Author: TEAM PROSTUTI

ভেক্টর বীজগণিত Class XII Vector Algebra S N Dey Part 2

ভেক্টর বীজগণিত || Class XII || Vector Algebra || S N Dey Complete Solution || Part 2

ভেক্টর বীজগণিত Class XII Vector Algebra S N Dey Part 1
Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part I

সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী (প্রতিটি প্রশ্নের মান 4)

1.  ā = î + 2ĵ – k̂ এবং b̄ = 3î + ĵ – 5k̂ হলে (ā – b̄) ভেক্টরের সমান্তরাল দিকে একটি একক ভেক্টর নির্ণয় করো।

Solution:
ā = î + 2ĵ – k̂ এবং
b̄ = 3î + ĵ – 5k̂
ā – b̄ = î + 2ĵ – k̂ – (3î + ĵ – 5k̂)
= î + 2ĵ – k̂ – 3î – ĵ + 5k̂
= -2î + ĵ + 4k̂
∴|ā – b̄| = √{(-2)² + (1)² + (4)²}
= √(4 + 1 + 16) = √21
ā – b̄ ভেক্টরের সমান্তরাল দিকে একক ভেক্টর হল

2. মনে করো, ā = 4î + 3ĵ – k̂, b̄ = 5î + 2ĵ + 2k̂, c̄ = 2î – 2ĵ – 3k̂ এবং d̄ = 4î – 4ĵ + 3k̂; দেখাও যে, b̄ – ā এবং d̄ – c̄ ভেক্টর দুটি সমান্তরাল; তাদের মানের (modulus-এর) অনুপাত নির্ণয় করো।

Solution:
b̄ – ā = 5î + 2ĵ + 2k̂ – (4î + 3ĵ – k̂)
= 5î + 2ĵ + 2k̂ – 4î – 3ĵ + k̂
= î – ĵ + 3k̂
d̄ – c̄ = 4î – 4ĵ + 3k̂ – (2î – 2ĵ – 3k̂)
= 4î – 4ĵ + 3k̂ – 2î + 2ĵ + 3k̂
= 2î – 2ĵ + 6k̂
= 2(î – ĵ + 3k̂)
= 2(b̄ – ā)
∵ d̄ – c̄ = 2(b̄ – ā)
b̄ – ā এবং d̄ – c̄ ভেক্টর দুটি সমান্তরাল। (প্রমানিত)

3. (i) 2î – ĵ + k̂, î – 3ĵ – 5k̂ এবং  -2î +3ĵ – 4k̂ ভেক্টর তিনটি একটি সমকোণী ত্রিভুজের তিনটি বাহু।

Solution:
ধরি, ā = 2î – ĵ + k̂;
b̄ = î – 3ĵ – 5k̂ এবং
c̄ = -2î – 3ĵ – 4k̂

বিন্দু তিনটির সংযোগে একটি সমকোণী ত্রিভূজ উৎপন্ন হয়। (প্রমানিত)

ভেক্টর বীজগণিত Class XII Vector Algebra S N Dey

(ii) A. B. C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 3î – 4ĵ – 4k̂, 2î – ĵ + k̂ এবং î – 3ĵ – 5k̂; দেখাও যে, বিন্দু তিনটির সংযোগে একটি সমকোণী ত্রিভূজ উৎপন্ন হয়।

Solution:
A. B. C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 3î – 4ĵ – 4k̂, 2î – ĵ + k̂ এবং î – 3ĵ – 5k̂;
∴ ĀB̄ = (2î – ĵ + k̂) – (3î – 4ĵ – 4k̂)
= 2î – ĵ + k̂ – 3î + 4ĵ + 4k̂
= -î + 3ĵ + 5k̂
B̄C̄ = (î – 3ĵ – 5k̂) – (2î – ĵ + k̂)
= î – 3ĵ – 5k̂ – 2î + ĵ – k̂
= -î – 2ĵ – 6k̂
C̄Ā = (3î – 4ĵ – 4k̂) – (î – 3ĵ – 5k̂)
= 3î – 4ĵ – 4k̂ – î + 3ĵ + 5k̂
= 2î – ĵ + k̂

বিন্দু তিনটির সংযোগে একটি সমকোণী ত্রিভূজ উৎপন্ন হয়। (প্রমানিত)

4. ā, b̄, c̄ তিনটি প্রদত্ত ভেক্টর হলে, দেখাও যে, 7ā – c̄, ā + 2b̄ + 3c̄ এবং -2ā + 3b̄ + 5c̄ অবস্থান ভেক্টরবিশিষ্ট বিন্দু তিনটি একরেখীয়।

Solution:
ধরি, A, B ও C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 7ā – c̄, ā + 2b̄ + 3c̄ এবং -2ā + 3b̄ + 5c̄
ĀB̄ = (ā + 2b̄ + 3c̄) – (7ā – c̄)
= ā + 2b̄ + 3c̄ – 7ā + c̄
= -6ā + 2b̄ + 4c̄
= -6ā + 2b̄ + 4c̄
= 2(-3ā + b̄ + 2c̄)
B̄C̄ = (-2ā + 3b̄ + 5c̄) – (ā + 2b̄ + 3c̄)
= -2ā + 3b̄ + 5c̄ – ā – 2b̄ – 3c̄
= -3ā + b̄ + 2c̄
∵ ĀB̄ = 3B̄C̄
এবং B বিন্দু ĀB̄ ও B̄C̄ -এর সাধারন বিন্দু।
A, B ও C বিন্দু তিনটি সমরেখ।
∴ 7ā – c̄, ā + 2b̄ + 3c̄ এবং -2ā + 3b̄ + 5c̄ অবস্থান ভেক্টরবিশিষ্ট বিন্দু তিনটি সমরেখ। (প্রমানিত)

5. ā = î + ĵ – 4k̂, b̄ = 4î – ĵ – 2k̂ হলে,(i) (2ā – b̄) ভেক্টরের অভিমুখে একটি একক ভেক্টর এবং (ii) (2ā – b̄) ভেক্টরের স্থানাঙ্ক অক্ষগুলি বরাবর ভেক্টর ও স্কেলার উপাংশসমূহ নির্ণয় করো।

(i)
Solution:
ā = î + ĵ – 4k̂ এবং
b̄ = 4î – ĵ – 2k̂
2ā – b̄ = 2(î + ĵ – 4k̂) – (4î – ĵ – 2k̂)
= 2î + 2ĵ – 8k̂ – 4î + ĵ + 2k̂
= -2î + 3ĵ – 6k̂

∴ 2ā – b̄ ভেক্টরের অভিমুখে একক ভেক্টর হল

(ii)
Solution:
(2ā – b̄) = -2î + 3ĵ – 6k̂ ভেক্টরের,
x-অক্ষ বরাবর ভেক্টর উপাংশ – 2î এবং স্কেলার উপাংশ – 2
y-অক্ষ বরাবর ভেক্টর উপাংশ 3ĵ এবং স্কেলার উপাংশ 3
z-অক্ষ বরাবর ভেক্টর উপাংশ – 6k̂ এবং স্কেলার উপাংশ – 6

ভেক্টর বীজগণিত Class XII Vector Algebra S N Dey

6. A, B ও C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে -2î + 2ĵ + 2k̂, 2î + 3ĵ + 3k̂ এবং -î – 2ĵ + 3k̂ হলে দেখাও যে ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।

Solution:
A, B ও C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে -2î + 2ĵ + 2k̂, 2î + 3ĵ + 3k̂ এবং -î – 2ĵ + 3k̂
∴ ĀB̄ = (2î + 3ĵ + 3k̂) – (-2î + 2ĵ + 2k̂)
= 2î + 3ĵ + 3k̂ + 2î – 2ĵ – 2k̂
= 4î + ĵ + k̂
B̄C̄ = (-î – 2ĵ + 3k̂) – (2î + 3ĵ + 3k̂)
= -î – 2ĵ + 3k̂ – 2î – 3ĵ – 3k̂
= -3î – 5ĵ
C̄Ā = (-2î + 2ĵ + 2k̂) – (-î – 2ĵ + 3k̂)
= -2î + 2ĵ + 2k̂ + î + 2ĵ – 3k̂
= -î + 4ĵ – k̂

ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। (প্রমানিত)

7. (i) A, B, C বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (2, 6, 3), (1, 2, 7) এবং (3, 10, -1) হলে ভেক্টর পদ্ধতির প্রয়োগে প্রমাণ করো যে, বিন্দু তিনটি সমরেখ।

Solution:
ŌX̄, ŌȲ ও ŌZ̄ অভিমুখে একক ভেক্টরগুলি যথাক্রমে î, ĵ ও k̂ হলে,
A, B ও C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 2î + 6ĵ + 3k̂, î + 2ĵ + 7k̂ এবং 3î + 10ĵ – k̂
∴ ĀB̄ = (î + 2ĵ + 7k̂) – (2î + 6ĵ + 3k̂)
= î + 2ĵ + 7k̂ – 2î – 6ĵ – 3k̂
= -î – 4ĵ + 4k̂
B̄C̄ = (3î + 10ĵ – k̂) – (î + 2ĵ + 7k̂)
= 3î + 10ĵ – k̂ – î – 2ĵ – 7k̂
= 2î + 8ĵ – 8k̂
= -2(î – 4ĵ + 4k̂)
= -2ĀB̄
∵ B̄C̄ = 2ĀB̄
এবং B বিন্দু ĀB̄ ও B̄C̄ -এর সাধারন বিন্দু।
A, B ও C বিন্দু তিনটি সমরেখ।
∴ (2, 6, 3), (1, 2, 7) এবং (3, 10, -1) বিন্দু তিনটি সমরেখ। (প্রমানিত)

(ii) দেখাও যে, তিনটি বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর (a) -2î + 3ĵ + 5k̂, î + 2ĵ + 3k̂ এবং 7î – k̂  (b) î – 2ĵ + 3k̂, 2î + 3ĵ – 4k̂ এবং -7î + 4k̂ হলে উভয়ক্ষেত্রে বিন্দু তিনটি সমরেখ।

(a)
Solution:
ধরি, A, B ও C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে -2î + 3ĵ + 5k̂, î + 2ĵ + 3k̂ এবং 7î – k̂
∴ ĀB̄ = (î + 2ĵ + 3k̂) – (-2î + 3ĵ + 5k̂)
= î + 2ĵ + 3k̂ + 2î – 3ĵ – 5k̂
= 3î – ĵ – 2k̂
B̄C̄ = (7î – k̂) – (î + 2ĵ + 3k̂)
= 7î – k̂ – î – 2ĵ – 3k̂
= 6î – 2ĵ – 4k̂
= 2(î – ĵ – 2k̂)
= 2ĀB̄
∵ B̄C̄ = 2ĀB̄
এবং B বিন্দু ĀB̄ ও B̄C̄ -এর সাধারন বিন্দু।
A, B ও C বিন্দু তিনটি সমরেখ।
∴ -2î + 3ĵ + 5k̂, î + 2ĵ + 3k̂ এবং 7î – k̂ বিন্দু তিনটি সমরেখ। (প্রমানিত)
(b)
Solution:
ধরি, A, B ও C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে î – 2ĵ + 3k̂, 2î + 3ĵ – 4k̂ এবং -7î + 4k̂;
∴ ĀB̄ = (2î + 3ĵ – 4k̂) – (î – 2ĵ + 3k̂)
= 2î + 3ĵ – 4k̂ – î + 2ĵ – 3k̂
= î + 5ĵ – 7k̂
B̄C̄ = (-7î + 4k̂) – (2î + 3ĵ – 4k̂)
= -7î + 4k̂ – 2î – 3ĵ + 4k̂
= -9î – 3ĵ + 8k̂
C̄Ā = (î – 2ĵ + 3k̂) – (-7î + 4k̂)
= î – 2ĵ + 3k̂ + 7î – 4k̂
= 8î – 2ĵ – k̂
ĀB̄ + B̄C̄
= î + 5ĵ – 7k̂ -9î – 3ĵ + 8k̂
= -8î + 2ĵ + k̂
= -(8î – 2ĵ – k̂)
= -C̄Ā
∴ ĀB̄ + B̄C̄ + C̄Ā = 0
∴ î – 2ĵ + 3k̂, 2î + 3ĵ – 4k̂ এবং -7î + 4k̂ বিন্দু তিনটি সমরেখ। (প্রমানিত)

8. তিনটি বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর  î + 3ĵ – 2k̂, 3î – 2ĵ + k̂ এবং -2î + ĵ + 3k̂; দেখাও যে বিন্দু তিনটির সংযোগে একটি সমবাহু ত্রিভুজ পাওয়া যায়।

Solution:
ধরি, A, B ও C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে î + 3ĵ – 2k̂, 3î – 2ĵ + k̂ এবং -2î + ĵ + 3k̂ ;
∴ ĀB̄ = (3î – 2ĵ + k̂) – (î + 3ĵ – 2k̂)
= 3î – 2ĵ + k̂ – î – 3ĵ + 2k̂
= 2î – 5ĵ + 3k̂
B̄C̄ = (-2î + ĵ + 3k̂) – (3î – 2ĵ + k̂)
= -2î + ĵ + 3k̂ – 3î + 2ĵ – k̂
= -5î + 3ĵ + 2k̂
এবং C̄Ā = (î + 3ĵ – 2k̂) – (-2î + ĵ + 3k̂)
= î + 3ĵ – 2k̂ + 2î – ĵ – 3k̂
= 3î + 2ĵ – 5k̂

বিন্দু তিনটির সংযোগে একটি সমবাহু ত্রিভুজ পাওয়া যায়। (প্রমাণিত)

9. pî – 5ĵ + 6k̂ এবং 2î – 3ĵ – qk̂ ভেক্টর দুটি সমরেখ হলে p ও q -এর মান নির্ণয় করো।

Solution:
∵ বিন্দু তিনটি সমরেখ।
∴ pî – 5ĵ + 6k̂ = λ (2î – 3ĵ – qk̂) – – – – [λ ≠ 0]
বা, pî – 5ĵ + 6k̂ = 2λî – 3λĵ – qλk̂
∴ -5 = -3λ বা, λ = ⁵/₃
আবার, p = 2λ বা, p = 2.⁵/₃ = ¹⁰/₃
এবং 6 = -qλ বা, 6 = -q.⁵/₃ বা, q = –¹⁸/₅
Ans: p = ¹⁰/₃
q = –¹⁸/₅

ভেক্টর বীজগণিত Class XII Vector Algebra S N Dey

10. î + bĵ + ck̂, 7î + 2ĵ + 6k̂, 5î + 2ĵ + 5k̂ অবস্থান ভেক্টরবিশিষ্ট বিন্দু তিনটি সমরেখ হলে b ও c -এর মান নির্ণয় করো।

Solution:
ধরি, A, B ও C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে î + bĵ + ck̂, 7î + 2ĵ + 6k̂ এবং 5î + 2ĵ + 5k̂ ;
∴ ĀB̄ = (7î + 2ĵ + 6k̂) – (î + bĵ + ck̂)
= 7î + 2ĵ + 6k̂ – î – bĵ – ck̂
= 6î + (2 – b)ĵ + (6 – c)k̂
এবং B̄C̄ = (5î + 2ĵ + 5k̂) – (7î + 2ĵ + 6k̂)
= 5î + 2ĵ + 5k̂ – 7î – 2ĵ – 6k̂
= -2î – k̂
∵ বিন্দু তিনটি সমরেখ।
∴ ĀB̄ = λB̄C̄ – – – – [λ ≠ 0]
∴ 6î + (2 – b)ĵ + (6 – c)k̂ = λ(-2î – k̂)
বা, 6î + (2 – b)ĵ + (6 – c)k̂ = -2λî – λk̂
∴ 6 = -2λ বা, λ = -3
আবার, 2 – b = 0 বা, b = 2
এবং 6 – c = -λ = 3 বা, c = 3
Ans: b = 2
c = 3

11.A ও B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 4î – 3ĵ + 5k̂ এবং -2î + 3ĵ + 2k̂ হলে,
(i) ĀB̄ রেখাংশের মধ্যবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর নির্ণয় করো;
(ii) যে বিন্দু দুটি AB রেখাংশকে সমত্রিখণ্ডিত করে তাদের অবস্থান ভেক্টর নির্ণয় করো।

Solution:
(i) A ও B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 4î – 3ĵ + 5k̂ এবং -2î + 3ĵ + 2k̂;
∴ ĀB̄ রেখাংশের মধ্যবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর
= ^{(4î – 3ĵ + + 5k̂ – 2î + 3ĵ + 2k̂)}/₂
= ^{(2î + 7k̂)}/₂
= î + ⁷/₂k̂
ANS: ĀB̄ রেখাংশের মধ্যবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর î + ⁷/₂k̂

(ii)
^A__________^C__________^D__________ ^B
ধরি, ĀC̄ রেখাংশ C বিন্দুতে 1:2 অনুপাতে এবং D বিন্দুতে 2:1 অনুপাতে সমত্রিখণ্ডিত হয়।
A ও B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 4î – 3ĵ + 5k̂ এবং -2î + 3ĵ + 2k̂;

ভেক্টর বীজগণিত Class XII Vector Algebra S N Dey

12. ABCD সামান্তরিকের ĀB̄ = 2î – 4ĵ + 5k̂ এবং B̄C̄ = î – 2ĵ – 3k̂ হলে সামান্তরিকটির ĀC̄ কর্ণের সমান্তরাল দিকে একটি একক ভেক্টর নির্ণয় করো।

Solution:
ĀC̄ = ĀB̄ + B̄C̄
= 2î – 4ĵ + 5k̂ + î – 2ĵ – 3k̂
= 3î – 6ĵ + 2k̂
∴ |ĀC̄|

ĀC̄ কর্ণের সমান্তরাল দিকে একক ভেক্টর-

13. A ও B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 2ā + b̄ এবং ā – 3b̄ যদি C বিন্দু AB রেখাংশকে 1:2 অনুপাতে বর্হিবিভক্ত করে তবে C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর নির্ণয় করো। আরও দেখাও যে, A বিন্দু CB রেখাংশের মধ্যবিন্দু।

Solution:
A বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর 2ā + b̄ এবং
B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর ā – 3b̄
∴ C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর

$$\large{=\frac{2.(2\vec{a}+\vec{b})-1.(\vec{a}-3\vec{b})}{2-1}\\=\frac{4\vec{a}+2\vec{b}-\vec{a}+3\vec{b}}{1}\\=3\vec{a}+5\vec{b}\quad \mathbf{(Ans)}}$$

CB রেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক

$$\large{=\frac{(3\vec{a}+5\vec{b})+(\vec{a}-3\vec{b})}{1+1}\\=\frac{4\vec{a}+2\vec{b}}{2}\\=\frac{2(2\vec{a}+\vec{b})}{2}\\=2\vec{a}+\vec{b}}$$

A বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর 2ā + b̄
∴ A বিন্দু CB রেখাংশের মধ্যবিন্দু। (Proved)

ভেক্টর বীজগণিত Class XII Vector Algebra S N Dey

14. দেখাও যে, î + ĵ + k̂ ভেক্টরটি স্থানাঙ্ক অক্ষ তিনটির ধনাত্মক দিকের সঙ্গে একই কোণ করে।

Solution:
î + ĵ + k̂ ভেক্টরটির,
X অক্ষ বরাবর স্কেলার উপাংশ 1,
Y অক্ষ বরাবর স্কেলার উপাংশ 1 এবং
Z অক্ষ বরাবর স্কেলার উপাংশ 1
∵ অক্ষ তিনটি বরাবর স্কেলার উপাংশ সমান।
∴ ভেক্টরটি স্থানাঙ্ক অক্ষ তিনটির ধনাত্মক দিকের সঙ্গে একই কোণ করে। (Proved)

15. ABC ত্রিভুজের B̄C̄, C̄Ā এবং ĀB̄ বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে G, E ও F হলে প্রমাণ করো যে, ĀD̄ + B̄Ē + C̄F̄ = 0

Solution:
ĀD̄ = ĀB̄ + B̄D̄ – – – – (i)
B̄Ē = B̄C̄ + C̄Ē – – – – (ii)
C̄F̄ = C̄Ā + ĀF̄ – – – – (iii)
(i)+ (ii)+ (iii) করে পাই,
ĀD̄ +B̄Ē + C̄F̄
= ĀB̄ + B̄D̄ + B̄C̄ + C̄Ē + C̄Ā + ĀF̄
= ĀB̄ + ^B̄C̄/₂ + B̄C̄ + ^C̄Ā/₂ + C̄Ā + ĀB̄/₂
= ^{2ĀB̄ + B̄C̄ + 2B̄C̄ + C̄Ā + 2C̄Ā + ĀB̄}/₂
= ^{3ĀB̄ + 3B̄C̄ + 3C̄Ā}/₂
= ^{3(ĀB̄ + B̄C̄ + C̄Ā)}/₂
= ^3.0/₂ = 0
∴ ĀD̄ +B̄Ē + C̄F̄ = 0 (Proved)

16. ĀŌ + ŌB̄ = B̄Ō + ŌC̄ হলে দেখাও যে, A, B এব C বিন্দু তিনটি সমরেখ।

Solution:
∵ ĀŌ + ŌB̄ = B̄Ō + ŌC̄
বা, -ŌĀ + ŌB̄ = -ŌB̄ + ŌC̄
বা, ŌB̄ – ŌĀ = ŌC̄ – ŌB̄
বা, ĀB̄ = B̄C̄
∵ ĀB̄ = B̄C̄
∴ ĀB̄ ও B̄C̄ সমান্তরাল।
আবার ĀB̄ ও B̄C̄ -এর সাধারন বিন্দু B;
∴ A, B এব C বিন্দু তিনটি সমরেখ। (Proved)

ভেক্টর বীজগণিত Class XII Vector Algebra S N Dey

দীর্ঘ উত্তরধর্মী (প্রতিটি প্রশ্নের মান 5)

1. (i) ā = 2î + 4ĵ – 4k̂, b̄ = -5î + 4ĵ + 2k̂, c̄ = 3î – 3ĵ – 2k̂ হলে ā + b̄ + 2c̄ ভেক্টরের মান এবং ঐ ভেক্টরের অভিমুখে একটি একক ভেক্টর নির্ণয় করো।

Solution:
ā = 2î + 4ĵ – 4k̂,
b̄ = -5î + 4ĵ + 2k̂ এবং
c̄ = 3î – 3ĵ – 2k̂
∴ ā + b̄ + 2c̄
= 2î + 4ĵ – 4k̂ -5î + 4ĵ + 2k̂ +6î – 6ĵ – 4k̂
= 3î + 2ĵ – 6k̂
|ā + b̄ + 2c̄|

$$\large{=\sqrt{(3)^2+(2)^2+(-6)^2}\\=\sqrt{9+4+36}\\=\sqrt{49}\\=7}$$

ā + b̄ + 2c̄ -এর সমান্তরাল দিকে একটি একক ভেক্টর-

$$\large{=\frac{\vec{a}+\vec{b}+2\vec{c}}{|\vec{a}+\vec{b}+2\vec{c}|}\\=\frac{1}{7}(3\hat{i}+2\hat{j}-6\hat{k})}$$

(ii) ā = î + ĵ + k̂, b̄ = 2î – ĵ + 3k এবং 2 = î – 2ĵ + k̂ হলে, (2ā – b̄ + 3c̄) ভেক্টরের সমান্তরাল একটি একক ভেক্টর নির্ণয় করো।

Solution:
ā = î + ĵ + k̂,
b̄ = 2î – ĵ + 3k এবং
c̄ = î – 2ĵ + k̂
∴ 2ā – b̄ + 3c̄
= 2î + 2ĵ + 2k̂ – 2î + ĵ – 3k + 3î – 6ĵ + 3k̂
= 3î – 3ĵ + 2k̂
∴ |2ā – b̄ + 3c̄|

$$\large{=\sqrt{(3)^2+(-3)^2+(2)^2}\\=\sqrt{9+9+4}\\=\sqrt{22}}$$

2ā – b̄ + 3c̄ -এর সমান্তরাল দিকে একটি একক ভেক্টর-

$$\large{=\frac{2\vec{a}-\vec{b}+3\vec{c}}{|2\vec{a}-\vec{b}+3\vec{c}|}\\=\frac{1}{\sqrt{22}}(3\hat{i}-3\hat{j}+2\hat{k})}$$

2. ভেক্টর পদ্ধতি প্রয়োগ করে প্রমাণ করো যে, (7, 2, -3), (6, 1, 4), (−3, -4, −1) এবং (- 2, -3, -8 ) বিন্দু চারটি একটি সামান্তরিকের চারটি শীর্ষবিন্দু।

Solution:
ধরি প্রদত্ত বিন্দু চারটি হল A(7, 2, -3), B(6, 1, 4), C(−3, -4, −1) এবং D(-2, -3, -8 ) এবং ŌX̄, ŌȲ ও ŌZ̄ অভিমুখে একক ভেক্টরগুলি যথাক্রমে î, ĵ ও k̂ হলে,
ŌĀ = 7î + 2ĵ – 3k̂
ŌB̄ = 6î + ĵ + 4k̂
ŌC̄ = -3î – 4ĵ −k̂
ŌD̄ = -2î – 3ĵ – 8k̂
∴ ĀB̄ = 6î + ĵ + 4k̂ – (7î + 2ĵ – 3k̂)
= 6î + ĵ + 4k̂ – 7î – 2ĵ + 3k̂
= -î – ĵ + 7k̂
D̄C̄ = −3î – 4ĵ −k̂ – (-2î – 3ĵ – 8k̂)
= −3î – 4ĵ −k̂ +2î + 3ĵ + 8k̂
= -î – ĵ + 7k̂
∴ ĀB̄ = D̄C̄
এবং |ĀB̄| = |D̄C̄|
∴ ĀB̄ ও D̄C̄ পরস্পর সমান এবং সমান্তরাল।
ABCD একটি সামান্তরিক।
প্রদত্ত বিন্দু চারটি একটি সামান্তরিকের চারটি শীর্ষবিন্দু। (প্রমাণিত)

ভেক্টর বীজগণিত Class XII Vector Algebra S N Dey

3. ā = 2î + 4ĵ – 5k̂ এবং b̄ = î + 2ĵ + 3k̂ ভেক্টর দুটির সমষ্টির সমান্তরাল দিকে একটি একক ভেক্টর নির্ণয় করো; ভেক্টরের দিক (direction) কোসাইনগুলিও নির্ণয় করো।

Solution:
ā + b̄ = 2î + 4ĵ – 5k̂ + î + 2ĵ + 3k̂
= 3î + 6ĵ – 2k̂
|ā + b̄| =

$$\large{=\sqrt{(-3)^2+(6)^2+(-2)^2}\\=\sqrt{9+36+4}\\=\sqrt{49}=7}$$

|ā + b̄| -এর সমান্তরাল দিকে একটি একক ভেক্টর

$$\large{=\frac{\vec{a}+\vec{b}}{|\vec{a}+\vec{b}|}\\=\frac{1}{7}(3\hat{i}+6\hat{j}-2\hat{k})}$$

|3î + 6ĵ – 2k̂| এর দিক অনুপাত
³/₇, ⁶/₇, ^-2/₇ (Ans)

4. ā = 2î – 2ĵ + k̂, b̄ = 2î + 3ĵ + 6k̂ এবং C = -î + 2k̂ হলে ā – b̄ + 2c̄ ভেক্টরের মান ও দিক নির্ণয় করো।

Solution:
ā – b̄ + 2c̄
= 2î – 2ĵ + k̂ – (2î + 3ĵ + 6k̂) + 2(-î + 2k̂)
= 2î – 2ĵ + k̂ – 2î – 3ĵ – 6k̂ – 2î + 4k̂
= -2î – 5ĵ – k̂
|-2î – 5ĵ – k̂| এর মান

$$\large{=\sqrt{(-2)^2+(-5)^2+(-1)^2}\\=\sqrt{4+25+1}\\=\sqrt{30}\quad (Ans)}$$

|-2î – 5ĵ – k̂| এর দিক অনুপাত
^-2/_√30, -5/_√30, ^-1/_√30 (Ans:)

ভেক্টর বীজগণিত Class XII Vector Algebra S N Dey

5. ā ও b̄ ভেক্টর দুটি একরেখীয় নয়। x-এর মান নির্ণয় করো যাতে c̄ = (x – 7)ā + 2b̄ এবং d̄ = (2x + 1)ā – b̄ একরেখীয় হয়।

Solution:
c̄ ও d̄ ভেক্টর দুটি একরেখীয়।
∴ c̄ = md̄ – – – -[m ≠ 0]
বা, (x – 7)ā + 2b̄ = m{(2x + 1)ā – b̄}
বা, (x – 7)ā + 2b̄ = m(2x + 1)ā – mb̄
বা, (x – 7)ā – m(2x + 1)ā + mb̄ + 2b̄ = 0
বা, (x – 7 – 2mx – m)ā + (m + 2)b̄ = 0
∵ ā ও b̄ ভেক্টর দুটি একরেখীয় নয়।
∵ m + 2 = 0
বা, m = -2
আবার,
x – 7 – 2mx – m = 0
বা, x – 7 – 2.(-2)x + 2 = 0
বা, x – 7 + 4x + 2 = 0
বা, 5x – 5 = 0
বা, 5x = 5
বা, x = 1
Ans: x-এর মান 1

6. 12î – 5ĵ, 10î + 3ĵ এবং xî + 11ĵ অবস্থান ভেক্টর বিশিষ্ট বিন্দু তিনটি সমরেখ হলে x -এর মান নির্ণয় করো।

Solution:
ধরি, A, B এবং C -এর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 12î – 5ĵ, 10î + 3ĵ এবং xî + 11ĵ
∴ ĀB̄ = (10î + 3ĵ) – (12î – 5ĵ)
= 10î + 3ĵ – 12î + 5ĵ
= -2î + 8ĵ
B̄C̄ = (xî + 11ĵ) – (10î + 3ĵ)
= xî + 11ĵ – 10î – 3ĵ
= xî – 10î + 8ĵ
= (x – 10)î + 8ĵ
∵ বিন্দু তিনটি সমরেখ,
∴ ĀB̄ = mB̄C̄ – – – -[m ≠ 0]
বা, -2î + 8ĵ = m{(x – 10)î + 8ĵ}
বা, -2î + 8ĵ = m(x – 10)î + 8mĵ
∴ 8 = 8m
বা, m = 1
আবার,
-2 = m(x – 10)
বা, -2 = 1(x – 10)
বা, -2 = x – 10
বা, x = -2 + 10
বা, x = 8
Ans: x -এর মান 8

ভেক্টর বীজগণিত Class XII Vector Algebra S N Dey

7. ā ও b̄ ভেক্টর দুটি একরেখীয় নয়।
যদি p = (x + 4y)ā + (2x + y + 1)b̄ এবং q = (- 2x + y + 2)ā + (2x – 3y – 1)b̄ ভেক্টর দুটির 3p = 2q সম্বন্ধ থাকে তবে x ও y এর মান নির্ণয় করো।

Solution:
∵ 3p = 2q
∴ 3{(x + 4y)ā + + (2x + y + 1)b̄} = 2{(- 2x + y + 2)ā + (2x – 3y – 1)b̄}
তুলনা করে পাই,
3(x + 4y) = 2(- 2x + y + 2 )
বা, 3x + 12y = -4x + 2y + 4
বা, 3x + 4x + 12y – 2y = 4
বা, 7x + 10y = 4 – – – – (i)
আবার,
3(2x + y + 1) = 2(2x – 3y – 1)
বা, 6x + 3y + 3 = 4x – 6y – 2
বা, 6x – 4x + 3y + 6y = -2 – 3
বা, 2x + 9y = -5 – – – – (ii)
(i)×2 – 7×(ii) করে পাই,
14x – 14x + 20y – 63 = 8 + 35
বা, -43y = 43
বা, y = -1
(i) নং থেকে পাই,
7x + 10×-1 = 4
বা, 7x = 4 + 10
বা, 7x = 14
বা, x = 2
Ans: x = 2
y = -1

৪. দুটি একক ভেক্টরের সমষ্টি একটি একক ভেক্টর হলে প্রমাণ করো যে ভেক্টর দুটির অন্তরের মান √3 হবে।

Solution:
ধরি, ভেক্টর দুটি ā এবং b̄
∴ |ā| = 1; |b̄| = 1; |ā + b̄| = 1
∵ |ā – b̄|² + |ā + b̄|² = 2{|ā|² + |b̄|²}
বা, |ā – b̄|² = 2{|ā|² + |b̄|²} – |ā + b̄|²
বা, |ā – b̄|² = 2{(1)² + (1)²} – (1)²
বা, |ā – b̄|² = 2{1 + 1} – 1
বা, |ā – b̄|² = 2.2 – 1 = 3
∴ |ā – b̄| = √3

ভেক্টর বীজগণিত Class XII Vector Algebra S N Dey

9. ABCDEF একটি সুষম ষড়ভুজ। C̄D̄ = ā, D̄Ē = b̄ হলে, ĀB̄, B̄C̄, B̄F̄, C̄Ā, ĀD̄ এবং B̄D̄-এর মান ā ও b̄-এর আকারে নির্ণয় করো

Solution:
C̄D̄ = ā এবং D̄Ē = b̄
∴ ĀB̄ = -D̄Ē
= -,b̄ (Ans)
△CDE থেকে পাই,
C̄Ē = C̄D̄ + D̄Ē
= ā + b̄
∵ C̄Ē ∥ B̄F̄
∴ B̄F̄ = ā + b̄ (Ans)
∵ B̄Ē ∥ C̄D̄ এবং B̄Ē = 2.C̄D̄
∴ B̄Ē = 2ā
△BCE থেকে পাই,
B̄C̄ + C̄Ē = B̄Ē
বা, B̄C̄ = B̄Ē – C̄Ē
বা, B̄C̄ = 2ā – (ā + b̄)
বা, B̄C̄ = 2ā – ā – b̄
বা, B̄C̄ = ā – b̄ (Ans)
△ABC থেকে পাই,
ĀB̄ + B̄C̄ + C̄Ā = 0
বা, -,b̄ + (ā – b̄) + C̄Ā = 0
বা, -,2b̄ + ā + C̄Ā = 0
বা, C̄Ā = 2b̄ – ā (Ans)
△ACD থেকে পাই,
ĀC̄ + C̄D̄ = ĀD̄
বা, ĀD̄ = ĀC̄ + C̄D̄
বা, ĀD̄ = ā – 2b̄ + ā
বা, ĀD̄ = 2ā – 2b̄
বা, ĀD̄ = 2(ā – b̄) (Ans)

△BCD থেকে পাই,
B̄D̄ = B̄C̄ + C̄D̄
বা, B̄D̄ = (ā – b̄) + ā
বা, B̄D̄ = ā – b̄ + ā
বা, B̄D̄ = 2ā – b̄ (Ans)

10. ABCD সামান্তরিকের ĀC̄ ও B̄D̄ হল কর্ণ। প্রমাণ করো যে, ĀC̄ + B̄D̄ = 2B̄C̄ এবং ĀC̄ – B̄D̄ = 2ĀB̄

Solution:
ধরি, ABCD সামান্তরিকের A, B, C এবং D বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে ā, b̄, c̄ এবং d̄;
ABCD একটি সামান্তরিকের,
ĀB̄ = D̄C̄
∴ b̄ – ā = c̄ – d̄
বা, b̄ – c̄ = ā – d̄ – – – (i)
এবং ĀD̄ = B̄C̄
∴ d̄ – ā = c̄ – b̄
বা, b̄ – ā = c̄ – d̄ – – – (ii)
ĀC̄ + B̄D̄
= c̄ – ā + d̄ – b̄
= c̄ – b̄ + d̄ – ā
= c̄ – b̄ – (ā – d̄)
= c̄ – b̄ – (b̄ – c̄) – – – [(i) নং থেকে পাই]
= c̄ – b̄ – b̄ + c̄
= 2(c̄ – b̄)
= 2B̄C̄ (Proved)
ĀC̄ – B̄D̄
= c̄ – ā – (d̄ – b̄)
= c̄ – ā – d̄ + b̄
= b̄ – ā + c̄ – d̄
= b̄ – ā + b̄ – ā – – – [(ii) নং থেকে পাই]
= 2(b̄ – ā)
= 2ĀB̄ (Proved)

ভেক্টর বীজগণিত Class XII Vector Algebra S N Dey

11. ভেক্টর পদ্ধতির সাহায্যে প্রমাণ করো যে, চতুর্ভুজের বাহুগুলোর মধ্যবিন্দু পরপর যোগ করলে একটি সামান্তরিক উৎপন্ন হয়।

Solution:
ধরি, ABCD সামান্তরিকের A, B, C এবং D বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে ā, b̄, c̄ এবং d̄;
AB, BC, CD এবং DA এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে E, F, G এবং H
E -এর অবস্থান ভেক্টর = ^{(ā + b̄)}/₂
F -এর অবস্থান ভেক্টর = ^{(b̄ + c̄)}/₂
G -এর অবস্থান ভেক্টর = ^{(c̄ + d̄)}/₂
H -এর অবস্থান ভেক্টর = ^{(d̄ + ā)}/₂

$$\large{\overrightarrow{EF}=\frac{\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{2}-\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{2}\\=\frac{\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}}{2}\\=\frac{\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}}{2}}$$এবং $$\large{\overrightarrow{HG}=\frac{\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}}{2}-\frac{\overrightarrow{d}+\overrightarrow{a}}{2}\\=\frac{\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}-\overrightarrow{d}-\overrightarrow{a}}{2}\\=\frac{\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}}{2}\\\therefore \overrightarrow{EF}=\overrightarrow{HG}\\⇒|\overrightarrow{EF}|=|\overrightarrow{HG}|}$$

ĒF̄ এবং H̄Ḡ ভেক্টর দুটি পরস্পর সমান এবং সমান্তরাল।
∴ EFGH একটি সামান্তরিক।
চতুর্ভুজের বাহুগুলোর মধ্যবিন্দু পরপর যোগ করলে একটি সামান্তরিক উৎপন্ন হয়। (Proved)

12. ভেক্টর পদ্ধতির প্রয়োগে প্রমাণ করো যে, সামান্তরিকের কর্ণ দুটি পরস্পর পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

Solution:
ধরি, A, B, C এবং D বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে ā, b̄, c̄ এবং d̄;
P, B̄C̄ বাহুর মধ্যবিন্দু।
∴ P-এর অবস্থান ভেক্টর = ^{(c̄ + b̄)}/₂
ABCD একটি সামান্তরিকের,
ĀB̄ = D̄C̄
∴ b̄ – ā = c̄ – d̄
বা, (b̄ + d̄ )/2 = c̄ + ā
বা, ^{(b̄ + d̄)}/₂ = ^{(c̄ + ā)}/₂
∴ B̄D̄ কর্ণের মধ্যবিন্দু = ĀC̄ কর্ণের মধ্যবিন্দু
সামান্তরিকের কর্ণ দুটি পরস্পর পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। (Proved)

ভেক্টর বীজগণিত Class XII Vector Algebra S N Dey

13. ABCD সামান্তরিকের BC বাহুর মধ্যবিন্দু P; প্রমাণ করো যে, ĀC̄ এবং D̄P̄ রেখাংশ ছেদবিন্দুতে পরস্পর সমত্রিখণ্ডিত হয়।

Solution:
ধরি, A, B, C এবং D বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে ā, b̄, c̄ এবং d̄;
P, B̄C̄ বাহুর মধ্যবিন্দু।
∴ P-এর অবস্থান ভেক্টর = ^{(c̄ + b̄)}/₂
ABCD একটি সামান্তরিক।
∴ ĀD̄ = B̄C̄
∴ d̄ – ā = c̄ – b̄
বা, d̄ + b̄ = c̄ + ā
বা, d̄ + b̄ + c̄ = c̄ + c̄ + ā
বা, b̄ + c̄ + d̄ = ā + 2c̄
ধরি, E, D̄P̄ কে 2:1 অনুপাতে ভাগ করে।
∴ E বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর
= (2×^{(c̄ + b̄)}/₂ + d̄)/(2 + 1)
= ^{(b̄ + c̄ + d̄)}/₃
আবার ধরি, F, ĀC̄ কে 2:1 অনুপাতে ভাগ করে।
∴ F বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর
= ^{(2.c̄ + ā)}/_{2 + 1}
= ^{(2c̄ + ā)}/₃
= ^{(ā + c̄ + c̄)}/₃ – – – [b̄ + c̄ + d̄ = ā + 2c̄]
= ^{(b̄ + c̄ + d̄)}/₃
∴ E ও F একই বিন্দু।
∴ AC এবং DP রেখাংশ ছেদবিন্দুতে পরস্পর সমখিণ্ডিত হয়। (Proved)

14. ABCD সামান্তরিকের ĀB̄ এবং D̄C̄ বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P এবং Q; দেখাও যে, D̄P̄ এবং B̄Q̄ রেখাংশ ĀC̄-কে সমান তিন ভাগে বিভক্ত করে এবং ĀC̄ দিয়ে তারা সমত্রিখণ্ডিত হয়।

Solution:
ধরি, A, B, C এবং D বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে ā, b̄, c̄ এবং d̄;
ĀB̄ এবং D̄C̄ বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P এবং Q
∴ P-এর অবস্থান ভেক্টর = ^{(ā + b̄)}/₂
∴ Q-এর অবস্থান ভেক্টর = ^{(c̄ + d̄)}/₂
ABCD একটি সামান্তরিক।
∴^{(ā + c̄)}/₂ = ^{(b̄ + d̄)}/₂
বা, ā + c̄ = b̄ + d̄
ধরি, E, D̄P̄ কে 2:1 অনুপাতে ভাগ করে।
∴ E বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর
= (2×^{(ā + b̄)}/₂ + d̄)/(2 + 1)
= ^{(ā + b̄ + d̄)}/₃
= ^{(ā + ā + c̄)}/₃ – – – [ā + c̄ = b̄ + d̄]
= ^{(2.ā + 1.c̄)}/_{2 + 1}
∴ E, D̄P̄ কে 2:1 অনুপাতে ভাগ করে।
আবার ধরি, F, B̄Q̄ কে 2:1 অনুপাতে ভাগ করে।
∴ F বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর
= (2×^{(c̄ + d̄)}/₂ + b̄)/(2 + 1)
= ^{(c̄ + d̄ + b̄)}/₃
= ^{(ā + c̄ + c̄)}/₃ – – – [ā + c̄ = b̄ + d̄)
= ^{(2.c̄ + ā)}/_{2 + 1}
∴ F, B̄Q̄ কে 2:1 অনুপাতে ভাগ করে।
∴ D̄P̄ এবং B̄Q̄ রেখাংশ ĀC̄-কে সমান তিন ভাগে বিভক্ত করে এবং ĀC̄ দিয়ে তারা সমত্রিখণ্ডিত হয়। (Proved)

15. ABCD সামান্তরিকের D̄C̄ বাহুর মধ্যবিন্দু P। ĀP̄ -র ওপর Q বিন্দু এমনভাবে নেওয়া হয় যাতে ĀQ̄ = ²/₃ĀP̄ হয়। দেখাও যে, Q বিন্দু B̄D̄ কর্ণের ওপর অবস্থিত এবং B̄Q̄ = ²/₃B̄D̄

Solution:
ধরি, A, B, C এবং D বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে ā, b̄, c̄ এবং d̄;
P, D̄C̄ বাহুর মধ্যবিন্দু।
∴ P-এর অবস্থান ভেক্টর = ^{(c̄ + d̄)}/₂
∵ ĀQ̄ = ²/₃ĀP̄
∴ Q বিন্দু ĀP̄ কে 2:1 অনুপাতে বিভক্ত করে।
∴ Q বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর
= (2×^{(c̄ + d̄)}/₂ + ā)/(2 + 1)
= ^{(c̄ + d̄ + ā)}/₃ – – – (i)
ABCD সামান্তরিকের,
ĀB̄ = D̄C̄
∴ b̄ – ā = c̄ – d̄
∴ b̄ + d̄ = ā + c̄
(i) থেকে পাই,
Q বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর
= ^{(b̄ + d̄ + d̄)}/₃
= ^{(b̄ + 2.d̄)}/_{2 + 1}
∴ Q বিন্দু B̄D̄ কে 2:1 অনুপাতে ভাগ করে।
∴ Q বিন্দু B̄D̄ কর্ণের ওপর অবস্থিত এবং B̄Q̄ = ²/₃B̄D̄ (Proved)

16. ABC ত্রিভুজের B̄C̄, C̄Ā এবং ĀB̄ বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D. E ও F; যদি ত্রিভুজ সমতলে P যে-কোনো একটি বিন্দু হয়, তবে প্রমাণ করো যে, P̄Ā + P̄B̄ + P̄C̄ = P̄D̄ + P̄Ē + P̄F̄

Solution:
ধরি, P বিন্দুর সাপেক্ষ A, B এবং C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে ā, b̄ এবং c̄
B̄C̄, C̄Ā এবং ĀB̄ বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D. E ও F;
∴ D. E ও F -এর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে ^{(b̄ + c̄)}/₂ , ^{(ā + c̄)}/₂ ও ^{(ā + b̄)}/₂
P̄D̄ + P̄Ē + P̄F̄
= ^{(b̄ + c̄)}/₂ + ^{(ā + c̄)}/₂ + ^{(ā + b̄)}/₂
= ^{(b̄ + c̄ + ā + c̄ + ā + b̄)}/₂
= ā + b̄ + c̄
= P̄Ā + P̄B̄ + P̄C̄ (Proved)

17. ĀB̄ রেখাংশের মধ্যবিন্দু C এবং O যে-কোনো বিন্দু (AB-র ওপর অবস্থিত নয়) হলে প্রমাণ করো যে, ŌĀ + ŌB̄ = 2ŌC̄

Solution:
△OAC থেকে পাই,
ŌĀ + ĀC̄ = ŌC̄
বা, ŌĀ = ŌC̄ – ĀC̄
আবার, △OCB থেকে পাই,
ŌC̄ + C̄B̄ = ŌB̄
বা, ŌB̄ = ŌC̄ + C̄B̄
∴ ŌĀ + ŌB̄
= ŌC̄ – ĀC̄ + ŌC̄ + C̄B̄
= 2ŌC̄ – ĀC̄ + C̄B̄
= 2ŌC̄ – ĀC̄ + ĀC̄ – – – – [ĀC̄ = C̄B̄]
= 2ŌC̄
∴ ŌĀ + ŌB̄ = 2ŌC̄ (Proved)

ভেক্টর বীজগণিত Class XII Vector Algebra S N Dey

18. ABC ত্রিভুজের অভ্যন্তরে G একটি বিন্দু। যদি ḠĀ + ḠB̄ + ḠC̄ = 0̄ হয়, তবে প্রমাণ করো যে, G বিন্দু ABC ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র।

Solution:
ধরি, মূলবিন্দু সাপেক্ষ A, B, C এবং G বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে ā, b̄, c̄ ও ḡ
∵ ḠĀ + ḠB̄ + ḠC̄ = 0̄
⇒ ā – ḡ + b̄ – ḡ + c̄ – ḡ = 0
⇒ – 3ḡ = -ā – b̄ – c̄
⇒ 3ḡ = ā + b̄ + c̄
⇒ ḡ = ^{(ā + b̄ + c̄)}/₃
∴ g হল △ABC -এর ভরকেন্দ্র।

19. ABCD সামান্তরিকের কর্ণ দুটি E বিন্দুতে ছেদ করে। কোনো অনির্দিষ্ট মূলবিন্দু O সাপেক্ষে সামান্তরিকটির শীর্ষবিন্দু চারটির অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে ā, b̄, c̄ এবং d̄ হলে প্রমাণ করো যে, ā + b̄ + c̄ + d̄ = 4ŌĒ ।

Solution:
ABCD সামান্তরিকের কর্ণ দুটি E বিন্দুতে সমদ্বিখন্ডিত হয়।
E বিন্দু ĀC̄ কর্ণের মধ্যবিন্দু।
∴ অনির্দিষ্ট মূলবিন্দু O সাপেক্ষে,
E বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর ŌĒ = ^{ā + c̄}/₂ – – – – – (i)
আবার E বিন্দু B̄C̄ কর্ণের মধ্যবিন্দু।
E বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর ŌĒ = ^{b̄ + d̄}/₂ – – – – – (ii)

(i) ও (ii) যোগ করে পাই,
ŌĒ + ŌĒ = ^{ā + c̄}/₂ + ^{b̄ + d̄}/₂
বা, 2ŌĒ = ^{ā +b̄ + c̄ + d̄}/₂
∴ ā + b̄ + c̄ + d̄ = 4ŌĒ (Proved)

20. ভেক্টর পদ্ধতির সাহায্যে প্রমাণ করো যে, কোনো ট্রাপিজিয়ামের তির্যক বাহু দুটির মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা তার সমান্তরাল বাহু দুটির সমান্তরাল এবং তাদের সমষ্টির অর্ধেকের সমান।

Solution:
ধরি, ABCD একটি ট্রাপিজিয়াম যার A, B, C ও D বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে ā, b̄, c̄ ও d̄ এবং তির্যক বাহু AD ও BC -এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে E ও F;
∴ E বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর = ^{ā + d̄}/₂
F বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর = ^{b̄ + c̄}/₂

$$\large{\overrightarrow{EF}=\frac{\overrightarrow b+\overrightarrow c}{2}-\frac{\overrightarrow a+\overrightarrow d}{2} \\=\frac{\overrightarrow b+\overrightarrow c-\overrightarrow a-\overrightarrow d}{2}\\=\frac{1}{2}(\overrightarrow b-\overrightarrow a+\overrightarrow c-\overrightarrow d)\\=\frac{1}{2}(\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {DC})}$$

আবার ĀB̄ ও D̄C̄ পরস্পর সমান্তরাল।
∴ ĒF̄, ĀB̄ ও D̄C̄ -এর সমান্তরাল। (Proved)
E ও F, AD ও BC -এর মধ্যবিন্দু ;
∴ |ĒF̄| = ½|ĀB̄ + D̄C̄| (Proved)

PREVIOUS

NEXT

• 
  HS 2025 Mathematics Solution।। উচ্চ মাধ্যামিক ২০২৫ গণিত প্রশ্নপত্রের সমাধান
• 
  Matrix S N Dey Solution Part-3
• 
  Matrix S N Dey Solution Part-2
• 
  Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স
• 
  S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল
• 
  Straight Line Ex 4A Class XII সরলরেখা S N Dey Solution
• 
  Direction Cosines and Direction Ratios Class XII S N Dey দিক্ কোসাইন এবং দিক্ অনুপাত
• 
  Probability Bayes’ Theorem বেইজ উপপাদ্য প্রশ্নমালা 1B
• 
  দ্বাদশ শ্রেণীর সম্ভাবনা Probability S N Day Part -2
• 
  Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা Part-I
• 
  অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Significance of Derivative S N Dey Part-2
• 
  Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1
• 
  ভেক্টর বীজগণিত Class XII Vector Algebra S N Dey Part 2
• 
  Vector Algebra Class XII ভেক্টর বীজগণিত Part 1
• 
  Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part II
• 
  Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part-1
• 
  JBNSTS- Junior & Senior Scholarship – How to apply, Syllabus etc.
• 
  জি. পি. বিড়লা স্কলারশিপ || How to apply GP Birla Scholarship
• 
  Vidyasagar Science Olympiad How To Apply বিদ্যাসাগর সায়েন্স অলিম্পিয়াড
• 
  Medhasree Scholarship মেধাশ্রী – How to apply, Check Date, Eligibility

September 17, 2023