Author: TEAM PROSTUTI

একটি প্রদত্ত সরলরেখা থেকে প্রদত্ত বিন্দুর লম্বদূরত্ব নির্ণয় 
[Determination of the Perpendicular Distance of a Given Point from a Given Line]
SEMESTER-2

একটি প্রদত্ত সরলরেখা থেকে প্রদত্ত বিন্দুর লম্বদূরত্ব নির্ণয় 
[Determination of the Perpendicular Distance of a Given Point from a Given Line]
SEMESTER-2
UNIT 2 CHAPTER 2
PART-II

একটি প্রদত্ত সরলরেখা থেকে প্রদত্ত বিন্দুর লম্বদূরত্ব নির্ণয় 
[Determination of the Perpendicular Distance of a Given Point from a Given Line]

SEMESTER-2
সূচিপত্র

👉 UNIT-1       বীজগণিত

• 1. গাণিতিক আরোহ তত্ত্ব
• 2. দ্বিপদ উপপাদ্য
• 3. অনুক্রম এবং শ্রেণি
  • অনুক্রম
  • সমান্তর প্রগতি
  • গুণোত্তর প্রগতি

👉 UNIT-2       স্থানাঙ্ক জ্যামিতি (দ্বিমাত্রিক)

• 1. দ্বিমাত্রিক স্থানাঙ্ক জ্যামিতির পূর্বপাঠের পুনরালোচনা
• 2. সরলরেখা
  • সরলরেখা PART-I
  • দুটি সরলরেখার অন্তর্গত কোণ নির্ণয়
  • একটি প্রদত্ত সরলরেখা থেকে প্রদত্ত বিন্দুর লম্বদূরত্ব নির্ণয়
• 3. বৃত্ত
• 4. অধিবৃত্ত
• 5. উপবৃত্ত
• 6. পরাবৃত্ত
• UNIT-3   পরিসংখ্যানবিদ্যা ও সম্ভাবনা
• 1. চিত্রের মাধ্যমে রাশিতথ্যের উপস্থাপনা
• 2. কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপ
• 3. বিস্তৃতির পরিমাপ
• 4. সম্ভাবনা তত্ত্ব

👉 UNIT-3       পরিসংখ্যানবিদ্যা ও সম্ভাবনা

• 1. চিত্রের মাধ্যমে রাশিতথ্যের উপস্থাপনা
• 2. কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপ
• 3. বিস্তৃতির পরিমাপ
• 4. সম্ভাবনা তত্ত্ব

একটি প্রদত্ত সরলরেখা থেকে প্রদত্ত বিন্দুর লম্বদূরত্ব নির্ণয় 
[Determination of the Perpendicular Distance of a Given Point from a Given Line]

সংক্ষিপ্ত প্রশ্নাবলি
প্রতিটি প্রশ্নের মান 2

1. দেখাও যে, (-8, 3) বিন্দুটি 4x – 3y + 1 = 0 এবং 12x – 5y + 7 = 0 সরলরেখা দুটি থেকে সমদূরবর্তী।

Solution:  (-8, 3) বিন্দু থেকে 4x – 3y + 1 = 0 সরলরেখার দূরত্ব

(-8, 3) বিন্দু থেকে 12x – 5y + 7 = 0 সরলরেখার দূরত্ব

∴ (-8, 3) বিন্দুটি 4x – 3y + 1 = 0 এবং 12x – 5y + 7 = 0 সরলরেখা দুটি থেকে সমদূরবর্তী। (Proved)

2. প্রমাণ করো যে, (2, 2) বিন্দুটি 4x + 3y – 4 = 0 , 12x – 5y + 12 = 0 এবং 3x – 4y – 8 = 0 সরলরেখা তিনটি থেকে সমদূরবর্তী।

Solution: (2, 2) বিন্দুথেকে 4x + 3y – 4 = 0 সরলরেখার দূরত্ব

(2, 2) বিন্দুথেকে 12x – 5y + 12 = 0 সরলরেখার দূরত্ব

একক(2, 2) বিন্দুথেকে 3x – 4y – 8 = 0 সরলরেখার দূরত্ব

(2, 2) বিন্দুটি প্রদত্ত সরলরেখা তিনটি থেকে সমদূরবর্তী। (Proved)

3. m -এর মান কত হলে y + mx – 13 = 0 সরলরেখার ওপর মূলবিন্দু থেকে লম্বদূরত্ব 12 একক হবে?

Solution: মূলবিন্দু থেকে y + mx – 13 = 0 সরলরেখার লম্বদূরত্ব

⇒ ±12(√1 + m²) = -13
⇒ 144(1 + m²) = 169
বা, 144m² = 169 – 144
⇒ 144m² = 25
⇒ m² = ²⁵/₁₄₄
⇒m = ±⁵/₁₂
Ans: m -এর মান ±⁵/₁₂

4. (-3, 4) বিন্দু থেকে 2x – 3y + k = 0 সরলরেখার লম্বদূরত্ব 2√13 একক হলে k-এর মান নির্ণয় করো।

Solution:  (-3, 4) বিন্দু থেকে 2x – 3y + k = 0 সরলরেখার লম্বদূরত্ব

⇒ |-18 + k| = 2.13
⇒ -18 + k = ± 26
⇒k = 18 ± 26
⇒ k = 44; k = -8
Ans: k-এর মান -8, 44

5. 12x + ky – 9 = 0 সরলরেখার ওপর (3, -5) বিন্দু থেকে অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য 4 একক হলে k-এর মান নির্ণয় করো।

Solution: 12x + ky – 9 = 0 সরলরেখার ওপর (3, -5) বিন্দু থেকে অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য

প্রশ্নানুযায়ী,

⇒ 729 – 270k + 25k² = 2304 + 16k²
⇒ 9k² – 270k – 1575 = 0
বা, k² – 30k – 175 = 0
⇒ k² – 35k + 5k – 175 = 0
⇒ k(k – 35) + 5(k – 35) = 0
⇒(k – 35)(k + 5) = 0
∴ k = 35; k = -5
Ans: k-এর মান -5, 35

6. যদি 5x + 12y – 1 = 0 এবং 10x + 24y + k = 0 সরলরেখা দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব 2 একক হয়, তবে k-এর মান কত হবে?

Solution: 5x + 12y – 1 = 0 সরলরেখার প্রবনতা = –⁵/₁₂ এবং
10x + 24y + k = 0 সরলরেখার প্রবনতা = –¹⁰/₂₄ = –⁵/₁₂
∴ সরলরেখা দুটি পরস্পর সমান্তরাল।
মূলবিন্দু থেকে 5x + 12y – 1 = 0 সরলরেখার দূরত্ব

আবার মূলবিন্দু থেকে 10x + 24y + k = 0 সরলরেখার দূরত্ব

সরলরেখা দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব
= ^k/₂₆ – (-¹/₁₃)
= ^k/₂₆ + ¹/₁₃
=^{k + 2}/₂₆ একক।
প্রশ্নানুযায়ী,
^{k + 2}/₂₆ = 2
বা, k + 2 = 52
বা, k = 50
Ans: k-এর মান 50

7. 3x + 4y + 9 = 0 এবং 3x + 4y + 7 = 0 সমান্তরাল সরলরেখা দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?

Solution: 3x + 4y + 9 = 0 সরলরেখার এবং 3x + 4y + 7 = 0 সমান্তরাল সরলরেখা দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব

Ans: সমান্তরাল সরলরেখা দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব 2/5 একক।

8. মনে করো, একটি বর্গাকার চিত্রের দুটি বাহু হল 5x – 2y = 13 ও 5x – 2y + 16 = 0 সরলরেখার দুটি অংশ; তাহলে বর্গাকার চিত্রটির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য কত হবে?

Solution: বর্গাকার চিত্রের দুটি বাহু হল 5x – 2y = 13 ও 5x – 2y + 16 = 0 সরলরেখার দুটি অংশ;
স্পষ্টতই সরলরেখা দুটি পরস্পর সমান্তরাল।
সরলরেখা দুটির মধ্যে দূরত্ব
= বর্গাকার চিত্রটির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য

Ans: বর্গাকার চিত্রটির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য √29 একক।

Solution: সরলরেখার অক্ষ দুটির ওপর ছেদিতাংশ যথাক্রমে a ও b;
∴ সরলরেখাটির সমীকরণ:
^x/_a + ^y/_b = 1
মূলবিন্দু থেকে সরলরেখাটির ওপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য p হলে,

10. (2, 1) বিন্দু থেকে 8x + 6y = 17 এবং 4x + 3y + 1 = 0 সরলরেখা দুটির লম্বদূরত্ব নির্ণয় করো এবং তারপর প্রদত্ত সরলরেখা দুটির মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় করো।

Solution: (2, 1) বিন্দু থেকে 8x + 6y = 17 সরলরেখার লম্বদূরত্ব

(2, 1) বিন্দু থেকে 4x + 3y + 1 = 0 সরলরেখার লম্বদূরত্ব

∴ প্রদত্ত সরলরেখা দুটির মধ্যে দূরত্ব

Ans: প্রদত্ত সরলরেখা দুটির মধ্যে দূরত্ব ¹⁹/₁₀ একক

11. দেখাও যে x cos α + y sin α = a cos 2αএবং x secα + y cosecα = 2a সরলরেখা দুটির ওপর মূলবিন্দু থেকে অঙ্কিত লম্ব দুটির বর্গের সমষ্টি α-র মানের ওপর নির্ভর করে না।

Solution: মূলবিন্দু থেকে x cos α + y sin α = a cos 2α -এর ওপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য

আবার মূলবিন্দু থেকে x secα + y cosecα = 2a -এর ওপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য

∴ অঙ্কিত লম্ব দুটির বর্গের সমষ্টি
= (|- a cos 2α|)² + (|- a sin 2α)²
= a² cos² 2α + a² sin² 2α
=a²(cos² 2α + sin² 2α)
= a² – যা α নিরপেক্ষ।
∴ মূলবিন্দু থেকে অঙ্কিত লম্ব দুটির বর্গের সমষ্টি α-র মানের ওপর নির্ভর করে না। (Proved)

বর্ণনামূলক প্রশ্নাবলি 
প্রতিটি প্রশ্নের মান 3

1. A, B ও C বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (4, 6), (-1, 3) এবং (2, -2); B বিন্দু থেকে AC-র ওপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
Solution: A, B ও C বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (4, 6), (-1, 3) এবং (2, -2);
AC সরলরেখার সমীকরণ:

⇒ 4x – 8 = y + 2
⇒ 4x – y – 10 = 0
B বিন্দু থেকে AC-র ওপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য

2. (1,1) এবং (-11, -4) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার ওপর (4, -1) বিন্দু থেকে অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

Solution: (1,1) এবং (-11, -4) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার সমীকরণ:

⇒ -12y – 48 = -5x – 55
⇒ 5x – 12y + 7 = 0
(4, -1) বিন্দু থেকে 5x – 12y + 7 = 0 সরলরেখার ওপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য

3. একটি সমবাহু ত্রিভুজের ভূমির সমীকরণ x + y = 2 এবং শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক (2, -1); ত্রিভুজটির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
Solution: সমবাহু ত্রিভুজের ভূমির সমীকরণ:
x + y = 2
বা, x + y – 2 = 0
শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক (2, -1);
সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা = শীর্ষবিন্দু থেকে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্ব

সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a একক হলে উচ্চতা = ^√3/₂ a একক
∴ ^√3/₂ a = ¹/_√2
বা, a = ¹/_√2.²/_√3 = ^√6/₃
Ans: ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য ^√6/₃ একক

4. একটি গতিশীল বিন্দু P-এর সব অবস্থানে x + y = 5 এবং 3x – 2y + 7 = 0 সরলরেখা দুটি থেকে তার লম্বদূরত্ব দুটির সমষ্টি সর্বদা 10। প্রমাণ করো যে, P বিন্দুর সঞ্চারপথ একটি সরলরেখা।

Solution: ধরি গতিশীল বিন্দু P-এর স্থানাঙ্ক (h, k)
(h, k) বিন্দু থেকে x + y = 5 এর লম্বদূরত্ব

আবার (h, k) বিন্দু থেকে 3x – 2y + 7 = 0 এর লম্বদূরত্ব

প্রশ্নানুযায়ী,

∴ P বিন্দুর সঞ্চারপথ:
(±√13 ± 3√2)x + (±√13 ± 2√2)y +  (±5√13 ± 7√2 – 10√6) = 0
এটি একটি সরলরেখার সমীকরণ।
∴ P বিন্দুর সঞ্চারপথ একটি সরলরেখা।(Proved)

5. মূলবিন্দু থেকে  x sin θ+ y cos θ= ^a/₂ sin 2θ এবং x cos θ- y sin θ= a cos 2θসরলরেখার ওপর লম্বের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে P₁ ও P₂ হলে প্রমাণ করো যে, 4P₁² + P₂² = a²

Solution: মূলবিন্দু থেকে  x sin θ + y cos θ = ^a/₂ sin 2θ সরলরেখার ওপর লম্বের দৈর্ঘ্য

মূলবিন্দু থেকে  x cos θ – y sin θ = a cos 2θ সরলরেখার ওপর লম্বের দৈর্ঘ্য

(i) + (ii) করে পাই,

6. দেখাও যে, (±4, 0) বিন্দু দুটি থেকে 3x cos θ+ 5y sin θ= 15 সরলরেখার ওপর অঙ্কিত লম্ব দুটির গুণফল θ-র মানের ওপর নির্ভর করে না।

Solution: (4, 0) বিন্দু থেকে 3x cos θ + 5y sin θ = 15 সরলরেখার অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য

(-4, 0) বিন্দু থেকে 3x cos θ + 5y sin θ = 15 সরলরেখার অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য

7. (0, a) বিন্দুগামী যে দুটি সরলরেখার ওপর (2a, 2a) বিন্দু থেকে লম্বের দৈর্ঘ্য a একক, তাদের সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution: ধরি, (0, a) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ y – a = m(x – 0) . . .  [যেখানে m সরলরেখাটির প্রবনতা]
বা, y – a = mx
বা, mx – y + a = 0
(2a, 2a) বিন্দু থেকে mx – y + a = 0 সরলরেখার লম্বের দৈর্ঘ্য

বা, (2am – a)² = a²(m² + 1)
বা, 4a²m² – 4a²m + a² = a²m² + a²
⇒ 4m² – 4m + 1 = m² + 1
বা, 3m² – 4m = 0
বা, m(3m – 4) = 0
∴ m = 0; m = ⁴/₃
m = 0 হলে,
0.x – y + a = 0
বা, y = a
আবার m = ⁴/₃ হলে,
⁴/₃.x – y + a = 0
বা, 4x – 3y + 3a = 0
Ans: সরলরেখা দুটির সমীকরণ:
y = a এবং
4x – 3y + 3a = 0 

8. 2x + 3y = 5 এবং 2x + 3y + 1 = 0 সরলরেখা দুটির মধ্যগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution: 2x + 3y = 5 . . .  (i) এবং
2x + 3y + 1 = 0 . . .  (ii)
স্পষ্টতই (i) এবং (ii) নং সরলরেখা পরস্পর সমান্তরাল।
(i) এবং (ii) নং সরলরেখার মধ্যগামী সরলরেখা সরলরেখাদ্বয়ের সমান্তরাল হবে।
ধরি, নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ: 2x + 3y + k = 0
(i) এবং (iii) নং সরলরেখার মধ্যবর্ত্তী দূরত্ব

আবার   (ii) এবং (iii) নং সরলরেখার মধ্যবর্ত্তী দূরত্ব

শর্তানুযায়ী,
  ^{|k + 5|}/_√13 =  ^{|k – 1|}/_√13
বা, |k + 5| =  |k – 1|
বা, (k + 5)² =  (k – 1)²
⇒ k² + 10k + 25 = k² – 2k + 1
⇒ 10k + 2k = 1 – 25
বা, 12k = – 24
বা, k = -2
নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ: 2x + 3y + 2 = 0
Ans: সমদূরবর্তী সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ:
2x + 3y + 2 = 0

9. x + y – 3 = 0 এবং x + y + 1 = 0 সরলরেখা দুটি থেকে সমদূরবর্তী সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution: x + y – 3 = 0 . . .  (i) এবং
x + y + 1 = 0 . . .  (ii)
ধরি, (i) এবং (ii) নং সরলরেখা দুটি থেকে সমদূরবর্তী সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ  x + y + k = 0 . . .  (iii) 
(i) এবং (iii) নং সরলরেখার মধ্যবর্ত্তী দূরত্ব

আবার   (ii) এবং (iii) নং সরলরেখার মধ্যবর্ত্তী দূরত্ব

শর্তানুযায়ী,
 ^{|k + 3|}/_√2 =  ^{|k – 1|}/_√2
বা, |k + 3| =  |k – 1|
বা, (k + 3)² =  (k – 1)²
বা,k² + 6k + 9 = k² – 2k + 1
বা, 6k + 2k = 1 – 9
বা,8k = – 8
বা, k = -1
নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ:
x + y – 1 = 0
বা, x + y = 1
Ans: সমদূরবর্তী সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ:x + y = 1

10. 2 একক দূরবর্তী দুটি সমান্তরাল সরলরেখার মধ্যগামী সরলরেখার সমীকরণ হয় 12x – 5y + 4 = 0 । সমান্তরাল সরলরেখা দুটির সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution: দুটি সমান্তরাল সরলরেখার মধ্যগামী সরলরেখা সমান্তরাল হবে।
ধরি, নির্ণেয় সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ 12x – 5y + k = 0
দুটি সমান্তরাল সরলরেখার মধ্যবর্ত্তী দূরত্ব 2 একক
∴ নির্ণেয় সমান্তরাল সরলরেখা এবং প্রদত্ত 12x – 5y + 4 = 0 সরলরেখার মধ্যবর্ত্তী দূরত্ব 1 একক

বা, 4 – k = ±13
বা, k = 4 ± 13
∴  k = 4 + 13 = 17;
  k = 4 – 13 = -9
k = 17 হলে,সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ:
12x – 5y + 17 = 0;
k = -9 হলে,সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ:
12x – 5y – 9 = 0
বা, 12x – 5y = 9
Ans: সমান্তরাল সরলরেখা দুটির সমীকরণ:
12x – 5y + 17 = 0 এবং
12x – 5y = 9

11. (2, -2) বিন্দু এবং 3x – 4y + 1 = 0 সরলরেখার মাঝখান দিয়ে অঙ্কিত সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution: প্রদত্ত সরলরেখার সমীকরণ 3x – 4y + 1 = 0 . . . (i)
(2, -2) বিন্দু থেকে 3x – 4y + 1 = 0 সরলরেখার লম্ব দূরত্ব

= 3 একক
স্পষ্টতই, নির্ণেয় সরলরেখা 3x – 4y + 1 = 0 সরলরেখার সমান্তরাল হবে।
ধরি, সরলরেখাটির সমীকরণ: 3x – 4y + k = 0  . . . (ii)
(i) এবং (ii) নং সরলরেখার মধ্যবর্তী দূরত্ব

প্রশ্নানুসারে,
^{|1 – k|}/₅ = ¹/₂.3
বা, 1 – k = ±¹⁵/₂
বা, 2 – 2k = ±15
বা,2k = 2 ± 15
বা,k = ¹/₂(2 ± 15)
∴ k = ¹⁷/₂; –¹³/₂
এখন, k = ¹⁷/₂ হলে সরলরেখাটি হয়:
3x – 4y + ¹⁷/₂ = 0
বা, 6x – 8y + 17 = 0
এটি (2, -2) বিন্দু থেকে ³/₂ একক দূরবর্তী নয়।
∴ k ≠ ¹⁷/₂
k = –¹³/₂ হলে সরলরেখাটি হয়:
3x – 4y – ¹³/₂ = 0
বা, 6x – 8y – 13 = 0
বা, 6x – 8y = 13
Ans: নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ: 6x – 8y = 13

12. 3x + 4y = 15 সরলরেখার সমান্তরাল এবং (1, -2) বিন্দু থেকে 7.5 একক দূরবর্তী সরলরেখা দুটির সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution: 3x + 4y = 15 সরলরেখার সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ: 3x + 4y + k = 0
(1, -2) বিন্দু থেকে 3x + 4y + k = 0 সরলরেখার দূরত্ব

প্রশ্নানুযায়ী,
^{|k – 5|}/₅ = 7.5
বা, k – 5 = ±37.5
(+) চিহ্ন ধরে পাই,
k – 5 = 37.5
বা, k = 42.5
∴ সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ:
3x + 4y + 42.5 = 0
বা, 6x + 8y + 85 = 0
(-) চিহ্ন ধরে পাই,
k – 5 = -37.5
বা, k = -32.5
∴ সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ:
3x + 4y – 32.5 = 0
বা, 6x + 8y – 65 = 0
বা, 6x + 8y = 65
Ans: সরলরেখা দুটির সমীকরণ:
6x + 8y + 85 = 0 এবং
6x + 8y = 65

13. x + y = 4 সরলরেখার ওপর অবস্থিত এবং 4x + 3y = 10 সরলরেখা থেকে একক লম্বদূরত্ববিশিষ্ট বিন্দুসমূহের স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।

Solution: ধরি, বিন্দুসমূহের স্থানাঙ্ক  (h, k)
(h, k) বিন্দু  x + y = 4 সরলরেখার ওপর অবস্থিত।
∴ h + k = 4
বা,  h + k – 4 = 0  . . . (i)
(h, k) থেকে 4x + 3y = 10 সরলরেখার লম্বদূরত্ব

(+) চিহ্ন ধরে পাই,
4h + 3k – 10 = 5
বা, 4h + 3k – 15 = 0 . . . (ii)
(-) চিহ্ন ধরে পাই,
4h + 3k – 10 = -5
বা, 4h + 3k – 5 = 0 . . . (iii)
(i)×4 – (ii)×1 করে পাই,
4h + 4k – 16 – (4h + 3k – 15) = 0
⇒ 4h + 4k – 16 – 4h – 3k + 15 = 0
বা, k – 1 = 0
বা, k = 1
(i) নং থেকে পাই,
h + 1 – 4 = 0
বা, h = 3
বিন্দুটির স্থানাঙ্ক (3, 1)
(i)×3 – (iii)×1 করে পাই,
3h + 3k – 12 – (4h + 3k – 5) = 0
বা, 3h + 3k – 12 – 4h – 3k + 5 = 0
বা,-h – 7 = 0
বা, h = -7
(i) নং থেকে পাই,
-7 + k – 4 = 0
বা, k = 11
অপর বিন্দুটির স্থানাঙ্ক (-7, 11)
Ans: বিন্দুসমূহের স্থানাঙ্ক (3,1) ও (-7, 11)

14. একটি গতিশীল বিন্দুর 3x – 4y – 2 = 0 এবং 5x – 12y = 4 সরলরেখা দুটির ওপর লম্বদূরত্ব দুটি সর্বদা সমান হলে গতিশীল বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution: ধরি, গতিশীল বিন্দুটির স্থানাঙ্ক (h, k)
(h, k) থেকে 3x – 4y – 2 = 0 সরলরেখার লম্বদূরত্ব

বা, 13(3h – 4k – 2) = ±5(5h – 12k – 4)
(+) চিহ্ন ধরে পাই,
13(3h – 4k – 2) = 5(5h – 12k – 4)
বা, 39h – 52k – 26 = 25h – 60k – 20
বা, 14h + 8k – 6 = 0
বা,7h + 4k – 3 = 0
(-) চিহ্ন ধরে পাই,
13(3h – 4k – 2) = -5(5h – 12k – 4)
বা, 39h – 52k – 26 = -25h + 60k + 20
বা,64h – 112k – 46 = 0
বা, 32h – 56k – 23 = 0
Ans: গতিশীল বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ:
7x + 4y = 3 অথবা 32x – 56y = 23

15. t একটি পরিবর্তনশীল চল হলে (a, 0) বিন্দু থেকে x – ty + a t² = 0 সরলরেখার ওপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর সঞ্চারপথ নির্ণয় করো।

Solution: ধরি, x – ty + at² = 0 সরলরেখার ওপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (h, k)
(a, 0) এবং (h, k) বিন্দু সংযোগকারী সরলরেখার প্রবনতা = ^{0 – k}/_{a – h} = – ^k/_{a – h}
x – ty + at² = 0 সরলরেখার প্রবনতা = ¹/_t
∴ –^k/_{a – h}×¹/_t = -1
বা, ^k/_{a – h}×¹/_t = 1
বা, t = ^k/_{a – h}
(h, k) বিন্দুটি x – ty + at² = 0 সরলরেখার উপর অবস্থিত।
∴ h – tk + at² = 0
বা, h – (^k/_{a – h}).k + a(^k/_{a – h})² = 0 . . .  [∵ t = ^k/_{a – h}]
বা, (a – h)².h – k(a – h).k + ak² = 0
বা,(a – h)².h – ak² + hk² + ak² = 0
বা, (a – h)².h + hk² = 0
বা, h[(a – h)² + k²] = 0
∵ (a – h)² + k² ≠ 0
∴ h = 0
Ans: অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর সঞ্চারপথ x = 0

আমাদের YOUTUBE CHANNEL “COMPTECH” দেখার জন্য এখানে ক্লিক করো। 

বর্ণনামূলক প্রশ্নাবলি
প্রতিটি প্রশ্নের মান 4

1. ABC ত্রিভুজের AB, BC ও CA বাহুর সমীকরণ যথাক্রমে 3x + 4y + 3 = 0, 2x + y + 1 = 0 , 2x + 3y + 1 = 0 ত্রিভুজটির A বিন্দুগামী উচ্চতার সমীকরণ নির্ণয় করো।  

Solution: ABC ত্রিভুজের,
AB: 3x + 4y + 3 = 0 . . .  (i)
BC: 2x + y + 1 = 0 . . .  (ii) ও
CA: 2x + 3y + 1 = 0 . . .  (ii)
AB ও CA বাহুর ছেদবিন্দু:

∴ x=-5; y=3
BC বাহুর প্রবনতা -2
A বিন্দুগামী বাহুর প্রবনতা ¹/₂
∴ A বিন্দুগামী উচ্চতার সমীকরণ:
y – 3 = ¹/₂(x + 5)
বা, x – 2y + 11 = 0

2. কোনো ত্রিভুজের দুটি বাহুর সমীকরণ x + 4y = 7 এবং 2x – 5y = 1; তার ভূমির সমীকরণ x + y = 2 হলে, ত্রিভুজটির উচ্চতার দৈর্ঘ্য ও সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution: ত্রিভুজের দুটি বাহুর সমীকরণ:
x + 4y = 7
বা, x = 7 – 4y . . .  (i) এবং
2x – 5y = 1 . . .  (ii)
ভূমির সমীকরণ: x + y = 2
(i) ও (ii) নং সরলরেখার ছেদবিন্দু:
(ii) নং সমীকরণে x = 7 – 4y বসিয়ে পাই,
2(7 – 4y) – 5y = 1
বা, 14 – 8y – 5y = 1
বা,-13y = -13
বা, y = 1
(i) নং সমীকরণে y = 1 বসিয়ে পাই,
x = 7 – 4.1 = 3
∴ (i) ও (ii) নং সরলরেখার ছেদবিন্দু (3, 1)
ভূমির সমীকরণ x + y = 2 . . .  (iii)
(3, 1) বিন্দু থেকে ভূমির লম্বদূরত্ব

x + y = 2 সরলরেখার প্রবনতা -1
∴ ভূমির লম্ব সরলরেখার প্রবনতা 1
(3, 1) বিন্দুগামী এবং 1 প্রবনতাবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ:
y – 1 = 1(x – 3)
বা, x – y – 2 = 0
বা, x – y = 2
Ans: ত্রিভুজটির উচ্চতার দৈর্ঘ্য √‌2 একক
এবং  ত্রিভুজটির উচ্চতার সমীকরণ: x – y = 2

দুটি সরলরেখার অন্তর্গত কোণ নির্ণয়

∴ সরলরেখাটির ওপর অঙ্কিত লম্ব দুটির গুণফল

4. ABC সমবাহু ত্রিভুজের BC বাহুর সমীকরণ 5y = 12x – 3; যদি ত্রিভুr জটির ভরকেন্দ্র (2, -1) হয়, তবে ত্রিভুজটির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

Solution: