Author: TEAM PROSTUTI

Koshe Dekhi 14 PARTNERSHIP BUSINESS অংশীদারি কারবার
Koshe Dekhi 14 PARTNERSHIP BUSINESS অংশীদারি কারবার
Koshe Dekhi 14 PARTNERSHIP BUSINESS অংশীদারি কারবার
1. আমি ও আমার বন্ধু মালা দুজনে যথাক্রমে 15000 টাকা ও 25000 টাকা মূলধন নিয়ে একটি ব্যাবসা শুরু করলাম। এক বছরে 16,800 টাকা লাভ হলো। হিসাব করে দেখি আমরা কে, কত টাকা লভ্যাংশ পাব?
Solution:
আমি ও আমার বন্ধু মালার মুলধনের অনুপাত
= 15000 : 25000
= 15 : 25
= 3 : 5
এক বছরে 16,800 টাকা লাভ হলে,
আমার লভ্যাংশ
= 16800×³/₃₊₅ টাকা
= 16800×³/₈ টাকা
=2100×3 টাকা
=6300 টাকা
মালার লভ্যাংশ
= 16800×⁵/₈ টাকা
= 2100×5 টাকা
= 10500 টাকা
Ans: আমি পাব 6300 টাকা এবং মালা পাবে 10500 টাকা।
2. প্রিয়ম, সুপ্রিয়া ও বুলু যথাক্রমে 15000 টাকা, 10000 টাকা এবং 25000 টাকা দিয়ে একটি ছোটো মুদির দোকান খুলল। কিন্তু বৎসরান্তে 3000 টাকা লোকসান হলো। কাকে কত টাকা লোকসানের পরিমাণ দিতে হবে হিসাব করে লিখি।
Solution:
প্রিয়ম, সুপ্রিয়া ও বুলুর মুলধনের অনুপাত
= 15000 : 10000 : 25000
= 3 : 2 :5
বৎসরান্তে 3000 টাকা লোকসান হলে,
প্রিয়মকে দিতে হবে
= 3000×³/₃₊₂₊₅ টাকা
= 300×³/₁₀ টাকা
= 300×3 টাকা
= 900 টাকা
সুপ্রিয়াকে দিতে হবে
= 3000×²/₁₀ টাকা
= 300×2 টাকা
= 600 টাকা
বুলুকে দিতে হবে
= 3000×⁵/₁₀ টাকা
= 300×5 টাকা
= 1500 টাকা
Ans: প্রিয়মকে দিতে হবে 600 টাকা, সুপ্রিয়াকে দিতে হবে 900 টাকা এবং বুলুকে দিতে হবে 1500 টাকা।
3. শোভা ও মাসুদ দুজনে মিলে 2,50,000 টাকার একটি গাড়ি কিনে 2,62,500 টাকায় বিক্রি করলেন। গাড়িটি কেনার সময়ে শোভা মাসুদের 1¹/₂ গুন টাকা দিয়ে থাকলে, কে কত টাকা লভ্যাংশ পাবেন তা হিসাব করে লিখি।
Solution:
250000 টাকার একটি গাড়ি কিনে 262500 টাকায় বিক্রি করলে লাভ হয় (262500 – 250000) বা 12500 টাকা।
ধরি, মাসুদ দেয় x টাকা
∴ শোভা দেয় = x×1¹/₂
=x×³/₂ = ^3x/₂ টাকা
শোভা ও মাসুদের মুলধনের অনুপাত
= ^3x/₂ : x
= 3 : 2
12500 টাকার মধ্যে,
শোভা পাবে = 12500×³/₃₊₂
= 12500×³/₅
= 2500×3
= 7500 টাকা
মাসুদ পাবে = 12500×²/₅
= 2500×2
= 5000 টাকা
Ans: শোভা লভ্যাংশ পাবে 7500 টাকা ও মাসুদ লভ্যাংশ পাবে 5000 টাকা
4. তিনবন্ধু যথাক্রমে 5000 টাকা, 6000 টাকা ও 7000 টাকা দিয়ে একটি অংশীদারি ব্যাবসা শুরু করার এক বছর পর দেখলেন 1800 টাকা লোকসান হয়েছে। মূলধন ঠিক রাখার জন্য প্রত্যেকে লোকসানের পরিমাণ দিয়ে দেবেন বলে সিদ্ধান্ত করেন। তাদের কাকে কত টাকা দিতে হবে হিসাব করে লিখি।
Solution:
তিনবন্ধুর মুলধনের অনুপাত
= 5000 :6000 : 7000
= 5 : 6 : 7
1800 টাকা লোকসান হয়েছে।
∴ মূলধন ঠিক রাখার জন্য,
প্রথম বন্ধুকে দিতে হবে
= 1800×⁵/₅₊₆₊₇ টাকা
= 1800×⁵/₁₈ টাকা
= 100×5 টাকা
= 500 টাকা
দ্বিতীয় বন্ধুকে দিতে হবে
= 1800×⁶/₁₈ টাকা
= 100×6 টাকা
= 600 টাকা
তৃতীয় বন্ধুকে দিতে হবে
= 1800×⁷/₁₈ টাকা
= 100×7 টাকা
= 700 টাকা
Ans: তিন বন্ধুকে যথাক্রমে 500 টাকা, 600 টাকা এবং 700 টাকা দিতে হবে।
Koshe Dekhi 14 PARTNERSHIP BUSINESS অংশীদারি কারবার
5. দীপু, রাবেয়া ও মেঘা যথাক্রমে 6500 টাকা, 5200 টাকা ও 9100 টাকা মূলধন নিয়ে একটি ছোটো ব্যাবসা শুরু করল ও ঠিক একবছর পরে 14,400 টাকা লাভ হলো। ওই লাভের ²/₃ অংশ তার সমানভাবে এবং বাকি অংশ মূলধনের অনুপাতে ভাগ করে নিলে কে কত টাকা লভ্যাংশ পাবে নির্ণয় করি।
Solution:
দীপু, রাবেয়া ও মেঘার মুলধনের অনুপাত
= 6500 : 5200 : 9100
= 65 : 52 : 91
= 5 : 4 : 7
একবছর পরে 14,400 টাকা লাভ হলো।
14,400 টাকার ²/₃ অংশ
= 14400×²/₃
= 4800×2
= 9600 টাকা
9600 টাকা সমান ভাবে ভাগ করলে প্রত্যেকে পাবে = ⁹⁶⁰⁰/₃ = 3200 টাকা।
সমান ভাবে ভাগ করার পর থাকে (14400- 9600) বা 4800 টাকা।
4800 টাকার মধ্যে,
∴ দীপু পাবে = 4800×⁵/₅₊₄₊₇ টাকা
= 4800×⁵/₁₆ টাকা
= 300×5 টাকা
= 1500 টাকা
রাবেয়া পাবে = 4800×⁴/₁₆ টাকা
= 300×4 টাকা
= 1200 টাকা
মেঘা পাবে =4800×⁷/₁₆
= 300×7 টাকা
= 2100 টাকা
∴ দীপু মোট পাবে = (3200 + 1500) = 4700 টাকা
রাবেয়া মোট পাবে = (3200 + 1200) = 4400 টাকা
মেঘা মোট পাবে = (3200 + 2100) =5300 টাকা
Ans: দীপু, রাবেয়া ও মেঘা পাবে যথাক্রমে 4700 টাকা, 4400 টাকা এবং 5300 টাকা।
দশম শ্রেণির ভৌত বিজ্ঞান হাইড্রোকার্বন / HYDROCARBON CLICK HERE
6. তিনবন্ধু যথাক্রমে 8000 টাকা, 10000 টাকা ও 12000 টাকা সংগ্রহ করে এবং ব্যাংক থেকে কিছু টাকা ধার নিয়ে একটি ব্যাবসা শুরু করেন। বছরের শেষে তারা দেখলেন 13400 টাকা লাভ হয়েছে। সেই লাভ থেকে ব্যাংকের বছরের কিস্তি 5000 টাকা শোধ দেওয়ার পর বাকি টাকা তারা মূলধনের অনুপাতে ভাগ করে নিলেন। লভ্যাংশ থেকে কে কত টাকা পাবেন হিসাব করে লিখি।
Solution:
তিনবন্ধুর মুলধনের অনুপাত
= 8000 : 10000 : 12000
= 4 : 5 : 6
বছরের শেষে 13400 টাকা লাভ হয়।
লাভ থেকে ব্যাংকের বছরের কিস্তি 5000 টাকা শোধ দেওয়ার পর বাকি থাকে (13400 – 5000) বা, 8400 টাকা।
8400 টাকার মধ্যে,
প্রথম বন্ধু পায় = 8400×⁴/₄₊₅₊₆ টাকা
= 8400×⁴/₁₅ টাকা
= 560×4 টাকা
= 2240 টাকা
দ্বিতীয় বন্ধু পায় = 8400×⁵/₁₅ টাকা
= 560×5 টাকা
= 2800 টাকা
তৃতীয় বন্ধু পায় = 8400×⁶/₁₅ টাকা
= 560×6 টাকা
= 3360 টাকা
Ans: লভ্যাংশ থেকে তিনবন্ধু যথাক্রমে 2240 টাকা, 2800 টাকা এবং 3360 টাকা পাবেন।
7. দুই বছরের মধ্যে টাকা ফেরত দিলে কোনো সুদ দিতে হবে না এই শর্তে তিন বন্ধু একটি সমবায় ব্যাংক থেকে যথাক্রমে 6000 টাকা, 8000 টাকা ও 5000 টাকা ধার নিয়ে যৌথভাবে চারটি সাইকেল রিকশা ক্রয় করেন। দুই বছর পর হিসাব করে দেখা যায় সমস্ত খরচ-খরচা বাদ দিয়ে মোট 30400 টাকা আয় হয়েছে। তারা সেই আয় মূলধনের অনুপাতে ভাগ করে নেওয়ার পর প্রত্যেকে নিজ নিজ ঋনের টাকা ব্যাংকে ফিরিয়ে দেন। এখন কার হাতে কত টাকা থাকবে এবং তাদের হাতে থাকা টাকার অনুপাত কী হবে হিসাব করে লিখি।
Solution:
তিনবন্ধুর মুলধনের অনুপাত
= 6000 : 8000 : 5000
= 6 : 8 : 5
মোট 30400 টাকা আয় হয়েছে।
30400 টাকা মূলধনের অনুপাতে ভাগ করলে,
প্রথম বন্ধু পাবে = 30400×⁶/₆₊₈₊₅ টাকা
= 30400×⁶/₁₉ টাকা
= 1600×6 টাকা
= 9600 টাকা
দ্বিতীয় বন্ধু পাবে = 30400×⁸/₁₉ টাকা
= 1600×8 টাকা
= 12800 টাকা
তৃতীয় বন্ধু পাবে = 30400×⁵/₁₉ টাকা
= 1600×5 টাকা
= 8000 টাকা
ঋনের টাকা ব্যাংকে ফিরিয়ে দেওয়ার পর
প্রথম বন্ধুর থাকবে = (9600 – 6000) টাকা
= 3600 টাকা
দ্বিতীয় বন্ধুর থাকবে = (12800 – 8000) টাকা
= 3600 টাকা
তৃতীয় বন্ধুর থাকবে = (8000 – 5000) টাকা
= 3000 টাকা
তাদের হাতে থাকা টাকার অনুপাত
= 3600 : 4800 : 3000
= 6 : 8 : 5
Ans: এখন তিনবন্ধুর হাতে থাকবে যথাক্রমে 3600 টাকা, 4800 টাকা এবং 3000 টাকা
তিনবন্ধুর হাতে থাকা টাকার অনুপাত 6 : 8 : 5
Koshe Dekhi 14 PARTNERSHIP BUSINESS অংশীদারি কারবার
দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে এখানে ক্লিক করো।
8. তিনবন্ধু যথাক্রমে 1,20,000 টাকা, 1,50,000 টাকা ও 1,10,000 টাকা মূলধন নিয়ে একটি বাস ক্রয় করেন। প্রথম জন ড্রাইভার ও বাকি দুজন কন্ডাক্টরের কাজ করেন। তারা ঠিক করেন যে মোট আয়ের ²/₅ অংশ কাজের জন্য 3 : 2 : 2 অনুপাতে ভাগ করবেন এবং বাকি টাকা মূলধনের অনুপাতে ভাগ করে নেবেন। কোনো একমাসে যদি 29260 টাকা আয় হয়, তবে কে, কত টাকা পাবেন নির্ণয় করি।
Solution:
তিনবন্ধুর মুলধনের অনুপাত
= 120000 : 150000 : 110000
= 12 : 15 : 11
একমাসে মোট আয় 29260 টাকা।
মোট আয়ের ²/₅ অংশ কাজের জন্য 3 : 2 : 2 অনুপাতে ভাগ করেন।
মোট আয়ের ²/₅ অংশ = 29260×²/₅ টাকা
= 5852×2 = 11704 টাকা
11704 টাকার মধ্যে’
ড্রাইভার পাবে = 11704×³/₃₊₂₊₂ টাকা
= 11704×³/₇ টাকা
= 1672×3 টাকা
= 5016 টাকা
দুজন কন্ডাক্টরের প্রত্যেকে পাবে
= 11704×²/₇ টাকা
= 1672×2 টাকা
= 3344 টাকা
বাকি টাকা মূলধনের অনুপাতে ভাগ করে নেন।
বাকি টাকা = (29260 – 11704) টাকা
= 17556 টাকা
17556 টাকার মধ্যে’
ড্রাইভার পাবে = 17556×¹²/_12+15+11 টাকা
= 17556×¹²/₃₈ টাকা
= 462×12 টাকা
= 5544 টাকা
প্রথম কন্ডাক্টর পাবে
= 17556×¹⁵/₃₈ টাকা
= 462×15 টাকা
= 6930 টাকা
দ্বিতীয় কন্ডাক্টর পাবে
= 17556×¹¹/₃₈ টাকা
= 462×11 টাকা
= 5082 টাকা
∴ ড্রাইভার মোট পাবে = (5016 + 5544) টাকা
= 10560 টাকা
১ম কন্ডাক্টর মোট পাবে = (3344 + 6930) টাকা
= 10274 টাকা
২য় কন্ডাক্টর মোট পাবে = (3344 + 5082) টাকা
= 8426 টাকা
Ans: ড্রাইভার পাবে 10560 টাকা, প্রথম কন্ডাক্টর পাবে 10274 টাকা এবং দ্বিতীয় কন্ডাক্টর পাবে 8426 টাকা।
Koshe Dekhi 14 PARTNERSHIP BUSINESS অংশীদারি কারবার
9. বছরের প্রথমে প্রদীপবাবু ও আমিনাবিবি যথাক্রমে 24000 টাকা ও 30000 টাকা নিয়ে ব্যাবসা শুরু করেন। পাঁচ মাস পর প্রদীপবাবু আরও 4000 টাকা মূলধন দেন। বছরের শেষে 27716 টাকা লাভ হলে, কে, কত টাকা লভ্যাংশ পাবেন হিসাব করে লিখি।
Solution:
প্রদীপবাবু ও আমিনাবিবির মূলধনের অনুপাত
= [(24000×5 + (24000 + 4000)×7] : (30000×12)
= [(24×5 + (24 + 4)×7] : (30×12)
= (120 + 28×7) : (30×12)
= (120 + 196) : (30×12)
= 316 : 360 = 79 : 90
বছরের শেষে 27716 টাকা লাভ হলে,
প্রদীপবাবুর লভ্যাংশ
= 27716×⁷⁹/₇₉₊₉₀ টাকা
= 27716×⁷⁹/₁₆₉ টাকা
= 164×79 = 12956 টাকা
আমিনাবিবির লভ্যাংশ
= 27716×⁷⁹/₇₉₊₉₀ টাকা
= 27716×⁹⁰/₁₆₉ টাকা
= 164×90 = 14760 টাকা
Ans: প্রদীপবাবু পাবে 12956 টাকা এবং আমিনাবিবি পাবে 14760 টাকা।
10. নিয়ামতচাচা ও করবীদিদি যথাক্রমে 30,000 টাকা ও 50,000 টাকা মূলধন দিয়ে যৌথভাবে একটি ব্যাবসা আরম্ভ করলেন। 6 মাস পরে নিয়ামতচাচা আরও 40,000 টাকা লগ্নি করলেন, কিন্তু করবীদিদি ব্যক্তিগত প্রয়োজনে 10,000 টাকা তুলে নিলেন। বছরের শেষে যদি 19,000 টাকা লাভ হয়ে থাকে, তাহলে কে, কত টাকা লাভ পাবেন হিসাব করে লিখি।
Solution:
নিয়ামতচাচা ও করবীদিদির মূলধনের অনুপাত
= [(30000×6 + (30000 + 40000)×6] : [(50000×6 + (50000 – 10000)×6]
= [(3×6 + (3 + 4)×6] : [(5×6 + (5 – 1)×6]
= (18 + 42) : (30 + 24)
= 60 : 54 = 10 : 9
বছরের শেষে 19,000 টাকা লাভ হলে,
নিয়ামতচাচার লভ্যাংশ
= 19000×¹⁰/₁₀₊₉ টাকা
= 19000×¹⁰/₁₉ টাকা
= 1000×10 = 10000 টাকা
করবীদিদির লভ্যাংশ
= 19000×⁹/₁₉ টাকা
= 1000×9 = 9000 টাকা
Ans: লভ্যাংশ থেকে নিয়ামতচাচা পাবে 10000 টাকা এবং করবীদিদি পাবে 9000 টাকা।
Koshe Dekhi 14 PARTNERSHIP BUSINESS অংশীদারি কারবার
11. বছরের শুরুতে শ্রীকান্ত ও সৈফুদ্দিন 2,40,000 টাকা ও 3,00,000 টাকা দিয়ে একটি মিনিবাস ক্রয় করে চালাতে থাকেন। চার মাস পর তাদের বন্ধু পিটার 81,000 টাকা নিয়ে তাদের সঙ্গে যোগ দিলে শ্রীকান্ত ও সৈফুদ্দিন তাদের মূলধনের অনুপাতে সেই টাকা তুলে নেন। বছরের শেষে 39150 টাকা লাভ হলে, লভ্যাংশ থেকে কে, কত টাকা পাবেন হিসাব করে লিখি।
Solution:
বছরের শুরুতে শ্রীকান্ত ও সৈফুদ্দিনের মূলধনের অনুপাত
= 240000 : 300000
= 4 : 5
4 মাস পর পিটার 81000 টাকা নিয়ে তাদের সঙ্গে যোগ দেয়।
81,000 টাকা থেকে শ্রীকান্ত ও সৈফুদ্দিন মূলধনের অনুপাতে টাকা তুলে নেয়।
∴ শ্রীকান্ত তুলে নেয়
= 81000×⁴/₄₊₅ টাকা
= 81000×⁴/₉ টাকা
= 9000×4 = 36000 টাকা
সৈফুদ্দিন তুলে নেয়
= 81000×⁵/₉ টাকা
= 9000×5 = 45000 টাকা
∴ বছরের শেষে শ্রীকান্ত, সৈফুদ্দিন ও পিটারের মূলধন হয়
= [(240000×4 + (240000 – 36000)×8] : [(300000×4 + (300000 – 45000)×8] : 81000×8
= [(240×4 + (240 – 36)×8] : [(300×4 + (300 – 45)×8] : 81×8
= (960 + 204×8) : (1200 + 255×8) : 81×8
= (960 + 1632) : (1200 + 2040) : 81×8
= 2592 : 3240 : 81×8
= 324 : 405 : 81
= 4 : 5 : 1
বছরের শেষে 39150 টাকা লাভ হলে,
শ্রীকান্তর লভ্যাংশ
= 39150×⁴/₄₊₅₊₁ টাকা
= 39150×⁴/₁₀ টাকা
= 3915×4 = 15660 টাকা
সৈফুদ্দিনের লভ্যাংশ
= 39150×⁵/₁₀ টাকা
= 3915×5 = 19575 টাকা
, পিটারের লভ্যাংশ
= 39150×¹/₁₀ টাকা
= 3915×1 = 3915 টাকা
Ans: লভ্যাংশ থেকে শ্রীকান্ত পাবে 15660 টাকা, সৈফুদ্দিন পাবে 19575 টাকা ও পিটার পাবে 3915 টাকা
12. বছরের প্রথমে অরুন ও অজয় যথাক্রমে 24,000 টাকা ও 30,000 টাকা দিয়ে যৌথভাবে ব্যাবসা শুরু করেন। কিন্তু কয়েক মাস অরুন আরও 12,000 টাকা ওই ব্যবসায়ে মূলধন দেন। বছরের শেষে ওই ব্যবসায়ে 14,030 টাকা লাভ হলো এবং 7,130 টাকা লভ্যাংশ পেলেন। অরুন কত মাস পরে ব্যবসায়ে টাকা দিয়েছিলেন নির্ণয় করি।
Solution:
ধরি মাস পর অরুন আরও 12,000 টাকা মূলধন দেন।
বছরের শেষে
অরুনের মূলধন হয়
= [24000x + (12 – x)(24000 + 12000)] টাকা
= [24000x + (12 – x)36000] টাকা
= (24000x + 432000 – 36000x) টাকা
= (432000 – 12000x) টাকা
অজয়ের মূলধন হয়
= 30000×12 টাকা
= 360000 টাকা
অরুন ও অজয়ের মূলধনের অনুপাত
= (432000 – 12000x) : 360000
= (432 – 12x) : 360
= (36 – x) : 30
বছরের শেষে 14,030 টাকা লভ্যাংশের মধ্যে,
অরুনের লভ্যাংশ = 14,030×^36-x/_36-x+30 টাকা
= 14,030×^36-x/_66-x টাকা
প্রশ্নানুযায়ী,
14,030×^36-x/_66-x = 7130
বা, 14,030×(36 – x) = 7130×(66 – x)
বা, 14,03×(36 – x) = 713×(66 – x)
বা, 50508 – 1403x = 47058 – 713x
বা, -1403x + 713x = 47058 – 50508
বা, -690x = -3450
বা, 690x = 3450
বা, x = 5
Ans: অরুন 5 মাস পরে ব্যবসায়ে টাকা দিয়েছিলেন।
13. কুমারটুলির তিনজন মৃৎশিল্পী একটি সমবায় ব্যাংক থেকে যৌথভাবে 100000 টাকা ধার করে মৃৎশিল্পের একটি কারখানা স্থাপন করেন। তার এই চুক্তি করেন যে প্রতি বছর ব্যাংকের কিস্তি 28100 টাকা দেওয়ার পর বাকি লাভের অর্ধেক কাজের অনুপাতে এবং বাকি অর্ধেক সমান ভাগে ভাগ করে নেবেন। গত বছর তারা যথাক্রমে 300 দিন, 275 দিন ও 350 দিন কাজ করেছেন এবং মোট লাভ হয়েছে 139100 টাকা। কে, কত টাকা পেয়েছিলেন হিসাব করে লিখি।
Solution:
তিনজন মৃৎশিল্পীর কাজের দিনের অনুপাত
= 300 : 275 : 350
= 12 : 11 : 14
মোট লাভ হয়েছে 139100 টাকা।
ব্যাংকের কিস্তি 28100 টাকা দেওয়ার পর বাকি থাকে (139100 – 28100) = 111000 টাকা।
বাকি লাভের অর্ধেক = 111000 ÷ 2 টাকা
= 55500 টাকা
55500 টাকার মধ্যে কাজের অনুপাতে-
প্রথম মৃৎশিল্পী পাবে
= 55500×¹²/_12+11+14 টাকা
= 55500×¹²/₃₇ টাকা
= 1500×12 = 18000 টাকা
দ্বিতীয় মৃৎশিল্পী পাবে
= 55500×¹¹/₃₇ টাকা
= 1500×11 = 16500 টাকা
তৃতীয় মৃৎশিল্পী পাবে
= 55500×¹⁴/₃₇ টাকা
= 1500×14 = 21000 টাকা
বাকি 55500 টাকা সমান ভাগে ভাগ করে নিলে প্রত্যেকে পাবে ⁵⁵⁵⁰⁰/₃ =18500 টাকা
Ans:
প্রথম মৃৎশিল্পী মোট পাবে = 18000 + 18500 = 36500 টাকা
দ্বিতীয় মৃৎশিল্পী মোট পাবে = 16500 + 18500 = 35000 টাকা
তৃতীয় মৃৎশিল্পী মোট পাবে = 21000 + 18500 = 39500 টাকা
Koshe Dekhi 14 PARTNERSHIP BUSINESS অংশীদারি কারবার
14. দুই বন্ধু যথাক্রমে 40000 টাকা ও 50000 টাকা দিয়ে একটি যৌথ ব্যবসা শুরু করেন। তাদের মধ্যে একটি চুক্তি হয় যে, লাভের 50% নিজেদের মধ্যে সমান ভাগে এবং অবশিষ্টাংশ মূলধনের অনুপাতে ভাগ হবে। প্রথম বন্ধুর লভ্যাংশের পরিমাণ যদি দ্বিতীয় বন্ধুর অপেক্ষা 800 টাকা কম হয়, তবে প্রথম বন্ধুর ল্ভ্যাংশের পরিমাণ হিসাব করে লিখি।
Solution:
দুই বন্ধুর মূলধনের অনুপাত
= 40000 : 50000
= 4 : 5
ধরি মোট লাভ x টাকা।
লাভের 50% = x×⁵⁰/₁₀₀ = ^x/₂ টাকা
^x/₂ টাকা থেকে দুই বন্ধুর প্রত্যেকে পাবে
= ^x/₂ ÷ 2 = ^x/₄ টাকা
অবশিষ্ট ^x/₂ টাকা থেকে.
প্রথম বন্ধু পাবে = ^x/₂ ×⁴/₄₊₅ টাকা
= ^x/₂ × ⁴/₉ টাকা
= ^4x/₁₈ টাকা
দ্বিতীয় বন্ধু পাবে = ^x/₂ × ⁵/₉ টাকা
= ^5x/₁₈ টাকা
প্রশ্নানুযায়ী,
(^5x/₁₈ + ^x/₄) – (^4x/₁₈ + ^x/₄) = 800
বা, ^5x/₁₈ + ^x/₄ – ^4x/₁₈ – ^x/₄ = 800
বা, ^5x/₁₈ – ^4x/₁₈ = 800
বা, ^5x-4x/₁₈ = 800
বা, ^x/₁₈ = 800
বা, x = 800×18 = 14400
∴ প্রথম বন্ধু পাবে = ^x/₄ + ^4x/₁₈ টাকা
= ^9x+8x/₃₆ টাকা
= ^17x/₃₆ টাকা
= ¹⁷/₃₆ × 14400 টাকা
= 17 × 400 = 6800 টাকা
Ans: প্রথম বন্ধুর ল্ভ্যাংশের পরিমাণ 6800 টাকা
15. পূজা, উত্তম ও মেহের যথাক্রমে 5000 টাকা, 7000 টাকা ও 10000 টাকা মূলধন নিয়ে অংশীদারি কারবার এই শর্তে শুরু করে যে (i) কারবার চালানোর মাসিক খরচ 125 টাকা, (ii) হিসাবপত্র রাখার জন্য পূজা ও উত্তম প্রত্যেকে 200 টাকা পাবে। বছরের শেষে 6960 টাকা লাভ হলে, তা থেকে কে, কত টাকা পাবে হিসাব করে লিখি।
Solution:
পূজা, উত্তম ও মেহেরের মূলধনের অনুপাত
= 5000 : 7000 : 10000
= 5 : 7 : 10
বছরের শেষে 6960 টাকা লাভের মধ্যে
কারবার চালানোর জন্য মাসিক খরচ হয় 125 টাকা।
1 বছরে খরচ হয় 125×12 বা 1500 টাকা।
পূজা ও উত্তম প্রত্যেকে 200 টাকা করে 1 বছরে মোট পায় 200×12 = 2400 টাকা।
6960 টাকার মধ্যে পরে থাকে
= (6960 – 1500 – 2400×2) টাকা
= (5460 – 4800) টাকা
= 660 টাকা
660 টাকার মধ্যে,
পূজা পাবে = 660×⁵/₅₊₇₊₁₀ টাকা
= 660×⁵/₂₂ টাকা
= 30×5 = 150 টাকা
উত্তম পাবে = 660×⁷/₂₂ টাকা
= 30×7 = 210 টাকা
মেহের পাবে = 660×¹⁰/₂₂ টাকা
= 30×10 = 300 টাকা
Ans:
পূজা মোট পাবে = (2400 + 150) টাকা
= 2550 টাকা
উত্তম মোট পাবে = (2400 + 210) টাকা
= 2610 টাকা
মেহের মোট পাবে = 300 টাকা
Koshe Dekhi 14 PARTNERSHIP BUSINESS অংশীদারি কারবার
16. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)
(i) কোন যৌথ ব্যবসায়ে তিন বন্ধুর মূলধন যথাক্রমে 200 টাকা, 150 টাকা ও 250 টাকা। একই সময় পরে তাদের লভ্যাংশের অনুপাত হবে
(a) 5 : 3 : 4 (b) 4 : 3 : 5 (c) 3 : 5 : 4 (d) 5 : 4 : 3
Ans: (b) 4 : 3 : 5
[তিন বন্ধুর মূলধনের অনুপাত
= 200 : 150 : 250
= 4 : 3 : 5]
(ii) শুভেন্দু ও নৌসাদ যথাক্রমে 1500 এবং 1000 টাকা দিয়ে একটি ব্যবসা শুরু করে। এক বছর পরে ব্যবসায় 75 টাকা ক্ষতি হলে, শুভেন্দুর ক্ষতি হয়
(a) 45 টাকা (b) 30 টাকা (c) 25 টাকা (d) 40 টাকা
Ans: (a) 45 টাকা
[শুভেন্দু ও নৌসাদের মূলধনের অনুপাত
= 1500 : 1000
= 3 : 2
∴ 75 টাকা ক্ষতি হলে,
শুভেন্দুর ক্ষতি হয় =75×³/₂₊₃ টাকা
= 75×³/₅ টাকা
= 45 টাকা]
(iii) ফতিমা, শ্রেয়া এবং স্মিতা তিনজনে মোট 6000 টাকা দিয়ে একটি ব্যবসা শুরু করে। এক বছর পরে ফতিমা, শ্রেয়া এবং স্মিতা যথাক্রমে লভ্যাংশের 50 টাকা, 100 টাকা এবং 150 টাকা পায়। স্মিতা ওই ব্যবসায় নিয়োজিত করে
(a) 1000 টাকা (b) 2000 টাকা (c) 3000 টাকা (d) 4000 টাকা
Ans: (c) 3000 টাকা
[ ফতিমা, শ্রেয়া এবং স্মিতার লভ্যাংশের অনুপাত
= 50 : 100 : 150
= 1 : 2 : 3
6000 টাকার মধ্যে,
স্মিতার মূলধন = 6000×³/₁₊₂₊₃ টাকা
= 6000×³/₆ টাকা
= 3000 টাকা]
(iv) অমল এবং বিমল একটি ব্যবসা শুরু করে। অমল 500 টাকা 9 মাসের জন্য এবং বিমল কিছু টাকা 6 মাসের জন্য ব্যবসায় নিয়োজিত করে। ব্যবসায় মোট লাভ হয় 69 টাকা এবং বিমল লাভের 46 টাকা পায়। ব্যবসায় বিমলের মূলধন
(a) 1500 টাকা (b) 3000 টাকা (c) 4500 টাকা (d) 6000 টাকা
Ans: (a) 1500 টাকা
[ধরি, বিমল ব্যবসায় নিয়োজিত করে x টাকা।
মোট লাভ হয় 69 টাকা এবং বিমল পায় 46 টাকা।
অমল পায় (69 – 46) বা 23 টাকা।
∵ মূলধনের অনুপাত = লাভের অনুপাত
∴ 500×9 : x×6 = 23 : 46
বা, 250×3 : x = 1 : 2
বা, x= 250×3×2
∴ x = 1500]
(v) পল্লবী 500 টাকা 9 মাসের জন্য রাজিয়া 600 টাকা 5 মাসের জন্য একটি ব্যবসায় নিয়োজিত করে। লভ্যাংশ তাদের মধ্যে বন্টিত হবে যে অনুপাতে তা হলো
(a) 3:2 (b) 5:6 (c) 6:5 (d) 9:5
Ans: (a) 3:2
[পল্লবী ও রাজিয়ার মূলধনের অনুপাত
= 500×9 : 600×5
= 5×9 : 6×5 = 3 : 2]
Koshe Dekhi 14 PARTNERSHIP BUSINESS অংশীদারি কারবার
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখিঃ
(i) অংশীদারি ব্যবসায় কমপক্ষে লোকের দরকার 3 জন।
Ans: বিবৃতিটি সত্য।

[(ii) একটি ব্যবসায় রাজু ও আসিফের মূলধনের অনুপাত 5:4 এবং রাজু মোট লাভের 80 টাকা পেলে আসিফ পায় 100 টাকা।
Ans: বিবৃতিটি মিথ্যা।
[রাজু ও আসিফের মূলধনের অনুপাত 5:4
আবার রাজু ও আসিফের লাভের অনুপাত
= 80 : 100
= 4 : 5 ≠ রাজু ও আসিফের মূলধনের অনুপাত]
(C) শূন্যস্থান পূরণ করিঃ
(i) অংশীদারি কারবার __________ ধরনের।
Ans: দুই

(ii) অন্য কোনো শর্ত ছাড়া অংশীদারি ব্যবসায় অংশীদারগন সমান সময়ের জন্য মূলধন নিয়োজিত করলে তাকে ____________ অংশীদারি কারবার বলে।
Ans: সরল

(iii) অন্য কোনো শর্ত ছাড়া অংশীদারি ব্যবসায় অংশীদারগন ভিন্ন ভিন্ন সময়ের জন্য মূলধন নিয়োজিত করলে তাকে ____________ অংশীদারি কারবার বলে।
Ans: মিশ্র
Koshe Dekhi 14 PARTNERSHIP BUSINESS অংশীদারি কারবার
17. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) একটি অংশীদারি ব্যবসায় সমীর, ইদ্রীশ ও অ্যান্টনির মূলধনের অনুপাত ¹/₆ : ¹/₅: ¹/₄; বছরের শেষে ব্যবসায় মোট লাভ 3700 টাকা হলে, অ্যান্টনির লাভ কত হবে হিসাব করি।
Solution:
সমীর, ইদ্রীশ ও অ্যান্টনির মূলধনের অনুপাত
= ¹/₆ : ¹/₅: ¹/₄
= ¹/₆×60 : ¹/₅×60 : ¹/₄×60
= 20 : 12 :15
ব্যবসায় মোট লাভ হয় 3700 টাকা।
∴ অ্যান্টনির লাভ
= 3700 ×¹⁵/_20+12+15 টাকা
= 3700 ×¹⁵/₃₇ টাকা
= 1500 টাকা
Ans: অ্যান্টনির 1500 টাকা লাভ হবে।
(ii) একটি অংশীদারি ব্যবসায় পৃথা ও রাবেয়ার মূলধনের অনুপাত 2:3 এবং রাবেয়া ও জেসমিনের মূলধনের অনুপাত 4:5 হলে, পৃথা, রাবেয়া ও জেসমিনের মূলধনের অনুপাত কত তা হিসাব করি।
Solution:
পৃথা ও রাবেয়ার মূলধনের অনুপাত
= 2 : 3 = (2×4) : (3×4) = 8 : 12
রাবেয়া ও জেসমিনের মূলধনের অনুপাত
= 4 : 5 = (4×3) : (5×3) =12 : 15
∴ পৃথা, রাবেয়া ও জেসমিনের মূলধনের অনুপাত= 8 : 12 : 15 (Ans)
(iii) দুজনের একটি অংশীদারি ব্যবসায় মোট লাভ হয় 1500 টাকা। রাজীবের মূলধন 6000 টাকা এবং লাভ 900 টাকা হলে, আফতাবের মূলধন কত তা হিসাব করি।
Solution:
ধরি, আফতাবের মূলধন x টাকা।
মোট লাভ হয় 1500 টাকা।
রাজীবের লাভ 900 টাকা।
∴ আফতাবের লাভ = 1500 – 900 = 600 টাকা।
∵ মূলধনের অনুপাত = লাভের অনুপাত
∴ ⁶⁰⁰⁰/_x = ⁹⁰⁰/₆₀₀
বা, ⁶⁰⁰⁰/_x = ³/₂
বা, 3x = 6000×2
বা, x = 4000
Ans: আফতাবের মূলধন 4000 টাকা।
(iv) একটি অংশীদারি ব্যবসায় তিনজনের মূলধনের অনুপাত 3 : 8 : 5 এবং প্রথম ব্যক্তির লাভ তৃতীয় ব্যক্তির লাভের থেকে 60 টাকা কম হলে, ব্যবসায় মোট কত লাভ হয়েছিল হিসাব করি।
Solution:
ধরি, ব্যবসায় মোট x টাকা লাভ হয়েছিল।
∵ তিনজনের মূলধনের অনুপাত 3:8:5
∴ প্রথম ব্যক্তির লাভ-
= x×³/₃₊₈₊₅ টাকা
= x×³/₁₆ টাকা
= ^3x/₁₆ টাকা
তৃতীয় ব্যক্তির লাভ-
= x×⁵/₁₆ টাকা
= ^5x/₁₆ টাকা
প্রশ্নানুযায়ী,
^5x/₁₆ – ^3x/₁₆ = 60
বা, ^2x/₁₆ = 60
বা, ^x/₈ = 60
বা, x = 480
Ans: মোট 480 টাকা লাভ হয়েছিল।
(v) জয়ন্ত, অজিত এবং কুণাল মোট 15000 টাকা দিয়ে একটি অংশীদারি ব্যবসা শুরু করে। বছরের শেষে জয়ন্ত, অজিত এবং কুণালের যথাক্রমে লাভ হয় 800 টাকা, 1000 টাকা এবং 1200 টাকা। জয়ন্ত কত টাকা ব্যবসায় নিয়োজিত করে হিসাব করি।
Solution:
জয়ন্ত, অজিত এবং কুণালের লাভের অনুপাত
= 800 : 1000 : 1200
= 8 : 10 : 12
= 4 : 5 : 6
∵ লাভের অনুপাত = মুলধনের অনুপাত
∴15000 টাকা লাভের মধ্যে,
জয়ন্ত দেয় = 15000×⁴/₄₊₅₊₆
= 15000×⁴/₁₅
= 1000×4
=4000 টাকা
Ans: জয়ন্ত 4000 টাকা ব্যবসায় নিয়োজিত করে।
Koshe Dekhi 14 PARTNERSHIP BUSINESS অংশীদারি কারবার
Madhyamik Question
MP-2024
▶️ অংশীদারি কারবারে তিনজন সদস্যের মূলধনের অনুপাতে a : b : c এবং নিয়োজিত সময়ের অনুপাত x : y : z হলে তাদের লাভের অনুপাত হবে ax : by : cz (সত্য / মিথ্যা)
Ans: সত্য
[তিনজনের মূলধনের অনুপাতে = a : b : c এবং
নিয়োজিত সময়ের অনুপাত = x : y : z
∴ তাদের লাভের অনুপাত
= a×x : b×y : c×z
= ax : by : cz]
▶️ একটি অংশীদারি কারবারে ইলা, রহিমা ও বেলার মুলধণের অনুপাত 3 : 8 : 5। ইলার লাভ বেলার লাভের চেয়ে 600 টাকা কম হলে, ব্যবসায় মোট কত টাকা লাভ হয়েছিল?
VIEW ANSER
MP-2023
▶️ (i) A, B, C তিন বন্ধু যথাক্রমে x, 2x, y টাকা মূলধন নিয়ে ব্যবসা শুরু করল, মেয়াদান্তে z টাকা লাভ হলে, A-এর লভ্যাংশ হবে
(a) ^xz/_3x+y টা:
(b) ^2xz/_3x+y টা:
(c) ^z/_2x+y টা:
(d) ^xyz/_3x+y টা:
Ans: (a) ^xz/_3x+y টা:
[ মূলধনের অনুপাত = x : 2x : y
মেয়াদান্তে z টাকা লাভ হলে,
A-এর লভ্যাংশ হবে = z . ^x/_(x+2x+y)
= ^xz/_3x+y]
▶️ একটি যৌথ ব্যবসায়ে তিন বন্ধুর মূলধনের অনুপাত 6 : 4 : 3, 4 মাস পরে প্রথম বন্ধু তাঁর মূলধনের অর্ধেক তুলে নেন এবং তার ৪ মাস পরে মোট লাভ হয় 61,050 টাকা। তাহলে কে কত টাকা লভ্যাংশ পাবে ?
VIEW ANSER
MP-2022
▶️ ফতিমা, শ্রেয়া এবং স্মিতা তিনজনে মোট 6,000 টাকা দিয়ে একটি ব্যবসা শুরু করে। এক বছর পরে ফতিমা, শ্রেয়া এবং স্মিতা যথাক্রমে লভ্যাংশের 50 টাকা, 100 টাকা এবং 150 টাকা পায়। স্মিতা ঐ ব্যবসায় নিয়োজিত করে:
(a) 1,000 টাকা (b) 2,000 টাকা (c) 3,000 টাকা (d) 4,000 টাকা
VIEW ANSER
▶️ অংশীদারি ব্যবসায় কমপক্ষে 3 জন লোকের দরকার। (সত্য / মিথ্যা)mp224iii
Ans: মিথ্যা
▶️ কোনো ব্যবসাতে A, B, C এর মূলধনের অনুপাত ¹/_x : ¹/_y : ¹/_z ; বছরের শেষে ব্যবসাতে z টাকা ক্ষতি হয়েছে। C-এর ক্ষতির পরিমাণ নির্ণয় করো।
VIEW ANSER
▶️ তিনবন্ধু যথাক্রমে 8,000 টাকা, 10,000 টাকা ও 12,000 টাকা সংগ্রহ করে এবং ব্যাঙ্ক থেকে কিছু টাকা ঋণ নিয়ে একটি ব্যবসা শুরু করেন। বছরের শেষে তারা দেখলেন 13,400 টাকা লাভ হয়েছে। সেই লাভ থেকে ব্যাঙ্কের বছরের কিস্তি 5,000 টাকা শোধ দেওয়ার পর বাকি টাকা তারা মূলধনের অনুপাতে ভাগ করে নিলেন। লভ্যাংশ থেকে কে কতো টাকা পাবেন?
VIEW ANSER
MP-2020
▶️ আনিসুর 600 টাকা 9 মাসের জন্য এবং ডেভিড 500 টাকা 5 মাসের জন্য একটি যৌথ ব্যবসায় নিয়োজিত করে। তাদের লভ্য্যাংশের অনুপাত হবে ________। (শূন্যস্থান পুরণ)
Ans: 3 : 2
[আনিসুর ও ডেভিডের মূলধনের অনুপাত
= 500×9 : 600×5
= 4500 : 3000
= 45 : 30
= 3 : 2
∵ লভ্যাংশের অনুপাত = মূলধনের অনুপাত
∴ লভ্যাংশের অনুপাত = 18 : 25]
▶️ A এবং B কোনো ব্যবসায় 1,050 টাকা লাভ করে। A-এর মূলধন 900 টাকা এবং লভ্যাংশ 630 টাকা হলে B-এর মূলধন কত?
VIEW ANSER
▶️ তিন বন্ধু যথাক্রমে 1,20,000 টাকা, 1,50,000 টাকা ও 1,10,000 টাকা মূলধন নিয়ে একটি বাস ক্রয় করে। প্রথম জন ড্রাইভার ও বাকি দুজন কন্ডাক্টরের কাজ করে। তারা ঠিক করে যে, সেই আয়ের ²/₅ অংশ কাজের জন্য 3 : 2 : 2 অনুপাতে ভাগ করবে এবং বাকি টাকা মূলধনের অনুপাতে ভাগ করে নেবে। কোনো এক মাসে যদি 29,260 টাকা আয় হয়, তবে কে কত টাকা পাবে নির্ণয় করো।
VIEW ANSER
MP-2019
▶️ কোনো অংশীদারী ব্যবসায়ে দুই বন্ধুর প্রাপ্ত লভ্যাংশের অনুপাত ¹/₂ : ¹/₃ হলে, তাদের মূলধনের অনুপাত-
(a) 2 : 3 (c) 1 : 1 (b) 3 : 2 (d) 5 : 3
Ans: (b) 3 : 2
[প্রাপ্ত লভ্যাংশের অনুপাত
= ¹/₂ : ¹/₃
= ¹/₂×6 : ¹/₃×6
= 3 : 2]
▶️ 19 (ii) এক অংশীদারী ব্যবসায় তিনজনের মূলধনের অনুপাত 3 : 5 : 8। প্রথম ব্যক্তির লাভ তৃতীয় ব্যক্তির লাভের থেকে 60 টাকা কম হলে ব্যবসায় মোট কত লাভ হয়েছিল?
VIEW ANSER
▶️ দুই বন্ধু যথাক্রমে 40000 টাকা ও 50000 টাকা দিয়ে একটি অংশীদারী ব্যবসা শুরু করে। তাদের মধ্যে একটি চুক্তি হয় যে, লাভের 50% নিজেদের মধ্যে সমান ভাগে এবং লাভের অবশিষ্টাংশ মূলধনের অনুপাতে ভাগ হবে। প্রথম বন্ধুর লভ্যাংশ যদি দ্বিতীয় বন্ধুর লভ্যাংশ অপেক্ষা 800 টাকা কম হয়, তবে প্রথম বন্ধুর লভ্যাংশ কত?
VIEW ANSER
MP-2018
▶️ A এবং B যথাক্রমে 15,000 টাকা ও 45,000 টাকা দিয়ে একটি ব্যবসা শুরু করল। 6 মাস পরে B লভ্যাংশ হিসাবে 3,030 টাকা পেল। A -এর লভ্যাংশ কত?
VIEW ANSER
▶️ A, B ও C যথাক্রমে 6,000 টাকা, 8,000 টাকা ও 9,000 টাকা মূলধন নিয়ে একত্রে ব্যবসা আরম্ভ করল। কয়েক মাস পর A আরও 3,000 টাকা ব্যবসায় লগ্নী করল। বছরের শেষে মোট 30,000 টাকা লাভ হল এবং C তার ভাগে 10,800 টাকা লভ্যাংশ পেল। A কখন আরও 3,000 টাকা লগ্নী করেছিল?
VIEW ANSER
MP-2017
▶️ A 10,000 টাকা দিয়ে ব্যবসা শুরু করার 6 মাস পরে B 20,000 টাকা দিল। বৎসরান্তে তাদের লভ্যাংশের পরিমাণ সমান হবে। (সত্য / মিথ্যা)
Ans: সত্য
[A B এর মূলধনের অনুপাত
= 10,000×12 : 20,000×6
= 120,000 : 120,000
= 1 : 1
লভ্যাংশের অনুপাত = মূলধনের অনুপাত = 1 : 1]
▶️ কোনো এক ব্যবসায় A-এর মূলধন B-এর মূলধনের দেড়গুণ। ওই ব্যবসায় বৎসরান্তে B 1,500 টাকা লভ্যাংশ পেলে, A কত টাকা পাবে?
VIEW ANSER
▶️ A, B, C যৌথভাবে 1,90,000 টাকা দিয়ে একটি ব্যবসা শুরু করল। A, B এর থেকে 20,000 টাকা বেশি এবং B, C এর থেকে 20,000 টাকা বেশি দিল। লাভের পরিমাণ 10,800 টাকা তাদের মধ্যে ভাগ করে দাও।
VIEW ANSER
KOSHE DEKHI 13
KOSHE DEKHI 15.1
November 9, 2023
দ্বাদশ শ্রেণীর সম্ভাবনা Probability S N Day Part -2
দ্বাদশ শ্রেণীর সম্ভাবনা Probability S N Day Part -2
দ্বাদশ শ্রেণীর সম্ভাবনা Probability S N Day Part -2
Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা Part-I CLICK HERE
23. দুজন বালকের প্রত্যেকের নিকট 52টি তাসের একটি করে প্যাকেট আছে। তারা প্রত্যেকেই খুশিমতো একটি করে তাস তুলল। (i) দুটি তাসই রুইতনের রাজা (ii) দুটি রুইতন (iii) দুটি তাসই রাজা হওয়ার সম্ভাবনা কত?
Solution:
(i)
52টি তাসের মধ্যে নির্বাচিত একটি তাস রুইতনের রাজা হওয়ার সম্ভাবনা ¹/₅₂
উভয়েই রুইতনের রাজা তুলবে তার সম্ভাবনা
= ¹/₅₂×¹/₅₂
= ¹/₂₇₀₄ (Ans)
(ii)
52টি তাসের মধ্যে নির্বাচিত একটি তাস রুইতন হওয়ার সম্ভাবনা = ¹³/₅₂ = ¹/₄
উভয়েই রুইতইন তুলবে তার সম্ভাবনা = ¹/₄×¹/₄ = ¹/₁₆ (Ans)
(iii) 52টি তাসের মধ্যে নির্বাচিত একটি তাস রাজা হওয়ার সম্ভাবনা = ⁴/₅₂ = ¹/₁₃
উভয়েই রাজা তুলবে তার সম্ভাবনা
= ¹/₁₃×¹/₁₃
= ¹/₁₆₉ (Ans)
24. (a) 1, 2, 3, 4 সংখ্যাগুলি থেকে উদ্দেশ্যহীনভাবে 2টি সংখ্যা নির্বাচন করা হয়। নির্বাচিত সংখ্যা দুটির সমষ্টি অযুগ্ম হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো যখন (i) সংখ্যা দুটি একত্রে নির্বাচিত হয় (ii) পুনঃস্থাপন প্রক্রিয়ায় একটির পর একটি নির্বাচিত হয়।
Solution:
1, 2, 3, 4 থেকে উদ্দেশ্যহীনভাবে 2টি সংখ্যা নির্বাচন করা হয়।
সংখ্যা দুটি একত্রে নির্বাচন করা যায় ⁴C₂ =6 উপায়ে।
দুটি সংখ্যার সমষ্টি অযুগ্ম হলে, সংখ্যা দুটির একটি যুগ্ম এবং অপরটি অযুগ্ম হতে হবে।
1, 2, 3, 4 সংখ্যা চারটির মধ্যে যুগ্ম সংখ্যা আছে 2টি এবং অযুগ্ম সংখ্যা আছে 2টি।
একত্রে নির্বাচনের ক্ষেত্রে সংখ্যাদ্বয়ের সমষ্টি অযুগ্ম হয় ²C₁×²C₁ = 2×2 = 4 উপায়ে।
(i)
একত্রে দুটি সংখ্যা নির্বাচনের ক্ষেত্রে সংখ্যাদ্বয়ের সমষ্টি অযুগ্ম হওয়ার সম্ভাবনা
P(A) = ⁴/₆ = ²/₃ (Ans)
(ii)
সংখ্যা দুটি পুনঃস্থাপন প্রক্রিয়ায় একটির পর একটি নির্বাচন করা যায় ⁴C₁×⁴C₁ = 4×4 =16 উপায়ে।
পুনঃস্থাপন প্রক্রিয়ায় একটির পর একটি নির্বাচনের ক্ষেত্রে সংখ্যাদ্বয়ের সমষ্টি অযুগ্ম হয় A ={(1,2), (2,1), (1,4), (4,1), (2,3), (3,2) (3,4), (4,3)} অর্থাৎ 8 উপায়ে।
পুনঃস্থাপন প্রক্রিয়ায় একটির পর একটি নির্বাচনের ক্ষেত্রে সংখ্যাদ্বয়ের সমষ্টি অযুগ্ম হওয়ার সম্ভাবনা
P(A) = ⁸/₁₆ = ¹/₂ (Ans)
(b) 1 থেকে 21 পর্যন্ত সংখ্যাগুলির মধ্য থেকে পরপর দুটি সংখ্যা তোলা হয়। প্রথমে তোলা সংখ্যাটি যুগ্ম এবং দ্বিতীয়বারে তোলা সংখ্যাটি অযুগ্ম হওয়ায় সম্ভাবনা নির্ণয় করো যখন দ্বিতীয় সংখ্যাটি তোলার আগে প্রথম সংখ্যাটি (i) পুনঃস্থাপন করা হয় (ii) পুনঃস্থাপন করা হয় না
Solution:
1 থেকে 21-এর মধ্যে 10টি যুগ্ম সংখ্যা এবং 11টি অযুগ্ম সংখ্যা আছে।
ধরা যাক, প্রথম সংখ্যাটি যুগ্ম হওয়ার ঘটনা A এবং দ্বিতীয় সংখ্যাটি অযুগ্ম হওয়ার ঘটনা B
P(A) = ¹⁰/₂₁
(i)
দ্বিতীয় সংখ্যাটি তোলার আগে প্রথম সংখ্যাটি পুনঃস্থাপন করা হলে,
P(B/A) = ¹¹/₂₁
∴ P(A∩B) = P(A)P(B/A)
= ¹⁰/₂₁×¹¹/₂₁
= ¹¹⁰/₄₄₁ (Ans)
(ii)
দ্বিতীয় সংখ্যাটি তোলার আগে প্রথম সংখ্যাটি পুনঃস্থাপন করা না হলে,
P(B/A) =¹¹/₂₀
∴ P(A∩B) = P(A)P(B/A)
= ¹⁰/₂₁×¹¹/₂₀
= ¹¹/₄₂₀ (Ans)
25. 10টি বৈদ্যুতিক উপাংশ সম্বলিত একটি প্যাকেটের মধ্যে 3টি ত্রুটিপূর্ণ বলে জানা আছে। যদি 4 টি উপাংশ উদ্দেশ্যহীনভাবে নিয়ে পরীক্ষা করা হয়, তবে তাদের মধ্যে একটির বেশি ত্রুটিপূর্ণ না পাওয়ার সম্ভাবনা কত?
Solution:
3টি ত্রুটিপূর্ণ এবং (10 – 3) = 7টি ত্রুটিপূর্ণ নয়।
একটিও ত্রুটিপূর্ণ নয় এরূপ 4টি উপাংশ নির্বাচন করা যায় ⁷C₄×³C₀ উপায়ে।
1টি ত্রুটিপূর্ণ এরূপ 4টি উপাংশ নির্বাচন করা যায় ⁷C₃×³C₁ উপায়ে
1টির বেশি উপাংশ ত্রুটিপূর্ণ নয় এরূপ এটি উপাংশ নির্বাচন করা যায়
= ⁷C₄×³C₀ + ⁷C₃×³C₁ উপায়ে।
= 35 + 105 = 140 উপায়ে।
আবার 10টির মধ্যে 4টি উপাংশ নির্বাচন করা যায় ¹⁰C₄ = 210 উপায়ে।
1টির বেশি উপাংশ ত্রুটিপূর্ণ না পাওয়ার সম্ভাবনা
= ¹⁴⁰/₂₁₀ = ²/₃ (Ans)
26. 50 বছর বয়স্ক ব্যক্তির 70 বছর পর্যন্ত বাঁচার প্রতিকূলে সুযোগ 9 : 5 এবং 60 বছর বয়স্ক ব্যক্তির 80 বছর পর্যন্ত বাঁচার প্রতিকূলে সুযোগ 8 : 6। দুজনের মধ্যে কমপক্ষে একজনের আরও 20 বছর বাঁচার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।
Solution:
ধরি, প্রথম ব্যক্তির আরও 20 বছর বাঁচার ঘটনা A এবং দ্বিতীয় ব্যক্তির আরও 20 বছর বাঁচার ঘটনা B।
∴ P(A) = ⁵/₉₊₅ =⁵/₁₄
P(B) = ⁶/₈₊₆ = ⁶/₁₄ = ³/₇
A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন,
∴ P(A∩B) = P(A) P(B)
দুজনের মধ্যে কমপক্ষে একজনের আরও 20 বছর বাঁচার সম্ভাবনা
= P(AUB)
= P(A) + P(B) – P(A∩B)
= P(A) + P(B) – P(A)P(B)
= ⁵/₁₄ + ³/₇ – ⁵/₁₄×³/₇
= ^35+42-15/₉₈
= ⁶²/₉₈= ³¹/₄₉ (Ans)
27. A 4 বারের মধ্যে 3 বার এবং B 6 বারের মধ্যে 5 বার সত্য কথা বলে। একই ঘটনা বিবৃত করতে তাদের পরস্পর বিরোধিতা করার সম্ভাবনা কত?
Solution:
ধরি, A-এর সত্য কথা বলার ঘটনা E₁ এবং B-এর সত্য কথা বলার ঘটনা E₂
P(E₁) = ³/₄
P(E₂) = ⁵/₆
আবার E₁, E₂ ঘটনা দুটি স্বাধীন।
∴ E₁, E₂^c স্বাধীন এবং E₁^c, E₂ স্বাধীন।
পরস্পর বিরোধিতা করার ঘটনা
P[(E₁∩E₂^c) U (E₁^c∩E₂)]
= P(E₁∩E₂^c) + P(E₁^c∩E₂) – P[(E₁∩E₂^c) ∩(E₁^c∩E₂)]
= P(E₁)P(E₂^c) +P(E₁^c)P(E₂) – – – [ E₁∩E₂^c এবং E₁^c∩E₂ বিচ্ছেদ সেট]
= P(E₁)[1-P(E₂)] + [1-P(E₁)]P(E₂)
= ³/₄×[1 – ⁵/₆] + [1 – ³/₄]×⁵/₆
= ³/₄×¹/₆ + ¹/₄×⁵/₆
= ¹/₂₄(3+5)
= ⁸/₂₄ = ¹/₃ (Ans)
28. A ও B এই দুজন পরীক্ষার্থী Joint Entrance- এর মাধ্যমে ভর্তি হতে ইচ্ছুক। A-র নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনা 0.5 এবং A ও B-এর একই সঙ্গে নির্বাচিত হওয়ার সর্বাধিক সম্ভাবনার মান 0.3 হলে, B-এর নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনার মান 0.9 হতে পারে কি?
Solution:
ধরি, A ও B-এর নির্বাচিত হওয়ার ঘটনা যথাক্রমে E₁ ও E₂
P(E₁) =0.5
E₁ ও E₂ স্বাধীন ঘটনা,
∴ P(E₁∩E₂)= P(E₁) P(E₂)
এখন, P(E₁∩E₂) ≤ 0.3
⇒ P(E₁) P(E₂) ≤ 0.3
⇒ 0.5×P(E₂) ≤ 0.3
⇒ P(E₂) ≤ 0.6
B-এর নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনা 0.9 হতে পারে না। (Ans)
29. দুজন খেলোয়াড় A ও B এর মধ্যে দাবা খেলায় 20টি গেমের মধ্যে 12টি গেম A, 4টি গেম B জিতল ও 4টি গেম অমীমাংসিতভাবে শেষ হল। তিনটি গেমের টুর্নামেন্টে (i) B-এর সব গেম জেতার (ii) B-এর কমপক্ষে একটি গেম জেতার এবং (iii) 2টি গেম অমীমাংসিতভাবে শেষ হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।
Solution: ধরি, A-এর জেতার ঘটনা E₁, B-এর জেতার ঘটনা E₂ এবং অমীমাংসিতভাবে শেষ হওয়ার ঘটনা E₃
P(E₁) = ¹²/₂₀ = ³/₅
P(E₂) = ⁴/₂₀ = ¹/₅
P(E₃) = ⁴/₂₀ = ¹/₅
(i)
B-এর সব গেম জেতার সম্ভাবনা
=¹/₅x¹/₅x¹/₅= ¹/₂₅ (Ans)
(ii)
1টি গেমে B-এর না জেতার সম্ভাবনা
P(E₂^c) = 1 – P(E₂) = 1 – ¹/₅ = ⁴/₅
3টি গেমের কোনোটিতে B জিতবে না তার সম্ভাবনা
= ⁴/₅x⁴/₅x⁴/₅ = ⁶⁴/₁₂₅
3টি গেমের কমপক্ষে একটি গেম B-এর জেতার সম্ভাবনা
= 1 – ⁶⁴/₁₂₅ = ⁶¹/₁₂₅ (Ans)
(iii) একটি গেম অমীমাংসিত না হওয়ার সম্ভাবনা
= P(E₃^c) = 1 – P(E₃) = 1 – ¹/₅ = ⁴/₅
2টি গেম যত রকমভাবে অমীমাংসিতভাবে শেষ হতে পারে তা হল –
(i) প্রথম গেম অমীমাংসিত, দ্বিতীয় গেম অমীমাংসিত এবং তৃতীয় গেম অমীমাংসিত নয়
= ¹/₅×¹/₅×⁴/₅ = ⁴/₁₂₅
(ii) প্রথম গেম অমীমাংসিত, দ্বিতীয় গেম অমীমাংসিত নয় এবং তৃতীয় গেম অমীমাংসিত
= ¹/₅×⁴/₅×¹/₅ = ⁴/₁₂₅
(iii) প্রথম গেম অমীমাংসিত নয়, দ্বিতীয় গেম অমীমাংসিত এবং তৃতীয় গেম অমীমাংসিত
= ⁴/₅×¹/₅×¹/₅ = ⁴/₁₂₅
∴ 2টি গেম অমীমাংসিতভাবে শেষ হওয়ার সম্ভাবনা
= ⁴/₁₂₅ + ⁴/₁₂₅ +⁴/₁₂₅
= ¹²/₁₂₅ (Ans)
30. ছাত্রদের সঙ্গে শ্রেণিতে মিলিত হয়ে একজন শিক্ষকের হঠাৎ পরীক্ষা নেওয়ার সম্ভাবনা ¹/₅ যদি একজন ছাত্র দুদিন অনুপস্থিত থাকে তবে তার অন্ততপক্ষে একটি পরীক্ষা দেওয়ার সুযোগ নষ্ট হওয়ার সম্ভাবনা কত?
Solution:
ধরি, E হল পরীক্ষা নেওয়ার ঘটনা।
পরীক্ষা না নেওয়ার ঘটনা E^c
E ও E^c ঘটনা দুটি স্বাধীন।
P(E) = ¹/₅ E^c = 1- P(E) = 1 – ¹/₅ = ⁴/₅
ওই ছাত্রের অন্ততপক্ষে একটি পরীক্ষা দেওয়ার সুযোগ নষ্ট হবে যদি EE^c, E^cE অথবা EE ঘটনা তিনটির মধ্যে যে-কোনো একটি ঘটে।
∴ নির্ণেয় সম্ভাবনা
= P(EE^c) + P(E^cE) + P(EE)
= P(E)P(E^c) + P(E^c)P(E) + P(E)P(E)
= ¹/₅×⁴/₅ + ⁴/₅×¹/₅ + ¹/₅×¹/₅
= ¹/₂₅(4+4+1)= ⁹/₂₅ (Ans)
31. মনে করো, প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্য থেকে যথেচ্ছভাবে নেওয়া একটি সংখ্যা 2 ও 3 দিয়ে বিভাজ্য হওয়ার ঘটনা দুটি যথাক্রমে A ও B দিয়ে সূচিত হয়। প্রমাণ করো যে, A ও B স্বাধীন হবে যদি n = 96 হয়।
Solution:
96টি প্রথম স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্যে 2 দিয়ে বিভাজ্য সংখ্যা আছে 48টি,
3 দিয়ে বিভাজ্য সংখ্যা আছে 32টি।
2 এবং 3 দিয়ে বিভাজ্য অর্থাৎ 6 দিয়ে বিভাজ্য 16টি সংখ্যা আছে।
P(A) = ⁴⁸/₉₆= ¹/₂
P(B) = ³²/₉₆= ¹/₃
P(A∩B) = ¹⁶/₉₆= ¹/₆
∴ P(A)P(B) =¹/₂×¹/₃
= ¹/₆ = P(A∩B)
A ও B স্বাধীন হবে যদি n = 96 হয়। (Proved)
32. (i) একটি থলিতে 8টি লাল বল ও 5টি সাদা বল আছে। পুনঃস্থাপন না করে প্রতি বারে 3টি করে পরপর দু-বার বল তোলা হয়। প্রথমবারে 3টি সাদা বল ও দ্বিতীয়বারে 3টি লাল বল তোলার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।(ii) একটি থলিতে 5টি সাদা, 7টি লাল এবং 3টি কালো বল আছে। পুনরায় প্রতিস্থাপন না করে থলি থেকে একটি একটি করে তিনটি বল তোলা হয়। একটিও লাল বল না হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।
Solution:
ধরা যাক প্রথমবারে 3টি সাদা বল তোলার ঘটনা W এবং দ্বিতীয়বারে 3টি লাল বল তোলার ঘটনা R দ্বারা সূচিত হয়।
∴ P(W) = ^⁵C₃/_¹³C₃ = ⁵/₁₄₃
পুনঃস্থাপন না করলে, প্রথমবারে 3টি সাদা বল তোলার পর দ্বিতীয়বারে 3টি লাল বল তোলার সম্ভাবনা = P(R/W)
= ^⁸C₃/_^13-3C₃ = ⁷/₁₅
প্রথমবারে 3টি সাদা বল ও দ্বিতীয়বারে 3টি লাল বল তোলার সম্ভাবনা,
P(W)×P(R/W)
= ⁵/₁₄₃ × ⁷/₁₅
= ⁷/₇₂₉ (Ans)

(ii)
ধরা যাক, প্রথমবারে, দ্বিতীয়বার ও তৃতীয়বারে লাল বল না আসার ঘটনা যথাক্রমে R₁, R₂ ও R₃।
থলিটিতে 7টি লাল বল আছে এবং সাদা ও কালো বল আছে (5+3) বা 8টি।
P(R₁) = ⁸/₈₊₇ = ⁸/₁₅
P(R₂/R₁) = ⁷/₇₊₇ = ⁷/₁₄ = ¹/₂
P(R₃/(R₁∩R₂) = ⁶/₆₊₇ = ⁶/₁₃
তিনবারের কোনো বারেই লাল বল না আসার সম্ভাবনা P(R₁∩R₂∩R₃)
= P(R₁)P(R₂/R₁)×P(R₃/(R₁∩R₂)
= ⁸/₁₅×¹/₂×⁶/₁₃
= ⁸/₆₅ (Ans)
দীর্ঘ উত্তরধর্মী প্রতিটি প্রশ্নের মান 5
1. সম্ভাবনার সমষ্টি বিষয়ক উপপাদ্য বিবৃত ও প্রমাণ করো।
Ans:
পরস্পর বিচ্ছিন্ন n-সংখ্যক ঘটনা A₁, A₂, A₃………… A_n -এর যেকোনো একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনার মান, প্রত্যেকটি ঘটনা বিচ্ছিন্নভাবে ঘটার সম্ভাবনা সমূহের সমষ্টির সমান।
P(A₁UA₂UA₃………… UA_n) = P(A₁) + P(A₂) + P(A₃) +………… + P(A_n)
ধরি একটি যদৃচ্ছ পরীক্ষা E -এর নমুনাদেশ S;
এই নমুনাদেশের মধ্যে সমভাবে সম্ভাব্য N সংখ্যক নমুনা বিন্দু আছে এবং A₁, A₂, A₃………… A_n হল E পরীক্ষার সাথে সংশ্লিষ্ট n সংখ্যক পরস্পর বিচ্ছিন্ন ঘটনা।
আরও মনে করি m₁, m₂, m₃………. m_n সংখ্যক সমভাবে সম্ভাব্য নমুনা বিন্দু যথাক্রমে A₁, A₂, A₃…………, A_n ঘটনার অন্তর্গত।
সম্ভাবনার প্রাচীন সংজ্ঞা থেকে পাই,
P(A₁) = ^m₁/_N, P(A₂) = ^m₂/_N,
P(A₃) = ^m₃/_N……… P(A_n) = ^m_n/_N
∵ A₁, A₂, A₃…………, A_n ঘটনাগুলি পরস্পর বিচ্ছিন্ন।
∴ এই ঘটনাগুলির নমুনা বিন্দু m₁, m₂, m₃………. m_n -এর যেকোনো দুটি বিন্দুর মধ্যে কোনো সাধারণ নমুনা বিন্দু নেই।
∴ A₁, A₂, A₃…………, A_n -এর যে কোনো একটি ঘটনা ঘটবে।
এই ঘটনায় A₁UA₂UA₃………… UA_n নমুনা বিন্দুর সংখ্যা
= m₁ + m₂ + m₃………. + m_n
সম্ভাবনার প্রাচীন সংজ্ঞা থেকে পাই,
P(A₁UA₂UA₃………… UA_n)
= (m1 + m₂ + m₃………. + m_n)/_N
= ^m₁/_N + ^m₂/_N + ^m₃/_N………. + ^m_n/_N
= P(A₁) + P(A₂) + P(A₃) +………… + P(A_n)
2. দুটি পরস্পর পৃথক ঘটনার ক্ষেত্রে সম্ভাবনার সমষ্টি উপপাদ্য বিবৃত ও প্রমাণ করো।
Ans:
E সম্ভাবনা ভিত্তিক পরীক্ষার সঙ্গে সম্পর্কযুক্ত A ও B দুটি পরস্পর পৃথক ঘটনা হলে,
P(AUB)= P(A)P(B)
3. সম্ভাবনা তত্ত্বে যৌগিক ঘটনা বলতে কী বোঝায়? সম্ভাবনার যৌগিক উপপাদ্য বিবৃত ও প্রমাণ করো।
Ans:
কোনো সম্ভাবনাভিত্তিক পরীক্ষার সঙ্গে সম্পর্কিত ঘটনাকে যখন আরও একাধিক সরল ঘটনায় বিশ্লিষ্ট করা যায় তখন সেই ধরনের ঘটনাকে যৌগিক ঘটনা বলে।
যেমন – কোন একটি ছক্কা চাললে ছক্কার উপরিভাগের যে যুগ্ম সংখ্যাগুলি নির্দেশ করবে তাদের একত্র করলে {2, 4, 6} সেটটি পাওয়া যায়। এখানে 2, 4, 6 প্রতিটি ঘটনাই সরল ঘটনা।
4. প্রমাণ করো:
(i) P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) : যে-কোনো দুটি ঘটনা A ও B এর ক্ষেত্রে।
(ii) P(AUBUC) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A∩B) – P(B∩C) – P(C∩A) + P(A∩B∩C);
যে-কোনো তিনটি ঘটনা A, B, C-এর ক্ষেত্রে।
(i)
প্ৰমাণ : চিত্র থেকে স্পষ্টতই বোঝা যায়,
A∩B^c, A∩B, A^c∩B পরস্পর পৃথক ঘটনা এবং
AUB = (A∩B^c) U (A∩B) U (A^c∩B)
∴ P(AUB) = P[(A∩B^c) U (A∩B) U (A^c∩B)]
= P(A∩B^c) + P(A∩B) + P(A^c∩B)
= [P(A) – P(A∩B)] + P(A∩B) + [P(B) – P(A∩B)]
= P(A) – P(A∩B) + P(A∩B) + P(B) – P(A∩B)
= P(A) + P(B) – P(A∩B)
∴ AUB = P(A) + P(B) – P(A∩B) (Proved)
(i)
প্ৰমাণ :
P(AUBUC) = P[AU(BUC)]
= P(A) + P(BUC) – P[A∩(BUC)]
= P(A) + [P(B) + P(C) – P(B∩C)] – P[(A∩B)U(A∩C)]
= P(A) + P(B) + P(C) – P(B∩C) – [P(A∩B) + P(A∩C) – P((A∩B)∩(A∩C))]
= P(A) + P(B) + P(C) – P(B∩C) – P(A∩B) – P(A∩C) + P((A∩B)∩(A∩C))
= P(A) + P(B) + P(C) – P(A∩B) – P(B∩C) – P(C∩A) + P(A∩B∩C)
∴ P(AUBUC) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A∩B) – P(B∩C) – P(C∩A) + P(A∩B∩C) (Proved)
দ্বাদশ শ্রেণীর সম্ভাবনা Probability
5. সম্ভাবনার গুণন উপপাদ্য বিবৃত ও প্রমাণ করো। ঘটনাগুলি স্বাধীন হলে উপপাদ্যের ফলের কীরকম পরিবর্তন হয়?
E সম্ভাবনা ভিত্তিক পরীক্ষার সঙ্গে সম্পর্কযুক্ত দুটি ঘটনা A ও B হলে A ও B ঘটনাদ্বয়ের যুগপৎ ঘটার সম্ভাবনাই হলো সম্ভাবনা তত্ত্বের গুননের উপপাদ্য। অর্থাৎ
P(A∩B)=P(A/B)P(B)
প্রমান: ধরি, E সম্ভাবনাভিত্তিক পরীক্ষার সঙ্গে সংশ্লিষ্ট নমুনাদেশ S এবং দুটি ঘটনা হল A ও B;
আরও ধরি,
n(S)=n, n(A) =m₁,
n(B) =m₂ এবং n(A∩B)= m
∴ P(A) = ^m₁/_n, P(B) = ^m₂/_n
P(A∩B) = ^m/_n,
B ঘটনাটি ঘটেছে এই শর্তসাপেক্ষে A ঘটনাটি ঘটার সম্ভাবনাকে P(A/B) দ্বারা সূচিত করা হয়।
এখন নমুনাদেশের m₂ সংখ্যক নমুনা বিন্দুর মধ্যে m সংখ্যক নমুনা বিন্দু A ঘটনার অনুকূলে হলে,
P(A/B) = ^m/_m₂
= ^m/n/_m₂/n
= ^P(A∩B)/_P(B), P(B) ≠ 0
⇒ P(A∩B) = P(A/B)P(B)
অনুরূপে,
P(B/A) = = ^m/_m₁
= ^m/n/_m₁/n
= ^P(A∩B)/_P(A), P(A) ≠ 0
⇒ P(A∩B)= P(B/A)P(A)

ঘটনাগুলি স্বাধীন হলে:
P(A/B) = P(A) এবং
P(B/A) = P(B)হয়।
∴ স্বাধীন ঘটনার ক্ষেত্রে,
P(A∩B) = P(A)P(B/A)
= P(A)P(B) এবং
P(A∩B) = P(A/B)P(B)
= P(A)P(B)
6. (i) যদি A, B এবং C পরস্পর স্বাধীন ঘটনা হয়, তবে প্রমাণ করো যে, (AUB) ও C ঘটনা দুটি স্বাধীন।
(ii) P(A), P(B) ও P(AB) -এর মাধ্যমে P(Ā + B) এবং P(A + B̄) -এর মান নির্ণয়
করো, এখানে Ā হল A ঘটনার পূরক ঘটনা।
(i)
Solution:
A, B এবং C পরস্পর স্বাধীন ঘটনা ।
∴ P(A∩B) = P(A).P(B)
P(A∩C) = P(A).P(C)
P(B∩C) = P(B).P(C) এবং
P(A∩B∩C) = P(A).P(B).P(C)
P[(AUB)∩C)]
= P[(A∩C)U(B∩C)]
= P(A∩C) + P(B∩C) – P[(A∩C)∩(B∩C)]
= P(A∩C) + P(B∩C) – P(A∩B∩C)
= P(A).P(C) + P(B).(C) – P(A).P(B).P(C)
= [P(A) + P(B) – P(A).P(B)]P(C)
= P(AUB).P(C)
∴ AUB এবং C ঘটনা দুটি স্বাধীন । (Proved)
(ii)
Solution:
∵ B = (Ā∩B) U (A∩B),
যেখানে Ā∩B এবং A∩B সেট দুটি পরস্পর পৃথক
∴ P(B) = P[(Ā∩B) U (A∩B)]
⇒ P(B) = P(Ā∩B) + P(A∩B)
⇒ P(A∩B) = P(B) − P(Ā∩B)
অনুরুপে,
P(A∩B̄) = P(A) − P(A∩B̄)
এখন,
P(ĀUB) = P(Ā) + P(B) − P( Ā∩B )
= 1− P(A) + P(B) − [P(B) − P(A∩B)]
= 1- P(A) + P(B) − P(B) + P(A∩B)
= 1- P(A) + P(A∩B) (Ans)
P(AUB̄) = P(A) + P(B̄) − P(A∩B̄)
= P(A) + 1 – P(B) − [P(A) − P(A∩B)]
= P(A) + 1 – P(B) − P(A) + P(A∩B)
= 1- P(B) + P(A∩B) (Ans)
দশম শ্রেণীর ভৌত বিজ্ঞান এবং জীবন বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন
7. যদি A ও B দুটি ঘটনা এবং P(B) ≠ 1 হয়, তবে প্রমাণ করো যে,
$$\mathbf{P(A/B^c)=\frac{P(A)-P(A∩B)}{1-P(B)}\\}$$
তারপর দেখাও যে, P(A∩B) > P(A) + P(B) – 1
Solution:
P(B) ≠ 1
$${P(A/B^c)=\frac{P(A∩B^c)}{P(B^c)}\\⇒P(A/B^c)=\frac{P(A)-P(A∩B)}{1-P(B)}\\\quad\quad- -[∵P(A)=P(A∩B)+P(A∩B^c)]}$$
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
A ও B সম্পূর্ণ ঘটনা নয়।
∴ P(AUB) < 1
∴ P(A∩B) > P(A) + P(B) – 1 (Proved)
8. যদি P(A) = a, P(B) = b হয়, তবে দেখাও যে,
$$\mathbf{P(A/B)\gtrdot\frac{(a+b-1)}{b}\\}$$
Solution:
P(A) = a, P(B) = b
$$\therefore{P(A/B)=\frac{P(A∩B)}{P(B)}\\⇒P(A/B)=\frac{P(A)+P(B)-P(AUB)}{P(B)}\\∵1\gtrdot P(AUB)\\∴P(A∩B)\gtrdot P(A)+P(B)-1\\∴P(A/B)\gtrdot\frac{P(A)+P(B)-1}{P(B)}\\⇒P(A/B)\gtrdot\frac{a+b-1}{b}\quad\mathbf{(Proved)}}$$
9. যদি A ও B দুটি পরস্পর পৃথক ঘটনা হয় এবং P(AUB) ≠ 0 হয়, তবে দেখাও যে,
$$\mathbf{[P(A/(AUB)]=\frac{P(A)}{P(A)+P(B)}\\}$$
Solution:
A ও B দুটি পরস্পর পৃথক ঘটনা হয় এবং P(AUB) ≠ 0;
∴ P(AUB) = P(A) + P(B)
এবং P(A∩(AUB)) = P(A)- – – [∵ A ⊆ (AUB)]
$$\therefore{ [P(A/(AUB)]=\frac{P(A∩(AUB))}{P(AUB)}\\⇒[P(A/(AUB)]=\frac{P(A)}{P(A)+P(B)}\quad\mathbf{(Proved)}}$$
10. X তিনটি বিষয় – গনিত, পদার্থবিদ্যা এবং রসায়নে পরীক্ষা দেয়। এই বিষয় তিনটিতে তার A গ্রেড পাওয়ার সম্ভাবনা যথাক্রমে 0.2, 0.3 এবং 0.5; তাহলে তার (i) সব বিষয়গুলিতে A গ্রেড পাওয়ার (ii) কোনো বিষয়েই A গ্রেড না পাওয়ার (iii) দুটি বিষয়ে A গ্রেড পাওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।
Solution:
ধরি, M,P এবং C দ্বারা যথাক্রমে ” গণিতে A grade পাওয়া “, “পদার্থবিদ্যায় A grade পাওয়া” এবং “রসায়নে A grade পাওয়া” ঘটনা তিনটি সূচিত করে।
P(M) = 0.2, P(M^c) = 1 – P(M) = 1 – 0.2 = 0.8
P(P) = 0.3, P(P^c) = 1 – P(P) = 1 – 0.3 = 0.7
P(C) = 0.5, P(C^c) = 1 – P(M) = 1 – 0.5 = 0.5
(i)
X-এর সব বিষয়গুলিতে A grade পাওয়ার সম্ভাবনা
= P(M)×P (P)×P(C)
= 0.2 × 0.3 × 0.5
= 0.03 (Ans)
(ii)
X-এর কোনো বিষয়েই A grade না পাওয়ার সম্ভাবনা
= P(M^c)×P (P^c)×P(C^c)
= 0.8 × 0.7 × 0.5
= 0.28 (Ans)
(iii)
X-এর দুটি বিষয়ে A grade পাওয়ার সম্ভাবনা
= {P(M^c)×P(P)×P(C)} + {P(M)×P(P^c)×P(C)} + {P(M)×P(P)×P(C^c)}
= 0.8 × 0.3 × 0.5 + 0.2 × 0.7 × 0.5 + 0.2 × 0.3 × 0.5
= 0.12 + 0.07 + 0.3
= 0.22 (Ans)
দ্বাদশ শ্রেণীর সম্ভাবনা Probability
11. 1,2,3,… 100 চিহ্নিত 100টি টিকিট থেকে উদ্দেশ্যহীনভাবে 4টি টিকিট তোলা হয় 2টি টিকিটের চিহ্নিত অঙ্ক 1 থেকে 40 এবং অপর 2 টির 41 থেকে 100 হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।
Solution:
40 টি টিকিটের মধ্যে 2টি টিকিটকে ⁴⁰C₂ উপায়ে উদ্দেশ্যহীনভাবে তোলা যায় ৷
একইভাবে, 60 টি টিকিটের মধ্যে 2 টি টিকিটকে ⁶⁰C₂ ভাবে উদ্দেশ্যহীনভাবে তোলা যায় ।
∴ নির্ণেয় ঘটনার অন্তর্গত সমভাবে সম্ভাব্য নমুনা বিন্দুর সংখ্যা = ⁴⁰C₂×⁶⁰C₂
আবার, 100 টি টিকিটের মধ্যে 4 টি টিকিটকে ¹⁰⁰C₄ ভাবে উদ্দেশ্যহীনভাবে তোলা যায় ।
∴ নির্ণেয় সম্ভাবনা = ^{⁴⁰C₂×⁶⁰C₂}/_¹⁰⁰C₄ (Ans)
12. মনে করো, A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন এবং P(AUB) = 0.58, P(A∩B) = 0.12, P(A) -এর সম্ভাব্য মানসমূহ নির্ণয় করো।
Solution:
P(AUB) = 0.58, P(A∩B) = 0.12
∵ P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
⇒ 0.58 = P(A) + P(B) – 0.12
⇒ P(A) + P(B) = 0.58 + 0.12
⇒ P(A) + P(B) = 0.70
⇒ P(B) = 0.70 – P(A)
A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন
∴ P(A∩B) = P(A)P(B)
∵ P(A∩B) = 0.12
⇒ P(A)P(B) = 0.12
⇒ P(A)[0.70 – P(A)] = 0.12
⇒ 0.70×P(A) – [P(A)]² = 0.12
⇒ 0.70×P(A) – [P(A)]² – 0.12 = 0
⇒ [P(A)]² – 0.7×P(A) + 0.12 = 0
⇒ [P(A)]² – 0.4×P(A) – 0.3×P(A) + 0.12 = 0
⇒ P(A)(P(A) – 0.4) – 0.3(P(A) – 0.4) = 0
⇒ (P(A) – 0.4)(P(A) – 0.3) = 0
P(A) – 0.4 = 0 বা, P(A) – 0.3 = 0
∴P(A) = 0.4 ∴ P(A) = 0.3
P(A) -এর সম্ভাব্য মানসমূহ হল 0.4 ও 0.3 (Ans)
13. A, B, C ঘটনা তিনটি এমন যে, P(A)=0.3, P(B) = 0.4, P(C)=0.8, P(A∩B)=0.08, P(A∩C) = 0.28 এবং P(A∩B∩C)=0.09। যদি P(AUBUC) ≥ 0.75 হয়, তবে দেখাও যে, 0.23 ≤ P(B∩C) ≤ 0.48।
Solution:
P(A) = 0.3, P(B) = 0.4,
P(C) = 0.8, P(A∩B) = 0.08,
P(A∩C) = 0.28 এবং
P(A∩B∩C) = 0.09
P(AUBUC) ≥ 0.75
∴ P(AUBUC)
= P(A) + P(B) + P(C) – P(A∩B) – P(B∩C) – P(C∩A) + P(A∩B∩C)
= 0.3 + 0.4 + 0.8 – 0.08 – P(B∩C) – 0.28 + 0.09
= 1.59 – 0.36 – P(B∩C)
= 1.23 – P(B∩C)
প্রশ্নানুযায়ী
P(AUBUC) ≥ 0.75
⇒ 1.23 – P(B∩C) ≥ 0.75
⇒ -P(B∩C) ≥ 0.75-1.23
⇒ – P(B∩C) ≥ – 0.48
⇒ P(B∩C) ≤ 0.48 – – – – (i)
আবার
P(AUBUC) ≤ 1
⇒ 1.23 – P(B∩C) ≤ 1
⇒ – P(B∩C) ≤ 1 – 1.23
⇒ – P(B∩C) ≤ – 0.23
⇒ P(B∩C) ≥ 0.23 – – – – (ii)
(i) ও (ii) থেকে পাই,
0.23 ≤ P(B∩C) ≤ 0.48 (Proved)
14. A, B, C এবং D ঘটনা চারটি পরস্পর পৃথক ও সম্পূর্ণ। যদি B, C এবং D ঘটনার প্রতিকূলে সুযোগ যথাক্রমে 7 : 2, 7: 5 এবং 13 : 5 হয়, তবে A ঘটনার অনুকূলে সুযোগ নির্ণয় করো।
Solution: কোনো ঘটনার প্রতিকূলে সুযোগ a : b হলে ঐ ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা = ^b/_a+b হয়।
B ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা P(B) = ²/₇₊₂ = ²/₉
C ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা P(C) = ⁵/₇₊₅ = ⁵/₁₂ এবং
D ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা P(D) = ⁵/₁₃₊₅ = ⁵/₁₈
A, B, C এবং D ঘটনা চারটি পরস্পর পৃথক ও সম্পূর্ণ।
∴ P(A)+ P(B) + P(C) + P(D) =1
বা, P(A) = 1 – P(B) – P(C) – P(D)
বা, P(A) = 1 – ²/₉ – ⁵/₁₂ – ⁵/₁₈
বা, P(A) = ^36-8-15-10/₃₆
বা, P(A) = ³/₃₆ = ¹/₁₂
∴ A ঘটনার অনুকূলে সুযোগ = ¹/_12-1 = ¹/₁₁ (Ans)
দ্বাদশ শ্রেণীর সম্ভাবনা Probability
15. (i) গণিতের একটি প্রদত্ত প্রশ্ন তিনজন ছাত্র A, B এবং C-এর পক্ষে সমাধান করতে পারার সম্ভাবনা যথাক্রমে ¹/₃, ²/₅ এবং ³/₄ ৷ প্ৰদত্ত প্রশ্নটির সমাধান হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।
Solution:
ধরি, প্রথম, দ্বিতীয় এবং তৃতীয় ছাত্রের অঙ্কটি সমাধান করতে পারার ঘটনা তিনটি যথাক্রমে A, B এবং C দ্বারা সূচিত হয়।
P(A) = ¹/₃; ∴ P(A^c) = 1 – P(A) = 1 – ¹/₃ = ²/₃
P(B) = ²/₅; ∴ P(B^c) = 1 – P(B) = 1 – ²/₅ = ³/₅
P(C) = ³/₄; ∴ P(C^c) = 1 – P(C) = 1 – ³/₄ = ¹/₄
প্রশ্নটির সমাধান হওয়ার সম্ভাবনা
= 1 – {P(A^c)×P(B^c)×P(C^c)}
= 1 – ²/₃×³/₅×¹/₄
= 1 – ¹/₁₀ = ⁹/₁₀ (Ans)
(ii) গণিতের একটি অঙ্ক তিনজন ছাত্রকে সমাধান করার জন্য দেওয়া হয়; অঙ্কটি তাদের পক্ষে স্বাধীনভাবে সমাধান করতে পারার সম্ভাবনা যথাক্রমে ¹/₂, ¹/₃ এবং ¹/₄ হলে তাদের মধ্যে কেবল একজন ছাত্রের অঙ্কটি সঠিকভাবে সমাধান করতে পারার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।
Solution:
ধরি, প্রথম, দ্বিতীয় এবং তৃতীয় ছাত্রের অঙ্কটি সঠিকভাবে সমাধান করতে পারার ঘটনা তিনটি যথাক্রমে A, B এবং C দ্বারা সূচিত হয়।
P(A) = ¹/₂; ∴ P(A^c) = 1 – P(A) = 1 – ¹/₂ = ¹/₂
P(B) = ¹/₃; ∴ P(B^c) = 1 – P(B) = 1 – ¹/₃ = ²/₃
P(C) = ¹/₄; ∴ P(C^c) = 1 – P(C) = 1 – ¹/₄ = ³/₄
কেবল একজন ছাত্রের অঙ্কটি সঠিকভাবে সমাধান করতে পারার সম্ভাবনা
= {P(A)×P(B^c)×P(C^c)} + {P(A^c)×P(B)×P(C^c)} + {P(A^c)×P(B^c)×P(C)}
= ¹/₂×²/₃×³/₄ + ¹/₂×¹/₃×³/₄ + ¹/₂×²/₃×¹/₄
= ¹/₄ + ¹/₈ + ¹/₁₂
= ⁶⁺³⁺²/₂₄ = ¹¹/₂₄ (Ans)
(iii) একজন নির্বাচকের কাছে 300টি সহজ সত্য বা মিথ্যা প্রশ্ন ও 200টি জটিল সত্য বা মিথ্যা প্রশ্ন আছে এবং 500 টি সহজ MCQ এবং 400টি জটিল MCQ আছে। যদি একজন প্রশ্ন কর্তাকে সমসম্ভবভাবে প্রশ্ন তৈরী করতে দেওয়া হয়, তবে প্রশ্নটি সহজ MCQ হিসাবে নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনা কত?
Solution:
সত্য বা মিথ্যা সহজ প্রশ্ন সংখ্যা = 300 টি
সহজ MCQ সংখ্যা = 500 টি
সত্য বা মিথ্যা জটিল প্রশ্ন সংখ্যা = 200 টি
জটিল MCQ সংখ্যা = 400 টি
প্রশ্নটি সহজ MCQ হিসাবে নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনা
= ⁵⁰⁰/_{300+500+200+400}
= ⁵⁰⁰/₁₄₀₀= ⁵/₁₄ (Ans)
16. একজন প্রার্থী তিনটি চাকরির ইনটারভিউ-এর জন্য নির্বাচিত হন। প্রথম চাকরির জন্য 3 জন, দ্বিতীয়টির জন্য 4 জন এবং তৃতীয়টির জন্য 2 জন প্রার্থী আছেন। ওই প্রার্থীর পক্ষে অন্তত একটি চাকরি পাওয়ার সম্ভাবনা কত?
Solution:
ধরি, প্রথম, দ্বিতীয় এবং তৃতীয় চাকরি পাওয়ার ঘটনা তিনটি যথাক্রমে A, B এবং C দ্বারা সূচিত হয়।
P(A) = ¹/₃; ∴ P(A^c) = 1 – P(A) = 1 – ¹/₃ = ²/₃
P(B) = ¹/₄; ∴ P(B^c) = 1 – P(B) = 1 – ¹/₄ = ³/₄
P(C) = ¹/₂; ∴ P(B^c) = 1 – P(B) = 1 – ¹/₂ = ¹/₂
ওই প্রার্থীর পক্ষে অন্তত একটি চাকরি পাওয়ার সম্ভাবনা
= 1 – {P(A^c)×P(B^c)×P(C^c)}
= 1 – ²/₃×³/₄×¹/₂
= 1 – ¹/₄ = ³/₄ (Ans)
17. (i) একটি থলিতে 2টি লাল ও 3টি সাদা এবং অপর একটি থলিতে 1টি লাল ও 2টি সাদা বল আছে। যদি উদ্দেশ্যহীনভাবে একটি থলি নির্বাচন করে তা থেকে একটি বল তোলা হয়, তবে বলটি সাদা হওয়ার সম্ভাবনা কত?
Solution:
উদ্দেশ্যহীনভাবে থলি নির্বাচন করলে থলি নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনা ¹/₂
বলটি সাদা হওয়ার সম্ভাবনা
= ¹/₂ (^{²C₀x³C₁}/_⁵C₁ + ^{¹C₀x²C₁}/_³C₁)
= ¹/₂ (^1×3/₅ + ^1×2/₃)
= ¹/₂ (³/₅ + ²/₃)
= ¹/₂ (⁹⁺¹⁰/₁₅)
= ¹/₂ × ¹⁹/₁₅
= ¹⁹/₃₀ (Ans)
(ii) 4টি বাক্সের প্রত্যেকটিতে 1 ডজন করে ডিম আছে। বাক্স 4টিতে যথাক্রমে 2টি, 3টি, 1টি, 0টি খারাপ ডিম আছে। উদ্দেশ্যহীনভাবে একটি বাক্স নির্বাচন করে তা থেকে 1 টি ডিম তোলা হয়। তোলা ডিমটি খারাপ হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।
Solution:
উদ্দেশ্যহীনভাবে একটি বাক্স নির্বাচন করা যায় ⁴C₁ = 4 উপায়ে।
4টি বাক্স থেকে একটি খারাপ ডিম নির্বাচন করা যায় যথাক্রমে ²C₁= 2, ³C₁ = 3, ¹C₁ = 1 উপায়ে।
4টি বাক্সের প্রত্যেকটিতে 1 ডজন করে ডিম আছে।
∴ তোলা ডিমটি খারাপ হওয়ার সম্ভাবনা
= ¹/₄(²/₁₂ + ³/₁₂ + ¹/₁₂)
= ¹/_4×12(2 + 3 + 1)
= ¹/_4×12 x6 = ¹/₈ (Ans)
18. 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 এই দশটি অঙ্ক থেকে প্রতিবারে একটি করে অঙ্ক দুবার তোলা হয়। নির্বাচিত অঙ্ক দুটির গুণফল শূন্য হওয়া সম্ভাবনা নির্ণয় করো, দেওয়া আছে যে, দ্বিতীয় অঙ্কটি তোলার আগে প্রথমে তোলা অঙ্কটি পুনঃস্থাপন করা হয়।
Solution:
নির্বাচিত অঙ্ক দুটির গুণফল শূন্য হলে অবশ্যই দুটি অঙ্কের একটি শূন্য হতে হবে।
প্রথমবারে শূন্য উঠলে সম্ভাবনা
= ¹/₁₀x^¹⁰C₁/₁₀
= ¹/₁₀x¹⁰/₁₀ = ¹/₁₀
প্রথমবারে শূন্য না উঠলে সম্ভাবনা
= ^⁹C₁/₁₀x¹/₁₀
= ⁹/₁₀x¹/₁₀ = ⁹/₁₀₀
মোট সম্ভাবনা = ¹/₁₀ + ⁹/₁₀₀
= ¹⁰⁺⁹/₁₀₀ = ¹⁹/₁₀₀ (Ans)
দ্বাদশ শ্রেণীর সম্ভাবনা Probability
19. 1, 2, 3, 9 অঙ্কগুলি থেকে যথেচ্ছভাবে দুটি অঙ্ক নেওয়া হয়। যদি অঙ্ক দুটির সমষ্টি অযুগ্ম হয়, তবে একটি অঙ্ক 6 হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।
Solution:
অঙ্ক দুটির সমষ্টি অযুগ্ম হলে একটি অঙ্ক অযুগ্ম এবং অপর অঙ্কটি যুগ্ম হতে হবে।
1 থেকে 9 এর মধ্যে টি যুগ্ম এবং টি অযুগ্ম অঙ্ক আছে।
নমুনা দেশের অন্তর্গত সসীম সংখ্যক নমুনা বিন্দুর সংখ্যা
= ( অযুগ্ম অঙ্ক নির্বাচনের সংখ্যা)×(যুগ্ম অঙ্ক নির্বাচনের সংখ্যা)
= ⁵C₁x⁴C₁
= 5×4 = 20
যদি অঙ্ক দুটির সমষ্টি অযুগ্ম হয়, এবং একটি অঙ্ক 6 হওয়ার সম্ভাবনা
= (যত উপায়ে একটি অঙ্ক 6 নির্বাচিত করা যায়)×(যত উপায়ে অপর অঙ্ক অযুগ্ম নির্বাচিত করা যায়)
= ¹C₁x⁵C₁
, = 1×5 = 5
∴ একটি অঙ্ক ‘6’ হওয়ার সম্ভাবনা = ⁵/₂₀ =¹/₄ (Ans)
20. কোনো বছরে তিনটি কারখানা A, B এবং C -তে দুর্ঘটনার সম্ভাবনা যথাক্রমে 25-এর মধ্যে 5, 36-এর মধ্যে 6 এবং 64-এর মধ্যে 8। (i) অন্ততপক্ষে একটি কারখানায়, (ii) সবগুলি কারখানায় দুর্ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।
Solution:
P(A) = ⁵/₂₅ = ¹/₅; ∴ P(A^c) = 1 – P(A) = 1 – ¹/₅ = ⁴/₅
P(B) = ⁶/₃₆ = ¹/₆; ∴ P(B^c) = 1 – P(B) = 1 – ¹/₆ = ⁵/₆
P(C) = ⁸/₆₄ = ¹/₈; ∴ P(C^c) = 1 – P(C) = 1 – ¹/₈ = ⁷/₈
তিনটি কারখানায়ই দুর্ঘটনা না ঘটার সম্ভাবনা
= P(A^c)×P(B^c)×P(C^c)
= ⁴/₅×⁵/₆×⁷/₈ = ⁷/₁₂
(i)
∴ অন্ততপক্ষে একটি কারখানায় দুর্ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা
= 1 – P(A^c)×P(B^c)×P(C^c)
= 1 – ⁷/₁₂ = ⁵/₁₂ (Ans)
(ii)
সবগুলি কারখানায় দুর্ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা
= P(A)×P(B)×P(C)
= ¹/₅×¹/₆×¹/₈ = ¹/₂₄₀ (Ans)
21. একজন পরীক্ষার্থীর পদার্থবিদ্যায় পাস করার সম্ভাবনা 70% এবং রসায়নে পাস করার সম্ভাবনা 40%। দুটি বিষয়ের মধ্যে একটিতে ওই পরীক্ষার্থীর পাস করার সম্ভাবনা কত?
Solution: ধরি, A এবং B দ্বারা যথাক্রমে “পদার্থবিদ্যায় পাশ করা ” এবং “রসায়নে পাশ করা ” ঘটনা দুটি সূচিত হয়।
P(A) = ⁷⁰/₁₀₀ = ⁷/₁₀; ∴ P(A^c) = 1 – P(A) = 1 – ⁷/₁₀ = ³/₁₀
P(B) = ⁴⁰/₁₀₀ = ⁴/₁₀; ∴ P(B^c) = 1 – P(B) = 1 – ⁴/₁₀ = ⁶/₁₀
দুটি বিষয়ের মধ্যে একটিতে ওই পরীক্ষার্থীর পাস করার সম্ভাবনা
= P(A)×P(B^c) + P(A^c)×P(B)
= ⁷/₁₀×⁶/₁₀ + ³/₁₀×⁴/₁₀
= ⁴²/₁₀₀ + ¹²/₁₀₀
= ⁴²⁺¹²/₁₀₀
= ⁵⁴/₁₀₀ = ²⁷/₅₀ (Ans)
22. (i) একটি বাক্সে 7টি সাদা ও 5টি কালো বল আছে। যদি বাক্স থেকে 3টি বল উদ্দেশ্যহীনভাবে একসঙ্গে তোলা হয়, তবে তিনটি বলই এক রঙের না হওয়ার সম্ভাবনা কত? ওই একই ঘটনার সম্ভাবনা নির্ণয় করো যখন পরপর একটি করে বল তোলা হয় এবং যে-কোনো বার বল তোলার আগে আগের তোলা বল পুনঃস্থাপন করা হয়।
Solution:
প্রথম অংশ
বাক্স থেকে 3টি বল উদ্দেশ্যহীনভাবে একসঙ্গে তোলা যায় ¹²C₃ = ^12×11×10/_3×2 = 220 উপায়ে।
আবার 3টি বলই এক রঙের না হলে হয় 2টি বল সাদা ও 1টি বল কালো নয় 2টি বল কালো ও 1টি বল সাদা হবে।
2টি বল সাদা ও 1টি বল কালো ওঠানো যায় ⁷C₂x⁵C₁ = 21×5 =105 উপায়ে।
2টি বল কালো ও 1টি বল সাদা ওঠানো যায় ⁵C₂x⁷C₁ = 10×7 =70 উপায়ে।
∴ 3টি বলই এক রঙের না হওয়ার সম্ভাবনা
= ¹⁰⁵/₂₂₀ + ⁷⁰/₂₂₀
= ¹⁷⁵/₂₂₀ = ³⁵/₄₄
দ্বিতীয় অংশ
যখন পরপর একটি করে বল তোলা হয় এবং যে-কোনো বার বল তোলার আগে আগের বল পুনঃস্থাপন করা হয় তখন বাক্স থেকে 1টি বল তোলা যায় ¹²C₁ = 12 উপায়ে।
একটি করে সাদা বল তোলা যায় = ⁷C₁ = 7 উপায়ে।
একটি করে কালো বল তোলা যায় = ⁵C₁ = 5 উপায়ে।
∴ 3টি বলই এক রঙের (সাদা বা কালো) হওয়ার সম্ভাবনা
= ⁷/₁₂×⁷/₁₂×⁷/₁₂ + ⁵/₁₂×⁵/₁₂×⁵/₁₂
= ³⁴³/₁₇₂₈ + ¹²⁵/₁₇₂₈
= ^343+125/₁₇₂₈ = ⁴⁶⁸/₁₇₂₈
∴ 3টি বলই এক রঙের না হওয়ার সম্ভাবনা
= 1 – ⁴⁶⁸/₁₇₂₈
= ^1728-468/₁₇₂₈
= ¹²⁶⁰/₁₇₂₈ = ³⁵/₄₈ (Ans)
(ii) একটি পাত্রে 4টি লাল ও 7টি কালো বল আছে। পুনঃস্থাপন পদ্ধতিতে পাত্রটি থেকে যথেচ্ছভাবে 2টি বল তোলা হয়। তোলা বল দুটির (a) 2টি বল লাল (b) 2টি বল কালো (c) 1টি লাল ও 1টি কালো হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।
Solution:
পাত্র থেকে লাল বল তোলার সম্ভাবনা P(A) = ⁴/₁₁
পাত্র থেকে কালো বল তোলার সম্ভাবনা P(B) )= ⁷/₁₁
পাত্র থেকে যথেচ্ছভাবে দুটি বল তুললে তোলা বল 2টির মধ্যে-
(a) 2টি বল লাল হওয়ার সম্ভাবনা
= P(A)×P(A)
= ⁴/₁₁×⁴/₁₁ = ¹⁶/₁₂₁ (Ans)
(b) 2টি বল কালো হওয়ার সম্ভাবনা
= P(B)×P(B)
= ⁷/₁₁×⁷/₁₁ = ⁴⁹/₁₂₁ (Ans)
(c) 1টি বল লাল ও 1টি কালো হওয়ার সম্ভাবনা
= P(A)×P(B) + P(B)×P(A)
= ⁴/₁₁×⁷/₁₁ + ⁷/₁₁×⁴/₁₁
= ²⁸/₁₂₁ + ²⁸/₁₂₁
= ⁵⁶/₁₂₁ (Ans)
23. 50, 60 ও 70 বছর বয়স্ক তিনজন ব্যক্তি আছেন। 50 বছর বয়স্ক ব্যক্তির আরও 10 বছর বাঁচার সম্ভাবনা 0.8, 60 বছর বয়স্ক ব্যক্তির 0.5 এবং 70 বছর বয়স্ক ব্যক্তির 0.2। ব্যক্তি তিনজনের মধ্যে কমপক্ষে দুজনের আরও 10 বছর বাঁচার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।
Solution:
ধরি, A, B এবং C তিনটি ঘটনা যথাক্রমে “50 বছর বয়স্ক ব্যক্তির আরও 10 বছর বাঁচার সম্ভাবনা “, “60 বছর বয়স্ক ব্যক্তির আরও 10 বছর বাঁচার সম্ভাবনা ” এবং “70 বছর বয়স্ক ব্যক্তির আরও 10 বছর বাঁচার সম্ভাবনা ” নির্দেশ করে।
P(A) = 0.8; ∴ P(A^c) = 1 – P(A) = 1 – 0.8 = 0.2
P(B) = 0.5; ∴ P(B^c) = 1 – P(B) = 1 – 0.5 = 0.5
P(C) = 0.2; ∴ P(C^c) = 1 – P(C) = 1- 0.2 = 0.8
কমপক্ষে 2 জনের আরও10 বছর বাঁচার সম্ভাবনা
= {P(A)×P(B)×P(C)} + {P(A)×P(B)×P(C^c)} + {P(A)×P(B^c)×P(C)} + {P(A^c)×P(B)×P(C)}
= 0.8×0.5×0.2 + 0.8×0.5×0.8 + 0.8×0.5×0.2 + 0.2×0.5×0.2
= 0.08 + 0.32 + 0.08 + 0.02
= 0.5 (Ans)
24. A, B এবং C-এর পক্ষে কোনো লক্ষ্যবস্তুতে আঘাত করার সম্ভাবনা যথাক্রমে ⅓, ⅕ ও 1/4 । যদি তারা একসঙ্গে চেষ্টা করে, তবে ঠিক একটি গুলি দ্বারা লক্ষ্যবস্তুকে আঘাত করার সম্ভাবনা নির্ণয় করো ।
Solution: ধরি, A, B এবং C তিনটি ঘটনা যথাক্রমে A দ্বারা কোনো লক্ষ্যবস্তুতে আঘাত করার সম্ভাবনা, B দ্বারা কোনো লক্ষ্যবস্তুতে আঘাত করার সম্ভাবনা এবং C দ্বারা কোনো লক্ষ্যবস্তুতে আঘাত করার সম্ভাবনা নির্দেশ করে।
P(A) = ¹/₃; ∴ P(A^c) = 1- P(A) = 1 – ¹/₃ = ²/₃
P(B) = ¹/₅; ∴ P(B^c) = 1- P(B) = 1 – ¹/₅ = ⁴/₅
P(C) = ¹/₄; ∴ P(C^c) = 1- P(C) = 1 – ¹/₄ = ³/₄
ঠিক একটি গুলি দ্বারা লক্ষ্যবস্তুকে আঘাত করার সম্ভাবনা
= {P(A)×P(B^c)×P(C^c)} + {P(A^c)×P(B)×P(C^c)} + {P(A^c)×P(B^c)×P(C)}
= ¹/₃×⁴/₅×³/₄ + ²/₃×¹/₅×³/₄ + ²/₃×⁴/₅×¹/₄
= ¹²/₆₀ + ⁶/₆₀ + ⁸/₆₀
= ²⁶/₆₀ = ¹³/₃₀ (Ans)
25. তিনজন স্বাধীন সমালোচক কর্তৃক কোনো পুস্তক ‘ভালো’ বলে সমালোচিত হওয়ার অনুকূলে সুযোগ যথাক্রমে 5 : 2, 4 : 3 এবং 3 : 4 । তিনটি সমালোচনার মধ্যে অধিকাংশের ‘ভালো’ বলে সমালোচিত হওয়ার সম্ভাবনা কত?
Solution:
তিনজন স্বাধীন সমালোচক কর্তৃক কোনো পুস্তক ‘ভালো’ বলে সমালোচিত হওয়ার ঘটনা A, B এবং C হলে,
P(A) = ⁵/₅₊₂ = ⁵/₇; ∴ P(A^c) = 1- P(A) =1 – ⁵/₇ = ²/₇
P(B) = ⁴/₄₊₃ = ⁴/₇; ∴ P(B^c) = 1- P(B) = 1 – ⁴/₇ = ³/₇
P(C) = ³/₃₊₄ = ³/₇; ∴ P(C^c) = 1 – P(C) =1- ³/₇ = ⁴/₇
– – – [A ঘটনার অনুকূলে সুযোগ = a : b হলে A ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা P(A) = ^a/_a+b হয়।] তিনটি সমালোচনার মধ্যে অধিকাংশের ‘ভালো’ বলে সমালোচিত হওয়ার সম্ভাবনা
= {P(A)×P(B)×P(C)} + {P(A^c)×P(B)×P(C)} + {P(A)×P(B^c)×P(C)} + {P(A)×P(B)×P(C^c)}
= ⁵/₇×⁴/₇×³/₇ + ²/₇×⁴/₇×³/₇ + ⁵/₇×³/₇×³/₇ + ⁵/₇×⁴/₇×⁴/₇
= ⁶⁰/₃₄₃ + ²⁴/₃₄₃ + ⁴⁵/₃₄₃ +⁸⁰/₃₄₃
= ¹/₃₄₃(60+ 24 + 45 + 80)
= ²⁰⁹/₃₄₃ (Ans)
26. কোনো কোম্পানির পরিচালকমণ্ডলীর পদের জন্য দু-দল প্রার্থী প্রতিযোগিতা করে। প্রথম ও দ্বিতীয় দলের জয়লাভ করার সম্ভাবনা যথাক্রমে 0.6 ও 0.4। যদি প্রথম দল জয়লাভ করে, তবে নতুন ‘প্রোডাক্ট’ চালু করার সম্ভাবনা 0.8 এবং দ্বিতীয় দল জয়লাভ করলে অনুরূপ সম্ভাবনা 0.3। নতুন ‘প্রোডাক্ট’ চালু হওয়ার সম্ভাবনা কত?
Solution:
ধরি, নতুন প্রোডাক্ট চালু হওয়ার ঘটনা A এবং প্রথম দলের জয়লাভ করার ঘটনা B দ্বারা সূচিত করা হয়।
∴ P(B) = 0.6
∴ দ্বিতীয় দলের জয়লাভ করার ঘটনা B^c দ্বারা সূচিত হয়।
P(B^c) = 1 – P(B) = 1 – 0.6 = 0.4
প্রশ্নানুযায়ী,
P(A/B)= 0.8 এবং
P(A/B^c)= 0.3
P(A) = P(A∩B) + P(A∩B^c)
= P(B)×P(A/B) + P(B^c)×P(A/B^c) – – – [∵ P(A/B) = ^P(A∩B)/_P(B)]
= (0.6×0.8) + (0.4×0.3)
= 0.48 + 0.12 = 0.6 (Ans)
দ্বাদশ শ্রেণীর সম্ভাবনা Probability
27. একজন ব্যক্তি রিপোর্ট করেন যে, পরীক্ষার সময় কোনো জীবাণুর A ওষুধের সঙ্গে বিক্রিয়া করার সম্ভাবনা 0.62 এবং B ওষুধের সঙ্গে ওই সম্ভাবনা 0.53। A ও B উভয় ওষুধের সঙ্গে জীবাণুর বিক্রিয়া করার সম্ভাবনা 0.18 এবং কারও সঙ্গে বিক্রিয়া না করার সম্ভাবনা 0.13। পরীক্ষার রিপোর্ট সম্পর্কে কোনো প্রশ্ন করা উচিত কি?
Solution:
ধরি, কোনো জীবাণুর A এবং B ওষুধের সঙ্গে বিক্রিয়া করার ঘটনা যথাক্রমে X এবং Y দ্বারা সূচিত হয়।
∴ P(X) = 0.62
P (Y) = 0.53
P(X∩Y) = 0.18
P(X^c∩Y^c) = 0.13
বা, P(XUY)^c = 0.13
বা, P(XUY) = 1 – P(XUY)^c
= 1 – 0.13 = 0.87
আবার,
P(XUY) = P(X) + P(Y) – P(X∩Y)
= 0.62 + 0.53 – 0.18
= 0.97
কিন্তু রিপোর্ট অনুযায়ী P(XUY) = 0.87
পরীক্ষার রিপোর্ট সম্পর্কে প্রশ্ন করা উচিত। (Ans)
28. (i) এলোপাথাড়িভাবে বিন্যাসিত 52টি তাসের একটি প্যাকেট থেকে যথেচ্ছভাবে দুটি তাস তুলে ফেলে দেওয়া হল। অবশিষ্ট 50টি তাস থেকে একটি টেক্কা তোলার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।
Solution:
ফেলে দেওয়া তাস দুটি হতে পারে
i) 2টিই টেক্কা
ii) 1টি টেক্কা
iii) একটিও টেক্কা নয়।
ধরি, A, B এবং C দ্বারা যথাক্রমে ফেলে দেওয়া 2টি তাসই টেক্কা, 1টি তাস টেক্কা এবং একটিও টেক্কা নয় ঘটনা তিনটি নির্দেশ করা হয়।
∴ নমুনা দেশের অন্তর্গত সমভাবে সম্ভাব্য নমুনা বিন্দুর সংখ্যা = ⁵²C₂×⁵⁰C₁
নির্ণেয় সম্ভাবনা
= A ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা + B ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা + C ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা
= 1/(⁵²C₂×⁵⁰C₁)(⁴C₂×2 + ⁴C₁×⁴⁸C₁×3 + ⁴⁸C₂×4)
= ¹/_1326×50(6×2 + 4×48×3 + 1128×4)
= ¹/_1326×50(12 + 576 + 4512)
= ¹/₁₆₆₃₀₀×5100
= ¹/₁₃ (Ans)
(ii) এক জোড়া ঝোঁকশূন্য পাশা একসঙ্গে ছোড়া হয়। পাশা দুটিতে প্রাপ্ত অঙ্ক দুটির সমষ্টি 10 বা তার বেশি হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো যখন প্রথম পাশায় 5 পড়ে।
Solution:
প্রথম পাশায় 5 পড়লে, পাশা দুটিতে প্রাপ্ত অঙ্ক দুটির সমষ্টি 10 বা তার বেশি হবে যখন দ্বিতীয় পাশায় 5 অথবা 6 পড়বে।
দ্বিতীয় পাশায় 5 অথবা 6 পড়ার সম্ভাবনা = ²/₆ = ¹/₃
∴ নির্ণেয় সম্ভাবনা ¹/₃ (Ans)
29. (a) কোনো বস্তুর তিনটে লটে যথাক্রমে 4% 5% ও 10% ত্রুটিপূর্ণ বস্তু আছে। প্রত্যেক লট থেকে যথেচ্ছভাবে একটি করে বস্তু নেওয়া হয়। তোলা তিনটি বস্তুর মধ্যে (i) ঠিক একটি ত্রুটিপূর্ণ (ii)কমপক্ষে একটি ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।
Solution:
ধরি, তিনটে লটে ত্রুটিপূর্ণ বস্তু থাকার ঘটনা যথাক্রমে A, B ও C দ্বারা সূচিত করা হয়।
P(A) = ⁴/₁₀₀; P(A^c) = 1 – ⁴/₁₀₀ = ⁹⁶/₁₀₀,
P(B) = ⁵/₁₀₀; P(B^c) = 1 – ⁵/₁₀₀ = ⁹⁵/₁₀₀,
P(C) = ¹⁰/₁₀₀ = ¹/₁₀; P(C^c) = 1 – ¹/₁₀ = ⁹/₁₀
(i) ঠিক একটি ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার সম্ভাবনা
= P(A∩B^c∩C^c) + P(A^c∩B∩C^c) + P(A^c∩B^c∩C)
= P(A)×P(B^c)×P(C^c) + P(A^c)×P(B)×P(C^c) + P(A^c)×P(B^c)×P(C)
= ⁴/₁₀₀×⁹⁵/₁₀₀×⁹/₁₀ + ⁹⁶/₁₀₀×⁵/₁₀₀×⁹/₁₀ + ⁹⁶/₁₀₀×⁹⁵/₁₀₀×¹/₁₀
= ³⁴²⁰/₁₀₀₀₀₀ + ⁴³²⁰/₁₀₀₀₀₀ + ⁹¹²⁰/₁₀₀₀₀₀
= ³⁴²/₁₀₀₀₀ + ⁴³²/₁₀₀₀₀ + ⁹¹²/₁₀₀₀₀
= ¹/₁₀₀₀₀×(342 + 432 + 912)
= ¹/₁₀₀₀₀×1686
= 0.1686 (Ans)
(ii)কমপক্ষে একটি ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার সম্ভাবনা
= 1 – P(A^c)×P(B^c)×P(C^c)
= 1 – ⁹⁶/₁₀₀×⁹⁵/₁₀₀×⁹/₁₀
= 1 – ⁸²⁰⁸⁰/₁₀₀₀₀₀
= 1 – 0.8208 = 0.1792 (Ans)
দ্বাদশ শ্রেণীর সম্ভাবনা Probability
(b) একটি শত্রুবিমান-বিধ্বংসী বন্দুক থেকে পলায়মান শত্রুবিমানের দিকে সর্বাধিক 4টি গুলি নিক্ষেপ করা যায়। প্রথম, দ্বিতীয়, তৃতীয় এবং চতুর্থ গুলি দিয়ে শত্রুবিমানে আঘাত করার সম্ভাবনা যথাক্রমে 0.4, 0.3, 0.2 ও 0.1 হলে, বন্দুকটির শত্রুবিমানে আঘাত করার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।
Solution:
ধরি, প্রথম, দ্বিতীয়, তৃতীয় এবং চতুর্থ গুলি দিয়ে শত্রুবিমানে আঘাত করার ঘটনা যথাক্রমে A, B, C ও D দ্বারা সূচিত করা হয়।
P(A) = 0.4; P(A^c) = 1 – 0.4 = 0.6,
P(B) = 0.3; P(B^c) = 1 – 0.3 = 0.7,
P(C) = 0.2 P(C^c) = 1 – 0.2 = 0.8 ও
P(D) = 0.1; P(D^c) = 1 – 0.1 = 0.9
∴ প্রথম, দ্বিতীয়, তৃতীয় এবং চতুর্থ গুলি দিয়ে শত্রুবিমানে আঘাত না করার সম্ভাবনা
= P(A^c∩B^c∩C^c∩D^c)
= P(A^c)×P(B^c)×P(C^c)×P(D^c)
= 0.6×0.7×0.8×0.9
= 0.3024
∴ বন্দুকটির শত্রুবিমানে আঘাত করার সম্ভাবনা
= 1 – 0.3024
= 0.6976 (Ans)
30. A ও B এই দুই অংশের সমন্বয়ে কোনো কোম্পানির একটি বস্তু উৎপাদিত হয়। A অংশের উৎপাদন পদ্ধতিতে 100টির মধ্যে প্রায়শই 9টি ত্রুটিপূর্ণ হয়। আবার, B অংশের উৎপাদন পদ্ধতিতে প্রায়শই 100টির মধ্যে 5টি ত্রুটিপূর্ণ হয়। সংগৃহীত বস্তুসমূহ ত্রুটিপূর্ণ না হওয়ার সম্ভাবনা গণনা করো।
Solution:
A অংশ দ্বারা উৎপন্ন বস্তুর,
ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার সম্ভাবনা P(A) = ⁹/₁₀₀
ত্রুটিপূর্ণ না হওয়ার সম্ভাবনা P(A^c)
= 1 – P(A) = 1 – ⁹/₁₀₀ = ⁹¹/₁₀₀
B অংশ দ্বারা উৎপন্ন বস্তুর,
ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার সম্ভাবনা P(B) = ⁵/₁₀₀
ত্রুটিপূর্ণ না হওয়ার সম্ভাবনা P(B^c)
= 1- P(B) = ⁵/₁₀₀ = ⁹⁵/₁₀₀
সংগৃহীত বস্তুসমূহ ত্রুটিপূর্ণ না হওয়ার সম্ভাবনা
= P(A^c) P(B^c)
= ⁹¹/₁₀₀×⁹⁵/₁₀₀
= 0.8645 (Ans)
দ্বাদশ শ্রেণীর সম্ভাবনা Probability
31. শিশুদের তিনটি দলে যথাক্রমে 3 জন বালিকা ও 1 জন বালক, 2 জন বালিকা ও 2 জন বালক এবং 1 জন বালিকা ও 3 জন বালক আছে। প্রত্যেক দল থেকে যথেচ্ছভাবে 1 জন শিশু নির্বাচন করা হয়। নির্বাচিত দলে 1 জন বালিকা ও 2 জন বালক থাকার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।
Solution:
নির্বাচিত দলে 1 জন বালিকা ও 2 জন বালক থাকার সম্ভাবনা নিম্নলিখিত তিনটি উপায়ে হতে পারে –
(i) প্রথম দল হতে বালক, দ্বিতীয় দল হতে বালক, তৃতীয় দল হতে বালিকা।
সেক্ষেত্রে সম্ভাবনা হবে
= ¹/₄×²/₄×¹/₄ = ²/₆₄
(ii) প্রথম দল হতে বালক, দ্বিতীয় দল হতে বালিকা, তৃতীয় দল হতে বালক।
সেক্ষেত্রে সম্ভাবনা হবে
= ¹/₄×²/₄×³/₄1/4= ⁶/₆₄
(iii) প্রথম দল হতে বালিকা, দ্বিতীয় দল হতে বালক, তৃতীয় দল হতে বালক।
সেক্ষেত্রে সম্ভাবনা হবে
= ³/₄×²/₄×³/₄ = ¹⁸/₆₄
নির্ণেয় সম্ভাবনা
= ²/₆₄ + ⁶/₆₄ + ¹⁸/₆₄
= ²/₆₄(1 + 3+ 9)
= ²/₆₄×26 = ¹³/₃₂ (Ans)
32. (i) একটি ছ-তলবিশিষ্ট পাশার এমন ঝোঁক আছে যে, অযুগ্ম সংখ্যা যতবার পড়ে যুগ্ম সংখ্যা তার দ্বিগুণ সংখ্যক বার পড়ে। পাশাটি দু- বার ছোড়া হয়। দু-বারে প্রাপ্ত সংখ্যা দুটির সমষ্টি যুগ্ম হওয়ার সম্ভাবনা কত?
(i) Solution:
একটি ঝোঁকশূন্য পাশায়,
অযুগ্ম সংখ্যা পড়ার সম্ভাবনা
= P(A) = ¹/₃
যুগ্ম সংখ্যা পড়ার সম্ভাবনা
= P(B) = 2×¹/₃ = ²/₃
দুবারই অযুগ্ম সংখ্যা পড়ার সম্ভাবনা
= P(A) ×P(A)
= ¹/₃×¹/₃ = ¹/₉ এবং
দুবারই যুগ্ম সংখ্যা পড়ার সম্ভাবনা
= P(B)×P(B)
= ²/₃×²/₃ = ⁴/₉
প্রাপ্ত ফলের সমষ্টি যুগ্ম হওয়ার সম্ভাবনা
= ¹/₉ + ⁴/₉
= ¹⁺⁴/₉ = ⁵/₉ (Ans)
(ii) একটি ঝোঁকশূন্য পাশার তিনটে তল হলদে, দুটি তল লাল এবং একটি নীল।পাশাটি তিনবার নিক্ষেপ করা হল। প্রথম, দ্বিতীয়, তৃতীয় নিক্ষেপে যথাক্রমে হলদে, লাল এবং নীল পড়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।
Solution:
ধরি, পাশার তিনবার নিক্ষেপে যথাক্রমে হলদে, লাল এবং নীল পড়ার ঘটনা A, B এবং C দ্বারা সূচিত করা হয়।
P(A) = ³/₆ = ¹/₂, P(B) = ²/₆ = ¹/₃
P(C) = ¹/₆
প্রথম, দ্বিতীয়, তৃতীয় নিক্ষেপে যথাক্রমে হলদে, লাল এবং নীল তল পড়ার সম্ভাবনা
= P(A)P(B)P(C)
= ¹/₂×¹/₃×¹/₆
= ¹/₃₆ (Ans)
দ্বাদশ শ্রেণীর সম্ভাবনা Probability
33.
(i) A ও B-এর মধ্যে ঝোঁকশূন্য পাশা নিয়ে খেলা হয়। যে প্রথম ‘ছয়’ ফেলতে পারে সেই জিতে যায়। যদি A খেলা আরম্ভ করে তবে দেখাও যে, তার খেলায় জেতার সম্ভাবনা হয় 6/11
Solution:
P(A) = ¹/₆; ∴ P(A^c) = 1 – ¹/₆= ⁵/₆
P(B) = ¹/₆; ∴ P(B^c) = 1 – ¹/₆= ⁵/₆
∴A খেলা আরম্ভ করলে,
A -এর জেতার সম্ভাবনা
= P(A) + P(A^c∩B^c∩A) + P(A^c∩B^c∩A^c∩B^c∩A) +……
= ¹/₆ + ⁵/₆×⁵/₆×¹/₆ + ⁵/₆×⁵/₆×⁵/₆×⁵/₆×¹/₆ +…….
= ¹/₆(1+(⅚)² +(⅚)⁴+…..)
= ¹/₆×¹/_{(1-²⁵/₃₆)}
= ¹/₆×³⁶/_(36-25)
= ¹/₆×³⁶/₁₁= ⁶/₁₁ (Proved)
(ii) A, B ও C পর্যায়ক্রমে একটি ঝোঁকশূন্য মুদ্রা উৎক্ষেপণ করে। যে প্রথমে ‘হেড্‌’ ফেলে সেই জিতে যায়। প্রত্যেকের জয়লাভ করার সম্ভাবনা নির্ণয় করো ।
Solution:
ধরি, A, B ও C এর হেড্‌ ফেলার ঘটনা যথাক্রমে A, B ও C দ্বরা সুচিত করা হয়।
P(A) = ¹/₂; ∴ P(A^c) = 1 – ¹/₂ = ¹/₂
P(B) = ¹/₂; ∴ P(B^c) = 1 – ¹/₂ = ¹/₂;
P(C) = ¹/₂; ∴ P(C^c) = 1 – ¹/₂ = ¹/₂
যে প্রথমে ‘হেড্‌’ ফেলে সেই জিতে যায়।
A প্রথমে ‘হেড্‌’ ফেললে,
A -এর জেতার সম্ভাবনা
= P(A) + P(A^c∩B^c∩C^c∩A) + P(A^c∩B^c∩C^c∩A^c∩B^c∩C^c∩A) +……
= ¹/₂ + ¹/₂×¹/₂×¹/₂×¹/₂ + ¹/₂×¹/₂×¹/₂×¹/₂×¹/₂×¹/₂×¹/₂ + …….
= ¹/₂(1 + ¹/₈+ ¹/₆₄+…..)
= ¹/₂×¹/_(1-¹/₈)
= ¹/₂×⁸/_8-1
= ¹/₂×⁸/₇= ⁴/₇
B প্রথম ‘হেড্‌’ ফেললে,
B -এর জেতার সম্ভাবনা
= P(A^c∩B) + P(A^c∩B^c∩C^c∩A^c∩B) + P(A^c∩B^c∩C^c∩A^c∩B^c∩C^c∩A^c∩B) +……
= ¹/₂×¹/₂ + ¹/₂×¹/₂×¹/₂×¹/₂×¹/₂ + ¹/₂×¹/₂×¹/₂×¹/₂×¹/₂×¹/₂×¹/₂×¹/₂ +…….
= ¹/₄(1 + ¹/₈+ ¹/₆₄+…..)
= ¹/₄×¹/_(1-¹/₈)
= ¹/₄×⁸/_8-1
= ¹/₄×⁸/₇= ²/₇
C প্রথম ‘হেড্‌’ ফেললে,
C -এর জেতার সম্ভাবনা
= P(A^c∩B^c∩C) + P(A^c∩B^c∩C^c∩A^c∩B^c∩C) + P(A^c∩B^c∩C^c∩A^c∩B^c∩C^c∩A^c∩B^c∩C)+……
= ¹/₂×¹/₂×¹/₂ + ¹/₂×¹/₂×¹/₂×¹/₂×¹/₂×¹/₂ + ¹/₂×¹/₂×¹/₂×¹/₂×¹/₂×¹/₂×¹/₂×¹/₂×¹/₂ + …….
= ¹/₈(1 + ¹/₈+ ¹/₆₄+…..)
= ¹/₈×¹/_(1-¹/₈)
= ¹/₈×⁸/_8-1
= ¹/₈×⁸/₇= ¹/₇ (Ans)
34. একটি থলিতে 5টি লাল ও 4টি হলদে রঙের বল আছে। থলি থেকে উদ্দেশ্যহীনভাবে একটি বল তোলা হয় এবং অপর একটি থলিতে রাখা হয় যার মধ্যে 3টি লাল ও 6টি হলদে বল আছে। দ্বিতীয় থলি থেকে যথেচ্ছভাবে একটি বল তোলা হয় উত্তোলিত বলটি হলদে রঙের হওয়ার সম্ভাবনা কত?
Solution:
প্রথম থলি থেকে তোলা বলটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা = ⁵/₉
এবং হলদে হওয়ার সম্ভাবনা = ⁴/₉
প্রথম থলি থেকে তোলা বলটি দ্বিতীয় থলিতে রাখা হয়।
দ্বিতীয় থলি থেকে তোলা বলটি হলদে হওয়ার সম্ভাবনা –
(i) প্রথম থলি থেকে তোলা বলটি লাল হলে সম্ভাবনা
= ⁵/₉×⁶/₁₀ = ¹⁵/₄₅
(ii) প্রথম থলি থেকে তোলা বলটি হলদে হলে সম্ভাবনা
= ⁴/₉×⁷/₁₀= ¹⁴/₄₅
∴ দ্বিতীয় থলি থেকে তোলা বলটি হলদে হওয়ার মোট সম্ভাবনা
= ¹⁵/₄₅ + ¹⁴/₄₅
= ¹/₄₅(15+14)
= ²⁹/₄₅ (Ans)
দ্বাদশ শ্রেণীর সম্ভাবনা Probability
35.
(i) 2টি একই ধরনের থলির প্রত্যেকটিতে 5টি সাদা ও 5টি লাল বল আছে। দ্বিতীয় থলি থেকে উদ্দেশ্যহীনভাবে 1টি বল প্রথম থলিতে স্থানান্তর করা হয়। তারপর প্রথম থলি থেকে একটি বল তোলা হয়; তোলা বলটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।
Solution:
দ্বিতীয় থলি থেকে উদ্দেশ্যহীনভাবে 1টি বল প্রথম থলিতে স্থানান্তর করা হলে,
সেটি সাদা বল হওয়ার সম্ভাবনা = ⁵/₁₀ = ¹/₂
সেটি লাল বল হওয়ার সম্ভাবনা = ⁵/₁₀ = ¹/₂
দ্বিতীয় থলি থেকে স্থানান্তরিত হওয়া বলটি সাদা হলে,
প্রথম থলি থেকে তোলা বলটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা = ¹/₂×⁵/₁₁= ⁵/₂₂
দ্বিতীয় থলি থেকে স্থানান্তরিত হওয়া বলটি লাল হলে,
প্রথম থলি থেকে তোলা বলটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা = ¹/₂×⁶/₁₁= ⁶/₂₂
∴ প্রথম থলি থেকে তোলা বলটি লাল হওয়ার মোট সম্ভাবনা
= ⁵/₂₂ + ⁶/₂₂
= ¹¹/₂₂ = ¹/₂ (Ans)
(ii) একটি পাত্র A-র মধ্যে 3টি সাদা ও 5টি লাল মারবেল আছে। অন্য একটি পাত্র B-এর মধ্যে 5টি সাদা এবং 3টি লাল মারবেল আছে। A পাত্র থেকে B পাত্রে 2টি মারবেল স্থানান্তর করা হয় এবং তারপর B পাত্র থেকে 1টি মারবেল তোলা হয়। উত্তোলিত মারবেলটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা কত?
Solution:
A পাত্র থেকে 2টি মারবেল স্থানান্তর করা হলে
দুটি মারবেলই সাদা হওয়ার সম্ভাবনা হবে = ^³C₂/_⁸C₂ অথবা
দুটি মারবেলই লাল হওয়ার সম্ভাবনা হবে = ^⁵C₂/_⁸C₂ অথবা
একটি মারবেল লাল এবং একটি মারবেল সাদা হওয়ার সম্ভাবনা হবে = ^{⁵C₁×^³C₁}/_⁸C₂
B পাত্রে 2টি মারবেল স্থানান্তর করা হয়।
স্থানান্তরিত মারবেল 2টি লাল হলে,
B পাত্র থেকে তোলা মারবেলটি সাদা হওয়ার সম্ভাবনা
= ^³C₂/_⁸C₂×³/₁₀
= ³/₂₈×³/₁₀
= ⁹/₂₈₀
স্থানান্তরিত মারবেল 2টি লাল সাদা হলে,
B পাত্র থেকে তোলা মারবেলটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা
= ^⁵C₂/_⁸C₂×⁵/₁₀
= ¹⁰/₂₈×¹/₂
= ⁵/₂₈
স্থানান্তরিত মারবেলের একটি সাদা এবং একটি লাল হলে,
B পাত্র থেকে তোলা মারবেলটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা
= ^{⁵C₁×^³C₁}/_⁸C₂
= ^5×3/₂₈×⁴/₁₀
= ⁶/₂₈
∴ B পাত্র থেকে তোলা মারবেলটি লাল হওয়ার মোট সম্ভাবনা
= ⁹/₂₈₀ + ⁵/₂₈ + ⁶/₂₈
= ¹/₂₈₀ (9 + 50 + 60)
= ¹¹⁹/₂₈₀ = ¹⁷/₄₀ (Ans)
36. তিনটি থলির প্রত্যেকটিতে 5টি লাল ও 5টি কালো বল আছে। উদ্দেশ্যহীনভাবে প্রথম থলি থেকে একটি বল দ্বিতীয় থলিতে এবং তারপর দ্বিতীয় থলি থেকে উদ্দেশ্যহীনভাবে একটি বল তৃতীয় থলিতে স্থানান্তর করা হয়। এখন, তৃতীয় থলি থেকে একটি বল তোলা হয়। বলটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।
Solution:
প্রথম থলি থেকে উদ্দেশ্যহীনভাবে একটি বল তুললে লাল বল অথবা কালো বল উঠতে পারে। প্রথম থলি থেকে লাল বল ওঠার সম্ভাবনা = ⁵/₁₀ = ¹/₂
এবং কালো বল ওঠার সম্ভাবনা = ⁵/₁₀ = ¹/₂
প্রথম থলি থেকে তোলা বলটি দ্বিতীয় থলিতে স্থানান্তরিত করা হয়।
∴ প্রথম থলি থেকে লাল বল উঠলে,
দ্বিতীয় থলি থেকে লাল বল উঠার সম্ভাবনা = ¹/₂×⁶/₁₁
এবং কালো বল ওঠার সম্ভাবনা = ¹/₂×⁵/₁₁
কিন্তু প্রথম থলি থেকে কালো বল উঠলে,
দ্বিতীয় থলি থেকে লাল বল ওঠার সম্ভবনা = ¹/₂×⁵/₁₁
এবং কালো বল ওঠার সম্ভাবনা = ¹/₂×⁶/₁₁
আবার, প্রথম থলি থেকে লাল বল এবং দ্বিতীয় থলি থেকেও লাল বল উঠলে,
তৃতীয় থলি থেকে লাল বল উঠার সম্ভাবনা = ¹/₂×⁶/₁₁×⁶/₁₁ = ³⁶/₂₄₂
প্রথম থলি থেকে লাল বল এবং দ্বিতীয় থলি থেকে কালো বল উঠলে,
তৃতীয় থলি থেকে লাল বল উঠার সম্ভাবনা = ¹/₂×⁶/₁₁×⁵/₁₁ = ³⁰/₂₄₂
প্রথম থলি থেকে কালো বল এবং দ্বিতীয় থলি থেকে লাল বল উঠলে,
তৃতীয় থলি থেকে লাল বল উঠার সম্ভাবনা = ¹/₂×⁵/₁₁×⁶/₁₁ = ³⁰/₂₄₂
প্রথম থলি থেকে কালো বল এবং দ্বিতীয় থলি থেকে কালো বল উঠলে তৃতীয় থলি থেকে লাল বল উঠার সম্ভাবনা = ¹/₂×⁵/₁₁×⁵/₁₁ = ²⁵/₂₄₂
∴ তৃতীয় থলি থেকে তোলা বলটি লাল হওয়ার মোট সম্ভাবনা
= ³⁶/₂₄₂ + ³⁰/₂₄₂ + ³⁰/₂₄₂ + ²⁵/₂₄₂
= ¹/₂₄₂(36 + 30 + 30 + 25)
= ¹²¹/₂₄₂ = ¹/₂ (Ans)
2026 ICC Men’s T20 World Cup ২০২৬ আইসিসি পুরুষ টি২০ বিশ্বকাপ

একটি প্রদত্ত সরলরেখা থেকে প্রদত্ত বিন্দুর লম্বদূরত্ব নির্ণয় SEMESTER-2

দুটি সরলরেখার অন্তর্গত কোণ নির্ণয় SEMESTER-2

Straight Line SEMESTER-2 সরলরেখা

Sequence and Series Arithmetic Progression SEMESTER-2 সমান্তর প্রগতি

Sequence and Series SEMESTER-2 অনুক্রমSequence and Series SEMESTER-2 অনুক্রমSequence and Series SEMESTER-2 অনুক্রম

গাণিতিক আরোহ তত্ত্ব Mathematical Induction Semester2

VARIABLE AND CONSTANT SN DEY SEMESTER-I (চল ও ধ্রুবক)

অপেক্ষক বা চিত্রন (Function or Mapping)SN DEY SEMESTER-I

এস এন দে সেমিস্টার-I সম্বন্ধ SN DEY CLASS11 MATH SOLUTION SEMESTER-I Relation

এস এন দে সেমিস্টার-I একাদশ শ্রেণী সম্বন্ধ ও অপেক্ষক – ক্রমিত জোড় ও কার্তেসীয় গুনফল SN DEY CLASS11 MATH SOLUTION SEMESTER-I Relation and Function

SN DEY CLASS11 MATH SOLUTION SEMESTER-I SET THEORY এস এন দে সেমিস্টার-I একাদশ শ্রেণী সেটতত্ত্ব

ভারতের বায়োস্ফিয়ার রিজার্ভ BIOSPHERE RESERVE

HS 2025 Mathematics Solution।। উচ্চ মাধ্যামিক ২০২৫ গণিত প্রশ্নপত্রের সমাধান

Nobel Prize ভারতীয় উপমহাদেশের নোবেল পুরস্কারজয়ী

Greatest Show on Earth অলিম্পিক প্রতিযোগিতার বিভিন্ন তথ্য

Matrix S N Dey Solution Part-3

Matrix S N Dey Solution Part-2

Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স

S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল
PREVIOUS
NEXT
November 5, 2023

error: Content is protected !!