Author: TEAM PROSTUTI

Straight Line Ex 4A Class XII সরলরেখা S N Dey Solution
Straight Line Ex 4A Class XII সরলরেখা S N Dey Solution
ত্রিমাত্রিক দেশে সরলরেখা প্রশ্নমালা 4A Straight Line in Three Dimensional Space Ex 4A Class XII S N Dey Solution
বহু বিকল্পধর্মী প্রতিটি প্রশ্নের মান 1
Direction Cosines and Direction Ratios Class XII S N Dey দিক্ কোসাইন এবং দিক্ অনুপাত
1. x অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার কার্তেসিয় সমীকরণ হয় –
$$\large{(a)\quad\frac{x-x_1}{0}=\frac{y-y_1}{a}=\frac{z-z_1}{0},a≠0\\(b)\quad\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{0}=\frac{z-z_1}{a},a≠0\\(c)\quad\frac{x-x_1}{0}=\frac{y-y_1}{a}=\frac{z-z_1}{0},a≠0\\(d)\quad\frac{x-x_1}{0}=\frac{y-y_1}{0}=\frac{z-z_1}{a},a≠0}$$
Ans: (b)
[x অক্ষের দিক্ অনুপাত 1, 0, 0
∴ x অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার ক্ষেত্রে a ≠ 0 ]
2. ᾱ অবস্থান ভেক্টরবিশিষ্ট বিন্দুগামী যে সরলরেখা β̄ ভেক্টরের সমান্তরাল, তার ভেক্টর সমীকরণ হয়-
(a) r̄ = ᾱ + β̄ (b) r̄ = β̄ + tᾱ
(c) r̄ = ᾱ + tβ̄ (d)এদের কোনোটিই নয়।
Ans: (c) r̄ = ᾱ + tβ̄
3. যে সরলরেখার প্রতিসম আকারে সমীকরণ ^{x – 1}/₃ = ^{y – 5}/₁ = ^{z – 3}/₀ সেই সরলরেখার সমান্তরাল যে-কোনো সরলরেখার দিক্ অনুপাতগুলি হয় –
(a) (3, 1, 0) (b) (3, -1, 0) (c) (1, 5, 3) (d) (-3, 1, 0)
Ans: (a) (3, 1, 0)
4. যে সরলরেখার কার্তেসিয় সমীকরণ 3x – 2 = 2y + 1 = 2z – 4. তার দিক্ অনুপাতগুলি হয়-
(a) ¹/₃, –¹/₂, ¹/₂ (b) –¹/₃, ¹/₂, ¹/₂
(c) ¹/₃, ¹/₂, ¹/₂ (d) ¹/₃, ¹/₂, –¹/₂
Ans: (c) ¹/₃, ¹/₂, ¹/₂
$$\large{\quad 3x-2=2y+1=2z-4\\⇒3(x-\frac{2}{3})=2(y+\frac{1}{2})=2(z-\frac{4}{2})\\⇒\frac{x-\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}}=\frac{y+\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}}=\frac{z-2}{\frac{1}{2}}}$$
Straight Line Ex 4A Class XII সরলরেখা S N Dey Solution
5. ( 1, 2, 3) ও (4, 0, 6) বিন্দুদ্বয়গামী সরলরেখার সমীকরণ হয় –
$$\large{(a)\quad\frac{x-1}{4}=\frac{y-2}{0}=\frac{z-3}{6}\\(b)\quad\frac{x-4}{1}=\frac{y-0}{2}=\frac{z-6}{3}\\(c)\quad\frac{x-1}{3}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{-3}\\(d)\quad\frac{x-4}{3}=\frac{y-0}{-2}=\frac{z-6}{3}\\\mathbf{Ans\quad(d)}\\\[\frac{x-1}{4-1}=\frac{y-2}{0-2}=\frac{z-3}{6-3}\\⇒ \frac{x-1}{3}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z-3}{3}]}$$
6. (5, 2, 7) বিন্দুগামী যে সরলরেখা y অক্ষের সমান্তরাল, তার সমীকরণ হয়-
$$\large{(a)\quad\frac{x-5}{b}=\frac{y-2}{0}=\frac{z-7}{b},b≠0\\(b)\quad\frac{x+5}{b}=\frac{y+2}{0}=\frac{z+7}{b},b≠0\\(c)\quad\frac{x-5}{0}=\frac{y-2}{b}=\frac{z-7}{0},b≠0\\(d)\quad\frac{x+5}{0}=\frac{y+2}{b}=\frac{z+7}{0},b≠0}$$
Ans: (c)
[y অক্ষের দিক্ অনুপাত 0, 1, 0
∴ y অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার ক্ষেত্রে b ≠ 0 ]
7. নীচের বিবৃতিগুলির মধ্যে কোনটি সত্য?
(a) ^x-x₁/_a = ^y-y₁/_b = ^z-z₁/_c সরলরেখা x-অক্ষ বা x-অক্ষের সমান্তরাল হওয়ার শর্ত হয়, a ≠ 0 ও b = c = 0 ।
(b) ^x-x₁/_a = ^y-y₁/_b = ^z-z₁/_c সরলরেখা মূলবিন্দুগামী হওয়ার শর্ত হয়, ^x₁/_a = ^y₁/_b = –^z₁/_c ।
(c) (1, 0, 0) ও (0, 5, 3) বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ হয় r̄ = (1, 0, 0) + t(-1, -5, 3)
(d) x = 3 + 2t, y = 5, z = 3 সরলরেখা y অক্ষের সমান্তরাল।
Ans: (a) ^x-x₁/_a = ^y-y₁/_b = ^z-z₁/_c সরলরেখা x-অক্ষ বা x-অক্ষের সমান্তরাল হওয়ার শর্ত হয়, a ≠ 0 ও b = c = 0 ।
[x অক্ষের দিক্ অনুপাত 0, 1, 0
∴ x-অক্ষ বা x অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার ক্ষেত্রে a ≠ 0 ]
8. যদি P(1, 2, 3), Q(4, 5, 6), R(7, 8, 9) বিন্দুত্রয় সমরেখ হয়, তবে Q বিন্দু PR সরলরেখাকে যে অনুপাতে ছেদ করে তা হল –
(a) 2 : 1 (b) 1 : 2 (c) 1 : 1 (d) 1 : 3
Ans: (c) 1 : 1
[P(1, 2, 3) ও R(7, 8, 9) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক (¹⁺⁷/₂, ²⁺⁸/₂, ³⁺⁹/₂) বা (4, 5, 6)
∵ PR-এর মধ্যবিন্দু Q
∴ Q বিন্দু PR সরলরেখাকে 1 : 1 অনুপাতে ছেদ করে.]
$$\mathbf{\large{9.\quad\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}}\\}\\$$
সরলরেখাটি z-অক্ষের সমান্তরাল হলে,
(a) a = c = 0 ও b ≠ 0 হবে
(b) a = b = 0 ও c ≠ 0 হবে
(c) b = c = 0 ও a ≠ 0 হবে
(d) a = b = c = 0 হবে

Ans: (b) a = b = 0 ও c ≠ 0 হবে
[z-অক্ষের দিক্ অনুপাত 0, 0, 1]
Straight Line Ex 4A Class XII সরলরেখা S N Dey Solution
10. (1, 2, 3) ও (4, 5, 6) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ হয়-
$$\large{(a)\quad\frac{x-1}{1-4}=\frac{y-2}{2-5}=\frac{z-3}{3-6},\\(b)\quad\frac{x-1}{4-1}=\frac{y-2}{5-2}=\frac{z-3}{4-2},\\(c)\quad\frac{x-4}{4-1}=\frac{y-5}{5-2}=\frac{z-6}{5-3},\\(d)\quad\frac{x-4}{4-1}=\frac{y-5}{2-5}=\frac{z-6}{3-6}\\\mathbf{Ans:\quad}(a)\frac{x-1}{1-4}=\frac{y-2}{2-5}=\frac{z-3}{3-6}\\}$$$$[\large{\frac{x-1}{4-1}=\frac{y-2}{5-2}=\frac{z-3}{6-3}\\⇒\frac{x-1}{1-4}=\frac{y-2}{2-5}=\frac{z-3}{3-6}]}$$
অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রতিটি প্রশ্নের মান 2
1. x – অক্ষের কার্তেসিয় ও ভেক্টর সমীকরণ লেখো।

Solution:
(0, 0, 0) বিন্দুটি x – অক্ষের উপর অবস্থিত এবং x – অক্ষের দিক্ অনুপাতসমূহ হল 1, 0, 0
x – অক্ষের কার্তেসিয় সমীকরণ
$$\large{\quad\frac{x-0}{1}=\frac{y-0}{0}=\frac{z-0}{0} \quad\mathbf{(Ans)}\\}$$
x – অক্ষের ভেক্টর সমীকরণ
r̄ = 0î + 0ĵ + 0k̂ + t(1î + 0ĵ + 0k̂) – – [t একটি বাস্তব প্যারামিটার]
⇒ r̄ = tî (Ans)
2. কোনো সরলরেখার কার্তেসিয় সমীকরণ ^{2x – 5}/₃ = ^{6 – 3y}/₂ = ^{z + 1}/₆ হলে, ওই সরলেরখার সমান্তরাল কোনো সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ কি হবে?

Solution:
সরলরেখার কার্তেসিয় সমীকরণ
$$\large{\quad \frac{2x-5}{3}=\frac{6-3y}{2}=\frac{z+1}{6}\\⇒\frac{2(x-\frac{5}{2})}{3}=\frac{-3(y-\frac{6}{3})}{2}=\frac{z+1}{6}\\⇒\frac{x-\frac{5}{2}}{\frac{3}{2}}=\frac{y-2}{-\frac{2}{3}}=\frac{z+1}{6}\\⇒\frac{x-\frac{5}{2}}{\frac{3}{2}×6}=\frac{y-2}{-\frac{2}{3}×6}=\frac{z+1}{6×6}\\⇒\frac{x-\frac{5}{2}}{9}=\frac{y-2}{-4}=\frac{z+1}{36}}$$Ans: প্রদত্ত সরলেরখার সমান্তরাল কোনো সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ 9, -4, 36;
3. যে সরলরেখার কার্তেসিয় সমীকরণ 6x – 2 = 3y + 1 = 2z – 4, তার দিক্ কোসাইনগুলি লেখ।

Solution:
সরলরেখার কার্তেসিয় সমীকরণ
$$\large{\quad 6x-2=3y+1=2z-4\\⇒6(x-\frac{2}{6})=3(y+\frac{1}{3})=2(z-\frac{4}{2})\\⇒\frac{x-\frac{1}{3}}{\frac{1}{6}}=\frac{y-\frac{-1}{3}}{\frac{1}{3}}=\frac{z-2}{\frac{1}{2}}\\⇒\frac{x-\frac{1}{3}}{1}=\frac{y-\frac{-1}{3}}{2}=\frac{z-2}{3}}$$
∴ সরলরেখাটির দিক্ অনুপাতসমূহ 1, 2, 3;
∴ সরলরেখাটির দিক্ কোসাইনগুলি হল
$$\large{=±\frac{1}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}},\quad±\frac{2}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}},\quad±\frac{3}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}}\\⇒±\frac{1}{\sqrt{1+4+9}},\quad±\frac{2}{\sqrt{1+4+9}},\quad±\frac{3}{\sqrt{1+4+9}}\\⇒±\frac{1}{\sqrt{14}},\quad±\frac{2}{\sqrt{14}},\quad±\frac{3}{\sqrt{14}}\quad\mathbf{(Ans)}}$$
4. ^{x – 5}/₂ = ^{y + 6}/₀ = ^{z – 3}/₂ সরলরেখাটি কোন্ অক্ষের ওপর লম্ব?
Solution:
$$\large{\frac{x-5}{2}=\frac{y+6}{0}=\frac{z-3}{2}\\}$$
সরলরেখাটির দিক্ অনুপাত 2, 0, 2;
আবার y অক্ষের দিক্ অনুপাত 0, 1, 0;
∴ 2×0 + 0×1 + 2×0 = 0
∴ প্রদত্ত সরলরেখাটি এবং y অক্ষের ওপর লম্ব। (Ans)
5. ^{x – 5}/₃ = ^{y + 4}/₇ = ^{z – 6}/₂ সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ লেখো।
Solution:
$$\large{\frac{x-5}{3}=\frac{y+4}{7}=\frac{z-6}{2}\\}$$
সরলরেখাটি (5, -4, 6) বিন্দুগামী এবং 3, 7, 2 দিক্ অনুপাতবিশিষ্ট।
∴ সরলরেখাটি 5î – 4ĵ + 6k̂ অবস্থান ভেক্টরবিশিষ্ট বিন্দুগামী এবং 3î + 7ĵ + 2k̂ ভেক্টরের সমান্তরাল।
প্রদত্ত সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ-
r̄ = 5î – 4ĵ + 6k̂ + t(3î + 7ĵ + 2k̂) – – [t একটি বাস্তব প্যারামিটার] (Ans)
Straight Line Ex 4A Class XII সরলরেখা S N Dey Solution
সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রতিটি প্রশ্নের মান 4
1. î – 2ĵ + 3k̂ ভেক্টরের সমান্তরাল যে সরলরেখা (1, -2, 5) বিন্দুগামী, তার ভেক্টর ও কার্তেসিয় সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution:
(1, -2, 5) এর অবস্থান ভেক্টর î – 2ĵ + 5k̂
(1, -2, 5) বিন্দুগামী যে সরলরেখা î – 2ĵ + 3k̂ ভেক্টরের সমান্তরাল, তার ভেক্টর সমীকরণ হল
r̄ = î – 2ĵ + 5k̂ + t(î – 2ĵ + 3k̂) – – [t একটি বাস্তব প্যারামিটার] (Ans)
î – 2ĵ + 3k̂ ভেক্টরের সমান্তরাল সরলরেখাটির দিক্ অনুপাতসমূহ 1, -2, 3
(1, -2, 5) বিন্দুগামী এবং 1, -2, 3 দিক্ অনুপাতবিশিষ্ট সরলরেখার কার্তেসিয় সমীকরণ –
$$\large{\frac{x-1}{1}=\frac{y-(-2)}{-2}=\frac{z-5}{3}\\⇒\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{-2}=\frac{z-5}{3}\quad\mathbf{(Ans)}}$$
2. (5, 2, -4) বিন্দুগামী যে সরলরেখা 3i + 2j – 8k ভেক্টরের সমান্তরাল, তার ভেক্টর ও কার্তেসিয় সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution:
(5, 2, -4) এর অবস্থান ভেক্টর 5î + 2ĵ – 4k̂
(5, 2, -4) বিন্দুগামী যে সরলরেখা 3i + 2j – 8k ভেক্টরের সমান্তরাল, তার ভেক্টর সমীকরণ হল
r̄ = 5î + 2ĵ – 4k̂ + t(3î + 2ĵ – 8k̂) – – [t একটি বাস্তব প্যারামিটার] (Ans)

3i + 2j – 8k ভেক্টরের সমান্তরাল সরলরেখাটির দিক্ অনুপাতসমূহ 3, 2, -8
(5, 2, -4) বিন্দুগামী এবং 3, 2, -8 দিক্ অনুপাতবিশিষ্ট সরলরেখার কার্তেসিয় সমীকরণ –
$$\large{\frac{x-5}{3}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-(-4)}{-8}\\⇒\frac{x-5}{3}=\frac{y-2}{2}=\frac{z+4}{-8}\quad\mathbf{(Ans)} }$$
3. কোনো সরলরেখার কার্তেসিয় সমীকরণ ^{x + 3}/₂ = ^{y – 5}/₄ = ^{z + 6}/₂ হলে, সরলরেখাটির ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution:
সরলরেখাটির কার্তেসিয় সমীকরণ –
$$\large{\frac{x+3}{2}=\frac{y-5}{4}=\frac{z+6}{2}\\⇒ \frac{x-(-3)}{2}=\frac{y-5}{4}=\frac{z-(-6)}{2} \\}$$
সরলরেখাটি (-3, 5, -6) বিন্দুগামী এবং সরলরেখাটির দিক্ অনুপাতসমূহ 2, 4, 2
∴ সরলরেখাটির ভেক্টর সমীকরণ
r̄ = -3î + 5ĵ – 6k̂ + t(2î + 4ĵ + 2k̂) – – [t একটি বাস্তব প্যারামিটার] (Ans)
4. কোনো সরলরেখার কার্তেসিয় সমীকরণ 3x + 2 = 5y – 4 = 3 – z; সরলরেখাটি যে বিন্দুগামী তার স্থানাঙ্ক ও তার দিক্ অনুপাতসমূহ নির্ণয় করো। সরলরেখাটি প্রতিসম (symmetric) আকারে প্রকাশ করো এবং তার ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution:
সরলরেখাটির কার্তেসিয় সমীকরণ –
$$\large{3x+2=5y-4=3-z\\⇒ 3(x+\frac{2}{3})=5(y-\frac{4}{5})=-1(z-3)\\⇒ \frac{x+\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}}=\frac{y-\frac{4}{5}}{\frac{1}{5}}=\frac{z-3}{-1}\\}$$
Ans: সরলরেখাটি (-²/₃, ⁴/₅, 3) বিন্দুগামী।
সরলরেখাটির দিক্ অনুপাতসমূহ ¹/₃, ¹/₅, -1
সরলরেখাটির প্রতিসম আকার –
$$\large{\frac{x+\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}}=\frac{y-\frac{4}{5}}{\frac{1}{5}}=\frac{z-3}{-1}\quad\mathbf{(Ans)}\\}$$
সরলরেখাটির ভেক্টর আকার –
r̄ = –²/₃î + ⁴/₅ĵ + 3k̂ + t(¹/₃î + ¹/₅ĵ – k̂) – – [t একটি বাস্তব প্যারামিটার] (Ans)
5. কোনো সরলরেখার কার্তেসিয় সমীকরণ 3x + 1 = 6y – 2 = 1 – z; সরলরেখাটি যে নির্দিষ্ট বিন্দুগামী, তা নির্ণয় করো ও রেখাটির দিক্ অনুপাতসমূহ নির্ণয় করে সেটি প্রতিসম (symmetric) আকারে ও ভেক্টর আকারে প্রকাশ করো।

Solution:
সরলরেখাটির কার্তেসিয় সমীকরণ –
$$\large{3x+1=6y-2=1-z\\⇒ 3(x+\frac{1}{3})=6(y-\frac{1}{3})=-1(z-1)\\⇒\frac{x-\frac{-1}{3}}{\frac{1}{3}}=\frac{y-\frac{1}{3}}{\frac{1}{6}}=\frac{z-1}{-1} \\⇒\frac{x-\frac{-1}{3}}{2}=\frac{y-\frac{1}{3}}{1}=\frac{z-1}{-6} \\}$$
Ans: সরলরেখাটি (-¹/₃, ¹/₃, 1) বিন্দুগামী।
সরলরেখাটির দিক্ অনুপাতসমূহ 2, 1, -6
সরলরেখাটির প্রতিসম আকার –
$$\large{\frac{x-\frac{-1}{3}}{2}=\frac{y-\frac{1}{3}}{1}=\frac{z-1}{-6}\quad\mathbf{(Ans)}\\}$$
সরলরেখাটির ভেক্টর আকার –
r̄ = –¹/₃î + ¹/₃ĵ + k̂ + t[2î + ĵ – 6k̂] – – [t একটি বাস্তব প্যারামিটার] (Ans)
6. (1, 2, -4 ) ও ( 4, -5, 2 ) বিন্দুদ্বয়গামী সরলরেখাটির কার্তেসীয় ও ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution:
কার্তেসীয় সমীকরণঃ
(1, 2, -4 ) ও ( 4, -5, 2 ) বিন্দুদ্বয়গামী সরলরেখাটির কার্তেসীয় সমীকরণ –
$$\large{\frac{x-1}{4-1}=\frac{y-2}{-5-2}=\frac{z-(4)}{2-(-4)}\\⇒\frac{x-1}{3}=\frac{y-2}{-7}=\frac{z+4}{6}\quad\mathbf{(Ans)}}$$
ভেক্টর সমীকরণঃ
(1, 2, -4 ) ও ( 4, -5, 2 ) বিন্দুদ্বয়গামী সরলরেখাটির ভেক্টর সমীকরণ –
r̄ = 1î + 2ĵ – 4k̂ + t[(4 – 1)î + (-5 – 2)ĵ + (2 + 4)k̂] – – [t একটি বাস্তব প্যারামিটার]
= î + 2ĵ – 4k̂ + t(3î – 7ĵ + 6k̂) (Ans)
দশম শ্রেণীর ভৌত বিজ্ঞান এবং জীবন বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন
7. কোনো সরলরেখার সমীকরণ x = by + c, z = ay + d হলে তার প্রতিসম (symmetric) আকারে কার্তেসীয় ও ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution:
প্রতিসম আকারে কার্তেসীয় সমীকরণঃ
$$\large{x=by+c\quad⇒y=\frac{x-c}{b}\\z=ay+d\quad⇒y=\frac{z-d}{a}\\\therefore \frac{x-c}{b}=\frac{y-0}{1}=\frac{z-d}{a}}$$
প্রদত্ত সরলরেখাটি (c, 0, d) বিন্দুগামী এবং সরলরেখাটির দিক অনুপাতসমূহ b, 1, a;
ভেক্টর সমীকরণঃ
(c, 0, d) এর অবস্থান ভেক্টর cî + dk̂ এবং সরলরেখাটি bî + ĵ + ak̂ ভেক্টরের সমান্তরাল।
সরলরেখাটির ভেক্টর সমীকরণ হল
∴ r̄ = cî + dk̂ + t(bî + ĵ + ak̂) – – [t একটি বাস্তব প্যারামিটার]
Straight Line Ex 4A Class XII সরলরেখা S N Dey Solution
8. P. Q ও R বিন্দুগুলির অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 2î + 5ĵ – 8k̂, -3ĵ + 6k̂ ও -3î + 2ĵ + 3k̂; PQRS একটি সামান্তরিক হলে, QS সরলরেখার ভেক্টর ও কার্তেসীয় সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution:
ধরি, PQRS সামান্তরিকের কর্ণ পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে।
P. Q ও R বিন্দুগুলির অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 2î + 5ĵ – 8k̂, -3ĵ + 6k̂ ও -3î + 2ĵ + 3k̂;
∴ P. Q ও R বিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (2, 5, -8), (0, -3, 6) ও (-3, 2, 3)
সামান্তরিকের কর্ণ পরস্পরকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
∴ O বিন্দুর স্থানাঙ্ক (^2-3/₂, ⁵⁺²/₂, ^-8+3/₂) = (-¹/₂, ⁷/₂, –⁵/₂)
কার্তেসীয় সমীকরণঃ
∴ QO সরলরেখার কার্তেসীয় সমীকরণ:
$$\large{\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}=\frac{z-z_1}{z_1-z_2}\\⇒\frac{x-0}{0+\frac{1}{2}}=\frac{y+3}{-3-\frac{7}{2}}=\frac{z-6}{6+\frac{5}{2}}\\⇒\frac{x}{\frac{1}{2}}=\frac{y+3}{-\frac{13}{2}}=\frac{z-6}{\frac{17}{2}}\\⇒\frac{x}{1}=\frac{y+3}{-13}=\frac{z-6}{17}—(i)}$$∴ QS সরলরেখার কার্তেসীয় সমীকরণ:$$\large{\frac{x}{1}=\frac{y+3}{-13}=\frac{z-6}{17}\quad\mathbf{(Ans)}\\}$$
ভেক্টর সমীকরণঃ
QS সরলরেখা (0, -3, 6) বিন্দুগামী এবং এর দিক অনুপাতসমূহ 1, -13, 17
∴ সরলরেখাটি -3ĵ + 6k̂ বিন্দুগামী এবং î – 13ĵ + 17k̂ ভেক্টরের সমান্তরাল।
QS সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ:
∴ r̄ = -3ĵ + 6k̂ + t(î – 13ĵ + 17k̂) – – [t একটি বাস্তব প্যারামিটার]
9. দেখাও যে, তিনটি বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 4î + 5k̂, î + ĵ + 3k̂ ও – 5i + 3j – k হলে, বিন্দু তিনটি সমরেখ।

Solution:
ধরি বিন্দু তিনটি হল P, Q এবং R
∴ ŌP̄ = 4î + 5k̂
ŌQ̄ = î + ĵ + 3k̂
ŌR̄ = -5î + 3ĵ – k̂
∴ P, Q ও R এর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (4, 0, 5), (1, 1, 3) এবং (-5, 3, -1)
∴ PQ সরলরেখার সমীকরণঃ
$$\large{\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}=\frac{z-z_1}{z_1-z_2}\\⇒\frac{x-4}{4-1}=\frac{y-0}{0-1}=\frac{z-5}{5-3}\\⇒\frac{x-4}{3}=\frac{y}{-1}=\frac{z-5}{2}—-(i)}$$(i) নং সমীকরণে (-5, 3, -1) বসিয়ে পাই,$$\large{\frac{-5-4}{3}=\frac{3}{-1}=\frac{-1-5}{2}\\⇒\frac{-9}{3}=\frac{3}{-1}=\frac{-6}{2}\\⇒-3=-3=-3}$$
(-5, 3, -1) বিন্দু দ্বারা (i) নং সমীকরণটি সিদ্ধ হয়।
∴ PQ সরলরেখাটি (-5, 3, -1) অর্থাৎ R বিন্দুগামী।
∴ বিন্দু তিনটি সমরেখ। (Proved)
10. ^{x + 2}/₃ = ^{y + 1}/₂ = ^{z – 3}/₂ সরলরেখার উপরিস্থ যে বিন্দুগুলি P(1, 3, 3 ) বিন্দু থেকে 5 একক দূরত্বে অবস্থিত, সেগুলি নির্ণয় করো।

Solution:
ধরি$$\large{\frac{x+2}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-3}{2}=t\\}$$
– – – – [t একটি বাস্তব প্যারামিটার]
∴ x = 3t – 2
y = 2t – 1
z = 2t + 3
∴ সরলরেখার উপর যেকোনো বিন্দুর স্থানাঙ্ক (3t – 2, 2t – 1, 2t + 3)
(3t – 2, 2t – 1, 2t + 3) বিন্দু থেকে (1, 3, 3 ) বিন্দুর দূরত্ব
= √{(3t – 2 – 1)² + (2t – 1 – 3)² + (2t + 3 – 3)²}
= √{(3t – 3)² + (2t – 4)² + (2t)²}
প্রশ্নানুযায়ী
√{(3t – 3)² + (2t – 4)² + (2t)²} = 5
⇒ (3t – 3)² + (2t – 4)² + (2t)² = 25
⇒ 9t² + 9 – 18t + 4t² + 16 – 16t + 4t² = 25
⇒ 17t² + 25 – 34t = 25
⇒ 17t² – 34t = 0
⇒ 17t(t – 2) = 0
⇒ t(t – 2) = 0
∴ t = 0, t = 2
t = 0 হলে,
বিন্দুটির স্থানাঙ্ক (3×0 – 2, 2×0 – 1, 2×0 + 3) = (-2, -1, 3)
t = 2 হলে,
বিন্দুটির স্থানাঙ্ক (3×2 – 2, 2×2 – 1, 2×2 + 3) = (4, 3, 7)
সরলরেখার উপরিস্থ যে বিন্দুগুলি P(1, 3, 3 ) বিন্দু থেকে 5 একক দূরত্বে অবস্থিত, সেগুলি হল (-2, -1, 3) এবং (4, 3, 7) (Ans)
Straight Line Ex 4A Class XII সরলরেখা S N Dey Solution
11. যদি p̄.q̄ = |p̄||q̄| হয়, তবে দেখাও যে, P ও Q বিন্দুর সংযোজক সরলরেখা (যেখানে P বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর p̄ = p₁î + p₂ĵ + p₃k̂ ও Q বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর q̄ = q₁î + q₂ĵ + q₃k̂) মূলবিন্দুগামী হবে।

Solution:
P বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর
ŌP̄ = p̄ = p₁î + p₂ĵ + p₃k̂
Q বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর
ŌQ̄ = q̄ = q₁î + q₂ĵ + q₃k̂
ধরি p̄ ও q̄ এর মধ্যবর্তী কোণ θ
∴ ŌP̄.ŌQ̄ = p̄.q̄
= |p̄||q̄|cosθ
∴ |p̄||q̄|cosθ = |p̄||q̄| – – – – [∵ p̄.q̄ = |p̄||q̄|]
⇒ cosθ = 1
⇒ cosθ = cos0°
∴ θ = 0°
ŌP̄ ও ŌQ̄ এর মধ্যবর্তী কোণ 0°
অর্থাৎ ŌP̄ ও ŌQ̄ একই সরলরেখায় অবস্থিত।
∴ P ও Q বিন্দুর সংযোজক সরলরেখা মূলবিন্দুগামী। (Proved)
12. (i) 2î – ĵ + k̂ অবস্থান ভেক্টরবিশিষ্ট বিন্দুগামী এবং -î + 4ĵ + k ও i + 2ĵ + 2k̂ বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার সমান্তরাল সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় করো। সরলরেখাটির অনুরূপ কার্তেসীয় সমীকরণ-ও নির্ণয় করো।

Solution:
ধরি সরলরেখাটির ভেক্টর সমীকরণ –
r̄ = ā + tb̄ – – – – [t একটি বাস্তব প্যারামিটার]
এখানে
ā = 2î – ĵ + k̂
b̄ = (î + 2ĵ + 2k̂) – (-î + 4ĵ + k̂)
= 2î – 2ĵ + k̂
সরলরেখাটির ভেক্টর সমীকরণ
∴ r̄ = 2î – ĵ + k̂ + t(2î – 2ĵ + k̂) – – [t একটি বাস্তব প্যারামিটার]
স্পষ্টতই সরলরেখাটি (2, -1, 1) বিন্দুগামী এবং সরলরেখাটির দিক্ অনুপাত 2, -2, 1
∴ সরলরেখাটির অনুরূপ কার্তেসীয় সমীকরণ হল-
$$\large{\frac{x-2}{2}=\frac{y-(-1)}{-2}=\frac{z-1}{1}\\⇒\frac{x-2}{2}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z-1}{1} \quad\mathbf{(Ans)}}$$
(ii) কোনো সরলরেখার কার্তেসীয় সমীকরণ 6x – 2 = 3y + 1 = 2z – 2 হলে সরলরেখাটির দিক অনুপাতগুলি এবং ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution:
$$\large{6x-2=3y+1=2z-2\\⇒6(x-\frac{1}{3})=3(y-\frac{-1}{3})=2(z-1)\\⇒\frac{x-\frac{1}{3}}{\frac{1}{6}}=\frac{y-\frac{-1}{3}}{\frac{1}{3}}=\frac{z-1}{\frac{1}{2}}\\⇒\frac{x-\frac{1}{3}}{1}=\frac{y-\frac{-1}{3}}{2}=\frac{z-1}{3}}$$
সরলরেখাটির দিক অনুপাতগুলি হল 1, 2, 3 (Ans)
সরলরেখাটি (¹/₃, –¹/₃, 1) বিন্দুগামী
∴ সরলরেখাটির ভেক্টর সমীকরণ –
r̄ = ā + tb̄ – – – – [t একটি বাস্তব প্যারামিটার]
⇒ r̄ = ¹/₃î – ¹/₃ĵ + k̂ + t(î + 2ĵ + 3k̂) (Ans)
HS 2025 Mathematics Solution।। উচ্চ মাধ্যামিক ২০২৫ গণিত প্রশ্নপত্রের সমাধান

Matrix S N Dey Solution Part-3

Matrix S N Dey Solution Part-2

Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স

S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল

Straight Line Ex 4A Class XII সরলরেখা S N Dey Solution

Direction Cosines and Direction Ratios Class XII S N Dey দিক্ কোসাইন এবং দিক্ অনুপাত

Probability Bayes’ Theorem বেইজ উপপাদ্য প্রশ্নমালা 1B

দ্বাদশ শ্রেণীর সম্ভাবনা Probability S N Day Part -2

Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা Part-I

অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Significance of Derivative S N Dey Part-2

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

ভেক্টর বীজগণিত Class XII Vector Algebra S N Dey Part 2

Vector Algebra Class XII ভেক্টর বীজগণিত Part 1

Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part II

Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part-1

JBNSTS- Junior & Senior Scholarship – How to apply, Syllabus etc.

জি. পি. বিড়লা স্কলারশিপ || How to apply GP Birla Scholarship

Vidyasagar Science Olympiad How To Apply বিদ্যাসাগর সায়েন্স অলিম্পিয়াড

Medhasree Scholarship মেধাশ্রী – How to apply, Check Date, Eligibility
November 27, 2023

Koshe Dekhi 15.2 Class X বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য

Koshe Dekhi 15.2 Class X বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য

Koshe Dekhi 15.2 Class X বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য

1. 16 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসবিশিষ্ট একটি বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 17 সেমি দূরত্বে অবস্থিত বহিঃস্থ একটি বিন্দু থেকে অঙ্কিত বৃত্তের স্পর্শকের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

Solution:
ধরি, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে অঙ্কিত স্পর্শক AP এবং OP ব্যাসার্ধ।
এখানে OA = 17 সেমি,
OP = ¹⁶/₂ = 8 সেমি
APO সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
AP² + OP² = OA²
বা, AP² + 8² = 17²
বা, AP² + 64 = 289
বা, AP² = 225
∴ AP = 15
Ans: বৃত্তের স্পর্শকের দৈর্ঘ্য 15 সেমি।

2.একটি বৃত্তের উপর অবস্থিত P ও Q বিন্দু দুটিতে অঙ্কিত স্পর্শক দুটি A বিন্দুতে ছেদ করেছে। ∠PAQ = 60° হলে ∠APQ-এর মান নির্ণয় করি।

Solution: বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে P ও Q বিন্দুতে স্পর্শকদ্বয় যথাক্রমে AP ও AQ।
∴ AP = AQ
∴ APQ একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
∴ ∠APQ = ∠AQP
প্রদত্ত ∠PAQ = 60°
△APQ -এর ক্ষেত্রে,
∴ ∠APQ + ∠AQP + ∠PAQ = 180°
বা, ∠APQ + ∠AQP = 180° – ∠PAQ
বা, ∠APQ + ∠APQ = 180° – 60°
বা, 2∠APQ = 120°
বা, ∠APQ = 60°
Ans: ∠APQ-এর মান 60°

Koshe Dekhi 15.2 Class X বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য

3. O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে অঙ্কিত দুটি স্পর্শক AP ও AQ বৃত্তকে P ও Q বিন্দুতে স্পর্শ করে। PR একটি ব্যাস হলে, প্রমাণ করি যে, OA ∥ RQ

Solution:
স্বীকার: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে AP ও AQ স্পর্শকদ্বয় বৃত্তকে P ও Q বিন্দুতে স্পর্শ করেছে। PR বৃত্তের ব্যাস।
প্রামাণ্য বিষয়: OA || RQ
অঙ্কন: O, Q যুক্ত করা হল।
প্রমাণ: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে P ও Q বিন্দুতে যথাক্রমে PA ও QA দুটি স্পর্শক।
∴ ∠AOP = ∠AOQ
∴ ∠AOP + ∠AOQ + ∠QOR = 180°
বা ∠AOP + ∠AOP = 180° – ∠QOR
বা 2∠AOP = 180° – ∠QOR – – – (i)
আবার △ORQ –এর ক্ষেত্রে,
∴ ∠ORQ + ∠RQO + ∠QOR = 180°
বা, ∠RQO + ∠RQO = 180° – ∠QOR – – – [∵ OR = OQ, ∠ORQ = ∠RQO]
বা, 2∠RQO = 180° – ∠QOR – – – (ii)
(i) ও (ii) থেকে পাওয়া যায়,
2∠AOP = 2∠RQO
∴ ∠AOP = ∠RQO
কিন্তু এরা একান্তর কোণ।
∴ OA || RQ (প্রমাণিত)

4. প্রমাণ করি যে, একটি বৃত্তের পরিলিখিত কোনো চতুর্ভুজের যে-কোনো দুটি বিপরীত বাহুর দ্বারা উৎপন্ন কেন্দ্রস্থ সম্মুখ কোণ দুটি পরস্পর সম্পূরক।

Solution:
স্বীকার: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ABCD একটি পরিলিখিত চতুর্ভুজ। বৃত্তটি AB, BC, CE ও AD বাহুগুলিকে যথাক্রমে P, Q, R, S বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয়: ∠AOB + ∠COD = 180°
অথবা, ∠AOD + ∠BOC = 180°
অঙ্কন: O, A; O, B; O, C; O, D; O, P; O, Q; O, R; O, S যুক্ত করা হল।
প্রমাণ: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে P ও S বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক দুটি যথাক্রমে AP ও AS দুটি স্পর্শক
∴ ∠AOP = ∠AOS
∴ ∠AOP + ∠AOS = ∠POS
বা ∠AOP + ∠AOP = ∠POS
বা 2∠AOP = ∠POS
বা ∠AOP = ¹/₂∠POS
অনুরূপে,
∠BOP = ¹/₂∠POQ
∠COR = ¹/₂∠QOR
∠DOR = ¹/₂∠ROS
∴ ∠AOB + ∠COD
= (∠AOP + ∠BOP) + (∠COR + ∠DOR )
= (¹/₂∠POS + ¹/₂∠POQ) + (¹/₂∠QOR + ¹/₂∠ROS)
= ¹/₂(∠POS + ∠POQ + ∠QOR + ∠ROS)
= ¹/₂ × 360°
= 180°
অনুরূপে, প্রমাণ করা যায়
∠AOD + ∠BOC = 180°
∴ ∠AOB + ∠COD = 180° (প্রমাণিত)
∠AOD + ∠BOC = 180° (প্রমাণিত)

Koshe Dekhi 15.2 Class X বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য

5. প্রমাণ করি যে, বৃত্তের পরিলিখিত সামান্তরিক মাত্রই রম্বস।

Solution:
স্বীকার: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের পরিলিখিত সামান্তরিক হল ABCD; এবং বৃত্তটি AB, BC, CD ও AD বাহুকে যথাক্রমে P, Q, R, S বিন্দুতে স্পর্শ করে।
প্রামাণ্য বিষয়: ABCD একটি রম্বস।
অঙ্কন: O, A; O, P; O, B; O, Q; O, R; O, D; O, S যুক্ত করা হল।
প্রমাণ: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে অঙ্কিত স্পর্শক দুটি AP ও AS;
∴ AP = AS
অনুরূপে, BP = BQ;
CQ = CR;
এবং DS = DR
∴ AB + CD = AP + BP + CR + DR
= AS + BQ + CQ + DS – – – [∵ AP = AS, BP = BQ, CR = CQ, DR = DS]
= BQ + CQ + DS + AS
∴ AB + CD = BC + AD
বা AB + AB = BC + AD – – – – [∵ ABCD একটি সামান্তরিক
বা 2AB = 2BC AB = CD; BC = AD]
বা AB = BC
ABCD সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য সমান।
∴ ABCD সামান্তরিক একটি রম্বস। (প্রমাণিত)

6. A ও B কেন্দ্রীয় দুটি বৃত্ত অঙ্কন করেছি যারা পরস্পরকে C বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে। C বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের উপর O একটি বিন্দু এবং OD ও OE যথাক্রমে A ও B কেন্দ্রীয় বৃত্তকে যথাক্রমে D ও E বিন্দুতে স্পর্শ করেছে। ∠COD = 56°, ∠COE = 40°, ∠ACD = x° এবং ∠BCE = y° হলে প্রমাণ করি যে, OD = OC = OE এবং x – y = 8

Solution:
স্বীকার: A ও B কেন্দ্রীয় বৃত্ত দুটি C বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে। C বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের O একটি বিন্দু। OD ও OE যথাক্রমে A ও B কেন্দ্রীয় বৃত্তকে যথাক্রমে D ও E বিন্দুতে স্পর্শ করেছে।
∠COD = 56°, ∠COE = 40°,
∠ACD = x° এবং ∠BCE = y°
প্রামাণ্য বিষয়: OD = OC = OE এবং x – y = 8
প্রমাণ: A কেন্দ্রীয় বৃত্তের D ও C বিন্দুতে যথাক্রমে OD ও OC দুটি স্পর্শক।
∴ OD = OC – – – – (i)
∴ ∠ODC = ∠OCD
আবার, B কেন্দ্রীয় বৃত্তের C ও E বিন্দুতে যথাক্রমে OC ও OE দুটি স্পর্শক।
∴ OC = OE – – – – (ii)
∴ ∠OCE = ∠OEC
(i) ও (ii) থেকে পাওয়া যায়,
OD = OC = OE (প্রমাণিত)
△COD –এর ক্ষেত্রে,
∴ ∠OCD + ∠ODC + ∠COD = 180°
বা, ∠OCD + ∠OCD + 56° = 180°
বা, 2∠OCD = 180° – 56° = 124°
∴ ∠OCD = 62°
∴ ∠ACD = ∠OCA – ∠OCD
= 90° – 62° = 28°
∴ x = 28
△COE –এর ক্ষেত্রে,
∴ ∠OCE + ∠OEC + ∠EOC = 180°
বা, ∠OCE + ∠OCE + 40° = 180°
বা, 2∠OCE = 180° – 40° = 140°
∴ ∠OCE = 70°
∴ ∠BCE = ∠OCB – ∠OCE
= 90° – 70° = 20°
∴ y = 28
x – y = 28 – 20
= 8 (প্রমাণিত)

অধ্যায়	বিষয়	কষে দেখি
1	একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic Equations with one variable)	কষে দেখি – 1.1 কষে দেখি – 1.2 কষে দেখি – 1.3 কষে দেখি – 1.4 কষে দেখি – 1.5
2	সরল সুদকষা (Simple Interest)	কষে দেখি – 2
3	বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য (Theorems related to circle)	কষে দেখি – 3.1 কষে দেখি – 3.2
4	আয়তঘন (Rectangular Parallelopiped or Cuboid)	কষে দেখি – 4
5	অনুপাত ও সমানুপাত (Ratio and Proportion)	কষে দেখি – 5.1 কষে দেখি – 5.2 কষে দেখি – 5.3
6	চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সমহার বৃদ্ধি বা হ্রাস (Compound Interest and Uniform Rate of Increase or Decrease)	কষে দেখি – 6.1 কষে দেখি – 5.2
7	বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য (Theorems related to Angles in a Circle)	কষে দেখি – 7.1 কষে দেখি – 7.2 কষে দেখি – 7.3
8	লম্ব বৃত্তাকার চোঙ (Right Circular Cylinder)	কষে দেখি – 8
9	দ্বিঘাত করণী (Quadratic Surd)	কষে দেখি – 9.1 কষে দেখি – 9.2 কষে দেখি – 9.3
10	বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Cyclic Quadrilateral)	কষে দেখি – 10
11	সম্পাদ্য : ত্রিভুজের পরিবৃত্ত ও অন্তবৃত্ত অঙ্কন (Construction : Construction of circumcircle and incircle of a triangle)	কষে দেখি – 11.1
12	গোলক (Sphere)	কষে দেখি – 12
13	ভেদ (Variation)	কষে দেখি – 13
14	অংশীদারি কারবার (Partnership Business)	কষে দেখি – 14
15	বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Tangent to a Circle)	কষে দেখি – 15.1 কষে দেখি – 15.2
16	লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু (Right Circular Cone)	কষে দেখি – 16
17	সম্পাদ্য : বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন (Construction: Construction of Tangent to a circle)	কষে দেখি – 17
18	সদৃশতা (Similarity)	কষে দেখি – 18.1 কষে দেখি – 18.2 কষে দেখি – 18.3 কষে দেখি – 18.4
19	বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা (Real life Problems related to different Solid Objects)	কষে দেখি – 19
20	ত্রিকোণমিতি: কোণ পরিমাপের ধারণা	কষে দেখি – 20
21	সম্পাদ্য : মধ্যসমানুপাতী নির্ণয় (Construction : Determination of Mean Proportional )	কষে দেখি – 21
22	পিথাগোরাসের উপপাদ্য (Pythagoras Theorem)	কষে দেখি – 22
23	ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি (Trigonometric Ratios and Trigonometric Identities)	কষে দেখি – 23.1 কষে দেখি – 23.2 কষে দেখি – 23.3
24	পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত (Trigonometric Ratios of Complementrary angle )	কষে দেখি – 24
25	ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ : উচ্চতা ও দূরত্ব (Application of Trigonometric Ratios: Heights & Distances)	কষে দেখি – 25
26	রাশিবিজ্ঞান : গড়, মধ্যমা, ওজাইভ, সংখ্যাগুরুমান (Statistics : Mean, Median, Ogive, Mode)	কষে দেখি – 26.1 কষে দেখি – 26.2 কষে দেখি – 26.3 কষে দেখি – 26.4

7. A ও B কেন্দ্রবিশিষ্ট দুটি নির্দিষ্ট বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করেছে। অপর একটি বৃত্ত, বৃহত্তর বৃত্তটিকে X বিন্দুতে অন্তঃস্পর্শ এবং ক্ষুদ্রতর বৃত্তটিকে Y বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে। O যদি ওই বৃত্তের কেন্দ্র হয়, তবে প্রমাণ করি যে, AO + BO ধ্রুবক হবে।

Solution:
স্বীকার: A ও B কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তদ্বয় পরস্পর অন্তঃস্পর্শ করেছে। O কেন্দ্রীয় অপর একটি বৃত্ত বৃহত্তর বৃত্তকে X বিন্দুতে অন্তঃস্পর্শ ও ক্ষুদ্রতর বৃত্তকে Y বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয়: AO + BO = ধ্রুবক।
অঙ্কন: O, X; O, A যুক্ত করা হল।
প্রমাণ: A ও B কেন্দ্রীয় বৃত্ত দুটি পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করেছে।
∴ স্পর্শবিন্দুটি A ও B কেন্দ্র দুটির সংযোজক রেখাংশের উপর অবস্থিত।
আবার, O ও A কেন্দ্রীয় বৃত্ত দুটি পরস্পরকে Y বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে।
∴ Y বিন্দুটি OB রেখাংশের উপর অবস্থিত হবে।
এবং B ও O কেন্দ্রীয় বৃত্ত দুটি পরস্পরকে X বিন্দুতে অন্তঃস্পর্শ করেছে।
∴ X বিন্দুটি OX রেখাংশের উপর অবস্থিত হবে।
∴ AO + BO = (AB + BO) + (AO – AB)
= AB + BO + AO – AB
= BO + AO
= BX – OX + AY + OY
= BX – OX + AY + OX – – – [OX = OY,একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
= BX + AY
= B কেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ + A কেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ
= ধ্রুবক
∴ AO + BO = ধ্রুবক (প্রমাণিত)

8. A ও B কেন্দ্রীয় দুটি বৃত্ত অঙ্কন করেছি যারা পরস্পরকে O বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে। O বিন্দু দিয়ে একটি সরলরেখা অঙ্কন করেছি যা বৃত্ত দুটিকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, AP ∥ BQ.

Solution:
স্বীকার: A ও B কেন্দ্রীয় বৃত্ত দুটি পরস্পর O বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে। O বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত সরলরেখা বৃত্তদ্বয়কে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয়: AP || BQ
অঙ্কন: A, P; B, Q যুক্ত করা হল।
প্রমাণ: △AOP –এর OA = OP – – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ ∠AOP = ∠APO
আবার, △BOQ –এর OB = BQ – – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ ∠BOQ = ∠BQO
A ও B কেন্দ্রীয় বৃত্ত দুটি O বিন্দুতে ছেদ করেছে এবং AB তাদের কেন্দ্রের সংযোজক রেখাংশ। ∴ ∴ A, O, B বিন্দু তিনটি সমরেখ।
PQ ও AB রেখাংশদ্বয় পরস্পর O বিন্দুতে ছেদ করেছে।
∴ ∠AOP = বিপ্রতীপ ∠BOQ
∴ ∠APO = ∠BQO
কিন্তু এরা একান্তর কোণ।
∴ AP || BQ (প্রমাণিত)

Koshe Dekhi 15.2 Class X বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য

9. তিনটি সমান বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করেছে। প্রমাণ করি যে, ওই বৃত্ত তিনটির কেন্দ্রগুলি একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।

Solution:
স্বীকার: A, B, C কেন্দ্রীয় বৃত্ত তিনটি পরস্পরকে P, Q, R বিন্দুতে ছেদ করেছে। AB, BC, CA যুক্ত করা হল।
প্রামাণ্য বিষয়: △ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ।
প্রমাণ: A ও B কেন্দ্রীয় বৃত্ত দুটি পরস্পরকে R বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে এবং AB হল কেন্দ্র দুটির সংযোজক রেখাংশ।
∴ R বিন্দুটি AB রেখাংশের উপর অবস্থিত।
অনুরূপে P ও Q বিন্দুটি যথাক্রমে BC এবং AC রেখাংশের উপর অবস্থিত।
বৃত্ত তিনটি সমান ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট।
∴ AR = RB = BP = PC = CQ = QA
∴ AR + RB = BP + PC = CQ + QA
⇒ AB = BC = CA
∴ △ABC –এর AB, BC, CA বাহু তিনটি পরস্পর সমান।
∴ △ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ। (প্রমাণিত)

10. একটি বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু A থেকে অঙ্কিত AB ও AC দুটি স্পর্শক বৃত্তকে B ও C বিন্দুতে স্পর্শ করে। উপচাপ BC-এর উপর অবস্থিত X বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক AB ও AC-কে যথাক্রমে D ও E বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, △ADE-এর পরিসীমা = 2AB.

Solution:
স্বীকার: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে AB ও AC স্পর্শক দুটি বৃত্তকে যথাক্রমে B ও C বিন্দুতে ছেদ করেছে। উপচাপ BC-এর উপর, X বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক AB ও AC -কে যথাক্রমে D ও E বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয়: △ADE –এর পরিসীমা = 2AB
প্রমাণ: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে AB ও AC স্পর্শক দুটি বৃত্তকে যথাক্রমে B ও C বিন্দুতে ছেদ করেছে।
∴ AB = AC
আবার O কেন্দ্রীয় বৃত্তের B ও X বিন্দুতে যথাক্রমে BD ও DX দুটি স্পর্শক।
∴ BD = DX
এবং O কেন্দ্রীয় বৃত্তের X ও C বিন্দুতে যথাক্রমে XE ও CE দুটি স্পর্শক।
∴ XE = CE
△ADE-এর পরিসীমা
= AD + DE + EA
= AD + DX + XE + EA
= AD + DB + EC + EA
= AB + AC
= AB + AB
= 2AB

Utube_comptech_home — দশম শ্রেণীর **ভৌত** বিজ্ঞান এবং **জীবন** বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন

11. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)

(i) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ A বিন্দু থেকে অঙ্কিত স্পর্শক বৃত্তকে B বিন্দুতে স্পর্শ করে। OB = 5 সেমি, AO = 13 সেমি হলে, AB-এর দৈর্ঘ্য
(a) 12 সেমি (b) 13 সেমি (c) 6.5 সেমি (d) 6 সেমি

Ans: (a) 12 সেমি
[OB = 5 সেমি, AO = 13 সেমি
∴ AB = √(13² – 5²)
= √(169 – 25)
= √144 = 12 সেমি]

(ii) দুটি বৃত্ত পরস্পরকে C বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করে। AB বৃত্ত দুটির একটি সাধারণ স্পর্শক বৃত্ত দুটিকে A ও B বিন্দুতে স্পর্শ করে। ∠ACB-এর মান পরিমাপ
(a) 60° (b) 45° (c) 30° (d) 90°

Ans: (d) 90°
C বিন্দু দিয়ে একটি সরলরেখা অঙ্কন করা হল যা, AB স্পর্শককে D বিন্দুতে ছেদ করে।
বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে অঙ্কিত স্পর্শক দুটির দৈর্ঘ্য সমান হয়।
∴ DA = DC
∴ ∠DAC = ∠DCA
অনুরূপে DC = DB
∴ ∠DCB = ∠DB
△ACB ত্রিভুজ থেকে পাই,
∠ACB + ∠BAC + ∠ABC = 180°
বা, ∠DCA + ∠DCB + ∠DAC+ ∠DBC=180°
বা, 2(∠DCA + ∠DCB) =180°
বা, ∠DCA + ∠DCB = 90°
বা, ∠ACB =90°]

(iii) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি। O বিন্দু থেকে 13 সেমি দুরত্বে P একটি বিন্দু। P বিন্দু থেকে বৃত্তের দুটি স্পর্শকের দৈর্ঘ্য PQ এবং PR; PQOR চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল
(a) 60 বর্গ সেমি (b) 30 বর্গ সেমি (c) 120 বর্গ সেমি (d) 150 বর্গ সেমি
Ans: (a) 60 বর্গ সেমি

[OQ = OR = 5 সেমি, OP = 13 সেমি
∴PQ = PR = √(13² – 5²)
= √(169 – 25)
= √144 = 12 সেমি
△POQ –এর ক্ষেত্রফল
= ¹/₂ × 12 × 5
= 30 বর্গ সেমি
∴ PQOR চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল = 2 × 30 = 60 বর্গ সেমি]

(iv) দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি ও 3 সেমি। বৃত্ত দুটি পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করে। বৃত্তদুটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব
(a) 2 সেমি (b) 2.5 সেমি (c) 1.5 সেমি (d) 8 সেমি
Ans: (d) 8 সেমি
[বৃত্ত দুটি পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করে।
∴ বৃত্তদুটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব
= (5 + 3) সেমি
= 8 সেমি]

(v) দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 3.5 সেমি ও 2 সেমি। বৃত্ত দুটি পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করে। বৃত্ত দুটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব
(a) 5.5সেমি (b) 1 সেমি (c) 1.5 সেমি (d) কোনোটিই নয়
Ans: (c) 1.5 সেমি
[বৃত্ত দুটি পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করে।
∴ বৃত্ত দুটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব
= (3.5 – 2) সেমি
= 1.5 সেমি]

Koshe Dekhi 15.2 Class X বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য

(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি:

(i) একটি বৃত্তের অন্তঃস্থ একটি বিন্দু P; বৃত্তে অঙ্কিত কোনো স্পর্শক P বিন্দুগামী নয়।
Ans: সত্য।

(ii) একটি বৃত্তে একটি নির্দিষ্ট সরলরেখার সমান্তরাল দুইয়ের অধিক স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।
Ans: মিথ্যা।

(C) শূন্যস্থান পূরণ করি:

(i) একটি সরলরেখা বৃত্তকে দুটি বিন্দুতে ছেদ করলে সরলরেখাটিকে বৃত্তের __________ বলে।
Ans: ছেদক।

(ii) দুটি বৃত্ত পরস্পরকে ছেদ বা স্পর্শ না করলে বৃত্তদুটির সর্বাধিক সংখ্যায় __________ টি সাধারণ স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।
Ans: 4

(iii) দুটি বৃত্ত পরস্পরকে A বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করে। A বিন্দুতে অঙ্কিত বৃত্ত দুটির সাধারণ স্পর্শক হলো __________ সাধারণ স্পর্শক (সরল / তির্যক)।

Ans: তির্যক।

Koshe Dekhi 15.2 Class X বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য

12. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

(i) পাশের চিত্রে বৃত্তের কেন্দ্র O এবং BOA বৃত্তের ব্যাস। বৃত্তের P বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক বর্ধিত BA-কে T বিন্দুতে ছেদ করে। ∠PBO = 30° হলে, ∠PTA-এর মান নির্ণয় করি। Solution:

এখানে ∠PBO = 30°
△BOP –এর OB = OP – – – [ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
∴ ∠BPO = ∠PBO = 30°
PT স্পর্শক এবং OP স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ
∴ ∠OPT = 90°
∴ ∠BPT = ∠BPO + ∠OPT
= 30°+ 90°
= 120°
△BPT -এর ক্ষেত্রে,
∠PTB + ∠TBP + ∠BPT =180°
বা, ∠PTA + 30° + 120° = 180°
বা, ∠PTA + 150° =180°
বা, ∠PTA = 30°
Ans: ∠PTA-এর মান 30°

Koshe Dekhi 15.2 Class X বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য

(ii) পাশের চিত্রে ABC ত্রিভুজটি একটি বৃত্তে পরিলিখিত এবং বৃত্তকে P, Q, R বিন্দুতে স্পর্শ করে। যদি AP = 4 সেমি, BP = 6 সেমি, AC = 12 সেমি এবং BC = x সেমি হয়। তাহলে x-এর মান নির্ণয় করি।
Solution:

এখানে, AP = 4 সেমি,
BP = 6 সেমি,
AC = 12 সেমি।
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে P ও R বিন্দুতে AP ও AR দুটি স্পর্শক।
∴ AR = AP = 4 সেমি
∴ CR = AC – AR
= 12 – 4 – – – [∵ AC = 12]
= 8 সেমি
আবার O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু B থেকে বৃত্তের P ও Q বিন্দুতে BP ও BQ দুটি স্পর্শক।
∴ BQ = BP = 6 সেমি
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু C থেকে Q ও R বিন্দুতে CQ ও CR দুটি স্পর্শক।
∴ CQ = CR = 8 সেমি
∴ BC = BQ + CQ
= (6 + 8)
= 14 সেমি।
Ans: x -এর মান 14।

(iii) পাশের চিত্রে A, B, C কেন্দ্রবিশিষ্ট তিনটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করে। যদি AB = 5 সেমি, BC = 7 সেমি এবং CA = 6 সেমি হয়, তাহলে A কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
Solution:

এখানে, AB = 5 সেমি,
BC = 7 সেমি,
CA = 6 সেমি
∴ AP = AB – BP
= 5 – BR
= 5 – (BC – CR) – – – [∵ BR = BC – CR]
= 5 – (7 – CQ)
= 5 – 7 + CQ
= -2 + (AC – AQ) – – – [∵ CQ = AC – AQ]
= -2 + (6 – AQ)
= -2 + 6 – AQ
= 4 – AP – – – [∵ AQ = AP]
∴ AP + AP = 4
বা, 2AP = 4
বা, AP = 2
Ans: A কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 2 সেমি

(iv) পাশের চিত্রে O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে বহিঃস্থ বিন্দু C থেকে অঙ্কিত দুটি স্পর্শক বৃত্তকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে স্পর্শ করে। বৃত্তের অপর একটি বিন্দু R-তে অঙ্কিত স্পর্শক CP ও CQ-কে যথাক্রমে A ও B বিন্দুতে ছেদ করে। যদি CP = 11 সেমি এবং BC = 7 সেমি হয়, তাহলে BR-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
Solution:

এখানে CP = 11 সেমি এবং BC = 7 সেমি
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু C থেকে P ও Q বিন্দুতে যথাক্রমে CP ও CQ দুটি স্পর্শক।
∴ CQ = CP = 11 সেমি
আবার, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু B থেকে R ও Q বিন্দুতে BR ও BQ দুটি স্পর্শক
∴ BQ = BR
বা, BQ = CQ – BC
= 11 – 7
= 4
∴ BR = 4
Ans: BR -এর দৈর্ঘ্য 4 সেমি

(v) দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 8 সেমি ও 3 সেমি এবং তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব 13 সেমি। বৃত্ত দুটির একটি সরল সাধারন স্পর্শকের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।

Solution:
এখানে, দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ r₁ = 8 সেমি এবং r₂ = 3 সেমি,
কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব d = 13 সেমি
বৃত্ত দুটির সরল সাধারন স্পর্শকের দৈর্ঘ্য

$$\large{=\sqrt{d^2-(r_1^2-r_2^2)} \quad cm\\=\sqrt{13^2-(8-3)^2} \quad cm\\=\sqrt{169-(5)^2} \quad cm\\=\sqrt{169-25}\quad cm\\=\sqrt{144}\quad cm\\=12\quad cm}$$Ans: সরল সাধারন স্পর্শকের দৈর্ঘ্য 12 সেমি।

PREVIOUS

NEXT

November 24, 2023

Author: TEAM PROSTUTI

Straight Line Ex 4A Class XII সরলরেখা S N Dey Solution

বহু বিকল্পধর্মী প্রতিটি প্রশ্নের মান 1

Straight Line Ex 4A Class XII সরলরেখা S N Dey Solution

অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রতিটি প্রশ্নের মান 2

Straight Line Ex 4A Class XII সরলরেখা S N Dey Solution

সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রতিটি প্রশ্নের মান 4

Straight Line Ex 4A Class XII সরলরেখা S N Dey Solution

Koshe Dekhi 15.2 Class X বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য

Koshe Dekhi 15.2 Class X বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য

Koshe Dekhi 15.2 Class X বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য

Koshe Dekhi 15.2 Class X বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য

11. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)

(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি:

(C) শূন্যস্থান পূরণ করি:

12. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

Koshe Dekhi 15.2 Class X বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য