🏆2026 ⚽সালের ⚽ফিফা ⚽ বিশ্বকাপ🏆 ⚽STATISTICS AND TIME TABLE FIFA WORLDCUP 2026⚽
AT A GLANCE2022 FIFA WORLD CUP
CHAMPION: ARGENTINA RUNNER-UP: FRANCE RESULT: 3-3 (4-2) Golden Ball: Lionel Messi (Argentina) Golden Boot: Kylian Mbappe (France) MAN OF THE MATCH: LIONEI MESSI (Argentina) Golden Glove: Emiliano Martínez (Argentina)
ভারতে 2026 ফিফা বিশ্বকাপের (FIFA World Cup 2026) ম্যাচগুলো জি এন্টারটেইনমেন্ট (ZEE Entertainment) এবং ‘ইউনাইট৮ স্পোর্টস’ (Unite8 Sports) চ্যানেলে সরাসরি সম্প্রচারিত হবে।
১১ জুন মেক্সিকোর আজতেকা স্টেডিয়ামে শুরু হবে বিশ্বকাপের উদ্বোধনী অনুষ্ঠান।
এবারই প্রথম 48টি দলকে নিয়ে অনুষ্ঠিত হতে যাচ্ছে বিশ্বের সবচেয়ে জনপ্রিয় ক্রীড়া আসর পুরুষদের ফুটবল বিশ্বকাপ। যুক্তরাষ্ট্র, মেক্সিকো ও কানাডায় হতে যাওয়া এবারের বিশ্বকাপে প্রথম পর্বের খেলা হবে 4টি করে দল নিয়ে 12টি গ্রুপে । এরপর 32টি দলকে নিয়ে শুরু হবে নকআউট পর্ব।আজকের এই পর্বে 2026 ফিফা বিশ্বকাপের খুঁটিনাটি বিভিন্ন বিষয় নিয়ে আলোচনা করা হবে। 2026 ফিফা বিশ্বকাপ 11ই জুন মেক্সিকো সিটিতে মেক্সিকো ও দক্ষিণ আফ্রিকার ম্যাচ দিয়ে শুরু হবে।
বিশ্বকাপের বাছাইপর্ব
2026 ফিফা বিশ্বকাপের বাছাইপর্ব শুরু হয় 7ই সেপ্টেম্বর 2023 এবং শেষ হয় 31শে মার্চ 2026। বাছাইপর্বে 6টি কনফেডারেশন থেকে 207 টি দেশ অংশগ্রহন করে। বাছাইপর্বে সর্বোচ্চ গোলদাতা হল নরওয়ের আরলিং হোলান। তিনি মোট 16 টি গোল করেন। বাছাইপর্বে প্রথম গোল করেন কলম্বিয়ার রাফায়েল সান্তোস বোরে। বাছাইপর্বের ৬টি কনফেডারেশন হল এএফসি, ক্যাফ, কনকাকাফ, কনমেবল, ওএফসি এবংউয়েফা। এছাড়া আন্তঃমহাদেশীয় প্লে-অফ থেকে 2টি দেশ অংশগ্রহন করবে।
AFC
এএফসি (Asian Football Confederation এশিয়ান ফুটবল কনফেডারেশন) – 2026 ফিফা বিশ্বকাপে 48টি দলের মধ্যে এএফসি থেকে 8টি এবং আন্তঃমহাদেশীয় প্লে-অফ থেকে 1টি অর্থাৎ মোট 9টি দেশ অংশগ্রহন করবে। এই গ্রুপে মোট অংশগ্রহণকারী দেশের সংখ্যা ছিল ৪৬ টি। এএফসি থেকে যোগ্যতা অর্জনকারী দল – 1. জাপান, 2. ইরান, 3. অস্ট্রেলিয়া, 4. দক্ষিণ কোরিয়া, 5. কাতার, 6. সৌদি আরব, 7. জর্ডন, 8. উজবেকিস্তান, 9. ইরাক
CAF
ক্যাফ (Confédération Africaine de Football আফ্রিকান বিভাগ)থেকে 9টি এবং আন্তঃমহাদেশীয় প্লে-অফ থেকে 1টি অর্থাৎ মোট 10টি দেশ অংশগ্রহন করবে। এখানে 53টি দেশ বাছাই পর্ব অংশগ্রহণ করে। ক্যাফ থেকে যোগ্যতা অর্জনকারী দল – 2. মরক্কো, 2. টিউনিশিয়া, 3 ইজিপ্ট, 4. আলজিরিয়া, 5. ঘানা, 6. কেপ ভার্দে, 7. দক্ষিণ আফ্রিকা, 8. সেনেগাল, 9. আইভরি কোষ্ট, 10. কঙ্গো প্রজাতন্ত্র
CONCACAF
কনকাকাফ (Confederation of North, Central America and Caribbean Association Football.) উত্তর, মধ্য আমেরিকা ও ক্যারিবীয়ের বিভাগটি উত্তর, মধ্য আমেরিকা ও ক্যারিবীয় ফুটবল অ্যাসোসিয়েশন (কনকাকাফ) থেকে চূড়ান্ত প্রতিযোগিতায় 3টি এবং আন্তঃমহাদেশীয় প্লে-অফ থেকে 2টি অর্থাৎ মোট 5টি দেশ অংশগ্রহন করবে। এছাড়া এই অঞ্চল থেকে আয়োজক দেশ হিসাবে যুক্তরাষ্ট্র, কানাডা ও মেক্সিকো সরাসরি প্রতিযোগিতায় অংশগ্রহণ করবে। সুতরাং কনকাকাফ থেকে 8টি দেশ প্রতিযোগিতায় অংশগ্রহণ করবে। এই গ্রুপে 32 টি দেশ বাছাই পর্বে অংশগ্রহণ করে। কনকাকাফ থেকে যোগ্যতা অর্জনকারী দল – 1. যুক্তরাষ্ট্র, 2. কানাডা, 3. মেক্সিকো, 4. হাইতি, 5. পানামা, 6. কুরাসাও
CONMEBOL
কনমেবল দক্ষিণ আমেরিকার থেকে চূড়ান্ত প্রতিযোগিতায় 6টি এবং আন্তঃমহাদেশীয় প্লে-অফ থেকে 1টি অর্থাৎ মোট 7টি দেশ অংশগ্রহন করবে। এখানে 10টি দেশের মধ্যে 7টি দেশ চূড়ান্ত পর্বে খেলার যোগ্যতা অর্জন করে। কনমেবল থেকে যোগ্যতা অর্জনকারী দল – 1. আর্জেন্টিনা, 2. ব্রাজিল, 3. কলম্বিয়া, 4. ইকুয়েডর, 5. প্যারাগুয়ে, 6. উরুগুয়ে
OFC
ওএফসি (Oceania Football Confederation) ওশেনিয়ান বিভাগ থেকে চূড়ান্ত প্রতিযোগিতায় 1টি এবং আন্তঃমহাদেশীয় প্লে-অফ থেকে 1টি অর্থাৎ মোট 2টি দেশ অংশগ্রহন করবে। এই গ্রুপে 11টা দেশ বাছাই পর্বে অংশগ্রহণ করে। ওএফসি থেকে যোগ্যতা অর্জনকারী দল – 1. নিউজিল্যান্ড
UEFA
উয়েফা (Union of European Football Associations) ইউরোপিয়ান ফুটবল অ্যাসোসিয়েশন থেকে চূড়ান্ত প্রতিযোগিতায় ১৬টি দেশ অংশগ্রহন করবে। এখানে 54টি দেশ বাছাই পর্ব অংশগ্রহণ করে। উয়েফা থেকে যোগ্যতা অর্জনকারী দল – 1. অস্ট্রিয়া, 2. বেলজিয়াম, 3. ক্রোয়েশিয়া, 4. ইংল্যান্ড, 5. ফ্রান্স, 6. জার্মানি, 7. নেদারল্যান্ডস, 8. নরওয়ে, 9. পর্তুগাল, 10. স্কটল্যান্ড, 11. স্পেন, 12. সুইজারল্যান্ড,13. বসনিয়া ও হার্জেগোভিনা, 14. চেক প্রজাতন্ত্র, 15. সুইডেন, 16. তুরস্ক
PLAY-OFF
আন্তঃকনফেডারেশন প্লে-অফের মাধ্যমে ২০২৬ ফিফা বিশ্বকাপের বাকি দুটি স্থান পূরণ করা হবে। এতে উয়েফা ব্যতীত প্রতি কনফেডারেশন থেকে একটি দল এবং কনকাকাফ থেকে অতিরিক্ত একটি দল সহ মোট ৬টি দলকে নিয়ে একটি প্লে-অফ প্রতিযোগিতা অনুষ্ঠিত হয় যেখান থেকে 2টি দেশ যোগ্যতা অর্জন করে। ২০২৬ ফিফা বিশ্বকাপের আন্তঃকনফেডারেশন প্লে-অফের মাধ্যমে নির্বাচিত হওয়া দুটি দল হলো: 1. AFC থেকে ইরাক 2. CAF থেকে কঙ্গো প্রজাতন্ত্র
১১ জুন থেকে শুরু এ বারের ফুটবল বিশ্বকাপ। আমেরিকা, মেক্সিকো ও কানাডায় হবে প্রতিযোগিতা। এই প্রথম বার ৪৮টি দেশ নামবে ফুটবলের বিশ্বযুদ্ধে। ইতিমধ্যেই সেই ৪৮ দেশ চূড়ান্ত হয়ে গিয়েছে। শেষ দু’টি জায়গা বাকি ছিল। জামাইকাকে হারিয়ে কঙ্গো ও বলিভিয়াকে হারিয়ে ইরাক জায়গা করে নিয়েছে বিশ্বকাপে। ১২টি গ্রুপে ভাগ করা হয়েছে এই ৪৮ দেশকে। ১২টি গ্রুপ থেকে প্রথম ও দ্বিতীয় স্থানাধিকারী মোট 24টি এবং শীর্ষ তৃতীয় স্থানাধিকারী বাকি 8টি দল নিয়ে মোট ৩২ টি দল রাউন্ড অব 32এর নকআউট পর্যায়ে খেলবে। দেখে নিন, কোন গ্রুপে কারা রয়েছেন।
GROUP
Group-A: মেক্সিকো, দক্ষিণ আফ্রিকা, দক্ষিণ কোরিয়া, চেক প্রজাতন্ত্র Group-B কানাডা, কাতার, সুইজারল্যান্ড, বসনিয়া ও হারজে গোভিনা Group-C ব্রাজিল, মরক্কো, হাইতি, স্কটল্যান্ড Group-D যুক্তরাষ্ট্র, প্যারাগুয়ে, অস্ট্রেলিয়া, তুরস্ক
আয়োজক দেশ: যুক্তরাষ্ট্র, কানাডা ও মেক্সিকো সময়: 11ই জুন,2026 থেকে 19 জুলাই, 2026 পর্যন্ত দল সংখ্যা: 48 ম্যাচ সংখ্যা: 104 গ্রুপ সংখ্যা: 12টি গ্রুপ, প্রতি গ্রুপে 4টি দল
🏟️ ম্যাচ ও ভেন্যু
উদ্বোধনী ম্যাচ: ১১ জুন, ২০২৬ – মেক্সিকো সিটির এস্তাদিও আজটেকা স্টেডিয়ামে কানাডায় প্রথম ম্যাচ: ১২ জুন, ২০২৬ – টরন্টোর BMO ফিল্ড যুক্তরাষ্ট্রে প্রথম ম্যাচ: ১২ জুন, ২০২৬ – ইনগলউডের SoFi স্টেডিয়াম ফাইনাল ম্যাচ: ১৯ জুলাই, ২০২৬ – নিউ জার্সির মেটলাইফ স্টেডিয়াম মোট ১৬টি শহরে ম্যাচ অনুষ্ঠিত হবে, যার মধ্যে ১১টি যুক্তরাষ্ট্রে, ৩টি মেক্সিকোতে এবং ২টি কানাডায়। যুক্তরাষ্ট্রে কোয়ার্টার ফাইনাল থেকে ফাইনাল পর্যন্ত সব ম্যাচ অনুষ্ঠিত হবে।
যুক্তরাষ্ট্রের যে যে শহরে ম্যাচ অনুষ্ঠিত হবেঃ আটলান্টা, বোস্টন, ডালাস, হিউস্টন, কানসাস সিটি, লস অ্যাঞ্জেলেস, মিয়ামি, নিউ ইয়র্ক/নিউ জার্সি, ফিলাডেলফিয়া, সান ফ্রান্সিসকো এবং সিয়াটল
মেক্সিকোর যে যে শহরে ম্যাচ অনুষ্ঠিত হবেঃ গুয়াদালাহারা, মেক্সিকো সিটি এবং মনটেরি
কানাডার যে যে শহরে ম্যাচ অনুষ্ঠিত হবেঃ টরেন্টো এবং ভ্যাঙ্কুভার
গুরুত্বপূর্ণ তারিখসমূহ (IST)
GROUP STAGE 12ই জুন, 2026 থেকে 28শে জুন, 2026 ROUND OF 32 29শে জুন, 2026 থেকে 4রা জুলাই, 2026 ROUND OF 16 4ই জুলাই, 2026 থেকে 7ই জুলাই, 2026 QUARTER FINAL 10ই জুলাই, 2026 থেকে 12ই জুলাই, 2026 SEMIFINAL 15ই জুলাই, 2026 এবং 16ই জুলাই, 2026 THIRD PLACE 19ই জুলাই, 2026 FINAL 20ই জুলাই, 2026
পরপর 6 টি বিশ্বকাপে গোল করে পর্তুগালের ক্রিশ্চিয়ানো রোনাল্ডো
DATE
TEAM
RESULT
02.07.06 1.30 AM
বেলজিয়াম vs সেনেগাল
3-2
02.07.06 5.30 AM
যুক্তরাষ্ট্র vs বসনিয়া ও হারজেগোভিনা
2-0
03.07.06 12.30 AM
স্পেন vs অস্ট্রিয়া
3-0
03.07.06 4.30 AM
পর্তুগাল vs ক্রোয়েশিয়া
2-1
03.07.06 6.30 AM
সুইজারল্যান্ড vs আলজিরিয়া
2-0
03.07.06 11.30 AM
অস্ট্রেলিয়া vs ইজিপ্ট
1(1)-1(4)
03.07.06 3.30 PM
আর্জেন্টিনা vs কেপ ভার্দে
3-2
04.07.06 6.30 AM
কলম্বিয়া vs ঘানা
1-0
ক্ষুদ্রতম দেশ হিসাবে বিশ্বকাপের নকআঊটে পৌছায় কেপ ভারদে
ROUND OF 16 4ই জুলাই, 2026 থেকে 7ই জুলাই, 2026
DATE
TEAM
RESULT
04.07.26 10.30 PM
কানাডা vs মরক্কো
0-3
04.07.26 2.30 PM
প্যারাগুয়ে vs ফ্রান্স
0-1
06.07.26 1.30 AM
ব্রাজিল vs নরওয়ে
1-2
06.07.26 5.30 AM
মেক্সিকো vs ইংল্যান্ড
2-3
07.07.26 12.30 AM
পর্তুগাল vs স্পেন
0-1
07.07.26 5.30 AM
যুক্তরাষ্ট্র vs বেলজিয়াম
1-4
07.07.26 9.30 PM
আর্জেন্টিনা vs ইজিপ্ট
3-2
08.07.26 1.30 AM
সুইজারল্যান্ড vs কলম্বিয়া
0(4)-0(3)
2030 বিশ্বকাপের মূল আয়োজক দেশ স্পেন, পর্তুগাল ও মরক্কো।
QUARTER FINAL 10ই জুলাই, 2026 থেকে 12ই জুলাই, 2026
DATE
TEAM
RESULT
10.07.26 1.30 AM
মরক্কো vs ফ্রান্স
1-2
11.07.26 12.30 AM
স্পেন vs বেলজিয়াম
2-1
12.07.26 2.30 AM
নরওয়ে vs ইংল্যান্ড
1-2
12.07.26 6.30 AM
আর্জেন্টিনা vs সুইজারল্যান্ড
3-1
তবে বিশ্বকাপের শতবর্ষ(2030) উদযাপনকে বিশেষভাবে স্মরণীয় করে তুলতে উদ্বোধনী তিনটি ম্যাচ আয়়োজিত হবে দক্ষিণ আমেরিকার তিন দেশ উরুগুয়ে, আর্জেন্টিনা ও প্যারাগুয়েতে
SEMIFINAL 15ই জুলাই, 2026 এবং 16ই জুলাই, 2026
DATE
TEAM
RESULT
15.07.26 12.30 AM
ফ্রান্স vs স্পেন
0-2
16.07.26 12.30 AM
ইংল্যান্ড vs আর্জেন্টিনা
1-2
2030 বিশ্বকাপ শুরু হবে 8ই জুন এবং ফাইনাল অনুষ্ঠিত হবে ২১শে জুলাই।
THIRD PLACE 19ই জুলাই, 2026
DATE
TEAM
RESULT
19.07.26 12.30 AM
ফ্রান্স vs ইংল্যান্ড
4-6
FINAL 20ই জুলাই, 2026
DATE
TEAM
RESULT
20.07.26 12.30 AM
স্পেন vs আর্জেন্টিনা
1-0
প্রথম গোল: জুলিয়ান কিনোনেস (মেক্সিকো) প্রথম হ্যাটট্রিক: লিওনেল মেসি (আর্জেন্টিনা)
\(16. A = \begin{pmatrix}cos θ\quad i sin θ\\i sin θ\quad cos θ\end{pmatrix}\)
হলে সব n ∈ N এর জন্য An = ___________
\(Ⓐ\begin{bmatrix}cos θ\quad sin nθ\\ i sin nθ\quad cos nθ\end{bmatrix}\ Ⓑ\begin{bmatrix}cos nθ\quad i sin nθ\\i sin nθ\quad cos nθ\end{bmatrix}\\Ⓒ\begin{bmatrix}sin nθ\quad cos nθ\\i sin θ\quad i cos θ\end{bmatrix}\ Ⓓ\begin{bmatrix}i sin nθ\quad cosθ\\ cos θ\quad i sin nθ\end{bmatrix}\\Ans:Ⓑ\begin{bmatrix}cos nθ\quad i sin nθ\\i sin nθ\quad cos nθ\end{bmatrix}\)
\(Solution: A=A^2=\begin{bmatrix}cos θ\quad i sin θ\\i sin θ\quad cos θ\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}cos θ\quad i sin θ\\i sin θ\quad cos θ\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}cos^2θ-sin^2θ \quad i sin θcos θ+i sin θcos θ\\i sin θcos θ+i sin θcos θ\quad -sin^2θ+cos^2θ\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}cos2θ \quad i sin 2θ\\i sin 2θ\quad cos2θ\end{bmatrix}\\∴A^n=\begin{bmatrix}cosnθ \quad i sin nθ\\i sin nθ\quad cosnθ\end{bmatrix}→ [B]\)
\(17.I=\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}\) এবং \(E=\begin{pmatrix}0\quad 1\\0\quad 0\end{pmatrix}\)হলে \((2I + 3E)^3=\)
Solution: 7 – t = t + 5 ⇒ t = 1 x – z = 3 – t ⇒ x – z = 2 . . . (i) -z – x = 5 – t ⇒ x + z = -4 . . . (ii) (i) ও (ii) নং থেকে পাই, x – z + x + z = 2 -4 ⇒ x = -1 ∴ z = -3 আবার 6 + z = x – y ⇒ y = -1 + 3 – 6 = -4
∴ y = 2, x + 3 = 4y – 3 ⇒ x = 4.2 – 6 = 2 [i] x = 2 → [b] [ii] xy – yx = 22 – 22 = 0 → [a], [iii] x + y = 2 + 2 = 4 → [c], [iv] xy = 2×2 = 4 → [d]
5. স্তম্ভ A -এর সঙ্গে স্তম্ভ B মেলাও।
স্তম্ভ A
স্তম্ভ B
\( [i]A=\begin{bmatrix}2\quad 1\\3\quad 4\end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}1\quad -2\\-1\quad 1\end{bmatrix}\) হলে \((AB)^t\)(যেখানে \(A^t\) হল A -এর পরিবর্ত)\(\quad [a] \begin{bmatrix}5\quad -16\\-17\quad 5\end{bmatrix}\)
\( [ii]A=\begin{bmatrix}-2\quad 1\quad 3\\0\quad 4\quad -1\end{bmatrix}\) এবং \(B =\begin{bmatrix}2\quad 1\\-3\quad 0\\4\quad -5\end{bmatrix}\) হলে \((AB)^t\) =(যেখানে A’ হল A এর পরিবর্ত) \(\quad [b] \begin{bmatrix}1\quad -1\\-3\quad -2\end{bmatrix}\)
\( [iii] A=\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 5\\-1\quad 3\quad -4\end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}3\quad -2\quad 1\\0\quad -1\quad 4\\5\quad 2\quad -1\end{bmatrix}\) হলে \((AB)^T =\) (যেখানে \(A^T\) হল A -এর পরিবর্ত) \( [c] \begin{bmatrix}2\quad -4\quad -6\\1\quad -2\quad -3\\4\quad -8\quad -12\end{bmatrix}\)
\( [iv] A=\begin{bmatrix}-1\\2\\3\end{bmatrix}\) এবং \(B = \begin{bmatrix}-2\quad -1\quad -4\end{bmatrix}\) হলে \((AB)^t=\)(যেখানে \(A^t\) হল A -এর পরিবর্ত)\(\quad [d] \begin{bmatrix}28\quad -23\\6\quad -9\\4\quad 15\end{bmatrix}\)
(A2 – I3) নির্ণয় করার ধাপগুলি হল, [i] (A – I3) নির্ণয় করতে হবে [ii] A নির্ণয় করতে হবে [iii] (A + I3)(A – I3) নির্ণয় করতে হবে [iv] (A2 – I3) নির্ণয় করতে হবে (যেখানে I3 হল 3×3 ক্রমের একক ম্যাট্রিক্স) সঠিক ক্রমটি হবে- [i] (A – I3) নির্ণয় করতে হবে [ii] A নির্ণয় করতে হবে [iii] (A + I3)(A – I3) নির্ণয় করতে হবে [iv] (A2 – I3) নির্ণয় করতে হবে (যেখানে I_3 হল 3×3 ক্রমের একক ম্যাট্রিক্স) সঠিক ক্রমটি হবে- Ⓐ [ii]-[i]-[iii]-[iv] Ⓑ [i]-[ii]-[iii]-[iv] Ⓒ [iii]-[i]-[ii]-[iv] Ⓓ [i]-[iii]-[ii]-[iv] Ans: Ⓐ [ii]-[i]-[iii]-[iv] Solution: A2 – I3 = A2 – (I3)2= (A + I3)(A – I3) [ii] প্রথমে A + I3 থেকে A নির্ণয় করতে হবে। [i] (A – I3) নির্ণয় করতে হবে [iii] (A + I3)(A – I3) নির্ণয় করতে হবে [iv] সবশেষে (A2 – I3) নির্ণয় করতে হবে।
2. মনে করো, f(x) = 2x2 + 3x + 5 এবং
\(A=\begin{bmatrix}2\quad 1\\3\quad 4\end{bmatrix}\); f(A) -এর মান নির্ণয় করার ধাপগুলি হল
সরল করে f(A) নির্ণয় করতে হবে। সঠিক ক্রমটি হবে- Ⓐ [ii]-[i]-[iv]-[iii] Ⓑ [ii]-[i]-[iii]-[iv] Ⓒ [i]-[iii]-[iv]-[ii] Ⓓ [i]-[iii]-[ii]-[iv] Ans: Ⓑ [ii]-[i]-[iii]-[iv] [ii] প্রথমে f(A) = 2A2 + 3A + 5I নির্ণয় করতে হবে
[i] তারপর \(A^2=\begin{bmatrix}7\quad 6\\18 \quad 19\end{bmatrix}\) নির্ণয় করতে হবে
[iii] \(3A+5I=\begin{bmatrix}11\quad 3\\9 \quad 17\end{bmatrix}\) নির্ণয় করতে হবে
[iv] সবশেষে \(2\begin{bmatrix}7\quad 6\\18 \quad 19\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}11\quad 3\\9 \quad 17\end{bmatrix}\) নির্ণয় করতে হবে
Relationship between Statements
প্রতিটি প্রশ্নে বিবৃতি A ও বিবৃতি B দেওয়া আছে। নীচের কোন বিকল্পটি বিবৃতি A এবং বিবৃতি B এর মধ্যে সঠিক সম্পর্ক নির্দেশ করে। Ⓐ বিবৃতি A ও বিবৃতি B পরস্পরবিরোধী Ⓑ বিবৃতি B হল বিবৃতি A এর কারন Ⓒ বিবৃতি A হল সত্য কিন্তু বিবৃতি B মিথ্যা Ⓓ বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পর নির্ভরশীল নয়।
1. বিবৃতি-A: একটি ম্যাট্রিক্সের 18টি পদ থাকলে তার সম্ভাব্য ক্রমগুলিহল 1×18, 18×1, 6×3, 3×6, 2×9, 9×2 বিবৃতি-B: কোনো ম্যাট্রিক্সের পাঁচটি পদ থাকলে সম্ভাব্য ক্রমগুলিহল 1×5, 5×1, 2.5×2, 2×2.5 Ans:Ⓒবিবৃতি A হল সত্য কিন্তু বিবৃতি B মিথ্যা
Solution: ∵ পদসংখ্যা = শ্রেনি সংখ্যা × স্তম্ভ সংখ্যা বিবৃতি-A: 18 = 1×18, 18 = 18×1, 18 = 2×9, 18 = 9×2, 18 = 3×6, 18 = 6×3, → বিবৃতিটি সত্য। বিবৃতি-B: শ্রেনি সংখ্যা, স্তম্ভ সংখ্যা ভগ্নাংশ হতে পারে না। বিবৃতিটি → মিথ্যা
2. মনে করো, A= \(\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\quad 4\end{bmatrix}\)এবং B=\(\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix}\)
বিবৃতি-A: AB = [30] বিবৃতি-B: BA =\(\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\quad 4\\2\quad 4\quad 6\quad 8\\3\quad 6\quad 9\quad 12\\4\quad 8\quad 12\quad 16\end{bmatrix}\)
Ans: Ⓓ বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পর নির্ভরশীল নয়। Solution: বিবৃতি-A:
বিবৃতি-A সত্য এবং বিবৃতি-B সত্য। কিন্তু বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পরের উপর নির্ভরশীল নয়।
5. মনে করো, \(A=\begin{pmatrix}4\quad 2\\-1\quad 1\end{pmatrix}\) এবং \(I=\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}\) বিবৃতি-A: (A – 2I)(A – 3I) =\(\begin{pmatrix}0\quad 0\\0\quad 0\end{pmatrix}\)
বিবৃতি-B: দুটি ম্যাট্রিক্সের কোনোটিই শূন্য ম্যাট্রিক্স না হলেও তাদে গুণফল একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স হতে পারে। Ans: Ⓑ বিবৃতি B হল বিবৃতি A এর কারন Solution:
(A – 2I) ≠ 0 এবং (A – 3I) ≠ 0 কিন্তু (A – 2I)(A – 3I) = 0 ∴ দুটি ম্যাট্রিক্সের কোনোটিই শূন্য ম্যাট্রিক্স না হলেও তাদের গুণফল একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স হতে পারে।
6. বিবৃতি-A: যদি A= \(\begin{bmatrix}a\quad b\\0\quad 1\end{bmatrix}\)হয়, সব n ∈ N এর জন্য \(A^n=\begin{bmatrix}a^n\quad \frac{b(a^n – 1)}{(a – 1)}\\0\quad 1\end{bmatrix}\)
বিবৃতি-B: যদি A=\(\begin{bmatrix}1\quad 1\quad 1\\1\quad 1\quad 1\\1\quad 1\quad 1\end{bmatrix}\)হয়, তবে সব n ∈ N-এর জন্য \(A^n=\begin{bmatrix}3^{n-1}\quad 3^{n-1}\quad 3^{n-1}\\3^{n-1}\quad 3^{n-1}\quad 3^{n-1}\\3^{n-1}\quad 3^{n-1}\quad 3^{n-1}\end{bmatrix}\)
বিবৃতি-A সত্য এবং বিবৃতি-B সত্য। কিন্তু বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পরের উপর নির্ভরশীল নয়।
7. বিবৃতি-A: A=\(\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\\1\quad 3\quad 3\\1\quad 2\quad 4\end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix}6\quad -2\quad -3\\-1\quad 1\quad 0\\-1\quad 0\quad 1\end{bmatrix}\) হলে AB = BA
বিবৃতি-B: দুটি ম্যাট্রিক্স A ও B-এর গুণফল AB সংজ্ঞাত হবে যখন A ম্যাট্রিক্সের স্তম্ভ সংখ্যা ও B ম্যাট্রিক্সের সারির সংখ্যা সমান হয়। Ans: Ⓓ বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পর নির্ভরশীল নয়। Solution:
∴ AB = BA ⇒ বিবৃতি-A সত্য বিবৃতি-B সত্য কিন্তু বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পরের উপর নির্ভরশীল নয়।
8. বিবৃতি-A: A ≠ 0 এবং B ≠ 0 হলে AB = 0 হতে পারে। বিবৃতি-B: দুটি ম্যাট্রিক্স A ও B-এর ক্ষেত্রে AB = 0 হলে A অথবা B যে-কোনো একটি ম্যাট্রিক্স শূন্য ম্যাট্রিক্স হবে। Ans: Ⓒ বিবৃতি A হল সত্য কিন্তু বিবৃতি B মিথ্যা
9. বিবৃতি-A: A =\(\begin{bmatrix}2\quad 0\quad 9\\-1\quad 6\quad 10\\4\quad -1\quad 2\end{bmatrix}, B =\begin{bmatrix}0\quad -1\quad -2\\3\quad 2\quad -1\\4\quad -2\quad 0\end{bmatrix}\) এবং C=\(\begin{bmatrix}1\quad -2\quad 0\\0\quad 1\quad 2\\3\quad 0\quad -1\end{bmatrix}\) হলে A(B + C) = AB + AC
বিবৃতি-B: ম্যাটিক্সের যোগ ও গুণ সংজ্ঞাত হলে ম্যাট্রিক্স যোগ সাপেক্ষে ম্যাট্রিক্স গুণ প্রক্রিয়া বণ্টন নিয়ম (distributive law) সিদ্ধ করে। Ans: Ⓑ বিবৃতি B হল বিবৃতি A এর কারন Solution:
∴ A(B + C) = AB + AC ⇒ বিবৃতি-A সত্য ম্যাটিক্সের যোগ ও গুণ সংজ্ঞাত হলে ম্যাট্রিক্স যোগ সাপেক্ষে ম্যাট্রিক্স গুণ প্রক্রিয়া বণ্টন নিয়ম (distributive law) সিদ্ধ করে। এটিও সত্য ∴ বিবৃতি B হল বিবৃতি A এর কারন
10. বিবৃতি-A: A=\(\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 0\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}0\quad 0\\1\quad 0\end{bmatrix}\) এবং C= \(\begin{bmatrix}0\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\) হলে AB= AC হবে।
বিবৃতি-B: A, B ও C -এর প্রত্যেকটি 2×2 ক্রমের ম্যাট্রিক্স এমন যে AB = AC তাহলে B = C হবে। Ans: Ⓒ বিবৃতি A হল সত্য কিন্তু বিবৃতি B মিথ্যা Solution:
∴ AB = AC ⇒ বিবৃতি-A সত্য ম্যাট্রিক্স গুণের ক্ষেত্রে সাধারণভাবে অপসারণ নিয়ম প্রযোজ্য হয় না। ∴AB = AC হলে B = C হবে তার কোনো নিশ্চয়তা নেই। ⇒ বিবৃতি-B সত্য নয়।
Assertion-Reasoning
প্রতিটি প্রশ্নে বিবৃতি I (Assertion বা উক্তি) এবং বিবৃতি II (Reason বা উক্তির কারণ) দেওয়া আছে। প্রতিটি প্রশ্নের বিবৃতি দুটি নীচের কোন বিকল্পটিকে (Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ) সঠিকভাবে ব্যাখ্যা করে? Ⓐ বিবৃতি । সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি ।-এর সঠিক কারণ। Ⓑ বিবৃতি । সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি ।-এর সঠিক কারণ নয়। Ⓒ বিবৃতি । সঠিক এবং বিবৃতি II সঠিক নয়। Ⓓ বিবৃতি । সঠিক নয় এবং বিবৃতি II সঠিক।
হলে x = 2 , y = 4, z = 1 , t = 3 বিবৃতি-II(R): দুটি ম্যাট্রিক্স A=[aij]m×n এবং B=[bij]p×q কে পরস্পর সমান বলা হবে যদি (i) A ও B একই ক্রমের ম্যাট্রিক্স হয়, অর্থাৎ m = p ও n = q হয় এবং (ii) (i, j) -এর প্রতি জোড়া মানের জন aij =bij হয়। Ans:Ⓐ বিবৃতি । সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি ।-এর সঠিক কারণ।
Ans:Ⓑ বিবৃতি । সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি ।-এর সঠিক কারণ নয়। Solution: A 3×2 ক্রমের ম্যাট্রিক্স কিন্তু B 3×3 ক্রমের ম্যাট্রিক্স। ∴ A + B সংজ্ঞাত নয়। A এর স্তম্ভ সংখ্যা ≠ B এর সারি সংখ্যা ∴ AB সংজ্ঞাত নয়। ⇒ বিবৃতি-I(A) সত্য B এর স্তম্ভ সংখ্যা = A এর সারি সংখ্যা ∴ BA সংজ্ঞাত ।
3. বিবৃতি-I(A): \(A=\begin{bmatrix}0\quad 1\quad 2\\1\quad 2\quad 3\\3\quad 1\quad 1\end{bmatrix}\) এবং B =\(\begin{bmatrix}2\quad 1\quad 3\\-1\quad 0\quad 1\\3\quad -1\quad 4\end{bmatrix}\) হলে AB ≠ BA
বিবৃতি-II(R): ম্যাট্রিক্সের গুণন ক্রিয়া সাধারণভাবে বিনিময় নিয়ম (commutative law) সিদ্ধ করে না। Ans:Ⓐ বিবৃতি । সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি ।-এর সঠিক কারণ।
4. বিবৃতি-I(A): \(A=\begin{bmatrix}1\quad 2\\-1\quad -2\end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}-1\quad 3\\-3\quad 1\end{bmatrix}\) হলে \((A+B)^2≠A^2+2AB+B^2\)
বিবৃতি-II(R): ম্যাট্রিক্সের গুণ সাধারণত বিনিময় নিয়ম সিদ্ধ করে। Ans:Ⓒ বিবৃতি । সঠিক এবং বিবৃতি II সঠিক নয়। Solution: (A + B)2 = (A + B)(A + B) = A2 + AB + BA + B2 ≠ A2 + 2AB + B2 কারণ ম্যাট্রিক্সের গুণ সাধারণত বিনিময় নিয়ম সিদ্ধ করে না। অর্থাৎ AB ≠ BA ∴ বিবৃতি-I সঠিক এবং বিবৃতি II সঠিক নয়I
5. বিবৃতি-I(A): \(A=\begin{bmatrix}2\quad 0\quad 9\\-1\quad 6\quad 10\\4\quad -1\quad 2\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}0\quad -1\quad -2\\3\quad 2\quad -1\\4\quad -2\quad 0\end{bmatrix}\) এবং C = \(\begin{bmatrix}1\quad -2\quad 0\\0\quad 1\quad 2\\3\quad 0\quad -1\end{bmatrix}\) হলে A(BC) =(AB)C হবে।
বিবৃতি-II(R): ম্যাট্রিক্সের গুণ সংযোগ নিয়ম (associative law) সিদ্ধ করে। Ans:Ⓒ বিবৃতি । সঠিক এবং বিবৃতি II সঠিক নয়। Solution:
6. বিবৃতি-I(A): A, B ও C-এর প্রত্যেকটি 2×2 ক্রমের ম্যাট্রিক্স এমন যে, AB = AC তাহলে B = C হবে।
বিবৃতি-II(R): মনে করো, \(A=\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 0\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}0\quad 0\\1\quad 0\end{bmatrix}\) এবং C = \(\begin{bmatrix}0\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\) যদি AB = AC হয়, তবে B = C হবে।
Ans: বিবৃতি । সঠিক নয়এবং বিবৃতি II সঠিক নয়। Solution: ম্যাট্রিক্সের গুণের ক্ষেত্রে সাধারণভাবে অপসারণ নিয়ম সিদ্ধ হয় না। ∴ AB = AC হলে B = C হবেই তার কোনো নিশ্চয়তা নেই। বিবৃতি-I মিথ্যা।
বিবৃতি-II(R): একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সকে একটি প্রতিসম (symmetric) এবং একটি বিপ্রতিসম (skew-symmetric) ম্যাট্রিক্সের যোগফলরূপে প্রকাশ করা যায়। Ans:Ⓐ বিবৃতি । সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি ।-এর সঠিক কারণ। Solution:
বিবৃতি-I সত্য বিবৃতি-II একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সকে একটি প্রতিসম এবং একটি বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্সের যোগফলরূপে প্রকাশ করা যায়।-সত্য
True and False
1. A এবং B উভয়ই m×n ক্রমের দুটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স। বিবৃতি-I: A + B একটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স বিবৃতি-II: A + B একটি বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স বিবৃতি-III: A + B একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স বিবৃতি-IV: A + B একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স
Ⓐ বিবৃতি I, II, III সত্য Ⓑ বিবৃতি I, III, IV সত্য Ⓒ বিবৃতি I, III সত্য Ⓓ সবকটি বিবৃতিই সত্য Ans: Ⓒ বিবৃতি I, III সত্য Solution: A এবং B উভয়ই প্রতিসম ম্যাট্রিক্স। ∴ AT = A, BT= B (A+B)T= AT + BT= A + B এটি একটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স ⇒ বিবৃতি-I সত্য ∴ বিবৃতি II মিথ্যা A এবং B উভয়ই n×n ক্রমের বর্গ ম্যাট্রিক্স। ∴ A + B একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স বিবৃতি-III সত্য A + B একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স হতেও পারে আবার নাও হতে পারে। ∴ বিবৃতি IV মিথ্যা
2. মনে করো, A এবং B দুটি ম্যাট্রিক্স এরূপ যে, \(A+B=\begin{bmatrix}1\quad 5\quad 10\\5\quad 9\quad 8 \end{bmatrix}\) এবং \(A-B=\begin{bmatrix}-1\quad -1\quad -4\\1\quad 1\quad 6\end{bmatrix}\)
3. মনে করো, \(2\begin{bmatrix}1\quad 3\\0\quad x\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}y\quad 0\\1\quad 2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5\quad 6\\1\quad 8\end{bmatrix}\)
বিবৃতি-I: x = 3 , y = 3 বিবৃতি-II: x = – 3, y = – 3 Ⓐ বিবৃতি I সত্য এবং II মিথ্যা Ⓑ বিবৃতি II সত্য এবং I মিথ্যা Ⓒ বিবৃতি I, II উভয়ই সত্য Ⓓ বিবৃতি I, II উভয়ই মিথ্যা Ans: Ⓐ বিবৃতি I সত্য এবং II মিথ্যা
4. মনে করো, \(A=\begin{bmatrix}2\quad 0\quad – 5\\-3\quad 4\quad 7\end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}3\quad 1\quad -1\\4\quad 5\quad 0\end{bmatrix}\)
বিবৃতি-I: (A + B)’ = A’ + B’ বিবৃতি-II: (A – B)’ = A’ – B’
Ⓐ বিবৃতি I সত্য এবং II মিথ্যা Ⓑ বিবৃতি II সত্য এবং I মিথ্যা Ⓒ বিবৃতি I, II উভয়ই সত্য Ⓓ বিবৃতি I, II উভয়ই মিথ্যা Ans: Ⓒ বিবৃতি I, II উভয়ই সত্য Solution: বিবৃতি । সত্য . . .[আমরা জানি (A + B)’ = A’ + B’] বিবৃতি II সত্য . . .[আমরা জানি (A – B)’ = A’ – B’]
5. A ম্যাট্রিক্স 2×m ক্রমের ও B ম্যাট্রিক্স 3×n ক্রমের; তাদের গুণফল AB সংজ্ঞাত যা একটি p×4 ক্রমের ম্যাট্রিক্স। বিবৃতি-I: m = 3, n = 2, p = 4 বিবৃতি-II: m = 3, n = 4, p = 2
Ⓐ বিবৃতি I সত্য এবং II মিথ্যা Ⓑ বিবৃতি II সত্য এবং I মিথ্যা Ⓒ বিবৃতি I, II উভয়ই সত্য Ⓓ বিবৃতি I, II উভয়ই মিথ্যা Ans: Ⓑ বিবৃতি II সত্য এবং I মিথ্যা [Solution: AB সংজ্ঞাত এবং AB-এর ক্রম হবে 2×n ∴ A-এর স্তম্ভ সংখ্যা = B-এর শ্রেণি সংখ্যা ∴ m = 3 আবার দেওয়া আছে AB একটি p×4 ক্রমের ম্যাট্রিক্স। ∴ p = 2, n = 4]
6. মনে করো, \(A=\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\\2\quad -1\quad 5\\-3\quad 2\quad 4\end{bmatrix},X=\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}14\\15\\13\end{bmatrix}\) এবং AX = B
বিবৃতি-I: x + 2y + 3z = 14 বিবৃতি-II: 2x – y + 5z = 15 বিবৃতি-III: – 3x + 2y + 4z = 13 Ⓐ বিবৃতি I, II সত্য Ⓑ বিবৃতি I, III সত্য Ⓒ বিবৃতি II, III সত্য Ⓓ বিবৃতি I, II, III সত্য Ans: Ⓓ বিবৃতি I, II, III সত্য
Ⓐ বিবৃতি I সত্য এবং II মিথ্যা Ⓑ বিবৃতি II সত্য এবং I মিথ্যা Ⓒ বিবৃতি I, II উভয়ই সত্য Ⓓ বিবৃতি I, II উভয়ই মিথ্যা Ans: Ⓐ বিবৃতি I সত্য এবং II মিথ্যা
Solution: AX = B হলে \(A=\begin{bmatrix}a_1\quad b_1\quad c_1\\a_2\quad b_2\quad c_2\\a_3\quad b_3\quad c_3 \end{bmatrix},\ X=\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix}k_1\\k_2\\k_3\end{bmatrix}\)
8. মনে করো, \(\begin{pmatrix}x + y\quad 2\\z\quad \quad 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\quad 2\quad x – z\\2x – y\quad 0\end{pmatrix}\) যেখানে x, y, z বাস্তব।
বিবৃতি-1: x = 1, y = z = – 1 বিবৃতি-II: x = y = 1 z = – 1
Ⓐ বিবৃতি I সত্য এবং II মিথ্যা Ⓑ বিবৃতি II সত্য এবং I মিথ্যা Ⓒ বিবৃতি I, II উভয়ই সত্য Ⓓ বিবৃতি I, II উভয়ই মিথ্যা Ans: Ⓑ বিবৃতি II সত্য এবং I মিথ্যা Solution: [x + y = 2. . . (i) x – z = 2. . . (ii) 2x – y = 1. . . (iii) (i)+(iii) করে পাই, 3x = 3 ⇒ x = 1 ∴y = 2 – 1 = 1 z = 1 – 2 = -1]
9. মনে করো,\(A=\begin{pmatrix}4\quad\quad 2\quad -1\\3\quad -7\quad 1\end{pmatrix}\) এবং \(B=\begin{pmatrix}2\quad 3\\-3\quad 0\\-1\quad 5\end{pmatrix}\)
2. যদি 2A + 5B = C হয়, যেখানে \(A=\begin{pmatrix}3\quad 5\\2\quad a\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}4\quad b\\2\quad 9\end{pmatrix}\)এবং \(C=\begin{pmatrix}26\quad a\\14\quad 45\end{pmatrix}\) তবে
∴ 2a + 45 = 45 ⇒ a = 0, 10 + 5b = a ⇒ 5b = 0 – 10 ⇒ b = -2
3. যদি\(\begin{pmatrix}x+y+z\\z+x\\y+z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9\\5\\7\end{pmatrix}\)হয়, তবে
[i] x = Ⓐ 3 Ⓑ 4 Ⓒ 2 Ⓓ -2 Ans: Ⓒ 2
[ii] z = Ⓐ 2 Ⓑ 3 Ⓒ 4 Ⓓ 1 Ans: Ⓑ 3
[iii] x + y – z = Ⓐ 1 Ⓑ 2 Ⓒ 3 Ⓓ Ans: Ⓒ 3 [Solution: ∴ x + y + z = 9; z + x = 5; y + z = 7 x = 9 – 7 = 2, y = 9 – 5 = 4, z = 7 – 4 = 3, ∴ x + y – z = 2 + 4 – 3 = 3]
∴ y = 8 এবং 3y – x = 16 বা, -x = 16 – 3.8 = -8 বা, x = 8
7. যদি \(A=\frac{1}{3}\begin{bmatrix}a\quad 2\quad 2\\2\quad 1\quad b\\2\quad c\quad 1\end{bmatrix}\)ম্যাট্রিক্স AA’ = I সম্বন্ধ সিদ্ধ করে তবে (এখানে A’ হল A-এর পরিবর্ত এবং I হল 3 ক্রমের একক ম্যাট্রিক্স)
