PROSTUTI

Author: TEAM PROSTUTI

  • Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা Part-I

    Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা Part-I

    Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা Part-I

    Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা Part-I

    Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1 Click Here

    বহু বিকল্পধর্মী প্রতিটি প্রশ্নের মান 1

    সঠিক উত্তরটি নির্বাচন করো:

    1.  নীচের প্রদত্ত বিবৃতিগুলির কোনটি সত্য?
    (a) একটি খনিজ নমুনায় তামা থাকার সম্ভাবনা 0.28 এবং তামা ও লোহা থাকার সম্ভাবনা 0.36
    (b) A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন হলে, A ও BC ঘটনা দুটিও স্বাধীন হবে।
    (c) A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন হলে AC ও BC ঘটনা দুটিও স্বাধীন হবে।
    (d) P(A) ≠ 0, P(B) ≠ 0 এবং A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন হলে, তারা পরস্পর পৃথকও হতে পারে।
    Ans:     (b) এবং (c)
    [ধরি, তামা থাকার ঘটনা A ও লোহা থাকার ঘটনা B
    ∴ P(A) = 0.28
    তামা ও লোহা থাকার সম্ভাবনা = সম্পুর্ন ঘটনা
    অর্থাৎ  AUB = S
    ∴ P(AUB) = P(S) = 1
    কিন্তু P(AUB) = 0.36
    ∴  এটি সত্য নয়।]

    2. যে-কোনো দুটি ঘটনা A ও B -এর ক্ষেত্রে, নীচের কোনটি সত্য?
    (a)  P(AUB) ≤ P(A) + P(B)
    (b) P(A/B) > P(B/A)
    (c) P(A∩B) ≤ P(A) + P(B) − 1
    (d) P(ACUBC) = 1 – P(A∩B)
    Ans:     (a) P(AUB) ≤ P(A) + P(B)
    [P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
    P(A∩B) = 0 হলে,
    P(AUB) = P(A) + P(B)
    P(A∩B) ≠ 0 হলে,
    P(AUB) < P(A) + P(B)
    ∴ P(AUB) ≤ P(A) + P(B)]

    3. নীচের প্রদত্ত বিবৃতিগুলির কোনটি সত্য?
    (a) P(Ac∩Bc) দ্বারা A অথবা B ঘটনা না ঘটার সম্ভাবনা প্রকাশিত হয়।
    (b) যদি A, B ও C ঘটনা তিনটি পরস্পর পৃথক এবং S নিশ্চিত ঘটনা হয়, তবে P(AUBUC) = 1
    (c) P(AcUBc) দ্বারা A ও B ঘটনা দুটি একসঙ্গে ঘটার সম্ভাবনা প্রকাশিত হয়।
    (d) একটি সমসম্ভব পরীক্ষার সঙ্গে সংশ্লিষ্ট B যদি একটি যৌগিক ঘটনা এবং A একটি সরল ঘটনা হয়, তবে P(A) ≤ P(B)
    Ans:     (b) যদি A, B ও C ঘটনা তিনটি পরস্পর পৃথক এবং S নিশ্চিত ঘটনা হয়, তবে P(AUBUC) = 1

    4. নীচের প্রদত্ত বিবৃতিগুলির কোনটি সত্য?
    (a) A ও B দুটি অধীন ঘটনা হলে, P(A/Bc) = P(A) হবে।
    (b) যদি A ও B দুটি পরস্পর পৃথক ঘটনা না হয়, তবে P(AUB) = P(A)) + P(B) হবে।
    (c) একটি ঝোঁকশূন্য পাশাকে n বার ছোঁড়া হলে, পরীক্ষার নমুনা দেশে 6n সংখ্যক সমভাবে সম্ভাব্য নমুনা বিন্দু পাওয়া যাবে।
    (d) একটি ঝোঁকশূন্য মুদ্রা পরপর 5 বার উৎক্ষেপণের সমসম্ভব পরীক্ষার নমুনাদেশে 32 টি সমভাবে সম্ভাব্য নমুনা বিন্দু থাকে।

    Ans:     (d) একটি ঝোঁকশূন্য মুদ্রা পরপর 5 বার উৎক্ষেপণের সমসম্ভব পরীক্ষার নমুনাদেশে 32 টি সমভাবে সম্ভাব্য নমুনা বিন্দু থাকে।
    [নমুনাদেশে  সমভাবে সম্ভাব্য নমুনা বিন্দুর সংখ্যা = 25 = 32 টি]

    5. একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা 5/8 হলে, ঘটনাটির প্রতিকূলে সুযোগ হবে –
    (a) 5 : 13 (b) 5 : 3 (c) 3 : 5 (d) 8 : 13
    Ans:     (c) 3 : 5
    [∴ ঘটনাটির প্রতিকূলে সুযোগ = 8-5/5 = 3/5 = 3 : 5
    ▶️ A ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা m/n হলে, A ঘটনার প্রতিকূলে সুযোগ (n-m) : m

    6. একটি ঘটনার প্রতিকূলে সুযোগ 9 : 4 হলে, ঘটনাটি ঘটার সম্ভাবনা হবে –
    (a) 9/13 (b) 4/13 (c) 4/9 (d) 5/13
    Ans:     (b) 4/13
    [ঘটনাটি ঘটার সম্ভাবনা = 4/9+4 = 4/13
    ▶️ B ঘটনার প্রতিকূলে সুযোগ a : b হলে B ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা P(B) = b/a+b]

    Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

    7.  একটি ঘটনা না ঘটার সম্ভাবনা 4/7 হলে, ঘটনাটির প্রতিকূলে সুযোগ হবে-
    (a) 4 : 7 (b) 7 : 4 (c) 4 : 3 (d) 3 : 4
    Ans:     (c) 4 : 3
    [ঘটনা না ঘটার সম্ভাবনা 4/7 হলে,
    ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা = 1 – 4/7 = 3/7
    ∴ ঘটনাটির প্রতিকূলে সুযোগ = 7-3/3 = 4/3 = 4 : 3
    ▶️ A ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা m/n হলে, A ঘটনার প্রতিকূলে সুযোগ (n-m) : m]

    8. একটি ঘটনার প্রতিকূলে সুযোগ 4 : 5 হলে, ঘটনাটি ঘটার সম্ভাবনা হবে –
    (a) 5/9 (b) 4/9 (c) 4/5 (d) 1/9
    Ans:     (a) 5/9
    [ঘটনাটি ঘটার সম্ভাবনা = 5/5+4 =5/9
    ▶️ B ঘটনার প্রতিকূলে সুযোগ a : b হলে B ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা P(B) = b/a+b ]

    9. প্রথম 11টি স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্য থেকে উদ্দেশ্যহীনভাবে একটি সংখ্যা তোলা হলে, তোলা সংখ্যাটি জোড় হওয়ার সম্ভাবনা হবে –
    (a) 6/11 (b) 5/6 (c) 4/11 (d) 5/11
    Ans:     (d) 5/11
    [1 থেকে 11 এর মধ্যে জোড় সংখ্যা আছে 2, 4, 6, 8, 10 অর্থাৎ 5টি
    ∴ তোলা সংখ্যাটি জোড় হওয়ার সম্ভাবনা হবে – 5/11]

    10. একটি  ঝোঁকশূন্য মুদ্রা 3 বার টস্ করা হলে ঠিক 1 টি হেড পাওয়ার সম্ভাবনা হবে – 
    (a) 1/2 (b) 5/8 (c) 3/4 (d) 3/8
    Ans:     (d) 3/8
    [একটি  ঝোঁকশূন্য মুদ্রা 3 বার টস্ করার সমসম্ভব পরীক্ষায় নমুনাদেশে নমুনা বিন্দুর সংখ্যা = 23 = 8
    ধরি, A দ্বারা হেড পাওয়ার ঘটনা সূচিত করা হয়।
    ∴ A ঘটনার অন্তর্গত নমুনা বিন্দুর সংখ্যা 3টি
    ∴ P(A) = 3/8]

    11. একটি সাধারণ পাশা 2 বার ছোড়া হলে 11 পাওয়ার সম্ভাবনা হবে – 
    (a) 1/18 (b) 1/9 (c) 1/12 (d) 5/36
    Ans:     (a) 1/18
    [সাধারণ পাশা 2 বার ছোড়ার সমসম্ভব পরীক্ষায় নমুনাদেশে নমুনা বিন্দুর সংখ্যা = 62 = 36
    ধরি, 11 পাওয়ার ঘটনা A দ্বারা সূচিত করা হয়।
    ∴ A ঘটনার অন্তর্গত নমুনা বিন্দুর সংখ্যা (5,6),(6,5) বা 2টি
    ∴ P(A) = 2/36 = 1/18]

    12.  দুটি পরস্পর পৃথক ঘটনা A ও B এর ক্ষেত্রে P(A) = 1/2  P(AUB) = 2/3 হলে, P(B) -এর মান হবে – (a) 1/4 (b) 1/6 (c) 1/3 (d) 1/5
    Ans:     (b) 1/6
    [A ও B দুটি পরস্পর পৃথক ঘটনা।
    ∴ P(AUB) = P(A) + P(B)
    ⇒ 2/3 = 1/2 + P(B)
    ⇒ P(B) = 2/3 – 1/2
    = 1/6]

    Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

    13. A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন এবং P(A) = 3/5 ও P(A∩B) = 4/9 হলে, P(B) -এর মান হবে –
    (a) 5/9 (b) 8/9 (c) 5/27 (d) 20/27
    Ans:     (d) 20/27
    [A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন
    P(A∩B) = P(A) P(B)
    ⇒ 4/9 = 3/5×P(B)
    ⇒ P(B) = 4/9×5/3 = 20/27]

    14. P(A) = 3/7,  P(B) = 4/7 এবং P(A∩B) = 2/9 হলে, P(A/B) -এর মান হবে –
    (a) 7/18 (b) 14/27 (c) 5/18 (d) 4/9
    Ans:     (a) 7/18
    [P(A/B) = P(A∩B)/P(B)
    = 2/9/4/7
    = 2/9×7/4 = 7/18]

    UNIT – 6
    সম্ভাবনা
    PROBABILITY

    বেইজ উপপাদ্য Bayes’ Theorem প্রশ্নমালা 1B▶️ CLICK HERE
    সম্ভাবনা Probability প্রশ্নমালা 1A (Part-II)▶️ CLICK HERE
    সম্ভাবনা Probability প্রশ্নমালা 1A (Part-I)▶️ CLICK HERE

    দ্বাদশ শ্রেণীর S N Dey বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নীচের BUTTON-এ ক্লিক করো।

    CLICK

    15. A, B ও C  ঘটনা তিনটি পরস্পর পৃথক ও সম্পূর্ণ; যদি P(A) = 3/5 ও P(B) = 1/6  হয়, তবে P(C) এর মান হবে –
    (a) 23/30 (b) 7/30 (c) 1/10 (d) 9/10
    Ans:     (b) 7/30
    [A, B ও C  ঘটনা তিনটি পরস্পর পৃথক ও সম্পূর্ণ;
    ∴ AUBUC = S
    ⇒ P(AUBUC) = P(S)
    ⇒ P(AUBUC) = 1
    ⇒ P(A) + P(B) + P(C) = 1
    ⇒ P(C) = 1 – P(A) – P(B)
    ⇒ P(C) = 1 – 3/5 – 1/6
    = 30-18-5/30
    = 7/30]

    16.  P(A∩B) = 5/13 হলে, P(AcUBc) এর মান হবে-
    (a) 4/13 (b) 6/13 (c) 7/13 (d) 8/13
    Ans:     (d) 8/13
    [ P(AcUBc) = P(A∩B)c
    = 1 – 5/13
    = 8/13]

    Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

    অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রতিটি প্রশ্নের মান 2

    1. B ঘটনা ঘটেছে এই শর্তে এ ঘটনার শর্তযুক্ত সম্ভাবনার সংজ্ঞা দাও।
    Ans:     E সমসম্ভব পরীক্ষার সঙ্গে সংশ্লিষ্ট দুটি ঘটনা A ও B (B ≠ 0) হলে B ঘটনা ঘটেছে এই শর্তসাপেক্ষে A ঘটনা ঘটার সম্ভাবনাকে A ঘটনার শর্তযুক্ত সম্ভাবনা বলে এবং তা P(A/B) প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

    2. A ও B দুটি প্রদত্ত ঘটনা হলে, নিম্নলিখিত প্রতিটি ক্ষেত্রে ঘটনা দুটি সম্পর্কে কী সিদ্ধান্ত করা যায়?
    (i) P(AUB) = P(A) + P(B) (ii) P(A∩B) = 0
    (iii) P(A) = P(B) (iv) P(AUB) = 1
    (v) P(A∩B) ≠ 0 (vi) P(A/B) = P(A)
    (vii) P(A) = P(B) (viii) P(A∩B) = P(A) P(B)

    Solution:
    (i)
    P(AUB) = P(A) + P(B)
    ⇒ P(A) + P(B) – P(A∩B) = P(A) + P (B)
    ⇒ P(A∩B) = 0
    ∴ A ও B পৃথক ঘটনা

    (ii)
     P(A∩B) = 0
    ∴ A ও B পৃথক ঘটনা।

    (iii)
    P(A) = P(B)
    অর্থাৎ A ও B উভয় ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা সমান।
    ∴ A ও B সমভাবে সম্ভাব্য ঘটনা।

    (iv)
    P(AUB) = 1
    অর্থাৎ A ও B ঘটনা দুটির মধ্যে একটি ঘটনা অবশ্যই ঘটবে।
    ∴ এটি একটি সম্পূর্ণ ঘটনা।

    (v)
    P(A∩B) ≠ 0
    ⇒ A∩B  ≠ ϕ
    ∴ A ও B পরস্পর পৃথক ঘটনা নয়।

    (vi)
    P(A/B) = P(A)
    ⇒ P(A∩B)/P(B) = P(A)
    ⇒P(A∩B) = P(A) P(B)
    ∴ A ও B দুটি স্বাধীন ঘটনা।

    (vii)
    P(A) ≠ P(B)
    ∴ ঘটনা দুটি সমভাবে সম্ভাব্য ঘটনা নয়।

    (viii)
    P(A∩B) = P(A) P(B)
    ∴ A ও B দুটি স্বাধীন ঘটনা।

    Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

    3. A ও B̄ ঘটনা দুটি যথাক্রমে A ও B ঘটনা দুটির পূরক ঘটনা হলে প্রমাণ করো যে, P(A বা B)=1- P(A) P(B/A)
    Solution:

    $$\large{P(\overline A)=1-P(A);\\P(\overline B)=1-P(B);\\\therefore P(\overline AU\overline B)=P(\overline A)+P(\overline B)-P(\overline A∩\overline B)\\⇒P(\overline AU\overline B)=1-P(A)+1-P(B)-P(\overline{AUB})\\⇒P(\overline AU\overline B)=1-P(A)+1-P(B)-1+P(AUB)\\⇒P(\overline AU\overline B)=1-P(A)-P(B)+P(AUB)\\⇒P(\overline AU\overline B)=1-(P(A)+P(B))+P(AUB)\\⇒P(\overline AU\overline B)=1-(P(AUB)+P(A∩B))+P(AUB)\\⇒P(\overline AU\overline B)=1-P(AUB)-P(A∩B)+P(AUB)\\⇒P(\overline AU\overline B)=1-P(A∩B)\\⇒P(\overline AU\overline B)=1-P(A)P(B/A)\quad\mathbf{(Proved)}}$$

    4. মনে করো, A, B, C যে-কোনো তিনটি অনির্দিষ্ট ঘটনা। সেট্ তত্ত্বের প্রচলিত প্রতীকসমূহের প্রয়োগে নিম্নলিখিত ঘটনাসমূহের প্রতীকসমূহ নির্ণয় করো:
    (i) কেবল A ঘটে
    (ii) A ও B ঘটে কিন্তু C ঘটে না
    (iii) তিনটি ঘটনাই ঘটে
    (iv) কমপক্ষে একটি ঘটনা ঘটে
    (v) কমপক্ষে দুটি ঘটনা ঘটে

    (i) Ans: A∩Bc∩Cc
    (ii) Ans: A∩B∩Cc
    (iii) Ans: A∩B∩C
    (iv) Ans: AUBUC
    (v) Ans: (A∩B) U (B∩C) U (C∩A)

    5. মনে করো, কোনো পরীক্ষার সঙ্গে সংশ্লিষ্ট তিনটি ঘটনা A1, A2, A3 হলে কোন্ কোন্ শর্তাধীনে ঘটনাসমূহ সম্পূর্ণ ও পরস্পর পৃথক হবে?
    Ans:
    প্রদত্ত ঘটনা তিনটি পরস্পর পৃথক হলে,
    A1∩A2 = A2∩A3 = A3∩A1 = ϕ
    ⇒ P(A1∩A2) = P(A2∩A3) = P(A3∩A1) = 0 হবে।
    সেক্ষেত্রে,
    P(A1UA2UA3) = P(A1) + P(A2) + P(A3) হয়।
    ঘটনা তিনটি সম্পূর্ণ হলে,
    A1UA2UA3 =S হবে – – – [S = নিশ্চিত ঘটনা]
    সেক্ষেত্রে,
    P(A1UA2UA3) = P(S) = 1 হয়।

    6. দেখাও যে, A ও B ঘটনা দুটির ঠিক একটা ঘটার সম্ভাবনা হয় P(A) + P(B) – 2P (A∩B)
    Ans:
    ঘটনা দুটির ঠিক একটি ঘটার সম্ভাবনা
    = P(A – B) + P(B – A)
    = P(A) – P(A∩B) + P(B) – P(A∩B)
    = P(A) + P(B) – 2P(A∩B)
    = P(A) + P(B) – 2P(AB) (Proved)

    Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

    7. নিম্নলিখিত ক্ষেত্রসমূহ দ্বারা সম্ভাবনা পরিমাপসমূহ প্রকাশিত হতে পারে কি?
    (i) P(A) = 0.2, P(B) = 0.7, P (C) = 0.1
    (ii) P(A) = 0.4, P(B) = 0.6 P (C) = 0.2
    (iii)P (AUB) = 0.5, P(B) = 0.6, P (C) = 0.2
    (iv)P(A) = 0.4, P(B) = 0.5, P (BAC) = 0.1
    (v)P(A) = 0.32, P(B) = 0.47, P( BUC) = 0.6
    (vi) P(A) = 0.3, P(B) = 0.5, P (C’) = 0.8
    যেখানে (AUBUC) দ্বারা নিশ্চিত ঘটনা সূচিত হয় এবং A, B, C ঘটনা তিনটি পরস্পর পৃথক।

    Ans:
    প্রশ্নানুসারে,
    AUBUC=S (নিশ্চিত ঘটনা)
    ∴ P(AUBUC) = P(S) = 1
    ∵ A, B, C ঘটনা তিনটি পরস্পর পৃথক।
    P(A) + P(B) + P(C) = 1 – – – – (i)

    (i)
    P(A) + P(B) + P (C)
    = 0.2 + 0.7 + 0.1 =1
    এটি (i) নং শর্তকে সিদ্ধ করে।
    এক্ষেত্রে সম্ভাবনা পরিমাপসমূহ প্রকাশিত হতে পারে।

    (ii)
     P(A) + P(B) + P (C)
    = 0.4 + 0.6 + 0.2 = 1.2
    এটি (i) নং শর্তকে সিদ্ধ করে না।
    এক্ষেত্রে সম্ভাবনা পরিমাপসমূহ প্রকাশিত হতে পারে না।

    (iii)
     P(AUB) = P(A) + P(B)
    ⇒ 0.5 = P(A) + 0.6
    ⇒ P(A) = 0.5 – 0.6 = – 0.1
    ∵ 0 ≤ P(A) ≤ 1
    এক্ষেত্রে সম্ভাবনা পরিমাপসমূহ প্রকাশিত হবে না।

    (iv)
    এখানে, P(B∩C) = 0.1≠ 0
    শর্তানুসারে, P(B∩C) = 0 হতে হবে।
    এক্ষেত্রে সম্ভাবনা পরিমাপসমূহ প্রকাশিত হতে পারে না।

    (v)
     P(BUC) = P(B) + P(C)
    ⇒ 0.68 = 0.47 + P (C)
    ⇒ P(C) = 0.21
    P(S) = P(AUBUC)
    = P(A) + P(B) + P(C)
    = 0.32 + 0.47 + 0.21 = 1
    এক্ষেত্রে সম্ভাবনা পরিমাপসমূহ প্রকাশিত হতে পারে।

    (vi)
    P(B’) = 0.5.
    ⇒ P(B) = 1 – P(B’)
    ⇒ 1 – 0.5 = 0.5
    P(C’) = 0.8
    ⇒ P(C) = 1 – P(C’)
    ⇒ 1 – 0.8 = 0.2
    ∴ P(A) + P(B) + P (C)
    = 0.3 + 0.5 + 0.2 = 1
    এক্ষেত্রে সম্ভাবনা পরিমাপসমূহ প্রকাশিত হতে পারে।

    8. তিনটি পরস্পর পৃথক ঘটনা X, Y, Z-এর ক্ষেত্রে, P(X) = 2P(Y) = 3P (Z) এবং XUYUZ=S। যেখানে S দ্বারা নিশ্চিত ঘটনা প্রকাশিত হয়। P(X) -এর মান নির্ণয় করো।

    Ans:
    XUYUZ=S
    P(XUYUS) = P(S)
    ∵ S নিশ্চিত ঘটনা
    ∴ P(XUYUS) = P(S) = 1
    ∵ ঘটনা তিনটি পরস্পর পৃথক
    ∴ P(XUYUS) = 1
    ⇒ P(X) + P(Y) + P(Z) = 1
    ⇒ P(X) + 1/2P(X) + 1/3P(X) = 1
    ⇒ P(X) (1 + 1/2 + 1/3) = 1
    ⇒ P(X)×11/6 =1
    ⇒ P(X) = 6/11
    Ans: P(X) -এর মান 6/11

    9. 9. কোনো সমসম্ভব পরীক্ষার সঙ্গে সংশ্লিষ্ট দুটি ঘটনা A ও B যদি এমন হয় যে, P(B) = 0.35, P(A অথবা, B)= 0.85 এবং P(A এবং B)=0.15 তবে P(A) -এর মান নির্ণয় করো।

    Ans:
    P(B) = 0.35,
    P(A অথবা, B)= 0.85
    ⇒ P(AUB) = 0.85,
    P(A এবং B)= 0.15
    ⇒ P(A∩B) = 0.15
    ∵ P(AUB) = 0.85
    ⇒ P(A) + P(B) – P(A∩B) = 0.85
    ⇒ P(A) + 0.35 – 0.15 = 0.85
    ⇒ P(A) + 0.20 = 0.85
    ⇒ P(A) = 0.65

    10. A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন এবং  P(A) = 2/5, P(B) = 1/3 ; P(AUB) এর মান নির্ণয় করো।

    Solution:
    P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
    = P(A) + P(B) – P(A) P(B) – – – [ A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন ঘটনা]
    = 2/5 + 1/3 – 2/5×1/3
    = 6+5-2/15
    = 9/15 = 3/5

    Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

    11.কোনো সমসম্ভব পরীক্ষা E-এর সঙ্গে সংশ্লিষ্ট দুটি ঘটনা A ও B পরস্পর পৃথক নয়। যদি P(A) = 1/4,  P(B) = 2/5 এবং P(AUB) = 1/2  হয়, তবে নিম্নলিখিত সম্ভাবনাসমূহের মান নির্ণয় করো:
    (i) P(A∩B) (ii) P(A∩Bc)
    (iii) P(AcUBc) যেখানে দিয়ে একটি ঘটনার পূরক ঘটনা প্রকাশিত হয়।

    (i)
    Solution: 
    P(A∩B) = P(A) + P(B) – P(AUB)
    = 1/4 + 2/5 – 1/2
    = 5+8-10/20 = 3/20 (Ans)

    (ii)
    Solution:
    P(A∩Bc) = P(A – (A-B))
    = P(A) – P(A∩B)
    = 1/4 – 3/20
    = 5-3/20
    = 2/20 = 1/10 (Ans)

    (iii)
    Solution:
    P(AcUBc) = P(A∩B)c
    = 1 – P(A∩B)
    = 1 – 3/20 = 17/20 (Ans)

    12. P(ĀUB̄) = 5/6, P(A) = 1/2 এবং P(B̄) = 2/3 হলে A ও B ঘটনা দুটি কি স্বাধীন?

    Solution:
    P(ĀUB̄) = 5/6
    ∴ P(A∩B) = 1 – P(ĀUB̄)
    ⇒ P((A∩B) = 1 – 5/6 = 1/6
    আবার P(B̄) = 2/3
    ∴ P(B) = 1 – P(B̄)
    = 1 – 2/3 = 1/3
    ∴ P(A) P(B) = 1/2×1/3
    = 1/6 = P(A∩B)
    Ans: ঘটনা দুটি স্বাধীন।

    সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রতিটি প্রশ্নের মান 4

    1. স্বাধীন ও পরস্পর পৃথক ঘটনাসমূহের সংজ্ঞা দাও। দুটি ঘটনা একই সঙ্গে স্বাধীন ও পরস্পর পৃথক হতে পারে কি? তোমার উত্তর ব্যাখ্যা করতে যথোপযুক্ত উদাহরণ দাও।

    Ans:
    ⏺️যখন দুটি ঘটনার মধ্যে একটি ঘটনা ঘটার সঙ্গে অপর একটি ঘটনা ঘটার কোনও সম্ভাবনা থাকে না তখন ঘটনা দুটিকে স্বাধীন বলা হয়।
    ⏺️ দুই বা ততোধিক ঘটনা যদি পরস্পর এমনভাবে সম্পর্কিত থাকে যে তাদের মধ্যে কোনো দুটি ঘটনা কখনও একই সঙ্গে ঘটা সম্ভব নয় তখন সেই ঘটনাসমূহকে পরস্পর পৃথক ঘটনা বলা হয়।
    দুটি ঘটনা একইসাথে স্বাধীন ও পরস্পর পৃথক হতে পারে না ।
    ⏺️ ধরি, A, B দুটি ঘটনা এমন যে P(A) ≠ 0, P(B) ≠ 0
    আরও ধরি, A ও B পরস্পর পৃথক এবং স্বাধীন।
    (A∩B) = ϕ
    ∴ P(A∩B) = 0
    ⇒ P(A) P(B) = 0
    ∴ হয় P(A) = 0 অথবা P(B) = 0 যা অসম্ভব।

    2. কখন দুটি ঘটনাকে স্বাধীন বলা হয়? দুটি পরস্পর পৃথক ঘটনা A ও B যেখানে P(A) ও P(B) কারও মান শূন্য নয়, স্বাধীন হতে পারে কি?

    Ans: যখন দুটি ঘটনার মধ্যে একটি ঘটনা ঘটার সঙ্গে অপর একটি ঘটনা ঘটার কোনও সম্ভাবনা থাকে না তখন ঘটনা দুটিকে স্বাধীন বলা হয়।
    ⏺️ A ও B দুটি পরস্পর পৃথক ঘটনা যেখানে P(A) ≠ 0 ; P(B) ≠ 0
    দুটি ঘটনা স্বাধীন হওয়ার শর্ত,
    P(A∩B) = P(A)P(B) = 0
    ∴ P(A) = 0 অথবা P(B) = 0 কিন্তু এখানে P(A) ≠ 0 ; P(B) ≠ 0
    ∴ দুটি পরস্পর পৃথক ঘটনা স্বাধীন হতে পারে না।

    Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

    3. A1, A2 ও A3 তিনটি ঘটনা। দেখাও যে, ঘটনা তিনটি একসঙ্গে ঘটার সম্ভাবনা হয়,

    $$\mathbf{P(A_1∩A_2∩A_3)\\\quad\quad=P(A_1)P\left(\frac{A_2}{A_1}\right)P\left(\frac{A_3}{A_1∩A_2}\right)}\\$$

    কোন্ শর্তাধীনে P(A1∩A2∩A3) = P(A1)P(A2)P(A3) হয় তা উল্লেখ করো।

    Solution:
    তিনটি ঘটনা একসঙ্গে ঘটবে যখন A1∩A2∩A3 ঘটবে।
    ∴ ঘটনা তিনটি একসঙ্গে ঘটার সম্ভাবনা হল –

    $$\large{\quad\quad P(A_1∩A_2∩A_3)\\=\frac{P(A_1∩A_2∩A_3)}{P(A_1∩A_2)}P(A_1∩A_2)\\=P(A_1∩A_2)P(A_3/(A_1∩A_2))\\=P(A_1)\frac{P(A_1∩A_2)}{P(A_1)} P\left(A_3/(A_1∩A_2)\right)\\=P(A_1)P(A_2/A_1)P(A_3/(A_1∩A_2))\\}$$

    ঘটনা তিনটি পরস্পর স্বাধীন হলে,
    P(A2/A1) = P(A2) এবং
    P(A3/(A1∩A2)) = P(A3) হবে।
    ∴ P(A1∩A2∩A3) = P(A1)P(A2)P(A3)

    4. যে-কোনো দুটি ঘটনা A ও B-এর ক্ষেত্রে প্রমাণ করো যে P(AUB) ≤ P(A) + P(B)।

    Solution:
    আমরা জানি,
    0 ≤ (AUB) ≤ 1
    ⇒ -1 ≤ -(AUB) ≤ 0
    ⇒ P(A) + P(B) -1 ≤ P(A) + P(B) – (AUB) ≤ P(A) + P(B)
    ⇒ P(AUB) ≤ (A∩B) ≤ P(A) + P(B)
    ⇒ P(AUB)  ≤ P(A) + P(B)

    5. যে-কোনো দুটি ঘটনা A ও B-এর ক্ষেত্রে প্রমাণ করো:
    (i) P(A) ≥ P(A∩B) ≥ P(A) + P(B) – 1
    (ii) P(A∩B) ≤ P(A) ≤ P(AUB) ≤ P(A) + P(E)
    (iii) P(A/B) < P(B/A), যখন P(A) < P(B)
    Solution:
    (i)
    (A∩B) ≤ A
    ⇒ P(A∩B) ≤ P(A) – – – (i)
    P(AUB) ≤ 1
    ⇒ P(A) + P(B) – P(A∩B) ≤ 1
    ⇒ P(A) + P(B) – 1 ≤ P(A∩B)  – – – (ii)
    (i) ও (ii) থেকে পাওয়া যায়,
    P(A) + P(B) – 1 ≤ P(A∩B) ≤ P(A)
    ⇒ P(A) ≥ P(A∩B) ≥ P(A) + P(B) – 1 (Proved)
    (ii)
    (A∩B) ≤ A
    ⇒ P(A∩B) ≤ P(A) – – – (i)
    A ≤ (AUB)
    ⇒ P(A) ≤ P(AUB) – – – (ii)
    আবার,
    P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
    ⇒ P(AUB) ≤ P(A) + P(B) [∵ P(A∩B) ≥ 1] – – – (iii)
    (i), (ii) ও (iii) থেকে পাওয়া যায় –
    P(A∩B) ≤ P(A) ≤ P(AUB) ≤ P(A) + P(B) (Proved)

    (iii) প্রদত্ত
    P(A) < P(B)
    ⇒ 1/P(A) > 1/P(B)
    ⇒ P(A∩B)/P(A) > P(A∩B)/P(B)
    ⇒ P(B/A) > P(A/B)
    ⇒ P(A/B) < P(B/A) (Proved)

    Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

    6. A ও B দুটি স্বাধীন ঘটনা হলে প্রমাণ করো : (i) Ac এবং Bc (ii) Ac ও B (iii) A ও Bc ঘটনা দুটি স্বাধীন।

    Solution:
    ∵ A ও B দুটি স্বাধীন ঘটনা
    ∴ P(A∩B) = P(A)P(B)

    (i)
    P(Ac∩Bc) = P[(AUB)c]
    ⇒ P(Ac∩Bc) =1-P(AUB)
    ⇒ P(Ac∩Bc) = 1− P(A) – P(B) + P(AUB)
    ⇒ P(Ac∩Bc) = 1− P(A) – P(B)+  P(A)P(B)
    ⇒P(Ac∩Bc) = [1− P(A)] – P(B)[1 –  P(A)]
    ⇒ P(Ac∩Bc) = [1− P(A)][1- P(B)]
    ⇒P(Ac∩Bc) =  P(Ac)P(Bc)
    ∴ Ac এবং Bc ঘটনা দুটি স্বাধীন।

    (ii)
    P(Ac∩B) = P(B-(A∩B))
    ⇒ P(Ac∩B) = P(B)-P(A∩B)
    ⇒ P(Ac∩B) = P(B)-P(A)P(B)
    ⇒ P(Ac∩B) = P(B)[1-P(A)]
    ⇒ P(Ac∩B) = P(B)P(Ac)
    ⇒ P(Ac∩B) = P(Ac)P(B)
    ∴ Ac এবং B ঘটনা দুটি স্বাধীন।

    (iii)
    P(A∩Bc) = P(A-(A∩B))
    ⇒ P(A∩Bc) = P(A)-P(A∩B)
    ⇒ P(A∩Bc) = P(A)-P(A)P(B)
    ⇒ P(A∩Bc) = P(A)[1-P(B)]
    ⇒ P(A∩Bc) = P(A)P(Bc)
    ⇒ P(A∩Bc) = P(A)P(Bc)
    ∴ A এবং Bc ঘটনা দুটি স্বাধীন।

    7. Ac ও Bc ঘটনা দুটি পরস্পর স্বাধীন হলে প্রমাণ করো যে, A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন হবে

    Solution:  Ac ও Bc ঘটনা দুটি পরস্পর স্বাধীন।
    ∴ P(Ac∩Bc) = P(Ac) P(Bc)
    ⇒ P[(AUB)c]= (1-P(A)) (1-P(B))
    ⇒ 1-P(AUB) = 1 – P(B) – P(A) + P(A)P(B)
    ⇒ 1- [P(A) + P(B) – P(A∩B)] = 1 – P(B) – P(A) + P(A)P(B)
    ⇒ 1- P(A) – P(B) + P(A∩B) = 1 – P(B) – P(A) + P(A)P(B)
    ⇒ P(A∩B) =  P(A)P(B)
    ∴ A ও B ঘটনা দুটি পরস্পর স্বাধীন।

    8. একটি ঝোঁকশূন্য মুদ্রা পরপর তিনবার টস্ করা হয়। মনে করো, প্রথম টসে ‘টেল’ পড়ার ঘটনা A দ্বারা এবং দ্বিতীয় টসে ‘হেড’ পড়ার ঘটনা B দ্বারা সূচিত হয়। প্রমাণ করো যে, A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন।

    Solution:
    তিনবার টস করার ঘটনা নমুনাদেশ হল –
    {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}
    তিনবার টস করার ঘটনায় নমুনাদেশে নমুনা বিন্দুর সংখ্যা = 23 = 8 টি।
    A = {TTT, TTH, THT, THH }
    B = {HHH, HHT, THH, THT} এবং
    A∩B = {THH, THT}
    ∴ P(A) = 4/8 = 1/2
    P(B) = 4/8 = 1/2
    P(C) = 4/8 = 1/2
    P(A∩B) = 2/8 = 1/4
    P(A)P(B) = 1/2×1/2
    = 1/2 = P(A∩B)
    ∴ A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন।

    Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

    9. একটি ঝোঁকশূন্য মুদ্রা দুবার টস্ করা হয়। মনে করো, A, B ও C দ্বারা যথাক্রমে প্রথম টসে হেড্‌, দ্বিতীয় টসে হেড্‌ এবং কেবল একটি হেড্‌ পড়ার ঘটনা সূচিত হয়। দেখাও যে, ঘটনা তিনটি প্রতি জোড়ায় স্বাধীন।

    Solution:
    দুবার টস করার ঘটনার নমুনাদেশ হল {HH, HT, TH, TT}
    A = {HH, HT},
    B= {HH, TH},
    C = {HT, TH} 
    ∴ A∩B = {HH},
    B∩C = {TH} এবং
    C∩A = {HT }
    ∴ P(A) = 2/4 = 1/2 P(B) = 2/4 = 1/2
    P(C) = 2/4 = 1/2 P(A∩B)= 1/4
    P(B∩C)= 1/4 P(C∩A) = 1/4
    P(A)P(B) = 1/2×1/2 = 1/4 = P(A∩B)
    P(B)P(C) = 1/2×1/2 = 1/4 = P(B∩C)
    P(C)P(A) = 1/2×1/2 = 1/4 = P(C∩A)
    ∴ A, B, C ঘটনা তিনটি প্রতিজোড়ায় স্বাধীন।

    10. প্রমাণ করো যে, দুটি পাশা ছোড়ার সমসম্ভব পরীক্ষায় “প্রথম পাশায় 4 পড়ার” এবং “দ্বিতীয় পাশায় 5 পড়ার” ঘটনা দুটি পরস্পর স্বাধীন।

    Solution:
    ধরি, প্রথম পাশায় 4 পড়ার ঘটনা A এবং দ্বিতীয় পাশায় 5 পড়ার ঘটনা B দ্বারা সূচিত হয়।
    দুটি পাশা ছোড়ার সমসম্ভব পরীক্ষার নমুনাদেশের মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা = 62 =36
    প্রথম পাশায় 4 পড়তে পারে একটি উপায়ে।
    ∴ প্রথম পাশায় 4 পড়ার সম্ভাবনা = P(A) = 1/6
    দ্বিতীয় পাশায় 4 পড়তে পারে একটি উপায়ে।
    ∴ দ্বিতীয় পাশায় 5 পড়ার সম্ভাবনা = P(B) = 1/6
    প্রথম পাশায় 4 এবং দ্বিতীয় পাশায় 5 পড়তে পারে একটি উপায়ে।
    প্রথম পাশায় 4 এবং দ্বিতীয় পাশায় 5 পড়ার সম্ভাবনা = P(A∩B) = 1/36
    P(A) P(B) = 1/6×1/6
    = 1/36 =P(A∩B)
    ∴ ঘটনা দুটি স্বাধীন।

    Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

    11. কোনো পরীক্ষার সম্ভাব্য আটটি ফল ei(i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) সমভাবে সম্ভাব্য। মনে করো, A, B, C তিনটি ঘটনার নিম্নলিখিতভাবে সংজ্ঞা দেওয়া হয়:
    A = (e1, e2, e3, e4); B = (e3, e4, e5, e6) ও
    C = (e3, e4, e7, e8) A, B ও C
    ঘটনা তিনটির অধীনতা বা স্বাধীনতা পরীক্ষা করো।
    Solution:
    A∩B = (e3, e4), B∩C=(e3, e4)
    C∩A =(e3, e4) এবং A∩B∩C= (e3, e4 )
    ∴ P(A) = 4/8 = 1/2; P(B) = 4/8 = 1/2;
    P(C) = 4/8 = 1/2; P(A∩B) = 2/8 = 1/4;
    P(B∩C) = 2/8 = 1/4;
    P(C∩A) = 2/8 = 1/4;
    P(A∩B∩C)= 2/8 = 1/4;
    P(A)P(B) =1/2×1/2 = 1/4 = P(A∩B)
    P(B)P(C) = 1/2×1/2 = 1/4 = P(B∩C)
    P(C)P(A) =1/2×1/2 = 1/4 = P(C∩A)
    ∴ A, B, C ঘটনা তিনটি প্রতিজোড়ায় স্বাধীন।
    P(A)P(B)P(C) = 1/2×1/2 ×1/2= 1/4 ≠ P(A∩B∩C)
    ∴  ঘটনা তিনটি পরস্পর স্বাধীন নয়।

    12. P(A) = a, P(B) = b P(A∩B) = c নীচের প্রত্যেকটি রাশির মান নির্ণয় করো:
    (i) P(AcUBc)
    (ii) P(AcUB)
    (iii) P(Ac∩Bc)

    Solution:
    (i)
    P(AcUBc) = P(A∩B)c
    = 1 – P(A∩B)
    = 1 – c (Ans)
    (ii) P(AcUB) = P(Ac) + P(B) – P(Ac∩B)
    = 1 – P(A) + P(B) – P(B – (A∩B))
    = 1 – P(A) + P(B) – [P(B – P(A∩B))]
    = 1 – P(A) + P(B) – P(B) + P(A∩B)
    = 1 – P(A) + P(A∩B)
    = 1 – b + c (Ans)
    (iii) P(Ac∩Bc) = P(AUB)c
    = 1 – P(AUB)
    = 1 – [P(A) + P(B) – P(A∩B)]
    = 1 – P(A) – P(B) + P(A∩B)
    = 1 – a – b + c (Ans)

    Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

    13. P(A) = 1/3, P(B) = 1/2, P(A∩B) = 1/4 হলে P(Bc), P(A∩Bc), P(AUB), P(B/A), P(Ac∩Bc), P(AUBc) এর মান নির্ণয় করো।
    এক্ষেত্রে, A ও B ঘটনা দুটি
    (i) পরস্পর পৃথক কি না (ii) স্বাধীন কি না
    (iii) সমভাবে সম্ভাব্য কি না (iv) সম্পূর্ণ কি না বলো।

    Solution:
    P(Bc) = 1 – P(B)
    = 1 − 1/2 = 1/2 (Ans)
    P(A∩Bc) = P(A-A∩B)
    = P(A)-P(A∩B)
    = 1/3 – 1/4
    = 4-3/12 = 1/12 (Ans)
    P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
    = 1/3 + 1/2 – 1/4
    = 4+6-3/12 = 7/12 (Ans)
    P(B/A) = P(A∩B)/P(A)
    = 1/4/1/3= 3/4 (Ans)
    P(Ac∩Bc) = P(AUB)c
    = 1 – P(AUB)
    = 1 – [P(A) + P(B) – P(A∩B)]
    = 1 – [1/3 + 1/2 – 1/4]
    = 1 – 7/12 = 5/12 (Ans)
    P(AUBc) = P(A) + P(Bc) – P(A∩Bc)
    = P(A) + 1 – P(B) – P(A – (A∩B))
    = P(A) + 1 – P(B) – [P(A) – P(A∩B)]
    = P(A) + 1 – P(B) – P(A) + P(A∩B)
    = 1 – P(B) + P(A∩B)
    = 1 – 1/2 + 1/4 = 3/4 (Ans)
    (i) P(A∩B) = 1/4 ≠ 0
    ∴ ঘটনা দুটি পরস্পর পৃথক নয়। (Ans)
    (ii) P(A)P(B) = 1/3×1/2
    = 1/6 ≠ 1/4
    ∴ P(A∩B) ≠ P(A)P(B)
    ∴ ঘটনা দুটি স্বাধীন নয়। (Ans)
    (iii) P(A) = 1/3 এবং P(B) = 1/2
    ∴ P(A) ≠ P(B)
    ∴ ঘটনা দুটি সমভাবে সম্ভাব্য নয়। (Ans)
    (i) P(AUB) = 7/12 ≠ 1
    ∴ ঘটনা দুটি সম্পূর্ণ নয়। (Ans)

    14. (i) প্রদত্ত P(E) = 1/3 , P(F)= 1/4 এবং P(E∩F)= 1/6 , P(EcUF) মান নির্ণয় করো।

    (i) Solution:
    P(EcUF) = P(Ec)+ P(F) – P(Ec∩F)
    = P(Ec) + P(F)+ P(F∩Ec)
    = 1-P(E)+ P(F) − P(F – P(E∩F))
    = 1 – P(E) + P(F) – [P(F) – P(E∩F)]
    = 1 – P(E) + P(F) – P(F) + P(E∩F)
    = 1 – P(E) + P(F∩E)
    = 1 – 1/3 + 1/6
    = 6-2+1/6 = 5/6 (Ans)

    (ii)  যদি 2P(A) = P(B) = 5/13 এবং P(A/B) = 2/5 হয়, তবে P(AUB) এর মান নির্ণয় করো।

    (ii)
    Solution:
    2P(A) = P(B)
    বা, P(A) = 1/2×P(B)
    = 1/2×5/13 – – – [P(B) = 5/13]
    = 5/26
    P(A/B) = 2/5
    ⇒ P(A∩B)/P(B) = 2/5
    ⇒ P(A∩B)/5/13 = 2/5
    ⇒ P(A∩B) = 2/5×5/13
    = 2/13
    ∴ P(AUB) = P(A)+ P(B) – P(A∩B)
    = 5/26 + 5/13 – 2/13
    = 5+10-4/26 = 11/26 (Ans)

    Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

    15. প্রদত্ত P(A/B) = 0.8, P(B/A) = 0.6 এবং P(AcUBc)= 0.7; P(A/Bc) এর মান নির্ণয় করো।

    Solution:
    P(AcUBc) = 0.7
    ⇒ P(A∩B)c = 0.7
    ⇒ 1- P(A∩B) = 0.7
    ⇒ P(A∩B) = 1- 0.7 = 0.3
    P(A/B) = 0.8
    ⇒ P(A∩B)/P(B) = 0.8
    ⇒ 0.3/P(B) = 0.8
    ⇒ P(B) = 0.3/0.8
    = 3/8 = 0.375
    P(Bc) = 1 – P(B)
    = 1 – 3/8
    = 5/8 = 0.625
    P(B/A) = 0.6
    ⇒ P(A∩B)/P(A) = 0.6
    ⇒ 0.3/P(A) = 0.6
    ⇒ P(A) = 0.3/0.6
    = 1/2 = 0.5
    P(A∩Bc) = P(A-A∩B)
    = P(A) – P(A∩B)
    = 0.5 – 0.3=0.2
    P(A/Bc) = P(A∩Bc)/P(Bc)
    = 0.2/0.625 = 0.32 (Ans)

    Utube_comptech_home
    দশম শ্রেণীর ভৌত বিজ্ঞান এবং জীবন বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন

    16. (i) দুটি ঘটনা A ও B -এর জন্য দেওয়া আছে, P(A) = 3/7, P(B) = 4/7 এবং P(A + B) = 7/9; P(A/B) ও P(B/A) নির্ণয় করো। A ও B ঘটনা দুটি কি স্বাধীন?

    (i) Solution:
    P(A) = 3/7, P(B) = 4/7 এবং P(A + B) = 7/9
    ∵ P(A + B) = 7/9
    ⇒ P(AUB) = 7/9
    ⇒ P(A)+ P(B) – P(A∩B) =7/9
    ⇒ 3/7 + 4/7  – P(A∩B) = 7/9
    ⇒ P(A∩B) = 3/7 + 4/7 – 7/9
    = 1- 7/9 = 2/9
    ∴ P(A/B) = P(A∩B)/P(B)
    = 2/9/4/7
    = 2/9×7/4 = 7/18 (Ans)

    P(B/A) = P(A∩B)/P(A)
    = 2/9/3/7
    = 2/9×7/3 = 14/27 (Ans)
    আবার
    P(A)P(B) = 3/7 × 4/7
    = 12/49 ≠ P(A∩B)
    ∴ ঘটনা দটি স্বাধীন নয়।

    (ii) দুটি ঘটনা E ও F-এর জন্য দেওয়া আছে, P(E) = 0.6, P(F) = 0.3 এবং P(E∩F) = 0.2; P(E/F) এবং P(F/E) নির্ণয় করো।

    (ii)
    Solution:
    P(E) = 0.6, P(F) = 0.3 এবং P(E∩F) = 0.2;
    P(E/F) = P(E∩F)/P(F)
    = 0.2/0.3 = 2/3 (Ans)
    P(F/E) = P(E∩F)/P(E)
    = 0.2/0.6 = 1/3 (Ans)

    Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

    17. (i) দুটি ঘটনার প্রতিকূলে সুযোগ যথাক্রমে 2 : 7 এবং 7 : 5। ঘটনা দুটি স্বাধীন হলে তাদের অন্ততপক্ষে একটি ঘটার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।

    (i)
    Solution:
    ধরি, প্রথম ঘটনা A এবং দ্বিতীয় ঘটনা B দ্বারা সূচিত করা হয়।
    A ঘটনার প্রতিকূলে সুযোগ 2 : 7
    ∴ P(A) = 7/2+7 = 7/9
    B ঘটনার প্রতিকূলে সুযোগ 7 : 5
    ∴ P(B) = 5/7+5 = 5/12
    ∵ ঘটনা দুটি স্বাধীন
    ∴ P(A∩B) = P(A)P(B) = 7/9×5/12 = 35/108
    ∴ ঘটনা দুটির অন্ততপক্ষে একটি ঘটার সম্ভাবনা-
    P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
    = P(A) + P(B) – P(A)P(B)
    = 7/9 + 5/12 – 35/108
    = 84+45-35/108
    = 94/108 = 47/54

    (ii) দুটি পদ A ও B-তে চাকুরীর জন্য রমেশ একটি ইন্টারভিউ দেয়, সেখানে পদ দুটিতে নির্বাচন স্বাধীন (independent), যদি A ও B পদে তার নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনা যথাক্রমে 1/6 এবং 1/7 হয়, তবে তার কমপক্ষে একটি পদে নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।

    (ii)
    Solution:
    ধরি, A পদে নির্বাচিত হওয়ার ঘটনা S1 এবং B পদে নির্বাচিত হওয়ার ঘটনা S2 দ্বারা সূচিত করা হয়।
    ∴ P(S1) = 1/6 এবং
    P(S2) = 1/7
    এখানে, S1 এবং S2 ঘটনা দুটি পরস্পর স্বাধীন।
    ∴ P(S1∩S2) =  P( S1)P(S2)
    = 1/6 × 1/7 = 1/42
    ∴ P(S1US2) = P(S1) + P ( S2 ) – P( S1∩S2 )
    ⇒ P(S1US2) = P(S1) + P ( S2 ) – P( S1)P(S2 )
    = 1/6 + 1/7 – 1/42
    = 7+6-1/42
    = 12/42 = 2/7
    Ans: কমপক্ষে একটি পদে নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনা 2/7

    18. একজন ঠিকাদারের প্লামবিং-সংক্রান্ত ঠিকা পাওয়ার সম্ভাবনা 2/3 এবং বিদ্যুৎ-সংক্রান্ত ঠিকা না পাওয়ার সম্ভাবনা 5/9 । যদি কমপক্ষে একটি ঠিকা পাওয়ার সম্ভাবনা 4/5 হয়, তবে তার পক্ষে উভয় ঠিকা পাওয়ার সম্ভাবনা কত?।

    Solution:
     ধরি, প্লাম্বিং-সংক্রান্ত ঠিকা পাওয়ার ঘটনা A এবং বিদ্যুৎ-সংক্রান্ত ঠিকা পাওয়ার ঘটনা B দ্বারা সূচিত করা হয়।
    P(A) = 2/3 ; এবং
    P(B)C  = 5/9
    ⇒ P(B) = 1 – P(B)C
     = 1- 5/9 = 4/9
    P(AUB) = 4/5
    আবার, P(AUB)= P(A) + P(B) – P(A∩B)
    ⇒ 4/5 = 2/3 + 4/9 – P(A∩B)
    ⇒ P(A∩B) = 2/3 + 4/9 – 4/5
    ⇒ P(A∩B) = 30+20-36/45
    ⇒ P(A∩B) = 14/45
    Ans: উভয় ঠিকা পাওয়ার সম্ভাবনা 14/45

    Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

    19. একটি শ্রেণিতে 30 জন বালক ও 20 জন বালিকা আছে এবং অর্ধেক বালক ও অর্ধেক বালিকা নীল চক্ষুবিশিষ্ট। শ্রেণি থেকে উদ্দেশ্যহীনভাবে একজনকে নির্বাচন করা হলে, সে বালক অথবা নীল চক্ষুবিশিষ্ট হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো ।

    Solution:
    ধরি, বালক হওয়ার ঘটনা A এবং নীল চক্ষুবিশিষ্ট হওয়ার ঘটনা B দ্বারা সূচিত করা হয়।
    ∴ n(A) = 30
    ⇒ P(A) = 30/30+20 = 30/50 = 3/5
    n(B) = 1/2×30 + 1/2×20 = 15+10 = 25,
    ⇒ P(B) = 25/50 = 1/2
    n(A∩B) = 1/2×30 = 15
    ⇒ P(A∩B) =15/50 = 3/10
    ∴ উদ্দেশ্যহীনভাবে নির্বাচন করা হলে, বালক অথবা নীল চক্ষুবিশিষ্ট হওয়ার সম্ভাবনা হল –
    P(AUB) = P(A)+P(B)-P(A∩B)
    = 3/5 + 1/2 – 3/10
    = 6+5-3/10
    = 8/10 = 4/5
    Ans: বালক অথবা নীল চক্ষুবিশিষ্ট হওয়ার সম্ভাবনা 4/5

    20. প্রথম 200টি স্বাভাবিক সংখ্যার দ্বারা চিহ্নিত 200টি টিকিটের মধ্য থেকে উদ্দেশ্যহীনভাবে একটি টিকিট তোলা হয়। তোলা টিকিটটি 3 অথবা 7-এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।

    Solution:
    ধরি, তোলা টিকিটটি 3-এর গুণিতক হওয়ার ঘটনা A এবং 7-এর গুণিতক হওয়ার ঘটনা B দ্বারা সূচিত করা হয়।
    1 থেকে 200-এর মধ্যে 3-এর গুণিতক আছে 66 টি
    ∴ n(A) = 66 ⇒ P(A)= 66/200 = 33/100
    1 থেকে 200-এর মধ্যে 7-এর গুণিতক আছে 28 টি।
    ∴ n(B) = 28 ⇒ P(B) = 28/200 = 7/50
    1 থেকে 200-এর মধ্যে 3 এবং 7-এর গুণিতক অর্থাৎ 21-এর গুণিতক আছে 9টি।
    ∴ n(A∩B) = 9 ⇒ P(A∩B) = 9/200
    ∴ নির্বাচিত সংখ্যাটি 3 অথবা 7-এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা
    P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
    = 33/100 + 7/50 – 9/200
    = 66+28-9/100
    = 17/40
    Ans: তোলা টিকিটটি 3 অথবা 7-এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা 17/40

    Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

    21. A একটি পুস্তকের 75% প্রশ্ন সমাধান করতে পারে এবং B সমাধান করতে পারে 70% প্রশ্ন। উদ্দেশ্যহীনভাবে নেওয়া একটি প্রশ্ন A অথবা B -এর পক্ষে সমাধান করার সম্ভাবনা কত?

    Solution:  
    ধরি, A-এর সমাধান করার ঘটনা S1 এবং B-এর সমাধান করার ঘটনা S2 দ্বারা সূচিত করা হয়।
    ∴ P(S1) = 75/100 = 3/4 এবং
    P(S2) = 70/100 =  7/10
    এখানে, S1 এবং S2 ঘটনা দুটি পরস্পর স্বাধীন।
    ∴ P(S1∩S2) =  P( S1)P(S2)
    = 3/4 × 7/10 = 21/40
    ∴ P(S1US2) = P(S1) + P ( S2 ) – P( S1∩S2 )
    ⇒ P(S1US2) = P(S1) + P ( S2 ) – P( S1)P(S2 )
    = 3/4 + 7/10 – 21/40
    = 30+28-21/40
    = 37/40
    Ans: A অথবা B-এর সমাধান করতে পারার সম্ভাবনা হল 37/40 

    22.  চারটির মধ্যে তিনটি ক্ষেত্রে এবং B পাঁচটির মধ্যে চারটি ক্ষেত্রে লক্ষ্যবস্তুতে আঘাত করতে পারে। দুজনের একত্র চেষ্টায় লক্ষ্যবস্তুতে আঘাত করার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।

    Solution:  
    ধরি, লক্ষ্যবস্তুতে A-এর আঘাত করার ঘটনা T1 এবং B -এর আঘাত করার ঘটনা T2 দ্বারা সূচিত করা হয়।
    ∴ P(T1) = 3/4 এবং
    P(T2) = 4/5 ,
    দুজনের একত্র চেষ্টায় লক্ষ্যবস্তুতে আঘাত করার সম্ভাবনা হল –
    P(T1UT2) = P(T1) + P ( T2 ) – P( T1∩T2 )
    ⇒ P(T1UT2) = P(T1) + P ( T2 ) – P( T1)P(T2 ) – – – [T1,T2 ঘটনা দুটি স্বাধীন]
    ⇒ P(T1UT2) = 3/4 + 4/5 – 3/4 × 4/5
    ⇒ P(T1UT2) = 3/4 + 4/5 – 3/5
    ⇒ P(T1UT2) = 15 + 16 – 12/20
    ⇒ P(T1UT2) = 19/20
    Ans: দুজনের একত্র চেষ্টায় লক্ষ্যবস্তুতে আঘাত করার সম্ভাবনা 19/20

    PREVIOUS
    NEXT
  • দশম শ্রেণির গোলক (Sphere) কষে দেখি ১২

    দশম শ্রেণির গোলক (Sphere) কষে দেখি ১২

    দশম শ্রেণির গোলক (Sphere) কষে দেখি ১২

    দশম শ্রেণির গোলক (Sphere) কষে দেখি ১২

                            OR ব্যাসার্ধ(r) গোলক 

    দশম শ্রেণির গোলক (Sphere) কষে দেখি ১২

    1. একটি গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 10.5 সেমি হলে, তার সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।

    সমাধান:
    গোলকটির ব্যাসার্ধ (r) = 10.5 সেমি
    ∴গোলকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 4πr2 বর্গ সেমি
    = 4×22/7×10.5×10.5 বর্গ সেমি
    = 4×22/7××105/10××105/10 বর্গ সেমি
    = 4×22××15/10×105/10 বর্গ সেমি
    = 22×3×21 বর্গ সেমি
    = 1386 বর্গ সেমি।
    Ans: গোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 1386 বর্গ সেমি।

    2. একটি চামড়ার বল তৈরি করতে প্রতি বর্গ সেমি 17.50 টাকা হিসাবে 431.20 টাকা লেগেছে। বলটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

    সমাধান:
    ধরি, চামড়ার বলটির ব্যাসার্ধ = r সেমি
    ∴ চামড়ার বলটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 4πr2 বর্গ সেমি
    বলটি তৈরি করতে প্রতি বর্গ সেমি 17.50 টাকা হিসাবে 431.20 টাকা লেগেছে।
    বলটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 431.20/17.50 বর্গ সেমি
    = 43120/1750 বর্গ সেমি
    = 616/25 বর্গ সেমি
    প্রশ্নানুযায়ী,
    4πr2 = 616/25
    বা, 4×22/7×r2 = 616/25
    বা, 4×2/7×r2 = 56/25
    বা, 1/7×r2 = 7/25
    বা, r2 = 7×7/25
    বা, r = 7/5
    বা, 2r = 2×7/5 = 2.8
    Ans: বলটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 2.8 সেমি।

    3. স্কুলে সটপাট খেলার জন্য যে বলটি ব্যবহার করা হয় তার ব্যাসের দৈর্ঘ্য 7 সেমি হলে, বলটিতে কত ঘন সেমি লোহা আছে হিসাব করে লিখি।

    সমাধান:
    সটপাট বলটির ব্যাসার্ধ (r) = 7/2​সেমি
    ∴ বলটির আয়তন = 4/3 π×7/23 ঘন সেমি
    = 4/3 ×22/7×7/2×7/2×7/2 ঘন সেমি
    = 1/3×11×7×7 ঘন সেমি
    = 539/3 ঘন সেমি
    = 1792/3 ঘন সেমি
    Ans: বলটিতে ​1792/3 ঘন সেমি লোহা আছে।

    4. 28 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসবিশিষ্ট একটি নিরেট গোলক জলে সম্পূর্ণভাবে নিমজ্জিত করলে যে পরিমাণ জল অপসারিত করবে তা নির্ণয় করি।

    সমাধান:
    নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধ (r) = 28/2 = 14 সেমি
    ∴ নিরেট গোলকেটির আয়তন = 4/3 π×143 ঘন সেমি
    = 4/3 ×22/7×14×14×14 ঘন সেমি
    = 4/3×22××2×14×14 ঘন সেমি
    = 34496/3 ঘন সেমি
    = 11498 2/3 ঘন সেমি
    Ans: গোলকটি জলে সম্পূর্ণভাবে নিমজ্জিত করলে ​11498 2/3 ঘন সেমি জল অপসারিত করবে।

    দশম শ্রেণির গোলক (Sphere) কষে দেখি ১২

    5. কোনো গোলাকার গ্যাস বেলুন ফোলাবার সময়ে তার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 7 সেমি থেকে 21 সেমি হলে বেলুনটির পূর্বের ও পরের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত নির্ণয় করি।

    সমাধান:
    বেলুনটির পূর্বের ব্যাসার্ধ (r1) = 7 সেমি
    ∴ বেলুনটির পূর্বের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 4π(r1)2 বর্গ সেমি
    = 4π×7×7 বর্গ সেমি
    বেলুনটির পরের ব্যাসার্ধ (r2) = 21 সেমি
    ∴ বেলুনটির পরের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 4π(r2)2 বর্গ সেমি
    = 4π×21×21 বর্গ সেমি
    ∴ বেলুনটির পূর্বের ও পরের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত
    = 4π×7×7 : 4π×21×21
    = 1×1 : 3×3
    = 1 : 9
    Ans: পূর্বের ও পরের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 1 : 9

    6. অর্ধগোলাকৃতি একটি বাটি তৈরি করতে 1272/7 বর্গ সেমি পাত লেগেছে। বাটিটির মুখের ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

    সমাধান:
    ধরি, অর্ধগোলাকৃতি বাটিটির মুখের ব্যাসার্ধ = r সেমি
    ∵ বাটিটি নিরেট নয় তাই বাটি তৈরি করতে বক্রতলের পাত লাগে।
    ∴ বাটিটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πr2 বর্গ সেমি
    প্রশ্নানুযায়ী,
    2πr2 = 1272/7
    বা, 2×22/7×r2 = 891/7
    বা, 2×22×r2 = 891
    বা, 2×2×r2 = 81
    বা, r2 = 81/4
    ∴ r = 9/2
    বা, 2r = 9
    Ans: বাটিটির মুখের ব্যাসের দৈর্ঘ্য = 9 সেমি।

    দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে এখানে ক্লিক করো।

    7. একটি নিরেট লোহার গোলার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 2.1সেমি। ওই গোলাটিতে কত ঘন সেমি লোহা আছে তা হিসাব করে লিখি এবং লোহার গোলার বক্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করি।

    সমাধান:
    নিরেট লোহার গোলকের ব্যাসার্ধ (r) = 2.1 সেমি
    ∴ নিরেট গোলকের আয়তন = 4/3 π×2.13 ঘন সেমি
    = 4/3 ×22/7×21/10×21/10×21/10 ঘন সেমি
    = 4×22×1/10×21/10×21/10 ঘন সেমি
    = 38.808 ঘন সেমি
    ∴ নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 4π×2.12 বর্গ সেমি
    = 4×22/7×21/10×21/10 বর্গ সেমি
    = 4×22×3/10×21/10 বর্গ সেমি
    = 55.44 বর্গ সেমি
    Ans: গোলাটিতে 38.808 ঘন সেমি লোহা আছে।
    লোহার গোলার বক্রতলের ক্ষেত্রফল 55.44 বর্গ সেমি।

    8. একটি নিরেট সিসার গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 14 সেমি। এই গোলকটি গলিয়ে 3.5 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের কতগুলি নিরেট গোলক তৈরি করা যাবে হিসাব করে লিখি।

    সমাধান:
    নিরেট সিসার গোলকের ব্যাসার্ধ (R) = 14/2 = 7 সেমি
    ∴ গোলকটির আয়তন = 4/3 π×73 ঘন সেমি
    ছোটো নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধ (r) = 3.5 সেমি
    ∴ ছোটো নিরেট গোলকের আয়তন = 4/3 π×3.53 ঘন সেমি
    ধরি, x টি নিরেট গোলক তৈরি করা যাবে
    ∴ x× 4/3 π×3.53 = 4/3 π×73
    বা, x×3.53 = 73
    বা, x×3.53 = 73
    বা, x×35/10×35/10×35/10 = 7×7×7
    বা, x×7/2×7/2×7/2 = 7×7×7
    ∴ x = 8
    Ans: নিরেট গোলক তৈরি করা যাবে = 8টি।

    9. 3 সেমি, 4 সেমি ও 5 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের তিনটি নিরেট তামা গোলক গলিয়ে একটি নিরেট বড়ো গোলক তৈরি করা হলো। বড়ো গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

    সমাধান:
    তিনটি নিরেট তামার গোলকের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 3 সেমি, 4 সেমি ও 5 সেমি।
    ∴ তিনটি গোলকের আয়তন যথাক্রমে 4/3 π(3)3 ঘন সেমি, 4/3 π(4)3 ঘন সেমি ও 4/3 π(5)3 ঘন সেমি।
    ধরি, বড়ো গোলকটির ব্যাসার্ধ = r সেমি
    ∴ বড়ো গোলকটির আয়তন = 4/3 πr3 ঘন সেমি
    তিনটি নিরেট তামা গোলক গলিয়ে একটি নিরেট বড়ো গোলক তৈরি করা হলো।
    ∴ বড়ো গোলকটির = তিনটি নিরেট তামার গোলকের আয়তন।
    ∴ 4/3 πr3 = 4/3 π(3)3 + 4/3 π(4)3 + 4/3 π(5)3
    বা, 4/3 πr3 = 4/3 π(27 + 64 + 125)
    বা, r3 = 216
    বা, r3 = (6)3
    ∴ r = 6
    Ans: বড়ো গোলকটির ব্যাসার্ধ 6 সেমি।

    দশম শ্রেণির গোলক (Sphere) কষে দেখি ১২

    10. একটি অর্ধগোলাকৃতি গম্বুজের ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 42 ডেসিমি। গম্বুজটির উপরিতল রং করতে প্রতি বর্গ মিটার 35 টাকা হিসাবে কত খরচ পড়বে তা হিসাব করে লিখি।

    সমাধান:
    অর্ধগোলাকৃতি গম্বুজের ভূমিতলের ব্যাসার্ধ (r) = 42/2 ডেসিমি
    = ​21ডেসিমি
    = 2.1 মিটার
    ∴ গম্বুজটির উপরিতলের ক্ষেত্রফল
    = 2πr2 বর্গ একক
    = 2×22/7×2.1×2.1 বর্গ মিটার
    = 2×22×0.3×2.1 বর্গ মিটার
    =27.72 বর্গ মিটার
    ∴ প্রতি বর্গ মিটার 35 টাকা হিসাবে গম্বুজটির উপরিতল রং করতে খরচ পড়বে
    = (27.72 × 35) টাকা
    = 970.20 টাকা
    Ans: রং করতে 970.20 টাকা কত খরচ পড়বে।

    LIFE SCIENCE অসম্পূর্ণ প্রকটতা/ Incomplete Dominance CLICK HERE

    11. একই ধাতুর পাত থেকে তৈরি দুটি ফাঁপা গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 21 সেমি এবং 17.5 সেমি। গোলক দুটি তৈরি করতে যে পরিমাণ ধাতুর পাত লেগেছে তার অনুপাত নির্ণয় করি।

    সমাধান:
    প্রথম গোলকটির ব্যাসার্ধ = 21/2 সেমি
    ∴ প্রথম গোলকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 4π(21/2)2 বর্গ সেমি
    দ্বিতীয় গোলকটির ব্যাসার্ধ = 17.5/2 সেমি
    ∴ দ্বিতীয় গোলকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 4π(17.5/2)2 বর্গ সেমি
    ∴ গোলক দুটি তৈরি করতে যে পরিমাণ ধাতুর পাত লেগেছে তার অনুপাত
    = 4π(21/2)2 : 4π(17.5/2)2
    = 21/2×21/2 : 17.5/2×17.5/2
    = 21/2×21/2 : 175/20×175/20
    = 21×21 : 35/2×35/2
    = 3×3 : 5/2×5/2
    = 9 : 25
    Ans: গোলক দুটি তৈরি করতে যে পরিমাণ ধাতুর পাত লেগেছে তার অনুপাত 9 : 25

    12. একটি ধাতব গোলকের উপরিতল এমনভাবে কেটে নেওয়া হলো যে নতুন গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল আগের গোলকের ঠিক অর্ধেক হয়। কেটে নেওয়া অংশের আয়তনের সঙ্গে অবশিষ্ট গোলকের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় করি।

    সমাধান:
    ধরি, ধাতব গোলকের ব্যাসার্ধ = R একক এবং কেটে নেওয়া নতুন গোলকের ব্যাসার্ধ = r একক
    ∴ ধাতব গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল
    = 4πR2 বর্গ একক
    ∴ নতুন গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল
    = 4πr2 বর্গ একক
    প্রশ্নানুযায়ী,
    4πR2/2 = 4πr2
    বা, R2/2 = r2
    বা, R2 = 2r2
    বা, R = √2.r
    ∴ কেটে নেওয়া অংশের আয়তনের সঙ্গে অবশিষ্ট গোলকের আয়তনের অনুপাত = 36 : 25

    $$\large{=\frac{\frac{4}{3}πr^3}{\frac{4}{3}πR^3-\frac{4}{3}πr^3}\\=\frac{\frac{4}{3}πr^3}{\frac{4}{3}π\left(R^3-r^3\right)}\\=\frac{r^3}{R^3-r^3}\\=\frac{r^3}{(r\sqrt2)^3-r^3}\\=\frac{r^3}{r^3(2\sqrt2-1)}\\=\frac{1}{2\sqrt2-1}\\=1:(2\sqrt2-1)}$$

    13. 14 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি ভূগোলকের অক্ষটির বক্রতলে 0.7 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট দুটি বৃত্তাকার ছিদ্র করা হয়েছে। ভূগোলকটির গোলকার অংশের ধাতব পাতের ক্ষেত্রফল হিসাব করি।

    সমাধান:
    ভূগোলকটির ব্যাসার্ধ = 14 সেমি
    ∴ ভূগোলকটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল
    = 4πr2
    = 4π(14)2 বর্গ সেমি
    = 4×22/7×14×14 বর্গ সেমি
    = 4×22×2×14 বর্গ সেমি
    = 2464 বর্গ সেমি
    ভূগোলকের বৃত্তাকার ছিদ্রের ব্যাসার্ধ = 0.7 সেমি
    ∴ বৃত্তাকার ছিদ্রের ক্ষেত্রফল
    = πr2
    = π(0.7)2
    = 22/7×7/10×7/10 বর্গ সেমি
    = 22×1/10×7/10 বর্গ সেমি
    = 1.54 বর্গ সেমি।
    ∴ দুটি বৃত্তাকার ছিদ্রের ক্ষেত্রফল
    = (2 × 1.54) বর্গ সেমি = 3.08 বর্গ সেমি।
    ∴ ভূগোলকটির গোলকার অংশের ধাতব পাতের ক্ষেত্রফল
    = (2464 – 3.08) বর্গ সেমি
    = 2460.92 বর্গ সেমি।
    Ans: ভূগোলকটির গোলকার অংশের ধাতব পাতের ক্ষেত্রফল 2460.92 বর্গ সেমি।

    14. 8 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি নিরেট লোহার গোলককে গলিয়ে 1 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের কয়টি নিরেট গুলি তৈরি করা যাবে হিসাব করে লিখি।

    সমাধান:
    নিরেট লোহার গোলকের ব্যাসার্ধ = 8 সেমি
    ∴ নিরেট লোহার গোলকের আয়তন
    =  4/3 π(8)3 ঘন সেমি
    1 সেমি ব্যাসার্ধের নিরেট গুলির আয়তন
    =  4/3 π(1)3 ঘন সেমি।
    ∴ 1 সেমি ব্যাসার্ধের নিরেট গুলি তৈরি করা যাবে
    = 4/3 π(8)3 ÷ 4/3 π(1)3
    = (8)3 ÷ (1)3 = 512 টি

    দশম শ্রেণির গোলক (Sphere) কষে দেখি ১২

    15. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

    (A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)

    (i) 2r একক দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট নিরেট গোলকের আয়তন
    (a) 32πr3/3 ঘন একক (b) 16πr3/3 ​ ঘন একক (c) 8πr3/3​ ঘন একক (d) 64πr3/3 ঘন একক

    Ans: (a) 32πr3/3 ঘন একক
    [নিরেট গোলকের আয়তন = 4/3 π(2r)3 ঘন একক
    = 32πr3/3 ঘন একক]

    (ii) দুটি নিরেট গোলকের আয়তনের অনুপাত 1:8 হলে, তাদের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত(a) 1:2 (b) 1:4 (c) 1:8 (d) 1:16

    Ans: (b) 1:4
    [ধরি, নিরেট গোলক দুটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে r একক ও R একক
    ∴ তাদের আয়তনের অনুপাত   4/3 πr3  : 4/3 πR3
    প্রশ্নানুযায়ী,
    4/3 πr3  : 4/3 πR3 = 1 : 8
    বা, r3  : R3 = 13 : 23
    বা, r : R = 1 : 2
    ∴ তাদের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত
    = 4πr2  : 4πR2
      = r2  : R2
    = 12  : 22 = 1 : 4]

    (iii) 7 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি নিরেট অর্ধগোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল (a) 588π বর্গ সেমি (b) 392π বর্গ সেমি (c) 147π বর্গ সেমি (d) 98π বর্গ সেমি

    Ans:   (c) 147π বর্গ সেমি
    [নিরেট অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধ 7 সেমি
    ∴ নিরেট অর্ধগোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
    = 3πr2 = 3×π×72
    = 147π বর্গ সেমি ]

    (iv) দুটি নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 16:9 হলে, তাদের আয়তনের অনুপাত  (a) 64:27 (b) 4:3 (c) 27:64 (d) 3:4

    Ans: (a) 64:27
    [ধরি, নিরেট গোলক দুটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে r একক ও R একক
    তাদের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত = 4πr2  : 4πR2
    প্রশ্নানুযায়ী
    4πr2  : 4πR2 = 16 : 9
    বা, r2  : R2 = 16 : 9
    বা, r : R= 4 : 3
    তাদের আয়তনের অনুপাত
    =  4/3 πr3  : 4/3 πR3
    = r3  : R3
    = 43  : 33 = 64 : 27]

    (v) একটি নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল ও 3 গুন আয়তনের সাংখ্যমান সমান হলে, গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য (a) 1 একক (b) 2 একক (c) 3 একক (d) 4 একক

    Ans: (a) 1 একক
    [ধরি, নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধ r একক
    ∴ নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 4πr2 বর্গ একক
    নিরেট গোলকের আয়তন = 4/3 πr3 ঘন একক
    [প্রশ্নানুজায়ী,
    4πr2 = 3×4/3 πr3
    বা, r = 1]

    (B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখিঃ

    (i) একটি নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য দ্বিগুন করলে গোলকটির আয়তন দ্বিগুন হবে।

    Ans: মিথ্যা
    [ধরি, নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধ r একক
    ∴ নিরেট গোলকের আয়তন = 4/3 πr3 ঘন একক
    নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য দ্বিগুন করলে,
    গোলকটির আয়তন হবে = 4/3 πr3
    = 4/3 π(2r)3
    = 8 × 4/3 πr3 ঘন একক]

    (ii) দুটি অর্ধগোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 4:9 হলে, তাদের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত হবে 2:3

    Ans: সত্য
    [ধরি, অর্ধগোলক দুটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে r একক ও R একক
    ∴ 3πr2 : 3πR2 = 4 : 9
    বা, r2 : R2 = 4 : 9
    বা, r : R = 2 : 3]

    (C) শূন্যস্থান পূরণ করিঃ

    (i) একটি তল বিশিষ্ট ঘনবস্তুর নাম __________।
    Ans: গোলক

    (ii) একটি নিরেট অর্ধগোলকের সমতলের সংখ্যা ______।
    Ans:     1টি

    (iii) একটি নিরেট অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 2r একক হলে সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ________   বর্গ একক।
    Ans: 12πr2
    [অর্ধগোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
    = 3πr2 বর্গ একক
    = 3π(2r)2 = 12πr2 বর্গ একক]

    16. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

    (i) একটি নিরেট অর্ধগোলকের আয়তন এবং সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের সাংখ্যমান সমান। অর্ধগোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।

    সমাধানঃ
    ধরি, অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধ = r একক।
    ∴ অর্ধগোলকের আয়তন = 2/3 πr3 ঘন একক
    এবং অর্ধগোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 3πr2 বর্গ একক।
    প্রশ্নানুসারে,
    2/3 πr3 = 3πr2
    বা, 2πr3 = 9πr2
    বা, r = 9/2 = 4.5
    Ans: অর্ধগোলকটির ব্যাসার্ধ 4.5 একক

    (ii) একটি নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল একটি নিরেট লম্ববৃত্তাকার চোঙের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের সমান। চোঙটির উচ্চতা এবং ব্যাসের দৈর্ঘ্য উভয়েই 12 সেমি। গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।

    সমাধানঃ
    ধরি, গোলকের ব্যাসার্ধ = r সেমি।
    ∴ গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 4πr2 বর্গসেমি।
    চোঙটির উচ্চতা(h) = 12 সেমি
    চোঙটির ব্যাসার্ধ(R) = 12/2 = 6 সেমি।
    ∴ চোঙটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πRh
    = 2π×6×12 বর্গসেমি।
    প্রশ্নানুসারে,
    4πr2 = 2π×6×12
    বা, r2 = 6×6
    বা, r = 6
    Ans: গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 6 সেমি।

    (iii) একটি নিরেট অর্ধগোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল এবং একটি নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল সমান। অর্ধগোলক এবং গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত কত তা লিখি।

    সমাধানঃ
    ধরি, অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধ = r একক এবং
    নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধ = R একক।
    ∴ অর্ধগোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 3πr2 বর্গএকক;
    এবং নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 4πR2 বর্গএকক।
    প্রশ্নানুসারে,

    $$\large{\quad\quad 3πr^2=4πR^2\\⇒3r^2=4R^2\\⇒\frac{r^2}{R^2}=\frac{4}{3}\\⇒\frac{r}{R}=\frac{2}{\sqrt3}}$$Ans: অর্ধগোলক এবং গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 2:√3

    (iv) একটি নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = S এবং আয়তন = V হলে, S3/V2 ​-এর মান কত তা লিখি। (π-এর মান না বসিয়ে )

    সমাধানঃ
    ধরি, গোলকের ব্যাসার্ধ = r একক।
    ∴ গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল S = 4πr2
    এবং গোলকের আয়তন V = 4/3 πr3

    $$\large{\therefore\frac{S^3}{V^2}=\frac{\left(4πr^2\right)^3}{\left(\frac{4}{3}πr^3\right)^2}\\⇒\frac{S^3}{V^2}=\frac{64π^3r^6×9}{16π^2r^6}\\⇒\frac{S^3}{V^2}=36π\quad\mathbf{(Ans)}}$$

    (v) একটি গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 50% বৃদ্ধি করলে বক্রতলের ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পায় তা লিখি

    সমাধানঃ
    ধরি, গোলকের ব্যাসার্ধ = r একক।
    ∴ গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 4πr2 বর্গ একক।
    ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 50% বৃদ্ধি করলে.
    ব্যাসার্ধ হয় = r × 150/100
    = 3r/2 একক
    ∴ নতুন গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল
    = 4π(3r/2)2 বর্গ একক।
    = 4π×9r2/4
    = 9πr2 বর্গ একক।
    ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি হয় = 9πr2 – 4πr2
    = 5πr2 বর্গ একক।
    ∴ বক্রতলের ক্ষেত্রফল শতকরা বৃদ্ধি পায় = 5πr2/4πr2 × 100
    = 125
    Ans: ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায় 125%

    Madhyamik Question

    MP-2024

    ▶️ একটি গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ করলে বক্রতলের ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?

    VIEW ANSER

    MP-2023

    ▶️ দুটি নিরেট গোলকের আয়তনের অনুপাত 27 : 8 হলে তাদের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত হবে
    (a) 1:2 (b) 9:4 (c) 1:8 (d) 1:16

    VIEW ANSER

    ▶️ 1 সেমি ও 6 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট দুটি নিরেট গোলককে গলিয়ে 9 cm বহির্ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি ফাঁপা গোলকে পরিণত করা হলে, নতুন গোলকের অন্তর্ব্যাসার্ধ নির্ণয় করো।

    VIEW ANSER

    MP-2022

    ▶️ 2r একক দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট নিরেট গোলকের আয়তন
    (a) 32πr3/3 ঘন একক (b) 16πr3/3 ​ ঘন একক (c) 8πr3/3​ ঘন একক (d) 64πr3/3 ঘন একক

    VIEW ANSER

    ▶️ কোনো গোলকের ব্যাসার্ধ r এবং আয়তন v হলে, v ∝ __________।
    Ans:     r3
    [গোলকের ব্যাসার্ধ r এবং আয়তন v হলে,
    v = 4/3πr3
    ⇒ v ∝ r3 – – – (∵ 4/3π = ধ্রুবক)]

    ▶️ একটি গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 50% বৃদ্ধি করলে বক্রতলের ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পায়, তা নির্ণয় করো।

    VIEW ANSER

    ▶️ 8 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি নিরেট লোহার গোলককে গলিয়ে 1 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের কয়টি নিরেট গোলাকার গুলি তৈরী করা যাবে তা নির্ণয় করো।

    VIEW ANSER

    MP-2020

    ▶️ দুটি গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 1: 4 হলে, তাদের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় করো।

    VIEW ANSER

    MP-2018

    ▶️ একটি গোলকের ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ হলে গোলকটির প্রথম গোলকের আয়তনের দ্বিগুণ হবে। (সত্য/ মিথ্যা)

    VIEW ANSER

    ▶️ একটি নিরেট অর্ধগোলকের আয়তন 144π ঘনসেমি হলে, গোলকটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য কত?

    VIEW ANSER

    MP-2017

    ▶️ একটি নিরেট অর্ধগোলকের সমতল সংখ্যা __________।
    Ans:     একটি

    ▶️

    ▶️ একটি অর্ধগোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 36π বর্গ সেমি ক্ষেত্রফল হলে উহার ব্যাসার্ধ 3 সেমি হবে। (সত্য/ মিথ্যা)
    Ans:     সত্য
    [ধরি, অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধ r সেমি
    ∴ 3πr2 = 36π
    ⇒ r2 = 12
    ⇒ r2 = 2√3]

    ▶️ একটি গোলকের ব্যাস অপর একটি গোলকের ব্যাসের দ্বিগুণ। যদি বড় গোলকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের সাংখ্যমান ছোট গোলকটির আয়তনের সাংখ্যমানের সমান হয়, তবে ছোট গোলকটির ব্যাসার্ধ কত?

    VIEW ANSER
    KOSHE DEKHI 11.2
    KOSHE DEKHI 13
error: Content is protected !!
Verified by MonsterInsights