Author: TEAM PROSTUTI

Koshe Dekhi 15.1 Class X বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য

Koshe Dekhi 15.1 Class X বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য

Koshe Dekhi 15.1 Class X বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য

1. মাসুম O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্ত অঙ্কন করেছে যার AB একটি জ্যা। B বিন্দুতে একটি স্পর্শক অঙ্কন করেছি যা বর্ধিত AO-কে T বিন্দুতে ছেদ করল। ∠BAT = 21° হলে, ∠BTA-এর মান হিসাব করে লিখি।

Solution:
O, B যুক্ত করা হল।
এখানে ∠BAT = 21°
আবার ∠ABO = ∠BAO – – – – [∵ OB = OA]
∴ ∠ABO = 21°
BT স্পর্শক ও OB স্পর্শক বিন্দুগামী ব্যাসার্ধ
∴ ∠OBT = 90°
∴ ∠ABT = ∠ABO + ∠OBT
= 21° + 90°
= 111°
∴ ∠BTA = 180° – ∠BAT – ∠ABT
= 180° – 21° – 111°
= 180° – 132°
= 48°
Ans: ∠BTA-এর মান 48°

2. কোনো বৃত্তের XY একটি ব্যাস। বৃত্তটির উপর অবস্থিত A বিন্দুতে PAQ বৃত্তের স্পর্শক। X বিন্দু থেকে বৃত্তের স্পর্শকের উপর অঙ্কিত লম্ব PAQ-কে Z বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, XA, ∠YXZ-এর সমদ্বিখণ্ডক।

Solution:
স্বীকার: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের XY ব্যাস এবং বৃত্তের উপর অবস্থিত A বিন্দুতে PAQ স্পর্শক অঙ্কন করা হয়েছে। X বিন্দু থেকে স্পর্শকের উপর অঙ্কিত লম্ব XZ, PAQ কে Z বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয়: XA, ∠YXZ –এর সমদ্বিখণ্ডক।
অঙ্কন: X, A; A, O যুক্ত করা হল।
প্রমাণ: XZ ⟂ PQ
∴ ∠XZA = 90°
আবার, PQ স্পর্শক এবং OA স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।
∴ ∠OAZ = 90°
∴ ∠XZA = ∠OAZ
∴ XZ || AO
∴ ∠AXZ = একান্তর ∠OAX – – – – (i)
আবার, △AOX থেকে পাই,
OX = OA
∴ ∠AXO = ∠OAX – – – – (ii)
(i) নং ও (ii) নং থেকে পাই,
∠AXZ = ∠AXO
∴ XA, ∠YXZ–এর সমদ্বিখণ্ডক। (প্রমাণিত)

Koshe Dekhi 15.1 Class X বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য

3. একটি বৃত্ত অঙ্কন করলাম যার PR একটি ব্যাস। P বিন্দুতে একটি স্পর্শক অঙ্কন করলাম এবং এই স্পর্শকের উপর S এমন একটি বিন্দু নিলাম যাতে PR = PS হয়। RS, বৃত্তকে T বিন্দুতে ছেদ করলে, প্রমাণ করি যে, ST = RT = PT

Solution:
স্বীকার: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের PR ব্যাস। P বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের উপর S এমন একটি বিন্দু যেখানে PR = PS ; RS বৃত্তকে T বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয়: ST = RT = PT
অঙ্কন: P, T যুক্ত করা হল।
প্রমাণ: PS স্পর্শক এবং PR স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।
∴ ∠RPS= 90°
△RPS এর,
∠PRS = ∠PSR . . . . . [PR=PS স্বীকার]
∠PRS = ∠PSR = 180°- ^90°/₂
= ^90°/₂ =45°
∴ ∠PRT =∠PST = 45°
আবার, ∠PTR অর্ধবৃত্তস্থ কোণ
∴ ∠PTR = 90°
∴ ∠RPT + ∠PTR + ∠PRT= 180°
বা, ∠RPT + 90° + 45° = 180°
বা, ∠RPT = 180°-135°
= 45°
△PTR এর.
∠RPT= ∠PRT
∴ RT=PT . . . . (i)
∴ ∠TPS = ∠RPS – ∠RPT
= 90° – 45°= 45°
△PTS এর,
∠TPS = ∠PST
∴ ST=PT . . . . (ii)
(i) নং ও (ii) নং থেকে পাই,
RT = PT = ST
বা, ST = RT = PT (প্রমাণিত)।

Koshe Dekhi 15.1 Class X বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য

4. একটি O কেন্দ্রীয় বৃত্ত অঙ্কন করি যার দুটি ব্যাসার্ধ OA ও OB পরস্পর লম্বভাবে অবস্থিত। A ও B বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় পরস্পরকে T বিন্দুতে ছেদ করলে, প্রমাণ করি যে, AB = OT এবং তারা পরস্পরকে লম্বভাবে সমদ্বিখন্ডিত করে।

Solution:
স্বীকার: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের OA ও OB ব্যাসার্ধ পরস্পর লম্বভাবে অবস্থিত। A ও B বিন্দুদ্বয়ে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় পরস্পর T বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয়: AB = OT এবং তারা পরস্পরকে লম্বভাবে সমদ্বিখন্ডিত করে।
অঙ্কন: A, B; O, T যুক্ত করা হল।
প্রমাণ:
AT স্পর্শক এবং OA স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ
∴ OA ⟂ AT
∴ ∠OAT = 90°
আবার, BT স্পর্শক এবং OB স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ
∴ OB ⟂ BT
∴ ∠OBT = 90°
∴ OATB চতুর্ভুজের,
∠OAT + ∠OBT = 90° + 90°
= 180°
∴ OATB একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।- – – – [যেহেতু বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সম্পূরক হয়]
আবার, ∠AOB = 90°
∴ OATB বৃত্তস্থ চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র।
আবার OA = OB (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)
∴ OATB একটি বৃত্তস্থ বর্গক্ষেত্র।
AB ও OT, OATB বর্গক্ষেত্রের দুটি কর্ন।
∵ বর্গক্ষেত্রের কর্নদ্বয়ের দৈর্ঘ্য সমান হয়।
∴ AB = OT (প্রমাণিত)
বর্গক্ষেত্রের কর্নদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
∴ AB ও OT পরস্পরকে লম্বভাবে সমদ্বিখন্ডিত করে। (প্রমাণিত)

অধ্যায়	বিষয়	কষে দেখি
1	একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic Equations with one variable)	কষে দেখি – 1.1 কষে দেখি – 1.2 কষে দেখি – 1.3 কষে দেখি – 1.4 কষে দেখি – 1.5
2	সরল সুদকষা (Simple Interest)	কষে দেখি – 2
3	বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য (Theorems related to circle)	কষে দেখি – 3.1 কষে দেখি – 3.2
4	আয়তঘন (Rectangular Parallelopiped or Cuboid)	কষে দেখি – 4
5	অনুপাত ও সমানুপাত (Ratio and Proportion)	কষে দেখি – 5.1 কষে দেখি – 5.2 কষে দেখি – 5.3
6	চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সমহার বৃদ্ধি বা হ্রাস (Compound Interest and Uniform Rate of Increase or Decrease)	কষে দেখি – 6.1 কষে দেখি – 5.2
7	বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য (Theorems related to Angles in a Circle)	কষে দেখি – 7.1 কষে দেখি – 7.2 কষে দেখি – 7.3
8	লম্ব বৃত্তাকার চোঙ (Right Circular Cylinder)	কষে দেখি – 8
9	দ্বিঘাত করণী (Quadratic Surd)	কষে দেখি – 9.1 কষে দেখি – 9.2 কষে দেখি – 9.3
10	বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Cyclic Quadrilateral)	কষে দেখি – 10
11	সম্পাদ্য : ত্রিভুজের পরিবৃত্ত ও অন্তবৃত্ত অঙ্কন (Construction : Construction of circumcircle and incircle of a triangle)	কষে দেখি – 11.1
12	গোলক (Sphere)	কষে দেখি – 12
13	ভেদ (Variation)	কষে দেখি – 13
14	অংশীদারি কারবার (Partnership Business)	কষে দেখি – 14
15	বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Tangent to a Circle)	কষে দেখি – 15.1 কষে দেখি – 15.2
16	লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু (Right Circular Cone)	কষে দেখি – 16
17	সম্পাদ্য : বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন (Construction: Construction of Tangent to a circle)	কষে দেখি – 17
18	সদৃশতা (Similarity)	কষে দেখি – 18.1 কষে দেখি – 18.2 কষে দেখি – 18.3 কষে দেখি – 18.4
19	বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা (Real life Problems related to different Solid Objects)	কষে দেখি – 19
20	ত্রিকোণমিতি: কোণ পরিমাপের ধারণা	কষে দেখি – 20
21	সম্পাদ্য : মধ্যসমানুপাতী নির্ণয় (Construction : Determination of Mean Proportional )	কষে দেখি – 21
22	পিথাগোরাসের উপপাদ্য (Pythagoras Theorem)	কষে দেখি – 22
23	ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি (Trigonometric Ratios and Trigonometric Identities)	কষে দেখি – 23.1 কষে দেখি – 23.2 কষে দেখি – 23.3
24	পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত (Trigonometric Ratios of Complementrary angle )	কষে দেখি – 24
25	ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ : উচ্চতা ও দূরত্ব (Application of Trigonometric Ratios: Heights & Distances)	কষে দেখি – 25
26	রাশিবিজ্ঞান : গড়, মধ্যমা, ওজাইভ, সংখ্যাগুরুমান (Statistics : Mean, Median, Ogive, Mode)	কষে দেখি – 26.1 কষে দেখি – 26.2 কষে দেখি – 26.3 কষে দেখি – 26.4

5. দুটি এককেন্দ্রীয় বৃত্তের বৃহত্তরটির AB ও AC জ্যা দুটি অপর বৃত্তকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে স্পর্শ করলে, প্রমাণ করি যে, PQ = ¹/₂BC.

Solution:
স্বীকার: দুটি এককেন্দ্রীয় বৃত্তের কেন্দ্র O। বৃহত্তর বৃত্তের দুটি জ্যা AB ও AC ছোটো বৃত্তকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয়: PQ = ¹/₂BC
অঙ্কন: O, P ও O, Q যুক্ত করা হল।
প্রমাণ: O কেন্দ্রীয় ছোটো বৃত্তের P ও Q বিন্দুতে AB ও AC দুটি স্পর্শক এবং স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ দুটি হল যথাক্রমে OP ও OQ
∴ OP ⟂ AB এবং OQ ⟂ AC
O কেন্দ্রীয় বড়ো বৃত্তের জ্যা AB -এর P বিন্দুতে OP লম্ব।
∴ AP = PB
অর্থাৎ P, AB -এর মধ্যবিন্দু।
অনুরূপে O কেন্দ্রীয় বড়ো বৃত্তটির AC জ্যা –এর Q বিন্দুতে OQ লম্ব।
∴ AQ = QC
অর্থাৎ Q, AC -এর মধ্যবিন্দু।
△ ABC -এর AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P ও Q এবং PQ সংযোজক সরলরেখা।
∴ PQ = ¹/₂BC (প্রমাণিত)

Koshe Dekhi 15.1 Class X বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য

6. O কেন্দ্রীয় কোনো বৃত্তের উপর অবস্থিত A বিন্দুতে স্পর্শকের উপর X যে-কোনো একটি বিন্দু। X বিন্দু থেকে অঙ্কিত একটি ছেদক বৃত্তকে Y ও Z বিন্দুতে ছেদ করে। YZ-এর মধ্যবিন্দু P হলে, প্রমাণ করি যে, XAPO বা XAOP একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।

Solution:
স্বীকার: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের A বিন্দুতে AX স্পর্শক। X বিন্দু থেকে অঙ্কিত ছেদক বৃত্তকে Y ও Z বিন্দুতে ছেদ করেছে। YZ –এর মধ্যবিন্দু P।
প্রামাণ্য বিষয়: XAOP বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
অঙ্কন: O, Y ও O, Z যুক্ত করা হল।
প্রমাণ: AX স্পর্শক এবং OA স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ
∴ OA ⟂ AX
∴ ∠OAX = 90°
আবার P, YZ-এর মধ্যবিন্দু এবং PO বৃত্তের কেন্দ্রগামী সরলরেখা।
∴ ∠OPX = 90°
XAOP চতুর্ভুজের,
∠OAX + ∠OAX = 90° + 90°
= 180°
∴ XAOP চতুর্ভুজের বিপরীত কোণ পরস্পর সম্পূরক।
∴ XAOP একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। (প্রমাণিত)

Koshe Dekhi 15.1 Class X বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য

7. O কেন্দ্রীয় কোনো বৃত্তের একটি ব্যাসের উপর P যে-কোনো একটি বিন্দু। ওই ব্যাসের উপর O বিন্দুতে অঙ্কিত লম্ব বৃত্তকে Q বিন্দুতে ছেদ করে। বর্ধিত QP বৃত্তকে R বিন্দুতে ছেদ করে। R বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক বর্ধিত OP-কে S বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, SP = SR.

Solution:
স্বীকার: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের একটি ব্যাসের উপর P একটি বিন্দু। OP –এর উপর O বিন্দুতে অঙ্কিত লম্ব বৃত্তকে Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। বর্ধিত QP বৃত্তকে R বিন্দুতে ছেদ করেছে এবং R বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক বর্ধিত OP –কে S বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয়: SP = SR
অঙ্কন: O, R যুক্ত করা হল।
প্রমাণ: △ROQ থেকে পাই,
OR = OQ – – – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ ∠ORQ = ∠OQR ………(i)
∵ RS স্পর্শক ও OR স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।
∴ ∠ORS = 90°
∴ ∠PRS = 90° – ∠ORP ………(ii)
বা, ∠PRS = 90° – ∠OQP [(i) নং থেকে]
আবার OQ ⟂ OP
∴ ∠QOP = 90°
∴ ∠OPQ = 90° – ∠OQP
∴ ∠RPS = 90° – ∠OQP – – – [∠OPQ = বিপ্রতীপ ∠RPS]
∴ ∠RPS = 90° – ∠ORP ………(iii)
(iii) ও (iii) নং থেকে পাই,
∠PRS = ∠RPS
△PRS ত্রিভুজের
∠PRS = ∠RPS
∴ SP = SR (প্রমাণিত)

Fb_Prostuti — **আমাদের লেটেস্ট পোস্টের আপডেট পেতে আমাদের ফেসবুক পেজে জয়েন করতে পারো ।**

8. রুমেলা O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্ত অঙ্কন করেছে যার QR একটি জ্যা। Q ও R বিন্দুতে দুটি স্পর্শক অঙ্কন করেছি যারা পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে। QM বৃত্তের একটি ব্যাস হলে, প্রমাণ করি যে, ∠QPR = 2∠RQM

Solution:
স্বীকার: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের QR একটি জ্যা এবং QM বৃত্তের ব্যাস। Q ও R বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক দুটি পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয়: ∠QPR = 2∠RQM
অঙ্কন:
প্রমাণ: বহিঃস্থ বিন্দু P থেকে দুটি স্পর্শক PR ও PQ
∴ PR = PQ – – – – [∵ বহিঃস্থ বিন্দু থেকে বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয়ের দৈর্ঘ্য সমান হয়।]
△PQR এর,
∠PRQ = ∠PQR – – – – [∵ PR = PQ]
∴ ∠QPR = 180° – ∠PRQ – ∠PQR
= 180° – ∠PQR – ∠PQR
= 180° – 2∠PQR
∴ 2∠PQR = 180° – ∠QPR
আবার PQ স্পর্শক এবং QO স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।
∴ ∠OQP = 90°
বা, ∠RQM + ∠PQR= 90°
বা, 2∠RQM + 2∠PQR= 180°
বা, 2∠RQM + 180° – ∠QPR = 180° – – – – [2∠PQR = 180° – ∠QPR]
বা, 2∠RQM = ∠QPR
বা, ∠QPR = 2∠RQM (প্রমাণিত)

Koshe Dekhi 15.1 Class X বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য

9. কোনো বৃত্তের AC ও BD দুটি জ্যা পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে। A ও B বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক দুটি পরস্পরকে P বিন্দুতে এবং C ও D বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক দুটি পরস্পরকে Q বিন্দুতে ছেদ করলে, প্রমাণ করি যে, ∠P + ∠Q = 2∠BOC

Solution:
স্বীকার: বৃত্তের জ্যা AC ও BD পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে। A ও B বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় P বিন্দুতে এবং C ও D বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় Q বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয়: ∠P + ∠Q = 2∠BOC
অঙ্কন: A,R; B,R; C,R; D,R এবং B,C যুক্ত করা হল।
প্রমাণ: ∵ PA ও PB স্পর্শক এবং AR ও BR স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ যথাক্রমে
∴ ∠RAP = ∠RBP = 90°, = 90°
∴ ∠RAP + ∠RBP = 90° + 90°
= 180°
∴ ∠APB + ∠ARB = 360° – 180°
বা, ∠APB + ∠ARB = 180°
বা, ∠P = 180° – ∠ARB – – – – – (i)
আবার বৃত্ত চাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ ∠ARB ও পরিধিস্থ কোণ ∠ACB
∴ ∠ARB = 2∠ACB
(i) নং থেকে পাই,
∠P = 180° – 2∠ACB
অনুরূপে প্রমাণ করা যায়,
∠Q = 180° – 2∠DBC – – – – – (ii)
(ii) ও (ii) যোগ করে পাই,
∠P + ∠Q = 180° – 2∠ACB + 180° – 2∠DBC
বা, ∠P + ∠Q = 360° – 2(∠ACB + ∠DBC)
বা, ∠P + ∠Q = 360° – 2(∠OCB + ∠OBC)
বা, ∠P + ∠Q = 360° – 2(180° – ∠BOC)
বা, ∠P + ∠Q = 360° – 360° + ∠BOC
বা, ∠P + ∠Q = ∠BOC (প্রমাণিত)

PREVIOUS

NEXT

November 16, 2023

Probability Bayes’ Theorem বেইজ উপপাদ্য প্রশ্নমালা 1B
Probability Bayes’ Theorem বেইজ উপপাদ্য প্রশ্নমালা 1B
Probability Bayes’ Theorem বেইজ উপপাদ্য প্রশ্নমালা 1B
Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা Part-I CLICK HERE
দ্বাদশ শ্রেণীর সম্ভাবনা Probability S N Day Part -2 CLICK HERE
1. Bayes’ উপপাদ্য বিবৃত এবং প্রমাণ করো।
বেজের উপপাদ্য (Bayes’ Theorem)::
একটি ঘটনা X ঘটতে পারে যদি n-সংখ্যক পরস্পর পৃথক ও সম্পূর্ণ ঘটনা A₁, A₂, A₃,…………… A_n ঘটে। এখন যদি শর্তমুক্ত সম্ভাবনাসমূহ P(A₁), P(A₂), P(A₃), …………. P(A_n) এবং শর্তযুক্ত সম্ভাবনাসমূহ P(X/A₁), P(X/A₂),…………….. P (X/A_n) জানা থাকে, তবে সেক্ষেত্রে X ঘটনা ঘটেছে এরূপ শর্তে A_i ঘটনার শর্তাধীন সম্ভাবনার মান অর্থাৎ P(A_i/X) নিম্নরূপে সংজ্ঞাত হয়:
$$\large{P(A/X)\\\quad=\frac{P(A_i)P(X/A_i)}{P(A_1)P(X/A_1)+P(A_2)P(X/A_2)+………+P(A_n)P(X/A_n)}}$$
এটি বেজের (Bayes’) উপপাদ্য রূপে পরিচিত।
প্রমাণ:
∵ A₁, A₂, A₃,…………… A_n ঘটনাগুলি সম্পূর্ণ
∴ A₁UA₂UA₃,……………UA_n = S – – – [S = নিশ্চিত ঘটনা]
এখন X একটি যে-কোনো ঘটনা হলে
X = S∩X
= [A₁UA₂……………UA_n]∩X
= (A₁∩X)U(A₂∩X)……………U(A_n∩X)
এখানে A₁∩X, A₂∩X……………U(A_n∩X) ঘটনাগুলি পৃথক কারণ A₁, A₂,…………… A_n ঘটনাগুলি পৃথক।
∴ সম্ভাবনার সমষ্টি বিষয়ক উপপাদ্য অনুসারে –
P(X) = P(A₁∩X) + P(A₂∩X) + …………… + P(A_n∩X)
= P(A₁)P(X/A₁) + P(A₂)P(X/A₂) + …………… +P(A_n)P(X/A_n) – – – – (i)
আবার সম্ভাবনার যৌগিক উপপাদ্য অনুসারে –
P(A_i∩X) = P(X)P(A_i/X)
$$\large{\therefore P(A_i/X)=\frac{P(A_i∩X)}{P(X)}\\\quad=\frac{P(A_i)P(X/A_i)}{P(A_1)P(X/A_1)+P(A_2)P(X/A_2)+………+P(A_n)P(X/A_n)}}$$
2. দেখতে একই রকম তিনটি বাক্সে সাদা ও কালো বলের সংখ্যা নিম্নরূপ: বাক্স I : 1 টি সাদা ও 2 টি কালো; বাক্স II : 2 টি সাদা ও 1 টি কালো; বাক্স III : 2 টি সাদা ও 2 টি কালো; যথেচ্ছভাবে একটি বাক্স নির্বাচন করা হয় এবং তার মধ্য থেকে উদ্দেশ্যহীনভাবে একটি বল তোলা হয়। উত্তোলিত বলটি দেখা যায় সাদা। তৃতীয় বাক্সটি নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনা কত?
Solution:
ধরি, বাক্স-I, বাক্স-II এবং বাক্স-III নিৰ্বাচন করার ঘটনা যথাক্রমে A₁, A₂, এবং A₃
∴ P(A₁) = P(A₂) = P(A₃) = ¹/₃
আরও ধরি, সাদা বল নির্বাচনের ঘটনা W ;
∴ P(W/A₁) = ¹/₁₊₂ = ¹/₃
P(W/A₂) = ²/₂₊₁ = ²/₃
P(W/A₃) = ²/₂₊₂ = ²/₄ = ¹/₂
উত্তোলিত বলটি সাদা হলে, তৃতীয় বাক্সটি নির্বাচিত হওয়ার সম্ভাবনা, P(A₃/W)
W ঘটনাটি ঘটবে যদি পরস্পর সম্পূর্ণ ও পৃথক তিনটি ঘটনা A₁, A₂ ও A₃ এর কোনো একটি ঘটে।
∴Bayes’ -এর উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই-
$$\large{P(A_3/W)\\=\frac{P(A_3)P(W/A_3)}{P(A_1)P(W/A_1)+P(A_2)P(W/A_2)+P(A_3)P(W/A_3)}\\=\frac{\frac{1}{3}×\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}×\frac{1}{3}+\frac{1}{3}×\frac{2}{3}+\frac{1}{3}×\frac{1}{2}}\\=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{2+4+3}{18}}\\=\frac{1}{6}×\frac{18}{9}=\frac{1}{3}\quad\mathbf{(Ans)}}$$
3. কোনো বোলটু কারখানায় M₁, M₂, M₃ মেশিনে মোট উৎপাদনের যথাক্রমে 25%, 35% ও 40% উৎপাদন হয়। মেশিন তিনটির উৎপাদনের যথাক্রমে 5%, 4% এবং 2% ত্রুটিপূর্ণ। মোট উৎপাদন থেকে যথেচ্ছভাবে একটি বোলটু নেওয়া হয় এবং দেখা যায় এটি ত্রুটিপূর্ণ। M₃ মেশিনের সাহায্যে বোলটু উৎপাদিত হওয়ার সম্ভাবনা কত?
Solution:
ধরি, M₁, M₂ ও M₃ মেশিনে বোলটু উৎপাদন হওয়ার ঘটনা যথাক্রমে A₁, A₂ ও A₃
∴ P(A₁) = ²⁵/₁₀₀ = ¹/₄
P(A₂) = ³⁵/₁₀₀ = ⁷/₂₀
P(A₃) = ⁴⁰/₁₀₀ = ²/₅
আরও ধরি, যথেচ্ছভাবে নির্বাচিত বোলটুটি ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার ঘটনা X ;
∴ P(X/A₁) = 5% = ⁵/₁₀₀
P(X/A₂) = 4% = ⁴/₁₀₀
P(X/A₃) = 2% = ²/₁₀₀
নির্বাচিত বোল্টটি M₃ মেশিন দ্বারা উৎপাদিত হওয়ার সম্ভাবনা, P(A₃/X)
X ঘটনাটি ঘটবে যদি পরস্পর সম্পূর্ণ ও পৃথক তিনটি ঘটনা A₁, A₂ ও A₃ এর কোনো একটি ঘটে।
∴ Bayes’ -এর উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই-
$$\large{\quad P(A_3/X)\\=\frac{P(A_3)P(X/A_3)}{P(A_1)P(X/A_1)+P(A_2)P(X/A_2)+P(A_3)P(X/A_3)}\\=\frac{\frac{2}{5}×\frac{2}{100}}{\frac{1}{4}×\frac{5}{100}+\frac{7}{20}×\frac{4}{100}+\frac{2}{5}×\frac{2}{100}}\\=\frac{\frac{4}{5}}{\frac{5}{4}+\frac{14}{10}+\frac{4}{5}}\\=\frac{\frac{4}{5}}{\frac{25+28+16}{20}}\\=\frac{4}{5}×\frac{20}{69}\\=\frac{16}{69}\quad\mathbf{(Ans)}}$$
4. A 5 টির মধ্যে 4 টি ক্ষেত্রে, B 4 টির মধ্যে 3 টি ক্ষেত্রে এবং C 3 টির মধ্যে 2 টি ক্ষেত্রে লক্ষ্যবস্তুতে আঘাত করতে পারে। তারা একই সঙ্গে আঘাত করে, কমপক্ষে দুটি গুলির আঘাত হানার সম্ভাবনা কত? যদি দুটি গুলি আঘাত হানে, তবে C-এর গুলি আঘাত হানতে না পারার সম্ভাবনা কত?
Solution:
ধরি, E₁, E₂ ও E₃ যথাক্রমে A, B ও C -এর লক্ষ্যবস্তুতে আঘাত করার ঘটনা
∴ P(E₁) = ⁴/₅; ∴ P(E^c₁) = 1 – ⁴/₅ = ¹/₅
P(E₂) = ³/₄; ∴ P(E^c₂) = 1 – ³/₄ = ¹/₄
P(E₃) = ²/₃; ∴ P(E^c₃) = 1 – ²/₃ = ¹/₃
কমপক্ষে দুটি গুলির আঘাত করার সম্ভাবনা-
= P[(E^c₁∩E₂∩E₃)∪(E₁∩E^c₂∩E₃)∪(E₁∩E₂∩E^c₃)∪(E₁∩E₂∩E₃)]
= P(E^c₁∩E₂∩E₃) + P(E₁∩E^c₂∩E₃) + P(E₁∩E₂∩E^c₃) + P(E₁∩E₂∩E₃)
= P(E^c₁)P(E₂)P(E₃) + P(E₁)P(E^c₂)P(E₃) + P(E₁)P(E₂)P(E^c₃) + P(E₁)P(E₂)P(E₃)
= ¹/₅×³/₄×²/₃ + ⁴/₅×¹/₄×²/₃ + ⁴/₅×³/₄×¹/₃ + ⁴/₅×³/₄×²/₃
= ¹/₅×¹/₄×¹/₃×(6 + 8 + 12 + 24)
= ¹/₅×¹/₄×¹/₃ × 50
= ⁵/₆ (Ans)

দুটি গুলি আঘাত করার ঘটনা F হলে –
P(F) = P[(E^c₁∩E₂∩E₃)∪(E₁∩E^c₂∩E₃)∪(E₁∩E₂∩E^c₃)]
= P(E^c₁∩E₂∩E₃) + P(E₁∩E^c₂∩E₃) + P(E₁∩E₂∩E^c₃)
= P(E^c₁)P(E₂)P(E₃) + P(E₁)P(E^c₂)P(E₃) + P(E₁)P(E₂)P(E^c₃)
= ¹/₅×³/₄×²/₃ + ⁴/₅×¹/₄×²/₃ + ⁴/₅×³/₄×¹/₃
= ¹/₅×¹/₄×¹/₃×(6 + 8 + 12)
= ¹/₅×¹/₄×¹/₃ × 26 = ¹³/₃₀
আবার
P(F∩E^c₃)
= P(E₁∩E₂∩E^c₃)
= P(E₁)P(E₂)P(E^c₃)
= ⁴/₅×³/₄×¹/₃ = ¹/₅
যদি দুটি গুলি আঘাত হানে, তবে C-এর গুলি আঘাত হানতে না পারার সম্ভাবনা
= P(E^c₃/F)
$$\large{\quad P(E^c_3/F)\\=\frac{P(E^c_3∩F)}{P(F)}\\=\frac{\frac{1}{5}}{\frac{13}{30}}\\=\frac{1}{5}×\frac{30}{13}=\frac{6}{13}\quad\mathbf{(Ans)}}$$
5. মনে করো, তিনটি পাত্রের প্রথমটিতে 2 টি সাদা ও 3 টি কালো বল, দ্বিতীয়টিতে 3 টি সাদা ও 2 টি কালো বল এবং তৃতীয়টিতে 4 টি সাদা ও 1 টি কালো বল আছে। প্রত্যেকটি পাত্র পছন্দ করার সম্ভাবনা সমান। উদ্দেশ্যহীনভাবে নির্বাচিত একটি পাত্র থেকে একটি বল তোলা হয় এবং দেখা যায় তোলা বলটি সাদা। প্রথম পাত্রটি নির্বাচন করা হয়েছিল তার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।
Solution:
ধরি, উদ্দেশ্যহীনভাবে পাত্র তিনটি নিৰ্বাচন করার ঘটনা যথাক্রমে A₁, A₂, এবং A₃
প্রত্যেকটি পাত্র পছন্দ করার সম্ভাবনা সমান।
∴ P(A₁) = P(A₂) = P(A₃) = ¹/₃
আরও ধরি, সাদা বল নির্বাচনের ঘটনা W ;
∴ P(R/A₁) = ²/₂₊₃ = ²/₅
P(R/A₂) = ³/₃₊₂ = ³/₅
P(R/A₃) = ⁴/₄₊₁ = ⁴/₅
উত্তোলিত বলটি সাদা হলে, প্রথম পাত্রটি পছন্দ করার সম্ভাবনা, P(A₁/W)
W ঘটনাটি ঘটবে যদি পরস্পর সম্পূর্ণ ও পৃথক তিনটি ঘটনা A₁, A₂ ও A₃ এর কোনো একটি ঘটে।
∴ বেইজ -এর উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই-
$$\large{P(A_1/W)\\=\frac{P(A_1)P(W/A_1)}{P(A_1)P(W/A_1)+P(A_2)P(W/A_2)+P(A_3)P(W/A_3)}\\=\frac{\frac{1}{3}×\frac{2}{5}}{\frac{1}{3}×\frac{2}{5}+\frac{1}{3}×\frac{3}{5}+\frac{1}{3}×\frac{4}{5}}\\=\frac{\frac{2}{15}}{\frac{2+3+4}{15}}\\=\frac{2}{15}×\frac{15}{9}\=\frac{2}{9}\quad\mathbf{(Ans)}}$$
Probability Bayes’ Theorem বেইজ উপপাদ্য প্রশ্নমালা 1B
6. একটি থলি A-এর মধ্যে 2 টি সাদা ও 3 টি লাল বল এবং অন্য একটি থলি B-এর মধ্যে 4 টি সাদা ও 5 টি লাল বল আছে। উদ্দেশ্যহীনভাবে একটি থলি নির্বাচিত করে তার মধ্য থেকে একটি বল তোলা হয় এবং দেখা যায় যে, তোলা বলটি লাল। বলটি B থলি থেকে তোলা হয়েছিল তার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।
Solution:
ধরি, একটি থলি যথেচ্ছভাবে নির্বাচিত করলে A ও B থলি নির্বাচিত হওয়ার ঘটনা যথাক্রমে E₁ ও E₂
∴ P(E₁) = P(E₂) = ¹/₂
আরও ধরি, তোলা বলটি লাল হওয়ার ঘটনা R
∴ P(R/E₁) = ³/₂₊₃ = ³/₅
P(R/E₂) = ⁵/₄₊₅ = ⁵/₉
তোলা বলটি লাল হলে, সেটি B থলি থেকে তোলার সম্ভাবনা হল P(E₂/W)
R ঘটনাটি ঘটবে যদি পরস্পর সম্পূর্ণ ও পৃথক দুটি ঘটনা E₁ ও E₂ এর কোনো একটি ঘটে।
∴ Bayes’ -এর উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই-
$$\large{P(E_2/R)\\=\frac{P(E_2)P(R/E_2)}{P(E_1)P(R/E_1)+P(E_2)P(R/E_2)}\\=\frac{\frac{1}{2}×\frac{5}{9}}{\frac{1}{2}×\frac{3}{5}+\frac{1}{2}×\frac{5}{9}}\\=\frac{\frac{5}{18}}{\frac{27+25}{90}}\\=\frac{5}{18}×\frac{90}{52}=\frac{25}{52}\quad\mathbf{(Ans)}}$$
7. সাইকেল উৎপাদনকারী কোনো কোম্পানীর দুটি যন্ত্র আছে। প্রথম যন্ত্রটি 60% এবং দ্বিতীয় যন্ত্রটি 40% সাইকেল উৎপাদন করে। আবার, প্রথম যন্ত্রের সাহায্যে যেসব সাইকেল তৈরি হয় তার 80% উৎকর্ষের দিক থেকে আদর্শ মানের এবং দ্বিতীয় যন্ত্রের সাহায্যে যেসব সাইকেল তৈরি হয় তার 90% উৎকর্ষের দিক থেকে আদর্শ মানের। যথেচ্ছভাবে একটি সাইকেল নির্বাচন করা হয় এবং দেখা যায় নির্বাচিত সাইকেলটি উৎকর্ষের দিক থেকে আদর্শ মানের। নির্বাচিত এই সাইকেলটি দ্বিতীয় যন্ত্রের দ্বারা উৎপাদিত হয়ে থাকার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।
Solution:
ধরি, প্রথম যন্ত্র ও দ্বিতীয় যন্ত্র থেকে একটি সাইকেল উৎপাদিত হওয়ার ঘটনা যথাক্রমে A₁ ও A₂
∴ P(E₁) = 60% = ⁶⁰/₁₀₀ = ³/₅
P(E₂) = 80% = ⁴⁰/₁₀₀ = ²/₅
আরও ধরি, নির্বাচিত সাইকেলটি উৎকর্ষের দিক থেকে আদর্শ হওয়ার ঘটনা X
∴ P(X/E₁) = 80% = ⁸/₁₀
P(X/E₂) = 90% = ⁹/₁₀
∴ নির্বাচিত সাইকেলটি দ্বিতীয় যন্ত্রের দ্বারা উৎপাদিত হয়ে থাকার সম্ভাবনা P(E₂/X)
X ঘটনাটি ঘটবে যদি পরস্পর সম্পূর্ণ ও পৃথক দুটি ঘটনা E₁ ও E₂ এর কোনো একটি ঘটে।
∴ Bayes’ -এর উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই-
$$\large{P(E_2/X)\\=\frac{P(E_2)P(X/E_2)}{P(E_1)P(X/E_1)+P(E_2)P(X/E_2)}\\=\frac{\frac{2}{5}×\frac{9}{10}}{\frac{3}{5}×\frac{8}{10}+\frac{2}{5}×\frac{9}{10}}\\=\frac{18}{24+18}\\=\frac{18}{42}=\frac{3}{7}\quad\mathbf{(Ans)}}$$
Probability Bayes’ Theorem বেইজ উপপাদ্য প্রশ্নমালা 1B
8. একটি থলি A-এর মধ্যে 1 টি সাদা ও 6 টি লাল বল আছে; অন্য একটি থলি B-এর মধ্যে 4 টি সাদা ও 3 টি লাল বল আছে। একটি থলি যথেচ্ছভাবে নির্বাচিত করে তার মধ্য থেকে একটি বল তুলে দেখা গেল বলটি সাদা। A থলি থেকে বলটি তোলা হয়েছিল তার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।
Solution:
ধরি, একটি থলি যথেচ্ছভাবে নির্বাচিত করলে A ও B থলি নির্বাচিত হওয়ার ঘটনা যথাক্রমে E₁ ও E₂
∴ P(E₁) = P(E₂) = ¹/₂
আরও ধরি, তোলা বলটি সাদা হওয়ার ঘটনা W
∴ P(W/E₁) = ¹/₁₊₆ = ¹/₇
P(W/E₂) = ⁴/₄₊₃ = ⁴/₇
তোলা বলটি সাদা হলে, সেটি A থলি থেকে তোলার সম্ভাবনা হল P(E₁/W)
W ঘটনাটি ঘটবে যদি পরস্পর সম্পূর্ণ ও পৃথক দুটি ঘটনা E₁ ও E₂ এর কোনো একটি ঘটে।
∴ বেইজ -এর উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই-
$$\large{P(E_1/W)\\=\frac{P(E_1)P(W/E_1)}{P(E_1)P(W/E_1)+P(E_2)P(W/E_2)}\\=\frac{\frac{1}{2}×\frac{1}{7}}{\frac{1}{2}×\frac{1}{7}+\frac{1}{2}×\frac{4}{7}}\\=\frac{1}{1+4}=\frac{1}{5}\quad\mathbf{(Ans)}}$$
9. বোল্ট উৎপাদনকারী একটি কারখানায় 3 টি মেশিন M₁, M₂ ও M₃ প্রত্যহ যথাক্রমে 2000 টি, 2500 টি এবং 4000 টি বোল্ট উৎপাদন করে। মেশিন তিনটি যেসব বোল্ট উৎপাদন করে তার যথাক্রমে 3%, 4% এবং 2.5% ত্রুটিপূর্ণ। কোনো একদিনের উৎপাদন থেকে যথেচ্ছভাবে একটি বোল্ট নির্বাচন করে দেখা গেল সেটি ত্রুটিপূর্ণ। বোল্টটি M₂ মেশিন দ্বারা উৎপাদন হয়েছিল তার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।
Solution:
ধরি, M₁, M₂ ও M₃ মেশিনে বোল্ট উৎপাদন হওয়ার ঘটনা যথাক্রমে A₁, A₂ ও A₃
∴ P(A₁) = ²⁰⁰⁰/_{2000+2500+4000} = ²⁰⁰⁰/₈₅₀₀ = ⁴/₁₇
P(A₂) = ²⁵⁰⁰/_{2000+2500+4000} = ²⁵⁰⁰/₈₅₀₀ = ⁵/₁₇
P(A₃) = ⁴⁰⁰⁰/_{2000+2500+4000} = ⁴⁰⁰⁰/₈₅₀₀ = ⁸/₁₇
আরও ধরি, যথেচ্ছভাবে নির্বাচিত বোল্টটি ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার ঘটনা X ;
∴ P(X/A₁) = 3% = ³/₁₀₀
P(X/A₂) = 4% = ⁴/₁₀₀
P(X/A₃) = 2.5% = ²⁵/₁₀₀₀
নির্বাচিত বোল্টটি M₂ মেশিন দ্বারা উৎপাদিত হওয়ার সম্ভাবনা, P(A₂/X)
X ঘটনাটি ঘটবে যদি পরস্পর সম্পূর্ণ ও পৃথক তিনটি ঘটনা A₁, A₂ ও A₃ এর কোনো একটি ঘটে।
∴ Bayes’ -এর উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই-
$$\large{P(A_2/X)\\=\frac{P(A_2)P(X/A_2)}{P(A_1)P(X/A_1)+P(A_2)P(X/A_2)+P(A_3)P(X/A_3)}\\=\frac{\frac{5}{17}×\frac{4}{100}}{\frac{4}{17}×\frac{3}{100}+\frac{5}{17}×\frac{4}{100}+\frac{8}{17}×\frac{25}{1000}}\\=\frac{5×4}{4×3+5×4+4×5}\\=\frac{20}{12+20+20}\\=\frac{20}{52}=\frac{5}{13}\quad\mathbf{(Ans)}}$$
Probability Bayes’ Theorem বেইজ উপপাদ্য প্রশ্নমালা 1B
10. একটি বাক্সে 2টি স্বর্ণ মুদ্রা ও 3টি রৌপ্য মুদ্ৰা আছে অন্য একটি বাক্সে 3টি স্বর্ণ ও 3 রৌপ্য মুদ্রা আছে। যথেচ্ছভাবে একটি বাক্স পছন্দ করে তার মধ্য থেকে একটি মুদ্রা তোলা হয়। যদি নির্বাচিত মুদ্রাটি স্বর্ণ মুদ্রা হয়, তবে সেটি দ্বিতীয় বাক্স থেকে তোলা হয়েছিল তার সম্ভাবনা নির্ণয় করো
দশম শ্রেণীর ভৌত বিজ্ঞান এবং জীবন বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন
Solution:
ধরি, প্রথম ও দ্বিতীয় বাক্স নির্বাচিত হওয়ার ঘটনা যথাক্রমে E₁ ও E₂
∴ P(E₁) = P(E₂) = ¹/₂
আরও ধরি, নির্বাচিত মুদ্রা স্বর্ণ হওয়ার ঘটনা G
∴ P(G/E₁) = ²/₂₊₃ = ²/₅
P(G/E₂) = ³/₃₊₃ = ³/₆ = ¹/₂
নির্বাচিত মুদ্রাটি স্বর্ণ মুদ্রা হলে সেটি দ্বিতীয় বাক্স থেকে তোলার সম্ভাবনা হল P(E₂/G)
G ঘটনাটি ঘটবে যদি পরস্পর সম্পূর্ণ ও পৃথক দুটি ঘটনা E₁ ও E₂ এর কোনো একটি ঘটে।
Bayes’ উপপাদ্য থেকে বলা যায়,
$$\large{P(E_2/G)\\=\frac{P(E_2)P(G/E_2)}{P(E_1)P(G/E_1)+P(E_2)P(G/E_2)}\\=\frac{\frac{1}{2}×\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}×\frac{2}{5}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}}\\=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{4+5}{20}}\\=\frac{1}{4}×\frac{20}{9}\\=\frac{5}{9}\quad\mathbf{(Ans)}}$$
11. দুটি থলি I ও II আছে। I থলিতে 3 টি সাদা ও 4 টি কালো বল এবং II থলিতে 5 টি সাদা ও 6 টি কালো বল আছে। থলি দুটির একটি থেকে যথেচ্ছভাবে একটি বল তোলা হয় এবং দেখা যায় বলটি সাদা। I থলি থেকে বলটি তোলা হয়েছিল তার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।
Solution:
ধরি, I ও II থলি নির্বাচনের ঘটনা A₁ ও A₂
∴ P(A₁) = P(A₂) = ¹/₂
আরও ধরি, থলি থেকে তোলা বলটি সাদা হওয়ার ঘটনা W
∴ P(W/A₁) = ³/₃₊₄ = ³/₇
P(W/A₂) = ⁵/₅₊₆ = ⁵/₁₁
তোলা বলটি সাদা হলে, তা থলি । থেকে তোলার সম্ভাবনা P(A₁/W)
W ঘটনাটি ঘটবে যদি পরস্পর সম্পূর্ণ ও পৃথক দুটি ঘটনা A₁ ও A₂ এর কোনো একটি ঘটে।
∴ বেইজ -এর উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই-
$$\large{P(A_1/W)\\=\frac{P(A_1)P(W/A_1)}{P(A_1)P(W/A_1)+P(A_2)P(W/A_2)}\\=\frac{\frac{1}{2}×\frac{3}{7}}{\frac{1}{2}×\frac{3}{7}+\frac{1}{2}×\frac{5}{11}}\\=\frac{\frac{3}{14}}{\frac{33+35}{154}}\\=\frac{3}{14}×\frac{154}{68}\\=\frac{33}{68}\quad\mathbf{(Ans)}}$$
12. তিনটি একই ধরনের বাক্সের মধ্যে লাল ও সাদা বল আছে। প্রথম বাক্সে 3 টি লাল ও 2 টি সাদা, দ্বিতীয় বাক্সে 4 টি লাল ও 5 টি সাদা এবং তৃতীয় বাক্সে 2টি লাল ও 4টি সাদা বল আছে। উদ্দেশ্যহীনভাবে একটি বাক্স পছন্দ করা হয় এবং তা থেকে একটি বল তোলা হয়। যদি তোলা বলটি লাল হয়, তবে দ্বিতীয় বাক্সটি পছন্দ করা হয়েছে—এই ঘটনার সম্ভাবনা কত?
Solution:
ধরি, বাক্স তিনটি নিৰ্বাচন করার ঘটনা যথাক্রমে A₁, A₂, এবং A₃
∴ P(A₁) = P(A₂) = P(A₃) = ¹/₃
আরও ধরি, লাল বল নির্বাচনের ঘটনা R ;
∴ P(R/A₁) = ³/₃₊₂ = ³/₅
P(R/A₂) = ⁴/₄₊₅ = ⁴/₉
P(R/A₃) = ²/₂₊₄ = ²/₆ = ¹/₃
উত্তোলিত বলটি লাল হলে, দ্বিতীয় বাক্সটি পছন্দ করার সম্ভাবনা, P(A₂/R)
R ঘটনাটি ঘটবে যদি পরস্পর সম্পূর্ণ ও পৃথক তিনটি ঘটনা A₁, A₂ ও A₃ এর কোনো একটি ঘটে।
∴Bayes’ -এর উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই-
$$\large{P(A_2/R)\\=\frac{P(A_2)P(R/A_2)}{P(A_1)P(R/A_1)+P(A_2)P(R/A_2)+P(A_3)P(R/A_3)}\\=\frac{\frac{1}{3}×\frac{4}{9}}{\frac{1}{3}×\frac{3}{5}+\frac{1}{3}×\frac{4}{9}+\frac{1}{3}×\frac{1}{3}}\\=\frac{\frac{4}{27}}{\frac{27+20+15}{135}}\\=\frac{4}{27}×\frac{135}{62}\\=\frac{10}{31}\quad\mathbf{(Ans)}}$$
Probability Bayes’ Theorem বেইজ উপপাদ্য প্রশ্নমালা 1B
13. কোনো বিমা কোম্পানী 2000টি স্কুটার এবং 3000টি মোটর সাইকেল বিমা করে। কোনো স্কুটারের দুর্ঘটনা ঘটানোর সম্ভাবনা 0.01 এবং কোনো মোটর সাইকেলের ওই সম্ভাবনা 0.02 বিমা করা একটি যান (vehicle) একটি দুর্ঘটনা ঘটায়। দুর্ঘটনা করা যানটি মোটর সাইকেল হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।
Solution:
ধরি, বিমা কোম্পানিটি দ্বারা বিমা করা যানটি স্কুটার ও মোটর সাইকেল হওয়ার ঘটনা যথাক্রমে A₁ ও A₂ এবং একটি যানের দুর্ঘটনা ঘটার ঘটনা X
∴ P(A₁) = ²⁰⁰⁰/_2000+3000 = ²⁰⁰⁰/₅₀₀₀ = ²/₅
P(A₂) = ³⁰⁰⁰/_2000+3000 = ³⁰⁰⁰/₅₀₀₀ = ³/₅
আবার,
P(X/A₁) = 0.01; P(X/A₂) = 0.02
∴ দুর্ঘটনা করা যানটি মোটর সাইকেল হওয়ার সম্ভাবনা P(A₂/X)
X ঘটনাটি ঘটবে যদি পরস্পর সম্পূর্ণ ও পৃথক দুটি ঘটনা A₁ ও A₂ এর কোনো একটি ঘটে।
∴ Bayes’ উপপাদ্য থেকে বলা যায়
$$\large{P(A_2/X)\\=\frac{P(A_2)P(X/A_2)}{P(A_1)P(X/A_1)+P(A_2)P(X/A_2)}\\=\frac{\frac{3}{5}×0.02}{\frac{2}{5}×0.01+\frac{3}{5}×0.02} \\=\frac{0.6×0.02}{0.4×0.01+0.6×0.02}\\=\frac{6×2}{4×1+6×2}\\=\frac{12}{16}=\frac{3}{4}\quad\mathbf{(Ans)}}$$
14. A 10 বার কথা বললে 8 বার সত্য কথা বলে। একটি ছক্কা ছোঁড়া হয় এবং সে বলে 5 পড়েছে। ছক্কায় সত্যই 5 পড়েছিল তার সম্ভাবনা কত?
Solution:
ধরি, ছক্কাটা ছোঁড়া হলে ছক্কাটিতে 5 পড়ার ঘটনা A₁ এবং 5 না পড়ার ঘটনা A₂
∴ P(A₁) = ¹/₆; P(A₂) = ⁵/₆
আরও ধরি, ছক্কা পড়ার পর ওই ব্যক্তিটির 5 পড়েছে বলার ঘটনা অর্থাৎ সত্য বলার ঘটনা A
P(A/A₁) = ⁸/₁₀ = ⁴/₅
P(A/A₂) = ²/₁₀ = ¹/₅
প্রশ্নানুযায়ী.
নির্ণেয় সম্ভাবনা = P(A₁/A)
A ঘটনাটি ঘটবে যদি পরস্পর সম্পূর্ণ ও পৃথক দুটি ঘটনা A₁ ও A₂ এর কোনো একটি ঘটে। বেজের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই-
$$\large{P(A_1/A)\\=\frac{P(A_1)P(A/A_1)}{P(A_1)P(A/A_1)+P(A_2)P(A/A_2)}\\=\frac{\frac{1}{6}×\frac{4}{5}}{\frac{1}{6}×\frac{4}{5}+\frac{5}{6}×\frac{1}{5}}\\=\frac{\frac{4}{30}}{\frac{4+5}{30}}\\=\frac{4}{9}\quad\mathbf{(Ans)}}$$
Probability Bayes’ Theorem বেইজ উপপাদ্য প্রশ্নমালা 1B
15. কোনো Corporation-এ “Board of Directors” দখল করার জন্য দুটি দলের মধ্যে প্রতিযোগিতা হয়। প্রথম দলের ও দ্বিতীয় দলের জয়লাভের সম্ভাবনা যথাক্রমে 0.6 এবং 0.4 ; আরও, যদি প্রথম দল জয়লাভ করে তবে একটি নতুন প্রোডাক্ট চালু করার সম্ভাবনা 0.7 এবং দ্বিতীয় দল জয়লাভ করলে অনুরূপ সম্ভাবনা 0.3; তাহলে, দ্বিতীয় দল দ্বারা নতুন প্রোডাক্ট চালু করার সম্ভাবনা নির্ণয় করো।
Solution:
প্রথম দলের ও দ্বিতীয় দলের জয়লাভের ঘটনা যথাক্রমে A₁ ও A₂ এবং একটি নতুন প্রোডাক্ট চালু করার ঘটনা X
∴ P(A₁) = 0.6; P(A₂) = 0.4
P(X/A₁) = 0.7; P(X/A₂) = 0.3
∴ দ্বিতীয় দল দ্বারা নতুন প্রোডাক্ট চালু হওয়ার সম্ভাবনা P(A₂/X)
X ঘটনাটি ঘটবে যদি পরস্পর সম্পূর্ণ ও পৃথক দুটি ঘটনা A₁ ও A₂ এর কোনো একটি ঘটে।
Bayes’ উপপাদ্য থেকে বলা যায়,
$$\large{P(A_2/X)\\=\frac{P(A_2)P(X/A_2)}{P(A_1)P(X/A_1)+P(A_2)P(X/A_2)}\\=\frac{0.4×0.3}{0.6×0.7+0.4×0.3}\\=\frac{4×3}{6×7+4×3}\\=\frac{12}{54}=\frac{2}{9}\quad\mathbf{(Ans)}}$$
16. একটি বাক্সে 3টি মুদ্রা আছে। তাদের মধ্যে দুটির ক্ষেত্রে হেড্‌ পাবার সম্ভাবনা ²/₃এবং অন্য মুদ্রাটির ক্ষেত্রে এই সম্ভাবনা ¹/₂; বাক্স থেকে উদ্দেশ্যহীনভাবে একটি মুদ্রা নেওয়া হয় এবং তিনবার টস্ করে প্রতিবারেই হেড্ পাওয়া যায়। বাক্স থেকে নেওয়া মুদ্রাটি ঝোঁকশূন্য হওয়ার সম্ভাবনা কত?
Solution:
বাক্সটিতে 2টি ঝোঁকপূর্ণ মুদ্রা এবং 1টি ঝোঁকশূন্য মুদ্রা আছে। ধরি, E₁ ও E₂ হল ঝোঁকপূর্ণ মুদ্রা ও ঝোঁকশূন্য মুদ্রা নেওয়ার ঘটনা
∴ P(E₁) = ²/₃ P(E₂) = ¹/₃
আরও ধরি, তিনবার হেড পাওয়ার ঘটনা X
∴ P(X/E₁) = ²/₃×²/₃×²/₃ = ⁸/₂₇
∴ P(X/E₂) = ¹/₂×¹/₂×¹/₂ = ¹/₈
তিনবারই হেড পাওয়া গেলে, মুদ্রাটি ঝোঁকশূন্য হওয়ার সম্ভাবনা P(E₂/X)
X ঘটনাটি ঘটবে যদি পরস্পর সম্পূর্ণ ও পৃথক দুটি ঘটনা E₁ ও E₂ এর কোনো একটি ঘটে।
∴ Bayes’ উপপাদ্য থেকে বলা যায়,
$$\large{P(E_2/X)\\=\frac{P(E_2)P(X/E_2)}{P(E_1)P(X/E_1)+P(E_2)P(X/E_2)}\\=\frac{\frac{1}{3}×\frac{1}{8}}{\frac{2}{3}×\frac{8}{27}+\frac{1}{3}×\frac{1}{8}}\\=\frac{\frac{1}{3×8}}{\frac{128+27}{3×27×8}}\\=\frac{1}{\frac{155}{27}}=\frac{27}{155}\quad\mathbf{(Ans)}}$$
KOSHE DEKHI
KOSHE DEKHI
November 12, 2023