PROSTUTI

Author: TEAM PROSTUTI

  • বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি ১০ Koshe Dekhi 10

    বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি ১০ Koshe Dekhi 10

    বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Cyclic Quadrilateral) Theorems related to Cyclic Quadrilateral Koshe Dekhi 10

    বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Cyclic Quadrilateral) Theorems related to Cyclic Quadrilateral Koshe Dekhi 10

    1. পাশের ছবির PQRS বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে X বিন্দুতে এমনভাবে ছেদ করেছে যে ∠PRS = 65° এবং ∠RQS = 45°; ∠SQP ও ∠RSP-এর মান হিসাব করে লিখি।

    65° 45° X P Q R S

    Solution:
    PS বৃত্তচাপের উপর ∠SQP ও ∠PRS বৃত্তস্থ কোণ।
    ∴ ∠SQP = ∠PRS = 65°
    আবার ∠PQR = ∠SQP + ∠RQS
    = 65° + 45°
    = 110°
    PQRS বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের,
    ∠RSP + ∠PQR = 180°
    বা, ∠RSP + 110° = 180°
    বা, ∠RSP = 180° – 110°
    = 70°
    Ans: ∠SQP = 65°, ∠RSP = 70°

    2. ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের AB বাহুকে X বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করলাম এবং মেপে দেখছি ∠XBC = 82° এবং ∠ADB = 47°; ∠BAC-এর মান হিসাব করে লিখি।

    82° 47° D X A B C

    Solution:
     ∠CBX = 82°
    ∴ ∠ABC = 180° – 82°
    = 98°
    ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের,
    ∠ADC + ∠ABC = 180°
    বা, ∠ADC + 98° = 180°
    বা, ∠ADC = 180° – 98°
    = 82°
    ∵ ∠ADB = 47°
    ∴ ∠BDC = 82° – 47°
    = 35°
    BC বৃত্তচাপের উপর ∠BAC ও ∠BDC বৃত্তস্থ কোণ।
    ∴∠BAC = ∠BDC = 35°
    Ans: ∠BAC = 35°

    বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Cyclic Quadrilateral) Theorems related to Cyclic Quadrilateral Koshe Dekhi 10

    3. PQRS বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের PQ, SR বাহু দুটি বর্ধিত করায় T বিন্দুতে মিলিত হলো। বৃত্তের কেন্দ্র O; ∠POQ = 110°, ∠QOR = 60°, ∠ROS = 80° হলে ∠RQS ও ∠QTR –এর মান হিসাব করে লিখি।

    110° 80° 60° O T S P Q R

    Solution:
    SR বৃত্তচাপের উপর ∠SOR কেন্দ্রস্থ কোণ ও ∠RQS বৃত্তস্থ কোণ।
    ∴ ∠RQS = ½ × ∠SOR
    = ½ × 80° = 40°
    ∠POS = 360° – (∠SOR + ∠ROQ + ∠QOP)
    = 360° – (80° + 60° + 110°)
    = 360° – 250°
    ⇒ 110°
    ∴ PS বৃত্তচাপের উপর ∠POS কেন্দ্রস্থ কোণ ও ∠PQS বৃত্তস্থ কোণ।
    ∴ ∠PQS = ½ × ∠POS
    = ½ × 110° = 55°
    ∴ ∠PQR = ∠PQS + ∠RQS
    = 55° + 40° = 95°
    ∴ ∠RQT = 180° – ∠PQR
    = 180° – 95° = 85°
    QS বৃত্তচাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ ∠SOQ ও বৃত্তস্থ কোণ ∠SPQ
    ∴ 2∠SPQ = ∠SOQ
    বা, 2∠SPQ = ∠SOR + ∠ROQ
    বা, 2∠SPQ = 80° + 60°
    ⇒ 2∠SPQ = 140°
    বা, ∠SPQ = 70°
    আবার, PQRS বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের,
    বহিঃস্থ কোণ ∠QRT = বিপরীত অন্তস্থ কোণ ∠SPQ
    ∴ ∠QRT = 70°
    △RQT থেকে পাই,
    ∠QTR = 180° – (∠RQT + ∠QRT)
    = 180° – (85° + 70°)
    = 180° – 155°
    ⇒ 25°
    Ans: ∠RQS = 40°,
    ∠QTR = 25°

    4. দুটি বৃত্ত পরস্পরকে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। P ও Q বিন্দুগামী দুটি সরলরেখা একটি বৃত্তকে যথাক্রমে A ও C এবং অপর বৃত্তকে যথাক্রমে B ও D বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, AC ∥ BD।

    A C Q P B D

    প্রদত্তঃ দুটি বৃত্ত P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। P ও Q বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত AB ও CD সরলরেখা বৃত্ত দুটিকে যথাক্রমে A ও B এবং C ও D বিন্দুতে ছেদ করেছে।
    প্রামান্য বিষয়ঃ AC ∥ BD
    অঙ্কনঃ A, C; P, Q; B, D যুক্ত করা হল।
    প্রমাণঃ APQC বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের,
    ∴ ∠PAC + ∠PQC = 2 সমকোণ
    আবার, PBDQ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের,
    বহিঃস্থ কোণ ∠PQC = অন্তস্থ কোণ ∠PBD
    ∵ ∠PAC + ∠PQC = 2 সমকোণ
    ∴ ∠PAC + ∠PBD = 2 সমকোণ
    AC ও BD সরলরেখার ভেদক AB এবং অন্তস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি 2 সমকোন
    ∴ AC ∥ BD (প্রমানিত)।

    5. ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভজ অঙ্কন করেছি এবং এর BC বাহুকে E বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করলাম। প্রমাণ করে যে, ∠BAD ও ∠DCE-এর সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় বৃত্তের উপর মিলিত হবে।

    Solution: F A D C E B

    প্রদত্তঃ ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের BC বাহুকে E পর্যন্ত বর্ধিত করা হয়েছে। ∠BAD –এর সমদ্বিখণ্ডক AF পরিধিকে F বিন্দুতে ছেদ করেছে। F, C যুক্ত করা হল।
    প্রামান্য বিষয়ঃ CF, ∠DCE –এর সমদ্বিখণ্ডক।
    প্রমাণঃ ABCF বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের,
    ∴ বহিঃস্থ কোণ ∠ECF = বিপরীত অন্তস্থ কোণ ∠BAF ……….(i)
    FD বৃত্তচাপের উপর বৃত্তস্থ কোণ ∠DCF ও ∠FAD
    ∴ ∠DCF = ∠FAD
    আবার, AF, ∠BAD –এর সমদ্বিখণ্ডক
    ∠FAD = ∠BAF
    বা, ∠DCF = ∠BAF – – – [∵ ∠DCF = ∠FAD]
    বা, ∠DCF = ∠ECF – – – [(i) নং থেকে]
    ∴ CF, ∠DCE –এর সমদ্বিখণ্ডক।
    ∴ ∠BAD ও ∠DCE –এর সমদ্বিখন্ডকদ্বয় বৃত্তের উপর মিলিত হবে।(প্রমানিত)

    বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Cyclic Quadrilateral) Theorems related to Cyclic Quadrilateral Koshe Dekhi 10

    6. মোহিত একটি বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু X দিয়ে দুটি সরলরেখা অঙ্কন করেছে যারা বৃত্তটিকে যথাক্রমে A, B বিন্দু ও C, D বিন্দুতে ছেদ করেছে। যুক্তি দিয়ে প্রমাণ করি যে, △XAC ও △XBD-এর দুটি করে কোণ সমান।

    Solution: B D C X A

    প্রদত্তঃ বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু X দিয়ে অঙ্কিত দুটি সরলরেখা বৃত্তকে A ও B এবং C ও D বিন্দু ছেদ করেছে।
    প্রামান্য বিষয়ঃ △XAC ও △XBD-এর দুটি করে কোণ সমান।
    অঙ্কনঃ A, C ও B, D যুক্ত করা হল।
    প্রমাণঃ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বহিঃস্থ কোন বিপরীত অন্তঃস্থ কোনের সমান হয়।
    ABDC বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের,
    বহিঃস্থ কোণ ∠CAX = বিপরীত অন্তস্থ কোণ ∠BDC এবং
    বহিঃস্থ কোণ ∠ACX = বিপরীত অন্তস্থ কোণ ∠ABD
    △XAC ও △XBD-এর,
    ∠CAX = ∠BDC এবং
    ∠ACX = ∠ABD
    ∴ △XAC ও △XBD –এর দুটি করি কোণ সমান। (প্রমানিত)

    7. দুটি বৃত্ত অঙ্কন করেছি যারা পরস্পরকে G ও H বিন্দুতে ছেদ করেছে। এবার G বিন্দুগামী একটি সরলরেখা অঙ্কন করলাম যেটি বৃত্ত দুটিকে P ও Q বিন্দুতে এবং H বিন্দুগামী PQ-এর সমান্তরাল অপর একটি সরলরেখা অঙ্কন করলাম যা বৃত্তদুটিকে R ও S বিন্দুতে ছেদ করল। প্রমাণ করি যে PQ = RS।

    P R H G Q S

    প্রদত্তঃ দুটি বৃত্ত পরস্পর G, H বিন্দুতে ছেদ করেছে। G ও H বিন্দুগামী সরলরেখা বৃত্ত দুটিকে যথাক্রমে P ও Q এবং R ও S বিন্দুতে ছেদ করেছে এবং PQ ∥ RS.
    প্রামান্য বিষয়ঃ PQ = RS
    অঙ্কনঃ P, R; G, H এবং Q, S যুক্ত করা হল ।
    প্রমাণঃ GHSQ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের,
    ∴ ∠HSQ + ∠HGQ = 180° – – – (i)
    আবার, PQ সরলরেখার ওপর G বিন্দুতে, GH দণ্ডায়মান।
    ∴∠PGH + ∠HGQ = 180° – – – (ii)
    (i) ও (ii) নং থেকে পাই,
    ∠HSQ + ∠HGQ = ∠PGH+ ∠HGQ7
    বা, ∠HSQ = ∠PGH
    আবার, PRHG বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের,
    ∠PRH + ∠PGH = 180°
    বা, ∠PRH + ∠HSQ = 180° – – – [∵ ∠PGH = ∠HSQ]
    PR ও QS বাহুদ্বয়ের ভেদক RS এর একই পার্শ্বস্থ অন্তঃকোণের সমষ্টি 180°
    ∴ PR || QS
    আবার, PQ || RS
    ∴ PRSQ একটি সামান্তরিক।
    ∴PQ = RS (প্রমাণিত)

    8. ABC একটি ত্রিভুজ অঙ্কন করেছি যার AB = AC এবং বর্ধিত BC-এর উপর E যে-কোনো একটি বিন্দু। △ABC-এর পরিবৃত্ত AE-কে D বিন্দুতে ছেদ করলে প্রমাণ করি যে, ∠ACD = ∠AEC।

    Solution: A B C E D

    প্রদত্তঃ ABC ত্রিভুজে AB = AC এবং BC –এর উপর E যেকোনো বিন্দু। AE পরিধিকে D বিন্দুতে ছেদ করে।
    প্রামান্য বিষয়ঃ ∠ACD = ∠AEC
    অঙ্কনঃ C, D যুক্ত করা হল।
    প্রমাণঃ ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের
    ∴ বহিঃস্থ ∠CDE = অন্তস্থ ∠ABC
    আবার, ABC ত্রিভুজের,
    AB = AC
    ∴ ∠ABC = ∠ACB
    ∴ ∠CDE = ∠ACB
    △DCE -এর,
    বহিঃস্থ কোণ ∠BCD = ∠CDE + ∠CED
    বা, ∠ACB + ∠ACD = ∠CDE + ∠AEC
    বা, ∠CDE + ∠ACD = ∠CDE + ∠AEC
    ∴ ∠ACD = ∠AEC (প্রমাণিত)

    জ্যামিতিক পদ্ধতিতে 4 ও 8 এর মধ্যসমানুপাতী নির্ণয় CLICK HERE

    9. ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। DE জ্যা ∠BDC-এর বহির্দ্বিখন্ডক। প্রমাণ করি যে, AE (বা বর্ধিত AE) ∠BAC-এর বহির্দ্বিখন্ডক।

    Solution: B C D A F G E

    প্রদত্তঃ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ ABCD এর ∠BDC এর বহির্দ্বিখন্ডক DE জ্যা।
    প্রামান্য বিষয়ঃ AE , ∠BAC এর বহির্দ্বিখন্ডক।
    অঙ্কনঃ CD কে G পর্যন্ত এবং BA কে F পর্যন্ত বর্ধিত করা হল।
    প্রমাণঃ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বহিঃস্থ কোন বিপরীত অন্তঃস্থ কোনের সমান হয়।
    ∴ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ AEDB থেকে পাই,
    ∠EAF = ∠BDE
    ∵ ED, ∠BDC এর বহির্দ্বিখন্ডক।
    ∴ ∠BDE = ∠EDG
    ∴ ∠EAF = ∠EDG – – – (i)
    অনুরুপে, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ ACDE থেকে পাই,
    ∠EDG = ∠EAC – – – (ii)
    (i) ও (ii) নং থেকে পাই,
    ∠EAG = ∠EAC
    ∴  EA, ∠BAC এর বহির্দ্বিখন্ডক (প্রমাণিত)

    বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Cyclic Quadrilateral) Theorems related to Cyclic Quadrilateral Koshe Dekhi 10

    দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে এখানে ক্লিক করো।

    10. ABC ত্রিভুজের AC ও AB বাহুর উপর BE ও CF যথাক্রমে লম্ব। প্রমাণ করি যে, B, C, E, F বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ। এর থেকে প্রমাণ করি যে, △AEF ও △ABC এর দুটি করে কোণ সমান।

    Solution: A B C E F

    প্রদত্তঃ △ABC এর AC এবং AB বাহুর ওপর যথাক্রমে BE ও CF লম্ব ।
    প্রামান্য বিষয়ঃ B,C,E,F বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ।
    অঙ্কনঃ E, F যোগ করা হল ।
    প্রমাণঃ ∵ BE ⊥ AC
    ∴∠BEC = 1 সমকোণ এবং
    ∵ CF ⊥ AB
    ∴ ∠CFB = 1 সমকোণ
    ∴∠BEC = ∠CFB = 1 সমকোন
    ∴ একই রেখাংশ BC এর ওপর অবস্থিত দুটি কোন ∠BEC ও ∠CFB অর্ধবৃত্তস্থ কোন।
    ∴ B,C,E,F বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ (প্রমানিত)
    বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বহিঃস্থ কোণ বিপরীত অন্তঃস্থ কোণের সমান হয়।
    ∴ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ BCEF এর,
    বহিঃস্থ কোন ∠AEF = বিপরীত অন্তঃস্থ কোন ∠FBC
    বা, ∠AEF =  ∠ABC এবং
    বহিঃস্থ কোন ∠AFE = বিপরীত অন্তঃস্থ কোন ∠ECB
    বা, ∠AFE= ∠ACB
    △AEF এবং △ABC এর,
    ∠AEF =  ∠ABC এবং
    ∠AFE= ∠ACB
    ∴△AEF ও △ABC এর দুটি করে কোন সমান (প্রমাণিত)

    11. ABCD একটি সামান্তরিক। A ও B বিন্দুগামী একটি বৃত্ত AD ও BC-কে যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, E, F, C, D বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ।

    Solution: A B F E D C

    প্রদত্তঃ ABCD সামান্তরিকের A ও B বিন্দুগামী বৃত্ত AD ও BC বৃত্তকে যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করেছে।
    প্রামান্য বিষয়ঃ E, F, C, D সমবৃত্তস্থ।
    অঙ্কনঃ E, F যুক্ত করা হল।
    প্রমাণঃ ABFE বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের,
    ∠BAE + ∠BFE = 180° – – – (i)
    আবার ABCD সামান্তরিকের,
    ∠BAD + ∠ADC = 180°∴ ∠BAE + ∠EDC = 180° – – – (ii) [সামান্তরিকের সন্নিহিত কোনদ্বয়ের সমষ্টি 180°]
    (i) ও (ii) থেকে পাই, 
    ∠BAE + ∠BFE = ∠BAE + ∠EDC
    বা, ∠BFE = ∠EDC
    বা, 180° – ∠EFC = ∠EDC
    ⇒ ∠EFC + ∠EDC = 180
    EFCD চতুর্ভুজের,
    ∠EFC + ∠CDE = 180°
    ∴ EFCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
    ∴ E, F, C, D বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ। (প্রমাণিত)

    12. ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। AB ও DC বাহুদ্বয়কে বর্ধিত করলে P বিন্দুতে এবং AD ও BC বাহুদ্বয়কে বর্ধিত করলে R বিন্দুতে মিলিত হয়। △BCP এবং △CDR-এর পরিবৃত্তদ্বয় T বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, P, T, R সমরেখ।

    12.Solution: A B C D P R T

    প্রদত্তঃ ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ, যার বর্ধিত AB এবং DC পরস্পরকে P বিন্দুতে এবং বর্ধিত AD ও BC পরস্পর R বিন্দুতে মিলিত হয়েছে । △BCP এবং △CDR এর পরিবৃত্তদ্বয় T বিন্দুতে ছেদ করে।
    প্রামান্য বিষয়ঃ P, T, R সমরেখ ।
    অঙ্কনঃ P, T; R T এবং C, T যুক্ত করা হল ।
    প্রমাণঃ BCTP বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের,
    ∠CTP + ∠CBP = 180°
    বা, ∠CTP = 180° – ∠CBP
    বা, ∠CTP = ∠ABC
    ∠CDA = 180° – ∠CDR
    বা, ∠CDA = ∠CTR
    ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের,
    ∠ABC + ∠CDA = 180°
    বা, ∠CTP + ∠CTR = 180°
    ∠CTP এবং ∠CTR এর CT সাধারন বাহু এবং কোন দুটির সমষ্টি 180°,
    ∴ P, T, R সমরেখ। (প্রমাণিত)

    বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Cyclic Quadrilateral) Theorems related to Cyclic Quadrilateral Koshe Dekhi 10

    13. ABC ত্রিভুজের লম্ববিন্দু O; প্রমাণ করি যে O বিন্দুটি পাদত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্র।

    Solution: A B C D E F O

    প্রদত্তঃ △ABC এর শীর্ষবিন্দু তিনটি থেকে বিপরীত বাহুগুলির ওপর অঙ্কিত লম্ব তিনটি যথাক্রমে AD, BE এবং CF, O বিন্দুতে ছেদ করেছে ।
    প্রামান্য বিষয়ঃ O বিন্দুটি পাদত্রিভুজ △DEF এর অন্তঃকেন্দ্ৰ ৷
    অঙ্কনঃ D, E; E, F এবং F, D যুক্ত করা হল ।
    প্রমাণঃ O, △ABC এর লম্ববিন্দু ।
    সুক্ষকোনী ত্রিভুজের শীর্ষ থেকে বিপরীত বাহুর ওপর অঙ্কিত লম্ব তার পাদত্রিভুজের কোনকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
    ∴ AD রেখা, ∠FDE কে, BE রেখা ∠DEF কে এবং CF রেখা ∠DFD কে সমদ্বিখন্ডিত করে ।
    ⇒ △DEF এর অন্তর্দ্বিখন্ডকত্রয় O বিন্দুতে মিলিত হয়েছে।
    ∴ O △DEF এর অন্তঃকেন্দ্ৰ (প্রমাণিত)

    14. ABCD এমন একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ এঁকেছি যে AC, ∠BAD-কে সমদ্বিখন্ডিত করেছে। এবার AD-কে E বিন্দু পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করলাম যেন DE = AB হয়। প্রমাণ করি যে, CE =  CA

    Solution: A B C D E

    প্রদত্তঃ ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের AC, ∠BAD-কে সমদ্বিখন্ডিত করেছে এবং DE = AB ;
    প্রামান্য বিষয়ঃ CE =  CA
    অঙ্কনঃ B,D যুক্ত করা হল ।
    প্রমাণঃ ∠BAC = ∠BDC – – – [একই বৃত্তাংশস্থ কোন]
    এবং ∠CAD = ∠CBD – – – [ একই বৃত্তাংশস্থ কোন]
    আবার, ∠BAC = ∠CAD – – – [ ∵ AC, ∠BAD এর সমদ্বিখণ্ডক]
    ∴ ∠BDC = ∠DBC
    ∴ △BCD থেকে পাই, CD =BC
    AE সরলরেখার ওপর D বিন্দুতে DE দণ্ডায়মান
    ∴ ∠EDC + ∠CDA = 180°
    ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের,
    ∠ADC + ∠ABC = 180°
    ∴ ∠EDC + ∠CDA = ∠ADC + ∠ABC
    বা, ∠EDC = ∠ABC
    এখন △DEC ও △ABC এর মধ্যে
    DE = AB – – – ( প্রদত্ত )
    ∠EDC = ∠ABC – – – ( পূর্বে প্রমানিত )
    CD = BC – – – ( পূর্বে প্রমানিত )
    ∴ △DCE ≅ △ABC – – – [ S-S-S শর্তানুসারে ]
    ∴ CE = CA – – – (অনুরূপ বাহু )[প্রমাণিত ]

    15. দুটি বৃত্তের একটি অপরটির কেন্দ্র O বিন্দুগামী এবং বৃত্ত দুটি পরস্পরকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে। A বিন্দুগামী একটি সরলরেখা O বিন্দুগামী বৃত্তকে P বিন্দুতে এবং O কেন্দ্রীয় বৃত্তকে R বিন্দুতে ছেদ করেছে। P, B ও R, B যুক্ত করে, প্রমাণ করি যে PR = PB

    Solution: O A B P R

    প্রদত্তঃ দুটি বৃত্তের একটি অপরটির কেন্দ্র O বিন্দুগামী। RAP সরলরেখা O কেন্দ্রীয় বৃত্তকে R বিন্দুতে এবং অপর বৃত্তকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে। P,B ও R,B যুক্ত করা হল ।
    প্রামান্য বিষয়ঃ PR = PB
    অঙ্কনঃ O, A; O, B এবং O, R যুক্ত করা হল ।
    প্রমাণঃ △ROB এর OR = OB – – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
    ∴ ∠ORB = ∠OBR
    △ROA এর OA = OR – -M – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
    ∴ ∠OAR = ∠ARO
    আবার চতুর্ভুজ AOBP সমবৃত্তস্থ ।
    ∴ ∠OBP+ ∠OAP = 180° – – – (i)
    PR বাহুর ওপর A বিন্দুতে AO দন্ডায়মান ৷
    ∴ ∠OAP + ∠OAR = 180° – – – (ii)
    (i) ও (ii) থেকে পাই,
    ∠OBP+ ∠OAP = ∠OAP + ∠OAR
    বা, ∠OBP = ∠OAR
    বা, ∠OBP = ∠ARO
    ∠PRB = ∠ARO + ∠ORB
    = ∠OBP + ∠OBR
    = ∠PBR
    △PBR এর ∠PRB = ∠PBR
    ∴ PR = PB (প্রমাণিত)

    16. প্রমাণ করি যে একটি সুষম পঞ্চভুজের যে-কোনো চারটি শীর্ষবিন্দু সমবৃত্তস্থ।

    Solution: A B C D E

    প্রদত্তঃ ধরি, ABCDE একটি সুষম পঞ্চভুজ।
    প্রামান্য বিষয়ঃ ABCDE এর যেকোনো চারটি শীর্ষবিন্দু সমবৃত্তস্থ।
    অঙ্কনঃ  A, D যুক্ত করা হল ।
    প্রমাণঃ সুষম পঞ্চভুজের প্রতিটি কোনের মান
    = {(5 – 2) × 180°}/5
    = 540°/5 = 108°
    এখন, △ADE এর AE = DE
    ∴ ∠DAE = ∠EDA
    = (180°-108°)/2
    = 36°
    ∴ ∠BAD = 108° – 36° = 72°
    ∴ ∠BAD + BCD = 108° + 72°
    = 180°
    অতএব ABCD চতুর্ভুজের বিপরীত কোনগুলির সমষ্টি 180°
    ∴ ABCD চতুর্ভুজটি সমবৃত্তস্থ ।
    সুষম পঞ্চভুজের যে-কোনো চারটি শীর্ষবিন্দু সমবৃত্তস্থ। (প্রমাণিত)

    বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Cyclic Quadrilateral) Theorems related to Cyclic Quadrilateral Koshe Dekhi 10

    17. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
    (A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)

    (i) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB ব্যাস। ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। ∠ADC = 120° হলে, ∠BAC-এর মান(a) 50° (b) 60° (c) 30° (d) 40°

    A B C D O 120°

    Ans: (c) 30°
    Solution:
    ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের,
    ∠ADC + ∠ABC = 180°
    ∴ ∠ABC = 180° – 120° = 60°
    আবার, ∠ACB অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
    ∴ ∠ACB = 90°
    ∴ ∠BAC = 180° – (90° + 60°)
    = 180° – 150° = 30°

    (ii) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB ব্যাস। ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। ∠ABC = 65°, ∠DAC = 40° হলে, ∠BCD-এর মান – (a) 75°  (b) 105° (c) 115° (d) 80°

    A B C D O 40° 65°

    Ans: (c) 115°
    Solution:
    ∠ACB অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
    ∴ ∠ACB = 90°
    ∴ ∠BAC = 180° – (90° + 65°)
    = 180° – 155° = 25°
    ∴ ∠BAD = 25° + 40° = 65°
    ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের,
    ∴ ∠BAD + ∠BCD = 180°
    ∴ ∠BCD = 180° – 65°
    = 115°

    (iii) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB বৃত্তের ব্যাস। ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ যার AB ∥ DC এবং ∠BAC = 25° হলে ∠DAC-এর মান(a) 50° (b) 60° (c) 30° (d) 40°

    > > A B C D O 25°

    Ans: (d) 40°
    Solution:
    ∵ AB ∥ CD
    ∴ ∠ACD = ∠BAC = 25°
    ∠ACB অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
    ∴ ∠ACB = 90°
    ∴ ∠ABC = 180° – 90° – 25°
    = 180° – 115° = 65°
    ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের,
    ∴ ∠ABC + ∠CDA = 180°
    ∴ ∠ADC = 180° – 65°
    = 115°
    ∴ ∠DAC = 180° – (115° + 25°)
    = 180° – 140° = 40°

    (iv) পাশের চিত্রে ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। BA-কে F বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো। AE ∥ CD, ∠ABC = 92° এবং ∠FAE = 20° হলে, ∠BCD-এর মান – (a) 20° (b) 88° (c) 108° (d) 72°

    > >A B C D E F 92° 20°

    Ans: b) 88°
    Solution:
    ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ
    ∠ABC + ∠CDA = 180°
    ∴ ∠CDA = 180° – 92° = 88°
    ∵ AE ∥ CD
    ∴ ∠CDA = একান্তর ∠DAE
    = 88°
    ∴ ∠DAF = ∠DAE + ∠EAF
    = 88° + 20° = 108°
    ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের,
    অন্তস্থ ∠BCD = বহিঃস্থ ∠DAF
    = 108°

    (v) পাশের চিত্রে দুটি বৃত্ত পরস্পরকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করে। D ও C বিন্দুগামী দুটি সরলরেখা একটি বৃত্তকে যথাক্রমে A ও B বিন্দুতে এবং অপর বৃত্তকে E ও F বিন্দুতে ছেদ করে। ∠DAB = 75° হলে, ∠DEF-এর মান – (a) 75° (b) 70° (c) 60° (d) 105°

    A B C D E F 75°

    Ans: (d) 105°
    Solution:
    C, D যুক্ত করা হল।
    ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের,
    বহিঃস্থ ∠DCF = অন্তস্থ ∠DAB = 75°
    আবার, DCFE বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের,
    ∠DEF + ∠DCF = 180° – 75°
    বা, ∠DEF = 180° – 75° = 105°

    বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Cyclic Quadrilateral) Theorems related to Cyclic Quadrilateral Koshe Dekhi 10

    (B) সত্য / মিথ্যা লিখিঃ

    (i) একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণ পরস্পর পূরক।
    Ans:      মিথ্যা।

    (ii) একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ বিপরীত অন্তঃস্থ কোণের সমান হয়।
    Ans:      সত্য।

    (C) শূন্যস্থান পূরণ করিঃ

    (i) একটি চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সম্পুরক হলে চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি ________।
    Ans:     সমবৃত্তস্থ।

    (ii) একটি বৃত্তস্থ সামান্তরিক একটি __________ চিত্র।
    Ans:     আয়তাকার।

    (iii) একটি বর্গাকার চিত্রের শীর্ষবিন্দুগুলি ________।
    Ans:     সমবৃত্তস্থ।

    বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য

    18. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.):

    (i) পাশের চিত্রে P ও Q কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তদুটি B ও C বিন্দুতে ছেদ করেছে। ACD একটি সরলরেখাংশ। ∠ARB = 150°, ∠BQD = x° হলে, x-এর মান নির্ণয় করি।

    ARBC বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের,
    ∠ARB + ∠ACB = 180°
    ∴ ∠ACB = 180° – 150° = 30°
    ∴ ∠BCD = 180° – 30° = 150°
    BD বৃত্তচাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ প্রবৃদ্ধ ∠BQD ও বৃত্তস্থ কোণ ∠BCD
    ∴ প্রবৃদ্ধ ∠BQD = 2∠BCD
    = 2 × 150° = 300°
    ∴ ∠BQD = 360° – প্রবৃদ্ধ ∠BQD
    = 360° – 300° = 60°
    Ans: x –এর মান 60°।

    Solution: Q C P B 80° x° A D R

    (ii) পাশের চিত্রে দুটি বৃত্ত পরস্পর P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে। ∠QAD = 80° এবং ∠PDA = 84° হলে, ∠QBC ও ∠BCP-এর মান নির্ণয় করি।

    Solution: P Q C O O 80° 84° A D B

    AQPD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের,
    ∠ADP + ∠AQP = 180°
    ∴ ∠AQP = 180° – 84° = 96°
    ∴ ∠BQP = 180° – 96° = 84°
    এবং ∠DAQ + ∠DPQ = 180°
    বা, ∠DPQ = 180° – 80° = 100°
    ∴ ∠QPC = 180° – 100° = 80°
    BCPQ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের,
    ∠BCP + ∠BQP = 180°
    ∴ ∠BCP = 180° – 84° = 96°
    ∠QBC + ∠QPC = 180°
    ∴ ∠QBC = 180° – 80° = 100°
    Ans: ∠QBC = 100°, ∠BCP = 96°

    (iii) পাশের চিত্রে ∠BAD = 60°, ∠ABC = 80° হলে, ∠DPC এবং ∠BQC-এর মান নির্ণয় করি।

    Solution: Q PC O 80° 60° A D B

    ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের.
    ∠DAB + ∠DCB = 180°
    ∴ ∠DCB = 180° – 60°
    = 120° এবং
    ∠ABC + ∠ADC = 180°
    ∴ ∠ADC = 180° – 80°
    = 100°
    △APD এর ক্ষেত্রে,
    ∠APB = 180° – ∠BAD – ∠ABC
    = 180° – 60° – 80°
    = 40°
    ∴ ∠DPC = 40°
    △AQD এর ক্ষেত্রে,
    ∠AQD = 180° – ∠BAD – ∠ADC
    = 180° – 60° – 100°
    = 20°
    ∴ ∠BQC = 20°
    Ans: ∠DPC = 40° এবং ∠BQC = 20°

    বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Cyclic Quadrilateral) Theorems related to Cyclic Quadrilateral Koshe Dekhi 10

    (iv) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AC ব্যাস। ∠AOB = 80° এবং ∠ACE = 10° হলে, ∠BED-এর মান নির্ণয় করি।

    Solution: > > C D O 80° 10° A E B

    যেহেতু ∠AOB = 80°
    ∴ ∠BOC = 180° – 80° = 100°
    ∴ ∠OCB + ∠OBC = 180° – 100°
    বা, 2∠OCB = 80° – – [OC = OB, একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
    বা, ∠OCB = 80°/2
    ⇒ ∠OCB = 40°
    ∠BCE = ∠OCB + ∠ACE
    = 40° + 10° = 50°
    O কেন্দ্রীয় বৃত্তের BC বৃত্তচাপের কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOC ও বৃত্তস্থ কোণ ∠BEC
    ∴ ∠BOC = 2∠BEC
    ∴ 2∠BEC = 100°
    ⇒ ∠BEC = 100°/2​ = 50°
    ∵ CD ∥ BE
    ∴ ∠BEC = ∠DCE = 50°
    ∴ ∠BCD = ∠DCE + ∠BCE
    = 50° + 50°
    = 100°
    ∴ EBCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের
    ∠BED + ∠BCD = 180°
    ∴ ∠BED = 180° – 100°
    = 80°
    Ans: ∠BED-এর মান = 50°

    (v) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB বৃত্তের ব্যাস। ∠AOD = 140° এবং ∠CAB = 50° হলে, ∠BED-এর মান নির্ণয় করি।

    Solution: CSolution: D O 50° 140°A E B

    ABDC বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের
    ∠CAB + ∠CDB = 180°
    বা, 50° + ∠CDB = 180°
    বা, ∠CDB = 180° – 50° = 130°
    ∴ ∠BDE = 180° – ∠CDB
    = 180° – 130° = 50°
    আবার, ∠AOD = 140°
    ∴ ∠BOD = 180° – ∠AOD
    = 180° – 140° = 40°
    ∴ ∠OBD + ∠ODB = 180° – 40°
    বা, 2∠OBD = 140° – – [OB = OD, একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
    বা, ∠OBD = 140°/2
    ⇒ ∠OBD = 70°
    ∴ ∠DBE = 180° – ∠OBD
    = 180° – 70°
    = 110°
    ∴ ∠BED = 180° – (110° + 50°)
    = 180° – 160°
    = 20°
    Ans: ∠BED-এর মান = 20°

    Madhyamik Question

    MP-2024

    ▶️ ‘O’ কেন্দ্রীয় বৃত্তে BOC ব্যাস, ABCD বৃত্তস্থ চর্তুভুজ, ∠ADC = 110o হলে ∠ACB এর মান নির্ণয় করো।

    VIEW ANSER

    MP-2023

    ▶️ প্রমাণ করো যে, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক।

    VIEW ANSER

    ▶️ ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। ∠DAB এবং BCD এর সমদ্বিখন্ডকদ্বয় বৃত্তকে যথাক্রমে X ও Y বিন্দুতে ছেদ করেছে। 0 বৃত্তটির কেন্দ্র হলে ∠XOY এর মান নির্ণয় করো।

    VIEW ANSER

    ▶️ প্রমাণ করো – বৃত্তস্থ ট্রাপিজিয়াম একটি সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম।

    VIEW ANSER

    MP-2022

    ▶️ একটি চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সম্পূরক হলে, চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি __________। (শূন্যস্থান পূরণ)
    Ans:     সমবৃত্তস্থ

    ▶️ প্রমাণ করো যে, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক।

    VIEW ANSER

    ▶️ ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। DE জ্যা ∠BDC -এর বহিদ্বিখণ্ডক। প্রমাণ করো যে AE (বা বর্ধিত AE) ∠BAC-এর বহির্দ্বিখণ্ডক।

    VIEW ANSER

    MP-2020

    ▶️ দুটি কোণের সমষ্টি ________  হলে তাদেরকে পরস্পরের সম্পূরক বলা হয়।
    Ans:    . 180o

    MP-2019

    ▶️ ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের ∠A = 100o হলে ∠C-এর মান:
    (a) 50o (b)20o (c) 80o (d) 180o

    VIEW ANSER

    MP-2018

    ▶️ কোনো বৃত্তের কেন্দ্র O এবং ব্যাস AB; ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। ∠ABC = 65o,  ∠DAC = 40o হলে ∠BCD এর মান-
    (a) 75o (b) 105o (c) 115o (d) 80o

    VIEW ANSER

    ▶️ ABCD একটি বৃত্তস্থ সামান্তরিক হলে ∠A -এর মান হবে __________ । (শূন্যস্থান পূরণ)
    Ans:     90o
    [বৃত্তস্থ সামান্তরিক একটি আয়তক্ষেত্র হয়]

    MP-2017

    ▶️ প্রমাণ কর যে, কোনো চতুর্ভুজের কোণ চারটির সমদ্বিখণ্ডকগুলি পরস্পর মিলিত হয়ে যে চতুর্ভুজ গঠন করে, সেটি বৃত্তঃস্থ চতুর্ভুজ।

    VIEW ANSER
    KOSHE DEKHI 9.3
    KOSHE DEKHI 11.1
  • Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

    Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

    Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

    Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

    Vector Algebra Class XII ভেক্টর বীজগণিত Part 1 CLICK

    বহু বিকল্পধর্মীঃ (প্রতিটি প্রশ্নের মান 1)

    সঠিক উত্তরটি নির্বাচন করোঃ প্রতিটি প্রশ্নের মান

    1 1. x বিন্দুতে x -এর সাপেক্ষ y = f(x) অপেক্ষকের পরিবর্তনের হার –
    (a) ½f'(x) (b) 2f'(x) (c) f'(x)/f(x) (d) এদের কোনোটিই নয়।

    Ans: (d) এদের কোনোটিই নয়।
    [x বিন্দুতে x -এর সাপেক্ষ y = f(x) অপেক্ষকের পরিবর্তনের হার
    = lim△x→0 Δy/Δx
    = dy/dx = f'(x)]

    2. y = f(x) যদি x -এর একটি অন্তরকলণযোগ্য অপেক্ষক হয়, তবে-
    (a) f(x+Δx) = f'(x)Δx
    (b) f(x+Δx) = f(x) + f'(x)Δx
    (c) f(x+Δx) = f(x) + Δx
    (d) এদের কোনোটিই নয়।

    Ans: (b) f(x+Δx) = f(x) + f'(x)Δx

    3. y = 1/√x+1 হলে নীচের কোন মানটি x = 3 তে x -এর সাপেক্ষে y -এর পরিবর্তন হার? (a) –1/8 (b) 1/16 (c) –1/16 (d) –1/8

    Ans: (c) –1/16
    [y = 1/√x+1
    = (x + 1)–1/2
    dy/dx = –1/2(x + 1)–1/2-1
    = –1/2(x + 1)–3/2
    [dy/dx]x=3 = –1/2(3 + 1)–3/2
    = –1/2(22)–3/2
    = –1/2 x 1/23
    = –1/2 x 1/8
    = –1/16]

    4. y = 2x – x2 অপেক্ষকের x = 4 এ পরিবর্তন হার নীচের কোন মানটি? (a) -6 (b) -8 (c) 6 (d) 8

    Ans: (a) -6
    [y = 2x – x2
    dy/dx = 2 – 2x
    [dy/dx]x=4 = 2 – 2×4
    = 2 – 8 = -6]

    5. Log sinx -এর অবকল হয়- (a) cotx (b) -tanxdx (c) cotx (d) tanxdx

    Ans: (c) cotx
    [ধরি, y = f(x) = Log sinx
    f'(x) = 1/sinx x cosx
    = cotx]

    6. 10 সেমি বাহুবিশিষ্ট কোনো একটি বর্গক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য পরিমাপে ত্রুটির পরিমান 0.05 সেমি হলে, তার ক্ষেত্রফল পরিমাপে আসন্ন ত্রুটির পরিমাপ হবে-
    (a) 0.5 বর্গসেমি (b) 0.1 বর্গসেমি
    (c) 0.2 বর্গসেমি (d) 1 বর্গসেমি

    Ans: (d) 1 বর্গসেমি
    [ধরি, বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য a একক এবং ক্ষেত্রফল A বৰ্গএকক।
    ∴ A = a2
    dA/da = 2a
    এখানে △a = 0.05
    △A = dA/da x △a
    = 2a x △a
    = 2 x 10 x 0.05
    = 1 বর্গসেমি]

    অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মীঃ (প্রতিটি প্রশ্নের মান 2)

    1. নীচের প্রত্যেকটি অপেক্ষকের অবকল (differential) নির্ণয় করো:
    (i) y = x3 – 3x2 + 2x
    (ii)y = ex2 + a2
    (iii) y = sin√x
    (iv) y = ex(sinx + cosx)

    (i)
    Solution:
    y = x3 – 3x2 + 2x
    dy/dx = 3x2 – 3 × 2x + 2
    = 3x2 – 6x + 2
    ∴ dy = (3x2 – 6x + 2) dx (Ans)

    (ii)
    Solution:
    y = ex2 + a2
    dy/dx = ex2 × 2x
    = 2xex2
    ∴ dy = 2xex2 dx (Ans)

    (iii)
    Solution:
    y = sin√x
    dy/dx = cos√x × 1/2√x
    = cos√x/2√x
    ∴ dy = cos√x/2√x dx (Ans)


    (iv)
    Solution:
    y = ex(sinx + cosx)
    dy/dx = ex(sinx + cosx) + ex(cosx – sinx)
    = exsinx + excosx + excosx – exsinx
    = 2excosx
    ∴ dy = 2excosx dx (Ans)

    UNIT – 3
    কলনবিদ্যা
    CALCULUS

    অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Significance of Derivative প্রশ্নমালা 13 (Part-II)▶️ CLICK HERE
    অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Significance of Derivative প্রশ্নমালা 13 (Part-I)▶️ CLICK HERE

    দ্বাদশ শ্রেণীর S N Dey বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নীচের BUTTON-এ ক্লিক করো।

    CLICK

    Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

    2. নিম্নলিখিত অন্তরকলসমূহ (differentials) নির্ণয় করো:
    (i) d(x2 – y2)
    (ii) d(xy2)
    (iii) d(x2/y)
    (iv) d(x2siny)

    (i)
    Solution:
    d(x2 – y2)
    = 2x dx – 2y dy (Ans)

    (ii)
    Solution:
    d(xy2)
    = x.2ydy + y2.dx
    = 2xydy + y2dx (Ans)

    (iii)
    Solution:
    d(x2/y)
    = y.2xdx – x2.dy/(y)2
    = y.2xdx – x2.dy/(y)2
    = 2xydx – x2.dy/y2


    (iv)
    Solution:
    d(x2siny)
    = x2.cosydy + siny.2xdx
    = x2cosydy + 2xsinydx (Ans)

    3. y = x2 – 2x + 3 অপেক্ষকের বৃদ্ধি (Increment) ও অবকল (differential) নির্ণয় করে, যখন
    (i) x -এর মান 2 থেকে 2.02-এ পরিবর্তিত হয়
    (ii) x -এর মান 3 থেকে 2.97-এ পরিবর্তিত হয়।

    (i)
    Solution:
    y = f(x) = x2 – 2x + 3
    f'(x) = 2x – 2
    △x = 2.02 – 2 = 0.02
    অপেক্ষকের বৃদ্ধি
    △y = f(x+Δx) – f(x)
    = f(2.02) – f(2)
    = (2.02)2 – 2×2.02 + 3 – (22 – 2×2 + 3)
    = 4.0804 – 4.04 + 3 – 4 + 4 – 3
    = 0.0404 (Ans)
    অবকল
    ∴ dy = dy/dx × △x
    = (2x – 2)△x
    = (2×2 – 2)×0.02
    = 2×0.02 = 0.04 (Ans)

    (i)
    Solution:
    y = f(x) = x2 – 2x + 3
    f'(x) = 2x – 2
    △x = 2.97 – 3 = -0.03
    অপেক্ষকের বৃদ্ধি
    △y = f(x+Δx) – f(x)
    = f(2.97) – f(3)
    = (2.97)2 – 2×2.97 + 3 – (32 – 2×3 + 3)
    = 8.8209 – 5.94 + 3 – 9 + 6 – 3
    = 2.8809 – 3
    = -0.1191 (Ans)
    অবকল
    ∴ dy = dy/dx × △x
    = (2x – 2)△x
    = (2×3 – 2)×(-0.03)
    = -4×0.03 = -0.12 (Ans)

    4. x = 2 এবং x = 5 -এর মধ্যে y = x2 অপেক্ষকের গড় পরিবর্তন হার এবং x = 2-এ তার পরিবর্তন হার নির্ণয় করো।

    Solution:
    y = x2
    ⇒ dy/dx = 2x
    x = 2 হলে y = (2)2 = 4
    x = 5 হলে y = (5)2 = 25
    ∴ Δx = 5 – 2 = 3
    Δy = 25 – 4 = 21
    y = 25 যখন, x=5 .. Ax=5-2=3, Ay=25-4=21
    ∴ গড় পরিবর্তন = Δy/Δx
    = 21/3 = 7 (Ans)
    [dy/dx]x=2 = 2.2 = 4
    x=2-তে পরিবর্তনের হার = 4 (Ans)

    Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

    5. গোলকাকৃতি খেলনা বেলুনকে যখন ফোলানো হয়, তখন তার আয়তন V (ঘনইঞ্চিতে) এবং বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল S (বর্গইঞ্চিতে) সময় t -এর অপেক্ষক হয়, যেখানে, V = π/6t3 এবং S = πt2 । t = 4 -এ আয়তন এবং ক্ষেত্রফলের পরিবর্তন হার নির্ণয় করো।

    Solution:
    V = π/6t3
    ⇒ dV/dt = π/6 × 3t2
    = π/2t2
    [dV/dt]t=4 = π/2 × (4)2
    = π/2 × 16
    = 8π
    Ans: t = 4 -এ আয়তন পরিবর্তনের হার 8π ঘনইঞ্চি/সেকেন্ড ।
    আবার
    S = πt2
    ⇒ dS/dt = π × 2t
    = 2πt
    [dS/dt]t=4 = 2π × 4
    = 8π
    Ans: t = 4 -এ ক্ষেত্রফলের পরিবর্তন হার 8π বর্গইঞ্চি/সেকেন্ড।

    6. (i) একটি বল t সেকেন্ড সময়ে s ফুট দুরত্ব অতিক্রম করে, যেখানে s = 8t – 10t2 ; t = 2 সেকেন্ড সময়ে বলটির বেগ নির্ণয় করো।
    (ii) t সেকেন্ড সময়ে কোনো কণার বেগ, প্রতি সেকেন্ড v ফুট হলে v= 6t2 – 2t3 হয়; t = 4 সেকেন্ড সময়ে কণার ত্বরণ নির্ণয় করো।

    (i)
    Solution:
    s = 8t – 10t2
    ⇒ ds/dt = 8 – 10 × 2t
    = 8 – 20t
    [ds/dt]t=2 = 8 – 20 × 2
    = 8 – 40
    = -32
    Ans: 2 সেকেন্ড সময়ে বলটির বেগ হবে -32 ফুট/সেকেন্ড ।
    (ii)
    Solution:
    v = 6t2 – 2t3
    ⇒ dv/dt = 6 × 2t – 2×3t2
    = 12t – 6t2
    [dv/dt]t=4 = 12 × 4 – 6(4)2
    = 48 – 96
    = -48
    Ans: 4 সেকেন্ড সময়ে কণাটির ত্বরণ হবে -48 ফুট/সেকেন্ড2 ।

    Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

    7.  s = t/√t+1 হলে t = 3-এ s -এর t -এর সাপেক্ষে পরিবর্তন হার নির্ণয় করো।Solution:

    $$\large{s=\frac{t}{\sqrt{t+1}}\\⇒\frac{ds}{dt}=\frac{1.\sqrt{t+1}-t.\frac{1}{2\sqrt{t+1}}}{(\sqrt{t+1})^2}\\⇒\frac{ds}{dt}=\frac{2.(t+1)-t}{2.(t+1)(t+1)^{\frac{1}{2}}}\\⇒\frac{ds}{dt}=\frac{t+2}{2.(t+1)^{\frac{3}{2}}}}$$ t = 3 -এ s -এর t -এর সাপেক্ষে s এর পরিবর্তনের হার$$\large{\left[\frac{ds}{dt}\right]_{t=3}=\frac{3+2}{2.(3+1)^{\frac{3}{2}}}\\\quad \quad= \frac{5}{2.(2^2)^{\frac{3}{2}}}=\frac{5}{16}\quad \mathbf{(Ans)}}$$

    8. তাপ প্রয়োগের ফলে একটি বৃত্তাকার ধাতব পাতের ব্যাসার্ধ প্রতি সেকেন্ডে 0.002 সেমি বৃদ্ধি পায়। যখন ব্যাসার্ধ 14 সেমি তখন পাতের ক্ষেত্রফল কী হারে বৃদ্ধি পায়?

    Solution:
    ধরি, বৃত্তাকার ধাতব পাতের ব্যাসার্ধ r সেমি এবং ক্ষেত্রফল A বর্গসেমি।
    ক্ষেত্রফল (A) = πr2
    এখানে dr/dt = 0.002
    A = πr2
    ⇒ dA/dt = 2πr × dr/dt
    [dA/dt]r=14 = 2 × 22/7 × 14 × 0.002
    = 2×22×2×0.002
    = 0.176
    Ans:পাতের ক্ষেত্রফল প্রতি সেকেন্ডে 0.176 বর্গসেমি বৃদ্ধি পায়।

    9. কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধের পরিবর্তনের হার 1/π ; যে সময়ে বৃত্তের ব্যাসার্ধ 2 একক, তখন (i) তার পরিধির দৈর্ঘ্যের (ii) তার ক্ষেত্রফলের পরিবর্তনের হার নির্ণয় করো।

    Solution:
    ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ r একক, ক্ষেত্রফল A বর্গএকক এবং পরিধি S একক।
    ক্ষেত্রফল (A) = πr2 বর্গএকক
    পরিধি (S) = 2πr একক
    এখানে dr/dt = 1/π
    (i)
    S = 2πr
    ⇒ dS/dt = 2π × dr/dt
    [dS/dt]r=2 = 2π × 1/π
    = 2
    Ans: বৃত্তের পরিধির পরিবর্তনের হার 2 একক।
    (ii)
    A = πr2
    ⇒ dA/dt = 2πr × dr/dt
    [dA/dt]r=2 = 2π× 2 × 1/π
    = 4
    Ans: বৃত্তের ক্ষেত্রফলের পরিবর্তনের হার 4 বর্গএকক।

    Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

    10. x -এর সাপেক্ষে y -এর পরিবর্তনের হার 4 এবং প্রতি সেকেন্ডে y -এর পরিবর্তন 12 একক হলে প্রতি সেকেন্ডে x -এর পরিবর্তন নির্ণয় করো।

    Solution:
    প্রদত্ত dy/dx = 4 এবং dy/dt = 12
    ∴ dx/dt = dx/dy × dy/dt
    =1/dy/dx × dy/dt
    = 1/4× 12 = 3
    Ans: প্রতি সেকেন্ডে x -এর পরিবর্তন 4 একক

    11. r ব্যাসার্ধবিশিষ্ট গোলকের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল ও আয়তন যথাক্রমে S এবং V হলে দেখাও যে, 2dV/dt = rdS/dt

    Solution:
    গোলকের ব্যাসার্ধ r একক, বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল A বর্গএকক এবং আয়তন V ঘনএকক হলে,
    S = 4πr2
    dS/dt = 4π×2r × dr/dt – – – (i)
    এবং
    V = 4/3 πr3
    dV/dt = 4/3 π×3r2 × dr/dt – – – (ii)
    (ii) কে (ii) দিয়ে ভাগ করে পাই,

    $$\large{\frac{\frac{dV}{dt}}{\frac{dS}{dt}}=\frac{\frac{4}{3}.π.3r^2\frac{dr}{dt}}{4π.2r.\frac{dr}{dt}}\\⇒\frac{\frac{dV}{dt}}{\frac{dS}{dt}}=\frac{r}{2}\\⇒2\frac{dV}{dt}=r\frac{dS}{dt}\quad\mathbf{(Proved)}}$$

    Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

    সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মীঃ প্রতিটি প্রশ্নের মান 4

    1. 4√627-এর আসন্ন তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত মান নির্ণয় করো।

    Solution:
    ধরি, f(x) = 4√x
    = x1/4
    ∴ f'(x) = 1/4 x-3/4
    ∵ f(x+ △x) = f(x) + f’ (x).△x
    ⇒ f(x+ △x) = x1/4 + 1/4 x-3/4 .△x
    x = 625 এবং △x = 2 বসিয়ে পাই,
    f(625 + 2) = (625)1/4 + 1/4 (625)-3/4 × 2
    ⇒ f(627) = (54)1/4 + 1/4 (54)-3/4 × 2
    = 5 + 1/4 × 1/125 × 2
    = 5 + 1/250
    = 5 + 0.004
    = 5.004

    Ans: 4√627-এর আসন্ন তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত মান 5.004

    2. sin62°-এর তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান নির্ণয় করো (দেওয়া আছে, 1° = 0.017)

    Solution:
    ধরি, f(x) = sinx
    ∴ f'(x) = cosx
    ∵ f(x+ △x) = f(x) + f’ (x).△x
    ⇒ f(x+ △x) = sinx + cosx .△x
    x = 60° এবং △x = 2° বসিয়ে পাই,
    f(60° + 2°) = sin60° + cos60° × 2°
    ⇒ f(62°) = √3/2 + 1/2 × 2× 0.017 – – – [1° = 0.017]
    = 0.866 + 0.017
    = 0.883
    Ans: sin62° -এর তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান 0.883

    3. loge10.01-এর মান নির্ণয় করো; দেওয়া আছে, loge10 = 2.303

    Solution:
    ধরি, f(x) = logex
    ∴ f'(x) = 1/x
    ∵ f(x+ △x) = f(x) + f’ (x).△x
    ⇒ f(x+ △x) = logex + 1/x .△x
    x = 10 এবং △x = 0.01 বসিয়ে পাই,
    f(10 + 0.01) = loge10 + 1/10 × (0.01)
    ⇒ f(10.01) = 2.303 + 0.001 – – – [loge10 = 2.303]
    = 2.304
    Ans: loge10.01 -এর মান 2.304

    Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

    4. tan44°-এর মান নির্ণয় করো, দেওয়া আছে, 1° = 0.017451

    Solution:
    ধরি, f(x) = tanx
    ∴ f'(x) = sec2x
    ∵ f(x+ △x) = f(x) + f’ (x).△x
    ⇒ f(x+ △x) = tanx + sec2x .△x
    x = 44° এবং △x = -1° বসিয়ে পাই,
    f(45° – 1°) = tan45° + sec245° × (-1°)
    ⇒ f(44°) = 1 + (√2)2 × (-0.017451) – – – [1° = 0.017451]
    = 1 – 2 × 0.017451
    = 1 – 0.034912
    = 1 – 0.0349
    = 0.9651
    Ans: tan44° -এর মান 0.9651

    5. অবকল পদ্ধতি প্রয়োগ করে নীচের প্রত্যেকটির আসন্ন মান নির্ণয় করো:
    (i)√26 (iii)√0.24
    (ii) √37 (iv) √0.48

    (i)
    Solution:
    ধরি, f(x) = √x
    ∴ f'(x) = 1/2√x
    ∵ f(x+ △x) = f(x) + f’ (x).△x
    ⇒ f(x+ △x) = √x + 1/2√x .△x
    x = 25 এবং △x = 1 বসিয়ে পাই,
    f(25 + 1) = √25 + 1/2√25 ×1
    ⇒ f(26) = 5 + 1/10
    = 5 + 0.1
    = 5.1
    Ans: √26 -এর আসন্ন মান 5.1

    (ii)
    Solution:
    ধরি, f(x) = √x
    ∴ f'(x) = 1/2√x
    ∵ f(x+ △x) = f(x) + f’ (x).△x
    ⇒ f(x+ △x) = √x + 1/2√x .△x
    x = 0.25 এবং △x = -0.01 বসিয়ে পাই,
    f(0.25 – 0.01) = √0.25 + 1/2√0.25 × (-0.01)
    ⇒ f(0.24) = 0.5 – 1/2×0.5× 0.01
    = 0.5 – 1/1× 0.01
    = 0.5 – 0.01
    = 0.49
    Ans: √0.48 -এর আসন্ন মান 0.49

    (iii)
    Solution:
    ধরি, f(x) = √x
    ∴ f'(x) = 1/2√x
    ∵ f(x+ △x) = f(x) + f’ (x).△x
    ⇒ f(x+ △x) = √x + 1/2√x .△x
    x = 36 এবং △x = 1 বসিয়ে পাই,
    f(36 + 1) = √36 + 1/2√36 ×1
    ⇒ f(37) = 6 + 1/12
    = 6 + 0.0833
    = 6.0833
    Ans: √37 -এর আসন্ন মান 6.0833

    (iv)
    Solution:
    ধরি, f(x) = √x
    ∴ f'(x) = 1/2√x
    ∵ f(x+ △x) = f(x) + f’ (x).△x
    ⇒ f(x+ △x) = √x + 1/2√x .△x
    x = 0.49 এবং △x = -0.01 বসিয়ে পাই,
    f(0.49 – 0.01) = √0.49 + 1/2√0.49 × (-0.01)
    ⇒ f(0.48) = 0.7 – 1/2×0.7× 0.01
    = 0.7 – 10/14× 0.01
    = 0.7 – 1/140
    = 0.7 – 0.0071
    = 0.6929
    Ans: √0.48 -এর আসন্ন মান 0.6929

    Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

    6. (i) f(x) = 3x2 + 15x + 5 হলে, f(3.02) -এর আসন্ন মান নির্ণয় করো। [NCERT, CBSE]
    (ii) যদি y = x4 – 12 হয়, এবং x-এর মান 2 থেকে পরিবর্তিত হয়ে 1.99 হয়, তবে y-এর আসন্ন পরিবর্তন কত? [CBSE ’02]

    (i)
    Solution:
    f(x) = 3x2 + 15x + 5
    f'(x) = 3.2x + 15
    = 6x + 15
    ∵ f(x+ △x) = f(x) + f’ (x).△x
    ⇒ f(x+ △x) = 3x2 + 15x + 5 + (6x + 15).△x
    x = 3 এবং △x = 0.02 বসিয়ে পাই,
    f(3 + 0.02) = 3(3)2 + 15.3 + 5 + (6.3 + 15)×0.02
    ⇒ f(3.02) = 27 + 45 + 5 + (18 + 15)×0.02
    = 77 + 33×0.02
    = 77 + 0.66
    = 77.66
    Ans: f(3.02) -এর আসন্ন মান 77.66

    (ii)
    Solution:
    y = x4 – 12
    ⇒ dy/dx = 4x3
    এখানে, △x = 1.99 – 2 = -0.01
    ∴ △y = dy/dx × △x
    = 4x3 × △x
    = 4(2)3 × -0.01
    = 32 × -0.01
    = -0.32
    Ans: y-এর আসন্ন পরিবর্তন -0.32

    7. একটি ঘনকের বাহুর পরিমাপে 5% ত্রুটি হলে তার আয়তনের পরিমাপে শতকরা ত্রুটির পরিমাণ নির্ণয় করো ।

    Solution:
    ধরি, ঘনকটির বাহুর দৈর্ঘ্য a সেমি এবং আয়তন V ঘনসেমি।
    ∴ V = a3
    ⇒ dV/da = 3a2
    এখানে, △a/a × 100 = 5
    বা, △a = 5a/100
    ∴ △V = dV/da × △a
    = 3a2 × 5a/100
    = 15a3/100
    আয়তনের পরিমাপে শতকরা ত্রুটি

    $$\large{=\frac{△V}{V}×100\\=\frac{\frac{15a^3}{100}}{a^3}×100\\= \frac{15a^3}{100a^3}×100\\=15}$$ ঘনকের আয়তনের পরিমাপে শতকরা ত্রুটি 15 Ans

    Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

    8. একটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর পরিমাপে ত্রুটির মান 0.01 সেমি অপেক্ষা কম। যদি ক্ষেত্রফলের পরিমাপে ত্রুটি 2 বর্গসেমি অপেক্ষা কম হতে হয়, তবে সর্বাধিক কত দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট বাহু নেওয়া সম্ভব?

    Solution:
    ধরি, বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য a একক এবং ক্ষেত্রফল A বৰ্গএকক।
    ∴ A = a2
    dA/da = 2a
    এখানে △a < 0.01
    △A = dA/da x △a
    = 2a x △a
    ∵ △a < 0.01
    ⇒ 2a x △a < 2a x 0.01
    ⇒ △A < 2a x 0.01
    ক্ষেত্রফলের পরিমাপে ত্রুটি 2 বর্গসেমি অপেক্ষা কম হতে হলে,
    2a x 0.01 ≤ 2 হবে
    ⇒ a x 0.01 ≤ 1
    ⇒ a x 1/100 ≤ 1
    ⇒ a ≤ 100
    সর্বাধিক 100 সেমি দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট বাহু নেওয়া সম্ভব। (Ans)

    9. অবকলনের পদ্ধতি প্রয়োগ করে:
    (i) 7 সেমি ও 7.02 সেমি ব্যাসার্ধবিশিষ্ট দুটি বৃত্তের ক্ষেত্রফলের এবং
    (ii) 4 সেমি ও 4.05 সেমি বাহুবিশিষ্ট দুটি ঘনকের আয়তনের পার্থক্যের আসন্ন মান নির্ণয় করো।

    (i)
    Solution:
    ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ r সেমি এবং ক্ষেত্রফল A বর্গসেমি।
    ∴ A = πr2
    ⇒ dA/dr = 2πr
    এখানে, r = 7
    r + △r = 7.02
    বা, △r = 7.02 – 7 = 0.02
    ∴ △A = dA/dr × △r
    = 2πr × △r
    = 2π × 7 × 0.02
    = 2 ×22/7 × 7 × 2/100
    = 0.88
    Ans: দুটি বৃত্তের ক্ষেত্রফলের পার্থক্যের আসন্ন মান 0.88 সেমি।

    (ii)
    Solution:
    ধরি, ঘনকটির বাহুর দৈর্ঘ্য a সেমি এবং আয়তন V ঘনসেমি।
    ∴ V = a3
    ⇒ dV/da = 3a2
    এখানে, a = 4
    a + △a = 4.05
    বা, △a = 4.05 – 4 = 0.05
    ∴ △V = dV/da × △a
    = 3a2 × △a
    = 3(4)2 × 0.05
    = 48 × 0.05
    = 2.4
    Ans: দুটি ঘনকের আয়তনের পার্থক্যের আসন্ন মান 2.4 সেমি।

    Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

    10. কোনো বৃত্তের ক্ষেত্রফল সময়ের সাপেক্ষে সমহারে পরিবর্তিত হলে, প্রমাণ করো যে, তার পরিসীমা পরিবর্তনের হার ব্যাসার্ধের সঙ্গে ব্যস্তভেদে থাকবে।

    Solution:
    ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ r একক, ক্ষেত্রফল A বর্গএকক এবং পরিসীমা S একক।
    ক্ষেত্রফল (A) = πr2 বর্গএকক
    পরিসীমা (S) = 2πr একক
    ∵ ক্ষেত্রফল সময়ের সাপেক্ষে সমহারে পরিবর্তিত হয়।
    ধরি, dA/dt = k (ধ্রুবক)
    ∵ A = πr2
    ⇒ dA/dt = 2πr dr/dt
    ⇒ k = 2πr dr/dt
    ⇒ dr/dt = k/2πr
    ⇒ dr/dt = k/S
    ⇒ dr/dt = k × 1/S – – – [S = 2πr]
    ⇒ dr/dt ∝ 1/S
    Ans: বৃত্তের পরিসীমা পরিবর্তনের হার ব্যাসার্ধের সঙ্গে ব্যস্তভেদে থাকবে।

    11. একটি কণা y2 = 8x অধিবৃত্ত বরাবর গতিশীল। অধিবৃত্তের উপরিস্থিত যে বিন্দুতে কণার ভুজ ও কোটির বৃদ্ধির হার সমান, সেই বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।

    Solution:
    ধরি, (h, k) বিন্দুতে ভুজ ও কোটির বৃদ্ধির হার সমান।
    ∴ dh/dt = dk/dt
    প্রদত্ত,y2 = 8x
    ∴ k2 = 8h – – – [(h, k) বিন্দু অধিবৃত্তের উপরিস্থিত]
    ⇒ 2k dk/dt = 8 dh/dt
    ⇒ 2k = 8 – – – [dk/dt = dh/dt]
    ⇒ k = 4
    ∴ 8h = (4)2
    বা, h = 2
    Ans: নির্ণেয় বিন্দুটি হল (2,4)

    12. একটি গোলাকৃতি বেলুনের মধ্যে প্রতি সেকেণ্ডে 25 ঘনসেমি হারে বায়ু পূর্ণ করা হয়। যখন তার ব্যাস 20 সেমি, তখন তার ব্যাসার্ধ কী হারে বৃদ্ধি পাবে?

    Solution:
    ধরি, গোলকাকৃতি বেলুনের ব্যাসার্ধ r সেমি এবং আয়তন V ঘনসেমি।
    এখানে, dV/dt = 25
    ∴ V = 4/3 πr3
    ⇒ dV/dt = 4/3 π×3r2 × dr/dt
    ⇒ 25 = 4πr2 × dr/dt
    r = 20/2 = 10 সেমি হলে,
    ⇒ 25 = 4π(10)2 × dr/dt
    ⇒ 25 = 400π × dr/dt
    ⇒ dr/dt = 25/400π
    ⇒ dr/dt = 1/16π
    Ans: প্রতি সেকেন্ডে ব্যাসার্ধ থেকে 1/16π বৃদ্ধি পাবে।

    Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

    13. বায়ুপূর্ণ একটি গোলকাকৃতি বেলুন থেকে বায়ু বার করে দিয়ে ব্যাসার্ধ প্রতি সেকেণ্ডে 1/8 সেমি হ্রাস পায়। যখন ব্যাসার্ধ 10 সেমি, তখন কী হারে বেলুন থেকে বায়ু বেরোবে?

    Solution:
    ধরি, গোলকাকৃতি বেলুনের ব্যাসার্ধ r সেমি এবং আয়তন V ঘনসেমি।
    এখানে, dr/dt = 1/8
    ∴ V = 4/3 πr3
    ⇒ dV/dt = 4/3 π×3r2 × dr/dt
    ⇒ dV/dt = 4πr2 × dr/dt
    ⇒ dV/dt = 4πr2 .1/8
    ⇒ dV/dt = 1/2πr2
    ∴ [dV/dt]r=10 = 1/2π(10)2
    = 50π
    Ans: প্রতি সেকেন্ডে বেলুন থেকে 50π ঘনসেমি বায়ু বেরোবে।

    14. একটি একক ঘনকের আয়তনের বৃদ্ধি প্রতি ডিগ্রি সেন্টিগ্রেডে γ এবং তার প্রতিটি তলের ক্ষেত্রফলের বৃদ্ধি প্রতি ডিগ্রি সেন্টিগ্রেডে β হলে দেখাও যে, 2γ = 3β

    Solution:
    ধরি, 1°C-এ ঘনকটির বাহুর দৈর্ঘ্য a একক, প্রতিটি তলের ক্ষেত্রফল A বৰ্গএকক এবং আয়তন V ঘনএকক।
    এখানে, dA/dt = β
    এবং dV/dt = γ
    ক্ষেত্রফল(A) = a2
    ⇒A3 = a2 – – – (i)
    আবার,
    আয়তন(V) = a3
    ⇒V2 = a6 – – – (ii)
    (i) ও (ii) থেকে পাই,
    A3 = V2
    ⇒ 3A2 dA/dt = 2V dV/dt
    ⇒ 3A2 × β = 2V × γ
    ⇒ 3(a2)2 × β = 2a3 × γ
    ⇒ 3(a2)2 × β = 2a3 × γ
    একক দৈর্ঘের ঘনকের ক্ষেত্রে,
    ⇒ 3(12)2 × β = 2×13 × γ
    ⇒ 3β = 2γ
    ⇒ 2γ = 3β (Proved)

    Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

    15. একটি কণা সরলরেখায় গতিশীল এবং O সরলরেখার ওপর একটি নির্দিষ্ট বিন্দু। t সময়ে O বিন্দু থেকে কণার দূরত্ব a cosnt + b sinnt ( a, b, n ধ্রুবক) হলে প্রমাণ করো যে, কণার ত্বরণ O বিন্দু থেকে তার দূরত্বের সমানুপাতিক।

    Solution:
    ধরি, O বিন্দু থেকে কণাটির দূরত্ব x একক।
    ∴ x = a cosnt + b sinnt
    ⇒ dx/dt = -an sinnt + bn cosnt
    ∴ কণার ত্বরণ
    = d2x/dt2
    = -an2 cos nt – bn2 sin nt
    = -n2 (acos nt + b sin nt)
    = -n2 x
    ∴ d2x/dt2 ∝ x (Proved)

    16. কোনো সমবাহু ত্রিভুজের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য সেকেণ্ডে √3 সেমি হারে এবং তার ক্ষেত্রফল সেকেণ্ডে 12 বর্গসেমি হারে বৃদ্ধি পেলে তার বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

    Solution:
    ধরি, সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a সেমি এবং ক্ষেত্রফল A বর্গসেমি,
    ∴ A = √3/4 × a2
    ⇒ dA/dt = √3/4 × 2ada/dt – – -(i)
    প্রদত্ত, da/dt = √3 এবং
    dA/dt = 12
    (i) নং থেকে পাই,
    12 = √3/4 × 2a × √3
    বা, 6a = 12 × 4
    বা, a = 8
    Ans: ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ৪ সেমি।

    17. স্থিরাবস্থা থেকে একটি ট্রেন পরবর্তী স্টেশনে যাত্রা করল; t ঘণ্টায় শুরু থেকে ট্রেনটির দূরত্ব x কিলোমিটার হলে x নিম্নলিখিত সমীকরণ দ্বারা সূচিত হয় –
    x = 90t2 – 45t3
    6 মিনিট পরে ট্রেনটির গতিবেগ ও ত্বরণ নির্ণয় করো।

    Solution:
    x = 90t2 – 45t3
    t = 6 মিনিট
    = 6/10 ঘণ্টা
    = 1/10 ঘণ্টা
    ∴ গতিবেগ (v)
    = dx/dt
    = 180t – 135t2
    t = 1/10 ঘণ্টা পরে গতিবেগ-
    [dx/dt ]t=1/10 = 180×1/10 – 135×1/10×1/10
    = 18 – 1.35
    = 16.65
    ত্বরণ (a)
    = d2x/dt2
    = 180 – 135×2t
    = 180 – 270t
    t = 1/10 ঘণ্টা পরে ত্বরণ –
    [d2x/dt2]t=1/10 = 180 – 270×1/10
    = 180 – 27
    = 153
    = 180t – 135t2
    Ans: 6 মিনিট পরে ট্রেনটির গতিবেগ হবে 16.65 কিমি/ঘণ্টা ও
    ত্বরণ হবে 153 কিমি/ঘণ্টা2

    Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

    18. একটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর পরিমাপে ত্রুটির মান 0.01 সেমি অপেক্ষা কম। যদি ক্ষেত্রফলের পরিমাপে ত্রুটি 2 বর্গসেমি অপেক্ষা কম হতে হয়, তবে সর্বাধিক কত দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট বাহু নেওয়া সম্ভব?

    Solution:
    ধরি, বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য a একক এবং ক্ষেত্রফল A বৰ্গএকক।
    ∴ A = a2
    dA/da = 2a
    এখানে △a < 0.01
    △A = dA/da x △a
    = 2a x △a
    ∵ △a < 0.01
    ⇒ 2a x △a < 2a x 0.01
    ⇒ △A < 2a x 0.01
    ক্ষেত্রফলের পরিমাপে ত্রুটি 2 বর্গসেমি অপেক্ষা কম হতে হলে,
    2a x 0.01 ≤ 2 হবে
    ⇒ a x 0.01 ≤ 1
    ⇒ a x 1/100 ≤ 1
    ⇒ a ≤ 100
    সর্বাধিক 100 সেমি দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট বাহু নেওয়া সম্ভব। (Ans)

    19. 1 গ্রাম জলের তাপমাত্রা 0°C থেকে 1 °C-এ বৃদ্ধি করতে হলে Q একক তাপ লাগে, যেখানে Q = t + 10-5 × 2t2 + 10-7 x 3t3 ; প্ৰতি ডিগ্রি তাপমাত্রা বৃদ্ধির জন্য তাপবৃদ্ধির হারকে আপেক্ষিক তাপ বলা হলে 50°C তাপমাত্রায় জলের আপেক্ষিক তাপ নির্ণয় করো।

    Solution:
    Q = t + 10-5 × 2t2 + 10-7 x 3t3
    ∴ আপেক্ষিক তাপ
    = dQ/dt
    = 1 + 10-5 × 4t + 10-7 x 9t2
    ∴ 50°C তাপমাত্রায় জলের আপেক্ষিক তাপ
    [dQ/dt]t=50
    = 1 + 10-5 × 4×50 + 10-7 x 9(50)2
    = 1 + 10-5 × 200 + 10-7 x 9 x 2500
    = 1 + 0.002 + 0.00225
    = 1.00425
    50°C তাপমাত্রায় জলের আপেক্ষিক তাপ 1.00425 (Ans)

    prostuti_home
    দশম শ্রেণীর জীবন বিজ্ঞান অসম্পূর্ণ প্রকটতা/ Incomplete Dominance

    দীর্ঘ উত্তরধর্মীঃ প্রতিটি প্রশ্নের মান 5

    1. কোনো অপেক্ষকের ‘অন্তরকল’ শব্দটির ব্যাখ্যা দাও।
    একটি গোলকের ব্যাসার্ধের পরিমাপ হল 20 সেমি। ব্যাসার্ধের পরিমাপে বৃহত্তম ত্রুটির মান 0.05 সেমি হলে গোলকের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলের সম্ভাব্য বৃহত্তম ত্রুটি নির্ণয় করো।

    Solution:
    ধরি, গোলকের ব্যাসার্ধ r সেমি এবং ক্ষেত্রফল A বর্গসেমি
    প্রদত্ত r = 20 সেমি;
    △r = 0.05 সেমি
    ∵ A = 4πr2
    ∴ dA/dr = 8πr
    ⇒ dA = dA/dr×△r
    = 8πr × △r
    = 8 × π × 20 × 0.05
    = 8π বর্গসেমি
    Ans: গোলকের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলের সম্ভাব্য বৃহত্তম ত্রুটি 8π বর্গসেমি।

    2. ABC ত্রিভুজের A কোণের পরিমাপ হল 45° ; যদি কোণ পরিমাপে ত্রুটির পরিমাপ 1′ হয়, তবে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ে শতকরা ত্রুটির পরিমাণ নির্ণয় করো। (প্রদত্ত, 1’=0.000291)।

    Solution:
    ধরা যাক,ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল y বর্গএকক ।
    ∴ y = ½ bc.sinA
    ⇒ dy/dA = ½ bc.cosA
    এখানে, A = 45°
    △A = 1’= 0.000291
    ∴ dy = dy/dA×△A
    = ½ bc.cosA.△A
    ক্ষেত্রফল নির্ণয়ে শতকরা ত্রুটির পরিমাণ

    $$\large{=\frac{dy}{y}×100\\=\frac{½ bc.cosA △A}{½ bc.sinA △A}×100\\=\frac{½ bc.cos45°.0.000291}{½ bc.sin45°}×100\\=\frac{\frac{1}{\sqrt2}.0.000291}{\frac{1}{\sqrt2}}×100\\=0.000291×100\\=0.0291}$$∴শতকরা ত্রুটি 0.0291

    3. (i) ABC ত্রিভুজের c বাহু এবং C কোণ অপরিবর্তিত রেখে অপর বাহু দুটি ও কোণ দুটি স্বল্প পরিবর্তন করা হলে দেখাও যে, da/cosA + db/cosB = 0
    Solution:

    A B C a b c

    a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R – – – [ধরি, পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ]
    ∴ a = 2RsinA
    বা, da = 2RcosA dA
    বা, da/cosA = 2RdA – – – – (i)
    আবার,
    b = 2RsinB
    বা, db = 2RcosBdB
    বা, db/cosB = 2RdB – – – – (ii)
    (i) + (ii) করে পাই,
    da/cosA + db/cosB
    = 2RdA +2RdB
    = 2R(dA + dB)
    = 2R × 0 – -[∵ A + B +C = π
    dA + dB = 0
    = 0 ∵ C ধ্রুবক ∴ dC = 0]
    da/cosA + db/cosB = 0 (Proved)

    (ii) কোনো ত্রিভুজ ABC-তে যদি a ও b বাহু দুটি অপরিবর্তিত রেখে ভূমিস্থ কোণ দুটি A ও B -এর স্বল্প পরিবর্তন করা হয়, তবে প্রমাণ করো যে,

    $$\large{\mathbf{\frac{dA}{\sqrt{a^2-b^2sin^2A}}=\frac{dB}{\sqrt{b^2-a^2sin^2B}}}\\\mathbf{Solution}}$$
    A B C a b c
    $$\large{\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}\\\ asinB=bsinA\\∴acosBdb=bcosA da\\or, \frac{da}{acosB}=\frac{db}{bcosA}\\\\or, \frac{da}{a\sqrt{1-sin^2B}}=\frac{db}{b\sqrt{1-sin^2A}}\\or,\frac{da}{a\sqrt{1-\left(\frac{bsinA}{a}\right)^2}}=\frac{db}{b\sqrt{1-\left(\frac{asinB}{b}\right)^2}} \\or,\frac{da}{a\sqrt{1-\frac{b^2sin^2A}{a^2}}} =\frac{db}{b\sqrt{1-\frac{a^2sin^2B}{b^2}}}\\or,\frac{da}{\sqrt{a^2-b^2sin^2A}} =\frac{db}{\sqrt{b^2-a^2sin^2B}}}$$
error: Content is protected !!
Verified by MonsterInsights