Author: TEAM PROSTUTI

Vector Algebra Class XII ভেক্টর বীজগণিত Part 1

Vector Algebra Class XII ভেক্টর বীজগণিত

Vector Algebra Class XII ভেক্টর বীজগণিত Part 1

Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part-1 Click Here
Vector Algebra Class XII ভেক্টর বীজগণিত Part 2 Click Here

বহু বিকল্পধর্মীঃ

1. একটি প্রদ্ত্ত ভেক্টর ā-র অভিমুখে একক ভেক্টর হবে –

$$\Large{a)\quad \frac{\vec{a}}{\vec{a}}\quad b)\quad \frac{|\vec{a}|}{|\vec{a}|}\quad c)\quad \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\quad d)\quad \frac{|\vec{a}|}{\vec{a}}\\\mathbf{Ans:}\quad c)\quad \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}}$$

2. প্রদত্ত
(i) দুটি ভেক্টরের দিক বা অভিমুখ পরস্পর বিপরীত দিকে হলে তাদের সদৃশ ভেক্টর বলে।
(ii) দুটি অসদৃশ ভেক্টরের অভিমুখ পরস্পর বিপরীত দিকে হয়।
(iii) সদৃশ বা অসদৃশ ভেক্টরসমূহকে সমরেখ ভেক্টর বলে।
তাহলে-
a) (ii) এবং (iii) সত্য b) (i) এবং (ii) সত্য
c) কেবলমাত্র (iii) সত্য d) (i) এবং (iii) সত্য
Ans: a) (ii) এবং (iii) সত্য

3. ā = OĀ এবং b̄ = ĀB হলে, ā + b̄ হবে—-

$$\Large{a)\quad \overrightarrow{BO}\quad b)\quad \overrightarrow{OB}\quad c)\quad \overline{OB}\quad d)\quad \overline{BO}\\\mathbf{Ans: }\quad b)\quad \overrightarrow{OB}\\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\\⇒ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{a}\\⇒ \overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{OB})}$$

Vector Algebra Class XII ভেক্টর বীজগণিত Part 1

4. মনে করো, A ও B বিন্দু দুটির সংযোজক রেখাংশের মধ্যবিন্দু C যদি A ও C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে ā ও c̄ হয় তবে B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর হবে —
a) ā + ½c̄ b) 2ā – c̄ c) ½ā + c̄ d) 2c̄ – ā
Ans: d) 2c̄ – ā
[ধরি, B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর b̄
∴ c̄ = ^{ā + b̄}/₂
বা, ā + b̄ = 2c̄
বা, b̄ = 2c̄ – ā]

5. P ও Q বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে ā ও b̄ হলে, P̄Q =
a) ā + b̄ b) b̄ – ā c) ā – b̄ d) ^{ā + b̄}/₂
Ans: b) b̄ – ā
[P̄Q̄ = Q বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর – P বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর
= b̄ – ā]

6. A বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর – B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর হবে—

$$\Large{a)\quad \overrightarrow{BA}\quad b)\quad |\overrightarrow{BA}|\quad c)\quad \overrightarrow{AB}\quad d)\quad |\overrightarrow{AB}|\\\mathbf{Ans:}\quad {a)\quad \overrightarrow{BA}}}$$

7. যদি r̄ = xā + yb̄ + zc̄ হয়, তবে নীচের কোনটি ā অভিমুখে r̄ -এর স্কেলার উপাংশ হবে?
a) |xā| b) y c) |yb̄| d) x
Ans: d) x

8. OP̄ = xî + yĵ + zk̂ হলে হলে নীচের কোনটি y -অক্ষ অভিমুখে OP̄ এর ভেক্টর উপাংশ হবে?
a) xî b) yĵ c) î d) ĵ
Ans: b) yĵ

Vector Algebra Class XII ভেক্টর বীজগণিত Part 1

8. যদি ᾱ = 2î + 3ĵ – 6k̂ এবং β̄ = pî – ĵ + 3k̂ ভেক্টর দুটি সমান্তরাল হয়, তবে p এর মান হবে—
a) ¹/₃ b) ²/₃ c) –²/₃ d) –³/₂
Ans: c) –²/₃
[ᾱ ও β̄ ভেক্টর দুটি পরস্পর সমান্তরাল।
∴ ᾱ = mβ̄ – – – – [m ≠ 0]
বা, 2î + 3ĵ – 6k̂ = m(pî – ĵ + 3k̂)
বা, 2î + 3ĵ – 6k̂ = mpî – mĵ + 3mk̂
∴ 2 = mp | 3 = -m
বা, 2 = -3.p | বা, m = -3
বা, p = –²/₃]

9. যদি |mā| = 1 হয়, তবে নীচের কোনটি সঠিক?

$$\Large{a)\quad m=\frac{1}{|\vec{a}|}\quad b)\quad m=\pm\frac{1}{|\vec{a}|}\quad c)\quad \frac{1}{\vec{a}}\quad \\}$$d) এদের কোনোটিই নয়$$\large{\mathbf{Ans} \quad \quad b)\quad m=\pm\frac{1}{|\vec{a}|}\\}$$

[|mā| = 1
বা, |m|.|ā| = 1
বা, m = ± ¹/_|ā|]

10. P ও Q বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 2î + k̂ এবং -3î – 4ĵ – 5k̂ হলে QP ভেক্টর হবে—
a) 5î + 4ĵ + 4k̂ b) 5î + 4ĵ + 6k̂
c) 5î – 4ĵ + 4k̂ d) –î – 4ĵ – 4k̂
Ans: b) 5î + 4ĵ + 6k̂
[Q̄P̄ = (P̄ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর) – (Q̄ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর)
= (2î + k̂) – (-3î – 4ĵ – 5k̂)
= 2î + k̂ +3î + 4ĵ + 5k̂)
= 5î + 4ĵ + 6k̂

11. যদি OĀ = î – 2k̂ এবং OB̄ = 3î – 2ĵ হয়, তবে AB̄ ভেক্টরের দিক্ (direction) কোসাইনগুলি হবে —

$$\Large{a)\quad \frac{1}{\sqrt3},\frac{1}{\sqrt3},-\frac{1}{\sqrt3}\quad b)\quad 2,2,2\\c)\quad \frac{1}{\sqrt3},-\frac{1}{\sqrt3},\frac{1}{\sqrt3}\quad d) \quad -\frac{1}{\sqrt3},\frac{1}{\sqrt3},-\frac{1}{\sqrt3}\\\mathbf{Ans:}\quad \quad c)\quad \frac{1}{\sqrt3},-\frac{1}{\sqrt3},\frac{1}{\sqrt3}}$$

[ĀB̄ = ŌB̄ _ ŌĀ
= ( î – 2k̂) – (3î – 2ĵ)
= î – 2k̂ – 3î + 2ĵ
= -2î + 2ĵ – 2k̂
|ĀB̄| = √(-2)² + (2)² + (-2)²
= √4 + 4 + 2
= √12 = 2√3
দিক্ কোসাইনগুলি হবে ^-2/_2√3 , ²/_2√3 , ²/_2√3 বা, ^-1/_√3 , ¹/_√3 , ¹/_√3]

Vector Algebra Class XII ভেক্টর বীজগণিত Part 1

অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মীঃ

1. (i) জ্যামিতিক ধারণা থেকে একটি ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।

Ans:
যে ভৌত রাশির একটি নির্দিষ্ট মান (magnitude), অভিমুখ (direction) আছে এবং যা যোগের নিয়ম মেনে চলে তাকে ভেক্টর রাশি বা ভেক্টর বলে। যেমন – বল, সরন, বেগ, ত্বরণ ইত্যাদি।
A____________►___________B
একটি দিকনির্দেশিত সরলরেখাংশের মান ও অভিমুখ উভয়ই আছে বলে, দিকনির্দেশিত সরলরেখাংশের দ্বারা ভেক্টর রাশিকে প্রকাশ করা হয়। চিত্রে ĀB̄ সরলরেখাংশের দ্বারা একটি ভেক্টর রাশিকে প্রকাশ করা হয়েছে যার A বিন্দু প্রারম্ভিক বিন্দু এবং B̄ বিন্দু অন্তিম বিন্দু।

(ii) দুটি ভিন্ন ভেক্টর লেখো যাদের মান সমান। [NCERT]

Ans:
ā = 2î – 5ĵ + 3k̂ ও b̄ = 5î + 3ĵ – 2k̂ দুটি ভিন্ন ভেক্টর।

$$\large{\therefore |\overrightarrow{a}|\\=\sqrt{(2)^2+(-5)^2+(3)^2}\\=\sqrt{4+25+9}\\=\sqrt{38}\\\therefore |\overrightarrow{b}|\\=\sqrt{(5)^2+(3)^2+(-2)^2}\\=\sqrt{25+9+4}\\=\sqrt{38}}$$ā = 2î – 5ĵ + 3k̂ ও b̄ = 5î + 3ĵ – 2k̂ দুটি ভিন্ন ভেক্টর যাদের মান সমান।

(iii) দুটি ভিন্ন ভেক্টর লেখো যাদের একই অভিমুখ। [NCERT]

Ans:
ā = 2î – 5ĵ + 3k̂ ও b̄ = 4î – 10ĵ + 6k̂ দুটি ভিন্ন ভেক্টর।
b̄ = 4î – 10ĵ + 6k̂
= 2(2î – 5ĵ + 3k̂)
= 2ā
∵ b̄ = 2ā
∴ ā = 2î – 5ĵ + 3k̂ ও b̄ = 4î – 10ĵ + 6k̂ দুটি ভিন্ন ভেক্টর যাদের অভিমুখ একই।

UNIT – 4
ভেক্টর এবং ত্রিমাত্রিক স্থানাঙ্ক জ্যামিতি
VECTOR & THREE DIMENSIONAL GEOMETRY

সমতল Plane প্রশ্নমালা – 5A	▶️ CLICK HERE
ত্রিমাত্রিক দেশে সরলরেখা প্রশ্নমালা Straight Line in Three Dimensional Space প্রশ্নমালা – 4A	▶️ CLICK HERE
দিক্ কোসাইন এবং দিক্ অনুপাত Direction Cosines and Direction Ratios প্রশ্নমালা – 3	▶️ CLICK HERE
ভেক্টর বীজগণিত Vector Algebra প্রশ্নমালা – 1 (PART II)	▶️ CLICK HERE
ভেক্টর বীজগণিত Vector Algebra প্রশ্নমালা – 1 (PART I)	▶️ CLICK HERE

দ্বাদশ শ্রেণীর S N Dey বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নীচের BUTTON-এ ক্লিক করো।

CLICK

2. কোনো বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর (position Vector)-এর সংজ্ঞা দাও। P ও Q বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে ā ও b̄ হলে ā ও b̄ এর মাধ্যমে P̄Q̄ ভেক্টর নির্ণয় করো।

Ans:
কোন একটি তলে O -কে একটি অনির্দিষ্ট বিন্দু ধরলে ŌP̄ ভেক্টরকে O বিন্দুর সাপেক্ষে P বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর বলে। প্রারম্ভিক বিন্দু O -কে নির্দেশতন্ত্রের মূলবিন্দু বলা হয়।
P ও Q বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে ā ও b̄ ;
P̄Q̄ = (Q বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর) – (P বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর)
= b̄ – ā

3. একটি ভেক্টর ও একটি একক ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও। ā ভেক্টরের আকারে ā ভেক্টরের অভিমুখে একটি একক ভেক্টর নির্ণয় করো।

Ans:
ভেক্টরঃ যে ভৌত রাশির একটি নির্দিষ্ট মান (magnitude), অভিমুখ (direction) আছে এবং যা যোগের নিয়ম মেনে চলে তাকে ভেক্টর রাশি বা ভেক্টর বলে। যেমন – বল, সরন, বেগ, ত্বরণ ইত্যাদি।
একক ভেক্টরঃ কোন নির্দিষ্ট অভিমুখে একটি ভেক্টরের মান (magnitude) বা মডিউলাস 1 হলে তাকে একক ভেক্টর বলে।
ā ভেক্টরের আকারে ā ভেক্টরের অভিমুখে একটি একক ভেক্টর

$$\Large{=\hat{a}=\quad \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\\}$$

4. ā = 2î – 5ĵ + 3k̂ এবং b̄ = î – 2ĵ – 4k̂ হলে l3ā + 2b̄|-এর মান নির্ণয় করো।

Solution:
ā = 2î – 5ĵ + 3k̂ এবং
b̄ = î – 2ĵ – 4k̂
3ā + 2b̄ = 3(2î – 5ĵ + 3k̂) + 2(î – 2ĵ – 4k̂)
= 6î – 15ĵ + 9k̂ + 2î – 4ĵ – 8k̂
= 8î – 19ĵ + k̂

$$\large{\therefore |3\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}|\\=\sqrt{(8)^2+(-19)^2+(1)^2}\\=\sqrt{64+361+1}\\=\sqrt{426}}$$

Vector Algebra Class XII ভেক্টর বীজগণিত Part 1

5. ā = 2î + 3ĵ – 4k̂ এবং b̄ = î + 2ĵ + k̂ হলে (ā + b̄) এবং lā + b̄| নির্ণয় করো।

Solution:
ā = 2î + 3ĵ – 4k̂ এবং
b̄ = î + 2ĵ + k̂
∴ ā + b̄ = 2î + 3ĵ – 4k̂ + î + 2ĵ + k̂
= 3î + 5ĵ – 3k̂

$$\large{\therefore |\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|\\=\sqrt{(3)^2+(5)^2+(-3)^2}\\=\sqrt{9+25+9}\\=\sqrt{43}}$$

6. যদি ᾱ = 2î – 5ĵ + 4k̂ এবং β̄ = î – 4ĵ + 6k̂ হলে 2ᾱ – β̄ ভেক্টর নির্ণয় করো। (2ᾱ – β̄ ) ভেক্টরের অভিমুখে একটি একক ভেক্টর নির্ণয় করো।

Solution:
2ᾱ – β̄ = 2(2î – 5ĵ + 4k̂) – (î – 4ĵ + 6k̂)
= 4î – 10ĵ + 8k̂ – î + 4ĵ – 6k̂
= 3î – 6ĵ + 2k̂
(2ᾱ – β̄ ) ভেক্টরের অভিমুখে একটি একক ভেক্টর

$$\large{=\frac{3\hat{i}-6\hat{j}+2\hat{k}}{\sqrt{(3)^2+(-6)^2+(2)^2}}\\=\frac{3\hat{i}-6\hat{j}+2\hat{k}}{\sqrt{9+36+4}}\\=\frac{3\hat{i}-6\hat{j}+2\hat{k}}{\sqrt{49}}\\=\frac{1}{7}(3\hat{i}-6\hat{j}+2\hat{k})\quad \mathbf{ANS}}$$

7. দেখাও যে, – î + ĵ, – 4î – 6 ĵ এবং 5 î + 5 ĵ ভেক্টর তিনটি একটি সমকোণী ত্রিভুজের তিনটি বাহু।

Solution:

$$\large{|-\hat{i}+\hat{j}|^2=\left(\sqrt{(-1)^2+(1)^2}\right)^2\\\quad =\left(\sqrt{1+1}\right)^2=\left(\sqrt{2}\right)^2=2\\|-4\hat{i}-6\hat{j}|^2=\left(\sqrt{(-4)^2+(-6)^2}\right)^2\\\quad =\left(\sqrt{16+36}\right)^2=\left(\sqrt{52}\right)^2=52\\|5\hat{i}+5\hat{j}|^2=\left(\sqrt{(5)^2+(5)^2}\right)^2\\\quad =\left(\sqrt{25+25}\right)^2=\left(\sqrt{50}\right)^2=50\\\therefore |-\hat{i}+\hat{j}|^2+|5\hat{i}+5\hat{j}|^2=|-4\hat{i}-6\hat{j}|^2}$$ভেক্টর তিনটি একটি সমকোণী ত্রিভুজের তিনটি বাহু। (Proved)

Utube_comptech_home — দশম শ্রেণীর **ভৌত** বিজ্ঞান এবং **জীবন** বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন

8. A, B ও C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে -5 î + ĵ, 5î + 5 ĵ এবং 10 î + 7 ĵ; দেখাও যে, A, B, C বিন্দু তিনটি সমরেখ।

Solution:
A, B ও C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে -5î + ĵ, 5î + 5ĵ এবং 10î + 7ĵ;
যেখানে O হল মূলবিন্দু।
ŌĀ = -5î + ĵ
ŌB̄ = 5î + 5ĵ
ŌC̄ = 10î + 7ĵ
∴ ĀB̄ = ŌB̄ – ŌĀ
= (5î + 5ĵ) – (-5î + ĵ)
= 10î + 4ĵ
B̄C̄ = ŌC̄ – ŌB̄
= (10î + 7ĵ) – (5î + 5ĵ)
= 5î + 2ĵ
∴ ĀB̄ = 2B̄C̄
A, B, C বিন্দু তিনটি সমরেখ। (Proved)

9. ভেক্টর পদ্ধতিতে প্রমাণ করো যে, A(-5, 7), B(-4, 5) এবং C(1, -5) বিন্দু তিনটি একরেখীয়।

Solution:
A, B ও C বিন্দু তিনটির অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে -5î + 7ĵ, -4î + 5ĵ এবং î – 5ĵ:
∴ ĀB̄ = (-4î + 5ĵ) – (-5î + 7ĵ)
= -4î + 5ĵ + 5î – 7ĵ
= î – 2ĵ
∴ B̄C̄ = (î – 5ĵ) – (-4î + 5ĵ)
= î – 5ĵ + 4î – 5ĵ
= 5î – 10ĵ
= 5(î – 2ĵ) = 5ĀB̄
∵ B̄C̄ = 5ĀB̄
∴ B বিন্দু ĀB̄ ও B̄C̄ -এর সাধারন বিন্দু ।
∴ ĀB̄ ও B̄C̄ রেখাংশ একরেখীয়।
A, B ও C বিন্দু তিনটি একরেখীয়। (Proved)

10. ā = î + ĵ এবং b̄ = 4î – ĵ হলে, (2ā – b̄) ভেক্টরের অভিমুখে একক ভেক্টর এবং (2ā – b̄) ভেক্টরের অক্ষ দুটি বরাবর ভেক্টর ও স্কেলার উপাংশ নির্ণয় করো।

Solution:
এখানে, ā = î + ĵ এবং
b̄ = 4î – ĵ
∴ 2ā – b̄ = 2(î + ĵ) -(4î – ĵ)
= 2î + 2ĵ -4î + ĵ
= -2î + 3ĵ
(2ā – b̄) ভেক্টরের অভিমুখে একক ভেক্টর

x অক্ষ বরাবর ভেক্টর উপাংশ -2î (ANS)
y অক্ষ বরাবর ভেক্টর উপাংশ 3ĵ (ANS)
x অক্ষ বরাবর স্কেলার উপাংশ -2 (ANS)
y অক্ষ বরাবর স্কেলার উপাংশ 3 (ANS)

$$\large{=\frac{-2\hat{i}+3\hat{j}}{\sqrt{(-2)^2+3^2}}\\=\frac{1}{\sqrt{13}}(-2\hat{i}+3\hat{j})\quad \mathbf{ANS}}$$

11. দুটি প্রদত্ত বিন্দু P ও Q -এর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে ৪î + 3 ĵ এবং 2î – 5 ĵ: P̄Q ভেক্টরের মান ও দিক নির্ণয় করো।

Solution:
P ও Q -এর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে ৪î + 3 ĵ এবং 2î – 5 ĵ:

$$\large{\overrightarrow{PQ}=(2\hat{i}-5\hat{j})-(8\hat{i}+3\hat{j})\\=2\hat{i}-5\hat{j}-8\hat{i}-3\hat{j}\\=-6\hat{i}-8\hat{j}\\\therefore|\overrightarrow{PQ}|\\=\sqrt{(-6)^2+(-8)^2}\\=\sqrt{36+64}\\=\sqrt{100}=10}$$

P̄Q x অক্ষের ধনাত্মক দিকের সঙ্গে α কোন উৎপন্ন করলে,
cosα = ^-6/₁₀ = – ³/₅
বা, α = cos^-1(- ³/₅)
ANS: P̄Q ভেক্টরের মান 10 ও
দিক cos^-1(- ³/₅)

12. A ও B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 4î – 3 ĵ এবং -2î + 5 ĵ ;
(i) ĀB রেখাংশের মধ্যবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর এবং
(ii) ĀB রেখাংশ যে দুটি বিন্দুতে সমত্রিখণ্ডিত হয় তাদের অবস্থান ভেক্টর নির্ণয় করো।

Solution:
(i) A ও B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 4î – 3ĵ এবং -2î + 5ĵ ;
∴ ĀB রেখাংশের মধ্যবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর
= ^{(4î – 3ĵ – 2î + 5ĵ)}/₂
= ^{(2î + 2ĵ)}/₂
= î + 2ĵ
ANS: ĀB রেখাংশের মধ্যবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর î + 2ĵ

(ii)
^A__________^C__________^D__________ ^B
ধরি, AC রেখাংশ C বিন্দুতে 1:2 অনুপাতে এবং D বিন্দুতে 2:1 অনুপাতে সমত্রিখণ্ডিত হয়।
A ও B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 4î – 3 ĵ এবং -2î + 5 ĵ ;
∴ C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর

∴ C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর$$\large{=\frac{1(-2\hat{i}+5\hat{j})+2(4\hat{i}-3\hat{j})}{1+2}\\=\frac{-2\hat{i}+5\hat{j}+8\hat{i}-6\hat{j}}{3}\\=\frac{6\hat{i}-\hat{j}}{3}\\=2\hat{i}-\frac{1}{3}\hat{j}\quad\mathbf{Ans}}$$∴ D বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর$$\large{=\frac{2(-2\hat{i}+5\hat{j})+1(4\hat{i}-3\hat{j})}{1+2}\\=\frac{-4\hat{i}+10\hat{j}+4\hat{i}-3\hat{j}}{3}\\=\frac{7}{3}\hat{j}\quad\mathbf{Ans}}$$

ANS: ĀB রেখাংশ যে দুটি বিন্দুতে সমত্রিখণ্ডিত হয় তাদের অবস্থান ভেক্টর 2î – ¹/₃ĵ এবং ⁷/₃ĵ

13. যে ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু তিনটি A(-1, -3), B(5, 7) এবং C(2, 5) তার মধ্যমা তিনটির ছেদবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর নির্ণয় করো।

Solution:
ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু তিনটির অবস্থান ভেক্টর A(-î – 3ĵ), B(5î + 7ĵ) এবং C(2î + 5ĵ)
∴ মধ্যমা তিনটির ছেদবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর
= ^{-î – 3ĵ + 5î + 7ĵ + 2î + 5ĵ}/₃
= ^{6î + 9ĵ}/₃
= 2î + 3ĵ
ANS: মধ্যমা তিনটির ছেদবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর 2î + 3ĵ

14. (i) pî – 5ĵ এবং 2î – 3ĵ ভেক্টর দুটি সমরেখ হলে p এর মান নির্ণয় করো।
(ii) ABC ত্রিভুজে AB ও BC বাহু যথাক্রমে 2î – ĵ + 2k̂ ও î + 3ĵ + 5k̂ ভেক্টর দ্বারা সূচিত হলে CA বাহু যে ভেক্টর দ্বারা সুচিত হবে তা নির্ণয় করো।

Solution:
(i) pî – 5ĵ এবং 2î – 3ĵ ভেক্টর দুটি সমরেখ
∴ pî – 5ĵ = m(2î – 3ĵ) – – – [m ≠ 0]
⇒ pî – 5ĵ = 2mî – 3mĵ
∴ -5 = -3m
⇒ m = ⁵/₃
এবং p = 2m
বা, p = 2×⁵/₃ = ¹⁰/₃
ANS: p = ¹⁰/₃
(ii) ভেক্টর যোগের সূত্রের সাহায্যে পাই,
AB̄ + BC̄ + CĀ = 0
∴ CĀ = – (AB̄ + BC̄)
= – (2î – ĵ + 2k̂ + î + 3ĵ + 5k̂)
= – 3î – 2 ĵ – 7k̂
ANS: CA বাহু যে ভেক্টর দ্বারা সুচিত হবে তা হল – 3î – 2 ĵ – 7k̂

15. A ও B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 3î – ĵ + 7k̂ এবং 4î – 3 ĵ – k̂ হলে AB ভেক্টরের মান ও তার দিক্‌ (direction) কোসাইনগুলি নির্ণয় করো।

Solution:
A বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 3î – ĵ + 7k̂ এবং
B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 4î – 3 ĵ – k̂

$$\large{\therefore\overrightarrow{AB}=(4\hat{i} -3\hat{j}-\hat{k})-(3\hat{i}-\hat{j}+7\hat{k})\\\quad =\hat{i} -2\hat{j}-8\hat{k}\\\therefore|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{1^2+(-2)^2+(-8)^2}\\\quad\quad=\sqrt{69}}$$

ANS:
AB ভেক্টরের মান √69
ও তার দিক্‌ কোসাইনগুলি হল-

$$\Large{\quad \frac{1}{\sqrt{69}},-\frac{2}{\sqrt{69}},-\frac{8}{\sqrt{69}}\\ }$$

September 10, 2023

দ্বিঘাত করণী কষে দেখি 9.2 QUADRATIC SURD দশম শ্রেণি
দ্বিঘাত করণী কষে দেখি 9.2 QUADRATIC SURD দশম শ্রেণি
দ্বিঘাত করণী || কষে দেখি ৯.২
|| QUADRATIC SURD || KOSHE DEKHI 9.2 || দশম শ্রেণি || গণিত প্রকাশ || CLASS X || GANIT PRAKASH
1. (a) 3^½ ও √3 -এর গুণফল নির্নয় করি।
Ans:
3^½ × √3
= √3× √3
= 3
3^½ ও √3 -এর গুণফল 3
(b) 2√2 -কে কত দিয়ে গুন করলে 4 পাব লিখি।
Ans:
ধরি, x দিয়ে গুন করতে হবে।
প্রশ্নানুযায়ী,
2√2×x = 4
⇒ √2×x = 2
বা, √2×x = √2×√2
⇒ x = √2
2√2 -কে √2 দিয়ে গুন করলে 4 পাব।
(c) 3√5 এবং 5√3 -এর গুনফল নির্নয় করি।
Ans:
3√5×5√3
= 3×5×√5×√3
=15√15
(d) √6×√15 = x√10 হলে, x -এর মান হিসাব করে লিখি।
Ans:
√6×√15 = x√10
⇒ √2×√3×√3×√5 = x×√2×√5
⇒ √3×√3 = x
∴ x = 3
(e) (√5 + √3)(√5 − √3) = 25 – x²একটি সমীকরণ হলে, x -এর মান হিসাব করে লিখি।
Ans:
(√5 + √3)(√5 − √3) = 25 – x²
⇒ (√5)² – (√3)² = 25 – x²
⇒ 5 – 3 = 25 – x²
বা, 2 = 25 – x²
⇒ x² = 25 – 2 = 23
⇒ x² = ±√23
দ্বিঘাত করণী কষে দেখি 9.2
2. গুণফল নির্নয় করিঃ –

(a) √7 × √14
Ans:
√7 × √14
= √7 × √7 × √2
= 7√2
(b) √12 × 2√3
Ans:
√12 × 2√3
= 2√3 × 2√3
= 4 × 3 = 12
(c) √5 × √15 × √3
Ans:
√5 × √15 × √3
= √5 × √5 × √3 × √3
= (√5)² × (√3)²
⇒ 5 × 3 = 15
(d) √2 (3 + √5)
Ans:
√2 (3 + √5)
= 3√2 + √10
(e) (√2 + √3)(√2 – √3)
Ans:
(√2 + √3)(√2 – √3)
= (√2)² – (√3)²
= 2 – 3 = -1
(f) (2√3 + 3√2)(4√2 + √5)
Ans:
(2√3 + 3√2)(4√2 + √5)
= 8√6 + 2√15 + 12.2 + 3√10
= 24 + 8√6 + 3√10 + 2√15
(g) (√3 + 1)(√3 – 1)(2 – √3)(4 + 2√3)
Ans:
(√3 + 1)(√3 – 1)(2 – √3)(4 + 2√3)
= {(√3)² – (1)²}(2 – √3)×2×(2 + √3)
= (3 – 1){(2)² – (√3)²}×2
⇒ 2(4 – 3)×2
= 4
3. (a) √5 -এর করনী নিরসক উৎপাদক √x হলে, x –এর ক্ষুদ্রতম মান কত হবে তা হিসাব করে লিখি। [যেখানে x একটি পূর্নসংখ্যা]
Ans:
√5 -এর করনী নিরসক উৎপাদক √x
$$\large{\therefore√5.√x=5\\⇒\sqrt{x}=\frac{5}{\sqrt{5}}\\⇒\sqrt{x}=\frac{\sqrt{5}.\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\\⇒\sqrt{x}=\sqrt{5}\\⇒x=5}$$x –এর ক্ষুদ্রতম মান √5
(b) 3√2 ÷3 -এর মান নির্নয় করি।
Ans:
3√2 ÷3
= √2
3√2 ÷3 -এর মান √2
(c) 7 ÷√48 -এর হরের করনী নিরসন করতে হরকে ন্যূনতম কত দিয়ে গুন করতে হবে তা লিখি।
Ans:
$$\large{7 ÷ √48\\=\frac{7}{\sqrt{48}}\\=\frac{7}{\sqrt{3.16}}\\=\frac{7}{4\sqrt{3}}}$$হরের করনী নিরসন করতে হরকে √3 দিয়ে গুন করতে হবে।
(d) (√5 + 2) -এর করনী নিরসক উৎপাদক নির্নয় করি যা করণীটির অনুবন্ধী করণী।
Ans:
(√5 + 2) -এর করনী নিরসক উৎপাদক √5 – 2 যা করণীটির অনুবন্ধী করণী।
(e) (√5 + √2) ÷ √7 = 1/7(√35 + a) হলে, a –এর মান নির্নয় করি।
$$\large{\mathbf{Ans:}\\(\sqrt{5}+\sqrt{2})÷\sqrt7=\frac{1}{7}(\sqrt{35}+a)\\⇒\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{35}+a}{7}\\⇒\frac{(\sqrt{5}+\sqrt{2}).\sqrt{7}}{\sqrt{7}.\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{35}+a}{7}\\⇒\frac{\sqrt{35}+\sqrt{14}}{7}=\frac{\sqrt{35}+a}{7}\\⇒ \sqrt{35}+\sqrt{14}=\sqrt{35}+a\\⇒a=\sqrt{14} }$$
(f) 5/√3 − 2 -এর হরের একটি করণী নিরসক উৎপাদক লিখি যা অনুবন্ধী করণী নয়।
Ans:
5/√3 − 2 -এর হরের একটি করণী নিরসক উৎপাদক (√3 + 2)
4. (9 – 4√5 ) ও (−2 − √7) মিশ্র দ্বিঘাত করণীদ্বয়ের অনুবন্ধী করণীদ্বয় লিখি।
Ans:
(9 – 4√5 ) -এর মিশ্র দ্বিঘাত করণীর অনুবন্ধী করণী 9 + 4√5
(−2 − √7) -এর মিশ্র দ্বিঘাত করণীর অনুবন্ধী করণী −2 + √7
5. নীচের মিশ্র দ্বিঘাত করণীর 2 টি করে করণী নিরসক উৎপাদক লিখি –
(i) √5 + √2
Ans:
√5 + √2 -এর 2 টি করণী নিরসক উৎপাদক হল √5 – √2 এবং -√5 + √2

(ii) 13 + √6
Ans:
13 + √6 -এর 2 টি করণী নিরসক উৎপাদক হল 13 – √6 এবং -13 + √6

(iii) √8 – 3
Ans:
√8 – 3 -এর 2 টি করণী নিরসক উৎপাদক হল √8 + 3 এবং -√8 – 3

(iv) √17 – √15
Ans:
√17 – √15 -এর 2 টি করণী নিরসক উৎপাদক হল √17 + √15 এবং -√17 – √15
6. হরের করণী নিরসন করিঃ
$$\large{\mathbf{(i)\quad\frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{\sqrt{6}}}\\\mathbf{Ans:}\\\frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{\sqrt{6}}\\=\frac{(2\sqrt{3}+3\sqrt{2})\sqrt{6}}{\sqrt{6}.\sqrt{6}}\\=\frac{(2\sqrt{18}+3\sqrt{12})}{6}\\=\frac{2.3\sqrt{2}+3.2\sqrt{3}}{6}\\=\frac{6(\sqrt{2}+\sqrt{3})}{6}\\=\sqrt{3}+\sqrt{2}}$$
$$\large{\mathbf{(ii)\quad\frac{\sqrt{2}-1+\sqrt{6}}{\sqrt{5}}}\\\mathbf{Ans:}\\=\frac{\sqrt{2}-1+\sqrt{6}}{\sqrt{5}}\\=\frac{(\sqrt{2}-1+\sqrt{6})\sqrt{5}}{\sqrt{5}.\sqrt{5}}\\=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{5}+\sqrt{30}}{5}\\=\frac{1}{5}(\sqrt{10}-\sqrt{5}+\sqrt{30})}$$
দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে এখানে ক্লিক করো।
$$\large{\mathbf{(iii)\quad\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}\\Ans:}\\=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}\\=\frac{(\sqrt{3}+1)^2}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}\\=\frac{3+2\sqrt{3}+1}{(\sqrt{3})^2-(1)^2}\\=\frac{4+2\sqrt{3}}{3-1}\\=\frac{2(2+\sqrt{3})}{2}\\=2+\sqrt{3}}$$
$$\large{\mathbf{(iv)\quad\frac{3+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}}\\\mathbf{Ans:}\\=\frac{3+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}\\=\frac{(3+\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{3})}{(\sqrt{7}-\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})}\\=\frac{3\sqrt{7}+3\sqrt{3}+\sqrt{35}+\sqrt{15}}{(\sqrt{7})^2-(\sqrt{3})^2}\\=\frac{3\sqrt{7}+\sqrt{35}+3\sqrt{3}+\sqrt{15}}{7-3}\\=\frac{1}{4}(3\sqrt{7}+\sqrt{35}+3\sqrt{3}+\sqrt{15})}$$
$$\large{\mathbf{(v)\quad\frac{3\sqrt{2}+1}{2\sqrt{5}-1}\\\mathbf{Ans:}}\\\frac{3\sqrt{2}+1}{2\sqrt{5}-1}\\=\frac{(3\sqrt{2}+1)(2\sqrt{5}+1)}{(2\sqrt{5}-1)(2\sqrt{5}+1)} \\=\frac{6\sqrt{10}+3\sqrt{2}+2\sqrt{5}+1}{(2\sqrt{5})^2-(1)^2}\\=\frac{6\sqrt{10}+3\sqrt{2}+2\sqrt{5}+1}{20-1}\\=\frac{1}{19}(6\sqrt{10}+3\sqrt{2}+2\sqrt{5}+1)\\=}$$
$$\large{\mathbf{(vi)\quad\frac{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}\\Ans:}\\\frac{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}\\=\frac{(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})}{(3\sqrt{2}-2\sqrt{3})(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})}\\=\frac{9.2+6\sqrt{6}+6\sqrt{6}+4.3}{(3\sqrt{2})^2-(2\sqrt{3})^2}\\=\frac{18+12\sqrt{6}+12}{18-12}\\=\frac{30+12\sqrt{6}}{6}\\=\frac{6(5+2\sqrt{6})}{6}\\=5+2\sqrt{6}}$$
আমাদের লেটেস্ট পোস্টের আপডেট পেতে আমাদের ফেসবুক পেজে জয়েন করতে পারো ।
7. প্রথমটিকে দ্বিতীয়টি দিয়ে ভাগ করে ভাজককে মূলদ সংখ্যায় পরিণত করি।
(i) 3√2 + √5, √2 + 1
$$\large{\mathbf{Ans:}\\\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{5}}{\sqrt{2}+1}\\=\frac{(3\sqrt{2}+\sqrt{5})(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}\\=\frac{3.2-3\sqrt{2}+\sqrt{10}-\sqrt{5}}{(\sqrt{2})^2-(1)^2}\\=\frac{6-3\sqrt{2}+\sqrt{10}+\sqrt{5}}{2-1}\\=6-3\sqrt{2}+\sqrt{10}+\sqrt{5}}$$
(ii) 2√3 + √2, √2 – √3
$$\large{\mathbf{Ans:}\\\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}\\=\frac{(2\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{2}+\sqrt{3})}{(\sqrt{2}-\sqrt{3})(\sqrt{2}+\sqrt{3})}\\=\frac{2\sqrt{6}+2.3-2-\sqrt{6}}{(\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2}\\=\frac{\sqrt{6}+4}{2-3}\\=-(4+\sqrt{6})}$$
(iii) 3 + √6, √3 + √2
$$\large{\mathbf{Ans:}\\\frac{3+\sqrt{6}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\\=\frac{(3+\sqrt{6})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}\\=\frac{3\sqrt{3}-3\sqrt{2}+\sqrt{18}-\sqrt{12}}{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2}\\=\frac{3\sqrt{3}-3\sqrt{2}+3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{(3-2)}\\=\sqrt{3}-\sqrt{2}\\=\frac{(2\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{2}+\sqrt{3})}{(\sqrt{2}-\sqrt{3})(\sqrt{2}+\sqrt{3})}\\}$$
8. মান নির্নয় করিঃ
$$\large{\mathbf{(i)\quad \frac{2\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}+1}-\frac{4\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}-1}\\Ans:}\\\frac{2\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}+1}-\frac{4\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}-1}\\=\frac{(2\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)-(4\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)}\\=\frac{(2.5-2\sqrt{5}+\sqrt{5}-1)-(4.5+4\sqrt{5}-\sqrt{5}-1)}{(\sqrt{5})^2-(1)^2}\\=\frac{10-\sqrt{5}-1-20-3\sqrt{5}+1}{5-1}\\=\frac{-10-4\sqrt{5}}{4}\\=\frac{-2(5+2\sqrt{5})}{4}\\=-\frac{5+2\sqrt{5}}{2}}$$
$$\large{\mathbf{(ii)\quad \frac{8+3\sqrt{2}}{3+\sqrt{5}}-\frac{8-3\sqrt{2}}{3-\sqrt{5}}\\Ans:}\\\frac{8+3\sqrt{2}}{3+\sqrt{5}}-\frac{8-3\sqrt{2}}{3-\sqrt{5}}\\=\frac{(8+3\sqrt{2})(3-\sqrt{5})-(8-3\sqrt{2})(3+\sqrt{5})}{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}\\=\frac{(24-8\sqrt{5}+9\sqrt{2}-3\sqrt{10})-(24+8\sqrt{5}-9\sqrt{2}-3\sqrt{10})}{(3)^2-(\sqrt{5})^2}\\=\frac{24-8\sqrt{5}+9\sqrt{2}-3\sqrt{10}-24-8\sqrt{5}+9\sqrt{2}+3\sqrt{10}}{9-5}\\=\frac{-16\sqrt{5}+18\sqrt{2}}{4}\\=\frac{2(9\sqrt{2}-8\sqrt{5})}{4}\\=\frac{9\sqrt{2}-8\sqrt{5}}{2}}$$
Madhyamik Question
MP-2022
▶️ হরের করণী নিরসন করো:
$\large{\mathbf{\quad\frac{12}{√15-3}}}$
VIEW ANSER
MP-2017

▶️ x = 2 + √3 হলে x + ¹/_x – এর মান হবে 2√3 (সত্য / মিথ্যা)
VIEW ANSER
KOSHE DEKHI 9.1
KOSHE DEKHI 9.2
September 4, 2023

Author: TEAM PROSTUTI

Vector Algebra Class XII ভেক্টর বীজগণিত Part 1

Vector Algebra Class XII ভেক্টর বীজগণিত Part 1

বহু বিকল্পধর্মীঃ

Vector Algebra Class XII ভেক্টর বীজগণিত Part 1

Vector Algebra Class XII ভেক্টর বীজগণিত Part 1

1. (i) জ্যামিতিক ধারণা থেকে একটি ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।

(ii) দুটি ভিন্ন ভেক্টর লেখো যাদের মান সমান। [NCERT]

(iii) দুটি ভিন্ন ভেক্টর লেখো যাদের একই অভিমুখ। [NCERT]

UNIT – 4ভেক্টর এবং ত্রিমাত্রিক স্থানাঙ্ক জ্যামিতি VECTOR & THREE DIMENSIONAL GEOMETRY

3. একটি ভেক্টর ও একটি একক ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও। ā ভেক্টরের আকারে ā ভেক্টরের অভিমুখে একটি একক ভেক্টর নির্ণয় করো।

4. ā = 2î – 5ĵ + 3k̂ এবং b̄ = î – 2ĵ – 4k̂ হলে l3ā + 2b̄|-এর মান নির্ণয় করো।

5. ā = 2î + 3ĵ – 4k̂ এবং b̄ = î + 2ĵ + k̂ হলে (ā + b̄) এবং lā + b̄| নির্ণয় করো।

6. যদি ᾱ = 2î – 5ĵ + 4k̂ এবং β̄ = î – 4ĵ + 6k̂ হলে 2ᾱ – β̄ ভেক্টর নির্ণয় করো। (2ᾱ – β̄ ) ভেক্টরের অভিমুখে একটি একক ভেক্টর নির্ণয় করো।

7. দেখাও যে, – î + ĵ, – 4î – 6 ĵ এবং 5 î + 5 ĵ ভেক্টর তিনটি একটি সমকোণী ত্রিভুজের তিনটি বাহু।

8. A, B ও C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে -5 î + ĵ, 5î + 5 ĵ এবং 10 î + 7 ĵ; দেখাও যে, A, B, C বিন্দু তিনটি সমরেখ।

9. ভেক্টর পদ্ধতিতে প্রমাণ করো যে, A(-5, 7), B(-4, 5) এবং C(1, -5) বিন্দু তিনটি একরেখীয়।

11. দুটি প্রদত্ত বিন্দু P ও Q -এর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে ৪î + 3 ĵ এবং 2î – 5 ĵ: P̄Q ভেক্টরের মান ও দিক নির্ণয় করো।

13. যে ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু তিনটি A(-1, -3), B(5, 7) এবং C(2, 5) তার মধ্যমা তিনটির ছেদবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর নির্ণয় করো।

দ্বিঘাত করণী কষে দেখি 9.2 QUADRATIC SURD দশম শ্রেণি

দ্বিঘাত করণী || কষে দেখি ৯.২ || QUADRATIC SURD || KOSHE DEKHI 9.2 || দশম শ্রেণি || গণিত প্রকাশ || CLASS X || GANIT PRAKASH

(c) 3√5​ এবং 5√3 -এর গুনফল নির্নয় করি।

(e) (√5 + √3)(√5 − √3) = 25 – x2 একটি সমীকরণ হলে, x -এর মান হিসাব করে লিখি।

দ্বিঘাত করণী কষে দেখি 9.2

দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে এখানে ক্লিক করো।

Madhyamik Question

MP-2022

MP-2017

UNIT – 4
ভেক্টর এবং ত্রিমাত্রিক স্থানাঙ্ক জ্যামিতি
VECTOR & THREE DIMENSIONAL GEOMETRY

দ্বিঘাত করণী || কষে দেখি ৯.২
|| QUADRATIC SURD || KOSHE DEKHI 9.2 || দশম শ্রেণি || গণিত প্রকাশ || CLASS X || GANIT PRAKASH

(c) 3√5 এবং 5√3 -এর গুনফল নির্নয় করি।

(e) (√5 + √3)(√5 − √3) = 25 – x²একটি সমীকরণ হলে, x -এর মান হিসাব করে লিখি।