Author: TEAM PROSTUTI

Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part-1

Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part-1

Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part-1

দ্বাদশ শ্রেণীর S. N. DEY এর সম্পূর্ণ সমাধানের জন্য নিচে দেওয়া BUTTON-এ ক্লিক করো।

Unit 1	সম্বন্ধ ও চিত্রণ RELATIONS AND FUNCTIONS	▶️ CLICK HERE
Unit-2:	বীজগণিত Algebra	▶️ CLICK HERE
Unit-3:	কলনবিদ্যা Calculus	▶️ CLICK HERE
Unit-4:	ভেক্টর এবং ত্রিমাত্রিক স্থানাঙ্ক জ্যামিতি Vector & Three dimensional geometry	▶️ CLICK HERE
Unit-5:	রৈখিক প্রোগ্রামবিধি Linear Programming	▶️ CLICK HERE
Unit-6:	সম্ভাবনা Probability	▶️ CLICK HERE

Math Solution Of Class 12 Chapter 1 Relation S. N. Dey || দ্বাদশ শ্রেনীর গণিত সমাধান প্রথম অধ্যায় – সম্মন্ধ সৌরেন্দ্রনাথ দে || WBCHSE Math Class XII Relation || উচ্চমাধ্যমিক গণিত সমাধান ক্লাস ১২ সম্মন্ধ

1. A = (1, 2, 3, 4) এবং A সেটের ওপর একক সম্বন্ধ I_A হলে-
A. (1, 2) ∈ I_A
B. (2, 2) ∈ I_A
C. (2, 1 ) ∈ I_A
D. (3, 4) ∈ I_A
Ans: B. (2, 2) ∈ I_A
[একক সম্বন্ধ I_A হলে I_A= {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}]

2. শূন্য সেট নয় এমন যে-কোনো সেট A এর ওপর সংজ্ঞাত একটি সম্বন্ধ R-কে A এর ওপর সমতুল্যতা সম্বন্ধে বলা হবে যদি R সম্বন্ধটি A-এর ওপর –
A. স্বসম এবং প্রতিসম হয়
B. প্রতিসম এবং সংক্রমন হয়।
C. স্বসম এবং সংক্রমন হয়
D. স্বসম, প্রতিসম এবং সংক্রমন হয়
Ans: D. স্বসম, প্রতিসম এবং সংক্রমন হয়

3. নীচের প্রদত্ত বিবৃতিগুলির কোনটি সত্য?
A. A = {1, 2, 3} এবং R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (1,2)) হলে, R সম্বন্ধ A সেটের ওপর স্বসম হবে।
B. A = {a, b, c, d) এবং A-র ওপর একটি সম্বন্ধ R নিম্নরূপে সংজ্ঞাত: R = {(a, c), (b, d), (b, c) (c, a) (d, b)} তাহলে, A -র ওপর R একটি প্রতিসম সম্বন্ধ হবে।
C. শূন্য সেট নয় এমন যে-কোনো সেট A -র ওপর সংজ্ঞাত একটি স্বসম সম্বন্ধ সর্বদাই প্রতিসম হয়।
D. শূন্য সেট নয় এমন যে-কোনো সেট A -র ওপর সংজ্ঞাত সার্বিক সম্বন্ধ সংক্রমন
Ans: D. শূন্য সেট নয় এমন যে-কোনো সেট A -র ওপর সংজ্ঞাত সার্বিক সম্বন্ধ সংক্রমন
[A. X (3, 3) ∉ R
B. X (b, c) ∈ R কিন্তু (c, b) ∉ R]

Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part-1

Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part-1

4. নীচের প্রদত্ত বিবৃতিগুলির কোনটি মিথ্যা?
A. শূন্য সেট নয় এমন যে-কোনো সেট A -এর ওপর সংজ্ঞাত একক সম্বন্ধ সর্বদাই A -এর ওপর একটি স্বসম সম্বন্ধ।
B. শূন্য সেট নয় এমন যে-কোনো সেট A -এর ওপর সংজ্ঞাত একটি স্বসম সম্বন্ধ A -এর ওপর একটি একক সম্বন্ধ নাও হতে পারে।
C. মনে করো, A = {1, 2, 3} সেটের ওপর R সম্বন্ধ নিম্নরুপে সংজ্ঞাত:
R = {(1, 2), (3, 2), (2, 1 ) (1, 1)} 1 তাহলে, A -এর ওপর R একটি সংক্রমণ সম্বন্ধ হবে।
D. X = {a, b, c} এবং Y= {c, a, b} হয়, তবে XxY = YxX হবে।
Ans: C. মনে করো, A = {1, 2, 3} সেটের ওপর R সম্বন্ধ নিম্নরুপে সংজ্ঞাত:
R = {(1, 2), (3, 2), (2, 1 ) (1, 1)} 1 তাহলে, A -এর ওপর R একটি সংক্রমণ সম্বন্ধ হবে।
[(1, 2) এবং (2, 1 ) ∈ R ⇒ (1, 1) ∈ R সম্বন্ধটি সংক্রমণ]

5. A = {1, 2, 3, 4} সেটের ওপর সংজ্ঞাত মোট সম্বন্ধসমূহের সংখ্যা হয় –
A. 2⁴
B. 2⁸
C. 2¹²
D. 2¹⁶
Ans: D. 2¹⁶
[A সেটের পদসংখ্যা 4 টি
∴ AxA তে মোট পদসংখ্যা হবে = 4×4 = 16 টি
∴ মোট সম্বন্ধসমূহের সংখ্যা = 2¹⁶]

6. A = {a, b, c} সেট থেকে B = {d, e} সেটে মোট সম্বন্ধসমুহের সংখ্যা –
A. 2⁶
B. 2⁸
C. 2⁴
D. 2¹⁵
Ans: A. 2⁶
[A সেটের পদসংখ্যা 3 এবং B সেটের পদসংখ্যা 2
∴ AxB তে মোট পদসংখ্যা হবে = 3×2 = 6 টি
∴ মোট সম্বন্ধসমূহের সংখ্যা = 2⁶]

Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part-1

Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part-1

অধ্যায়	বিষয়	কষে দেখি
1	একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic Equations with one variable)	কষে দেখি – 1.1 কষে দেখি – 1.2 কষে দেখি – 1.3 কষে দেখি – 1.4 কষে দেখি – 1.5
2	সরল সুদকষা (Simple Interest)	কষে দেখি – 2
3	বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য (Theorems related to circle)	কষে দেখি – 3.1 কষে দেখি – 3.2
4	আয়তঘন (Rectangular Parallelopiped or Cuboid)	কষে দেখি – 4
5	অনুপাত ও সমানুপাত (Ratio and Proportion)	কষে দেখি – 5.1 কষে দেখি – 5.2 কষে দেখি – 5.3
6	চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সমহার বৃদ্ধি বা হ্রাস (Compound Interest and Uniform Rate of Increase or Decrease)	কষে দেখি – 6.1 কষে দেখি – 5.2
7	বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য (Theorems related to Angles in a Circle)	কষে দেখি – 7.1 কষে দেখি – 7.2 কষে দেখি – 7.3
8	লম্ব বৃত্তাকার চোঙ (Right Circular Cylinder)	কষে দেখি – 8
9	দ্বিঘাত করণী (Quadratic Surd)	কষে দেখি – 9.1 কষে দেখি – 9.2 কষে দেখি – 9.3
10	বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Cyclic Quadrilateral)	কষে দেখি – 10
11	সম্পাদ্য : ত্রিভুজের পরিবৃত্ত ও অন্তবৃত্ত অঙ্কন (Construction : Construction of circumcircle and incircle of a triangle)	কষে দেখি – 11.1
12	গোলক (Sphere)	কষে দেখি – 12
13	ভেদ (Variation)	কষে দেখি – 13
14	অংশীদারি কারবার (Partnership Business)	কষে দেখি – 14
15	বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Tangent to a Circle)	কষে দেখি – 15.1 কষে দেখি – 15.2
16	লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু (Right Circular Cone)	কষে দেখি – 16
17	সম্পাদ্য : বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন (Construction: Construction of Tangent to a circle)	কষে দেখি – 17
18	সদৃশতা (Similarity)	কষে দেখি – 18.1 কষে দেখি – 18.2 কষে দেখি – 18.3 কষে দেখি – 18.4
19	বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা (Real life Problems related to different Solid Objects)	কষে দেখি – 19
20	ত্রিকোণমিতি: কোণ পরিমাপের ধারণা	কষে দেখি – 20
21	সম্পাদ্য : মধ্যসমানুপাতী নির্ণয় (Construction : Determination of Mean Proportional )	কষে দেখি – 21
22	পিথাগোরাসের উপপাদ্য (Pythagoras Theorem)	কষে দেখি – 22
23	ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি (Trigonometric Ratios and Trigonometric Identities)	কষে দেখি – 23.1 কষে দেখি – 23.2 কষে দেখি – 23.3
24	পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত (Trigonometric Ratios of Complementrary angle )	কষে দেখি – 24
25	ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ : উচ্চতা ও দূরত্ব (Application of Trigonometric Ratios: Heights & Distances)	কষে দেখি – 25
26	রাশিবিজ্ঞান : গড়, মধ্যমা, ওজাইভ, সংখ্যাগুরুমান (Statistics : Mean, Median, Ogive, Mode)	কষে দেখি – 26.1 কষে দেখি – 26.2 কষে দেখি – 26.3 কষে দেখি – 26.4

7. মনে করো, A = { 8, 9, 10, 11 } এবং B = {1, 2, 3, 4, 5} এবং A থেকে B-তে একটি সম্বন্ধ নিম্নরুপে সংজ্ঞাত: xRy ⇒ x, y দিয়ে বিভাজ্য, R-এর ক্ষেত্র হবে –
A. {2, 3, 4, 5}
B. {8,‌ 9, 10}
C. {8, 9, 10, 11}
D. {8, 10}
Ans: B. {8,‌ 9, 10}
[xRy ⇒ x, y দিয়ে বিভাজ্য
∴ R = {(8, 2), (8, 4), (9, 3), (10, 2), (10, 5)}
R-এর ক্ষেত্র হবে {8,‌ 9, 10}]

8. R = {(x, y) : x একটি পূর্ণসংখ্যা এবং |x| < 3 ও y = |x – 3|} হলে, R -এর পাল্লা হবে –
A. {-2, -1, 0, 1, 2}
B. {-2, -1, 0}
C. {5, 4, 3, 2, 1}
D. {4, 3, 2, 1}
Ans: C. {5, 4, 3, 2, 1}
[x = -2 (|x| = |-2| = 2 < 3) হলে
y = |x – 3| = |-2 – 3| = |-5| = 5
x = -1 (|x| = |-1| = 1 < 3) হলে
y = |x – 3| = |-1 – 3| = |-4| = 4
x = 0 (|x| = |0| = 0 < 3) হলে
y = |x – 3| = |0 – 3| = |-3| = 3
x = 1 (|x| = |1| = 1 < 3) হলে
y = |x – 3| = |1 – 3| = |-2| = 2
x = 2 (|x| = |2| = 2 < 3) হলে
y = |x – 3| = |2 – 3| = |-1| = 1
R-এর পাল্লা হবে {5,‌ 4, 3, 2, 1}]

9. যদি C থেকে R-এর ওপর ϕ সম্বন্ধটি হয় xϕy ⇔ |x| = y.তবে নীচের কোনটি সঠিক?
A. (2+3i)ϕ13
B. 3ϕ(-3)
C. (1+i)ϕ2
D. iϕ1
Ans: D. iϕ1
[xϕy ⇔ |x| = y
|(2+3i)| = √(2² + 3²) = √(4 + 9) = √13
|3| = √3² = √9 = 3
|(1+i)| = √(1² + 1²) = √(1 + 1) = √2
|i| = √1²) = 1]

Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part-1

UNIT – 1
সম্বন্ধ ও চিত্রণ
RELATIONS AND FUNCTIONS

সম্বন্ধ RELATIONS – প্রশ্নমালা – 1 (PART II)	▶️ CLICK HERE
সম্বন্ধ RELATIONS – প্রশ্নমালা – 1 (PART I)	▶️ CLICK HERE

দ্বাদশ শ্রেণীর S N Dey বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নীচের BUTTON-এ ক্লিক করো।

CLICK

10. মনে করো, একটি সেট A = {1, 2, 3} এবং A এর ওপর R সম্বন্ধটির দুটি পদ (1, 2) ও (1, 3)। R সম্বন্ধটি স্বসম ও প্রতিসम হবে কিন্তু সংক্রমণ হবে না এরকম যতগুলি R পাওয়া যাবে তার সংখ্যা হল –
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Ans: A. 1
[A = {1, 2, 3}; R = {(1, 2), (1, 3)}
সম্বন্ধটি স্বসম হলে (1, 1), (2, 2), (3, 3) ∈ R হবে।
সম্বন্ধটি প্রতিসम হলে (1, 2), (1, 3) ∈ R ⇒ (2, 1), (3, 1) ∈ R হবে।
∴ R = {(1, 2), (1, 3), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (2, 1), (3, 1), (2, 3), (3, 2)}]

11. {1, 2, 3, 4} এর R সম্বন্ধ নিম্নরুপে সংজ্ঞাত: R = {(1, 2), (2, 2), (1, 1), (4, 4), (1,3), (3, 3), (3, 2)} তাহলে নীচের সঠিক উক্তি নির্বাচন করো:
A. R সম্বন্ধ স্বসম ও প্রতিসम কিন্তু সংক্রমন নয়;
B. R সম্বন্ধ স্বসম ও সংক্রমন কিন্তু প্রতিসम নয়;
C. R সম্বন্ধ প্রতিসम ও সংক্রমন কিন্তু স্বসম নয়;
D. R একটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ।
Ans: B. R সম্বন্ধ স্বসম ও সংক্রমন কিন্তু প্রতিসम নয়;
[A. -X (1, 3) ∈ R এবং (3, 2) ∈ R ⇒ (1, 2) ∈ R সম্বন্ধটি সংক্রমন
C. -X (2, 2), (1, 1), (4, 4), (3, 3) ∈ R সম্বন্ধটি স্বসম
D. -X (1, 2) ∈ R কিন্তু (2, 1) ∉ R সম্বন্ধটি প্রতিসम নয়]

অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী

1.মনে করো A = {1, 3, 5}, B = {2, 4, 6) এবং R সম্বন্ধ নিম্নরূপে সংজ্ঞাত :
xRy ⇒ (x + y) এর মান জোড়, দেখাও যে, A থেকে B তে R একটি শূন্য সম্বন্ধ প্রকাশ করে।
Ans: A সেটের প্রতিটি পদ বিজোড় কিন্তু B সেটের পদ্গুলি জোড়। যেহেতু, একটি বিজোড় ও একটি জোড় সংখ্যার যোগফল সর্বদা বিজোড় সংখ্যা হয়। তাই x ∈ A ও ইয় ∈ B হলে (x + y) সর্বদা বিজোড় সংখ্যা হবে৷
∴ xRy ⇒ (x + y) –এর মান জোড়, এই সম্মন্ধটি একটি শূন্য সম্মন্ধ হবে ৷
∴ A থেকে B তে R একটি শূন্য সম্বন্ধ প্রকাশ করে।

2. কখন কোনো সেট A – এর ওপর সংজ্ঞাত একটি সম্বন্ধ স্বসম নয়? মনে করো, A = {a, b, c, d) এবং A -এর ওপর একটি সম্বন্ধ হল R, যেখানে R = {(a, a), (a, c), (c, a), (c, c), (d, d)}; A -র ওপর R কি স্বসম?
Ans: A সেটের ওপর সংজ্ঞাত একটি সম্বন্ধ R স্বসম হয় না যখন A সেটের কমপক্ষে একটি পদ a -এর জন্য (a, a) ∉ R হয়।
A = {a, b, c, d) এবং A -এর ওপর একটি সম্বন্ধ R = {(a, a), (a, c), (c, a), (c, c), (d, d)};
এখানে, (b, b) ∉ R
∴ R সম্বন্ধটি স্বসম নয় ।

অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী

3. কখন কোনো সেট A -র ওপর সংজ্ঞাত একটি সম্বন্ধ প্রতিসম নয়? মনে করো, X = {1, 2, 3, 4) এবং X এর ওপর একটি সম্বন্ধ R -এর সংজ্ঞা হয়: R = ((1, 2), ( 3, 4), (2, 2), ( 4, 3), (2, 3)}; X-এর ওপর R সম্বন্ধ কি প্রতিসম ?
Ans: A সেটের ওপর সংজ্ঞাত একটি সম্বন্ধ R প্রতিসম হয় না যখন (a, b) ∈ R কিন্তু (b, a) ∉ R হয়
X = {1, 2, 3, 4) এবং X এর ওপর একটি সম্বন্ধ R = ((1, 2), ( 3, 4), (2, 2), ( 4, 3), (2, 3)};
এখানে, (1,2) ∈ R কিন্তু ( 2,1) ∉ R
∴ R সম্বন্ধেটি প্রতিসম নয়।

4. কখন কোনো সেট A -র ওপর সংজ্ঞাত একটি সম্বন্ধ বিপ্রতিসম নয়? মনে করো, A = {1, 2, 3, 4} এবং A -র ওপর এটি সম্বন্ধ R-এর সংজ্ঞা হয়: R = {(, 1), (2, 2), (3, 4), (3, 3), (2, 1), (4, 3)}:A-র ওপর R সম্বন্ধ কি বিপ্রতিসম ?
Ans: A সেটের ওপর সংজ্ঞাত একটি সম্বন্ধ R বিপ্রতিসম হয় না যখন (a, b) ∈ R এবং (b, a) ∈ R কিন্তু a ≠ b হয়।
A = {1, 2, 3, 4} এবং A -র ওপর সংজ্ঞাত সম্বন্ধ R = {(1, 1), (2, 2), (3, 4), (3, 3), (2, 1), (4, 3)}:
এখানে, (3,4) ∈ R এবং (4,3) ∈ R কিন্তু 3 ≠ 4
∴ সম্বন্ধটি বিপ্রতিসম নয়।

Class XII Relation

5. কখন কোনো সেট A -র ওপর সংজ্ঞাত একটি সম্বন্ধ সংক্রমণ নয়? মনে করো, A = { 1. 2. 3. 4} এবং A -র ওপর একটি সম্বন্ধ R-এর সংজ্ঞা হয় R = {(2, 3), (1, 2), (3, 2) (4, 1)}; A র ওপর R সম্বন্ধ কি সংক্রমণ?
Ans: কোনো সেট A -র ওপর সংজ্ঞাত একটি সম্বন্ধ R ওই সেটের ওপর সংক্রমণ হয় না যখন a, b, c ∈ A এমন হয় যে (a, b) ∈ R এবং (b, c ) ∈ R কিন্তু (a, c) ∉ R হয়।
A = { 1. 2. 3. 4} এবং A -র ওপর একটি সম্বন্ধ R = {(2, 3), (1, 2), (3, 2) (4, 1)}
এখানে (2, 3) ∈ R এবং (3, 2) ∈ R কিন্তু ( 2, 2) ∉ R
∴ A র ওপর R সম্বন্ধটি সংক্রমণ নয়।

6. কোনো সেট A -র ওপর সংজ্ঞাত একটি সম্বন্ধ R একই সঙ্গে প্রতিসম এবং বিপ্রতিসম হতে পারে কি?
Ans: a,b ∈ A হলে, (a, b) ∈ R এবং (b, a) ∈ R হলে সম্বন্ধটি প্রতিসম হবে।
আবার (a,b) ∈ R এবং (b,a) ∈ R
⇒ a = b হলে সম্বন্ধটি বিপ্রতিসম হবে।
∴ কোন সেট A এর উপর একটি সম্বন্ধ R যদি,
(a, b) ∈ R
⇒ a = b আকারে সংজ্ঞাত হয় তবে A -এর ওপর R সম্বন্ধ একইসঙ্গে প্রতিসম এবং বিপ্রতিসম হবে ।

Utube_comptech_home — দশম শ্রেণীর **ভৌত** বিজ্ঞান এবং **জীবন** বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন

Class XII Relation

7. নীচে সংজ্ঞাত প্রত্যেকটি সম্বন্ধের ক্ষেত্র ও পাল্লা নির্ণয় করো:
(i) R₁ = {(a. ¹/_a) : 0 < a <5 এবং a একটি অখন্ড সংখ্যা}
Ans:
∵ 0 < a < 5 এবং a একটি অখন্ড সংখ্যা
R₁-এর ক্ষেত্র {1, 2, 3, 4} এবং
R₁-এর পাল্লা {1, ½, ⅓, ¼}

(ii) R₂ = {(x, y)| x ও y অখন্ড সংখ্যা এবং xy = 4}
Ans:
x ও y অখন্ড সংখ্যা এবং xy = 4
∴ R₂= {(-1, -4), (1, 4), (-2, -2), (2, 2), (-4, 1), (4, 1)}
R₂-এর ক্ষেত্র {-4, -2, -1, 1, 2, 4} এবং
R₂-এর পাল্লা {-4, -2, -1, 1, 2, 4}

(iii) R₃ = {(x, y) : x ∈ N, y ∈ N এবং 2x + y = 41 )
Ans:
∵ 2x + y = 41
বা, y = 41 – 2x
∴ R₃ = {(1, 39), (2, 37), (3, 35),. . . . . (19, 3),(20, 1)}
∴ R₃ -এর ক্ষেত্র {1, 2, 3. . . . . 19, 20} এবং
R₃ -এর পাল্লা {39, 37, 35,. . . . . 3, 1}

দ্বাদশ শ্রেণির সম্বন্ধ

(iv) R₄ = {(x, y)| x ও y অখন্ড সংখ্যা এবং x² + y² = 25}
Ans:
R₄ = {(x, y)! x ও y অখণ্ড সংখ্যা x² + y² = 25}
∵ x² + y² = 25
বা, y² = 25 – x²
বা, y = √(25 – x²)
∵ x ও y অখণ্ড সংখ্যা।
∴ x এর মান -5, -4, -3, 0, 3, 4, 5 হলে,
y এর মান হবে যথাক্রমে 0, 3, 4, 5, 4, 3, 0
∴ R₄ = {(-5, 0), (-4, 3), (-3, 4), (0, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 0)}
∴ R₄ -এর ক্ষেত্র = {-5, -4, -3, 0, 3, 4, 5} এবং
R₄ -এর পাল্লা = {0, 3, 4, 5)

(v) R₅ = (( x – 5, 2x – 7 ) : x হল 10-এর কম একটি বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যা }
Ans:
x হল 10-এর কম একটি বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যা।
∴ x = {1, 3, 5, 7, 9}
∴ R₅ = {(-4, -5),(-2, -1), (0, 3), (2, 7), (4, 11)}
∴ R₅ -এর ক্ষেত্র {-4, -2, 0, 2, 4} এবং
∴R₅ -এর পাল্লা {-5, -1, 3, 7, 11}
(vi) R₆ = {(x, x² – 31 ) : x হল 12-এর কম একটি মৌলিক সংখ্যা}
Ans:
x হল 12 এর কম একটি মৌলিক সংখ্যা।
∴ x = {2, 3, 5, 7, 11}
R6={(2, -27), (3, -22), (5, -6), (7, 18),(11, 90)}
∴ R₆ -এর ক্ষেত্র ={2, 3, 5, 7, 11} এবং
∴ R₆ -এর পাল্লা = {-27, -22, -6, 18, 90}

Class XII Relation

(vii) R₇ = {(x, y) : x হল একটি পূর্ণসংখ্যা এবং |x| <3 এবং y = |x-3|}
Ans:
x একটি পূর্ণসংখ্যা এবং |x|< 3
∴ x = {-2, -1, 0, 1, 2}
y = |-2 – 3| = 5, |-1 – 3| = 4, |0 – 3| = 3, |1 – 3| = 2, |2 – 3| = 1
R₇ = {(-2, 5), (-1, 4), (0, 3), (1, 2), (2, 1)}
∴ R₇-এর ক্ষেত্র = { -2, -1, 0, 1, 2} এবং
R₇-এর পাল্লা = {5, 4, 3, 2, 1}
(viii) S = {(x, y) : x, y ∈ N এবং x + 3y = 12}
Ans:
S = {(x, y) : x, y ∈N এবং x + 3y = 12}
∵ x+3y=12
বা, 3y = 12 – x
বা, y = ^{(12 – x)}/ ₃
x = 3, হলে y = 3
x = 6, হলে y = 2
x = 9, হলে y = 1
S = {(3, 3), (6, 2), (9, 1)}
∴ S এর ক্ষেত্র {3,6,9} এবং
S এর পাল্লা {3,2,1}

Class XII Relation

8. একটি সমতুল্যতা সম্বন্ধের সংজ্ঞা দাও। দেখাও যে, কোনো সমতলে অঙ্কিত ত্রিভুজসমূহের সেটের ওপর “সদৃশতা” সম্বন্ধ একটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ।
Ans:
সমতুল্যতা সম্বন্ধঃ শূন্য নয় এমন কোন সেটের ওপর সংজ্ঞাত একটি সম্বন্ধ R কে A এর ওপর সমতুল্যতা সম্বন্ধে বলা হবে যদি –
(i) R সম্বন্ধ A এর ওপর স্বসম হয় অর্থাৎ ∀x ∈ A এর জন্য (x, x) ∈ R হয়;
(ii) R সম্বন্ধ A এর ওপর প্রতিসম হয় অর্থাৎ ∀x, y ∈ A এর জন্য (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R হয় এবং
(iii) R সম্বন্ধ A ওপর সংক্রমণ হয় অর্থাৎ ∀x, y, z ∈ A এর জন্য (x, y) ∈ R এবং (y, z) ∈ R ⇒ (x, z) ∈ R হয়।

⛔ কোন সমতলে অঙ্কিত ত্রিভুজসমূহের সেট △ এর ওপর R সম্বন্ধ সর্বদা স্বসম কারণ যে কোনো ত্রিভুজ সর্বদা তার নিজের সঙ্গে সদৃশ হবে।
অর্থাৎ △₁ ∈ △ এর জন্য (△₁, △₁) ∈ R
△₁, △₂∈ △ এর জন্য ,
(△₁, △₂) ∈ R
⇒ △₁, এবং △₂ পরস্পর সদৃশ।
⇒ △₂, এবং △₁ পরস্পর সদৃশ।
⇒ (△₂, △₁) ∈ R
∴ R সম্বন্ধটি প্রতিসম।
△₁, △₂, △₃∈ △ এর জন্য ,
(△₁, △₂) ∈ R এবং (△₂, △₃) ∈ R
⇒ △₁, ও △₂ এবং △₂, ও △₃ পরস্পর সদৃশ।
⇒ △₁, এবং △₃ পরস্পর সদৃশ।
⇒ (△₁, △₃) ∈ R
∴ R সম্বন্ধটি সংক্রমন।
∴ ত্রিভুজসমূহের সেটের ওপর “সদৃশতা” সম্বন্ধ একটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ।

9. A = {a, b, c} সেটের ওপর একটি সমৃদ্ধ R এমনভাবে সংজ্ঞাত করো, যাতে সম্বন্ধটি স্বসম কিংবা প্রতিসম বা সংক্রমণ না হয়।
Ans:
R = {(a, b), (b, c), (c, a)}
(a, a), (b, b), (c, c) ∉ R
∴ R সম্বন্ধটি স্বসম নয়।
আবার, (a, b) ∈ R কিন্তু (b, a) ∉ R
∴ R সম্বন্ধটি প্রতিসম নয়।
আবার, (a, b) ∈ R এবং (b, c) ∈ R কিন্তু (a, c) ∉ R
∴ R সম্বন্ধ টি সংক্রমণ নয়।
∴ R সম্বন্ধটি স্বসম কিংবা প্রতিসম বা সংক্রমণ নয়।

দ্বাদশ শ্রেণির সম্বন্ধ

10. মনে করো, A= (1, 2, 3) এবং A -এর উপর R = (1, 1), (2, 3), (3, 3)} একটি সম্বন্ধ। R-এর সঙ্গে (i) সবচেয়ে কম (ii) সবচেয়ে বেশি সংখ্যক ক্রমিত জোড়সমূহ যোগ করো যাতে পরিবর্ধিত সম্বন্ধ দুটির প্রতিটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ হয়।
Ans:
(i) R সম্বন্ধটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ হবে যদি সেটি স্বসম, প্রতিসম এবং সংক্রমণ হয়।
(2,2) ∉ R
∴ (2,2) ∈ R হলে সম্পর্কটি স্বসম সম্বন্ধ হবে।
আবার, (2, 3) ∈ R কিন্তু ( 3, 2) ∉ R
∴ (3,2) ∈ R হলে সম্পর্কটি প্রতিসম হবে।
R = {(1,1), (2,2), (3,3), (2,3), (3,2)}
(2,3) ∈ R এবং (3, 2) ∈ R
⇒ (2,2) ∈ R
∴ R সম্বন্ধটি সংক্রমন সম্মন্ধ ।
সবচেয়ে কম সংখ্যক ক্রমিত জোড় যোগ করে R সম্বন্ধটিকে A সেটের ওপর সমতুল্য করতে গেলে (2,2) এবং (3, 2) যোগ করতে হবে।

(ii) A সেটের ওপর সংজ্ঞাত সবচেয়ে বড় সমতুল্যতা সম্বন্ধ হল A×A
A×A = {(1,1), (2, 2), ( 3, 3), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 2)}
সুতরাং, সবচেয়ে বেশি সংখ্যক ক্রমিত জোড় যোগ করে সম্বন্ধটিতে A সেটের ওপর সমতুল্য করতে গেলে (2, 2), (1, 2), (1, 3), ( 2, 1) (3,1), (3, 2) পদ্গুলি যোগ করতে হবে।

11. মনে করো, T₁, T₂, T₃ তিনটি সমকোণী ত্রিভুজ যাদের বাহু তিনটি যথাক্রমে 3, 4, 5; 5, 12, 13 এবং 6, 8, 10 ; T₁, T₂, এবং T₃ ত্রিভুজ তিনটির মধ্যে কারা সম্বন্ধযুক্ত?
Ans:
সদৃশতা একটি সমতুল্যতা সম্বন্ধ।
এখানে 3,4,5 এবং 6,8,10 বাহুবিশিষ্ট ত্রিভুজ দুটির বাহুগুলি পরস্পর সমানুপাতিক।
3,4,5 এবং 6,8,10 বাহুবিশিষ্ট ত্রিভুজ দুটি পরস্পর সদৃশ।
3,4,5 এবং 6,8,10 বাহুবিশিষ্ট ত্রিভুজ দুটি সমতুল্যতা সম্বন্ধযুক্ত।

August 8, 2023

Complete Solution of Ratio And Proportion (অনুপাত ও সমানুপাত)Koshe Dekhi – 5.3
Complete Solution of Ratio And Proportion
(অনুপাত ও সমানুপাত)Koshe Dekhi – 5.3
Koshe Dekhi – 5.3
Complete Solution of Ratio And Proportion
Complete Solution of Ratio And Proportion
Madhyamik Previous Year (2017 – 2024) MATHEMATICS Question with complete solution|
বিগত বছরের (2017 – 2024) মাধ্যমিক গণিত প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নীচের BUTTON-এ CLICK করো|
CLICK
⛔ একান্তর প্রক্রিয়া ঃঃ
$\Large{\quad\quad\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\\⇒\frac{a}{c}=\frac{b}{d}}$
⛔বিপরীত প্রক্রিয়া ঃঃ
$\Large{\quad\quad\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\\⇒\frac{b}{a}=\frac{d}{c}}$
⛔যোগ প্রক্রিয়া ঃঃ
$\Large{\quad\quad\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\\⇒\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}}$
⛔ভাগ প্রক্রিয়া ঃঃ
$\Large{\quad\quad\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\\⇒\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}}$
⛔যোগ ভাগ প্রক্রিয়া ঃঃ
$\Large{\quad\quad\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\\⇒\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}}$
⛔সংযোজন প্রক্রিয়া ঃঃ
$\Large{\quad\quad\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}\\\quad \quad=\frac{a+c+e}{b+d+f}}$
⛔ $\Large{\quad\quad\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}\\}$হলে প্রত্যেকটি অনুপাত=$\Large{\quad\quad\frac{ma+nc+pe}{mb+nd+pf}\\}$এর সমান হবে যেখানে m, n, p যেকোনো অশূন্য বাস্তব সংখ্যা
দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নিচের BUTTON-এ ক্লিক করো।
CLICK
Complete Solution of Ratio And Proportion
1. (i) a : b = c : d হলে, দেখাই যে,
(i) (a²+ b²) : (a²– b²) = (ac + bd) : (ac – bd)
Ans:
a : b = c : d = k – – – [ধরি, k একটি অশূন্য ধ্রুবক।]
∴ a = bk;
c = dk;
L.H.S.
= (a²+ b²) : (a²– b²)
= {(bk)²+ b²} : {(bk)²– b²}
⇒ (b²k²+ b²) : (b²k²– b²)
= b²(k²+ 1) : b²(k²– 1)
= (k²+ 1) : (k²– 1)
R.H.S.
= (ac + bd) : (ac – bd)
= (bk.dk + bd) : (bk.dk – bd)
⇒ bd(k²+ 1) : bd(k²– 1)
= (k²+ 1) : (k²– 1) = L.H.S.
(a²+ b²) : (a²– b²) = (ac + bd) : (ac – bd) (Proved)
1.(ii) a : b = c : d হলে, দেখাই যে,
(a²+ ab + b²) : (a²– ab + b²) = (c²+ cd + d²) : (c² – cd + d²)
Ans:
a : b = c : d = k – – – [ধরি, k একটি অশূন্য ধ্রুবক।]
∴ a = bk;
c = dk;
L.H.S.
= (a²+ ab + b²) : (a²– ab + b²)
= {(bk)²+ bk.b + b²} : {(bk)²– bk.b + b²)
⇒ (b²k²+ b²k + b²) : (b²k²– b²k + b²)
= b²(k²+ k + 1) : b²(k²– k + 1)
= (k²+ k + 1) : (k²– k + 1)
R.H.S.
= (c²+ cd + d²) : (c² – cd + d²)
= {(dk)²+ dk.b + d²} : {(dk)²– dk.b + d²)
⇒ (d²k²+ d²k + d²) : (d²k²– d²k + d²)
= d²(k²+ k + 1) : d²(k²– k + 1)
= (k²+ k + 1) : (k²– k + 1) = L.H.S.
(a²+ ab + b²) : (a²– ab + b²) = (c²+ cd + d²) : (c² – cd + d²) (Proved)
1.(iii) a : b = c : d হলে, দেখাই যে,
$$\large{\mathbf{\sqrt{a^2+c^2}:\sqrt{b^2+d^2}=(pa+qc):(pb+qd))\\Ans:}}$$
a : b = c : d = k – – – [ধরি, k একটি অশূন্য ধ্রুবক।]
∴ a = bk;
c = dk;
$$\large{\mathbf{\underline{L.H.S}}\sqrt{a^2+c^2}:\sqrt{b^2+d^2}\\=\frac{\sqrt{a^2+c^2}}{\sqrt{b^2+d^2}}\\=\frac{\sqrt{(bk)^2+(dk)^2}}{\sqrt{b^2+d^2}}\\=\frac{\sqrt{b^2k^2+d^2k^2}}{\sqrt{b^2+d^2}}\\-k\\\mathbf{\underline{R.H.S}}\\=(pa+qc):(pb+qd)\\=\frac{pa+qc}{pb+qd}\\=\frac{p.bk+q.dk}{pb+qd}\\=\frac{k(pb+qd)}{pb+qd}\\k=\mathbf{\underline{L.H.S}}}$$
$$\large{\sqrt{a^2+c^2}:\sqrt{b^2+d^2}=(pa+qc):(pb+qd))\mathbf{(Proved)})\\}$$
Complete Solution of Ratio And Proportion
2.(i) x : a = y : b = z : c হলে, প্রমাণ করি যে,
$$\large{\mathbf{\frac{x^3}{a^2}+\frac{y^3}{b^2}+\frac{z^3}{c^2}=\frac{(x+y+z)^3}{(a+b+c)^2}\\Ans:}}$$
x : a = y : b = z : c = k – – – [ধরি, k একটি অশূন্য ধ্রুবক।]
∴ x = ak;
y = bk;
z = ck
$$\large{\mathbf{\underline{L.H.S.}\\}=\frac{x^3}{a^2}+\frac{y^3}{b^2}+\frac{z^3}{c^2}\\=\frac{(ak)^3}{a^2}+\frac{(bk)^3}{b^2}+\frac{(ck)^3}{c^2}\\=\frac{a^3k^3}{a^2}+\frac{b^3k^3}{b^2}+\frac{c^3k^3}{c^2}\\=ak^3+bk^3+c^3k^3\\=k^3(a+b+c)\\\mathbf{\underline{R.H.S.}}\\=\frac{(x+y+z)^3}{(a+b+c)^2}\\=\frac{(ak+bk+ck)^3}{(a+b+c)^2}\\=\frac{k^3(a+b+c)^3}{(a+b+c)^2}\\=k^3(a+b+c)=\mathbf{\underline{R.H.S.}\quad (Proved)}}$$
Complete Solution of Ratio And Proportion
2.(ii) x : a = y : b = z : c হলে, প্রমাণ করি যে,
$$\large{\mathbf{\frac{x^3+y^3+z^3}{a^3+b^3+c^3}=\frac{xyz}{abc}\\Ans:}}$$
x : a = y : b = z : c = k – – – [ধরি, k একটি অশূন্য ধ্রুবক।]
∴ x = ak;
y = bk;
z = ck
$$\large{\mathbf{\underline{L.H.S.}}\\\frac{x^3+y^3+z^3}{a^3+b^3+c^3}\\=\frac{(ak)^3+(bk)^3+(ck)^3}{a^3+b^3+c^3}\\=\frac{a^3k^3+b^3k^3+c^3k^3}{a^3+b^3+c^3}\\=\frac{k^3(a^3+b^3+c^3)}{a^3+b^3+c^3}\\=k^3\\\mathbf{\underline{R.H.S}}\\=\frac{xyz}{abc}\\=\frac{ak×bk×ck}{abc}\\=k^3=\mathbf{\underline{L.H.S.}\quad (Proved)}}$$
2.(iii) x : a = y : b = z : c হলে, প্রমাণ করি যে,
(a²+b²+c²)(x²+y²+z²) = (ax+by+cz)²
Ans:
x : a = y : b = z : c = k – – – [ধরি, k একটি অশূন্য ধ্রুবক।]
∴ x = ak;
y = bk;
z = ck
L.H.S.
= (a² + b² + c²)(x² + y² + z²)
= (a² + b² + c²){(ak)² + (bk)² + (ck)²}
⇒ (a² + b² + c²)(a²k² + b²k² + c²k²
= (a² + b² + c²)k²(a² + b² + c²)
= k²(a² + b² + c²)²

R.H.S.
= (ax + by + cz)²
= (a×ak + b×bk + c×ck)²
⇒ (a²k + b²k + c²k)²
= {k(a² + b² + c²)}²
= k²(a² + b² + c²)² = L.H.S
(a²+b²+c²)(x²+y²+z²) = (ax+by+cz)² (Proved)
3. a : b = c : d = e : f হলে, প্রমাণ করি যে,
(i) প্রত্যেকটি অনুপাত
$$\large{\mathbf{=\frac{5a-7c-13e}{5b-7d-13f}\\}}$$
3. a : b = c : d = e : f হলে, প্রমাণ করি যে,
(ii) (a²+c²+e²)(b²+d²+f²) = (ab+cd+ef)²
Ans:
a : b = c : d = e : f = k – – – [ধরি, k একটি অশূন্য ধ্রুবক।]
∴ a = bk;
c = dk;
e = fk
L.H.S.
= (a²+ c²+ e²)(b²+ d²+ f²)
= {(bk)²+ (dk)²+ (fk)²)}(b²+ d²+ f²)
⇒ (b²k²+ d²k²+ f²k²)(b²+ d²+ f²)
= k²(b²+ d² + f²)(b²+ d²+ f²)
= k²(b²+ d² + f²)² = R.H.S.
(a²+c²+e²)(b²+d²+f²) = (ab+cd+ef)² (Proved)
Complete Solution of Ratio And Proportion
4. যদি a : b = b : c হয়, তবে প্রমাণ করি যে,
$$\large{\mathbf{(i)\\\left(\frac{a+b}{b+c}\right)^2=\frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}\\(ii)\\a^2b^2c^2\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\right)=a^3+b^3+c^3}}$$
$$\large{\mathbf{(i)\\Ans:}\\\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=k – – – (k≠0)\\∴b=ck;\\a=bk=ck.k=ck^2\\\mathbf{\underline{L.H.S.}}\\=\left(\frac{a+b}{b+c}\right)^2\\=\left(\frac{ck^2+ck}{ck+c}\right)^2\\=\left[\frac{ck(k+1)}{c(k+1)}\right]^2\\=k^2\\\mathbf{\underline{R.H.S.}}\\=\frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}\\=\frac{(ck^2)^2+(ck)^2}{(ck)^2+c^2}\\=\frac{c^2k^4+c^2k^2}{c^2k^2+c^2}\\=\frac{c^2k^2(k^2+1)}{c^2(k^2+1)}\\=c^2\\=\mathbf{\underline{L.H.S.}\quad (Proved)}}$$
Koshe Dekhi – 5.3
Complete Solution of Ratio And Proportion
$$\large{\mathbf{(ii)\\Ans:}\\\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=k – – – (k≠0)\\∴b=ck;\\a=bk=ck.k=ck^2\\\mathbf{\underline{L.H.S.}}\\=a^2b^2c^2\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\right) \\=(ck^2)^2.(ck)^2.c^2\left[\frac{1}{(ck^2)^3}+\frac{1}{(ck)^3}+\frac{1}{c^3}\right]\\=c^2k^4.c^2k^2.c^2\left(\frac{1}{c^3k^6}+\frac{1}{c^3k^3}+\frac{1}{c^3}\right)\\=c^6k^6×\frac{1+k^3+k^6}{c^3k^6}\\=c^3(1+k^3+k^6)\\=c^3+c^3k^3+c^3k^6\\=c^3+(ck)^3+(ck^2)^3\\=c^3+b^3+a^3\\=a^3+b^3+c^3\\=\mathbf{\underline{R.H.S.}\quad (Proved)}}$$
Complete Solution of Ratio And Proportion
5.(i) a, b, c, d ক্রমিক সমানুপাতী হলে, প্রমাণ করি যে,
(a²+b²+c²)(b²+c²+d²) = (ab+bc+cd)²

Ans: a, b, c, d ক্রমিক সমানুপাতী।
$$\large{∴\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=k – – (k≠0)\\∴c=kd\\b=ck=kd.k=k^2d\\a=bk=k^2d.k=k^3d}$$
L.H.S.
= (a²+ b² + c²)(b² + c²+ d²)
= {(k³d)²+ (k²d)² + (kd)²}{(k²d)² + (kd)²+ d²}
⇒ (k⁶d²+ k⁴d² + k²d²)(k⁴d² + k²d²+ d²)
= k²(k⁴d²+ k²d² + d²)(k⁴d² + k²d²+ d²)
= {k(k⁴d²+ k²d² + d²)}²
⇒ (k⁵d²+ k³d² + kd²)²
= (k³d×k²d+ k²d×kd + kd×d)²
= (ab + bc + cd)² = R.H.S.
(a²+ b² + c²)(b² + c²+ d²) = (ab + bc + cd)² (Proved)
5.(ii) a, b, c, d ক্রমিক সমানুপাতী হলে, প্রমাণ করি যে,
(b-c)²+(c-a)²+(b-d)²=(a-d)²
Ans:
a, b, c, d ক্রমিক সমানুপাতী।
$$\large{∴\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=k – – (k≠0)\\∴c=kd\\b=ck=kd.k=k^2d\\a=bk=k^2d.k=k^3d}$$
L.H.S.
= (b – c)² + (c – a)² + (b – d)²
= (k²d- kd)² + (kd – k³d)² + (k²d- d)²
⇒ (k²d)² – 2.k²d.kd + (kd)² + (kd)² – 2.kd.k³d + (k³d)² + (k²d)²– 2.k²d.d + (d)²
= k⁴d² – 2k³d² + k²d² + k²d² – 2k⁴d² + k⁶d² + k⁴d² – 2k²d² + d²
= 2k⁴d² – 2k³d² + 2k²d² – 2k⁴d² + k⁶d² – 2k²d² + d²
⇒ k⁶d² – 2k³d²+ d²
= (k³d)² – 2.k³d.d + (d)²
= (k³d – d)²
= (a – d)² = R.H.S.
(b – c)² + (c – a)² + (b – d)²= (a – d)²(Proved)
Complete Solution of Ratio And Proportion
$$\large{\mathbf{6.(i)\\\frac{m}{a}=\frac{n}{b}}}$$
হয়, তবে দেখাই যে,
(m²+n²)(a²+b²) = (am+bn)²
$$\large{\mathbf{Ans:}\\\frac{m}{a}=\frac{n}{b}=k}$$
– – – [যেখানে k একটি অশূন্য ধ্রুবক।]
∴m = ak;
n = bk
L.H.S.
= (m²+n²)(a²+b²)
= {(ka)²+(kb)²}(a²+b²)
⇒ (k²a²+k²b²)(a²+b²)
= k²(a²+b²)(a²+b²)
= k²(a²+b²)²
R.H.S.
= (am+bn)²
= (a.ka+b.kb)²
⇒ {k(a²+b²)}²
= k²(a²+b²)² = L.H.S.
(m²+n²)(a²+b²) = (am+bn)² (প্রমাণিত)
Complete Solution of Ratio And Proportion
$$\large{\mathbf{6.(ii)\\\frac{a}{b}=\frac{x}{y}}}$$
হয়, তবে দেখাই যে, (a+b)(a²+b²)x³=(x+y)(x²+y2)a3
$$\large{\mathbf{Ans:}\\\frac{a}{b}=\frac{x}{y}\\⇒\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=k}$$
– – – [যেখানে k একটি অশূন্য ধ্রুবক।]
∴a = kx;
b = ky
L.H.S.
=(a+b)(a²+b²)x³
=(kx+ky){(kx)²+(ky)²}x³
=k(x+y)(k²x²+k²y²)x³
=k(x+y)k²(x²+y²)x³
=k³(x+y)(x²+y²)x³
R.H.S.
=(x+y)(x²+y²)(kx)³
=k³(x+y)(x²+y²)x³ = L.H.S.
(a+b)(a²+b²)x³=(x+y)(x²+y²)a³ (প্রমাণিত)
$$\large{\mathbf{6.(iii)\\\frac{x}{lm-n^2}=\frac{y}{mn-l^2}=\frac{z}{nl-m^2}}}$$
হয়, তবে দেখাই যে, lx + my + nz = 0
$$\large{\mathbf{Ans:}\\\frac{x}{lm-n^2}=\frac{y}{mn-l^2}=\frac{z}{nl-m^2}=k}$$
[যেখানে k একটি অশূন্য ধ্রুবক।]
∴ x = k(lm – n²);
y = k(mn – l²);
z = k(nl – m²)
L.H.S.
= lx + my + nz
= l.k(lm – n²) + m.k(mn – l²) + n.k(nl – m²)
⇒ k[l²m – ln² + m²n – l²m + ln² – nm²]
= 0
Complete Solution of Ratio And Proportion
$$\large{\mathbf{6.(iv)\\\frac{x}{b+c-a} =\frac{y}{c+a-b} =\frac{z}{a+b-c}}}$$
হলে, দেখাই যে,
(b-c)x+(c-a)y+(a-b)z=0
$$\large{\mathbf{Ans:}\\\frac{x}{b+c-a} =\frac{y}{c+a-b} =\frac{z}{a+b-c}=k}$$
[যেখানে k একটি অশূন্য ধ্রুবক।]
∴ x = k(b + c – a);
y = k(c + a – b);
z = k(a + b – c)
L.H.S.
= (b-c)x+(c-a)y+(a-b)z
= (b-c).k(b+c-a)+(c-a).k(c+a-b)+(a-b).k(a+b-c)
⇒ k[(b-c)(b+c-a)+(c-a)(c+a-b)+(a-b)(a+b-c)]
= k[(b-c)(b+c)-(b-c)a+(c-a)(c+a)-(c-a)b+(a-b)(a+b)-(a-b)c]
⇒ k[b²-c²-ab+ca+c²-a²-bc+ab+a²-b²-ca+bc]
= 0 = R.H.S (Proved)
Complete Solution of Ratio And Proportion
$$\large{\mathbf{6.(v)\\\frac{x}{y} =\frac{a+2}{a-2}}}$$
হলে, দেখাই যে,
$$\large{\mathbf{\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} =\frac{4a}{a^2+4}}\\\mathbf{Ans:}\\\frac{x}{y} =\frac{a+2}{a-2}\\⇒\left(\frac{x}{y}\right)^2=\left(\frac{a+2}{a-2}\right)^2\\⇒\frac{x^2}{y^2}=\frac{a^2+2.a.2+2^2}{a^2-2.a.2+2^2}\\⇒\frac{x^2}{y^2}=\frac{a^2+4a+4}{a^2-4a+4}\\⇒\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=\frac{a^2+4a+4-a^2+4a-4}{a^2+4a+4+a^2-4a+4}\\⇒\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=\frac{8a}{2a^2+8}\\⇒\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=\frac{8a}{2(a^2+4)}\\⇒\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=\frac{4a}{a^2+4}\quad \mathbf{(Proved)}}$$
Ratio And Proportion 5.3
$$\large{\mathbf{6. (vi)\\x=\frac{8ab}{a+b}}}$$হলে,$$\large{\mathbf{\frac{x+4a}{x-4a}+\frac{x+4b}{x-4b}}\\}$$
এর মান হিসাব করে লিখি।
$$\large{\mathbf{Ans:}\\x=\frac{8ab}{a+b}\\⇒x=\frac{4a×2b}{a+b}\\⇒\frac{x}{4a}=\frac{2b}{a+b}\\⇒\frac{x+4a}{x-4a}=\frac{2b+a+b}{2b-a-b}\\⇒\frac{x+4a}{x-4a}=\frac{3b+a}{b-a}}$$
আবার
$$\large{\frac{x}{4b}=\frac{2a}{a+b}\\⇒\frac{x+4b}{x-4b}=\frac{2a+a+b}{2a-a-b}\\⇒\frac{x+4b}{x-4b}=\frac{3a+b}{a-b}}$$ $$\large{∴\frac{x+4a}{x-4a}+\frac{x+4b}{x-4b}\\=\frac{3b+a}{b-a}+\frac{3a+b}{a-b}\\=\frac{3b+a}{b-a}-\frac{3a+b}{b-a}\\=\frac{3b+a-3a-b}{b-a}\\=\frac{2b-2a}{b-a}\\=\frac{2(b-a)}{b-a}\\=2\quad \mathbf{(Ans)}}$$
Koshe Dekhi 5.3
$$\large{\mathbf{7.(i)\\\frac{a}{3} =\frac{b}{4} =\frac{c}{7}}}$$
হলে, দেখাই যে,
$$\large{\mathbf{\frac{a+b+c}{c}=2\\Ans:}\\\frac{a}{3} =\frac{b}{4} =\frac{c}{7}=k}$$
[যেখানে k একটি অশূন্য ধ্রুবক।]
a = 3k; b = 4k; c = 7k
$$\large{\frac{a+b+c}{c}\\=\frac{3k+4k+7k}{7k}\\=\frac{14k}{7k} =2\quad \mathbf{(Proved)}}$$
Ratio And Proportion 5.3
$$\large{\mathbf{7.(ii)\\\frac{a}{q-r} =\frac{b}{r-p} =\frac{c}{p-q}}}$$
হলে, দেখাই যে, a+ b + c = 0 = pa+qb+rc
$$\large{\mathbf{Ans:}\\\frac{a}{q-r} =\frac{b}{r-p}=\frac{c}{p-q}=k}$$
[যেখানে k একটি অশূন্য ধ্রুবক।]
∴ a = k(q-r);
b = k(r-p);
c = k(p-q)
∴ a + b + c
= k(q-r) + k(r-p) + k(p-q)
⇒ k(q-r+r-p+p-q)
= 0
আবার,
pa+qb+rc
⇒ pk(q-r) + qk(r-p) + rk(p-q)
= k(pq-rp+qr-pq+rp-qr)
= 0
a+ b + c = 0 = pa+qb+rc (প্রমাণিত)
$$\large{\mathbf{7.(iii)\\\frac{ax+by}{a} =\frac{bx-ay}{b}}\\}$$
হলে, দেখাই যে প্রতিটি অনুপাত x -এর সমান।
$$\large{\mathbf{Ans:}\\\frac{ax+by}{a} =\frac{bx-ay}{b}\\⇒\frac{a(ax+by)}{a^a} =\frac{b(bx-ay)}{b^b}\\⇒\frac{a^2x+aby}{a^2} =\frac{b^2x-aby}{b^2}}$$
প্রতিটি অনুপাত (সংযোজন প্রক্রিয়া প্রয়োগ করে) হবে
$$\large{\\=\frac{a^2x+aby+b^2x-aby}{a^2+b^2}\\=\frac{a^2x+b^2x}{a^2+b^2}\\=\frac{x(a^2+b^2)}{a^2+b^2}\\=x\quad \mathbf{(Proved)}}$$
Ratio And Proportion 5.3
$$\large{\mathbf{8. (i)\\\frac{a+b}{b+c} =\frac{c+d}{d+a}}\\}$$
হয়, তবে প্রমান করি যে,
c = a অথবা a+b+c+d = 0
$$\large{\mathbf{Ans:}\\\frac{a+b}{b+c} =\frac{c+d}{d+a}=k}$$
[যেখানে k একটি অশূন্য ধ্রুবক।]
∴ a+b = k(b+c) – – – (i)
c+d = k(d+a) – – – (ii)
(i) ও (ii) যোগ করে পাই,
a+b+c+d = k(b+c) + k(d+a)
বা, a+b+c+d = k(b+c+d+a)
⇒ (a+b+c+d)-k(b+c+d+a)=0
বা, (a+b+c+d)(k-1)=0
হয় a+b+c+d= 0 নতুবা
$$\large{k-1=0\\⇒k=1\\⇒\frac{c+d}{d+a} =1\\⇒c+d=d+a\\⇒c=a\\⇒a=c}$$
c = a অথবা a+b+c+d = 0 (প্রমাণিত)
$$\large{\mathbf{8. (ii)\\\frac{x}{b+c} =\frac{y}{c+a} =\frac{z}{a+b}}\\}$$
হয়, তবে দেখাই যে,
$$\large{\mathbf{\frac{a}{y+z-x} =\frac{b}{z+x-y} =\frac{c}{x+y-z}\\Ans:}\\\frac{x}{b+c} =\frac{y}{c+a} =\frac{z}{a+b}=k}$$
[যেখানে k একটি অশূন্য ধ্রুবক।]
∴x = k(b + c);
y = k(c + a);
z = k(a + b)
$$\large{\mathbf{\underline{L.H.S.}}\\=\frac{a}{y+z-x}\\=\frac{a}{k(c+a)+k(a+b)-k(b+c)}\\=\frac{a}{k(c+a+a+b-b-c)}\\=\frac{a}{2ka}\\=\frac{1}{2k}\\\mathbf{\underline{M.H.S.}}\\=\frac{b}{z+x-y}\\=\frac{b}{k(a+b)+k(b+c)-k(c+a)}\\=\frac{b}{k(a+b+b+c-c-a)}\\=\frac{b}{2kb}\\=\frac{1}{2k} \\\mathbf{\underline{R.H.S.}}\\=\frac{c}{x+y-z}\\=\frac{c}{k(b+c)+k(c+a)-k(a+b)}\\=\frac{c}{k(b+c+c+a-a-b)}\\=\frac{c}{2kc}\\=\frac{1}{2k}\\\frac{a}{y+z-x} =\frac{b}{z+x-y} =\frac{c}{x+y-z}\quad \mathbf{(Proved)}}$$
কষে দেখি – 5.3
$$\large{\mathbf{8.(iii)\\\frac{x+y}{3a-b} =\frac{y+z}{3b-c} =\frac{z+x}{3c-a}}}$$হলে, দেখাই যে,$$\large{\mathbf{\frac{x+y+z}{a+b+c}=\frac{ax+by+cz}{a^2+b^2+c^2}}\\\mathbf{Ans:}}$$
প্রতিটি অনুপাত (সংযোজন প্রক্রিয়া প্রয়োগ করে) হবে=
$$\large{=\frac{x+y+y+z+z+x}{3a-b+3b-c+3c-a}\\=\frac{2x+2y+2z}{2a+2b+2c}\\=\frac{x+y+z}{a+b+c}\\∴\frac{x+y}{3a-b}=\frac{y+z}{3b-c}=\frac{z+x}{3c-a}=\frac{x+y+z}{a+b+c}=k}$$
কষে দেখি – 5.3 Ratio And Proportion 5.3
[যেখানে k একটি অশূন্য ধ্রুবক।]
∴x+y=k(3a-b) – – – (i);
y+z=k(3b-c) – – – (ii);
z+x=k(3c-a) – – – (iii);
x+y+z=k(a+b+c) – – – (iv)
(iv) – (ii) করে পাই,
x+y+z – (y+z) = k(a+b+c) – k(3b-c)
বা, x = k(a+b+c-3b+c)
বা, x = k(a-2b+2c)
∴ ax = k(a²-2ab+2ac)
(iv) – (iii) করে পাই,
x+y+z – (z+x) = k(a+b+c) – k(3c-a)
বা, y = k(a+b+c-3c+a)
বা, y = k(b-2c+2a)
∴ by = k(b²-2bc+2ab)
(iv) – (i) করে পাই,
x+y+z – (x+y) = k(a+b+c) – k(3a-b)
বা, z = k(a+b+c-3a+b)
বা, z = k(c-2a+2b)
∴ cz = k(c²-2ac+2bc)
∴ ax+by+cz
= k(a²-2ab+2ac)+k(b²-2bc+2ab)+k(c²-2ac+2bc)
⇒ k(a²-2ab+2ac+b²-2bc+2ab+c²-2ac+2bc)
= k(a²+b²+c²)
$$\large{\mathbf{\underline{R.H.S.}}\\=\frac{ax+by+cz}{a^2+b^2+c^2}\\=\frac{k(a^2+b^2+c^2)}{a^2+b^2+c^2}\\=k\\∴\frac{x+y+z}{a+b+c}=\frac{ax+by+cz}{a^2+b^2+c^2}\quad \mathbf{(Proved)}}$$
$$\large{\mathbf{8.(iv)\\\frac{x}{a}=\frac{y}{b} =\frac{z}{c}}}$$হলে, দেখাই যে,$$\large{\mathbf{\frac{x^2-yz}{a^2-bc}=\frac{y^2-zx}{b^2-ca}=\frac{z^2-xy}{c^2-ba}}\\}$$$$\large{\mathbf{Ans:}\\\frac{x}{a}=\frac{y}{b} =\frac{z}{c}=k\\∴x=ka:\\y=kb:\\z=kc\\\mathbf{\underline{L.H.S.}}\\=\frac{x^2-yz}{a^2-bc}\\⇒\frac{(ka)^2-kb.kc}{a^2-bc}\\⇒\frac{k^2a^2-k^2bc}{a^2-bc}\\⇒\frac{k^2(a^2-bc)}{a^2-bc}\\⇒k^2\\\mathbf{\underline{M.H.S.}}\\=\frac{y^2-zx}{b^2-ca}\\⇒\frac{(kb)^2-kc.ka}{b^2-ca}\\⇒\frac{k^2b^2-k^2ca}{b^2-ca}\\⇒\frac{k^2(b^2-ca)}{b^2-ca}\\⇒k^2\\\mathbf{\underline{R.H.S.}}\\=\frac{z^2-xy}{c^2-ba}\\⇒\frac{(kc)^2-ka.kb}{c^2-ba}\\⇒\frac{k^2c^2-k^2ba}{c^2-ba}\\⇒\frac{k^2(c^2-ba)}{c^2-ba}\\⇒k^2\\∴\frac{x^2-yz}{a^2-bc}=\frac{y^2-zx}{b^2-ca}=\frac{z^2-xy}{c^2-ba}\quad\mathbf{(Proved)}}$$
কষে দেখি – 5.3
$$\large{\mathbf{9.(i)\\\frac{3x+4y}{3u+4v} =\frac{3x-4y}{3u-4v}}}$$হয়,তবে দেখাই যে,$$\large{\mathbf{\frac{x}{y} =\frac{u}{v}}\\}$$
$$\large{\mathbf{Ans:\\\underline{L.H.S.}}\\\frac{3x+4y}{3u+4v} =\frac{3x-4y}{3u-4v}\\⇒\frac{3x+4y}{3x-4y} =\frac{3u+4v}{3u-4v}\\⇒\frac{3x+4y+3x-4y}{3x+4y-3x+4y} =\frac{3u+4v+3u-4v}{3u+4v-3u+4v}}$$যোগ-ভাগ প্রক্রিয়া প্রয়োগ করে পাই,$$\large{⇒\frac{6x}{8y}=\frac{6u}{8v}\\⇒\frac{x}{y}=\frac{u}{v}=\underline{R.H.S.}\quad \mathbf{(Proved)}}$$
9. (ii) (a + b + c + d) : (a + b – c – d) = (a – b + c – d) : (a – b – c + d) হলে, প্রমান করি যে,
a : b = c : d
$$\large{\mathbf{Ans:\\\underline{L.H.S.}}\\=(a+b+c+d):(a+b-c-d)=(a-b+c-d):(a-b-c+d)\\⇒\frac{a+b+c+d}{a+b-c-d}=\frac{a-b+c-d}{a-b-c+d}}$$যোগ-ভাগ প্রক্রিয়া প্রয়োগ করে পাই,$$\large{\frac{a+b+c+d+a+b-c-d}{a+b+c+d-a-b+c+d}=\frac{a-b+c-d+a-b-c+d}{a-b+c-d-a+b+c-d}\\⇒\frac{2a+2b}{2c+2d}=\frac{2a-2b}{2c-2d}\\⇒\frac{2(a+b)}{2(c+d)}=\frac{2(a-b)}{2(c-d)}\\⇒\frac{a+b}{c+d}=\frac{a-b}{c-d}\\⇒\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}}$$পুনরায় যোগ-ভাগ প্রক্রিয়া প্রয়োগ করে পাই, $$\large{⇒\frac{a+b+a-b}{a+b=a+b}=\frac{c+d+c-d}{c+d-c+d}\\⇒\frac{2a}{2b}=\frac{2c}{2d}\\⇒\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\\⇒a:b=c:d=\mathbf{\underline{R.H.S.}\quad (Proved)}}$$
$$\large{\mathbf{10.(i)\\\frac{a^2}{b+c} =\frac{b^2}{c+a} =\frac{c^2}{a+b}=1}}$$হলে, দেখাই যে,$$\large{\mathbf{\frac{1}{1+a} +\frac{1}{1+b} +\frac{1}{1+c}}\\}$$
$$\large{\mathbf{Ans:}\\∵\frac{a^2}{b+c} =\frac{b^2}{c+a} =\frac{c^2}{a+b}=1\\∴a^2=b+c;\\b^2=c+a;\\c^2=a+b\\\mathbf{\underline{L.H.S}}\\=\frac{1}{1+a} +\frac{1}{1+b} +\frac{1}{1+c}\\=\frac{a}{a+a^2} +\frac{b}{b+b^2} +\frac{c}{c+c^2}\\=\frac{a}{a+b+c} +\frac{b}{b+c+a} +\frac{c}{c+a+b}\\=\frac{a+b+c}{c+a+b}\\=1=\mathbf{R.H.S.\quad (Proved)}} $$
10. (ii) x² : (by + cz) = y² : (cz + ax) = z² : (ax + by) = 1 হলে, দেখাই যে,
$$\large{\mathbf{\frac{a}{a+x} +\frac{b}{b+y} +\frac{c}{c+z}=1}\\}$$
Ans:
∵ x² : (by + cz) = y² : (cz + ax) = z² : (ax + by) = 1
∴ x² = by + cz ;
y² = cz + ax ;
z² = ax + by
$$\large{\mathbf{\underline{L.H.S}}\\=\frac{a}{a+x} +\frac{b}{b+y} +\frac{c}{c+z}\\=\frac{ax}{ax+x^2} +\frac{by}{by+y^2} +\frac{cz}{cz+z^2}\\=\frac{ax}{ax+by+cz} +\frac{by}{by+cz+ax} +\frac{cz}{cz+ax+by}\\=\frac{ax+by+cz}{ax+by+cz}\\=1 \mathbf{=\underline{R.H.S.}\quad(Proved)}}$$
$$\large{\mathbf{11.(i)\\\frac{x}{xa+yb+zc} =\frac{y}{ya+zb+xc} =\frac{z}{za+xb+yc}}}$$
এবং x+y+z≠0 হলে, দেখাই যে, প্রতিটি অনুপাত
$$\large{\mathbf{\frac{1}{a+b+c}\\Ans:}\\\frac{x}{xa+yb+zc} =\frac{y}{ya+zb+xc} =\frac{z}{za+xb+yc}}$$[ সংযোজন প্রক্রিয়া প্রয়োগ করে পাই ]$$\large{=\frac{x+y+z}{(xa+yb+zc)+(ya+zb+xc)+(za+xb+yc)}\\=\frac{x+y+z}{xa+yb+zc+ya+zb+xc+za+xb+yc}\\=\frac{x+y+z}{xa+yb+zc+ya+zb+xc+za+xb+yc}\\=\frac{x+y+z}{xa+xb+xc+ya+yb+yc+za+zb+zc}\\=\frac{x+y+z}{x(a+b+c)+y(a+b+c)+z(a+b+c)}\\=\frac{x+y+z}{(a+b+c)(x+y+z)}\\=\frac{1}{a+b+c}}$$
$$\large{\mathbf{11.(ii)\\\frac{x^2-yz}{a} =\frac{y^2-zx}{b} =\frac{z^2-xy}{c}}}$$
হলে, প্রমান করি যে,
(a + b + c)(x + y + z) = ax + by + cz
$$\large{\mathbf{Ans:}\\\frac{x^2-yz}{a} =\frac{y^2-zx}{b} =\frac{z^2-xy}{c}=\frac{1}{k}}$$
– – – [ধরি, k একটি অশূন্য ধ্রুবক।]
∴ a = k(x² – yz);
b = k(y² – zx);
c = k(z² – xy)
বামপক্ষ
= (a + b + c)(x + y + z)
= (kx² – kyz + ky² – kzx + kz² – kxy)(x + y + z)
⇒ k(x² + y² + z² – xy – yz – zx)(x + y + z)
= k(x³ + y³ + z³ – 3xyz)
ডানপক্ষ
= ax + by + cz
= k(x² – yz)x + k(y² – zx)y + k(z² – xy)z
⇒ k(x³ – xyz + y³ – xyz + z³ – xyz)
= k(x³ + y³ + z³ – 3xyz) = (বামপক্ষ)

(a + b + c)(x + y + z) = ax + by + cz (প্রমাণিত)
$$\large{\mathbf{11.(iii)\\\frac{a}{y+z} =\frac{b}{z+x} =\frac{c}{x+y}}}$$হলে, প্রমান করি যে, $$\large{\mathbf{\frac{a(b-c)}{y^2-z^2} =\frac{b(c-a)}{z^2-x^2}=\frac{c(a-b)}{x^2-y^2}\\Ans:}\\\frac{a}{y+z} =\frac{b}{z+x} =\frac{c}{x+y}=k}$$
– – – [ধরি, k একটি অশূন্য ধ্রুবক।]
$$\large{∴a=k(y+z);\\\quad b=k(z+x);\\\quad c=k(x+y)\\\underline{L.H.S.}\\=\frac{a(b-c)}{y^2-z^2}\\=\frac{k(y+z)(kz+kx-kx-ky)}{y^2-z^2}\\=\frac{k(y+z)(kz-ky)}{y^2-z^2}\\=\frac{k.k(y+z)(z-y)}{y^2-z^2}\\=\frac{-k^2(y^2-z^2)}{y^2-z^2}\\=-k^2\\\underline{M.H.S.}\\=\frac{b(c-a)}{z^2-x^2}\\=\frac{k(z+x)(kx+ky-ky-kz)}{z^2-x^2}\\=\frac{k(z+x)(kx-kz)}{z^2-x^2}\\=\frac{k.k(z+x)(x-z)}{z^2-x^2}\\=\frac{-k^2(z^2-x^2)}{z^2-x^2}\\=-k^2\\\underline{R.H.S.}\\=\frac{c(a-b)}{x^2-y^2}\\=\frac{k(x+y)(ky+kz-kz-kx)}{x^2-y^2}\\=\frac{k(x+y)(ky-kx)}{x^2-y^2}\\=\frac{k.k(x+y)(y-x)}{x^2-y^2}\\=\frac{-k^2(x^2-y^2)}{x^2-y^2}\\=-k^2\\\frac{a(b-c)}{y^2-z^2} =\frac{b(c-a)}{z^2-x^2}=\frac{c(a-b)}{x^2-y^2}\quad\mathbf{(Proved)}}$$
12. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)
(i) 3, 4 এবং 6-এর চতুর্থ সমানুপাতী
(a) 8 (b) 10
(c) 12 (d) 24

Ans: (a) 8
[ধরি, চতুর্থ সমানুপাতী x
∴ 3 :4 :: 6 : x
বা, 3x = 6 × 4
বা, x = 8]
(ii) 8 এবং 12-এর তৃতীয় সমানুপাতী
(a) 12 (b) 16
(c) 18 (d) 20

Ans: (c) 18
[ধরি, তৃতীয় সমানুপাতী x
∴ 8 :12 :: 12 : x
বা, 8x = 12 × 12
বা, x = 18]
(iii) 16 এবং 25-এর মধ্য সমানুপাতী
(a) 400 (b) 100
(c) 20 (d) 40

Ans: (c) 20
[√16 × 25
= √400 = 20]
(iv) a একটি ধনাত্মক সংখ্যা এবং
$$\large{\mathbf{a:\frac{27}{64}=\frac{3}{4}:a}\\}$$হলে, a-এর মান$$\large{\mathbf{(a)\quad\frac{81}{256}\quad\quad(b)\quad9\\(c)\quad\frac{9}{16}\quad\quad(d)\quad\frac{16}{9}}\\\mathbf{Ans:}\quad(c)\quad\quad\frac{9}{16}\\\left[a:\frac{27}{64}=\frac{3}{4}:a\\⇒a^2=\sqrt{\frac{27}{64}×\frac{3}{4}}\\⇒a^2=\sqrt{\frac{81}{256}}\\⇒a=\frac{9}{16}\right]}$$
(v) 2a = 3b = 4c হলে, a : b :c হবে (a) 3:4:6 (b) 4:3:6 (c) 3:6:4 (d) 6:4:3

Ans: (d) 6:4:3
[2a = 3b = 4c = k (ধরি)
∴ 2a = k ⇒ a = ^k/₂
3b = k ⇒ b = ^k/₃
4c = k ⇒ a = ^k/₄
∴ a : b :c
= ^k/₂ : ^k/₃ : ^k/₄
= ¹/₂ : ¹/₃ : ¹/₄
⇒ ¹/₂ ×12 : ¹/₃ ×12 : ¹/₄ ×12
= 6 : 4 : 3]
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি:
(i) ab : c² ; bc : a² এবং ca : b² –এর যৌগিক অনুপাত 1:1
Ans: বিবৃতিটি সত্য।
[ab : c² ; bc : a² এবং ca : b² –এর যৌগিক অনুপাত
= ab × bc × ca : c² × a² × b²
⇒ a²b²c² : a²b²c²
= 1 :1]
(ii)x³y, x²y² এবং xy³ ক্রমিক সমানুপাতী।
Ans: বিবৃতিটি সত্য।
[x³y × xy³ = x⁴y⁴
= (x²y²)²]
(C) শূন্যস্থান পূরণ করি:
(i) তিনটি ক্রমিক সমানুপাতী ধনাত্মক সংখ্যার গুণফল 64 হলে, তাদের মধ্য সমানুপাতী __________
Ans: 4
[ধরি, তিনটি ক্রমিক সমানুপাতী ধনাত্মক সংখ্যা a, b, c
∴ b² = ac
বা, b²×b = ac × b
বা, b³ = abc
⇒ b³ = 64 – – – [প্রশ্নানুযায়ী abc = 64]
বা, b = 4]
(ii) a : 2 = b : 5 = c : 8 হলে a-এর 50% = b-এর 20% = c-এর __________%
Ans: 12¹/₂
$$\large{\left[\frac{a}{2}=\frac{b}{5} =\frac{c}{8}\\⇒\frac{a}{2}×\frac{100}{100}=\frac{b}{5}×\frac{100}{100} =\frac{c}{8}×\frac{100}{100}\\⇒a×\frac{50}{100}=b×\frac{20}{100}=\frac{c}{2}×\frac{25}{100}\\⇒a×50\%=b×20\%=c×12\frac{1}{2}\%\right]}$$
(iii) (x + 2) এবং (x – 3) এর মধ্য সমানুপাতী x হলে, x-এর মান __________
Ans: – 6
আমাদের লেটেস্ট পোস্টের আপডেট পেতে আমাদের ফেসবুক পেজে জয়েন করতে পারো ।
$$\large{\left[\frac{x+2}{x} =\frac{x}{x-3} \\⇒(x+2)(x-3)=x2\\⇒(x2-3x+2x-6=x2\\⇒-x=-6\\⇒x = 6\right]}$$
13. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
$$\large{\mathbf{(i)\\ \frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}=\frac{2a−3b+4c}{p}}}$$
হলে, p-এর মান নির্ণয় করি।

সমাধান: ধরি,
$$\large{ \frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}\\=\frac{2a−3b+4c}{p}=k}$$যেখানে k একটি অশূন্য ধ্রুবক।
∴a = 2k,
b = 3k,
c = 4k এবং
∵ 2a – 3b + 4c = pk
∴ 2×2k – 3×3k + 4×4k = pk
বা, 4k – 9k + 16k = pk
বা,11k = pk
∴ p=11
Ans: p-এর মান 11
$$\mathbf{(ii)\\\large{\frac{3x-5y}{3x+5y}=\frac{1}{2}}}$$হলে,$$\mathbf{\large{\frac{3x^2-5y^2}{3x^2+5y^2}\\.}}$$-এর মান নির্ণয় করি।
$$\large{\mathbf{Ans:}\\\frac{3x-5y}{3x+5y}=\frac{1}{2}\\⇒2(3x-5y)=(3x+5y)\\⇒6x-10y=3x+5y\\⇒6x-3x=5y+10y\\⇒3x=15y\\⇒x=5y\\∴\frac{3x^2-5y^2}{3x^2+5y^2}\\=\frac{3×(5y)^2-5y^2}{3×(5y)^2+5y^2}\\=\frac{3×25y^2-5y^2}{3×25y^2+5y^2}\\=\frac{75y^2-5y^2}{75y^2+5y^2}\\=\frac{70y^2}{80y^2}\\=\frac{7}{8}}$$
Ans: নির্ণেয় মান ⁷/₈
(iii) a : b = 3 : 4 এবং x : y = 5 : 7 হলে, (3ax – by) : (4by – 7ax) কত নির্ণয় করি।

সমাধান: ধরি, a = 3k, b = 4k এবং x = 5p, y = 7p – – – [যেখানে k ও p অশূন্য ধ্রুবক।]
$$\large{∴(3ax-by):(4by-7ax)\\=\frac{3ax-by}{4by-7ax}\\=\frac{3×3k×5p-4k×7p}{4×4k×7p-7×3k×5p}\\=\frac{45kp-28kp}{112kp-105kp}\\=\frac{17kp}{7kp}\\=\frac{17}{7}\\=17:7}$$
Ans: (3ax – by) : (4by – 7ax) = 17 : 7
(iv) x, 12, y, 27 ক্রমিক সমানুপাতী হলে, x ও y-এর ধনাত্মক মান নির্ণয় করি।

সমাধানঃ
$$\large{\frac{x}{12}=\frac{12}{y}=\frac{y}{27}\\∴\frac{12}{y}=\frac{y}{27}\\⇒y^2=12×27\\⇒y=\sqrt{4×3×3×9}\\⇒y=2×3×3=18}$$আবার$$\large{\frac{x}{12}=\frac{12}{y}\\⇒\frac{x}{12}=\frac{12}{18}\\⇒x=8}$$
Ans: x = 18 এবং
y = 8
(v) a : b = 3 : 2 এবং b : c = 3 : 2 হলে, a + b : b + c কত নির্ণয় করি।

সমাধানঃ
$$\large{a:b=3:2\\⇒\frac{a}{b}=\frac{3}{2}\\⇒\frac{a+b}{b}=\frac{3+2}{2}\\⇒\frac{a+b}{b}=\frac{5}{2}\\b:c=3:2\\⇒\frac{b}{c}=\frac{3}{2}\\⇒\frac{b}{c+b}=\frac{3}{2+3}\\⇒\frac{b}{b+c}=\frac{3}{5}\\\\∴a+b:b+c\\=\frac{a+b}{b+c}\\=\frac{a+b}{b}×\frac{b}{c+b}\\=\frac{5}{2}×\frac{3}{5}\\=\frac{3}{2}}$$
Ans: a + b : b + c এর মান ³/₂
Madhyamik Question
MP-2024
▶️ ^x/_{y + z} = ^y/_{z + x} = ^z/_{x + y} হলে দেখাও যে প্রতিটি অনুপাতের মান ¹/₂ অথবা -1।
VIEW ANSER
▶️ a. b. c ক্রমিক সমানুপাতী হলে প্রমাণ করো যে, ¹/_b = ¹/_b-a + ¹/_b-c
VIEW ANSER
MP-2023
$$(i)\quad\frac{a^{2}}{b+c}=\frac{b^{2}}{c+a}=\frac{c^{2}}{a+b}=1$$হলে দেখাও যে,$$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=1$$
VIEW ANSER
MP-2022
▶️ যদি a : b = b : c হয় , তবে প্রমাণ করো 5.3 4 iii i
$\large{\mathbf{\quad\frac{abc(a+b+c)^3}{(ab+bc+ca)^3}=1\\Solution:}}$
VIEW ANSER
▶️ $\large{\mathbf{\quad\frac{a}{1-a}+\frac{b}{1-b}+\frac{c}{1-c}}}$ হলে, $\large{\mathbf{\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{1-c}}}$ এর মান নির্ণয় করো।
VIEW ANSER
MP-2020
▶️ x : a = y : b = z : c হলে দেখাও 5.3. 2.
$\Large{\mathbf{\quad\frac{x^3}{a^3}+\frac{y^3}{b^3}+\frac{z^3}{c^3}=\frac{3xyz}{abc}}}$
VIEW ANSER
▶️ $\Large{\mathbf{}}$ যদি $\large{\mathbf{\frac{ay-bx}{c}=\frac{cx-az}{b}=\frac{bz-cy}{a}}}$ হয়, তবে প্রমান করো $\Large{\mathbf{\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}}}$
VIEW ANSER
MP-2019
▶️ $\large{\mathbf{}}$ যদি $\large{\mathbf{\frac{b+c-a}{y+z-x}=\frac{c+a-b}{z+x-y}=\frac{a+b-c}{x+y-z}}}$ হয়, তবে প্রমাণ করো যে, $\large{\mathbf{\quad\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\\}}$
VIEW ANSER
MP-2018
▶️$\Large{\mathbf{\quad\frac{a+b-c}{a+b}=\frac{b+c-a}{b+c}=\frac{c+a-b}{c+a}}}$
এবং a + b + c ≠ 0 হলে প্রমাণ করো a = b = c
VIEW ANSER
▶️ x : a = y : b = z : c হলে দেখাও (a² + b² + c²)(x² + y² + z²) = (ax + by + cz)² হবে।
VIEW ANSER
MP-2017
▶️$\mathbf{}$ যদি $\Large{\mathbf{\quad\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}}}$
হয়, তবে প্রমাণ কর যে, প্রত্যেকটি অনুপাতের মান হয় ¹/₂ অথবা -1
VIEW ANSER
▶️ যদি (b + c − a) x = (c + a – b)y = (a + b – c) z = 2, হয়, তবে দেখাও যে
$\Large{\mathbf{\quad(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})(\frac{1}{y}+\frac{1}{z})(\frac{1}{z}+\frac{1}{x})=abc}}$
VIEW ANSER
PREVIOUS
NEXT
August 3, 2023

Author: TEAM PROSTUTI

Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part-1

Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part-1

Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part-1

Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part-1

Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part-1

UNIT – 1সম্বন্ধ ও চিত্রণRELATIONS AND FUNCTIONS

অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী

অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী

Class XII Relation

Class XII Relation

দ্বাদশ শ্রেণির সম্বন্ধ

Class XII Relation

Class XII Relation

দ্বাদশ শ্রেণির সম্বন্ধ

Complete Solution of Ratio And Proportion (অনুপাত ও সমানুপাত)Koshe Dekhi – 5.3

Koshe Dekhi – 5.3

Complete Solution of Ratio And Proportion

⛔ একান্তর প্রক্রিয়া ঃঃ

⛔যোগ ভাগ প্রক্রিয়া ঃঃ

দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নিচের BUTTON-এ ক্লিক করো।

1. (i) a : b = c : d হলে, দেখাই যে, (i) (a2 + b2) : (a2 – b2) = (ac + bd) : (ac – bd)

1.(ii) a : b = c : d হলে, দেখাই যে,(a2 + ab + b2) : (a2 – ab + b2) = (c2 + cd + d2) : (c² – cd + d²)

1.(iii) a : b = c : d হলে, দেখাই যে,

Complete Solution of Ratio And Proportion2.(i) x : a = y : b = z : c হলে, প্রমাণ করি যে,

Complete Solution of Ratio And Proportion2.(ii) x : a = y : b = z : c হলে, প্রমাণ করি যে,

2.(iii) x : a = y : b = z : c হলে, প্রমাণ করি যে,(a2+b2+c2)(x2+y2+z2) = (ax+by+cz)2

3. a : b = c : d = e : f হলে, প্রমাণ করি যে, (i) প্রত্যেকটি অনুপাত

Complete Solution of Ratio And Proportion4. যদি a : b = b : c হয়, তবে প্রমাণ করি যে,

Koshe Dekhi – 5.3

Complete Solution of Ratio And Proportion

5.(i) a, b, c, d ক্রমিক সমানুপাতী হলে, প্রমাণ করি যে,(a2+b2+c2)(b2+c2+d2) = (ab+bc+cd)2 Ans: a, b, c, d ক্রমিক সমানুপাতী।

5.(ii) a, b, c, d ক্রমিক সমানুপাতী হলে, প্রমাণ করি যে, (b-c)2+(c-a)2+(b-d)2=(a-d)2

Complete Solution of Ratio And Proportion

Complete Solution of Ratio And Proportion

Ratio And Proportion 5.3

আবার

Koshe Dekhi 5.3

Ratio And Proportion 5.3

হলে, দেখাই যে প্রতিটি অনুপাত x -এর সমান।

Ratio And Proportion 5.3

কষে দেখি – 5.3

কষে দেখি – 5.3 Ratio And Proportion 5.3

কষে দেখি – 5.3

9. (ii) (a + b + c + d) : (a + b – c – d) = (a – b + c – d) : (a – b – c + d) হলে, প্রমান করি যে, a : b = c : d

10. (ii) x2 : (by + cz) = y2 : (cz + ax) = z2 : (ax + by) = 1 হলে, দেখাই যে,

12. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)

(iv) a একটি ধনাত্মক সংখ্যা এবং

(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি:

(C) শূন্যস্থান পূরণ করি:

13. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

Madhyamik Question

MP-2024

MP-2023

MP-2022

MP-2020

MP-2019

MP-2018

MP-2017

UNIT – 1
সম্বন্ধ ও চিত্রণ
RELATIONS AND FUNCTIONS

1. (i) a : b = c : d হলে, দেখাই যে,
(i) (a²+ b²) : (a²– b²) = (ac + bd) : (ac – bd)

1.(ii) a : b = c : d হলে, দেখাই যে,
(a²+ ab + b²) : (a²– ab + b²) = (c²+ cd + d²) : (c² – cd + d²)

Complete Solution of Ratio And Proportion
2.(i) x : a = y : b = z : c হলে, প্রমাণ করি যে,

Complete Solution of Ratio And Proportion
2.(ii) x : a = y : b = z : c হলে, প্রমাণ করি যে,

2.(iii) x : a = y : b = z : c হলে, প্রমাণ করি যে,
(a²+b²+c²)(x²+y²+z²) = (ax+by+cz)²

3. a : b = c : d = e : f হলে, প্রমাণ করি যে,
(i) প্রত্যেকটি অনুপাত

Complete Solution of Ratio And Proportion
4. যদি a : b = b : c হয়, তবে প্রমাণ করি যে,

5.(i) a, b, c, d ক্রমিক সমানুপাতী হলে, প্রমাণ করি যে,
(a²+b²+c²)(b²+c²+d²) = (ab+bc+cd)²

Ans: a, b, c, d ক্রমিক সমানুপাতী।

5.(ii) a, b, c, d ক্রমিক সমানুপাতী হলে, প্রমাণ করি যে,
(b-c)²+(c-a)²+(b-d)²=(a-d)²

9. (ii) (a + b + c + d) : (a + b – c – d) = (a – b + c – d) : (a – b – c + d) হলে, প্রমান করি যে,
a : b = c : d

10. (ii) x² : (by + cz) = y² : (cz + ax) = z² : (ax + by) = 1 হলে, দেখাই যে,