Author: TEAM PROSTUTI

Koshe Dekhi 13 Class X Variation কষে দেখি 13 ভেদ দশম শ্রেণি
Koshe Dekhi 13 Class X Variation
কষে দেখি 13 ভেদ দশম শ্রেণি
কষে দেখি 13 ভেদ দশম শ্রেণি Koshe Dekhi 13 Class X Variation
ভেদ তিন প্রকারের। যথা-
(a) সরল ভেদ
(b) ব্যস্ত ভেদ
(c) যৌগিক ভেদ
⛔ সরল ভেদঃ দুটি পরস্পর সম্পর্কিত চলরাশি যদি এমন হয় যে , একটির মান বৃদ্ধি পেলে অপরটির মানও বৃদ্ধি পায় বা একটির মান হ্রাস পেলে অপরটির মানও হ্রাস পায়, তখন ওই দুটি চলরাশির মধ্যকার সম্পর্ককে সরলভেদ বলা হয়।
★ যদি a ও b পরস্পর সরল ভেদে থাকে, তাহলে সেটিকে সাংকেতিক ভাষায় লেখা হয়, a ∝ b
a ∝ b
⇒ a = bk – – – [এখানে k কে অশুন্য ভেদ ধ্রুবক বলা হয়।]
⇒ ^a/_b = k
★★ অর্থাৎ, দুটি চলরাশি পরস্পর সরল ভেদে থাকলে তাদের ভাগফল সর্বদা ধ্রুবক হয়।

⛔ ব্যস্ত ভেদঃ দুটো চলরাশির মধ্যে যখন একটি রাশির মান বৃদ্ধি পেলে অপরটির মান হ্রাস পায় কিংবা একটি রাশির মান হ্রাস পেলে অপরটির মান বৃদ্ধি পায়, তখন ওই রাশি দুটি ব্যস্ত ভেদে আছে বলা হয়।
★ যদি a ও b পরস্পর ব্যস্ত ভেদে থাকে, তাহলে সেটিকে সাংকেতিক ভাষায় লেখা হয়, a ∝ ¹/_b
a ∝ ¹/_b
⇒ a = k×¹/_b – – – [এখানে k কে অশুন্য ভেদ ধ্রুবক বলা হয়।]
⇒ ab = k
★★ অর্থাৎ, দুটি চলরাশি পরস্পর ব্যস্ত ভেদে থাকলে তাদের গুণফল সর্বদা ধ্রুবক হয়।

⛔ যৌগিক ভেদঃ যদি একটি চলরাশি অন্য একাধিক চলরাশির গুণফলের সঙ্গে সরল ভেদে থাকে ,তবে প্রথম চলরাশি অপর চলরাশিগুলির সঙ্গে যৌগিক ভেদে আছে বলা হয়।

⛔⛔ যৌগিক ভেদের উপপাদ্যঃ x, y, z তিনটি চলরাশি এমন সম্পর্কযুক্ত যে, x ∝ y যখন z অপরিবর্তিত থাকে এবং x ∝ z যখন y অপরিবর্তিত থাকে, তবে x ∝ yz হবে , যখন y এবং z উভয়ই পরিবর্তনশীল।
Koshe Dekhi 13 Class X Variation
কষে দেখি 13 ভেদ দশম শ্রেণি
1. দুটি A ও B-এর সম্পর্কিত মানগুলি
A 25 30 45 250
B 10 12 18 100
A ও B-এর মধ্যে কোনো ভেদ সম্পর্ক থাকলে তা নির্ণয় করি ও ভেদ ধ্রুবকের মান লিখি।
Solution:
^A/_B = ²⁵/₁₀ = ³⁰/₁₂ = ⁴⁵/₁₈ = ²⁵⁰/₁₀₀ = ⁵/₂
∴ A = ⁵/₂×B
∴ A ∝ B
Ans: A ও B পরস্পর সরলভেদে আছে।
ভেদ ধ্রুবকের মান ⁵/₂
2. x ও y দুটি চল এবং তাদের সম্পর্কিত মানগুলি
x 18 8 12 6
y 3 ²⁷/₄ ⁹/₂ 9
x ও y-এর মধ্যে কোনো ভেদ সম্পর্ক আছে কিনা বুঝে লিখি।
Solution:
xy = 18×3 = 54
= 8×²⁷/₄ =54
⇒ 12×⁹/₂ =54
= 6×9 =54
∴ xy = 54
∴ x ∝ ¹/_y
Ans: x ও y এর মধ্যে ব্যস্ত সম্পর্ক আছে।
3. (i) বিপিনকাকুর ট্যাক্সি 25 মিনিটে 14 কিমি পথ অতিক্রম করে। একই গতিবেগে ট্যাক্সি চালিয়ে 5 ঘণ্টায় তিনি কতটা পথ যাবেন তা ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে হিসাব করি।
Solution:
ধরি, বিপিনকাকুর ট্যাক্সি t মিনিটে s কিমি দূরত্ব অতিক্রম করে।
সময় ও দূরত্ব পরস্পর সরলভেদে থাকে।
∴ s ∝ t
বা, s = kt – – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
এখানে, t= 25 হলে s = 14 হয়।
∴ 14 = 25k
বা, k = ¹⁴/₂₅
∴ s = ¹⁴/₂₅×t
5 ঘণ্টা = 5×60 = 300 মিনিট
t = 300 হলে,
s = ¹⁴/₂₅×300
বা, s = 14×12 = 168
Ans: 5 ঘণ্টায় তিনি 168 কিমি পথ যাবেন
(ii) আমাদের স্কুলের প্রথম শ্রেণির 24 জন শিশুর মধ্যে একবাক্স সন্দেশ সমান ভাগে ভাগ করে দিলাম এবং প্রত্যেকে 5 টি করে গোটা সন্দেশ পেল। যদি শিশুর সংখ্যা 4 জন কম হত, তবে প্রত্যেকে কতগুলি গোটা সন্দেশ পেত তা ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে হিসাব করি।
Solution:
ধরি, প্রত্যেক শিশুর প্রাপ্ত সন্দেশের সংখ্যা = y এবং শিশুর সংখ্যা = x
মোট সন্দেশের সংখ্যা স্থির রেখে শিশুর সংখ্যা বাড়ালে শিশুর প্রাপ্ত সন্দেশের সংখ্যা কমে যাবে। ∴ প্রত্যেক শিশুর প্রাপ্ত সন্দেশ এবং শিশুর সংখ্যা পরস্পর ব্যস্ত ভেদে আছে।
x ∝ ¹/_y
∴ x = k¹/_y – – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
x = 5 হলে y = 24 হয়।
∴ 5 = k×¹/₂₄
বা, k = 5×24
∴ x = 5×24×¹/_y
y = (24 – 4) = 20 হলে ,
x = 5×24×¹/₂₀
বা, x = 6
Ans: শিশুর সংখ্যা 4 জন কম হলে প্রত্যেকে 6 টি গোটা সন্দেশ পেত।
(iii) একটি পুকুর কাটতে 50 জন গ্রামবাসীর 18 দিন সময় লেগেছে। পুকুরটি 15 দিনে কাটতে হলে অতিরিক্ত কতজন লোককে কাজ করতে হবে তা ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে হিসাব করি।
Solution:
ধরি, গ্রামবাসীর সংখ্যা = N এবং সময় = t
মোট কাজের পরিমাণ স্থির রেখে গ্রামবাসীর সংখ্যা বাড়লে দিনসংখ্যা কমবে।
∴ গ্রামবাসীর সঙ্গে সময়ের পরস্পর ব্যস্ত সম্পর্ক।
N ∝ ¹/_t
∴ N = k¹/_t – – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
N = 50 হলে t = 18 হয়।
∴ 50 = k×¹/₁₈
বা, k = 50×18
∴ N = 50×18×¹/_t
t = 15 হলে ,
N = 50×18×¹/₁₅
বা, N = 60
পুকুরটি 15 দিনে কাটতে 60 জন লোক লাগবে।
Ans: অতিরিক্ত (60 – 50) = 10 জন লোককে কাজ করতে হবে।
কষে দেখি 13 ভেদ দশম শ্রেণি Koshe Dekhi 13 Class X Variation
4. (i) y, x-এর বর্গমূলের সঙ্গে সরলভেদে আছে এবং y = 9 যখন x = 9; x-এর মান নির্ণয় করি যখন y = 6
Solution:
প্রশ্নানুযায়ী,
y ∝ √x
∴ y = k√x – – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
y = 9 যখন x = 9
∴ 9 = k×√9
বা, 3k = 9
বা, k = 3
∴ y = 3√x
y = 6 হলে,
6 = 3√x
বা, √x = 2
বা, √x = 4
Ans: x-এর মান 4
(ii) x, y-এর সঙ্গে সরলভেদে এবং z-এর সঙ্গে ব্যস্ত ভেদে আছে। y = 4, z = 5 হলে x = 3 হয়। আবার y = 16, z = 30 হলে, x-এর মান হিসাব করে লিখি।
Solution:
প্রশ্নানুযায়ী,
x ∝ ^y/_z
∴ x = k×^y/_z – – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
y = 4 ও z = 5 হলে x = 3 হয়
∴ 3 = k×⁴/₅
বা, 4k = 15
বা, k = ¹⁵/₄
∴ x = ¹⁵/₄×^y/_z
y = 16 ও z = 30 হলে,
x = ¹⁵/₄×¹⁶/₃₀
বা, x = 2
Ans: x-এর মান 2
(iii) x, y-এর সঙ্গে সরলভেদে এবং z-এর সঙ্গে ব্যস্তভেদে আছে। y = 5 ও z = 9 হলে x = ¹/₆ হয়।x, y ও z-এর মধ্যে y = 6 ও z = ¹/₅ হলে, x-এর মান হিসাব করে লিখি।
Solution:
প্রশ্নানুযায়ী,
x ∝ ^y/_z
∴ x = k×^y/_z – – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
y = 5 ও z = 9 হলে x = ¹/₆ হয়
∴ ¹/₆ = k×⁵/₉
বা, 30k = 9
বা, k = ³/₁₀
∴ x = ³/₁₀×^y/_z
y = 6 ও z = ¹/₅ হলে,
x = ³/₁₀×⁶/_¹/₅
বা, x = ³/₁₀×30
বা, x = 9
Ans: x-এর মান 9
5 (i) x ∝ y হলে, দেখাই যে x + y ∝ x − y
Solution:
x ∝ y
∴ x = ky – – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
⇒ ^x/_y = k
⇒ ^x+y/_x-y = ^k+1/_k-1 – – – – [যোগ-ভাগ প্রক্রিয়া প্রয়োগ করে পাই]
বা, x + y = ^k+1/_k-1×(x – y)
∴ x + y ∝ x – y (Proved)
(ii) A ∝ ¹/_C, C ∝ ¹/_B হলে, দেখাই যে, A ∝ B
Solution:
A ∝ ¹/_C
∴ A = k×¹/_C – – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
⇒ A = ^k/_C
⇒ C = ^k/_A
C ∝ ¹/_B
∴ C = m×¹/_B – – – – – [যেখানে m অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
⇒ ^k/_A = ^m/_B – – – – [∵ C = ^k/_A ]
⇒ Am = Bk
বা, A = ^k/_m × B
∴ A ∝ B (Proved)
(iii) যদি a ∝ b, b ∝ ¹/_c এবং c ∝ d হয়, তবে a ও d-এর মধ্যে ভেদ সম্পর্ক লিখি।
Solution:
a ∝ b
∴ a = kb – – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
b ∝ ¹/_c
∴ b = m¹/_c – – – – – [যেখানে m অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
বা, b = ^m/_c
c ∝ d
∴ c = nd – – – – – [যেখানে n অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
∵ a = kb
⇒ a = k×^m/_c – – – – [∵ b = ^m/_c ]
⇒ a = k×^m/_nd – – – – [∵ c = nd]
বা, a = ^km/_n×¹/_d
∴ a ∝ ¹/_d
Ans: a ও d-এর মধ্যে ব্যস্ত সম্পর্ক বর্তমান।
(iv) x ∝ y, y ∝ z এবং z ∝ x হলে, ভেদ ধ্রুবক তিনটির মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করি।
Solution:
x ∝ y
⇒ x = ky – – – -(i) – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
y ∝ z
⇒ y = mz – – – – (ii) – – [যেখানে m অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
z ∝ x
⇒ z = nx – – – -(iii) – – [যেখানে n অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
(i)×(ii)×(iii) করে পাই,
x×y×z = ky×mz×nx
বা, 1 = kmn
ভেদ ধ্রুবক তিনটির মধ্যে সম্পর্ক –
ভেদ ধ্রুবক তিনটির গুণফল 1 (Ans)
Class X Variation ভেদ দশম শ্রেণি Koshe Dekhi 13 কষে দেখি 13
6. x + y ∝ x – y হলে,
(i) x² + y² ∝ xy
Solution:
x + y ∝ x – y
∴ x + y = k(x – y) – – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
⇒ x + y = kx – ky
বা, y + ky = kx – x
বা, y(1 + k) = x(k – 1)
∴ ^y/_x = ^{(k – 1)}/_{(1 + k)}
⇒ ^x/_y = ^{(k + 1)}/_{(k – 1)}
∴ ^x/_y = ^{(k + 1)}/_{(k – 1)}
বা, ^x/_y = m – – – – [ধরি, ^{(k + 1)}/_{(k – 1)} =m]
⇒ x = my
$$\large{\therefore\frac{x^2+y^2}{xy}\\=\frac{m^2y^2+y^2}{my.y}\\=\frac{y^2(m^2+1)}{m.y^2}\\= \frac{m^2+1}{m}\\=Constant\\\therefore x^2+y^2∝xy\quad\mathbf{(Proved)} }$$
(ii) x³ + y³ ∝ x³ – y³
Solution:
x + y ∝ x – y
∴ x + y = k(x – y) – – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
⇒ x + y = kx – ky
⇒ y + ky = kx – x
বা, y(1 + k) = x(k – 1)
বা, ^y/_x = ^{(k – 1)}/_{(1 + k)}
⇒ ^x/_y = ^{(k + 1)}/_{(k – 1)}
⇒ ^x/_y = ^{(k + 1)}/_{(k – 1)}
বা, ^x/_y = m – – – – [ধরি, ^{(k + 1)}/_{(k – 1)} =m]
⇒ x = my
$$\large{⇒\frac{x}{y}=m\\⇒\frac{x^3}{y^3}=m^3\\⇒\frac{x^3+y^3}{x^3-y^3}=\frac{m^3+1}{m^3-1}\\⇒ x^3+y^3=\left(\frac{m^3+1}{m^3-1}\right)(x^3-y^3)\\\therefore x^3+y^3∝x^3-y^3\quad\mathbf{(Proved)}}$$
(iii) ax + by ∝ px + qy [যেখানে, a, b, p, q অশূন্য ধ্রুবক]
Solution:
x + y ∝ x – y
∴ x + y = k(x – y) – – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
বা, x + y = kx – ky
বা, y + ky = kx – x
⇒ y(1 + k) = x(k – 1)
বা, ^y/_x = ^{(k – 1)}/_{(1 + k)}
বা, ^x/_y = ^{(k + 1)}/_{(k – 1)}
⇒ ^x/_y = ^{(k + 1)}/_{(k – 1)}
বা, ^x/_y = m – – – – [ধরি, ^{(k + 1)}/_{(k – 1)} =m]
বা, x = my
$$\large{\quad\therefore\frac{ax + by}{px + qy}\\=\frac{a×my+by}{p×my+qy}\\=\frac{y(am+b)}{y(pm+q)}\\=\frac{am+b}{pm+q}}$$
= ধ্রুবক – – – – – [∵ m, a, b, p, q প্রত্যেকে ধ্রুবক]
∴ ax + by ∝ px + qy (Proved)
7. (i) a² + b² ∝ ab হলে, প্রমাণ করি যে, a + b ∝ a – b
Solution:
a² + b² ∝ ab
বা, a² + b² = kab – – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
$$\large{\quad\frac{a^2+b^2}{ab}=k\\⇒\frac{a^2+b^2}{2ab}=\frac{k}{2}\\⇒\frac{a^2+b^2+2ab}{a^2+b^2-2ab}=\frac{k+2}{k-2}\\⇒\frac{(a+b)^2}{(a-b)^2}=\frac{k+2}{k-2}\\⇒\frac{a+b}{a-b}=\sqrt{\frac{k+2}{k-2}}\\⇒\frac{a+b}{a-b}=m\\⇒\frac{a+b}{a-b}=Constant\\\therefore a+b∝a-b\quad\quad \mathbf{(Proved)}}$$
(ii) x³ + y³ ∝ x³ – y³ হলে, প্রমাণ করি যে, x + y ∝ x – y
Solution:
x³ + y³ ∝ x³ – y³
বা, x³ + y³ = k(x³ – y³) – – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
$$\large{\quad\frac{x^3+y^3}{x^3-y^3}=k\\⇒\frac{x^3+y^3+x^3-y^3}{x^3+y^3-x^3+y^3}=\frac{k+1}{k-1}\\⇒\frac{2x^3}{2y^3}=\frac{k+1}{k-1}\\⇒\frac{x^3}{y^3}=\frac{k+1}{k-1}\\⇒\frac{x}{y}=\sqrt[3]{\frac{k+1}{k-1}}=m\\⇒\frac{x}{y}=m\\⇒\frac{x+y}{x-y}=\frac{m+1}{m-1}\\⇒\frac{x+y}{x-y}=Constant\\\therefore x+y∝x-y\quad\quad \mathbf{(Proved)}}$$
কষে দেখি 13 ভেদ দশম শ্রেণি Koshe Dekhi 13 Class X Variation
8. 15 জন কৃষক 5 দিনে 18 বিঘা জমি চাষ করতে পারেন। ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে 10 জন কৃষক 12 বিঘা জমি কতদিনে চাষ করতে পারবেন তা নির্ণয় করি।
Solution:
ধরি, কৃষকের সংখ্যা = N, সময় = t এবং জমির পরিমাণ = A
সময়, কৃষকের সংখ্যার সাথে ব্যস্ত ভেদে থাকে যখন জমির পরিমাণ স্থির থাকে ।
t ∝ ¹/_N – – – – [যখন A স্থির]
এবং সময়, জমির পরিমানের সাথে সরল ভেদে থাকে যখন কৃষকের সংখ্যা স্থির থাকে।
t ∝ A – – – – [যখন N স্থির]
∴ যৌগিক ভেদের উপপাদ্য অনুযায়ী,
t ∝ ^A/_N – – – – [যখন A ও N উভয়েই পরিবর্তনশীল]
∴ t = k×^A/_N – – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
∴ t = ^kA/_N– – – – – – (i)
N = 15 এবং A = 18 হলে t = 5 হয়।
(i) নং থেকে পাই,
5 = ^k×18/₁₅
বা, k×18 = 5×15
বা, k = ²⁵/₆
(i) নং এ k = ²⁵/₆ বসিয়ে পাই,
t = ²⁵/₆ × ^A/_N
N = 10 এবং A = 12 হলে
t = ²⁵/₆ × ¹²/₁₀
∴ t = 5
Ans: 10 জন কৃষক 12 বিঘা জমি 5 দিনে চাষ করতে পারবেন।
9. গোলকের আয়তন গোলকের ব্যাসার্ধের ত্রিঘাতের সঙ্গে সরলভেদে আছে। 1¹/₂, 2 এবং 2¹/₂ মিটার দৈর্ঘ্যের ব্যাসবিশিষ্ট তিনটি নিরেট গোলককে গলিয়ে একটি নিরেট গোলক বানানো হলো। নতুন গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি। (ধরি, গলানোর আগে ও পরে আয়তন একই থাকে)
Solution:
ধরি, r মিটার ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট গোলকের আয়তন V ঘন মিটার।
প্রশ্নানুযায়ী,
V ∝ r³
∴ V = kr³ – – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
তিনটি গোলকের ব্যাস যথাক্রমে 1¹/₂, 2 এবং 2¹/₂ মিটার বা ³/₂, 2 এবং ⁵/₂ মিটার
∴ তিনটি গোলকের ব্যাসার্ধ ³/₄, 1 এবং ⁵/₄ মিটার
তিনটি গোলকের আয়তন যথাক্রমে
V₁ = k(³/₄)³ = ²⁷/₆₄k ঘন মিটার
V₂ = k(1)³ = k ঘন মিটার
V₃ = k(⁵/₄)³ = ¹²⁵/₆₄k ঘন মিটার
∴ তিনটি গোলকের মোট আয়তন
= V₁ + V₂ + V₃
= ²⁷/₆₄k + k + ¹²⁵/₆₄k
⇒ k (²⁷/₆₄ + 1 + ¹²⁵/₆₄)
= k× ^(27+64+125)/₆₄
= ^216k/₆₄ ঘন মিটার
নতুন গোলকের ব্যাসার্ধ R মিটার হলে, নতুন গোলকের আয়তন হবে kR³ ঘন মিটার
∴ kR³ = ^216k/₆₄
বা, R³ = ²¹⁶/₆₄
বা, R³ = (⁶/₄)³
⇒ R = ⁶/₄
বা, R = ³/₂
∴ 2R = 3
Ans: নতুন গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 3 মিটার
দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে এখানে ক্লিক করো।
Koshe Dekhi 13 Class X Variation কষে দেখি 13 ভেদ দশম শ্রেণি
10. y দুটি চলের সমষ্টির সমান, যার একটি x চলের সঙ্গে সরলভেদে এবং অন্যটি x চলের সঙ্গে ব্যস্তভেদে আছে। x = 1 হলে y = -1 এবং x = 3 হলে y = 5; x ও y-এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করি।
Solution:
ধরি, y দুটি চল A এবং B –এর সমষ্টি।
∴ y = A + B
যেখানে,
A ∝ x
∴ A = kx – – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
B ∝ ¹/_x
∴ B = m¹/_x – – – – – [যেখানে m অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
∴ y = kx + ^m/_x – – – – (i)
x = 1 হলে y = -1 হয়।
(i) নং থেকে পাই,
-1 = k + m – – – – (ii)
x = 3 হলে y = 5 হয়।
(i) নং থেকে পাই,
5 = k×3 + ^m/₃
বা, 15 = 3k + m – – – – (iii)
(ii) – (i) করে পাই,
3k + m – (k + m) = 15 – (-1)
বা, 3k + m – k – m = 15 + 1
বা, 2k = 16
⇒ k = 2
(ii) নং সমীকরণে k = 2 বসিয়ে পাই,
-1 = 2 + m
বা, m = -3
∴ k = 40
(i) নং সমীকরণে k ও m-এর মান বসিয়ে পাই,
y = 2x – ³/_x
Ans: x ও y-এর মধ্যে সম্পর্ক y = 2x – ³/_x
11. a ∝ b, b ∝ c হলে দেখাই যে a³b³ + b³c³ + c³a³ ∝ abc(a³ + b³ + c³)
Solution:
a ∝ b
∴ a = k₁b – – – – – [যেখানে k₁ অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
b ∝ c
∴ b = k₂c – – – – – [যেখানে k₂ অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
∴ a = k₁k₂c
$$\large{\frac{a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3}{abc(a^3+b^3+c^3)}\\=\frac{(k_1k_2c)^3(k_2c)^3+(k_2c)^3c^3+c^3(k_1k_2c)^3}{k_1k_2c×k_2c×c\{(k_1k_2c)3+(k_2c)^3+c^3\}}\\=\frac{k_1^3.k_2^3.c^3.k_2^3.c^3+k_2^3.c^3.c^3+c^3.k_1^3.k_2^3.c^3}{k_1.k_2^2c^3(k_1^3.k_2^3.c3+k_2^3.c^3+c^3)}\\=\frac{k_1^3.k_2^6.c^6+k_2^3.c^6+k_1^3.k_2^3.c^6}{k_1.k_2^2c^3.c^3(k_1^3.k_2^3+k_2^3+1)}\\=\frac{k_2^3.c^6(k_1^3.k_2^3+1+k_1^3)}{k_1.k_2^2c^3.c^3(k_1^3.k_2^3+k_2^3+1)}\\=\frac{k_2(k_1^3.k_2^3+k_1^3+1)}{k_1(k_1^3.k_2^3+k_2^3+1)}}$$
= ধ্রুবক
∴ a³b³ + b³c³ + c³a³ ∝ abc(a³ + b³ + c³) (Proved)
12. x ডেসিমিটার গভীর একটি কূপ খনন করার জন্য মোট ব্যয়ের এক অংশ x-এর সঙ্গে সরলভেদে এবং অপর অংশ x² –এর সঙ্গে সরলভেদে পরিবর্তিত হয়। যদি 100 ডেসিমিটার এবং 200 ডেসিমিটার কূপ খনন করার জন্য যথাক্রমে 5000 টাকা এবং 12000 টাকা ব্যয় হয়, তবে 250 ডেসিমিটার গভীর কূপ খননের জন্য কত ব্যয় হবে হিসাব করে লিখি।
Solution:
ধরি, x ডেসিমিটার গভীর একটি কূপ খনন করার জন্য মোট ব্যয় y টাকা যার y₁ অংশ x-এর সঙ্গে সরলভেদে এবং y₂ অংশ x² –এর সঙ্গে সরলভেদে পরিবর্তিত হয়।
∴ y₁ ∝ x
বা, y₁ = kx – – – – [k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
এবং y₂ ∝ x²
বা, y₂ = mx² – – – – [m একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
∴ y = y₁ + y₂
= kx + mx² – – – – (i)
x = 100 হলে y = 5000 হয়।
(i) নং থেকে পাই,
5000 = k×100 + m×(100)²
বা, 5000 = 100k + 10000m
বা, 50 = k + 100m – – – – (ii)
x = 200 হলে y = 12000 হয়।
(i) নং থেকে পাই,
12000 = k×200 + m×(200)²
বা, 12000 = 200k + 40000m
বা, 60 = k + 200m – – – – (iii)
(iii) – (ii) করে পাই,
k + 200m – (k + 100m) = 60 – 50
বা, k + 200m – k – 100m = 10
বা, 100m = 10
⇒ m = ¹/₁₀
(ii) নং সমীকরণে m = ¹/₁₀ বসিয়ে পাই,
50 = k + 100 × ¹/₁₀
বা, 50 = k + 10
∴ k = 40
(i) নং সমীকরণে k ও m-এর মান বসিয়ে পাই,
y = 40x + ¹/₁₀×x²
x = 250 মিটার হলে,
y = 40×250 + ¹/₁₀×(250)²
=10000 + ¹/₁₀×250×250
=10000 + 6250
=16250
Ans: 250 ডেসিমিটার গভীর কূপ খননের জন্য 16250 টাকা ব্যয় হবে
জ্যামিতিক পদ্ধতিতে 18 এর বর্গমূল নির্ণয় পদ্ধতি CLICK HERE
Koshe Dekhi 13 Class X Variation কষে দেখি 13 ভেদ দশম শ্রেণি
13. চোঙের আয়তন ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের বর্গের এবং উচ্চতার সঙ্গে যৌগিক ভেদে আছে। দুটি চোঙের ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 2:3 এবং তাদের উচ্চতার অনুপাত 5:4 হলে, তাদের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় করি।
Solution:
ধরি, r একক ব্যাসার্ধ ও h একক উচ্চতা বিশিষ্ট চোঙের আয়তন v ঘন একক।
∴ V ∝ r²h
বা, V = kr²h – – – – [k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
ধরি চোঙ দুটির ভূমির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 2r একক ও 3r একক এবং উচ্চতা যথাক্রমে 5h একক ও 4h একক।
∴ প্রথম চোঙের আয়তন (V₁) = k×(2r)²×5h = 20kr²h
দ্বিতীয় চোঙের আয়তন (V₂) = k×(3r)²×4h = 36kr²h
∴ চোঙ দুটির আয়তনের অনুপাত
= V₁ : V₂
= 20kr²h : 36kr²h
⇒ 20 : 36 = 5 : 9
চোঙ দুটির আয়তনের অনুপাত 5 : 9 (Ans)
14. পাঁচলা গ্রামে কৃষি সমবায় সমিতি একটি ট্রাক্টর ক্রয় করেছে। আগে সমিতির 2400 বিঘা জমি 25 টি লাঙল দিয়ে চাষ করতে 36 দিন সময় লাগত। এখন অর্ধেক জমি কেবল ট্রাক্টরটি দিয়ে 30 দিনে চাষ করা যায়। একটি ট্রাক্টর কয়টি লাঙলের সমান চাষ করে তা ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে নির্ণয় করি।
Solution:
ধরি, জমির পরিমাণ = A, লাঙলের সংখ্যা =N, দিনসংখ্যা = C
লাঙলের সংখ্যা, জমির পরিমাণের সাথে সরলভেদে থাকে যখন দিনের সংখ্যা স্থির থাকে এবং দিনের সংখ্যার সাথে ব্যস্তভেদে থাকে যখন জমির পরিমাণ স্থির থাকে।
∴ N ∝ A এবং N ∝ D
যৌগিক ভেদের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই,
N ∝ ^A/_D – – – [যখন A ও D উভয়ই পরিবর্তনশীল]
∴ N = k×^A/_D – – – (i)- [k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
N = 25 হলে A = 2400, D = 36 হয়।
∴ 25 = k×²⁴⁰⁰/₃₆
বা, k = ^36×25/₂₄
বা, k = ³/₈
(i) নং থেকে পাই,
N = ³/₈×^A/_D
A = ²⁴⁰⁰/₂ = 1200, D = 30 হলে
N = ³/₈×¹²⁰⁰/₃₀
= 15
∴ অর্ধেক জমি 15 টি লাঙল 30 দিনে চাষ করতে পারে।
প্রশ্নানুসারে, অর্ধেক জমি 1 টি ট্রাক্টর 30 দিনে চাষ করতে পারে।
∴ একটি ট্রাক্টর 15 টি লাঙলের সমান চাষ করে। (Ans)
15. গোলকের আয়তন তার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের ত্রিঘাতের সঙ্গে সরলভেদে পরিবর্তিত হয় এবং গোলকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল তার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের বর্গের সঙ্গে সরলভেদে পরিবর্তিত হয়।
প্রমাণ করি যে, গোলকের আয়তনের বর্গ তার পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফলের ঘনের সঙ্গে সরলভেদে থাকবে।
Solution:
ধরি, r একক ব্যাসার্ধের গোলকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল A বর্গ একক এবং আয়তন V ঘন একক।প্রশ্নানুসারে,
V ∝ r³
বা, V = k₁r³ – – – – [k₁ একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
∴ V² = k₁r⁶ – – – – (i)
আবার
A ∝ r²
বা, A = k₂r² – – – – [k₂ একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
∴ A³ = k₂r⁶ – – – – (ii)
(i) ÷ (ii) করে পাই,
$$\large{\frac{V^2}{A^3}=\frac{k_1^2r^6}{K_2^3r^6}\\⇒\frac{V^2}{A^3}=\frac{k_1^2}{K_2^3}\\⇒\frac{V^2}{A^3}=k\\\quad\quad \left[k=\frac{k_1^2}{K_2^3}=Constant\right]\\\therefore V^2∝A^3}$$গোলকের আয়তনের বর্গ তার পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফলের ঘনের সঙ্গে সরলভেদে থাকে। (Proved)
Koshe Dekhi 13 Class X Variation কষে দেখি 13 ভেদ দশম শ্রেণি
16. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)
(i) x ∝ ¹/_y হলে,
(a) x = 1/y (b) y = 1/x (c) xy = 1 (d) xy = অশূন্য ধ্রুবক
Ans: (d) xy = অশূন্য ধ্রুবক
[ x ∝ ¹/_y
∴ x = k × ¹/_y – – – – – [ k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
বা, xy = k
বা, xy = অশূন্য ধ্রুবক]
(ii) যদি x ∝ y হয়, তখন
(a) x² ∝ y³ (b) x³ ∝ y² (c) x ∝ y³ (d) x² ∝ y²
Ans: (d) x² ∝ y²
[ x ∝ y
∴ x = ky – – – (i) – – [ k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
বা, x² = (ky)²
বা, x² = k²y²
⇒ x² ∝ y²]
(iii) x ∝ y এবং y = 8 যখন x = 2; y = 16 হলে, x-এর মান
(a) 2 (b) 4 (c) 6 (d) 8
Ans: (b) 4
[ x ∝ y
∴ x = ky – – – (i) – – [ k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
y = 8 যখন x = 2
(i) নং থেকে পাই,
2 = k×8
বা, k = ¹/₄
∴ x = ¹/₄×y
বা, x = ¹/₄×16 – – – – – [∵ y = 16]
বা, x = 4]
(iv) x ∝ y² এবং y = 4 যখন x = 8; x = 32 হলে, y-এর ধনাত্মক মান
(a) 4 (b) 8 (c) 16 (d) 32
Ans: (b) 8
[ x ∝ y²
∴ x = ky² – – – (i) – – [ k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
y = 4 যখন x = 8
(i) নং থেকে পাই,
8 = k×4²
বা, k = ¹/₂
∴ x = ¹/₂×y²
বা, 32 = ¹/₂×y² – – – – – [∵ x = 32]
বা, y² = 64
⇒ y = 8]
(v) যদি y − z ∝ ¹/_x, z − x ∝ ¹/_y এবং x − y ∝ ¹/_z হয়, তাহলে তিনটি ভেদ ধ্রুবকের সমষ্টি
(a) 0 (b) 1 (c) – 1 (d) 2
Ans: (a) 0
[ y – z ∝ ¹/_x
∴ y – z = k₁× ¹/_x – – – – – – [k₁ একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
বা, x(y − z) = k₁ – – – – – – (i)
z − x ∝ ¹/_y
∴ z − x = k₂×¹/_y – – – – – – [k₂ একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
বা, y(z − x) = k₂– – – – – – (ii) এবং
x − y ∝ ¹/_z
∴ x − y = k₃×¹/_z – – – – – – [k₃ একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
বা, z(x − y) = k₃ – – – – – (iii)
(i)+(ii)+(iii) করে পাই,
x(y − z) + y(z − x) + z(x − y) = k₁ + k₂ + k₃
বা, xy − xz + yz − xy) + zx − yz = k₁ + k₂ + k₃
বা, 0 = k₁ + k₂ + k₃
∴ তিনটি ভেদ ধ্রুবকের সমষ্টি 0]
Koshe Dekhi 13 Class X Variation কষে দেখি 13 ভেদ দশম শ্রেণি
(B) সত্য না মিথ্যা লিখি –
(i) y ∝ ¹/_x হলে, ^y/_x = অশূন্য ধ্রুবক
Ans: মিথ্যা
[ y ∝ ¹/_x
∴ x = k × ¹/_x – – – – – [ k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
বা, xy = k
বা, xy = অশূন্য ধ্রুবক]
(ii) x ∝ z এবং y ∝ z হলে, xy ∝ z
Ans: সত্য
[ x ∝ z
∴ z ∝ x
y ∝ z
∴ z ∝ y
যৌগিক ভেদের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই,
z ∝ xy
বা, xy ∝ z]
Koshe Dekhi 13 Class X Variation কষে দেখি 13 ভেদ দশম শ্রেণি
(C) শূন্যস্থান পূরণ করি –
(i) x ∝ ¹/_y এবং y ∝ ¹/_z হলে, x ∝ ______
Ans: z
[ x ∝ ¹/_y
∴ x = k × ¹/_y – – – – – [ k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
বা, xy = k
বা, y = ^k/_x – – – – – (i)
y ∝ ¹/_z
∴ y = m ×¹/_z – – – – – [ m একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
বা, ^k/_x = ^m/_z
বা, ^x/_k = ^z/_m
⇒ ^x/_z = ^k/_m
বা, ^x/_z = ধ্রুবক – – – – – [∵ k, m ধ্রুবক]
∴ x ∝ z]
(ii) x ∝ y এবং xⁿ ∝ ______
Ans: xⁿ
[ x ∝ y
∴ x = ky – – – (i) – – [ k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
বা, xⁿ = (ky)ⁿ
বা, xⁿ = kⁿyⁿ
∴ xⁿ ∝ yⁿ]
(iii) x ∝ y এবং x ∝ z হলে, (y + z) ∝ ______
Ans: x
[ x ∝ y
∴ x = ky – – – – – [ k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
বা, y = ^x/_k – – – – – (i)
[ x ∝ z
∴ x = mz – – – – – [ m একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
বা, z = ^x/_m – – – – – (i)
(i)+(ii) করে পাই,
y + z = ^x/_k + ^x/_m
বা, y + z = x(¹/_k + ¹/_m)
∴ y + z ∝ x
Koshe Dekhi 13 Class X Variation কষে দেখি 13 ভেদ দশম শ্রেণি
17. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) x ∝ y² এবং y = 2a যখন x = a; x ও y-এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
x ∝ y²
∴ x = ky² – – – (i) – – [ k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
y = 2a যখন x = a;
∴ a = k(2a)²
বা, a = 4ka²
বা, 1 = 4ka
⇒ k = ¹/_4a
(i) নং-এ k = ¹/_4aবসিয়ে পাই,
x = ^y2/_4a
Ans: x ও y-এর মধ্যে সম্পর্ক: x = ^y2/_4a
(ii) x ∝ y, y ∝ z এবং z ∝ x হলে, অশূন্য ভেদ ধ্রুবক তিনটির গুণফল নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
x ∝ y
∴ x = ky – – – (i) – – [ k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
y ∝ z
∴ y = mz – – – (ii) – – [ m একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ] এবং
z ∝ x
∴ z = nx – – – (iii) – – [ n একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
(i)×(ii)×(iii) করে পাই,
x × y × z = ky × mz × nx
বা, 1 = kmn
Ans: ভেদ ধ্রুবক তিনটির গুণফল 1
(iii) x ∝ ¹/_y এবং y ∝ ¹/_z হলে x, z-এর সঙ্গে সরলভেদে না ব্যস্তভেদে আছে তা নির্ণয় আছে তা নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
x ∝ ¹/_y
বা, x = k × ¹/_y – – – [k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
বা, y = ^k/_xএবং
y ∝ ¹/_z
বা, y = m ×¹/_z– – – [m একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
বা, ^k/_x= ^m/_z
⇒ ^z/_x= ^m/_k
বা, ^z/_x= ধ্রুবক
বা, z ∝ x
Ans: x, z-এর সঙ্গে সরলভেদে আছে।
(iv) x ∝ yz এবং y ∝ zx হলে, দেখাই যে, z একটি অশূন্য ধ্রুবক।
সমাধানঃ
x ∝ yz
বা, x = kyz – – – [k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
y ∝ zx
বা, y = mzx – – – [m একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
বা, y = mz×kyz
⇒ 1 = kmz²
⇒ ¹/_km = z²
বা, z = √¹/_km
বা, z = ধ্রুবক
∴ z একটি অশূন্য ধ্রুবক। (Proved)
(v) যদি b ∝ a³ হয় এবং a -এর বৃদ্ধি হয় 2 : 3 অনুপাতে, তাহলে b-এর বৃদ্ধি কী অনুপাতে হয় তা নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
b ∝ a³
∴ b = ka³ – – – [ k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
a এর বৃদ্ধি হয় 2 : 3 অনুপাতে।
∴ b-এর বৃদ্ধির অনুপাত
$$\large{\frac{b_1}{b_2}=\frac{ka_1^3}{ka_2^3}\\⇒\frac{b_1}{b_2}=\left(\frac{a_1}{a_2}\right)^3\\⇒\frac{b_1}{b_2}=\left(\frac{2}{3}\right)^3\\⇒\frac{b_1}{b_2}=\frac{8}{27}}$$Ans: b, 8:27 অনুপাতে বৃদ্ধি
Madhyamik Question
MP-2024
▶️ যদি a ∝ b, b ∝ ¹/_cএবং c ∝ d হয় তবে a ∝ ¹/_d হবে। (সত্য / মিথ্যা)
VIEW ANSER
▶️ যদি (√a + √b) ∝ (√a – √b) হয়, তবে দেখাও যে (a + b) ∝ √ab.
VIEW ANSER
MP-2023
▶️ যদি b ∝ a² হয় এবং a-এর বৃদ্ধি হয় 2:3 অনুপাতে, তাহলে b-এর বৃদ্ধি কী অনুপাতে হয় তা নির্ণয় করো।
VIEW ANSER
▶️ x ∝ y এবং y ∝ z হলে দেখাও যে,
$\Large{\mathbf{\frac{x}{yz}+\frac{y}{zx}+\frac{z}{xy}∝\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}}$
VIEW ANSER
MP-2022
▶️ a ও b ব্যস্ত ভেদে থাকলে, ^a/_b = ধ্রুবক হবে। (সত্য / মিথ্যা)
Ans: মিথ্যা
[ a ∝ ¹/_b
⇒ a = k×¹/_b – – – -(k একটি ভেদ ধ্রুবক)
∴ ab = k = ধ্রুবক]
▶️ 15 জন কৃষক 5 দিনে 18 বিঘা জমি চাষ করতে পারেন। ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে 10 জন কৃষক 12 বিঘা জমি কত দিনে চাষ করতে পারবেন, তা নির্ণয় করো।
VIEW ANSER
MP-2020
▶️ x∝y, y∝z এবংz∝x হলে, ভেদ ধ্রুবক তিনটির গুণফল নির্ণয় করো।
VIEW ANSER
▶️ a ∝ b এবং b ∝ c হলে, প্রমাণ করো, a³ + b³ + c³ ∝ 3abc
VIEW ANSER
MP-2019
▶️ x ∝ y² এবং y = 2a, x = a হলে দেখাও যে y² = 4ax ।
VIEW ANSER
$\large{\mathbf{(ii)}}$ যদি $\large{\mathbf{\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right)∝\frac{1}{x-y}}}$ হয় তবে দেখাও যে, $\large{\mathbf{(x² + y²)∝xy}}$
VIEW ANSER
MP-2018
▶️ যদি x ∝ y হয়, তাহলে:
(a) x² ∝ y³ (b) x³ ∝ y² (c) x ∝ y² (d) x² ∝ y²
VIEW ANSER
▶️ x ∝ y এবং y ∝ z হলে প্রমাণ করো: (x² + y² + z²) ∝ (xy + yz + zx)
VIEW ANSER
MP-2017
▶️ x ∝ yz এবং y ∝ zx হলে, দেখাও যে, z (≠ 0) একটি ধ্রুবক।
VIEW ANSER
▶️ একটি হোস্টেলের ব্যয় আংশিক ধ্রুবক ও আংশিক ঐ হোস্টেলের আবাসিকদের সংখ্যার সঙ্গে সরলভেদে আছে। আবাসিক সংখ্যা 120 হলে ব্যয় 2000 টাকা এবং আবাসিক সংখ্যা 100 হলে ব্যয় 1700 টাকা হয়। ব্যয় 1880 টাকা হলে হোস্টেলের আবাসিক সংখ্যা কত হবে?
VIEW ANSER
KOSHE DEKHI 12
KOSHE DEKHI 14
November 2, 2023

Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা Part-I

Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা Part-I

Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা Part-I

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1 Click Here

বহু বিকল্পধর্মী প্রতিটি প্রশ্নের মান 1

সঠিক উত্তরটি নির্বাচন করো:

1. নীচের প্রদত্ত বিবৃতিগুলির কোনটি সত্য?
(a) একটি খনিজ নমুনায় তামা থাকার সম্ভাবনা 0.28 এবং তামা ও লোহা থাকার সম্ভাবনা 0.36
(b) A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন হলে, A ও B^C ঘটনা দুটিও স্বাধীন হবে।
(c) A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন হলে A^C ও B^C ঘটনা দুটিও স্বাধীন হবে।
(d) P(A) ≠ 0, P(B) ≠ 0 এবং A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন হলে, তারা পরস্পর পৃথকও হতে পারে।
Ans: (b) এবং (c)
[ধরি, তামা থাকার ঘটনা A ও লোহা থাকার ঘটনা B
∴ P(A) = 0.28
তামা ও লোহা থাকার সম্ভাবনা = সম্পুর্ন ঘটনা
অর্থাৎ AUB = S
∴ P(AUB) = P(S) = 1
কিন্তু P(AUB) = 0.36
∴ এটি সত্য নয়।]

2. যে-কোনো দুটি ঘটনা A ও B -এর ক্ষেত্রে, নীচের কোনটি সত্য?
(a) P(AUB) ≤ P(A) + P(B)
(b) P(A/B) > P(B/A)
(c) P(A∩B) ≤ P(A) + P(B) − 1
(d) P(A^CUB^C) = 1 – P(A∩B)
Ans: (a) P(AUB) ≤ P(A) + P(B)
[P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
P(A∩B) = 0 হলে,
P(AUB) = P(A) + P(B)
P(A∩B) ≠ 0 হলে,
P(AUB) < P(A) + P(B)
∴ P(AUB) ≤ P(A) + P(B)]

3. নীচের প্রদত্ত বিবৃতিগুলির কোনটি সত্য?
(a) P(A^c∩B^c) দ্বারা A অথবা B ঘটনা না ঘটার সম্ভাবনা প্রকাশিত হয়।
(b) যদি A, B ও C ঘটনা তিনটি পরস্পর পৃথক এবং S নিশ্চিত ঘটনা হয়, তবে P(AUBUC) = 1
(c) P(A^cUB^c) দ্বারা A ও B ঘটনা দুটি একসঙ্গে ঘটার সম্ভাবনা প্রকাশিত হয়।
(d) একটি সমসম্ভব পরীক্ষার সঙ্গে সংশ্লিষ্ট B যদি একটি যৌগিক ঘটনা এবং A একটি সরল ঘটনা হয়, তবে P(A) ≤ P(B)
Ans: (b) যদি A, B ও C ঘটনা তিনটি পরস্পর পৃথক এবং S নিশ্চিত ঘটনা হয়, তবে P(AUBUC) = 1

4. নীচের প্রদত্ত বিবৃতিগুলির কোনটি সত্য?
(a) A ও B দুটি অধীন ঘটনা হলে, P(A/B^c) = P(A) হবে।
(b) যদি A ও B দুটি পরস্পর পৃথক ঘটনা না হয়, তবে P(AUB) = P(A)) + P(B) হবে।
(c) একটি ঝোঁকশূন্য পাশাকে n বার ছোঁড়া হলে, পরীক্ষার নমুনা দেশে 6n সংখ্যক সমভাবে সম্ভাব্য নমুনা বিন্দু পাওয়া যাবে।
(d) একটি ঝোঁকশূন্য মুদ্রা পরপর 5 বার উৎক্ষেপণের সমসম্ভব পরীক্ষার নমুনাদেশে 32 টি সমভাবে সম্ভাব্য নমুনা বিন্দু থাকে।

Ans: (d) একটি ঝোঁকশূন্য মুদ্রা পরপর 5 বার উৎক্ষেপণের সমসম্ভব পরীক্ষার নমুনাদেশে 32 টি সমভাবে সম্ভাব্য নমুনা বিন্দু থাকে।
[নমুনাদেশে সমভাবে সম্ভাব্য নমুনা বিন্দুর সংখ্যা = 2⁵ = 32 টি]

5. একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা ⁵/₈ হলে, ঘটনাটির প্রতিকূলে সুযোগ হবে –
(a) 5 : 13 (b) 5 : 3 (c) 3 : 5 (d) 8 : 13
Ans: (c) 3 : 5
[∴ ঘটনাটির প্রতিকূলে সুযোগ = ^8-5/₅ = ³/₅ = 3 : 5
▶️ A ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা m/n হলে, A ঘটনার প্রতিকূলে সুযোগ (n-m) : m

6. একটি ঘটনার প্রতিকূলে সুযোগ 9 : 4 হলে, ঘটনাটি ঘটার সম্ভাবনা হবে –
(a) ⁹/₁₃ (b) ⁴/₁₃ (c) ⁴/₉ (d) ⁵/₁₃
Ans: (b) ⁴/₁₃
[ঘটনাটি ঘটার সম্ভাবনা = ⁴/₉₊₄ = ⁴/₁₃
▶️ B ঘটনার প্রতিকূলে সুযোগ a : b হলে B ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা P(B) = ^b/_a+b]

Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

7. একটি ঘটনা না ঘটার সম্ভাবনা ⁴/₇ হলে, ঘটনাটির প্রতিকূলে সুযোগ হবে-
(a) 4 : 7 (b) 7 : 4 (c) 4 : 3 (d) 3 : 4
Ans: (c) 4 : 3
[ঘটনা না ঘটার সম্ভাবনা ⁴/₇ হলে,
ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা = 1 – ⁴/₇ = ³/₇
∴ ঘটনাটির প্রতিকূলে সুযোগ = ^7-3/₃ = ⁴/₃ = 4 : 3
▶️ A ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা m/n হলে, A ঘটনার প্রতিকূলে সুযোগ (n-m) : m]

8. একটি ঘটনার প্রতিকূলে সুযোগ 4 : 5 হলে, ঘটনাটি ঘটার সম্ভাবনা হবে –
(a) ⁵/₉ (b) ⁴/₉ (c) ⁴/₅ (d) ¹/₉
Ans: (a) ⁵/₉
[ঘটনাটি ঘটার সম্ভাবনা = ⁵/₅₊₄ =⁵/₉
▶️ B ঘটনার প্রতিকূলে সুযোগ a : b হলে B ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা P(B) = ^b/_a+b ]

9. প্রথম 11টি স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্য থেকে উদ্দেশ্যহীনভাবে একটি সংখ্যা তোলা হলে, তোলা সংখ্যাটি জোড় হওয়ার সম্ভাবনা হবে –
(a) ⁶/₁₁ (b) ⁵/₆ (c) ⁴/₁₁ (d) ⁵/₁₁
Ans: (d) ⁵/₁₁
[1 থেকে 11 এর মধ্যে জোড় সংখ্যা আছে 2, 4, 6, 8, 10 অর্থাৎ 5টি
∴ তোলা সংখ্যাটি জোড় হওয়ার সম্ভাবনা হবে – ⁵/₁₁]

10. একটি ঝোঁকশূন্য মুদ্রা 3 বার টস্ করা হলে ঠিক 1 টি হেড পাওয়ার সম্ভাবনা হবে –
(a) ¹/₂ (b) ⁵/₈ (c) ³/₄ (d) ³/₈
Ans: (d) ³/₈
[একটি ঝোঁকশূন্য মুদ্রা 3 বার টস্ করার সমসম্ভব পরীক্ষায় নমুনাদেশে নমুনা বিন্দুর সংখ্যা = 2³ = 8
ধরি, A দ্বারা হেড পাওয়ার ঘটনা সূচিত করা হয়।
∴ A ঘটনার অন্তর্গত নমুনা বিন্দুর সংখ্যা 3টি
∴ P(A) = ³/₈]

11. একটি সাধারণ পাশা 2 বার ছোড়া হলে 11 পাওয়ার সম্ভাবনা হবে –
(a) ¹/₁₈ (b) ¹/₉ (c) ¹/₁₂ (d) ⁵/₃₆
Ans: (a) ¹/₁₈
[সাধারণ পাশা 2 বার ছোড়ার সমসম্ভব পরীক্ষায় নমুনাদেশে নমুনা বিন্দুর সংখ্যা = 6² = 36
ধরি, 11 পাওয়ার ঘটনা A দ্বারা সূচিত করা হয়।
∴ A ঘটনার অন্তর্গত নমুনা বিন্দুর সংখ্যা (5,6),(6,5) বা 2টি
∴ P(A) = ²/₃₆ = ¹/₁₈]

12. দুটি পরস্পর পৃথক ঘটনা A ও B এর ক্ষেত্রে P(A) = ¹/₂ P(AUB) = ²/₃ হলে, P(B) -এর মান হবে – (a) ¹/₄ (b) ¹/₆ (c) ¹/₃ (d) ¹/₅
Ans: (b) ¹/₆
[A ও B দুটি পরস্পর পৃথক ঘটনা।
∴ P(AUB) = P(A) + P(B)
⇒ ²/₃ = ¹/₂ + P(B)
⇒ P(B) = ²/₃ – ¹/₂
= ¹/₆]

Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

13. A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন এবং P(A) = ³/₅ ও P(A∩B) = ⁴/₉ হলে, P(B) -এর মান হবে –
(a) ⁵/₉ (b) ⁸/₉ (c) ⁵/₂₇ (d) ²⁰/₂₇
Ans: (d) ²⁰/₂₇
[A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন
P(A∩B) = P(A) P(B)
⇒ ⁴/₉ = ³/₅×P(B)
⇒ P(B) = ⁴/₉×⁵/₃ = ²⁰/₂₇]

14. P(A) = ³/₇, P(B) = ⁴/₇ এবং P(A∩B) = ²/₉ হলে, P(A/B) -এর মান হবে –
(a) ⁷/₁₈ (b) ¹⁴/₂₇ (c) ⁵/₁₈ (d) ⁴/₉
Ans: (a) ⁷/₁₈
[P(A/B) = ^P(A∩B)/_P(B)
= ^²/₉/_⁴/₇
= ²/₉×⁷/₄ = ⁷/₁₈]

UNIT – 6
সম্ভাবনা
PROBABILITY

বেইজ উপপাদ্য Bayes’ Theorem প্রশ্নমালা 1B	▶️ CLICK HERE
সম্ভাবনা Probability প্রশ্নমালা 1A (Part-II)	▶️ CLICK HERE
সম্ভাবনা Probability প্রশ্নমালা 1A (Part-I)	▶️ CLICK HERE

দ্বাদশ শ্রেণীর S N Dey বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নীচের BUTTON-এ ক্লিক করো।

CLICK

15. A, B ও C ঘটনা তিনটি পরস্পর পৃথক ও সম্পূর্ণ; যদি P(A) = ³/₅ ও P(B) = ¹/₆ হয়, তবে P(C) এর মান হবে –
(a) ²³/₃₀ (b) ⁷/₃₀ (c) ¹/₁₀ (d) ⁹/₁₀
Ans: (b) ⁷/₃₀
[A, B ও C ঘটনা তিনটি পরস্পর পৃথক ও সম্পূর্ণ;
∴ AUBUC = S
⇒ P(AUBUC) = P(S)
⇒ P(AUBUC) = 1
⇒ P(A) + P(B) + P(C) = 1
⇒ P(C) = 1 – P(A) – P(B)
⇒ P(C) = 1 – ³/₅ – ¹/₆
= ^30-18-5/₃₀
= ⁷/₃₀]

16. P(A∩B) = ⁵/₁₃ হলে, P(A^cUB^c) এর মান হবে-
(a) ⁴/₁₃ (b) ⁶/₁₃ (c) ⁷/₁₃ (d) ⁸/₁₃
Ans: (d) ⁸/₁₃
[ P(A^cUB^c) = P(A∩B)^c
= 1 – ⁵/₁₃
= ⁸/₁₃]

Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রতিটি প্রশ্নের মান 2

1. B ঘটনা ঘটেছে এই শর্তে এ ঘটনার শর্তযুক্ত সম্ভাবনার সংজ্ঞা দাও।
Ans: E সমসম্ভব পরীক্ষার সঙ্গে সংশ্লিষ্ট দুটি ঘটনা A ও B (B ≠ 0) হলে B ঘটনা ঘটেছে এই শর্তসাপেক্ষে A ঘটনা ঘটার সম্ভাবনাকে A ঘটনার শর্তযুক্ত সম্ভাবনা বলে এবং তা P(A/B) প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

2. A ও B দুটি প্রদত্ত ঘটনা হলে, নিম্নলিখিত প্রতিটি ক্ষেত্রে ঘটনা দুটি সম্পর্কে কী সিদ্ধান্ত করা যায়?
(i) P(AUB) = P(A) + P(B) (ii) P(A∩B) = 0
(iii) P(A) = P(B) (iv) P(AUB) = 1
(v) P(A∩B) ≠ 0 (vi) P(A/B) = P(A)
(vii) P(A) = P(B) (viii) P(A∩B) = P(A) P(B)

Solution:
(i)
P(AUB) = P(A) + P(B)
⇒ P(A) + P(B) – P(A∩B) = P(A) + P (B)
⇒ P(A∩B) = 0
∴ A ও B পৃথক ঘটনা

(ii)
P(A∩B) = 0
∴ A ও B পৃথক ঘটনা।

(iii)
P(A) = P(B)
অর্থাৎ A ও B উভয় ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা সমান।
∴ A ও B সমভাবে সম্ভাব্য ঘটনা।

(iv)
P(AUB) = 1
অর্থাৎ A ও B ঘটনা দুটির মধ্যে একটি ঘটনা অবশ্যই ঘটবে।
∴ এটি একটি সম্পূর্ণ ঘটনা।

(v)
P(A∩B) ≠ 0
⇒ A∩B ≠ ϕ
∴ A ও B পরস্পর পৃথক ঘটনা নয়।

(vi)
P(A/B) = P(A)
⇒ ^P(A∩B)/_P(B) = P(A)
⇒P(A∩B) = P(A) P(B)
∴ A ও B দুটি স্বাধীন ঘটনা।

(vii)
P(A) ≠ P(B)
∴ ঘটনা দুটি সমভাবে সম্ভাব্য ঘটনা নয়।

(viii)
P(A∩B) = P(A) P(B)
∴ A ও B দুটি স্বাধীন ঘটনা।

Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

3. A ও B̄ ঘটনা দুটি যথাক্রমে A ও B ঘটনা দুটির পূরক ঘটনা হলে প্রমাণ করো যে, P(A বা B)=1- P(A) P(B/A)
Solution:

$$\large{P(\overline A)=1-P(A);\\P(\overline B)=1-P(B);\\\therefore P(\overline AU\overline B)=P(\overline A)+P(\overline B)-P(\overline A∩\overline B)\\⇒P(\overline AU\overline B)=1-P(A)+1-P(B)-P(\overline{AUB})\\⇒P(\overline AU\overline B)=1-P(A)+1-P(B)-1+P(AUB)\\⇒P(\overline AU\overline B)=1-P(A)-P(B)+P(AUB)\\⇒P(\overline AU\overline B)=1-(P(A)+P(B))+P(AUB)\\⇒P(\overline AU\overline B)=1-(P(AUB)+P(A∩B))+P(AUB)\\⇒P(\overline AU\overline B)=1-P(AUB)-P(A∩B)+P(AUB)\\⇒P(\overline AU\overline B)=1-P(A∩B)\\⇒P(\overline AU\overline B)=1-P(A)P(B/A)\quad\mathbf{(Proved)}}$$

4. মনে করো, A, B, C যে-কোনো তিনটি অনির্দিষ্ট ঘটনা। সেট্ তত্ত্বের প্রচলিত প্রতীকসমূহের প্রয়োগে নিম্নলিখিত ঘটনাসমূহের প্রতীকসমূহ নির্ণয় করো:
(i) কেবল A ঘটে
(ii) A ও B ঘটে কিন্তু C ঘটে না
(iii) তিনটি ঘটনাই ঘটে
(iv) কমপক্ষে একটি ঘটনা ঘটে
(v) কমপক্ষে দুটি ঘটনা ঘটে

(i) Ans: A∩B^c∩C^c
(ii) Ans: A∩B∩C^c
(iii) Ans: A∩B∩C
(iv) Ans: AUBUC
(v) Ans: (A∩B) U (B∩C) U (C∩A)

5. মনে করো, কোনো পরীক্ষার সঙ্গে সংশ্লিষ্ট তিনটি ঘটনা A₁, A₂, A₃ হলে কোন্ কোন্ শর্তাধীনে ঘটনাসমূহ সম্পূর্ণ ও পরস্পর পৃথক হবে?
Ans:
প্রদত্ত ঘটনা তিনটি পরস্পর পৃথক হলে,
A₁∩A₂ = A₂∩A₃ = A₃∩A₁ = ϕ
⇒ P(A₁∩A₂) = P(A₂∩A₃) = P(A₃∩A₁) = 0 হবে।
সেক্ষেত্রে,
P(A₁UA₂UA₃) = P(A₁) + P(A₂) + P(A₃) হয়।
ঘটনা তিনটি সম্পূর্ণ হলে,
A₁UA₂UA₃ =S হবে – – – [S = নিশ্চিত ঘটনা]
সেক্ষেত্রে,
P(A₁UA₂UA₃) = P(S) = 1 হয়।

6. দেখাও যে, A ও B ঘটনা দুটির ঠিক একটা ঘটার সম্ভাবনা হয় P(A) + P(B) – 2P (A∩B)
Ans:
ঘটনা দুটির ঠিক একটি ঘটার সম্ভাবনা
= P(A – B) + P(B – A)
= P(A) – P(A∩B) + P(B) – P(A∩B)
= P(A) + P(B) – 2P(A∩B)
= P(A) + P(B) – 2P(AB) (Proved)

Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

7. নিম্নলিখিত ক্ষেত্রসমূহ দ্বারা সম্ভাবনা পরিমাপসমূহ প্রকাশিত হতে পারে কি?
(i) P(A) = 0.2, P(B) = 0.7, P (C) = 0.1
(ii) P(A) = 0.4, P(B) = 0.6 P (C) = 0.2
(iii)P (AUB) = 0.5, P(B) = 0.6, P (C) = 0.2
(iv)P(A) = 0.4, P(B) = 0.5, P (BAC) = 0.1
(v)P(A) = 0.32, P(B) = 0.47, P( BUC) = 0.6
(vi) P(A) = 0.3, P(B) = 0.5, P (C’) = 0.8
যেখানে (AUBUC) দ্বারা নিশ্চিত ঘটনা সূচিত হয় এবং A, B, C ঘটনা তিনটি পরস্পর পৃথক।

Ans:
প্রশ্নানুসারে,
AUBUC=S (নিশ্চিত ঘটনা)
∴ P(AUBUC) = P(S) = 1
∵ A, B, C ঘটনা তিনটি পরস্পর পৃথক।
P(A) + P(B) + P(C) = 1 – – – – (i)

(i)
P(A) + P(B) + P (C)
= 0.2 + 0.7 + 0.1 =1
এটি (i) নং শর্তকে সিদ্ধ করে।
এক্ষেত্রে সম্ভাবনা পরিমাপসমূহ প্রকাশিত হতে পারে।

(ii)
P(A) + P(B) + P (C)
= 0.4 + 0.6 + 0.2 = 1.2
এটি (i) নং শর্তকে সিদ্ধ করে না।
এক্ষেত্রে সম্ভাবনা পরিমাপসমূহ প্রকাশিত হতে পারে না।

(iii)
P(AUB) = P(A) + P(B)
⇒ 0.5 = P(A) + 0.6
⇒ P(A) = 0.5 – 0.6 = – 0.1
∵ 0 ≤ P(A) ≤ 1
এক্ষেত্রে সম্ভাবনা পরিমাপসমূহ প্রকাশিত হবে না।

(iv)
এখানে, P(B∩C) = 0.1≠ 0
শর্তানুসারে, P(B∩C) = 0 হতে হবে।
এক্ষেত্রে সম্ভাবনা পরিমাপসমূহ প্রকাশিত হতে পারে না।

(v)
P(BUC) = P(B) + P(C)
⇒ 0.68 = 0.47 + P (C)
⇒ P(C) = 0.21
P(S) = P(AUBUC)
= P(A) + P(B) + P(C)
= 0.32 + 0.47 + 0.21 = 1
এক্ষেত্রে সম্ভাবনা পরিমাপসমূহ প্রকাশিত হতে পারে।

(vi)
P(B’) = 0.5.
⇒ P(B) = 1 – P(B’)
⇒ 1 – 0.5 = 0.5
P(C’) = 0.8
⇒ P(C) = 1 – P(C’)
⇒ 1 – 0.8 = 0.2
∴ P(A) + P(B) + P (C)
= 0.3 + 0.5 + 0.2 = 1
এক্ষেত্রে সম্ভাবনা পরিমাপসমূহ প্রকাশিত হতে পারে।

8. তিনটি পরস্পর পৃথক ঘটনা X, Y, Z-এর ক্ষেত্রে, P(X) = 2P(Y) = 3P (Z) এবং XUYUZ=S। যেখানে S দ্বারা নিশ্চিত ঘটনা প্রকাশিত হয়। P(X) -এর মান নির্ণয় করো।

Ans:
XUYUZ=S
P(XUYUS) = P(S)
∵ S নিশ্চিত ঘটনা
∴ P(XUYUS) = P(S) = 1
∵ ঘটনা তিনটি পরস্পর পৃথক
∴ P(XUYUS) = 1
⇒ P(X) + P(Y) + P(Z) = 1
⇒ P(X) + ¹/₂P(X) + ¹/₃P(X) = 1
⇒ P(X) (1 + ¹/₂ + ¹/₃) = 1
⇒ P(X)×¹¹/₆ =1
⇒ P(X) = ⁶/₁₁
Ans: P(X) -এর মান ⁶/₁₁

9. 9. কোনো সমসম্ভব পরীক্ষার সঙ্গে সংশ্লিষ্ট দুটি ঘটনা A ও B যদি এমন হয় যে, P(B) = 0.35, P(A অথবা, B)= 0.85 এবং P(A এবং B)=0.15 তবে P(A) -এর মান নির্ণয় করো।

Ans:
P(B) = 0.35,
P(A অথবা, B)= 0.85
⇒ P(AUB) = 0.85,
P(A এবং B)= 0.15
⇒ P(A∩B) = 0.15
∵ P(AUB) = 0.85
⇒ P(A) + P(B) – P(A∩B) = 0.85
⇒ P(A) + 0.35 – 0.15 = 0.85
⇒ P(A) + 0.20 = 0.85
⇒ P(A) = 0.65

10. A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন এবং P(A) = ²/₅, P(B) = ¹/₃ ; P(AUB) এর মান নির্ণয় করো।

Solution:
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
= P(A) + P(B) – P(A) P(B) – – – [ A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন ঘটনা]
= ²/₅ + ¹/₃ – ²/₅×¹/₃
= ^6+5-2/₁₅
= ⁹/₁₅= ³/₅

Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

11.কোনো সমসম্ভব পরীক্ষা E-এর সঙ্গে সংশ্লিষ্ট দুটি ঘটনা A ও B পরস্পর পৃথক নয়। যদি P(A) = ¹/₄, P(B) = ²/₅ এবং P(AUB) = ¹/₂ হয়, তবে নিম্নলিখিত সম্ভাবনাসমূহের মান নির্ণয় করো:
(i) P(A∩B) (ii) P(A∩B^c)
(iii) P(A^cUB^c) যেখানে দিয়ে একটি ঘটনার পূরক ঘটনা প্রকাশিত হয়।

(i)
Solution:
P(A∩B) = P(A) + P(B) – P(AUB)
= ¹/₄ + ²/₅ – ¹/₂
= ^5+8-10/₂₀ = ³/₂₀ (Ans)

(ii)
Solution:
P(A∩B^c) = P(A – (A-B))
= P(A) – P(A∩B)
= ¹/₄ – ³/₂₀
= ^5-3/₂₀
= ²/₂₀ = ¹/₁₀ (Ans)

(iii)
Solution:
P(A^cUB^c) = P(A∩B)^c
= 1 – P(A∩B)
= 1 – ³/₂₀ = ¹⁷/₂₀ (Ans)

12. P(ĀUB̄) = ⁵/₆, P(A) = ¹/₂ এবং P(B̄) = ²/₃ হলে A ও B ঘটনা দুটি কি স্বাধীন?

Solution:
P(ĀUB̄) = ⁵/₆
∴ P(A∩B) = 1 – P(ĀUB̄)
⇒ P((A∩B) = 1 – ⁵/₆ = ¹/₆
আবার P(B̄) = ²/₃
∴ P(B) = 1 – P(B̄)
= 1 – ²/₃ = ¹/₃
∴ P(A) P(B) = ¹/₂×¹/₃
= ¹/₆ = P(A∩B)
Ans: ঘটনা দুটি স্বাধীন।

সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রতিটি প্রশ্নের মান 4

1. স্বাধীন ও পরস্পর পৃথক ঘটনাসমূহের সংজ্ঞা দাও। দুটি ঘটনা একই সঙ্গে স্বাধীন ও পরস্পর পৃথক হতে পারে কি? তোমার উত্তর ব্যাখ্যা করতে যথোপযুক্ত উদাহরণ দাও।

Ans:
⏺️যখন দুটি ঘটনার মধ্যে একটি ঘটনা ঘটার সঙ্গে অপর একটি ঘটনা ঘটার কোনও সম্ভাবনা থাকে না তখন ঘটনা দুটিকে স্বাধীন বলা হয়।
⏺️ দুই বা ততোধিক ঘটনা যদি পরস্পর এমনভাবে সম্পর্কিত থাকে যে তাদের মধ্যে কোনো দুটি ঘটনা কখনও একই সঙ্গে ঘটা সম্ভব নয় তখন সেই ঘটনাসমূহকে পরস্পর পৃথক ঘটনা বলা হয়।
দুটি ঘটনা একইসাথে স্বাধীন ও পরস্পর পৃথক হতে পারে না ।
⏺️ ধরি, A, B দুটি ঘটনা এমন যে P(A) ≠ 0, P(B) ≠ 0
আরও ধরি, A ও B পরস্পর পৃথক এবং স্বাধীন।
(A∩B) = ϕ
∴ P(A∩B) = 0
⇒ P(A) P(B) = 0
∴ হয় P(A) = 0 অথবা P(B) = 0 যা অসম্ভব।

2. কখন দুটি ঘটনাকে স্বাধীন বলা হয়? দুটি পরস্পর পৃথক ঘটনা A ও B যেখানে P(A) ও P(B) কারও মান শূন্য নয়, স্বাধীন হতে পারে কি?

Ans: যখন দুটি ঘটনার মধ্যে একটি ঘটনা ঘটার সঙ্গে অপর একটি ঘটনা ঘটার কোনও সম্ভাবনা থাকে না তখন ঘটনা দুটিকে স্বাধীন বলা হয়।
⏺️ A ও B দুটি পরস্পর পৃথক ঘটনা যেখানে P(A) ≠ 0 ; P(B) ≠ 0
দুটি ঘটনা স্বাধীন হওয়ার শর্ত,
P(A∩B) = P(A)P(B) = 0
∴ P(A) = 0 অথবা P(B) = 0 কিন্তু এখানে P(A) ≠ 0 ; P(B) ≠ 0
∴ দুটি পরস্পর পৃথক ঘটনা স্বাধীন হতে পারে না।

Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

3. A₁, A₂ ও A₃ তিনটি ঘটনা। দেখাও যে, ঘটনা তিনটি একসঙ্গে ঘটার সম্ভাবনা হয়,

$$\mathbf{P(A_1∩A_2∩A_3)\\\quad\quad=P(A_1)P\left(\frac{A_2}{A_1}\right)P\left(\frac{A_3}{A_1∩A_2}\right)}\\$$

কোন্ শর্তাধীনে P(A₁∩A₂∩A₃) = P(A₁)P(A₂)P(A₃) হয় তা উল্লেখ করো।

Solution:
তিনটি ঘটনা একসঙ্গে ঘটবে যখন A₁∩A₂∩A₃ ঘটবে।
∴ ঘটনা তিনটি একসঙ্গে ঘটার সম্ভাবনা হল –

$$\large{\quad\quad P(A_1∩A_2∩A_3)\\=\frac{P(A_1∩A_2∩A_3)}{P(A_1∩A_2)}P(A_1∩A_2)\\=P(A_1∩A_2)P(A_3/(A_1∩A_2))\\=P(A_1)\frac{P(A_1∩A_2)}{P(A_1)} P\left(A_3/(A_1∩A_2)\right)\\=P(A_1)P(A_2/A_1)P(A_3/(A_1∩A_2))\\}$$

ঘটনা তিনটি পরস্পর স্বাধীন হলে,
P(A₂/A₁) = P(A₂) এবং
P(A₃/(A₁∩A₂)) = P(A₃) হবে।
∴ P(A₁∩A₂∩A₃) = P(A₁)P(A₂)P(A₃)

4. যে-কোনো দুটি ঘটনা A ও B-এর ক্ষেত্রে প্রমাণ করো যে P(AUB) ≤ P(A) + P(B)।

Solution:
আমরা জানি,
0 ≤ (AUB) ≤ 1
⇒ -1 ≤ -(AUB) ≤ 0
⇒ P(A) + P(B) -1 ≤ P(A) + P(B) – (AUB) ≤ P(A) + P(B)
⇒ P(AUB) ≤ (A∩B) ≤ P(A) + P(B)
⇒ P(AUB) ≤ P(A) + P(B)

5. যে-কোনো দুটি ঘটনা A ও B-এর ক্ষেত্রে প্রমাণ করো:
(i) P(A) ≥ P(A∩B) ≥ P(A) + P(B) – 1
(ii) P(A∩B) ≤ P(A) ≤ P(AUB) ≤ P(A) + P(E)
(iii) P(A/B) < P(B/A), যখন P(A) < P(B)
Solution:
(i)
(A∩B) ≤ A
⇒ P(A∩B) ≤ P(A) – – – (i)
P(AUB) ≤ 1
⇒ P(A) + P(B) – P(A∩B) ≤ 1
⇒ P(A) + P(B) – 1 ≤ P(A∩B) – – – (ii)
(i) ও (ii) থেকে পাওয়া যায়,
P(A) + P(B) – 1 ≤ P(A∩B) ≤ P(A)
⇒ P(A) ≥ P(A∩B) ≥ P(A) + P(B) – 1 (Proved)
(ii)
(A∩B) ≤ A
⇒ P(A∩B) ≤ P(A) – – – (i)
A ≤ (AUB)
⇒ P(A) ≤ P(AUB) – – – (ii)
আবার,
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
⇒ P(AUB) ≤ P(A) + P(B) [∵ P(A∩B) ≥ 1] – – – (iii)
(i), (ii) ও (iii) থেকে পাওয়া যায় –
P(A∩B) ≤ P(A) ≤ P(AUB) ≤ P(A) + P(B) (Proved)

(iii) প্রদত্ত
P(A) < P(B)
⇒ 1/P(A) > 1/P(B)
⇒ P(A∩B)/P(A) > P(A∩B)/P(B)
⇒ P(B/A) > P(A/B)
⇒ P(A/B) < P(B/A) (Proved)

Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

6. A ও B দুটি স্বাধীন ঘটনা হলে প্রমাণ করো : (i) A^c এবং B^c (ii) A^c ও B (iii) A ও B^c ঘটনা দুটি স্বাধীন।

Solution:
∵ A ও B দুটি স্বাধীন ঘটনা
∴ P(A∩B) = P(A)P(B)

(i)
P(A^c∩B^c) = P[(AUB)^c]
⇒ P(A^c∩B^c) =1-P(AUB)
⇒ P(A^c∩B^c) = 1− P(A) – P(B) + P(AUB)
⇒ P(A^c∩B^c) = 1− P(A) – P(B)+ P(A)P(B)
⇒P(A^c∩B^c) = [1− P(A)] – P(B)[1 – P(A)]
⇒ P(A^c∩B^c) = [1− P(A)][1- P(B)]
⇒P(A^c∩B^c) = P(A^c)P(B^c)
∴ A^c এবং B^c ঘটনা দুটি স্বাধীন।

(ii)
P(A^c∩B) = P(B-(A∩B))
⇒ P(A^c∩B) = P(B)-P(A∩B)
⇒ P(A^c∩B) = P(B)-P(A)P(B)
⇒ P(A^c∩B) = P(B)[1-P(A)]
⇒ P(A^c∩B) = P(B)P(A^c)
⇒ P(A^c∩B) = P(A^c)P(B)
∴ A^c এবং B ঘটনা দুটি স্বাধীন।

(iii)
P(A∩B^c) = P(A-(A∩B))
⇒ P(A∩Bc) = P(A)-P(A∩B)
⇒ P(A∩B^c) = P(A)-P(A)P(B)
⇒ P(A∩B^c) = P(A)[1-P(B)]
⇒ P(A∩B^c) = P(A)P(B^c)
⇒ P(A∩B^c) = P(A)P(B^c)
∴ A এবং B^c ঘটনা দুটি স্বাধীন।

7. A^cও B^c ঘটনা দুটি পরস্পর স্বাধীন হলে প্রমাণ করো যে, A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন হবে

Solution: A^c ও B^c ঘটনা দুটি পরস্পর স্বাধীন।
∴ P(A^c∩B^c) = P(A^c) P(B^c)
⇒ P[(AUB)^c]= (1-P(A)) (1-P(B))
⇒ 1-P(AUB) = 1 – P(B) – P(A) + P(A)P(B)
⇒ 1- [P(A) + P(B) – P(A∩B)] = 1 – P(B) – P(A) + P(A)P(B)
⇒ 1- P(A) – P(B) + P(A∩B) = 1 – P(B) – P(A) + P(A)P(B)
⇒ P(A∩B) = P(A)P(B)
∴ A ও B ঘটনা দুটি পরস্পর স্বাধীন।

8. একটি ঝোঁকশূন্য মুদ্রা পরপর তিনবার টস্ করা হয়। মনে করো, প্রথম টসে ‘টেল’ পড়ার ঘটনা A দ্বারা এবং দ্বিতীয় টসে ‘হেড’ পড়ার ঘটনা B দ্বারা সূচিত হয়। প্রমাণ করো যে, A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন।

Solution:
তিনবার টস করার ঘটনা নমুনাদেশ হল –
{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}
তিনবার টস করার ঘটনায় নমুনাদেশে নমুনা বিন্দুর সংখ্যা = 2³ = 8 টি।
A = {TTT, TTH, THT, THH }
B = {HHH, HHT, THH, THT} এবং
A∩B = {THH, THT}
∴ P(A) = ⁴/₈ = ¹/₂
P(B) = ⁴/₈ = ¹/₂
P(C) = ⁴/₈ = ¹/₂
P(A∩B) = ²/₈ = ¹/₄
P(A)P(B) = ¹/₂×¹/₂
= ¹/₂ = P(A∩B)
∴ A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন।

Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

9. একটি ঝোঁকশূন্য মুদ্রা দুবার টস্ করা হয়। মনে করো, A, B ও C দ্বারা যথাক্রমে প্রথম টসে হেড্‌, দ্বিতীয় টসে হেড্‌ এবং কেবল একটি হেড্‌ পড়ার ঘটনা সূচিত হয়। দেখাও যে, ঘটনা তিনটি প্রতি জোড়ায় স্বাধীন।

Solution:
দুবার টস করার ঘটনার নমুনাদেশ হল {HH, HT, TH, TT}
A = {HH, HT},
B= {HH, TH},
C = {HT, TH}
∴ A∩B = {HH},
B∩C = {TH} এবং
C∩A = {HT }
∴ P(A) = ²/₄ = ¹/₂ P(B) = ²/₄ = ¹/₂
P(C) = ²/₄ = ¹/₂ P(A∩B)= ¹/₄
P(B∩C)= ¹/₄ P(C∩A) = ¹/₄
P(A)P(B) = ¹/₂×¹/₂ = ¹/₄ = P(A∩B)
P(B)P(C) = ¹/₂×¹/₂ = ¹/₄ = P(B∩C)
P(C)P(A) = ¹/₂×¹/₂ = ¹/₄ = P(C∩A)
∴ A, B, C ঘটনা তিনটি প্রতিজোড়ায় স্বাধীন।

10. প্রমাণ করো যে, দুটি পাশা ছোড়ার সমসম্ভব পরীক্ষায় “প্রথম পাশায় 4 পড়ার” এবং “দ্বিতীয় পাশায় 5 পড়ার” ঘটনা দুটি পরস্পর স্বাধীন।

Solution:
ধরি, প্রথম পাশায় 4 পড়ার ঘটনা A এবং দ্বিতীয় পাশায় 5 পড়ার ঘটনা B দ্বারা সূচিত হয়।
দুটি পাশা ছোড়ার সমসম্ভব পরীক্ষার নমুনাদেশের মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা = 6² =36
প্রথম পাশায় 4 পড়তে পারে একটি উপায়ে।
∴ প্রথম পাশায় 4 পড়ার সম্ভাবনা = P(A) = ¹/₆
দ্বিতীয় পাশায় 4 পড়তে পারে একটি উপায়ে।
∴ দ্বিতীয় পাশায় 5 পড়ার সম্ভাবনা = P(B) = ¹/₆
প্রথম পাশায় 4 এবং দ্বিতীয় পাশায় 5 পড়তে পারে একটি উপায়ে।
প্রথম পাশায় 4 এবং দ্বিতীয় পাশায় 5 পড়ার সম্ভাবনা = P(A∩B) = ¹/₃₆
P(A) P(B) = ¹/₆×¹/₆
= ¹/₃₆=P(A∩B)
∴ ঘটনা দুটি স্বাধীন।

Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

11. কোনো পরীক্ষার সম্ভাব্য আটটি ফল e_i(i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) সমভাবে সম্ভাব্য। মনে করো, A, B, C তিনটি ঘটনার নিম্নলিখিতভাবে সংজ্ঞা দেওয়া হয়:
A = (e_1, e₂, e₃, e₄); B = (e₃, e₄, e₅, e₆) ও
C = (e₃, e₄, e₇, e₈) A, B ও C
ঘটনা তিনটির অধীনতা বা স্বাধীনতা পরীক্ষা করো।
Solution:
A∩B = (e₃, e₄), B∩C=(e₃, e₄)
C∩A =(e₃, e₄) এবং A∩B∩C= (e₃, e₄ )
∴ P(A) = ⁴/₈= ¹/₂; P(B) = ⁴/₈= ¹/₂;
P(C) = ⁴/₈= ¹/₂; P(A∩B) = ²/₈= ¹/₄;
P(B∩C) = ²/₈= ¹/₄;
P(C∩A) = ²/₈= ¹/₄;
P(A∩B∩C)= ²/₈= ¹/₄;
P(A)P(B) =¹/₂×¹/₂ = ¹/₄ = P(A∩B)
P(B)P(C) = ¹/₂×¹/₂ = ¹/₄ = P(B∩C)
P(C)P(A) =¹/₂×¹/₂ = ¹/₄ = P(C∩A)
∴ A, B, C ঘটনা তিনটি প্রতিজোড়ায় স্বাধীন।
P(A)P(B)P(C) = ¹/₂×¹/₂ ×¹/₂= ¹/₄ ≠ P(A∩B∩C)
∴ ঘটনা তিনটি পরস্পর স্বাধীন নয়।

12. P(A) = a, P(B) = b P(A∩B) = c নীচের প্রত্যেকটি রাশির মান নির্ণয় করো:
(i) P(A^cUB^c)
(ii) P(A^cUB)
(iii) P(A^c∩B^c)

Solution:
(i)
P(A^cUB^c) = P(A∩B)^c
= 1 – P(A∩B)
= 1 – c (Ans)
(ii) P(A^cUB) = P(A^c) + P(B) – P(A^c∩B)
= 1 – P(A) + P(B) – P(B – (A∩B))
= 1 – P(A) + P(B) – [P(B – P(A∩B))]
= 1 – P(A) + P(B) – P(B) + P(A∩B)
= 1 – P(A) + P(A∩B)
= 1 – b + c (Ans)
(iii) P(A^c∩B^c) = P(AUB)^c
= 1 – P(AUB)
= 1 – [P(A) + P(B) – P(A∩B)]
= 1 – P(A) – P(B) + P(A∩B)
= 1 – a – b + c (Ans)

Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

13. P(A) = ¹/₃, P(B) = ¹/₂, P(A∩B) = ¹/₄ হলে P(B^c), P(A∩B^c), P(AUB), P(B/A), P(A^c∩B^c), P(AUB^c) এর মান নির্ণয় করো।
এক্ষেত্রে, A ও B ঘটনা দুটি
(i) পরস্পর পৃথক কি না (ii) স্বাধীন কি না
(iii) সমভাবে সম্ভাব্য কি না (iv) সম্পূর্ণ কি না বলো।

Solution:
P(B^c) = 1 – P(B)
= 1 − ¹/₂ = ¹/₂ (Ans)
P(A∩B^c) = P(A-A∩B)
= P(A)-P(A∩B)
= ¹/₃ – ¹/₄
= ^4-3/₁₂ = ¹/₁₂ (Ans)
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
= ¹/₃ + ¹/₂ – ¹/₄
= ^4+6-3/₁₂ = ⁷/₁₂ (Ans)
P(B/A) = ^P(A∩B)/_P(A)
= ^¹/₄/_¹/₃= ³/₄ (Ans)
P(A^c∩B^c) = P(AUB)^c
= 1 – P(AUB)
= 1 – [P(A) + P(B) – P(A∩B)]
= 1 – [¹/₃ + ¹/₂ – ¹/₄]
= 1 – ⁷/₁₂ = ⁵/₁₂ (Ans)
P(AUB^c) = P(A) + P(B^c) – P(A∩B^c)
= P(A) + 1 – P(B) – P(A – (A∩B))
= P(A) + 1 – P(B) – [P(A) – P(A∩B)]
= P(A) + 1 – P(B) – P(A) + P(A∩B)
= 1 – P(B) + P(A∩B)
= 1 – ¹/₂ + ¹/₄ = ³/₄ (Ans)
(i) P(A∩B) = ¹/₄ ≠ 0
∴ ঘটনা দুটি পরস্পর পৃথক নয়। (Ans)
(ii) P(A)P(B) = ¹/₃×¹/₂
= ¹/₆ ≠ ¹/₄
∴ P(A∩B) ≠ P(A)P(B)
∴ ঘটনা দুটি স্বাধীন নয়। (Ans)
(iii) P(A) = ¹/₃ এবং P(B) = ¹/₂
∴ P(A) ≠ P(B)
∴ ঘটনা দুটি সমভাবে সম্ভাব্য নয়। (Ans)
(i) P(AUB) = ⁷/₁₂ ≠ 1
∴ ঘটনা দুটি সম্পূর্ণ নয়। (Ans)

14. (i) প্রদত্ত P(E) = ¹/₃ , P(F)= ¹/₄ এবং P(E∩F)= ¹/₆ , P(E^cUF) মান নির্ণয় করো।

(i) Solution:
P(E^cUF) = P(E^c)+ P(F) – P(E^c∩F)
= P(E^c) + P(F)+ P(F∩E^c)
= 1-P(E)+ P(F) − P(F – P(E∩F))
= 1 – P(E) + P(F) – [P(F) – P(E∩F)]
= 1 – P(E) + P(F) – P(F) + P(E∩F)
= 1 – P(E) + P(F∩E)
= 1 – ¹/₃ + ¹/₆
= ^6-2+1/₆ = ⁵/₆ (Ans)

(ii) যদি 2P(A) = P(B) = ⁵/₁₃ এবং P(A/B) = ²/₅ হয়, তবে P(AUB) এর মান নির্ণয় করো।

(ii)
Solution:
2P(A) = P(B)
বা, P(A) = ¹/₂×P(B)
= ¹/₂×⁵/₁₃ – – – [P(B) = ⁵/₁₃]
= ⁵/₂₆
P(A/B) = ²/₅
⇒ ^P(A∩B)/_P(B) = ²/₅
⇒ ^P(A∩B)/_⁵/₁₃ = ²/₅
⇒ P(A∩B) = ²/₅×⁵/₁₃
= 2/13
∴ P(AUB) = P(A)+ P(B) – P(A∩B)
= ⁵/₂₆ + ⁵/₁₃– ²/₁₃
= ^5+10-4/₂₆ = ¹¹/₂₆ (Ans)

Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

15. প্রদত্ত P(A/B) = 0.8, P(B/A) = 0.6 এবং P(A^cUB^c)= 0.7; P(A/B^c) এর মান নির্ণয় করো।

Solution:
P(A^cUB^c) = 0.7
⇒ P(A∩B)^c = 0.7
⇒ 1- P(A∩B) = 0.7
⇒ P(A∩B) = 1- 0.7 = 0.3
P(A/B) = 0.8
⇒ ^P(A∩B)/_P(B) = 0.8
⇒ ^0.3/_P(B) = 0.8
⇒ P(B) = ^0.3/_0.8
= ³/₈ = 0.375
P(B^c) = 1 – P(B)
= 1 – ³/₈
= ⁵/₈ = 0.625
P(B/A) = 0.6
⇒ ^P(A∩B)/_P(A) = 0.6
⇒ ^0.3/_P(A) = 0.6
⇒ P(A) = ^0.3/_0.6
= ¹/₂ = 0.5
P(A∩B^c) = P(A-A∩B)
= P(A) – P(A∩B)
= 0.5 – 0.3=0.2
P(A/B^c) = ^{P(A∩B^c)}/_P(B^c)
= ^0.2/_0.625= 0.32 (Ans)

Utube_comptech_home — দশম শ্রেণীর **ভৌত** বিজ্ঞান এবং **জীবন** বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন

16. (i) দুটি ঘটনা A ও B -এর জন্য দেওয়া আছে, P(A) = ³/₇, P(B) = ⁴/₇ এবং P(A + B) = ⁷/₉; P(A/B) ও P(B/A) নির্ণয় করো। A ও B ঘটনা দুটি কি স্বাধীন?

(i) Solution:
P(A) = ³/₇, P(B) = ⁴/₇ এবং P(A + B) = ⁷/₉
∵ P(A + B) = ⁷/₉
⇒ P(AUB) = ⁷/₉
⇒ P(A)+ P(B) – P(A∩B) =⁷/₉
⇒ ³/₇ + ⁴/₇ – P(A∩B) = ⁷/₉
⇒ P(A∩B) = ³/₇ + ⁴/₇ – ⁷/₉
= 1- ⁷/₉ = ²/₉
∴ P(A/B) = ^P(A∩B)/_P(B)
= ^²/₉/_⁴/₇
= ²/₉×⁷/₄= ⁷/₁₈ (Ans)

P(B/A) = ^P(A∩B)/_P(A)
= ^²/₉/_³/₇
= ²/₉×⁷/₃= ¹⁴/₂₇ (Ans)
আবার
P(A)P(B) = ³/₇ × ⁴/₇
= ¹²/₄₉≠ P(A∩B)
∴ ঘটনা দটি স্বাধীন নয়।

(ii) দুটি ঘটনা E ও F-এর জন্য দেওয়া আছে, P(E) = 0.6, P(F) = 0.3 এবং P(E∩F) = 0.2; P(E/F) এবং P(F/E) নির্ণয় করো।

(ii)
Solution:
P(E) = 0.6, P(F) = 0.3 এবং P(E∩F) = 0.2;
P(E/F) = ^P(E∩F)/_P(F)
= ^0.2/_0.3 = ²/₃ (Ans)
P(F/E) = ^P(E∩F)/^P(E)
= ^0.2/_0.6 = ¹/₃ (Ans)

Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

17. (i) দুটি ঘটনার প্রতিকূলে সুযোগ যথাক্রমে 2 : 7 এবং 7 : 5। ঘটনা দুটি স্বাধীন হলে তাদের অন্ততপক্ষে একটি ঘটার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।

(i)
Solution:
ধরি, প্রথম ঘটনা A এবং দ্বিতীয় ঘটনা B দ্বারা সূচিত করা হয়।
A ঘটনার প্রতিকূলে সুযোগ 2 : 7
∴ P(A) = ⁷/₂₊₇ = ⁷/₉
B ঘটনার প্রতিকূলে সুযোগ 7 : 5
∴ P(B) = ⁵/₇₊₅ = ⁵/₁₂
∵ ঘটনা দুটি স্বাধীন
∴ P(A∩B) = P(A)P(B) = ⁷/₉×⁵/₁₂ = ³⁵/₁₀₈
∴ ঘটনা দুটির অন্ততপক্ষে একটি ঘটার সম্ভাবনা-
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
= P(A) + P(B) – P(A)P(B)
= ⁷/₉ + ⁵/₁₂ – ³⁵/₁₀₈
= ^84+45-35/₁₀₈
= ⁹⁴/₁₀₈ = ⁴⁷/₅₄

(ii) দুটি পদ A ও B-তে চাকুরীর জন্য রমেশ একটি ইন্টারভিউ দেয়, সেখানে পদ দুটিতে নির্বাচন স্বাধীন (independent), যদি A ও B পদে তার নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনা যথাক্রমে ¹/₆ এবং ¹/₇ হয়, তবে তার কমপক্ষে একটি পদে নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।

(ii)
Solution:
ধরি, A পদে নির্বাচিত হওয়ার ঘটনা S₁ এবং B পদে নির্বাচিত হওয়ার ঘটনা S₂ দ্বারা সূচিত করা হয়।
∴ P(S₁) = ¹/₆ এবং
P(S₂) = ¹/₇
এখানে, S₁ এবং S₂ ঘটনা দুটি পরস্পর স্বাধীন।
∴ P(S₁∩S₂) = P( S₁)P(S₂)
= ¹/₆ × ¹/₇ = ¹/₄₂
∴ P(S₁US₂) = P(S₁) + P ( S₂ ) – P( S₁∩S2 )
⇒ P(S₁US2) = P(S₁) + P ( S₂ ) – P( S₁)P(S₂ )
= ¹/₆ + ¹/₇ – ¹/₄₂
= ^7+6-1/₄₂
= ¹²/₄₂ = ²/₇
Ans: কমপক্ষে একটি পদে নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনা ²/₇

18. একজন ঠিকাদারের প্লামবিং-সংক্রান্ত ঠিকা পাওয়ার সম্ভাবনা ²/₃ এবং বিদ্যুৎ-সংক্রান্ত ঠিকা না পাওয়ার সম্ভাবনা ⁵/₉ । যদি কমপক্ষে একটি ঠিকা পাওয়ার সম্ভাবনা ⁴/₅ হয়, তবে তার পক্ষে উভয় ঠিকা পাওয়ার সম্ভাবনা কত?।

Solution:
ধরি, প্লাম্বিং-সংক্রান্ত ঠিকা পাওয়ার ঘটনা A এবং বিদ্যুৎ-সংক্রান্ত ঠিকা পাওয়ার ঘটনা B দ্বারা সূচিত করা হয়।
P(A) = ²/₃ ; এবং
P(B)^C = ⁵/₉
⇒ P(B) = 1 – P(B)^C
= 1- ⁵/₉ = ⁴/₉
P(AUB) = ⁴/₅
আবার, P(AUB)= P(A) + P(B) – P(A∩B)
⇒ ⁴/₅ = ²/₃ + ⁴/₉ – P(A∩B)
⇒ P(A∩B) = ²/₃ + ⁴/₉ – ⁴/₅
⇒ P(A∩B) = ^30+20-36/₄₅
⇒ P(A∩B) = ¹⁴/₄₅
Ans: উভয় ঠিকা পাওয়ার সম্ভাবনা 14/45

Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

19. একটি শ্রেণিতে 30 জন বালক ও 20 জন বালিকা আছে এবং অর্ধেক বালক ও অর্ধেক বালিকা নীল চক্ষুবিশিষ্ট। শ্রেণি থেকে উদ্দেশ্যহীনভাবে একজনকে নির্বাচন করা হলে, সে বালক অথবা নীল চক্ষুবিশিষ্ট হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো ।

Solution:
ধরি, বালক হওয়ার ঘটনা A এবং নীল চক্ষুবিশিষ্ট হওয়ার ঘটনা B দ্বারা সূচিত করা হয়।
∴ n(A) = 30
⇒ P(A) = ³⁰/₃₀₊₂₀ = ³⁰/₅₀ = ³/₅
n(B) = ¹/₂×30 + ¹/₂×20 = 15+10 = 25,
⇒ P(B) = ²⁵/₅₀ = ¹/₂
n(A∩B) = ¹/₂×30 = 15
⇒ P(A∩B) =¹⁵/₅₀ = ³/₁₀
∴ উদ্দেশ্যহীনভাবে নির্বাচন করা হলে, বালক অথবা নীল চক্ষুবিশিষ্ট হওয়ার সম্ভাবনা হল –
P(AUB) = P(A)+P(B)-P(A∩B)
= ³/₅ + ¹/₂ – ³/₁₀
= ^6+5-3/₁₀
= ⁸/₁₀ = ⁴/₅
Ans: বালক অথবা নীল চক্ষুবিশিষ্ট হওয়ার সম্ভাবনা ⁴/₅

20. প্রথম 200টি স্বাভাবিক সংখ্যার দ্বারা চিহ্নিত 200টি টিকিটের মধ্য থেকে উদ্দেশ্যহীনভাবে একটি টিকিট তোলা হয়। তোলা টিকিটটি 3 অথবা 7-এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।

Solution:
ধরি, তোলা টিকিটটি 3-এর গুণিতক হওয়ার ঘটনা A এবং 7-এর গুণিতক হওয়ার ঘটনা B দ্বারা সূচিত করা হয়।
1 থেকে 200-এর মধ্যে 3-এর গুণিতক আছে 66 টি
∴ n(A) = 66 ⇒ P(A)= ⁶⁶/₂₀₀ = ³³/₁₀₀
1 থেকে 200-এর মধ্যে 7-এর গুণিতক আছে 28 টি।
∴ n(B) = 28 ⇒ P(B) = ²⁸/₂₀₀ = ⁷/₅₀
1 থেকে 200-এর মধ্যে 3 এবং 7-এর গুণিতক অর্থাৎ 21-এর গুণিতক আছে 9টি।
∴ n(A∩B) = 9 ⇒ P(A∩B) = ⁹/₂₀₀
∴ নির্বাচিত সংখ্যাটি 3 অথবা 7-এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
= ³³/₁₀₀ + ⁷/₅₀ – ⁹/₂₀₀
= ^66+28-9/₁₀₀
= ¹⁷/₄₀
Ans: তোলা টিকিটটি 3 অথবা 7-এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা ¹⁷/₄₀

Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

21. A একটি পুস্তকের 75% প্রশ্ন সমাধান করতে পারে এবং B সমাধান করতে পারে 70% প্রশ্ন। উদ্দেশ্যহীনভাবে নেওয়া একটি প্রশ্ন A অথবা B -এর পক্ষে সমাধান করার সম্ভাবনা কত?

Solution:
ধরি, A-এর সমাধান করার ঘটনা S₁ এবং B-এর সমাধান করার ঘটনা S₂ দ্বারা সূচিত করা হয়।
∴ P(S₁) = ⁷⁵/₁₀₀ = ³/₄ এবং
P(S₂) = ⁷⁰/₁₀₀ = ⁷/₁₀
এখানে, S₁ এবং S₂ ঘটনা দুটি পরস্পর স্বাধীন।
∴ P(S₁∩S₂) = P( S₁)P(S₂)
= ³/₄ × ⁷/₁₀ = ²¹/₄₀
∴ P(S₁US₂) = P(S₁) + P ( S₂ ) – P( S₁∩S2 )
⇒ P(S₁US2) = P(S₁) + P ( S₂ ) – P( S₁)P(S₂ )
= ³/₄ + ⁷/₁₀ – ²¹/₄₀
= ^30+28-21/₄₀
= ³⁷/₄₀
Ans: A অথবা B-এর সমাধান করতে পারার সম্ভাবনা হল 37/40

22. চারটির মধ্যে তিনটি ক্ষেত্রে এবং B পাঁচটির মধ্যে চারটি ক্ষেত্রে লক্ষ্যবস্তুতে আঘাত করতে পারে। দুজনের একত্র চেষ্টায় লক্ষ্যবস্তুতে আঘাত করার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।

Solution:
ধরি, লক্ষ্যবস্তুতে A-এর আঘাত করার ঘটনা T₁ এবং B -এর আঘাত করার ঘটনা T₂ দ্বারা সূচিত করা হয়।
∴ P(T₁) = ³/₄ এবং
P(T₂) = ⁴/₅ ,
দুজনের একত্র চেষ্টায় লক্ষ্যবস্তুতে আঘাত করার সম্ভাবনা হল –
P(T₁UT₂) = P(T₁) + P ( T₂ ) – P( T₁∩T₂ )
⇒ P(T₁UT₂) = P(T₁) + P ( T₂ ) – P( T₁)P(T₂ ) – – – [T₁,T₂ ঘটনা দুটি স্বাধীন]
⇒ P(T₁UT₂) = ³/₄ + ⁴/₅ – ³/₄ × ⁴/₅
⇒ P(T₁UT₂) = ³/₄ + ⁴/₅ – ³/₅
⇒ P(T₁UT₂) = ^{15 + 16 – 12}/₂₀
⇒ P(T₁UT₂) = ¹⁹/₂₀
Ans: দুজনের একত্র চেষ্টায় লক্ষ্যবস্তুতে আঘাত করার সম্ভাবনা ¹⁹/₂₀

NEXT

October 15, 2023

A	25	30	45	250
B	10	12	18	100

x	18	8	12	6
y	3	²⁷/₄	⁹/₂	9

Author: TEAM PROSTUTI

Koshe Dekhi 13 Class X Variation কষে দেখি 13 ভেদ দশম শ্রেণি

Koshe Dekhi 13 Class X Variation কষে দেখি 13 ভেদ দশম শ্রেণি

Koshe Dekhi 13 Class X Variationকষে দেখি 13 ভেদ দশম শ্রেণি

2. x ও y দুটি চল এবং তাদের সম্পর্কিত মানগুলি

4. (i) y, x-এর বর্গমূলের সঙ্গে সরলভেদে আছে এবং y = 9 যখন x = 9; x-এর মান নির্ণয় করি যখন y = 6

(ii) x, y-এর সঙ্গে সরলভেদে এবং z-এর সঙ্গে ব্যস্ত ভেদে আছে। y = 4, z = 5 হলে x = 3 হয়। আবার y = 16, z = 30 হলে, x-এর মান হিসাব করে লিখি।

5 (i) x ∝ y হলে, দেখাই যে x + y ∝ x − y

(iii) যদি a ∝ b, b ∝ 1/c এবং c ∝ d হয়, তবে a ও d-এর মধ্যে ভেদ সম্পর্ক লিখি।

(iv) x ∝ y, y ∝ z এবং z ∝ x হলে, ভেদ ধ্রুবক তিনটির মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করি।

6. x + y ∝ x – y হলে, (i) x2 + y2 ∝ xy

(ii) x3 + y3 ∝ x3 – y3

(iii) ax + by ∝ px + qy [যেখানে, a, b, p, q অশূন্য ধ্রুবক]

7. (i) a2 + b2 ∝ ab হলে, প্রমাণ করি যে, a + b ∝ a – bSolution: a2 + b2 ∝ ab বা, a2 + b2 = kab – – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

(ii) x3 + y3 ∝ x3 – y3 হলে, প্রমাণ করি যে, x + y ∝ x – y

কষে দেখি 13 ভেদ দশম শ্রেণি Koshe Dekhi 13 Class X Variation

দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে এখানে ক্লিক করো।

11. a ∝ b, b ∝ c হলে দেখাই যে a3b3 + b3c3 + c3a3 ∝ abc(a3 + b3 + c3)

Koshe Dekhi 13 Class X Variation কষে দেখি 13 ভেদ দশম শ্রেণি

16. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)

(i) x ∝ 1/y হলে, (a) x = 1/y (b) y = 1/x (c) xy = 1 (d) xy = অশূন্য ধ্রুবক

(ii) যদি x ∝ y হয়, তখন (a) x2 ∝ y3 (b) x3 ∝ y2 (c) x ∝ y3 (d) x2 ∝ y2

(iii) x ∝ y এবং y = 8 যখন x = 2; y = 16 হলে, x-এর মান (a) 2 (b) 4 (c) 6 (d) 8

(iv) x ∝ y2 এবং y = 4 যখন x = 8; x = 32 হলে, y-এর ধনাত্মক মান (a) 4 (b) 8 (c) 16 (d) 32

(v) যদি y − z ∝ 1/x, z − x ∝ 1/y এবং x − y ∝ 1/z হয়, তাহলে তিনটি ভেদ ধ্রুবকের সমষ্টি (a) 0 (b) 1 (c) – 1 (d) 2

Koshe Dekhi 13 Class X Variation কষে দেখি 13 ভেদ দশম শ্রেণি

(B) সত্য না মিথ্যা লিখি –

(i) y ∝ 1/x হলে, y/x = অশূন্য ধ্রুবক

(C) শূন্যস্থান পূরণ করি –

(i) x ∝ 1/y এবং y ∝ 1/z হলে, x ∝ ______

(ii) x ∝ y এবং xn ∝ ______

(iii) x ∝ y এবং x ∝ z হলে, (y + z) ∝ ______

Koshe Dekhi 13 Class X Variation কষে দেখি 13 ভেদ দশম শ্রেণি

17. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

(i) x ∝ y2 এবং y = 2a যখন x = a; x ও y-এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করি।

(ii) x ∝ y, y ∝ z এবং z ∝ x হলে, অশূন্য ভেদ ধ্রুবক তিনটির গুণফল নির্ণয় করি।

(iii) x ∝ 1/y এবং y ∝ 1/z হলে x, z-এর সঙ্গে সরলভেদে না ব্যস্তভেদে আছে তা নির্ণয় আছে তা নির্ণয় করি।

(iv) x ∝ yz এবং y ∝ zx হলে, দেখাই যে, z একটি অশূন্য ধ্রুবক।

(v) যদি b ∝ a3 হয় এবং a -এর বৃদ্ধি হয় 2 : 3 অনুপাতে, তাহলে b-এর বৃদ্ধি কী অনুপাতে হয় তা নির্ণয় করি।

Madhyamik Question

MP-2024

MP-2023

MP-2022

MP-2020

MP-2019

MP-2018

MP-2017

Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা Part-I

Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা Part-I

বহু বিকল্পধর্মী প্রতিটি প্রশ্নের মান 1

UNIT – 6সম্ভাবনাPROBABILITY

Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রতিটি প্রশ্নের মান 2

Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

12. P(ĀUB̄) = 5/6, P(A) = 1/2 এবং P(B̄) = 2/3 হলে A ও B ঘটনা দুটি কি স্বাধীন?

সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রতিটি প্রশ্নের মান 4

Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

12. P(A) = a, P(B) = b P(A∩B) = c নীচের প্রত্যেকটি রাশির মান নির্ণয় করো: (i) P(AcUBc) (ii) P(AcUB)(iii) P(Ac∩Bc)

(ii) যদি 2P(A) = P(B) = 5/13 এবং P(A/B) = 2/5 হয়, তবে P(AUB) এর মান নির্ণয় করো।

Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

15. প্রদত্ত P(A/B) = 0.8, P(B/A) = 0.6 এবং P(AcUBc)= 0.7; P(A/Bc) এর মান নির্ণয় করো।

16. (i) দুটি ঘটনা A ও B -এর জন্য দেওয়া আছে, P(A) = 3/7, P(B) = 4/7 এবং P(A + B) = 7/9; P(A/B) ও P(B/A) নির্ণয় করো। A ও B ঘটনা দুটি কি স্বাধীন?

(ii) দুটি ঘটনা E ও F-এর জন্য দেওয়া আছে, P(E) = 0.6, P(F) = 0.3 এবং P(E∩F) = 0.2; P(E/F) এবং P(F/E) নির্ণয় করো।

Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা

Koshe Dekhi 13 Class X Variation
কষে দেখি 13 ভেদ দশম শ্রেণি

Koshe Dekhi 13 Class X Variation
কষে দেখি 13 ভেদ দশম শ্রেণি

(iii) যদি a ∝ b, b ∝ ¹/_c এবং c ∝ d হয়, তবে a ও d-এর মধ্যে ভেদ সম্পর্ক লিখি।

6. x + y ∝ x – y হলে,
(i) x² + y² ∝ xy

(ii) x³ + y³ ∝ x³ – y³

7. (i) a² + b² ∝ ab হলে, প্রমাণ করি যে, a + b ∝ a – b
Solution:
a² + b² ∝ ab
বা, a² + b² = kab – – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]

(ii) x³ + y³ ∝ x³ – y³ হলে, প্রমাণ করি যে, x + y ∝ x – y

11. a ∝ b, b ∝ c হলে দেখাই যে a³b³ + b³c³ + c³a³ ∝ abc(a³ + b³ + c³)

(i) x ∝ ¹/_y হলে,
(a) x = 1/y (b) y = 1/x (c) xy = 1 (d) xy = অশূন্য ধ্রুবক

(ii) যদি x ∝ y হয়, তখন
(a) x² ∝ y³ (b) x³ ∝ y² (c) x ∝ y³ (d) x² ∝ y²

(iii) x ∝ y এবং y = 8 যখন x = 2; y = 16 হলে, x-এর মান
(a) 2 (b) 4 (c) 6 (d) 8

(iv) x ∝ y² এবং y = 4 যখন x = 8; x = 32 হলে, y-এর ধনাত্মক মান
(a) 4 (b) 8 (c) 16 (d) 32

(v) যদি y − z ∝ ¹/_x, z − x ∝ ¹/_y এবং x − y ∝ ¹/_z হয়, তাহলে তিনটি ভেদ ধ্রুবকের সমষ্টি
(a) 0 (b) 1 (c) – 1 (d) 2

(i) y ∝ ¹/_x হলে, ^y/_x = অশূন্য ধ্রুবক

(i) x ∝ ¹/_y এবং y ∝ ¹/_z হলে, x ∝ ______

(ii) x ∝ y এবং xⁿ ∝ ______

(i) x ∝ y² এবং y = 2a যখন x = a; x ও y-এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করি।

(iii) x ∝ ¹/_y এবং y ∝ ¹/_z হলে x, z-এর সঙ্গে সরলভেদে না ব্যস্তভেদে আছে তা নির্ণয় আছে তা নির্ণয় করি।

(v) যদি b ∝ a³ হয় এবং a -এর বৃদ্ধি হয় 2 : 3 অনুপাতে, তাহলে b-এর বৃদ্ধি কী অনুপাতে হয় তা নির্ণয় করি।

UNIT – 6
সম্ভাবনা
PROBABILITY

12. P(ĀUB̄) = ⁵/₆, P(A) = ¹/₂ এবং P(B̄) = ²/₃ হলে A ও B ঘটনা দুটি কি স্বাধীন?

12. P(A) = a, P(B) = b P(A∩B) = c নীচের প্রত্যেকটি রাশির মান নির্ণয় করো:
(i) P(A^cUB^c)
(ii) P(A^cUB)
(iii) P(A^c∩B^c)

(ii) যদি 2P(A) = P(B) = ⁵/₁₃ এবং P(A/B) = ²/₅ হয়, তবে P(AUB) এর মান নির্ণয় করো।

15. প্রদত্ত P(A/B) = 0.8, P(B/A) = 0.6 এবং P(A^cUB^c)= 0.7; P(A/B^c) এর মান নির্ণয় করো।

16. (i) দুটি ঘটনা A ও B -এর জন্য দেওয়া আছে, P(A) = ³/₇, P(B) = ⁴/₇ এবং P(A + B) = ⁷/₉; P(A/B) ও P(B/A) নির্ণয় করো। A ও B ঘটনা দুটি কি স্বাধীন?