Author: TEAM PROSTUTI

Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1-LA S N Dey Class-XI

Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1-LA S N Dey Class-XI

Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1 (LA) S N Dey Class-XI

সেট তত্ত্ব SET THEORY
দীর্ঘ উত্তরধর্মী (LA)

সেট তত্ত্ব SET THEORY ∴ ∵

Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1-LA S N Dey Class-XI

1. কোনো সসীম সেট A-এর ক্ষেত্রে, A সেটের পদসংখ্যা n(A) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। একটি ভেন চিত্রের প্রয়োগে (অথবা অন্য পদ্ধতিতে) যে-কোনো দুটি সেট A ও B-এর ক্ষেত্রে প্রমাণ করো যে, n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)

প্রমানঃ
মনে করি, A, B এবং A ∩ B সেট তিনটির পদসংখ্যা যথাক্রমে p, q ও r
অর্থাৎ n(A) = p;
n(B) = q এবং
n(A∩B) = r

ভেন চিত্র থেকে স্পষ্টতই বোঝা যায় যে,
n(A-B) = n(A) – n(A∩B)
= p – r ;
n(B-A) = n(B) – n(A∩B)
= q – r ;
আবার ভেন চিত্র থেকে দেখা যায় (A-B), (A∩B) ও (B-A) সেট তিনটি পরস্পর বিচ্ছেদ সেট এবং (A∪B) সেটটির পদসংখ্যা (A-B), (A∩B) ও (B-A) সেট তিনটির পদসংখ্যার সমষ্টির সমান।
∴ n(A ∪ B)
= n(A-B) + n(A ∩ B) + n(B)
= p – r + r + q – r
= p + q – r
∴ n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) (Proved)

2. A = { x: 0 < x ≤ 2 } এবং B = { x : 1 < x < 3 } হলে,
(i) A ∩ B

সমাধানঃ
A ∩ B
= { x: 0 < x ≤ 2 } ∩ { x : 1 < x < 3 }
= { x: 1 < x ≤ 2 } (Ans)

(ii) A ∪ B

সমাধানঃ
A ∪ B
= { x: 0 < x ≤ 2 } ∪ { x : 1 < x < 3 }
= { x: 0 < x < 3 } (Ans)
(iii) A – B
সমাধানঃ
A – B
= { x: 0 < x ≤ 2 } – { x : 1 < x < 3 }
= {x: 0 < x ≤ 1 } (Ans)

(iv) (A ∪ B) – (A ∩ B)

সমাধানঃ
(A ∪ B) – (A ∩ B)
= { x: 0 < x < 3 } – { x: 1 < x ≤ 2 }
= {0 < x ≤ 1, 2 < x < 3} (Ans)

3. A = { 2 ≤ x < 5 } এবং B = { x: 3 < x < 7 } হল সার্বিক সেট্, S = { x : 0 < x ≤ 10 } -এর দুটি উপসেট্; প্রমাণ করো যে, (A ∪ B)^C = A^C ∩ B^C ।

সমাধানঃ
A ∪ B = {x: 2 ≤ x < 7}
∴ (A ∪ B)^C
= S – (A ∪ B)
= { x : 0 < x ≤ 10 } – {x: 2 ≤ x < 7}
= {0 < x < 2, 7 ≤ x ≤ 10 }
A^C = S – A
= { x : 0 < x ≤ 10 } – {2 ≤ x < 5}
= {x : 0 < x < 2, 5 ≤ x ≤ 10}
B^C = S – B
= { x : 0 < x ≤ 10 } – {x: 3 < x < 7}
= {x : 0 < x ≤ 3, 7 ≤ x ≤ 10}
∴ A^C ∩ B^C
= {x : 0 < x < 2, 5 ≤ x ≤ 10} ∩ {x : 0 < x ≤ 3, 7 ≤ x ≤ 10}
= {x : 0 < x < 2, 7 ≤ x ≤ 10}
∴ (A ∪ B)^C = A^C ∩ B^C (Proved)

4. P = { p, q, r, s, t, u } এবং Q ∩ R = { q, r, v, w } হলে,
(i) ( P ∪ Q) ∩ ( P ∪ R)

সমাধানঃ
(P ∪ Q) ∩ (P ∪ R)
= P ∪ (Q ∩ R)
= {p, q, r, s, t, u } ∪ {q, r, v, w }
= {p, q, r, s, t, u, v, w} (Ans)

(ii) ( P – Q) ∪ ( P – R) নির্ণয় করো।

সমাধানঃ
(P – Q) ∪ (P – R)
= P – (Q ∩ R)
= { p, q, r, s, t, u } – { q, r, v, w }
= {p, s, t, u} (Ans)

5. যদি S সার্বিক সেটের A, B, C তিনটি উপসেট হয়,যেখানে S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }, A = { 1, 3, 5, 6}, B ∩ C = { 1, 2, 6 } তবে ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C) এবং ( B^C ∪ C^C) নির্ণয় করো ।

সমাধানঃ
(A ∪ B) ∩ ( A ∪ C)
= A ∪ (B ∩ C)
= { 1, 3, 5, 6} ∩ { 1, 2, 6 }
= { 1, 2, 3, 5, 6} (Ans)

(B^C ∪ C^C)
= (B ∩ C)^C
= S – B ∩ C
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } – { 1, 2, 6 }
={3, 4, 5, 7} (Ans)

Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1
বহু বিকল্প উত্তরধর্মী (MCQ) দেখতে এখানে CLICK করো।

6. যদি U = { a, b, c, d, e, f } সার্বিক সেট হয় এবং A, B, C যদি U এর তিনটি উপসেট হয়, যেখানে A = { a, c, d } এবং B ∪ C = { a, d, c, f } তবে ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C) এবং ( B’ ∩ C’) নির্ণয় করো।

সমাধানঃ
(A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
= A ∩ ( B ∪ C)
= { a, c, d } ∩ { a, d, c, f }
= {a, c, d} (Ans)
B’ ∩ C’
= (B ∪ C)’
= U – ( B ∪ C)
= { a, b, c, d, e, f } – { a, d, c, f }
= {b, e} (Ans)

7. প্রদত্ত, X ∪ Y = { 1, 2, 3, 4}, X ∪ Z = { 2, 3, 4, 5, }, X ∩ Y = { 2, 3} এবং X ∩ Z = { 2, 4} ; X, Y এবং Z নির্ণয় করো ।

সমাধানঃ
∵ X ∪ Y = { 1, 2, 3, 4}
∴ 5 ∉ X ∪ Y
⇒ 5 ∉ X এবং 5 ∉ Y
আবার ∵ X ∪ Z = { 2, 3, 4, 5}
∴ 1 ∉ X ∪ Z
⇒ 1 ∉ X এবং 1 ∉ Z এবং 5 ∈ Z
∵ X ∩ Y = { 2, 3}
∴ 2, 3 ∈ X এবং Y
∵ X ∩ Z = { 2, 4}
∴ 2, 4 ∈ X এবং Z
∴ X = {2, 3, 4},
∵ X ∪ Y = { 1, 2, 3, 4}
∴ 1 ∈ Y
∴ Y = {1, 2, 3}
∴ Z = {2, 4, 5}
Ans: X = {2, 3, 4};
Y = {1, 2, 3};
Z = {2, 4, 5}

8. যে কোন তিনটি সেট A, B এবং C-এর ক্ষেত্রে ভেনচিত্রের সাহায্যে নিম্নলিখিতগুলি যাচাই করোঃ
(i) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C

1 নং চিত্রে লাল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা (B∪C) এবং 2 নং চিত্রে নীল অনুভূমিক রেখাসমূহ ও লাল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা সমগ্র রেখাঙ্কিত অঞ্চল A∪(B∪C) সেটকে প্রকাশ করে।

3 নং চিত্রে লাল অনুভূমিক রেখাসমূহের দ্বারা (A∪B) এবং 4 নং চিত্রে লাল অনুভূমিক রেখাসমূহ ও নীল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা সমগ্র রেখাঙ্কিত অঞ্চল (A∪B)∪C সেটকে প্রকাশ করে।
∴ A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C (Proved)

(ii) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

5 নং চিত্রে লাল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা (B∪C) এবং 6 নং চিত্রে নীল অনুভূমিক রেখাসমূহ ও লাল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা রেখাঙ্কিত সাধারন অঞ্চল A∩(B∪C) সেটকে প্রকাশ করে।

7 নং চিত্রে লাল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা (A∩B) এবং 8 নং চিত্রে নীল অনুভূমিক রেখাসমূহের দ্বারা (A∩C) সেটকে প্রকাশ করে।
এবং 9 নং চিত্রে লাল উল্লম্ব রেখাসমূহ ও নীল অনুভূমিক রেখাসমূহের দ্বারা রেখাঙ্কিত সমগ্র অঞ্চল (A∩C)∪(A∩C) সেটকে প্রকাশ করে।
∴ A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (Proved)

8. যে কোন তিনটি সেট A, B এবং C-এর ক্ষেত্রে ভেনচিত্রের সাহায্যে নিম্নলিখিতগুলি যাচাই করোঃ
(iii) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

1 নং চিত্রে লাল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা (B∩C) এবং 2 নং চিত্রে নীল অনুভূমিক রেখাসমূহ ও লাল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা রেখাঙ্কিত অঞ্চল A∪(B∩C) সেটকে প্রকাশ করে।

3 নং চিত্রে লাল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা (A∪B) এবং 4 নং চিত্রে নীল অনুভূমিক রেখাসমূহের দ্বারা (A∪C) সেটকে প্রকাশ করে।
এবং 5 নং চিত্রে লাল উল্লম্ব রেখাসমূহ ও নীল অনুভূমিক রেখাসমূহের দ্বারা সমগ্র রেখাঙ্কিত অঞ্চল (A∪B)∩(A∪C) সেটকে প্রকাশ করে।
∴ A ∩ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (Proved)

সেটতত্ত্ব || SN Dey Class-XI Free Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1

সেট তত্ত্ব Set Theory	প্রশ্নমালা- 1
সসীম সেট, অসীম সেট ও শূন্য সেট	CLICK HERE
উপসেট , অধিসেট, সমান সেট,সার্বিক সেট,সূচক সেট	CLICK HERE
ভেনচিত্র, সেট প্রক্রিয়াসমূহ	CLICK HERE
বহু বিকল্প উত্তরধর্মী (MCQ)	CLICK HERE
অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী (VSA)	CLICK HERE
সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী (SA)	CLICK HERE
দীর্ঘ উত্তরধর্মী (LA)	CLICK HERE

8. যে কোন তিনটি সেট A, B এবং C-এর ক্ষেত্রে ভেনচিত্রের সাহায্যে নিম্নলিখিতগুলি যাচাই করোঃ
(iv) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

6 নং চিত্রে লাল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা (B∪C) এবং 7 নং চিত্রে নীল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা রেখাঙ্কিত অঞ্চল A∩(B∪C) সেটকে প্রকাশ করে।

8 নং চিত্রে লাল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা (A∩B) এবং 9 নং চিত্রে নীল অনুভূমিক রেখাসমূহের দ্বারা (A∩C) সেটকে প্রকাশ করে।
এবং 10 নং চিত্রে লাল উল্লম্ব রেখাসমূহ ও নীল অনুভূমিক রেখাসমূহের দ্বারা সমগ্র রেখাঙ্কিত অঞ্চল (A∩B)∪(A∩C) সেটকে প্রকাশ করে।
∴ A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (Proved)

8. যে কোন তিনটি সেট A, B এবং C-এর ক্ষেত্রে ভেনচিত্রের সাহায্যে নিম্নলিখিতগুলি যাচাই করোঃ
(v) (A ∪ B)^C = A^C ∩ B^C

1 নং চিত্রে লাল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা A∪B এবং 2 নং চিত্রে নীল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা রেখাঙ্কিত অঞ্চল (A∪B)^C সেটকে প্রকাশ করে।

3 নং চিত্রে লাল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা A^C এবং 4 নং চিত্রে নীল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা রেখাঙ্কিত অঞ্চল B^C সেটকে প্রকাশ করে।

5 নং চিত্রে নীল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা সমগ্র রেখাঙ্কিত অঞ্চল A^C ∩ B^C সেটকে প্রকাশ করে।
∴ (A ∪ B)^C = A^C ∩ B^C (Proved)

(vi) (A ∩ B)^C = A^C ∪ B^C

6 নং চিত্রে লাল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা A∩B এবং 7 নং চিত্রে নীল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা রেখাঙ্কিত অঞ্চল (A∩B)^C সেটকে প্রকাশ করে।

8 নং চিত্রে লাল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা A^C এবং 9 নং চিত্রে নীল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা রেখাঙ্কিত অঞ্চল B^C সেটকে প্রকাশ করে।

9 নং চিত্রে নীল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা সমগ্র রেখাঙ্কিত অঞ্চল A^C ∩ B^C সেটকে প্রকাশ করে।
∴ (A ∩ B)^C = A^C ∪ B^C (Proved)

8. যে কোন তিনটি সেট A, B এবং C-এর ক্ষেত্রে ভেনচিত্রের সাহায্যে নিম্নলিখিতগুলি যাচাই করোঃ
(vii) A – (B ∩ C) = (A – B) ∪ (A – C)

1 নং চিত্রে লাল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা (B∩C) এবং 2 নং চিত্রে নীল অনুভূমিক রেখাসমূহের দ্বারা রেখাঙ্কিত অঞ্চল A-(B∩C) সেটকে প্রকাশ করে।

3 নং চিত্রে লাল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা (A-B) এবং 4 নং চিত্রে নীল অনুভূমিক রেখাসমূহের দ্বারা (A-C) সেটকে প্রকাশ করে।
এবং 5 নং চিত্রে নীল অনুভূমিক রেখাসমূহের দ্বারা রেখাঙ্কিত অঞ্চল (A∩C)∪(A∩C) সেটকে প্রকাশ করে।
∴ A – (B ∩ C) = (A – B) ∪ (A – C)(Proved)

8. যে কোন তিনটি সেট A, B এবং C-এর ক্ষেত্রে ভেনচিত্রের সাহায্যে নিম্নলিখিতগুলি যাচাই করোঃ
(viii) A – (B ∪ C) = (A – B) ∩ (A – C)

1 নং চিত্রে লাল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা (B∪C) এবং 2 নং চিত্রে নীল অনুভূমিক রেখাসমূহের দ্বারা রেখাঙ্কিত অঞ্চল A-(B∪C) সেটকে প্রকাশ করে।

3 নং চিত্রে লাল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা (A-B) এবং 4 নং চিত্রে নীল অনুভূমিক রেখাসমূহের দ্বারা (A-C) সেটকে প্রকাশ করে।
এবং 5 নং চিত্রে নীল অনুভূমিক রেখাসমূহের দ্বারা রেখাঙ্কিত অঞ্চল (A-B)∩(A-C) সেটকে প্রকাশ করে।
∴ A – (B ∪ C) = (A – B) ∩ (A – C)(Proved)

S N DEY CLASS XI সেটতত্ত্ব তত্ত্বের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নীচে CLICK করো ।

সেটতত্ত্ব- সসীম সেট, অসীম সেট ও শূন্য সেট	CLICK HERE
উপসেট , অধিসেট, সমান সেট,সার্বিক সেট,সূচক সেট	CLICK HERE
ভেনচিত্র, সেট প্রক্রিয়াসমূহ	CLICK HERE
সেটতত্ত্ব প্রশ্নমালা- 1 (MCQ)	CLICK HERE
সেটতত্ত্ব প্রশ্নমালা- 1 (VSA)	CLICK HERE
সেটতত্ত্ব প্রশ্নমালা- 1 (SA)	CLICK HERE

8. যে কোন তিনটি সেট A, B এবং C-এর ক্ষেত্রে ভেনচিত্রের সাহায্যে নিম্নলিখিতগুলি যাচাই করোঃ
(ix) (A – C) ∩ (B – C) = (A ∩ B) -C

1 নং চিত্রে লাল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা A-C এবং 2 নং চিত্রে নীল অনুভূমিক রেখাসমূহের দ্বারা রেখাঙ্কিত অঞ্চল B-C সেটকে প্রকাশ করে।

3 নং চিত্রে নীল অনুভূমিক রেখাসমূহের দ্বারা (A-C)∩(B-C) সেটকে প্রকাশ করে।

4 নং চিত্রে লাল উল্লম্ব রেখাসমূহের দ্বারা A∩B এবং 5 নং চিত্রে নীল অনুভূমিক রেখাসমূহের দ্বারা (A∩B)-C সেটকে প্রকাশ করে।
∴ (A – C) ∩ (B – C) = (A ∩ B) -C(Proved)

Q NO – 8

9. কোনটিই শূন্য সেট নয় এমন তিনটি সেট A, B এবং C-এর একটি ভেনচিত্র এমনভাবে অঙ্কন করো যাতে A, B এবং C-এর নিম্ন ধর্মসমূহ বজায় থাকে :
(i) A ⊂ B, C ⊄ B, A ∩ C ≠ ϕ

9. কোনটিই শূন্য সেট নয় এমন তিনটি সেট A, B এবং C-এর একটি ভেনচিত্র এমনভাবে অঙ্কন করো যাতে A, B এবং C-এর নিম্ন ধর্মসমূহ বজায় থাকে :
(ii) A ⊂ B, B ∩ C ≠ ϕ, C ∩ A = ϕ, C ⊄ B

10.যে কোন তিনটি সেট A, B এবং C-এর ক্ষেত্রে নিম্নলিখিতগুলি প্রমাণ করো:

(i) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

সমাধানঃ
ধরি, x ∈ A ∪ (B ∩ C)
⇒ x ∈ A অথবা x ∈ (B ∩ C)
⇒ x ∈ A অথবা (x ∈ B এবং x ∈ C)
⇒ (x ∈ A অথবা x ∈ B) এবং (x ∈ A অথবা x ∈ C)
⇒ {x ∈ (A ∪ B) এবং x ∈ (A ∪ C)}
⇒ x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
∴ x ∈ A ∪ (B ∩ C) ⇒ x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
∴ A ∪ (B ∩ C) ⊆ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) – – – (i)
আবার
ধরি, y ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
⇒ y ∈ (A ∪ B) এবং y ∈ (A ∩ C)
⇒ (y ∈ A অথবা y ∈ B) এবং (y ∈ A অথবা y ∈ C)
⇒ y ∈ A অথবা (y ∈ B এবং y ∈ C)
⇒ y ∈ A অথবা y ∈ (B ∩ C)
⇒ y ∈ A ∪ (B ∩ C)
∴ y ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ⇒ y ∈ A ∪ (B ∩ C)
∴ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ⊆ A ∪ (B ∩ C) – – – (ii)
∴ (i) ও (ii) থেকে পাই,
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (Proved)

(ii) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

সমাধানঃ
ধরি, x ∈ A ∩ (B ∪ C)
⇒ x ∈ A এবং x ∈ (B ∪ C)
⇒ x ∈ A এবং (x ∈ B অথবা x ∈ C)
⇒ (x ∈ A এবং x ∈ B) অথবা (x ∈ A এবং x ∈ C)
⇒ {x ∈ (A ∩ B) অথবা x ∈ (A ∩ C)}
⇒ x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
∴ x ∈ A ∩ (B ∪ C) ⇒ x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
∴ A ∩ (B ∪ C) ⊆ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) – – – (i)
আবার
ধরি, y ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
⇒ y ∈ (A ∩ B) অথবা y ∈ (A ∩ C)
⇒ (y ∈ A এবং y ∈ B) অথবা (y ∈ A এবং y ∈ C)
⇒ y ∈ A এবং (y ∈ B অথবা y ∈ C)
⇒ y ∈ A এবং y ∈ (B ∪ C)
⇒ y ∈ A ∩ (B ∪ C)
∴ y ∈ A ∩ (B ∪ C)) ⇒ y ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
∴ A ∩ (B ∪ C) ⊆ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) – – – (ii)
∴ (i) ও (ii) থেকে পাই,
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (Proved)

(iii) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

সমাধানঃ
A ∩ (B ∩ C)
⇒ {x: x ∈ A এবং x ∈ (B ∩ C)}
⇒ {x: x ∈ A এবং (x ∈ B এবং x ∈ C)}
⇒ {x: (x ∈ A এবং x ∈ B) এবং x ∈ C}
⇒ {x: x ∈ (A ∩ B) এবং x ∈ C} = (A ∩ B) ∩ C (Proved)

(iv) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C

সমাধানঃ
A ∪ (B ∪ C)
⇒ {x: x ∈ A বা, x ∈ (B ∪ C)}
⇒ {x: x ∈ A বা, (x ∈ B বা, x ∈ C)}
⇒ {x: (x ∈ A বা, x ∈ B) বা, x ∈ C}
⇒ {x: x ∈ (A ∪ B) বা, x ∈ C} = (A ∪ B) ∪ C (Proved)

Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1
অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী (VSA) দেখতে এখানে CLICK করো।

(v) (A ∪ B)^C = A^C ∩ B^C

সমাধানঃ
যে- কোনো উপাদান a ∈ A হলে a ∉ A হয়।
ধরি, x ∈ (A ∪ B)^C
⇒ x ∉ (A ∪ B)
⇒ x ∉ A এবং x ∉ B
⇒ x ∈ A^C এবং x ∈ B^C
⇒ x ∈ A^C ∩ B^C
∴ (A ∪ B)^C ⊆ A^C ∩ B^C – – – (i)
আবার
ধরি, y ∈ A^C ∩ B^C
⇒ y ∈ A^C এবং y ∈ B^C
⇒ y ∉ A এবং y ∉ B
⇒ y ∉ (A ∪ B)
⇒ y ∈ (A ∪ B)^C
∴ A^C ∩ B^C ⊆ (A ∪ B)^C – – – (ii)
∴ (i) ও (ii) থেকে পাই,
(A ∪ B)^C = A^C ∩ B^C (Proved)

(vi) (A ∩ B)^C = A^C ∪ B^C

সমাধানঃ
ধরি, x ∈ (A ∩ B)^C
⇒ x ∉ (A ∩ B)
⇒ x ∉ A বা x ∉ B
⇒ x ∈ A^C বা x ∈ B^C
⇒ x ∈ A^C ∪ B^C
∴ (A ∩ B)^C ⊆ A^C ∪ B^C – – – (i)
আবার
ধরি, y ∈ A^C ∪ B^C
⇒ y ∈ A^C বা y ∈ B^C
⇒ y ∉ A বা y ∉ B
⇒ y ∉ (A ∩ B)
⇒ y ∈ (A ∩ B)^C
∴ A^C ∪ B^C ⊆ (A ∩ B)^C – – – (ii)
∴ (i) ও (ii) থেকে পাই,
(A ∩ B)^C = A^C ∪ B^C (Proved)

(vii) A – (B ∪ C) = (A – B) ∩ (A – C)

সমাধানঃ
ধরি, x ∈ A – (B ∪ C)
⇒ x ∈ A এবং x ∉ (B ∪ C)
⇒ x ∈ A এবং (x ∉ B এবং x ∉ C)
⇒ (x ∈ A এবং x ∉ B) এবং (x ∈ A এবং x ∉ C)
⇒ x ∈ (A – B) এবং x ∈ (A – C)
⇒ x ∈ (A – B) ∩ (A – C) – – – (i)
আবার
ধরি, y ∈ (A – B) ∩ (A – C)
⇒ y ∈ (A – B) এবং (A – C)
⇒ (y ∈ A এবং y ∉ B) এবং (y ∈ A এবং y ∉ C)
⇒ y ∈ A এবং (y ∉ B এবং y ∉ C)
⇒ y ∈ A এবং y ∉ B ∪ C
⇒ y ∈ A – (B ∪ C) – – – (ii)
∴ (i) ও (ii) থেকে পাই,
A – (B ∪ C) = (A – B) ∩ (A – C) (Proved)

(viii) A – (B ∩ C) = (A – B) ∪ (A – C)

সমাধানঃ
ধরি, x ∈ A – (B ∩ C)
⇒ x ∈ A এবং x ∉ (B ∩ C)
⇒ x ∈ A এবং (x ∉ B বা, x ∉ C)
⇒ (x ∈ A এবং x ∉ B) বা, (x ∈ A এবং x ∉ C)
⇒ x ∈ (A – B) বা, x ∈ (A – C)
⇒ x ∈ (A – B) ∪ (A – C) – – – (i)
আবার
ধরি, y ∈ (A – B) ∪ (A – C)
⇒ y ∈ (A – B) বা, (A – C)
⇒ (y ∈ A এবং y ∉ B) বা, (y ∈ A এবং y ∉ C)
⇒ y ∈ A এবং (y ∉ B বা, y ∉ C)
⇒ y ∈ A এবং y ∉ (B ∩ C)
⇒ y ∈ A – (B ∩ C) – – – (ii)
∴ (i) ও (ii) থেকে পাই,
A – (B ∩ C) = (A – B) ∪ (A – C) (Proved)

(ix) (A – C) ∩ (B – C) = (A ∩ B) – C

সমাধানঃ
ধরি, A = {1, 2, 3};
B = {2, 3, 4};
C = {1, 3, 5};
LHS = (A – C) ∩ (B – C)
= ({1, 2, 3} – {1, 3, 5}) ∩ ({2, 3, 4}- {1, 3, 5})
= {2} ∩ {2, 4}
= {2}
RHS = (A ∩ B) – C
= ({1, 2, 3} ∩ {2, 3, 4}) – {1, 3, 5}
= {2, 3} – {1, 3, 5}
= {2, 4} = LHS
∴ (A – C) ∩ (B – C) = (A ∩ B) – C (Proved)

(x) (A ∪ B) – C = (A – C) ∪ (B – C)

সমাধানঃ
ধরি, A = {1, 2, 3};
B = {2, 3, 4};
C = {1, 3, 5};
LHS = (A ∪ B) – C
= ({1, 2, 3} ∪ {2, 3, 4}) – {1, 3, 5}
= {1, 2, 3, 4} – {1, 3, 5}
= {2, 4}
RHS = (A – C) ∪ (B – C)
= ({1, 2, 3} – {1, 3, 5}) ∪ ({2, 3, 4}- {1, 3, 5})
= {2} ∪ {2, 4}
= {2, 4} = LHS
∴ (A ∪ B) – C = (A – C) ∪ (B – C) (Proved)

Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1
সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী (SA) দেখতে এখানে CLICK করো।

11. সেট বীজগণিতের সূত্রাবলী প্রয়োগে নিম্নলিখিতগুলি প্রমাণ করো:
(i) A ∩ ( B – A) = ϕ

সমাধানঃ
A ∩ ( B – A)
= A ∩ ( B ∩ A^C)
= A ∩ ( A^C ∩ B)
= ( A ∩ A^C) ∩ B
= ϕ ∩ B
= ϕ (Proved)

(ii) A ∪ ( B – A) = A ∪ B

সমাধানঃ
A ∪ ( B – A)
= A ∪ ( B ∩ A^C)
= ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ A^C )
= ( A ∪ B) ∩ S
= ( A ∪ B) (Proved)

(iii) (A ∩ B) – C = ( A – C) ∩ ( B – C)

সমাধানঃ
(A ∩ B) – C
= (A ∩ B) ∩ C^C
= (A ∩ B) ∩ (C^C∩ C^C)
= [(A ∩ B) ∩ C^C] ∩ C^C)]
= [A ∩ (B ∩ C^C)] ∩ C^C)]
= (B ∩ C^C) ∩ (A ∩ C^C)
= (B – C) ∩ (A – C)
= (A – C) ∩ (B – C) (Proved)

(iv) (A ∪ B) – C = ( A – C) ∪ ( B – C)

সমাধানঃ
(A ∪ B) – C
= (A ∪ B) – C^C
= (A ∪ C^C) ∪ (B ∪ C^C)
= ( A – C) ∪ ( B – C) (Proved)

12. কোনো ইঞ্জিনিয়ারিং কলেজে 80 জন ছাত্র Computer Science, 75 জন Information Technology এবং 72 জন Electronics -এ পড়ার সুযোগ পায়; যদি 60 জন ছাত্র প্রথম ও দ্বিতীয়, 50 জন ছাত্র দ্বিতীয় ও তৃতীয় এবং 40 জন প্রথম ও তৃতীয় এবং 30 জন তিনটি শাখাতেই পড়ার সুযোগ পেয়ে থাকে তবে কলেজে ছাত্রদের জন্য কতগুলো আসন আছে? (ধরে নাও কলেজে কেবল তিনটি শাখাই আছে)
সমাধানঃ
ধরি, Computer Science- এর ছাত্রদের সেট C;
Information Technology- এর ছাত্রদের সেট I ও
Electronics এর ছাত্রদের সেট যথাক্রমে E.
এখানে, n(C) = 80;
n(I) = 75;
n(E) = 72;
n(C ∩ I) = 60;
n(I ∩ E) = 50;
n(E ∩ C) = 40;
n(C ∩ I ∩ E) = 30;
∴ n(C ∪ I ∪ E)
= n(C) + n(I) + n(E) – n(C ∩ I) – n(I ∩ E) – n(E ∩ C) + n(C ∩ B ∩ E)
= 80 + 75 + 72 – 60 – 50 – 40 + 30
= 227 – 150 + 30
= 107
Ans: কলেজে ছাত্রদের জন্য 107 টি আসন আছে ।

Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1-LA S N Dey Class-XI

13. 100 জন ছাত্রের তথ্যানুসন্ধানে দেখা গেল 50 জন কলেজ লাইব্রেরীর পুস্তক ব্যবহার করত, 40 জনের নিজস্ব পুস্তক ছিল এবং 30 জন ধার করা পুস্তক ব্যবহার করত ; 20 জন লাইব্রেরীর পুস্তক ব্যবহার করত ও তাদের নিজস্ব পুস্তক ছিল, 15 নিজস্ব পুস্তক ও ধার করা পুস্তক ব্যবহার করত এবং 10 জন কলেজ লাইব্রেরীর পুস্তক ও ধার করা পুস্তকব্যবহার করত। প্রত্যেক ছাত্র কলেজ লাইব্রেরীর পুস্তক অথবা নিজস্ব পুস্তক অথবা ধার করা পুস্তক ব্যবহার করে ধরে তিনটি উৎস থেকেই পুস্তক ব্যবহার করত এমন ছাত্রসংখ্যা নির্ণয় করো।
সমাধানঃ
ধরি, সমগ্র ছাত্রের সেট S;
লাইব্রেরীর পুস্তক ব্যবহারকারী ছাত্রের সেট A;
নিজস্ব পুস্তক অছে এমন ছাত্রের সেট B;
ধার করে পুস্তক ব্যবহার করে এমন ছাত্রের সেট C;
এখানে, n(S) = 100;
n(A) = 50;
n(B) = 40;
n(C) = 30;
n(A ∩ B) = 20;
n(B ∩ C) = 15;
n(A ∩ C) = 10;
∴ n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n( B ∩ C) – n(C ∩ A) + n(A ∩ B ∩ C)
বা, 100 = 50 + 40 + 30 – 20 – 15 – 10 + n(A ∩ B ∩ C)
বা, 100 = 120 – 45 + n(A ∩ B ∩ C)
বা, 100 = 75 + n(A ∩ B ∩ C)
বা, n(A ∩ B ∩ C) = 25
Ans: তিনটি উৎস থেকেই পুস্তক ব্যবহার করত এমন ছাত্রসংখ্যা 25 জন।

14. কোনো কোম্পানি 300 জন ব্যবহারকারীর কোন ধরনের সামগ্রী পছন্দ করে তার তথ্যানুসন্ধান করে। দেখা গেল যে, 226 জন A সামগ্রী, 51 জন B সামগ্রী, 54 জন C সামগ্রী, 21 জন A ও B উভয় সামগ্রী, 54 জনA ও C উভয় সামগ্রী, 39 জন B ও C উভয় সামগ্রী এবং 9 জন তিন ধরনের সামগ্রী পছন্দ করে। প্রমাণ করো যে, তথ্যানুসন্ধানের ফলসমূহ সঠিক নয় (ধরে নাও যে, প্রত্যেক ব্যবহারকারী অন্তত এক ধরনের সামগ্রী পছন্দ করে)।
সমাধানঃ
ধরি, A সামগ্রীর সেট = A;
B সামগ্রীর সেট = B;
C সামগ্রীর সেট = C হলে,
এখানে, n(A) = 226;
n(B) = 51;
n(C) = 54;
n(A ∩ B) = 21;
n(A ∩ C) = 54;
n(B ∩ C) = 39;
n(A ∩ B ∩ C) = 9
∴ ( A ∪ B ∪ C)
= n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(B ∩ C) – n(C ∩ A) + n(A ∩ B ∩ C)
= 226 + 51 + 54 – 21 – 39 – 54 + 9
= 331 – 114 + 9
= 340 – 114
= 226
কিন্তু প্রশ্নানুযায়ী, মোট ব্যবহারকারীর সংখ্যা 300
∴ তথ্যানুসন্ধানের ফলসমূহ সঠিক নয়। (Proved)

Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1-LA S N Dey Class-XI

15. শ্রমিকদের দ্বারা উৎপাদিত 100 টি সামগ্রী পরীক্ষা করে সেন, সরকার ও লাহিড়ী কোম্পানির ম্যানেজার তাঁর বসের কাছে নিম্নলিখিত রিপোর্ট দাখিল করেন: পরিমাপে ত্রুটি 50 টি সামগ্রীতে, রঙে ত্রুটি 30 টিতে, উৎকর্ষে ত্রুটি 23 টিতে, উৎকর্ষে ও রঙে ত্রুটি 10 টিতে, পরিমাপ ও রঙে ত্রুটি 8 টিতে, পরিমাপ ও উৎকর্ষে ত্রুটি 20 টিতে এবং 5 টি সবগুলিতেই ত্রুটিপূর্ণ । দাখিল করা রিপোর্টের জন্য ম্যানেজারকে দন্ড দেওয়া হল। সেট তত্ত্বের প্রয়োগে দন্ড দেওয়ার কারণ ব্যাখ্যা করো।
সমাধানঃ
ধরি, পরিমাপে ত্রুটি রয়েছে এমন সামগ্রীর সেট A,
রঙে ত্রুটি রয়েছে এমন সামগ্রীর সেট B ও
উৎকর্ষে ত্রুটি রয়েছে এমন সামগ্রীর সেট C
এখানে, n(A) = 50;
n(B) = 30;
n(C) = 23;
n(B ∩ C) = 10;
n(A ∩ B) = 8;
n(A ∩ C) = 20;
n(A ∩ B ∩ C) = 5;
∴ মোট সামগ্রী
= n(A ∪ B ∪ C)
= n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(B ∩ C) – n(A ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)
= 50 + 30 + 23 – 8 – 10 – 20 + 5
= 103 – 38 +5
= 70
শর্তানুযায়ী মোট সামগ্রী সংখ্যা 100;
∴ দাখিল করা রিপোর্টের সাথে মোট সামগ্রীর পরিমাণ অভিন্ন নয়।
তাই ভুল রিপোর্টের জন্য ম্যানেজারকে দন্ড দেওয়া হল।

16. কোন শহরে তিনটি দৈনিক সংবাদপত্র X, Y, Z প্রকাশিত হয়।ঐ শহরের 65% লোক X পত্রিকা ,54% Y পত্রিকা, 45% Z পত্রিকা পড়ে; 38% লোক X ও Y; 32% Y ও Z; 28% X ও Z পত্রিকা পড়ে এবং 12% লোক এই তিন পত্রিকার কোনটাই পড়ে না। যদি শহরের মোট লোকসংখ্যা 1000000 জন হয়, তবে শহরের কত জন লোক তিনটি পত্রিকাই পড়ে তা নির্ণয় করো।
সমাধানঃ
ধরি মোট পাঠকের সংখ্যা 100 জন। আরও ধরি P, Q এবং R হল X, Y, Z সংবাদপত্র পাঠকের সেট।
∴ n(P) = 65% ;
n(Q) = 54% ;
n(R) = 45%;
n(P∩Q) = 38%;
n(Q∩R) = 32%;
n(R∩P) = 28%;
n(P^C∩Q^C∩R^C) = 12%;
∴ তিনটি সংবাদপত্র পড়ে এমন পাঠকের সংখ্যা = n(P∩Q∩R) এখন,n(P^C∩Q^C∩R^C) = n(P∪Q∪R)^C
বা, 12 = n(S) – n(P∪Q∪R)
বা, 12 = 100 – n(P∪Q∪R)
বা, n(P∪Q∪R) = 88
বা, n(P) + n(Q) + n(R) – n(P∩Q) – n(Q∩R) – n(R∩P) + n(P∩Q∩R) = 88
বা, 65 + 54 + 45 – 38 – 32 – 28 + n(P∩Q∩R) = 88
বা, 164 – 98 + n(P∩Q∩R) = 88
বা, 66 + n(P∩Q∩R) = 88
বা, n(P∩Q∩R) = 88 – 66
বা, n(P∩Q∩R) = 22
100 জন পাঠক হলে সব পত্রিকা পড়ে 22 জন
∴ 100,0000 জন পাঠক হলে সব পত্রিকা পড়ে 22×10000 জন = 220000 জন
Ans: শহরের 220000 জন লোক তিনটি পত্রিকাই পড়ে।

Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1-LA S N Dey Class-XI

17. কোনো কলেজের 1000 জন ছাত্রের মধ্যে 540 জন ফুটবল, 465 জন ক্রিকেট এবং 370 জন ভলিবল খেলে; মোট ছাত্রসংখ্যার 325 জন ফুটবল ও ক্রিকেট, 260 জন ফুটবল ও ভলিবল, 235 জন ক্রিকেট ও ভলিবল এবং 125 জন প্রতিটি গেম খেলে। কতজন ছাত্র- (i) কোনো গেম খেলে না (ii) কেবল একটি গেম খেলে এবং (iii) ঠিক দুটি গেম খেলে?
সমাধানঃ
ধরি , কলেজের সমস্ত ছাত্রের সেট = S,
ফুটবল খেলা ছাত্রের সেট F,
ক্রিকেট খেলা ছাত্রের সেট C ও
ভলিবল খেলা ছাত্রের সেট V
এখানে, n(S) = 1000;
n(F) = 540;
n(C) = 465;
n(V) = 370;
n(F ∩ C) = 325;
n(F ∩ V) = 260;
n(C ∩ V) = 235;
n(F ∩ C ∩ V) = 125;
∴ n( F ∪ C ∪ V)
= n(F) + n(C) + n(V) – n(F ∩ C) – n(F ∩ V) – n(C ∩ V) + n(F ∩ C ∩ V)
= 540 + 465 + 370 – 325 – 260 – 235 + 125
= 1375 – 820 + 125
= 1500 – 820
= 680
(i) কোনো গেম খেলে না এমন ছাত্রের সংখ্যা
= n(F^C ∩ C^C ∩ V^C)
= n( F ∪ C ∪ V)^C
= n(S) – n( F ∪ C ∪ V)
= 1000 – 680
= 320
(ii) শুধু ফুটবল খেলে এমন ছাত্রের সংখ্যা,
= n(F ∩ C^C ∩ V^C)
= n(F) – n(F ∩ C) – n(F ∩ V) + n(F ∩ C ∩ V)
= 540 – 325 – 260 + 125
= 80
শুধু ক্রিকেট খেলে এমন ছাত্রের সংখ্যা,
= n(C ∩ F^C ∩ V^C)
= n(C) – n(C ∩ F) – n(C ∩ V) + n(F ∩ C ∩ V)
= 465 – 325 – 235 + 125
= 590 – 560
= 30
শুধু ভলিবল খেলে এমন ছাত্রের সংখ্যা,
= n(V ∩ F^C ∩ C^C)
= n(V) – n(V ∩ F) – n(C ∩ V) + n(F ∩ C ∩ V)
= 370 – 235 – 260 + 125
= 495 – 495
= 0
∴কেবল একটি গেম খেলে এমন ছাত্রের সংখ্যা,
= n(F ∩ C^C ∩ V^C) + n(C ∩ F^C ∩ V^C) + n(V ∩ F^C ∩ C^C)
= 80 +30 + 0
= 110
(iii) ঠিক দুটি গেম খেলে এমন ছাত্রের সংখ্যা,
= n(F ∩ V) +n(C ∩ V) +n(F ∩ V) – 3 x n(F ∩ C ∩ V)
= 325 + 235 + 260 -3 x 125
= 820 – 375
= 445
Ans: (i) কোনো গেম খেলে 320 জন;
(ii) কেবল একটি গেম খেলে 110 জন; এবং
(iii) ঠিক দুটি গেম খেলে 445 জন।

18. একটি দলে কয়েক্জন ছাত্র অছে এবং দলের প্রত্যেকে বাংলা, হিন্দি ও ইংরেজি ভাষার মধ্যে কমপক্ষে একটি বলতে পারে। 65 জন ছাত্র বাংলা, 54 জন হিন্দি এবং 37 জন ইংরেজি ভাষায় কথা বলতে পারে; 31 জন বাংলা ও হিন্দি, 17 জন হিন্দি ও ইংরেজি এবং 18 জন বাংলা ও ইংরেজি উভয় ভাষায় কথা বলতে পারে। দলের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম ছাত্রসংখ্যা নির্ণয় করো।
সমাধানঃ
ধরি, বাংলায় কথা বলতে পারা ছাত্রের সেট B,
হিন্দিতে কথা বলতে পারা ছাত্রের সেট H এবং
ইংরেজীতে কথা বলতে পারা ছাত্রের সেট E;
এখানে, n( B) = 65 ;
n( H) = 54 ;
n( E) = 37 ;
n( B ∩ H) =31;
n( H ∩ E) = 17
; n( B ∩ E) = 18
n( B ∪ H ∪ E)
= n( B) + n( H) + n( E) – n( B ∩ H) – n( H ∩ E) – n( E ∩ B) + n( B ∩ H ∩ E) = 65 + 54 + 37 – 31 – 17 – 18 + n( B ∩ H ∩ E)
= 90 + n( B ∩ H ∩ E)
এখন, n ( B ∪ H ∪ E) -এর মান ক্ষুদ্রতম হবে, যদি n( B ∩ H ∩ E) = 0 হয়।
∴ n( A ∪ H ∪ E) -এর ক্ষুদ্রতম মান
= 90 + 0
= 90
n( B ∪ H ∪ E) -এর মান বৃহত্তম হবে, যদি n( B ∩ H ∩ E) = 0-এর মান বৃহত্তম হয়।
এখন, n( A ∪ H ∪ E) -এর বৃহত্তম মান
= { n( B ∩ H) , n( H ∩ E) , n( E ∩ B) } -এর মধ্যে ক্ষুদ্রতম
= {31, 17, 18 } -এর মধ্যে ক্ষুদ্রতম
= 17
Ans: দলের বৃহত্তম ছাত্রসংখ্যা = 90 + 17 = 107 ও
ক্ষুদ্রতম ছাত্রসংখ্যা = 90

Utube_comptech_home — দশম শ্রেণীর **ভৌত** বিজ্ঞান এবং **জীবন** বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন

Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1-LA S N Dey Class-XI

19. সেট প্রক্রিয়া প্রয়োগে প্রমাণ করো যে, 231 ও 260 সংখ্যা দুটি পরস্পর মৌলিক ।

সমাধানঃ
ধরা যাক, 231 ও 260 সংখ্যা দুটির গুনণীয়কের সেট যথাক্রমে A ও B।
∴ A = { 1, 3, 7, 11, 21, 33, 77, 231 },
B = { 1, 2, 4, 5, 10, 13, 20, 26, 52, 65, 130, 260 }
∴ A ∩ B = { 1, 3, 7, 11, 21, 33, 77, 231 } ∩ { 1, 2, 4, 5, 10, 13, 20, 26, 52, 65, 130, 260 }
= {1}
∴ 231, 260 সংখ্যা দুটি পরস্পর মৌলিক। (Proved)

Q NO 20

20. মনে করো, A₁, A₂, ….., A₃₀ এই 30 টি সেটের প্রত্যেকটিতে পাঁচটি করে এবং B₁, B₂ …..Bn এই n-সংখ্যক সেটের প্রত্যেকটিতে তিনটি করে পদ আছে।
ধরো, A₁ ∪ A₂∪….. ∪ A₃₀ = B₁ ∪ B₂ ∪ ….. ∪ Bn = S; মনে করো, S-এর প্রত্যেকটি পদ ঠিক দশটি A সেটে এবং নয়টি B সেটে আছে। n-এর মান নির্ণয় করো।
সমাধানঃ
S = A₁ ∪ A₂ ∪….. ∪ A₃₀ ;
A₁, A₂, ….., A₃₀ এই সেটের প্রত্যেকটিতে 5 টি করে পদ আছে।
∴ 30 টিতে মোট পদ আছে
= 30 × 5
= 150 টি।
আবার, S সেটের প্রতিটি পদ 10 টি A সেটের মধ্যে আছে।
∴ S সেটের পদসংখ্যা
= 150 ÷ 10
= 15
S = B₁ ∪ B₂ ∪ ….. ∪ Bn
B₁, B₂ …..Bn এই সেটের প্রত্যেকটিতে 3 টি করে পদ আছে।
∴ n টিতে মোট পদ আছে
= n × 3 টি
= 3n টি।
আবার, S সেটের প্রতিটি পদ 9 টি B সেটের মধ্যে আছে।
∴ S সেটের পদসংখ্যা
= 3n ÷ 9
= n ÷ 3
প্রশ্নানুযায়ী,
n ÷ 3 = 15
⇒ n = 45
Ans: n-এর মান 45

Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1-LA S N Dey Class-XI
দীর্ঘ উত্তরধর্মী

21. একটি সভার 100 জন লোকের মধ্যে 29 জন ভারতীয় মহিলা এবং 23 জন ভারতীয় পুরুষ। এই ভারতীয়দের মধ্যে 4 জন ডাক্তার এবং 24 জন হয় পুরুষ নয়তো ডাক্তার। সভায় কোনো বিদেশী ডাক্তার নেই। সভায় কতজন বিদেশী ছিলেন? সভায় মহিলা ডাক্তারের সংখ্যাই বা কত? সমাধানঃ
ধরি,ভারতীয় মহিলার সেট = F,
ভারতীয় পুরুষের সেট = M, এবং
ভারতীয় ডাক্তারের সেট = D।
∴ মোট ভারতীয়ের সংখ্যা
= n (F) + n (M)
= 29 + 23
= 52
মোট বিদেশীর সংখ্যা
= 100 – 52
= 48
এখানে, n (D) = 4,
n ( M ∪ D) = 24
আবার, n ( M ∩ D)
= n ( M) + n ( D) – n ( M ∪ D)
= 23 + 4 – 24
= 3
Ans: সভায় বিদেশী ছিলেন 48 জন এবং
মহিলা ডাক্তারের সংখ্যা = 4 – 3 = 1 জন

22. যদি দুটি সেট A এবং B-এর 99 টি সাধারণ পদ থাকে তবে দেখাও যে, A×B এবং B×A-এর সাধারণ পদ সংখ্যা 99²টি।
সমাধান:
(AxB) ∩ (B×A)
= n((A∩B)×(B∩A))
= n(A∩B) × n(B∩A)
= 99 × 99
= 99² (Proved)

Chapter-3

Chapter-6

June 2, 2023

বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্যঃকষে দেখি – 7.1
বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্যঃকষে দেখি – 7.1
মাধ্যমিক গণিত প্রকাশ সমাধান – কষে দেখি – 7.1 || Class – X Koshe Dekhi – 7.1
(Theorems related to Angles in a Circle)
বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্যঃ কষে দেখি – 7.1
(Theorems related to Angles in a Circle)
প্রয়োজনীয় উপপাদ্য এবং তথ্যসমূহ
✴️ পরিধিস্থ কোণ: কোনো বৃত্তের যেকোনো বৃত্তচাপ পরিধির উপর যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে বৃত্তস্থ কোণ বা পরিধিস্থ কোণ বলে।
▶️ কোন নির্দিষ্ট বৃত্তচাপ দ্বারা উৎপন্ন বৃত্তস্থ কোণ বা পরিধিস্থ কোণের সংখ্যা অসংখ্য।
▶️ কোন নির্দিষ্ট বৃত্তচাপ দ্বারা উৎপন্ন সকল পরিধিস্থ বা বৃত্তস্থ কোণের মান সমান হয়।

✴️ কেন্দ্রস্থ কোণ: কোনো বৃত্তের কোনো বৃত্তচাপ বৃত্তের কেন্দ্রে যে সন্মুখ কোণ উৎপন্ন করে তাকে কেন্দ্রস্থ কোণ বলে।

নিচের চিত্রে BPC বৃত্তচাপের উপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ হল ∠BOC এবং পরিধিস্থ কোণ হল ∠BAC;
নিচের চিত্রে BPC বৃত্তচাপের উপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ হল ∠BOC এবং পরিধিস্থ কোণ হল ∠BAC;
▶️ একটি নির্দিষ্ট বৃত্তচাপ দ্বারা দুটি এবং কেবল মাত্র দুটি কেন্দ্রস্থ কোণ অঙ্কন করা সম্ভব যার একটা অবশ্যই প্রবৃদ্ধ কোণ হবে।
▶️ যেকোনো বৃত্তের সমস্ত পরীক্ষা পরিধি দ্বারা উৎপন্ন কেন্দ্রস্থ কোণ 360° এবং অর্ধপরিধি দ্বারা উৎপন্ন কেন্দ্রস্থ কোণের মান হয় 180°।
✴️ বৃত্তস্থ কোণের সঙ্গে কেন্দ্রস্থ কোণের সম্পর্ক:✴️
একই বৃত্তচাপ দ্বারা উৎপন্ন বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক হয়।
▶️ একই বৃত্তাপের উপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ বা পরিধিস্থ কোণের দ্বিগুণ
হয়।
▶️ কোনো বৃত্তের একই বৃত্তাংশস্থ কোণগুলির মান সমান।
▶️ একই বৃত্তচাপের উপর বৃত্তস্থ বা পরিধিস্থ কোণ x° হলে, কেন্দ্রস্থ কোন হবে
2x°
▶️ বৃত্তের একই চাপের উপর অবস্থিত কোণ কেন্দ্রস্থ কোণ x° হলে,পরিধিস্থ
কোন হবে ^x/₂°;
▶️ একই বৃত্তচাপের উপর অবস্থিত দুটি পরিধিস্থ কোন x° ও y° হলে,
x° = y° হবে
1. ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AB = AC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজটির পরিকেন্দ্র O এবং BC বাহুর যেদিকে A বিন্দু অবস্থিত তার বিপরীত পার্শ্বে কেন্দ্র O অবস্থিত। ∠BOC = 100° হলে ∠ABC ও ∠ABO-এর মান হিসাব করে লিখি।

সমাধান:
△BOC থেকে পাই,
OB=OC – – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
∴ ∠OBC = ∠OCB
প্রদত্ত ∠BOC = 100°
∴ ∠OBC + ∠OCB = 180° – 100°
= 80°
∴ ∠OBC = ∠OCB
= ^80°/₂
= 40°
আবার,
প্রবৃদ্ধ ∠BOC = 360° – ∠BOC
= 360° – 100°
= 260°
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের BPC বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ প্রবৃদ্ধ ∠BOC ও বৃত্তস্থ কোণ ∠BAC
∴ প্রবৃদ্ধ ∠BOC = 2∠BAC
বা, 2∠BAC = 260°
বা, ∠BAC = ^260°/₂
= 130°
আবার △ABC থেকে পাই,
AB = BC
∴ ∠ABC = ∠ACB
∵ ∠BAC = 130°
∴ ∠ABC = ∠ACB
= ^{(180°−130°)}/₂
= ^50°/₂
=25°
∴ ∠ABO = ∠ABC + ∠OBC
= 25° + 40° = 65°
Ans: ∠ABC এর মান 25° এবং
∠ABO এর মান 65°।
Madhyamik Previous Year (2017 – 2024) MATHEMATICS Question with complete solution|
বিগত বছরের (2017 – 2024) মাধ্যমিক গণিত প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নীচের BUTTON-এ CLICK করো|
CLICK
2. পাশের চিত্রে ΔABC-এর পরিবৃত্তের কেন্দ্র O এবং ∠AOC = 110°: ∠ABC-এর মান হিসাব করে লিখি ।

সমাধান:
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের APC বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ প্রবৃদ্ধ ∠AOC ও বৃত্তস্থ কোণ ∠ABC।
∴ প্রবৃদ্ধ ∠AOC = 2∠ABC
আবার, ∠AOC = 360° – প্রবৃদ্ধ∠AOC
= 360° – 110°
= 250°
∴ ∠ABC = ½ × ∠AOC
= ½ × 250°
= 125°
Ans: ∠ABC –এর মান 125°।
3. O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। DC বাহুকে P বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো। ∠BCP = 108° হলে, ∠BOD-এর মান হিসাব করে লিখি।

সমাধান:
∠এখানে, ∠BCP = 108°
∴ ∠BCD = 180° – 108°
= 72°
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের DAB বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOD এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠BCD।
∴ ∠BOD = 2×∠BCD
বা, ∠BOD = 2 × 72°
= 144°
Ans: ∠BOD –এর মান 144°।
দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নিচের BUTTON-এ ক্লিক করো।
CLICK
বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্যঃকষে দেখি – 7.1
(Theorems related to Angles in a Circle)
4. পাশের চিত্রে O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ∠AOD = 40° এবং ∠ACB = 35° ; ∠BCO ও ∠BOD-এর মান হিসাব করে লিখি ও উত্তরের সপক্ষে যুক্তি দিই।

সমাধান:
প্রদত্ত ∠AOD = 40° এবং ∠ACB = 35°
একই বৃত্তচাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ ∠DOA এবং পরিধিস্থ কোণ ∠DCA
∴ ∠DOA = 2 × ∠DCA
বা, ∠DCA = ½ × ∠DOA
= ½ X 40°
⇒ 20°
∴ ∠BCO = ∠DCA+ ∠ACB
⇒ 20° + 35°
= 55°
আবার, AB বৃত্তচাপের ওপর ∠AOB কেন্দ্ৰস্থ কোণ এবং ∠ACB পরিধিস্থ কোণ
∴ ∠AOB = 2 × ∠ACB
= 2 × 35°
= 70°
∠BOD = ∠AOB + ∠AOD
= 70° + 40°
= 110
Ans: ∠BCO = 55° এবং
∠BOD = 110°
5. পাশের চিত্রের O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ∠APB = 80° হলে, ∠AOB ও ∠COD-এর মানের সমষ্টি নির্ণয় করি ও উত্তরের সপক্ষে যুক্তি দিই।

সমাধান:
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠AOB ও বৃত্তস্থ কোণ ∠ACB
∴ ∠AOB = 2∠ACB
আবার, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের CD বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠COD ও বৃত্তস্থ কোণ ∠DBC
∴ ∠COD = 2∠DBC
∴ ∠AOB + ∠COD
= 2∠ACB + 2∠DBC
= 2(∠ACB + ∠DBC)
⇒ 2(∠PCB + ∠PBC) – – – (1
△PBC এর বহিঃস্থ কোণ ∠APB
∴ ∠PCB + ∠PBC = ∠APB
বা, ∠PCB + ∠PBC = 80° – – – [∵ ∠APB = 80°]
(1) নং থেকে পাই,
∠AOB + ∠COD = 2 × 80°
= 160°
Ans: ∠AOB ও ∠COD-এর মানের সমষ্টি 160°
২০০ টি গুরুত্বপূর্ণ আবিষ্কার ও আবিষ্কারক CLICK HERE
6. পাশের ছবির মতো C ও D কেন্দ্রবিশিষ্ট দুটি বৃত্ত অঙ্কন করেছি যারা পরস্পরকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে। A বিন্দুগামী একটি সরলরেখা অঙ্কন করেছি যা C কেন্দ্রীয় বৃত্তকে P বিন্দুতে এবং D কেন্দ্রীয় বৃত্তকে Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে,
(i) ∠PBQ = ∠CAD
(ii) ∠BPC = ∠BQD

সমাধানঃ
স্বীকারঃ C ও D কেন্দ্রীয় বৃত্তদ্বয় A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে। A বিন্দুগামী সরলরেখা C ও D কেন্দ্রীয় বৃত্তদ্বয়কে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয়ঃ
(i) ∠PBQ = ∠CAD
(ii) ∠BPC = ∠BQD
অঙ্কনঃ C, B ও B, D যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ C কেন্দ্রীয় বৃত্তের PA বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠PCA ও বৃত্তস্থ কোণ ∠PBA।
∴ ∠PCA = 2∠PBA – – – (1)- – [∵ একই বৃত্তচাপের ওপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ পরিধিস্থ কোণের দ্বিগুন]
আবার, D কেন্দ্রীয় বৃত্তের AQ বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠ADQ ও বৃত্তস্থ কোণ ∠ABQ
∴ ∠ADQ = 2∠ABQ – – – (2)
(1) নং ও (2) নং থেকে পাই,
∠PCA + ∠ADQ
= 2∠PBA + 2∠ABQ
= 2(∠PBA + ∠AQB)
⇒ ∠PCA + ∠ADQ
= 2∠PBQ – – – (3)
△APC –এর ক্ষেত্রে,
∠APC = ∠PAC – – – [∵ CP = CA]
∵ ∠PCA + ∠APC + ∠PAC = 180°
বা, ∠PCA + 2∠PAC = 180°
বা, ∠PCA = 180° – 2∠PAC – – – (3)
অনুরূপে, △ADQ –এর ক্ষেত্রে,
∠ADQ = 180° – 2∠DAQ – – – (4)
(3) + (4) করে পাই,
∠PCA + ∠ADQ = 180° – 2∠PAC + 180 – 2∠DAQ
বা, 2∠PBQ = 360° – 2(∠PAC + ∠DAQ) – – – [(3) থেকে পাই]
বা, 2∠PBQ = {2(180° – (∠PAC + ∠DAQ)}
⇒, ∠PBQ = (180° – (∠PAC + ∠DAQ)
বা, ∠PBQ = ∠CAD [Proved]
আবার, △ACB –এর
CA = CB – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ ∠CAB = ∠CBA
অনুরূপে, △ADB –এর ক্ষেত্রে,
∠DAB = ∠DBA
∴ ∠CAB + ∠DAB = ∠CBA + ∠DBA
বা, ∠CAD = ∠ABD
কিন্তু, ∠CAD = ∠PBQ – – [পূর্বে প্রমাণিত]
∴ ∠CAD = ∠PBQ
আবার, ∠PBD – ∠CAD = ∠PBD – ∠PBQ
বা, ∠PBC = ∠DBQ
∴ ∠BPC = ∠BQD [Proved]
7.ABC ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র O; প্রমাণ করি যে, ∠OBC + ∠BAC = 90^o

সমাধানঃ
স্বীকারঃ ABC ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র O।
প্রামাণ্য বিষয়ঃ ∠OBC + ∠BAC = 90°
অঙ্কনঃ O, B ও O, C যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের BC বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOC ও বৃত্তস্থ কোণ ∠BAC।
∴ ∠BOC = 2∠BAC – – [∵ একই বৃত্তচাপের ওপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ পরিধিস্থ কোণের দ্বিগুন]
△BOC থেকে পাই,
BO = OC – – – [∵একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ ∠OBC = ∠OCB
আবার, ∠BOC + ∠OBC + ∠OCB = 180°
বা, 2∠BAC + 2∠OBC = 180°
∴ ∠OBC + ∠BAC = 90° [Proved]
8. দুটি সমান বৃত্ত একটি অপরটির কেন্দ্রগামী এবং বৃত্তদুটি পরস্পরকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে। A বিন্দুগামী সরলরেখা বৃত্ত দুটিকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করলে, প্রমাণ করি যে, ΔBCD সমবাহু ত্রিভুজ।

সমাধানঃ
স্বীকারঃ P ও Q কেন্দ্রীয় দুটি সমান বৃত্ত একটি অপরটির কেন্দ্রগামী। বৃত্তদুটি A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে এবং A বিন্দুগামী সরলরেখা বৃত্তদ্বয়কে যথাক্রমে C ও D বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয়ঃ BCD সমবাহু ত্রিভুজ।
অঙ্কনঃ A,P ; P,B ; B,Q ; A,Q এবং P, Q যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ △APQ এর
AP = PQ = AQ – – [ ∵ বৃত্ত দুটি সমান সুতরাং তাদের ব্যাসার্ধও সমান ]
∴ △APQসমবাহু ত্রিভুজ
∴ ∠APQ = ∠AQP = 60°
অনুরূপে, △BPQ সমবাহু ত্রিভুজ ।
∴∠BPQ = ∠BQP = 60°
∴ ∠APB = ∠APQ + ∠BPQ
= 60° +60°
= 120°
অনুরূপে, ∠AQB = 120°
AQB বৃত্তচাপের ওপর ∠APB কেন্দ্ৰস্থ কোণ এবং ∠ACB পরিধিস্থ কোণ
∴ ∠ACB = ½ × ∠APB
= ½ × 120°
= 60°
আবার APB বৃত্তচাপের ওপর ∠AQB কেন্দ্ৰস্থ কোণ এবং ∠ADB পরিধিস্থ কোণ
∴ ∠ADB = ½ × ∠AQB
= ½ × 120°
= 60°
∴ ∠DCB =180° – ∠ACB – ∠ADB
= 180° – 60° – 60°
= 60°
△BCD একটি সমবাহু ত্রিভুজ। [Proved]
দশম শ্রেণির বয়েলের সুত্র (Boyels Law) এর উপর Video Tutorial দেখতে এখানে CLICK করো।
9. ΔABC-এর পরিবৃত্তের কেন্দ্র S এবং AD ⊥ BC হলে, প্রমাণ করি যে ∠BAD = ∠SAC।

সমাধানঃ
স্বীকারঃ ABC ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র S এবং AD⊥BC
প্রামাণ্য বিষয়ঃ ∠BAD = ∠SAC
অঙ্কনঃ S,A ; S,C যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ △SAC এর,
SA = SC – – – [∵ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
∴ ∠SAC = ∠SCA
S কেন্দ্রীয় বৃত্তের AC বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠ASC ও বৃত্তস্থ কোণ ∠ABC
∴ ∠ASC = 2∠ABC
আবার ∠ASC + ∠SAC + ∠SCA = 180°
বা, ∠ASC + 2∠SAC = 180°
বা, 2∠SAC = 180° – ∠ASC
⇒ ∠SAC = 90° – ½ ∠ASC
বা, ∠SAC = 90° – ½ ×2∠ABC – – – [∵ ∠ASC = 2∠ABC]
বা, ∠SAC = 90° – ∠ABC – – – (1)
ABD সমকোণী ত্রিভুজের,
∠BAD = 90° – ∠ABD
= 90° – ∠ABC – – – (2)
(1) নং ও (2) নং থেকে পাই,
∠SAC = ∠BAD [Proved]
10. O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের দুটি জ্যা AB ও CD পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, ∠AOD + ∠BOC = 2∠BPC
যদি ∠AOD ও ∠BOC পরস্পর সম্পূরক হয়, তাহলে প্রমাণ করি যে, জ্যা দুটি পরস্পর লম্ব।

সমাধানঃ
স্বীকারঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ও CD জ্যা পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রামাণ্য বিষয়ঃ
O, D; O, B যুক্ত করা হল।
∠AOD + ∠BOC = 2∠BPC
অঙ্কনঃ B, D যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AD বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠AOD ও বৃত্তস্থ কোণ ∠ABD,
∴ ∠AOD = 2∠ABD – – – (1)
আবার O কেন্দ্রীয় বৃত্তের BC বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOC ও বৃত্তস্থ কোণ ∠BDC
∴ ∠BOC = 2∠BDC – – – (2)
△BDP –এর,
বহিঃস্থ কোণ ∠BPC = ∠PBD + ∠BDP – – [ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ অন্তস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান]
(1) + (2) করে পাই,
∴ ∠AOD + ∠BOC
= 2∠ABD + 2∠BDC
⇒ 2(∠ABD + ∠BDC)
= 2(∠PBD + ∠BDP)
= 2∠BPC
∴ ∠AOD + ∠BOC = 2∠BPC [Proved]
যদি ∠AOD ও ∠BOC পরস্পর সম্পূরক হয়,
তবে ∠AOD + ∠BOC = 180° হয়
∴ 2∠BPC = 180°
বা, ∠BPC = 90°
∴ জ্যা দুটি পরস্পর লম্ব। [Proved]
11. O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের AB ও CD দুটি জ্যা-কে বর্ধিত করলে তারা পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করলে, প্রমাণ করি যে, ∠AOC – ∠BOD = 2∠BPC

সমাধানঃ
স্বীকারঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ও CD জ্যা দুটিকে বর্ধিত করলে P বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রামাণ্য বিষয়ঃ ∠AOC – ∠BOD = 2∠BPC
অঙ্কনঃ A,O ; O,C ; B,O ; B,C ; O,D যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AC বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠AOC এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠ABC
∴ ∠ABC = ½∠AOC – – – (1) [∵ একই বৃত্তচাপের ওপর অবস্থিত পরিধিস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক ]
△BPC –এর,
বহিঃস্থ কোণ ∠ABC = ∠BPC + ∠BCP – – – (2)- – [ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ অন্তস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান]
(1) নং ও (2) নং থেকে পাই,
½∠AOC = ∠BPC + ∠BCP
∴ ∠AOC = 2∠BPC + 2∠BCP – – – (3)
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের BD বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOD এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠BCD
∴∠BOD = 2∠BCD
∴ ∠BOD = 2∠BCP – – – (4)
(3) নং-এ 2∠BCP = ∠BOD বসিয়ে পাই,
∠AOC = 2∠BPC + ∠BOD
বা, ∠AOC – ∠BOD = 2∠BPC [Proved]
12. ABCD চতুর্ভুজের A বিন্দুকে কেন্দ্র করে একটি বৃত্ত অঙ্কন করা হলো যেটি B, C ও D বিন্দু দিয়ে যায়।প্রমাণ করি যে, ∠CBD + ∠CDB = ¹/₂ ∠BAD

সমাধানঃ
স্বীকারঃ A কেন্দ্রীয় বৃত্ত ABCD চতুর্ভুজের B, C, D বিন্দুগামী বৃত্ত ।
B, D যুক্ত করা হল।
প্রামাণ্য বিষয়ঃ
∠CBD + ∠CDB = ¹/₂ ∠BAD
অঙ্কনঃ বৃত্তের পরিধির উপর একটি বিন্দু নেওয়া হল। B,P এবং D, P যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ △BCD থেকে পাই,
∠CBD + ∠CDB + ∠BCD = 180°
বা, ∠BCD = 180° – (∠CBD + ∠CDB) – – – (1)
আবার ∠BCD + ∠BPD = 180° – – – [বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয় সম্পূরক হয়।]
বা, ∠BCD = 180° – ∠BPD – – – (2)
(1) নং ও (2) নং থেকে পাই,
180° – (∠CBD + ∠CDB) = 180° – ∠BPD
বা, ∠CBD + ∠CDB = ∠BPD – – – (3)
BCD বৃত্তচাপের ওপর অবস্থিত ∠BPD পরিধিস্থ কোণ এবং ∠BAD কেন্দ্রস্থ কোণ।
∴ ∠BPD = ¹/₂∠BAD – – – (4) [∵ একই বৃত্তচাপের ওপর অবস্থিত পরিধিস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক ]
(3) নং ও (4) নং থেকে পাই,
বা, ∠CBD + ∠CDB = ¹/₂∠BAD [Proved]
13. ΔABC-এর পরিকেন্দ্র O এবং OD, BC বাহুর উপর লম্ব। প্রমাণ করি যে ∠BOD = ∠BAC

সমাধানঃ
স্বীকারঃ △ABC –এর পরিকেন্দ্র O এবং OD, BC বাহুর উপর লম্ব।
প্রামাণ্য বিষয়ঃ ∠BOD = ∠BAC
অঙ্কনঃ O,B ; O,C যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের BPC বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOC ও বৃত্তস্থ কোণ ∠BAC
∴ ∠BOC = 2∠BAC – – – (1)
△BOD ও △COD থেকে পাই,
BO = CO – – – [ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
OD সাধারণ বাহু।
∠ODB = ∠ODC – – – [∵ OD⊥BC]
∴ △BOD ≅ △COD
অর্থাৎ ∠BOD = ∠COD – – – [অনুরূপ কোণ]
∴ ∠BOC = ∠BOD + ∠COD
বা, ∠BOC = 2∠BOD – – – (2)
(1) নং ও (2) নং থেকে পাই,
2∠BOD = 2∠BAC
বা, ∠BOD = ∠BAC [Proved]
বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্যঃকষে দেখি – 7.1
(Theorems related to Angles in a Circle)
14. অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.) :
H
(i) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং PQ ব্যাস হলে, x এর মান (a) 140 (b) 40 (c) 80 (d) 20

Ans: (d) 20
[O কেন্দ্রীয় বৃত্তের
কেন্দ্রস্থ কোণ ∠ROQ
= 180° – 140°
= 40°
∴ বৃত্তস্থ কোণ ∠RSQ
= ½ ∠ROQ
⇒ ½ × 40°
= 20°
∴ x = 20]
(ii) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র হলে, x এর মান (a) 70 (b) 60 (c) 40 (d) 200

Ans: (a) 70
[∠QOR = 360° – (140° + 80°)
= 360° – 220°
= 140°
∴ ∠QPR = ¹/₂ ∠QOR
= ¹/₂ × 140°
= 70°
∴ x = 70]
(iii) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং BC ব্যাস হলে, x এর মান (a) 60 (b) 50 (c) 100 (d) 80

Ans: (b) 50
[Δ AOB এর OB = OA – – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ ∠OAB = ∠OBA
= 50°
∴ ∠AOC = ∠OAB + ∠OBA
= 50° + 50° – – – [ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ অন্তস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান]
= 100°
কেন্দ্রস্থ কোণ ∠AOC = 100°
∴ বৃত্তস্থ কোণ ∠ADC
= ¹/₂ ∠AOC
⇒ ¹/₂ × 100°
= 50°]
(iv) ABC ত্রিভুজের O পরিকেন্দ্র। ∠OAB = 50° হলে, ∠ACB-এর মান (a) 50° (b) 100° (c) 40° (d) 80°

Ans: (c) 40°
[ΔOAB এর AO = OB – – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ ∠OAB = ∠OBA = 50°
∴ ∠AOB = 180° – (50° + 50°)
= 180° – 100°
= 80°
এখানে, কেন্দ্রস্থ কোণ ∠AOB = 80°
∴ বৃত্তস্থ কোণ ∠ACB
= ¹/₂ ∠AOB
⇒ ¹/₂ × 80°
= 40°]
(v) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র হলে, ∠POR-এর মান (a) 20° (b) 40° (c) 60° (d) 80°

Ans: (c) 60°
[△POQ –এর
OP = OQ – – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ ∠OPQ = ∠OQP = 10°
∴ ∠POQ = 180° – (10° + 10°)
= 180° – 20°
= 160°
আবার, △ROQ –এর,
OR = OQ – – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ ∠ORQ = ∠OQR = 40°
∴ ∠ROQ = 180° – (40° + 40°)
= 180° – 80°
= 100°
∴ ∠POR = ∠POQ – ∠ROQ
= 160° – 100°
= 60°]
বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্যঃকষে দেখি – 7.1
সত্য বা মিথ্যা / শূন্যস্থান পূরণ
(B) সত্য বা মিথ্যা লিখি :
(i) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র হলে,

∠AOB=2∠ACD
Ans: মিথ্যা,
[কারণ AB এবং AD দুটি বৃত্তচাপ অভিন্ন নয়।]

(ii) ABC ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ভিতর O বিন্দু এমনভাবে অবস্থিত যে OA = OB এবং ∠AOB=2∠ACB. O বিন্দুকে কেন্দ্র করে OA দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্ত অঙ্কন করলে C বিন্দু বৃত্তের উপর অবস্থিত হবে।
Ans: সত্য।
[∠AOB = 2∠ACB
চিত্রানুযায়ী,
∠AOB কেন্দ্ৰস্থ কোণ এবং ∠ACB পরিধিস্থ কোণ।
আবার কোণদ্বয় একই বৃত্তচাপ AB-এর ওপর অবস্থিত ।
সুতরাং C বিন্দু বৃত্তের পরিধির ওপর অবস্থিত।
C বিন্দু বৃত্তের ওপর অবস্থিত হবে ।]
(C) শূন্যস্থান পূরণ করি :
(i) একই চাপের দ্বারা গঠিত সন্মুখ বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের __________ ।
Ans: অর্ধেক

(ii) O কেন্দ্রীয় বৃত্তে AB ও AC জ্যা দুটির দৈর্ঘ্য সমান। ∠APB ও ∠AQC বৃত্তস্থ কোণ হলে, কোণ দুটির মান __________ ।
Ans: সমান

(iii) একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিবৃত্তের কেন্দ্র 0 হলে, যে-কোনো একটি বাহু দ্বারা উৎপন্ন সম্মুখ কেন্দ্রস্থ কোণের মান __________ ।
Ans: 120°
দশম শ্রেণীর জীবন বিজ্ঞান অসম্পূর্ণ প্রকটতা/ Incomplete Dominance
বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্যঃকষে দেখি – 7.1
(Theorems related to Angles in a Circle)
13.সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র। ∠OAB = 40^o, ∠ABC = 120^o, ∠BCO=y^o এবং ∠COA = x^o হলে,
x ও y-এর মান নির্ণয় করি
সমাধানঃ APC বৃত্তচাপের ওপর.
কেন্দ্ৰস্থ কোণ প্রবৃদ্ধ ∠AOC এবং পরিধিস্থ কোণ ∠ABC
∴ ∠ABC = ½ প্ৰবিদ্ধ ∠AOC – – – [∵ একই বৃত্তচাপের ওপর অবস্থিত পরিধিস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক ]
∴ 120° = ½(360° – x)
বা, 240° = 360° – x
বা, x = 360° – 240°
∴ x = 120°
∴ y = 360° – (40°+120° +120°)- – – [∵ চতুর্ভুজের চারটি কোণের সমষ্টি 360°]
= 360° – 280°
= 80°
Ans: x-এর মান 120° ও
y-এর মান y 80°
(ii) ABC ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র O এবং D বিন্দু BC বাহুর মধ্যবিন্দু। ∠BAC = 40^o হলে, ∠BOD-এর মান নির্ণয় করি।

সমাধান: O,B ;O,D ; O,C যুক্ত করা হল ।
BC বৃত্তচাপের ওপর পরিধিস্থ কোণ ∠BAC এবং কেন্দ্ৰস্থ কোণ ∠BOC
∴ ∠BOC = 2∠BAC
=2 × 40° = 80°
ΔBOD ও ΔCOD এর ক্ষেত্রে,
BD=DC – – – [∵ D,BC এর মধ্যবিন্দু ]
OB = OC – – – [ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
OD সাধারণ বাহু
∴ বাহু-বাহু-বাহু শর্তানুসারে,
ΔBOD ≅ ΔCOD
∴ ∠BOD = ∠COD
আবার ∠BOC = 80°
∴∠BOD = ∠COD
=40°
Ans: ∠BOD-এর মান 40°
(iii) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের উপর A, B, C তিনটি বিন্দু এমনভাবে অবস্থিত যে AOCB একটি সামান্তরিক।

∠AOC-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
∠AOC = ∠ABC – – – [সামান্তরিকের বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সমান হয়।]
= 180°
ABC বৃত্তচাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ প্রবৃদ্ধ কোণ ∠AOC এবং পরিধিস্থ কোণ ∠ABC
∴ প্রবৃদ্ধ কোণ ∠AOC = 2 ×∠ABC – – – [∵ কেন্দ্রস্থ কোণ পরিধিস্থ কোণের দ্বিগুন হয়]
আবার,
প্রবৃদ্ধ কোণ ∠AOC + ∠AOC = 360°
বা, 2 ×∠ABC + ∠AOC = 360°
বা, 2 ×∠AOC + ∠AOC = 360°
⇒ 3∠AOC = 360°
বা, ∠AOC = 120°
Ans: ∠AOC-এর মান 120°
(iv) ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পরিবৃত্তের কেন্দ্র 0 এবং ∠ABC = 120° ;

বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি.হলে, AB বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
O,A ; O,B ; O,C যুক্ত করা হল।
Δ AOB ও ΔCOB এর মধ্যে
OA = OC – – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
AB = BC – – – [সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের বাহু]
OB সাধারন বাহু
∴ Δ AOB ≅ ΔCOB
∠OBA = ∠OAB – – – [অনুরূপ কোণ]
∴ ∠OBA = ½ ∠ABC – – – {∠ABC = 120°]
= ½ × 120°
= 60°
∠OAB =∠OBA – – – [∵OA = OB]
= 60°
∴ ∠AOB = 180° – 60° -60°
= 60°
∴ Δ AOB একটি সমবাহু ত্রিভুজ।
∴ AB = OA = 5 সেমি
Ans: AB বাহুর দৈর্ঘ্য 5 সেমি
(v) A ও B কেন্দ্রীয় বৃত্তদ্বয় C এবং D বিন্দুতে ছেদ করে। A কেন্দ্রীয় বৃত্তের উপর অপর বৃত্তের কেন্দ্র B অবস্থিত।

∠CQD = 70° হলে, ∠CPD-এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
BC ও BD যুক্ত করা হল।
প্রদত্ত ∠CQD = 70°
B কেন্দ্রীয় বৃত্তের CD বৃত্তচাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ ∠CBD এবং পরিধিস্থ কোণ ∠CQD
∴ ∠CBD = 2 ×∠CQD – – – [∵ কেন্দ্রস্থ কোণ পরিধিস্থ কোণের দ্বিগুন হয়]
= 2 × 70°
= 140°
আবার,
∠CPD + ∠CBD = 180° – – – [∵ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয় সম্পূরক হয়]
বা, ∠CPD + 140° = 180°
বা, ∠CPD = 40°
Ans: ∠CPD-এর মান 40°
Madhyamik Question
MP-2017
▶️ (ii) △ABC-এর পরিকেন্দ্র O এবং OD ⊥ BC; প্রমাণ করো যে, ∠BOD = ∠BAC
VIEW ANSER
PREVIOUS
NEXT
Madhyamik -26 Mathematics Solution

Madhyamik -25 Mathematics Solution

কষে দেখি 26.4 দশম শ্রেণী রাশিবিজ্ঞান সংখ্যাগুরুমান

কষে দেখি 26.3 দশম শ্রেণী রাশিবিজ্ঞান: ওজাইভ

কষে দেখি 26.2 দশম শ্রেণী রাশিবিজ্ঞান মধ্যমা

Koshe Dekhi 24 Class 10|পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

কষে দেখি 25 দশম শ্রেণী | ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ: উচ্চতা ও দূরত্ব

Solution of Koshe dekhi 22

Solution of Koshe dekhi 21

KOSHE DEKHI 17 সম্পাদ্য বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন

ত্রিভুজের অন্তর্বৃত্ত অঙ্কন কষে দেখি 11.2

Koshe Dekhi 18-4 Class 10 সদৃশতা

Koshe Dekhi 18-3 Class 10 সদৃশতা

Koshe Dekhi 18.2 Class X Similarity সদৃশতা

Koshe Dekhi 23.3 Class 10 | ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি কষে দেখি- ২৩.৩

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি কষে দেখি- 23.2 Class-X

Complete Solution of MP-24 Mathematics

Complete Solution of MP-20 Mathematics

Complete Solution of MP-19 Mathematics

Complete Solution of MP-18 Mathematics
May 24, 2023

Author: TEAM PROSTUTI

Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1-LA S N Dey Class-XI

Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1 (LA) S N Dey Class-XI

সেট তত্ত্ব SET THEORYদীর্ঘ উত্তরধর্মী (LA)

সেট তত্ত্ব SET THEORY ∴ ∵

Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1-LA S N Dey Class-XI

Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1বহু বিকল্প উত্তরধর্মী (MCQ) দেখতে এখানে CLICK করো।

সেটতত্ত্ব || SN Dey Class-XI Free Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1

S N DEY CLASS XI সেটতত্ত্ব তত্ত্বের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নীচে CLICK করো ।

Q NO – 8

Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী (VSA) দেখতে এখানে CLICK করো।

Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী (SA) দেখতে এখানে CLICK করো।

Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1-LA S N Dey Class-XI

Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1-LA S N Dey Class-XI

Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1-LA S N Dey Class-XI

Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1-LA S N Dey Class-XI

19. সেট প্রক্রিয়া প্রয়োগে প্রমাণ করো যে, 231 ও 260 সংখ্যা দুটি পরস্পর মৌলিক ।

Q NO 20

Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1-LA S N Dey Class-XIদীর্ঘ উত্তরধর্মী

বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্যঃকষে দেখি – 7.1

বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্যঃ কষে দেখি – 7.1(Theorems related to Angles in a Circle)

নিচের চিত্রে BPC বৃত্তচাপের উপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ হল ∠BOC এবং পরিধিস্থ কোণ হল ∠BAC;

2. পাশের চিত্রে ΔABC-এর পরিবৃত্তের কেন্দ্র O এবং ∠AOC = 110°: ∠ABC-এর মান হিসাব করে লিখি ।

দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নিচের BUTTON-এ ক্লিক করো।

বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্যঃকষে দেখি – 7.1

4. পাশের চিত্রে O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ∠AOD = 40° এবং ∠ACB = 35° ; ∠BCO ও ∠BOD-এর মান হিসাব করে লিখি ও উত্তরের সপক্ষে যুক্তি দিই।

5. পাশের চিত্রের O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ∠APB = 80° হলে, ∠AOB ও ∠COD-এর মানের সমষ্টি নির্ণয় করি ও উত্তরের সপক্ষে যুক্তি দিই।

7.ABC ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র O; প্রমাণ করি যে, ∠OBC + ∠BAC = 90o

9. ΔABC-এর পরিবৃত্তের কেন্দ্র S এবং AD ⊥ BC হলে, প্রমাণ করি যে ∠BAD = ∠SAC।

13. ΔABC-এর পরিকেন্দ্র O এবং OD, BC বাহুর উপর লম্ব। প্রমাণ করি যে ∠BOD = ∠BAC

বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্যঃকষে দেখি – 7.1(Theorems related to Angles in a Circle)

14. অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.) (A) বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.) :

H

বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্যঃকষে দেখি – 7.1সত্য বা মিথ্যা / শূন্যস্থান পূরণ

বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্যঃকষে দেখি – 7.1(Theorems related to Angles in a Circle)

13.সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

(i) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র। ∠OAB = 40o, ∠ABC = 120o, ∠BCO=yo এবং ∠COA = xo হলে, x ও y-এর মান নির্ণয় করি

(ii) ABC ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র O এবং D বিন্দু BC বাহুর মধ্যবিন্দু। ∠BAC = 40o হলে, ∠BOD-এর মান নির্ণয় করি।

(iii) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের উপর A, B, C তিনটি বিন্দু এমনভাবে অবস্থিত যে AOCB একটি সামান্তরিক।

Madhyamik Question

MP-2017

সেট তত্ত্ব SET THEORY
দীর্ঘ উত্তরধর্মী (LA)

Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1
বহু বিকল্প উত্তরধর্মী (MCQ) দেখতে এখানে CLICK করো।

Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1
অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী (VSA) দেখতে এখানে CLICK করো।

Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1
সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী (SA) দেখতে এখানে CLICK করো।

Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1-LA S N Dey Class-XI
দীর্ঘ উত্তরধর্মী

বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্যঃ কষে দেখি – 7.1
(Theorems related to Angles in a Circle)

7.ABC ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র O; প্রমাণ করি যে, ∠OBC + ∠BAC = 90^o

বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্যঃকষে দেখি – 7.1
(Theorems related to Angles in a Circle)

14. অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.) :

বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্যঃকষে দেখি – 7.1
সত্য বা মিথ্যা / শূন্যস্থান পূরণ

বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্যঃকষে দেখি – 7.1
(Theorems related to Angles in a Circle)

(i) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র। ∠OAB = 40^o, ∠ABC = 120^o, ∠BCO=y^o এবং ∠COA = x^o হলে,
x ও y-এর মান নির্ণয় করি

(ii) ABC ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র O এবং D বিন্দু BC বাহুর মধ্যবিন্দু। ∠BAC = 40^o হলে, ∠BOD-এর মান নির্ণয় করি।