

    PREVIOUS
    NEXT
error: Content is protected !!
Verified by MonsterInsights