2. যদি sinθ = -⅗ হয় এবং θ তৃতীয় পাদে থাকে, তবে tanθ ও secθ-র মান নির্ণয় করো।
$$ \Large{sinθ = -\frac{3}{5}\\\therefore cosθ=±\sqrt{1-sin^{2}θ}\\\quad=±\sqrt{1-\left(-\frac{3}{5}\right)^2}\\\quad=±\sqrt{1-\frac{9}{25}}\\\quad=±\sqrt{\frac{16}{25}}\\\quad=±\frac{4}{5}\\\therefore secθ=±\frac{5}{4}}$$∵ sinθ = -⅗ এবং θ তৃতীয় পাদে অবস্থিত।$$\Large{∴ secθ = -\frac{5}{4}\quad(Ans)\\∴tanθ=\frac{sinθ}{cosθ}\\\quad=\frac{-\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}}\\=\frac{3}{4} \quad(Ans)}$$
3. (i) tanθ = 15/8 এবং cosθ ঋণাত্মক হলে
$$\Large{\mathbf{\frac{sin(-θ)-cosθ}{tan(-θ)+sec(-θ)}}}$$-র মান নির্ণয় করো।$$ \Large{Ans:\\tanθ = \frac{15}{8}\\\therefore secθ=±\sqrt{1+tan^{2}θ}\\\quad=±\sqrt{1+\left(\frac{15}{8}\right)^2}\\\quad=±\sqrt{1+\frac{225}{64}}\\\quad=±\sqrt{\frac{289}{64}}\\\quad=±\frac{17}{8}\\\therefore cosθ=-\frac{8}{17}}$$tanθ = 15/8 এবং cosθ ঋণাত্মক সুতরাং θ তৃতীয় পাদে অবস্থিত। $$ \Large{sinθ =\frac{sinθ}{cosθ}.cosθ\\=\frac{sinθ}{cosθ}.\frac{1}{secθ}\\\\=\frac{tanθ}{secθ}\\=\frac{\frac{15}{8}}{-\frac{17}{8}}\\=-\frac{15}{17}\\\therefore\frac{sin(-θ)-cosθ}{tan(-θ)+sec(-θ)}\\=\frac{-sinθ-cosθ}{-tanθ+secθ}\\=\frac{-\frac{-15}{17}-\frac{-8}{17}}{-\frac{15}{8}+\frac{-17}{8}}\\=\frac{\frac{15}{17}+\frac{8}{17}}{-\frac{15}{8}-\frac{17}{8}}\\=\frac{\frac{15+8}{17}}{\frac{-15-17}{8}}\\=\frac{\frac{23}{17}}{\frac{-32}{8}}\\=\frac{\frac{23}{17}}{-4}\\=-\frac{23}{68}}$$
(ii) θ চতুর্থ পাদে অবস্থিত হলে এবং secθ = 5/3 হলে
$$\Large{\mathbf{\frac{6tanθ+5cosθ}{5cotθ+cosecθ}}}$$-র মান নির্ণয় করো।$$\Large{Ans.\\∵secθ = \frac{5}{3}\\\therefore tanθ=±\sqrt{sec^{2}θ-1}\\\quad=±\sqrt{\left(\frac{5}{3}\right)^{2}-1}\\\quad=±\sqrt{\frac{25}{9}-1}\\\quad=±\sqrt{\frac{16}{9}}\\\quad=±\frac{4}{3}}$$θ চতুর্থ পাদে অবস্থিত।$$\Large{\\\therefore tanθ=-\frac{4}{3}\\cotθ=-\frac{3}{4}\\cosθ = \frac{3}{5}\\cosecθ=\frac{1}{sinθ}\\=\frac{cosθ}{sinθ}.\frac{1}{cosθ}\\=cotθ.\frac{1}{cosθ}\\=\frac{-3}{4}.\frac{1}{\frac{3}{5}}\\=\frac{-5}{4}\\∴\frac{6tanθ+5cosθ}{5cotθ+cosecθ}\\=\frac{6.\frac{-4}{3}+5.\frac{3}{5}}{5.\frac{-3}{4}+\frac{-5}{4}}\\=\frac{-8+3}{\frac{-15}{4}+\frac{-5}{4}}\\=\frac{-5}{\frac{-15-5}{4}}\\=\frac{-5}{\frac{-20}{4}}\\=\frac{-5}{-5}=1}$$
Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1-LA S N Dey Class-XI CLICK HERE
4. n- সংখ্যক পদ পর্যন্ত সমষ্টি নির্ণয় করোঃ sinθ+sin(π+θ)+sin(2π+θ)+sin(3π+θ)+…
সমাধানঃ n যুগ্ম সংখ্যা হলে, sinθ+sin(π+θ)+sin(2π+θ)+sin(3π+θ)+… = sinθ-sinθ+sinθ-sinθ+… = (sinθ-sinθ)+(sinθ-sinθ)+…= 0 আবার, n অযুগ্ম সংখ্যা হলে, sinθ+sin(π+θ)+sin(2π+θ)+sin(3π+θ)+… = sinθ-sinθ+sinθ-sinθ+… = (sinθ-sinθ)+(sinθ-sinθ)+sinθ… = sinθ
5. n-এর মান অখণ্ড সংখ্যা হলে দেখাও যে, (i) cos(nπ+θ)=(-1)ncosθ
সমাধানঃ ধরি, n যুগ্ম সংখ্যা অর্থাৎ n=2p – – -[যেখানে p∈Z] ∴cos(nπ+θ) =cos(2pπ+θ) =cosθ =(-1)2p cosθ =(-1)n cosθ আবার, n অযুগ্ম সংখ্যা হলে অর্থাৎ n=2p+1 – – – [যেখানে p∈Z] ∴cos(nπ+θ) =cos{(2p+1)π+θ} =cos(2p+π+θ) =- cosθ =(-1)2p+1 cosθ =(-1)n cosθ ∴cos(nπ+θ)=(-1)ncosθ (Proved)
$$\Large{\mathbf{(ii)\quad tan\left[\frac{nπ}{2}+(-1)^{n}\frac{π}{4}\right]=1}}$$সমাধানঃ n যুগ্ম সংখ্যা হলে অর্থাৎ n=2p [যেখানে p∈Z] $$\Large{\quad tan\left[\frac{nπ}{2}+(-1)^{n}\frac{π}{4}\right]\\=tan\left[\frac{2pπ}{2}+(-1)^{2p}\frac{π}{4}\right]\\=tan\left[2p.\frac{π}{2}+\frac{π}{4}\right]\\=tan\frac{π}{4} =1}$$n অযুগ্ম সংখ্যা হলে অর্থাৎ n=2p+1 [যেখানে p∈Z] $$\Large{\quad tan\left[\frac{nπ}{2}+(-1)^{n}\frac{π}{4}\right]\\=tan\left[\frac{(2p+1)π}{2}+(-1)^{2p+1}\frac{π}{4}\right]\\=tan\left[2p.\frac{π}{2}+\frac{π}{2}-\frac{π}{4}\right]\\=tan\left[2p.\frac{π}{2}+\frac{π}{4}\right]\\=tan\frac{π}{4} =1\\\therefore tan\left[\frac{nπ}{2}+(-1)^{n}\frac{π}{4}\right]=1\quad(Proved)}$$
(iii) sin{nπ+(-1)n. π/6}=½
সমাধানঃ n যুগ্ম সংখ্যা হলে অর্থাৎ n=2p – – – [যেখানে p∈Z] ∴ sin{nπ+(-1)n. π/6} = sin{2pπ+(-1)2p. π/6} = sin{2pπ+ π/6} = sin{p.2π+ π/6} = sinπ/6 = ½ আবার, n অযুগ্ম সংখ্যা হলে অর্থাৎ n=2p+1 – – – [যেখানে p∈Z] ∴ sin{nπ+(-1)n. π/6} = sin{(2p+1)π+(-1)(2p+1). π/6} = sin{2pπ+(π- π/6)} = sin{π- π/6} = sinπ/6 = ½ ∴ sin{nπ+(-1)n. π/6}=½ (Proved)
(iv) tan(nπ+α)=tanα
সমাধানঃ n যুগ্ম সংখ্যা হলে অর্থাৎ n=2p – – – [যেখানে p∈Z] ∴ tan(nπ+α) = tan(2pπ+α) = tanα আবার,n অযুগ্ম সংখ্যা হলে অর্থাৎ n=2p+1 – – – [যেখানে p∈Z] tan(nπ+α) = tan{(2p+1)π+α} = tan{(2pπ+(π+α)} = tan(π+α) = tanα ∴ tan(nπ+α)=tanα(Proved)
6. কোনো ত্রিভুজের কোণ তিনটি A, B, C হলে দেখাও যে, (i) sinBcos(C+A)+cosBsin(C+A)=0
সমাধানঃ ত্রিভুজের কোণ তিনটি A, B, C ∴ A+B+C=π LHS = sinB.cos(C+A)+cosB.sin(C+A) = sinB.cos(π-B)+cosB.sin(π-B) = sinB.(-cosB)+cosB.sinB = – sinB.cosB+cosB.sinB = 0 = RHS (Proved)
6. কোনো ত্রিভুজের কোণ তিনটি A, B, C হলে দেখাও যে,
$$\Large{(ii) \quad\mathbf{tan\frac{A-B}{2}=cot\left(\frac{C}{2}+B\right)\\Ans:}}$$ত্রিভুজের কোণ তিনটি A, B, C $$\Large{∴ A+B+C=π\\⇒A=π-B-C\\LHS=tan\frac{A-B}{2}\\=tan\frac{π-B-C-B}{2}\\=tan\frac{π-C-2B}{2}\\=tan\left[π-\left(\frac{C}{2}+B\right)\right]\\=cot\left(\frac{C}{2}+B\right)=RHS\quad(Proved)}\\$$
⛔ দুটি সমজাতীয় রাশির একটি অপরটি অপেক্ষা কতগুণ বা কত অংশ, যার দ্বারা সংক্ষেপে সরল আকারে প্রকাশ করা হয় তাকে অনুপাত বলে। যেমন ঃ- a : b
⛔ পূর্বপদ ও উত্তরপদ ঃ a : b অনুপাতের a-কে পূর্বপদ এবং b-কে উত্তরপদ বলে।
⛔ সাম্যানুপাত ঃ a : b অনুপাতের যদি a = b হয় তবে অনুপাতটিকে সাম্যানুপাত বলে। যেমন ঃ- 3 : 3
⛔ বৈষম্যানুপাত ঃ a : b অনুপাতের যদি a ≠ b হয় তবে অনুপাতটিকে বৈষম্যানুপাত বলে। যেমন ঃ- 3 : 5
⛔ গুরু অনুপাত ঃ a : b অনুপাতের যদি a > b হয় তবে অনুপাতটিকে গুরু অনুপাত বলে। যেমন ঃ- 5 : 3
⛔ লঘু অনুপাত বলে ঃ a : b অনুপাতের যদি a < b হয় তবে অনুপাতটিকে লঘু অনুপাত বলে। যেমন ঃ- 5 : 7
⛔ a : b এর ব্যস্ত অনুপাত b : a
⛔ দ্বিগুনানুপাত বা দ্বৈত অনুপাত ঃ a : b এর দ্বিগুনানুপাত বা দ্বৈত অনুপাত a2 : b2
🔅 ত্রিগুনানুপাত বা ত্রিমিশ্র অনুপাত ঃ a : b এর ত্রিগুনানুপাত বা ত্রিমিশ্র অনুপাত a3 : b3
⛔ দ্বিবিভাজিত বা অর্ধমিশ্র অনুপাত ঃ a : b এর দ্বিবিভাজিত বা অর্ধমিশ্র অনুপাত √a : √b
অনুপাত ও সমানুপাত – কষে দেখি 5.1 – দশম শ্রেণী ||Ratio and Proportion – Exercise 5.1 – Class X
1. নীচের রাশিগুলি অনুপাতে প্রকাশ করি ও অনুপাতগুলি সাম্যানুপাত , লঘু অনুপাত না গুরু অনুপাত বুঝে লিখ । (i) 4 মাস এবং 1 বছর 6 মাস
সমাধানঃ 4 মাস এবং 1 বছর 6 মাসের অনুপাত = 4 মাস : 1 বছর 6 মাস = 4 মাস : (12 + 6) মাস ⇒ 4 মাস : 18 মাস = 4 : 18 = 2 : 9 Ans: নির্ণেয় অনুপাত = 2 : 9 অনুপাতটি লঘু অনুপাত।
সমাধানঃ p কিগ্রা. ও q গ্রামের অনুপাত = p কিগ্রা. : q গ্রাম = p × 1000 গ্রাম : q গ্রাম ⇒ 1000p গ্রাম : q গ্রাম = 1000p : q Ans: p কিগ্রা. ও q গ্রামের অনুপাত = 1000p : q
(ii) x দিন ও z মাসের মধ্যে অনুপাত নির্ণয় কখন সম্ভব হবে লিখি।
উত্তর: x দিন ও z মাসের মধ্যে অনুপাত নির্ণয় সম্ভব হবে যখন রাশি দুটোর একক একই একক হবে। অর্থাৎ মাসকে দিনে পরিণত করতে হবে বা দিনকে মাসে পরিণত করতে হবে।
(iii) একটি অনুপাত ও তার ব্যস্ত অনুপাতের মিশ্র অনুপাত কী ধরনের অনুপাত হবে লিখি ।
উত্তর:একটি অনুপাত ও তার ব্যস্ত অনুপাতের মিশ্র অনুপাত একটি সাম্যানুপাত।
(iv) a / b : c, b / c : a, c / a : b- এর মিশ্র অনুপাত নির্ণয় করি ।
সমাধানঃ a / b : c, b / c : a, c / a : b- এর মিশ্র অনুপাত =a / b × b / c × c / a : c × a × b = 1 : abc Ans: নির্ণেয় মিশ্র অনুপাত = 1 : abc
(v) x2 : yz এবং কোন অনুপাতের মিশ্র অনুপাত xy : z2 হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ ধরি, x2 : yz এবং a : b – এর মিশ্র অনুপাত হবে xy : z2 । ∴ x2 × a : yz × b= xy : z2 বা, ax2 : byz = xy : z2 বা, ax : by = y : z ⇒, a : b = y × y : x × z বা, a : b = y2 : xz Ans: নির্ণেয় অনুপাত = y2 : xz
অনুপাত ও সমানুপাত – কষে দেখি 5.1 – দশম শ্রেণী
(vi) x2: yz / x, y2: zx / y, z2: yx / z অনুপাতগুলির ব্যস্ত অনুপাতগুলির যৌগিক অনুপাত নির্ণয় করি ।
সমাধানঃ x2 : yz / x, y2 : zx / y ও z2 : yx / z এর ব্যস্ত অনুপাতগুলি হল যথাক্রমে yz / x : x2, zx / y : y2 ও yx / z : z2 ∴ ব্যস্ত অনুপাতগুলির যৌগিক অনুপাত = (yz / x × zx / y × yx / z) : (x2 × y2 × z2) = xyz : x2y2z2 ⇒ 1 : xyz Ans: ব্যস্ত অনুপাতগুলির যৌগিক অনুপাত = 1 : xyz
দশম শ্রেণির রাশিবিজ্ঞানঃ গড় – কষে দেখিঃ 26.1CLICK HERE
4 . (i) A : B = 6 : 7 এবং B : C = 8 : 7 হলে, A : C নির্ণয় করি ।
সমাধানঃ এখানে, A : B = 6 : 7 বা, A / B = 6 / 7 এবং B : C = 8 : 7 বা, B / C = 8 / 7 ∴ A / B × B / C = 6 / 7 × 8 / 7 বা, A / C = 48 / 49 বা, A : C= 48 : 49 Ans: A : C = 48 : 49
(ii) A : B = 2 : 3, B : C = 4 : 5 এবং C : D = 6 : 7 হলে, A : D নির্ণয় করি।
সমাধানঃ এখানে, A : B = 2 : 3 বা, A / B = 2 / 3 B : C = 4 : 5 বা, B / C = 4 / 5 এবং C : D = 6 : 7 বা, C / D = 6 / 7 ∴ A / B × B / C × C / D = 2 / 3 × 4 / 5 × 6 : 7 বা, A / D = 16 / 35 ∴ A : D = 16 : 35 Ans: A : D = 16 : 35
(iii ) যদি A : B = 3 : 4 এবং B : C = 2 : 3 হয় , তাহলে A : B : C নির্ণয় করি ।
সমাধানঃ A : B = 3 : 4 B : C = 2 : 3 = 2×2 : 3×2 = 4 : 6 ∴ A : B : C = 3 : 4 : 6 Ans: A : B : C = 3 : 4 : 6
(iv) x : y = 2 : 3 এবং y : z = 4 : 7 হলে , x : y : z নির্ণয় করি ।
সমাধানঃ x : y = 2 : 3 = (2×4) : (3×4) = 8 : 12 y : z = 4 : 7 = (4×3) : (7×3) = 12 : 21 ∴ x : y : z = 8 : 12 : 21 Ans: x : y : z = 8 : 12 : 21
5. (i) x : y = 3 : 4 হলে, (3y – x) : (2x + y) কত হবে নির্ণয় করি ।
মাধ্যমিকের সব বিষয়ের জন্য App Madhyamik Prostuti ডাউনলোড করতে এখানে CLICKকরুন
8. (i) 2 : 5 অনুপাতের উভয়পদের সঙ্গে কত যোগ করলে অনুপাতটি 6 : 11 হবে নির্ণয় করি ।
সমাধানঃ ধরি, 2 : 5 অনুপাতের উভয়পদের সঙ্গে x যোগ করলে অনুপাতটি 6 : 11 হবে।∴ ∴ (2 + x) : (5 + x) = 6 : 11 বা, (2 + x) : (5 + x) = 6 : 11 বা, 11.(2 + x) = 6.(5 + x) বা, 22 + 11x = 30 + 6x ⇒ 11x – 6x = 30 – 22 বা, 5x = 8 ∴ x = 8/5 Ans:8/5 যোগ করতে হবে।
(ii) a : b বৈষম্যানুপাতের উভয়পদ থেকে কত বিয়োগ করলে বৈষম্যানুপাতটি m : n হবে নির্ণয় করি ।
সমাধানঃ ধরি, a : b বৈষম্যানুপাতের উভয়পদ থেকে x বিয়োগ করলে বৈষম্যানুপাতটি m : n হবে। ∴ (a – x) : (b – x) = m : n বা, (a – x) : (b – x) = m : n বা, n.(a – x) = m.(b – x) বা, an – nx = bm – mx বা, mx – nx = bm – an ⇒ x(m – n) = bm – an বা, x = (bm − an)/(m − n)
Ans: (bm − an)/(m − n) বিয়োগ করতে হবে।
দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নিচের BUTTON-এ ক্লিক করো।
