PROSTUTI

Author: TEAM PROSTUTI

  • বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্যঃ কষে দেখি – 3.2 দশম শ্রেণি

    বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্যঃ কষে দেখি – 3.2 দশম শ্রেণি

    বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্যঃ কষে দেখি – 3.2 দশম শ্রেণি

    বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্যঃ কষে দেখি – 3.2 দশম শ্রেণি

    ▶️ বৃত্তের সমান দৈর্ঘ্যের জ্যা বৃত্তে সমান দৈর্ঘ্যের চাপ ছিন্ন করে।
    ▶️ বৃত্তের সমান দৈর্ঘ্যের জ্যা বৃত্তের কেন্দ্রে সমান সন্মুখ কোণ উৎপন্ন করে।
    🔅 কোনো বৃত্তের যে সকল জ্যা বৃত্তের কেন্দ্রে সমান সন্মুখ কোণ উৎপন্ন করে তাদের দৈর্ঘ্য সমান হয়।
    ▶️ তিনটি অসমরেখ বিন্দু দিয়ে কেবলমাত্র একটি বৃত্তই আকাঁ সম্ভব।
    ▶️ তিনটি বিন্দু সমরেখ হলে বিন্দু তিনটি দিয়ে কোনো বৃত্তই আকাঁ সম্ভব নয়।

    ✴️ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ: কোনো চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি বৃত্তের উপর অবস্থিত হলে সেই চতুর্ভুজকে বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ বলে।
    ▶️ সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়ামের শীর্ষবিন্দুগুলি সমবৃত্তস্থ হয়।
    ▶️ বৃত্তের কেন্দ্র থেকে জ্যায়ের উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
    ✴️ কোনো বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী প্রতিটি জ্যায়ের দৈর্ঘ্য সমান হয়।
    ▶️ ব্যাস বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা।
    ▶️ পরিধি বৃত্তের বৃহত্তম চাপ।

    1. O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি এবং AB একটি জ্যা-এর দৈর্ঘ্য ৪ সেমি.। O বিন্দু থেকে AB জ্যা-এর দূরত্ব হিসাব করে লিখি।

    A B C O

    O কেন্দ্রীয় বৃত্তের,
    OB = 5 সেমি
    AB = 8 সেমি
    ∴ BC = ½ × AB
    = ½ × 8 সেমি
    = 4 সেমি
    OCB সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
    OC2 + BC2 = OB2
    OC2 = OB2 – BC2
    = 52 – 42
    ⇒ 25 – 16
    ⇒ 9
    ∴ OC = √9
    = 3
    Ans: O বিন্দু থেকে AB জ্যা-এর দূরত্ব 3 সেমি

    2. O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 26 সেমি। O বিন্দু থেকে PQ জ্যা-এর দূরত্ব 5 সেমি । PQ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

    A B P Q S O

    O কেন্দ্রীয় বৃত্তের,
    AB = 26 সেমি
    ∴ OQ = ½ × AB
    = 26/2 সেমি
    = 13 সেমি
    OS = 5 সেমি
    OSQ সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
    OS2 + SQ2 = OQ2
    SQ2 = OQ2 – OS2
    ⇒ (13)2 – 52
    = 169 – 25
    = 144
    ∴ SQ = √144
    = 12
    ∴ PQ = 2 × SQ
    = 2 × 12
    = 24 সেমি
    Ans: PQ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 24 সেমি

    Madhyamik Previous Year (2017 – 2024) MATHEMATICS Question with complete solution|
    বিগত বছরের (2017 – 2024) মাধ্যমিক গণিত প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নীচের BUTTON-এ CLICK করো|

    CLICK

    3. O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের PQ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 4 সেমি এবং O বিন্দু থেকে PQ-এর দূরত্ব 2.1 সেমি.। বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

    P Q S O

    O কেন্দ্রীয় বৃত্তের,
    PQ = 4 সেমি
    OS = 2.1 সেমি
    ∴ SQ = ½ × PQ
    = ½ × 4 = 2 সেমি।
    OSQ সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
    OQ2 = OS2 + SQ2
    ⇒ (2.1)2 + 22
    = 4.41 + 4
    = 8.41
    ∴ OQ = √8.41
    =2.9
    ∴ বৃত্তটির ব্যাস = 2 × OQ
    = 2 × 2.9
    = 5.8 সেমি
    Ans: বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 5.8 সেমি

    Country, Capital and Currency of South America CLICK HERE

    4. O কেন্দ্রীয় বৃত্তে 6 সেমি. ও ৪ সেমি দৈর্ঘ্যের দুটি জ্যা। যদি ছোটো দৈর্ঘ্যের জ্যাটির বৃত্তের কেন্দ্র থেকে দূরত্ব 4 সেমি হয়, তাহলে অপর জ্যাটির কেন্দ্র থেকে দূরত্ব কত তা হিসাব করে লিখি।

    P Q C D A B O

    সমাধানঃ
    O কেন্দ্রীয় বৃত্তের,
    CD = 6 সেমি
    AB = 8 সেমি এবং
    OQ = 4 সেমি
    ∴ QD = ½ × CD
    = ½ × 6 = 3 সেমি।
    ∴ PB = ½ × AB
    = ½ × 8 = 4 সেমি।
    OQD সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
    OD2 = OQ2 + QD2
    = 42 + 32
    ⇒ 16 + 9
    = 25
    ∴ OD = 5
    OPB সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
    OP2 + PB2 = OB2
    বা, OP2 + 42 = 252 – – – [∵ OB=OD]
    ⇒ OP2 = 25 – 16
    বা, OP2 = 9 =(3)2
    ∴ OP = 3
    Ans: অপর জ্যাটির কেন্দ্র থেকে দূরত্ব 3 সেমি।

    5. যদি কোনো বৃত্তের একটি জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 48 সেমি এবং কেন্দ্র থেকে ওই জ্যা-এর দূরত্ব 7 সেমি, হয়, তবে ওই বৃত্তের কেন্দ্র থেকে যে জ্যা-এর দূরত্ব 20 সেমি সেই জ্যা-এর দৈর্ঘ্য কত হবে তা হিসাব করে লিখি।

    P Q C D A B O

    O কেন্দ্রীয় বৃত্তের,
    AB = 48 সেমি
    OP ⟂ AB অঙ্কন করা হল।
    ∴ PB = ½ × AB
    = ½ × 48 = 24 সেমি।
    প্রশ্নানুসারে, OP = 7 সেমি
    OAP সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
    OB2 = PB2 + OP2
    = 242 + 72
    ⇒ 576 + 49
    = 625 = (25)2
    ∴ OB = 25 
    ∴ বৃত্তটির ব্যাসার্ধ = 25 সেমি।
    আবার, O কেন্দ্র থেকে CD জ্যা এর দূরত্ব 20 সেমি।
    ∴ OQ = 20 সেমি।
    OQD সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
    OQ2 + QD2 = OD2
    বা, 202 + QD2 = 252 – – – [∵ OB=OD]
    বা, 400 + QD2 = 625
    ⇒ QD2 = 625 – 400
    বা, QD2 = 225 =(15)2
    ∴ OD = 15
    ∴ CD = 2 × 15 সেমি
    = 30 সেমি
    Ans: নির্নেয় জ্যা –এর দৈর্ঘ্য 30 সেমি।

    6.পাশের O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ছবিতে OP ⊥ AB, AB = 6 সেমি. এবং PC = 2 সেমি হলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

    P C A B O

    চিত্রে AB = 6 সেমি
    OP⟂AB
    ∴ P, AB –এর মধ্যবিন্দু।
    BP = ½ × AB
    =½ × 6 = 3 সেমি
    প্রশ্নানুসারে, PC = 2 সেমি
    ধরি, বৃত্তটির ব্যাসার্ধ = r সেমি।
    OB = OC = r – – – [ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
    ∴ OP = OC – PC
    = (r – 2 ) সেমি
    OPB সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
    PB2 + OP2 = OB2
    ∴ 32 + (r – 2)2 = r2
    বা, 9 + r2 – 4r + 4 = r2
    বা, – 4r = – 13
    ⇒ 4r = 13
    বা, r = 13/4
    বা, r = 3.75
    Ans: বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 3.75 সেমি

    7. একটি সরলরেখা দুটি এককেন্দ্রীয় বৃত্তের একটিকে A ও B বিন্দুতে এবং অপরটিকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করেছে। যুক্তি দিয়ে প্রমাণ করি যে AC = DB

    P C D A B O

    স্বীকারঃ AB সরলরেখা O কেন্দ্রীয় দুটি বৃত্তকে A ও B এবং C ও D বিন্দুতে ছেদ করেছে।
    প্রামাণ্য বিষয়ঃ AC = DB
    অঙ্কনঃ O বিন্দু থেকে AB এর উপর OP লম্ব অঙ্কন করা হল।
    প্রমাণঃ P বিন্দু AB –এর মধ্যবিন্দু – – – [∵ OP ⊥ AB]
    এবং P বিন্দু CD –এর মধ্যবিন্দু। – – – [∵ OP ⊥ CD]
    ∴ AP = BP এবং CP = DP
    ∴ AC = AP – CP
    = BP – DP
    = DB
    ∴ AC = DB (প্রমাণিত)

    Complete Solution of MP-2023 P.Sc CLICK HERE

    8. প্রমাণ করি, কোনো বৃত্তের দুটি পরস্পরছেদি জ্যা পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করতে পারে না, যদি না উভয়েই বৃত্তের ব্যাস হয়।

    P C D A B O

    স্বীকারঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাস নয় এরূপ একটি জ্যা AB এর মধ্যবিন্দু P এবং P বিন্দুগামী অপর একটি জ্যা CD যা বৃত্তের ব্যাস নয়।
    প্রামাণ্য বিষয়ঃ প্রমাণ করতে হবে AB ও CD জ্যা দুটি পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করবে না, যদি না উভয়েই বৃত্তের ব্যাস হয়। অর্থাৎ P, CD –এর মধ্যবিন্দু নয় প্রমাণ করলেই উপপাদ্যটি প্রমাণ হবে।
    অঙ্কনঃ O, P যুক্ত করা হল।
    প্রমাণঃ P, AB এর মধ্যবিন্দু।
    ∴ OP⟂ AB
    যেহেতু, AB ও CD উভয়েই P বিন্দুগামী
    ∴ AB ও CD উভয়েই OP এর উপর P বিন্দুতে লম্ব হতে পারে না।
    ∴ CD, OP –এর উপর লম্ব নয়।
    আবার, যেহেতু কোনো জ্যা –এর মধ্যবিন্দু ও বৃত্তের কেন্দ্র সংযোজক রেখাংশ জ্যা এর উপর লম্ব।
    ∴ P, CD এর মধ্যবিন্দু নয়। 
    কোনো বৃত্তের দুটি পরস্পরছেদি জ্যা পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করতে পারে না, যদি না উভয়েই বৃত্তের ব্যাস হয়। [ প্রমাণিত]

    দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নিচের BUTTON-এ ক্লিক করো।

    CLICK

    9. X ও Y কেন্দ্রবিশিষ্ট দুটি বৃত্ত পরস্পরকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে। XY এর মধ্যবিন্দু S-এর সঙ্গে A বিন্দু যুক্ত করলাম এবং A বিন্দু দিয়ে SA-এর উপর লম্ব অঙ্কন করলাম যা বৃত্ত দুটিকে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করল। প্রমাণ করি যে PA = AQ.

    G S B A P M N QX Y

    স্বীকারঃ X ও Y কেন্দ্রবিশিষ্ট দুটি বৃত্ত পরস্পরকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে। A বিন্দু দিয়ে SA –এর উপর লম্ব PAQ অঙ্কন করা হল। PAQ বৃত্তদ্বয়কে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে।
    প্রামাণ্য বিষয়ঃ PA = AQ
    অঙ্কনঃ XM ⟂ PA এবং YN ⟂ AQ অঙ্কন করা হল।
    XN যুক্ত করা হল যা AS কে G বিন্দুতে ছেদ করে।
    প্রমাণঃ XM, SA এবং YN প্রত্যেকেই PQ –এর উপর লম্ব।
    ∴ XM || SA || YN
    △XYN –এর XY –এর মধ্যবিন্দু S এবং SG || YN
    ∴ G, XN –এর মধ্যবিন্দু
    আবার, △NMX –এর G, XN –এর মধ্যবিন্দু।
    ∴ A বিন্দু MN এর মধ্যবিন্দু
    ∴ MA = NA
    আবার,
    M, AP –এর মধ্যবিন্দু – – – [∵ XM ⟂ AP]
    ∴ MA = ½ PA
    অনুরূপে, NA = ½ AQ
    ∵ MA = NA – – – [পূর্বে প্রমাণিত]
    ∴ ½ PA = ½ AQ
    ∴ PA = AQ [ প্রমাণিত]

    10. O কেন্দ্রীয় বৃত্তের 10 সেমি. ও 24 সেমি দৈর্ঘ্যের দুটি সমাস্তরাল জ্যা AB এবং CD কেন্দ্রের বিপরীত পার্শ্বে অবস্থিত। যদি AB ও CD-জ্যা দুটির মধ্যে দূরত্ব 17 সেমি হয়, তবে হিসাব করে বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য লিখি।

    C D O E F B A

    চিত্রে, AB =10 সেমি.; CD = 24 সেমি.; EF = 17 সেমি.
    ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r সেমি. এবং বৃত্তের কেন্দ্র থেকে AB জ্যা-এর দূরত্ব x সেমি.।
    ∴ OE = x সেমি.
    OF = (17 – x) সেমি. বৃত্তের কেন্দ্র O থেকে AB ও CD এর উপর লম্ব যথাক্রমে OE ও OF;
    ∵ বৃত্তের কেন্দ্র থেকে জ্যায়ের উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
    ∴ AE = ½ × AB
    = ½ × 10 = 5
    এবং CF = ½ × CD
    = ½ × 24 = 12
    ΔOEA এর ক্ষেত্রে,
    OA2 = AE2 + OE2
    = 52 + x2 – – – (i)
    ΔOFC এর ক্ষেত্রে,
    OC2 = CF2 + OF2
    = 122 + (17-x)2
    OA = OC – – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
    OA2 = OC2
    ∴ 52 + x2 = 122 + (17-x)2
    বা, 25 + x2 = 144 + 289 – 34x + x2
    বা, 34x = 433 – 25
    ⇒ 34x = 408
    বা, x = 12
    (i) নং থেকে পাই,
    OA2 = AE2 + OE2
    বা, OA2 = 52 + 122
    ⇒ OA2 = 25 + 144
    বা, OA2 = 169
    ∴ OA = 13
    Ans: বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 13 সেমি।

    11. দুটি বৃত্তের কেন্দ্র P এবং Q: বৃত্ত দুটি A এবং B বিন্দুতে ছেদ করে। A বিন্দু দিয়ে PQ সরলরেখাংশের সমান্তরাল সরলরেখা বৃত্ত দুটিকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, CD =2PQ

    B A C X Y D P Q

    স্বীকারঃ P ও Q কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্ত দুটি পরস্পরকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে। A বিন্দু দিয়ে PQ সরলরেখাংশের সমান্তরাল সরলরেখা বৃত্ত দুটিকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করে।
    প্রামাণ্য বিষয়ঃ CD = 2PQ
    অঙ্কনঃ P ও Q বিন্দু থেকে যথাক্রমে CD এর উপর যথাক্রমে PX ও QY লম্ব অঙ্কন করা হল।
    প্রমাণঃ ∵ PQ ∥ CD
    ∴ PQ ∥ XY
    আবার, PX ⊥ CD এবং QY ⊥ CD
    PX || QY
    PQYX চতুর্ভুজের,
    PQ Il XY, PX Il QY
    ∴ PQYX চতুর্ভুজটি একটি সামান্তরিক।
    XY = PQ
    বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস নয় এরূপ কোনো জ্যা এর উপর লম্ব জ্যাটিকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
    ∴ AX = ½ × AC
    বা, AC = 2AX
    AY = ½ × AD
    বা, AD = 2AY
    ∴ CD = AC + AD
    = 2AX + 2AY
    ⇒ 2(AX + AY)
    = 2XY
    = 2PQ
    CD=2PQ [প্রমাণিত]

    MY OWN TRUE FAMILY Important Questions and Answer CLICK HERE

    12. একটি বৃত্তের AB ও AC জ্যা দুটি সমান। প্রমাণ করি যে, ∠BAC-এর সমদ্বিখণ্ডক কেন্দ্রগামী।

    A B C O P

    স্বীকারঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ও AC জ্যা দুটি সমান।
    প্রামাণ্য বিষয়ঃ ∠BAC এর সমদ্বিখন্ডক O বিন্দুগামী।
    অঙ্কনঃ B ও C যুক্ত করা হল। ∠BAC এর সমদ্বিখন্ডক BC কে P বিন্দুতে ছেদ করেছে।
    প্রমাণঃ ΔABP এবং ΔACP এর মধ্যে
    AB = AC – – – [প্রদত্ত]
    ∠BAP = ∠CAP – – – [∵ AP, ∠BAC এর সমদ্বিখন্ডক]
    AP সাধারণ বাহু
    S-A-S সর্বসমতানুসারে
    ΔABP = ΔACP
    ∠BPA = ∠CPA – – – [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ কোণ]
    BP= CP – – – [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু]
    ∠BPA +∠CPA = 180°
    ∴ ∠BPA = ∠CPA = 90°
    P, BC বাহুর মধ্যবিন্দু এবং AP ⊥ BC
    আবার O কেন্দ্রীয় বৃত্তের BC জ্যা এবং P, BC এর মধ্যবিন্দুএবং AP ⊥ BC
    ∴ AP, O বিন্দুর উপর দিয়ে অবস্থিত।
    ∠BAC এর সমদ্বিখন্ডক O বিন্দুগামী। [প্রমাণিত]

    13. একটি বৃত্তের দুটি পরস্পরচ্ছেদী জ্যা-এর অন্তর্ভূত কোণের সমদ্বিখণ্ডক যদি কেন্দ্রগামী হয়, তাহলে প্রমাণ করি যে, জ্যা দুটি সমান।

    P Q D C O R B A

    স্বীকারঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ও CD জ্যা দুটি পরস্পরকে R বিন্দুতে ছেদ করেছে। OR, ∠ARC এর সমদ্বিখণ্ডক।
    প্রামাণ্য বিষয়ঃ AB=CD
    অঙ্কনঃ O বিন্দু থেকে AB ও CD এর উপর যথাক্রমে OP ও OQ লম্ব অঙ্কন করলাম। O,A এবং O,C যুক্ত করা হল।
    প্রমাণঃ ΔOPR এবং ΔOQR এর মধ্যে
    ∠ORP = ∠ORQ – – – [OR, ∠ARC এর সমদ্বিখণ্ডক]
    ∠OPR = ∠OQR – – – [উভয়েই সমকোণ]
    OR সাধারণ বাহু
    ∴ ΔOPM = ΔOQM – – – [A-A-S সর্বসমতানুসারে]
    ∴ OP = OQ – – – [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু]
    ΔOPA এবং ΔOQC এর মধ্যে
    OP = OQ
    ∠OPA = ∠OQC – – – [উভয়েই সমকোণ]
    OC = OA – – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ্য]
    ∴ ΔOPA = ΔOQC – – – [S-A-S সর্বসমতানুসারে]
    ∴ AP = CQ
    বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস নয় এরূপ কোনো জ্যা এর উপর লম্ব জ্যাটিকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
    AP = ½ × AB এবং CQ = ½ × CD
    ∵ AP = CQ
    ½ × AB = ½ × CD
    AB = CD [প্রমাণিত]

    14. প্রমাণ করি, একটি বৃত্তে দুটি জ্যা-এর মধ্যে যে জ্যাটি কেন্দ্রের নিকটবর্তী সেটির দৈর্ঘ্য অপর জ্যা-টির দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বৃহত্তর।

    Q D C O P B A

    স্বীকারঃ  O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ও CD দুটি জ্যা-এর মধ্যে AB জ্যা কেন্দ্রের নিকটবর্তী।
    প্রামাণ্য বিষয়ঃ  AB জ্যা -এর দৈর্ঘ্য, CD জ্যা অপেক্ষা বৃহত্তর
    অর্থাৎ, AB > CD
    অঙ্কনঃ O, A এবং O, C বিন্দুদ্বয় যুক্ত করা হল। O থেকে AB ও CD দুটি জ্যা-এর উপর যথাক্রমে OP এবং OQ লম্ব অঙ্কন করা হল।
    প্রমাণঃ ∵ OP ⟂ AB
    ∴ AP = ½ × AB
    আবার, OQ ⟂ CD
    ∴ CQ = ½ CD এবং
    APO সমকোণী ত্রিভুজে,
    AP2 + OP2 = OA2
    CQO সমকোণী ত্রিভুজে,
    CQ2 + OQ2 = OC2
    আবার, OA = OC – – – [∵ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
    ∴ AP2 + OP2 = CQ2 + OQ2
    বা, AP2 – CQ2 = OQ2 – OP2 – – – (i)
    OP < OQ – – – [ প্রশ্নানুসারে ]
    ∴ OQ > OP
    ∴ OQ2 > OP2
    বা, OQ2 – OP2 > 0
    (i) নং থেকে পাই,
    AP2 – CQ2 > 0
    বা, AP2 > CQ2
    বা, AP > CQ
    বা, ½ × AB > ½ × CD
    ∴ AB >  CD [ প্রমাণিত ]
    একটি বৃত্তে দুটি জ্যা-এর মধ্যে যে জ্যাটি কেন্দ্রের নিকটবর্তী সেটির দৈর্ঘ্য অপর জ্যা-টির দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বৃহত্তর। (Proved)

    জি. পি. বিড়লা স্কলারশিপ || How to apply GP Birla Scholarship Details

    15. একটি বৃত্তের ভিতর যে-কোনো বিন্দু দিয়ে ক্ষুদ্রতম জ্যা কোনটি হবে তা প্রমাণ করে লিখি।

    Q D C O P B A

    স্বীকারঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের মধ্যস্থ P যেকোনো একটি বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত দুটি জ্যা AB ও CD এবং P, AB জ্যা-এর মধ্যবিন্দু ।
    অঙ্কনঃ CD এর ওপর OQ লম্ব অঙ্কন করা হলো ।
    প্রমানঃ সমকোণী ত্রিভুজ ΔOPQ এর OP অতিভুজ।
    OP > OQ
    বৃত্তের কেন্দ্র থেকে দূরবর্তী জ্যা ক্ষুদ্রতম হয়।
    ∴ AB < CD
    কোনও বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত জ্যাটি ক্ষুদ্রতম হবে, যখন ঐ বিন্দু জ্যাটির মধ্যবিন্দু হবে (প্রমাণিত )

    16. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.) (A) (M.CQ.) :

    (i) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ও CD জ্যা দুটির দৈর্ঘ্য সমান। ∠AOB= 60° হলে, ∠COD-এর মান
    (a) 40° (b) 30° (c) 60° (d) 90°

    Ans: (c) 60°
    [∵ বৃত্তের সমান দৈর্ঘ্যের জ্যা বৃত্তের কেন্দ্রে সমান সন্মুখ কোণ উৎপন্ন করে।]

    (ii) একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 13 সেমি এবং বৃত্তের একটি জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 10 সেমি.। বৃত্তের কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর দূরত্ব
    (a) 12.5 সেমি. (b) 12 সেমি. (c) 69 সেমি. (d) 24 সেমি.

    O P B A

    Ans: (b) 12 সেমি.
    [[প্রদত্ত
    OB = 13 সেমি.
    AB =10 সেমি.
    OP ⊥ AB অঙ্কন করা হল।
    বৃত্তের কেন্দ্র থেকে জ্যায়ের উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
    ∴ PB = ½ × AB
    = ½ × 10 = 5
    BPO সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই,
    OP2 + PB2 = OB2
    ⇒ OP2 = OB2 – PB2
    ⇒ OP2 = 132 – 52
    বা, OP2 = 169 – 25 = 144
    ∴ OP = 6]

    (iii) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ও CD দুটি সমান দৈর্ঘ্যের জ্যা। O বিন্দু থেকে AB জ্যা-এর দূরত্ব 4 সেমি. হলে, CD জ্যা-এর দূরত্ব
    (a) 2 সেমি. (b) 4 সেমি. (c) 6 সেমি. (d) 8 সেমি.

    Ans: (b) 4 সেমি.
    [বৃত্তের সমান দৈর্ঘ্যের জ্যা বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।]

    (iv) AB ও CD দুটি সমান্তরাল জ্যা-এর প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 16 সেমি.। বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 10 সেমি হলে, জ্যা দুটির মধ্যে দূরত্ব
    (a) 12 সেমি. (b) 16 সেমি. (c) 20 সেমি. (d) 5. সেমি.

    Q P O D C B A

    Ans: (a) 12 সেমি.
    [প্রদত্ত
    AB = CD =16 সেমি.
    OB = 10 সেমি.
    OP ⊥ AB অঙ্কন করা হল।
    বৃত্তের কেন্দ্র থেকে জ্যায়ের উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
    ∴ PB = ½ × AB
    = ½ × 12 = 6
    BPO সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই,
    OP2 + PB2 = OB2
    বা, OP2 = OB2 – PB2
    ⇒ OP2 = 102 – 82
    বা, OP2 = 100 – 64 = 36
    ∴ OP = 6
    আবার, বৃত্তের সমান দৈর্ঘ্যের জ্যা বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।
    ∴ OP = OQ = 6
    PQ = OP + OQ
    = 6 + 6 = 12]

    (v) দুটি সমকেন্দ্রীয় বৃত্তের কেন্দ্র O: একটি সরলরেখা একটি বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে এবং অপর বৃত্তকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করে। AC = 5 সেমি হলে BD-এর দৈর্ঘ্য
    (a) 2.5 সেমি. (b) 5 সেমি. (c) 10 সেমি. (d) কোনটিই নয়।

    P O D C B A

    Ans: (b) 5 সেমি.
    [∵ OP ⊥ AB
    বৃত্তের কেন্দ্র থেকে জ্যায়ের উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
    ∴ PC = PD এবং PA = PB
    এখানে, AC = 5 সেমি
    ∴ BD = PB – PD
    = PA – PC
    = AC = 5
    BD-এর দৈর্ঘ্য 5 সেমি]

    (B) সত্য / মিথ্যা লিখি :

    (i) তিনটি সমরেখ বিন্দু দিয়ে যায় এরকম একটি বৃত্ত অঙ্কন করা যায়।

    Ans: মিথ্যা

    (ii) ABCDA ও ABCEA বৃত্ত দুটি একই বৃত্ত।

    Ans: সত্য
    [বৃত্ত দুটির তিনটি বিন্দু (A, B, C) একই , তাই বৃত্ত দুটি একই বৃত্ত।

    (ii) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB এবং AC জ্যা দুটি OA ব্যাসার্ধের বিপরীত পার্শ্বে অবস্থিত হলে, ∠OAB = ∠OAC

    Ans: মিথ্যা
    [সমান সমান জ্যা বৃত্তের কেন্দ্রে সমান কোন উৎপন্ন করে]

    (C) শূন্যস্থান পুরণ করি :

    (i) O কেন্দ্রীয় বৃত্তে PQ ও RS জ্যা দুটির দৈর্ঘ্যের অনুপাত 1:1 হলে, ∠POQ : ∠ROS = _______________ ।

    Ans: 1 :1
    [বৃত্তের সমান দৈর্ঘ্যের জ্যা বৃত্তের কেন্দ্রে সমান সন্মুখ কোণ উৎপন্ন করে।]

    (i) বৃত্তের কোনো জ্যা-এর লম্বসমদ্বিখণ্ডক ওই বৃত্তের _______________ ।

    Ans: কেন্দ্রগামী
    [বৃত্তের কেন্দ্র থেকে জ্যায়ের উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।]

    17. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

    (i) 10 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের দুটি সমান বৃত্ত পরস্পরকে ছেদ করে এবং তাদের সাধারণ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 12 সেমি। বৃত্ত দুটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় করি।

    B C D A O

    সমাধানঃ
    A ও B কেন্দ্রীয় দুটি বৃত্ত পরস্পরকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করেছে।
    এখানে CD = 12 সেমি.
    AC = BC = 10 সেমি.
    AB ⊥ CD এবং
    OC = ½ × CD
    =½ ×12 = 6
    AOC সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই,
    AO2 + OC2 = AC2
    বা, AO2 = AC2 – OC2
    ⇒ AO2 = 102 – 62
    বা, AO2 = 100 – 36 = 64
    ∴ AO = 8
    ∵ বৃত্তদুটির ব্যসার্ধ সমান
    ∴ AP = PB
    ∴ AB= 2 × ৪ সেমি. = 16 সেমি.
    Ans: বৃত্ত দুটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব 16 সেমি

    (ii) 5 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তে AB এবং AC দুটি সমান দৈর্ঘ্যের জ্যা। বৃত্তের কেন্দ্র ABC ত্রিভুজের বাইরে অবস্থিত। AB = AC = 6 সেমি. হলে, BC জ্যা-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।

    B C P A O

    সমাধানঃ
    প্রদত্ত AB = AC = 6সেমি.
    ∵ AB = AC
    OA, ∠BAC এর সমদ্বিখন্ডক
    এখানে OA = 5 সেমি.
    ধরি, OP = xসেমি.
    ∴ AP = OA-OP
    =(5-x)সেমি.
    ΔABP থেকে পাই,
    BP2 + AP2= AB2
    বা, BP2 = AB2 – AP2
    বা, BP2 = 62 – (5-x)2 – – – (i)
    আবার,  ΔBPO থেকে পাই,
    BP2 + OP2 = OB2
    বা, BP2 = OB2 – OP2
    বা, BP2 = 52 – x2 – – – (ii)
    (i) ও (ii) থেকে পাই,
    62 – (5-x)2 = 52 – x2
    বা, 36 – (25-10x + x2 ) = 25 – x2
    ⇒ 36-25+10x – x2 = 25 – x2
    বা, 11+10x = 25
    বা, 10x = 25-11
    ∴ x = 1.4
    (i) নং সমীকরণে x = 1.4 বসিয়ে পাই,
    BP2 = 52 – (1.4)2
    বা, BP2 = 25 – 1.96
    বা, BP2 = 23.04
    ∴ BP = 4.8
    ∴ BC = 2 x BP
    = 2 x 4.8 = 9.6
    Ans: BC জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 9.6 সেমি.

    Utube_comptech_home
    দশম শ্রেণীর ভৌত বিজ্ঞান এবং জীবন বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন

    (iii) O কেন্দ্রীয় বৃত্তে AB ও CD জ্যা দুটির দৈর্ঘ্য সমান। ∠AOB  = 60° এবং CD = 6. সেমি. হলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত তা নির্ণয় করি।

    C D O A B

    সমাধানঃ
    প্রদত্ত CD=6সেমি.
    ∴ AB=6সেমি. – – – [∵AB=CD]
    ΔAOB এর
    AO=BO – – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
    ∴ ∠OAB=∠OBA
    ΔAOB থেকে পাই,
    ∠OAB + ∠OBA+ ∠AOB=180°
    বা, ∠OAB + ∠OAB+ 60° = 180°
    ⇒ 2∠OAB = 120°
    বা, ∠OAB = 60°
    ∴ ΔAOB একটি সমবাহু ত্রিভুজ
    ∴AO=BO=AB= 6 সেমি.
    Ans: বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 6 সেমি.

    (iv) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ভিতর P যে-কোনো একটি বিন্দু। বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি এবং OP = 3 সেমি. হলে, P বিন্দুগামী যে জ্যাটির দৈর্ঘ্য ন্যূনতম তা নির্ণয় করি।

    O P A B

    সমাধানঃধরি,
    P বিন্দুগামী যে জ্যাটির দৈর্ঘ্য নূন্যতম তা হলো AB
    P, AB এর মধ্যবিন্দু এবং OP ⊥ AB
    এখানে  OA=5সেমি.
    APO সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
    OP2 AP2 = OA2
    বা, AP2 = OA2-OP2
    ⇒ AP2 = 52– 32
    বা, AP2 =25- 9=16
    ∴ AP = 4
    .∵ P, AB বাহুর মধ্যবিন্দু
    ∴ AB = 2 x AP
    =2 x 4 সেমি. = 8 সেমি.
    Ans: নির্ণেয় জ্যাটির দৈর্ঘ্য ৪ সেমি.

    (v) P ও Q কেন্দ্রবিশিষ্ট দুটি বৃত্ত A ও B বিন্দুতে ছেদ করে। A বিন্দু দিয়ে PQ-এর সমান্তরাল সরলরেখা বৃত্তদুটিকে যথাক্রমে C ও D বিন্দুতে ছেদ করে। PQ =5 সেমি. হলে, CD-এর দৈর্ঘ্য কত তা নির্ণয় করি।

    B A C X Y D P Q

    সমাধানঃ
    P ও Q বিন্দু থেকে CD এর উপর যথাক্রমে PX এবং QY লম্ব অঙ্কন করা হল।
    ∴ AX= ½AC এবং AY=½AD
    PQYX চতুর্ভুজের PQIIXY এবং PX||QY – – – [ ∵ উভয়েই CD এর উপর লম্ব]
    PQYX একটি সামান্তরিক
    ∴ PQ =XY= 5 সেমি
    ∴ CD=AC+AD
    ⇒ CD= 2AX+ 2AY
    ⇒ CD= 2(AX+ AY)
    বা, CD= 2(5+ 5)
    ∴ CD= 10
    Ans: CD -এর দৈর্ঘ্য 10 সেমি.

    MP-2024

    ▶️ কোনো বৃত্তের দুটি জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী হলে তারা অবশ্যই সমান্তরাল হবে। (সত্য / মিথ্যা)
    Ans:     মিথ্যা

    MP-2022

    ▶️ ‘O’ কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 13 সেমি. এবং AB একটি জ্যা এর দৈর্ঘ্য 10 সেমি., ‘O’ বিন্দু থেকে AB জ্যা এর দূরত্ব কত?

    VIEW ANSER

    ▶️ O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের AB ও CD দুটি জা-কে বর্ধিত করলে তারা পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করে, প্রমাণ করো যে, ∠AOC – ∠BOD = 2∠BPC

    VIEW ANSER

    ▶️ প্রমাণ করো ব্যাস নয় এরূপ কোনো জ্যা-এর উপর বৃত্তের কেন্দ্র থেকে লম্ব অঙ্কন করা হলে, ঐ লম্ব জ্যা-টিকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

    VIEW ANSER

    MP-2020

    ▶️ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ও CD জ্যা দুটির দৈর্ঘ্য সমান, ∠AOB = 60o হলে, ∠COD-এর মান হবে –
    (a) 30o (b) 60o (c) 120o (d) 180
    Ans: (b) 60o
    [∵ বৃত্তের সমান দৈর্ঘ্যের জ্যা বৃত্তের কেন্দ্রে সমান সন্মুখ কোণ উৎপন্ন করে।]

    MP-2018

    ▶️ O কেন্দ্রীয় বৃত্তে AB ও CD জ্যা দুটি কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী। ∠AOB = 60o এবং CD = 6 সেমি হলে, বৃত্তটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত?

    VIEW ANSER

    ▶️ একটি সরলরেখা দুটি এককেন্দ্রীয় বৃত্তের একটিকে A ও B বিন্দুতে এবং অপরটিকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করো AC = BD.

    VIEW ANSER
    PREVIOUS
    NEXT
  • যে-কোনো কোণ ও সংযুক্ত কোণসমূহের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ (SA) S N DEY CHAPTER-3

    যে-কোনো কোণ ও সংযুক্ত কোণসমূহের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ (SA) S N DEY CHAPTER-3

    যে-কোনো কোণ ও সংযুক্ত কোণসমূহের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ (SA) S N DEY CHAPTER-3

    যে-কোনো কোণ ও সংযুক্ত কোণসমূহের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ (SA)
    সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী
    S N DEY CHAPTER-3

    1. সরল করো:

    $$\Large{\mathbf{(i)\quad\frac{cosθ}{sin(90°+θ)}+\frac{sin(-θ)}{sin(180°+θ)}-\frac{tan(90°+θ)}{cotθ}}\\Ans.\\ \frac{cosθ}{sin(90°+θ)}+\frac{sin(-θ)}{sin(180°+θ)}-\frac{tan(90°+θ)}{cotθ}\\=\frac{cosθ}{cosθ}+\frac{-sinθ}{-sinθ}-\frac{-cotθ}{cotθ}\\=\quad 1+1+1\\=3}$$
    $$\Large{\mathbf {(ii)\quad \frac{cos(2π+α).cosec(π-α).tan(\frac{π}{2}+α)}{sec(\frac{π}{2}+α).sin(\frac{3π}{2}+α).cot(2π-α)}}}$$
    $$\Large{Ans:\\\frac{cos(2π+α).cosec(π-α).tan(\frac{π}{2}+α)}{sec(\frac{π}{2}+α).sin(\frac{3π}{2}+α).cot(2π-α)}\\=\frac{cosα.cosecα.-cotα}{-cosecα.-cosα.-cotα}\\=1}$$

    সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী
    S N DEY CHAPTER-3

    2. যদি sinθ = -⅗ হয় এবং θ তৃতীয় পাদে থাকে, তবে tanθ ও secθ-র মান নির্ণয় করো।

    $$ \Large{sinθ = -\frac{3}{5}\\\therefore cosθ=±\sqrt{1-sin^{2}θ}\\\quad=±\sqrt{1-\left(-\frac{3}{5}\right)^2}\\\quad=±\sqrt{1-\frac{9}{25}}\\\quad=±\sqrt{\frac{16}{25}}\\\quad=±\frac{4}{5}\\\therefore secθ=±\frac{5}{4}}$$∵ sinθ = -⅗ এবং θ তৃতীয় পাদে অবস্থিত।$$\Large{∴ secθ = -\frac{5}{4}\quad(Ans)\\∴tanθ=\frac{sinθ}{cosθ}\\\quad=\frac{-\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}}\\=\frac{3}{4} \quad(Ans)}$$

    3. (i) tanθ = 15/8 এবং cosθ ঋণাত্মক হলে

    $$\Large{\mathbf{\frac{sin(-θ)-cosθ}{tan(-θ)+sec(-θ)}}}$$-র মান নির্ণয় করো।$$ \Large{Ans:\\tanθ = \frac{15}{8}\\\therefore secθ=±\sqrt{1+tan^{2}θ}\\\quad=±\sqrt{1+\left(\frac{15}{8}\right)^2}\\\quad=±\sqrt{1+\frac{225}{64}}\\\quad=±\sqrt{\frac{289}{64}}\\\quad=±\frac{17}{8}\\\therefore cosθ=-\frac{8}{17}}$$tanθ = 15/8 এবং cosθ ঋণাত্মক সুতরাং θ তৃতীয় পাদে অবস্থিত। $$ \Large{sinθ =\frac{sinθ}{cosθ}.cosθ\\=\frac{sinθ}{cosθ}.\frac{1}{secθ}\\\\=\frac{tanθ}{secθ}\\=\frac{\frac{15}{8}}{-\frac{17}{8}}\\=-\frac{15}{17}\\\therefore\frac{sin(-θ)-cosθ}{tan(-θ)+sec(-θ)}\\=\frac{-sinθ-cosθ}{-tanθ+secθ}\\=\frac{-\frac{-15}{17}-\frac{-8}{17}}{-\frac{15}{8}+\frac{-17}{8}}\\=\frac{\frac{15}{17}+\frac{8}{17}}{-\frac{15}{8}-\frac{17}{8}}\\=\frac{\frac{15+8}{17}}{\frac{-15-17}{8}}\\=\frac{\frac{23}{17}}{\frac{-32}{8}}\\=\frac{\frac{23}{17}}{-4}\\=-\frac{23}{68}}$$

    (ii) θ চতুর্থ পাদে অবস্থিত হলে এবং secθ = 5/3 হলে

    $$\Large{\mathbf{\frac{6tanθ+5cosθ}{5cotθ+cosecθ}}}$$-র মান নির্ণয় করো।$$\Large{Ans.\\∵secθ = \frac{5}{3}\\\therefore tanθ=±\sqrt{sec^{2}θ-1}\\\quad=±\sqrt{\left(\frac{5}{3}\right)^{2}-1}\\\quad=±\sqrt{\frac{25}{9}-1}\\\quad=±\sqrt{\frac{16}{9}}\\\quad=±\frac{4}{3}}$$θ চতুর্থ পাদে অবস্থিত।$$\Large{\\\therefore tanθ=-\frac{4}{3}\\cotθ=-\frac{3}{4}\\cosθ = \frac{3}{5}\\cosecθ=\frac{1}{sinθ}\\=\frac{cosθ}{sinθ}.\frac{1}{cosθ}\\=cotθ.\frac{1}{cosθ}\\=\frac{-3}{4}.\frac{1}{\frac{3}{5}}\\=\frac{-5}{4}\\∴\frac{6tanθ+5cosθ}{5cotθ+cosecθ}\\=\frac{6.\frac{-4}{3}+5.\frac{3}{5}}{5.\frac{-3}{4}+\frac{-5}{4}}\\=\frac{-8+3}{\frac{-15}{4}+\frac{-5}{4}}\\=\frac{-5}{\frac{-15-5}{4}}\\=\frac{-5}{\frac{-20}{4}}\\=\frac{-5}{-5}=1}$$

    Solution Of Set Theory প্রশ্নমালা- 1-LA S N Dey Class-XI CLICK HERE

    4. n- সংখ্যক পদ পর্যন্ত সমষ্টি নির্ণয় করোঃ sinθ+sin(π+θ)+sin(2π+θ)+sin(3π+θ)+…

    সমাধানঃ 
    n যুগ্ম সংখ্যা হলে,
    sinθ+sin(π+θ)+sin(2π+θ)+sin(3π+θ)+…
    = sinθ-sinθ+sinθ-sinθ+…
    = (sinθ-sinθ)+(sinθ-sinθ)+…=
    0
    আবার, n অযুগ্ম সংখ্যা হলে,
    sinθ+sin(π+θ)+sin(2π+θ)+sin(3π+θ)+…
    = sinθ-sinθ+sinθ-sinθ+…
    = (sinθ-sinθ)+(sinθ-sinθ)+sinθ…
    = sinθ

    5. n-এর মান অখণ্ড সংখ্যা হলে দেখাও যে,
    (i) cos(nπ+θ)=(-1)ncosθ

    সমাধানঃ
    ধরি, n যুগ্ম সংখ্যা অর্থাৎ n=2p – – -[যেখানে p∈Z]
    ∴cos(nπ+θ)
    =cos(2pπ+θ)
    =cosθ
    =(-1)2p cosθ
    =(-1)n cosθ
    আবার, n অযুগ্ম সংখ্যা হলে অর্থাৎ n=2p+1 – – – [যেখানে p∈Z]
    ∴cos(nπ+θ)
    =cos{(2p+1)π+θ}
    =cos(2p+π+θ)
    =- cosθ
    =(-1)2p+1 cosθ
    =(-1)n cosθ
    ∴cos(nπ+θ)=(-1)ncosθ (Proved)

    $$\Large{\mathbf{(ii)\quad tan\left[\frac{nπ}{2}+(-1)^{n}\frac{π}{4}\right]=1}}$$সমাধানঃ n যুগ্ম সংখ্যা হলে অর্থাৎ n=2p [যেখানে p∈Z] $$\Large{\quad tan\left[\frac{nπ}{2}+(-1)^{n}\frac{π}{4}\right]\\=tan\left[\frac{2pπ}{2}+(-1)^{2p}\frac{π}{4}\right]\\=tan\left[2p.\frac{π}{2}+\frac{π}{4}\right]\\=tan\frac{π}{4} =1}$$n অযুগ্ম সংখ্যা হলে অর্থাৎ n=2p+1 [যেখানে p∈Z] $$\Large{\quad tan\left[\frac{nπ}{2}+(-1)^{n}\frac{π}{4}\right]\\=tan\left[\frac{(2p+1)π}{2}+(-1)^{2p+1}\frac{π}{4}\right]\\=tan\left[2p.\frac{π}{2}+\frac{π}{2}-\frac{π}{4}\right]\\=tan\left[2p.\frac{π}{2}+\frac{π}{4}\right]\\=tan\frac{π}{4} =1\\\therefore tan\left[\frac{nπ}{2}+(-1)^{n}\frac{π}{4}\right]=1\quad(Proved)}$$

    (iii) sin{nπ+(-1)n. π/6}=½

    সমাধানঃ
    n যুগ্ম সংখ্যা হলে অর্থাৎ n=2p – – – [যেখানে p∈Z]
    ∴ sin{nπ+(-1)n. π/6}
    = sin{2pπ+(-1)2p. π/6}
    = sin{2pπ+ π/6}
    = sin{p.2π+ π/6}
    = sinπ/6
    = ½
    আবার, n অযুগ্ম সংখ্যা হলে অর্থাৎ n=2p+1 – – – [যেখানে p∈Z]
    ∴ sin{nπ+(-1)n. π/6}
    = sin{(2p+1)π+(-1)(2p+1). π/6}
    = sin{2pπ+(π- π/6)}
    = sin{π- π/6}
    = sinπ/6
    = ½
    ∴ sin{nπ+(-1)n. π/6}=½ (Proved)

    (iv) tan(nπ+α)=tanα

    সমাধানঃ
    n যুগ্ম সংখ্যা হলে অর্থাৎ n=2p – – – [যেখানে p∈Z]
    ∴ tan(nπ+α)
    = tan(2pπ+α)
    = tanα
    আবার,n অযুগ্ম সংখ্যা হলে অর্থাৎ n=2p+1 – – – [যেখানে p∈Z]
    tan(nπ+α)
    = tan{(2p+1)π+α}
    = tan{(2pπ+(π+α)}
    = tan(π+α)
    = tanα
    ∴ tan(nπ+α)=tanα(Proved)

    6. কোনো ত্রিভুজের কোণ তিনটি A, B, C হলে দেখাও যে,
    (i) sinBcos(C+A)+cosBsin(C+A)=0

    সমাধানঃ
    ত্রিভুজের কোণ তিনটি A, B, C
    ∴ A+B+C=π
    LHS
    = sinB.cos(C+A)+cosB.sin(C+A)
    = sinB.cos(π-B)+cosB.sin(π-B)
    = sinB.(-cosB)+cosB.sinB
    = – sinB.cosB+cosB.sinB
    = 0 = RHS (Proved)

    6. কোনো ত্রিভুজের কোণ তিনটি A, B, C হলে দেখাও যে,

    $$\Large{(ii) \quad\mathbf{tan\frac{A-B}{2}=cot\left(\frac{C}{2}+B\right)\\Ans:}}$$ত্রিভুজের কোণ তিনটি A, B, C $$\Large{∴ A+B+C=π\\⇒A=π-B-C\\LHS=tan\frac{A-B}{2}\\=tan\frac{π-B-C-B}{2}\\=tan\frac{π-C-2B}{2}\\=tan\left[π-\left(\frac{C}{2}+B\right)\right]\\=cot\left(\frac{C}{2}+B\right)=RHS\quad(Proved)}\\$$
    $$\Large{(iii)\quad\mathbf{\frac{cosA.cosC+cos(A+B).cos(B+C)}{cosA.sinC-sin(A+B).cos(B+C)}=cotC}\\LHS=\frac{cosA.cosC+cos(A+B).cos(B+C)}{cosA.sinC-sin(A+B).cos(B+C)}\\=\frac{cosA.cosC+cos(180°-C).cos(180°-A)}{cosA.sinC-sin(180°-C).cos(180°-A)}\\=\frac{cosA.cosC+(-cosC).(-cosA)}{cosA.sinC-sinC.(-cosA)}\\=\frac{cosA.cosC+cosC.cosA}{cosA.sinC+sinC.cosA}\\=\frac{2cosA.cosC}{2cosA.sinC}\\=\frac{cosC}{sinC}\\=cotC=RHS\quad (Solved)}$$
    $$\Large{(iv)\quad\mathbf{\frac{tan(B+C)+tan(C+A)+tan(A+B)}{tan(π-A)+tan(2π-B)+tan(3π-C)}=1}\\Ans:\\LHS=\frac{tan(B+C)+tan(C+A)+tan(A+B)}{tan(π-A)+tan(2π-B)+tan(3π-C)}\\=\frac{tan(180°-A)+tan(180°-B)+tan(180°-C)}{-tanA-tanB-tanC}\\=\frac{-tanA-tanB-tanC}{-tanA-tanB-tanC}\\=1=RHS\quad (Proved)}$$
    বহু বিকল্পধর্মী CLICK HERE
    অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী CLICK HERE
    সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মীCLICK HERE
    দীর্ঘ উত্তরধর্মী CLICK HERE

    7. একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভূজের কোন চারটি পরপর A, B, C এবং D হলে প্রমাণ করো যে,
    (i) tanA+tanB+tanC+tanD=0

    Ans:
    ∴ A + C = 180° এবং B + D = 180
    LHS
    = tanA + tanB + tanC + tanD
    = tan(180° – C) + tan(180° – D) + tanC + tanD
    = – tanC – tanD + tanC + tan D
    = 0 = RHS (Proved)

    (ii) cos(180°- A) + cos(180° + B) + cos(180° + C) – sin (90° + D) = 0

    Ans:
    LHS = cosC – cosB – cosC – cosD
    = – cos(180° – D) – cosD = cosD – cosD
    = 0 = RHS (Proved)

    (iii) cosA + cosB + cosC + cosD = 0

    Ans:
    LHS
    = cos(180° – C) + cos(180° – D) + cosC + cosD
    = – cosC – cosD + cosC + cosD
    = 0 = RHS (Proved)

    (iv) tan(A+B) + tan(C + D) = 0

    Ans:
    LHS
    = tan(A+B) + tan(C + D)
    = tan(180° – C + 180° – D) + tan(C + D)
    = tan{360° – (C + D)} + tan(C + D)
    = tan{4×90° – (C + D)} + tan(C + D)
    = – tan(C + D) + tan(C + D)
    = 0 = RHS (Proved)

    8. (i) প্রমাণ করো যে,tan1°tan2°tan3°… tan87°tan88°tan89° = 1

    LHS
    = tan1°tan2°tan3°… tan87°tan88°tan89°
    = tan(90° – 89°).tan(90° – 88°)tan(90° – 87°)… tan87°tan88°tan89°
    = cot89°.cot88°cot87°… tan87°tan88°tan89°
    = (cot89°.tan89°).(cot88°.tan88°).(cot87°.tan87°)…  tan45°
    = 1×1×1. . .  ×1
    = 1 = RHS (Proved)

    8. (ii) দেখাও যে,

    $$\Large{\mathbf{ tan^{2}\frac{π}{16}tan^{2}\frac{2π}{16}tan^{2}\frac{3π}{16}tan^{2}\frac{4π}{16}tan^{2}\frac{5π}{16}tan^{2}\frac{6π}{16}tan^{2}\frac{7π}{16}}\\LHS=tan^{2}\frac{π}{16}tan^{2}\frac{2π}{16}tan^{2}\frac{3π}{16}tan^{2}\frac{4π}{16}tan^{2}\frac{5π}{16}tan^{2}\frac{6π}{16}tan^{2}\frac{7π}{16}\\=tan^{2}\frac{8π-7π}{16}tan^{2}\frac{8π-6π}{16}tan^{2}\frac{8π-5π}{16}tan^{2}\frac{π}{4}tan^{2}\frac{5π}{16}tan^{2}\frac{6π}{16}tan^{2}\frac{7π}{16}\\=tan^{2}\left(\frac{π}{2}-\frac{7π}{16}\right)tan^{2}\left(\frac{π}{2}-\frac{6π}{16}\right)tan^{2}\left(\frac{π}{2}-\frac{5π}{16}\right).(1)^{2}.tan^{2}\frac{5π}{16}tan^{2}\frac{6π}{16}tan^{2}\frac{7π}{16}\\=cot^{2}\frac{7π}{16}.cot^{2}\frac{6π}{16}.cot^{2}\frac{5π}{16}.1.tan^{2}\frac{5π}{16}tan^{2}\frac{6π}{16}tan^{2}\frac{7π}{16}\\=\left[cot\frac{7π}{16}.tan\frac{7π}{16}\right]^{2}.\left[cot\frac{6π}{16}.tan\frac{6π}{16}\right]^{2}.\left[cot\frac{5π}{16}.tan\frac{5π}{16}\right]^{2}\\=1=RHS\quad (Proved)}$$

    9. (i) দেখাও যে, tan181°tan182°tan183°… tan267°tan268°tan269° = 1

    ANS:
    LHS
    = tan181°tan182°tan183°… tan267°tan268°tan269°
    = tan(180° + 1°).tan(180° + 2°).tan(180° + 3°)… tan(270° – 3°).tan(270° – 2°).tan(270° – 1°)
    = tan1°.tan2°.tan3°… cot3°.cot2°.cot3°
    = (tan1°.cot1°).(tan2°.cot2°).(tan3°.cot3°)…..
    = 1×1×1. . . 
    = 1 = RHS (Proved)

    Utube_comptech_home
    দশম শ্রেণীর ভৌত বিজ্ঞান এবং জীবন বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন

    10. প্রমাণ করো যে,

    $$\Large{\mathbf{cos^{2}\frac{π}{4}sin^{2}\frac{3π}{4}sin^{2}\frac{5π}{4}sin^{2}\frac{7π}{4}=1}}$$
    $$\Large{Ans:\\LHS=cos^{2}\frac{π}{4}sin^{2}\frac{3π}{4}sin^{2}\frac{5π}{4}sin^{2}\frac{7π}{4}\\=cos^{2}\frac{π}{4}sin^{2}\frac{4π-π}{4}sin^{2}\frac{4π+π}{4}sin^{2}\frac{8π-π}{4}\\=cos^{2}\frac{π}{4}.sin^{2}\left(π-\frac{π}{4}\right).sin^{2}\left(π+\frac{π}{4}\right).sin^{2}\left(2π-\frac{π}{4}\right)\\=cos^{2}\frac{π}{4}.sin^{2}\frac{π}{4}.\left(-sin\frac{π}{4}\right)^{2}.\left(-sin\frac{π}{4}\right)^{2}\\=\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)^{2}+\left(-\frac{1}{\sqrt2}\right)^{2}+\left(-\frac{1}{\sqrt2}\right)^{2}\\=½+½+½+½\\=4.½=2=RHS\quad(Proved)}$$
    $$\Large{\mathbf {11. \quad 2^{sin^{2}θ}+2^{cos^{2}θ}}}$$
    $$\Large{Ans:\\∵\left(\sqrt{2^{sin^{2}θ}}-\sqrt{2^{cos^{2}θ}}\right)^2 ≥0\\⇒2^{sin^{2}θ}+2^{cos^{2}θ}-2\sqrt{2^{sin^{2}θ}.2^{cos^{2}θ}}≥0\\⇒2^{sin^{2}θ}+2^{cos^{2}θ}-2\sqrt{2^{sin^{2}θ+cos^{2}θ}}≥0\\⇒2^{sin^{2}θ}+2^{cos^{2}θ}-2\sqrt{2}≥0\\⇒2^{sin^{2}θ}+2^{cos^{2}θ}≥2\sqrt{2}}$$ ∴রাশিটির লঘিষ্ঠ মান 2√2

    2

error: Content is protected !!
Verified by MonsterInsights