Author: TEAM PROSTUTI

Chapter-3 Complete Solution of Trigonometry S N DEY যে-কোনো কোণ ও সংযুক্ত কোণসমূহের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ

Chapter-3 Complete Solution of Trigonometry S N DEY
যে-কোনো কোণ ও সংযুক্ত কোণসমূহের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ

Chapter-3 Complete Solution of Trigonometry S N DEY যে-কোনো কোণ ও সংযুক্ত কোণসমূহের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ

SN DEY CLASS XI MATH SOLUTION TRIGONOMETRY

বহু বিকল্পধর্মী

সঠিক উত্তরটি নির্বাচন করো:

1. যদি sinθ = – ½ হয়, তবে θ =
- (A) 30°
- (B) 120°
- (C) 150°
- (D) 210°
- Ans. (D) 210°
  [ সমাধানঃ
  sinθ = – ½
  বা, sinθ = – sin30°
  বা, sinθ = sin(2×90° + 30°)
  ∴ sinθ = sin210°
  ∴ θ = 210° ]
2. sin(α -540°) =
- (A) sinα
- (B) -sinα
- (C) cosα
- (D) -cosα
- Ans. (B) -sinα
  [ sin(α -540°)
  = sin{-(540° – α)}
  = – sin(540° – α)
  = – sin(6×90° – α) = – sinα
3. যদি tan35° = 0.7 হয়, তবে tan(-665°) =
- (A) 0.7
- (B) 0.007
- (C) ¹⁰/₇
- (D) ¹⁰⁰/₇
- Ans. (C) ¹⁰/₇
- [ tan(- 665°)
- = – tan665°
- = – tan(7×90° + 35°)
- = cot35°
- = 1/tan35°
- = 1/0.7 = 10/7
4. নীচের কোনটি cot(-870°) -এর মান?
- (A) √3
- (B) 1/√3
- (C) -1/√3
- (D) -√3
- Ans. (A) √3
- [ cot(-870°)
- = – cot870°
- = – cot(10×90° – 30°)
- = cot30° = √3
5. নীচের কোনটি cos(-1170°) -এর মান?
- (A) 1
- (B) -1
- (C) 0
- (D) -½
- Ans. (C) 0
- [ cos(-1170°)
- = cos1170°
- = cos(12×90° + 90°)
- = cos90° = 0
6. নীচের কোনটি sec(-945°) -এর মান?
- (A) √2
- (B) -√2
- (C) 2
- (D) -2
- Ans. (B) -√2
- [ sec(-945°)
- = sec945°
- = sec(10×90° + 45°)
- = – sec 45° = -√2

Chapter-3
যে-কোনো কোণ ও সংযুক্ত কোণসমূহের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ

সমাধানঃ7. নীচের কোনটি

$$\mathbf{\Large{ cos\left(\frac{5π}{2}-\frac{19π}{3}\right)}}$$

-এর মান?

$$\Large{(A)\quad \frac{\sqrt3}{2}\\(B) \quad -\frac{\sqrt3}{2}\\(C)\quad \frac{1}{2}\\(D) \quad -\frac{1}{2}\\Ans.\quad (A)\quad \frac{\sqrt3}{2}\\cos\left(\frac{5π}{2}-\frac{19π}{3}\right)\\=sin\frac{19π}{3}\\=sin\frac{(18+1)π}{3}\\=sin\left(6π+\frac{π}{3}\right)\\=sin\frac{π}{3}\\=\frac{\sqrt3}{2}}$$

Fb_Prostuti — **আমাদের লেটেস্ট পোস্টের আপডেট পেতে আমাদের ফেসবুক পেজে জয়েন করতে পারো ।**

$$\large{8. \mathbf{\quad sec^{2}θ=\frac{4xy}{(x+y)^2}}}$$সত্য হবে, যদি এবং কেবলমাত্র যদি —$$\Large{(A)\quad x+y≠0 \quadহয়\\(B)\quad x=y, x≠0 \quadহয়\\(C)\quad x=y \quadহয়\\(D)\quad x≠0, y≠0 \quadহয়\\Ans.\quad(B)\quad x=y, x≠0}$$সমাধানঃ $$\Large{ sec^{2}θ=\frac{4xy}{(x+y)^2} \\ ⇒ cos^{2}θ=\frac{(x+y)^2}{4xy}\\∵ cos^{2}θ≤1\\∴\frac{(x+y)^2}{4xy}≤1\\⇒(x+y)^2≤4xy\\⇒(x+y)^2-4xy≤0\\⇒(x-y)^2≤0\\∵(x-y)^2≮0\\∴(x-y)^2=0\\⇒(x-y)=0\\⇒x=y}$$

আবার x=0 হলে cos2θ অসংজ্ঞাত হয়।
∴ x≠0

বহু বিকল্পধর্মী	CLICK HERE
অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী	CLICK HERE
সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী	CLICK HERE
দীর্ঘ উত্তরধর্মী	CLICK HERE

Chapter-3
যে-কোনো কোণ ও সংযুক্ত কোণসমূহের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ

যদি tanθ+secθ = ex হয়, তবে cotθ এর মান —

$$\Large{(A)\quad \frac{e^x+e^{-x}}{2}\\(B)\quad \frac{2}{e^x+e^{-x}}\\(C) \quad \frac{e^x-e^{-x}}{2}\\(D) \quad \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\\Ans.\quad(B)\quad \frac{2}{e^x+e^{-x}}}$$

সমাধানঃ
tanθ + secθ = e^x – – – (i)
আমরা জানি,
sec²θ – tan²θ =1
বা, (secθ + tanθ)(secθ – tanθ) = 1
বা, e^x(secθ – tanθ) = 1
∴ (secθ – tanθ) = 1/e^x = e^-x – – – (ii)
(i) – (ii) করে পাই,
(secθ + tanθ) – (secθ – tanθ) = e^x – e^-x
বা, 2tanθ = e^x + e^-x
বা, tanθ = (e^x + e^-x)/2
∴ cotθ = 2/(e^x + e^-x)

PREVIOUS

HOME

NEXT

May 18, 2023

রাশিবিজ্ঞানঃ গড় – কষে দেখিঃ 26.1 CLASS-X Statistics : Mean

রাশিবিজ্ঞানঃ গড় – কষে দেখিঃ 26.1 CLASS – X Statistics : Mean

রাশিবিজ্ঞানঃ গড় – কষে দেখিঃ 26.1 CLASS – X Statistics : Mean

কেন্দ্রীয় প্রবনতা ঃ কোন তথ্যের কোনো কোনো বিশেষ সংখ্যা যেগুলো সম্পূর্ণ তথ্যের প্রতিনিধিত্ব করে, সেগুলি সাধারনত তথ্যের কেন্দ্রীয় অবস্থানের কাছাকাছি থাকে। তাই এই বিশেষ সংখ্যাগুলিকে তথ্যের মধ্যগামিতার মাপক বলা হয়।

কেন্দ্রীয় অবস্থান ঃ তথ্যের সংখ্যাগুলিকে উর্ধ্বক্রমানুসারে সাজালে মাঝে সংখ্যা/ সংখ্যাগুলির কাছাকাছি অবস্থানকে কেন্দ্রীয় অবস্থান বলা হয়।

মধ্যগামিতার মাপক তিন প্রকার ঃ
i) গড় বা মধ্যক
i) মধ্যমা
iii) ভূয়িষ্ঠক বা সংখ্যাগুরুমান

যৌগিক গড় ঃ শুধু গড় বলতে যৌগিক গড়কে বোঝায়। সমজাতীয় কতকগুলি রাশির সমষ্টিকে রাশিগুলির মোট সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে প্রাপ্ত ভাগফলকে যৌগিক গড় বলে।

🔴ঃ গড় নির্ণয়ের প্রয়োজনীয় সূত্রাবলী ঃ🔴

✴️ X চলের n সংখ্যক মান x₁, x₂, x₃,…………… x_n হলে X-এর যৌগিক গড় হয়

$$\Large{\bar X={x_1+x_2+x_3+\cdots \cdots +x_n\over n}\\=\frac 1n \sum_{i=1}^n x_{i}}$$

✴️ X চলের n সংখ্যক মান x₁, x₂, x₃,…………… x_n হলে এবং তাদের অনুরূপ মানের পরিসংখ্যাগুলি যথাক্রমে f₁, f₂, f₃,…………… f_n হয় তাহলে তাদের ভারযুক্ত গড় হয়

$$\Large{\bar X={f_1 x_1+f_2 x_2+f_3 x_3+\cdots +f_n x_n\over f_1+f_2+f_3+\cdots \cdots +f_n}\\=\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}\\=\frac{\sum f_i x_i}{N}\quad \left[\because N=\sum_{i=1}^n f_{i}\right]}$$

✴️ কল্পিত গড় পদ্ধতিতে শ্রেণীবিভাগের মাধ্যমানকে কাল্পনিক গড় (A) ধরা হয়।
A থেকে মানসমূহগুলির বিচ্যুতি d_i হলে,
d_i = x_i – A
বা, x_i = d_i – A
কল্পিত গড় পদ্ধতিতে X-এর গড় হয়

$$\Large{ \bar X=\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}\\=\frac{\sum f_i(d_i -A)}{\sum f_i}\\=A+\frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}}$$

✴️️ক্রম বিচ্যুতি পদ্ধতি ঃ
A = কল্পিত গড়
h = শ্রেণি পরিসরের দৈর্ঘ্য হলে,

$$\Large{d_i = \frac{x_i – A}{h}\\ \bar X=A+\left(\frac{\sum f_i d_i}{\sum f_i}\right)\times h}$$

1. আমি আমার 40 জন বন্ধুর বয়স নীচের ছকে লিখেছি,

বয়স (বছর)	15	16	17	18	19	20
বন্ধুর সংখ্যা	4	7	10	10	5	4

আমি আমার বন্ধুদের গড় বয়স প্রত্যক্ষ পদ্ধতিতে নির্ণয় করি।

সমাধান:

বয়স (বছর)(x_i)	বন্ধুর সংখ্যা (f_i)	f_ix_i
15	4	60
16	7	112
17	10	170
18	10	180
19	5	95
20	4	80
মোট	Σf_i=40	Σf_ix_i=697

প্রত্যক্ষ পদ্ধতিতে আমার 40 জন বন্ধুর গড় বয়স$$\Large{\bar{x}=\frac{f_{i}x_{i}}{f_{i}}\\=\frac{697}{40}\\=17.425\\\backsimeq 17.43}$$Ans: আমার 40 জন বন্ধুর গড় বয়স 17.43 বছর।

গণিত প্রকাশ সম্পূর্ণ সমাধান

2.গ্রামের 50 টি পরিবারের সদস্য সংখ্যা নীচের তালিকায় লিখেছি।

সদস্য সংখ্যা	2	3	4	5	6	7
পরিবারের সংখ্যা	6	8	14	15	4	3

ওই 50 টি পরিবারের গড় সদস্য সংখ্যা কল্পিত গড় পদ্ধতিতে লিখি।

সমাধান:
ধরি, কল্পিত গড় (a) = 5

সদস্য সংখ্যা	পরিবারের সংখ্যা (f_i)	d_i=x_i – a	d_if_i
2	6	-3	-18
3	8	-2	-16
4	14	-1	-14
5 = a	15	0	0
6	4	1	4
7	3	2	6
মোট	Σf_i=50		Σd_if_i=-38

সমাধান

কল্পিত গড় পদ্ধতিতে 50 টি পরিবারের গড় সদস্য সংখ্যা $$\Large{\bar{x}=a+\frac{f_{i}d{i}}{f_{i}}\\=5+\frac{-38}{50}\\=5-0.76\\=4.64}$$Ans: 50 টি পরিবারের গড় সদস্য সংখ্যা 4.24

অধ্যায়	বিষয়	কষে দেখি
1	একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic Equations with one variable)	কষে দেখি – 1.1 কষে দেখি – 1.2 কষে দেখি – 1.3 কষে দেখি – 1.4 কষে দেখি – 1.5
2	সরল সুদকষা (Simple Interest)	কষে দেখি – 2
3	বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য (Theorems related to circle)	কষে দেখি – 3.1 কষে দেখি – 3.2
4	আয়তঘন (Rectangular Parallelopiped or Cuboid)	কষে দেখি – 4
5	অনুপাত ও সমানুপাত (Ratio and Proportion)	কষে দেখি – 5.1 কষে দেখি – 5.2 কষে দেখি – 5.3
6	চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সমহার বৃদ্ধি বা হ্রাস (Compound Interest and Uniform Rate of Increase or Decrease)	কষে দেখি – 6.1 কষে দেখি – 5.2
7	বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য (Theorems related to Angles in a Circle)	কষে দেখি – 7.1 কষে দেখি – 7.2 কষে দেখি – 7.3
8	লম্ব বৃত্তাকার চোঙ (Right Circular Cylinder)	কষে দেখি – 8
9	দ্বিঘাত করণী (Quadratic Surd)	কষে দেখি – 9.1 কষে দেখি – 9.2 কষে দেখি – 9.3
10	বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Cyclic Quadrilateral)	কষে দেখি – 10
11	সম্পাদ্য : ত্রিভুজের পরিবৃত্ত ও অন্তবৃত্ত অঙ্কন (Construction : Construction of circumcircle and incircle of a triangle)	কষে দেখি – 11.1
12	গোলক (Sphere)	কষে দেখি – 12
13	ভেদ (Variation)	কষে দেখি – 13
14	অংশীদারি কারবার (Partnership Business)	কষে দেখি – 14
15	বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Tangent to a Circle)	কষে দেখি – 15.1 কষে দেখি – 15.2
16	লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু (Right Circular Cone)	কষে দেখি – 16
17	সম্পাদ্য : বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন (Construction: Construction of Tangent to a circle)	কষে দেখি – 17
18	সদৃশতা (Similarity)	কষে দেখি – 18.1 কষে দেখি – 18.2 কষে দেখি – 18.3 কষে দেখি – 18.4
19	বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা (Real life Problems related to different Solid Objects)	কষে দেখি – 19
20	ত্রিকোণমিতি: কোণ পরিমাপের ধারণা	কষে দেখি – 20
21	সম্পাদ্য : মধ্যসমানুপাতী নির্ণয় (Construction : Determination of Mean Proportional )	কষে দেখি – 21
22	পিথাগোরাসের উপপাদ্য (Pythagoras Theorem)	কষে দেখি – 22
23	ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি (Trigonometric Ratios and Trigonometric Identities)	কষে দেখি – 23.1 কষে দেখি – 23.2 কষে দেখি – 23.3
24	পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত (Trigonometric Ratios of Complementrary angle )	কষে দেখি – 24
25	ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ : উচ্চতা ও দূরত্ব (Application of Trigonometric Ratios: Heights & Distances)	কষে দেখি – 25
26	রাশিবিজ্ঞান : গড়, মধ্যমা, ওজাইভ, সংখ্যাগুরুমান (Statistics : Mean, Median, Ogive, Mode)	কষে দেখি – 26.1 কষে দেখি – 26.2 কষে দেখি – 26.3 কষে দেখি – 26.4

3. যদি নীচের প্রদত্ত তথ্যের যৌগিক গড় 20.6 হয়, তবে a-এর মান নির্ণয় করি :

চল (x_i)	10	15	a	25	35
পরিসংখ্যা (f_i)	3	10	25	7	5

সমাধান:

চল	পরিসংখ্যা (f_i)	f_ix_i
10	3	30
15	10	150
a	25	25a
25	7	175
35	5	175
মোট	Σf_i=50	Σf_ix_i=530+25a

এখানে, যৌগিক গড় 20.6

প্রশ্নানুযায়ী,$$\Large{\frac{f_{i}x_{i}}{f_{i}}=20.6\\⇒\frac{530+25a}{50}=20.6\\⇒530+25a=20.6×50\\⇒530+25a=1030\\ ⇒25a=1030-530\\⇒25a=500\\\therefore a=20}$$Ans: a-এর মান 20

রাশিবিজ্ঞানঃ গড় – কষে দেখিঃ 26.1

4. যদি নীচের প্রদত্ত তথ্যের যৌগিক গড় 15 হয়, তবে p-এর মান হিসাব করে লিখি :

চল	5	10	15	20	25
পরিসংখ্যা	6	p	6	10	5

সমাধান:

চল	পরিসংখ্যা (f_i)	f_ix_i
5	6	30
10	p	10p
15	6	90
20	10	200
25	5	125
মোট	Σf_i=27+p	Σf_ix_i=445+10p

এখানে, যৌগিক গড় 15

প্রশ্নানুযায়ী,$$\Large{\frac{f_{i}x_{i}}{f_{i}}=15\\⇒\frac{445+10p}{27+p}=15\\⇒445+10p=15(27+p)\\⇒445+10p=405+15p\\ ⇒10p-15p=405-445\\⇒-5p=-40\\\therefore p=8}$$Ans: p-এর মান 8

5. রহমতচাচা তার 50 টি বাক্সে বিভিন্ন সংখ্যায় আম ভরে পাইকারি বাজারে নিয়ে যাবেন। কতগুলি বাক্সে কতগুলি আম রাখলেন তার তথ্য নীচের ছকে লিখলাম।

আমের সংখ্যা	50-52	52-54	54-56	56-58	58-60
বাক্সের সংখ্যা	6	14	16	9	5

আমি ওই 50টি বাক্সে গড় আমের সংখ্যা হিসাব করে লিখি। (যে-কোনো পদ্ধতিতে )

সমাধান:

আমের সংখ্যা	বাক্সের সংখ্যা পরিসংখ্যা (f_i)	শ্রেণী মধ্যক (x_i)	f_ix_i
50-52	6	51	306
52-54	14	53	742
54-56	16	55	880
56-58	9	57	513
58-60	5	59	295
মোট	Σf_i=50		Σf_ix_i=2736

প্রত্যক্ষ পদ্ধতিতে 50টি বাক্সে গড় আমের সংখ্যা$$\Large{\bar{x}=\frac{f_{i}x_{i}}{f_{i}}\\=\frac{2736}{50}\\=54.72}$$Ans: 50টি বাক্সে গড় আমের সংখ্যা 54.72

কষে দেখিঃ 26.1

6. মহিদুল পাড়ার হাসপাতালের 100 জন রোগীর বয়স নীচের ছকে লিখল। ওই 100 জন রোগীর গড় বয়স হিসাব করে লিখি। (যে-কোনো পদ্ধতিতে)

বয়স (বছরে)	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60	60-70
রোগীর সংখ্যা	12	8	22	20	18	20

সমাধান:

বয়স (বছরে)	রোগীর সংখ্যা পরিসংখ্যা (f_i)	শ্রেণী মধ্যক (x_i)	f_ix_i
10-20	12	15	180
20-30	8	25	200
30-40	22	35	770
40-50	20	45	900
50-60	18	55	990
60-70	20	65	1300
মোট	Σf_i=100		Σf_ix_i=4340

প্রত্যক্ষ পদ্ধতিতে 100 জন রোগীর গড় বয়স$$\Large{\bar{x}=\frac{f_{i}x_{i}}{f_{i}}\\=\frac{4340}{100}\\=43.4}$$Ans: 100 জন রোগীর গড় বয়স 43.4 বছর।

7. প্রত্যক্ষ পদ্ধতিতে নীচের তথ্যের গড় নির্ণয় করি।
(i)

শ্রেণি-সীমানা	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50
পরিসংখ্যা	4	6	10	6	4

সমাধান:

শ্রেণি-সীমানা	পরিসংখ্যা (f_i)	শ্রেণী মধ্যক(x_i)	f_ix_i
0-10	4	5	20
10-20	6	15	90
20-30	10	25	250
30-40	6	35	210
40-50	4	45	180
মোট	Σf_i=30		Σf_ix_i=750

প্রত্যক্ষ পদ্ধতিতে প্রদত্ত তথ্যের গড়$$\Large{\bar{x}=\frac{f_{i}x_{i}}{f_{i}}\\=\frac{750}{30}\\=25}$$Ans: প্রত্যক্ষ পদ্ধতিতে প্রদত্ত তথ্যের গড় 25

CLASS – X Statistics : Mean

7. প্রত্যক্ষ পদ্ধতিতে নীচের তথ্যের গড় নির্ণয় করি।
(ii)

শ্রেণি-সীমানা	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60	60-70
পরিসংখ্যা	10	16	20	30	13	11

সমাধান:

শ্রেণি-সীমানা	পরিসংখ্যা (f_i)	শ্রেণী মধ্যক(x_i)	f_ix_i
10-20	10	15	150
20-30	16	25	400
30-40	20	35	700
40-50	30	45	1350
50-60	13	55	715
60-70	11	65	715
মোট	Σf_i=100		Σf_ix_i=4030

প্রত্যক্ষ পদ্ধতিতে প্রদত্ত তথ্যের গড়$$\Large{\bar{x}=\frac{f_{i}x_{i}}{f_{i}}\\=\frac{4030}{100}\\=40.3}$$Ans: প্রত্যক্ষ পদ্ধতিতে প্রদত্ত তথ্যের গড় 40.3

৪. কল্পিত গড় পদ্ধতিতে নীচের তথ্যের গড় নির্ণয় করি।
(i)

শ্রেণি-সীমানা	0-40	40-80	80-120	120-160	160-200
পরিসংখ্যা	12	20	25	20	13

সমাধান:
ধরি, কল্পিত গড় (a) = 100

শ্রেণি-সীমানা	পরিসংখ্যা (f_i)	শ্রেণী মধ্যক(x_i)	d_i = x_i – a	f_id_i
0-40	12	20	-80	-960
40-80	20	60	-40	-800
80-120	25	100 = a	0	0
120-160	20	140	40	800
160-200	13	180	80	1040
মোট	Σf_i=90			Σf_iu_i=80

কল্পিত গড় পদ্ধতিতে প্রদত্ত তথ্যের গড়$$\Large{\bar{x}=a+\frac{f_{i}d{i}}{f_{i}}\\=100+\frac{80}{90}\\=100+\frac{8}{9}\\=100+0.888\\\backsimeq 100+0.89\\=100.89}$$Ans: কল্পিত গড় পদ্ধতিতে প্রদত্ত তথ্যের গড় 100.89

Download our App Madhyamik Prostuti

৪. কল্পিত গড় পদ্ধতিতে নীচের তথ্যের গড় নির্ণয় করি।
(ii)

শ্রেণি-সীমানা	25-35	35-45	45-55	55-65	65-75
পরিসংখ্যা	4	10	8	12	6

সমাধান:
ধরি, কল্পিত গড় (a) = 50

শ্রেণি-সীমানা	পরিসংখ্যা (f_i)	শ্রেণী মধ্যক(x_i)	d_i = x_i – a	f_id_i
25 – 35	4	30	-20	-80
35 – 45	10	40	-10	-100
45 – 55	8	50 = a	0	0
55 – 65	12	60	10	120
65 – 75	6	70	20	120
মোট	Σf_i=40			Σf_id_i= 60

কল্পিত গড় পদ্ধতিতে প্রদত্ত তথ্যের গড়$$\Large{\bar{x}=a+\frac{f_{i}d{i}}{f_{i}}\\=50+\frac{60}{40}\\=50+\frac{3}{2}\\=50+1.5\\=51.5}$$Ans: কল্পিত গড় পদ্ধতিতে প্রদত্ত তথ্যের গড় 51.5

CLASS – X Statistics : Mean

9. ক্রম-বিচ্যুতি পদ্ধতিতে নীচের তথ্যের গড় নির্ণয় করি।
(i)

শ্রেণি-সীমানা	0-30	30-60	60-90	90-120	120-150
পরিসংখ্যা	12	15	20	25	8

সমাধান:
শ্রেণি দৈর্ঘ্য (h) = 30 -0
= 30
এবং কল্পিত গড় (a) = 75 (ধরি)

শ্রেণি-সীমানা	পরিসংখ্যা (f_i)	শ্রেণী মধ্যক(x_i)	d_i = x_i – a	u_i = ^d_i/_h	f_iu_i
0-30	12	15	-60	-2	-24
30-60	15	45	-30	-1	-15
60-90	20	75 = a	0	0	0
90-120	25	105	30	1	25
120-150	8	135	60	2	16
মোট	Σf_i=80				Σf_iui=2

ক্রম-বিচ্যুতি পদ্ধতিতে প্রদত্ত তথ্যের গড়$$\Large{\bar{x}=a+\left(\frac{f_{i}u{i}}{f_{i}}\right)\times h\\=75+\frac{2}{80}\times 30\\=75+\frac{3}{4}\\=75+0.75\\=75.75}$$Ans: ক্রম-বিচ্যুতি পদ্ধতিতে প্রদত্ত তথ্যের গড় 75.75

9. ক্রম-বিচ্যুতি পদ্ধতিতে নীচের তথ্যের গড় নির্ণয় করি।
(ii)

শ্রেণি-সীমানা	0-14	14-28	28-42	42-56	56-70
পরিসংখ্যা	7	21	35	11	16

শ্রেণি-সীমানা	পরিসংখ্যা (f_i)	শ্রেণী মধ্যক(x_i)	d_i = x_i – a	u_i = ^d_i/_h	f_iu_i
0-14	7	7	-28	-2	-14
14-28	21	21	-14	-1	-21
28-42	35	35 = a	0	0	0
42-56	11	49	14	1	11
56-70	16	63	28	2	32
মোট	Σf_i = 90				Σf_iu_i = 8

ক্রম-বিচ্যুতি পদ্ধতিতে প্রদত্ত তথ্যের গড়$$\Large{\bar{x}=a+\left(\frac{f_{i}u{i}}{f_{i}}\right)\times h\\=35+\frac{8}{90}\times 14\\=35+\frac{56}{45}\\=35+1.244\\\backsimeq 35+1.24\\=36.24}$$Ans: ক্রম-বিচ্যুতি পদ্ধতিতে প্রদত্ত তথ্যের গড় 36.24

10. যদি নীচের পরিসংখ্যা বিভাজন তালিকার নম্বরের যৌগিক গড় 24 হয়, তবে p-এর মান নির্ণয় করি।

শ্রেণি-সীমানা (নম্বর)	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50
ছাত্র সংখ্যা	15	20	35	p	10

সমাধান:
প্রদত্ত তথ্যের ভিত্তিতে পরিসংখ্যা বিভাজন ছকটি হল:

শ্রেণি-সীমানা (নম্বর)	ছাত্র সংখ্যা(f_i)	শ্রেণী মধ্যক(x_i)	x_if_i
0-10	15	5	75
10-20	20	15	300
20-30	35	25	875
30-40	p	35	35p
40-50	10	45	450
মোট	Σf_i=p+80		Σx_if_i=1700+35p

নম্বরের যৌগিক গড় 24
প্রশ্নানুযায়ী,

$$\Large{\frac{f_{i}x{i}}{f_{i}}=24\\⇒\frac{1700+35p}{80+p}=24\\⇒1700+35p=24(80+p)\\⇒1700+35p=1920+24p\\⇒35p-24p=1920-1700\\⇒11p=220\\\therefore p=20}$$Ans: p-এর মান 20

কষে দেখিঃ 26.1

11. আলোচনা সভায় উপস্থিত ব্যক্তিদের বয়সের তালিকা দেখি ও গড় বয়স নির্ণয় করি।

বয়স (বছর)	30-34	35-39	40-44	45-49	50-54	55-59
রোগীর সংখ্যা	10	12	15	6	4	3

সমাধান:
প্রদত্ত তথ্যের ভিত্তিতে পরিসংখ্যা বিভাজন ছকটি হল:

বয়স (বছর)	শ্রেণী সীমানা	রোগীর সংখ্যা (f_i)	শ্রেণী মধ্যক(x_i)	x_if_i
30-34	29.5-34.5	10	32	320
35-39	34.5-39.5	12	37	444
40-44	39.5-44.5	15	42	630
45-49	44.5-49.5	6	47	282
50-54	49.5-54.5	4	52	208
55-59	54.5-59.5	3	57	171
মোট		Σf_i=50		Σx_if_i=2055

প্রত্যক্ষ পদ্ধতিতে 50 জন রোগীর গড় বয়স $$\Large{=\frac{f_{i}x{i}}{f_{i}}\\=\frac{2055}{50}\\=41.1}$$Ans: 50 জন রোগীর গড় বয়স 41.1 বছর।

12. নীচের তথ্যের গড় নির্ণয় করি।

শ্রেণি-সীমা	5-14	15-24	25-34	35-44	45-54	55-64
পরিসংখ্যা	3	6	18	20	10	3

সমাধান:
প্রদত্ত তথ্যের ভিত্তিতে পরিসংখ্যা বিভাজন ছকটি হল:

শ্রেণি-সীমা	শ্রেণী সীমানা	পরিসংখ্যা (f_i)	শ্রেণী মধ্যক(x_i)	x_if_i
5-14	4.5-14.5	3	9.5	28.5
15-24	14.5-24.5	6	19.5	117
25-34	24.5-34.5	18	29.5	531
35-44	34.5-44.5	20	39.5	790
45-54	44.5-54.5	10	49.5	495
55-64	54.5-64.5	3	59.5	178.5
মোট		Σf_i=60		Σx_if_i=2140

প্রত্যক্ষ পদ্ধতিতে 60 জনের গড় $$\Large{=\frac{f_{i}x{i}}{f_{i}}\\=\frac{2140}{60}\\=35.666\\\backsimeq35.67}$$Ans: প্রদত্ত তথ্যের গড় 35.67

রাশিবিজ্ঞানঃ গড় – কষে দেখিঃ 26.1 CLASS – X Statistics : Mean

13. ছাত্রীদের প্রাপ্ত নম্বরের গড় নির্ণয় করি যদি তাদের প্রাপ্ত নম্বরের ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা নিম্নরূপ হয়:

শ্রেণি-সীমা (নম্বর)	10-এর কম	20-এর কম	30-এর কম	40-এর কম	50-এর কম
ছাত্রী সংখ্যা	5	9	17	29	45

সমাধান:
প্রদত্ত তথ্যের ভিত্তিতে পরিসংখ্যা বিভাজন ছকটি হল

শ্রেণি-সীমা (নম্বর)	শ্রেণী সীমানা (নম্বর)	পরিসংখ্যা (ছাত্রী সংখ্যা) (f_i)	শ্রেণী মধ্যক(x_i)	x_if_i
10-এর কম	0-10	5	5	25
20-এর কম	10-20	(9-5)=4	15	60
30-এর কম	20-30	(17-9)=8	25	200
40-এর কম	30-40	(29-17)=12	35	420
50-এর কম	40-50	(45-29)=16	45	720
মোট		Σf_i=45		Σx_if_i=1425

প্রত্যক্ষ পদ্ধতিতে 45 জন ছাত্রীর নম্বরের গড় $$\Large{=\frac{f_{i}x{i}}{f_{i}}\\=\frac{1425}{45}\\=31.666\\=31.67}$$Ans: ছাত্রীদের প্রাপ্ত নম্বরের গড় 31.67

14. নীচের তালিকার 64 জন ছাত্রের প্রাপ্ত নম্বরের গড় নির্ণয় করি।

শ্রেণি-সীমা (নম্বর)	1-4	4-9	9-16	16-17
ছাত্র	6	12	26	20

সমাধান:
প্রদত্ত তথ্যের ভিত্তিতে পরিসংখ্যা বিভাজন ছকটি হল:

শ্রেণী সীমানা	পরিসংখ্যা(f_i)	শ্রেণী মধ্যক(x_i)	x_if_i
1-4	6	2.5	15
4 – 9	12.	6.5	78
9-16	26	12.5	325
16-17	20	16.5	330
	Σf_i=64		Σx_if_i=748

প্রত্যক্ষ গড় পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই, ছাত্রদের প্রাপ্ত নম্বরের গড়$$\Large{=\frac{f_{i}x_{i}}{f_{i}}\\=\frac{748}{64}\\=11.69}$$Ans: 64 জন ছাত্রের প্রাপ্ত নম্বরের গড় 11.69

KOSHE DEKHI

May 15, 2023

Author: TEAM PROSTUTI

Chapter-3 Complete Solution of Trigonometry S N DEY যে-কোনো কোণ ও সংযুক্ত কোণসমূহের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ

Chapter-3 Complete Solution of Trigonometry S N DEY যে-কোনো কোণ ও সংযুক্ত কোণসমূহের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ

Chapter-3যে-কোনো কোণ ও সংযুক্ত কোণসমূহের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ

Chapter-3যে-কোনো কোণ ও সংযুক্ত কোণসমূহের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ

রাশিবিজ্ঞানঃ গড় – কষে দেখিঃ 26.1 CLASS-X Statistics : Mean

রাশিবিজ্ঞানঃ গড় – কষে দেখিঃ 26.1 CLASS – X Statistics : Mean

🔴ঃ গড় নির্ণয়ের প্রয়োজনীয় সূত্রাবলী ঃ🔴

গণিত প্রকাশ সম্পূর্ণ সমাধান

রাশিবিজ্ঞানঃ গড় – কষে দেখিঃ 26.1

কষে দেখিঃ 26.1

CLASS – X Statistics : Mean

CLASS – X Statistics : Mean

কষে দেখিঃ 26.1

রাশিবিজ্ঞানঃ গড় – কষে দেখিঃ 26.1 CLASS – X Statistics : Mean

Chapter-3
যে-কোনো কোণ ও সংযুক্ত কোণসমূহের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ

Chapter-3
যে-কোনো কোণ ও সংযুক্ত কোণসমূহের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ