PROSTUTI

Author: TEAM PROSTUTI

  • দ্বাদশ শ্রেণীর সম্ভাবনা Probability S N Day Part -2

    দ্বাদশ শ্রেণীর সম্ভাবনা Probability S N Day Part -2

    দ্বাদশ শ্রেণীর সম্ভাবনা Probability S N Day Part -2

    দ্বাদশ শ্রেণীর সম্ভাবনা Probability S N Day Part -2

    Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা Part-I CLICK HERE

    23. দুজন বালকের প্রত্যেকের নিকট 52টি তাসের একটি করে প্যাকেট আছে। তারা প্রত্যেকেই খুশিমতো একটি করে তাস তুলল। (i) দুটি তাসই রুইতনের রাজা (ii) দুটি রুইতন (iii) দুটি তাসই রাজা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

    Solution:
    (i)
    52টি তাসের মধ্যে নির্বাচিত একটি তাস রুইতনের রাজা হওয়ার সম্ভাবনা 1/52
    উভয়েই রুইতনের রাজা তুলবে তার সম্ভাবনা
    = 1/52×1/52
    = 1/2704 (Ans)
    (ii)
    52টি তাসের মধ্যে নির্বাচিত একটি তাস রুইতন হওয়ার সম্ভাবনা = 13/52 = 1/4
    উভয়েই রুইতইন তুলবে তার সম্ভাবনা = 1/4×1/4 = 1/16 (Ans)
    (iii) 52টি তাসের মধ্যে নির্বাচিত একটি তাস রাজা হওয়ার সম্ভাবনা = 4/52 = 1/13
    উভয়েই রাজা তুলবে তার সম্ভাবনা
    = 1/13×1/13
    = 1/169 (Ans)

    24. (a) 1, 2, 3, 4 সংখ্যাগুলি থেকে উদ্দেশ্যহীনভাবে 2টি সংখ্যা নির্বাচন করা হয়। নির্বাচিত সংখ্যা দুটির সমষ্টি অযুগ্ম হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো যখন (i) সংখ্যা দুটি একত্রে নির্বাচিত হয় (ii) পুনঃস্থাপন প্রক্রিয়ায় একটির পর একটি নির্বাচিত হয়।

    Solution:
    1, 2, 3, 4 থেকে উদ্দেশ্যহীনভাবে 2টি সংখ্যা নির্বাচন করা হয়।
    সংখ্যা দুটি একত্রে নির্বাচন করা যায় 4C2 =6 উপায়ে।
    দুটি সংখ্যার সমষ্টি অযুগ্ম হলে, সংখ্যা দুটির একটি যুগ্ম এবং অপরটি অযুগ্ম হতে হবে।
    1, 2, 3, 4 সংখ্যা চারটির মধ্যে যুগ্ম সংখ্যা আছে 2টি এবং অযুগ্ম সংখ্যা আছে 2টি।
    একত্রে নির্বাচনের ক্ষেত্রে সংখ্যাদ্বয়ের সমষ্টি অযুগ্ম হয় 2C1×2C1 = 2×2 = 4 উপায়ে।
    (i)
    একত্রে দুটি সংখ্যা নির্বাচনের ক্ষেত্রে সংখ্যাদ্বয়ের সমষ্টি অযুগ্ম হওয়ার সম্ভাবনা
    P(A) = 4/6 = 2/3 (Ans)
    (ii)
    সংখ্যা দুটি পুনঃস্থাপন প্রক্রিয়ায় একটির পর একটি নির্বাচন করা যায় 4C1×4C1 = 4×4 =16 উপায়ে।
    পুনঃস্থাপন প্রক্রিয়ায় একটির পর একটি নির্বাচনের ক্ষেত্রে সংখ্যাদ্বয়ের সমষ্টি অযুগ্ম হয় A ={(1,2), (2,1), (1,4), (4,1), (2,3), (3,2) (3,4), (4,3)} অর্থাৎ 8 উপায়ে।
    পুনঃস্থাপন প্রক্রিয়ায় একটির পর একটি নির্বাচনের ক্ষেত্রে সংখ্যাদ্বয়ের সমষ্টি অযুগ্ম হওয়ার সম্ভাবনা
    P(A) = 8/16 = 1/2 (Ans)

    (b) 1 থেকে 21 পর্যন্ত সংখ্যাগুলির মধ্য থেকে পরপর দুটি সংখ্যা তোলা হয়। প্রথমে তোলা সংখ্যাটি যুগ্ম এবং দ্বিতীয়বারে তোলা সংখ্যাটি অযুগ্ম হওয়ায় সম্ভাবনা নির্ণয় করো যখন দ্বিতীয় সংখ্যাটি তোলার আগে প্রথম সংখ্যাটি (i) পুনঃস্থাপন করা হয় (ii) পুনঃস্থাপন করা হয় না

    Solution:
    1 থেকে 21-এর মধ্যে 10টি যুগ্ম সংখ্যা এবং 11টি অযুগ্ম সংখ্যা আছে।
    ধরা যাক, প্রথম সংখ্যাটি যুগ্ম হওয়ার ঘটনা A এবং দ্বিতীয় সংখ্যাটি অযুগ্ম হওয়ার ঘটনা B
    P(A) = 10/21
    (i)
    দ্বিতীয় সংখ্যাটি তোলার আগে প্রথম সংখ্যাটি পুনঃস্থাপন করা হলে,
    P(B/A) = 11/21
    ∴ P(A∩B) = P(A)P(B/A)
    = 10/21×11/21
    = 110/441 (Ans)
    (ii)
    দ্বিতীয় সংখ্যাটি তোলার আগে প্রথম সংখ্যাটি পুনঃস্থাপন করা না হলে,
    P(B/A) =11/20
    ∴ P(A∩B) = P(A)P(B/A)
    = 10/21×11/20
    = 11/420 (Ans)

    25. 10টি বৈদ্যুতিক উপাংশ সম্বলিত একটি প্যাকেটের মধ্যে 3টি ত্রুটিপূর্ণ বলে জানা আছে। যদি 4 টি উপাংশ উদ্দেশ্যহীনভাবে নিয়ে পরীক্ষা করা হয়, তবে তাদের মধ্যে একটির বেশি ত্রুটিপূর্ণ না পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

    Solution:
    3টি ত্রুটিপূর্ণ এবং (10 – 3) = 7টি ত্রুটিপূর্ণ নয়।
    একটিও ত্রুটিপূর্ণ নয় এরূপ 4টি উপাংশ নির্বাচন করা যায় 7C4×3C0 উপায়ে।
    1টি ত্রুটিপূর্ণ এরূপ 4টি উপাংশ নির্বাচন করা যায় 7C3×3C1 উপায়ে
    1টির বেশি উপাংশ ত্রুটিপূর্ণ নয় এরূপ এটি উপাংশ নির্বাচন করা যায়
    = 7C4×3C0 + 7C3×3C1 উপায়ে।
    = 35 + 105 = 140 উপায়ে।
    আবার 10টির মধ্যে 4টি উপাংশ নির্বাচন করা যায় 10C4 = 210 উপায়ে।
    1টির বেশি উপাংশ ত্রুটিপূর্ণ না পাওয়ার সম্ভাবনা
    = 140/210 = 2/3 (Ans)

    26. 50 বছর বয়স্ক ব্যক্তির 70 বছর পর্যন্ত বাঁচার প্রতিকূলে সুযোগ 9 : 5 এবং 60 বছর বয়স্ক ব্যক্তির 80 বছর পর্যন্ত বাঁচার প্রতিকূলে সুযোগ 8 : 6। দুজনের মধ্যে কমপক্ষে একজনের আরও 20 বছর বাঁচার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।

    Solution:
    ধরি, প্রথম ব্যক্তির আরও 20 বছর বাঁচার ঘটনা A এবং দ্বিতীয় ব্যক্তির আরও 20 বছর বাঁচার ঘটনা B।
    ∴ P(A) = 5/9+5 = 5/14
    P(B) = 6/8+6 = 6/14 = 3/7
    A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন,
    ∴ P(A∩B) = P(A) P(B)
    দুজনের মধ্যে কমপক্ষে একজনের আরও 20 বছর বাঁচার সম্ভাবনা
    = P(AUB)
    = P(A) + P(B) – P(A∩B)
    = P(A) + P(B) – P(A)P(B)
    = 5/14 + 3/7 – 5/14×3/7
      = 35+42-15/98
    = 62/98 = 31/49 (Ans)

    27. A 4 বারের মধ্যে 3 বার এবং B 6 বারের মধ্যে 5 বার সত্য কথা বলে। একই ঘটনা বিবৃত করতে তাদের পরস্পর বিরোধিতা করার সম্ভাবনা কত?

    Solution:
    ধরি, A-এর সত্য কথা বলার ঘটনা E1 এবং B-এর সত্য কথা বলার ঘটনা E2
    P(E1) = 3/4
    P(E2) = 5/6
    আবার E1, E2 ঘটনা দুটি স্বাধীন।
    ∴ E1, E2c স্বাধীন এবং E1c, E2 স্বাধীন।
    পরস্পর বিরোধিতা করার ঘটনা
    P[(E1∩E2c) U (E1c∩E2)]
    = P(E1∩E2c) + P(E1c∩E2) – P[(E1∩E2c) ∩(E1c∩E2)]
    = P(E1)P(E2c) +P(E1c)P(E2) – – – [ E1∩E2c এবং E1c∩E2 বিচ্ছেদ সেট]
    = P(E1)[1-P(E2)] + [1-P(E1)]P(E2)
    = 3/4×[1 – 5/6] + [1 – 3/4]×5/6
    = 3/4×1/6 + 1/4×5/6
    = 1/24(3+5)
    = 8/24 = 1/3 (Ans)

    28. A ও B এই দুজন পরীক্ষার্থী Joint Entrance- এর মাধ্যমে ভর্তি হতে ইচ্ছুক। A-র নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনা 0.5 এবং A ও B-এর একই সঙ্গে নির্বাচিত হওয়ার সর্বাধিক সম্ভাবনার মান 0.3 হলে, B-এর নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনার মান 0.9 হতে পারে কি?

    Solution:
    ধরি, A ও B-এর নির্বাচিত হওয়ার ঘটনা যথাক্রমে E1 ও E2
    P(E1) =0.5
    E1 ও E2 স্বাধীন ঘটনা,
    ∴ P(E1∩E2)= P(E1) P(E2)
    এখন, P(E1∩E2) ≤ 0.3
    ⇒ P(E1) P(E2) ≤ 0.3
    ⇒ 0.5×P(E2) ≤ 0.3
    ⇒ P(E2) ≤ 0.6
    B-এর নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনা 0.9 হতে পারে না। (Ans)

    29. দুজন খেলোয়াড় A ও B এর মধ্যে দাবা খেলায় 20টি গেমের মধ্যে 12টি গেম A, 4টি গেম B জিতল ও 4টি গেম অমীমাংসিতভাবে শেষ হল। তিনটি গেমের টুর্নামেন্টে (i) B-এর সব গেম জেতার (ii) B-এর কমপক্ষে একটি গেম জেতার এবং (iii) 2টি গেম অমীমাংসিতভাবে শেষ হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।

    Solution: ধরি, A-এর জেতার ঘটনা E1, B-এর জেতার ঘটনা E2 এবং অমীমাংসিতভাবে শেষ হওয়ার ঘটনা E3
    P(E1) = 12/20 = 3/5
    P(E2) = 4/20 = 1/5
    P(E3) = 4/20 = 1/5
    (i)
    B-এর সব গেম জেতার সম্ভাবনা
    =1/5x1/5x1/5= 1/25 (Ans)
    (ii)
    1টি গেমে B-এর না জেতার সম্ভাবনা
    P(E2c) = 1 – P(E2) = 1 – 1/5 = 4/5
    3টি গেমের কোনোটিতে B জিতবে না তার সম্ভাবনা
    = 4/5x4/5x4/5 = 64/125
    3টি গেমের কমপক্ষে একটি গেম B-এর জেতার সম্ভাবনা
    = 1 – 64/125 = 61/125 (Ans)
    (iii) একটি গেম অমীমাংসিত না হওয়ার সম্ভাবনা
    = P(E3c) = 1 – P(E3) = 1 – 1/5 = 4/5
    2টি গেম যত রকমভাবে অমীমাংসিতভাবে শেষ হতে পারে তা হল –
    (i) প্রথম গেম অমীমাংসিত, দ্বিতীয় গেম অমীমাংসিত এবং তৃতীয় গেম অমীমাংসিত নয়
    = 1/5×1/5×4/5 = 4/125
    (ii) প্রথম গেম অমীমাংসিত, দ্বিতীয় গেম অমীমাংসিত নয় এবং তৃতীয় গেম অমীমাংসিত
    = 1/5×4/5×1/5 = 4/125
    (iii) প্রথম গেম অমীমাংসিত নয়, দ্বিতীয় গেম অমীমাংসিত এবং তৃতীয় গেম অমীমাংসিত
    = 4/5×1/5×1/5 = 4/125
    ∴ 2টি গেম অমীমাংসিতভাবে শেষ হওয়ার সম্ভাবনা
    = 4/125 + 4/125 +4/125
    = 12/125 (Ans)

    30. ছাত্রদের সঙ্গে শ্রেণিতে মিলিত হয়ে একজন  শিক্ষকের হঠাৎ পরীক্ষা নেওয়ার সম্ভাবনা 1/5 যদি একজন ছাত্র দুদিন অনুপস্থিত থাকে তবে তার অন্ততপক্ষে একটি পরীক্ষা দেওয়ার সুযোগ নষ্ট হওয়ার সম্ভাবনা কত?

    Solution:
    ধরি, E হল পরীক্ষা নেওয়ার ঘটনা।
    পরীক্ষা না নেওয়ার ঘটনা Ec
    E ও Ec ঘটনা দুটি স্বাধীন।
    P(E) = 1/5 Ec = 1- P(E) = 1 – 1/5 = 4/5
    ওই ছাত্রের অন্ততপক্ষে একটি পরীক্ষা দেওয়ার সুযোগ নষ্ট হবে যদি EEc, EcE অথবা EE ঘটনা তিনটির মধ্যে যে-কোনো একটি ঘটে।
    ∴ নির্ণেয় সম্ভাবনা
    = P(EEc) + P(EcE) + P(EE)
    = P(E)P(Ec) + P(Ec)P(E) + P(E)P(E)
    = 1/5×4/5 + 4/5×1/5 + 1/5×1/5
    = 1/25(4+4+1)= 9/25 (Ans)

    31. মনে করো, প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্য থেকে যথেচ্ছভাবে নেওয়া একটি সংখ্যা 2 ও 3 দিয়ে বিভাজ্য হওয়ার ঘটনা দুটি যথাক্রমে A ও B দিয়ে সূচিত হয়। প্রমাণ করো যে, A ও B স্বাধীন হবে যদি n = 96 হয়।

    Solution:
    96টি প্রথম স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্যে 2 দিয়ে বিভাজ্য সংখ্যা আছে 48টি,
    3 দিয়ে বিভাজ্য সংখ্যা আছে 32টি।
    2 এবং 3 দিয়ে বিভাজ্য অর্থাৎ 6 দিয়ে বিভাজ্য 16টি সংখ্যা আছে।
    P(A) = 48/96 = 1/2
    P(B) = 32/96 = 1/3
    P(A∩B) = 16/96 = 1/6
    ∴ P(A)P(B) =1/2×1/3
    = 1/6 = P(A∩B)
    A ও B স্বাধীন হবে যদি n = 96 হয়। (Proved)

    32. (i) একটি থলিতে 8টি লাল বল ও 5টি সাদা বল আছে। পুনঃস্থাপন না করে প্রতি বারে 3টি করে পরপর দু-বার বল তোলা হয়। প্রথমবারে 3টি সাদা বল ও দ্বিতীয়বারে 3টি লাল বল তোলার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।(ii) একটি থলিতে 5টি সাদা, 7টি লাল এবং 3টি কালো বল আছে। পুনরায় প্রতিস্থাপন না করে থলি থেকে একটি একটি করে তিনটি বল তোলা হয়। একটিও লাল বল না হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।

    Solution:
    ধরা যাক প্রথমবারে 3টি সাদা বল তোলার ঘটনা W এবং দ্বিতীয়বারে 3টি লাল বল তোলার ঘটনা R দ্বারা সূচিত হয়।
    ∴ P(W) = 5C3/13C3 = 5/143
    পুনঃস্থাপন না করলে, প্রথমবারে 3টি সাদা বল তোলার পর দ্বিতীয়বারে 3টি লাল বল তোলার সম্ভাবনা = P(R/W)
    = 8C3/13-3C3 = 7/15
    প্রথমবারে 3টি সাদা বল ও দ্বিতীয়বারে 3টি লাল বল তোলার সম্ভাবনা,
      P(W)×P(R/W)
    = 5/143 × 7/15
    = 7/729 (Ans)

    (ii)
    ধরা যাক, প্রথমবারে, দ্বিতীয়বার ও তৃতীয়বারে লাল বল না আসার ঘটনা যথাক্রমে R1, R2 ও R3।
    থলিটিতে 7টি লাল বল আছে এবং সাদা ও কালো বল আছে (5+3) বা 8টি।
    P(R1) = 8/8+7 = 8/15
    P(R2/R1) = 7/7+7 = 7/14 = 1/2
    P(R3/(R1∩R2) = 6/6+7 = 6/13
    তিনবারের কোনো বারেই লাল বল না আসার সম্ভাবনা P(R1∩R2∩R3)
    = P(R1)P(R2/R1)×P(R3/(R1∩R2)
    = 8/15×1/2×6/13
    = 8/65 (Ans)

    দীর্ঘ উত্তরধর্মী প্রতিটি প্রশ্নের মান 5

    1. সম্ভাবনার সমষ্টি বিষয়ক উপপাদ্য বিবৃত ও প্রমাণ করো।
    Ans:
    পরস্পর বিচ্ছিন্ন n-সংখ্যক ঘটনা A1, A2, A3………… An -এর যেকোনো একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনার মান, প্রত্যেকটি ঘটনা বিচ্ছিন্নভাবে ঘটার সম্ভাবনা সমূহের সমষ্টির সমান।
    P(A1UA2UA3………… UAn) = P(A1) + P(A2) + P(A3) +………… + P(An)
    ধরি একটি যদৃচ্ছ পরীক্ষা E -এর নমুনাদেশ S;
    এই নমুনাদেশের মধ্যে সমভাবে সম্ভাব্য N সংখ্যক নমুনা বিন্দু আছে এবং A1, A2, A3………… An হল E পরীক্ষার সাথে সংশ্লিষ্ট n সংখ্যক পরস্পর বিচ্ছিন্ন ঘটনা।
    আরও মনে করি m1, m2, m3……….  mn সংখ্যক সমভাবে সম্ভাব্য নমুনা বিন্দু যথাক্রমে A1, A2, A3…………, An ঘটনার অন্তর্গত।
    সম্ভাবনার প্রাচীন সংজ্ঞা থেকে পাই,
    P(A1) = m1/N, P(A2) = m2/N,
    P(A3) = m3/N……… P(An) = mn/N
    ∵ A1, A2, A3…………, An ঘটনাগুলি পরস্পর বিচ্ছিন্ন।
    ∴ এই ঘটনাগুলির নমুনা বিন্দু m1, m2, m3……….  mn -এর যেকোনো দুটি বিন্দুর মধ্যে কোনো সাধারণ নমুনা বিন্দু নেই।
    ∴ A1, A2, A3…………, An -এর যে কোনো একটি ঘটনা ঘটবে।
    এই ঘটনায় A1UA2UA3………… UAn নমুনা বিন্দুর সংখ্যা
    = m1 + m2 + m3………. + mn
    সম্ভাবনার প্রাচীন সংজ্ঞা থেকে পাই,
    P(A1UA2UA3………… UAn)
    = (m1 + m2 + m3………. + mn)/N
    = m1/N + m2/N + m3/N………. + mn/N
    = P(A1) + P(A2) + P(A3) +………… + P(An)

    2. দুটি পরস্পর পৃথক ঘটনার ক্ষেত্রে সম্ভাবনার সমষ্টি উপপাদ্য বিবৃত ও প্রমাণ করো।
    Ans:
    E সম্ভাবনা ভিত্তিক পরীক্ষার সঙ্গে সম্পর্কযুক্ত A ও B দুটি পরস্পর পৃথক ঘটনা হলে,
    P(AUB)= P(A)P(B)

    3. সম্ভাবনা তত্ত্বে যৌগিক ঘটনা বলতে কী বোঝায়? সম্ভাবনার যৌগিক উপপাদ্য বিবৃত ও প্রমাণ করো।
    Ans:
    কোনো সম্ভাবনাভিত্তিক পরীক্ষার সঙ্গে সম্পর্কিত ঘটনাকে যখন আরও একাধিক সরল ঘটনায় বিশ্লিষ্ট করা যায় তখন সেই ধরনের ঘটনাকে যৌগিক ঘটনা বলে।
    যেমন – কোন একটি ছক্কা চাললে ছক্কার উপরিভাগের যে যুগ্ম সংখ্যাগুলি নির্দেশ করবে তাদের একত্র করলে {2, 4, 6} সেটটি পাওয়া যায়। এখানে 2, 4, 6 প্রতিটি ঘটনাই সরল ঘটনা। 

    4. প্রমাণ করো:
    (i) P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) : যে-কোনো দুটি ঘটনা A ও B এর ক্ষেত্রে।
    (ii) P(AUBUC) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A∩B) – P(B∩C) – P(C∩A) + P(A∩B∩C);
    যে-কোনো তিনটি ঘটনা A, B, C-এর ক্ষেত্রে।

    U A     B (A∩Bc)   (A∩B)   (Ac∩B)

    (i)
    প্ৰমাণ : চিত্র থেকে স্পষ্টতই বোঝা যায়,
    A∩Bc, A∩B, Ac∩B পরস্পর পৃথক ঘটনা এবং
    AUB = (A∩Bc) U (A∩B) U (Ac∩B)
    ∴ P(AUB) = P[(A∩Bc) U (A∩B) U (Ac∩B)]
    = P(A∩Bc) + P(A∩B) + P(Ac∩B)
    = [P(A) – P(A∩B)] + P(A∩B) + [P(B) – P(A∩B)]
    = P(A) – P(A∩B) + P(A∩B) + P(B) – P(A∩B)
    = P(A) + P(B) – P(A∩B)
    ∴ AUB = P(A) + P(B) – P(A∩B) (Proved)
    (i)
    প্ৰমাণ :
    P(AUBUC) = P[AU(BUC)]
    = P(A) + P(BUC) – P[A∩(BUC)]
    = P(A) + [P(B) + P(C) – P(B∩C)] – P[(A∩B)U(A∩C)]
    = P(A) + P(B) + P(C) – P(B∩C) – [P(A∩B) + P(A∩C) – P((A∩B)∩(A∩C))]
    = P(A) + P(B) + P(C) – P(B∩C) – P(A∩B) – P(A∩C) + P((A∩B)∩(A∩C))
    = P(A) + P(B) + P(C) – P(A∩B) – P(B∩C) – P(C∩A) + P(A∩B∩C)
    ∴ P(AUBUC) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A∩B) – P(B∩C) – P(C∩A) + P(A∩B∩C) (Proved)

    দ্বাদশ শ্রেণীর সম্ভাবনা Probability

    5. সম্ভাবনার গুণন উপপাদ্য বিবৃত ও প্রমাণ করো। ঘটনাগুলি স্বাধীন হলে উপপাদ্যের ফলের কীরকম পরিবর্তন হয়?

    E সম্ভাবনা ভিত্তিক পরীক্ষার সঙ্গে সম্পর্কযুক্ত দুটি ঘটনা A ও B হলে A ও B ঘটনাদ্বয়ের যুগপৎ ঘটার সম্ভাবনাই হলো সম্ভাবনা তত্ত্বের গুননের উপপাদ্য। অর্থাৎ
    P(A∩B)=P(A/B)P(B)
    প্রমান: ধরি, E সম্ভাবনাভিত্তিক পরীক্ষার সঙ্গে সংশ্লিষ্ট নমুনাদেশ S এবং দুটি ঘটনা হল A ও B;
    আরও ধরি,
    n(S)=n, n(A) =m1,
    n(B) =m2 এবং n(A∩B)= m
    ∴ P(A) = m1/n, P(B) = m2/n
    P(A∩B) = m/n,
    B ঘটনাটি ঘটেছে এই শর্তসাপেক্ষে A ঘটনাটি ঘটার সম্ভাবনাকে P(A/B) দ্বারা সূচিত করা হয়।
    এখন নমুনাদেশের m2 সংখ্যক নমুনা বিন্দুর মধ্যে m সংখ্যক নমুনা বিন্দু A ঘটনার অনুকূলে হলে,
    P(A/B) = m/m2
    = m/n/m2/n
    = P(A∩B)/P(B), P(B) ≠ 0
    ⇒ P(A∩B) = P(A/B)P(B)
    অনুরূপে,
    P(B/A) = = m/m1
    = m/n/m1/n
    = P(A∩B)/P(A), P(A) ≠ 0
    ⇒ P(A∩B)= P(B/A)P(A)

    ঘটনাগুলি স্বাধীন হলে:
    P(A/B) = P(A) এবং
    P(B/A) = P(B)হয়।
    ∴ স্বাধীন ঘটনার ক্ষেত্রে,
    P(A∩B) = P(A)P(B/A)
    = P(A)P(B) এবং
    P(A∩B) = P(A/B)P(B)
    = P(A)P(B)

    6. (i) যদি A, B এবং C পরস্পর স্বাধীন ঘটনা হয়, তবে প্রমাণ করো যে, (AUB) ও C ঘটনা দুটি স্বাধীন।
    (ii) P(A), P(B) ও P(AB) -এর মাধ্যমে P(Ā + B) এবং P(A + B̄) -এর মান নির্ণয়
    করো, এখানে Ā হল A ঘটনার পূরক ঘটনা।

    (i)
    Solution:
    A, B এবং C পরস্পর স্বাধীন ঘটনা ।
    ∴ P(A∩B) = P(A).P(B)
    P(A∩C) = P(A).P(C)
    P(B∩C) = P(B).P(C) এবং
    P(A∩B∩C) = P(A).P(B).P(C)
    P[(AUB)∩C)]
    = P[(A∩C)U(B∩C)]
    = P(A∩C) + P(B∩C) – P[(A∩C)∩(B∩C)]
    = P(A∩C) + P(B∩C) – P(A∩B∩C)
    = P(A).P(C) + P(B).(C) – P(A).P(B).P(C)
    = [P(A) + P(B) – P(A).P(B)]P(C)
    = P(AUB).P(C)
    ∴ AUB এবং C ঘটনা দুটি স্বাধীন । (Proved)

    (ii)
    Solution:
    ∵ B = (Ā∩B) U (A∩B),
    যেখানে Ā∩B এবং A∩B সেট দুটি পরস্পর পৃথক
    ∴ P(B) = P[(Ā∩B) U (A∩B)]
    ⇒ P(B) = P(Ā∩B) + P(A∩B)
    ⇒ P(A∩B) = P(B) − P(Ā∩B)
    অনুরুপে,
    P(A∩B̄) = P(A) − P(A∩B̄)
    এখন,
    P(ĀUB) = P(Ā) + P(B) − P( Ā∩B )
    = 1− P(A) + P(B) − [P(B) − P(A∩B)]
    = 1- P(A) + P(B) − P(B) + P(A∩B)
    = 1- P(A) + P(A∩B) (Ans)
    P(AUB̄) = P(A) + P(B̄) − P(A∩B̄)
    = P(A) + 1 – P(B) − [P(A) − P(A∩B)]
    = P(A) + 1 – P(B) − P(A) + P(A∩B)
    = 1- P(B) + P(A∩B) (Ans)

    Utube_comptech_home
    দশম শ্রেণীর ভৌত বিজ্ঞান এবং জীবন বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন

    7. যদি A ও B দুটি ঘটনা এবং P(B) ≠ 1 হয়, তবে প্রমাণ করো যে,

    $$\mathbf{P(A/B^c)=\frac{P(A)-P(A∩B)}{1-P(B)}\\}$$

    তারপর দেখাও যে, P(A∩B) > P(A) + P(B) – 1
    Solution:
    P(B) ≠ 1

    $${P(A/B^c)=\frac{P(A∩B^c)}{P(B^c)}\\⇒P(A/B^c)=\frac{P(A)-P(A∩B)}{1-P(B)}\\\quad\quad- -[∵P(A)=P(A∩B)+P(A∩B^c)]}$$

    P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
    A ও B সম্পূর্ণ ঘটনা নয়।
    ∴ P(AUB) < 1
    ∴ P(A∩B) > P(A) + P(B) – 1 (Proved)

    8. যদি P(A) = a, P(B) = b হয়, তবে দেখাও যে,

    $$\mathbf{P(A/B)\gtrdot\frac{(a+b-1)}{b}\\}$$

    Solution:
    P(A) = a, P(B) = b

    $$\therefore{P(A/B)=\frac{P(A∩B)}{P(B)}\\⇒P(A/B)=\frac{P(A)+P(B)-P(AUB)}{P(B)}\\∵1\gtrdot P(AUB)\\∴P(A∩B)\gtrdot P(A)+P(B)-1\\∴P(A/B)\gtrdot\frac{P(A)+P(B)-1}{P(B)}\\⇒P(A/B)\gtrdot\frac{a+b-1}{b}\quad\mathbf{(Proved)}}$$

    9. যদি A ও B দুটি পরস্পর পৃথক ঘটনা হয় এবং P(AUB) ≠ 0 হয়, তবে দেখাও যে,

    $$\mathbf{[P(A/(AUB)]=\frac{P(A)}{P(A)+P(B)}\\}$$

    Solution:
    A ও B দুটি পরস্পর পৃথক ঘটনা হয় এবং P(AUB) ≠ 0;
    ∴ P(AUB) = P(A) + P(B)
    এবং P(A∩(AUB)) = P(A)- – – [∵ A ⊆ (AUB)]

    $$\therefore{ [P(A/(AUB)]=\frac{P(A∩(AUB))}{P(AUB)}\\⇒[P(A/(AUB)]=\frac{P(A)}{P(A)+P(B)}\quad\mathbf{(Proved)}}$$

    10. X তিনটি বিষয় – গনিত, পদার্থবিদ্যা এবং রসায়নে পরীক্ষা দেয়। এই বিষয় তিনটিতে তার A গ্রেড পাওয়ার সম্ভাবনা যথাক্রমে 0.2, 0.3 এবং 0.5; তাহলে তার (i) সব বিষয়গুলিতে A গ্রেড পাওয়ার (ii) কোনো বিষয়েই A গ্রেড না পাওয়ার (iii) দুটি বিষয়ে A গ্রেড পাওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।

    Solution:
     ধরি, M,P এবং C দ্বারা যথাক্রমে ” গণিতে A grade পাওয়া “, “পদার্থবিদ্যায় A grade পাওয়া” এবং “রসায়নে A grade পাওয়া” ঘটনা তিনটি সূচিত করে।
    P(M) = 0.2, P(Mc) = 1 – P(M) = 1 – 0.2 = 0.8
    P(P) = 0.3, P(Pc) = 1 – P(P) = 1 – 0.3 = 0.7
    P(C) = 0.5, P(Cc) = 1 – P(M) = 1 – 0.5 = 0.5
    (i)
    X-এর সব বিষয়গুলিতে A grade পাওয়ার সম্ভাবনা
    = P(M)×P (P)×P(C)
    = 0.2 × 0.3 × 0.5
    = 0.03 (Ans)
    (ii)
    X-এর কোনো বিষয়েই A grade না পাওয়ার সম্ভাবনা
    = P(Mc)×P (Pc)×P(Cc)
    = 0.8 × 0.7 × 0.5
    = 0.28 (Ans)
    (iii)
    X-এর দুটি বিষয়ে A grade পাওয়ার সম্ভাবনা
    = {P(Mc)×P(P)×P(C)} + {P(M)×P(Pc)×P(C)} + {P(M)×P(P)×P(Cc)}
    = 0.8 × 0.3 × 0.5 + 0.2 × 0.7 × 0.5 + 0.2 × 0.3 × 0.5
    = 0.12 + 0.07 + 0.3
    = 0.22 (Ans)

    দ্বাদশ শ্রেণীর সম্ভাবনা Probability

    11. 1,2,3,… 100 চিহ্নিত 100টি টিকিট থেকে উদ্দেশ্যহীনভাবে 4টি টিকিট তোলা হয় 2টি টিকিটের চিহ্নিত অঙ্ক 1 থেকে 40 এবং অপর 2 টির 41 থেকে 100 হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।

    Solution:
    40 টি টিকিটের মধ্যে 2টি টিকিটকে 40C2 উপায়ে উদ্দেশ্যহীনভাবে তোলা যায় ৷
    একইভাবে, 60 টি টিকিটের মধ্যে 2 টি টিকিটকে 60C2 ভাবে উদ্দেশ্যহীনভাবে তোলা যায় ।
    ∴ নির্ণেয় ঘটনার অন্তর্গত সমভাবে সম্ভাব্য নমুনা বিন্দুর সংখ্যা = 40C2×60C2
    আবার, 100 টি টিকিটের মধ্যে 4 টি টিকিটকে 100C4 ভাবে উদ্দেশ্যহীনভাবে তোলা যায় ।
    ∴ নির্ণেয় সম্ভাবনা = 40C2×60C2/100C4 (Ans)

    12. মনে করো, A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন এবং P(AUB) = 0.58, P(A∩B) = 0.12, P(A) -এর সম্ভাব্য মানসমূহ নির্ণয় করো।

    Solution:
    P(AUB) = 0.58, P(A∩B) = 0.12
    ∵ P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
    ⇒ 0.58 = P(A) + P(B) – 0.12
    ⇒ P(A) + P(B) = 0.58 + 0.12
    ⇒ P(A) + P(B) = 0.70
    ⇒ P(B) = 0.70 – P(A)
    A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন
    ∴ P(A∩B) = P(A)P(B)
    ∵ P(A∩B) = 0.12
    ⇒ P(A)P(B) = 0.12
    ⇒ P(A)[0.70 – P(A)] = 0.12
    ⇒ 0.70×P(A) – [P(A)]2 = 0.12
    ⇒ 0.70×P(A) – [P(A)]2 – 0.12 = 0
    ⇒ [P(A)]2 – 0.7×P(A) + 0.12 = 0
    ⇒ [P(A)]2 – 0.4×P(A) – 0.3×P(A) + 0.12 = 0
    ⇒ P(A)(P(A) – 0.4) – 0.3(P(A) – 0.4) = 0
    ⇒ (P(A) – 0.4)(P(A) – 0.3) = 0
    P(A) – 0.4 = 0 বা, P(A) – 0.3 = 0
    ∴P(A) = 0.4 ∴ P(A) = 0.3
    P(A) -এর সম্ভাব্য মানসমূহ হল 0.4 ও 0.3 (Ans)

    13. A, B, C ঘটনা তিনটি এমন যে, P(A)=0.3, P(B) = 0.4, P(C)=0.8, P(A∩B)=0.08, P(A∩C) = 0.28 এবং P(A∩B∩C)=0.09। যদি P(AUBUC) ≥ 0.75 হয়, তবে দেখাও যে, 0.23 ≤ P(B∩C) ≤ 0.48।

    Solution:
    P(A) = 0.3, P(B) = 0.4,
    P(C) = 0.8, P(A∩B) = 0.08,
    P(A∩C) = 0.28 এবং
    P(A∩B∩C) = 0.09
    P(AUBUC) ≥ 0.75
    ∴ P(AUBUC)
    = P(A) + P(B) + P(C) – P(A∩B) – P(B∩C) – P(C∩A) + P(A∩B∩C)
    = 0.3 + 0.4 + 0.8 – 0.08 – P(B∩C) – 0.28 + 0.09
    = 1.59 – 0.36 – P(B∩C)
    = 1.23 – P(B∩C)
    প্রশ্নানুযায়ী
    P(AUBUC) ≥ 0.75
    ⇒ 1.23 – P(B∩C) ≥ 0.75
    ⇒ -P(B∩C) ≥ 0.75-1.23
    ⇒ – P(B∩C) ≥ – 0.48
    ⇒ P(B∩C) ≤ 0.48 – – – – (i)
    আবার
    P(AUBUC) ≤ 1
    ⇒ 1.23 – P(B∩C) ≤ 1
    ⇒ – P(B∩C) ≤ 1 – 1.23
    ⇒ – P(B∩C) ≤ – 0.23
    ⇒ P(B∩C) ≥ 0.23 – – – – (ii)
    (i) ও (ii) থেকে পাই,
    0.23 ≤ P(B∩C) ≤ 0.48 (Proved)

    14. A, B, C এবং D ঘটনা চারটি পরস্পর পৃথক ও সম্পূর্ণ। যদি B, C এবং D ঘটনার প্রতিকূলে সুযোগ যথাক্রমে 7 : 2, 7: 5 এবং 13 : 5 হয়, তবে A ঘটনার অনুকূলে সুযোগ নির্ণয় করো।

    Solution: কোনো ঘটনার প্রতিকূলে সুযোগ a : b হলে ঐ ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা  = b/a+b হয়।
    B ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা P(B) = 2/7+2 = 2/9
    C ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা P(C) = 5/7+5 = 5/12 এবং
    D ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা P(D) = 5/13+5 = 5/18
    A, B, C এবং D ঘটনা চারটি পরস্পর পৃথক ও সম্পূর্ণ।
    ∴ P(A)+ P(B) + P(C) + P(D) =1
    বা, P(A) = 1 – P(B) – P(C) – P(D)
    বা, P(A) = 1 – 2/9 – 5/12 – 5/18
    বা, P(A) = 36-8-15-10/36
    বা, P(A) = 3/36 = 1/12
    ∴  A ঘটনার অনুকূলে সুযোগ = 1/12-1 = 1/11 (Ans)

    দ্বাদশ শ্রেণীর সম্ভাবনা Probability

    15. (i) গণিতের একটি প্রদত্ত প্রশ্ন তিনজন ছাত্র A, B এবং C-এর পক্ষে সমাধান করতে পারার সম্ভাবনা যথাক্রমে 1/3, 2/5 এবং 3/4 ৷ প্ৰদত্ত প্রশ্নটির সমাধান হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।

    Solution:
    ধরি, প্রথম, দ্বিতীয় এবং তৃতীয় ছাত্রের অঙ্কটি সমাধান করতে পারার ঘটনা তিনটি যথাক্রমে A, B এবং C দ্বারা সূচিত হয়।
    P(A) = 1/3; ∴ P(Ac) = 1 – P(A) = 1 – 1/3 = 2/3
    P(B) = 2/5; ∴ P(Bc) = 1 – P(B) = 1 – 2/5 = 3/5
    P(C) = 3/4; ∴ P(Cc) = 1 – P(C) = 1 – 3/4 = 1/4
    প্রশ্নটির সমাধান হওয়ার সম্ভাবনা
    = 1 – {P(Ac)×P(Bc)×P(Cc)}
    = 1 – 2/3×3/5×1/4
    = 1 – 1/10 = 9/10 (Ans)

    (ii) গণিতের একটি অঙ্ক তিনজন ছাত্রকে সমাধান করার জন্য দেওয়া হয়; অঙ্কটি তাদের পক্ষে স্বাধীনভাবে সমাধান করতে পারার সম্ভাবনা যথাক্রমে 1/2, 1/3 এবং 1/4 হলে তাদের মধ্যে কেবল একজন ছাত্রের অঙ্কটি সঠিকভাবে সমাধান করতে পারার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।

    Solution:
    ধরি, প্রথম, দ্বিতীয় এবং তৃতীয় ছাত্রের অঙ্কটি সঠিকভাবে সমাধান করতে পারার ঘটনা তিনটি যথাক্রমে A, B এবং C দ্বারা সূচিত হয়।
    P(A) = 1/2; ∴ P(Ac) = 1 – P(A) = 1 – 1/2 = 1/2
    P(B) = 1/3; ∴ P(Bc) = 1 – P(B) = 1 – 1/3 = 2/3
    P(C) = 1/4; ∴ P(Cc) = 1 – P(C) = 1 – 1/4 = 3/4
    কেবল একজন ছাত্রের অঙ্কটি সঠিকভাবে সমাধান করতে পারার সম্ভাবনা
    = {P(A)×P(Bc)×P(Cc)} + {P(Ac)×P(B)×P(Cc)} + {P(Ac)×P(Bc)×P(C)}
    = 1/2×2/3×3/4 + 1/2×1/3×3/4 + 1/2×2/3×1/4
    = 1/4 + 1/8 + 1/12
    = 6+3+2/24 = 11/24 (Ans)

    (iii) একজন নির্বাচকের কাছে 300টি সহজ সত্য বা মিথ্যা প্রশ্ন ও 200টি জটিল সত্য বা মিথ্যা প্রশ্ন আছে এবং 500 টি সহজ MCQ এবং 400টি জটিল MCQ আছে। যদি একজন প্রশ্ন কর্তাকে সমসম্ভবভাবে প্রশ্ন তৈরী করতে দেওয়া হয়, তবে প্রশ্নটি সহজ MCQ হিসাবে নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনা কত?

    Solution:
    সত্য বা মিথ্যা সহজ প্রশ্ন সংখ্যা = 300 টি
    সহজ MCQ সংখ্যা = 500 টি
    সত্য বা মিথ্যা জটিল প্রশ্ন সংখ্যা = 200 টি
    জটিল MCQ সংখ্যা = 400 টি
    প্রশ্নটি সহজ MCQ হিসাবে নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনা
    = 500/300+500+200+400
    = 500/1400 = 5/14 (Ans)

    16. একজন প্রার্থী তিনটি চাকরির ইনটারভিউ-এর জন্য নির্বাচিত হন। প্রথম চাকরির জন্য 3 জন, দ্বিতীয়টির জন্য 4 জন এবং তৃতীয়টির জন্য 2 জন প্রার্থী আছেন। ওই প্রার্থীর পক্ষে অন্তত একটি চাকরি পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

    Solution:
    ধরি, প্রথম, দ্বিতীয় এবং তৃতীয় চাকরি পাওয়ার ঘটনা তিনটি যথাক্রমে A, B এবং C দ্বারা সূচিত হয়।
    P(A) = 1/3; ∴ P(Ac) = 1 – P(A) = 1 – 1/3 = 2/3
    P(B) = 1/4; ∴ P(Bc) = 1 – P(B) = 1 – 1/4 = 3/4
    P(C) = 1/2; ∴ P(Bc) = 1 – P(B) = 1 – 1/2 = 1/2
    ওই প্রার্থীর পক্ষে অন্তত একটি চাকরি পাওয়ার সম্ভাবনা
    = 1 – {P(Ac)×P(Bc)×P(Cc)}
    = 1 – 2/3×3/4×1/2
    = 1 – 1/4 = 3/4 (Ans)

    17. (i) একটি থলিতে 2টি লাল ও 3টি সাদা এবং অপর একটি থলিতে 1টি লাল ও 2টি সাদা বল আছে। যদি উদ্দেশ্যহীনভাবে একটি থলি নির্বাচন করে তা থেকে একটি বল তোলা হয়, তবে বলটি সাদা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

    Solution:
    উদ্দেশ্যহীনভাবে থলি নির্বাচন করলে থলি নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনা 1/2
    বলটি সাদা হওয়ার সম্ভাবনা
    = 1/2 (2C0x3C1/5C1 + 1C0x2C1/3C1)
    = 1/2 (1×3/5 + 1×2/3)
    = 1/2 (3/5 + 2/3)
    = 1/2 (9+10/15)
    = 1/2 × 19/15
    = 19/30 (Ans)

    (ii) 4টি বাক্সের প্রত্যেকটিতে 1 ডজন করে ডিম আছে। বাক্স 4টিতে যথাক্রমে 2টি, 3টি, 1টি, 0টি খারাপ ডিম আছে। উদ্দেশ্যহীনভাবে একটি বাক্স নির্বাচন করে তা থেকে 1 টি ডিম তোলা হয়। তোলা ডিমটি খারাপ হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।

    Solution:
    উদ্দেশ্যহীনভাবে একটি বাক্স নির্বাচন করা যায় 4C1 = 4 উপায়ে।
    4টি বাক্স থেকে একটি খারাপ ডিম নির্বাচন করা যায় যথাক্রমে 2C1= 2, 3C1 = 3, 1C1 = 1 উপায়ে।
    4টি বাক্সের প্রত্যেকটিতে 1 ডজন করে ডিম আছে।
    ∴ তোলা ডিমটি খারাপ হওয়ার সম্ভাবনা
    = 1/4(2/12 + 3/12 + 1/12)
    = 1/4×12(2 + 3 + 1)
    = 1/4×12 x6 = 1/8 (Ans)

    18. 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 এই দশটি অঙ্ক থেকে প্রতিবারে একটি করে অঙ্ক দুবার তোলা হয়। নির্বাচিত অঙ্ক দুটির গুণফল শূন্য হওয়া সম্ভাবনা নির্ণয় করো, দেওয়া আছে যে, দ্বিতীয় অঙ্কটি তোলার আগে প্রথমে তোলা অঙ্কটি পুনঃস্থাপন করা হয়।

    Solution:
    নির্বাচিত অঙ্ক দুটির গুণফল শূন্য হলে অবশ্যই দুটি অঙ্কের একটি শূন্য হতে হবে।
    প্রথমবারে শূন্য উঠলে সম্ভাবনা
    = 1/10x10C1/10
    = 1/10x10/10 = 1/10
    প্রথমবারে শূন্য না উঠলে সম্ভাবনা
    = 9C1/10x1/10
    = 9/10x1/10 = 9/100
    মোট সম্ভাবনা = 1/10 + 9/100
    = 10+9/100 = 19/100 (Ans)

    দ্বাদশ শ্রেণীর সম্ভাবনা Probability

    19. 1, 2, 3, 9 অঙ্কগুলি থেকে যথেচ্ছভাবে দুটি অঙ্ক নেওয়া হয়। যদি অঙ্ক দুটির সমষ্টি অযুগ্ম হয়, তবে একটি অঙ্ক 6 হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।

    Solution:
    অঙ্ক দুটির সমষ্টি অযুগ্ম হলে একটি অঙ্ক অযুগ্ম এবং অপর অঙ্কটি যুগ্ম হতে হবে।
    1 থেকে 9 এর মধ্যে টি যুগ্ম এবং টি অযুগ্ম অঙ্ক আছে।
    নমুনা দেশের অন্তর্গত সসীম সংখ্যক নমুনা বিন্দুর সংখ্যা
    = ( অযুগ্ম অঙ্ক নির্বাচনের সংখ্যা)×(যুগ্ম অঙ্ক নির্বাচনের সংখ্যা)
    = 5C1x4C1
    = 5×4 = 20
    যদি অঙ্ক দুটির সমষ্টি অযুগ্ম হয়, এবং একটি অঙ্ক 6 হওয়ার সম্ভাবনা
    = (যত উপায়ে একটি অঙ্ক 6 নির্বাচিত করা যায়)×(যত উপায়ে অপর অঙ্ক অযুগ্ম নির্বাচিত করা যায়)
    = 1C1x5C1
    , = 1×5 = 5
    ∴ একটি অঙ্ক ‘6’ হওয়ার সম্ভাবনা = 5/20 =1/4 (Ans)

    20. কোনো বছরে তিনটি কারখানা A, B এবং C -তে দুর্ঘটনার সম্ভাবনা যথাক্রমে 25-এর মধ্যে 5, 36-এর মধ্যে 6 এবং 64-এর মধ্যে 8। (i) অন্ততপক্ষে একটি কারখানায়, (ii) সবগুলি কারখানায় দুর্ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।

    Solution:
    P(A) = 5/25 = 1/5; ∴ P(Ac) = 1 – P(A) = 1 – 1/5 = 4/5
    P(B) = 6/36 = 1/6; ∴ P(Bc) = 1 – P(B) = 1 – 1/6 = 5/6
    P(C) = 8/64 = 1/8; ∴ P(Cc) = 1 – P(C) = 1 – 1/8 = 7/8
    তিনটি কারখানায়ই দুর্ঘটনা না ঘটার সম্ভাবনা
    = P(Ac)×P(Bc)×P(Cc)
    = 4/5×5/6×7/8 = 7/12
    (i)
    ∴ অন্ততপক্ষে একটি কারখানায় দুর্ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা
    = 1 – P(Ac)×P(Bc)×P(Cc)
    = 1 – 7/12 = 5/12 (Ans)
    (ii)
    সবগুলি কারখানায় দুর্ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা
    = P(A)×P(B)×P(C)
    = 1/5×1/6×1/8 = 1/240 (Ans)

    21. একজন পরীক্ষার্থীর পদার্থবিদ্যায় পাস করার সম্ভাবনা 70% এবং রসায়নে পাস করার সম্ভাবনা 40%। দুটি বিষয়ের মধ্যে একটিতে ওই পরীক্ষার্থীর পাস করার সম্ভাবনা কত?

    Solution: ধরি, A এবং B দ্বারা যথাক্রমে “পদার্থবিদ্যায় পাশ করা ” এবং “রসায়নে পাশ করা ” ঘটনা দুটি সূচিত হয়।
    P(A) = 70/100 = 7/10; ∴ P(Ac) = 1 – P(A) = 1 – 7/10 = 3/10
    P(B) = 40/100 = 4/10; ∴ P(Bc) = 1 – P(B) = 1 – 4/10 = 6/10
    দুটি বিষয়ের মধ্যে একটিতে ওই পরীক্ষার্থীর পাস করার সম্ভাবনা
    = P(A)×P(Bc) + P(Ac)×P(B)
    = 7/10×6/10 + 3/10×4/10
    = 42/100 + 12/100
    = 42+12/100
    = 54/100 = 27/50 (Ans)

    22. (i) একটি বাক্সে 7টি সাদা ও 5টি কালো বল আছে। যদি বাক্স থেকে 3টি বল উদ্দেশ্যহীনভাবে একসঙ্গে তোলা হয়, তবে তিনটি বলই এক রঙের না হওয়ার সম্ভাবনা কত? ওই একই ঘটনার সম্ভাবনা নির্ণয় করো যখন পরপর একটি করে বল তোলা হয় এবং যে-কোনো বার বল তোলার আগে আগের তোলা বল পুনঃস্থাপন করা হয়।

    Solution:
    প্রথম অংশ
    বাক্স থেকে 3টি বল উদ্দেশ্যহীনভাবে একসঙ্গে তোলা যায় 12C3 = 12×11×10/3×2 = 220 উপায়ে।
    আবার 3টি বলই এক রঙের না হলে হয় 2টি বল সাদা ও 1টি বল কালো নয় 2টি বল কালো ও 1টি বল সাদা হবে।
    2টি বল সাদা ও 1টি বল কালো ওঠানো যায় 7C2x5C1 = 21×5 =105 উপায়ে।
    2টি বল কালো ও 1টি বল সাদা ওঠানো যায় 5C2x7C1 = 10×7 =70 উপায়ে।
    ∴ 3টি বলই এক রঙের না হওয়ার সম্ভাবনা
    = 105/220 + 70/220
    = 175/220 = 35/44
    দ্বিতীয় অংশ
    যখন পরপর একটি করে বল তোলা হয় এবং যে-কোনো বার বল তোলার আগে আগের বল পুনঃস্থাপন করা হয় তখন বাক্স থেকে 1টি বল তোলা যায় 12C1 = 12 উপায়ে।
    একটি করে সাদা বল তোলা যায় = 7C1 = 7 উপায়ে।
    একটি করে কালো বল তোলা যায় = 5C1 = 5 উপায়ে।
    ∴ 3টি বলই এক রঙের (সাদা বা কালো) হওয়ার সম্ভাবনা
    = 7/12×7/12×7/12 + 5/12×5/12×5/12
    = 343/1728 + 125/1728
    = 343+125/1728 = 468/1728
    ∴ 3টি বলই এক রঙের না হওয়ার সম্ভাবনা
    = 1 – 468/1728
    = 1728-468/1728
    = 1260/1728 = 35/48 (Ans)

    (ii) একটি পাত্রে 4টি লাল ও 7টি কালো বল আছে। পুনঃস্থাপন পদ্ধতিতে পাত্রটি থেকে যথেচ্ছভাবে 2টি বল তোলা হয়। তোলা বল দুটির (a) 2টি বল লাল (b) 2টি বল কালো (c) 1টি লাল ও 1টি কালো হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।

    Solution:
    পাত্র থেকে লাল বল তোলার সম্ভাবনা P(A) = 4/11
    পাত্র থেকে কালো বল তোলার সম্ভাবনা P(B) )= 7/11
    পাত্র থেকে যথেচ্ছভাবে দুটি বল তুললে তোলা বল 2টির মধ্যে-
    (a) 2টি বল লাল হওয়ার সম্ভাবনা
    = P(A)×P(A)
    = 4/11×4/11 = 16/121 (Ans)
    (b) 2টি বল কালো হওয়ার সম্ভাবনা
    = P(B)×P(B)
    = 7/11×7/11 = 49/121 (Ans)
    (c) 1টি বল লাল ও 1টি কালো হওয়ার সম্ভাবনা
    = P(A)×P(B) + P(B)×P(A)
    = 4/11×7/11 + 7/11×4/11
    = 28/121 + 28/121
    = 56/121 (Ans)

    23. 50, 60 ও 70 বছর বয়স্ক তিনজন ব্যক্তি আছেন। 50 বছর বয়স্ক ব্যক্তির আরও 10 বছর বাঁচার সম্ভাবনা 0.8, 60 বছর বয়স্ক ব্যক্তির 0.5 এবং 70 বছর বয়স্ক ব্যক্তির 0.2। ব্যক্তি তিনজনের মধ্যে কমপক্ষে দুজনের আরও 10 বছর বাঁচার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।

    Solution:
    ধরি, A, B এবং C তিনটি ঘটনা যথাক্রমে “50 বছর বয়স্ক ব্যক্তির আরও 10 বছর বাঁচার সম্ভাবনা “, “60 বছর বয়স্ক ব্যক্তির আরও 10 বছর বাঁচার সম্ভাবনা ” এবং “70 বছর বয়স্ক ব্যক্তির আরও 10 বছর বাঁচার সম্ভাবনা ” নির্দেশ করে।
    P(A) = 0.8; ∴ P(Ac) = 1 – P(A) = 1 – 0.8 = 0.2
    P(B) = 0.5; ∴ P(Bc) = 1 – P(B) = 1 – 0.5 = 0.5
    P(C) = 0.2; ∴ P(Cc) = 1 – P(C) = 1- 0.2 = 0.8
    কমপক্ষে 2 জনের আরও10 বছর বাঁচার সম্ভাবনা
    = {P(A)×P(B)×P(C)} + {P(A)×P(B)×P(Cc)} + {P(A)×P(Bc)×P(C)} + {P(Ac)×P(B)×P(C)}
    = 0.8×0.5×0.2 + 0.8×0.5×0.8 + 0.8×0.5×0.2 + 0.2×0.5×0.2
    = 0.08 + 0.32 + 0.08 + 0.02
    = 0.5 (Ans)

    24. A, B এবং C-এর পক্ষে কোনো লক্ষ্যবস্তুতে আঘাত করার সম্ভাবনা যথাক্রমে ⅓, ⅕ ও 1/4 । যদি তারা একসঙ্গে চেষ্টা করে, তবে ঠিক একটি গুলি দ্বারা লক্ষ্যবস্তুকে আঘাত করার সম্ভাবনা নির্ণয় করো ।

    Solution: ধরি, A, B এবং C তিনটি ঘটনা যথাক্রমে A দ্বারা কোনো লক্ষ্যবস্তুতে আঘাত করার সম্ভাবনা, B দ্বারা কোনো লক্ষ্যবস্তুতে আঘাত করার সম্ভাবনা এবং C দ্বারা কোনো লক্ষ্যবস্তুতে আঘাত করার সম্ভাবনা নির্দেশ করে।
    P(A) = 1/3; ∴ P(Ac) = 1- P(A) = 1 – 1/3 = 2/3
    P(B) = 1/5; ∴ P(Bc) = 1- P(B) = 1 – 1/5 = 4/5
    P(C) = 1/4; ∴ P(Cc) = 1- P(C) = 1 – 1/4 = 3/4
    ঠিক একটি গুলি দ্বারা লক্ষ্যবস্তুকে আঘাত করার সম্ভাবনা
    = {P(A)×P(Bc)×P(Cc)} + {P(Ac)×P(B)×P(Cc)} + {P(Ac)×P(Bc)×P(C)}
    = 1/3×4/5×3/4 + 2/3×1/5×3/4 + 2/3×4/5×1/4
    = 12/60 + 6/60 + 8/60
    = 26/60 = 13/30 (Ans)

    25. তিনজন স্বাধীন সমালোচক কর্তৃক কোনো পুস্তক ‘ভালো’ বলে সমালোচিত হওয়ার অনুকূলে সুযোগ যথাক্রমে 5 : 2, 4 : 3 এবং 3 : 4 । তিনটি সমালোচনার মধ্যে অধিকাংশের ‘ভালো’ বলে সমালোচিত হওয়ার সম্ভাবনা কত?

    Solution:
    তিনজন স্বাধীন সমালোচক কর্তৃক কোনো পুস্তক ‘ভালো’ বলে সমালোচিত হওয়ার ঘটনা A, B এবং C হলে,
    P(A) = 5/5+2 = 5/7; ∴ P(Ac) = 1- P(A) =1 – 5/7 = 2/7
    P(B) = 4/4+3 = 4/7; ∴ P(Bc) = 1- P(B) = 1 – 4/7 = 3/7
    P(C) = 3/3+4 = 3/7; ∴ P(Cc) = 1 – P(C) =1- 3/7 = 4/7
    – – – [A ঘটনার   অনুকূলে সুযোগ = a : b হলে A ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা P(A) = a/a+b  হয়।] তিনটি সমালোচনার মধ্যে অধিকাংশের ‘ভালো’ বলে সমালোচিত হওয়ার সম্ভাবনা
    = {P(A)×P(B)×P(C)} + {P(Ac)×P(B)×P(C)} + {P(A)×P(Bc)×P(C)} + {P(A)×P(B)×P(Cc)}
    = 5/7×4/7×3/7 + 2/7×4/7×3/7 + 5/7×3/7×3/7 + 5/7×4/7×4/7
    = 60/343 + 24/343 + 45/343 +80/343
    = 1/343(60+ 24 + 45 + 80)
    = 209/343 (Ans)

    26. কোনো কোম্পানির পরিচালকমণ্ডলীর পদের জন্য দু-দল প্রার্থী প্রতিযোগিতা করে। প্রথম ও দ্বিতীয় দলের জয়লাভ করার সম্ভাবনা যথাক্রমে 0.6 ও 0.4। যদি প্রথম দল জয়লাভ করে, তবে নতুন ‘প্রোডাক্ট’ চালু করার সম্ভাবনা 0.8 এবং দ্বিতীয় দল জয়লাভ করলে অনুরূপ সম্ভাবনা 0.3। নতুন ‘প্রোডাক্ট’ চালু হওয়ার সম্ভাবনা কত?

    Solution:
    ধরি, নতুন প্রোডাক্ট চালু হওয়ার ঘটনা A এবং প্রথম দলের জয়লাভ করার ঘটনা B দ্বারা সূচিত করা হয়।
    ∴ P(B) = 0.6
    ∴ দ্বিতীয় দলের জয়লাভ করার ঘটনা Bc দ্বারা সূচিত হয়।
    P(Bc) = 1 – P(B) = 1 – 0.6 = 0.4
    প্রশ্নানুযায়ী,
    P(A/B)= 0.8 এবং
    P(A/Bc)= 0.3
    P(A) = P(A∩B) + P(A∩Bc)
    = P(B)×P(A/B) + P(Bc)×P(A/Bc) – – – [∵ P(A/B) = P(A∩B)/P(B)]
    = (0.6×0.8) + (0.4×0.3)
    = 0.48 + 0.12 = 0.6 (Ans)

    দ্বাদশ শ্রেণীর সম্ভাবনা Probability

    27. একজন ব্যক্তি রিপোর্ট করেন যে, পরীক্ষার সময় কোনো জীবাণুর A ওষুধের সঙ্গে বিক্রিয়া করার সম্ভাবনা 0.62 এবং B ওষুধের সঙ্গে ওই সম্ভাবনা 0.53। A ও B উভয় ওষুধের সঙ্গে জীবাণুর বিক্রিয়া করার সম্ভাবনা 0.18 এবং কারও সঙ্গে বিক্রিয়া না করার সম্ভাবনা 0.13। পরীক্ষার রিপোর্ট সম্পর্কে কোনো প্রশ্ন করা উচিত কি?

    Solution:
    ধরি, কোনো জীবাণুর A এবং B ওষুধের সঙ্গে বিক্রিয়া করার ঘটনা যথাক্রমে X এবং Y দ্বারা সূচিত হয়।
    ∴ P(X) = 0.62
    P (Y) = 0.53
    P(X∩Y) = 0.18
    P(Xc∩Yc) = 0.13
    বা, P(XUY)c = 0.13
    বা, P(XUY) = 1 – P(XUY)c
    = 1 – 0.13 = 0.87
    আবার,
    P(XUY) = P(X) + P(Y) – P(X∩Y)
    = 0.62 + 0.53 – 0.18
    = 0.97
    কিন্তু রিপোর্ট অনুযায়ী P(XUY) = 0.87
    পরীক্ষার রিপোর্ট সম্পর্কে প্রশ্ন করা উচিত। (Ans)

    28. (i) এলোপাথাড়িভাবে বিন্যাসিত 52টি তাসের একটি প্যাকেট থেকে যথেচ্ছভাবে দুটি তাস তুলে ফেলে দেওয়া হল। অবশিষ্ট 50টি তাস থেকে একটি টেক্কা তোলার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।

    Solution:
    ফেলে দেওয়া তাস দুটি হতে পারে
    i) 2টিই টেক্কা
    ii) 1টি টেক্কা
    iii) একটিও টেক্কা নয়।
    ধরি, A, B এবং C দ্বারা যথাক্রমে ফেলে দেওয়া 2টি তাসই টেক্কা, 1টি তাস টেক্কা এবং একটিও টেক্কা নয় ঘটনা তিনটি নির্দেশ করা হয়।
    ∴ নমুনা দেশের অন্তর্গত সমভাবে সম্ভাব্য নমুনা বিন্দুর সংখ্যা = 52C2×50C1
    নির্ণেয় সম্ভাবনা
    = A ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা + B ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা + C ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা
    = 1/(52C2×50C1)(4C2×2 + 4C1×48C1×3 + 48C2×4)
    = 1/1326×50(6×2 + 4×48×3 + 1128×4)
    = 1/1326×50(12 + 576 + 4512)
    = 1/166300×5100
    = 1/13 (Ans)

    (ii) এক জোড়া ঝোঁকশূন্য পাশা একসঙ্গে ছোড়া হয়। পাশা দুটিতে প্রাপ্ত অঙ্ক দুটির সমষ্টি 10 বা তার বেশি হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো যখন প্রথম পাশায় 5 পড়ে।

    Solution:
    প্রথম পাশায় 5 পড়লে, পাশা দুটিতে প্রাপ্ত অঙ্ক দুটির সমষ্টি 10 বা তার বেশি হবে যখন দ্বিতীয় পাশায় 5 অথবা 6 পড়বে।
    দ্বিতীয় পাশায় 5 অথবা 6 পড়ার সম্ভাবনা = 2/6 = 1/3
    ∴ নির্ণেয় সম্ভাবনা 1/3 (Ans)

    29. (a) কোনো বস্তুর তিনটে লটে যথাক্রমে 4% 5% ও 10% ত্রুটিপূর্ণ বস্তু আছে। প্রত্যেক লট থেকে যথেচ্ছভাবে একটি করে বস্তু নেওয়া হয়। তোলা তিনটি বস্তুর মধ্যে (i) ঠিক একটি ত্রুটিপূর্ণ (ii)কমপক্ষে একটি ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।

    Solution:
    ধরি, তিনটে লটে ত্রুটিপূর্ণ বস্তু থাকার ঘটনা যথাক্রমে A, B ও C দ্বারা সূচিত করা হয়।
      P(A) = 4/100;   P(Ac) = 1 – 4/100 = 96/100,
    P(B) = 5/100; P(Bc) = 1 – 5/100 = 95/100,
    P(C) = 10/100 = 1/10; P(Cc) = 1 – 1/10 = 9/10
    (i) ঠিক একটি ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার সম্ভাবনা
    = P(A∩Bc∩Cc) + P(Ac∩B∩Cc) + P(Ac∩Bc∩C)
    = P(A)×P(Bc)×P(Cc) + P(Ac)×P(B)×P(Cc) + P(Ac)×P(Bc)×P(C)
    = 4/100×95/100×9/10  +  96/100×5/100×9/10 + 96/100×95/100×1/10
    = 3420/100000 + 4320/100000 + 9120/100000
    = 342/10000 + 432/10000 + 912/10000
    = 1/10000×(342 + 432 + 912)
    = 1/10000×1686
    = 0.1686 (Ans)
     (ii)কমপক্ষে একটি ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার সম্ভাবনা
    = 1 – P(Ac)×P(Bc)×P(Cc)
    = 1 – 96/100×95/100×9/10
    = 1 – 82080/100000
    = 1 – 0.8208 = 0.1792 (Ans)

    দ্বাদশ শ্রেণীর সম্ভাবনা Probability

     (b) একটি শত্রুবিমান-বিধ্বংসী বন্দুক থেকে পলায়মান শত্রুবিমানের দিকে সর্বাধিক 4টি গুলি নিক্ষেপ করা যায়। প্রথম, দ্বিতীয়, তৃতীয় এবং চতুর্থ গুলি দিয়ে শত্রুবিমানে আঘাত করার সম্ভাবনা যথাক্রমে 0.4, 0.3, 0.2 ও 0.1 হলে, বন্দুকটির শত্রুবিমানে আঘাত করার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।

    Solution:
    ধরি, প্রথম, দ্বিতীয়, তৃতীয় এবং চতুর্থ গুলি দিয়ে শত্রুবিমানে আঘাত করার ঘটনা যথাক্রমে A, B, C ও D দ্বারা সূচিত করা হয়।
      P(A) = 0.4;   P(Ac) = 1 – 0.4 = 0.6,
    P(B) = 0.3; P(Bc) = 1 – 0.3 = 0.7,
    P(C) = 0.2 P(Cc) = 1 – 0.2 = 0.8 ও
    P(D) = 0.1; P(Dc) = 1 – 0.1 = 0.9
    ∴ প্রথম, দ্বিতীয়, তৃতীয় এবং চতুর্থ গুলি দিয়ে শত্রুবিমানে আঘাত না করার সম্ভাবনা
    = P(Ac∩Bc∩Cc∩Dc)
    = P(Ac)×P(Bc)×P(Cc)×P(Dc)
    = 0.6×0.7×0.8×0.9
    = 0.3024
    ∴ বন্দুকটির শত্রুবিমানে আঘাত করার সম্ভাবনা
    = 1 – 0.3024
    = 0.6976 (Ans)

    30. A ও B এই দুই অংশের সমন্বয়ে কোনো কোম্পানির একটি বস্তু উৎপাদিত হয়। A অংশের উৎপাদন পদ্ধতিতে 100টির মধ্যে প্রায়শই 9টি ত্রুটিপূর্ণ হয়। আবার, B অংশের উৎপাদন পদ্ধতিতে প্রায়শই 100টির মধ্যে 5টি ত্রুটিপূর্ণ হয়। সংগৃহীত বস্তুসমূহ ত্রুটিপূর্ণ না হওয়ার সম্ভাবনা গণনা করো।

    Solution:
    A অংশ দ্বারা উৎপন্ন বস্তুর,
    ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার সম্ভাবনা P(A) = 9/100
    ত্রুটিপূর্ণ না হওয়ার সম্ভাবনা P(Ac)
    = 1 – P(A) = 1 – 9/100 = 91/100
    B অংশ দ্বারা উৎপন্ন বস্তুর,
    ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার সম্ভাবনা P(B) = 5/100
    ত্রুটিপূর্ণ না হওয়ার সম্ভাবনা P(Bc)
    = 1- P(B) = 5/100 = 95/100
    সংগৃহীত বস্তুসমূহ ত্রুটিপূর্ণ না হওয়ার সম্ভাবনা
    = P(Ac) P(Bc)
    = 91/100×95/100
    = 0.8645 (Ans)

    দ্বাদশ শ্রেণীর সম্ভাবনা Probability

    31. শিশুদের তিনটি দলে যথাক্রমে 3 জন বালিকা ও 1 জন বালক, 2 জন বালিকা ও 2 জন বালক এবং 1 জন বালিকা ও 3 জন বালক আছে। প্রত্যেক দল থেকে যথেচ্ছভাবে 1 জন শিশু নির্বাচন করা হয়। নির্বাচিত দলে 1 জন বালিকা ও 2 জন বালক থাকার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।

    Solution:
    নির্বাচিত দলে 1 জন বালিকা ও 2 জন বালক থাকার সম্ভাবনা নিম্নলিখিত তিনটি উপায়ে হতে পারে –
    (i) প্রথম দল হতে বালক, দ্বিতীয় দল হতে বালক, তৃতীয় দল হতে বালিকা।
    সেক্ষেত্রে সম্ভাবনা হবে
    = 1/4×2/4×1/4 = 2/64
    (ii) প্রথম দল হতে বালক, দ্বিতীয় দল হতে বালিকা, তৃতীয় দল হতে বালক।
    সেক্ষেত্রে সম্ভাবনা হবে
    = 1/4×2/4×3/41/4= 6/64
    (iii) প্রথম দল হতে বালিকা, দ্বিতীয় দল হতে বালক, তৃতীয় দল হতে বালক।
    সেক্ষেত্রে সম্ভাবনা হবে
    = 3/4×2/4×3/4 = 18/64
    নির্ণেয় সম্ভাবনা
    = 2/64 + 6/64 + 18/64
    = 2/64(1 + 3+ 9)
    = 2/64×26 = 13/32 (Ans)

    32. (i) একটি ছ-তলবিশিষ্ট পাশার এমন ঝোঁক আছে যে, অযুগ্ম সংখ্যা যতবার পড়ে যুগ্ম সংখ্যা তার দ্বিগুণ সংখ্যক বার পড়ে। পাশাটি দু- বার ছোড়া হয়। দু-বারে প্রাপ্ত সংখ্যা দুটির সমষ্টি যুগ্ম হওয়ার সম্ভাবনা কত?

    (i) Solution:
    একটি ঝোঁকশূন্য পাশায়,
    অযুগ্ম সংখ্যা পড়ার সম্ভাবনা
    = P(A) = 1/3
    যুগ্ম সংখ্যা পড়ার সম্ভাবনা
    = P(B) = 2×1/3 = 2/3
    দুবারই অযুগ্ম সংখ্যা পড়ার সম্ভাবনা
    = P(A) ×P(A)
    = 1/3×1/3 = 1/9 এবং
    দুবারই যুগ্ম সংখ্যা পড়ার সম্ভাবনা
    = P(B)×P(B)
    = 2/3×2/3 = 4/9
    প্রাপ্ত ফলের সমষ্টি যুগ্ম হওয়ার সম্ভাবনা
    = 1/9 + 4/9
    = 1+4/9 = 5/9 (Ans)

    (ii) একটি ঝোঁকশূন্য পাশার তিনটে তল হলদে, দুটি তল লাল এবং একটি নীল।পাশাটি তিনবার নিক্ষেপ করা হল। প্রথম, দ্বিতীয়, তৃতীয় নিক্ষেপে যথাক্রমে হলদে, লাল এবং নীল পড়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।

    Solution:
    ধরি, পাশার তিনবার নিক্ষেপে যথাক্রমে হলদে, লাল এবং নীল পড়ার ঘটনা A, B এবং C দ্বারা সূচিত করা হয়।
    P(A) = 3/6 = 1/2, P(B) = 2/6 = 1/3
    P(C) = 1/6
    প্রথম, দ্বিতীয়, তৃতীয় নিক্ষেপে যথাক্রমে হলদে, লাল এবং নীল তল পড়ার সম্ভাবনা
    = P(A)P(B)P(C)
    = 1/2×1/3×1/6
    = 1/36 (Ans)

    দ্বাদশ শ্রেণীর সম্ভাবনা Probability

    33.
    (i) A ও B-এর মধ্যে ঝোঁকশূন্য পাশা নিয়ে খেলা হয়। যে প্রথম ‘ছয়’ ফেলতে পারে সেই জিতে যায়। যদি A খেলা আরম্ভ করে তবে দেখাও যে, তার খেলায় জেতার সম্ভাবনা হয় 6/11

    Solution:
    P(A) = 1/6; ∴ P(Ac) = 1 – 1/6= 5/6
    P(B) = 1/6; ∴ P(Bc) = 1 – 1/6= 5/6
      ∴A খেলা আরম্ভ করলে,
    A -এর জেতার সম্ভাবনা
    = P(A) + P(Ac∩Bc∩A) + P(Ac∩Bc∩Ac∩Bc∩A) +……
    = 1/6 + 5/6×5/6×1/6 + 5/6×5/6×5/6×5/6×1/6 +…….
    = 1/6(1+(⅚)2 +(⅚)4+…..)
    = 1/6×1/(1-25/36)
    = 1/6×36/(36-25)
    = 1/6×36/11 = 6/11 (Proved)

    (ii) A, B ও C পর্যায়ক্রমে একটি ঝোঁকশূন্য মুদ্রা উৎক্ষেপণ করে। যে প্রথমে ‘হেড্‌’ ফেলে সেই জিতে যায়। প্রত্যেকের জয়লাভ করার সম্ভাবনা নির্ণয় করো ।

    Solution:
    ধরি, A, B ও C এর হেড্‌ ফেলার ঘটনা যথাক্রমে A, B ও C দ্বরা সুচিত করা হয়।
    P(A) = 1/2; ∴ P(Ac) = 1 – 1/2 = 1/2
    P(B) = 1/2; ∴ P(Bc) = 1 – 1/2 = 1/2;
    P(C) = 1/2; ∴ P(Cc) = 1 – 1/2 = 1/2
    যে প্রথমে ‘হেড্‌’ ফেলে সেই জিতে যায়।
    A প্রথমে ‘হেড্‌’ ফেললে,
    A -এর জেতার সম্ভাবনা
    = P(A) + P(Ac∩Bc∩Cc∩A) + P(Ac∩Bc∩Cc∩Ac∩Bc∩Cc∩A) +……
    = 1/2 + 1/2×1/2×1/2×1/2 + 1/2×1/2×1/2×1/2×1/2×1/2×1/2 + …….
    = 1/2(1 + 1/8 + 1/64 +…..)
    = 1/2×1/(1-1/8)
    = 1/2×8/8-1
    = 1/2×8/7 = 4/7
    B প্রথম ‘হেড্‌’ ফেললে,
    B -এর জেতার সম্ভাবনা
    = P(Ac∩B) + P(Ac∩Bc∩Cc∩Ac∩B) + P(Ac∩Bc∩Cc∩Ac∩Bc∩Cc∩Ac∩B) +……
    = 1/2×1/2 + 1/2×1/2×1/2×1/2×1/2 + 1/2×1/2×1/2×1/2×1/2×1/2×1/2×1/2 +…….
    = 1/4(1 + 1/8 + 1/64 +…..)
    = 1/4×1/(1-1/8)
    = 1/4×8/8-1
    = 1/4×8/7 = 2/7
    C প্রথম ‘হেড্‌’ ফেললে,
    C -এর জেতার সম্ভাবনা
    = P(Ac∩Bc∩C) + P(Ac∩Bc∩Cc∩Ac∩Bc∩C) + P(Ac∩Bc∩Cc∩Ac∩Bc∩Cc∩Ac∩Bc∩C)+……
    = 1/2×1/2×1/2 + 1/2×1/2×1/2×1/2×1/2×1/2 + 1/2×1/2×1/2×1/2×1/2×1/2×1/2×1/2×1/2 + …….
    = 1/8(1 + 1/8 + 1/64 +…..)
    = 1/8×1/(1-1/8)
    = 1/8×8/8-1
    = 1/8×8/7 = 1/7 (Ans)

    34. একটি থলিতে 5টি লাল ও 4টি হলদে রঙের বল আছে। থলি থেকে উদ্দেশ্যহীনভাবে একটি বল তোলা হয় এবং অপর একটি থলিতে রাখা হয় যার মধ্যে 3টি লাল ও 6টি হলদে বল আছে। দ্বিতীয় থলি থেকে যথেচ্ছভাবে একটি বল তোলা হয় উত্তোলিত বলটি হলদে রঙের হওয়ার সম্ভাবনা কত?

    Solution:
    প্রথম থলি থেকে তোলা বলটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা = 5/9
    এবং হলদে হওয়ার সম্ভাবনা = 4/9
    প্রথম থলি থেকে তোলা বলটি দ্বিতীয় থলিতে রাখা হয়।
    দ্বিতীয় থলি থেকে তোলা বলটি হলদে হওয়ার সম্ভাবনা –
    (i) প্রথম থলি থেকে তোলা বলটি লাল হলে সম্ভাবনা
    = 5/9×6/10 = 15/45
    (ii) প্রথম থলি থেকে তোলা বলটি হলদে হলে সম্ভাবনা
    = 4/9×7/10= 14/45
    ∴ দ্বিতীয় থলি থেকে তোলা বলটি হলদে হওয়ার মোট সম্ভাবনা
    = 15/45 + 14/45
    = 1/45(15+14)
    = 29/45 (Ans)

    দ্বাদশ শ্রেণীর সম্ভাবনা Probability

    35.
    (i) 2টি একই ধরনের থলির প্রত্যেকটিতে 5টি সাদা ও 5টি লাল বল আছে। দ্বিতীয় থলি থেকে উদ্দেশ্যহীনভাবে 1টি বল প্রথম থলিতে স্থানান্তর করা হয়। তারপর প্রথম থলি থেকে একটি বল তোলা হয়; তোলা বলটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।

    Solution:
    দ্বিতীয় থলি থেকে উদ্দেশ্যহীনভাবে 1টি বল প্রথম থলিতে স্থানান্তর করা হলে,
    সেটি সাদা বল হওয়ার সম্ভাবনা = 5/10 = 1/2
    সেটি লাল বল হওয়ার সম্ভাবনা = 5/10 = 1/2
    দ্বিতীয় থলি থেকে স্থানান্তরিত হওয়া বলটি সাদা হলে,
    প্রথম থলি থেকে তোলা বলটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা = 1/2×5/11 = 5/22
    দ্বিতীয় থলি থেকে স্থানান্তরিত হওয়া বলটি লাল হলে,
    প্রথম থলি থেকে তোলা বলটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা = 1/2×6/11 = 6/22
    ∴ প্রথম থলি থেকে তোলা বলটি লাল হওয়ার মোট সম্ভাবনা
    = 5/22 + 6/22
    = 11/22 = 1/2 (Ans)

    (ii) একটি পাত্র A-র মধ্যে 3টি সাদা ও 5টি লাল মারবেল আছে। অন্য একটি পাত্র B-এর মধ্যে 5টি সাদা এবং 3টি লাল মারবেল আছে। A পাত্র থেকে B পাত্রে 2টি মারবেল স্থানান্তর করা হয় এবং তারপর B পাত্র থেকে 1টি মারবেল তোলা হয়। উত্তোলিত মারবেলটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা কত?

    Solution:
    A পাত্র থেকে 2টি মারবেল স্থানান্তর করা হলে
    দুটি মারবেলই সাদা হওয়ার সম্ভাবনা হবে = 3C2/8C2 অথবা
    দুটি মারবেলই লাল হওয়ার সম্ভাবনা হবে = 5C2/8C2 অথবা
    একটি মারবেল লাল এবং একটি মারবেল সাদা হওয়ার সম্ভাবনা হবে = 5C1×3C1/8C2
    B পাত্রে 2টি মারবেল স্থানান্তর করা হয়।
    স্থানান্তরিত মারবেল 2টি লাল হলে,
    B পাত্র থেকে তোলা মারবেলটি সাদা হওয়ার সম্ভাবনা
    = 3C2/8C2×3/10
    = 3/28×3/10
    = 9/280
    স্থানান্তরিত মারবেল 2টি লাল সাদা হলে,
    B পাত্র থেকে তোলা মারবেলটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা
    = 5C2/8C2×5/10
    = 10/28×1/2
    = 5/28
    স্থানান্তরিত মারবেলের একটি   সাদা এবং একটি লাল হলে,
    B পাত্র থেকে তোলা মারবেলটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা
    = 5C1×3C1/8C2
    = 5×3/28×4/10
    = 6/28
    ∴ B পাত্র থেকে তোলা মারবেলটি লাল হওয়ার মোট সম্ভাবনা
    = 9/280 + 5/28 + 6/28
    = 1/280 (9 + 50 + 60)
    = 119/280 = 17/40 (Ans)

    36. তিনটি থলির প্রত্যেকটিতে 5টি লাল ও 5টি কালো বল আছে। উদ্দেশ্যহীনভাবে প্রথম থলি থেকে একটি বল দ্বিতীয় থলিতে এবং তারপর দ্বিতীয় থলি থেকে উদ্দেশ্যহীনভাবে একটি বল তৃতীয় থলিতে স্থানান্তর করা হয়। এখন, তৃতীয় থলি থেকে একটি বল তোলা হয়। বলটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।

    Solution:
    প্রথম থলি থেকে উদ্দেশ্যহীনভাবে একটি বল তুললে লাল বল অথবা কালো বল উঠতে পারে। প্রথম থলি থেকে লাল বল ওঠার সম্ভাবনা = 5/10 = 1/2
    এবং কালো বল ওঠার সম্ভাবনা = 5/10 = 1/2
    প্রথম থলি থেকে তোলা বলটি দ্বিতীয় থলিতে স্থানান্তরিত করা হয়।
    ∴ প্রথম থলি থেকে লাল বল উঠলে,
    দ্বিতীয় থলি থেকে লাল বল উঠার সম্ভাবনা = 1/2×6/11
    এবং কালো বল ওঠার সম্ভাবনা = 1/2×5/11
    কিন্তু প্রথম থলি থেকে কালো বল উঠলে,
    দ্বিতীয় থলি থেকে লাল বল ওঠার সম্ভবনা = 1/2×5/11
    এবং কালো বল ওঠার সম্ভাবনা = 1/2×6/11
    আবার, প্রথম থলি থেকে লাল বল এবং দ্বিতীয় থলি থেকেও লাল বল উঠলে,
    তৃতীয় থলি থেকে লাল বল উঠার সম্ভাবনা = 1/2×6/11×6/11 = 36/242
    প্রথম থলি থেকে লাল বল এবং দ্বিতীয় থলি থেকে কালো বল উঠলে,
    তৃতীয় থলি থেকে লাল বল উঠার সম্ভাবনা = 1/2×6/11×5/11 = 30/242
    প্রথম থলি থেকে কালো বল এবং দ্বিতীয় থলি থেকে লাল বল উঠলে,
    তৃতীয় থলি থেকে লাল বল উঠার সম্ভাবনা = 1/2×5/11×6/11 = 30/242
    প্রথম থলি থেকে কালো বল এবং দ্বিতীয় থলি থেকে কালো বল উঠলে তৃতীয় থলি থেকে লাল বল উঠার সম্ভাবনা = 1/2×5/11×5/11 = 25/242
    ∴ তৃতীয় থলি থেকে তোলা বলটি লাল হওয়ার মোট সম্ভাবনা
    = 36/242 + 30/242 + 30/242 + 25/242
    = 1/242(36 + 30 + 30 + 25)
    = 121/242 = 1/2 (Ans)

    PREVIOUS
    NEXT
  • Koshe Dekhi 13 Class X Variation কষে দেখি 13 ভেদ দশম শ্রেণি

    Koshe Dekhi 13 Class X Variation কষে দেখি 13 ভেদ দশম শ্রেণি

    Koshe Dekhi 13 Class X Variation
    কষে দেখি 13 ভেদ দশম শ্রেণি

    কষে দেখি 13 ভেদ দশম শ্রেণি Koshe Dekhi 13 Class X Variation

    ভেদ তিন প্রকারের। যথা-
    (a) সরল ভেদ
    (b) ব্যস্ত ভেদ
      (c) যৌগিক ভেদ
    ⛔  সরল ভেদঃ   দুটি পরস্পর সম্পর্কিত চলরাশি যদি এমন হয় যে , একটির মান বৃদ্ধি পেলে অপরটির মানও বৃদ্ধি পায় বা একটির মান হ্রাস পেলে অপরটির মানও হ্রাস পায়, তখন ওই দুটি চলরাশির মধ্যকার সম্পর্ককে সরলভেদ বলা হয়।
    ★ যদি a ও b পরস্পর সরল ভেদে থাকে, তাহলে সেটিকে সাংকেতিক ভাষায় লেখা হয়, a ∝ b
    a ∝ b
    ⇒ a = bk – – – [এখানে k কে অশুন্য ভেদ ধ্রুবক বলা হয়।]
    ⇒ a/b = k
    ★★ অর্থাৎ, দুটি চলরাশি পরস্পর সরল ভেদে থাকলে তাদের ভাগফল সর্বদা ধ্রুবক হয়।

    ⛔  ব্যস্ত ভেদঃ দুটো চলরাশির মধ্যে যখন একটি রাশির মান বৃদ্ধি পেলে অপরটির মান হ্রাস পায় কিংবা একটি রাশির মান হ্রাস পেলে অপরটির মান বৃদ্ধি পায়, তখন ওই রাশি দুটি ব্যস্ত ভেদে আছে বলা হয়।
    ★ যদি a ও b পরস্পর ব্যস্ত ভেদে থাকে, তাহলে সেটিকে সাংকেতিক ভাষায় লেখা হয়,  a ∝ 1/b
    a ∝ 1/b
    ⇒ a = k×1/b – – – [এখানে k কে অশুন্য ভেদ ধ্রুবক বলা হয়।]
    ⇒ ab = k
    ★★ অর্থাৎ, দুটি চলরাশি পরস্পর ব্যস্ত ভেদে থাকলে তাদের গুণফল সর্বদা ধ্রুবক হয়।

    ⛔  যৌগিক ভেদঃ  যদি একটি চলরাশি অন্য একাধিক চলরাশির গুণফলের সঙ্গে সরল ভেদে থাকে ,তবে প্রথম চলরাশি অপর চলরাশিগুলির সঙ্গে যৌগিক ভেদে আছে বলা হয়।

    ⛔⛔  যৌগিক ভেদের উপপাদ্যঃ  x, y, z তিনটি চলরাশি এমন সম্পর্কযুক্ত যে, x ∝ y যখন z অপরিবর্তিত থাকে এবং x ∝ z যখন y অপরিবর্তিত থাকে, তবে x ∝ yz হবে , যখন y এবং z উভয়ই পরিবর্তনশীল।

    Koshe Dekhi 13 Class X Variation
    কষে দেখি 13 ভেদ দশম শ্রেণি

    1. দুটি A ও B-এর সম্পর্কিত মানগুলি

    A253045250
    B101218100
    A ও B-এর মধ্যে কোনো ভেদ সম্পর্ক থাকলে তা নির্ণয় করি ও ভেদ ধ্রুবকের মান লিখি।

    Solution:
    A/B = 25/10 = 30/12 = 45/18 = 250/100 = 5/2
    ∴ A = 5/2×B
    ∴ A ∝ B
    Ans: A ও B পরস্পর সরলভেদে আছে।
    ভেদ ধ্রুবকের মান 5/2

    2. x ও y দুটি চল এবং তাদের সম্পর্কিত মানগুলি

    x188126
    y327/49/29
      x ও y-এর মধ্যে কোনো ভেদ সম্পর্ক আছে কিনা বুঝে লিখি।

    Solution:
    xy = 18×3 = 54
    = 8×27/4 =54
    ⇒ 12×9/2 =54
    = 6×9 =54
    ∴ xy = 54
    ∴ x ∝ 1/y
    Ans: x ও y এর মধ্যে ব্যস্ত সম্পর্ক আছে।

    3. (i) বিপিনকাকুর ট্যাক্সি 25 মিনিটে 14 কিমি পথ অতিক্রম করে। একই গতিবেগে ট্যাক্সি চালিয়ে 5 ঘণ্টায় তিনি কতটা পথ যাবেন তা ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে হিসাব করি।

    Solution:
      ধরি, বিপিনকাকুর ট্যাক্সি t মিনিটে s কিমি দূরত্ব অতিক্রম করে।
    সময় ও দূরত্ব পরস্পর সরলভেদে থাকে।
    ∴ s ∝ t
    বা, s = kt – – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
    এখানে, t= 25 হলে s = 14 হয়।
    ∴ 14 = 25k
    বা, k = 14/25
    ∴ s = 14/25×t
    5 ঘণ্টা = 5×60 = 300 মিনিট
    t = 300 হলে,
    s = 14/25×300
    বা, s = 14×12 = 168
    Ans: 5 ঘণ্টায় তিনি 168 কিমি পথ যাবেন

    (ii) আমাদের স্কুলের প্রথম শ্রেণির 24 জন শিশুর মধ্যে একবাক্স সন্দেশ সমান ভাগে ভাগ করে দিলাম এবং প্রত্যেকে 5 টি করে গোটা সন্দেশ পেল। যদি শিশুর সংখ্যা 4 জন কম হত, তবে প্রত্যেকে কতগুলি গোটা সন্দেশ পেত তা ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে হিসাব করি।

    Solution:
    ধরি, প্রত্যেক শিশুর প্রাপ্ত সন্দেশের সংখ্যা = y এবং শিশুর সংখ্যা = x
    মোট সন্দেশের সংখ্যা স্থির রেখে শিশুর সংখ্যা বাড়ালে শিশুর প্রাপ্ত সন্দেশের সংখ্যা কমে যাবে। ∴ প্রত্যেক শিশুর প্রাপ্ত সন্দেশ এবং শিশুর সংখ্যা পরস্পর ব্যস্ত ভেদে আছে।
    x ∝ 1/y
    ∴ x = k1/y – – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
    x = 5 হলে y = 24 হয়।
    ∴ 5 = k×1/24
    বা, k = 5×24
    ∴ x = 5×24×1/y
    y = (24 – 4) = 20 হলে ,
    x = 5×24×1/20
    বা, x = 6
    Ans: শিশুর সংখ্যা 4 জন কম হলে প্রত্যেকে 6 টি গোটা সন্দেশ পেত।

    (iii) একটি পুকুর কাটতে 50 জন গ্রামবাসীর 18 দিন সময় লেগেছে। পুকুরটি 15 দিনে কাটতে হলে অতিরিক্ত কতজন লোককে কাজ করতে হবে  তা ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে হিসাব করি।

    Solution:
    ধরি, গ্রামবাসীর সংখ্যা = N এবং সময় = t
    মোট কাজের পরিমাণ স্থির রেখে গ্রামবাসীর সংখ্যা বাড়লে দিনসংখ্যা কমবে।
    ∴ গ্রামবাসীর সঙ্গে সময়ের পরস্পর ব্যস্ত সম্পর্ক।
    N ∝ 1/t
    ∴ N = k1/t – – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
    N = 50 হলে t = 18 হয়।
    ∴ 50 = k×1/18
    বা, k = 50×18
    ∴ N = 50×18×1/t
    t = 15 হলে ,
    N = 50×18×1/15
    বা, N = 60
    পুকুরটি 15 দিনে কাটতে 60 জন লোক লাগবে।
    Ans: অতিরিক্ত (60 – 50) = 10 জন লোককে কাজ করতে হবে।

    কষে দেখি 13 ভেদ দশম শ্রেণি Koshe Dekhi 13 Class X Variation

    4. (i) y, x-এর বর্গমূলের সঙ্গে সরলভেদে আছে এবং y = 9 যখন x = 9; x-এর মান নির্ণয় করি যখন y = 6

    Solution:
    প্রশ্নানুযায়ী,
    y ∝ √x
    ∴ y = k√x – – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
    y = 9 যখন x = 9
    ∴ 9 = k×√9
    বা, 3k = 9
    বা, k = 3
    ∴ y = 3√x
    y = 6 হলে,
    6 = 3√x
    বা, √x = 2
    বা, √x = 4
    Ans: x-এর মান 4

    (ii) x, y-এর সঙ্গে সরলভেদে এবং z-এর সঙ্গে ব্যস্ত ভেদে আছে। y = 4, z = 5 হলে x = 3 হয়। আবার y = 16, z = 30 হলে, x-এর মান হিসাব করে লিখি।

    Solution:
    প্রশ্নানুযায়ী,
    x ∝ y/z
    ∴ x = k×y/z – – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
    y = 4 ও z = 5 হলে x = 3 হয়
    ∴ 3 = k×4/5
    বা, 4k = 15
    বা, k = 15/4
    ∴ x = 15/4×y/z
    y = 16 ও z = 30​ হলে,
    x = 15/4×16/30
    বা, x = 2
    Ans: x-এর মান 2

    (iii) x, y-এর সঙ্গে সরলভেদে এবং z-এর সঙ্গে ব্যস্তভেদে আছে। y = 5 ও z = 9 হলে x = 1/6 হয়।x, y ও z-এর মধ্যে y = 6 ও z = 1/5​ হলে, x-এর মান হিসাব করে লিখি।

    Solution:
    প্রশ্নানুযায়ী,
    x ∝ y/z
    ∴ x = k×y/z – – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
    y = 5 ও z = 9 হলে x = 1/6 হয়
    ∴ 1/6 = k×5/9
    বা, 30k = 9
    বা, k = 3/10
    ∴ x = 3/10×y/z
    y = 6 ও z = 1/5​ হলে,
    x = 3/10×6/1/5
    বা, x = 3/10×30
    বা, x = 9
    Ans: x-এর মান 9​​

    5 (i) x ∝ y হলে, দেখাই যে x + y ∝ x − y

    Solution:
    x ∝ y
    ∴ x = ky – – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
    ⇒ x/y = k
    ⇒ x+y/x-y = k+1/k-1 – – – – [যোগ-ভাগ প্রক্রিয়া প্রয়োগ করে পাই]
    বা, x + y = k+1/k-1×(x – y)
    ∴ x + y ∝ x – y (Proved)

    (ii) A ∝ 1/C, C ∝ 1/B হলে, দেখাই যে, A ∝ B

    Solution:
    A ∝ 1/C
    ∴ A = k×1/C – – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
    ⇒ A = k/C
    ⇒ C = k/A
    C ∝ 1/B
    ∴ C = m×1/B – – – – – [যেখানে m অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
    ⇒ k/A = m/B – – – – [∵ C = k/A ]
    ⇒ Am = Bk
    বা, A = k/m × B
    ∴ A ∝ B (Proved)

    (iii) যদি a ∝ b, b ∝ 1/c এবং c ∝ d হয়, তবে a ও d-এর মধ্যে ভেদ সম্পর্ক লিখি।

    Solution:
    a ∝ b
    ∴ a = kb – – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
    b ∝ 1/c
    ∴ b = m1/c – – – – – [যেখানে m অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
    বা, b = m/c
    c ∝ d
    ∴ c = nd – – – – – [যেখানে n অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
    ∵ a = kb
    ⇒ a = k×m/c – – – – [∵ b = m/c ]
    ⇒ a = k×m/nd – – – – [∵ c = nd]
    বা, a = km/n×1/d
    ∴ a ∝ 1/d
    Ans: a ও d-এর মধ্যে ব্যস্ত সম্পর্ক বর্তমান।

    (iv) x ∝ y, y ∝ z এবং z ∝ x হলে, ভেদ ধ্রুবক তিনটির মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করি।

    Solution:
    x ∝ y
    ⇒ x = ky – – – -(i) – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
    y ∝ z
    ⇒ y = mz – – – – (ii) – – [যেখানে m অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
    z ∝ x
    ⇒ z = nx – – – -(iii) – – [যেখানে n অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
    (i)×(ii)×(iii) করে পাই,
    x×y×z = ky×mz×nx
    বা, 1 = kmn
    ভেদ ধ্রুবক তিনটির মধ্যে সম্পর্ক –
    ভেদ ধ্রুবক তিনটির গুণফল 1 (Ans)

    Class X Variation ভেদ দশম শ্রেণি Koshe Dekhi 13 কষে দেখি 13

    6. x + y ∝ x – y হলে,
    (i) x2 + y2 ∝ xy

    Solution:
    x + y ∝ x – y
    ∴ x + y = k(x – y) – – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
    ⇒ x + y = kx – ky
    বা, y + ky = kx – x
    বা, y(1 + k) = x(k – 1)
    ∴ y/x = (k – 1)/(1 + k)
    ⇒ x/y = (k + 1)/(k – 1)
    ∴ x/y = (k + 1)/(k – 1)
    বা, x/y = m – – – – [ধরি, (k + 1)/(k – 1) =m]
    ⇒ x = my

    $$\large{\therefore\frac{x^2+y^2}{xy}\\=\frac{m^2y^2+y^2}{my.y}\\=\frac{y^2(m^2+1)}{m.y^2}\\= \frac{m^2+1}{m}\\=Constant\\\therefore x^2+y^2∝xy\quad\mathbf{(Proved)} }$$

    (ii) x3 + y3 ∝ x3 – y3

    Solution:
    x + y ∝ x – y
    ∴ x + y = k(x – y) – – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
    ⇒ x + y = kx – ky
    ⇒ y + ky = kx – x
    বা, y(1 + k) = x(k – 1)
    বা, y/x = (k – 1)/(1 + k)
    ⇒ x/y = (k + 1)/(k – 1)
    ⇒ x/y = (k + 1)/(k – 1)
    বা, x/y = m – – – – [ধরি, (k + 1)/(k – 1) =m]
    ⇒ x = my

    $$\large{⇒\frac{x}{y}=m\\⇒\frac{x^3}{y^3}=m^3\\⇒\frac{x^3+y^3}{x^3-y^3}=\frac{m^3+1}{m^3-1}\\⇒ x^3+y^3=\left(\frac{m^3+1}{m^3-1}\right)(x^3-y^3)\\\therefore x^3+y^3∝x^3-y^3\quad\mathbf{(Proved)}}$$

    (iii) ax + by ∝ px + qy [যেখানে, a, b, p, q অশূন্য ধ্রুবক]

    Solution:
    x + y ∝ x – y
    ∴ x + y = k(x – y) – – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
    বা, x + y = kx – ky
    বা, y + ky = kx – x
    ⇒ y(1 + k) = x(k – 1)
    বা, y/x = (k – 1)/(1 + k)
    বা, x/y = (k + 1)/(k – 1)
    ⇒ x/y = (k + 1)/(k – 1)
    বা, x/y = m – – – – [ধরি, (k + 1)/(k – 1) =m]
    বা, x = my

    $$\large{\quad\therefore\frac{ax + by}{px + qy}\\=\frac{a×my+by}{p×my+qy}\\=\frac{y(am+b)}{y(pm+q)}\\=\frac{am+b}{pm+q}}$$

    = ধ্রুবক – – – – – [∵ m, a, b, p, q প্রত্যেকে ধ্রুবক]
    ∴ ax + by ∝ px + qy (Proved)

    7. (i) a2 + b2 ∝ ab হলে, প্রমাণ করি যে, a + b ∝ a – b
    Solution:
    a2 + b2 ∝ ab
    বা, a2 + b2 = kab – – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

    $$\large{\quad\frac{a^2+b^2}{ab}=k\\⇒\frac{a^2+b^2}{2ab}=\frac{k}{2}\\⇒\frac{a^2+b^2+2ab}{a^2+b^2-2ab}=\frac{k+2}{k-2}\\⇒\frac{(a+b)^2}{(a-b)^2}=\frac{k+2}{k-2}\\⇒\frac{a+b}{a-b}=\sqrt{\frac{k+2}{k-2}}\\⇒\frac{a+b}{a-b}=m\\⇒\frac{a+b}{a-b}=Constant\\\therefore a+b∝a-b\quad\quad \mathbf{(Proved)}}$$

    (ii) x3 + y3 ∝ x3 – y3 হলে, প্রমাণ করি যে, x + y ∝ x – y

    Solution:
    x3 + y3 ∝ x3 – y3
    বা, x3 + y3 = k(x3 – y3) – – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

    $$\large{\quad\frac{x^3+y^3}{x^3-y^3}=k\\⇒\frac{x^3+y^3+x^3-y^3}{x^3+y^3-x^3+y^3}=\frac{k+1}{k-1}\\⇒\frac{2x^3}{2y^3}=\frac{k+1}{k-1}\\⇒\frac{x^3}{y^3}=\frac{k+1}{k-1}\\⇒\frac{x}{y}=\sqrt[3]{\frac{k+1}{k-1}}=m\\⇒\frac{x}{y}=m\\⇒\frac{x+y}{x-y}=\frac{m+1}{m-1}\\⇒\frac{x+y}{x-y}=Constant\\\therefore x+y∝x-y\quad\quad \mathbf{(Proved)}}$$

    কষে দেখি 13 ভেদ দশম শ্রেণি Koshe Dekhi 13 Class X Variation

    8. 15 জন কৃষক 5 দিনে 18 বিঘা জমি চাষ করতে পারেন। ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে 10 জন কৃষক 12 বিঘা জমি কতদিনে চাষ করতে পারবেন তা নির্ণয় করি।

    Solution:
    ধরি, কৃষকের সংখ্যা = N, সময় = t এবং জমির পরিমাণ = A
    সময়, কৃষকের সংখ্যার সাথে ব্যস্ত ভেদে থাকে যখন জমির পরিমাণ স্থির থাকে ।
    t ∝ 1/N – – – – [যখন A স্থির]
    এবং সময়, জমির পরিমানের সাথে সরল ভেদে থাকে যখন কৃষকের সংখ্যা স্থির থাকে।​
    t ∝ A – – – – [যখন N স্থির]
    ∴ যৌগিক ভেদের উপপাদ্য অনুযায়ী,
    t ∝ A/N – – – – [যখন A ও N উভয়েই পরিবর্তনশীল]
    ∴ t = k×A/N – – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
    ∴ t = kA/N– – – – – – (i)
    N = 15 এবং A = 18 হলে t = 5 হয়।
    (i) নং থেকে পাই,
    5 = k×18/15
    বা, k×18 = 5×15
    বা, k = 25/6
    (i) নং এ k = 25/6 বসিয়ে পাই,
    t = 25/6 × A/N
    N = 10 এবং A = 12 হলে
    t = 25/6 × 12/10
    ∴ t = 5
    Ans: 10 জন কৃষক 12 বিঘা জমি 5 দিনে চাষ করতে পারবেন।

    9.  গোলকের আয়তন গোলকের ব্যাসার্ধের ত্রিঘাতের সঙ্গে সরলভেদে আছে। 11/2, 2 এবং 21/2 মিটার দৈর্ঘ্যের ব্যাসবিশিষ্ট তিনটি নিরেট গোলককে গলিয়ে একটি নিরেট গোলক বানানো হলো। নতুন গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি। (ধরি, গলানোর আগে ও পরে আয়তন একই থাকে)

    Solution:
    ধরি, r মিটার ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট গোলকের আয়তন V ঘন মিটার।
    প্রশ্নানুযায়ী,
    V ∝ r3
    ∴ V = kr3 – – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
    তিনটি গোলকের ব্যাস যথাক্রমে 11/2, 2 এবং 21/2 মিটার বা 3/2, 2 এবং 5/2 মিটার
    ∴ তিনটি গোলকের ব্যাসার্ধ 3/4, 1 এবং 5/4 মিটার
    তিনটি গোলকের আয়তন যথাক্রমে
    V1 = k(3/4)3 = 27/64k ঘন মিটার
    V2 = k(1)3 = k ঘন মিটার
    V3 = k(5/4)3 = 125/64k ঘন মিটার
    ∴ তিনটি গোলকের মোট আয়তন
    = V1 + V2 + V3
    = 27/64k + k + 125/64k
    ⇒ k (27/64 + 1 + 125/64)
    = k× (27+64+125)/64
    = 216k/64 ঘন মিটার
    নতুন গোলকের ব্যাসার্ধ R মিটার হলে, নতুন গোলকের আয়তন হবে kR3 ঘন মিটার
    ∴ kR3 = 216k/64
    বা, R3 = 216/64
    বা, R3 = (6/4)3
    ⇒ R = 6/4
    বা, R = 3/2
    ∴ 2R = 3
    Ans: নতুন গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 3 মিটার

    দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে এখানে ক্লিক করো।

    Koshe Dekhi 13 Class X Variation কষে দেখি 13 ভেদ দশম শ্রেণি

    10. y দুটি চলের সমষ্টির সমান, যার একটি x চলের সঙ্গে সরলভেদে এবং অন্যটি x চলের সঙ্গে ব্যস্তভেদে আছে। x = 1 হলে y = -1 এবং x = 3 হলে y = 5; x ও y-এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করি।

    Solution:
    ধরি, y দুটি চল A এবং B –এর সমষ্টি।
    ∴ y = A + B
    যেখানে,
    A ∝ x
    ∴ A = kx – – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
    B ∝ 1/x
    ∴ B = m1/x – – – – – [যেখানে m অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
    ∴ y = kx + m/x – – – – (i)
    x = 1 হলে y = -1 হয়।
    (i) নং থেকে পাই,
    -1 = k + m – – – – (ii)
    x = 3 হলে y = 5 হয়।
    (i) নং থেকে পাই,
    5 = k×3 + m/3
    বা, 15 = 3k + m – – – – (iii)
    (ii) – (i) করে পাই,
    3k + m – (k + m) = 15 – (-1)
    বা, 3k + m – k – m = 15 + 1
    বা, 2k = 16
    ⇒ k = 2
    (ii) নং সমীকরণে k = 2 বসিয়ে পাই,
    -1 = 2 + m
    বা, m = -3
    ∴ k = 40
    (i) নং সমীকরণে k ও m-এর মান বসিয়ে পাই,
    y = 2x – 3/x
    Ans: x ও y-এর মধ্যে সম্পর্ক y = 2x – 3/x

    11. a ∝ b, b ∝ c হলে দেখাই যে a3b3 + b3c3 + c3a3 ∝ abc(a3 + b3 + c3)

    Solution:
    a ∝ b
    ∴ a = k1b – – – – – [যেখানে k1 অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
    b ∝ c
    ∴ b = k2c – – – – – [যেখানে k2 অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
    ∴ a = k1k2c

    $$\large{\frac{a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3}{abc(a^3+b^3+c^3)}\\=\frac{(k_1k_2c)^3(k_2c)^3+(k_2c)^3c^3+c^3(k_1k_2c)^3}{k_1k_2c×k_2c×c\{(k_1k_2c)3+(k_2c)^3+c^3\}}\\=\frac{k_1^3.k_2^3.c^3.k_2^3.c^3+k_2^3.c^3.c^3+c^3.k_1^3.k_2^3.c^3}{k_1.k_2^2c^3(k_1^3.k_2^3.c3+k_2^3.c^3+c^3)}\\=\frac{k_1^3.k_2^6.c^6+k_2^3.c^6+k_1^3.k_2^3.c^6}{k_1.k_2^2c^3.c^3(k_1^3.k_2^3+k_2^3+1)}\\=\frac{k_2^3.c^6(k_1^3.k_2^3+1+k_1^3)}{k_1.k_2^2c^3.c^3(k_1^3.k_2^3+k_2^3+1)}\\=\frac{k_2(k_1^3.k_2^3+k_1^3+1)}{k_1(k_1^3.k_2^3+k_2^3+1)}}$$

    = ধ্রুবক
    ∴ a3b3 + b3c3 + c3a3 ∝ abc(a3 + b3 + c3) (Proved)

    12. x ডেসিমিটার গভীর একটি কূপ খনন করার জন্য মোট ব্যয়ের এক অংশ x-এর সঙ্গে সরলভেদে এবং অপর অংশ x2 –এর সঙ্গে সরলভেদে পরিবর্তিত হয়। যদি 100 ডেসিমিটার এবং 200 ডেসিমিটার কূপ খনন করার জন্য যথাক্রমে 5000 টাকা এবং 12000 টাকা ব্যয় হয়, তবে 250 ডেসিমিটার গভীর কূপ খননের জন্য কত ব্যয় হবে হিসাব করে লিখি।

    Solution:
    ধরি, x ডেসিমিটার গভীর একটি কূপ খনন করার জন্য মোট ব্যয় y টাকা যার y1 অংশ x-এর সঙ্গে সরলভেদে এবং y2 অংশ x2 –এর সঙ্গে সরলভেদে পরিবর্তিত হয়।
    ∴ y1 ∝ x
    বা, y1 = kx – – – – [k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
    এবং y2 ∝ x2
    বা, y2 = mx2 – – – – [m একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
    ∴ y = y1 + y2
    = kx + mx2 – – – – (i)
    x = 100 হলে y = 5000 হয়।
    (i) নং থেকে পাই,
    5000 = k×100 + m×(100)2
    বা, 5000 = 100k + 10000m
    বা, 50 = k + 100m – – – – (ii)
    x = 200 হলে y = 12000 হয়।
    (i) নং থেকে পাই,
    12000 = k×200 + m×(200)2
    বা, 12000 = 200k + 40000m
    বা, 60 = k + 200m – – – – (iii)
    (iii) – (ii) করে পাই,
    k + 200m – (k + 100m) = 60 – 50
    বা, k + 200m – k – 100m = 10
    বা, 100m = 10
    ⇒ m = 1/10
    (ii) নং সমীকরণে m = 1/10 বসিয়ে পাই,
    50 = k + 100 × 1/10
    বা, 50 = k + 10
    ∴ k = 40
    (i) নং সমীকরণে k ও m-এর মান বসিয়ে পাই,
    y = 40x + 1/10×x2
    x = 250 মিটার হলে,
    y = 40×250 + 1/10×(250)2
    =10000 + 1/10×250×250
    =10000 + 6250
    =16250
    Ans: 250 ডেসিমিটার গভীর কূপ খননের জন্য 16250 টাকা ব্যয় হবে

    জ্যামিতিক পদ্ধতিতে 18 এর বর্গমূল নির্ণয় পদ্ধতি CLICK HERE

    Koshe Dekhi 13 Class X Variation কষে দেখি 13 ভেদ দশম শ্রেণি

    13. চোঙের আয়তন ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের বর্গের এবং উচ্চতার সঙ্গে যৌগিক ভেদে আছে। দুটি চোঙের ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 2:3 এবং তাদের উচ্চতার অনুপাত 5:4 হলে, তাদের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় করি।

    Solution:
    ধরি, r একক ব্যাসার্ধ ও h একক উচ্চতা বিশিষ্ট চোঙের আয়তন v ঘন একক।
    ∴ V ∝ r2h
    বা, V = kr2h – – – – [k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
    ধরি চোঙ দুটির ভূমির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 2r একক ও 3r একক এবং উচ্চতা যথাক্রমে 5h একক ও 4h একক।
    ∴ প্রথম চোঙের আয়তন (V1) = k×(2r)2×5h = 20kr2h
    দ্বিতীয় চোঙের আয়তন (V2) = k×(3r)2×4h = 36kr2h
    ∴ চোঙ দুটির আয়তনের অনুপাত
    = V1 : V2
    = 20kr2h : 36kr2h
    ⇒ 20 : 36 = 5 : 9
    চোঙ দুটির আয়তনের অনুপাত 5 : 9 (Ans)

    14. পাঁচলা গ্রামে কৃষি সমবায় সমিতি একটি ট্রাক্টর ক্রয় করেছে। আগে সমিতির 2400 বিঘা জমি 25 টি লাঙল দিয়ে চাষ করতে 36 দিন সময় লাগত। এখন অর্ধেক জমি কেবল ট্রাক্টরটি দিয়ে 30 দিনে চাষ করা যায়। একটি ট্রাক্টর কয়টি লাঙলের সমান চাষ করে তা ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে নির্ণয় করি।

    Solution:
    ধরি, জমির পরিমাণ = A, লাঙলের সংখ্যা =N, দিনসংখ্যা = C
    লাঙলের সংখ্যা, জমির পরিমাণের সাথে সরলভেদে থাকে যখন দিনের সংখ্যা স্থির থাকে এবং দিনের সংখ্যার সাথে ব্যস্তভেদে থাকে যখন জমির পরিমাণ স্থির থাকে।
    ∴ N ∝ A এবং N ∝ D
    যৌগিক ভেদের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই,
    N ∝ A/D – – – [যখন A ও D উভয়ই পরিবর্তনশীল]
    ∴ N = k×A/D – – – (i)- [k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
    N = 25 হলে A = 2400, D = 36 হয়।
    ∴ 25 = k×2400/36
    বা, k = 36×25/24
    বা, k = 3/8
    (i) নং থেকে পাই,
    N = 3/8×A/D
    A = 2400/2 = 1200, D = 30 হলে
    N = 3/8×1200/30
    = 15
    ∴ অর্ধেক জমি 15 টি লাঙল 30 দিনে চাষ করতে পারে।
    প্রশ্নানুসারে, অর্ধেক জমি 1 টি ট্রাক্টর 30 দিনে চাষ করতে পারে।
    ∴ একটি ট্রাক্টর 15 টি লাঙলের সমান চাষ করে। (Ans)

    15. গোলকের আয়তন তার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের ত্রিঘাতের সঙ্গে সরলভেদে পরিবর্তিত হয় এবং গোলকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল তার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের বর্গের সঙ্গে সরলভেদে পরিবর্তিত হয়।
    প্রমাণ করি যে, গোলকের আয়তনের বর্গ তার পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফলের ঘনের সঙ্গে সরলভেদে থাকবে।

    Solution:
    ধরি, r একক ব্যাসার্ধের গোলকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল A বর্গ একক এবং আয়তন V ঘন একক।প্রশ্নানুসারে,
    V ∝ r3
    বা, V = k1r3 – – – – [k1 একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
    ∴ V2 = k1r6 – – – – (i)
    আবার
    A ∝ r2
    বা, A = k2r2 – – – – [k2 একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
    ∴ A3 = k2r6 – – – – (ii)
    (i) ÷ (ii) করে পাই,

    $$\large{\frac{V^2}{A^3}=\frac{k_1^2r^6}{K_2^3r^6}\\⇒\frac{V^2}{A^3}=\frac{k_1^2}{K_2^3}\\⇒\frac{V^2}{A^3}=k\\\quad\quad \left[k=\frac{k_1^2}{K_2^3}=Constant\right]\\\therefore V^2∝A^3}$$গোলকের আয়তনের বর্গ তার পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফলের ঘনের সঙ্গে সরলভেদে থাকে। (Proved)

    Koshe Dekhi 13 Class X Variation কষে দেখি 13 ভেদ দশম শ্রেণি

    16. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

    (A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)

    (i) x ∝ 1/y  হলে,
    (a) x = 1/y (b) y = 1/x (c) xy = 1 (d) xy = অশূন্য ধ্রুবক

    Ans: (d) xy = অশূন্য ধ্রুবক
    [ x ∝ 1/y
    ∴ x = k × 1/y – – – – – [ k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
    বা, xy = k
    বা, xy = অশূন্য ধ্রুবক]

    (ii) যদি x ∝ y হয়, তখন
    (a) x2 ∝ y3 (b) x3 ∝ y2 (c) x ∝ y3 (d) x2 ∝ y2

    Ans: (d) x2 ∝ y2
    [ x ∝ y
    ∴ x = ky – – – (i) – – [ k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
    বা, x2 = (ky)2
    বা, x2 = k2y2
    ⇒ x2 ∝ y2]

    (iii) x ∝ y এবং y = 8 যখন x = 2; y = 16 হলে, x-এর মান
    (a) 2 (b) 4 (c) 6 (d) 8

    Ans: (b) 4
    [ x ∝ y
    ∴ x = ky – – – (i) – – [ k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
    y = 8 যখন x = 2
    (i) নং থেকে পাই,
    2 = k×8
    বা, k = 1/4
    ∴ x = 1/4×y
    বা, x = 1/4×16 – – – – – [∵ y = 16]
    বা, x = 4]

    (iv) x ∝ y2 এবং y = 4 যখন x = 8; x = 32 হলে, y-এর ধনাত্মক মান
    (a) 4 (b) 8 (c) 16 (d) 32

    Ans: (b) 8
    [ x ∝ y2
    ∴ x = ky2 – – – (i) – – [ k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
    y = 4 যখন x = 8
    (i) নং থেকে পাই,
    8 = k×42
    বা, k = 1/2
    ∴ x = 1/2×y2
    বা, 32 = 1/2×y2 – – – – – [∵ x = 32]
    বা, y2 = 64
    ⇒ y = 8]

    (v) যদি y − z ∝ 1/x, z − x ∝ 1/y এবং x − y ∝ 1/z হয়, তাহলে তিনটি ভেদ ধ্রুবকের সমষ্টি
    (a) 0 (b) 1 (c) – 1 (d) 2

    Ans: (a) 0
    [ y – z ∝ 1/x
    ∴ y – z = k1× 1/x – – – – – – [k1 একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
    বা, x(y − z) = k1 – – – – – – (i)
    z − x ∝ 1/y
    ∴ z − x = k2×1/y – – – – – – [k2 একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
    বা, y(z − x) = k2– – – – – – (ii) এবং
    x − y ∝ 1/z
    ∴ x − y = k3×1/z – – – – – – [k3 একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
    বা, z(x − y) = k3 – – – – – (iii)
    (i)+(ii)+(iii) করে পাই,
    x(y − z) + y(z − x) + z(x − y) = k1 + k2 + k3
    বা, xy − xz + yz − xy) + zx − yz = k1 + k2 + k3
    বা, 0 = k1 + k2 + k3
    ∴ তিনটি ভেদ ধ্রুবকের সমষ্টি 0]

    Koshe Dekhi 13 Class X Variation কষে দেখি 13 ভেদ দশম শ্রেণি

    (B) সত্য না মিথ্যা লিখি –

    (i) y ∝ 1/x হলে, y/x = অশূন্য ধ্রুবক

    Ans: মিথ্যা
    [ y ∝ 1/x
    ∴ x = k × 1/x – – – – – [ k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
    বা, xy = k
    বা, xy = অশূন্য ধ্রুবক]

    (ii) x ∝ z এবং y ∝ z হলে, xy ∝ z

    Ans: সত্য
    [ x ∝ z
    ∴ z ∝ x
    y ∝ z
    ∴ z ∝ y
    যৌগিক ভেদের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই,
    z ∝ xy
    বা, xy ∝ z]

    Koshe Dekhi 13 Class X Variation কষে দেখি 13 ভেদ দশম শ্রেণি

    (C) শূন্যস্থান পূরণ করি –

    (i) x ∝ 1/y এবং y ∝ 1/z  হলে, x ∝ ______

    Ans: z
    [ x ∝ 1/y
    ∴ x = k × 1/y – – – – – [ k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
    বা, xy = k
    বা, y = k/x – – – – – (i)
    y ∝ 1/z
    ∴ y = m ×1/z – – – – – [ m একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
    বা, k/x = m/z
    বা, x/k = z/m
    ⇒ x/z = k/m
    বা, x/z = ধ্রুবক – – – – – [∵ k, m ধ্রুবক]
    ∴ x ∝ z]

    (ii) x ∝ y এবং xn ∝ ______

    Ans: xn
    [ x ∝ y
    ∴ x = ky – – – (i) – – [ k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
    বা, xn = (ky)n
    বা, xn = knyn
    ∴ xn ∝ yn]

    (iii) x ∝ y এবং x ∝ z হলে, (y + z) ∝ ______

    Ans: x
    [ x ∝ y
    ∴ x = ky – – – – – [ k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
    বা, y = x/k – – – – – (i)
    [ x ∝ z
    ∴ x = mz – – – – – [ m একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
    বা, z = x/m – – – – – (i)
    (i)+(ii) করে পাই,
    y + z = x/k + x/m
    বা, y + z = x(1/k + 1/m)
    ∴ y + z ∝ x

    Koshe Dekhi 13 Class X Variation কষে দেখি 13 ভেদ দশম শ্রেণি

    17. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

    (i) x ∝ y2 এবং y = 2a যখন x = a; x ও y-এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করি।

    সমাধানঃ
    x ∝ y2
    ∴ x = ky2 – – – (i) – – [ k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
    y = 2a যখন x = a;
    ∴ a = k(2a)2
    বা, a = 4ka2
    বা, 1 = 4ka
    ⇒ k = 1/4a
    (i) নং-এ k = 1/4a বসিয়ে পাই,
    x = y2/4a
    Ans: x ও y-এর মধ্যে সম্পর্ক: x = y2/4a

    (ii) x ∝ y, y ∝ z এবং z ∝ x হলে, অশূন্য ভেদ ধ্রুবক তিনটির গুণফল নির্ণয় করি।

    সমাধানঃ
    x ∝ y
    ∴ x = ky – – – (i)  – – [ k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
    y ∝ z
    ∴ y = mz – – – (ii)  – – [ m একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ] এবং
    z ∝ x
    ∴ z = nx – – – (iii)  – – [ n একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
    (i)×(ii)×(iii) করে পাই,
    x × y × z = ky × mz × nx
    বা, 1 = kmn
    Ans: ভেদ ধ্রুবক তিনটির গুণফল 1

    (iii) x ∝ 1/y এবং y ∝ 1/z হলে x, z-এর সঙ্গে সরলভেদে না ব্যস্তভেদে আছে তা নির্ণয় আছে তা নির্ণয় করি।

    সমাধানঃ
    x ∝ 1/y
    বা, x = k × 1/y  – – – [k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
    বা, y = k/x এবং
    y ∝ 1/z
    বা, y = m × 1/z – – – [m একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
    বা, k/x  =  m/z
    ⇒ z/x  =  m/k
    বা, z/x  = ধ্রুবক
    বা, z ∝ x
    Ans: x, z-এর সঙ্গে সরলভেদে আছে।

    (iv) x ∝ yz এবং y ∝ zx হলে, দেখাই যে, z একটি অশূন্য ধ্রুবক।

    সমাধানঃ
    x ∝ yz
    বা, x = kyz – – – [k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
    y ∝ zx
    বা, y = mzx – – – [m একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
    বা, y = mz×kyz
    ⇒ 1 = kmz2
    ⇒ 1/km = z2
    বা, z = √1/km
    বা, z = ধ্রুবক
    ∴ z একটি অশূন্য ধ্রুবক। (Proved)

    (v) যদি b ∝ a3 হয় এবং a -এর বৃদ্ধি হয় 2 : 3 অনুপাতে, তাহলে b-এর বৃদ্ধি কী অনুপাতে হয় তা নির্ণয় করি।

    সমাধানঃ
    b ∝ a3 
    ∴ b = ka3 – – – [ k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
    a এর বৃদ্ধি হয় 2 : 3 অনুপাতে।
    ∴ b-এর বৃদ্ধির অনুপাত

    $$\large{\frac{b_1}{b_2}=\frac{ka_1^3}{ka_2^3}\\⇒\frac{b_1}{b_2}=\left(\frac{a_1}{a_2}\right)^3\\⇒\frac{b_1}{b_2}=\left(\frac{2}{3}\right)^3\\⇒\frac{b_1}{b_2}=\frac{8}{27}}$$Ans: b, 8:27 অনুপাতে বৃদ্ধি

    Madhyamik Question

    MP-2024

    ▶️ যদি a ∝ b, b ∝ 1/c এবং c ∝ d হয় তবে a ∝ 1/d হবে। (সত্য / মিথ্যা)

    VIEW ANSER

    ▶️ যদি (√a + √b) ∝ (√a – √b) হয়, তবে দেখাও যে (a + b) ∝ √ab.

    VIEW ANSER

    MP-2023

    ▶️ যদি b ∝ a2 হয় এবং a-এর বৃদ্ধি হয় 2:3 অনুপাতে, তাহলে b-এর বৃদ্ধি কী অনুপাতে হয় তা নির্ণয় করো।

    VIEW ANSER

    ▶️ x ∝ y এবং y ∝ z হলে দেখাও যে,

    \(\Large{\mathbf{\frac{x}{yz}+\frac{y}{zx}+\frac{z}{xy}∝\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}}\)
    VIEW ANSER

    MP-2022

    ▶️ a ও b ব্যস্ত ভেদে থাকলে, a/b = ধ্রুবক হবে। (সত্য / মিথ্যা)
    Ans:     মিথ্যা
    [ a ∝ 1/b
    ⇒ a = k×1/b – – – -(k একটি ভেদ ধ্রুবক)
    ∴ ab = k = ধ্রুবক]

    ▶️ 15 জন কৃষক 5 দিনে 18 বিঘা জমি চাষ করতে পারেন। ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে 10 জন কৃষক 12 বিঘা জমি কত দিনে চাষ করতে পারবেন, তা নির্ণয় করো।

    VIEW ANSER

    MP-2020

    ▶️ x∝y, y∝z এবংz∝x হলে, ভেদ ধ্রুবক তিনটির গুণফল নির্ণয় করো।

    VIEW ANSER

    ▶️ a ∝ b এবং b ∝ c হলে, প্রমাণ করো, a3 + b3 + c3 ∝ 3abc

    VIEW ANSER

    MP-2019

    ▶️ x ∝ y² এবং y = 2a, x = a হলে দেখাও যে y² = 4ax ।

    VIEW ANSER
    \(\large{\mathbf{(ii)}}\) যদি \(\large{\mathbf{\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right)∝\frac{1}{x-y}}}\) হয় তবে দেখাও যে, \(\large{\mathbf{(x² + y²)∝xy}}\)
    VIEW ANSER

    MP-2018

    ▶️ যদি x ∝ y হয়, তাহলে:
    (a) x2 ∝ y3 (b) x3 ∝ y2 (c) x ∝ y2 (d) x2 ∝ y2

    VIEW ANSER

    ▶️ x ∝ y এবং y ∝ z হলে প্রমাণ করো: (x2 + y2 + z2) ∝ (xy + yz + zx)

    VIEW ANSER

    MP-2017

    ▶️ x ∝ yz এবং y ∝ zx হলে, দেখাও যে, z (≠ 0) একটি ধ্রুবক।

    VIEW ANSER

    ▶️ একটি হোস্টেলের ব্যয় আংশিক ধ্রুবক ও আংশিক ঐ হোস্টেলের আবাসিকদের সংখ্যার সঙ্গে সরলভেদে আছে। আবাসিক সংখ্যা 120 হলে ব্যয় 2000 টাকা এবং আবাসিক সংখ্যা 100 হলে ব্যয় 1700 টাকা হয়। ব্যয় 1880 টাকা হলে হোস্টেলের আবাসিক সংখ্যা কত হবে?

    VIEW ANSER
    KOSHE DEKHI 12
    KOSHE DEKHI 14
error: Content is protected !!
Verified by MonsterInsights