Author: TEAM PROSTUTI

সমকোণী চৌপল বা আয়তঘন কষে-দেখি -4 (Rectangular Parallelepiped)
সমকোণী চৌপল বা আয়তঘন কষে-দেখি -4
(Rectangular Parallelepiped)
সমকোণী চৌপল বা আয়তঘন কষে-দেখি -4
(Rectangular Parallelepiped)
সমকোণী চৌপল বা আয়তঘন (Rectangular Parallelepiped)ঃ
আমরা দৈনন্দিন জীবনে বিভিন্ন ধরনের বস্তু ব্যবহার করি। এই সমস্ত ঘনবস্তুগুলির মধ্যে যে সকল বস্তু কিছুটা স্থান দখল করে থাকে এবং যার দৈর্ঘ্য, প্রস্থ এবং উচ্চতা আছে তাকে ঘনবস্তু বলে। যেকোনো ত্রিমাত্রিক বস্তুই ঘনবস্তু। ত্রিমাত্রিক বস্তু বলতে বুঝায় যে বস্তুর অবস্থান নির্ণয় করার জন্য তিনটি মাত্রা অর্থাৎ দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার প্রয়োজন হয়। এই ধরণের ঘনবস্তুগুলির কোনটি সুষম এবং কোনটি অসম আকৃতির হয়। আজকের পোস্টে আমরা একটি বিশেষ ধরণের সুষম ঘনবস্তু সমকোণী চৌপল বা আয়তঘন নিয়ে আলোচনা করবো। তারপর গনিত প্রকাশ বইয়ের চতুর্থ অধ্যায়ের কষে দেখিঃ 4 অর্থাৎ আয়তঘন সংক্রান্ত অঙ্কগুলো কষে দেখব।
Madhyamik Previous Year (2017 – 2024) MATHEMATICS Question with complete solution|
বিগত বছরের (2017 – 2024) মাধ্যমিক গণিত প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নীচের BUTTON-এ CLICK করো|
CLICK
⛔ আয়তঘন বা সমকোণী চৌপল ঃ যে ঘনবস্তুর প্রতিটি তল আয়তক্ষেত্রাকার এবং বিপরীত তল গুলির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ সমান এবং সন্নিহিত তলগুলি পরস্পর লম্ব, তাকে আয়তঘন বা সমকোণী চৌপল বলা হয়।
যেমন – আমাদের বই, জ্যামিতির বাক্স, ইট ইত্যাদি।

👉 সমকোণী চৌপল বা আয়তঘনের তিনটি মাত্রা আছে । মাত্রা গুলি হল দৈর্ঘ্য, প্রস্থ এবং উচ্চতা ।

👉 সমকোণী চৌপল বা আয়তঘনের তল থাকে ছয়টি এবং প্রতিটি তল সমতল।

▶️ আয়তঘন এর যেকোনো তিনটি তল যে বিন্দুতে মিলিত হয় তাকে শীর্ষবিন্দু বলা হয়। একটি আয়তঘনের শীর্ষবিন্দুর সংখ্যা আটটি।

👉 আয়তঘনের দুটি তলের ছেদ রেখাংশকে ধার বা প্রান্তিকী বলা হয় । একটি আয়তঘনের প্রান্তিকীর সংখ্যা 12টি।

👉 সমকোণী চৌপলটি যে তলের উপর দাঁড়িয়ে থাকে তাকে সমকোণী চৌপলের ভূমি বলে ।

👉 আয়তঘনের কর্নের সংখ্যা হয় চারটি।

👉 সমকোণী চৌপল বা আয়তঘনের কর্ণ 4টি, তল 6টি, শীর্ষবিন্দু 8টি এবং প্রান্তিকী 12টি।

সমকোণী চৌপল বা আয়তঘনের সূত্রাবলী:

👉👉 সমকোণী চৌপল বা আয়তঘনের
দৈর্ঘ্য = a একক
প্রস্থ = b একক
উচ্চতা = c একক হলে,

🔴 সমকোণী চৌপল বা আয়তঘনের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= ছয়টি আয়তকার তলের ক্ষেত্রফল
= 2 ( দৈর্ঘ্য × প্রস্থ + প্রস্থ × উচ্চতা + উচ্চতা × দৈর্ঘ্য )
⇒ 2 ( ab +bc +ca ) বর্গএকক

🔴 সমকোণী চৌপলের ভূমির ক্ষেত্রফল
= (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ)
= a×b বর্গএকক

🔴 সমকোণী চৌপলের আয়তন
⇒ ( ভূমির ক্ষেত্রফল × উচ্চতা )
⇒ ( দৈর্ঘ্য × প্রস্থ ) × উচ্চতা
= (a×b)×c
= a×b×c ঘনএকক

🔴 সমকোণী চৌপলের কর্ণ
$\Large{\quad\Large{=\sqrt{a^2 +b^2 + c^2}}}$
2023 সালের মাধ্যমিক পরীক্ষার গণিত প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধানের জন্য এখানে CLICK করো।
⛔ ঘনক ঃ যে আয়তঘনের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ এবং উচ্চতা সমান হয় তাকে ঘনক বলে।

👉 ঘনকেরও তল সংখ্যা – 6, ধার বা প্রান্তিকীর সংখ্যা – 12, শীর্ষবিন্দুর সংখ্যা – 8, কর্নের সংখ্যা – 4

ঘনকের সূত্রাবলীঃঃ

👉👉 ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য = a হলে,

🔴 ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= ছয়টি বর্গাকার তলের ক্ষেত্রফল
= 6.বাহু²
⇒ 6a² বর্গএকক

🔴 ঘনকের আয়তন
= ( ভূমির ক্ষেত্রফল × উচ্চতা )
⇒ বাহু² × বাহু
⇒ a².a
= a³ ঘনএকক

🔴 ঘনকের কর্ণ
=√3.বাহু
=√3.a একক
1. আমরা পরিবেশের 4 টি আয়তঘনাকার ও 4 টি ঘনক আকার বস্তুর নাম লিখি।
Ans: 4টি আয়তঘনাকার বস্তুর নাম— বই, ইট, দেশলাই বাক্স এবং আলমারি।
4টি ঘনকাকার বস্তুর নাম—রুবি কিউবস, লুডাের ছক্কা, চকের বাক্স এবং কাচের ব্লক।

সমকোণী চৌপল বা আয়তঘন কষে-দেখি -4
(Rectangular Parallelepiped)
2. পাশের আয়তঘনাকার চিত্রের তলগুলি, ধারগুলি ও শীর্ষবিন্দুগুলির নাম লিখি।
সমাধান:
চিত্রে তলগুলি হল ABCD, EFGH, ADEF, BCGH, ABEH ও CDFG
ধারগুলি হলো AB, BC, CD, DA, EF, FG, EH, GH, AE, BH, CGও FG
শীর্ষবিন্দুগুলি হল A, B, C, D, E, F, G ও H
3. একটি সমকোণী চৌপলাকার ঘরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 5 মি., 4 মি. ও 3 মি. হলে, ওই ঘরে সবচেয়ে লম্বা যে দণ্ড রাখা যাবে তার দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
সমকোণী চৌপলাকার ঘরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 5 মি., 4 মি. ও 3 মি.
∴ ঘরে সবচেয়ে লম্বা যে দণ্ড রাখা যাবে তার দৈর্ঘ্য
=√(5² +4² + 3²)
= √(25 + 16 + 9)
⇒ √50 মি.
= 5√2 মিটার।
Ans:সবচেয়ে লম্বা যে দণ্ড রাখা যাবে তার দৈর্ঘ্য 5√2 মিটার।
4. একটি ঘনকের একটি তলের ক্ষেত্রফল 64 বর্গ মিটার হলে, ঘনকটির আয়তন হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ঘনকের একটি তলের ক্ষেত্রফল 64 বর্গ মিটার হলে,
ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য = √64
= 8 মি.
∴ ঘনকের আয়তন = (8)³
= 512 ঘনমিটার।
Ans: ঘনকটির আয়তন 512 ঘনমিটার।
5. আমাদের বকুলতলা গ্রামে 2 মিটার চওড়া এবং 8 ডেসিমি. গভীর একটি খাল কাটা হয়েছে। যদি মােট 240 ঘন মিটার মাটি কাটা হয়ে থাকে তবে খালটি কত লম্বা হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, খালটি h মিটার লম্বা।
গভীরতা = 8 ডেসিমি
= 0.8 মি.
প্রশ্নানুসারে,
2 × h × 0.8 = 240
বা, h = 2400/16
বা, h = 150
Ans: খালটি 150 মিটার লম্বা।
6. একটি ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য 4√3 সেমি. হলে, ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য 4√3 সেমি।
∴ ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ‍্য
= ^4√3/_√3
= 4 সেমি.
∴ ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
⇒ 6 × (4)² বর্গ সেমি
= 6 ×16 বর্গ সেমি
= 96 বর্গসেমি।
Ans: ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 96 বর্গসেমি
7. একটি ঘনকের ধারগুলির দৈর্ঘ্যের সমষ্টি 60 সেমি. হলে, ঘনকটির ঘনফল হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ঘনকের ধারগুলির দৈর্ঘ্যের সমষ্টি 60 সেমি
∴ ঘনকের একটি ধারের দৈর্ঘ্য = 60/12 = 5 সেমি
∴ ঘনকটির ঘনফল = (5)³ ঘন সেমি
= 125 ঘন সেমি
Ans: ঘনকটির ঘনফল 125 ঘন সেমি।
8. যদি একটি ঘনকের ছয়টি পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি 216 বর্গ সেমি. হয়, তবে ঘনকটির আয়তন কত হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য = a সেমি
প্রশ্নানুসারে,
6a² = 216
বা, a² = 36
⇒ a = 6
∴ ঘনকটির আয়তন = (6)³ ঘন সেমি
= 216 ঘন সেমি।
Ans: ঘনকটির আয়তন 216 ঘন সেমি।
দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নিচের BUTTON-এ ক্লিক করো।
CLICK
9. একটি সমকোণী চৌপলের আয়তন 432 ঘন সেমি। তাকে সমান আয়তন বিশিষ্ট দুটি ঘনক-এ পরিণত করা হলে, প্রতিটি ঘনকের প্রত্যেক ধারের দৈর্ঘ্য কত হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
প্রতিটি ঘনকের আয়তন
= 432/2 ঘন সেমি
= 216 ঘন সেমি
ধরি, ঘনকের প্রতিটি ধারের দৈর্ঘ্য = a সেমি
প্রশ্নানুসারে,
a³ = 216
বা, a³= 6³
⇒ a = 6
Ans: প্রতিটি ঘনকের প্রত্যেক ধারের দৈর্ঘ্য 6 সেমি।
10. একটি ঘনকের প্রতিটি বাহুকে 50% কমানাে হলাে। মূল ঘনক ও পরিবর্তিত ঘনকের ঘনফলের অনুপাত কী হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
মনেকরি, ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য = 2a সেমি
∴ ঘনকের আয়তন = (2a)³ ঘন সেমি
= 8a³ ঘন সেমি
ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য 50% কমানাে হলে, ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য হবে
= 2a × ⁵⁰/₁₀₀ সেমি
= a সেমি
∴ পরিবর্তিত ঘনকের আয়তন = a³ ঘন সেমি
∴ সেমি মূল ঘনক ও পরিবর্তিত ঘনকের আয়তনের অনুপাত
= 8a³ : a³
= 8 : 1
Ans: মূল ঘনক ও পরিবর্তিত ঘনকের ঘনফলের অনুপাত 8 : 1
11. একটি সমকোণী চৌপল আকারের বাক্সের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার অনুপাত 3 : 2 : 1 এবং উহার আয়তন 384 ঘন সেমি হলে, বাক্সটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, বাক্সটির দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 3x সেমি, 2x সেমি ও x সেমি।
প্রশ্নানুসারে,
3x × 2x × x = 384
বা, 6x³ = 384
বা, x³ = 64 = 4³
⇒ x = 4
∴ ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= 2(3x × 2x + 3x × x + x × 2x) বর্গ সেমি
= 2(6x² + 3x³ + 2x²) বর্গ সেমি
⇒ 2 . 11x² বর্গ সেমি
= 2.11.(4)² বর্গ সেমি
= 22 × 16
= 352 বর্গসেমি।
Ans: বাক্সটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 352 বর্গসেমি।
12. একটি চা-এর বাক্সের ভিতরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 7.5 ডেসিমি, 6 ডেসিমি এবং 5.4 ডেসিমি। চা ভর্তি ৰাক্সটির ওজন 52 কিগ্রা 350 গ্রাম। কিন্তু খালি অবস্থায় বাটির ওজন 3.75 কিগ্রা হলে 1 ঘন ডেসিমি. চা-এর ওজন কত হবে তা হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
চা-এর বাক্সের ওজন
= (52.350 – 3.750) কিগ্রা
= 48.600 কিগ্ৰা।
চা-এর বাক্সের আয়তন
= (7.5 x 6 x 5.4) ঘন ডেসিমি.
= 243 ঘন ডেসিমি
243 ঘন ডেসিমি চায়ের ওজন = 48.600 কিগ্ৰা।
∴ প্রতি ঘন ডেসিমি চায়ের ওজন
= ^48.600/₂₄₃ কিগ্ৰা
⇒ 0.2 কিগ্ৰা
= 200 গ্ৰাম।
Ans: 1 ঘন ডেসিমি. চা-এর ওজন 200 গ্ৰাম।
13. একটি বর্গাকার ভূমিবিশিষ্ট পিতলের প্লেটের দৈর্ঘ্য x সেমি, বেধ 1 মিলিমি হয় প্লেটটির ওজন 4725 গ্রাম, যদি 1 ঘন সেমি. পিতলের ওজন 8.4 গ্রাম হয়, তাহলে x এর মান কত হবে তা হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
বর্গাকার ভূমিবিশিষ্ট পিতলের প্লেটের.
দৈর্ঘ্য = x সেমি,
বেধ = 1 মিলিমি.
= 0.1 সেমি
∴ পিতলের প্লেটের আয়তন
= x² × 0.1 ঘন সেমি.
1 ঘন সেমি. পিতলের ওজন 8.4 গ্রাম
∴ x² × 0.1 ঘন সেমি.
∴ পিতলের ওজন 8.4 × x² × 0.1 গ্রাম
প্রশ্নানুসারে,
8.4 × x² × 0.1 = 4725
বা, x² = 225 x25
বা, x = √(225 x25)
⇒ x = 15×5 = 75 সেমি‌
Ans: x এর মান 75 সেমি‌
14. চাঁদমারির রাস্তাটি উঁচু করতে হবে। তাই বাস্তার দুপাশে 30 টি সমান গভীর ও সমান মাপের আয়তঘনাকার গর্ত খুঁড়ে সেই মাটি দিয়ে রাস্তাটি উচু করা হয়েছে। যদি প্রতিটি গর্তের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে 14 মি. এবং ৪ মি.হয় এবং রাস্তাটি তৈরি করতে মােট 2520 ঘন মিটার মাটি লেগে থাকে, তবে প্রতিটি গর্তের গভীরতা হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
গর্তের দৈর্ঘ্য = 14 মি.ও
প্রস্থ = ৪ মি.
ধরি, প্রতিটি গর্তের গভীরতা h মিটার
∴ প্রতিটি গর্তের আয়তন
= 14 x 8 x h ঘনমিটার
∴ 30 টি গর্তের আয়তন
= 30 × 14 x 8 x h ঘনমিটার
প্রশ্নানুসারে,
30 × 14 x 8 x h = 2520
বা, h = 0.75
Ans: প্রতিটি গর্তের গভীরতা 0.75 মিটার বা 75 সেমি।
15. ঘনকাকৃতি একটি সম্পূর্ণ জলপূর্ণ চৌবাচ্চা থেকে সমান মাপের 64 বালতি জল তুলে নিলে চৌবাচ্চাটির ⅓ অংশ জলপূর্ণ থাকে। চৌবাচ্চার একটি ধারের দৈর্ঘ্য 1.2 মিটার হলে, প্রতিটি বালতিতে কত লিটার জল ধরে তা হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
চৌবাচ্চাটির আয়তন
= (1.2)³ ঘন মিটার
= 1.728 ঘন মিটার
⇒ 1728 ঘন ডেসিমি
= 1728 লিটার – – – [: ঘন ডেসিমি = 1 লিটার]
64 বালতি জল = চৌবাচ্চাটির আয়তনের (1 – ⅓) অংশ
= ⅔ অংশ
∴ 64 বালতি জল = 1728 × ⅔ লিটার
= 1152 লিটার
∴ 1 বালতি জল = ¹¹⁵²/₆₄ লিটার
= 18 লিটার
Ans: প্রতি বালতিতে 18 লিটার জল ধরে।
16. এক গ্রোস দেশলাই বাক্সের একটি প্যাকেটের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 2.8 ডেসিমি, 1.5 ডেসিমি ও 0.9 ডেসিমি হলে একটি দেশলাই বাক্সের আয়তন কত হবে হিসাব করি [এক গ্রোস = 12 ডজন] কিন্তু যদি একটি দেশলাই বাক্সের দৈর্ঘ্য 5 সেমি এবং প্রস্থ 3.5 সেমি হয়, তবে তার উচ্চতা কত হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
এক গ্রোস দেশলাই বাক্সের/
একটি প্যাকেটের দৈর্ঘ্য = 2.8 ডেসিমি.
প্রস্থ = 1.5 ডেসিমি ও
উচ্চতা = 0.9 ডেসিমি
∴ এক গ্রোস দেশলাই বাক্সের আয়তন =
2.8 x 1.5 x 0.9 ঘনডেসিমি.
= 3.780 ঘন ডেসিমি.
= 3780 ঘন সেমি
এক গ্রোস = 12 ডজন
= 12 × 12 টি।
1টি দেশলাই বাক্সের আয়তন
= ³⁷⁸⁰/_12×12 ঘন সেমি
= 26.25 ঘন সেমি।
একটি দেশলাই বাক্সের দৈর্ঘ্য = 5 সেমি এবং
প্রস্থ = 3.5 সেমি
ধরি, দেশলাই বাক্সের উচ্চতা = h সেমি
প্রশ্নানুসারে,
5 x 3.5 x h = 26.25
বা, 5 x 3.5 x h = 26.25
∴ h = 1.5
Ans: দেশলাই বাক্সের উচ্চতা = 1.5 সেমি।
17. 2.1 মিটার দীর্ঘ, 1.5 মিটার প্রশস্ত একটি আয়তঘনাকার চৌবাচ্চার অর্ধেক জলপূর্ণ আছে। ঐ চৌবাচ্চায় আরও 630 লিটার জল ঢাললে জলের গভীরতা কতটা বৃদ্ধি পাবে তা হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য = 2.1 মিটাৱ
= 21 ডেসিমি
চৌবাচ্চার প্রস্থ = 1.5 মিটার
= 15 ডেসিমি
ধরি, জলের গভীরতা বৃদ্ধি পাবে = h ডেসিমি.
চৌবাচ্চায় ঢালা জলের আয়তন
= 630 লিটার
= 630 ঘন ডেসিমি.
প্রশ্নানুসারে,
21 x 15 x h = 630
বা, h = 2
Ans: চৌবাচ্চার গভীরতা 2 ডেসিমি বৃদ্ধি পাবে।
18. গ্রামের আয়তক্ষেত্রাকার মাঠের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে 20 মিটার ও 15 মিটার। ঐ মাঠের ভিতরে চারটি কোণে পিলার বসানাের জন্য 4 মিটার দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট চারটি ঘনকাকৃতি গর্ত কেটে অপসারিত মাটি অবশিষ্ট জমির উপর ছড়িয়ে দেওয়া হলাে। মাঠের তলের উচ্চতা কতটা বৃদ্ধি পেল হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
মাঠের দৈর্ঘ্য = 20 মিটার ও
প্রস্থ = 15 মিটার।
∴ মাঠের ক্ষেত্রফল
= (20 x 15)
= 300 বর্গমিটার
4 টি পিলারের জন্য জমির ক্ষেত্রফল
= 4 x (4)² বর্গমিটার
= 64 বর্গমিটার
∴ অবশিষ্ট জমির ক্ষেত্রফল
= (300 – 64) বর্গমিটার
= 236 বর্গমিটার
4 টি পিলার করার জন্য যে পরিমাণ মাটি তোলা হয় তার আয়তন
= 4 x (4)³ ঘনমিটার
= 4 × 64
⇒ 256 ঘনমিটার
ধরি, মাঠের তলের উচ্চতা h মিটার বৃদ্ধি পেল।
প্রশ্নানুসারে,
236 x h = 256
বা, 59 x h = 64
বা, h = 64/59 = 1⁵/₅₉
Ans: মাটির তলের উচ্চতা 1⁵/₅₉ মিটার বৃদ্ধি পেল।
19. 48 মিটার লম্বা এবং 31.5 মিটার চওড়া একখণ্ড নীচু জমিকে 6.5 ডেসিমি উঁচু করার জন্য ঠিক করা হয়েছে পাশের 27 মিটার লম্বা এবং 18.2 মিটার চওড়া একটি জমি গর্ত করে মাটি তােলা হবে। গর্তটি কত মিটার গভীর করতে হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
উঁচু করতে হবে = 6.5 ডেসিমি
= 0.65 মিটার৷
নীচু জমিকে 6.5 ডেসিমি উঁচু করতে মাটি লাগবে
= 48 x 31.5 x 0.65 ঘনমিটার
ধরি, গর্তটির গভীরতা h মিটার
প্রশ্নানুসারে,
27 ×18.2 × h = 48 × 31.5 × 0.65
বা, 27 ×182 × h × 100 = 48 × 315 × 65
বা, 182 × h × 100 = 16 × 35 × 65
⇒ 14 × h × 20 = 16 × 7 × 5
বা, h = 2
Ans: গর্তটি 2 মিটার গভীর করতে হবে।
20. বাড়ির তিনটি কেরোসিন তেলের ড্রামে যথাক্রমে 800 লিটার 725 লিটার এবং 575 লিটার তেল ছিল ।ওই তিনটি ড্রামের তেল একটি আয়তঘনকার পাত্রে ঢালা হলাে এবং এতে পাত্রে তেলের গভীরতা 7 ডেসিমি হল। ওই আয়তঘনাকার পাত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত 4 : 3 হলে, পাত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ হিসাব করে লিখি।
যদি ওই আয়তঘনাকার পাত্রের গভীরতা 5 ডেসিমিটার হতাে, তবে 1620 লিটার তেল ঐ পাত্রে রাখা যেত কিনা হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
পাত্রে ঢালা কেরোসিন তেলের আয়তন
= (800 + 725 + 575) লিটার
= 2100 লিটার
ধরি, পাত্রের দৈর্ঘ্য 4x ডেসিমি ও প্রস্থ 3x ডেসিমি।
∴ পাত্রের আয়তন
= (4x × 3x × 7) ঘন ডেসিমি
= 84x² ঘন ডেসিমি
⇒ 84x² লিটার
প্রশ্নানুসারে,
84x² = 2100
বা, x² = 25
বা, x = 5
∴ দৈর্ঘ্য=(4 x 5) = 20 ডেসিমি, এবং
প্রস্থ = (3 x 5) = 15 ডেসিমি
পাত্রের গভীরতা 5 ডেসিমি হলে আয়তন হতো
= (20 x 15 x 5) ঘন ডেসিমি
= 1500 লিটার।
1620 লিটার তেল ওই পাত্রে রাখা যেত না।
Ans: পাত্রের দৈর্ঘ্য 20 ডেসিমি ও
প্রস্থ 15 ডেসিমি।
পাত্রের গভীরতা 5 ডেসিমিটার হলে, 1620 লিটার তেল ঐ পাত্রে রাখা যেত না।
21. আমাদের তিনতলা ফ্ল্যাটের তিনটি পরিবারের দৈনিক জলের চাহিদা যথাক্রমে 1200 লিটার, 1050 লিটার এবং 950 লিটার। এই চাহিদা মেটানাের পরও চাহিদার 25% জল মজুত থাকে এমন একটি ট্যাঙ্ক বসানাের জন্য মাত্র 2.5 মি. দীর্ঘ এবং 1.6 মিটার চওড়া একটি জায়গা পাওয়া গেছে। ট্যাঙ্কটি কত মিটার গভীর করতে হবে হিসাব করে লিখি।//জায়গাটি যদি প্রস্থের দিকে আরও 4 ডেসিমি বেশি হতাে, তবে ট্যাঙ্কটি কতটা গভীর করতে হতাে তা হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
তিনটি পরিবারের দৈনিক জলের চাহিদা
= (1200 + 1050 + 950) লিটার
= 3200 লিটার
∴ চাহিদার 25% = 3200 x 25/100
= 800 লিটার
ট্যাংকে জল থাকবে = (3200 + 800)
= 4000 লিটার
ট্যাংকটির দৈর্ঘ্য = 2.5 মি.= 25 ডেসিমি,
ট্যাঙ্কটির প্রস্থ = 1.6 মি. = 16 ডেসিমি
ধরি, ট্যাংকটির গভীরতা = h ডেসিমি
প্রশ্নানুসারে,
25 x 16 x h = 4000
বা, 400h = 4000
বা, h = 10
∴ ট্যাংকটির গভীরতা 10 ডেসিমি = 1 মিটার
এখন ট্যাংকটির প্রস্থ 4 ডেসিমি বেশি হলে,
প্রস্থ হতাে = (16 + 4) = 20 ডেসিমি।
সেক্ষেত্রে ট্যাঙ্কটির গভীরতা হবে
= ⁴⁰⁰⁰/_25×20
= 8 ডেসিমি
Ans: ট্যাঙ্কটি 1 মিটার গভীর করতে হবে।
জায়গাটি যদি প্রস্থের দিকে আরও 4 ডেসিমি বেশি হতাে, তবে ট্যাঙ্কটি 8 ডেসিমি গভীর করতে হতাে।
2. 5 সেমি পুরু কাঠের তক্তায় তৈরি ঢাকনাসহ একটি কাঠের বাক্সের ওজন 115.5 কিগ্রা। কিন্তু চালভর্তি বাক্সটির ওজন 880.5 কিগ্রা। বাক্সটির ভিতরের দিকের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে 12 ডেসিমি এবং 8.5 ডেসিমি এবং এক ঘন ডেসিমি চালের ওজন 1.5 কিগ্রা। বাক্সটির ভিতরের উচ্চতা কত হিসাব করে লিখি। প্রতি বর্গ ডেসিমি 1.50 টাকা হিসাবে বাক্সটির বাইরের চারিপাশ রং করতে কত খরচ পড়বে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
কাঠের বাক্সের ওজন 115.5 কিগ্রা।
চালভর্তি বাক্সটির ওজন 880.5 কিগ্রা।
∴ বাক্সের চালের ওজন = (880.5 – 115.5)
= 765 কিগ্রা।
1.5 কিগ্রা চালের আয়তন 1 ঘনডেসিমি
∴ 1 কিগ্রা চালের আয়তন 1/1.5 ঘনডেসিমি
765 কিগ্রা চালের আয়তন 765/1.5 ঘনডেসিমি
= 510 ঘন ডেসিমি
∴ বাক্সের ভিতরের আয়তন = 510 ঘন ডেসিমিধরি
ধরি, বাক্সটির উচ্চতা = h ডেসিমি
প্রশ্নানুসারে,
12×8.5 x h = 510
বা, 102×h = 510
বা, h = 5
∴ বাক্সটির উচ্চতা = 5 ডেসিমি
বাক্সটি পুরু = 5 সেমি = 0.5 ডেসিমি
∴ ঢাকনা সহ বাক্সের দৈর্ঘ্য = (I2 + 2 x 0.5) = 13 ডেসিমি
ঢাকনাসহ বাক্সের প্রস্থ = (8.5 + 2 x 0.5) = 9.5 ডেসিমি
ঢাকনা সহ বাক্সের উচ্চতা = (5 + 2 x 0.5) = 6 ডেসিমি
ঢাকনাসহ বাক্সের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= 2(13 x 9.5 + 13 x 6 + 9.5 x 6) বর্গ ডেসিমি
= 2(123.5 + 78 + 57) বর্গ ডেসিমি
⇒ 2 x 258.5 বর্গ ডেসিমি
= 517 বর্গ ডেসিমি
∴ প্রতি বর্গ ডেসিমি 1.50 টাকা হিসাবে বাক্সটির বাইরের চারপাশে রং করতে খরচ পড়বে (517 x 1.50) টাকা = 775.50 টাকা।
Ans: বাক্সটির ভিতরের উচ্চতা 5 ডেসিমি এবং
বাক্সটির বাইরের চারপাশে রং করতে খরচ পড়বে 775.50 টাকা।
23. 20 মিটার দীর্ঘ এবং 18.5 মিটার চওড়া একটি আয়তঘনাকার পুকুরে 3.2 মিটার গভীর জল আছে। ঘণ্টায় 160 কিলােলিটার জলসেচ করতে পারে এমন একটি পাম্প দিয়ে কতক্ষণে পুকুরটির সমস্ত জলসেচ করা যাবে হিসাব করে লিখি। ওই জল যদি 59.2 মিটার দীর্ঘ এবং 40 মিটার চওড়া একটি আল দেওয়া ধান ক্ষেতে ফেলা হয়, তবে সেই জমিতে জলের গভীরতা কত হবে হিসাব করে লিখি। [1 ঘন মিটার = 1 কিলােলিটার]
সমাধান:
পুকুরটির জলের আয়তন
= (20 x 18.5 x 3.2) ঘন মিটার
=1184 ঘন মিটার
160 কিলােলিটার = 160 ঘন মিটার
পাম্প দিয়ে,
160 ঘনমিটার জলসেচ করা যায় 1 ঘণ্টায়
∴ 1 ঘনমিটার জলসেচ করা যায় ¹/₁₆₀ঘণ্টায়
1184 ঘনমিটার জলসেচ করা যায় 1184 /160 ঘণ্টায়
= 148/20 ঘণ্টায়
= 37/5 ঘণ্টায়
⇒ 7⅖ ঘণ্টায়
= 7 ঘণ্টা 24 মি.
ধরি, ধান ক্ষেতে জলের গভীরতা হবে x মিটার ।
সুতরাং, 59.2 × 40 × x = 1184
বা, 592 × 4 × x = 1184
বা, 592×x = 296
⇒ 2x = 1
বা, x = 0.5
Ans: 7 ঘণ্টা 24 মিনিটে পুকুরটির সমস্ত জল জলসেচ করা যাবে।
ধানখেতের জলের গভীরতা হবে 0.5 মিটার বা 5 ডেসিমি।
24. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন :
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.) :
(i) একটি সমকোণী চৌপলাকৃতি বাক্সের ভিতরের আয়তন 440 ঘন সেমি এবং ভিতরের ভূমিতলের ক্ষেত্রফল 88 বর্গ সেমি। বাক্সটির ভিতরের উচ্চতা (a) 4 সেমি (b) 5 সেমি (c) 3 সেমি (d) 6 সেমি
Ans: (b) উত্তরটি সঠিক
[বাক্সটির ভিতরের উচ্চতা
= আয়তন/ ভূমিতলের ক্ষেত্রফল
= 440/88 = 5 সেমি

(ii) একটি আয়তঘনাকার গর্তের দৈর্ঘ্য 40 মি., প্রস্থ 12 মি. এবং গভীরতা 16 মি.। ঐ গর্তের মধ্যে 5 মি. দৈঘ‍্য, 4 মি. প্রস্থ ও 2 মি. পুরু তক্তা রাখা যাবে (a) 190 টি (b) 192 টি (c) 184 টি (d) 180 টি
Ans: (b) উত্তরটি সঠিক।
[গর্তের আয়তন = 40×12×16 ঘনমিটার।
একটি তক্তার আয়তন = 5× 4× 2
∴ তক্তা রাখা যাবে
= (40×12×16) ÷ (5× 4× 2)
= 192টি]

(iii) একটি ঘনকের পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল 256 বর্গ মিটার। ঘনকটির আয়তন (a) 64 ঘন মি. (b) 216 ঘন মি. (c) 256 ঘন মি. (d) 512 ঘন মি.
Ans: (d) উত্তরটি সঠিক
[ঘনকের পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল 256 বর্গ মিটার।
∴ ঘনকের প্রতিটি তলের ক্ষেত্রফল
= 256/4
= 64 বর্গ মি.
∴ ঘনকের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য
= √64
= ৪ মি.
∴ঘনকটির আয়তন
= (8)³ ঘন মি.
= 512 ঘন মি.

(iv) দুটি ঘনকের আয়তনের অনুপাত 1 : 27 হলে, ঘনক দুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত (a) 1: 3 (b) 1 : 8 (c) 1: 9 (d) 1: 18
Ans: (c) উত্তরটি সঠিক।
[ঘনক দুটির বাহুর অনুপাত
$$\Large{=\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{27}}\\= 1 : 3}$$∴ ঘনক দুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত $$\Large{=\frac{6× 1^{2}}{6×3^{2}}\\= 1 : 9}$$
Our YouTube Channel
দশম শ্রেণীর জীবন বিজ্ঞান অসম্পূর্ণ প্রকটতা/ Incomplete Dominance
(v) একটি ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল s বর্গ একক এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য d একক হলে s ও d-এর সম্পর্ক (a) s = 6d² (b) 3s = 7d (c) s³ = d² (d) d² = ^s/₂
সমাধানঃ
Ans: (d) উত্তরটি সঠিক।
[ধরি ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য = a একক
∴ s = 6a² বর্গএকক এবং
d =√3a একক
d² = (√3a)² = 3a²
বা, d² = 6a²/2
বা, d² = ^s/₂]
(B) বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি :
(i) একটি ঘনকের প্রতিটি ধারের দৈর্ঘ্য দ্বিগুন হলে, ঘনকটির আয়তন প্রথম ঘনকের 4 গুন হবে।
Ans: উক্তিটি মিথ্যা।
[ঘনকের প্রতিটি ধারের দৈর্ঘ্য a একক।
∴ ঘনকটির আয়তন = a³ ঘনএকক।
ঘনকের প্রতিটি ধারের দৈর্ঘ্য দ্বিগুন হলে,
ঘনকটির আয়তন হবে
= (2a)³
= 8a³
⇒ 8×প্রথম ঘনকের আয়তন।]

(ii) বর্ষার সময় 2 হেক্টর জমিতে বৃষ্টিপাত 5 সেমি উচ্চতার হলে বৃষ্টির জলের আয়তন 1000 ঘনমিটার।
Ans: উক্তিটি সত্য।
[ ভূমির ক্ষেত্রফল = 2 হেক্টর
= 2×10000 ঘনমিটার।
উচ্চতা = 5 সেমি
= 0.05 মি.
∴ বৃষ্টির জলের আয়তন
= 2×10000×0.05
= 10000 ঘনমিটার।]
(C) শূন্যস্থান পূরণ করিঃ
(i) একটি সমকোণী চৌপলের কর্ণের সংখ্যা ________ টি।
Ans: 4 টি।

(ii) একটি ঘনকের একটি তলের কর্ণের দৈর্ঘ্য = ________ x একটি ধারের দৈর্ঘ্য।
Ans: √2

(ii) সমকোণী চৌপলের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা সমান হলে সেই ঘনবস্তুর বিশেষ নাম ________ ।
Ans: ঘনক
সমকোণী চৌপল বা আয়তঘন কষে-দেখি -4
(Rectangular Parallelepiped)
25 সংক্ষিধর্মী প্রশ্ন (S.A.)ঃ
(1) একটি আয়তঘনের তলসংখ্যা = x, ধারসংখ্যা = y, শীর্ষবিন্দুর সংখ্যা = z এবং কর্ণের সংখ্যা = p হলে x- y + z + p এর মান কত তা লিখি।
Ans:
x – y + z + P
= 6 – 12 + 8 + 4
= 6
Ans: x- y + z + p এর মান = 6
(ii) দুটি আয়তঘনের মাত্রাগুলির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 4, 6, 4 একক এবং ৪, (2h – 1), 2 একক। যদি আয়তঘন দুটির ঘনফল সমান হয়, তাহলে h-এর মান কত তা লিখি।
Ans:
প্রশ্নানুযায়ী,
৪ x (2h – 1) x 2 = 4 x 6 x 4
বা, 2h -1= 6
⇒ 2h = 6 + 1
বা, 2h = 7
বা, h = ⁷/₂ =3.5
Ans: h এর মান 3.5 একক।
(iii) একটি ঘনকের প্রত্যেকটি ধারের দৈর্ঘ্য 50% বৃদ্ধি পেলে, ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে তা হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
মনে করি, ঘনকের প্রতিটি ধারের দৈর্ঘ্য = 2a একক
∴ ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= 6(2a)² বর্গ একক
= 24a² বর্গ একক
50% বৃদ্ধি পেলে প্রতিটি ধারের দৈর্ঘ্য হয়
= 2a× ¹⁵⁰/₁₀₀
= 3a একক
এখন সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= 6(3a)² বর্গ একক
= 54a² বর্গ একক
∴ সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি হয়
= 54a² – 24a² বর্গ একক
= 30a² বর্গ একক
∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি
$$\Large{=\frac{30a^2}{24a^2}×100℅ \\=125℅}$$ Ans: সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 125% বৃদ্ধি পাবে
সমকোণী চৌপল বা আয়তঘন কষে-দেখি -4
(Rectangular Parallelepiped)
(iv) তিনটি নিরেট ঘনক যাদের প্রত্যেকটি ধারের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 3 সেমি, 4 সেমি এবং 5 সেমি। ঘনক তিনটিকে গলিয়ে একটি নতুন নিরেট ঘনক তৈরি করা হলাে। নতুন ঘনকটির একটি ধারের দৈর্ঘ্য কত হবে তা লিখি।
সমাধান:
ধরি, নতুন ঘনকটির একটি ধারের দৈর্ঘ্য = a সেমি
প্রশ্নানুসারে,
a³ = 3³ + 4³ + 5³
বা, a³ = 27 + 64 + 125
বা, a³ = 216
⇒ a³ = 6³
বা, a = 6
Ans: নতুন ঘনকের একটি ধারের দৈর্ঘ্য 6 সেমি।
(v) একটি ঘরের দুটি সংলগ্ন দেয়ালের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 12 মিটার ও ৪ মিটার। ঘরটির উচ্চতা 4 মিটার হলে ঘরটির মেঝের ক্ষেত্রফল কত তা হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ঘরটির মেঝের ক্ষেত্রফল
= (12 x 8) বর্গ মিটার
= 96 বর্গ মিটার
Ans: ঘরটির মেঝের ক্ষেত্রফল = 96 বর্গ মিটার।
Madhyamik Question
MP-2024
▶️ একটি ঘনকের প্রতিটি তলের কর্ণের দৈর্ঘ্য 6√2 সেমি হলে, ঘনকটির সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল কত?
Solution:
ধরি, ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য a সেমি।
প্রশ্নানুযায়ী,
√2a = 6√2
বা, a = 6
∴ ঘনকটির সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল
= 6a² বর্গ একক
⇒ 6×(6)² বর্গ সেমি
= 216 বর্গ সেমি
Ans: ঘনকটির সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল 216 বর্গ সেমি
▶️ ঘনকাকৃতির একটি সম্পূর্ণ জলপূর্ণ চৌবাচ্চা থেকে সমান মাপের 75 বালতি জল তুলে নিলে চৌবাচ্চাটির ⅖ অংশ জলপূর্ণ থাকে। চৌবাচ্চাটির একটি ধারের দৈর্ঘ্য 1.5 মিটার হলে প্রতি বালতিতে কত লিটার জল ধরে?mp2414iii
VIEW ANSER
MP-2023
MP-2022
▶️ সমকোণী চৌপলের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা সমান হলে সেই ঘনবস্তুর বিশেষ নাম ______ (শূন্যস্থান পূরণ)
Ans: ঘনক
▶️ একটি ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য 4√3 সেমি.। ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
Solution:
ধরি, ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য = a সেমি.
ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য 4√3 সেমি.
প্রশ্নানুযায়ী,
a√3 = 4√3
বা, a = 4
∴ ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= 6a² বর্গসেমি.
⇒ 6 x (4)² বর্গসেমি.
= 96 বর্গসেমি.।
Ans: ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 96 বর্গসেমি.।
▶️ একটি চা-এর বাক্সের ভিতরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 7.5 ডেসিমি, 6 ডেসিমি এবং 5.4 ডেসিমি। চা ভর্তি বাক্সটির ওজন 52 কিগ্রা. 350 গ্রাম। কিন্তু খালি অবস্থায় বাক্সটির ওজন 3.75 কিগ্রা, হলে, 1 ঘন ডেসিমি, চা-এর ওজন কত হবে তা নির্ণয় করো।
VIEW ANSER
MP-2019
▶️ ঘনকাকৃতি একটি জলপূর্ণ চৌবাচ্চা থেকে সমান মাপের 64 বালতি জল তুলে নিলে চৌবাচ্চাটির ¹/₃ অংশ জলপূর্ণ থাকে। চৌবাচ্চাটির বাহুর দৈর্ঘ্য যদি 1.2 মিটার হয়, তবে প্রতিটি বালতিতে কত লিটার জল ধরে? (1 ঘনডেসিমিটার = 1 লিটার)
VIEW ANSER
▶️ 2√6 সেমি বাহুবিশিষ্ট দুটি ঘনক পাশাপাশি রাখলে উৎপন্ন আয়তঘনকটির কর্ণের দৈর্ঘ্য হবে-
(a) 10 সেমি (b) 6 সেমি (c) 2 সেমি (d) 12 সেমি
VIEW ANSER
▶️ একটি আয়তঘনাকৃতি ঘরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে a, b এবং c একক এবং a + b + c = 25, ab + bc + ca = 240.5 হলে ঘরটির মধ্যে যে বৃহত্তম দন্ডটি রাখা যাবে তার দৈর্ঘ্য কত হবে?
VIEW ANSER
MP-2018
▶️ একটি ঘনকের প্রতিটি বাহুকে 50% কমানো হল। মূল ঘনক ও পরিবর্তিত ঘনকের ঘনফলের অনুপাত কত?
VIEW ANSER
▶️ একটি ঘনকের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য a একক এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য d একক হলে a এবং d -এর সম্পর্ক হবে:
(a) √2a = d (b) √3a = d (c) a =√3d (d) a =√2d
Ans: (b) √3a = d
[ঘনকের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য a একক এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য d একক
ঘনকের কর্ণ = √3×বাহুর দৈর্ঘ্য
∴ d = √3a]
MP-2017
▶️ একটি আয়তঘনকের তলসংখ্যা x, ধার সংখ্যা y, শীর্ষবিন্দুর সংখ্যা z এবং কর্ণের সংখ্যা P হলে x – y + z + P এর মান কত?
VIEW ANSER
PREVIOUS
NEXT
Boyle’s Law গ্যাসের আচরণ বয়েলের সূত্র

দশম শ্রেণির ভৌত বিজ্ঞানের সকল সূত্রাবলী

কষে দেখি 26.4 দশম শ্রেণী রাশিবিজ্ঞান সংখ্যাগুরুমান

কষে দেখি 26.3 দশম শ্রেণী রাশিবিজ্ঞান: ওজাইভ

কষে দেখি 26.2 দশম শ্রেণী রাশিবিজ্ঞান মধ্যমা

Koshe Dekhi 24 Class 10|পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

কষে দেখি 25 দশম শ্রেণী | ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ: উচ্চতা ও দূরত্ব

Solution of Koshe dekhi 22

Solution of Koshe dekhi 21

KOSHE DEKHI 17 সম্পাদ্য বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন
May 10, 2023

ত্রিকোণমিতি কোণ পরিমাপের ধারণা কষে দেখি ২০ Class -X

ত্রিকোণমিতি কোণ পরিমাপের ধারণা কষে দেখি ২০
Class -X

ত্রিকোণমিতি কোণ পরিমাপের ধারণা
TRIGONOMETRY: CONCEPT OF MEASUREMENT OF ANGLE
কষে দেখি 20

জ্যামিতিক কোণঃ দুটি রেখাংশ একটি বিন্দুতে মিলিত হলে ওই বিন্দুতে একটি কোণ উৎপন্ন হয় । OA ও OB দুটি রেখাংশ O বিন্দুতে মিলিত হয়েছে, তার ফলে O বিন্দুতে ∠AOB কোণ উৎপন্ন হয়েছে । এই ∠AOB কে আমরা জ্যামিতিক কোণ বলি ।

অধ্যায়	বিষয়	কষে দেখি
1	একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic Equations with one variable)	কষে দেখি – 1.1 কষে দেখি – 1.2 কষে দেখি – 1.3 কষে দেখি – 1.4 কষে দেখি – 1.5
2	সরল সুদকষা (Simple Interest)	কষে দেখি – 2
3	বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য (Theorems related to circle)	কষে দেখি – 3.1 কষে দেখি – 3.2
4	আয়তঘন (Rectangular Parallelopiped or Cuboid)	কষে দেখি – 4
5	অনুপাত ও সমানুপাত (Ratio and Proportion)	কষে দেখি – 5.1 কষে দেখি – 5.2 কষে দেখি – 5.3
6	চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সমহার বৃদ্ধি বা হ্রাস (Compound Interest and Uniform Rate of Increase or Decrease)	কষে দেখি – 6.1 কষে দেখি – 5.2
7	বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য (Theorems related to Angles in a Circle)	কষে দেখি – 7.1 কষে দেখি – 7.2 কষে দেখি – 7.3
8	লম্ব বৃত্তাকার চোঙ (Right Circular Cylinder)	কষে দেখি – 8
9	দ্বিঘাত করণী (Quadratic Surd)	কষে দেখি – 9.1 কষে দেখি – 9.2 কষে দেখি – 9.3
10	বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Cyclic Quadrilateral)	কষে দেখি – 10
11	সম্পাদ্য : ত্রিভুজের পরিবৃত্ত ও অন্তবৃত্ত অঙ্কন (Construction : Construction of circumcircle and incircle of a triangle)	কষে দেখি – 11.1
12	গোলক (Sphere)	কষে দেখি – 12
13	ভেদ (Variation)	কষে দেখি – 13
14	অংশীদারি কারবার (Partnership Business)	কষে দেখি – 14
15	বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Tangent to a Circle)	কষে দেখি – 15.1 কষে দেখি – 15.2
16	লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু (Right Circular Cone)	কষে দেখি – 16
17	সম্পাদ্য : বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন (Construction: Construction of Tangent to a circle)	কষে দেখি – 17
18	সদৃশতা (Similarity)	কষে দেখি – 18.1 কষে দেখি – 18.2 কষে দেখি – 18.3 কষে দেখি – 18.4
19	বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা (Real life Problems related to different Solid Objects)	কষে দেখি – 19
20	ত্রিকোণমিতি: কোণ পরিমাপের ধারণা	কষে দেখি – 20
21	সম্পাদ্য : মধ্যসমানুপাতী নির্ণয় (Construction : Determination of Mean Proportional )	কষে দেখি – 21
22	পিথাগোরাসের উপপাদ্য (Pythagoras Theorem)	কষে দেখি – 22
23	ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি (Trigonometric Ratios and Trigonometric Identities)	কষে দেখি – 23.1 কষে দেখি – 23.2 কষে দেখি – 23.3
24	পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত (Trigonometric Ratios of Complementrary angle )	কষে দেখি – 24
25	ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ : উচ্চতা ও দূরত্ব (Application of Trigonometric Ratios: Heights & Distances)	কষে দেখি – 25
26	রাশিবিজ্ঞান : গড়, মধ্যমা, ওজাইভ, সংখ্যাগুরুমান (Statistics : Mean, Median, Ogive, Mode)	কষে দেখি – 26.1 কষে দেখি – 26.2 কষে দেখি – 26.3 কষে দেখি – 26.4

ত্রিকোণমিতি কোণ পরিমাপের ধারণা
কষে দেখি 20

ত্রিকোণমিতিক কোণঃ একটি রেখাংশকে তার প্রান্ত বিন্দুতে স্থির রেখে
যদি ঘড়ির কাঁটার দিকে বা বিপরীতদিকে ঘোরানো হয় , তবে সেই রেখার প্রথম অবস্থানের সঙ্গে তার পরবর্তী অবস্থান সেই প্রান্তবিন্দুতে একটি কোণ উৎপন্ন করে।

OA রেখাকে তার প্রান্তীয় বিন্দু O তে স্থির রেখে ঘড়ির কাঁটার দিকে বা বিপরীতদিকে ঘুরিয়ে যথাক্রমে OC ও OB অবস্থানে নিয়ে গেলে, প্রথম অবস্থানের সঙ্গে এই অবস্থানগুলি যথাক্রমে ∠COA এবং ∠BOA কোণ উৎপন্ন করে । এই কোণ গুলিকে ত্রিকোণমিতিক কোণ বলে ।

সুতরাং জ্যামিতিক কোণের পরিমাপই হল মূল বিচার্য বিষয় । জ্যামিতিক কোণের পরিমাপ 0° থেকে 360° পর্যন্ত যেকোনো মানের হতে পারে, কিন্তু তার চেয়ে বড়ো হতে পারেনা ।
কিন্তু ত্রিকোণমিতির কোণের ক্ষেত্রে ঘূর্ণিয়মান রেখার দিক ও তার ফলে সৃষ্ট কোণের পরিমান উভয়ই বিচার করা হয় ।

⛔ ঘূর্ণায়মান রেখাটি ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘুরলে যে কোণ উৎপন্ন হয় তাকে ধনাত্মক কোণ বলে ।
বিপরীতক্রমে ঘূর্ণায়মান রেখাটি ঘড়ির কাঁটার দিকে ঘুরলে যে কোণ উৎপন্ন হয় তাকে ঋণাত্মক কোণ বলে ।
জ্যামিতিক কোণের ক্ষেত্রে রেখাটি একপাক সম্পূর্ণ ঘোরার পর আবার ঘুরতে শুরু করলে কোণের মান নতুন করে 0° থেকে বাড়তে শুরু করবে । তারপর একপাক সম্পূর্ণ করলে আবার 360° হবে। কিন্তু কোণের মান কখনই 360° এর বেশি হবেনা ।
ত্রিকোণমিতিক কোণ যে কোনো পরিমাপের হতে পারে, এমনকি ঋণাত্মকও ।
ঘূর্ণায়মান রেখাটি ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে একবার ঘুরে আরও 30° কোন উৎপন্ন করলে, কোণের পরিমান হবে (1×360+30)° = 390° ;

আর দুইবার ঘুরে আরও 30° কোন উৎপন্ন করলে, কোণের পরিমান হবে (2×360+30)° = (720+30)°=750°
আবার ঘূর্ণিয়মান রেখাটি ঘড়ির কাঁটার দিকে একবার ঘুরে আরও 30° কোন উৎপন্ন করলে, কোণের পরিমান হবে -(1×360+30)° = -390°
আর দুইবার ঘুরে আরও 30° কোন উৎপন্ন করলে, কোণের পরিমান হবে -(2×360+30)° = -(720+30)°= -750°

⛔ কোণ পরিমাপের বিভিন্ন পদ্ধতিঃ
ত্রিকোণমিতিক কোন পরিমাপ সাধারণত দুটি পদ্ধতিতে করা হয়।
👉 (ক) ষষ্টিক পদ্ধতি ও
👉 (খ) বৃত্তীয় পদ্ধতি

👉 1. ষষ্ঠিক পদ্ধতিঃ এই পদ্ধতিতে ঘূর্ণিয়মান রেখাটি পুরো একপাক ঘুরে এলে যে কোণ উৎপন্ন হয় তাকে 360° ধরে তার চার ভাগের একভাগকে 90° বা এক সমকোণ ধরা হয় । এই পদ্ধতিতে এক সমকোণকে 90 টি সমান ভাগে ভাগ করা হয় এবং প্রতিটি ভাগকে এক ডিগ্রি (1°) বলে।
এই পদ্ধতিতে অন্যান্য নিম্ন এককগুলি হল মিনিট ও সেকেন্ড।
এদের মধ্যে সম্পর্ক নিচে দেওয়া হলঃ
✴️ এক সমকোণ = 90° ( ডিগ্রি )
✴️ 1° ( ডিগ্রি ) = 60′ ( মিনিট )
✴️ 1′ ( মিনিট ) = 60” ( সেকেন্ড )

👉 2. বৃত্তীয় পদ্ধতিঃ যেকোনো একটি বৃত্তের পরিধি ও বৃত্তের ব্যাসার্ধের মধ্যে যে ধ্রূবক সম্পর্কটি রয়েছে তার উপর ভিত্তি করে এই পদ্ধতির একক নির্ধারিত হয়েছে। যে কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট চাপ সবসময় কেন্দ্রে একটি নিদিষ্ট পরিমান কোণ ধারণ করে। এই কোণের পরিমানকেই বৃত্তীয় পদ্ধতিতে একক ধরা হয় এবং তাকে এক রেডিয়ান বলা হয়।
✴️ রেডিয়ান ঃ কোন বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান দৈর্ঘ্যের চাপ ওর কেন্দ্রে যে সন্মুখ কোণ উৎপন্ন করে তাকে এক রেডিয়ান বলে।

👉 1 রেডিয়ান একটি ধ্রুবক কোন। একে 1^c (এক রেডিয়ান

) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

$$\Large{\pi ^{c}=180^\circ\\\therefore1^{c}=\frac{180^\circ}{\pi}\\=\frac{180^\circ}{\frac{22}{7}}\\=\frac{180^\circ\times 7}{22}\\=\frac{90^\circ\times 7}{11}\\=\frac{630^\circ}{11}\\=57^\circ 16^{l}22^{ll}}$$

ত্রিকোণমিতি কোণ পরিমাপের ধারণা
কষে দেখি 20

👉 ষষ্টিক পদ্ধতি ও বৃত্তীয় পদ্ধতির সম্পর্কঃ
1^c = 57°16’22”

⛔ r ব্যাসার্ধবিশিষ্ট কোনো বৃত্তের s দৈর্ঘ্যের কোনো চাপ কেন্দ্রে যে কোণ উৎপন্ন করে তার বৃত্তীয় পরিমাপ θ হলে s = rθ হয়।

পদ্ধতি দুটির এককগুলির মধ্যে সম্পর্কঃ
ষষ্ঠিক পদ্ধতি বৃত্তীয় পদ্ধতি
360° = 2π^c ;
180° = π^c ;
90° = π^c/2

1. নিম্নলিখিতগুলিকে ডিগ্রি, মিনিট ও সেকেন্ডে প্রকাশ করি :
(i) 832′ (ii) 6312″
(iii) 375″ (iv) 27 1/12°
(v) 72.04″

$$\Large{\mathbf{(i)\quad\quad 832’\\Ans:}\\832’\\=\frac{832′}{60}\\=13^o +52’\\-*-\\\mathbf{(ii)\quad\quad 6312”\\Ans:}\\6312”\\=\frac{6312}{60}’\\=105\frac{12}{60}’\\=105’+\frac{1}{5}’\\=60’+45’+\frac{1}{5}×60”\\=1^o+45’+12”\\=1^o45’12”\\-*-\\\mathbf{(iii)\quad\quad 375”\\Ans:}\\375”\\=\frac{375}{60}’\\=\frac{25}{4}’\\=6’+\frac{1}{4}’\\=6’+\frac{1}{4}×60”\\=6’+15”\\=6’15”\\-*-\\\mathbf{(iv)\quad\quad 27\frac{1}{12}^o\\Ans:}\\27\frac{1}{12}^o\\=27^o+\frac{1}{12}^o\\=27^o+\frac{1}{12}×60’\\=27^o+5’\\=27^o5’\\-*-\\\mathbf{(v)\quad\quad 72.04^o\\Ans:}\\72.04^o\\=72^o+.04^o\\=72^o+.04×60’\\=72^o+2.4’\\=72^o+2’+.4’\\=72^o+2’+.4×60”\\=72^o+2’+24”\\=72^{o}2’24”\\-*-}$$

ত্রিকোণমিতি কোণ পরিমাপের ধারণা
কষে দেখি 20

2. নিম্নলিখিতগুলির বৃত্তীয় মান নির্ণয় করি :
(i) 60° (ii) 135°
(iii) -150° (iv) 72°
(v) 22°30′ (vi) -62°30′
(vii) 52°52’30” (viii) 40°16’24”

$$\Large{\mathbf{(i)\quad\quad 60^o\\Ans:}\\60^o\\=60×\frac{π^c}{180}\\=\frac{π^c}{3}\\-*-\\\mathbf{(ii)\quad\quad 135^o\\Ans:}\\135^o\\=135×\frac{π^c}{180}\\=3×\frac{π^c}{4}\\=\frac{3π^c}{4}\\-*-\\\mathbf{(iii)\quad\quad -150^o\\Ans:}\\-150^o\\=-150×\frac{π^c}{180}\\=-5×\frac{π^c}{6}\\=-\frac{5π^c}{6}\\-*-\\\mathbf{(iv)\quad\quad 72^o\\Ans:}\\72^o\\=72×\frac{π^c}{180}\\=2×\frac{π^c}{5}\\=\frac{2π^c}{5}\\-*-\\\mathbf{(v)\quad\quad 22°30’\\Ans:}\\22°30’\\=22°+30’\\=22+\left(\frac{30}{60}\right)^o\\=22°+\left(\frac{1}{2}\right)^o\\=\left(22+\frac{1}{2}\right)^o\\=\left(\frac{44+1}{2}\right)^o\\=\left(\frac{45}{2}\right)^o\\=\frac{45}{2}×\frac{π^c}{180}\\=\frac{1}{2}×\frac{π^c}{4}\\=-\frac{π^c}{8}\\-*-\\\mathbf{(vi)\quad\quad -62°30’\\Ans:}\\-62°30’\\=-62°-30’\\=-62-\left(\frac{30}{60}\right)^o\\=-62°-\left(\frac{1}{2}\right)^o\\=\left(-62-\frac{1}{2}\right)^o\\=\left(\frac{-124-1}{2}\right)^o\\=\left(\frac{-125}{2}\right)^o\\=\frac{-125}{2}×\frac{π^c}{180}\\=\frac{-25}{2}×\frac{π^c}{36}\\=-\frac{25π^c}{72}\\-*-}$$

ত্রিকোণমিতি কোণ পরিমাপের ধারণা
কষে দেখি 20

$$\Large{\mathbf{(vii)\quad\quad 52°52’30”\\Ans:}\\52°52’30”\\=52°+52’+30”\\=52°+52’+\left(\frac{30}{60}\right)’\\=52°+52’+\left(\frac{1}{2}\right)’\\=52°+\left(52+\frac{1}{2}\right)’\\= 52°+\left(\frac{104+1}{2}\right)’\\= 52°+\left(\frac{105}{2}\right)’\\=52°+\left(\frac{105}{2×60}\right)^o \\=52°+\left(\frac{7}{8}\right)^o\\=\left(52+\frac{7}{8}\right)^o\\=\left(\frac{416+7}{8}\right)^o\\=\left(\frac{423}{8}\right)^o\\=\frac{423}{8}×\frac{π^c}{180}\\=\frac{47}{8}×\frac{π^c}{20}\\=\frac{47π^c}{160}\\-*-\\\mathbf{(viii)\quad\quad 40°16’24”\\Ans:}\\40°16’24”\\=40°+16’+24”\\=40°+16’+\left(\frac{24}{60}\right)’\\=40°+16’+\left(\frac{2}{5}\right)’\\=40°+\left(16+\frac{2}{5}\right)’\\= 40°+\left(\frac{80+2}{5}\right)’\\= 40°+\left(\frac{82}{5}\right)’\\=40°+\left(\frac{82}{5×60}\right)^o \\=40°+\left(\frac{41}{5×30}\right)^o\\=40°+\left(\frac{41}{150}\right)^o\\=\left(40+\frac{41}{150}\right)^o\\=\left(\frac{6000+41}{150}\right)^o\\=\left(\frac{6041}{150}\right)^o\\=\frac{6041}{150}×\frac{π^c}{180}\\=\frac{6041π^c}{27000}\\-*-}$$

3. ΔABC-এর AC = BC এবং BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করলাম। যদি ∠ACD=144° হয়, তবে ABC ত্রিভুজের প্রতিটি কোণের বৃত্তীয় মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ

ΔABC-এর AC = BC
∴ ∠BAC = ∠ABC
∵ ∠ACD=144°
∴ ∠ACB = 180° – 144°
= 36°
= 36×^π/₁₈₀
= π^c/5
∴ ∠BAC + ∠ABC = π^c – π^c/₅
= 4π^c/₅
∴ ∠BAC = ∠ABC = ½×4π^c/5
= 2π^c/5
Ans: ΔABC-এর তিনটি কোণের মান ∠ABC = 2π^c/5;
∠BCA = π^c/5;
∠CAB = 2π^c/5;

Fb_Prostuti — **আমাদের লেটেস্ট পোস্টের আপডেট পেতে আমাদের ফেসবুক পেজে জয়েন করতে পারো ।**

ত্রিকোণমিতি কোণ পরিমাপের ধারণা
কষে দেখি 20

4. একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণ দুটির অন্তর 2π/5 হলে, যষ্টিক পদ্ধতিতে ওই কোণদ্বয়ের মান লিখি ।
সমাধানঃ
ধরি, বৃহত্তর কোণটি θ
∴ অপর কোণটি 90° – θ
2π/5 = 2×180°/5 =72°
প্রশ্নানুযায়ী,
θ – (90° – θ) = 72°
বা, θ – 90° + θ = 72°
বা, 2θ = 72° + 90°
বা, 2θ = 162°
বা, θ = 81°
∴ অপর কোণটি = 90° – 81° = 9°
Ans: কোণ দুটির ষষ্টিক মান যথাক্রমে 81° ও 9°;

5. একটি ত্রিভুজের একটি কোণের পরিমাপ 65° এবং দ্বিতীয়টির পরিমাপ π/12; তৃতীয় কোণটির যষ্টিক ও বৃত্তীয় মান হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
একটি কোণের পরিমাপ = 65° এবং
দ্বিতীয়টির পরিমাপ = π/12
= 180°/12 = 15°
ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি = 180°
∴ তৃতীয় কোণটির মান
= 180° – (65°+15°)
= 180° – 80°
= 100°
= 100 × π^c/180
= 5π^c/9
Ans: তৃতীয় কোণটির যষ্টিক ও বৃত্তীয় মান যথাক্রমে 100° ও 5π^c/9

6. দুটি কোণের সমষ্টি 135° এবং তাদের অন্তর π/12 হলে, কোণ দুটির ষষ্টিক ও বৃত্তীয় মান হিসাব করে লিখি ।
সমাধানঃ
ধরি, বৃহত্তর কোণটি θ
∴ অপর কোণটি 135° – θ
π/12 = 180°/12
=15°
প্রশ্নানুযায়ী,
θ – (135° – θ) = 15°
বা, θ – 135° + θ = 15°
বা, 2θ = 15° + 135°
বা, 2θ = 150°
বা, θ = 75°
বা, θ = 75 × π^c/180
বা, θ = 5π^c/12
∴ অপর কোণটি = 135° – 75°
= 60°
= 60°× π^c/180
= π^c/3
Ans: কোণ দুটির ষষ্টিক মান যথাক্রমে 60° ও 75° এবং
বৃত্তীয় মান যথাক্রমে π^c/3 ও 5π^c/12

7. একটি ত্রিভুজের কোণ তিনটির অনুপাত 2:3:4 হলে, ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণটির বৃত্তীয় মান হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি = π^c
ত্রিভুজের কোণ তিনটির অনুপাত = 2:3:4;
∴ ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণটির বৃত্তীয় মান
= π^c ×⁴/₉
= 4π^c/9
Ans: বৃহত্তম কোণটির বৃত্তীয় মান = 4π^c/9

8. একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 28 সেমি.। এই বৃত্তে 5.5 সেমি দৈর্ঘ্যের বৃত্তচাপ দ্বারা ধৃত কেন্দ্রীয় কোণটির বৃত্তীয় মান হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
এখানে, s = 5.5 সেমি
r = 28 সেমি
আমরা জানি, s = rθ

$$ \Large{\therefore θ =\frac{s}{r}\\⇒θ =\frac{5.5}{28}\\⇒θ =\frac{55}{28×10}\\⇒θ =\frac{11}{28×2}\\⇒θ =\frac{11×2}{28×2×2}\\⇒θ =\frac{22}{7×4×2×2}\\⇒θ =\frac{22}{7}×\frac{1}{16}\\⇒θ =π^{c}×\frac{1}{16}\\⇒θ =\frac{π^{c}}{16}}$$

Ans: কেন্দ্রীয় কোণটির বৃত্তীয় মান = ^πc/₁₆

9.একটি বৃত্তের অসমান দৈর্ঘ্যের দুটি চাপ কেন্দ্রে যে কোণ ধারণ করে আছে তার অনুপাত 5:2 এবং দ্বিতীয় কোণটির ষষ্টিক মান 30° হলে, প্রথম কোণটির ষষ্টিক মান ও বৃত্তীয় মান হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
ধরি, প্রথম কোণটির ষষ্টিক মান θ
এখানে, দ্বিতীয় কোণটির ষষ্টিক মান 30°
প্রশ্নানুযায়ী,
θ : 30° = 5:2
বা, θ = 30° × ⁵/₂
বা, θ = 75°
বা, θ = 75 × ^π/₁₈₀
বা, θ = 5π^c/₁₂
Ans: প্রথম কোণটির ষষ্টিক মান = 75°
ও বৃত্তীয় মান = 5π^c/12

10.একটি ঘূর্ণায়মান রশ্মি –5¹/₁₂ π কোণ উৎপন্ন করেছে। রশ্মিটি কোনদিকে কতবার পূর্ণ আবর্তন করেছে এবং তারপরে আরও কত ডিগ্রি কোণ উৎপন্ন করেছে তা হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
কোনটি ঋণাত্মক
∴ রশ্মিটি ঘড়ির কাঁটার দিকে আবর্তন করেছে।
5¹/₁₂ π
= 5π + ^π/₁₂
= 4π + π + ^π/₁₂
= 2×2π + 180° + ^180°/₁₂
= 2×2π + 180° + 15°
= 2×2π + 195°
ঘূর্ণায়মান রশ্মি একবার পূর্ণ আবর্তনে 2π কোণ উৎপন্ন করে।
Ans: রশ্মিটি ঘড়ির কাঁটার দিকে 2 বার পূর্ণ আবর্তন করেছে।
তারপরে আরও 195° ডিগ্রি কোণ উৎপন্ন করেছে।

11. ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ অঙ্কন করেছি যার সমান বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভূত কোণ ∠ABC = 45°; ∠ABC-এর সমদ্বিখণ্ডক AC বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করেছে। ∠ABD, ∠BAD, ∠CBD এবং ∠BCD-এর বৃত্তীয় মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ

∠ABC-এর সমদ্বিখণ্ডক BD
∴ ∠ABD = ∠CBD
এখানে, ∠ABC = 45°
∴ ∠ABD = ∠CBD
= 45°/2
= 45/2×π^c/180
= π^c/8
∴ ∠BAD + ∠BCD = 180° – ∠ABC
= 180° – 45°
= 135°
ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AB = BC;
∴ ∠BAD = ∠BCD
= 135°/2
= 135/2×π^c/180
= 3π^c/8
Ans:
∠ABD-এর বৃত্তীয় মান = π^c/8
∠BAD-এর বৃত্তীয় মান = 3π^c/8
∠CBD-এর বৃত্তীয় মান = π^c/8
∠BCD-এর বৃত্তীয় মান = 3π^c/8

12. ABC সমবাহু ত্রিভুজের BC ভূমিকে E বিন্দু পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করলাম যেন CE = BC হয়। A, E যুক্ত করে ACE ত্রিভুজের কোণগুলির বৃত্তীয় মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ

∴∠ACE = 180° – ∠ACB
= 180° – 60°
= 120°
= (120/180)π
= ⅔π
∵ AC = CE
∴ ∠CAE = ∠ CEA
= (180° – 120°)/2
= 60°/2
= 30°
= π/6
Ans: ACE ত্রিভুজের কোণগুলির বৃত্তীয় মান হল-
∠ACE-এর বৃত্তীয় মান ⅔π
∠CAE-এর বৃত্তীয় মান π/6
∠AEC-এর বৃত্তীয় মান π/6

13. কোনো চতুর্ভুজের তিনটি কোণের পরিমাপ যথাক্রমে π/3, 5π/6 ও 90° হলে, চতুর্থ কোণটির যষ্টিক ও বৃত্তীয় মান হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
π/3 = 180°/3
= 60°;
5π/6 = 5×180°/6
= 150°
∴ চতুর্ভুজের চতুর্থ কোণটির মান
= 360° – (60° + 150° + 90°)
= 360° – 300°
= 60°
= 60°×3/3
= 180°/3
= π/3
Ans: চতুর্থ কোণটির যষ্টিক মান = 60° এবং
বৃত্তীয় মান = π/3

14. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q):

(i) একটি ঘড়ির মিনিটের কাটার প্রান্তবিন্দু 1 ঘণ্টায় আবর্তন করে (a) π/4 রেডিয়ান (b) π/2 রেডিয়ান (c) π রেডিয়ান (d) 2π রেডিয়ান
Ans: 2π রেডিয়ান

(ii) π/6 রেডিয়ান সমান (a) 60° (b) 45° (c) 90° (d) 30°
Ans: (d) 30°
[π/6 = 180°/6 = 30°]

(iii)একটি সুষম ষড়ভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণের বৃত্তীয় মান (a) π/3 (b) 2π/3 (c) π/6 (d) π/4
Ans: (b) 2π/3

[একটি সুষম ষড়ভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণের বৃত্তীয় মান $$\Large{\frac{(2n-4)×π}{2n}\\=\frac{(2×6-4)×π}{2×6}\\=\frac{8×π}{2×6}\\=\frac{2π}{3}}]$$

(iv) s =rθ সম্পর্কে θ-এর পরিমাপ করা হয় (a) যষ্টিক পদ্ধতিতে (b) বৃত্তীয় পদ্ধতিতে (c) ওই দুই পদ্ধতিতে (d) ওই দুই পদ্ধতির কোনোটিতেই নয়। Ans. (b) বৃত্তীয় পদ্ধতিতে

(v) ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভূজের ∠A = 120° হলে, ∠C-এর বৃত্তীয় মান
(a) π/3 (b) π/6 (c) π/2 (d) 2π/3
Ans. (a) π/3
[বৃত্তস্থ চতুর্ভূজের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সম্পূরক হয়।
∴ ∠A + ∠C = 180°
বা, ∠C = 180° – ∠A
বা, ∠C = 180° – 120°
= 60° = π/3]

(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি:

(i) একটি রশ্মির প্রান্তবিন্দুকে কেন্দ্র করে রশ্মিটির ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘোরার জন্য উৎপন্ন কোণটি ধনাত্মক।
Ans. বিবৃতিটি সত্য।

(ii) একটি রশ্মির প্রান্তবিন্দুকে কেন্দ্র করে রশ্মিটির ঘড়ির কাঁটার দিকে দু-বার পূর্ণ আবর্তনের জন্য 720° কোণ উৎপন্ন হয়।
Ans. বিবৃতিটি সত্য।

(C) শূন্যস্থান পুরণ করি :
(i) π রেডিয়ান একটি _____________ কোণ।
Ans. ধ্রুবক

(ii) ষষ্টিক পদ্ধতিতে 1 রেডিয়ান সমান _____________ (প্রায়)।
Ans. 57°16’22”

(iii) 3π/8 পরিমাপের কোণটির সম্পূরক কোণের বৃত্তীয় মান _____________ ।
Ans. 5π/8

[3π/8 পরিমাপের কোণটির সম্পূরক কোণের বৃত্তীয় মান $$=π-\frac{3π}{8}\\=\frac{8π-3π}{8}\\=\frac{5π}{8}\\Ans. \quad \frac{5π}{8}$$]

দশম শ্রেণির চক্রবৃদ্ধি সুদ কষে দেখি- 6.1 এখানে CLICK করো।

15. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.) :

(i) একটি কোণের ডিগ্রিতে মান D এবং ওই কোণের রেডিয়ানে মান R হলে, R/D-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধান:
π রেডিয়ান = 180°
∴ 1 রেডিয়ান = 180/π
বা, R রেডিয়ান = 180R/π
প্রশ্নানুসারে,
D = 180R/π
∴ R/D = π/180
Ans: R/D-এর মান π/180

(ii) 63°35’15” পরিমাপের কোণটির পুরক কোণের মান লিখি।
সমাধান:
63°35’15” পরিমাপের কোণটির পুরক কোণ
= 90° – 63°35’15”
= 89°59’60” – 63°35’15”
= 26°24’45”
Ans: 63°35’15” পরিমাপের কোণটির পুরক কোণের মান 26°24’45”

(ii) একটি ত্রিভুজের দুটি কোণের পরিমাপ 65°56’55” এবং 64°3’5″ হলে, তৃতীয় কোণটির বৃত্তীয় মান নির্ণয় করি।
সমাধান:
দুটি কোণের পরিমাপ 65°56’55” এবং 64°3’5″
কোণদুটির সমষ্টি
= 65°56’55” + 64°3’5″
= 129°59’60”
=129°59′ – – – [∵ 60″ = 1′]
=130° – – – – – [∵ 60′ = 1°]
∴ তৃতীয় কোণটির ষষ্ঠিক মান
= 180° – 130°
= 50°
Ans: তৃতীয় কোণটির বৃত্তীয় মান = 50 ×π/180 = 5π^c/18

(iv) একটি বৃত্তে 220 সেমি দৈর্ঘ্যের বৃত্তচাপ বৃত্তের কেন্দ্রে 63° পরিমাপের কোণ উৎপন্ন করলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
সমাধান:

এখানে, s = 220 সেমি; θ = 63° $$s = 22 cm;\\ θ = 63°\\=63×\frac{π^c}{180}\\=63×\frac{π^c}{180}\\=\left(\frac{63×22}{180×7}\right)^c\\=\left(\frac{11}{10}\right)^c$$আমরা জানি s= rθ$$\therefore 220=r×\frac{11}{10}\\⇒r=\frac{220×10}{11}=200$$Ans. বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 200 সেমি।

(v) একটি ঘড়ির ঘণ্টার কাঁটার প্রান্তবিন্দু 1 ঘণ্টা আবর্তনে যে পরিমাণ কোণ উৎপন্ন করে তার বৃত্তীয় মান লিখি।
সমাধান:
ঘড়ির ঘণ্টার কাঁটার প্রান্তবিন্দু 1 ঘণ্টা আবর্তনে 360°/12 = 30° কোণ উৎপন্ন করে।
180° = π^c
∴ 1° = π^c/180
বা, 30° = π^c× 30/180
= π^c/6
Ans: কোণটির বৃত্তীয় মান π^c/6