Author: TEAM PROSTUTI

দশম শ্রেণির গোলক (Sphere) কষে দেখি ১২
দশম শ্রেণির গোলক (Sphere) কষে দেখি ১২
দশম শ্রেণির গোলক (Sphere) কষে দেখি ১২
দশম শ্রেণির গোলক (Sphere) কষে দেখি ১২
1. একটি গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 10.5 সেমি হলে, তার সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
গোলকটির ব্যাসার্ধ (r) = 10.5 সেমি
∴গোলকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 4πr² বর্গ সেমি
= 4×²²/₇×10.5×10.5 বর্গ সেমি
= 4×²²/₇××¹⁰⁵/₁₀××¹⁰⁵/₁₀ বর্গ সেমি
= 4×22××¹⁵/₁₀×¹⁰⁵/₁₀ বর্গ সেমি
= 22×3×21 বর্গ সেমি
= 1386 বর্গ সেমি।
Ans: গোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 1386 বর্গ সেমি।
2. একটি চামড়ার বল তৈরি করতে প্রতি বর্গ সেমি 17.50 টাকা হিসাবে 431.20 টাকা লেগেছে। বলটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, চামড়ার বলটির ব্যাসার্ধ = r সেমি
∴ চামড়ার বলটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 4πr² বর্গ সেমি
বলটি তৈরি করতে প্রতি বর্গ সেমি 17.50 টাকা হিসাবে 431.20 টাকা লেগেছে।
বলটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = ^431.20/_17.50 বর্গ সেমি
= ⁴³¹²⁰/₁₇₅₀ বর্গ সেমি
= ⁶¹⁶/₂₅ বর্গ সেমি
প্রশ্নানুযায়ী,
4πr² = ⁶¹⁶/₂₅
বা, 4×²²/₇×r² = ⁶¹⁶/₂₅
বা, 4×²/₇×r² = ⁵⁶/₂₅
বা, ¹/₇×r² = ⁷/₂₅
বা, r² = ^7×7/₂₅
বা, r = ⁷/₅
বা, 2r = 2×⁷/₅ = 2.8
Ans: বলটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 2.8 সেমি।
3. স্কুলে সটপাট খেলার জন্য যে বলটি ব্যবহার করা হয় তার ব্যাসের দৈর্ঘ্য 7 সেমি হলে, বলটিতে কত ঘন সেমি লোহা আছে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
সটপাট বলটির ব্যাসার্ধ (r) = ⁷/₂সেমি
∴ বলটির আয়তন = ⁴/₃π×⁷/₂³ ঘন সেমি
= ⁴/₃×²²/₇×⁷/₂×⁷/₂×⁷/₂ ঘন সেমি
= ¹/₃×11×7×7 ঘন সেমি
= ⁵³⁹/₃ ঘন সেমি
= 179²/₃ ঘন সেমি
Ans: বলটিতে 179²/₃ ঘন সেমি লোহা আছে।
4. 28 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসবিশিষ্ট একটি নিরেট গোলক জলে সম্পূর্ণভাবে নিমজ্জিত করলে যে পরিমাণ জল অপসারিত করবে তা নির্ণয় করি।
সমাধান:
নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধ (r) = ²⁸/₂ = 14 সেমি
∴ নিরেট গোলকেটির আয়তন = ⁴/₃π×14³ ঘন সেমি
= ⁴/₃×²²/₇×14×14×14 ঘন সেমি
= ⁴/₃×22××2×14×14 ঘন সেমি
= ³⁴⁴⁹⁶/₃ ঘন সেমি
= 11498 ²/₃ ঘন সেমি
Ans: গোলকটি জলে সম্পূর্ণভাবে নিমজ্জিত করলে 11498 ²/₃ ঘন সেমি জল অপসারিত করবে।
দশম শ্রেণির গোলক (Sphere) কষে দেখি ১২
5. কোনো গোলাকার গ্যাস বেলুন ফোলাবার সময়ে তার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 7 সেমি থেকে 21 সেমি হলে বেলুনটির পূর্বের ও পরের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত নির্ণয় করি।
সমাধান:
বেলুনটির পূর্বের ব্যাসার্ধ (r₁) = 7 সেমি
∴ বেলুনটির পূর্বের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 4π(r₁)² বর্গ সেমি
= 4π×7×7 বর্গ সেমি
বেলুনটির পরের ব্যাসার্ধ (r₂) = 21 সেমি
∴ বেলুনটির পরের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 4π(r₂)² বর্গ সেমি
= 4π×21×21 বর্গ সেমি
∴ বেলুনটির পূর্বের ও পরের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত
= 4π×7×7 : 4π×21×21
= 1×1 : 3×3
= 1 : 9
Ans: পূর্বের ও পরের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 1 : 9
6. অর্ধগোলাকৃতি একটি বাটি তৈরি করতে 127²/₇ বর্গ সেমি পাত লেগেছে। বাটিটির মুখের ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
ধরি, অর্ধগোলাকৃতি বাটিটির মুখের ব্যাসার্ধ = r সেমি
∵ বাটিটি নিরেট নয় তাই বাটি তৈরি করতে বক্রতলের পাত লাগে।
∴ বাটিটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πr² বর্গ সেমি
প্রশ্নানুযায়ী,
2πr² = 127²/₇
বা, 2×²²/₇×r² = ⁸⁹¹/₇
বা, 2×22×r² = 891
বা, 2×2×r² = 81
বা, r² = ⁸¹/₄
∴ r = ⁹/₂
বা, 2r = 9
Ans: বাটিটির মুখের ব্যাসের দৈর্ঘ্য = 9 সেমি।
দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে এখানে ক্লিক করো।
7. একটি নিরেট লোহার গোলার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 2.1সেমি। ওই গোলাটিতে কত ঘন সেমি লোহা আছে তা হিসাব করে লিখি এবং লোহার গোলার বক্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করি।
সমাধান:
নিরেট লোহার গোলকের ব্যাসার্ধ (r) = 2.1 সেমি
∴ নিরেট গোলকের আয়তন = ⁴/₃π×2.1³ ঘন সেমি
= ⁴/₃×²²/₇×²¹/₁₀×²¹/₁₀×²¹/₁₀ ঘন সেমি
= 4×22×¹/₁₀×²¹/₁₀×²¹/₁₀ ঘন সেমি
= 38.808 ঘন সেমি
∴ নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 4π×2.1² বর্গ সেমি
= 4×²²/₇×²¹/₁₀×²¹/₁₀ বর্গ সেমি
= 4×22×³/₁₀×²¹/₁₀ বর্গ সেমি
= 55.44 বর্গ সেমি
Ans: গোলাটিতে 38.808 ঘন সেমি লোহা আছে।
লোহার গোলার বক্রতলের ক্ষেত্রফল 55.44 বর্গ সেমি।
8. একটি নিরেট সিসার গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 14 সেমি। এই গোলকটি গলিয়ে 3.5 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের কতগুলি নিরেট গোলক তৈরি করা যাবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
নিরেট সিসার গোলকের ব্যাসার্ধ (R) = ¹⁴/₂ = 7 সেমি
∴ গোলকটির আয়তন = ⁴/₃π×7³ ঘন সেমি
ছোটো নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধ (r) = 3.5 সেমি
∴ ছোটো নিরেট গোলকের আয়তন = ⁴/₃π×3.5³ ঘন সেমি
ধরি, x টি নিরেট গোলক তৈরি করা যাবে
∴ x× ⁴/₃π×3.5³ = ⁴/₃π×7³
বা, x×3.5³ = 7³
বা, x×3.5³ = 7³
বা, x×³⁵/₁₀×³⁵/₁₀×³⁵/₁₀ = 7×7×7
বা, x×⁷/₂×⁷/₂×⁷/₂ = 7×7×7
∴ x = 8
Ans: নিরেট গোলক তৈরি করা যাবে = 8টি।
9. 3 সেমি, 4 সেমি ও 5 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের তিনটি নিরেট তামা গোলক গলিয়ে একটি নিরেট বড়ো গোলক তৈরি করা হলো। বড়ো গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
তিনটি নিরেট তামার গোলকের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 3 সেমি, 4 সেমি ও 5 সেমি।
∴ তিনটি গোলকের আয়তন যথাক্রমে ⁴/₃π(3)³ ঘন সেমি, ⁴/₃π(4)³ ঘন সেমি ও ⁴/₃π(5)³ ঘন সেমি।
ধরি, বড়ো গোলকটির ব্যাসার্ধ = r সেমি
∴ বড়ো গোলকটির আয়তন = ⁴/₃πr³ ঘন সেমি
তিনটি নিরেট তামা গোলক গলিয়ে একটি নিরেট বড়ো গোলক তৈরি করা হলো।
∴ বড়ো গোলকটির = তিনটি নিরেট তামার গোলকের আয়তন।
∴ ⁴/₃πr³ = ⁴/₃π(3)³ + ⁴/₃π(4)³ + ⁴/₃π(5)³
বা, ⁴/₃πr³ = ⁴/₃π(27 + 64 + 125)
বা, r³ = 216
বা, r³ = (6)³
∴ r = 6
Ans: বড়ো গোলকটির ব্যাসার্ধ 6 সেমি।
দশম শ্রেণির গোলক (Sphere) কষে দেখি ১২
10. একটি অর্ধগোলাকৃতি গম্বুজের ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 42 ডেসিমি। গম্বুজটির উপরিতল রং করতে প্রতি বর্গ মিটার 35 টাকা হিসাবে কত খরচ পড়বে তা হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
অর্ধগোলাকৃতি গম্বুজের ভূমিতলের ব্যাসার্ধ (r) = ⁴²/₂ ডেসিমি
= 21ডেসিমি
= 2.1 মিটার
∴ গম্বুজটির উপরিতলের ক্ষেত্রফল
= 2πr² বর্গ একক
= 2×²²/₇×2.1×2.1 বর্গ মিটার
= 2×22×0.3×2.1 বর্গ মিটার
=27.72 বর্গ মিটার
∴ প্রতি বর্গ মিটার 35 টাকা হিসাবে গম্বুজটির উপরিতল রং করতে খরচ পড়বে
= (27.72 × 35) টাকা
= 970.20 টাকা
Ans: রং করতে 970.20 টাকা কত খরচ পড়বে।
LIFE SCIENCE অসম্পূর্ণ প্রকটতা/ Incomplete Dominance CLICK HERE
11. একই ধাতুর পাত থেকে তৈরি দুটি ফাঁপা গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 21 সেমি এবং 17.5 সেমি। গোলক দুটি তৈরি করতে যে পরিমাণ ধাতুর পাত লেগেছে তার অনুপাত নির্ণয় করি।
সমাধান:
প্রথম গোলকটির ব্যাসার্ধ = ²¹/₂ সেমি
∴ প্রথম গোলকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 4π(²¹/₂)² বর্গ সেমি
দ্বিতীয় গোলকটির ব্যাসার্ধ = ^17.5/₂ সেমি
∴ দ্বিতীয় গোলকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 4π(^17.5/₂)² বর্গ সেমি
∴ গোলক দুটি তৈরি করতে যে পরিমাণ ধাতুর পাত লেগেছে তার অনুপাত
= 4π(²¹/₂)² : 4π(^17.5/₂)²
= ²¹/₂×²¹/₂ : ^17.5/₂×^17.5/₂
= ²¹/₂×²¹/₂ : ¹⁷⁵/₂₀×¹⁷⁵/₂₀
= 21×21 : ³⁵/₂×³⁵/₂
= 3×3 : ⁵/₂×⁵/₂
= 9 : 25
Ans: গোলক দুটি তৈরি করতে যে পরিমাণ ধাতুর পাত লেগেছে তার অনুপাত 9 : 25
12. একটি ধাতব গোলকের উপরিতল এমনভাবে কেটে নেওয়া হলো যে নতুন গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল আগের গোলকের ঠিক অর্ধেক হয়। কেটে নেওয়া অংশের আয়তনের সঙ্গে অবশিষ্ট গোলকের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় করি।
সমাধান:
ধরি, ধাতব গোলকের ব্যাসার্ধ = R একক এবং কেটে নেওয়া নতুন গোলকের ব্যাসার্ধ = r একক
∴ ধাতব গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল
= 4πR² বর্গ একক
∴ নতুন গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল
= 4πr² বর্গ একক
প্রশ্নানুযায়ী,
^4πR²/₂ = 4πr²
বা, ^R²/₂ = r²
বা, R² = 2r²
বা, R = √2.r
∴ কেটে নেওয়া অংশের আয়তনের সঙ্গে অবশিষ্ট গোলকের আয়তনের অনুপাত = 36 : 25
$$\large{=\frac{\frac{4}{3}πr^3}{\frac{4}{3}πR^3-\frac{4}{3}πr^3}\\=\frac{\frac{4}{3}πr^3}{\frac{4}{3}π\left(R^3-r^3\right)}\\=\frac{r^3}{R^3-r^3}\\=\frac{r^3}{(r\sqrt2)^3-r^3}\\=\frac{r^3}{r^3(2\sqrt2-1)}\\=\frac{1}{2\sqrt2-1}\\=1:(2\sqrt2-1)}$$
13. 14 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি ভূগোলকের অক্ষটির বক্রতলে 0.7 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট দুটি বৃত্তাকার ছিদ্র করা হয়েছে। ভূগোলকটির গোলকার অংশের ধাতব পাতের ক্ষেত্রফল হিসাব করি।
সমাধান:
ভূগোলকটির ব্যাসার্ধ = 14 সেমি
∴ ভূগোলকটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল
= 4πr²
= 4π(14)² বর্গ সেমি
= 4×²²/₇×14×14 বর্গ সেমি
= 4×22×2×14 বর্গ সেমি
= 2464 বর্গ সেমি
ভূগোলকের বৃত্তাকার ছিদ্রের ব্যাসার্ধ = 0.7 সেমি
∴ বৃত্তাকার ছিদ্রের ক্ষেত্রফল
= πr²
= π(0.7)²
= ²²/₇×⁷/₁₀×⁷/₁₀ বর্গ সেমি
= 22×¹/₁₀×⁷/₁₀ বর্গ সেমি
= 1.54 বর্গ সেমি।
∴ দুটি বৃত্তাকার ছিদ্রের ক্ষেত্রফল
= (2 × 1.54) বর্গ সেমি = 3.08 বর্গ সেমি।
∴ ভূগোলকটির গোলকার অংশের ধাতব পাতের ক্ষেত্রফল
= (2464 – 3.08) বর্গ সেমি
= 2460.92 বর্গ সেমি।
Ans: ভূগোলকটির গোলকার অংশের ধাতব পাতের ক্ষেত্রফল 2460.92 বর্গ সেমি।
14. 8 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি নিরেট লোহার গোলককে গলিয়ে 1 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের কয়টি নিরেট গুলি তৈরি করা যাবে হিসাব করে লিখি।
সমাধান:
নিরেট লোহার গোলকের ব্যাসার্ধ = 8 সেমি
∴ নিরেট লোহার গোলকের আয়তন
= ⁴/₃π(8)³ ঘন সেমি
1 সেমি ব্যাসার্ধের নিরেট গুলির আয়তন
= ⁴/₃π(1)³ ঘন সেমি।
∴ 1 সেমি ব্যাসার্ধের নিরেট গুলি তৈরি করা যাবে
= ⁴/₃π(8)³ ÷ ⁴/₃π(1)³
= (8)³ ÷ (1)³ = 512 টি
দশম শ্রেণির গোলক (Sphere) কষে দেখি ১২
15. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)
(i) 2r একক দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট নিরেট গোলকের আয়তন
(a) ^32πr³/₃ ঘন একক (b) ^16πr³/₃ ঘন একক (c) ^8πr³/₃ ঘন একক (d) ^64πr³/₃ ঘন একক
Ans: (a) ^32πr³/₃ ঘন একক
[নিরেট গোলকের আয়তন = ⁴/₃π(2r)³ ঘন একক
= ^32πr³/₃ ঘন একক]
(ii) দুটি নিরেট গোলকের আয়তনের অনুপাত 1:8 হলে, তাদের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত(a) 1:2 (b) 1:4 (c) 1:8 (d) 1:16
Ans: (b) 1:4
[ধরি, নিরেট গোলক দুটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে r একক ও R একক
∴ তাদের আয়তনের অনুপাত ⁴/₃πr³ : ⁴/₃πR³
প্রশ্নানুযায়ী,
⁴/₃πr³ : ⁴/₃πR³ = 1 : 8
বা, r³ : R³ = 1³ : 2³
বা, r : R = 1 : 2
∴ তাদের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত
= 4πr²: 4πR²
= r²: R²
= 1²: 2² = 1 : 4]
(iii) 7 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি নিরেট অর্ধগোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল (a) 588π বর্গ সেমি (b) 392π বর্গ সেমি (c) 147π বর্গ সেমি (d) 98π বর্গ সেমি
Ans: (c) 147π বর্গ সেমি
[নিরেট অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধ 7 সেমি
∴ নিরেট অর্ধগোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= 3πr² = 3×π×7²
= 147π বর্গ সেমি ]
(iv) দুটি নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 16:9 হলে, তাদের আয়তনের অনুপাত (a) 64:27 (b) 4:3 (c) 27:64 (d) 3:4
Ans: (a) 64:27
[ধরি, নিরেট গোলক দুটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে r একক ও R একক
তাদের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত = 4πr²: 4πR²
প্রশ্নানুযায়ী
4πr²: 4πR² = 16 : 9
বা, r²: R²= 16 : 9
বা, r : R= 4 : 3
তাদের আয়তনের অনুপাত
= ⁴/₃πr³ : ⁴/₃πR³
= r³ : R³
= 4³ : 3³ = 64 : 27]
(v) একটি নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল ও 3 গুন আয়তনের সাংখ্যমান সমান হলে, গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য (a) 1 একক (b) 2 একক (c) 3 একক (d) 4 একক
Ans: (a) 1 একক
[ধরি, নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধ r একক
∴ নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 4πr² বর্গ একক
নিরেট গোলকের আয়তন = ⁴/₃πr³ ঘন একক
[প্রশ্নানুজায়ী,
4πr² = 3×⁴/₃πr³
বা, r = 1]
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখিঃ
(i) একটি নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য দ্বিগুন করলে গোলকটির আয়তন দ্বিগুন হবে।
Ans: মিথ্যা
[ধরি, নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধ r একক
∴ নিরেট গোলকের আয়তন = ⁴/₃πr³ ঘন একক
নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য দ্বিগুন করলে,
গোলকটির আয়তন হবে = ⁴/₃πr³
= ⁴/₃π(2r)³
= 8 × ⁴/₃πr³ ঘন একক]
(ii) দুটি অর্ধগোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 4:9 হলে, তাদের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত হবে 2:3
Ans: সত্য
[ধরি, অর্ধগোলক দুটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে r একক ও R একক
∴ 3πr² : 3πR² = 4 : 9
বা, r² : R² = 4 : 9
বা, r : R = 2 : 3]
(C) শূন্যস্থান পূরণ করিঃ
(i) একটি তল বিশিষ্ট ঘনবস্তুর নাম __________।
Ans: গোলক

(ii) একটি নিরেট অর্ধগোলকের সমতলের সংখ্যা ______।
Ans: 1টি

(iii) একটি নিরেট অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 2r একক হলে সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ________ বর্গ একক।
Ans: 12πr²
[অর্ধগোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= 3πr² বর্গ একক
= 3π(2r)² = 12πr² বর্গ একক]
16. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) একটি নিরেট অর্ধগোলকের আয়তন এবং সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের সাংখ্যমান সমান। অর্ধগোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।
সমাধানঃ
ধরি, অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধ = r একক।
∴ অর্ধগোলকের আয়তন = ²/₃πr³ ঘন একক
এবং অর্ধগোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 3πr² বর্গ একক।
প্রশ্নানুসারে,
²/₃πr³ = 3πr²
বা, 2πr³ = 9πr²
বা, r = ⁹/₂ = 4.5
Ans: অর্ধগোলকটির ব্যাসার্ধ 4.5 একক
(ii) একটি নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল একটি নিরেট লম্ববৃত্তাকার চোঙের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের সমান। চোঙটির উচ্চতা এবং ব্যাসের দৈর্ঘ্য উভয়েই 12 সেমি। গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।
সমাধানঃ
ধরি, গোলকের ব্যাসার্ধ = r সেমি।
∴ গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 4πr² বর্গসেমি।
চোঙটির উচ্চতা(h) = 12 সেমি
চোঙটির ব্যাসার্ধ(R) = ¹²/₂ = 6 সেমি।
∴ চোঙটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πRh
= 2π×6×12 বর্গসেমি।
প্রশ্নানুসারে,
4πr² = 2π×6×12
বা, r² = 6×6
বা, r = 6
Ans: গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 6 সেমি।
(iii) একটি নিরেট অর্ধগোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল এবং একটি নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল সমান। অর্ধগোলক এবং গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত কত তা লিখি।
সমাধানঃ
ধরি, অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধ = r একক এবং
নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধ = R একক।
∴ অর্ধগোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 3πr² বর্গএকক;
এবং নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 4πR² বর্গএকক।
প্রশ্নানুসারে,
$$\large{\quad\quad 3πr^2=4πR^2\\⇒3r^2=4R^2\\⇒\frac{r^2}{R^2}=\frac{4}{3}\\⇒\frac{r}{R}=\frac{2}{\sqrt3}}$$Ans: অর্ধগোলক এবং গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 2:√3
(iv) একটি নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = S এবং আয়তন = V হলে, ^S³/_V² -এর মান কত তা লিখি। (π-এর মান না বসিয়ে )
সমাধানঃ
ধরি, গোলকের ব্যাসার্ধ = r একক।
∴ গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল S = 4πr²
এবং গোলকের আয়তন V = ⁴/₃πr³
$$\large{\therefore\frac{S^3}{V^2}=\frac{\left(4πr^2\right)^3}{\left(\frac{4}{3}πr^3\right)^2}\\⇒\frac{S^3}{V^2}=\frac{64π^3r^6×9}{16π^2r^6}\\⇒\frac{S^3}{V^2}=36π\quad\mathbf{(Ans)}}$$
(v) একটি গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 50% বৃদ্ধি করলে বক্রতলের ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পায় তা লিখি
সমাধানঃ
ধরি, গোলকের ব্যাসার্ধ = r একক।
∴ গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 4πr² বর্গ একক।
ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 50% বৃদ্ধি করলে.
ব্যাসার্ধ হয় = r × ¹⁵⁰/₁₀₀
= ^3r/₂ একক
∴ নতুন গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল
= 4π(^3r/₂)² বর্গ একক।
= 4π×^9r²/₄
= 9πr² বর্গ একক।
ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি হয় = 9πr² – 4πr²
= 5πr² বর্গ একক।
∴ বক্রতলের ক্ষেত্রফল শতকরা বৃদ্ধি পায় = ^5πr²/_4πr² × 100
= 125
Ans: ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায় 125%
Madhyamik Question
MP-2024
▶️ একটি গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ করলে বক্রতলের ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?
VIEW ANSER
MP-2023
▶️ দুটি নিরেট গোলকের আয়তনের অনুপাত 27 : 8 হলে তাদের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত হবে
(a) 1:2 (b) 9:4 (c) 1:8 (d) 1:16
VIEW ANSER
▶️ 1 সেমি ও 6 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট দুটি নিরেট গোলককে গলিয়ে 9 cm বহির্ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি ফাঁপা গোলকে পরিণত করা হলে, নতুন গোলকের অন্তর্ব্যাসার্ধ নির্ণয় করো।
VIEW ANSER
MP-2022
▶️ 2r একক দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট নিরেট গোলকের আয়তন
(a) ^32πr³/₃ ঘন একক (b) ^16πr³/₃ ঘন একক (c) ^8πr³/₃ ঘন একক (d) ^64πr³/₃ ঘন একক
VIEW ANSER
▶️ কোনো গোলকের ব্যাসার্ধ r এবং আয়তন v হলে, v ∝ __________।
Ans: r³
[গোলকের ব্যাসার্ধ r এবং আয়তন v হলে,
v = ⁴/₃πr³
⇒ v ∝ r³ – – – (∵ ⁴/₃π = ধ্রুবক)]
▶️ একটি গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 50% বৃদ্ধি করলে বক্রতলের ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পায়, তা নির্ণয় করো।
VIEW ANSER
▶️ 8 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি নিরেট লোহার গোলককে গলিয়ে 1 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের কয়টি নিরেট গোলাকার গুলি তৈরী করা যাবে তা নির্ণয় করো।
VIEW ANSER
MP-2020
▶️ দুটি গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 1: 4 হলে, তাদের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় করো।
VIEW ANSER
MP-2018
▶️ একটি গোলকের ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ হলে গোলকটির প্রথম গোলকের আয়তনের দ্বিগুণ হবে। (সত্য/ মিথ্যা)
VIEW ANSER
▶️ একটি নিরেট অর্ধগোলকের আয়তন 144π ঘনসেমি হলে, গোলকটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য কত?
VIEW ANSER
MP-2017
▶️ একটি নিরেট অর্ধগোলকের সমতল সংখ্যা __________।
Ans: একটি
▶️
▶️ একটি অর্ধগোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 36π বর্গ সেমি ক্ষেত্রফল হলে উহার ব্যাসার্ধ 3 সেমি হবে। (সত্য/ মিথ্যা)
Ans: সত্য
[ধরি, অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধ r সেমি
∴ 3πr² = 36π
⇒ r² = 12
⇒ r² = 2√3]
▶️ একটি গোলকের ব্যাস অপর একটি গোলকের ব্যাসের দ্বিগুণ। যদি বড় গোলকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের সাংখ্যমান ছোট গোলকটির আয়তনের সাংখ্যমানের সমান হয়, তবে ছোট গোলকটির ব্যাসার্ধ কত?
VIEW ANSER
KOSHE DEKHI 11.2
KOSHE DEKHI 13
Boyle’s Law গ্যাসের আচরণ বয়েলের সূত্র

দশম শ্রেণির ভৌত বিজ্ঞানের সকল সূত্রাবলী

কষে দেখি 26.4 দশম শ্রেণী রাশিবিজ্ঞান সংখ্যাগুরুমান

কষে দেখি 26.3 দশম শ্রেণী রাশিবিজ্ঞান: ওজাইভ

কষে দেখি 26.2 দশম শ্রেণী রাশিবিজ্ঞান মধ্যমা

Koshe Dekhi 24 Class 10|পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

কষে দেখি 25 দশম শ্রেণী | ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ: উচ্চতা ও দূরত্ব

Solution of Koshe dekhi 22

Solution of Koshe dekhi 21

KOSHE DEKHI 17 সম্পাদ্য বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন

ত্রিভুজের অন্তর্বৃত্ত অঙ্কন কষে দেখি 11.2

Koshe Dekhi 18-4 Class 10 সদৃশতা

Koshe Dekhi 18-3 Class 10 সদৃশতা

Koshe Dekhi 18.2 Class X Similarity সদৃশতা

Koshe Dekhi 23.3 Class 10 | ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি কষে দেখি- ২৩.৩

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি কষে দেখি- 23.2 Class-X

সম্পাদ্যঃ ত্রিভুজের পরিবৃত্ত অঙ্কন কষে দেখি 11.1

ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা কষে দেখি 19

Similarity Class X Koshe Dekhi 18.1 সদৃশতা

লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু কষে দেখি 16 দশম শ্রেণি Right Circular Cone
October 9, 2023
অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Significance of Derivative S N Dey Part-2
অন্তরকলজের ব্যাখ্যা || দ্বাদশ শ্রেণি || Significance of Derivative S N Dey || Class XII || Part-2
অন্তরকলজের ব্যাখ্যা || দ্বাদশ শ্রেণি || Significance of Derivative S N Dey || Class XII || Part-2
Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1-CLICK HERE
3. (i) ABC ত্রিভুজের c বাহু এবং C কোণ অপরিবর্তিত রেখে অপর বাহু দুটি ও কোণ দুটি স্বল্প পরিবর্তন করা হলে দেখাও যে, ^da/_cosA + ^db/_cosB = 0
Solution:
a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R – – – [ধরি, পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ a = 2RsinA
বা, da = 2RcosA dA
বা, ^da/_cosA = 2RdA – – – – (i)
আবার,
b = 2RsinB
বা, db = 2RcosBdB
বা, ^db/_cosB = 2RdB – – – – (ii)
(i) + (ii) করে পাই,
^da/_cosA + ^db/_cosB
= 2RdA +2RdB
= 2R(dA + dB)
= 2R × 0 – -[∵ A + B +C = π
dA + dB = 0
= 0 ∵ C ধ্রুবক ∴ dC = 0]
^da/_cosA + ^db/_cosB = 0 (Proved)
(ii) কোনো ত্রিভুজ ABC-তে যদি a ও b বাহু দুটি অপরিবর্তিত রেখে ভূমিস্থ কোণ দুটি A ও B -এর স্বল্প পরিবর্তন করা হয়, তবে প্রমাণ করো যে,
$$\large{\mathbf{\frac{dA}{\sqrt{a^2-b^2sin^2A}}=\frac{dB}{\sqrt{b^2-a^2sin^2B}}}\\\mathbf{Solution}}$$

$$\large{\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}\\\ asinB=bsinA\\∴acosBdb=bcosA da\\or, \frac{da}{acosB}=\frac{db}{bcosA}\\\\or, \frac{da}{a\sqrt{1-sin^2B}}=\frac{db}{b\sqrt{1-sin^2A}}\\or,\frac{da}{a\sqrt{1-\left(\frac{bsinA}{a}\right)^2}}=\frac{db}{b\sqrt{1-\left(\frac{asinB}{b}\right)^2}} \\or,\frac{da}{a\sqrt{1-\frac{b^2sin^2A}{a^2}}} =\frac{db}{b\sqrt{1-\frac{a^2sin^2B}{b^2}}}\\or,\frac{da}{\sqrt{a^2-b^2sin^2A}} =\frac{db}{\sqrt{b^2-a^2sin^2B}}}$$
4. দোলকের দৈর্ঘ্য l ও দোলনকাল T যদি T=2л√^l/_g সূত্র দ্বারা আবদ্ধ হয় এবং g দৈর্ঘ্যের ত্রুটি 1% হলে, দোলনকালের ত্রুটি নির্ণয় করো।
Solution:
$$\large{T=2π\sqrt{\frac{l}{g}}\\⇒\frac{dT}{dl}=\frac{2π}{\sqrt g}.{\frac{1}{2\sqrt l}}\\⇒dT=\frac{π}{\sqrt{gl}}.Δl\\ \quad ∵\quad\frac{Δl}{l}×100=1\\⇒\quadΔl=0.01l \\∴dT=\frac{π}{\sqrt{gl}}×0.01l\\⇒dT=2π\sqrt{\frac{l}{g}}×\frac{0.01}{2}\\⇒dT=T×\frac{0.01}{2}\\⇒dT=T×0.005\\⇒\frac{dT}{T}=0.005\\∴\left(\frac{dT}{T}×100\right)\%=0.5\%}$$Ans: দোলনকালের ত্রুটি 0.5%
5. একটি গোলকের ব্যাসার্ধের পরিমাপ হল 20 সেমি। যদি ব্যাসার্ধের পরিমাপে সম্ভাব্য ত্রুটির মান 0.05 সেমি হয়, তবে গোলকের আয়তনের পরিমাপে ত্রুটি, আপেক্ষিক ও শতকরা ত্রুটির মান নির্ণয় করো।
Solution:
ধরি,গোলকের ব্যাসার্ধ = r সেমি।
এখানে, r = 20 সেমি এবং Δr = 0.05 সেমি
গোলকের আয়তন V হলে,
V = ⁴/₃ πr³
∴ ^dV/_dr = 4πr²
⇒ dV = 4πr² × Δr
⇒ dV = 4π×(20)² ×0.05
⇒ dV = 4π×400×⁵/₁₀₀
⇒ dV = 80π
Ans: আয়তনের পরিমাপে ত্রুটির মান 80π
∴ ^dV/_V = ^80π/_{⁴/₃ π(20)³}
⇒ ^dV/_V = ^80×3/_4×8000
⇒ ^dV/_V = ³/₄₀₀
⇒ ^dV/_V = 0.0075
Ans: আয়তনের পরিমাপে আপেক্ষিক ত্রুটির মান 0.0075
∴ ^dV/_V × 100 = 0.0075×100
= 0.75
Ans: আয়তনের পরিমাপে শতকরা ত্রুটির মান 0.75
6. দেখাও যে, কোনো ঘনকের আয়তনের পরিমাপে আপেক্ষিক ত্রুটির মান তার বাহুর পরিমাপে আপেক্ষিক ত্রুটির প্রায় তিনগুণ।
Solution:
ধরি, ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য a একক।
ঘনকের আয়তন V হলে,
V = a³
∴ ^dV/_da = 3a²
⇒ dV = ^dV/_da .da
⇒ dV = 3a².da
⇒ dV = 3a² × a × ^da/_a
⇒ dV = 3a³ × ^da/_a
∴ ^dV/_V = ¹/_V × 3a³ × ^da/_a
⇒ ^dV/_V = ¹/_3a³× 3a³ × ^da/_a
⇒ ^dV/_V = 3 ^da/_a
∴ আয়তনের পরিমাপে আপেক্ষিক ত্রুটি = 3× বাহুর পরিমাপে আপেক্ষিক ত্রুটি (Proved)
7. একটি বেলুনের ব্যাসার্ধ 7 সেমি। ব্যাসার্ধ মাপতে গিয়ে যদি 0.01 সেমি ত্রুটি হয়, তবে বেলুনের আয়তন নির্ণয় করতে গিয়ে কত ত্রুটি হবে নির্ণয় করো।
Solution:
ধরি, বেলুনের ব্যাসার্ধ r;
এখানে, r = 7 সেমি এবং Δr = 0.01 সেমি
বেলুনের আয়তন V হলে,
V = ⁴/₃ πr³
∴ ^dV/_dr = ⁴/₃ π.3.r²
⇒ ^dV/_dr = 4πr²
∴ ΔV = ^dV/_dr.Δr
⇒ ΔV = 4πr².Δr
⇒ ΔV = 4π7².0.01 – – – – [r = 7]
⇒ ΔV = 4×²²/₇×7²×¹/₁₀₀
⇒ ΔV = 6.16
Ans: বেলুনের আয়তন নির্ণয়ে ত্রুটি 6.16 বর্গসেমি ।
8. একটি ওলটানো লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির জলাধারের উচ্চতা 24 ইঞ্চি ও ভূমির ব্যাস 12 ইঞ্চি। জলাধারে প্রতি মিনিটে 100 ঘনইঞ্চি জল ঢালা হয়। যখন জলাধারে জলের উচ্চতা 10 ইঞ্চি তখন জলতলের উচ্চতা কী হারে বৃদ্ধি পায়?
Solution:
ধরি, t সময়ে জলাধারে সঞ্চিত জলের আয়তন V;
জলের উপরিতলের ব্যাসার্ধ r এবং জলের গভীরতা h হলে,
সঞ্চিত জলের আয়তন
V = ¹/₃πr²h
এখানে,
OB = 24 ইঞ্চি ; OA =6 ইঞ্চি, OB= 24 ইঞ্চি;
t সময়ে CD = r; জলের গভীরতা CB = h
স্পষ্টতই, △AOB এবং △DCB সদৃশ।

$$\large{\therefore \frac{OA}{CD}=\frac{OB}{CB}\\⇒\frac{6}{r}=\frac{24}{h}\\⇒\frac{1}{r}=\frac{4}{h}\\⇒r=\frac{h}{4}\\\therefore V=\frac{1}{3}.π.\left(\frac{h}{4}\right)^2.h\\⇒ V=\frac{1}{3}.π.\frac{h}{16}^3\\⇒ \frac{dV}{dt}=\frac{1}{3}.π.3.\frac{h}{16}^2.\frac{dh}{dt}\\ ⇒\frac{dV}{dt}=π.\frac{h}{16}^2\frac{dh}{dt}\\ \quad\quad\frac{dV}{dt}= 10;\quad h=10 \\100=\frac{π}{16}10^2\frac{dh}{dt}\\⇒ \frac{dh}{dt}=\frac{16}{π}\\}$$Ans: জলতলের উচ্চতা 16/π ইঞ্চি/মিনিট হারে বৃদ্ধি পায়।
9. 6 ফুট লম্বা এক ব্যক্তি 15 ফুট উচ্চ একটি আলোকস্তম্ভের পাদদেশ থেকে ঘণ্টায় 3 মাইল বেগে সরে আসলে,
(i) তার ছায়ার দৈর্ঘ্য কী হারে বৃদ্ধি পাবে?
(ii) তার ছায়ায় দূরবর্তী প্রান্ত কত বেগে গতিশীল হবে ?
(i)
Solution:
এখানে, আলোকস্তম্ভের উচ্চতা(AB) = 15 ফুট,
ব্যক্তির উচ্চতা(DE) = 6 ফুট,
dx/dt = 3 মাইল/ঘন্টা,
ধরি, BE = x, ছায়ার দৈর্ঘ্য(EC) = y,
স্পষ্টতই, △ABC এবং △DEC সদৃশ।

$$\large{\therefore \frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EC}\\⇒\frac{15}{6}=\frac{x+y}{y}\\⇒\frac{5}{2}=\frac{x+y}{y}\\⇒5y=2(x+y)\\⇒3y=2x\\ ⇒3\frac{dy}{dt}=2\frac{dx}{dt}\\⇒3\frac{dy}{dt}=2.3\\⇒\frac{dy}{dt}=2}$$
Ans: ব্যক্তিটির ছায়ার দৈর্ঘ্য ঘন্টায় 2 মাইল বেগে বাড়বে।
(ii)
Solution:
d(x+y) = dy/dt + dx/dt
= 3 + 2 =5
Ans: ছায়ার দূরবর্তী প্রান্তের বেগ ঘন্টায় 5 মাইল বেগে গতিশীল হবে।
10.কোনো জলাধারের তলদেশ 3 ফুট বাহুবিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র। যদি জলাধারে জলের উচ্চতা প্রতি মিনিটে 1 ফুট বৃদ্ধি পায়, তবে তাতে কী হারে জল ঢালা হচ্ছিল?
Solution:
ধরি, জলাধারটির বাহুর দৈর্ঘ্য a ফুট এবং উচ্চতা h ফুট
∴ জলাধারটির আয়তন V = a²h
এখানে a = 3 ফুট, ^dV/_dt = a²
^dh/_dt = 1 ফুট/মিনিট
∵ V = a²h
⇒ ^dV/_dt = a².^dh/_dt
⇒^dV/_dt = 3²×1
⇒ ^dV/_dt = 9
Ans: 9 ঘনফুট/মিনিট হারে জল ঢালা হচ্ছিল।
11. প্রতি মিনিটে 3 ঘনফুট হারে বালি ফেলে ভূমি সমতলে একটি লম্ববৃত্তাকার শঙ্কু তৈরি করা হয়, যার উচ্চতা ভূমির ব্যাসার্ধের অর্ধেক। যখন ভূমির ব্যাসার্ধ 4 ফুট, তখন কী হারে তার উচ্চতা বৃদ্ধি পাবে?
Solution:
ধরা যাক,লম্ববৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধ r এবং উচ্চতা h
এখানে ^dV/_dt = 3 ঘনফুট/মিনিট
এবং h = ^r/₂
বা, r = 2h
শঙ্কুর আয়তন হলে,
V = ¹/₃ πr²h
বা, V = ¹/₃ π(2h)²h
= ⁴/₃ πh³
∴ ^dV/_dt = ⁴/₃ π.3.h²
⇒ ^dV/_dt = 4πh² ^dh/_dt
⇒ 3 = 4π(^r/₂)h² ^dh/_dt
⇒ 3 = 4π(⁴/₂)² ^dh/_dt
⇒ 3 = 4π.4 ^dh/_dt
⇒ ^dh/_dt = ³/_16π
Ans: প্রতি মিনিটে ³/_16π ফুট হারে তার উচ্চতা বৃদ্ধি পাবে
12. 26 ফুট দীর্ঘ একটি মই উল্লম্ব দেওয়ালের গায়ে হেলানো অবস্থায় আছে। দেওয়াল থেকে মইটির নিম্নপ্রান্তের অনুভূমিক দূরত্ব 10 ফুট। যদি মইটির ঊর্ধ্বপ্রান্ত সেকেন্ডে 10 ইঞ্চি বেগে নামতে থাকে, তবে তার নিম্নপ্রান্ত ভূমির ওপর কত বেগে গতিশীল হবে? মইটির প্রবণতা যে হারে পরিবর্তিত হয় তাও নির্ণয় করো।

Solution:
ধরি, AB = x এবং BC = y
মইটির উচ্চতা(AC) = 26 ফুট = 26×12 ইঞ্চি
t সময়ে মইটি অনুভূমিক মেঝের সঙ্গে θ কোণ করে থাকলে,
প্রবণতা(m) = tanθ = ^x/_y
এখানে ^dx/_dt = 10 ইঞ্চি/সেকেন্ড
চিত্রে BC = 50 ফুট
ABC সমকোণী ত্রিভুজের,
x² + y² = (26×12)²
⇒ 2x×^dx/_dt + 2y×^dy/_dt = 0
⇒ x×^dx/_dt + 2y×^dy/_dt = 0
⇒ y×^dy/_dt = 2x×^dx/_dt
⇒ ^dy/_dt = – ^x/_y×^dx/_dt
y = BC = 10 ফুট = 10×12 ইঞ্চি হলে,
x² + y² = (26×12)² থেকে পাই,
x² + (10×12)² = (26×12)²
বা, x² = (26×12)² – (10×12)²
বা, x² = 12²(26² – 10²)
বা, x² = 12²(26 + 10)(26 – 10)
বা, x² = 12² × 36 × 16
বা, x = 12 × 6 × 4
∴ ^dy/_dt = – ^x/_y×^dx/_dt
⇒ ^dy/_dt = – ^{12 × 6 × 4}/_{12 × 10}×(-10)
= 24
Ans: মইটির ঊর্ধ্বপ্রান্ত সেকেণ্ডে 24 ইঞ্চি বা 2 ফুট বেগে গতিশীল।
দ্বিতীয় অংশঃ প্রবণতা পরিবর্তনের হার-
m = tanθ = ^x/_y
$$\large{\therefore\frac{dm}{dt}=\frac{y.\frac{dx}{dt}-x.\frac{dy}{dt}}{y^2}\\⇒\frac{dm}{dt}=\frac{10.\frac{-10}{12}-2.24}{(10)^2}\\⇒\frac{dm}{dt}=\frac{-\frac{50}{6}-48}{100}\\⇒\frac{dm}{dt}=\frac{\frac{-50-288}{6}}{100}\\⇒\frac{dm}{dt}=\frac{-338}{6.100}\\⇒\frac{dm}{dt}=\frac{-169}{300}}$$Ans: প্রবণতা পরিবর্তনের হার, সেকেন্ডে 169/300 ফুট প্রতি সেকেন্ড
13. ভূমি সমতলে পর্যবেক্ষক থেকে 50 ফুট দূরে একটি বেলুন সেকেন্ডে 6 ফুট বেগে উল্লম্বভাবে ওপরদিকে ওঠে। যখন ভূমি থেকে বেলুনের উচ্চতা 120 ফুট তখন সেটি কত বেগে পর্যবেক্ষক থেকে দূরে সরে যায়?

Solution:
ধরি, AB = x ফুট এবং AC = y ফুট
এখানে ^dx/_dt = 6 ফুট/সেকেন্ড
চিত্রে BC = 50 ফুট
ABC সমকোণী ত্রিভুজের,
y² = x² + 50²
বা, y² = 120² + 50² – – – [∵ AB = 200]
বা, x² = 14400 + 2500
বা, x² = 16900
বা, x = 130
বা, (120) 2 + 502=y2
বা, y = 130
আবার,
y² = x² + 50²
⇒ 2y×^dy/_dt = 2x×^dx/_dt
⇒ y×^dy/_dt = 2x×^dx/_dt
⇒ ^dy/_dt = ^x/_y×^dx/_dt
⇒ ^dy/_dt = ¹²⁰/₁₃₀×6
⇒ ^dy/_dt = ⁷²/₁₃
Ans: বেলুনটি সেকেন্ডে ⁷²/₁₃ ফুট বেগে পর্যবেক্ষক থেকে দূরে সরে যায়1
অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Significance of Derivative S N Dey Part-2 – PROSTUTI
14. একটি বাড়ি থেকে 30 ফুট দূরে ভূমিতে একটি বাতি জ্বলছিল; 6 ফুট লম্বা এক ব্যক্তি বাতির কাছ থেকে প্রতি সেকেন্ডে 5 ফুট বেগে বাড়ির দিকে হাঁটতে থাকে। বাড়ি থেকে যখন তার দূরত্ব 15 ফুট, তখন কী হারে দেওয়ালে তার ছায়ার দৈর্ঘ্য কমতে থাকবে?
Solution:
ধরি, DE ছায়ার দৈর্ঘ্য এবং ব্যক্তিটির উচ্চতা(BC) = 6 ফুট ;
চিত্রে AE = 30 ফুট, CE=15 ফুট, AC = x ফুট (ধরি,)
^dx/_dt = 5 ফুট/সেকেন্ড;
স্পষ্টতই, △AED এবং △ACB সদৃশ।

$$\large{\therefore \frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}\\⇒\frac{y}{6}=\frac{30}{x}\\⇒xy= 180\\⇒ x\frac{dy}{dt}+y\frac{dx}{dt}=0\\⇒15.\frac{dy}{dt}+12.\frac{dx}{dt}=0 —(x=15 হলে,y=12)\\⇒ 15.\frac{dy}{dt}+12.5=0\\⇒\frac{dy}{dt}=-\frac{60}{15}=-4}$$Ans: দেওয়ালে তার ছায়ার দৈর্ঘ্য সেকেন্ডে 4 ফুট হারে কমতে থাকবে।
15. একজন বালক একটি ঘুড়ি ওড়াচ্ছিল। ঘুড়িটির উচ্চতা যখন 160 ফুট তখন বালকটি থেকে ঘুড়ির সুতোর দৈর্ঘ্য 200 ফুট (সুতোটি একটি সরলরেখায় আছে ধরে নাও) বালকটি থেকে অনুভূমিক তলের সমান্তরালভাবে ঘুড়িটি ঘণ্টায় 5 মাইল বেগে উড়তে থাকলে বালকটি কী হারে সুতো ছাড়ছিল?

Solution:
ধরি, ঘুড়ির সুতোর দৈর্ঘ্য(AC) = y ফুট এবং BC = x ফুট
এখানে AB = 160 ফুট;
^dy/_dt = 5 মাইল/ঘণ্টা
ABC সমকোণী ত্রিভুজের,
x² +160² = y²
বা, x² +160² = 200²
বা, x² = 200² -160² – – – [∵ AB = 200]
বা, x² = (200 + 160)(200 + 160)
বা, x² = 360×40
বা, x = 6×20 = 120
∵ x² +160² = y²
⇒ 2x×^dx/_dt = 2y×^dy/_dt
⇒ x^dx/_dt = y^dy/_dt
⇒ ^dy/_dt = ^x/_y×^dx/_dt
⇒ ^dy/_dt = ¹²⁰/₂₀₀×5
⇒ ^dy/_dt = ¹²⁰/₂₀₀×5
⇒ ^dy/_dt = 3
Ans: বালকটি 3মাইল/ঘণ্টা বেগে সুতো ছাড়ছিল।
অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Significance of Derivative S N Dey Part-2 – PROSTUTI
16. অক্ষটিকে উল্লম্ব অবস্থায় রাখা একটি শঙ্কু আকৃতির পাত্র থেকে প্রতি মিনিটে 8৪৪ ঘনমিটার জল সমহারে পাম্প করে ফেলা হচ্ছে। যদি শঙ্কুর অর্ধ-শীর্ষকোণ 45° হয়, তবে যখন জলের গভীরতা 2 মিটার, তখন জলতল অবনমনের হার বের করো।

Solution:
সমকোণী △ABC-এর ∠BAC= 45°
ধরি শঙ্কু আকৃতির পাত্রের ব্যাসার্ধ r মিটার এবং উচ্চতা hমিটার
∵ ∠BAC= 45°
∴ h = r
শঙ্কুর আয়তন V হলে,
V = ¹/₃ πr²h = ¹/₃ πr³ – – – [∵ h = r]
⇒ ^dV/_dr = ¹/₃×π×3r²
⇒ dv = πr² dr
⇒ 88 = π×2²×dr
⇒ 88 = ²²/₇×4×dr
⇒ dr = 7
Ans: জলতল অবনমনের হার 7 মিটার
17. একটি বৃত্তাকার কালির ফোঁটা সেকেন্ডে 2 বর্গসেমি হারে বড়ো হয়; 2⁶/₁₁ সেকেন্ড পরে তার ব্যাসার্ধ কী হারে বৃদ্ধি পায়, তা নির্ণয় করো।
Solution:
ধরি 2⁶/₁₁ সেকেন্ড পরে বৃত্তাকার কালির ফোঁটার ব্যাসার্ধ r সেমি,
∴ বৃত্তাকার কালির ফোঁটার ক্ষেত্রফল S = πr²
প্রশ্নানুসারে,
πr² = 2 × 2⁶/₁₁
বা, ²²/₇ r² = 2 × ²⁸/₁₁
বা, r² = ^4×7×7/_11×11
বা, r = ^2×7/₁₁ = ¹⁴/₁₁
এখানে, ^dS/_dt = 2
∵ S = πr²
⇒ ^dS/_dt = 2πr^dr/_dt
⇒ 2 = 2×²²/₇×¹⁴/₁₁×^dr/_dt
⇒ 1 = 4×^dr/_dt
⇒ ^dr/_dt = ¹/₄ = 0.25
Ans: ব্যাসার্ধ সেকেন্ডে 0.25 সেমি বৃদ্ধি পায়।
দশম শ্রেণীর ভৌত বিজ্ঞান এবং জীবন বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন
18. স্থির হ্রদে একটি পাথর ফেলা হয় এবং ঢেউগুলি সেকেন্ডে 4 সেমি হারে বৃত্তাকারে গতিশীল হয়। যে সময়ে বৃত্তাকার ঢেউ-এর ব্যাসার্ধ 10 সেমি, তখন সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রফল কত দ্রুত বৃদ্ধি পায়?
Solution:
ধরি বৃত্তাকার ঢেউ-এর ব্যাসার্ধ r সেমি,
∴ বৃত্তাকার ঢেউ-এর ক্ষেত্রফল S = πr²
এখানে, ^dr/_dt = 4
∵ S = πr²
∴ ^dS/_dt = 2πr.^dr/_dt
=2π×10×4
= 80π
Ans: 80 বর্গসেমি হারে সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায়।
অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Significance of Derivative S N Dey Part-2 – PROSTUTI
19. দুটি রাস্তা AB ও BC পরস্পর B বিন্দুতে ছেদ করে, যেখানে ∠ABC = 60° এবং AB = 28 মিটার। একজন ব্যক্তি A বিন্দু থেকে সেকেন্ডে 4 মিটার বেগে B অভিমুখে সাইকেল চালাতে আরম্ভ করে এবং ওই সময়ে B বিন্দু থেকে সেকেন্ডে 8 মিটার বেগে অপর এক ব্যক্তি BC রাস্তায় সাইকেল চালাতে আরম্ভ করে। যাত্রার 3 সেকেন্ড পর তাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব কী হারে পরিবর্তিত হয়?
Solution:
এখানে, ∠ABC = 60° এবং AB = 28 মিটার।
ধরি, t সেকেন্ড পর তারা D ও E বিন্দুতে পৌছয়।
প্রথম ব্যক্তি A বিন্দু থেকে t সেকেন্ডে যায় 4t মিটার এবং
দ্বিতীয় ব্যক্তি B বিন্দু থেকে t সেকেন্ডে যায় 8t মিটার।
অাসে।
∴ BD = 28 – 4t এবং BE = 8t মিটার এবং DE = x (ধরি)

$$\large{\quad cos60°=\frac{(28-4t)^2+(8t)^2-x^2}{2(28-4t).8t}\\⇒\frac{1}{2}=\frac{(28-4t)^2+(8t)^2-x^2}{2(28-4t).8t}\\⇒(28-4t).8t=(28-4t)^2+(8t)^2-x^2\\⇒x^2=(28-4t)^2+64t^2+32t^2-224t\\⇒x^2=(28-4t)^2+96t^2-224t\\\therefore 2x\frac{dx}{dt}=2(28-4t)(-4)+192t-224\\⇒x\frac{dx}{dt}=-112+16t+96t-112\\⇒x\frac{dx}{dt}=112t-224\\⇒\frac{dx}{dt}=\frac{112t-224}{\sqrt{(28-4t)^2+96t^2-224t}}\\\therefore\left[\frac{dx}{dt}\right]_{t=3}=\frac{112×3-224}{\sqrt{(28-4×3)^2+96×3^2-224×3}}\\\quad\quad=\frac{336-224}{\sqrt{286+864-672}}\\\quad\quad=\frac{112}{\sqrt{448}}\\\quad\quad=\frac{16×\sqrt7×\sqrt7}{8\sqrt{7}}\\ \quad\quad=2\sqrt7}$$Ans: যাত্রার 3 সেকেন্ড পর তাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব 2√7 হারে পরিবর্তিত হবে।
20. কোনো গ্যালভানোমিটারে C = ktanθ সমীকরণের সাহায্যে তড়িৎপ্রবাহ C-এর পরিমাণ নির্ণয় করা হয় (k একটি ধ্রুবক) θ = 45°-তে θ-এর পরিমাপে 0.7% ত্রুটির জন্য অনুরূপ প্রবাহমাত্রার ত্রুটি নির্ণয় করো।
Solution:
C = ktanθ
∴ ^dC/_dθ = ksec²θ
এখানে, ^△θ/_θ × 100 = 0.7
বা, △θ = ^0.7θ/₁₀₀
∴ △C = ^dC/_dθ × △θ
= ksec²θ × ^0.7θ/₁₀₀
$$\large{=\frac{△C}{C}×100\\=\frac{\frac{ksec^2θ ×0.7θ}{100}}{ktanθ}×100\\= \frac{ksec^2θ ×7θ}{ktanθ×10×100}×100\\= \frac{sec^2θ ×7θ}{tanθ×10}\\= \frac{sec^245° ×7×\frac{π}{4}}{tan45°×10}\\= \frac{(\sqrt{2})^2×7×\frac{22}{7×4}}{1×10}\\= \frac{2×7×22}{7×4×10}\\= \frac{11}{10}=1.1}$$ প্রবাহমাত্রার ত্রুটি শতকরা 1.1 Ans
অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Significance of Derivative S N Dey Part-2 – PROSTUTI
21. ভূমি সমতল থেকে ⅔ কিমি উচ্চতায় একটি উড়োজাহাজ ঘণ্টায় 15 কিমি বেগে অনুভূমিক দিকে গতিশীল। ভূমির ওপর অবস্থিত একটি স্থির বিন্দু থেকে উড়োজাহাজটি কী হারে দূরে সরে যায় (প্রদত্ত, 2 মিনিট আগে উড়োজাহাজটি ওই স্থির বিন্দুর ওপর দিয়ে গিয়েছিল)?

Solution:
2 মিনিটে উড়োজাহাজটি যায়
= 15 × 2/60 কিমি
= ½ কিমি।
চিত্রে AC = ⅔ কিমি;
CB = x কিমি এবং AB = y কিমি হলে
x² = y² + (⅔)²
⇒ 2x ^dx/_dt = 2y ^dy/_dt
⇒ x ^dx/_dt = y. ^dy/_dt
⇒ ^dx/_dt = ^y/_x. ^dy/_dt
⇒ ^dx/_dt = y/x × 15 – – – [∵ ^dy/_dt = 15]
y= ½, x = ⅚ হলে
^dx/_dt = ^½/_⅚ × 15
⇒ ^dx/_dt = ⅗ × 15
= 9
Ans: স্থির বিন্দু থেকে উড়োজাহাজটি প্রতি ঘন্টায় 9 কিমি দূরে সরে যায়।
HS 2025 Mathematics Solution।। উচ্চ মাধ্যামিক ২০২৫ গণিত প্রশ্নপত্রের সমাধান

Matrix S N Dey Solution Part-3

Matrix S N Dey Solution Part-2

Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স

S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল

Straight Line Ex 4A Class XII সরলরেখা S N Dey Solution

Direction Cosines and Direction Ratios Class XII S N Dey দিক্ কোসাইন এবং দিক্ অনুপাত

Probability Bayes’ Theorem বেইজ উপপাদ্য প্রশ্নমালা 1B

দ্বাদশ শ্রেণীর সম্ভাবনা Probability S N Day Part -2

Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা Part-I

অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Significance of Derivative S N Dey Part-2

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

ভেক্টর বীজগণিত Class XII Vector Algebra S N Dey Part 2

Vector Algebra Class XII ভেক্টর বীজগণিত Part 1

Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part II

Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part-1

JBNSTS- Junior & Senior Scholarship – How to apply, Syllabus etc.

জি. পি. বিড়লা স্কলারশিপ || How to apply GP Birla Scholarship

Vidyasagar Science Olympiad How To Apply বিদ্যাসাগর সায়েন্স অলিম্পিয়াড

Medhasree Scholarship মেধাশ্রী – How to apply, Check Date, Eligibility
October 2, 2023

error: Content is protected !!