Author: TEAM PROSTUTI

S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল
S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল
S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল
Straight Line Ex 4A Class XII সরলরেখা S N Dey Solution CLICK HERE
S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল
1. bx – ay = n, cy – bz = l এবং az – cx = m সমতলগুলি একটি সরলরেখায় ছেদ করবে যদি- (a) al + bm + cn = 1 (b) al – bm – cn = 0 (c) al + bm + cn = 0 (d) এদের কোনোটিই নয়

Ans: (c) al + bm + cn = 0
[al + bm + cn = 0; bx – ay = n এবং cy – bz = l সমতল দুটির ছেদক সরলরেখাগামী সমতলের সমীকরণ –
(bx – ay – n) + λ(cy – bz – l) = 0
⇒ bx + (λc – a)y – λbz – n – λl = 0 – – – (i)
az – cx = m
⇒ – cx + az – m = 0 – – – (ii)
(i) ও (ii) তুলনা করে পাই,
b = -c
⇒ c = -b;
λc – a = 0
⇒ λc = a
⇒ λ = ^a/_c;
-λb = a
⇒ λb = -a
⇒ λ = –^a/_b;
– n – λl = – m
⇒ n + λl = m
⇒ n + a/c×l = m – – – [∵ λ = ^a/_c]
⇒ cn + al = cm
⇒ cn + al = -bm – – – [∵ c = -b]
⇒ cn + al + bm = 0
⇒ al + bm + cn = 0]
2. ^x-2/₃= ^y+1/₄ = ^z-2/₁₂ সরলরেখা, x – 2y + z = 20 সমতলকে যে বিন্দুতে ছেদ করে তা হল-
(a) (8, 7, 26) (b) (-8, 7, 26) (c) (8, -7, 26) (d) (8, 7, -26)

Ans: (a) (8, 7, 26)
[^x-2/₃= ^y+1/₄ = ^z-2/₁₂ = t (ধরি)
∴ x = 3t + 2 ;
y = 4t – 1;
z = 12t + 2
(3t + 2, 4t – 1, 12t + 2) বিন্দুটি x – 2y + z = 20 সমতলে অবস্থিত।
∴ 3t + 2 – 2(4t – 1) + 12t + 2 = 20
বা, 3t + 2 – 8t + 2 + 12t + 2 = 20
বা, 7t = 14
বা, t = 2
বিন্দুটি হল (3.2 + 2, 4.2 – 1, 12.2 + 2) বা, (8, 7, 26)]
S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল
3. (2, -3, 1) এবং (3, 4, -5) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখা xy সমতলকে যে বিন্দুতে ছেদ করে তা হল
(a) (-¹³/₆, ¹¹/₆, 0) (b) (¹³/₆, –¹¹/₆, 0) (c) (¹³/₆, ¹¹/₆, 0) (d) এদের কোনোটিই নয়

Ans: (b) (¹³/₆, –¹¹/₆, 0)
[(2, -3, 1) এবং (3, 4, -5) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখার সমীকরণ
^x-2/₁= ^y+3/₇ = ^z-1/_-6
ধরি, ^x-2/₁= ^y+3/₇ = ^z-1/_-6 =t
∴ x = t + 2;
y = 7t – 3;
z = -6t + 1
xy সমতলের সমীকরণ z=0
(t + 2, 7t – 3, -6t + 1) বিন্দু z = 0 সমতলের উপর অবস্থিত।
∴ -6t + 1 = 0
বা, t = ¹/₆
বিন্দুটি হল (¹/₆ + 2, 7.¹/₆ – 3, -6.¹/₆ + 1) বা, (-¹³/₆, ¹¹/₆, 0)]
4. (1, 1, 2) এবং (3, -2, 1) বিন্দুদ্বয়গামী সরলরেখা 3x + 2y + z = 6 সমতলকে যে বিন্দুতে ছেদ করে তা হল- (a) (-3, -2, -1) (b) (3, -2, 1) (c) (-3, 2, 1) (d) (3, 2, 1)

Ans: (b) (3, -2, 1)
[(1, 1, 2) এবং (3, -2, 1) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখার সমীকরণ
^x-1/₂= ^y-1/_-3 = ^z-2/_-1
ধরি, ^x-1/₂= ^y-1/_-3 = ^z-2/_-1 = t
∴ x = 2t + 1;
y = -3t + 1;
z = -t + 2
(2t + 1, -3t + 1, -t + 2) বিন্দু 3x + 2y + z = 6 সমতলের উপর অবস্থিত।
∴ 3(2t + 1) + 2(-3t + 1) – t + 2 = 6
⇒ 6t + 3 – 6t + 2 – t + 2 = 6
⇒ -t = 6-7
⇒ t = 1
বিন্দুটি হল (2.1 + 1, -3.1 + 1, -1 + 2) বা, (3, -2, 1)]
S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল
5. একটি সমতল অক্ষত্রয়কে যথাক্রমে A, B, C বিন্দুতে ছেদ করে। ABC ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (a, a, a) হলে সমতলের সমীকরণ হয় x + y + z = p; তাহলে, p-এর মান হবে-
(a) 6a (b) -3a (c) 0 (d) 3a

Ans: (d) 3a
[সমতলের সমীকরণ হয়
x + y + z = p
⇒ ^x/_p + ^y/_p + ^z/_p = 1
∴ A, B, C বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (p, 0, 0), (0, p, 0) ও (0, 0, p)
∴ ^p+0+0/₃=a
⇒ p = 3a]
6. নীচের বিবৃতিগুলির মধ্যে কোনটি সত্য হবে?
(a) k-এর সকল মানের জন্য A(1, 1, 1), B(1, -1, 1) এবং C(-1, -3, -5) বিন্দুত্রয়গামী সমতলের ওপর (2, k, 4) বিন্দুটি অবস্থিত হবে।
(b) যে সমতল (3, 4, -1) বিন্দুগামী এবং r.(2î – 3ĵ + 5k̂) + 7 = 0 সমতলের সমান্তরাল তার সমীকরণ r.(2î – 3ĵ + 5k̂) + 10 = 0
(c) x – y + 2z = 5 এবং 3x + y + z = 6 সমতল দুটির ছেদক সরলরেখার সমীকরণ হয় ^4x-11/₃ = ^4y+9/₅ = ^z-0/₁
(d) ^x+3/₂ = ^y-4/₃ = ^z+5/₂সরলরেখা এবং 4x – 2y – z = 1 সমতল পরস্পর লম্ব।

Ans: (a) k-এর সকল মানের জন্য A(1, 1, 1), B(1, -1, 1) এবং C(-1, -3, -5) বিন্দুত্রয়গামী সমতলের ওপর (2, k, 4) বিন্দুটি অবস্থিত হবে।
7. (2, 3, 1) বিন্দুগামী সমতলের অভিলম্বের দিক্ অনুপাতসমূহ 5, 3, 2 হলে, সমতলের সমীকরণ হবে-
(a) 5x – 3y – 2z = 21 (b) 5x + 3y + 2z = -21
(c) 5x + 3y + 2z = 21 (d) এদের কোনোটিই নয়।

Ans: (c) 5x + 3y + 2z = 21
[(2, 3, 1) বিন্দুগামী সমতলের অভিলম্বের দিক্ অনুপাতসমূহ 5, 3, 2;
∴ সমতলের সমীকরণ হবে –
5(x – 2) + 3(y – 3) + 2(z – 1) = 0
⇒ 5x – 10 + 3y – 9 + 2z – 2 = 0
⇒ 5x + 3y + 2z = 21]
8. সরলরেখা 3x – 2y + z +3 = 0 = 4x – 3y + 4z +1 যদি 2x – y + mz – 2 = 0-এর সমান্তরাল হয়, তবে m-এর মান হবে-
(a) -2 (b) 8 (c) 18 (d) 11

Ans: (a) -2
[3x – 2y + z +3 = 0
4x – 3y + 4z +1 = 0
$$\large{\hat n= \begin{vmatrix}\hat i\quad\quad \hat j\quad\quad\hat k\\3\quad -2\quad\quad 1\\4\quad -3\quad\quad 4\end{vmatrix}\\\quad}$$
= î(-8 + 3) – ĵ(12 – 4) + k̂(-9 + 8)
= -5î – 8ĵ – k̂
-5î – 8ĵ – k̂ ভেক্টরটি 2x – y + mz – 2 = 0-এর উপর লম্ব।
∴ -5×2 + (-8)×(-1) + (-1)×m = 0
⇒ -10 + 8 – m = 0
⇒ -2 – m = 0
∴ m = -2]
9. r̄.n̄ = q সমতল x-অক্ষের সঙ্গে যে ছেদিতাংশ উৎপন্ন করে তার মান হবে-
(a) ^q/_î.n̄ (b) ^î.n̄/_q (c) –^î.n̄/_q (d) ^q/_|n̄|

Ans: (a) ^q/_î.n̄
[ধরি r̄ = xî + yĵ + zk̂ এবং n̄ = n₁î + n₂ĵ + n₃k̂
∵ r̄.n̄ = q
⇒ (xî + yĵ + zk̂).(n₁î + n₂ĵ + n₃k̂) = q
$$\large{⇒n_1x+n_2y+n_3z=q\\⇒\frac{n_1x+n_2y+n_3z}{q}=0\\⇒\frac{x}{\frac{q}{n_1}}+\frac{y}{\frac{q}{n_2}}+\frac{z}{\frac{q}{n_3}}=1}$$
r̄.n̄ = q সমতল x-অক্ষের সঙ্গে যে ছেদিতাংশ উৎপন্ন করে তার মান ^q/_n₁ = ^q/_în̄]
S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল
10. r.( î – ĵ + k̂) = 5 এবং r.(2î + ĵ – 3k̂) = 4 সমতলদ্বয়ের ছেদক সরলরেখার সমান্তরাল দিকের একক ভেক্টর হবে-
(a) ¹/_√38(2î + 5ĵ – 3k̂) (b) ¹/_√38(2î – 5ĵ + 3k̂)
(c) ¹/_√38(2î + 5ĵ + 3k̂) (d) ¹/_√38(-2î + 5ĵ – 3k̂)

Ans: (c) ¹/_√38(2î + 5ĵ + 3k̂)
[r.( î – ĵ + k̂) = 5 এবং r.(2î + ĵ -3k̂) = 4 সমতলদ্বয়ের অভিলম্ব ভেক্টর î – ĵ + k̂ ও 2î + ĵ -3k̂;
ভেক্টরদ্বয়ের সমান্তরাল ভেক্টর n̄ হলে n̄ = (î – ĵ + k̂)×(2î + ĵ -3k̂)
$$\large{\hat n= \begin{vmatrix}\hat i\quad\quad \hat j\quad\quad\hat k\\1\quad -1\quad\quad 1\\2\quad\quad 1\quad -3\end{vmatrix}\\\quad}$$
= î(3 – 1) – ĵ(-3 – 2) + k̂(1 + 2)
= 2î + 5ĵ + 3k̂
ছেদক সরলরেখার সমান্তরাল দিকের একক ভেক্টর হবে-
$$\large{\quad\frac{2\hat i+5\hat j+3\hat k}{|2\hat i+5\hat j+3\hat k|}\\=\frac{1}{\sqrt{2^2+5^2+3^2}}(2\hat i+5\hat j+3\hat k)\\=\frac{1}{\sqrt{38}}(2\hat i+5\hat j+3\hat k)]}$$
11. r̄ = ā + λb̄ সরলরেখা r̄.n̄ = q সমতলকে কখনোই ছেদ করবে না, যদি-
(a) b̄.n̄ = 0, ā.n̄ = q হয় (b) b̄.n̄ ≠ 0, ā.n̄ ≠ q হয় (c) b̄.n̄ = 0, ā.n̄ ≠ q হয় (d) b̄.n̄ ≠0, ā.n̄ = q হয়

Ans: (c) b̄.n̄ = 0, ā.n̄ ≠ q হয়
[r̄ = ā + λb̄ সরলরেখা r.n̄ = q সমতলকে কখনোই ছেদ করবে না, যদি তারা পরস্পর সমান্তরাল হয় অর্থাৎ তাদের মধ্যবর্ত্তী কোণ 0° হয়।
sinθ = ^b̄.n̄/_|b̄||n̄|
⇒ ^b̄.n̄/_|b̄||n̄| = 0 হবে যদি b̄.n = 0 হয়৷]
12. r.(î – 2ĵ + 3k̂) = 17 সমতলকে -2î + 4ĵ + 7k̂ এবং 3î – 5ĵ + 8k̂ বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখা যে অনুপাতে বিভক্ত করে তা-
(a) 1 : 5 (b) 1 : 10 (c) 3 : 5 (d) 3 : 10

Ans: (d) 3 : 10
[r.(î – 2ĵ + 3k̂) = 17 সমতলের কার্তেসীয় সমীকরন
(xî +yĵ + zk̂)(î – 2ĵ + 3k̂) = 17
বা, x – 2y + 3z = 17
-2î + 4ĵ + 7k̂ এবং 3î – 5ĵ + 8k̂ বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক (-2, 4, 7) ও (3, -5, 8)
ধরি, (-2, 4, 7) ও (3, -5, 8) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখা x – 2y + 3z = 17 সমতলকে n : 1 অনুপাতে বিভক্ত করে।
∴ বিন্দুটির স্থানাঙ্ক (^3n-2/_n+1, ^-5n+4/_n+1, ⁸ⁿ⁺⁷/_n+1)
বিন্দুটি x – 2y + 3z = 17 সমতলের উপর অবস্থিত।
∴ ^3n-2/_n+1 -2(^-5n+4/_n+1) + 3(⁸ⁿ⁺⁷/_n+1) = 17
বা, 3n – 2 – 2(-5n + 4) + 3(8n + 7) = 17(n + 1)
বা, 3n – 2 +10n – 8 + 24n + 21 = 17n + 17
বা, 37n + 11 = 17n + 17
বা, 20n = 6
বা, 10n = 3
বা, n = ³/₁₀
∴ n : 1 = 3 : 10]
S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল
13. ^x-2/₁ = ^y-3/₁ = ^z-4/_-k এবং ^x-1/_k = ^y-4/₂ = ^z-5/₁ সরলরেখাদ্বয় সমতলীয় হবে, যদি-
(a) k = 1 বা -1 হয় (b) K =0 বা -3 হয়
(c) k = 3 বা -3 হয় (d) k = 0 বা -1 হয়

Ans: (b) K =0 বা -3 হয়
[^x-2/₁ = ^y-3/₁ = ^z-4/_-k এবং ^x-1/_k = ^y-4/₂ = ^z-5/₁ সরলরেখাদ্বয় সমতলীয় হবে, যদি-
$$\large{\quad\begin{vmatrix}x-x_1\quad y-y_1\quad z-z_1\\a_1\quad\quad\quad b_1\quad\quad\quad c_1\\a_2\quad\quad\quad b_2\quad\quad\quad c_2\end{vmatrix}=0\\=\begin{vmatrix}1-2\quad 4-3\quad 5-4\\1\quad\quad\quad 1\quad\quad\quad -k\\k\quad\quad\quad 2\quad\quad\quad 1\end{vmatrix}=0\\=\begin{vmatrix}-1\quad\quad\quad 1\quad\quad\quad 1\\1\quad\quad\quad 1\quad\quad -k\\k\quad\quad\quad 2\quad\quad\quad 1\end{vmatrix}=0\\}$$
⇒ -1(1 +2k) -1(1 + k²) +1(2 – k) = 0
⇒ -1 – 2k -1 – k² + 2 – k = 0
⇒ -3k – k² = 0
⇒ k² + 3k = 0
⇒ k(k + 3) = 0
k = 0; k = -3]
14. যে সমতলের ওপর ^x-3/₁ = ^y-6/₅ = ^z-4/₄ সরলরেখা এবং (3, 2, 0) বিন্দুটি অবস্থিত তার সমীকরণ হয়-
(a) x – y + z = 1 (b) x + y + z = 5
(c) x + 2y – z = 1 (d) 2x – y + z = 5

Ans: (a) x – y + z = 1
[^x-3/₁ = ^y-6/₅ = ^z-4/₄ সরলরেখাটি (3, 6, 4) বিন্দুগামী এবং এর দিক অনুপাত 1, 5, 4
আবার (3, 6, 4) ও (3, 2, 0) এর দিক অনুপাত (3 – 3), (6 – 2), (4 – 0) বা, 0, 4, 4;
$$\large{\hat n= \begin{vmatrix}\hat i\quad\quad \hat j\quad\quad\hat k\\0\quad\quad 4\quad\quad 4\\1\quad\quad 5\quad\quad 4\end{vmatrix}\\\quad\\⇒\hat i(16-20)-\hat j(0-4)+\hat k(0-4)}$$
⇒ -4î + 4ĵ – 4k̂
⇒ -4(î – ĵ + k̂)
নির্ণেয় সমীকরণ –
r̄.n̄ = â.n̄
যেখানে r̄ = xî + yĵ + zk̂
এবং â = (3î + 2ĵ)
∴ (xî + yĵ + zk̂).-4(î – ĵ + k̂) = (3î + 2ĵ).-4(î – ĵ + k̂)
⇒ (xî + yĵ + zk̂).(î – ĵ + k̂) = (3î + 2ĵ).(î – ĵ + k̂)
⇒ x – y + z = 3 – 2 = 1]
অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রতিটি প্রশ্নের মান 2
1. 4x + 3y – 6z – 12 = 0 সমতলের সমীকরণটিকে ছেদিতাংশ আকারে প্রকাশ করো এবং সমতলটি অক্ষত্রয়কে যে দৈর্ঘ্যে ছিন্ন করেছে তা লেখো।

Solution:
4x + 3y – 6z – 12 = 0
⇒ 4x + 3y – 6z = 12
⇒ ^4x/₁₂ + ^3y/₁₂ – ^6z/₁₂ = 1
⇒ ^x/₃ + ^y/₄ – ^z/₂ = 1
Ans: সমতলের ছেদিতাংশ আকারের সমীকরণ ^x/₃ + ^y/₄ – ^z/₂ = 1
Ans: সমতলটি অক্ষত্রয়কে যে দৈর্ঘ্যে ছিন্ন করেছে তা হল যথাক্রমে 3 একক, 4 একক ও 2 একক।
S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল
2. 2x – y + 2z = 5 সমতলের অভিলম্ব ভেক্টর এবং অভিলম্বের অভিমুখে একক ভেক্টর নির্ণয় করো।

Solution:
সমতলটির সমীকরণ 2x – y + 2z = 5
Ans: সমতলের অভিলম্ব ভেক্টর 2î – ĵ + 2k̂

অভিলম্বের অভিমুখে একক ভেক্টর
$$\large{=\frac{2\hat i-\hat j+2\hat k}{|2\hat i-\hat j+2\hat k|}\\=\frac{2\hat i-\hat j+2\hat k}{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}}\\= \frac{2\hat i-\hat j+2\hat k}{\sqrt{4+1+4}}\\=\frac{1}{3}(2\hat i-\hat j+2\hat k)}$$
Ans: সমতলটির অভিলম্বের অভিমুখে একক ভেক্টর ¹/₃(2î – ĵ + 2k̂)
3. প্রদত্ত সমতলগুলির স্কেলার গুণ আকারে ভেক্টর সমীকরণ [r̄.n̄ = d] নির্ণয় করো:
(i) r̄ = (2î – k̂) + λî + μ(î – 2ĵ – k̂)
(ii) r̄ = (1 + s – t)î + (2 – s)ĵ + (3 – 2s + 2t)k̂
(iii) r̄ = î – ĵ + λ(î + ĵ + k̂) + μ(4î – 2ĵ + 3k̂)

(i)
Solution:
(i) প্রদত্ত তলটি (2î – k̂) বিন্দুগামী এবং î ও (î – 2ĵ – k̂) ভেক্টরের সমান্তরাল।
∴ সমতলটির একটি অভিলম্ব ভেক্টর n̄ হলে
$$\large{\hat n= \begin{vmatrix}\hat i\quad\quad\quad \hat j\quad\quad\quad\hat k\\1\quad\quad\quad 0\quad\quad\quad 0\\1\quad\quad -2\quad\quad -1\end{vmatrix}\\\quad\\⇒\hat i(0-0)-\hat j(-1-0)+\hat k(-2-0)\\=\hat j-2\hat k}$$
সমতলের স্কেলার গুণ আকার হল –
r̄.(ĵ – 2k̂) = (2î – k̂).(ĵ – 2k̂)
⇒ r̄.(ĵ – 2k̂) = 0+0+2
⇒ r̄.(ĵ – 2k̂) = 2
Ans: সমতলের স্কেলার গুণ আকারে ভেক্টর সমীকরণ হল r̄.(ĵ – 2k̂) = 2

(ii)
Solution:
r̄ = (1 + s – t)î + (2 – s)ĵ + (3 – 2s + 2t)k̂
= (î + 2ĵ + 3k̂) + s(î – ĵ – 2k̂) + t(-î + 2k̂)
প্রদত্ত তলটি (î + 2ĵ + 3k̂) বিন্দুগামী এবং (î – ĵ – 2k̂) ও (-î + 2k̂) ভেক্টরের সমান্তরাল।
∴ সমতলটির একটি অভিলম্ব ভেক্টর n̄ হলে
$$\large{\hat n= \begin{vmatrix}\hat i\quad\quad \hat j\quad\quad\hat k\\1\quad -1\quad -2\\-1\quad\quad 0\quad\quad 2\end{vmatrix}\\\quad\\=\hat i(-2-0)-\hat j(-2-2)+\hat k(0-1)\\=-2\hat i-\hat k}$$
সমতলের স্কেলার গুণ আকার হল –
r̄.(-2î – k̂) = (-2î – k̂).(î + 2ĵ + 3k̂)
⇒ r̄.(-2î – k̂) = -2 + 0 – 3
⇒ r̄.(-2î – k̂) = -5
⇒ r̄.(2î + k̂) = 5
Ans: সমতলের স্কেলার গুণ আকারে ভেক্টর সমীকরণ হল r̄.(2î + k̂) = 5

(iii)
Solution:
r̄ = î – ĵ + λ(î + ĵ + k̂) + μ(4î – 2ĵ + 3k̂)
প্রদত্ত তলটি (î – ĵ) বিন্দুগামী এবং (î + ĵ + k̂) ও (4î – 2ĵ + 3k̂) ভেক্টরের সমান্তরাল।
∴ সমতলটির একটি অভিলম্ব ভেক্টর n̄ হলে
$$\large{\hat n= \begin{vmatrix}\hat i\quad\quad \hat j\quad\quad\hat k\\1\quad\quad 1\quad\quad 1\\4\quad\quad -2\quad\quad 3\end{vmatrix}\\\quad\\=\hat i(3+2)-\hat j(3-4)+\hat k(-2-4)\\=5\hat i+\hat j -6\hat k}$$
সমতলের স্কেলার গুণ আকার হল –
r̄.(5î + ĵ – 6k̂) = (î – ĵ).(5î + ĵ – 6k̂)
⇒ r̄.(5î + ĵ – 6k̂) = 5 – 1 + 0
⇒ r̄.(5î + ĵ – 6k̂) = 4
Ans: সমতলের স্কেলার গুণ আকারে ভেক্টর সমীকরণ হল r̄.(5î + ĵ – 6k̂) = 4
S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল
4. প্রদত্ত সমতলগুলির কার্তেসিয় আকারে সমীকরণ নির্ণয় করো:
(i) r̄ = (î – ĵ) + s(-î + ĵ + 2k̂) + (î + 2ĵ + k̂)
(ii) r̄ = (1 + s + t)î + (2 – s + t)ĵ + (3 – 2s + 2t)k̂

(i)
Solution:
r̄ = (î – ĵ) + s(-î + ĵ + 2k̂) + (î + 2ĵ + k̂)
∴ n̄ = (-î + ĵ + 2k̂)×(î + 2ĵ + k̂)
$$\large{⇒\begin{vmatrix}\hat i\quad\quad \hat j\quad\quad\hat k\\-1\quad 1\quad2\\1\quad\quad 2\quad\quad 1\end{vmatrix}\\\quad\\⇒\hat i(1-4)-\hat j(-1-2)+\hat k(-2-1)\\=-3\hat i+3\hat j-3\hat k\\=3(-\hat i+\hat j-\hat k)}$$
∴ r̄.n̄ = d
⇒ r̄.3(-î + ĵ – k̂) = (î – ĵ).3(-î + ĵ – k̂)
⇒ r̄.(-î + ĵ – k̂) = (î – ĵ).(-î + ĵ – k̂)
⇒ r̄.(-î + ĵ – k̂) = – 1 – 1 + 0
⇒ -r̄.(î – ĵ + k̂) = – 2
⇒ r̄.(î – ĵ + k̂) = 2
প্রদত্ত সমতলের কার্তেসিয় আকার –
(xî + yĵ + zk̂).(î – ĵ + k̂) = 2
⇒ x – y + z = 2
Ans: প্রদত্ত সমতলের কার্তেসিয় সমীকরণ x – y + z = 2

(ii)
Solution:
r̄ = (1 + s + t)î + (2 – s + t)ĵ + (3 – 2s + 2t)k̂
⇒ r̄ = (î + 2ĵ + 3k̂) +s(î – ĵ – 2k̂) + t(î + ĵ + 2k̂)
∴ n̄ = (î – ĵ – 2k̂)×(î + ĵ + 2k̂)
$$\large{⇒\begin{vmatrix}\hat i\quad\quad \hat j\quad\quad\hat k\\1\quad -1\quad-2\\1\quad\quad 1\quad\quad 2\end{vmatrix}\\\quad\\⇒\hat i(-2+2)-\hat j(2+2)+\hat k(1+1)\\=-4\hat j+2\hat k}$$
∴ r̄.n̄ = d
⇒ r̄.(-4ĵ + 2k̂) = (î + 2ĵ + 3k̂).(-4ĵ + 2k̂)
⇒ 2r̄.(-2ĵ + k̂) = 2(î + 2ĵ + 3k̂).(-2ĵ + k̂)
⇒ r̄.(-2ĵ + k̂) = 0 – 4 +3
⇒ -r̄.(2ĵ – k̂) = -1
⇒ r̄.(2ĵ – k̂) = 1
প্রদত্ত সমতলের কার্তেসিয় আকার –
(xî + yĵ + zk̂).(2ĵ – k̂) = 1
⇒ 0 + 2y – z = 1
⇒ 2y – z = 1
Ans: প্রদত্ত সমতলের কার্তেসিয় সমীকরণ 2y – z = 1
5. প্রদত্ত সমতলগুলির নন-প্যারামেট্রিক আকারে সমীকরণ নির্ণয় করো:
(i) r̄ = (λ – 2μ)î+ (3 – μ)ĵ + (2λ + μ)k̂
(ii) r̄ = (2î + 2ĵ – k̂) + λ(î + 2ĵ + 3k̂) + µ(5î – 2ĵ + 7k̂)

(i)
Solution:
r̄ = (λ – 2μ)î+ (3 – μ)ĵ + (2λ + μ)k̂
⇒ r̄ = 3ĵ + λ(î + 2k̂) + μ(-2î – ĵ + k̂)
∴ n̄ = (î + 2k̂)×(-2î – ĵ + k̂)
$$\large{⇒\begin{vmatrix}\hat i\quad\quad \hat j\quad\quad \hat k\\1\quad\quad 0\quad\quad 2\\-2\quad -1\quad\quad 1\end{vmatrix}\\\quad\\⇒\hat i(0+2)-\hat j(1+4)+\hat k(-1+0)\\=2\hat i-5\hat j-\hat k}$$
∴ সমতলটির নন-প্যারামেট্রিক আকার হল –
r̄.(2î – 5ĵ – k̂) = 3ĵ.(2î – 5ĵ – k̂)
⇒ r̄.(2î – 5ĵ – k̂) = -15
⇒ r̄.(2î – 5ĵ – k̂) + 15 = 0
Ans: সমতলটির নন-প্যারামেট্রিক আকার r̄.(2î – 5ĵ – k̂) + 15 = 0

(ii)
Solution:
r̄ = (2î + 2ĵ – k̂) + λ(î + 2ĵ + 3k̂) + µ(5î – 2ĵ + 7k̂)
∴ n̄ = (î + 2ĵ + 3k̂)×(5î – 2ĵ + 7k̂)
$$\large{⇒\begin{vmatrix}\hat i\quad\quad \hat j\quad\quad \hat k\\1\quad\quad 2\quad\quad 3\\5\quad -2\quad\quad 7\end{vmatrix}\\\quad\\⇒\hat i(14+6)-\hat j(7-15)+\hat k(-2-10)\\=20\hat i+8\hat j-12\hat k}$$
∴ সমতলটির নন-প্যারামেট্রিক আকার হল –
r̄.(20î + 8ĵ – 12k̂) = (2î + 2ĵ – k̂).(20î + 8ĵ – 12k̂)
⇒ 4r̄.(5î + 2ĵ – 3k̂) = 4(2î + 2ĵ – k̂).(5î + 2ĵ – 3k̂)
⇒ r̄.(5î + 2ĵ – 3k̂) = (2î + 2ĵ – k̂).(5î + 2ĵ – 3k̂)
⇒ r̄.(5î + 2ĵ – 3k̂) = 10 + 4 + 3
⇒ r̄.(5î + 2ĵ – 3k̂) = 17
Ans: সমতলটির নন-প্যারামেট্রিক আকার r̄.(5î + 2ĵ – 3k̂) = 17
S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল
6. 3î + 4ĵ + 2k̂, 2î – 2ĵ – k̂ এবং 7î + 6k̂ বিন্দুগামী সমতলের ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution:
ধরি, A, B ও C বিন্দু তিনটির অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 3î + 4ĵ + 2k̂, 2î – 2ĵ – k̂ এবং 7î + 6k̂
∴ AB = 2î – 2ĵ – k̂ – (3î + 4ĵ + 2k̂)
= 2î – 2ĵ – k̂ – 3î – 4ĵ – 2k̂
= -î – 6ĵ – 3k̂
AC = 7î + 6k̂ – (3î + 4ĵ + 2k̂)
= 7î + 6k̂ – 3î – 4ĵ – 2k̂
= 4î – 4ĵ + 4k̂
সমতলটির ওপর A, B ও C বিন্দু তিনটি অবস্থিত।
∴ সমতলটির ওপর AB, AC অবস্থিত
∴ সমতলটির অভিলম্ব ভেক্টর হল –
$$\large{\therefore \vec {AB}×\vec{AC}=\begin{vmatrix}\hat i\quad\quad \hat j\quad\quad \hat k\\-1\quad -6\quad -3\\4\quad -4\quad\quad 4\end{vmatrix}\\\quad=\hat i(-24-12)-\hat j(-12+4)+\hat k(4+24)\\\quad=-36\hat i-8\hat j+28\hat k}$$
A বিন্দুগামী ĀB̄×ĀC̄ ভেক্টরের উপর লম্ব ভেক্টরের সমীকরণ হল –
r̄.(-36î – 8ĵ + 28k̂) = (-36î – 8ĵ + 28k̂)(3î + 4ĵ + 2k̂)
⇒ -4r̄.(9î – 2ĵ + 7k̂) = -4(9î – 2ĵ + 7k̂)(3î + 4ĵ + 2k̂)
⇒ r̄.(9î – 2ĵ + 7k̂) = 27 – 8 + 14
⇒ r̄.(9î – 2ĵ + 7k̂) = 33
Ans: নির্ণেয় সমতলের ভেক্টর সমীকরণ r̄.(9î – 2ĵ + 7k̂) = 33
7. নীচের বিন্দুগুলির দ্বারা সমতলের সমীকরণ নির্ণয় করো:
(i) (2, 3, 4), (4, -1, 2) ও (-3, 5, 1)

Solution:
(2, 3, 4), (4, -1, 2) ও (-3, 5, 1) বিন্দুগামী সমতলের সমীকরণ হল-
$$\large{\quad\begin{vmatrix}x-2\quad y-3\quad z-4\\4-2\quad -1-3\quad 2-4\\-3-2\quad 5-3\quad 1-4\end{vmatrix}=0\\⇒\begin{vmatrix}x-2\quad y-3\quad z-4\\2\quad -4\quad -2\\-5\quad\quad 2\quad -3\end{vmatrix}=0}$$
⇒ (x – 2)(12 + 4) – (y – 3)(-6 – 10) + (z – 4)(4 – 20) = 0
⇒ 16(x – 2) + 16(y – 3) – 16(z – 4) = 0
⇒ 16[(x – 2) + (y – 3) – (z – 4)] = 0
⇒ x – 2 + y – 3 – z + 4 = 0
⇒ x + y – z = 1
Ans: (2, 3, 4), (4, -1, 2) ও (-3, 5, 1) বিন্দুগামী সমতলের সমীকরণ x + y – z = 17.
7. নীচের বিন্দুগুলির দ্বারা সমতলের সমীকরণ নির্ণয় করো:
(ii) (3, 3, 0), (1, 1, 1) ও (0, -1, 0)

Solution:
(3, 3, 0), (1, 1, 1) ও (0, -1, 0) বিন্দুগামী সমতলের সমীকরণ হল-
$$\large{\quad\begin{vmatrix}x-3\quad y-3\quad z-0\\1-3\quad 1-3\quad 1-0\\0-3\quad -1-3\quad 0-0\end{vmatrix}=0\\⇒\begin{vmatrix}x-3\quad y-3\quad z-0\\-2\quad -2\quad\quad 1\\-3\quad\quad -4\quad\quad 0\end{vmatrix}=0}$$
⇒ (x – 3)(0 + 4) – (y – 3)(0 + 3) + (z – 0)(8 – 6) = 0
⇒ 4(x – 3) – 3(y – 3) + 2z = 0
⇒ 4x – 12 – 3y + 9 + 2z = 0
⇒ 4x – 3y + 2z = 3
Ans: ((3, 3, 0), (1, 1, 1) ও (0, -1, 0) বিন্দুগামী সমতলের সমীকরণ 4x – 3y + 2z = 3
S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল
8. প্রমাণ করো যে, নীচের বিন্দুগুলি একই সমতলে অবস্থিত:
(i) (3, 9, 4), (4, 5, 1), (-4, 4, 4) ও (0, -1, -1)

Solution:
(3, 9, 4), (4, 5, 1), (-4, 4, 4) বিন্দুগামী সমতলের সমীকরণ –
$$\large{\quad\begin{vmatrix}x-3\quad y-9\quad z-4\\4-3\quad 5-9\quad 1-4\\-4-3\quad 4-9\quad 4-4\end{vmatrix}=0\\⇒\begin{vmatrix}x-3\quad y-9\quad z-4\\1\quad -4\quad -3\\-7\quad -5\quad\quad 0\end{vmatrix}=0\\⇒(x-3)(0-15)-(y-9)(0-21)+(z-4)(-5-28)=0\\⇒-15(x-3)+21(y-9)(0-21)-33(z-4)=0—(i)}$$
(i)নং সমীকরণের ডানপক্ষে (0, -1, -1) বসিয়ে পাই,
-15(0 – 3) + 21(-1 – 9) – 33(-1 – 4)
= -15×(-3) + 21×(-10) – 33×(-5)
= 45 – 210 + 165
= -165 + 165
= 0
(0, -1, -1) দ্বারা (i)নং সমীকরণ সিদ্ধ হয়।
∴ (3, 9, 4), (4, 5, 1), (-4, 4, 4) ও (0, -1, -1) বিন্দুগুলি একই সমতলে অবস্থিত। (Proved)
8. প্রমাণ করো যে, নীচের বিন্দুগুলি একই সমতলে অবস্থিত:
(ii) (-1, -5, -3), (1, 1, -1), (0, 4, 3) ও (-2, -2, 1)

Solution:
(-1, -5, -3), (1, 1, -1) ও (0, 4, 3) বিন্দুগামী সমতলের সমীকরণ হল-
$$\large{\quad\begin{vmatrix}x+1\quad y+5\quad z+3\\1+1\quad 1+5\quad -1+3\\0+1\quad 4+5\quad 3+3\end{vmatrix}=0\\⇒\begin{vmatrix}x+1\quad y+5\quad z+3\\2\quad\quad\quad 6\quad\quad\quad 2\\1\quad\quad\quad 9\quad\quad\quad 6\end{vmatrix}=0\\⇒(x+1)(36-18)-(y+5)(12-2)+(z+3)(18-6)=0\\⇒18(x+1)-10(y+5)+12(z+3)=0 – – – (i)}$$
(i)নং সমীকরণের ডানপক্ষে (-2, -2, 1) বসিয়ে পাই,
18(-2 + 1) -10(-2 + 5) + 12(1 + 3)
= 18×(-1) – 10×3 + 12×4
= -18 – 30 + 48
= -48 +48
= 0
(-2, -2, 1) দ্বারা (i)নং সমীকরণ সিদ্ধ হয়।
∴ (-1, -5, -3), (1, 1, -1), (0, 4, 3) ও (-2, -2, 1) বিন্দুগুলি একই সমতলে অবস্থিত। (Proved)
9. (2, 3, -1) বিন্দুগামী যে সমতল তিনটি অক্ষকে মূলবিন্দু থেকে সমান দূরত্বে ছেদ করে তার সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution:
ধরি, সমতলটি তিনটি অক্ষকে মূলবিন্দু থেকে a একক দূরত্বে ছেদ করে।
∴ সমতলটির সমীকরণ হবে
^x/_a + ^y/_a + ^z/_a = 1
⇒ ^x+y+z/_a = 1
⇒ x + y + z = a – – – (i)
(i) নং সমতলটি (2, 3, -1) বিন্দুগামী।
∴ 2 + 3 – 1 = a
∴ a = 4
Ans: সমতলটির সমীকরণ x + y + z = 4
S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল
10. x + Ky + 5z + 2 = 0 ও 3x – 2y + Kz – 1 = 0 সমতল দুটি পরস্পর পরস্পরের ওপর লম্ব হলে K-এর মান নির্ণয় করো।

Solution:
x + Ky + 5z + 2 = 0 ও 3x – 2y + Kz – 1 = 0 সমতল দুটির অভিলম্বের দিক অনুপাতসমূহ হল 1, K, 5 ও 3, -2, K;
সমতল দুটি পরস্পর লম্ব।
∴ সমতল দুটির অভিলম্ব দুটিও লম্ব হবে।
∴ 1×3 + K×(-2) + 5×K =0
⇒ 3 – 2K + 5K = 0
⇒ 3K= -3
⇒ K= -1
Ans: K-এর মান -1
11. কোনো সমতল x, y ও z -অক্ষকে যথাক্রমে L, M ও N বিন্দুতে ছেদ করে। যদি △LMN ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র (1, -2, 3) হয়, তবে সমতলটির সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution:
ধরি, কোনো সমতল x, y ও z -অক্ষ থেকে যথাক্রমে a একক, b একক ও c একক ছেদ করে।
∴ L, M ও N বিন্দুর স্থানাঙ্ক হবে যথাক্রমে (a, 0, 0), (0, b, 0), ও (0, 0, с)
∴ সমতলটির সমীকরণ হবে
^x/_a + ^y/_b + ^z/_c = 1
△LMN ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র (1, -2, 3)
∴ ^a+0+0/₃ = 1 ⇒ a = 3
^0+b+0/₃ = -2 ⇒ b = -6
∴ ^0+0+c/₃ = 3 ⇒ c = 9
∴ সমতলটির সমীকরণ
= ^x/₃ + ^y/_-6 + ^z/₉ = 1
= ^x/₃ – ^y/₆ + ^z/₉ = 1
Ans: নির্ণেয় সমতলটির সমীকরণ ^x/₃ – ^y/₆ + ^z/₉ = 1
12. (2, 1, -1) বিন্দুগামী যে সমতল x – y + z = 1 ও 3x + 4y – 2z = 0 সমতলের প্রত্যেকটির ওপর লম্ব, তার সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution:
ধরি, (2, 1, -1) বিন্দুগামী সমতলটির অভিলম্বের দিক্ অনুপাতসমূহ a, b, c.
নির্নেয় সমতলটি x – y + z = 1 ও 3x + 4y – 2z = 0 সমতলের প্রত্যেকটির ওপর লম্ব।
∴ a – b + c = 0;
3a + 4b – 2c =0
(ii) ও (iii) থেকে পাই,
^a/_2-4 = ^b/₃₊₂ = ^c/₄₊₃ = k – – – (k≠0)
⇒ ^a/_-2 = ^b/₅ = ^c/₇ = k
⇒ a = -2k; b = 5k; c = 7k
(2, 1, -1) বিন্দুগামী সমতলটির সমীকরণ হল –
a(x – 2) + b(y – 1) + c(z + 1) = 0
⇒ -2k(x – 2) + 5k(y – 1) + 7k(z + 1) = 0
⇒ -2(x – 2) + 5(y – 1) + 7(z + 1) = 0
⇒ -2x + 4 + 5y – 5 + 7z + 7 = 0
⇒ -2x + 5y + 7z + 6 = 0
⇒ 2x – 5y – 7z = 6
Ans: (2, 1, -1) বিন্দুগামী সমতলটির সমীকরণ 2x – 5y – 7z = 6
S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল
13. দেখাও যে, (1, 2, 3) বিন্দুগামী যে সমতল 3x + 4y – 5 = 1 সমতলের সমান্তরাল তার সমীকরণ হয় 3x + 4y – 5z + 4 = 0

Ans: 3x + 4y – 5 = 1 সমতলের সমান্তরাল তলের অভিলম্বের দিক অনুপাতসমূহ 3, 4, -5
(1, 2, 3) বিন্দুগামী 3x + 4y – 5 = 1 সমতলের সমান্তরাল সমতলের সমীকরণ হবে –
3(x – 1) + 4(y – 2) + (-5)(z – 3) = 0
⇒ 3x – 3 + 4y – 8 – 5z + 15 = 0
⇒ 3x + 4y – 5z + 4 = 0
নির্ণেয় সমতলের সমীকরণ 3x + 4y – 5z + 4 = 0 (Proved)
14. প্রমাণ করো যে, (2, -3, 5) বিন্দুগামী যে সমতল yz সমতলের সমান্তরাল, তার সমীকরণ হবে x = 2 ।

Ans:
yz সমতলের সমান্তরাল তলের অভিলম্বের দিক অনুপাতসমূহ 1, 0, 0
(2, -3, 5) বিন্দুগামী yz সমতলের সমান্তরাল সমতলের সমীকরণ হবে –
1(x – 2) + 0(y + 3) + 0(z – 5) = 0
⇒ x – 2 = 0
⇒ x = 2
নির্ণেয় সমতলের সমীকরণ: x = 2 (Proved)
15. 2x + 4y + 5z = 6 সমতলের সমান্তরাল যে সমতলের x, y ও z-অক্ষের ওপর ছেদিতাংশের সমষ্টি 19 একক, তার সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution:
2x + 4y + 5z = 6 সমতলের সমান্তরাল যে কোনো সমতলের সমীকরণ –
2x + 4y + 5z = k
⇒ ^2x/_k + ^4y/_k + ^5z/_k = 1₂₄₅
⇒ ^x/_k/₂ + ^y/_k/₄ + ^z/_k/₅ = 1
সমতলটি x, y ও z-অক্ষ থেকে যথাক্রমে ^k/₂, ^k/₄ ও ^k/₅ একক ছিন্ন করে।
প্রশ্নানুযায়ী,
^k/₂ + ^k/₄ + ^k/₅ = 19
⇒ ^10k+5k+4k/₂₀ = 19
⇒ ^19k/₂₀ = 19
⇒ k = 20
Ans: নির্ণেয় সমতলের সমীকরণ 2x + 4y + 5z = 20
S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল
সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রতিটি প্রশ্নের মান 4
1. P(3, 2, 1) বিন্দু থেকে 2x – y + z +1 = 0 সমতলের ওপর অঙ্কিত অভিলম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো। অভিলম্বের পাদবিন্দু থেকে P বিন্দুর দূরত্ব কত? অতঃপর উক্ত সমতলের সাপেক্ষে P বিন্দুর প্রতিবিম্ব বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।

Solution:
ধরি, পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক হল Q(α, β, γ)
∵ পাদবিন্দুটি 2x – y + z +1 = 0 সমতলের ওপর অবস্থিত।
∴ 2α – β + γ + 1 = 0 – – – (i)
P বিন্দুর স্থানাঙ্ক (3, 2, 1)
∴ PQ-এর দিক্ অনুপাত α – 3, β – 2, γ – 1
আবার, 2x – y + z + 1 = 0 সমতলের অভিলম্বের দিক অনুপাত 2, -1, 1 PQ সরলরেখাংশ সমতলটির ওপর লম্ব।
$$\large{\therefore\frac{α-3}{2}=\frac{β-2}{-1}=\frac{γ-1}{1}=\frac{2(α-3)-(β-2)+(γ-1)}{2×2-(-1)+1}\\⇒\frac{α-3}{2}=\frac{β-2}{-1}=\frac{γ-1}{1}=\frac{2α-6-β+2+γ-1}{4+1+1}\\⇒\frac{α-3}{2}=\frac{β-2}{-1}=\frac{γ-1}{1}= \frac{2α-β+γ-5}{6}\\⇒\frac{α-3}{2}=\frac{β-2}{-1}=\frac{γ-1}{1}= \frac{-1-5}{6}\\⇒\frac{α-3}{2}=\frac{β-2}{-1}=\frac{γ-1}{1}=-1\\\therefore\frac{α-3}{2}=-1\quad ⇒α=1\\\quad\frac{β-2}{-1}=-1\quad ⇒β=3\\\quad\frac{γ-1}{1}=-1\quad ⇒γ=0}$$
Ans: পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (1, 3, 0)
∴ পাদবিন্দু থেকে P বিন্দুর দূরত্ব
$$\large{=\sqrt{(3-1)^2+(2-3)^2+(1-0)^2}\\=\sqrt{4+1+1}\\=\sqrt{6}}$$
Ans: অভিলম্বের পাদবিন্দু থেকে P বিন্দুর দূরত্ব √6 একক।

ধরি, সমতলটির সাপেক্ষে P বিন্দুর প্রতিবিম্ব R (x₁, y₁, z₁)
∴ PR-এর মধ্যবিন্দু স্থানাঙ্ক (^3+x₁/₂, ^2+y₁/₂, ^1+z₁/₂
∴ ^3+x₁/₂ = 1 ⇒ 3 + x₁ = 2 ⇒ x₁ = -1;
^2+y₁/₂ = 3 ⇒ 2 + y₁ = 6 ⇒ y₁ = 4;
^1+z₁/₂ = 0 ⇒ 1 + z₁ = 0 ⇒ z₁ = -1
Ans: প্রতিবিম্ব বিন্দুর স্থানাঙ্ক (-1, 4, -1)
2. প্রমাণ করো যে, (1, 2, 1), (-2, 2, -1) ও (1, 1, 0) বিন্দু তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র (-¹/₂, 2, 0)

Solution:
ধরি, ABC ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু তিনটি হল A(1, 2, 1), B(-2, 2, -1) ও C(1, 1, 0)
$$\large{\therefore AB=\sqrt{(-2-1)^2+(2-2)^2+(-1-1)^2}\\\quad=\sqrt{9+0+4}\\\quad=\sqrt{13}\\BC=\sqrt{(1+2)^2+(1-2)^2+(0+1)^2}\\\quad\quad=\sqrt{9+1+1}\\\quad\quad=\sqrt{11}\\CA=\sqrt{(-1-1)^2+(2-1)^2+(0-1)^2}\\\quad\quad=\sqrt{0+1+1}\\\quad\quad=\sqrt{2}\\\therefore BC^2+CA^2\\\quad\quad=(\sqrt{11})^2+(\sqrt{2})^2\\\quad\quad=11+2\\\quad\quad=13\\\quad\quad=(\sqrt{13})^2\\\quad\quad=AB^2}$$
∴ ∆ABC হল সমকোণী ত্রিভুজ, যার অতিভুজ হল AB।
আবার সমকোণী ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র হল অতিভুজের মধ্যবিন্দু।
∴ ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র
= AB-এর মধ্যবিন্দু
= (^1-2/₂, ²⁺²/₂, ^1-1/₂)
= (-¹/₂, 2, 0)
Ans: ত্রিভুজটির পরিকেন্দ্র (-¹/₂, 2, 0)
S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল
3. (3, 1, 1) এবং (1, -2, 3) বিন্দুগামী যে সমতলগুলি x, y ও z-অক্ষের সমান্তরাল তাদের সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution:
x-অক্ষের সমান্তরাল সমতলের সমীকরণঃ
x-অক্ষের দিক অনুপাতসমূহ 1, 0, 0
∴ (3, 1, 1), (1, 2, 3) বিন্দুগামী এবং x -অক্ষের সমান্তরাল সমতলের সমীকরণ হল –
$$\large{\quad\begin{vmatrix}x-3\quad y-1\quad z-1\\3-1\quad 1+2\quad 1-3\\1\quad\quad\quad 0\quad\quad\quad 0\end{vmatrix}=0\\⇒\begin{vmatrix}x-3\quad y-1\quad z-1\\2\quad\quad\quad 3\quad\quad -2\\1\quad\quad\quad 0\quad\quad\quad 0\end{vmatrix}=0}$$
∴ (x – 3)(0 – 0) – (y – 1)(0 + 2) + (z – 1)(0 – 3) = 0
⇒ 0 – 2(y – 1) – 3(z – 1) = 0
⇒ -2y + 2 – 3z + 3 = 0
⇒ -2y – 3z + 5 = 0
⇒ 2y + 3z = 5
Ans: x-অক্ষের সমান্তরাল সমতলের সমীকরণ 2y + 3z = 5

y-অক্ষের সমান্তরাল সমতলের সমীকরণঃ
y-অক্ষের দিক অনুপাতসমূহ 0, 1, 0
∴ (3, 1, 1), (1, 2, 3) বিন্দুগামী এবং y -অক্ষের সমান্তরাল সমতলের সমীকরণ হল –
$$\large{\quad\begin{vmatrix}x-3\quad y-1\quad z-1\\3-1\quad 1+2\quad 1-3\\0\quad\quad\quad 1\quad\quad\quad 0\end{vmatrix}=0\\⇒\begin{vmatrix}x-3\quad y-1\quad z-1\\2\quad\quad\quad 3\quad\quad -2\\0\quad\quad\quad 1\quad\quad\quad 0\end{vmatrix}=0\\}$$
∴ (x – 3)(0 + 2) – (y – 1)(0 + 0) + (z – 1)(2 – 0) = 0
⇒ 2(x – 3) – 0 + 2(z – 1) = 0
⇒ 2(x – 3) – 0 + 2(z – 1) = 0
⇒ 2x – 6 + 2z – 2 = 0
⇒ 2x + 2z – 8 = 0
⇒ x + z – 4 = 0
⇒ x + z = 4
Ans: y-অক্ষের সমান্তরাল সমতলের সমীকরণ x + z = 4

z-অক্ষের সমান্তরাল সমতলের সমীকরণঃ
z-অক্ষের দিক অনুপাতসমূহ 0, 0, 1
∴ (3, 1, 1), (1, 2, 3) বিন্দুগামী এবং z -অক্ষের সমান্তরাল সমতলের সমীকরণ হল –
$$\large{\quad\begin{vmatrix}x-3\quad y-1\quad z-1\\3-1\quad 1+2\quad 1-3\\0\quad\quad\quad 0\quad\quad\quad 1\end{vmatrix}=0\\⇒\begin{vmatrix}x-3\quad y-1\quad z-1\\2\quad\quad\quad 3\quad\quad -2\\0\quad\quad\quad 0\quad\quad\quad 1\end{vmatrix}=0}$$
∴ (x – 3)(3 – 0) – (y – 1)(2 – 0) + (z – 1)(0 – 0) = 0
⇒ 3(x – 3) – 2(y – 1) + 0 = 0
⇒ 3x – 9 – 2y + 2 = 0
⇒ 3x – 2y – 7 = 0
⇒ 3x – 2y = 7
Ans: z-অক্ষের সমান্তরাল সমতলের সমীকরণ 3x – 2y = 7
4. মূলবিন্দু থেকে যে সমতলের ওপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দু (2, 3, -1), তার সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution:
(0, 0, 0) বিন্দু থেকে সমতলটির ওপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দু (2, 3, -1)
∴ সমতলটির অভিলম্বের দিক অনুপাতসমূহ (2 – 0), (3 – 0), (-1 – 0) অর্থাৎ 2, 3, -1
∴ ধরি, সমতলটির সমীকরণ 2x + 3y – z = d – – – (i)
(i) নং সমীকরণ (2, 3, -1) বিন্দুগামী।
∴ 2×2 + 3×3 – (-1) = d
⇒ 4 + 9 + 1 = d
⇒ d =14
Ans: সমতলটির সমীকরণ হল 2x + 3y – z = 14
5. দেখাও যে, (1, 2, 3) বিন্দুগামী যে সমতল 3x + 4y – 5c = 3 সমতলের সমান্তরাল, তার সমীকরণ হয় 3x + 4y – 5c = -4

Solution:
3x + 4y – 5c = 0 সমতলের সমান্তরাল সমতলের সমীকরণ হল 3x + 4y – 5z = d – – – (i)
(i) নং সমীকরণ (1, 2, 3) বিন্দুগামী।
∴ 3×1 + 4×2 – 5×3 = d
⇒ 3 + 8 – 15 = d
⇒ d = -4
সমতলটির সমীকরণ হল 3x +4y – 5z = -4 (Proved)
S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল
6. (1, 1, 2) এবং (2, 4, 3) বিন্দুগামী যে সমতল x – 3y + 7z = 6 সমতলের ওপর লম্ব, তার কার্তেসিয় সমীকরণ নির্ণয় করো এবং কার্তেসিয় সমীকরণটিকে ভেক্টর সমীকরণে রূপান্তরিত করো।

Solution:
(1, 1, 2) বিন্দুগামী যে-কোনো সমতলের অভিলম্বের দিক্ কোসাইনসমূহ a, b, c হলে সমতলের সমীকরণ হবে-
a(x – 1) + b(y – 1) + c(z – 2) = 0 – – – (i)
সমতলটি (2, 4, 3) বিন্দুগামী।
∴ a(2 – 1) + b(4 – 1) + c(3 – 2) = 0
⇒ a + 3b + c = 0 – – – (ii)
(i) নং সমতলটি x – 3y + 7z = 6 সমতলের উপর লম্ব।
∴ a×1 + b×(-3) + c×7 = 0
⇒ a – 3b + 7c = 0 – – – (iii)
(ii) ও (iii) থেকে পাই,
^a/₂₁₊₃ = ^b/_1-7 = ^c/_-3-3 = k – – – (k≠0)
⇒ ^a/₂₄ = ^b/_-6 = ^c/_-6 = k
⇒ ^a/₄ = ^b/_-1 = ^c/_-1 = k
⇒ a = 4k; b = -k; c = -k
সমতলটির সমীকরণ হল –
∴ 4k(x – 1) + (-k)(y – 1) + (-k)(z – 2) = 0
⇒ 4(x – 1) – (y – 2) – (z – 3) = 0
⇒ 4x – 4 – y + 2 – z + 3 = 0
⇒ 4x – y – z + 1 = 0
Ans: সমতলটির কার্তেসিয় সমীকরণ 4x – y – z + 1 = 0
সমতলটির ভেক্টর সমীকরণ হল –
(xî + yĵ + 4k̂).(4î – ĵ – k̂) = 1
⇒ r̄..(4î – ĵ – k̂) = 1
Ans: সমতলটির ভেক্টর সমীকরণ r̄.(4î – ĵ – k̂) = 1
S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল
7. প্রমাণ করো (1, 2, 3) ও (3, 2, -1) বিন্দুগামী যে সমতল 3x + 2y + 6z + 4 = 0 সমতলের ওপর লম্ব, তার সমীকরণ 2x – 6y + z + 7 = 0

Solution:
(1, 2, 3) বিন্দুগামী যে-কোনো সমতলের অভিলম্বের দিক্ কোসাইনসমূহ a, b, c হলে সমতলের সমীকরণ হবে-
a(x – 1) + b(y – 2) + c(z – 3) = 0 – – – (i)
সমতলটি (3, 2, -1) বিন্দুগামী।
∴ a(3 – 1) + b(2 – 2) + c(-1 – 3) = 0
⇒ 2a – 4c = 0
⇒ 2a + 0b – 4c = 0 – – – (ii)

(i) নং সমতলটি 3x + 2y + 6z + 4 = 0 সমতলের উপর লম্ব।
∴ a×3 + b×2 + c×6 = 0
⇒ 3a + 2b + 6c = 0 – – – (iii)
(ii) ও (iii) থেকে পাই,
^a/₀₊₈ = ^b/_-12-12 = ^c/_4-0 = k – – – (k≠0)
⇒ ^a/₈ = ^b/_-24 = ^c/₄ = k
⇒ ^a/₂ = ^b/_-6 = ^c/₁ = k
⇒ a = 2k; b = -6k; c = k
সমতলটির সমীকরণ হল –
∴ 2k(x – 1) + (-6)k(y – 2) + k(z – 3) = 0
⇒ 2(x – 1) – 6(y – 2) + (z – 3) = 0
⇒ 2x – 2 – 6y + 12 + z – 3 = 0
⇒ 2x – 6y + z + 7 = 0 (Proved)
8. প্রমাণ করো (-1, 3, 2) বিন্দুগামী যে সমতলটি x + 2y + 2z = 5 ও 3x + 3y + 2z + 8 = 0 সমতলের প্রত্যেকটির ওপর লম্ব, তার সমীকরণ 2x – 4y + 3z + 8 = 0

Solution:
(−1, 3, 2) বিন্দুগামী একটি সমতলের সমীকরণ হল –
a(x + 1) + b(y – 3) + c(z – 2) = 0 – – – (i)
(i) নং সমতলটি x + 2y + 2z = 5 এবং 3x + 3y + 2z + 8 = 0সমতল দুটির সাথে লম্ব।
∴ a + 2b + 2c = 0 – – – (ii)
3a + 3b + 2c = 0 – – – (iii)
(ii) ও (iii) থেকে পাই,
^a/_4-6 = ^b/_6-2 = ^c/_3-6 = k – – – (k≠0)
⇒ ^a/_-2 = ^b/₄ = ^c/_-3 = k
⇒ a = -2k; b = 4k; c = -3k
সমতলটির সমীকরণ হল –
∴ -2k(x + 1) + 4k(y – 3) + (-3k)(z – 2) = 0
⇒ -2(x + 1) + 4(y – 3) – 3(z – 2) = 0
⇒ -2x – 2 + 4y – 12 – 3z + 6 = 0
⇒ -2x + 4y – 3z – 8 = 0
⇒ 2x – 4y + 3z + 8 = 0 (Proved)
S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল
9. দেখাও যে, ax + by + r =0, by + cz + p = 0 এবং cz + ax + q = 0 সমতলত্রয় যথাক্রমে xy, yz এবং zx-সমতল তিনটির ওপর লম্ব।

Solution:
ax + by + r = 0 সমতলটির অভিলম্বের দিক অনুপাতসমূহ a, b, 0
xy-সমতলের অভিলম্বের দিক অনুপাতসমূহ 0, 0, 1
এখন a×0 + b×0 + 0×1 = 0
∴ সমতল দুটি পরস্পর লম্ব।

by + cz + p = 0 সমতলটির অভিলম্বের দিক অনুপাতসমূহ 0, b, c
yz-সমতলের অভিলম্বের দিক অনুপাতসমূহ 1, 0, 0
এখন 0×1 + b×0 + c×0 = 0
∴ সমতল দুটি পরস্পর লম্ব।

cz + ax + q = 0 সমতলটির অভিলম্বের দিক অনুপাতসমূহ a, 0, c
zx-সমতলের অভিলম্বের দিক অনুপাতসমূহ 0, 1, 0
এখন a×0 + 1×0 + c×0 = 0
∴ সমতল দুটি পরস্পর লম্ব।
ax + by + r =0, by + cz + p = 0 এবং cz + ax + q = 0 সমতলত্রয় যথাক্রমে xy, yz এবং zx-সমতল তিনটির ওপর লম্ব। (Proved)
Utube_comptech_prostuti2022
10. মূলবিন্দুগামী কোনো সমতল (2 – x, 2, 2), (2, 2 – у, 2) এবং (2, 2, 2 – z) বিন্দুগামী হলে, প্রমাণ করো যে, ²/_x + ²/_y + ²/_z = 1

Solution:
সমতলটি মূলবিন্দুগামী।
∴ কোনো সমতল (0, 0, 0), (2 – x, 2, 2), (2, 2 – у, 2) এবং (2, 2, 2 – z) বিন্দুগামী হলে,
$$\large{\therefore\begin{vmatrix}2-x-0\quad\quad 2-0\quad 2-0\\2-0\quad\quad 2-y-0\quad 2-0\\2-0\quad\quad 2-0\quad\quad 2-z-0\end{vmatrix}=0\\⇒\begin{vmatrix}2-x\quad 2\quad\quad 2\\2\quad\quad 2-y\quad 2\\2\quad\quad 2\quad 2-z\end{vmatrix}=0\\⇒\begin{vmatrix}-x\quad y\quad 0\\0\quad -y\quad z\\2\quad 2\quad 2-z\end{vmatrix}=0\\\ \quad\quad\quad — [R_1^!=R_1-R_2;R_2^!=R_2-R_3]}$$
⇒ -x(-2y + yz – 2z) -y(0 – 2z) = 0
⇒ 2xy -xyz + 2zx +2yz = 0
⇒ 2xy + 2zx +2yz = xyz
⇒ ^2xy/_xyz + ^2zx/_xyz + ^2yz/_xyz = 1
⇒ ²/_z + ²/_y + ²/_x = 1
⇒ ²/_x + ²/_y + ²/_z = 1 (Proved)
11. মনে করো, একটি ভেক্টর n̄ অক্ষগুলির সঙ্গে সমান কোণ (θ ≤ 90°) উৎপন্ন করে এবং ভেক্টরটির মান 2√3 । (1, -1, 2) বিন্দুগামী এবং n ভেক্টরের ওপর লম্ব সমতলটির ভেক্টর এবং কার্তেসিয় সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution:
ধরি, n̄ ভেক্টরটি অক্ষগুলির সাথে θ (θ ≤ 90°) কোণ উৎপন্ন করে।
∴ n̄ = 2√3(îcosθ + ĵcosθ + k̂cosθ)
আবার, cos²θ + cos²θ + cos²θ =1
⇒ 3cos²θ = 1
⇒ cos²θ = ¹/₃
⇒ cosθ = ¹/_√3 – – – [∵ θ ≤ 90°]
∴ n̄ = 2√3(^î/_√3 +^ĵ/_√3 + ^k̂/_√3)
⇒ n̄ = 2î + 2ĵ + 2k̂
∴ (1, -1, 2) বিন্দুগামী এবং n̄ ভেক্টরের ওপর লম্ব সমতলের সমীকরণ
n̄.{r̄ – (î – ĵ + 2k̂)} = 0
⇒ (2î + 2ĵ + 2k̂).{r̄ – (î – ĵ + 2k̂)} = 0
⇒ r̄.(2î + 2ĵ + 2k̂) – (2î + 2ĵ + 2k̂).(î – ĵ + 2k̂)} = 0
⇒ r̄.(2î + 2ĵ + 2k̂) – (2 – 2 + 4) = 0
⇒ r̄.(2î + 2ĵ + 2k̂) – 4 = 0
⇒ r̄.(2î + 2ĵ + 2k̂) = 4
⇒ r̄.(î + ĵ + k̂) = 2 – – – (i)
∴ সমতলটির ভেক্টর সমীকরণ r̄.(î + ĵ + k̂) = 2 (Ans)
(i) নং সমীকরণে r̄ = xî + yĵ + zk̂ বসিয়ে পাই,
(xî + yĵ + zk̂).(î + ĵ + k̂) = 2
⇒ x + y + z = 2
∴ সমতলটির কার্তেসিয় সমীকরণ x + y + z = 2 (Ans)
S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল
12. মনে করো, P(α, β, γ) বিন্দুগামী কোনো সমতল তিনটি অক্ষকে যথাক্রমে L, M ও N বিন্দুতে ছেদ করে এবং O মূলবিন্দু থেকে সমতলটির ওপর OP লম্ব। প্রমাণ করো যে, LMN ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ^r⁵/_2αβγ যেখানে |ŌP̄| = r
Solution:
OP-এর দিক অনুপাতসমূহ (α – 0), (β – 0), (γ – 0) অর্থাৎ α, β, γ
এবং |ŌP̄| = r
⇒ √(α² + β² + γ²) = r
⇒ α² + β² + γ² = r² – – – (i)
OP সমতলটির ওপর লম্ব।^r²/_αβγ
(α, β, γ) বিন্দুগামী এবং OP-এর ওপর লম্ব সমতলের সমীকরণ –
α(x – α) +β(y – β) + γ(z – γ) = 0
⇒ αx – α² + βy – β² + γz – γ² = 0
⇒ αx + βy + γz = α² + β² + γ²
⇒ αx + βy + γz = r² – – – [(i) থেকে পাই]
⇒ ^x/_{^r²/_α} + ^y/_{^r²/_β} + ^z/_{^r²/_γ} = 1
∴ L, M ও N-এর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (^r²/_α, 0, 0), (0, ^r²/_β, 0) ও (0, 0, ^r²/_γ)
∴ OL-এর দিক অনুপাতসমূহ ^r²/_α, 0, 0
OM-এর দিক অনুপাতসমূহ 0, ^r²/_β, 0
এবং ON-এর দিক অনুপাতসমূহ 0, 0, ^r²/_γ
OLMN চতুস্তলকটির আয়তন
$${\large=\frac{1}{6}\begin{vmatrix}\frac{r^2}{α}\quad 0\quad 0\\0\quad \frac{r^2}{β}\quad 0\\0\quad 0\quad \frac{r^2}{γ}\end{vmatrix}\\=\frac{r^2}{α}(\frac{r^2}{β}×\frac{r^2}{γ})\\=\frac{r^6}{6αβγ}}$$
আবার, OLMN-এর আয়তন
= ¹/₃×ŌP̄×△LMN
= ¹/₃×r×△LMN
∴ ¹/₃×r×△LMN = ^r⁶/_6αβγ
⇒ △LMN = ^r⁵/_2αβγ (Proved)
13. একটি চলমান সমতল মূলবিন্দু থেকে 3p একক দূরত্বে অবস্থান করে ও অক্ষগুলিকে L, M ও N বিন্দুতে ছেদ করে। দেখাও যে, L, M ও N বিন্দুগামী xy, yz ও zx সমতল তিনটির সমান্তরাল সমতলগুলির ছেদবিন্দুর গতিপথ হবে
$$\large{\mathbf{9(α^{-2}+β^{-2}+γ^{-2})=p^{-2}}\\}$$
Solution:
ধরি, L, M ও N বিন্দুগামী সমতল তিনটির ছেদবিন্ii
ধরি, P বিন্দুর স্থানাঙ্ক (α, β, γ)
∴ L, M, N-এর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (α, 0, 0), (0, β, 0) এবং (0, 0, γ)
∴ L, M, N বিন্দুগামী সমতলের সমীকরণ –
^x/_α + ^y/_β + ^z/_γ = 1 – – – (i)
মূলবিন্দু থেকে (i) সমতলের দূরত্ব 3p একক
$$\large{\therefore \frac{|\frac{0}{α}+\frac{0}{β}+\frac{0}{γ}-1|}{\sqrt{\frac{1}{α^2}+\frac{1}{β^2}+\frac{1}{γ^2}}}=3p\\⇒\frac{|-1|}{\sqrt{\frac{1}{α^2}+\frac{1}{β^2}+\frac{1}{γ^2}}}=3p\\⇒\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{α^2}+\frac{1}{β^2}+\frac{1}{γ^2}}}=3p\\⇒3p\sqrt{\frac{1}{α^2}+\frac{1}{β^2}+\frac{1}{γ^2}}=1\\⇒9p^2\left(\frac{1}{α^2}+\frac{1}{β^2}+\frac{1}{γ^2}\right)=1\\⇒9\left(\frac{1}{α^2}+\frac{1}{β^2}+\frac{1}{γ^2}\right)=\frac{1}{p^2}\\⇒9(α^{-2}+β^{-2}+γ^{-2})=p^{-2}\quad \mathbf{(Proved)}}$$
S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল
14. (f, g, h) বিন্দুগামী একটি চলমান সমতল অক্ষ তিনটিকে যথাক্রমে L, M ও N বিন্দুতে ছেদ করে। যদি L, M ও N বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত x, y ও z অক্ষের সমান্তরাল সমতলগুলি P বিন্দুতে ছেদ করে, তবে প্রমাণ করো যে, P বিন্দুর সঞ্চারপথ হবে f/x+g/y+h/z= 1

Solution:
ধরি, P বিন্দুর স্থানাঙ্ক (α, β, γ)
∴ L, M, N-এর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (α, 0, 0), (0, β, 0) এবং (0, 0, γ)
L, M, N বিন্দুগামী সমতলের সমীকরণ =
^x/_α + ^y/_β + ^z/_γ = 1 – – – (i)
(i) নং সমীকরণ (f, g, h) বিন্দুগামী।
∴ ^f/_α + ^g/_β + ^h/_γ = 1
∴ P(α, β, γ) বিন্দুর সঞ্চারপথ –
^f/_x + ^g/_y + ^h/_z = 1 (Proved)
15. ^x/_a + ^y/_b + ^z/_c = 1 সমতলের ওপর P একটি চলমান বিন্দু।OP সরলরেখার ওপর লম্বভাবে অঙ্কিত সমতল অক্ষ তিনটিকে L, M ও N বিন্দুতে ছেদ করে। যদি L, M, N বিন্দু থেকে xy, yz ও zx সমতলের সমান্তরাল সমতলগুলি Q বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করে তবে, দেখাও যে Q বিন্দুর সঞ্চারপথ হয়:
$$\large{\quad x^{-2}+y^{-2}+z^{-2}=\frac{1}{ax}+\frac{1}{by}+\frac{1}{cz}\\}$$
Solution:
ধরি, Q বিন্দুর স্থানাঙ্ক (α, β, γ)
∴ L, M, N-এর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (α, 0, 0), (0, β, 0) এবং (0, 0, γ)
L, M, N বিন্দুগামী সমতলের সমীকরণ:
^x/_α + ^y/_β + ^z/_γ = 1 – – – (i)
আরও ধরি, P বিন্দুর স্থানাঙ্ক (x₁, y₁, z₁)
∴ OP-এর দিক্ অনুপাতসমূহ (x₁ – 0), (y₁ – 0), (z₁ – 0) অর্থাৎ x₁, y₁, z₁
(i) নং সমতল ও OP সরলরেখা পরস্পর লম্ব।
$$\large{\quad\frac{x_1}{\frac{1}{α}}=\frac{y_1}{\frac{1}{β}}=\frac{z_1}{\frac{1}{γ}}=k\\\therefore x_1=\frac{k}{α};\quad y_1=\frac{k}{β};\quad z_1=\frac{k}{γ}\\}$$
P (x₁, y₁, z₁) বিন্দুটি ^x/_a + ^y/_b + ^z/_c = 1 সমতলের উপর অবস্থিত।
$$\large{\therefore \frac{x_1}{a}+\frac{y_1}{b}+\frac{z_1}{c}=1\\⇒\frac{\frac{k}{α}}{a}+\frac{\frac{k}{β}}{b}+\frac{\frac{k}{γ}}{c}=1\\⇒\frac{k}{aα}+\frac{k}{bβ}+\frac{k}{cγ}=1\\⇒\frac{1}{aα}+\frac{1}{bβ}+\frac{1}{cγ}=\frac{1}{k}—(ii)}$$
p বিন্দুটি ^x/_α + ^y/_β + ^z/_γ = 1 সমতলের উপর অবস্থিত।
$$\large{\therefore \frac{x_1}{α}+\frac{y_1}{β}+\frac{z_1}{γ}=1\\⇒\therefore \frac{\frac{k}{α}}{α}+\frac{\frac{k}{β}}{β}+\frac{\frac{k}{γ}}{γ}=1\\⇒\frac{k}{α^2}+\frac{k}{β^2}+\frac{k}{γ^2}=1\\⇒\frac{1}{α^2}+\frac{1}{β^2}+\frac{1}{γ^2}=\frac{1}{k}—(iii)}$$
(ii) ও (iii) থেকে পাই,
$$\large{\quad\frac{1}{aα}+\frac{1}{bβ}+\frac{1}{cγ}=\frac{1}{α^2}+\frac{1}{β^2}+\frac{1}{γ^2}\\⇒\frac{1}{α^2}+\frac{1}{β^2}+\frac{1}{γ^2}=\frac{1}{aα}+\frac{1}{bβ}+\frac{1}{cγ}}$$
Q (α, β, γ) এর সঞ্চারপথ –
$$\large{\quad \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=\frac{1}{ax}+\frac{1}{by}+\frac{1}{cz}\\⇒ x^{-2}+y^{-2}+z^{-2}=\frac{1}{ax}+\frac{1}{by}+\frac{1}{cz}\quad\mathbf{(Proved)}}$$
HS 2025 Mathematics Solution।। উচ্চ মাধ্যামিক ২০২৫ গণিত প্রশ্নপত্রের সমাধান

Matrix S N Dey Solution Part-3

Matrix S N Dey Solution Part-2

Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স

S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল

Straight Line Ex 4A Class XII সরলরেখা S N Dey Solution

Direction Cosines and Direction Ratios Class XII S N Dey দিক্ কোসাইন এবং দিক্ অনুপাত

Probability Bayes’ Theorem বেইজ উপপাদ্য প্রশ্নমালা 1B

দ্বাদশ শ্রেণীর সম্ভাবনা Probability S N Day Part -2

Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা Part-I

অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Significance of Derivative S N Dey Part-2

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

ভেক্টর বীজগণিত Class XII Vector Algebra S N Dey Part 2

Vector Algebra Class XII ভেক্টর বীজগণিত Part 1

Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part II

Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part-1

JBNSTS- Junior & Senior Scholarship – How to apply, Syllabus etc.

জি. পি. বিড়লা স্কলারশিপ || How to apply GP Birla Scholarship

Vidyasagar Science Olympiad How To Apply বিদ্যাসাগর সায়েন্স অলিম্পিয়াড

Medhasree Scholarship মেধাশ্রী – How to apply, Check Date, Eligibility
December 6, 2023

লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু কষে দেখি 16 দশম শ্রেণি Right Circular Cone

লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু কষে দেখি 16 দশম শ্রেণি Right Circular Cone

লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু কষে দেখি 16 দশম শ্রেণি Right Circular Cone

⛔ লম্ব-বৃত্তাকার শঙ্কু ঃ কোনো সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণের ধারক যেকোনো একটি বাহুকে স্থির রেখে বা অক্ষ ধরে ত্রিভুজটিকে একবার পূর্ণ আবর্তন করালে যে ঘনবস্তু উৎপন্ন হয় , তাকে লম্ব-বৃত্তাকার শঙ্কু বলে ।
👉 যেমন ঃ- রাজমিস্ত্রিরির ওলন, মোচার অগ্রভাগ, ফানেল, টোপর ইত্যাদি
👉 A কে শঙ্কুটির শীর্ষ বলা হয় ।
👉 C বিন্দু দ্বারা গঠিত বৃত্তাকার ক্ষেত্রটিকে শঙ্কুর ভূমি বলে ।
👉 BC বৃত্তের ব্যাসার্ধ ।
👉 ভূমির উপর লম্ব AC-কে শঙ্কুর উচ্চতা বলা হয়।
👉 AB-কে শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা বলা হয় ।
👉 শঙ্কুর দুটি তল –
একটি বৃত্তাকার সমতল,
একটি বক্রতল – যাকে শঙ্কুর পার্শ্বতল বলে ।

⛔ শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধ r, উচ্চতা h এবং তির্যক উচ্চতা l হলে,
✴️ পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল
= π × ভূমির ব্যাসার্ধ × তির্যক উচ্চতা
= πrl বর্গএকক
= ¹/₂ × (2πr) × l বর্গএকক
= ¹/₂ × ভূমির পরিধি × তির্যক উচ্চতা
✴️ সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= ভূমির ক্ষেত্রফল + পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল
= πr² + πrl বর্গএকক
= πr(r + l) বর্গএকক
✴️ আয়তন বা ঘনফল
= ⅓ × ভূমির ক্ষেত্রফল × উচ্চতা
= ¹/₃πr²h ঘনএকক
⛔ শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধ r, উচ্চতা h এবং তির্যক উচ্চতা l হলে এদের মধ্যে সম্পর্ক –
h² + r² = l²

লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু কষে দেখি 16 দশম শ্রেণি Right Circular Cone

1. আমি একটি মুখবন্ধ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু তৈরি করেছি যার ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 15 সেমি এবং তির্যক উচ্চতা 24 সেমি। ওই শঙ্কুর পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল ও সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।

Solution:
শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধ 15 সেমি এবং তির্যক উচ্চতা 24 সেমি।
∴ শঙ্কুর পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল
= πrl
= ²²/₇×15×24 বর্গ সেমি
= ⁷⁹²⁰/₇ বর্গ সেমি
= 1131³/₇ বর্গ সেমি

শঙ্কুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= πr(r + l)
= ²²/₇×15(15 + 24) বর্গ সেমি
= ²²/₇×15×39 বর্গ সেমি
= ¹²⁸⁷⁰/₇ বর্গ সেমি
= 1838⁴/₇ বর্গ সেমি
Ans: শঙ্কুর পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল 1131³/₇ বর্গ সেমি
শঙ্কুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 1838⁴/₇ বর্গ সেমি

2. শঙ্কুর আয়তন নির্ণয় করি যখন,(i) ভূমির ক্ষেত্রফল 1.54 বর্গ মিটার এবং উচ্চতা 2.4 মিটার,(ii) ভূমির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 21 মিটার এবং তির্যক উচ্চতা 17.5 মিটার।

(i)
Solution:
ধরি,, শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধ r মিটার।
∴ πr² = 1.54 এবং উচ্চতা h =2.4 মিটার
∴ শঙ্কুর আয়তন
= ¹/₃πr²h
= ¹/₃×πr²×h
= ¹/₃×1.54×2.4 ঘন মিটার
= 1.54×0.8 ঘন মিটার
= 1.232 ঘন মিটার
Ans: শঙ্কুর আয়তন 1.232 ঘন মিটার।

(ii)
Solution:
শঙ্কুর ভূমির ব্যাসের = 21 মিটার
∴ ভূমির ব্যাসার্ধ r = ²¹/₂ = 10.5 মিটার।
তির্যক উচ্চতা l = 17.5 মিটার
শঙ্কুটির উচ্চতা h হলে,
h² + r² = l²
⇒ h² = l² – r²
⇒ h² = (17.5)² – (10.5)²
⇒ h² =(17.5 + 10.5)(17.5 – 10.5)
⇒ h² = 28×7
⇒ h² = 4×7×7
∴h = 14
∴ শঙ্কুর আয়তন
= ¹/₃πr²h
= ¹/₃×²²/₇×²¹/₂×²¹/₂ ×14 ঘন মিটার
= 11×21 ×7 ঘন মিটার
= 1617 ঘন মিটার
Ans: শঙ্কুর আয়তন 1617 ঘন মিটার।

3. আমিনা একটি সমকোনী ত্রিভুজ অঙ্কন করেছে যার সমকোণ সংলগ্ন বাহু দুটির দৈর্ঘ্য 15 সেমি ও 20 সেমি। 15 সেমি দীর্ঘ বাহুটিকে অক্ষ ধরে ত্রিভুজটিকে একবার পূর্ণ আবর্তন করলে যে ঘনবস্তু তৈরি হয়, তার পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল, সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল এবং আয়তন নির্ণয় করি।

Solution:
সমকোনী ত্রিভুজের 15 সেমি দীর্ঘ বাহুটিকে অক্ষ ধরে ত্রিভুজটিকে একবার পূর্ণ আবর্তন করলে লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু তৈরি হয় যার ভূমির ব্যাসার্ধ 20 সেমি এবং উচ্চতা 15 সেমি।
ধরি, শঙ্কুটির তির্যক উচ্চতা l
l² = h² + r²
⇒ l² = (15)² + (20)²
⇒ l² = 225 + 400
⇒ l² = 625
∴ l =25
∴ শঙ্কুটির পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল
= πrl
= ²²/₇×20×25 বর্গ সেমি
= ¹¹⁰⁰⁰/₇ বর্গ সেমি
= 1571³/₇ বর্গ সেমি
∴ শঙ্কুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= πr(r + l)
= ²²/₇×20(20 + 25) বর্গ সেমি
= ²²/₇×20×45 বর্গ সেমি
= ¹⁹⁸⁰⁰/₇ বর্গ সেমি
= 2828⁴/₇ বর্গ সেমি
∴ শঙ্কুটির আয়তন
= ¹/₃πr²h
= ¹/₃×²²/₇×20×20×15 ঘন সেমি
= ²²/₇×20×20×5 ঘন সেমি
= ⁴⁴⁰⁰⁰/₇ ঘন সেমি
= 6285⁵/₇ ঘন সেমি
Ans: শঙ্কুটির পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল 1571³/₇ বর্গ সেমি
শঙ্কুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 2828⁴/₇ বর্গ সেমি
শঙ্কুটির আয়তন 6285⁵/₇ ঘন সেমি

লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু কষে দেখি 16 দশম শ্রেণি Right Circular Cone

4. কোনো শঙ্কুর উচ্চতা ও তির্যক উচ্চতা 6 সেমি ও 10 সেমি হলে, শঙ্কুটির সমগ্রতলের ক্ষেতফল ও আয়তন নির্ণয় করি।
Solution:
প্রদত্ত শঙ্কুর উচ্চতা ও তির্যক উচ্চতা 6 সেমি ও 10 সেমি। শঙ্কুটির ব্যাসার্ধ r সেমি হলে,
h² + r² = l²
⇒ r² = l² – h²
⇒ r² = 10² – 6²
⇒ r² = 100−36
⇒ r² = 64
∴ r = 8
∴ শঙ্কুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= πr(r + l)
= ²²/₇×8(8 + 10) বর্গ সেমি
= ²²/₇×8×18 বর্গ সেমি
= ³¹⁶⁸/₇ বর্গ সেমি
= 452⁴/₇ বর্গ সেমি
∴ শঙ্কুটির আয়তন
= ¹/₃πr²h
= ¹/₃×²²/₇×8×8×6 ঘন সেমি
= ¹/₃×²²/₇×8×8×6 ঘন সেমি
= ²²/₇×8×8×2 ঘন সেমি
= ²⁸¹⁶/₇ ঘন সেমি
= 402²/₇ ঘন সেমি
Ans: শঙ্কুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 452⁴/₇ বর্গ সেমি
শঙ্কুটির আয়তন 402²/₇ ঘন সেমি

অধ্যায়	বিষয়	কষে দেখি
1	একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic Equations with one variable)	কষে দেখি – 1.1 কষে দেখি – 1.2 কষে দেখি – 1.3 কষে দেখি – 1.4 কষে দেখি – 1.5
2	সরল সুদকষা (Simple Interest)	কষে দেখি – 2
3	বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য (Theorems related to circle)	কষে দেখি – 3.1 কষে দেখি – 3.2
4	আয়তঘন (Rectangular Parallelopiped or Cuboid)	কষে দেখি – 4
5	অনুপাত ও সমানুপাত (Ratio and Proportion)	কষে দেখি – 5.1 কষে দেখি – 5.2 কষে দেখি – 5.3
6	চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সমহার বৃদ্ধি বা হ্রাস (Compound Interest and Uniform Rate of Increase or Decrease)	কষে দেখি – 6.1 কষে দেখি – 5.2
7	বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য (Theorems related to Angles in a Circle)	কষে দেখি – 7.1 কষে দেখি – 7.2 কষে দেখি – 7.3
8	লম্ব বৃত্তাকার চোঙ (Right Circular Cylinder)	কষে দেখি – 8
9	দ্বিঘাত করণী (Quadratic Surd)	কষে দেখি – 9.1 কষে দেখি – 9.2 কষে দেখি – 9.3
10	বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Cyclic Quadrilateral)	কষে দেখি – 10
11	সম্পাদ্য : ত্রিভুজের পরিবৃত্ত ও অন্তবৃত্ত অঙ্কন (Construction : Construction of circumcircle and incircle of a triangle)	কষে দেখি – 11.1
12	গোলক (Sphere)	কষে দেখি – 12
13	ভেদ (Variation)	কষে দেখি – 13
14	অংশীদারি কারবার (Partnership Business)	কষে দেখি – 14
15	বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Tangent to a Circle)	কষে দেখি – 15.1 কষে দেখি – 15.2
16	লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু (Right Circular Cone)	কষে দেখি – 16
17	সম্পাদ্য : বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন (Construction: Construction of Tangent to a circle)	কষে দেখি – 17
18	সদৃশতা (Similarity)	কষে দেখি – 18.1 কষে দেখি – 18.2 কষে দেখি – 18.3 কষে দেখি – 18.4
19	বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা (Real life Problems related to different Solid Objects)	কষে দেখি – 19
20	ত্রিকোণমিতি: কোণ পরিমাপের ধারণা	কষে দেখি – 20
21	সম্পাদ্য : মধ্যসমানুপাতী নির্ণয় (Construction : Determination of Mean Proportional )	কষে দেখি – 21
22	পিথাগোরাসের উপপাদ্য (Pythagoras Theorem)	কষে দেখি – 22
23	ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি (Trigonometric Ratios and Trigonometric Identities)	কষে দেখি – 23.1 কষে দেখি – 23.2 কষে দেখি – 23.3
24	পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত (Trigonometric Ratios of Complementrary angle )	কষে দেখি – 24
25	ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ : উচ্চতা ও দূরত্ব (Application of Trigonometric Ratios: Heights & Distances)	কষে দেখি – 25
26	রাশিবিজ্ঞান : গড়, মধ্যমা, ওজাইভ, সংখ্যাগুরুমান (Statistics : Mean, Median, Ogive, Mode)	কষে দেখি – 26.1 কষে দেখি – 26.2 কষে দেখি – 26.3 কষে দেখি – 26.4

5. কোনো লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন 100π ঘন সেমি এবং উচ্চতা 12 সেমি হলে, শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা হিসাব করে লিখি।

Solution:
লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুটির আয়তন 100π ঘন সেমি এবং উচ্চতা 12 সেমি।
ধরি, শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধ r সেমি।
প্রশ্নানুসারে,
¹/₃πr²h = 100π
⇒ ¹/₃×π×r²×12 = 100
⇒ 4r² = 100
⇒ r² = 25
∴ r = 5
∴ শঙ্কুটির তির্যক উচ্চতা l হলে,
l² = h² + r²
⇒ l² = (12)² + (5)²
⇒ l² =144 + 25
⇒ l² =169
∴ l =13
Ans: শঙ্কুটির তির্যক উচ্চতা 13 সেমি।

6. লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির একটি তাঁবু তৈরি করতে 77 বর্গ মিটার ত্রিপল লেগেছে। তাঁবুটির তির্যক উচ্চতা যদি 7 মিটার হয়, তবে তাঁবুটির ভূমিতলের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।

Solution:
লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির তাঁবুর পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল 77 বর্গ মিটার।
আবার, তাঁবুটির তির্যক উচ্চতা 7 মিটার।
ধরি, তাঁবুটির ভূমির ব্যাসার্ধ r মিটার।
প্রশ্নানুসারে,
πrl = 77
⇒ ²²/₇×r×7 = 77
⇒ 22r = 77
∴ r= 7/2
∴ তাঁবুটির ভূমিতলের ক্ষেত্রফল
= ²²/₇×⁷/₂×⁷/₂ বর্গ মিটার
= 11×⁷/₂ বর্গ মিটার
= ⁷⁷/₂ = 38.5 বর্গ মিটার
Ans: তাঁবুটির ভূমিতলের ক্ষেত্রফল 38.5 বর্গ মিটার।

লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু কষে দেখি 16 দশম শ্রেণি Right Circular Cone

7. একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাস 21 মিটার এবং উচ্চতা 14 মিটার। প্রতি বর্গ মিটার 1.50 টাকা হিসাবে পার্শ্বতল রং করতে কত টাকা খরচ পড়বে হিসাব করি।

Solution:
শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধ = ²¹/₂ মিটার।
∴ শঙ্কুটির তির্যক উচ্চতা l হলে
l² = h² + r²
বা, l² = (14)² + (²¹/₂)²
বা, l² = 196 + ⁴⁴¹/₄
বা, l² = ^784+441/₄
বা, l² = ¹²²⁵/₄
বা, l = ³⁵/₂
∴ শঙ্কুটির পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল
= πrl
= ²²/₇×²¹/₂×³⁵/₂ বর্গ মিটার
= 11×3×³⁵/₂ বর্গ মিটার
= ¹¹⁵⁵/₂ বর্গ মিটার
∴ প্রতি বর্গ মিটার 1.50 টাকা হিসাবে পার্শ্বতল রং করতে খরচ পড়বে = ¹¹⁵⁵/₂×1.50 টাকা = 866.25 টাকা।
Ans: পার্শ্বতল রং করতে 866.25 টাকা খরচ পড়বে।

8. নিরেট শঙ্কু আকৃতির একটি কাঠের খেলনার ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 10 সেমি। খেলনাটির বক্রতলে প্রতি বর্গ সেমি 2.10 টাকা হিসাবে পালিশ করতে 429 টাকা খরচ পড়ে। খেলনাটির উচ্চতা কত হিসাব করি। খেলনাটি তৈরি করতে কত ঘন সেমি কাঠ লেগেছে নির্ণয় করি।

Solution:
কাঠের খেলনার ভূমিতলের ব্যাসার্ধ = ¹⁰/₂ =5 সেমি।
2.10 টাকা খরচ হয় 1 বর্গ সেমিতে
1 টাকা খরচ হয় ¹/_2.10 বর্গ সেমিতে
∴ 429 টাকা খরচ হয় ¹/_2.10× 429 বর্গ সেমিতে
খেলনাটির পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল = ⁴²⁹/_2.10 বর্গ সেমি।
ধরি, খেলনাটির তির্যক উচ্চতা l সেমি।
প্রশ্নানুসারে,
πrl = ⁴²⁹/_2.10
⇒ ²²/₇×5×l = ⁴²⁹/_2.10
⇒ ²²/₇×5×l = ^429×100/₂₁₀
⇒ 22×5×l = ^429×10/₃
⇒ 22×5×l = 143×10
⇒ l = 13
∴ খেলনাটির তির্যক উচ্চতা = 13 সেমি
আবার
h² + r² = l²
বা, h² = l² – r²
বা, h² = 13² – 5²
বা, h² = 169 – 25
বা, h² = 144
∴ h = 12
খেলনাটির আয়তন = ¹/₃πr²h
= ¹/₃×²²/₇×5×5×124 ঘন সেমি
= ²²⁰⁰/₇ ঘন সেমি
= 314²/₇ ঘন সেমি
Ans: খেলনাটি তৈরি করতে 314 2/7 ঘন সেমি কাঠ লেগেছে।

লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু কষে দেখি 16 দশম শ্রেণি Right Circular Cone

9. লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির একটি লোহার পাতের বয়া তৈরি করতে 75³/₇ বর্গ মিটার লোহার পাত লেগেছে। বয়াটির তির্যক উচ্চতা যদি 5 মিটার হয়, তবে বয়াটিতে কত বায়ু আছে এবং বয়াটির উচ্চতা কত হিসাব করে লিখি।ওই বয়াটির চারপাশ রং করতে প্রতি বর্গ মিটার 2.80 টাকা হিসাবে কত খরচ পড়বে নির্ণয় করি। [ লোহার পাতের বেধ হিসাবের মধ্যে ধরতে হবে না ]

Solution:
বয়াটির পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল = 75³/₇ = ⁵²⁸/₇ বর্গ মিটার এবং তির্যক উচ্চতা 5 মিটার।
ধরি, বয়াটির ভূমিতলের ব্যাসার্ধ r মিটার
∴ বয়াটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল π×r(r + l) বর্গ একক
প্রশ্নানুসারে,
πr(r + l) = ⁵²⁸/₇
⇒ ²²/₇×r(r + 5)= ⁵²⁸/₇
⇒ 22×r(r + 5)= 528
⇒ r(r + 5)= 24
⇒ r² + 5r – 24 = 0
⇒ r² + 8r – 3r – 24 = 0
⇒ r(r + 8) – 3(r + 8) = 0
⇒ (r + 8)(r – 3) = 0
হয় (r + 8) = 0 নতুবা (r – 3) = 0
বা, r = -8 বা, r = 3
ব্যাসার্ধ ঋণাত্মক হতে পারে না।
∴ r = 3
∴ বয়াটির ভূমিতলের ব্যাসার্ধ 3 মিটার।
ধরি, বয়াটির উচ্চতা
h² + r² = l²
বা, h² = l² – r²
বা, h² = 5²– 3²
বা, h² = 25 – 9
বা, h² = 16
∴ h = 4
∴ বয়াটির উচ্চতা = 4 মিটার।
বয়াটির আয়তন = ¹/₃πr²h
= ¹/₃×²²/₇×3×3×4 ঘন মিটার
= ²²/₇×3×4 ঘন মিটার
= ²⁶⁴/₇ = 37⁵/₇ ঘন মিটার
বয়াটির চারপাশ রং করতে প্রতি বর্গ মিটার 2.80 টাকা হিসাবে কত খরচ পড়বে = ⁵²⁸/₇×2.80 টাকা = 211.20 টাকা।
Ans: বয়াটিতে 37⁵/₇ ঘন মিটার বায়ু আছে।
বয়াটির উচ্চতা 4 মিটার।
বয়াটির চারপাশ রং করতে খরচ পড়বে 211.20 টাকা।

10. লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির একটি তাঁবুতে 11 জন লোক থাকতে পারে। প্রত্যেক লোকের জন্য ভুমিতে 4 বর্গ মিটার জায়গা লাগে এবং 20 ঘন মিটার বাতাসের প্রয়োজন। ঠিক এই 11 জন লোকের জন্য নির্মিত তাঁবুর উচ্চতা নির্ণয় করি।

Solution:
ধরি, তাঁবুর উচ্চতা h মিটার।
∴ তাঁবুর ভূমিতলের ক্ষেত্রফল = 11 × 4 = 44 বর্গ মিটার।
তাঁবুর ভিতরের আয়তন = 11 × 20 = 220 ঘন মিটার।
প্রশ্নানুসারে,
¹/₃πr²h = 220
⇒ ¹/₃×44×h = 220
⇒ ¹/₃×h = 5
∴h = 15
Ans: তাঁবুর উচ্চতা 15 মিটার।

11. শোলা দিয়ে তৈরি একটি শঙ্কু আকৃতির মাথার টোপরের ভূমির বাইরের দিকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 21 সেমি। টোপরটির উপরিভাগ রাংতা দিয়ে মুড়তে প্রতি বর্গ সেমি 10 পয়সা হিসাবে 57.75 টাকা খরচ পড়ে। টোপরটির উচ্চতা ও তির্যক উচ্চতা হিসাব করে লিখি।

Solution:
ধরি, টোপরটির তির্যক উচ্চতা l সেমি।
টোপরটির ভূমির ব্যাসার্ধ = ²¹/₂ = 10.5 সেমি।
10 পয়সা = 0.01 টাকা
0.01 টাকা খরচ হয় 1 বর্গ সেমিতে
1 টাকা খরচ হয় ¹/_0.01 বর্গ সেমিতে
57.75 টাকা খরচ হয় ¹/_0.01× 57.75 বর্গ সেমিতে
= ⁵⁷⁷⁵/₁₀ বর্গ সেমিতে
∴ টোপরটির পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল = ⁵⁷⁷⁵/₁₀
∴ ²²/₇×²¹/₂×l = ⁵⁷⁷⁵/₁₀
⇒ 11×3×l = ⁵⁷⁷⁵/₁₀
⇒ l = ¹⁷⁵/₁₀ =17.5
∴ টোপরটির তির্যক উচ্চতা 17.5 সেমি।
∴ টোপরটির উচ্চতা h সেমি হলে
h² + r² = l²
বা, h² = l² – r²
বা, h² = (17.5)²– (10.5)²
বা, h² = (17.5+10.5)(17.5−10.5)
বা, h² = 28×7
∴ h = 14
Ans: টোপরটির উচ্চতা 14 সেমি
ও তির্যক উচ্চতা 17.5 সেমি

12. গমের একটি স্তূপ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকারে আছে, যার ভূমির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 9 মিটার এবং উচ্চতা 3.5 মিটার। মোট গমের আয়তন নির্ণয় করি। গমের ওই স্তূপ ঢাকতে কমপক্ষে কত বর্গ মিটার প্লাস্টিকের চাদর প্রয়োজন হবে হিসাব করে দেখি। [ ধরি, π = 3.14, √130=11.4 ]

Solution:
গমের স্তূপের ভূমির ব্যাসার্ধ = ⁹/₂ = 4.5 মিটার।
গমের স্তূপের উচ্চতা = 3.5 মিটার।
∴ গমের স্তূপের আয়তন
= ¹/₃πr²h
= ¹/₃×²²/₇×(⁹/₂)²×³⁵/₁₀ ঘন মিটার
= ¹/₃×²²/₇×⁸¹/₄×³⁵/₁₀ ঘন মিটার
= 11×²⁷/₂×⁵/₁₀ ঘন মিটার
= 74.18 ঘন মিটার (প্রায়)
গমের স্তূপের তির্যক উচ্চতা

$$\large{=\sqrt{(3.5)^2+(4.5)^2}\\=\sqrt{12.25+20.25}\\=\sqrt{32.50}\\=5.7}$$

∴ প্লাস্টিকের চাদর প্রয়োজন
= πrl
= ²²/₇×4.5×5.7 বর্গ মিটার
= 80.54 বর্গ মিটার (প্রায়)
Ans: মোট গমের আয়তন 74.18 ঘন মিটার।
গমের ওই স্তূপ ঢাকতে 80.54 বর্গ মিটার প্লাস্টিকের চাদর প্রয়োজন হবে।

Utube_comptech_home — দশম শ্রেণীর **ভৌত** বিজ্ঞান এবং **জীবন** বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন

লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু কষে দেখি 16 দশম শ্রেণি Right Circular Cone

13. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)

(i) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা 15 সেমি এবং ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 16 সেমি হলে, শঙ্কুটির পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল (a) 60π বর্গ সেমি (b) 68π বর্গ সেমি (c) 120π বর্গ সেমি (d) 130π বর্গ সেমি

Ans: (c) 120π বর্গ সেমি
[শঙ্কুটির ব্যাসার্ধ = ¹⁶/₂ = 8 সেমি।
∴ শঙ্কুটির পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল
= πrl
= π×8×15 বর্গ সেমি
= 120π বর্গ সেমি

(ii) দুটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তনের অনুপাত 1:4 এবং তাদের ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 4:5 হলে, তাদের উচ্চতার অনুপাত(a) 1:5 (b) 5:4 (c) 25:16 (d) 25:64

Ans: (d) 25:64
[ধরি,, দুটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা যথাক্রমে h₁ ও h₂ এবং ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 4r একক এবং 5r একক।প্রশ্নানুসারে,

$$\large{\quad\frac{\frac{1}{3}π(4r)^2h_1}{\frac{1}{3}π(5r)^2h_2}=\frac{1}{4}\\⇒\frac{16r^2×h_1}{25r^2×h_2}=\frac{1}{4}\\⇒\frac{16h_1}{25h_2}=\frac{1}{4}\\⇒\frac{h_1}{h_2}=\frac{25}{64}]}$$

(iii) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য একই রেখে উচ্চতা দ্বিগুন করলে, শঙ্কুটির আয়তন বৃদ্ধি পায় (a) 100% (b) 200% (c) 300% (d) 400%

Ans: (a) 100%
[ধরি, লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ব্যাসার্ধ এবং উচ্চতা r একক ও h একক।
∴ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন = ¹/₃πr²h
ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য একই রেখে উচ্চতা দ্বিগুন করলে আয়তন হবে
= ¹/₃πr²×2h
= ²/₃πr²h
∴ শঙ্কুটির আয়তন বৃদ্ধি হয়
= ²/₃πr²h – ¹/₃πr²h
= ¹/₃πr²h
∴ আয়তনের শতকরা বৃদ্ধি =

$$\large{=\frac{\frac{1}{3}πr^2h}{\frac{1}{3}πr^2h}×100\%\\=100\%]}$$

(iv) একটি শঙ্কুর ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য এবং উচ্চতা প্রত্যেকটি দ্বিগুন হলে, শঙ্কুটির আয়তন হয় পূর্বের শঙ্কুর আয়তনের (a) 3 গুণ (b) 4 গুণ (c) 6 গুণ (d) 8 গুণ

Ans: (d) 8 গুণ
[ধরি, লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য এবং উচ্চতা r একক ও h একক।
∴ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন V₁ = ¹/₃πr²h
শঙ্কুর ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য এবং উচ্চতা প্রত্যেকটি দ্বিগুন হলে, শঙ্কুটির আয়তন হয়
= ¹/₃π(2r)²×2h
= ¹/₃π×4r²×2h
= 8×¹/₃πr²h
= 8×V₁]

(v) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r/2 একক এবং তির্যক উচ্চতা 2l একক হলে, সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল (a) 2πr(l+r) বর্গ একক (b) πr(l + ^r/₄) বর্গ একক (c) πr(l+r) বর্গ একক (d) 2πrl বর্গ একক

Ans: (b) πr(l + ^r/₄) বর্গ একক
[সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= π(^r/₂)² + πrl
= π×^r²/₄ + πrl
= πr(^r/₄ + l)
= πr(l + ^r/₄)]

লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু কষে দেখি 16 দশম শ্রেণি Right Circular Cone

(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখিঃ

(i) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য অর্ধেক এবং উচ্চতা দ্বিগুন করা হলে শঙ্কুটির আয়তন একই থাকে।

Ans: মিথ্যা।
[ধরি, লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ব্যাসার্ধ r এবং উচ্চতা h;
∴ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন
V₁ = ¹/₃πr²h
লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য অর্ধেক এবং উচ্চতা দ্বিগুন করা হলে শঙ্কুটির আয়তন হবে =
V₂ = ¹/₃π(^r/₂)²×2h
= ¹/₃π×^r²/₄×2h
= ¹/₂×¹/₃πr²h
= ¹/₂×V₁
= পূর্বের আয়তনের অর্ধেক হয়।]

(ii) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা, ব্যাসার্ধ এবং তির্যক উচ্চতা সর্বদা একটি সমকোনী ত্রিভুজের বাহুত্রয়।

Ans: সত্য।

(C) শূন্যস্থান পূরণ করিঃ

(i) ABC সমকোনী ত্রিভুজের AC অতিভুজ। AB বাহুকে অক্ষ করে ত্রিভুজটির একবার পূর্ন আবর্তনের জন্য যে লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু উৎপন্ন হয় তার ব্যাসার্ধ _______।

Ans: BC

(ii) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন V ঘন একক এবং ভূমিতলের ক্ষেত্রফল A বর্গ একক হলে, উচ্চতা _______।

Ans: ^3V/_A
[ধরি, লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ব্যাসার্ধ এবং উচ্চতা যথাক্রমে r ও h
∴ V = ¹/₃πr²h
এবং A = πr²
∴ V = ¹/₃πr²h
বা, V = ¹/₃×A×h
বা, A×h = 3V
বা, h = ^3V/_A]

(iii) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙ এবং লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য সমান এবং তাদের উচ্চতা সমান। তাদের আয়তনের অনুপাত _______।

Ans: 3:1
[ πr²h : ¹/₃πr²h
= ¹/₃ : 1
= 3 : 1]

14. . সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

(i) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা 12 সেমি এবং আয়তন 100π ঘন সেমি। শঙ্কুটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।

Solution:
ধরি, লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ব্যাসার্ধ r;
এখানে, শঙ্কুটির উচ্চতা h = 12 সেমি এবং আয়তন 100π ঘন সেমি।
∴ ¹/₃πr²h = 100π
বা, ¹/₃πr²×12 = 100π
বা, 4r² = 100
বা, r²= 25
∴ r= 5
Ans: শঙ্কুটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি

(ii) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল ভূমিতলের ক্ষেত্রফলের √5 গুন। শঙ্কুটির উচ্চতা ও ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত কত তা লিখি।

Solution:
ধরি, শঙ্কুটির উচ্চতা h, তির্যক উচ্চতা l এবং ব্যাসার্ধ r;
প্রশ্নানুসারে,

$$\large{\quadπrl=\sqrt{5}×πr^2\\⇒l=\sqrt{5}×r\\⇒l^2=5r^2\\⇒h^2+r^2=5r^2\\⇒h^2=4r^2\\⇒h=2r\\\therefore \frac{h}{r}=\frac{2}{1}}$$

Ans: শঙ্কুটির উচ্চতা ও ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 2 : 1

(iii) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন V ঘন একক, ভূমিতলের ক্ষেত্রফল A বর্গ একক এবং উচ্চতা H একক হলে, ^AH/_V -এর মান কত তা লিখি।

Solution:
ধরি, লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ব্যাসার্ধ r একক,

$$\large{\therefore V= \frac{1}{3}πr^2H\\\quad A = πr^2\\\therefore\frac{AH}{V}=\frac{πr^2×H}{\frac{1}{3}πr^2H}\\\quad\quad =3}$$

Ans: ^AH/_V -এর মান 3

(iv) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন এবং পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফলের সাংখ্যমান সমান। শঙ্কুটির উচ্চতা এবং ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে h একক এবং r একক হলে, ¹/_ℎ² + ¹/_r² -এর মান কত তা লিখি।

Solution:
ধরি, শঙ্কুটির তির্যক উচ্চতা l একক।
প্রশ্নানুসারে,

$$\large{\quad\frac{1}{3}πr^2h=πrl\\⇒rh=3l\\⇒r^2h^2=9l^2\\⇒r^2h^2=9(h^2+r^2)\\⇒\frac{h^2+r^2}{r^2h^2}=\frac{1}{9}\\⇒\frac{1}{r^2}+\frac{1}{h^2}=\frac{1}{9}\quad\mathbf{(Proved)}}$$

(v) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙ এবং লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 3:4 এবং তাদের উচ্চতার অনুপাত 2:3; চোঙ এবং শঙ্কুর আয়তনের অনুপাত কত তা লিখি।

Solution:
ধরি, লম্ব বৃত্তাকার চোঙ এবং লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 3x একক ও 4x একক এবং উচ্চতা যথাক্রমে 2y একক ও 3y একক,
∴ চোঙ এবং শঙ্কুর আয়তনের অনুপাত

$$\large{=\frac{πr_1^2h_1}{\frac{1}{3}πr_2^2h_2}\\=3×\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2×\frac{h_1}{h_2}\\=3×\left(\frac{3x}{4x}\right)^2×\frac{2y}{3y}\\=3×\frac{9}{16}×\frac{2}{3}\\=\frac{9}{8}\\=9:8}$$Ans: চোঙ এবং শঙ্কুর আয়তনের অনুপাত 9:8

KOSHE DEKHI