Author: TEAM PROSTUTI

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

Vector Algebra Class XII ভেক্টর বীজগণিত Part 1 CLICK

বহু বিকল্পধর্মীঃ (প্রতিটি প্রশ্নের মান 1)

সঠিক উত্তরটি নির্বাচন করোঃ প্রতিটি প্রশ্নের মান

1 1. x বিন্দুতে x -এর সাপেক্ষ y = f(x) অপেক্ষকের পরিবর্তনের হার –
(a) ½f'(x) (b) 2f'(x) (c) ^f'(x)/_f(x) (d) এদের কোনোটিই নয়।

Ans: (d) এদের কোনোটিই নয়।
[x বিন্দুতে x -এর সাপেক্ষ y = f(x) অপেক্ষকের পরিবর্তনের হার
= ^lim_△x→0 ^Δy/_Δx
= ^dy/_dx = f'(x)]

2. y = f(x) যদি x -এর একটি অন্তরকলণযোগ্য অপেক্ষক হয়, তবে-
(a) f(x+Δx) = f'(x)Δx
(b) f(x+Δx) = f(x) + f'(x)Δx
(c) f(x+Δx) = f(x) + Δx
(d) এদের কোনোটিই নয়।

Ans: (b) f(x+Δx) = f(x) + f'(x)Δx

3. y = ¹/_√x+1 হলে নীচের কোন মানটি x = 3 তে x -এর সাপেক্ষে y -এর পরিবর্তন হার? (a) –¹/₈ (b) ¹/₁₆ (c) –¹/₁₆ (d) –¹/₈

Ans: (c) –¹/₁₆
[y = ¹/_√x+1
= (x + 1)^–¹/₂
^dy/_dx = –¹/₂(x + 1)^–¹/₂-1
= –¹/₂(x + 1)^–³/₂
[^dy/_dx]_{_x=3} = –¹/₂(3 + 1)^–³/₂
= –¹/₂(2²)^–³/₂
= –¹/₂ x ¹/₂^₃
= –¹/₂ x ¹/₈
= –¹/₁₆]

4. y = 2x – x² অপেক্ষকের x = 4 এ পরিবর্তন হার নীচের কোন মানটি? (a) -6 (b) -8 (c) 6 (d) 8

Ans: (a) -6
[y = 2x – x²
^dy/_dx = 2 – 2x
[^dy/_dx]_{_x=4} = 2 – 2×4
= 2 – 8 = -6]

5. Log sinx -এর অবকল হয়- (a) cotx (b) -tanxdx (c) cotx (d) tanxdx

Ans: (c) cotx
[ধরি, y = f(x) = Log sinx
f'(x) = ¹/_sinx x cosx
= cotx]

6. 10 সেমি বাহুবিশিষ্ট কোনো একটি বর্গক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য পরিমাপে ত্রুটির পরিমান 0.05 সেমি হলে, তার ক্ষেত্রফল পরিমাপে আসন্ন ত্রুটির পরিমাপ হবে-
(a) 0.5 বর্গসেমি (b) 0.1 বর্গসেমি
(c) 0.2 বর্গসেমি (d) 1 বর্গসেমি

Ans: (d) 1 বর্গসেমি
[ধরি, বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য a একক এবং ক্ষেত্রফল A বৰ্গএকক।
∴ A = a²
^dA/_da = 2a
এখানে △a = 0.05
△A = ^dA/_da x △a
= 2a x △a
= 2 x 10 x 0.05
= 1 বর্গসেমি]

অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মীঃ (প্রতিটি প্রশ্নের মান 2)

1. নীচের প্রত্যেকটি অপেক্ষকের অবকল (differential) নির্ণয় করো:
(i) y = x³ – 3x² + 2x
(ii)y = e^x² + a²
(iii) y = sin√x
(iv) y = e^x(sinx + cosx)

(i)
Solution:
y = x³ – 3x² + 2x
^dy/_dx= 3x² – 3 × 2x + 2
= 3x² – 6x + 2
∴ dy = (3x² – 6x + 2) dx (Ans)

(ii)
Solution:
y = e^x² + a²
^dy/_dx= e^x² × 2x
= 2xe^x²
∴ dy = 2xe^x² dx (Ans)

(iii)
Solution:
y = sin√x
^dy/_dx= cos√x × ¹/_2√x
= ^cos√x/_2√x
∴ dy = ^cos√x/_2√x dx (Ans)

(iv)
Solution:
y = e^x(sinx + cosx)
^dy/_dx= e^x(sinx + cosx) + e^x(cosx – sinx)
= e^xsinx + e^xcosx + e^xcosx – e^xsinx
= 2e^xcosx
∴ dy = 2e^xcosx dx (Ans)

UNIT – 3
কলনবিদ্যা
CALCULUS

অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Significance of Derivative প্রশ্নমালা 13 (Part-II)	▶️ CLICK HERE
অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Significance of Derivative প্রশ্নমালা 13 (Part-I)	▶️ CLICK HERE

দ্বাদশ শ্রেণীর S N Dey বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নীচের BUTTON-এ ক্লিক করো।

CLICK

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

2. নিম্নলিখিত অন্তরকলসমূহ (differentials) নির্ণয় করো:
(i) d(x² – y²)
(ii) d(xy²)
(iii) d(^x²/_y)
(iv) d(x²siny)

(i)
Solution:
d(x² – y²)
= 2x dx – 2y dy (Ans)

(ii)
Solution:
d(xy²)
= x.2ydy + y².dx
= 2xydy + y²dx (Ans)

(iii)
Solution:
d(^x²/_y)
= ^{y.2xdx – x².dy}/_(y)²
= ^{y.2xdx – x².dy}/_(y)²
= ^{2xydx – x².dy}/_y²

(iv)
Solution:
d(x²siny)
= x².cosydy + siny.2xdx
= x²cosydy + 2xsinydx (Ans)

3. y = x²– 2x + 3 অপেক্ষকের বৃদ্ধি (Increment) ও অবকল (differential) নির্ণয় করে, যখন
(i) x -এর মান 2 থেকে 2.02-এ পরিবর্তিত হয়
(ii) x -এর মান 3 থেকে 2.97-এ পরিবর্তিত হয়।

(i)
Solution:
y = f(x) = x²– 2x + 3
f'(x) = 2x – 2
△x = 2.02 – 2 = 0.02
অপেক্ষকের বৃদ্ধি
△y = f(x+Δx) – f(x)
= f(2.02) – f(2)
= (2.02)²– 2×2.02 + 3 – (2²– 2×2 + 3)
= 4.0804– 4.04 + 3 – 4+ 4 – 3
= 0.0404 (Ans)
অবকল
∴ dy = ^dy/_dx× △x
= (2x – 2)△x
= (2×2 – 2)×0.02
= 2×0.02 = 0.04 (Ans)

(i)
Solution:
y = f(x) = x²– 2x + 3
f'(x) = 2x – 2
△x = 2.97 – 3 = -0.03
অপেক্ষকের বৃদ্ধি
△y = f(x+Δx) – f(x)
= f(2.97) – f(3)
= (2.97)²– 2×2.97 + 3 – (3²– 2×3 + 3)
= 8.8209– 5.94 + 3 – 9+ 6 – 3
= 2.8809– 3
= -0.1191 (Ans)
অবকল
∴ dy = ^dy/_dx× △x
= (2x – 2)△x
= (2×3 – 2)×(-0.03)
= -4×0.03 = -0.12 (Ans)

4. x = 2 এবং x = 5 -এর মধ্যে y = x² অপেক্ষকের গড় পরিবর্তন হার এবং x = 2-এ তার পরিবর্তন হার নির্ণয় করো।

Solution:
y = x²
⇒ ^dy/_dx = 2x
x = 2 হলে y = (2)² = 4
x = 5 হলে y = (5)² = 25
∴ Δx = 5 – 2 = 3
Δy = 25 – 4 = 21
y = 25 যখন, x=5 .. Ax=5-2=3, Ay=25-4=21
∴ গড় পরিবর্তন = ^Δy/_Δx
= ²¹/₃ = 7 (Ans)
[^dy/_dx]_{_x=2} = 2.2 = 4
x=2-তে পরিবর্তনের হার = 4 (Ans)

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

5. গোলকাকৃতি খেলনা বেলুনকে যখন ফোলানো হয়, তখন তার আয়তন V (ঘনইঞ্চিতে) এবং বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল S (বর্গইঞ্চিতে) সময় t -এর অপেক্ষক হয়, যেখানে, V = ^π/₆t³ এবং S = πt² । t = 4 -এ আয়তন এবং ক্ষেত্রফলের পরিবর্তন হার নির্ণয় করো।

Solution:
V = ^π/₆t³
⇒ ^dV/_dt = ^π/₆ × 3t²
= ^π/₂t²
[^dV/_dt]_{_t=4} = ^π/₂ × (4)²
= ^π/₂ × 16
= 8π
Ans: t = 4 -এ আয়তন পরিবর্তনের হার 8π ঘনইঞ্চি/সেকেন্ড ।
আবার
S = πt²
⇒ ^dS/_dt = π × 2t
= 2πt
[^dS/_dt]_{_t=4} = 2π × 4
= 8π
Ans: t = 4 -এ ক্ষেত্রফলের পরিবর্তন হার 8π বর্গইঞ্চি/সেকেন্ড।

6. (i) একটি বল t সেকেন্ড সময়ে s ফুট দুরত্ব অতিক্রম করে, যেখানে s = 8t – 10t² ; t = 2 সেকেন্ড সময়ে বলটির বেগ নির্ণয় করো।
(ii) t সেকেন্ড সময়ে কোনো কণার বেগ, প্রতি সেকেন্ড v ফুট হলে v= 6t² – 2t³ হয়; t = 4 সেকেন্ড সময়ে কণার ত্বরণ নির্ণয় করো।

(i)
Solution:
s = 8t – 10t²
⇒ ^ds/_dt = 8 – 10 × 2t
= 8 – 20t
[^ds/_dt]_{_t=2} = 8 – 20 × 2
= 8 – 40
= -32
Ans: 2 সেকেন্ড সময়ে বলটির বেগ হবে -32 ফুট/সেকেন্ড ।
(ii)
Solution:
v = 6t² – 2t³
⇒ ^dv/_dt = 6 × 2t – 2×3t²
= 12t – 6t²
[^dv/_dt]_{_t=4} = 12 × 4 – 6(4)²
= 48 – 96
= -48
Ans: 4 সেকেন্ড সময়ে কণাটির ত্বরণ হবে -48 ফুট/সেকেন্ড² ।

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

7. s = ^t/_√t+1 হলে t = 3-এ s -এর t -এর সাপেক্ষে পরিবর্তন হার নির্ণয় করো।Solution:

$$\large{s=\frac{t}{\sqrt{t+1}}\\⇒\frac{ds}{dt}=\frac{1.\sqrt{t+1}-t.\frac{1}{2\sqrt{t+1}}}{(\sqrt{t+1})^2}\\⇒\frac{ds}{dt}=\frac{2.(t+1)-t}{2.(t+1)(t+1)^{\frac{1}{2}}}\\⇒\frac{ds}{dt}=\frac{t+2}{2.(t+1)^{\frac{3}{2}}}}$$ t = 3 -এ s -এর t -এর সাপেক্ষে s এর পরিবর্তনের হার$$\large{\left[\frac{ds}{dt}\right]_{t=3}=\frac{3+2}{2.(3+1)^{\frac{3}{2}}}\\\quad \quad= \frac{5}{2.(2^2)^{\frac{3}{2}}}=\frac{5}{16}\quad \mathbf{(Ans)}}$$

8. তাপ প্রয়োগের ফলে একটি বৃত্তাকার ধাতব পাতের ব্যাসার্ধ প্রতি সেকেন্ডে 0.002 সেমি বৃদ্ধি পায়। যখন ব্যাসার্ধ 14 সেমি তখন পাতের ক্ষেত্রফল কী হারে বৃদ্ধি পায়?

Solution:
ধরি, বৃত্তাকার ধাতব পাতের ব্যাসার্ধ r সেমি এবং ক্ষেত্রফল A বর্গসেমি।
ক্ষেত্রফল (A) = πr²
এখানে ^dr/_dt = 0.002
A = πr²
⇒ ^dA/_dt = 2πr × ^dr/_dt
[^dA/_dt]_{_r=14} = 2 × ²²/₇ × 14 × 0.002
= 2×22×2×0.002
= 0.176
Ans:পাতের ক্ষেত্রফল প্রতি সেকেন্ডে 0.176 বর্গসেমি বৃদ্ধি পায়।

9. কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধের পরিবর্তনের হার ¹/_π ; যে সময়ে বৃত্তের ব্যাসার্ধ 2 একক, তখন (i) তার পরিধির দৈর্ঘ্যের (ii) তার ক্ষেত্রফলের পরিবর্তনের হার নির্ণয় করো।

Solution:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ r একক, ক্ষেত্রফল A বর্গএকক এবং পরিধি S একক।
ক্ষেত্রফল (A) = πr² বর্গএকক
পরিধি (S) = 2πr একক
এখানে ^dr/_dt = ¹/_π
(i)
S = 2πr
⇒ ^dS/_dt = 2π × ^dr/_dt
[^dS/_dt]_{_r=2} = 2π × ¹/_π
= 2
Ans: বৃত্তের পরিধির পরিবর্তনের হার 2 একক।
(ii)
A = πr²
⇒ ^dA/_dt = 2πr × ^dr/_dt
[^dA/_dt]_{_r=2} = 2π× 2 × ¹/_π
= 4
Ans: বৃত্তের ক্ষেত্রফলের পরিবর্তনের হার 4 বর্গএকক।

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

10. x -এর সাপেক্ষে y -এর পরিবর্তনের হার 4 এবং প্রতি সেকেন্ডে y -এর পরিবর্তন 12 একক হলে প্রতি সেকেন্ডে x -এর পরিবর্তন নির্ণয় করো।

Solution:
প্রদত্ত ^dy/_{dx =}4 এবং ^dy/_dt = 12
∴ ^dx/_dt = ^dx/_dy × ^dy/_dt
=¹/_^dy/dx × ^dy/_dt
= ¹/₄× 12 = 3
Ans: প্রতি সেকেন্ডে x -এর পরিবর্তন 4 একক

11. r ব্যাসার্ধবিশিষ্ট গোলকের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল ও আয়তন যথাক্রমে S এবং V হলে দেখাও যে, 2^dV/_dt = r^dS/_dt

Solution:
গোলকের ব্যাসার্ধ r একক, বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল A বর্গএকক এবং আয়তন V ঘনএকক হলে,
S = 4πr²
^dS/_dt = 4π×2r × ^dr/_dt – – – (i)
এবং
V = ⁴/₃ πr³
^dV/_dt = ⁴/₃ π×3r² × ^dr/_dt – – – (ii)
(ii) কে (ii) দিয়ে ভাগ করে পাই,

$$\large{\frac{\frac{dV}{dt}}{\frac{dS}{dt}}=\frac{\frac{4}{3}.π.3r^2\frac{dr}{dt}}{4π.2r.\frac{dr}{dt}}\\⇒\frac{\frac{dV}{dt}}{\frac{dS}{dt}}=\frac{r}{2}\\⇒2\frac{dV}{dt}=r\frac{dS}{dt}\quad\mathbf{(Proved)}}$$

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মীঃ প্রতিটি প্রশ্নের মান 4

1. ^⁴√627-এর আসন্ন তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত মান নির্ণয় করো।

Solution:
ধরি, f(x) = ^⁴√x
= x^¹/₄
∴ f'(x) = ¹/₄ x^{^-3/₄}
∵ f(x+ △x) = f(x) + f’ (x).△x
⇒ f(x+ △x) = x^¹/₄ + ¹/₄ x^{^-3/₄} .△x
x = 625 এবং △x = 2 বসিয়ে পাই,
f(625 + 2) = (625)^¹/₄ + ¹/₄ (625)^{^-3/₄} × 2
⇒ f(627) = (5⁴)^¹/₄ + ¹/₄ (5⁴)^{^-3/₄} × 2
= 5 + ¹/₄ × ¹/₁₂₅ × 2
= 5 + ¹/₂₅₀
= 5 + 0.004
= 5.004

Ans: ^⁴√627-এর আসন্ন তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত মান 5.004

2. sin62°-এর তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান নির্ণয় করো (দেওয়া আছে, 1° = 0.017)

Solution:
ধরি, f(x) = sinx
∴ f'(x) = cosx
∵ f(x+ △x) = f(x) + f’ (x).△x
⇒ f(x+ △x) = sinx + cosx .△x
x = 60° এবং △x = 2° বসিয়ে পাই,
f(60° + 2°) = sin60° + cos60° × 2°
⇒ f(62°) = ^√3/₂ + ¹/₂ × 2× 0.017 – – – [1° = 0.017]
= 0.866 + 0.017
= 0.883
Ans: sin62° -এর তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান 0.883

3. log_e10.01-এর মান নির্ণয় করো; দেওয়া আছে, log_e10 = 2.303

Solution:
ধরি, f(x) = log_ex
∴ f'(x) = ¹/_x
∵ f(x+ △x) = f(x) + f’ (x).△x
⇒ f(x+ △x) = log_ex + ¹/_x .△x
x = 10 এবং △x = 0.01 বসিয়ে পাই,
f(10 + 0.01) = log_e10 + ¹/₁₀ × (0.01)
⇒ f(10.01) = 2.303 + 0.001 – – – [log_e10 = 2.303]
= 2.304
Ans: log_e10.01 -এর মান 2.304

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

4. tan44°-এর মান নির্ণয় করো, দেওয়া আছে, 1° = 0.017451

Solution:
ধরি, f(x) = tanx
∴ f'(x) = sec²x
∵ f(x+ △x) = f(x) + f’ (x).△x
⇒ f(x+ △x) = tanx + sec²x .△x
x = 44° এবং △x = -1° বসিয়ে পাই,
f(45° – 1°) = tan45° + sec²45° × (-1°)
⇒ f(44°) = 1 + (√2)² × (-0.017451) – – – [1° = 0.017451]
= 1 – 2 × 0.017451
= 1 – 0.034912
= 1 – 0.0349
= 0.9651
Ans: tan44° -এর মান 0.9651

5. অবকল পদ্ধতি প্রয়োগ করে নীচের প্রত্যেকটির আসন্ন মান নির্ণয় করো:
(i)√26 (iii)√0.24
(ii) √37 (iv) √0.48

(i)
Solution:
ধরি, f(x) = √x
∴ f'(x) = ¹/_2√x
∵ f(x+ △x) = f(x) + f’ (x).△x
⇒ f(x+ △x) = √x + ¹/_2√x .△x
x = 25 এবং △x = 1 বসিয়ে পাই,
f(25 + 1) = √25 + ¹/_2√25 ×1
⇒ f(26) = 5 + ¹/₁₀
= 5 + 0.1
= 5.1
Ans: √26 -এর আসন্ন মান 5.1

(ii)
Solution:
ধরি, f(x) = √x
∴ f'(x) = ¹/_2√x
∵ f(x+ △x) = f(x) + f’ (x).△x
⇒ f(x+ △x) = √x + ¹/_2√x .△x
x = 0.25 এবং △x = -0.01 বসিয়ে পাই,
f(0.25 – 0.01) = √0.25 + ¹/_2√0.25 × (-0.01)
⇒ f(0.24) = 0.5 – ¹/_2×0.5× 0.01
= 0.5 – ¹/₁× 0.01
= 0.5 – 0.01
= 0.49
Ans: √0.48 -এর আসন্ন মান 0.49

(iii)
Solution:
ধরি, f(x) = √x
∴ f'(x) = ¹/_2√x
∵ f(x+ △x) = f(x) + f’ (x).△x
⇒ f(x+ △x) = √x + ¹/_2√x .△x
x = 36 এবং △x = 1 বসিয়ে পাই,
f(36 + 1) = √36 + ¹/_2√36 ×1
⇒ f(37) = 6 + ¹/₁₂
= 6 + 0.0833
= 6.0833
Ans: √37 -এর আসন্ন মান 6.0833

(iv)
Solution:
ধরি, f(x) = √x
∴ f'(x) = ¹/_2√x
∵ f(x+ △x) = f(x) + f’ (x).△x
⇒ f(x+ △x) = √x + ¹/_2√x .△x
x = 0.49 এবং △x = -0.01 বসিয়ে পাই,
f(0.49 – 0.01) = √0.49 + ¹/_2√0.49 × (-0.01)
⇒ f(0.48) = 0.7 – ¹/_2×0.7× 0.01
= 0.7 – ¹⁰/₁₄× 0.01
= 0.7 – ¹/₁₄₀
= 0.7 – 0.0071
= 0.6929
Ans: √0.48 -এর আসন্ন মান 0.6929

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

6. (i) f(x) = 3x² + 15x + 5 হলে, f(3.02) -এর আসন্ন মান নির্ণয় করো। [NCERT, CBSE]
(ii) যদি y = x⁴ – 12 হয়, এবং x-এর মান 2 থেকে পরিবর্তিত হয়ে 1.99 হয়, তবে y-এর আসন্ন পরিবর্তন কত? [CBSE ’02]

(i)
Solution:
f(x) = 3x² + 15x + 5
f'(x) = 3.2x + 15
= 6x + 15
∵ f(x+ △x) = f(x) + f’ (x).△x
⇒ f(x+ △x) = 3x² + 15x + 5 + (6x + 15).△x
x = 3 এবং △x = 0.02 বসিয়ে পাই,
f(3 + 0.02) = 3(3)² + 15.3 + 5 + (6.3 + 15)×0.02
⇒ f(3.02) = 27 + 45 + 5 + (18 + 15)×0.02
= 77 + 33×0.02
= 77 + 0.66
= 77.66
Ans: f(3.02) -এর আসন্ন মান 77.66

(ii)
Solution:
y = x⁴ – 12
⇒ ^dy/_dx = 4x³
এখানে, △x = 1.99 – 2 = -0.01
∴ △y = ^dy/_dx × △x
= 4x³ × △x
= 4(2)³ × -0.01
= 32 × -0.01
= -0.32
Ans: y-এর আসন্ন পরিবর্তন -0.32

7. একটি ঘনকের বাহুর পরিমাপে 5% ত্রুটি হলে তার আয়তনের পরিমাপে শতকরা ত্রুটির পরিমাণ নির্ণয় করো ।

Solution:
ধরি, ঘনকটির বাহুর দৈর্ঘ্য a সেমি এবং আয়তন V ঘনসেমি।
∴ V = a³
⇒ ^dV/_da = 3a²
এখানে, ^△a/_a × 100 = 5
বা, △a = ^5a/₁₀₀
∴ △V = ^dV/_da × △a
= 3a² × ^5a/₁₀₀
= ^15a³/₁₀₀
আয়তনের পরিমাপে শতকরা ত্রুটি

$$\large{=\frac{△V}{V}×100\\=\frac{\frac{15a^3}{100}}{a^3}×100\\= \frac{15a^3}{100a^3}×100\\=15}$$ ঘনকের আয়তনের পরিমাপে শতকরা ত্রুটি 15 Ans

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

8. একটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর পরিমাপে ত্রুটির মান 0.01 সেমি অপেক্ষা কম। যদি ক্ষেত্রফলের পরিমাপে ত্রুটি 2 বর্গসেমি অপেক্ষা কম হতে হয়, তবে সর্বাধিক কত দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট বাহু নেওয়া সম্ভব?

Solution:
ধরি, বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য a একক এবং ক্ষেত্রফল A বৰ্গএকক।
∴ A = a²
^dA/_da = 2a
এখানে △a < 0.01
△A = ^dA/_da x △a
= 2a x △a
∵ △a < 0.01
⇒ 2a x △a < 2a x 0.01
⇒ △A < 2a x 0.01
ক্ষেত্রফলের পরিমাপে ত্রুটি 2 বর্গসেমি অপেক্ষা কম হতে হলে,
2a x 0.01 ≤ 2 হবে
⇒ a x 0.01 ≤ 1
⇒ a x ¹/₁₀₀ ≤ 1
⇒ a ≤ 100
সর্বাধিক 100 সেমি দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট বাহু নেওয়া সম্ভব। (Ans)

9. অবকলনের পদ্ধতি প্রয়োগ করে:
(i) 7 সেমি ও 7.02 সেমি ব্যাসার্ধবিশিষ্ট দুটি বৃত্তের ক্ষেত্রফলের এবং
(ii) 4 সেমি ও 4.05 সেমি বাহুবিশিষ্ট দুটি ঘনকের আয়তনের পার্থক্যের আসন্ন মান নির্ণয় করো।

(i)
Solution:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ r সেমি এবং ক্ষেত্রফল A বর্গসেমি।
∴ A = πr²
⇒ ^dA/_dr = 2πr
এখানে, r = 7
r + △r = 7.02
বা, △r = 7.02 – 7 = 0.02
∴ △A = ^dA/_dr × △r
= 2πr × △r
= 2π × 7 × 0.02
= 2 ×²²/₇ × 7 × ²/₁₀₀
= 0.88
Ans: দুটি বৃত্তের ক্ষেত্রফলের পার্থক্যের আসন্ন মান 0.88 সেমি।

(ii)
Solution:
ধরি, ঘনকটির বাহুর দৈর্ঘ্য a সেমি এবং আয়তন V ঘনসেমি।
∴ V = a³
⇒ ^dV/_da = 3a²
এখানে, a = 4
a + △a = 4.05
বা, △a = 4.05 – 4 = 0.05
∴ △V = ^dV/_da × △a
= 3a² × △a
= 3(4)² × 0.05
= 48 × 0.05
= 2.4
Ans: দুটি ঘনকের আয়তনের পার্থক্যের আসন্ন মান 2.4 সেমি।

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

10. কোনো বৃত্তের ক্ষেত্রফল সময়ের সাপেক্ষে সমহারে পরিবর্তিত হলে, প্রমাণ করো যে, তার পরিসীমা পরিবর্তনের হার ব্যাসার্ধের সঙ্গে ব্যস্তভেদে থাকবে।

Solution:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ r একক, ক্ষেত্রফল A বর্গএকক এবং পরিসীমা S একক।
ক্ষেত্রফল (A) = πr² বর্গএকক
পরিসীমা (S) = 2πr একক
∵ ক্ষেত্রফল সময়ের সাপেক্ষে সমহারে পরিবর্তিত হয়।
ধরি, ^dA/_dt = k (ধ্রুবক)
∵ A = πr²
⇒ ^dA/_dt = 2πr ^dr/_dt
⇒ k = 2πr ^dr/_dt
⇒ ^dr/_dt = ^k/_2πr
⇒ ^dr/_dt = ^k/_S
⇒ ^dr/_dt = k × ¹/_S – – – [S = 2πr]
⇒ ^dr/_dt ∝ ¹/_S
Ans: বৃত্তের পরিসীমা পরিবর্তনের হার ব্যাসার্ধের সঙ্গে ব্যস্তভেদে থাকবে।

11. একটি কণা y² = 8x অধিবৃত্ত বরাবর গতিশীল। অধিবৃত্তের উপরিস্থিত যে বিন্দুতে কণার ভুজ ও কোটির বৃদ্ধির হার সমান, সেই বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।

Solution:
ধরি, (h, k) বিন্দুতে ভুজ ও কোটির বৃদ্ধির হার সমান।
∴ ^dh/_dt = ^dk/_dt
প্রদত্ত,y² = 8x
∴ k² = 8h – – – [(h, k) বিন্দু অধিবৃত্তের উপরিস্থিত]
⇒ 2k ^dk/_dt = 8 ^dh/_dt
⇒ 2k = 8 – – – [^dk/_dt = ^dh/_dt]
⇒ k = 4
∴ 8h = (4)²
বা, h = 2
Ans: নির্ণেয় বিন্দুটি হল (2,4)

12. একটি গোলাকৃতি বেলুনের মধ্যে প্রতি সেকেণ্ডে 25 ঘনসেমি হারে বায়ু পূর্ণ করা হয়। যখন তার ব্যাস 20 সেমি, তখন তার ব্যাসার্ধ কী হারে বৃদ্ধি পাবে?

Solution:
ধরি, গোলকাকৃতি বেলুনের ব্যাসার্ধ r সেমি এবং আয়তন V ঘনসেমি।
এখানে, ^dV/_dt = 25
∴ V = ⁴/₃ πr³
⇒ ^dV/_dt = ⁴/₃ π×3r² × ^dr/_dt
⇒ 25 = 4πr² × ^dr/_dt
r = ²⁰/₂ = 10 সেমি হলে,
⇒ 25 = 4π(10)² × ^dr/_dt
⇒ 25 = 400π × ^dr/_dt
⇒ ^dr/_dt = ²⁵/_400π
⇒ ^dr/_dt = ¹/_16π
Ans: প্রতি সেকেন্ডে ব্যাসার্ধ থেকে ¹/_16π বৃদ্ধি পাবে।

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

13. বায়ুপূর্ণ একটি গোলকাকৃতি বেলুন থেকে বায়ু বার করে দিয়ে ব্যাসার্ধ প্রতি সেকেণ্ডে ¹/₈ সেমি হ্রাস পায়। যখন ব্যাসার্ধ 10 সেমি, তখন কী হারে বেলুন থেকে বায়ু বেরোবে?

Solution:
ধরি, গোলকাকৃতি বেলুনের ব্যাসার্ধ r সেমি এবং আয়তন V ঘনসেমি।
এখানে, ^dr/_dt = ¹/₈
∴ V = ⁴/₃ πr³
⇒ ^dV/_dt = ⁴/₃ π×3r² × ^dr/_dt
⇒ ^dV/_dt = 4πr² × ^dr/_dt
⇒ ^dV/_dt = 4πr² .¹/₈
⇒ ^dV/_dt = ¹/₂πr²
∴ [^dV/_dt]_{_r=10} = ¹/₂π(10)²
= 50π
Ans: প্রতি সেকেন্ডে বেলুন থেকে 50π ঘনসেমি বায়ু বেরোবে।

14. একটি একক ঘনকের আয়তনের বৃদ্ধি প্রতি ডিগ্রি সেন্টিগ্রেডে γ এবং তার প্রতিটি তলের ক্ষেত্রফলের বৃদ্ধি প্রতি ডিগ্রি সেন্টিগ্রেডে β হলে দেখাও যে, 2γ = 3β

Solution:
ধরি, 1°C-এ ঘনকটির বাহুর দৈর্ঘ্য a একক, প্রতিটি তলের ক্ষেত্রফল A বৰ্গএকক এবং আয়তন V ঘনএকক।
এখানে, ^dA/_dt = β
এবং ^dV/_dt = γ
ক্ষেত্রফল(A) = a²
⇒A³ = a² – – – (i)
আবার,
আয়তন(V) = a³
⇒V² = a⁶ – – – (ii)
(i) ও (ii) থেকে পাই,
A³ = V²
⇒ 3A² ^dA/_dt = 2V ^dV/_dt
⇒ 3A² × β = 2V × γ
⇒ 3(a²)² × β = 2a³ × γ
⇒ 3(a²)² × β = 2a³ × γ
একক দৈর্ঘের ঘনকের ক্ষেত্রে,
⇒ 3(1²)² × β = 2×1³ × γ
⇒ 3β = 2γ
⇒ 2γ = 3β (Proved)

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

15. একটি কণা সরলরেখায় গতিশীল এবং O সরলরেখার ওপর একটি নির্দিষ্ট বিন্দু। t সময়ে O বিন্দু থেকে কণার দূরত্ব a cosnt + b sinnt ( a, b, n ধ্রুবক) হলে প্রমাণ করো যে, কণার ত্বরণ O বিন্দু থেকে তার দূরত্বের সমানুপাতিক।

Solution:
ধরি, O বিন্দু থেকে কণাটির দূরত্ব x একক।
∴ x = a cosnt + b sinnt
⇒ ^dx/_dt = -an sinnt + bn cosnt
∴ কণার ত্বরণ
= ^d²x/_dt²
= -an² cos nt – bn² sin nt
= -n² (acos nt + b sin nt)
= -n² x
∴ ^d²x/_dt² ∝ x (Proved)

16. কোনো সমবাহু ত্রিভুজের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য সেকেণ্ডে √3 সেমি হারে এবং তার ক্ষেত্রফল সেকেণ্ডে 12 বর্গসেমি হারে বৃদ্ধি পেলে তার বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

Solution:
ধরি, সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a সেমি এবং ক্ষেত্রফল A বর্গসেমি,
∴ A = ^√3/₄ × a²
⇒ ^dA/_dt = ^√3/₄ × 2a^da/_dt – – -(i)
প্রদত্ত, ^da/_dt = √3 এবং
^dA/_dt = 12
(i) নং থেকে পাই,
12 = ^√3/₄ × 2a × √3
বা, 6a = 12 × 4
বা, a = 8
Ans: ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ৪ সেমি।

17. স্থিরাবস্থা থেকে একটি ট্রেন পরবর্তী স্টেশনে যাত্রা করল; t ঘণ্টায় শুরু থেকে ট্রেনটির দূরত্ব x কিলোমিটার হলে x নিম্নলিখিত সমীকরণ দ্বারা সূচিত হয় –
x = 90t² – 45t³
6 মিনিট পরে ট্রেনটির গতিবেগ ও ত্বরণ নির্ণয় করো।

Solution:
x = 90t² – 45t³
t = 6 মিনিট
= ⁶/₁₀ ঘণ্টা
= ¹/₁₀ ঘণ্টা
∴ গতিবেগ (v)
= ^dx/_dt
= 180t – 135t²
t = ¹/₁₀ ঘণ্টা পরে গতিবেগ-
[^dx/_dt ]_{_t=¹/₁₀} = 180×¹/₁₀ – 135×¹/₁₀×¹/₁₀
= 18 – 1.35
= 16.65
ত্বরণ (a)
= ^d²x/_dt²
= 180 – 135×2t
= 180 – 270t
t = ¹/₁₀ ঘণ্টা পরে ত্বরণ –
[^d²x/_dt²]_{_t=¹/₁₀} = 180 – 270×¹/₁₀
= 180 – 27
= 153
= 180t – 135t²
Ans: 6 মিনিট পরে ট্রেনটির গতিবেগ হবে 16.65 কিমি/ঘণ্টা ও
ত্বরণ হবে 153 কিমি/ঘণ্টা²

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

18. একটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর পরিমাপে ত্রুটির মান 0.01 সেমি অপেক্ষা কম। যদি ক্ষেত্রফলের পরিমাপে ত্রুটি 2 বর্গসেমি অপেক্ষা কম হতে হয়, তবে সর্বাধিক কত দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট বাহু নেওয়া সম্ভব?

19. 1 গ্রাম জলের তাপমাত্রা 0°C থেকে 1 °C-এ বৃদ্ধি করতে হলে Q একক তাপ লাগে, যেখানে Q = t + 10^-5 × 2t² + 10^-7 x 3t³ ; প্ৰতি ডিগ্রি তাপমাত্রা বৃদ্ধির জন্য তাপবৃদ্ধির হারকে আপেক্ষিক তাপ বলা হলে 50°C তাপমাত্রায় জলের আপেক্ষিক তাপ নির্ণয় করো।

Solution:
Q = t + 10^-5 × 2t² + 10^-7 x 3t³
∴ আপেক্ষিক তাপ
= ^dQ/_dt
= 1 + 10^-5 × 4t + 10^-7 x 9t²
∴ 50°C তাপমাত্রায় জলের আপেক্ষিক তাপ
[^dQ/_dt]_{_t=50}
= 1 + 10^-5 × 4×50 + 10^-7 x 9(50)²
= 1 + 10^-5 × 200 + 10^-7 x 9 x 2500
= 1 + 0.002 + 0.00225
= 1.00425
50°C তাপমাত্রায় জলের আপেক্ষিক তাপ 1.00425 (Ans)

prostuti_home — দশম শ্রেণীর জীবন বিজ্ঞান অসম্পূর্ণ প্রকটতা/ Incomplete Dominance

দীর্ঘ উত্তরধর্মীঃ প্রতিটি প্রশ্নের মান 5

1. কোনো অপেক্ষকের ‘অন্তরকল’ শব্দটির ব্যাখ্যা দাও।
একটি গোলকের ব্যাসার্ধের পরিমাপ হল 20 সেমি। ব্যাসার্ধের পরিমাপে বৃহত্তম ত্রুটির মান 0.05 সেমি হলে গোলকের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলের সম্ভাব্য বৃহত্তম ত্রুটি নির্ণয় করো।

Solution:
ধরি, গোলকের ব্যাসার্ধ r সেমি এবং ক্ষেত্রফল A বর্গসেমি
প্রদত্ত r = 20 সেমি;
△r = 0.05 সেমি
∵ A = 4πr²
∴ ^dA/_dr = 8πr
⇒ dA = ^dA/_dr×△r
= 8πr × △r
= 8 × π × 20 × 0.05
= 8π বর্গসেমি
Ans: গোলকের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলের সম্ভাব্য বৃহত্তম ত্রুটি 8π বর্গসেমি।

2. ABC ত্রিভুজের A কোণের পরিমাপ হল 45° ; যদি কোণ পরিমাপে ত্রুটির পরিমাপ 1′ হয়, তবে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ে শতকরা ত্রুটির পরিমাণ নির্ণয় করো। (প্রদত্ত, 1’=0.000291)।

Solution:
ধরা যাক,ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল y বর্গএকক ।
∴ y = ½ bc.sinA
⇒ ^dy/_dA = ½ bc.cosA
এখানে, A = 45°
△A = 1’= 0.000291
∴ dy = ^dy/_dA×△A
= ½ bc.cosA.△A
ক্ষেত্রফল নির্ণয়ে শতকরা ত্রুটির পরিমাণ

$$\large{=\frac{dy}{y}×100\\=\frac{½ bc.cosA △A}{½ bc.sinA △A}×100\\=\frac{½ bc.cos45°.0.000291}{½ bc.sin45°}×100\\=\frac{\frac{1}{\sqrt2}.0.000291}{\frac{1}{\sqrt2}}×100\\=0.000291×100\\=0.0291}$$∴শতকরা ত্রুটি 0.0291

3. (i) ABC ত্রিভুজের c বাহু এবং C কোণ অপরিবর্তিত রেখে অপর বাহু দুটি ও কোণ দুটি স্বল্প পরিবর্তন করা হলে দেখাও যে, ^da/_cosA + ^db/_cosB = 0
Solution:

a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R – – – [ধরি, পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ a = 2RsinA
বা, da = 2RcosA dA
বা, ^da/_cosA = 2RdA – – – – (i)
আবার,
b = 2RsinB
বা, db = 2RcosBdB
বা, ^db/_cosB = 2RdB – – – – (ii)
(i) + (ii) করে পাই,
^da/_cosA + ^db/_cosB
= 2RdA +2RdB
= 2R(dA + dB)
= 2R × 0 – -[∵ A + B +C = π
dA + dB = 0
= 0 ∵ C ধ্রুবক ∴ dC = 0]
^da/_cosA + ^db/_cosB = 0 (Proved)

(ii) কোনো ত্রিভুজ ABC-তে যদি a ও b বাহু দুটি অপরিবর্তিত রেখে ভূমিস্থ কোণ দুটি A ও B -এর স্বল্প পরিবর্তন করা হয়, তবে প্রমাণ করো যে,

$$\large{\mathbf{\frac{dA}{\sqrt{a^2-b^2sin^2A}}=\frac{dB}{\sqrt{b^2-a^2sin^2B}}}\\\mathbf{Solution}}$$

$$\large{\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}\\\ asinB=bsinA\\∴acosBdb=bcosA da\\or, \frac{da}{acosB}=\frac{db}{bcosA}\\\\or, \frac{da}{a\sqrt{1-sin^2B}}=\frac{db}{b\sqrt{1-sin^2A}}\\or,\frac{da}{a\sqrt{1-\left(\frac{bsinA}{a}\right)^2}}=\frac{db}{b\sqrt{1-\left(\frac{asinB}{b}\right)^2}} \\or,\frac{da}{a\sqrt{1-\frac{b^2sin^2A}{a^2}}} =\frac{db}{b\sqrt{1-\frac{a^2sin^2B}{b^2}}}\\or,\frac{da}{\sqrt{a^2-b^2sin^2A}} =\frac{db}{\sqrt{b^2-a^2sin^2B}}}$$

September 24, 2023

দ্বিঘাত করণী কষে দেখি 9.3 QUADRATIC SURD দশম শ্রেণি
দ্বিঘাত করণী কষে দেখি 9.3 QUADRATIC SURD দশম শ্রেণি
দ্বিঘাত করণী || কষে দেখি ৯.২
|| QUADRATIC SURD || KOSHE DEKHI 9.3 || দশম শ্রেণি || গণিত প্রকাশ || CLASS X || GANIT PRAKASH
দ্বিঘাত করণী কষে দেখি 9.3
1. (a) m + ¹/_m =√3 হলে m² + ¹/_m² এবং (ii) m³ + ¹/_m³ -এদের সরলতম মান নির্নয় করি।
$$\large{\mathbf{(i)\\Solution}\\m+\frac{1}{m}=\sqrt3\\\therefore m^2+\frac{1}{m^2}\\=(m)^2+\left(\frac{1}{m}\right)^2\\=\left(m+\frac{1}{m}\right)^2-2.m.\frac{1}{m}\\=(\sqrt3)^2-2\\=3-2=1\quad\mathbf{(Ans)} }$$
$$\large{\mathbf{1.(ii)\\\\Solution}\\m+\frac{1}{m}=\sqrt3\\\therefore m^3+\frac{1}{m^3} \\=(m)^3+\left(\frac{1}{m}\right)^3\\=\left(m+\frac{1}{m}\right)^3-3.m.\frac{1}{m}.\left(m+\frac{1}{m}\right)\\=(\sqrt3)^3-3.\sqrt3\\=3\sqrt3-3\sqrt3=0\quad\mathbf{(Ans)}}$$
(b) দেখাই যে, ^{√5 + √}³/_{√5 – √3} – ^{√5 – √}³/_{√5 + √3} = 2√15
$$\large{\mathbf{Solution\\L.H.S.}\\=\frac{\sqrt5+\sqrt3}{\sqrt5-\sqrt3}-\frac{\sqrt5-\sqrt3}{\sqrt5+\sqrt3}\\=\frac{(\sqrt5+\sqrt3)^2-(\sqrt5-\sqrt3)^2}{(\sqrt5-\sqrt3)(\sqrt5+\sqrt3)}\\=\frac{4.\sqrt5.\sqrt3}{(\sqrt5)^2-(\sqrt3)^2}\\=\frac{4\sqrt{15}}{5-3}\\=\frac{4\sqrt{15}}{2}\\=2\sqrt{15}\mathbf{=R.H.S\quad(Proved)}}$$
2. সরল করিঃ
$$\large{\mathbf{(a)\quad\frac{\sqrt2(2+\sqrt3)}{\sqrt3(\sqrt3+1)}-\frac{\sqrt2(2-\sqrt3)}{\sqrt3(\sqrt3-1)}\\(b)\quad\frac{3\sqrt7}{\sqrt5+\sqrt2}-\frac{5\sqrt5}{\sqrt2+\sqrt7}+\frac{2\sqrt2}{\sqrt7+\sqrt5}\\(c)\quad\frac{4\sqrt3}{2-\sqrt2}-\frac{30}{4\sqrt3-\sqrt{18}}-\frac{\sqrt{18}}{3-\sqrt{12}}\\(d)\quad\frac{3\sqrt2}{\sqrt3+\sqrt6}-\frac{4\sqrt3}{\sqrt6+\sqrt2}+\frac{\sqrt6}{\sqrt2+\sqrt3}}}$$
$$\large{\mathbf{(a)\\Solution}\\\frac{\sqrt2(2+\sqrt3)}{\sqrt3(\sqrt3+1)}-\frac{\sqrt2(2-\sqrt3)}{\sqrt3(\sqrt3-1)}\\=\frac{\sqrt2}{\sqrt3}\left[\frac{2+\sqrt3}{\sqrt3+1}-\frac{2-\sqrt3}{\sqrt3-1}\right]\\=\frac{\sqrt2}{\sqrt3}\left[\frac{(2+\sqrt3)(\sqrt3-1)-(2-\sqrt3)(\sqrt3+1)}{(\sqrt3+1)(\sqrt3-1)}\right]\\=\frac{\sqrt2}{\sqrt3}\left[\frac{(2\sqrt3-2+3-\sqrt3)-(2\sqrt3+2-3-\sqrt3)}{(\sqrt3)^2-(1)^2}\right]\\=\frac{\sqrt2}{\sqrt3}\left[\frac{(\sqrt3+1)-(\sqrt3-1)}{3-1}\right]\\=\frac{\sqrt2}{\sqrt3}\left[\frac{\sqrt3+1-\sqrt3+1}{2}\right]\\=\frac{\sqrt2}{\sqrt3}\left[\frac{2}{2}\right]\\=\frac{\sqrt2}{\sqrt3}\\=\frac{\sqrt2.\sqrt3}{\sqrt3.\sqrt3}\\=\frac{\sqrt6}{3}\quad\mathbf{(Ans)}}$$
$$\large{\mathbf{(b)\\Solution}\\\frac{3\sqrt7}{\sqrt5+\sqrt2}-\frac{5\sqrt5}{\sqrt2+\sqrt7}+\frac{2\sqrt2}{\sqrt7+\sqrt5}\\=\frac{3\sqrt7(\sqrt5-\sqrt2)}{(\sqrt5+\sqrt2)(\sqrt5-\sqrt2)}-\frac{5\sqrt5(\sqrt7-\sqrt2)}{(\sqrt7+\sqrt2)(\sqrt7-\sqrt2)}+\frac{2\sqrt2(\sqrt7-\sqrt5)}{(\sqrt7+\sqrt5)(\sqrt7-\sqrt5)}\\=\frac{3(\sqrt{35}-\sqrt{14})}{(\sqrt5)^2-(\sqrt2)^2}-\frac{5(\sqrt{35}-\sqrt{10})}{(\sqrt7)^2-(\sqrt2)^2}+\frac{2(\sqrt{14}-\sqrt{10})}{(\sqrt7)^2-(\sqrt5)^2}\\=\frac{3(\sqrt{35}-\sqrt{14})}{5-2}-\frac{5(\sqrt{35}-\sqrt{10})}{7-2}+\frac{2(\sqrt{14}-\sqrt{10})}{7-5}\\=\sqrt{35}-\sqrt{14}-(\sqrt{35}-\sqrt{10})+\sqrt{14}-\sqrt{10}\\=\sqrt{35}-\sqrt{14}-\sqrt{35}+\sqrt{10}+\sqrt{14}-\sqrt{10}\\=0\quad\mathbf{(Ans)}}$$
$$\large{\mathbf{(c)\\Solution}\\\frac{4\sqrt3}{2-\sqrt2}-\frac{30}{4\sqrt3-\sqrt{18}}-\frac{\sqrt{18}}{3-\sqrt{12}}\\=\frac{4\sqrt3(2+\sqrt2)}{(2-\sqrt2)(2+\sqrt2)}-\frac{30(4\sqrt3+\sqrt{18})}{(4\sqrt3-\sqrt{18})(4\sqrt3+\sqrt{18})}-\frac{\sqrt{18}(3+\sqrt{12})}{(3-\sqrt{12})(3+\sqrt{12})}\\=\frac{4(2\sqrt3+\sqrt6)}{(2)^2-(\sqrt2)^2}-\frac{30(4\sqrt3+\sqrt{18})}{(4\sqrt3)^2-(\sqrt{18})^2}-\frac{\sqrt{18}(3+\sqrt{12})}{(3)^2-(\sqrt{12})^2}\\=\frac{4(2\sqrt3+\sqrt6)}{4-2}-\frac{30(4\sqrt3+\sqrt{18})}{48-18}-\frac{\sqrt{18}(3+\sqrt{12})}{9-12}\\=\frac{4(2\sqrt3+\sqrt6)}{2}-\frac{30(4\sqrt3+3\sqrt2)}{30}-\frac{3\sqrt2(3+2\sqrt3)}{-3}\\=2(2\sqrt3+\sqrt6)-(4\sqrt3+3\sqrt2+\sqrt2(3+2\sqrt3)\\=4\sqrt3+2\sqrt6-4\sqrt3-3\sqrt2+3\sqrt2+2\sqrt6\\=4\sqrt6\quad\mathbf{(Ans)}}$$
$$\large{\mathbf{(d)\\Solution}\\\frac{3\sqrt2}{\sqrt3+\sqrt6}-\frac{4\sqrt3}{\sqrt6+\sqrt2}+\frac{\sqrt6}{\sqrt2+\sqrt3}\\=\frac{3\sqrt2(\sqrt6-\sqrt3)}{(\sqrt6+\sqrt3)(\sqrt6-\sqrt3)}-\frac{4\sqrt3(\sqrt6-\sqrt2)}{(\sqrt6+\sqrt2)(\sqrt6-\sqrt2)}+\frac{\sqrt6(\sqrt3-\sqrt2)}{(\sqrt3+\sqrt2)(\sqrt3-\sqrt2)}\\=\frac{3(\sqrt{12}-\sqrt6)}{(\sqrt6)^2-(\sqrt3)^2}-\frac{4(\sqrt{18}-\sqrt6)}{(\sqrt6)^2-(\sqrt2)^2}+\frac{(\sqrt{18}-\sqrt{12})}{(\sqrt3)^2-(\sqrt2)^2}\\=\frac{3(\sqrt{12}-\sqrt6)}{6-3}-\frac{4(\sqrt{18}-\sqrt6)}{6-2}+\frac{(\sqrt{18}-\sqrt{12})}{3-2}\\=\sqrt{12}-\sqrt6-(\sqrt{18}-\sqrt6)+\sqrt{18}-\sqrt{12}\\=\sqrt{12}-\sqrt6-\sqrt{18}+\sqrt6+\sqrt{18}-\sqrt{12}\\=0\quad\mathbf{(Ans)}}$$
দ্বিঘাত করণী কষে দেখি 9.3
3. যদি x = 2, y = 3 এবং z = 6 হয় তবে,
$$\large{\mathbf{\frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}-\frac{4\sqrt{y}}{\sqrt{z}+\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}}\\} $$
–এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
প্রদত্ত x = 2, y = 3 এবং z = 6 ANS 0
$$\large{\frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}-\frac{4\sqrt{y}}{\sqrt{z}+\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\\=\frac{3\sqrt2}{\sqrt3+\sqrt6}-\frac{4\sqrt3}{\sqrt6+\sqrt2}+\frac{\sqrt6}{\sqrt2+\sqrt3}\\=\frac{3\sqrt2(\sqrt6-\sqrt3)}{(\sqrt6+\sqrt3)(\sqrt6-\sqrt3)}-\frac{4\sqrt3(\sqrt6-\sqrt2)}{(\sqrt6+\sqrt2)(\sqrt6-\sqrt2)}+\frac{\sqrt6(\sqrt3-\sqrt2)}{(\sqrt3+\sqrt2)(\sqrt3-\sqrt2)}\\=\frac{3\sqrt2(\sqrt6-\sqrt3)}{(\sqrt6)^2-(\sqrt3)^2}-\frac{4\sqrt3(\sqrt6-\sqrt2)}{(\sqrt6)^2-(\sqrt2)^2}+\frac{\sqrt6(\sqrt3-\sqrt2)}{(\sqrt3)^2-(\sqrt2)^2}\\=\frac{3\sqrt2(\sqrt6-\sqrt3)}{6-3}-\frac{4\sqrt3(\sqrt6-\sqrt2)}{6-2}+\frac{\sqrt6(\sqrt3-\sqrt2)}{3-2}\\=\sqrt2(\sqrt6-\sqrt3)-\sqrt3(\sqrt6-\sqrt2)+\sqrt6(\sqrt3-\sqrt2)\\=\sqrt{12}-\sqrt6-\sqrt{18}+\sqrt6+\sqrt{18}-\sqrt{12}\\=0\quad\mathbf{Ans}}$$
4. x = √7 + √6 (i) x – ¹/_x (ii) x + ¹/_x (iii) x² + ¹/_x² (iv) x³ + ¹/_x³ -এদের সরলতম মান নির্নয় করি।
(i)
সমাধানঃ
x = √7 + √6
$$\large{\therefore\frac{1}{x}=\frac{1}{\sqrt7+\sqrt6}\\=\frac{\sqrt7-\sqrt6}{(\sqrt7+\sqrt6)(\sqrt7-\sqrt6)}\\=\frac{\sqrt7-\sqrt6}{(\sqrt7)^2-(\sqrt6)^2}\\=\frac{\sqrt7-\sqrt6}{7-6}\\=\sqrt7-\sqrt6\\\therefore x-\frac{1}{x }\\=(\sqrt7+\sqrt6)-(\sqrt7-\sqrt6)\\=\sqrt7+\sqrt6-\sqrt7+\sqrt6\\=2\sqrt6\quad\mathbf{Ans}}$$
(ii)
সমাধানঃ
x = √7 + √6
$$\large{\therefore\frac{1}{x}=\frac{1}{\sqrt7+\sqrt6}\\=\frac{\sqrt7-\sqrt6}{(\sqrt7+\sqrt6)(\sqrt7-\sqrt6)}\\=\frac{\sqrt7-\sqrt6}{(\sqrt7)^2-(\sqrt6)^2}\\=\frac{\sqrt7-\sqrt6}{7-6}\\=\sqrt7-\sqrt6\\\therefore x+\frac{1}{x }\\=(\sqrt7+\sqrt6)+(\sqrt7-\sqrt6)\\=\sqrt7+\sqrt6+\sqrt7-\sqrt6\\=2\sqrt7\quad\mathbf{Ans}}$$
(iii)
সমাধানঃ
x = √7 + √6
$$\large{\therefore\frac{1}{x}=\frac{1}{\sqrt7+\sqrt6}\\=\frac{\sqrt7-\sqrt6}{(\sqrt7+\sqrt6)(\sqrt7-\sqrt6)}\\=\frac{\sqrt7-\sqrt6}{(\sqrt7)^2-(\sqrt6)^2}\\=\frac{\sqrt7-\sqrt6}{7-6}\\=\sqrt7-\sqrt6\\\therefore x+\frac{1}{x }\\=(\sqrt7+\sqrt6)+(\sqrt7-\sqrt6)\\=\sqrt7+\sqrt6+\sqrt7-\sqrt6\\=2\sqrt7\\\therefore x^2+\frac{1}{x^2}\\=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2.x.\frac{1}{x}\\=(2\sqrt7)^2-2.2\sqrt7\\= 28 – 2 = 26 \quad\mathbf{Ans}}$$
(iv)
সমাধানঃ
x = √7 + √6
$$\large{\therefore\frac{1}{x}=\frac{1}{\sqrt7+\sqrt6}\\=\frac{\sqrt7-\sqrt6}{(\sqrt7+\sqrt6)(\sqrt7-\sqrt6)}\\=\frac{\sqrt7-\sqrt6}{(\sqrt7)^2-(\sqrt6)^2}\\=\frac{\sqrt7-\sqrt6}{7-6}\\=\sqrt7-\sqrt6\\\therefore x+\frac{1}{x }\\=(\sqrt7+\sqrt6)+(\sqrt7-\sqrt6)\\=\sqrt7+\sqrt6+\sqrt7-\sqrt6\\=2\sqrt7\\\therefore x^3+\frac{1}{x^3}\\=\left(x+\frac{1}{x}\right)^3-3.x.\frac{1}{x}\left(x+\frac{1}{x}\right)\\=(2\sqrt7)^3-3.2\sqrt7\\=56\sqrt7-6\sqrt7\\=50\sqrt7\quad\mathbf{Ans}}$$
5. সরল করিঃ
$$\large{\mathbf{\frac{x+\sqrt{x^2-1}}{x-\sqrt{x^2-1}}+\frac{x-\sqrt{x^2-1}}{x+\sqrt{x^2-1}}\\}}$$
সরলফল 14 হলে, x -এর মান কী কী হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
$$\large{\frac{x+\sqrt{x^2-1}}{x-\sqrt{x^2-1}}+\frac{x-\sqrt{x^2-1}}{x+\sqrt{x^2-1}}\\=\frac{(x+\sqrt{x^2-1})^2+(x-\sqrt{x^2-1})^2}{(x-\sqrt{x^2-1})(x+\sqrt{x^2-1})}\\=\frac{2[x^2+(\sqrt{x^2-1})^2]}{(x)^2-(\sqrt{x^2-1})^2}\\=\frac{2(x^2+x^2-1)}{x^2-(x^2-1)}\\=\frac{2(2x^2-1)}{x^2-x^2+1)}\\=\frac{(4x^2-2)}{1}\\=4x^2-2}$$
নির্ণেয় সরল ফল 4x² – 2 (Ans)

প্রশ্নানুসারে,
4x² – 2 = 14
বা, 4x² = 16
বা, x² = 4
⇒ x = ± 2
x –এর মান ± 2 (Ans)
দ্বিঘাত করণী কষে দেখি 9.3
6. যদি a = ^{√5 + 1}/_{√5 -1} ও b = ^{√5 – 1}/_{√5 +1} হয়, তবে নীচের মানগুলি নির্ণয় করি।
$$\large{\mathbf{(i)\quad\frac{a^2+ab+b^2}{a^2-ab+b^2}\quad\quad(ii)\quad\frac{(a-b)^2}{(a+b)^2}\\(iii)\quad\frac{3a^2+5ab+3b^2}{3a^2-5ab+3b^2}\quad\quad(iv)\quad\frac{a^3+b^3}{a^3-b^3}}}$$
$$\large{\mathbf{(i)\\Solution}\\a=\frac{\sqrt5+1}{\sqrt5-1}\\b=\frac{\sqrt5-1}{\sqrt5+1}\\\therefore a+b\\=\frac{\sqrt5+1}{\sqrt5-1}+\frac{\sqrt5-1}{\sqrt5+1}\\=\frac{(\sqrt5+1)^2+(\sqrt5-1)^2}{(\sqrt5-1)(\sqrt5+1)}\\=\frac{2[(\sqrt5)^2+(1)^2]}{(\sqrt5)^2-(1)^2}\\=\frac{2(5+1)}{5-1}\\=\frac{2.6}{4}=3\\a.b\\=\frac{\sqrt5+1}{\sqrt5-1}.\frac{\sqrt5-1}{\sqrt5+1}\\=1}$$প্রদত্ত রাশি$$\large{\frac{a^2+ab+b^2}{a^2-ab+b^2}\\=\frac{a^2+2ab+b^2-ab}{a^2+2ab+b^2-3ab}\\=\frac{(a+b)^2-ab}{(a+b)^2-3ab}\\=\frac{(3)^2-1}{(3)^2-3.1}\\=\frac{9-1}{9-3}\\=\frac{8}{6}\\=\frac{4}{3}\\=1\frac{1}{3}\quad\mathbf{Ans}}$$
$$\large{\mathbf{(ii)\\Solution}\\a=\frac{\sqrt5+1}{\sqrt5-1}\\b=\frac{\sqrt5-1}{\sqrt5+1}\\\therefore a+b\\=\frac{\sqrt5+1}{\sqrt5-1}+\frac{\sqrt5-1}{\sqrt5+1}\\=\frac{(\sqrt5+1)^2+(\sqrt5-1)^2}{(\sqrt5-1)(\sqrt5+1)}\\=\frac{2[(\sqrt5)^2+(1)^2]}{(\sqrt5)^2-(1)^2}\\=\frac{2(5+1)}{5-1}\\=\frac{2.6}{4}=3\\a-b\\=\frac{\sqrt5+1}{\sqrt5-1}-\frac{\sqrt5-1}{\sqrt5+1}\\=\frac{(\sqrt5+1)^2-(\sqrt5-1)^2}{(\sqrt5-1)(\sqrt5+1)}\\=\frac{4.\sqrt5.1}{(\sqrt5)^2-(1)^2}\\=\frac{4\sqrt5}{5-1}\\=\frac{4\sqrt5}{4}=\sqrt5}$$প্রদত্ত রাশি $$\large{=\frac{(a-b)^3}{(a+b)^3}\\=\frac{(\sqrt5)^3}{(3)^3}\\=\frac{5\sqrt5}{27}\quad\mathbf{Ans}}$$
$$\large{\mathbf{(iii)\\Solution}\\a=\frac{\sqrt5+1}{\sqrt5-1}\\b=\frac{\sqrt5-1}{\sqrt5+1}\\\therefore a+b\\=\frac{\sqrt5+1}{\sqrt5-1}+\frac{\sqrt5-1}{\sqrt5+1}\\=\frac{(\sqrt5+1)^2+(\sqrt5-1)^2}{(\sqrt5-1)(\sqrt5+1)}\\=\frac{2[(\sqrt5)^2+(1)^2]}{(\sqrt5)^2-(1)^2}\\=\frac{2(5+1)}{5-1}\\=\frac{2.6}{4}=3\\a.b\\=\frac{\sqrt5+1}{\sqrt5-1}.\frac{\sqrt5-1}{\sqrt5+1}\\=1}$$প্রদত্ত রাশি$$\large{\frac{3a^2+5ab+3b^2}{3a^2-5ab+3b^2}\\=\frac{3(a^2+2ab+b^2)-ab}{3(a^2+2ab+b^2)-11ab}\\=\frac{3(a+b)^2-ab}{3(a+b)^2-11ab}\\=\frac{3(3)^2-1}{3(3)^2-11.1}\\=\frac{27-1}{27-11}\\=\frac{26}{16}\\=\frac{13}{8}\\=1\frac{5}{8}\quad\mathbf{Ans}}$$
$$\large{\mathbf{(iv)\\Solution}\\a=\frac{\sqrt5+1}{\sqrt5-1}\\b=\frac{\sqrt5-1}{\sqrt5+1}\\\therefore a+b\\=\frac{\sqrt5+1}{\sqrt5-1}+\frac{\sqrt5-1}{\sqrt5+1}\\=\frac{(\sqrt5+1)^2+(\sqrt5-1)^2}{(\sqrt5-1)(\sqrt5+1)}\\=\frac{2[(\sqrt5)^2+(1)^2]}{(\sqrt5)^2-(1)^2}\\=\frac{2(5+1)}{5-1}\\=\frac{2.6}{4}=3\\a-b\\=\frac{\sqrt5+1}{\sqrt5-1}-\frac{\sqrt5-1}{\sqrt5+1}\\=\frac{(\sqrt5+1)^2-(\sqrt5-1)^2}{(\sqrt5-1)(\sqrt5+1)}\\=\frac{4.\sqrt5.1}{(\sqrt5)^2-(1)^2}\\=\frac{4\sqrt5}{5-1}\\=\frac{4\sqrt5}{4}=\sqrt5\\a.b\\=\frac{\sqrt5+1}{\sqrt5-1}.\frac{\sqrt5-1}{\sqrt5+1}\\=1}$$
প্রদত্ত রাশি
$$\large{=\frac{a^3+b^3}{a^3-b^3}\\=\frac{(a+b)^3-3ab(a+b)}{(a-b)^3+3ab(a-b)}\\=\frac{(3)^3-3.1.3}{(\sqrt5)^3+3.1.\sqrt5}\\=\frac{27-9}{5\sqrt5+3\sqrt5}\\=\frac{18}{8\sqrt5}\\=\frac{9}{4\sqrt5}\\=\frac{9.\sqrt5}{4\sqrt5.\sqrt5}\\=\frac{9\sqrt5}{20}\quad\mathbf{Ans}}$$
দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে এখানে ক্লিক করো।
দ্বিঘাত করণী কষে দেখি 9.3
7. যদি x = 2 + √3, y = 2 – √3 হয়, তবে নিম্নলিখিতগুলির সরলতম মান নির্নয় করি। (a) (i) x – ¹/_x (ii) y² + ¹/_{_y²} (iii) x³ – ¹/_x³(iv) xy + ¹/_xy (b) 3x² – 5xy + 3y²
(i)
সমাধানঃ
x = 2 + √3
$$\large{\therefore\frac{1}{x}=\frac{1}{2+\sqrt3}\\=\frac{2-\sqrt3}{(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)}\\=\frac{2-\sqrt3}{(2)^2-(\sqrt3)^2}\\=\frac{2-\sqrt3}{4-3}\=2-\sqrt3\\\therefore x-\frac{1}{x }\\=(2+\sqrt3)-(2-\sqrt3)\\=2+\sqrt3-2+\sqrt3\\=2\sqrt3\quad\mathbf{Ans}}$$
(ii)
সমাধানঃ
y = 2 – √3
$$\large{\therefore\frac{1}{y}=\frac{1}{2-\sqrt3}\\=\frac{2+\sqrt3}{(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)}\\=\frac{2+\sqrt3}{(2)^2-(\sqrt3)^2}\\=\frac{2+\sqrt3}{4-3}\\=2+\sqrt3\\\therefore y+\frac{1}{y }\\=(2-\sqrt3)+(2+\sqrt3)\\=2-\sqrt3+2-\sqrt3\\=4 }$$প্রদত্ত রাশি$$\large{= y^2+\frac{1}{y^2 }\\=\left(y+\frac{1}{y}\right)^2-2.y.\frac{1}{y}\\=(4)^2-2.1\\=16-2=14\quad\mathbf{Ans}}$$
(iii)
সমাধানঃ
x = 2 + √3
$$\large{\therefore\frac{1}{x}=\frac{1}{2+\sqrt3}\\=\frac{2-\sqrt3}{(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)}\\=\frac{2-\sqrt3}{(2)^2-(\sqrt3)^2}\\=\frac{2-\sqrt3}{4-3}\\=2-\sqrt3\\\therefore x-\frac{1}{x }\\=(2+\sqrt3)-(2-\sqrt3)\\=2+\sqrt3-2+\sqrt3\\=2\sqrt3}$$প্রদত্ত রাশি$$\large{= x^3-\frac{1}{x^3 }\\=\left(x-\frac{1}{x}\right)^3+3.x.\frac{1}{x}\left(x-\frac{1}{x}\right)\\=(2\sqrt3)^3+3.1.2\sqrt3\\=24\sqrt3+6\sqrt3\\=30\sqrt3\quad\mathbf{Ans}}$$
(iv)
সমাধানঃ
x = 2 + √3
y = 2 – √3
∴ x.y = (2 + √3).(2 – √3)
= (2)² – (√3)²
= 4 – 3 = 1
প্রদত্ত রাশি
= xy + ¹/_xy
⇒ 1 + ¹/₁
= 1 + 1 = 2 (Ans)
(b)
সমাধানঃ
x = 2 + √3
y = 2 – √3
∴ x + y = 2 + √3 + 2 – √3
= 4
x.y = (2 + √3).(2 – √3)
= (2)² – (√3)²
= 4 – 3 = 1
প্রদত্ত রাশি
= 3x² – 5xy + 3y²
= 3(x² + 2xy + y²) – 11xy
⇒ 3(x + y)² – 11xy
= 3(4)² – 11.1
= 3.16 – 11
⇒ 3.16 – 11
= 48 – 11
= 37 (Ans)
দ্বিঘাত করণী কষে দেখি 9.3
8. x = ^{√7 + √3}/_{√7 – √3} এবং xy = 1 হলে, দেখাই যে, ^{_x2 ₊ _xy _{+ y}2}/_{x² – xy +y²} = ¹²/₁₁
$$\large{\mathbf{Solution}\\x=\frac{\sqrt7+\sqrt3}{\sqrt7-\sqrt3}\\y=\frac{1}{x}\\=\frac{1}{\frac{\sqrt7+\sqrt3}{\sqrt7-\sqrt3}}\\=\frac{\sqrt7-\sqrt3}{\sqrt7+\sqrt3}\\\therefore x+y\\=\frac{\sqrt7+\sqrt3}{\sqrt7-\sqrt3}+\frac{\sqrt7-\sqrt3}{\sqrt7+\sqrt3}\\=\frac{(\sqrt7+\sqrt3)^2+(\sqrt7-\sqrt3)^2}{(\sqrt7-\sqrt3)(\sqrt7+\sqrt3)}\\=\frac{2[(\sqrt7)^2+(\sqrt3)^2]}{(\sqrt7)^2-(\sqrt3)^2}\\=\frac{2(7+3)}{7-3}\\=\frac{2.10}{4}=5\\\mathbf{L.H.S.}\\=\frac{x^2+xy+y^2}{x^2-xy+y^2}\\=\frac{x^2+2xy+y^2-xy}{x^2+2xy+y^2-3xy}\\=\frac{(x+y)^2-xy}{(x+y)^2-3xy}\\=\frac{(5)^2-1.1}{(5)^2-3.1}\\=\frac{25-1}{25-3}\\=\frac{24}{22}\\=\frac{12}{11}=\mathbf{R.H.S. \quad (Proved)}}$$

বর্গমূল নির্ণয় পদ্ধতি
9. (√7 + 1) এবং (√5 + √3) এর মধ্যে কোনটি বড়ো লিখি।
সমাধানঃ
(√7 + 1)²
= 7 + 1 + 2√7
= 8 + 2√7
(√5 + √3)²
= 5 + 3 + 2√15
= 8 + 2√15
2√15 > 2√7
⇒ 8 + 2√15 > 8 + 2√7
⇒ (√5 + √3)² > (√7 + 1)²
⇒ (√5 + √3) >(√7 + 1)
Ans: (√5 + √3) বড়ো।
দ্বিঘাত করণী কষে দেখি 9.3
10. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.):
(i) x = 2 + √3 হলে, x + ¹/_x -এর মান (a) √2 (b) 2√3 (c) 4 (d) 2 – √3
Ans: (c) 4
[x = 2 + √3
$$\large{\frac{1}{x}=\frac{1}{2+\sqrt3}\\=\frac{2-\sqrt3}{(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)}\\=\frac{2-\sqrt3}{(2)^2-(\sqrt3)^2}\\=\frac{2-\sqrt3}{4-3}\\=3-2\sqrt2\\\therefore x+\frac{1}{x}\\=2+\sqrt3+2-\sqrt3\\=4]}$$
(ii) যদি p + q = √13 এবং p – q = √5 হয়, তাহলে pq -এর মান (a) 2 (b) 18 (c) 9 (d) 8
Ans: (a) 2
[4pq
= (p + q)² – (p – q)²
= (√13)² – (√5)²
⇒ 13 – 5 = 8
∴ pq = ⁸/₄ = 2]
(iii) যদি a + b = √5 এবং a – b = √3 হয়, তাহলে (a² + b²) -এর মান
(a) 8 (b) 4 (c) 2 (d) 1
Ans: (b) 4
[2(a² + b²)
= (a + b)² + (a – b)²
= (√5)² + (√3)²
⇒ 5 + 3 = 8
∴ (a² + b²) = ⁸/₂ = 4]
(iv) √125 থেকে √5 বিয়োগ করলে বিয়োগফল হবে
(a) √80 (b) √120 (c) √100 (d) কোনটিই নয়।
Ans: (a) √80
[√125 – √5 = √5×5×5 – √5
= 5√5 – √5 = 4√5
=√16×5 = √80]
(v) (5 – √3)(√3 – 1)(5 + √3)(√3 + 1)-এর গুণফল (a) 22 (b) 44 (c) 2 (d) 11
Ans: (b) 44
[ (5 – √3)(√3 – 1)(5 + √3)(√3 + 1)
= (5 – √3)(5 + √3)(√3 – 1)(√3 + 1)
= {(5)² – (√3)²}{(√3)² – (1)²}
⇒ (25 – 3)(3 – 1)
= 22×2 = 44]
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখিঃ
(i) √75 এবং √147 সদৃশ করণী।
√75 = √5×5×3
= 5√3,
√147 = √7×7×3
= 7√3
Ans: সত্য।
(ii) √π একটি দ্বিঘাত করণী।
Ans: মিথ্যা
(C) শূন্যস্থান পূরণ করিঃ
(i) 5√11 একটি __________ সংখ্যা। (মূলদ/ অমূলদ)
Ans: অমূলদ
(ii) (√3 – 5) -এর অনুবন্ধী করণী __________।
Ans: (√3 + 5)
(iii) দুটি দ্বিঘাত করণীর যোগফল ও গুণফল একটি মূলদ সংখ্যা হলে করণীদ্বয় __________ করণী।
Ans: অনুবন্ধী করণী
দ্বিঘাত করণী কষে দেখি 9.3
11. সংক্ষিপ্তধর্মী উত্তর প্রশ্ন (S.A.)
(i) x = 3 + 2√2 হলে, x + ¹/_x -এর মান লিখি।
সমাধানঃ
x = 3 + 2√2
$$\large{\frac{1}{x}=\frac{1}{3+2\sqrt2}\\=\frac{3-2\sqrt2}{(3+2\sqrt2)(3-2\sqrt2)}\\=\frac{3-2\sqrt2}{(3)^2-(2\sqrt2)^2}\\=\frac{3-2\sqrt2}{9-8}\\=3-2\sqrt2\\\therefore x+\frac{1}{x}\\=3+2\sqrt2+3-2\sqrt2\\=6\quad \mathbf{Ans}}$$
(ii) (√15 + √3) এবং (√10 + √8) -এর মধ্যে কোনটি বড়ো লিখি।
সমাধানঃ
(√15 + √3)²
= 15 + 3 + 2√45
= 18 + 2√45
(√10 + √8)²
= 10 + 8 + 2√80
= 18 + 2√80
2√80 > 2√45
⇒ 18 + 2√80 > 18 + 2√45
⇒ (√10 + √8)² > (√15 + √3)²
⇒ (√10 + √8) >(√15 + √3)
Ans: (√10 + √8) বড়ো
দ্বিঘাত করণী কষে দেখি 9.3
(iii) দুটি মিশ্র দ্বিঘাত করণী লিখি যাদের গুণফল একটি মূলদ সংখ্যা।
সমাধানঃ
ধরি, দুটি মিশ্র দ্বিঘাত করণী (√5 + 2) ও (√5 – 2)
∴ (√5 + 2)×(√5 – 2)
= (√5)² – (2)²
= 5 – 2
⇒ 3 যা একটি মূলদ সংখ্যা।
(iv) √72 থেকে কত বিয়োগ করলে √32 হবে তা লিখি।
সমাধানঃ
ধরি, x বিয়োগ করতে হবে।
প্রশ্নানুসারে,
√72 – x = √32
বা, 6√2 – x = 4√2
বা, x = 4√2 – 6√2
⇒ x = 2√2
Ans: √72 থেকে 2√2 বিয়োগ করলে √32 হবে।
$$\large{\mathbf{(v)\quad\left(\frac{1}{\sqrt2+1}+\frac{1}{\sqrt3+\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt4+\sqrt3}\right)}\\}$$-এর সরলতম মান লিখি।
$$\large{\mathbf{(Ans)}\\\frac{1}{\sqrt2+1}+\frac{1}{\sqrt3+\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt4+\sqrt3}\\=\frac{\sqrt2-1}{(\sqrt2+1)(\sqrt2-1)}+\frac{\sqrt3-\sqrt2}{(\sqrt3+\sqrt2)(\sqrt3-\sqrt2)}+\frac{\sqrt4-\sqrt3}{(\sqrt4+\sqrt3)(\sqrt4-\sqrt3)}\\=\frac{\sqrt2-1}{(\sqrt2)^2-(1)^2}+\frac{\sqrt3-\sqrt2}{(\sqrt3)^2-(\sqrt2)^2}+\frac{\sqrt4-\sqrt3}{(\sqrt4)^2-(\sqrt3)^2}\\=\sqrt2-1+\sqrt3-\sqrt2+\sqrt4-\sqrt3\\=-1+2=1}$$
Madhyamik Question
MP-2024
▶️ যদি x = √3 + √2, y = ¹/_x হয় তবে (x + ¹/_x)² + (¹/_y – y)² = কত?
VIEW ANSER
MP-2023

▶️ যদি x = ¹/_2-√3 এবং y = ¹/_2+√3 হয় তবে ¹/_xএর মান নির্ণয় করো।
VIEW ANSER
MP-2022
▶️ সরলতম মান নির্ণয় করো:
$\large{\mathbf{\quad\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}-\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{5}}+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}}}$
VIEW ANSER
▶️ m + ¹/_m= √3 হলে, (a) m² + ¹/_m² এবং (b) m³ + ¹/_m³ -এদের সরলতম মান নির্ণয় করো?
VIEW ANSER
MP-2020
▶️ x = 2 + √3 এবং x + y = 4 হলে, xy + ¹/_xy -এর সরলতম মান নির্ণয় করো।
VIEW ANSER
MP-2019
▶️ যদি p+q =√13 এবং p-q= √5 হয়, তাহলে pq -এর মান-
(a) 2 (b) 18 (c) 9 (d) 8
VIEW ANSER
▶️ দুটি দ্বিঘাত করণীর যোগফল ও গুণফল একটি মূলদ সংখ্যা হলে করণীদ্বয় ______ করণী। (শূন্যস্থান পূরণ)
Ans: অনুবন্ধী করনী
▶️ সরল করো:
$\large{\mathbf{\quad\frac{4√3}{2-√2}-\frac{30}{4√3-√18}-\frac{√18}{3-√12}\\Solution:}}$
VIEW ANSER
MP-2018
$\large{\mathbf{▶️\quad √7(√5-√2)-√5(√7-√2)+\frac{2√2}{√5+√7}}}$
VIEW ANSER
MP-2017
$\Large{\mathbf{▶️\quad\frac{1}{√2+√3}-\frac{√3+1}{2+√3}+\frac{√2+1}{3+2√2}}}$
VIEW ANSER
September 21, 2023

Author: TEAM PROSTUTI

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

বহু বিকল্পধর্মীঃ (প্রতিটি প্রশ্নের মান 1)

সঠিক উত্তরটি নির্বাচন করোঃ প্রতিটি প্রশ্নের মান

1 1. x বিন্দুতে x -এর সাপেক্ষ y = f(x) অপেক্ষকের পরিবর্তনের হার –(a) ½f'(x) (b) 2f'(x) (c) f'(x)/f(x) (d) এদের কোনোটিই নয়।

2. y = f(x) যদি x -এর একটি অন্তরকলণযোগ্য অপেক্ষক হয়, তবে-(a) f(x+Δx) = f'(x)Δx(b) f(x+Δx) = f(x) + f'(x)Δx(c) f(x+Δx) = f(x) + Δx(d) এদের কোনোটিই নয়।

3. y = 1/√x+1 হলে নীচের কোন মানটি x = 3 তে x -এর সাপেক্ষে y -এর পরিবর্তন হার? (a) –1/8 (b) 1/16 (c) –1/16 (d) –1/8

4. y = 2x – x2 অপেক্ষকের x = 4 এ পরিবর্তন হার নীচের কোন মানটি? (a) -6 (b) -8 (c) 6 (d) 8

5. Log sinx -এর অবকল হয়- (a) cotx (b) -tanxdx (c) cotx (d) tanxdx

অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মীঃ (প্রতিটি প্রশ্নের মান 2)

1. নীচের প্রত্যেকটি অপেক্ষকের অবকল (differential) নির্ণয় করো:(i) y = x3 – 3x2 + 2x(ii)y = ex2 + a2(iii) y = sin√x(iv) y = ex(sinx + cosx)

UNIT – 3কলনবিদ্যাCALCULUS

2. নিম্নলিখিত অন্তরকলসমূহ (differentials) নির্ণয় করো: (i) d(x2 – y2)(ii) d(xy2)(iii) d(x2/y)(iv) d(x2siny)

4. x = 2 এবং x = 5 -এর মধ্যে y = x2 অপেক্ষকের গড় পরিবর্তন হার এবং x = 2-এ তার পরিবর্তন হার নির্ণয় করো।

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

7. s = t/√t+1 হলে t = 3-এ s -এর t -এর সাপেক্ষে পরিবর্তন হার নির্ণয় করো।Solution:

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

11. r ব্যাসার্ধবিশিষ্ট গোলকের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল ও আয়তন যথাক্রমে S এবং V হলে দেখাও যে, 2dV/dt = rdS/dt

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মীঃ প্রতিটি প্রশ্নের মান 4

1. 4√627-এর আসন্ন তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত মান নির্ণয় করো।

2. sin62°-এর তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান নির্ণয় করো (দেওয়া আছে, 1° = 0.017)

3. loge10.01-এর মান নির্ণয় করো; দেওয়া আছে, loge10 = 2.303

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

4. tan44°-এর মান নির্ণয় করো, দেওয়া আছে, 1° = 0.017451

5. অবকল পদ্ধতি প্রয়োগ করে নীচের প্রত্যেকটির আসন্ন মান নির্ণয় করো:(i)√26 (iii)√0.24(ii) √37 (iv) √0.48

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

7. একটি ঘনকের বাহুর পরিমাপে 5% ত্রুটি হলে তার আয়তনের পরিমাপে শতকরা ত্রুটির পরিমাণ নির্ণয় করো ।

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

দীর্ঘ উত্তরধর্মীঃ প্রতিটি প্রশ্নের মান 5

দ্বিঘাত করণী কষে দেখি 9.3 QUADRATIC SURD দশম শ্রেণি

দ্বিঘাত করণী || কষে দেখি ৯.২ || QUADRATIC SURD || KOSHE DEKHI 9.3 || দশম শ্রেণি || গণিত প্রকাশ || CLASS X || GANIT PRAKASH

দ্বিঘাত করণী কষে দেখি 9.31. (a) m + 1/m =√3 হলে m2 + 1/m2 এবং (ii) m3 + 1/m3 -এদের সরলতম মান নির্নয় করি।

(b) দেখাই যে, √5 + √3/√5 – √3 – √5 – √3/√5 + √3 = 2√15

2. সরল করিঃ

দ্বিঘাত করণী কষে দেখি 9.3

5. সরল করিঃ

সরলফল 14 হলে, x -এর মান কী কী হবে হিসাব করে লিখি।সমাধানঃ

নির্ণেয় সরল ফল 4x2 – 2 (Ans)প্রশ্নানুসারে, 4x2 – 2 = 14বা, 4x2 = 16 বা, x2 = 4⇒ x = ± 2x –এর মান ± 2 (Ans)

দ্বিঘাত করণী কষে দেখি 9.3

6. যদি a = √5 + 1/√5 -1 ও b = √5 – 1/√5 +1 হয়, তবে নীচের মানগুলি নির্ণয় করি।

দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে এখানে ক্লিক করো।

দ্বিঘাত করণী কষে দেখি 9.3

7. যদি x = 2 + √3, y = 2 – √3 হয়, তবে নিম্নলিখিতগুলির সরলতম মান নির্নয় করি। (a) (i) x – 1/x (ii) y2 + 1/y2 (iii) x3 – 1/x3 (iv) xy + 1/xy (b) 3x2 – 5xy + 3y2

দ্বিঘাত করণী কষে দেখি 9.3

8. x = √7 + √3/√7 – √3 এবং xy = 1 হলে, দেখাই যে, x2 + xy + y2/x2 – xy +y2 = 12/11

9. (√7 + 1) এবং (√5 + √3) এর মধ্যে কোনটি বড়ো লিখি।

দ্বিঘাত করণী কষে দেখি 9.3

10. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.):

(ii) যদি p + q = √13 এবং p – q = √5 হয়, তাহলে pq -এর মান (a) 2 (b) 18 (c) 9 (d) 8

(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখিঃ

(C) শূন্যস্থান পূরণ করিঃ

দ্বিঘাত করণী কষে দেখি 9.3

11. সংক্ষিপ্তধর্মী উত্তর প্রশ্ন (S.A.)

(i) x = 3 + 2√2​ হলে, x + 1/x​ -এর মান লিখি।

(ii) (√15 + √3) এবং (√10 + √8) -এর মধ্যে কোনটি বড়ো লিখি।

দ্বিঘাত করণী কষে দেখি 9.3

(iii) দুটি মিশ্র দ্বিঘাত করণী লিখি যাদের গুণফল একটি মূলদ সংখ্যা।

(iv) √72 থেকে কত বিয়োগ করলে √32​ হবে তা লিখি।

Madhyamik Question

MP-2024

MP-2023

MP-2022

▶️ m + 1/m= √3 হলে, (a) m2 + 1/m2 এবং (b) m3 + 1/m3 -এদের সরলতম মান নির্ণয় করো?

MP-2020

MP-2019

MP-2018

MP-2017

1 1. x বিন্দুতে x -এর সাপেক্ষ y = f(x) অপেক্ষকের পরিবর্তনের হার –
(a) ½f'(x) (b) 2f'(x) (c) ^f'(x)/_f(x) (d) এদের কোনোটিই নয়।

2. y = f(x) যদি x -এর একটি অন্তরকলণযোগ্য অপেক্ষক হয়, তবে-
(a) f(x+Δx) = f'(x)Δx
(b) f(x+Δx) = f(x) + f'(x)Δx
(c) f(x+Δx) = f(x) + Δx
(d) এদের কোনোটিই নয়।

3. y = ¹/_√x+1 হলে নীচের কোন মানটি x = 3 তে x -এর সাপেক্ষে y -এর পরিবর্তন হার? (a) –¹/₈ (b) ¹/₁₆ (c) –¹/₁₆ (d) –¹/₈

4. y = 2x – x² অপেক্ষকের x = 4 এ পরিবর্তন হার নীচের কোন মানটি? (a) -6 (b) -8 (c) 6 (d) 8

1. নীচের প্রত্যেকটি অপেক্ষকের অবকল (differential) নির্ণয় করো:
(i) y = x³ – 3x² + 2x
(ii)y = e^x² + a²
(iii) y = sin√x
(iv) y = e^x(sinx + cosx)

UNIT – 3
কলনবিদ্যা
CALCULUS

2. নিম্নলিখিত অন্তরকলসমূহ (differentials) নির্ণয় করো:
(i) d(x² – y²)
(ii) d(xy²)
(iii) d(^x²/_y)
(iv) d(x²siny)

4. x = 2 এবং x = 5 -এর মধ্যে y = x² অপেক্ষকের গড় পরিবর্তন হার এবং x = 2-এ তার পরিবর্তন হার নির্ণয় করো।

7. s = ^t/_√t+1 হলে t = 3-এ s -এর t -এর সাপেক্ষে পরিবর্তন হার নির্ণয় করো।Solution:

11. r ব্যাসার্ধবিশিষ্ট গোলকের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল ও আয়তন যথাক্রমে S এবং V হলে দেখাও যে, 2^dV/_dt = r^dS/_dt

1. ^⁴√627-এর আসন্ন তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত মান নির্ণয় করো।

3. log_e10.01-এর মান নির্ণয় করো; দেওয়া আছে, log_e10 = 2.303

5. অবকল পদ্ধতি প্রয়োগ করে নীচের প্রত্যেকটির আসন্ন মান নির্ণয় করো:
(i)√26 (iii)√0.24
(ii) √37 (iv) √0.48

দ্বিঘাত করণী || কষে দেখি ৯.২
|| QUADRATIC SURD || KOSHE DEKHI 9.3 || দশম শ্রেণি || গণিত প্রকাশ || CLASS X || GANIT PRAKASH

দ্বিঘাত করণী কষে দেখি 9.3
1. (a) m + ¹/_m =√3 হলে m² + ¹/_m² এবং (ii) m³ + ¹/_m³ -এদের সরলতম মান নির্নয় করি।

(b) দেখাই যে, ^{√5 + √}³/_{√5 – √3} – ^{√5 – √}³/_{√5 + √3} = 2√15

সরলফল 14 হলে, x -এর মান কী কী হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ

নির্ণেয় সরল ফল 4x² – 2 (Ans)

প্রশ্নানুসারে,
4x² – 2 = 14
বা, 4x² = 16
বা, x² = 4
⇒ x = ± 2
x –এর মান ± 2 (Ans)

6. যদি a = ^{√5 + 1}/_{√5 -1} ও b = ^{√5 – 1}/_{√5 +1} হয়, তবে নীচের মানগুলি নির্ণয় করি।

7. যদি x = 2 + √3, y = 2 – √3 হয়, তবে নিম্নলিখিতগুলির সরলতম মান নির্নয় করি। (a) (i) x – ¹/_x (ii) y² + ¹/_{_y²} (iii) x³ – ¹/_x³(iv) xy + ¹/_xy (b) 3x² – 5xy + 3y²

8. x = ^{√7 + √3}/_{√7 – √3} এবং xy = 1 হলে, দেখাই যে, ^{_x2 ₊ _xy _{+ y}2}/_{x² – xy +y²} = ¹²/₁₁

10. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.):

(i) x = 3 + 2√2 হলে, x + ¹/_x -এর মান লিখি।

(iv) √72 থেকে কত বিয়োগ করলে √32 হবে তা লিখি।

▶️ m + ¹/_m= √3 হলে, (a) m² + ¹/_m² এবং (b) m³ + ¹/_m³ -এদের সরলতম মান নির্ণয় করো?