PROSTUTI

Author: TEAM PROSTUTI

  • বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৭.২ RELATED TO ANGLES IN A CIRCLE

    বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৭.২ RELATED TO ANGLES IN A CIRCLE

    বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৭.২
    RELATED TO ANGLES IN A CIRCLE

    বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৭.২
    || RELATED TO ANGLES IN A CIRCLE || KOSHE DEKHI 7.2 || দশম শ্রেণি গণিত প্রকাশ || CLASS X GANIT PRAKASH

    কষে দেখি ৭.২

    (a) একই বৃত্তচাপের উপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ (বা পরিধিস্থ) কোণের দ্বিগুণ। 
    (b) কোনো বৃত্তের একই বৃত্তাংশ কোণগুলির মান সমান।
    (c) অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ।

    (d)  যদি দুটি বিন্দুর সংযোজক রেখাংশ তার একই পাশে অবস্থিত অপর দুটি বিন্দুতে দুটি সমান কোণ উৎপন্ন করে, তবে ঐ বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ হবে।
    (e) সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজকে ব্যাস করে অঙ্কিত বৃত্ত সমকৌণিক বিন্দুগামী।
    (f) সমন্ধিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুর যে-কোনো একটিকে ব্যাস করে অঙ্কিত বৃত্ত ভূমিকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

    1. পাশের ছবিতে ∠DBA = 40°; ∠BAC = 60° এবং ∠CAD = 20° ; ∠DCA ও ∠BCA-এর মান নির্ণয় করি। ∠BAD ও ∠DCB-এর মানের সমষ্টি কত হবে হিসাব করে দেখি।

    D A C B

    সমাধানঃ প্রদত্ত ∠DBA = 40°;
    ∠BAC = 60° এবং
    ∠CAD = 20°
    ∴ ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD
    = 60° + 20°
    = 80°
    AD বৃত্তচাপের উপর বৃত্তস্থ কোণ ∠DBA ও ∠ACD।
    ∴ ∠ACD = ∠DBA
    = 40°
    ∴ ∠ADB = 180° – (∠BAD + ∠DBA)
    = 180° – (80° + 40°)
    ⇒ 180° – 120°
    = 60°
    আবার, বৃত্তচাপ AB দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ ∠ADB ও ∠BCA।
    ∴ ∠BCA = ∠ADB
    = 60°
    ∴ ∠DCB = ∠DCA + ∠BCA
    = 40° + 60°
    = 100°
    ∴ ∠BAD + ∠DCB
    = 80° + 100°
    = 180°
    ∠BAD ও ∠DCB-এর মানের সমষ্টি 180°

    বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৭.২

    2. পাশের চিত্রে AOB বৃত্তের ব্যাস এবং O বৃত্তের কেন্দ্র। OC ব্যাসার্ধ AB-এর উপর লম্ব। যদি উপচাপ CB-এর উপর কোনো বিন্দু P হয়, তবে ∠BAC ও ∠APC-এর মান হিসাব করে লিখি।

    O P A C B

    সমাধানঃ O কেন্দ্রীয়  বৃত্তের CB বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠COB এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠BAC।
    ∴ 2∠BAC = ∠COB
    বা, ∠BAC = ½∠COB
    = ½ × 90° – – -[∵ OC⟂AB]
    = 45°
    △ACB থেকে পাই,
    AC = BC – – – [ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
    ∴ ∠BAC = ∠CBA
    = (180° – 90°)/2
    = 90°/2 = 45°
    ∴ ∠APC = ∠CBA – – – [AC বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ ∠CBA ও ∠APC]
    = 45°
    Ans: ∠BAC এর মান 45° ও
    ∠APC –এর মান 45° ।

    Madhyamik Previous Year (2017 – 2024) MATHEMATICS Question with complete solution|
    বিগত বছরের (2017 – 2024) মাধ্যমিক গণিত প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নীচের BUTTON-এ CLICK করো|

    CLICK

    3. ABC ত্রিভুজের O লম্ববিন্দু এবং BC-এর উপর অঙ্কিত লম্ব AD-কে বর্ধিত করলে △ABC-এর পরিবৃত্তকে G বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, OD = DG

    O D A E C B G

    স্বীকারঃ ABC ত্রিভুজের O লম্ববিন্দু এবং BC -এর উপর লম্ব AD -কে বর্ধিত করায় তা △ABC –এর পরিবৃত্তকে G বিন্দুতে ছেদ করে।
    প্রামাণ্য বিষয়ঃ OD = DG
    অঙ্কনঃ B, O যুক্ত করে বর্ধিত করা হল যা AC কে E বিন্দুতে ছেদ করে। B, G যুক্ত করা হল।
    প্রমাণঃ ∵ AD⟂BC
    ∴ ∠ODC = 90°
    আবার, BE⟂AC
    ∴ ∠OEC = 90°
    ∴ ∠ODC + ∠OEC
    = 90° + 90°
    = 180°
    ∴ DOEC একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
    ∴ বহিঃস্থ ∠BOD = বিপরীত অন্তস্থ ∠ECD
    O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ ∠ACB ও ∠AGB
    ∴ ∠ACB = ∠AGB
    বা, ∠ECD = ∠DGB
    আবার, ∠ECD = ∠BOD
    ∴ ∠BOD = ∠DGB
    △BDG ও △BDO থেকে পাই,
    ∠BOD = ∠BGD
    ∠BDO = ∠BDG – – – [ প্রত্যেকে এক সমকোণ]
    BD সাধারণ বাহু
    ∴ △BDG ≅ △BDO
    ∴ OD = DG [প্রমাণিত]

    4. △ABC-এর অন্তবৃত্তের কেন্দ্র I; বর্ধিত AI ত্রিভুজের পরিবৃত্তকে P বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, PB = PC = PI

    A I C B P

    স্বীকারঃ △ABC –এর অন্তবৃত্তের কেন্দ্র ।; বর্ধিত AI পরিবৃত্তকে P বিন্দুতে ছেদ করে ।
    প্রামাণ্য বিষয়ঃ PB = PC = PI
    অঙ্কনঃ AI, BI, CI, PB এবং PC অঙ্কন করা হল ।
    প্রমাণঃ ।, ABC ত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্র ।
    ∠A, ∠B ও ∠C এর সমদ্বিখণ্ডক যথাক্রমে AI, BI ও CI ;
    ∠PBC = ∠PAC – – – [ একই বৃত্যাংশস্থ কোণ ]
    আবার, ∠PAC= ½∠BAC – – – [ ∵ AI, ∠BAC এর সমদ্বিখণ্ডক ]
    ∠PBC = ½∠BAC
    এখন, ∠IBP = ∠IBC + ∠PBC
    বা, ∠IBP = ½∠ABC + ½∠BAC – – – (i)
    ∠ABI এর বহিঃস্থ কোণ ∠BIP এবং
    ∴ ∠BIP = ∠IBA+ ∠IAB – – – [ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ, অন্তঃস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান]
    = ½∠ABC + ½∠BAC – – – (ii)
    (i) ও (ii) থেকে পাই,
    ∠IBP= ∠BIP
    △BIP এর,
    ∠IBP= ∠BIP
    ∴ PI=PB – – – (iii)
    অনুরূপে, △CIP থেকে প্রমাণ করা যায়,
    PC = PI – – – (iv)
    (iii) ও (iv) থেকে পাই,
    PI = PB = PC
    ∴ PB = PC = PI [প্রমাণিত]

    বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৭.২

    দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নিচের BUTTON-এ ক্লিক করো।

    CLICK

    5. তিমির দুটি বৃত্ত এঁকেছে যারা পরস্পরকে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। P বিন্দু দিয়ে দুটি সরলরেখা টানলাম যারা একটি বৃত্তকে A, B বিন্দুতে এবং অপর বৃত্তকে যথাক্রমে C, D বিন্দুতে ছেদ করল। প্রমাণ করি যে ∠AQC = ∠BQD

    A D C B P Q X Y

    স্বীকারঃ অঙ্কনঃ X ও Y কেন্দ্রীয় দুটি বৃত্ত পরস্পরকে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। P বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত দুটি সরলরেখা X কেন্দ্রীয় বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে এবং Y কেন্দ্রীয় বৃত্তকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করেছে।
    প্রামাণ্য বিষয়ঃ ∠AQC = ∠BQD
    প্রমাণঃ X কেন্দ্রীয় বৃত্তের,
    ∠PAQ = ∠PBQ – – – [একই বৃত্যাংশস্থ কোণ]
    আবার, Y কেন্দ্রীয় বৃত্তের,
    ∠PCQ = ∠PDQ – – – [একই বৃত্যাংশস্থ কোণ]
    △AQC এর ক্ষেত্রে
    ∠AQC = 180° – (∠PAQ+∠PCQ)
    = 180° – (∠PBQ + ∠PDQ) – – – [ ∵ ∠PAQ = ∠PBQ; ∠PCQ = ∠PDQ ]
    = ∠BQD
    ∠AQC = ∠BQD [প্রমাণিত]

    পশ্চিমবঙ্গের দীর্ঘতম,বৃহত্তম,উচ্চতম Largest of West Bengal CLICK HERE

    6. একটি বৃত্তের AB ও CD জ্যা দুটি পরস্পর লম্ব। AB ও CD জ্যা দুটির ছেদবিন্দু P থেকে AD-এর উপর অঙ্কিত লম্বকে বর্ধিত করলে সেটি BC-কে E বিন্দুতে ছেদ করে, তবে প্রমাণ করি যে, E, BC-এর মধ্যবিন্দু।

    E F A D C B P

    স্বীকারঃ AB ও CD লম্ব দুটি জ্যা পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে। P বিন্দু থেকে AD -এর উপর লম্বকে বর্ধিত করলে BC বাহুকে E বিন্দুতে ছেদ করে।
    প্রামাণ্য বিষয়ঃ E, BC বাহুর মধ্যবিন্দু।
    প্রমাণঃ △FPD সমকোণী ত্রিভুজের,
    ∠FPD + ∠FDP = 90°
    আবার, △APD সমকোণী ত্রিভুজের,
    ∠FAP + ∠FDP = 90°
    ∴ ∠FPD + ∠FDP = ∠FAP + ∠FDP
    বা, ∠FPD = ∠FAP – – – (i)
    অনুরূপে,
    ∠FPA = ∠FDP – – – (ii)
    AC বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ ∠ADC ও ∠ABC
    ∴ ∠ADC = ∠ABC
    বা, ∠FDP = ∠PBE – – – (iii)
    DB বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ ∠DAB ও ∠DCB
    ∴ ∠DAB = ∠DCB
    ∠BPE = বিপ্রতীপ কোণ ∠APF
    = ∠FDP – – [(ii) নং থেকে পাই]
    = ∠PBE – – [(iii) নং থেকে পাই]
    △PEB ত্রিভুজের,
    ∠BPE = ∠PBE
    ∴ PE = BE
    অনুরূপে △PCE ত্রিভুজ থেকে প্রমাণ করা যায়,
    PE = CE
    ∴ BE = CE
    ∴ E, BC –এর মধ্যবিন্দু। [প্রমাণিত]

    7. যদি ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের AB = DC হয়, তবে প্রমাণ করি যে AC = BD হবে।

    A B C D O

    স্বীকারঃ ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের AB = DC
    প্রামাণ্য বিষয়ঃ AC = BD
    অঙ্কনঃ A, C; B, D যুক্ত করা হল যা পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে।
    প্রমাণঃ একই বৃত্তচাপ BC দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ ∠BAC ও ∠BDC
    ∴ ∠BAC = ∠BDC
    বা, ∠BAO = ∠ODC
    আবার, AD বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ ∠ABD ও ∠ACD
    ∴ ∠ABD = ∠ACD
    বা, ∠ABO = ∠OCD
    △AOB ও △COD থেকে পাই,
    ∠ABO = ∠OCD
    ∠BAO = ∠ODC
    AB = DC – – – [স্বীকার]
    ∴ △AOB ≅ △COD
    ∴ AO = OD – – -[অনুরূপ বাহু]
    OC = OB – – -[অনুরূপ বাহু]
    ∴ AC = AO + OC
    = OD + OB
    = BD
    ∴ AC = BD [প্রমাণিত]

    বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৭.২

    8. O কেন্দ্রীয় বৃত্তে OA ব্যাসার্ধ এবং AQ একটি জ্যা। বৃত্তের উপর C একটি বিন্দু। O, A, C বিন্দুগামী বৃত্ত AQ জ্যা-কে P বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, CP = PQ

    A C Q O P

    স্বীকারঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তে OA ব্যাসার্ধ এবং AQ একটি জ্যা। বৃত্তের ওপর C যেকোনো একটি বিন্দু । O,A,C বিন্দুগামী বৃত্ত AQ জ্যাকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে ।
    প্রামাণ্য বিষয়ঃ CP = PQ
    অঙ্কনঃ O,C; C,Q; QO যুক্ত করা হল ।
    প্রমাণঃ △OAQ এর
    OA = OQ – – – [ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
    ∴ ∠OAQ = ∠OQA
    বা, ∠PAO = ∠PQO – – – (i)
    আবার, ∠PAO এবং ∠PCO O,A,C বিন্দুগামী বৃত্তের OP চাপের ওপর দুটি বৃত্তস্থ কোণ
    ∴ ∠PAO = ∠PCO – – – (ii)
    (i) নং ও(ii) নং সমীকরণ থেকে পাই,
    ∠PCO = ∠PQO
    △OCQ এর
    OC = OQ – – – [ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
    ∠OCQ = ∠OQC – – – (iii)
    ∵ ∠OCQ = ∠OQC
    ∠OCQ – ∠PCO = ∠OQC – ∠PQO
    বা, ∠PCQ = ∠PQC
    ∴ △PCQ সমবাহু ত্রিভুজ
    ∴ CP = CQ [Proved]

    9. একটি বৃত্তে ABC ত্রিভুজটি অন্তলিখিত। AX, BY এবং CZ যথাক্রমে ∠BAC, ∠ABC ও ∠ACB-এর সমদ্বিখণ্ডক এবং বৃত্তে যথাক্রমে X, Y ও Z বিন্দুতে মিলিত হয়। প্রমাণ করি যে, AX, YZ-এর উপর লম্ব।

    B A C X Y Z O D

    স্বীকারঃ △ABC, O কেন্দ্রীয় বৃত্তে অন্তর্লিখিত যার ∠BAC, ∠ABC, ∠CAB কোণগুলির সমদ্বিখণ্ডকগুলি যথাক্রমে বৃত্তের X, Y, Z বিন্দুতে মিলিত হয়েছে।
    প্রামাণ্য বিষয়ঃ AX⟂YZ
    অঙ্কনঃ XY ও YZ  সমদ্বিখণ্ডক দুটি D মিলিত হয়েছে।
    প্রমাণঃ O ত্রিভুজের অন্তকেন্দ্র।
    △ZOY –এর
    OZ = OY – – – [ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
    ∴ ∠OZY = ∠OYZ
    বা, ∠OZD = ∠OYD
    △ZOP ও △YOP এর ক্ষেত্রে,
    ∠OZD = ∠OYD
    OZ = OY এবং
    OD সাধারণ বাহু।
    ∴ △ZOD ≅ △YOD
    ∴ ∠ODZ = ∠ODY
    DO সরলরেখা YZ সরলরেখার উপর দণ্ডায়মান হয়ে দুটি সমান সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন করেছে।
    ∴ ∠ODZ = ∠ODY
    = 90o
    ∴ OD⟂YZ
    বা, AX⟂YZ [Proved]

    10. একটি বৃত্তে ABC ত্রিভুজটি অন্তলিখিত। ∠BAC, ∠ABC ও ∠ACB-এর সমদ্বিখণ্ডক বৃত্তে যথাক্রমে X, Y ও Z বিন্দুতে মিলিত হয়। প্রমাণ করি যে △XYZ -এর, ∠YXZ = 90o – ½∠BAC

    B A C X Y Z O

    স্বীকারঃ BC ত্রিভুজটি O কেন্দ্রীয় বৃত্তে অন্তর্লিখিত। ∠BAC, ∠ABC, ∠ACB কোণগুলির সমদ্বিখণ্ডকগুলি যথাক্রমে AX, BY এবং CZ;
    প্রামাণ্য বিষয়ঃ ∠YXZ = 90° – ½∠BAC
    প্রমাণঃ AZ এর উপর ∠AXZ এবং ∠ACZ পরিধিস্থ কোণ ।
    ∴ ∠AXZ = ∠ACZ
    = ½∠ACB – – – [CZ, ∠ACB –এর সমদ্বিখণ্ডক]
    আবার, AY এর উপর ∠AXY এবং ∠ABY পরিধিস্থ কোণ ।
    ∴ ∠AXY = ∠ABY
    = ½∠ABC – – – [BY, ∠ABC –এর সমদ্বিখণ্ডক]
    ∴ ∠YXZ = ∠AXZ + ∠AXY
    = ½∠ACB + ½∠ABC
    = ½(∠ACB + ∠ABC)
    ⇒ ½(180o – ∠BAC)
    = 90o – ½∠BAC [Proved]

    বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৭.২

    11. △ABC-এর A বিন্দু থেকে BC বাহুর উপর অঙ্কিত লম্ব BC বাহুকে D বিন্দুতে এবং B বিন্দু থেকে CA বাহুর উপর অঙ্কিত লম্ব CA বাহুকে E বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, A, B, D, E বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ।

    A C B D E

    স্বীকারঃ △ABC –এর
    AD⟂BC, BE⟂AC
    প্রামাণ্য বিষয়ঃ A, B, D, E বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ।
    অঙ্কনঃ D, E যুক্ত করা হল।
    প্রমাণঃ △EBC ও △ADC –এর ক্ষেত্রে
    ∠BEC = ∠ADC = 90° – – – [স্বীকার]
    ∠ECB সাধারণ কোণ
    ∴ ∠EBC = ∠CAD
    অর্থাৎ ∠EBD = ∠EAD
    এখানে DE রেখার একই পার্শ্বে A ও B বিন্দুতে দুটি সমান কোণ ∠EBD এবং ∠EAD উৎপন্ন হয়েছে ।
    ∴ BDEA একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।A, B, D, E বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ। [প্রমাণিত]

    JBNSTS- Junior & Senior Scholarship – How to apply, Syllabus etc. SHOW MORE

    12. অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী (V.S.A.)

    (A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.):

    (i) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র ; ∠ACB = 30o, ∠ABC = 60o, ∠DAB = 35o এবং ∠DBC = xo হলে, x এর মান (a) 35 (b) 70 (c) 65 (d) 55

    A C B D O

    Ans: (d) 55
    ]প্রদত্ত ∠ACB = 30o, ∠ABC = 60o,
    ∠DAB = 35o
    ∠ADB = ∠ACB – – – [একই বৃত্তচাপ AB দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ]
    = 30°
    ∠BAC অর্ধবৃত্তস্থ কোণ
    ∴ ∠BAC = = 90o
    ∠DAC = ∠BAC – ∠DAB
    = 90o – 35o
    = 55o
    ∠DBC এবং ∠DAC একই বৃত্তচাপ CD দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ।
    ∴ ∠DBC = ∠DAC
    = 55o = x]

    (ii) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র। ∠BAD = 65o, ∠BDC = 45o হলে, ∠CBD-এর মান(a) 65o (b) 45o (c) 40o (d) 20o

    A C B D O

    Ans: (d) 20o
    [O কেন্দ্রীয় বৃত্তের BC বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ ∠BAC, ∠BDC∴
    ∠BAC = ∠BDC – – – [একই বৃত্তচাপ BC দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ]
    = 45° – – – [∵ ∠BDC = 45o ]
    ,প্রদত্ত ∠BAC = 65°
    ∠CAD = ∠BAD – ∠BAC
    = 65° – 45°
    = 20°
    O কেন্দ্রীয় বৃত্তের CD বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত ∠CAD ও ∠CBD বৃত্তস্থ কোণ
    ∴ ∠CBD = ∠CAD
    = 20°]

    (iii) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র। ∠AEB = 110o এবং ∠CBE = 30o হলে, ∠ADB এর মান (a) 70o (b) 60o (c) 80o (d) 90o

    A C B D O E

    Ans: (c) 80o
    [প্রদত্ত ∠AEB = 110o এবং ∠CBE = 30o
    ∴ ∠BEC = ∠AEC – ∠AEB
    = 180o – 110o
    = 70o
    আবার
    ∠BCE = 180o – ∠BEC – ∠CBE
    = 180o – 70o – 30o
    ⇒ 180o – 100o
    = 80o
    ∠ADB = ∠ACB – – -[একই বৃত্তচাপ AB দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ]
    = 80°]

    (iv) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র। ∠BCD = 28o, ∠AEC = 38o হলে, ∠AXB-এর মান (a) 56o (b) 86o (c) 38o (d) 28o

    A C B D E O X

    Ans: (b) 86o
    [প্রদত্ত ∠BCD = 28o, ∠AEC = 38o
    ∠BAD = ∠BCD – – – [BD বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ]
    = 28o
    △BCE –এর বহিঃস্থ কোণ
    ∠ABC = ∠BCE + ∠BEC
    = ∠BCD + ∠AEC
    ⇒ 28° + 38°
    = 66°
    ∴ △AXB –এর বহিঃস্থ কোণ
    ∠AXB = 180° – ∠XAB – ∠XBA
    = 180° – 28° – 66°
    ⇒ 180° – 94°
    = 86°]

    (v) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB ব্যাস। AB || CD. ∠ABC = 25o হলে, ∠CED-এর মান (a) 80o (b) 50 o (c ) 25o (d) 40o

    A C B D E O

    Ans: (d) 40o
    [প্রদত্ত ∠ABC = 25o
    A, E ও B, E যুক্ত করা হল।
    ∵AB || CD, এবং BC ছেদক
    ∴ ∠BCD = ∠ABC
    = 25o
    O কেন্দ্রীয় বৃত্তের
    ∠AEC = ∠ABC – – – [AC বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ]
    = 25o এবং
    ∠BED = ∠BCD – – – [BD বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত বৃত্তস্থ কোণ]
    = 25o
    আবার, ∠AEB অর্ধবৃত্তস্থ কোণ
    ∴ ∠AEB = 90o
    ∴ ∠CED = ∠AEB – ∠AEC – ∠BED
    = 90o – 25o – 25o
    = 40o ]

    IMPORTANT PHRASAL VERBS AND FORMS OF VERBS CLICK HERE

    (B) সত্য বা মিথ্যা লিখিঃ

    (i) পাশের চিত্রে AD ও BE যথাক্রমে ABC ত্রিভুজের BC ও AC বাহুর উপর লম্ব। A, B, D, E বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ ।

    A C B D E

    Ans: বিবৃতিটি সত্য।
    [AD ⊥ BC এবং BE ⊥ AC
    ∴ ∠AEB = ∠ADB = 90o
    ∠AEB ও ∠ADB অর্ধবৃত্তস্থ কোণ হলে হবে ঐ বৃত্তের ব্যাস।
    ∴ A, B, D, E বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ।]

    (ii) ABC ত্রিভুজের AB = AC; BE ও CF যথাক্রমে ZABC ও ZACB-এর সমদ্বিখণ্ডক এবং AC ও AB বাহুকে যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করে। B, C, E, F বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ নয়।

    A C B F E

    Ans: বিবৃতিটি মিথ্যা।
    [△ABC এর AB = AC
    ∴ ∠ACB = ∠ABC
    বা, ½ × ∠ACB = ½ × ∠ABC
    বা, ∠BCF = ∠CBE – – – [CF ও BE যথাক্রমে ∠ACB ও ∠ABC -এর সমদ্বিখণ্ডক]
    আবার, △BCF ও △BCE -এর থেকে পাই,
    ∠BCF = ∠CBE
    ∠CBF = ∠BCE
    ∴ অবশিষ্ট ∠BFC = অবশিষ্ট ∠BEC
    অতএব BC বৃত্তটির জ্যা হলে ∠BFC ও ∠BEC কোণ দুটি সমবৃত্তস্থ হবে ।
    সুতরাং, B, C, E, F বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ।]

    (C) শূন্যস্থান পূরণ করিঃ

    (i) একই বৃত্তাংশস্থ বৃত্তস্ত কোণ __________ ।
    Ans:     সমান

    (ii) দুটি বিন্দুর সংযোজক সরলরেখাংশ তার একই পার্শ্বে অপর দুটি বিন্দুতে সমান সম্মুখ কোণ উৎপন্ন করলে বিন্দু চারটি __________ হবে।
    Ans:     সমবৃত্তস্থ

    (iii) একই বৃত্তে দুটি চাপ দ্বারা উৎপন্ন বৃত্তস্থ কোণ দুটি সমান হলে চাপ দুটির দৈর্ঘ্য __________ ।
    Ans:     সমান

    Utube_comptech_home
    দশম শ্রেণীর ভৌত বিজ্ঞান এবং জীবন বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন

    13. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

    (i) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র, AC ব্যাস এবং জ্যা DE ও ব্যাস AC সমান্তরাল। ∠CBD = 60o হলে, ∠CDE-এর মান নির্ণয় করি।

    A C B D E O

    সমাধানঃ
    প্রদত্ত ∠CBD = 60o
    A, B যুক্ত করা হলো।
    ∠ABC = 90o – – – [অর্ধবৃত্তস্থ কোণ]
    ∴ ∠ABD = ∠ABC – ∠CBD
    = 90o – 60o
    = 30o
    আবার, ∠ABD = ∠ACD – – – [একই বৃত্তচাপ AD -এর উপর অবস্থিত]
    ∴ ∠ACD = 30o
    AC || DE এবং CD ভেদক,
    ∴ ∠CDE = ∠ACD
    = 30o
    Ans: ∠CDE-এর মান 30o

    (ii) পাশের চিত্রে ∠PQR-এর সমদ্বিখণ্ডক QS; ∠SQR = 35° এবং ∠PRQ = 32° হলে, ∠QSR-এর মান নির্ণয় করি।

    Q R P S O

    সমাধানঃ
    প্রদত্ত ∠SQR = 35o এবং
    ∠PRQ = 32o
    ∴ ∠PQR = 2×∠SQR – – – [∵∠PQR-এর সমদ্বিখণ্ডক QS]
    = 2×35o.
    = 70o
    △PQR-এর ক্ষেত্রে,
    ∠QPR = 180o – ∠PQR – ∠PRQ
    = 180o – 70o – 32o
    = 180o – 102o = 78o
    একই বৃত্তচাপ QR -এর উপর ∠QSR ও ∠QPR অবস্থিত।
    ∴ ∠QSR = ∠QPR
    = 78o
    Ans: ∠QSR-এর মান 78o

    (iii) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB ব্যাস। AB ও CD পরস্পর লম্ব এবং ∠ADC= 50° ; ∠CAD এর মান নির্ণয় করি।

    A B D C P O

    সমাধানঃ
    ধরি, AB ও CD জ্যা দুটি পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে।
    প্রদত্ত ∠ADC = 50o
    ∠ABC = ∠ADC – – – [একই বৃত্তচাপ AB -এর উপর অবস্থিত]
    = 50o
    ∠ACB = 90o – – – [অর্ধবৃত্তস্থ কোণ]
    △ABC -এর ক্ষেত্রে,
    ∠CAB = 180o – ∠ACB – ∠ABC)
    = 180o – 90o – 50o
    = 180o – 140o = 40o
    ∵ AB ⊥ CD
    ∠APD = 90° △APD – এর -এর ক্ষেত্রে,
    ∠DAP = 180° – ∠APD – ∠ADC
    = 180° – 90° – 50°
    = 180o – 140o = 40o
    ∴ ∠CAD = ∠CAB + ∠DAB
    = 40° + 40°
    = 80°
    Ans: ∠CAD এর মান 80°

    (iv) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB = AC; ∠ABC =32° হলে, ∠BDC-এর মান নির্ণয় করি।

    B C D A O

    সমাধানঃ
    প্রদত্ত ∠ABC = 32o
    △ ABC -এর AB = AC
    ∴ ∠ABC = ∠ACB
    ∴ ∠ACB = 32o
    ∠ADB = ∠ACB
    = 32o – – – [একই বৃত্তচাপ AB -এর উপর অবস্থিত]
    ∠ADC = ∠ABC
    = 32° – – – [একই বৃত্তচাপ AC -এর উপর অবস্থিত]
    ∠BDC = ∠ADC + ∠ADB
    = 32o + 32o.
    = 64o
    Ans: ∠BDC-এর মান 64o

    (v) পাশের চিত্রে BX ও CY যথাক্রমে ∠ABC ও ∠ACB এর সমদ্বিখণ্ডক। AB = AC এবং BY = 4 সেমি হলে, AX-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।

    13. (v) পাশের চিত্রে BX ও CY যথাক্রমে ∠ABC ও ∠ACB এর সমদ্বিখণ্ডক। AB = AC এবং BY = 4 সেমি হলে, AX-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।

    B C Y A X O

    সমাধানঃ
    প্রদত্ত BY = 4 সেমি
    △ABC -এর AB = AC
    ∴ ∠ABC = ∠ACB
    আবার, BX হলো ∠ABC -এর সমদ্বিখণ্ডক।
    ∴ ∠ABC = 2∠ABX – – – (i)
    অনুরূপে, ∠ACB = 2∠BCY – – – (ii)
    ∵ ∠ABC = ∠ACB
    ∴ 2 ∠ABX = 2 ∠BCY
    বা, ∠ABX = ∠BCY
    AX ও BY উপচাপ দুটি দ্বারা গঠিত দুটি বৃত্তস্থ কোণ ∠ABX ও ∠BCY পরপস্পর সমান ।
    ∴ AX = BY
    = 4
    Ans: AX-এর দৈর্ঘ্য 4 সেমি

    Madhyamik Question

    MP-2024

    ▶️ △ABC এর ∠ABC = 90°, AB = 6 সেমি, BC = ৪ সেমি হলে △ABC এর পরিব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত?

    VIEW ANSER

    ▶️ একই বৃত্তাংশস্থ সকল কোণের মান সমান-প্রমাণ করো।

    VIEW ANSER

    MP-2022

    ▶️ AOB বৃত্তের একটি ব্যাস যার কেন্দ্র O, C বৃত্তের উপর একটি বিন্দু। ∠OBC = 60o, হলে ∠OCA -এর মান নির্ণয় করো।

    VIEW ANSER

    MP-2020

    ▶️ প্রমাণ করো, একই বৃত্তাংশস্থ সকল কোণের মাণ সমান।

    VIEW ANSER

    MP-2019


    ▶️ একটি বৃত্তে দুটি জ্যা AB এবং AC পরস্পর লম্ব। AB = 4 সেমি এবং AC = 3 সেমি হলে, বৃত্তটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

    VIEW ANSER

    MP-2017

    ▶️ △ABC এর ∠ABC = 90o, AB = 5 সেমি, BC = 12 সেমি হলে ত্রিভুজটির পরিব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত?

    KOSHE DEKHI 7.1
    KOSHE DEKHI 7.3
  • যে-কোনো কোণ ও সংযুক্ত কোণসমূহের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ (VSA) S N DEY CHAPTER-3

    যে-কোনো কোণ ও সংযুক্ত কোণসমূহের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ (VSA) S N DEY CHAPTER-3

    সংযুক্ত কোণসমূহের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ (VSA)

    যে-কোনো কোণ ও সংযুক্ত কোণসমূহের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ (VSA)
    S N DEY CHAPTER-3

    অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী

    1 মান নির্ণয় করোঃ
    (i) cot660° + tan (-1050°) = cot660° – tan (1050°)

    প্রদত্ত রাশিঃ
    cot660° + tan (-1050°) = cot660° – tan (1050°)
    = cot (7×90° + 30°) – tan(11 x 90° + 60°)
    = – tan30° + cot60°
    = -1/√3 + 1/√3
    = 0
    Ans: নির্ণেয় মান 0

    (ii) sin2120° + cos2150° + tan2120° + cos 180° – tan135°

    প্রদত্ত রাশিঃ
    sin2120° + cos2150° + tan2120° + cos 180° – tan135°
    = sin2(2×90° – 60°) + cos2(2×90°- 30°) + tan2(2×90° – 60°) + cos(2×90° + 0°) – tan(90° + 45°)
    = sin260° + cos230° + tan260° – cos0° – cot45°
    = (√3/2)2 + (√3/2)2 (√3)2 – 1 +1
    = ¾ + ¾ + 3
    = 9/2
    Ans: নির্ণেয় মান 9/2

    (iii) sin420°cos390° – cos(-300°) sin(-330°)

    প্রদত্ত রাশিঃ
    sin420°cos390° – cos(-300°) sin(-330°)
    = sin(4× 90° + 60°) cos (4x 90° + 30°) + cos300° sin330°
    = sin60° cos30° + cos (4× 90° – 60°) sin (4×90° –  30°)
    = sin60°cos30° – cos60° sin30°
    = √3/2 × √3/2 – ½ × ½
    = ¾ – ¼
    = 2/4
    = ½ 
    Ans: নির্ণেয় মান ½

    $$\Large{\mathbf{(iv)\quad cos^{2}\frac{π}{8}+ cos^{2}\frac{3π}{8}+cos^{2}\frac{5π}{8}+cos^{2}\frac{7π}{8}}}$$
    $$\Large{\quad cos^{2}\frac{π}{8}+ cos^{2}\frac{(4-1)π}{8}+cos^{2}\frac{(4+1)π}{8}+cos^{2}\frac{(8-1)π}{8}\\=cos^{2}\frac{π}{8}+ cos^{2}\left(\frac{π}{2}-\frac{π}{8}\right)+cos^{2}\left(\frac{π}{2}+\frac{π}{8}\right)+cos^{2}\left(π-\frac{π}{8}\right)\\=cos^{2}\frac{π}{8}+ sin^{2}\frac{π}{8}+cos^{2}\frac{π}{8}+cos^{2}\frac{π}{8}\\=2(cos^{2}\frac{π}{8}+ sin^{2}\frac{π}{8})\\=2.1=2\\Ans:\quad 2}$$

    (v) cos24° + cos55° + cos 125° + cos 204° + cos 300°

    প্রদত্ত রাশিঃ
    cos24° + cos55° + cos 125° + cos 204° + cos 300°
    = cos24° + cos55° + cos (2.90° – 55°) + cos (2.90° + 24°) + cos (3.90° + 30°)
    = cos24° + cos55° – cos55° – cos24° + sin30°
    = sin30°
    = ½ 
    Ans: নির্ণেয় মান ½

    যে-কোনো কোণ ও সংযুক্ত কোণসমূহের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ (SA) S N DEY CHAPTER-3
    CLICK HERE

    2. যদি θ + ϕ = 60° হয়, তবে দেখাও যে,
    sin(120° – θ) = cos(30° – ϕ)

    ANS:
    ∴ θ + ϕ = 60°
    θ = 60° – ϕ
    L.H.S.
    = sin(120° – 60° + ϕ)
    = sin(60° + ϕ)
    = sin{90 – (30° – ϕ)}
    = cos(30° – ϕ) = RHS (Proved)

    3. প্রমাণ করো:
    (i) sin45°cos65° + sin135°cos115° = 0

    L.H.S.
    = sin45°cos65° + sin135°cos115°
    = sin45°cos65° + sin(2×90° – 45°)cos(2×90° – 65°)
    = sin45°cos65° – sin45°cos65°
    = 0 (R.H.S.) (Proved)

    3. প্রমাণ করো:

    $$\Large{\mathbf{(ii)\quad tan\frac{π}{12}tan\frac{5π}{12}tan\frac{7π}{12}tan\frac{11π}{12}=1}}$$
    $$\Large{LHS\\= tan\frac{π}{12}tan\frac{5π}{12}tan\frac{7π}{12}tan\frac{11π}{12}\\=tan\frac{π}{12}×tan\frac{6π-π}{12}×tan\frac{6π+π}{12}×tan\frac{12π-π}{12}\\=tan\frac{π}{12}×tan\left(\frac{π}{2}-\frac{π}{12}\right)×tan\left(\frac{π}{2}+\frac{π}{12}\right)×tan\left(π-\frac{π}{12}\right)\\=tan\frac{π}{12}×cot\frac{π}{12}×(-cot\frac{π}{2})×(-tan\frac{π}{12})\\=1=RHS(Proved)}$$

    3. প্রমাণ করো:
    (iii) sec(270° – θ)sec(90° – θ) – tan(270° – θ)tan(90° + θ) = -1

    LHS
    = sec(270° – θ)sec(90° – θ) – tan(270° – θ)tan(90° + θ)
    = sec(3×90° – θ)sec(90° – θ) – tan(3×90° – θ)tan(90° + θ)
    = (-secθ)secθ – tanθ(-tanθ)
    = – sec2θ + tan2θ
    = – (sec2θ – tan2θ)
    = – 1 = RHS (Proved)

    3. প্রমাণ করো:
    (iv) cos306° + cos234° + cos162° + cos18° = 0

    LHS
    = cos(3×90° + 36°) + cos(3×90° – 36°) + cos(2×90° – 18°) + cos18°
    = sin36° – sin36° – cos18° + cos18°
    = 0 = RHS (Proved)

    prostuti_home
    দশম শ্রেণীর জীবন বিজ্ঞান অসম্পূর্ণ প্রকটতা/ Incomplete Dominance

    4. tanθ = 5/12 এবং sine ঋণাত্মক হলে cosθ-র মান নির্ণয় করো।
    ANS:

    $$\Large{tanθ = \frac{5}{12}\\\therefore secθ=±\sqrt{1+tan^{2}θ}\\\quad=±\sqrt{1+\left(\frac{5}{12}\right)^2}\\\quad=±\sqrt{1+\frac{25}{144}}\\\quad=±\sqrt{\frac{169}{144}}\\\quad=±\frac{13}{12}\\\therefore cosθ=±\frac{12}{13}}$$∵ tanθ = 5/12 এবং sine ঋণাত্মক, সুতরাং θ তৃতীয় পাদে অবস্থিত। $$\Large{∴ cosθ = -\frac{12}{13} \quad(ANS)}$$

    যে-কোনো কোণ ও সংযুক্ত কোণসমূহের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ (MCQ) S N DEY CHAPTER-3 CLICK HERE
    যে-কোনো কোণ ও সংযুক্ত কোণসমূহের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ (SA) S N DEY CHAPTER-3 CLICK HERE

error: Content is protected !!
Verified by MonsterInsights