Author: TEAM PROSTUTI

Koshe Dekhi 15.2 Class X বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য

Koshe Dekhi 15.2 Class X বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য

Koshe Dekhi 15.2 Class X বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য

1. 16 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসবিশিষ্ট একটি বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 17 সেমি দূরত্বে অবস্থিত বহিঃস্থ একটি বিন্দু থেকে অঙ্কিত বৃত্তের স্পর্শকের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

Solution:
ধরি, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে অঙ্কিত স্পর্শক AP এবং OP ব্যাসার্ধ।
এখানে OA = 17 সেমি,
OP = ¹⁶/₂ = 8 সেমি
APO সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
AP² + OP² = OA²
বা, AP² + 8² = 17²
বা, AP² + 64 = 289
বা, AP² = 225
∴ AP = 15
Ans: বৃত্তের স্পর্শকের দৈর্ঘ্য 15 সেমি।

2.একটি বৃত্তের উপর অবস্থিত P ও Q বিন্দু দুটিতে অঙ্কিত স্পর্শক দুটি A বিন্দুতে ছেদ করেছে। ∠PAQ = 60° হলে ∠APQ-এর মান নির্ণয় করি।

Solution: বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে P ও Q বিন্দুতে স্পর্শকদ্বয় যথাক্রমে AP ও AQ।
∴ AP = AQ
∴ APQ একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
∴ ∠APQ = ∠AQP
প্রদত্ত ∠PAQ = 60°
△APQ -এর ক্ষেত্রে,
∴ ∠APQ + ∠AQP + ∠PAQ = 180°
বা, ∠APQ + ∠AQP = 180° – ∠PAQ
বা, ∠APQ + ∠APQ = 180° – 60°
বা, 2∠APQ = 120°
বা, ∠APQ = 60°
Ans: ∠APQ-এর মান 60°

Koshe Dekhi 15.2 Class X বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য

3. O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে অঙ্কিত দুটি স্পর্শক AP ও AQ বৃত্তকে P ও Q বিন্দুতে স্পর্শ করে। PR একটি ব্যাস হলে, প্রমাণ করি যে, OA ∥ RQ

Solution:
স্বীকার: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে AP ও AQ স্পর্শকদ্বয় বৃত্তকে P ও Q বিন্দুতে স্পর্শ করেছে। PR বৃত্তের ব্যাস।
প্রামাণ্য বিষয়: OA || RQ
অঙ্কন: O, Q যুক্ত করা হল।
প্রমাণ: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে P ও Q বিন্দুতে যথাক্রমে PA ও QA দুটি স্পর্শক।
∴ ∠AOP = ∠AOQ
∴ ∠AOP + ∠AOQ + ∠QOR = 180°
বা ∠AOP + ∠AOP = 180° – ∠QOR
বা 2∠AOP = 180° – ∠QOR – – – (i)
আবার △ORQ –এর ক্ষেত্রে,
∴ ∠ORQ + ∠RQO + ∠QOR = 180°
বা, ∠RQO + ∠RQO = 180° – ∠QOR – – – [∵ OR = OQ, ∠ORQ = ∠RQO]
বা, 2∠RQO = 180° – ∠QOR – – – (ii)
(i) ও (ii) থেকে পাওয়া যায়,
2∠AOP = 2∠RQO
∴ ∠AOP = ∠RQO
কিন্তু এরা একান্তর কোণ।
∴ OA || RQ (প্রমাণিত)

4. প্রমাণ করি যে, একটি বৃত্তের পরিলিখিত কোনো চতুর্ভুজের যে-কোনো দুটি বিপরীত বাহুর দ্বারা উৎপন্ন কেন্দ্রস্থ সম্মুখ কোণ দুটি পরস্পর সম্পূরক।

Solution:
স্বীকার: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ABCD একটি পরিলিখিত চতুর্ভুজ। বৃত্তটি AB, BC, CE ও AD বাহুগুলিকে যথাক্রমে P, Q, R, S বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয়: ∠AOB + ∠COD = 180°
অথবা, ∠AOD + ∠BOC = 180°
অঙ্কন: O, A; O, B; O, C; O, D; O, P; O, Q; O, R; O, S যুক্ত করা হল।
প্রমাণ: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে P ও S বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক দুটি যথাক্রমে AP ও AS দুটি স্পর্শক
∴ ∠AOP = ∠AOS
∴ ∠AOP + ∠AOS = ∠POS
বা ∠AOP + ∠AOP = ∠POS
বা 2∠AOP = ∠POS
বা ∠AOP = ¹/₂∠POS
অনুরূপে,
∠BOP = ¹/₂∠POQ
∠COR = ¹/₂∠QOR
∠DOR = ¹/₂∠ROS
∴ ∠AOB + ∠COD
= (∠AOP + ∠BOP) + (∠COR + ∠DOR )
= (¹/₂∠POS + ¹/₂∠POQ) + (¹/₂∠QOR + ¹/₂∠ROS)
= ¹/₂(∠POS + ∠POQ + ∠QOR + ∠ROS)
= ¹/₂ × 360°
= 180°
অনুরূপে, প্রমাণ করা যায়
∠AOD + ∠BOC = 180°
∴ ∠AOB + ∠COD = 180° (প্রমাণিত)
∠AOD + ∠BOC = 180° (প্রমাণিত)

Koshe Dekhi 15.2 Class X বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য

5. প্রমাণ করি যে, বৃত্তের পরিলিখিত সামান্তরিক মাত্রই রম্বস।

Solution:
স্বীকার: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের পরিলিখিত সামান্তরিক হল ABCD; এবং বৃত্তটি AB, BC, CD ও AD বাহুকে যথাক্রমে P, Q, R, S বিন্দুতে স্পর্শ করে।
প্রামাণ্য বিষয়: ABCD একটি রম্বস।
অঙ্কন: O, A; O, P; O, B; O, Q; O, R; O, D; O, S যুক্ত করা হল।
প্রমাণ: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে অঙ্কিত স্পর্শক দুটি AP ও AS;
∴ AP = AS
অনুরূপে, BP = BQ;
CQ = CR;
এবং DS = DR
∴ AB + CD = AP + BP + CR + DR
= AS + BQ + CQ + DS – – – [∵ AP = AS, BP = BQ, CR = CQ, DR = DS]
= BQ + CQ + DS + AS
∴ AB + CD = BC + AD
বা AB + AB = BC + AD – – – – [∵ ABCD একটি সামান্তরিক
বা 2AB = 2BC AB = CD; BC = AD]
বা AB = BC
ABCD সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য সমান।
∴ ABCD সামান্তরিক একটি রম্বস। (প্রমাণিত)

6. A ও B কেন্দ্রীয় দুটি বৃত্ত অঙ্কন করেছি যারা পরস্পরকে C বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে। C বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের উপর O একটি বিন্দু এবং OD ও OE যথাক্রমে A ও B কেন্দ্রীয় বৃত্তকে যথাক্রমে D ও E বিন্দুতে স্পর্শ করেছে। ∠COD = 56°, ∠COE = 40°, ∠ACD = x° এবং ∠BCE = y° হলে প্রমাণ করি যে, OD = OC = OE এবং x – y = 8

Solution:
স্বীকার: A ও B কেন্দ্রীয় বৃত্ত দুটি C বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে। C বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের O একটি বিন্দু। OD ও OE যথাক্রমে A ও B কেন্দ্রীয় বৃত্তকে যথাক্রমে D ও E বিন্দুতে স্পর্শ করেছে।
∠COD = 56°, ∠COE = 40°,
∠ACD = x° এবং ∠BCE = y°
প্রামাণ্য বিষয়: OD = OC = OE এবং x – y = 8
প্রমাণ: A কেন্দ্রীয় বৃত্তের D ও C বিন্দুতে যথাক্রমে OD ও OC দুটি স্পর্শক।
∴ OD = OC – – – – (i)
∴ ∠ODC = ∠OCD
আবার, B কেন্দ্রীয় বৃত্তের C ও E বিন্দুতে যথাক্রমে OC ও OE দুটি স্পর্শক।
∴ OC = OE – – – – (ii)
∴ ∠OCE = ∠OEC
(i) ও (ii) থেকে পাওয়া যায়,
OD = OC = OE (প্রমাণিত)
△COD –এর ক্ষেত্রে,
∴ ∠OCD + ∠ODC + ∠COD = 180°
বা, ∠OCD + ∠OCD + 56° = 180°
বা, 2∠OCD = 180° – 56° = 124°
∴ ∠OCD = 62°
∴ ∠ACD = ∠OCA – ∠OCD
= 90° – 62° = 28°
∴ x = 28
△COE –এর ক্ষেত্রে,
∴ ∠OCE + ∠OEC + ∠EOC = 180°
বা, ∠OCE + ∠OCE + 40° = 180°
বা, 2∠OCE = 180° – 40° = 140°
∴ ∠OCE = 70°
∴ ∠BCE = ∠OCB – ∠OCE
= 90° – 70° = 20°
∴ y = 28
x – y = 28 – 20
= 8 (প্রমাণিত)

অধ্যায়	বিষয়	কষে দেখি
1	একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic Equations with one variable)	কষে দেখি – 1.1 কষে দেখি – 1.2 কষে দেখি – 1.3 কষে দেখি – 1.4 কষে দেখি – 1.5
2	সরল সুদকষা (Simple Interest)	কষে দেখি – 2
3	বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য (Theorems related to circle)	কষে দেখি – 3.1 কষে দেখি – 3.2
4	আয়তঘন (Rectangular Parallelopiped or Cuboid)	কষে দেখি – 4
5	অনুপাত ও সমানুপাত (Ratio and Proportion)	কষে দেখি – 5.1 কষে দেখি – 5.2 কষে দেখি – 5.3
6	চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সমহার বৃদ্ধি বা হ্রাস (Compound Interest and Uniform Rate of Increase or Decrease)	কষে দেখি – 6.1 কষে দেখি – 5.2
7	বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য (Theorems related to Angles in a Circle)	কষে দেখি – 7.1 কষে দেখি – 7.2 কষে দেখি – 7.3
8	লম্ব বৃত্তাকার চোঙ (Right Circular Cylinder)	কষে দেখি – 8
9	দ্বিঘাত করণী (Quadratic Surd)	কষে দেখি – 9.1 কষে দেখি – 9.2 কষে দেখি – 9.3
10	বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Cyclic Quadrilateral)	কষে দেখি – 10
11	সম্পাদ্য : ত্রিভুজের পরিবৃত্ত ও অন্তবৃত্ত অঙ্কন (Construction : Construction of circumcircle and incircle of a triangle)	কষে দেখি – 11.1
12	গোলক (Sphere)	কষে দেখি – 12
13	ভেদ (Variation)	কষে দেখি – 13
14	অংশীদারি কারবার (Partnership Business)	কষে দেখি – 14
15	বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Tangent to a Circle)	কষে দেখি – 15.1 কষে দেখি – 15.2
16	লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু (Right Circular Cone)	কষে দেখি – 16
17	সম্পাদ্য : বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন (Construction: Construction of Tangent to a circle)	কষে দেখি – 17
18	সদৃশতা (Similarity)	কষে দেখি – 18.1 কষে দেখি – 18.2 কষে দেখি – 18.3 কষে দেখি – 18.4
19	বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা (Real life Problems related to different Solid Objects)	কষে দেখি – 19
20	ত্রিকোণমিতি: কোণ পরিমাপের ধারণা	কষে দেখি – 20
21	সম্পাদ্য : মধ্যসমানুপাতী নির্ণয় (Construction : Determination of Mean Proportional )	কষে দেখি – 21
22	পিথাগোরাসের উপপাদ্য (Pythagoras Theorem)	কষে দেখি – 22
23	ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি (Trigonometric Ratios and Trigonometric Identities)	কষে দেখি – 23.1 কষে দেখি – 23.2 কষে দেখি – 23.3
24	পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত (Trigonometric Ratios of Complementrary angle )	কষে দেখি – 24
25	ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ : উচ্চতা ও দূরত্ব (Application of Trigonometric Ratios: Heights & Distances)	কষে দেখি – 25
26	রাশিবিজ্ঞান : গড়, মধ্যমা, ওজাইভ, সংখ্যাগুরুমান (Statistics : Mean, Median, Ogive, Mode)	কষে দেখি – 26.1 কষে দেখি – 26.2 কষে দেখি – 26.3 কষে দেখি – 26.4

7. A ও B কেন্দ্রবিশিষ্ট দুটি নির্দিষ্ট বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করেছে। অপর একটি বৃত্ত, বৃহত্তর বৃত্তটিকে X বিন্দুতে অন্তঃস্পর্শ এবং ক্ষুদ্রতর বৃত্তটিকে Y বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে। O যদি ওই বৃত্তের কেন্দ্র হয়, তবে প্রমাণ করি যে, AO + BO ধ্রুবক হবে।

Solution:
স্বীকার: A ও B কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তদ্বয় পরস্পর অন্তঃস্পর্শ করেছে। O কেন্দ্রীয় অপর একটি বৃত্ত বৃহত্তর বৃত্তকে X বিন্দুতে অন্তঃস্পর্শ ও ক্ষুদ্রতর বৃত্তকে Y বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয়: AO + BO = ধ্রুবক।
অঙ্কন: O, X; O, A যুক্ত করা হল।
প্রমাণ: A ও B কেন্দ্রীয় বৃত্ত দুটি পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করেছে।
∴ স্পর্শবিন্দুটি A ও B কেন্দ্র দুটির সংযোজক রেখাংশের উপর অবস্থিত।
আবার, O ও A কেন্দ্রীয় বৃত্ত দুটি পরস্পরকে Y বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে।
∴ Y বিন্দুটি OB রেখাংশের উপর অবস্থিত হবে।
এবং B ও O কেন্দ্রীয় বৃত্ত দুটি পরস্পরকে X বিন্দুতে অন্তঃস্পর্শ করেছে।
∴ X বিন্দুটি OX রেখাংশের উপর অবস্থিত হবে।
∴ AO + BO = (AB + BO) + (AO – AB)
= AB + BO + AO – AB
= BO + AO
= BX – OX + AY + OY
= BX – OX + AY + OX – – – [OX = OY,একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
= BX + AY
= B কেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ + A কেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ
= ধ্রুবক
∴ AO + BO = ধ্রুবক (প্রমাণিত)

8. A ও B কেন্দ্রীয় দুটি বৃত্ত অঙ্কন করেছি যারা পরস্পরকে O বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে। O বিন্দু দিয়ে একটি সরলরেখা অঙ্কন করেছি যা বৃত্ত দুটিকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, AP ∥ BQ.

Solution:
স্বীকার: A ও B কেন্দ্রীয় বৃত্ত দুটি পরস্পর O বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে। O বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত সরলরেখা বৃত্তদ্বয়কে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয়: AP || BQ
অঙ্কন: A, P; B, Q যুক্ত করা হল।
প্রমাণ: △AOP –এর OA = OP – – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ ∠AOP = ∠APO
আবার, △BOQ –এর OB = BQ – – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ ∠BOQ = ∠BQO
A ও B কেন্দ্রীয় বৃত্ত দুটি O বিন্দুতে ছেদ করেছে এবং AB তাদের কেন্দ্রের সংযোজক রেখাংশ। ∴ ∴ A, O, B বিন্দু তিনটি সমরেখ।
PQ ও AB রেখাংশদ্বয় পরস্পর O বিন্দুতে ছেদ করেছে।
∴ ∠AOP = বিপ্রতীপ ∠BOQ
∴ ∠APO = ∠BQO
কিন্তু এরা একান্তর কোণ।
∴ AP || BQ (প্রমাণিত)

Koshe Dekhi 15.2 Class X বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য

9. তিনটি সমান বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করেছে। প্রমাণ করি যে, ওই বৃত্ত তিনটির কেন্দ্রগুলি একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।

Solution:
স্বীকার: A, B, C কেন্দ্রীয় বৃত্ত তিনটি পরস্পরকে P, Q, R বিন্দুতে ছেদ করেছে। AB, BC, CA যুক্ত করা হল।
প্রামাণ্য বিষয়: △ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ।
প্রমাণ: A ও B কেন্দ্রীয় বৃত্ত দুটি পরস্পরকে R বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে এবং AB হল কেন্দ্র দুটির সংযোজক রেখাংশ।
∴ R বিন্দুটি AB রেখাংশের উপর অবস্থিত।
অনুরূপে P ও Q বিন্দুটি যথাক্রমে BC এবং AC রেখাংশের উপর অবস্থিত।
বৃত্ত তিনটি সমান ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট।
∴ AR = RB = BP = PC = CQ = QA
∴ AR + RB = BP + PC = CQ + QA
⇒ AB = BC = CA
∴ △ABC –এর AB, BC, CA বাহু তিনটি পরস্পর সমান।
∴ △ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ। (প্রমাণিত)

10. একটি বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু A থেকে অঙ্কিত AB ও AC দুটি স্পর্শক বৃত্তকে B ও C বিন্দুতে স্পর্শ করে। উপচাপ BC-এর উপর অবস্থিত X বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক AB ও AC-কে যথাক্রমে D ও E বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, △ADE-এর পরিসীমা = 2AB.

Solution:
স্বীকার: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে AB ও AC স্পর্শক দুটি বৃত্তকে যথাক্রমে B ও C বিন্দুতে ছেদ করেছে। উপচাপ BC-এর উপর, X বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক AB ও AC -কে যথাক্রমে D ও E বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয়: △ADE –এর পরিসীমা = 2AB
প্রমাণ: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে AB ও AC স্পর্শক দুটি বৃত্তকে যথাক্রমে B ও C বিন্দুতে ছেদ করেছে।
∴ AB = AC
আবার O কেন্দ্রীয় বৃত্তের B ও X বিন্দুতে যথাক্রমে BD ও DX দুটি স্পর্শক।
∴ BD = DX
এবং O কেন্দ্রীয় বৃত্তের X ও C বিন্দুতে যথাক্রমে XE ও CE দুটি স্পর্শক।
∴ XE = CE
△ADE-এর পরিসীমা
= AD + DE + EA
= AD + DX + XE + EA
= AD + DB + EC + EA
= AB + AC
= AB + AB
= 2AB

Utube_comptech_home — দশম শ্রেণীর **ভৌত** বিজ্ঞান এবং **জীবন** বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন

11. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)

(i) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ A বিন্দু থেকে অঙ্কিত স্পর্শক বৃত্তকে B বিন্দুতে স্পর্শ করে। OB = 5 সেমি, AO = 13 সেমি হলে, AB-এর দৈর্ঘ্য
(a) 12 সেমি (b) 13 সেমি (c) 6.5 সেমি (d) 6 সেমি

Ans: (a) 12 সেমি
[OB = 5 সেমি, AO = 13 সেমি
∴ AB = √(13² – 5²)
= √(169 – 25)
= √144 = 12 সেমি]

(ii) দুটি বৃত্ত পরস্পরকে C বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করে। AB বৃত্ত দুটির একটি সাধারণ স্পর্শক বৃত্ত দুটিকে A ও B বিন্দুতে স্পর্শ করে। ∠ACB-এর মান পরিমাপ
(a) 60° (b) 45° (c) 30° (d) 90°

Ans: (d) 90°
C বিন্দু দিয়ে একটি সরলরেখা অঙ্কন করা হল যা, AB স্পর্শককে D বিন্দুতে ছেদ করে।
বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে অঙ্কিত স্পর্শক দুটির দৈর্ঘ্য সমান হয়।
∴ DA = DC
∴ ∠DAC = ∠DCA
অনুরূপে DC = DB
∴ ∠DCB = ∠DB
△ACB ত্রিভুজ থেকে পাই,
∠ACB + ∠BAC + ∠ABC = 180°
বা, ∠DCA + ∠DCB + ∠DAC+ ∠DBC=180°
বা, 2(∠DCA + ∠DCB) =180°
বা, ∠DCA + ∠DCB = 90°
বা, ∠ACB =90°]

(iii) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি। O বিন্দু থেকে 13 সেমি দুরত্বে P একটি বিন্দু। P বিন্দু থেকে বৃত্তের দুটি স্পর্শকের দৈর্ঘ্য PQ এবং PR; PQOR চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল
(a) 60 বর্গ সেমি (b) 30 বর্গ সেমি (c) 120 বর্গ সেমি (d) 150 বর্গ সেমি
Ans: (a) 60 বর্গ সেমি

[OQ = OR = 5 সেমি, OP = 13 সেমি
∴PQ = PR = √(13² – 5²)
= √(169 – 25)
= √144 = 12 সেমি
△POQ –এর ক্ষেত্রফল
= ¹/₂ × 12 × 5
= 30 বর্গ সেমি
∴ PQOR চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল = 2 × 30 = 60 বর্গ সেমি]

(iv) দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি ও 3 সেমি। বৃত্ত দুটি পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করে। বৃত্তদুটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব
(a) 2 সেমি (b) 2.5 সেমি (c) 1.5 সেমি (d) 8 সেমি
Ans: (d) 8 সেমি
[বৃত্ত দুটি পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করে।
∴ বৃত্তদুটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব
= (5 + 3) সেমি
= 8 সেমি]

(v) দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 3.5 সেমি ও 2 সেমি। বৃত্ত দুটি পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করে। বৃত্ত দুটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব
(a) 5.5সেমি (b) 1 সেমি (c) 1.5 সেমি (d) কোনোটিই নয়
Ans: (c) 1.5 সেমি
[বৃত্ত দুটি পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করে।
∴ বৃত্ত দুটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব
= (3.5 – 2) সেমি
= 1.5 সেমি]

Koshe Dekhi 15.2 Class X বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য

(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি:

(i) একটি বৃত্তের অন্তঃস্থ একটি বিন্দু P; বৃত্তে অঙ্কিত কোনো স্পর্শক P বিন্দুগামী নয়।
Ans: সত্য।

(ii) একটি বৃত্তে একটি নির্দিষ্ট সরলরেখার সমান্তরাল দুইয়ের অধিক স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।
Ans: মিথ্যা।

(C) শূন্যস্থান পূরণ করি:

(i) একটি সরলরেখা বৃত্তকে দুটি বিন্দুতে ছেদ করলে সরলরেখাটিকে বৃত্তের __________ বলে।
Ans: ছেদক।

(ii) দুটি বৃত্ত পরস্পরকে ছেদ বা স্পর্শ না করলে বৃত্তদুটির সর্বাধিক সংখ্যায় __________ টি সাধারণ স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।
Ans: 4

(iii) দুটি বৃত্ত পরস্পরকে A বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করে। A বিন্দুতে অঙ্কিত বৃত্ত দুটির সাধারণ স্পর্শক হলো __________ সাধারণ স্পর্শক (সরল / তির্যক)।

Ans: তির্যক।

Koshe Dekhi 15.2 Class X বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য

12. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

(i) পাশের চিত্রে বৃত্তের কেন্দ্র O এবং BOA বৃত্তের ব্যাস। বৃত্তের P বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক বর্ধিত BA-কে T বিন্দুতে ছেদ করে। ∠PBO = 30° হলে, ∠PTA-এর মান নির্ণয় করি। Solution:

এখানে ∠PBO = 30°
△BOP –এর OB = OP – – – [ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
∴ ∠BPO = ∠PBO = 30°
PT স্পর্শক এবং OP স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ
∴ ∠OPT = 90°
∴ ∠BPT = ∠BPO + ∠OPT
= 30°+ 90°
= 120°
△BPT -এর ক্ষেত্রে,
∠PTB + ∠TBP + ∠BPT =180°
বা, ∠PTA + 30° + 120° = 180°
বা, ∠PTA + 150° =180°
বা, ∠PTA = 30°
Ans: ∠PTA-এর মান 30°

Koshe Dekhi 15.2 Class X বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য

(ii) পাশের চিত্রে ABC ত্রিভুজটি একটি বৃত্তে পরিলিখিত এবং বৃত্তকে P, Q, R বিন্দুতে স্পর্শ করে। যদি AP = 4 সেমি, BP = 6 সেমি, AC = 12 সেমি এবং BC = x সেমি হয়। তাহলে x-এর মান নির্ণয় করি।
Solution:

এখানে, AP = 4 সেমি,
BP = 6 সেমি,
AC = 12 সেমি।
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে P ও R বিন্দুতে AP ও AR দুটি স্পর্শক।
∴ AR = AP = 4 সেমি
∴ CR = AC – AR
= 12 – 4 – – – [∵ AC = 12]
= 8 সেমি
আবার O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু B থেকে বৃত্তের P ও Q বিন্দুতে BP ও BQ দুটি স্পর্শক।
∴ BQ = BP = 6 সেমি
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু C থেকে Q ও R বিন্দুতে CQ ও CR দুটি স্পর্শক।
∴ CQ = CR = 8 সেমি
∴ BC = BQ + CQ
= (6 + 8)
= 14 সেমি।
Ans: x -এর মান 14।

(iii) পাশের চিত্রে A, B, C কেন্দ্রবিশিষ্ট তিনটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করে। যদি AB = 5 সেমি, BC = 7 সেমি এবং CA = 6 সেমি হয়, তাহলে A কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
Solution:

এখানে, AB = 5 সেমি,
BC = 7 সেমি,
CA = 6 সেমি
∴ AP = AB – BP
= 5 – BR
= 5 – (BC – CR) – – – [∵ BR = BC – CR]
= 5 – (7 – CQ)
= 5 – 7 + CQ
= -2 + (AC – AQ) – – – [∵ CQ = AC – AQ]
= -2 + (6 – AQ)
= -2 + 6 – AQ
= 4 – AP – – – [∵ AQ = AP]
∴ AP + AP = 4
বা, 2AP = 4
বা, AP = 2
Ans: A কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 2 সেমি

(iv) পাশের চিত্রে O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে বহিঃস্থ বিন্দু C থেকে অঙ্কিত দুটি স্পর্শক বৃত্তকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে স্পর্শ করে। বৃত্তের অপর একটি বিন্দু R-তে অঙ্কিত স্পর্শক CP ও CQ-কে যথাক্রমে A ও B বিন্দুতে ছেদ করে। যদি CP = 11 সেমি এবং BC = 7 সেমি হয়, তাহলে BR-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
Solution:

এখানে CP = 11 সেমি এবং BC = 7 সেমি
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু C থেকে P ও Q বিন্দুতে যথাক্রমে CP ও CQ দুটি স্পর্শক।
∴ CQ = CP = 11 সেমি
আবার, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু B থেকে R ও Q বিন্দুতে BR ও BQ দুটি স্পর্শক
∴ BQ = BR
বা, BQ = CQ – BC
= 11 – 7
= 4
∴ BR = 4
Ans: BR -এর দৈর্ঘ্য 4 সেমি

(v) দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 8 সেমি ও 3 সেমি এবং তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব 13 সেমি। বৃত্ত দুটির একটি সরল সাধারন স্পর্শকের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।

Solution:
এখানে, দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ r₁ = 8 সেমি এবং r₂ = 3 সেমি,
কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব d = 13 সেমি
বৃত্ত দুটির সরল সাধারন স্পর্শকের দৈর্ঘ্য

$$\large{=\sqrt{d^2-(r_1^2-r_2^2)} \quad cm\\=\sqrt{13^2-(8-3)^2} \quad cm\\=\sqrt{169-(5)^2} \quad cm\\=\sqrt{169-25}\quad cm\\=\sqrt{144}\quad cm\\=12\quad cm}$$Ans: সরল সাধারন স্পর্শকের দৈর্ঘ্য 12 সেমি।

PREVIOUS

NEXT

November 24, 2023

Direction Cosines and Direction Ratios Class XII S N Dey দিক্ কোসাইন এবং দিক্ অনুপাত
Direction Cosines and Direction Ratios Class XII S N Dey দিক্ কোসাইন এবং দিক্ অনুপাত
Direction Cosines and Direction Ratios Class XII S N Dey দিক্ কোসাইন এবং দিক্ অনুপাত
দীর্ঘ উত্তরধর্মী প্রতিটি প্রশ্নের মান 5
1. x – অক্ষের দিক্ কোসাইনসমূহ হবে-
(A) 0, 1, 0 (B) 1, 0, 0 (C) 0, 0, 1 (D) 0, 1, 0

Ans: (C) 0, 0, 1
[l = cos0^o = 1;
m = cos90^o = 0
n = cos90^o = 0]
2. y অক্ষের দিক্ কোসাইনসমূহ হবে –
(A) 1, 1, 1 (B) 1, 0, 0 (C) 0, 0, 1 (D) 0, 1, 0
Ans: (D) 0,1, 0
[l = cos90^o = 0;
m = cos0^o = 1
n = cos90^o = 0]
3. z-অক্ষের দিক কোসাইনসমূহ হবে –
(A) 0, 0, 1 (B) 0, 1, 0 (C) 1, 1, 1 (D) 1, 0, 0

Ans: (A) 0, 0, 1
[l = cos90^o = 0;
m = cos90^o = 0
n = cos0^o =1]
4. যদি কোনো সরলরেখার দিক্ অনুপাতগুলি – 18, 12, -4 হয়, তবে তার দিক্ কোসাইনগুলি হবে-
(A) ⁹/₁₁, ⁶/₁₁, ²/₁₁ (B) –⁹/₁₁, ⁶/₁₁, –²/₁₁ (C) ⁹/₁₁, ⁶/₁₁, –²/₁₁ (D) এদের কোনোটিই নয়।

Ans: (B) –⁹/₁₁, ⁶/₁₁, –²/₁₁
[দিক্ অনুপাতগুলি – 18, 12, -4
∴ দিক্ কোসাইনগুলি হল
$$\large{l=\frac{-18}{\sqrt{(-18)^2+(12)^2+(4)^2}}=\frac{-18}{\sqrt{484}}=\frac{-18}{22}=\frac{-9}{11}\\m=\frac{12}{\sqrt{(-18)^2+(12)^2+(4)^2}}=\frac{12}{\sqrt{484}}=\frac{12}{22}=\frac{6}{11}\\n=\frac{-4}{\sqrt{(-18)^2+(12)^2+(4)^2}}=\frac{-4}{\sqrt{484}}=\frac{-4}{22}=\frac{-2}{11}\\}$$
5. নীচের বিবৃতিগুলির মধ্যে কোনটি সত্য?
(A)যদি কোনো সরলরেখার দিক্ কোণসমূহ যথাক্রমে α, β, γ হয়, তবে α + β + γ ≠ 2 হবে।
(B) যদি কোনো সরলরেখার দিক্ কোণসমূহ যথাক্রমে α, β, γ হয়, তবে α + β + γ = 2 হবে।
(C) যদি কোনো সরলরেখার দিক্ কোসাইনসমূহ l, m, n হয়, তবে l² + m² + n² ≠ 1 হবে।
(D) দুটি ভেক্টরের অন্তর্ভুক্ত কোণের কোসাইন, তাদের দিক্ কোসাইনের ভেক্টর গুণের সাথে সমান হবে।

Ans: (A) যদি কোনো সরলরেখার দিক্ কোণসমূহ যথাক্রমে α, β, γ হয়, তবে α+β+γ ≠ 2 হবে। [α, β, γ কোণ গুলি একই তলে অবস্থিত নয়]
Direction Cosines and Direction Ratios Class XII S N Dey দিক্ কোসাইন এবং দিক্ অনুপাত
6. দুটি সরলরেখার দিক্ অনুপাতগুলি যথাক্রমে 1, -2, 1 এবং 4, 3, 2-এর সঙ্গে সমানুপাতিক হলে, তাদের মধ্যবর্তী কোণের মান হবে-
(A) ^3π/₄ (B) ^π/₂ (C) ^π/₃ (D) ^π/₄/4

Ans: (B) ^π/₂
[এখানে a₁ = 1; b₁ = -2; c₁ =1
এবং a₂= 4; b₂ = 3; c₂ = 2
$$\large{cosθ=\frac{|a_1.a_2+b_1.b_2+c_1.c_2|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}×\sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}\\\quad=\frac{|1.4+(-2).3+1.2|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+1^2}×\sqrt{4^2+3^2+2^2}}\\\quad=\frac{|4-6+2|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+1^2}×\sqrt{4^2+3^2+2^2}}\\=\quad\frac{0}{\sqrt{1^2+(-2)^2+1^2}×\sqrt{4^2+3^2+2^2}}\\=0\\\therefore cosθ=0\\⇒cosθ=cos\frac{π}{2}\\⇒θ=\frac{π}{2}]}$$
7. যদি 0 মূলবিন্দু এবং OP(= 3 ) সরলরেখার দিক্ অনুপাতগুলি যথাক্রমে -1, 2, -2-এর সঙ্গে সমানুপাতি হয়, তবে P বিন্দুর স্থানাঙ্ক হবে-
(A) (-1, 2, -2) (B) (1, 2, 2) (C) –¹/₉, ²/₉, –²/₉ (D) (3, 6, -9)
Ans: (A) (-1, 2, -2)
[সরলরেখার দিক্ অনুপাতগুলি যথাক্রমে -1, 2, -2
∴ দিক কোসাইনগুলি হবে
∴ P বিন্দুর স্থানাঙ্ক = (-¹/₃×3, ²/₃×3, –²/₃×3)
= (-1, 2, -2)]
$$\large{\quad=\frac{-1}{\sqrt{(-1)^2+(2)^2+(-2)^2}},\frac{2}{\sqrt{(-1)^2+(2)^2+(-2)^2}},\frac{-2}{\sqrt{(-1)^2+(2)^2+(-2)^2}}\\\quad⇒\frac{-1}{\sqrt{1+4+4}},\frac{2}{\sqrt{1+4+4}},\frac{-2}{\sqrt{1+4+4}}\\⇒\frac{-1}{\sqrt{9}},\frac{2}{\sqrt{9}},\frac{-2}{\sqrt{9}}\\⇒-\frac{1}{3},\frac{2}{3},-\frac{2}{3}}$$
8. একটি ঘনকের দুটি কর্ণের মধ্যবর্তী কোণের মান হবে
(A) ^π/₆ (B) ^π/₄ (C) cos^-1(¹/_√3) (D) cos^-1(¹/₃)
Ans: (D) cos^-1(¹/₃)
[ধরি ঘনকটির একটি কৌণিক বিন্দু মূলবিন্দুতে এবং তিনটি বাহু x অক্ষ, y অক্ষ ও zঅক্ষ বরাবর অবস্থিত ।
ঘনকটির কৌণিক বিন্দুর স্থানাঙ্ক (0, 0, 0) এবং ঘনকটির বাহুর দৈর্ঘ্য a একক।
∴ OP, AQ, BR এবং CS হল ঘনকটির চারটি কর্ণ।
∴ OP -এর দিক্ অনুপাতসমূহ a, a, a
∴ AQ -এর দিক্ অনুপাতসমূহ -a, a, a
কর্ণ OP ও AQ -এর মধ্যবর্তী কোণ θ হলে –
$$\large{cosθ=\frac{a×(-a)+a×a+a×a}{\sqrt{a^2+a^2+a^2}×\sqrt{(-a)^2+a^2+a^2}}\\\quad\quad=\frac{-a^2+a^2+a^2}{\sqrt{3a^2}×\sqrt{a^2+a^2+a^2}}\\\quad\quad=\frac{a^2}{\sqrt{3a^2}×\sqrt{3a^2}}\\\quad\quad=\frac{a^2}{a\sqrt{3}×a\sqrt{3}}\\\quad\quad=\frac{1}{3}\\\therefore θ=cos^{-1}\frac{1}{3}}$$
9.(1, 2, -3) ও (−2, 3, 1) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার দিক্ কোসাইনগুলি হবে-
(A) -3, 1 ,4 (B) -1, 5, -2 (C) –³/_√26, ¹/_√26, ⁴/_√26 (D) –¹/_√30, ⁵/_√30, –²/_√30
Ans: (C) –³/_√26, ¹/_√26, ⁴/_√26
[(1, 2, -3) ও (−2, 3, 1) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ-
(−2 – 1), (3 – 2), (1 + 3) বা, -3, 1, 4
∴ দিক কোসাইনগুলি হবে
$$\large{\quad=\frac{-3}{\sqrt{(-3)^2+(1)^2+(4)^2}},\frac{1}{\sqrt{(-3)^2+(1)^2+(4)^2}},\frac{4}{\sqrt{(-3)^2+(1)^2+(4)^2}}\\\quad⇒\frac{-3}{\sqrt{9+1+16}},\frac{1}{\sqrt{9+1+16}},\frac{4}{\sqrt{9+1+16}}\\⇒-\frac{3}{\sqrt{26}},\frac{1}{\sqrt{26}},\frac{4}{\sqrt{26}}}$$
10. যদি একটি সরলরেখার দিক্ অনুপাতগুলি যথাক্রমে 0, 1, -1 এর সঙ্গে সমানুপাতিক হয়, তবে z অক্ষের সঙ্গে তার নতি হবে
(A) ^π/₂ (B) π (C) ^3π/₂ (D) ^3π/₄
Ans: (D) ^3π/₄
[সরলরেখার দিক্ অনুপাতগুলি যথাক্রমে 0, 1, -1
∴ দিক কোসাইনগুলি হবে
$$\large{\quad⇒\frac{0}{\sqrt{(0)^2+(1)^2+(-1)^2}},\frac{1}{\sqrt{(0)^2+(1)^2+(-1)^2}},\frac{-1}{\sqrt{(0)^2+(1)^2+(-1)^2}}\\\quad⇒0,\frac{1}{\sqrt2},-\frac{1}{\sqrt2}]}$$
∴ z অক্ষের সঙ্গে নতি
cosγ = –¹/_√2
⇒ cosγ = -cos^π/₄
⇒ cosγ = cos(π – ^π/₄)
⇒ cosγ = cos^3π/₄
∴ γ = ^3π/₄]
11. যদি ত্রিমাত্রিক দেশে মূলবিন্দু O থেকে r একক দূরত্বে অবস্থিত একটি বিন্দু P(x, y, z) হয়, তবে OP সরলরেখাটির দিক কোসাইনগুলি হবে
(A) ^r/_x, ^r/_y ^r/_z (B) rx, ry, rz
(C) ^x/_r, ^y/_r, ^z/_r (D) এদের কোনোটিই নয়।
Ans: (C) ^x/_r, ^y/_r, ^z/_r
$$\large{[\overline{OP}=r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\}$$দিক কোসাইনগুলি হবে$$\large{\quad⇒\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}},\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}},\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\\\quad⇒\frac{x}{r},\frac{y}{r},\frac{z}{r}]}$$
Direction Cosines and Direction Ratios Class XII S N Dey দিক্ কোসাইন এবং দিক্ অনুপাত
অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রতিটি প্রশ্নের মান 2
1. নিম্নলিখিত বিষয়গুলির সংজ্ঞা দাও :
(i) একটি সরলরেখার দিক্ কোণসমূহ।
Ans: ত্রিমাত্রিক দেশে কোনো সরলরেখা বা ঐ সরলরেখার দিক নির্দেশক ভেক্টর, তিনটি অক্ষের ধনাত্মক দিকের সঙ্গে যে কোণ উৎপন্ন করে, সেই কোন তিনটিকে ঐ সরলরেখার দিক্ কোণসমূহ বলে।

(ii) একটি সরলরেখার দিক্ কোসাইনসমূহ।
Ans: কোনো সরলরেখা বা ভেক্টর x y z অক্ষের ধনাত্মক দিকের সঙ্গে যথাক্রমে α, β, এবং γ কোণ উৎপন্ন করলে, cosα, cosβ এবং cosγ কে ওই সরলরেখা বা ভেক্টরের দিক্ কোসাইন বলা হয়।

(iii) একটি সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ।
Ans: যদি তিনটি সংখ্যা কোন সরলরেখার দিক কোসাইনের সঙ্গে সমানুপাতিক হয়, তবে ওই সংখ্যাত্রয়কে ওই সরলরেখার দিক্ অনুপাত বলে।
2. (i) 1, 2, 3 কি কোনো সরলরেখার দিক্ কোসাইনসমূহ হতে পারে?

Solution:
যদি সম্ভব হয় তবে ধরি,
l = 1;
m = 2;
n = 3
∴ l² + m² + n²
= 1² +2² +3²
= 1 + 4 + 9
=14 ≠ 1
দিক কোসাইনের বর্গের সমষ্টি সর্বদা 1 হয়।
এখানে দিক কোনগুলির কোসাইনের বর্গের সমষ্টি 14;
∴ 1, 2, 3 কি কোনো সরলরেখার দিক্ কোসাইনসমূহ হতে পারে না।
(ii) 1, 2, 3 কি কোনো সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ হতে পারে?

Solution:
যে কোনো সংখ্যা কোনো সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ হতে পারে।
∴ 1, 2, 3 কোনো সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ হতে পারে।
3. নিম্নলিখিত বিন্দুগুলির সংযোজক সরলরেখার দিক্ কোসাইনসমূহ নির্ণয় করো।
(i) (2, -1, 4) ও (0, 1, 5) (ii) (4, 3, -5) ও (-2, 1, -8)
(i)
Solution:
(2, -1, 4) ও (0, 1, 5) -এর দিক্ অনুপাতসমূহ (0-2, 1+1, 5-4) বা, -2, 2, 1
∴ দিক্ কোসাইনসমূহ হল –
$$\large{=\frac{-2}{±\sqrt{(-2)^2+(2)^2+(1)^2}},\frac{2}{±\sqrt{(-2)^2+(2)^2+(1)^2}},\frac{1}{±\sqrt{(-2)^2+(2)^2+(1)^2}}\\⇒\frac{-2}{±\sqrt{4+4+1}},\frac{2}{±\sqrt{4+4+1}},\frac{1}{±\sqrt{4+4+1}}\\⇒\frac{-2}{±\sqrt{9}},\frac{2}{±\sqrt{9}},\frac{1}{±\sqrt{9}}\\⇒\frac{-2}{±3},\frac{2}{±3},\frac{1}{±3}\\⇒\frac{-2}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{3};\quad or\quad\frac{2}{3},\frac{-2}{3},\frac{-1}{3}\mathbf{(Ans)}}$$
(ii)
Solution:
(4, 3, -5) ও (-2, 1, -8) -এর দিক্ অনুপাতসমূহ (-2 – 4, 1 – 3, -8 + 5) বা, -6, -2, -3
∴ ∴ দিক্ কোসাইনসমূহ হল –
$$\large{=\frac{-6}{±\sqrt{(-6)^2+(-2)^2+(-3)^2}},\frac{-2}{±\sqrt{(-6)^2+(-2)^2+(-3)^2}},\frac{-3}{±\sqrt{(-6)^2+(-2)^2+(-3)^2}}\\⇒\frac{-6}{±\sqrt{36+4+9}},\frac{-2}{±\sqrt{36+4+9}},\frac{-3}{±\sqrt{36+4+9}}\\⇒\frac{-6}{±\sqrt{49}},\frac{-2}{±\sqrt{49}},\frac{-3}{±\sqrt{49}}\\⇒\frac{-6}{±7},\frac{-2}{±7},\frac{-3}{±7}\\⇒\frac{-6}{7},\frac{-2}{7},\frac{-3}{7};\quad or\quad\frac{6}{7},\frac{2}{7},\frac{3}{7}\mathbf{(Ans)}}$$
4. কোনো সরলরেখার দিক্ কোণগুলি হল 120°, 45°, 30° । বক্তব্যটি কি সঠিক? কারণসহ ব্যাখ্যা করো।

Solution:
সরলরেখার দিক্ কোণগুলি হল 120°, 45°, 30°
∴ l = cos120° = cos(2×90° – 60°) = -cos60° = –¹/₂
m = cos45° = ¹/_√2
n = cos30° = ^√3/₂
∴ l² + m² + n²
= (-¹/₂)² + (¹/_√2)² + (^√3/₂)²
= ¹/₄ + ¹/₂ + ³/₄
= ^{1 + 2 + 3}/₄
= ⁶/₄= ³/₂ ≠ 1
দিক কোনগুলির কোসাইনের বর্গের সমষ্টি সর্বদা 1 হয়।
এখানে দিক কোনগুলির কোসাইনের বর্গের সমষ্টি ³/₂;
∴ বক্তব্যটি সঠিক নয়। (Ans)
5. যে দুটি সরলরেখার দিক্ কোসাইনের মানসমূহ ^√3/₄, –¹/₄, –^√3/₂ এবং –^√3/₄, ¹/₄, –^√3/₂; তাদের মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের পরিমাপ নির্ণয় করো।

Solution: দুটি সরলরেখার দিক্ কোসাইনের মানসমূহ ^√3/₄, –¹/₄, –^√3/₂ এবং –^√3/₄, ¹/₄, –^√3/₂;
∴ তাদের মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের পরিমাপ θ হলে,
cosθ = ^√3/₄×(-^√3/₄) +,(¹/₄)(-¹/₄) + ( –^√3/₂)(-^√3/₂)
= –³/₁₆ – ¹/₁₆ + ³/₄
= –^{-3 – 1 + 12}/₁₆
= ⁸/₁₆ = ¹/₂
∴ cosθ = cos^π/₃
⇒ θ = ^π/₃
Ans: সরলরেখা দুটির মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের পরিমাপ ^π/₃
6. মনে করো, A, B, C বিন্দু তিনটির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (1, 2, 3), (2, 5, -1) এবং (-1, 1, 2); BA এবং BC সরলরেখা দুটির মধ্যবর্তী কোণের মান নির্ণয় করো।

Solution:
A, B, C বিন্দু তিনটির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (1, 2, 3), (2, 5, –1) এবং (-1, 1, 2)
∴ BA -এর দিক্ অনুপাতসমূহ (2 – 1, 5 – 2, -1 – 3) বা 1, 3, -4
BC সরলরেখার দিক্ কোসাইনসমূহ (-1 – 2, 1 – 5, 2 + 1) -3, -4, 3
∴ BA এবং BC সরলরেখা দুটির মধ্যবর্তী কোণের মান θ হলে
$$\large{ cosθ=\frac{|1.(-3)+3.(-4)+(-4).3|}{\sqrt{(1)^2+(3)^2+(-4)^2}×\sqrt{(-3)^2+(-4)^2+(3)^2}}\\\quad\quad=\frac{|-3-12-12|}{\sqrt{1+9+16}×\sqrt{9+16+9}}\\\quad\quad=\frac{|-27|}{\sqrt{26}×\sqrt{34}}\\\quad\quad=\frac{27}{2\sqrt{13}×\sqrt{17}}\\=\therefore cosθ=\frac{27}{2\sqrt{221}}\\\therefore θ=cos^{-1}\left(\frac{27}{2\sqrt{221}}\right)\quad\mathbf{(Ans)}}$$
7. দুটি সরলরেখার দিক্ অনুপাতগুলি নীচে দেওয়া হল। তাদের মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণগুলি নির্ণয় করো।(i) 2, 3, 6 এবং 1, 2, 2(ii) 5, -12, 13 এবং -3, 4, 5(iii) p,q,r এবং q – r, r-p, p-q(iv) 2, 1, -2 এবং 3, -4, 5
(i)
Solution:
দুটি সরলরেখার দিক্ অনুপাতগুলি 2, 3, 6 এবং 1, 2, 2
∴ দুটি সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণ θ হলে
$$\large{ cosθ=\frac{|2.1+3.2+6.2|}{\sqrt{(2)^2+(3)^2+(6)^2}×\sqrt{(1)^2+(2)^2+(2)^2}}\\\quad\quad=\frac{|2+6+12|}{\sqrt{4+9+36}×\sqrt{1+4+4}}\\\quad\quad=\frac{20}{\sqrt{49}×\sqrt{9}}\\\quad\quad=\frac{20}{7×3}\\\therefore cosθ=\frac{20}{21}\\\therefore θ=cos^{-1}\left(\frac{20}{21}\right)\quad\mathbf{(Ans)}}$$
(ii)
Solution:
দুটি সরলরেখার দিক্ অনুপাতগুলি 5, -12, 13 এবং -3, 4, 5
∴ দুটি সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণ θ হলে
$$\large{ cosθ=\frac{|5.(-3)+(-12).4+13.5|}{\sqrt{(5)^2+(-12)^2+(13)^2}×\sqrt{(-3)^2+(4)^2+(5)^2}}\\\quad\quad=\frac{|-15-48+65|}{\sqrt{25+144+169}×\sqrt{9+16+25}}\\\quad\quad=\frac{|2|}{\sqrt{338}×\sqrt{50}}\\\quad\quad=\frac{2}{13\sqrt{2}×5\sqrt{2}}\\\quad\quad=\frac{1}{65}\\\therefore cosθ=\frac{1}{65}\\\therefore θ=cos^{-1}\left(\frac{1}{65}\right)\quad\mathbf{(Ans)}}$$
(iii)
Solution:
দুটি সরলরেখার দিক্ অনুপাতগুলি p, q, r এবং q – r, r – p, p – q
∴ দুটি সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণ θ হলে
$$\large{ cosθ=\frac{|p.(q-r)+q.(r-p)+r.(p-q)|}{\sqrt{p^2+q^2+r^2}×\sqrt{(q-r)^2+(r-p)^2+(p-q)^2}}\\\quad\quad=\frac{|pq-pr+qr-pq+pr-qr|}{\sqrt{p^2+q^2+r^2}×\sqrt{(q-r)^2+(r-p)^2+(p-q)^2}}\\\quad\quad=\frac{0}{\sqrt{p^2+q^2+r^2}×\sqrt{(q-r)^2+(r-p)^2+(p-q)^2}}\\\quad\quad=0\\\therefore cosθ=cos\frac{π}{2}\\\therefore θ=\frac{π}{2}\quad\mathbf{(Ans)}}$$
(iv)
Solution:
দুটি সরলরেখার দিক্ অনুপাতগুলি 2, 1, -2 এবং 3, -4, 5
∴ দুটি সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণ θ হলে
$$\large{ cosθ=\frac{|2.3+1.(-4)+(-2).5|}{\sqrt{2^2+1^2+(-2)^2}×\sqrt{3^2+(-4)^2+5^2}}\\\quad\quad=\frac{|6-4-10|}{\sqrt{4+1+4}×\sqrt{9+16+25}}\\\quad\quad=\frac{|-8|}{\sqrt{9}×\sqrt{50}}\\\quad\quad=\frac{8}{3×5\sqrt{2}}\\\therefore cosθ=\frac{4\sqrt{2}}{15}\\\therefore θ=cos^{-1}\left(\frac{4\sqrt{2}}{15}\right)\quad\mathbf{(Ans)}}$$
সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রতিটি প্রশ্নের মান 4
1. যে সরলরেখা তিনটি অক্ষের প্রতিটির সঙ্গেই সমান কোণে নত থাকে তার দিক্ অনুপাতগুলি নির্ণয় করো। এক্ষেত্রে কতগুলি সরলরেখা হওয়া সম্ভব?

Solution:
ধরি সরলরেখাটি তিনটি অক্ষের প্রতিটির সঙ্গেই α কোণে নত।
সরলরেখাটির দিক্ কোসাইনসমূহ হবে cosα, cosα, cosα
∴ (cosα)² + (cosα)² + (cosα)² = 1
বা, 3cos²α = 1
বা, cos²α = ¹/₃
বা, cosα = ±¹/_√3
সরলরেখাটির দিক্ কোসাইনসমূহ হল –
¹/_√3, ¹/_√3, ¹/_√3 অথবা –¹/_√3, –¹/_√3, –¹/_√3 (Ans)
Ans: এক্ষেত্রে দুটি সরলরেখা হওয়া সম্ভব।
2 zx সমতলে অবস্থিত কোনো সরলরেখা z অক্ষের সঙ্গে ^π/₃ কোণে নত আছে। রেখাটির দিক্ কোসাইনসমূহ নির্ণয় করো।

Solution:
zx সমতলে অবস্থিত কোনো সরলরেখা z অক্ষের সঙ্গে ^π/₃ কোণে নত।
∴ সরলরেখাটি x অক্ষের সঙ্গে (^π/₂ – ^π/₃) বা, ^π/₆ কোণে নত।
আবার zx সমতল y অক্ষের সঙ্গে লম্বভাবে অবস্থান করে।
∴ সরলরেখাটি y অক্ষের সঙ্গে ^π/₂ কোণে নত।
রেখাটির দিক্ কোসাইনসমূহ হল –
cos^π/₆, cos^π/₂, cos^π/₃
= ^√3/₂, 0, ¹/₂ (Ans)
Direction Cosines and Direction Ratios Class XII S N Dey দিক্ কোসাইন এবং দিক্ অনুপাত
3 কোনো সরলরেখা / ভেক্টরের দিক্ কোণগুলি α, β, γ হলে, প্রমাণ করো sin²α + sin²β+ sin²γ = 2

Solution:
কোনো সরলরেখা / ভেক্টরের দিক্ কোণগুলি α, β, γ হলে,
cos²α + cos²β + cos²γ = 1
বা, 1 – sin²α + 1 – sin²β + 1 – sin²γ = 1
বা, 3 – sin²α – sin²β – sin²γ = 1
বা, – sin²α – sin²β – sin²γ = 1 – 3
বা, -(sin²α + sin²β + sin²γ) = -2
বা, sin²α + sin²β + sin²γ = 2 (Proved)
4. কোনো সরলরেখা (6, -7, -1) এবং (2, -3, 1) বিন্দুগামী এবং x অক্ষের সঙ্গে সুক্ষ্মকোণে নত হলে রেখাটির দিক্ কোসাইনসমূহ নির্ণয় করো।

Solution:
সরলরেখাটি (6, -7, -1) এবং (2, -3, 1) বিন্দুগামী।
সরলরেখাটির দিক্ কোসাইনসমূহ l, m, n হলে –
^l/_{2 – 6} = ^m/_{-3 + 7} = ⁿ/_{1 + 1} হবে।
⇒ ^l/_{– 4} = ^m/₄ = ⁿ/₂ = k (ধরি)
∴ l = -4k
m = 4k
n = 2k
∵ l² + m² + n² = 1
⇒ (-4k)² + (4k)² + (2k)² = 1
⇒ 16k² + 16k² + 4k² = 1
⇒ 36k² = 1
⇒ k² = ¹/₃₆
∴ k = ± ¹/₆
∴ l = -4×(¹/₆) বা, -4×(-¹/₆) = –²/₃ বা, ²/₃
m = 4×(¹/₆) বা, 4×(-¹/₆) = ²/₃ বা, –²/₃
n = 2×(¹/₆) বা, 2×(-¹/₆) = ¹/₃ বা, –¹/₃
সরলরেখাটি x অক্ষের সঙ্গে সুক্ষ্মকোণে নত।
∴ l = ²/₃ অর্থাৎ m = –²/₃ n = –¹/₃
Ans: সরলরেখাটির দিক্ কোসাইনসমূহ ²/₃, –²/₃, –¹/₃
5. xy সমতলে অবস্থিত কোনো সরলরেখা y অক্ষের সঙ্গে ^π/₄ কোণে নত হলে, রেখাটির দিক্ কোসাইনসমূহ নির্ণয় করো।

Solution:
xy সমতলে অবস্থিত কোনো সরলরেখা y অক্ষের সঙ্গে ^π/₄ কোণে নত।
∴ সরলরেখাটি x অক্ষের সঙ্গে (^π/₂ – ^π/₄) বা, ^π/₄ কোণে নত।
আবার xy সমতল z অক্ষের সঙ্গে লম্বভাবে অবস্থান করে।
∴ সরলরেখাটি z অক্ষের সঙ্গে ^π/₂ কোণে নত।
রেখাটির দিক্ কোসাইনসমূহ হল –
cos^π/₄, cos^π/₄, cos^π/₂
= ¹/_√2, ¹/_√2, 0 (Ans)
6. A (4, 5, 0), B(2, 6, 2), C (2, 3, -1) শীর্ষবিন্দুবিশিষ্ট ত্রিভুজের বাহুগুলির দিক্ কোসাইনসমূহ নির্ণয় করো।

Solution:
ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু তিনটি A (4, 5, 0), B (2, 6, 2), C (2, 3, -1)
$$\large{AB=\sqrt{(2-4)^2+(6-5)^2+(2-0)^2}\\\quad=\sqrt{(-2)^2+(1)^2+(2)^2}\\\quad=\sqrt{4+1+4}=3\\BC=\sqrt{(2-2)^2+(3-6)^2+(-1-2)^2}\\\quad=\sqrt{(0)^2+(-3)^2+(-3)^2}\\\quad=\sqrt{0+9+9}=3\sqrt{2}\\CA=\sqrt{(4-2)^2+(5-3)^2+(0+1)^2}\\\quad=\sqrt{(2)^2+(2)^2+(1)^2}\\\quad=\sqrt{4+4+1}=3}$$
AB বাহুর দিক্ কোসাইনসমূহ হল
^{2 – 4}/₃, ^{6 – 5}/₃, ^{2 – 0}/₃ বা, ^-2/₃, ¹/₃, ²/₃ (Ans)
BC বাহুর দিক্ কোসাইনসমূহ হল
^{2 – 2}/_3√2, ^{3 – 6}/_3√2, ^{-1 – 2}/_3√2 বা, 0, ^-1/_√2, ^-1/_√2 (Ans)
CA বাহুর দিক্ কোসাইনসমূহ হল
^{4 – 2}/₃, ^{5 – 3}/₃, ^{0 + 1}/₃ বা, ²/₃, ²/₃, ¹/₃ (Ans)
7. দিক্ অনুপাতসমূহ নির্ণয় করে প্রমাণ কর যে, P(2, 3, 4), Q (-1, -2, 1) এবং R(5, 8, 7) বিন্দু তিনটি সমরেখ।

Solution:
বিন্দু তিনটির স্থানাঙ্ক P(2, 3, 4), Q (-1, -2, 1) এবং R(5, 8, 7);
PQ সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ a₁, b₁, c₁ হলে,
(a₁, b₁, c₁) ≡ {(-1 – 2), (-2 – 3), (1 – 4)} ≡ (-3, -5, -3)
QR সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ a₂, b₂, c₂ হলে,
(a₂, b₂, c₂) ≡ {(5 + 1), (8 + 2), (7 – 1)} ≡ (6, 10, 6)
∴ ^a₁/_a₂ = ^-3/₆ = –¹/₂
^b₁/_b₂ = ^-5/₁₀ = –¹/₂
^c₁/_c₂ = ^-3/₆ = –¹/₂
∵ ^a₁/_a₂ = ^b₁/_b₂ = ^c₁/_c₂ = –¹/₂
∴ PQ এবং QR পরস্পর সমান্তরাল।
আবার PQ এবং QR সরলরেখার সাধারণ বিন্দু Q
∴ PQ ও QR একই সরলরেখার উপর অবস্থিত।
∴ P, Q এবং R বিন্দু তিনটি সমরেখ। (Proved)
8. মনে করো একটি সরলরেখা y -অক্ষ এবং z-অক্ষের ধনাত্মক দিকে যথাক্রমে π/4 এবং π/3 কোণ উৎপন্ন করে। সরলরেখাটি x -অক্ষের সাথে যে সূক্ষ্মকোণটি উৎপন্ন করে তার মান নির্ণয় করো।

Solution:
সরলরেখাটি y -অক্ষ এবং z-অক্ষের ধনাত্মক দিকে যথাক্রমে ^π/₄ এবং ^π/₃ কোণ উৎপন্ন করে।
ধরি সরলরেখাটি x -অক্ষের সাথে θ কোণ উৎপন্ন করে।
∴ সরলরেখাটির দিক্ কোসাইনসমূহ l, m, n হলে,
∴ l = cosθ
m = cos^π/₄ = ¹/_√2
n = cos^π/₃ = ¹/₂
∵ l² + m² + n² = 1
∴ cosθ² + (¹/_√2)² + (¹/₂)² = 1
⇒ cosθ² + ¹/₂ + ¹/₄ = 1
⇒ cosθ² = 1 – ¹/₂ – ¹/₄
⇒ cosθ² = ^4-2-1/₄
⇒ cosθ² = ¹/₄
∴ cosθ = ±¹/₂
cosθ = সূক্ষ্মকোণ
∴ cosθ = ¹/₂
⇒ cosθ = cos^π/₆
∴ θ = ^π/₆
Ans: সরলরেখাটি x -অক্ষের সাথে ^π/₆ কোণ উৎপন্ন করে।
9. যদি O মূলবিন্দু এবং A (2, 3, 1) ও B (1, 1, -5) দুটি প্রদত্ত বিন্দু হয়, তবে দেখাও যে, OA সরলরেখা OB সরলরেখার ওপর লম্ব।

Solution:
A (2, 3, 1) ও B (1, 1, -5) দুটি প্রদত্ত বিন্দু এবং মূলবিন্দু O (0, 0, 0)
OA -এর দিক্ অনুপাতসমূহ a₁, b₁, c₁ হলে,
(a₁, b₁, c₁) ≡ {(2 – 0), (3 – 0), (1 – 0)} ≡ (2, 3, 1)
OB -এর দিক্ অনুপাতসমূহ a₂, b₂, c₂ হলে,
(a₂, b₂, c₂) ≡ {(1 – 0), (1 – 0), (-5 – 0)} ≡ (1, 1 , -5)
∴ a₁×a₂ + b₁×b₂ + c₁×c₂
= 2×1 + 3×1 + 1×(-5)
= 2 + 3 – 5
= 0
∵ a₁×a₂ + b₁×b₂ + c₁×c₂ = 0
∴ OA সরলরেখা OB সরলরেখার ওপর লম্ব। (Proved)
10. দেখাও যে, (-1, 0, -2) এবং (1, 3, -1) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখা, (9, 1, -6) এবং (7, 2, -5) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার ওপর লম্ব।

Solution:
(-1, 0, -2) এবং (1, 3, -1) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ a₁, b₁, c₁ হলে,
(a₁, b₁, c₁) ≡ {(1 + 1), (3 – 0), (-1 + 2)} ≡ (2, 3, 1)
(9, 1, -6) এবং (7, 2, -5) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ a₂, b₂, c₂ হলে,
(a₂, b₂, c₂) ≡ {(7 – 9), (2 – 1), (-5 + 6)} ≡ (-2, 1 , 1)
∴ a₁×a₂ + b₁×b₂ + c₁×c₂
= 2×(-2) + 3×1 + 1×1
= -4 + 3 + 1
= 0
∵ a₁×a₂ + b₁×b₂ + c₁×c₂ = 0
∴ বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার পরস্পর লম্ব। (Proved)
Direction Cosines and Direction Ratios Class XII S N Dey দিক্ কোসাইন এবং দিক্ অনুপাত
11. প্রমাণ করো যে, (4, 5, 0) এবং (5, 3, 3) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখা, (4, 3, -3) এবং ( 6, -1, 3 ) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখা পরস্পর সমান্তরাল।

Solution:
( 4, 5, 0) এবং (5, 3, 3) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ a₁, b₁, c₁ হলে,
(a₁, b₁, c₁) ≡ {(5 – 4), (3 – 5), (3 -0)} ≡ (1, -2, 3)
(4, 3, -3 ) এবং ( 6, -1, 3 ) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ a₂, b₂, c₂ হলে,
(a₂, b₂, c₂) ≡ {(6 – 4), (-1 – 3), (3 + 3)} ≡ (2, -4, 6)
∴ ^a₁/_a₂ = ¹/₂
^b₁/_b₂ = ^-2/_-4 = ¹/₂
^c₁/_c₂ = ³/₆ = ¹/₂
∵ ^a₁/_a₂ = ^b₁/_b₂ = ^c₁/_c₂
∴ বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখা পরস্পর সমান্তরাল। (Proved)
12. কোণগুলি নির্ণয়ের সাহায্যে প্রমাণ করো যে, A(3, 4, -1), B(1, 5, 1) এবং C(1, 2, -2) শীর্ষবিন্দুগামী ত্রিভুজটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।

Solution:
ABC ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু তিনটি (3, 4, -1), (1, 5, 1) এবং (1, 2, -2)
AB -এর দিক্ অনুপাতসমূহ (1 – 3), (5 – 4), (1 + 1) বা, -2, 1, 2
BC -এর দিক্ অনুপাতসমূহ (1 – 1), (2 – 5), (-2 – 1) বা, 0, -3, -3
CA -এর দিক্ অনুপাতসমূহ (3 – 1), (4 – 2), (-1 + 2)বা, 2, 2, 1
$$\large{\therefore cosA=\frac{|(-2).2+1.2+2.1|}{\sqrt{(-2)^2+(1)^2+(2)^2}×\sqrt{2^2+2^2+1^2}}\\\quad\quad=\frac{|-4+2+1|}{\sqrt{4+1+4}×\sqrt{4+1+4}}\\\quad\quad=\frac{|0|}{\sqrt{9}×\sqrt{9}}=0\\\therefore cosA=cos\frac{π}{2}\\⇒ A=\frac{π}{2} }$$আবার $$\large{ cosB=\frac{|(-2).0+1.(-3)+2.(-3)|}{\sqrt{(-2)^2+(1)^2+(2)^2}×\sqrt{0^2+(-3)^2+(-3)^2}}\\\quad\quad=\frac{|0-3-6|}{\sqrt{4+1+4}×\sqrt{0+9+9}}\\\quad\quad=\frac{|-9|}{\sqrt{9}×\sqrt{18}}\\\quad\quad=\frac{9}{3×3\sqrt{2}}\\\quad\quad=\frac{1}{\sqrt{2}}\\\therefore cosB=cos\frac{π}{4}\\⇒ B=\frac{π}{4}}$$এবং$$\large{ cosC=\frac{|0.2+(-3).2+(-3).1|}{\sqrt{0^2+(-3)^2+(-3)^2}×\sqrt{2^2+2^2+1)^2}}\\\quad\quad=\frac{|0-6-3|}{\sqrt{0+9+9}×\sqrt{4+4+1}}\\\quad\quad=\frac{|-9|}{\sqrt{18}×\sqrt{9}}\\\quad\quad=\frac{9}{3\sqrt{2}×3}\\\quad\quad=\frac{1}{\sqrt{2}}\\\therefore cosC=cos\frac{π}{4}\\⇒ C=\frac{π}{4}\\\therefore cosB = cosC\\⇒ B=C}$$
∵ ত্রিভুজের দুটি কোণ সমান।
∴ ত্রিভুজটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। (Proved)
13. (1, 1, 3) এবং (3, 2, 1) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখা x অক্ষের সঙ্গে যে সূক্ষ্মকোণ উৎপন্ন করে তা নির্ণয় করো।

Solution:
(1, 1, 3) এবং (3, 2, 1) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ (3 – 1), (2 – 1), (1 – 3) বা, 2, 1, -2
∴ সংযোজক সরলরেখার দিক্ কোসাইনসমূহ –
$$\large{\frac{2}{\sqrt{2^2+1^2+(-2)^2}},\frac{1}{\sqrt{2^2+1^2+(-2)^2}},\frac{-2}{\sqrt{2^2+1^2+(-2)^2}}\\⇒\frac{2}{\sqrt{4+1+4}},\frac{1}{\sqrt{4+1+4}},\frac{-2}{\sqrt{4+1+4}}\\⇒\frac{2}{\sqrt{9}},\frac{1}{\sqrt{9}},\frac{-2}{\sqrt{9}}\\⇒\frac{2}{3},\frac{1}{3},\frac{-2}{3}}$$
x অক্ষের দিক্ কোসাইনসমূহ হল 1, 0, 0
ধরি, (1, 1, 3) এবং (3, 2, 1) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখা ও x অক্ষের মধ্যবর্তী কোণ θ
∴ cosθ = ²/₃×1 + ¹/₃×0 + ^-2/₃×0
⇒ cosθ = ²/₃
⇒ θ = cos^-1(²/₃)
14. দিক কোসাইন এবং দিক্ অনুপাতসমূহ নির্নয়ের সাহায্যে দেখাও যে (2, 3, 1), (-2, 2, 0) এবং (0, 1, -1) বিন্দুত্রয় দ্বারা গঠিত ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

Solution:
ধরি ABC ত্রিভুজের A, B, C বিন্দু তিনটির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (2, 3, 1), (-2, 2, 0) এবং (0, 1, -1)
AB -এর দিক্ অনুপাতসমূহ (-2 – 2), (2 – 3), (0 – 1) বা, -4, -1, -1
BC -এর দিক্ অনুপাতসমূহ (0 +2), (1 – 2), (-1 – 0) বা, 2, -1, -1
CA -এর দিক্ অনুপাতসমূহ (2 – 0), (3 – 1), (1 + 1) বা, 2, 2, 2
BC ও CA বাহুর দিক্ অনুপাতসমূহের গুণফল
= 2×2 + (-1)×2 + (-1)×2
= 4 – 2 – 2 = 0
∴ BC ও CA পরস্পর লম্ব।
ABC ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।
বিন্দুত্রয় দ্বারা গঠিত ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ। (Proved)
Direction Cosines and Direction Ratios Class XII S N Dey দিক্ কোসাইন এবং দিক্ অনুপাত
15. মূলবিন্দু O থেকে অঙ্কিত সরলরেখাদ্বয় OA এবং OB-এর দিক্‌ অনুপাতসমূহ যথাক্রমে 1, -1, -1 এবং 2, -1, 1 হলে, AOB সমতলের ওপর অঙ্কিত অভিলম্বের দিক্‌ কোসাইনসমূহ নির্ণয় করো।

Solution:
OA -এর দিক্‌ অনুপাতসমূহ 1, -1, -1
OB-এর দিক্‌ অনুপাতসমূহ 2, -1, 1
ধরি, AOB সমতলের ওপর অঙ্কিত অভিলম্বের দিক্‌ কোসাইনসমূহ l, m, n
∴ l×1 + m×(-1) + n×(-1) = 0
বা, l – m – n = 0 – – – – (i)
এবং l×2 + m×(-1) + n×1 = 0
বা, 2l – m + n = 0 – – – – (ii)
(i) ও (ii) থেকে পাই,
$$\large{\frac{l}{-1-1}=\frac{m}{-2-1}=\frac{n}{-1+2}\\⇒\frac{l}{-2}=\frac{m}{-3}=\frac{n}{1}=k\quad [Let]}$$
∴ l = -2k; m = -3k; n = k
∵ l² + m² + n² = 1
⇒ (-2k)² + (-3k)² + k² = 1
⇒ 4k² + 9k² + k² = 1
⇒ 14k² = 1
⇒ 14k² = ¹/₁₄
∴ k = ±¹/_√14
Ans: অভিলম্বের দিক্‌ কোসাইনসমূহ হল
^-2/_√14, ^-3/_√14, ¹/_√14 এবং ²/_√14, ³/_√14, ^-1/_√14
16. A(1, 8, 4) বিন্দু থেকে B (0, -11, 4) এবং C(2, -3, 1) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার ওপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।

Solution:
ধরি, A(1, 8, 4) বিন্দু থেকে B(0, -11, 4) এবং C(2, -3, 1) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার ওপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দু N
N বিন্দুটি BC সরলরেখাকে p : 1 অনুপাতে ছেদ করেছে।
B ও C বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (0, -11, 4) এবং (2, -3, 1)
∴ N বিন্দুর স্থানাঙ্ক (^{2p – 0.1}/_{p + 1} , ^{-3.p – 11}/_{p + 1} , ^{p + 4}/_{p + 1}) বা, (^2p/_{p + 1} , ^{-3P – 11}/_{p + 1} , ^{p + 4}/_{p + 1})
BC সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ (2 – 0), (-3 + 11), (1 – 4) বা, 2, 8, -3
A(1, 8, 4) বিন্দুর স্থানাঙ্ক (1, 8, 4)
AN সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ {(^2p/_{p + 1} – 1), (^{-3P – 11}/_{p + 1} – 8) ,( ^{p + 4}/_{p + 1} – 4)} বা, {(^{p – 1}/_{p + 1}), (^{-11P – 19}/_{p + 1}) ,(^-3p/_{p + 1})}
∵ PQ সরলরেখার ওপর ON লম্ব।
∴ (^{p – 1}/_{p + 1})×2 + (^{-11P – 19}/_{p + 1})×8 + (^-3p/_{p + 1})×(-3) = 0
বা, 2(p – 1) + (-11P – 19)×8 + (-3p)×(-3) = 0
বা, 2p – 2 – 88P – 152 + 9p = 0
বা, -77p = 154
বা, p = -2
∴ N বিন্দুর স্থানাঙ্ক (^2×(-2)/_{-2 + 1} , ^{-3×(-2) – 11}/_{-2 + 1} , ^{-2 + 4}/_{-2 + 1})
= (^-4/_-1 , ^-5/_-1 , ²/_-1)
= (4, 5, -2)
Ans: অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (4, 5, -2)
17. (7, 4, 2 ) এবং ( 3, -2, 5 ) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখা (2, a, 5) এবং (b, -15, 11) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার সমান্তরাল হলে, a ও b এর মান নির্ণয় করো।

Solution:
(7, 4, 2) এবং (3, -2, 5) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার দিক্ অনুপাত (3 – 7, -2 – 4, 5 – 2) বা -4, -6, 3
(2, a, 5) এবং(b, -15, 11) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার দিক্ অনুপাত (b – 2, -15 – a, 11 – 5) বা b – 2, -15 – a, 6
∵ বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখা পরস্পর সমান্তরাল।
∴ ^-4/_{b – 2} = ^-6/_{-15 – a} = ³/₆
⇒ ^-4/_{b – 2} = ^-6/_{-15 – a} = ¹/₂
∴ ^-4/_{b – 2} = ¹/₂ ^-6/_{-15 – a} = ¹/₂
বা, b – 2 = -8 বা, -12 = -15 – a
বা, b = -6 বা, a = -3
Ans: a = -3 এবং b = -6
18. (4, -3, 2) এবং (3, -1, 5) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখা, (k, -2, 1 ) এবং (7, 3, -2) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার ওপর লম্ব হলে, k -এর মান নির্ণয় করো।

Solution:
(4, -3, 2) এবং (3, -1, 5) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ (3 – 4, -1 +3, 5 – 2) বা -1, 2, 3
(k, -2, 1 ) এবং (7, 3, -2) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ (7 – k, 3 + 2, -2 – 1) বা 7 – k, 5, -3
সংযোজক সরলরেখা দুটি পরস্পর লম্ব।
∴ (-1)×(7 – k) + 2×5 + 3×(-3) = 0
বা, -7 + k + 10 – 9 = 0
বা, k = 6
Ans: k -এর মান 6
Direction Cosines and Direction Ratios Class XII S N Dey দিক্ কোসাইন এবং দিক্ অনুপাত
19. যে সরলরেখাদ্বয়ের দিক্ সংখ্যাসমূহ যথাক্রমে – 4, 3, -5 এবং 3, 4, 5 তাদের মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের মান নির্ণয় করো।

Solution:
সরলরেখাদ্বয়ের দিক্ সংখ্যাসমূহ যথাক্রমে – 4, 3, -5 এবং 3, 4, 5
সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের মান π/3 হলে
$$\large{cosθ=\frac{|(-4).3+3.4+5.(-5)|}{\sqrt{(-4)^2+(3)^2+(-5)^2}×\sqrt{3^2+4^2+5^2}}\\\quad\quad=\frac{|-12+12-25|}{ \sqrt{16+9+25}×\sqrt{9+16+25}}\\\quad\quad=\frac{|-25|}{\sqrt{50}×\sqrt{50}}\\\quad\quad=\frac{25}{50}\\\quad\quad=\frac{1}{2}\\\therefore cosθ=cos\frac{π}{3}\\\therefore θ=\frac{π}{3}}$$Ans: সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের মান π/3
20. মনে করো A(2, -3, -1), B( 4, 5, 2), C (-3, 4, 1) এবং D (2, 3, 5) চারটি প্রদত্ত বিন্দু। AB এবং CD উভয় সরলরেখার ওপর লম্ব সরলরেখার দিক্ কোসাইনসমূহ নির্ণয় করো।

Solution:
চারটি প্রদত্ত বিন্দু A(2, -3, -1), B( 4, 5, 2), C (-3, 4, 1) এবং D (2, 3, 5)
AB সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ (4 – 2, 5 + 3, 2 + 1) বা 2, 8, 3
CD সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ (2 + 3, 3 – 4, 5 – 1) বা 5, -1, 4
ধরি AB এবং CD উভয় সরলরেখার ওপর লম্ব সরলরেখার দিক্ কোসাইনসমূহ l, m , n
∴ 2l + 8m + 3n = 0 – – – – (i)
এবং 5l – m + 4n = 0 – – – – (ii)
(i) ও (ii) থেকে পাই,
$$\large{\frac{l}{32-(-3)}=\frac{m}{15-8}=\frac{n}{-2-40}\\⇒\frac{l}{35}=\frac{m}{7}=\frac{n}{-42}=k\\⇒\frac{l}{5}=\frac{m}{1}=\frac{n}{-6}=k\quad [Let]\\\therefore l=5k;\quad\quad m=k:\quad\quad n=-6k;\\\quad\quad l^2+m^2+n^2=1\\⇒(5k)^2+(k)^2+(-6k)^2=1\\⇒25k^2+k^2+36k^2=1\\⇒62k^2=1\\⇒k^2=\frac{1}{62}\\\therefore k⇒±\frac{1}{62}\\=}$$
Ans: AB এবং CD উভয় সরলরেখার ওপর লম্ব সরলরেখার দিক্ কোসাইনসমূহ হল ⁵/_√62, ¹/_√62, –⁶/_√62 এবং –⁵/_√62, –¹/_√62, ⁶/_√62
21. দিক্ অনুপাতের সাহায্যে প্রমাণ করো যে, (4, 2, −6), (5, –3, 1), (12, 4, 5) এবং (11, 9, -2) বিন্দুগুলি একটি আয়তক্ষেত্রের শীর্ষবিন্দু।

Solution:
ধরি ABCD চতুর্ভুজের চারটি শীর্ষবিন্দু যথাক্রমে (4, 2, −6), (5, –3, 1), (12, 4, 5) এবং (11, 9, -2)
AB সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ (5 – 4, –3 – 2, 1 + 6) বা, 1, -5, 7
BC সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ (12 – 5, 4 + 3, 5 – 1) বা, 7, 7, 4
DC সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ (12 – 11, 4 – 9, 5 + 2) বা, 1, -5, 7
AD সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ (11 – 4, 9 – 2, -2 + 6) বা, 7, 7, 4

AB ও DC -এর দিক্ অনুপাতসমূহ সমান।
∴ AB || DC
আবার BC ও AD -এর দিক্ অনুপাতসমূহ সমান।
∴ BC || AD
ABCD চতুর্ভুজের AB || DC এবং BC || AD
∴ ABCD চতুর্ভুজটি একটি সামান্তরিকের।
AB ও BC -এর দিক্ অনুপাতসমূহের গুণফল
= 1×7 + (-5)×7 + 7×4
= 7 – 35 + 28
= 0
∴ AB ও BC পরস্পর লম্ব।
∴ ABCD চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলি সমান্তরাল এবং একটি কোণ সমকোণ।
∴ ABCD চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র।
(4, 2, −6), (5, –3, 1), (12, 4, 5) এবং (11, 9, -2) বিন্দুগুলি একটি আয়তক্ষেত্রের শীর্ষবিন্দু। (Proved)
Direction Cosines and Direction Ratios Class XII S N Dey দিক্ কোসাইন এবং দিক্ অনুপাত
22. দিক্ সংখ্যার সাহায্যে দেখাও যে, P(4, 7, 8), Q (2, 3, 4), R(-1, -2, 1) এবং S (1, 2, 5) বিন্দুগুলি একটি সামান্তরিকের শীর্ষবিন্দু। সামান্তরিকটি কি একটি আয়তক্ষেত্র হবে?

Solution:
PQRS চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দু P(4, 7, 8), Q (2, 3, 4), R(-1, -2, 1) এবং S (1, 2, 5 )
PQ সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ (2 – 4, 3 – 7, 4 – 8) বা, -2, -4, -4
SR সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ (-1 – 1, -2 – 2, 1 – 5) বা, -2, -4, -4
PS সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ (1 – 4, 2 – 7, 5 – 8) বা, -3, -5, -3
QR সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ (-1 – 2, -2 – 3, 1 – 4) বা, -3, -5, -3
PQ ও SR -এর দিক্ অনুপাতসমূহ সমান।
∴ PQ || SR
আবার PS ও QR -এর দিক্ অনুপাতসমূহ সমান।
∴ PS || QR
PQRS চতুর্ভুজের PQ || SR এবং PS || QR
∴ PQRS চতুর্ভুজটি একটি সামান্তরিকের।
P, Q, R এবং S বিন্দুগুলি একটি সামান্তরিকের শীর্ষবিন্দু। (Proved)
PQ ও PS -এর দিক্ অনুপাতসমূহের গুণফল
= (-2)×(-3) + (-4)×(-5) + (-4)×(-3)
= 6 + 20 + 12
= 38 ≠ 0
∴ PQ ও PS পরস্পর লম্ব নয়।
সামান্তরিকটি একটি আয়তক্ষেত্র হবে না। (Proved)
23. মনে করো, দুটি সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ যথাক্রমে l₁, m₁, n₁ এবং l₂, m₂, n₂ । প্রদত্ত সরলরেখাদ্বয়ের ওপর লম্ব সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ নির্ণয় করো।
Solution:
দুটি সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ যথাক্রমে l₁, m₁, n₁ এবং l₂, m₂, n₂
ধরি, নির্ণেয় সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ a, b, c
নির্ণেয় সরলরেখা প্রদত্ত সরলরেখাদ্বয়ের ওপর লম্ব সরলরেখা।
∴ al₁ + bm₁ + cn₁ = 0 – – – – (i)
al₂ + bm₂ + cn₂ = 0 – – – – (ii)
(i) ও (ii) সমাধান করে পাই,
$$\large{\frac{a}{m_1n_2-m_2n_1}=\frac{b}{l_2n_1-l_1n_2}=\frac{c}{l_1m_2-l_2m_1}=k\quad [Let]\\\therefore a=k(m_1n_2-m_2n_1)\\\quad b=k(l_2n_1-l_1n_2)\\\quad c=k(l_1m_2-l_2m_1)}$$
Ans: লম্ব সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ
k(m₁n₂ – m₂n₁), k(l₂n₁ – l₁n₂), k(l₁m₂ – l₂m₁)
= (m₁n₂ – m₂n₁), (l₂n₁ – l₁n₂), (l₁m₂ – l₂m₁)
24. মনে করো P(−9, 4, 5 ) এবং Q (11, 0, -1) দুটি প্রদত্ত বিন্দু। যদি O মূলবিন্দু এবং ON সরলরেখা PQ সরলরেখার ওপর লম্ব হয়, তবে N-এর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।
Solution:
ধরি, N বিন্দুটি PQ সরলরেখাকে p : 1 অনুপাতে ছেদ করেছে।
P ও Q বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (−9, 4, 5 ) এবং (11, 0, -1)
∴ N বিন্দুর স্থানাঙ্ক (^{11p – 9}/_{p + 1} , ^{0.p + 4}/_{p + 1} , ^{-p + 5}/_{p + 1}) বা, (^{11p – 9}/_{p + 1} , ⁴/_{p + 1} , ^{-p + 5}/_{p + 1})
PQ সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ (11 – 9), (0 – 4), (-1 – 5) বা, 20, -4, -6
ON সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ {(^{11p – 9}/_{p + 1} – 0), (⁴/_{p + 1} – 0) ,(^{-p + 5}/_{p + 1} – 0)} বা, {(^{11p – 9}/_{p + 1}), (⁴/_{p + 1}) ,(^{-p + 5}/_{p + 1})}
∵ PQ সরলরেখার ওপর ON লম্ব।
∴ (^{11p – 9}/_{p + 1})×20 + (⁴/_{p + 1})×(-4) + (^{-p + 5}/_{p + 1})×(-6) = 0
বা, 20(11p – 9) – 4×4 – 6(-p + 5) = 0
বা, 220p – 180 – 16 + 6p – 30 = 0
বা, 226p = 226
বা, p = 1
∴ N বিন্দুর স্থানাঙ্ক (^{11.1 – 9}/_{1 + 1} , ^{0.1 + 4}/_{1 + 1} , ^{-1 + 5}/_{1 + 1})
= (1, 2, 2)
Ans: N-এর স্থানাঙ্ক (1, 2, 2)
Direction Cosines and Direction Ratios Class XII S N Dey দিক্ কোসাইন এবং দিক্ অনুপাত
25. মনে করো A ( -2, 0, 3), B(0, 3, -3 ), C (3, 3, 5 ) এবং D (5, 4, 3) চারটি প্রদত্ত বিন্দু। AB এবং CD সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের মান নির্ণয় করো।

Solution:
চারটি প্রদত্ত বিন্দু A ( -2, 0, 3), B(0, 3, -3 ), C (3, 3, 5 ) এবং D (5, 4, 3)
AB-এর দিক্ অনুপাতসমূহ (0 + 2), (3 – 0), (-3 – 3) বা, 2, 3, -6
CD-এর দিক্ অনুপাতসমূহ (5 – 3), (4 – 3), (3 – 5) বা, 2, 1, -2
AB এবং CD সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের মান θ হলে
$$\large{cosθ=\frac{|2×2+3×1+(-6)×(-2)|}{\sqrt{2^2+3^2+(-6)^2}×\sqrt{2^2+1^2+(-2)^2}}\\\quad\quad=\frac{|4+3+12|}{\sqrt{4+9+36}×\sqrt{4+1+4}}\\\quad\quad=\frac{19}{\sqrt{49}×\sqrt{9}}\\\quad\quad=\frac{19}{7×3}\\cosθ=\frac{19}{21}\\\\\therefore θ=cos^{-1}\frac{19}{21}\quad \mathbf{(Ans)}}$$
26. দুটি সরলরেখার মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের মান নির্ণয় করো যাদের দিক্ কোসাইনসমূহ নীচের সমীকরণগুলি সিদ্ধ করে:
(i) l + m + n = 0; l² + m² – n² = 0

Solution:
l + m + n = 0
বা, n = -(l + m),
আবার
l² + m² – n² = 0
বা, l² + m² – {-(l + m)}² = 0
বা, l² + m² – l² – 2lm – m² = 0
বা, -2lm = 0
হয় l = 0 নতুবা m = 0
l = 0 হলে n = -m হয়
আবার m = 0 হলে n = -l হয়
∴ সরলরেখা দুটির দিক্ কোসাইনসমূহ হল 0, m, -m এবং l, 0, -l
∴ সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের মান θ হলে
$$\large{cosθ=\frac{|0×l+m×0+(-m)×(-l)|}{\sqrt{0^2+m^2+(-m)^2}×\sqrt{l^2+0^2+(-l)^2}}\\\quad\quad=\frac{|ml|}{\sqrt{m^2+m^2}×\sqrt{l^2+l^2}}\\\quad\quad=\frac{|ml|}{\sqrt{2m^2}×\sqrt{2l^2}}\\\quad\quad=\frac{ml}{m\sqrt{2}×l\sqrt{2}}\\\quad\quad=\frac{1}{2}\\\therefore cosθ=cos \frac{π}{3}\\⇒θ=\frac{π}{3}}$$∴ সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের মান π/3
(ii) 2l + 2m – n = 0; mn + Im + nl = 0

Solution:
2l + 2m – n = 0
বা, n = 2l + 2m – – – – – (i)
mn + Im + nl = 0
বা, n(m + l) + Im = 0 – – – – – (ii)
(ii) নং এ n = 2l+ 2m বসিয়ে পাই,
(2l + 2m)(m + l) + Im = 0
বা, 2lm + 2l² + 2m² + 2Im + lm = 0
বা, 2l² + 5Im + 2m² = 0
বা, 2(^l/_m)² + 5(^l/_m) + 2 = 0
∴ সমীকরনের বীজদ্বয় ^l₁/_m₁ ও ^l₂/_m₂ হলে,
^l₁/_m₁ × ^l₂/_m₂ = 1
⇒ l₁l₂ = m₁m₂ – – – – (ii) এবং
^l₁/_m₁ + ^l₂/_m₂ = –⁵/₂
⇒ 2( l₁m₂ + l₂m₁) = -5m₁m₂
∵ n = 2l + 2m
∴ n₁×n₂ = (2l₁+ 2m₁)×(2l₂+ 2m₂)
⇒ n₁×n₂ = 4l₁l₂ + 4l₁m₂ + 4m₁l₂ + 4m₁m₂
⇒ n₁n₂ = 2{2(l₁m₂+l₂m₁)}+ 4l₁l₂ + 4m₁m₂
⇒ n₁n₂ = 2×-5m₁m₂+ 4m₁m₂+ 4m₁m₂ – – – – [∵ l₁l₂ = m₁m₂]
⇒ n₁n₂ = -10m₁m2+ 8m₁m₂
⇒ n₁n₂ = -2m₁m₂
∴ l₁l₂ + m₁m₂ + n₁n₂
⇒ m₁m₂ + m₁m₂ + (-2m₁m₂) – – – – [∵ l₁l₂ = m₁m₂]
⇒ 2m₁m₂ – 2m₁m₂
⇒ 0
∴সরলরেখা দুটি পরস্পর লম্ব।
∴ সরলরেখা দুটির মধ্যবর্তী কোণ ^π/₂ (Ans)
(iii) l + 2m + 3n = 0; 3lm – 4ln + mn = 0

Solution:
l + 2m + 3n = 0
বা, l = -(2m + 3n) – – – – – (i)
আবার
3lm – 4ln + mn = 0
বা, 3{-(2m + 3n)}m – 4{-(2m + 3n)}n +mn = 0
বা, -6m² – 9nm + 8mn + 12n² + mn = 0
বা, -6m² + 12n² = 0
বা, 12n² = 6m²
বা, 2n² = m²
বা, ^n²/_m² = ¹/₂
বা, ⁿ/_m = ±¹/_√2
⇒ ^n₁/_m₁ = ¹/_√2; ^n₂/_m₂ = – ¹/_√2
∴ ^n₁/_m₁ × ^n₂/_m₂ = ¹/_√2 × (-¹/_√2)
⇒ ^n₁n₂/_m₁m₂ = – ¹/₂
⇒ n₁n₂ = –^m₁m₂/₂ – – – – – (ii)
আবার
^n₁/_m₁ + ^n₂/_m₂ = ¹/_√2 + (-¹/_√2)
⇒ ^{n₁m₂+n₂m₁}/_m₁m₂ = ¹/_√2 – ¹/_√2 = 0
⇒ n₁m₂ + n₂m₁ = 0 – – – – – (iii)
(i) নং থেকে পাই,
l₁ = -(2m₁ + 3n₁) এবং
l₂ = -(2m₂ + 3n₂)
∴ l₁×l₂ = {-(2m₁ + 3n₁)}×{-(2m₂ + 3n₂)}
⇒ l₁l₂ = 4m₁m₂ + 6m₁n₂ + 6n₁m₂ + 9n₁n₂
⇒ l₁l₂ = 4m₁m₂ + 6(m₁n₂ + n₁m₂) + 9n₁n₂
⇒ l₁l₂ = 4m₁m₂ + 6×0 + 9n₁n₂ – – – [(iii) নং থেকে]
⇒ l₁l₂ = 4m₁m₂ + 9n₁n₂
⇒ l₁l₂ = 4m₁m₂ + 9×(-^m₁m₂/₂) – – – [(ii) নং থেকে]
⇒ l₁l₂ = 4m₁m₂ – 9×^m₁m₂/₂
⇒ l₁l₂ = – ^m₁m₂/₂
∴ l₁l₂ + m₁m₂ + n₁n₂
⇒ – ^m₁m₂/₂ + m₁m₂ – ^m₁m₂/₂
⇒ ^m₁m₂/₂ – ^m₁m₂/₂
⇒ 0
∴সরলরেখা দুটি পরস্পর লম্ব।
∴ সরলরেখা দুটির মধ্যবর্তী কোণ ^π/₂ (Ans)
(iv) 3l + m + 5n = 0; 6mn – 2nl + 5lm = 0

Solution:
3l + m + 5n = 0
বা, m = -(5n + 3l)
আবার
6mn – 2nl + 5lm = 0
বা, 6{-(5n + 3l)}n – 2nl + 5l{-(5n+3l)} = 0
বা, -30n² – 18ln -2nl – 25ln -15l² = 0
বা, -30n² – 45ln – 15l² = 0
বা, -15(2n² + 3ln – l²) = 0
বা, 2n² + 3ln + l² = 0
বা, 2n² + 2ln + ln + l² = 0
বা, 2n(n + l) + l(n + l) = 0
বা, (n + l)(2n + l) = 0
হয় (n+l)=0 নতুবা (2n + l) = 0
বা, l = -n বা, l = -2n
l = -n হলে
m = -(5n + 3×-n) = -5n + 3n = -2n
l = -2n হলে
m = -(5n + 3×-2n) = -5n + 6n = n
∴ সরলরেখাদ্বয়ের দিক্ অনুপাতসমূহ হল -n, -2n, n এবং -2n, n, n
∴ সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী সূক্ষ্মকোণের মান θ হলে
$$\large{cosθ=\frac{(-n)×(-2n)+(-2n)×n+n×n}{\sqrt{(-n)^2+(-2n)^2+n^2}×\sqrt{(-2n)^2+n^2+n^2}}\\\quad\quad=\frac{2n^2-2n^2+n^2}{\sqrt{n^2+4n^2+n^2}×\sqrt{4n^2+n^2+n^2}}\\\quad\quad=\frac{n^2}{\sqrt{6n^2}×\sqrt{6n^2}}\\\quad\quad=\frac{n^2}{n\sqrt{6}×n\sqrt{6}}\\\quad\quad=\frac{1}{6}\\\therefore θ=cos^{-1}\frac{1}{6}\quad\mathbf{(Ans)}}$$
1. প্রমাণ করো যে, দুটি সরলরেখার দিক কোসাইনসমূহ a²l + b²m + c²n =0 এবং mn + nl + lm = 0 সমীকরণ দুটিকে সিদ্ধ করলে, সরলরেখা দুটি সমান্তরাল হবে যদি a + b + c = 0 হয়।
Solution:
a²l + b²m + c²n =0
বা, l = – ^{b²m + c²n}/_a² – – – -(i)
mn + nl + lm = 0
বা, mn + l(n + m) = 0 – – – -(ii)
(i) ও (ii) থেকে পাই,
mn + (- ^{b²m + c²n}/_a²)(n + m) = 0
বা, a²mn – (b²m + c²n)(n + m) = 0
বা, a²mn – b²mn – b²m² – c²n² – c²mn = 0
বা, b²m² + b²mn + c²mn – a²mn + c²n² = 0
বা, b²m² + (b² + c² – a²)mn + c²n² = 0
বা, b²(^m/_n)² + (b² + c² – a²)(^m/_n) + c²= 0 – – – (iii) – – [n² দিয়ে ভাগ করে পাই]
(iii) নং সমীকরণ ^m/_n এর একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।
সরলরেখা দুটির দিক্ কোসাইনসমূহ l₁, m₁, n₁ এবং l₂, m₂, n₂ হয় তবে (iii) নং সমীকরণের বীজদ্বয় হবে ^m₁/_n₁ এবং ^m₂/_n₂
সরলরেখা দুটি সমান্তরাল হবে যদি ^l₁/_l₂ = ^m₁/_m₂ = ^n₁/_n₂
∴ ^m₁/_m₂ = ^n₁/_n₂
⇒ ^m₁/_n₁ = ^m₂/_n₂
∴ বীজদুটি সমান।
∴ (b² + c² – a²) – 4b²c² = 0
⇒ (b² + c² – a²)² – (2bc)² = 0
⇒ (b² + c² – a² + 2bc)(b² + c² – a² – 2bc) = 0
⇒ {(b² + 2bc + c²) – a²}{(b² – 2bc + c²)- a²} = 0
⇒ {(b + c)² – (a)²}{(b – c)² – (a)²} = 0
⇒ (b + c + a)(b + c – a)(b – c + a)(b – c + a) = 0
∴ (a + b + c) = 0
সরলরেখা দুটি সমান্তরাল হবে যদি a + b + c = 0 হয়। (Proved)
Direction Cosines and Direction Ratios Class XII S N Dey দিক্ কোসাইন এবং দিক্ অনুপাত
2. দেখাও যে, দুটি সরলরেখার দিক্ কোসাইনসমূহ al + bm + cn = 0 এবং pl² + qm² + rn² = 0 সমীকরণ দুটিকে সিদ্ধ করলে, সরলরেখা দুটি সমান্তরাল হবে যদি ^a²/_p+ ^b²/_q + ^c²/_r = 0 হয়।
Solution:
al + bm + cn = 0
বা, l = ^{bm + cn}/_a
আবার
pl² + qm² + rn² = 0
বা, p(^{bm + cn}/_a)² + qm² + rn² = 0
বা, p×(^{b²m² + 2bcmn + c²n²}/_a²) + qm² + rn² = 0
বা, pb²m² + 2pbcmn + pc²n² + a²qm² + a²rn² = 0
বা, (pb² + a²q)m² + 2pbcmn + (pc² + a²r)n² = 0
বা, (pb² + a²q)(^m/_n)² + 2pbc(^m/_n) + (pc² + a²r) = 0 – – – – (i)
সরলরেখা দুটির দিক্ কোসাইনসমূহ l₁, m₁, n₁ এবং l₂, m₂, n₂ হয় তবে (i) নং সমীকরণের বীজদ্বয় হবে ^m₁/_n₁ এবং ^m₂/_n₂
সরলরেখা দুটি সমান্তরাল হবে যদি ^l₁/_l₂ = ^m₁/_m₂ = ^n₁/_n₂
∴ ^m₁/_m₂ = ^n₁/_n₂
বা, ^m₁/_n₁ = ^m₂/_n₂
∴ (i) নং সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হবে।
(i) নং সমীকরণের বীজদ্বয় সমান হলে নিরূপক শূন্য হবে।
∴ (2pbc)² – 4×(pb² + a²q)×(pc² + a²r) = 0
বা, 4p²b²c² – 4(p²b²c² + a²b²pr + a²c²pq + a⁴qr) = 0
বা, p²b²c² – p²b²c² – a²b²pr – a²c²pq – a⁴qr = 0
বা, – a²b²pr – a²c²pq – a⁴qr = 0
বা, a²b²pr + a²c²pq + a⁴qr = 0
বা, a⁴qr + a²b²pr + a²c²pq = 0
বা, ^a²/_p+ ^b²/_q + ^c²/_r = 0 – – (Proved)– – – [a²pqr দিয়ে ভাগ করে পাই]
3. প্রমাণ করো যে,
একটি ঘনকের দুটি কর্ণের মধ্যবর্তী সুক্ষ্মকোণের মান ^π/₂ – sin^-1 ¹/₃

Solution:
ধরি ঘনকটির একটি কৌণিক বিন্দু মূলবিন্দুতে এবং তিনটি বাহু x অক্ষ, y অক্ষ ও zঅক্ষ বরাবর অবস্থিত ।
ঘনকটির কৌণিক বিন্দুর স্থানাঙ্ক (0, 0, 0) এবং ঘনকটির বাহুর দৈর্ঘ্য a একক।
∴ OP, AQ, BR এবং CS হল ঘনকটির চারটি কর্ণ।
∴ OP -এর দিক্ অনুপাতসমূহ a, a, a
∴ AQ -এর দিক্ অনুপাতসমূহ -a, a, a
কর্ণ OP ও AQ -এর মধ্যবর্তী কোণ θ হলে –
$$\large{cosθ=\frac{a×(-a)+a×a+a×a}{\sqrt{a^2+a^2+a^2}×\sqrt{(-a)^2+a^2+a^2}}\\\quad\quad=\frac{-a^2+a^2+a^2}{\sqrt{3a^2}×\sqrt{a^2+a^2+a^2}}\\\quad\quad=\frac{a^2}{\sqrt{3a^2}×\sqrt{3a^2}}\\\quad\quad=\frac{a^2}{a\sqrt{3}×a\sqrt{3}}\\\quad\quad=\frac{1}{3}\\\therefore θ=cos^{-1}\frac{1}{3}\\⇒θ=\frac{π}{2}-sin^{-1}\frac{1}{3}\\\quad\quad\quad[∵ sin^{-1}\frac{1}{3}+cos^{-1}\frac{1}{3}=\frac{π}{2}]\\∴θ=\frac{π}{2}sin^{-1}\frac{1}{3}\quad\mathbf{(Proved)}}$$
দশম শ্রেণীর জীবন বিজ্ঞান অসম্পূর্ণ প্রকটতা/ Incomplete Dominance
4. যদি একটি সরলরেখা, একটি ঘনকের চারটি কর্ণের সঙ্গে α, β, γ, δ কোণ উৎপন্ন করে, তবে প্রमान করো যে, cos²α + cos²β + cos²γ + cos²δ = ⁴/₃

Solution:
ধরি ঘনকটির একটি কৌণিক বিন্দু মূলবিন্দুতে এবং তিনটি বাহু x অক্ষ, y অক্ষ ও zঅক্ষ বরাবর অবস্থিত ।
ঘনকটির কৌণিক বিন্দুর স্থানাঙ্ক (0, 0, 0) এবং ঘনকটির বাহুর দৈর্ঘ্য a একক।
∴ OP, AQ, BR এবং CS হল ঘনকটির চারটি কর্ণ।
∴ OP -এর দিক্ অনুপাতসমূহ a, a, a
∴ AQ -এর দিক্ অনুপাতসমূহ -a, a, a
∴ BR -এর দিক্ অনুপাতসমূহ -a, -a, a
∴ CS -এর দিক্ অনুপাতসমূহ a, -a, a
সরলরেখাটি ঘনকের চারটি কর্ণের সঙ্গে α, β, γ, δ কোণ উৎপন্ন করে
ধরি নির্ণেয় সরলরেখার দিক কোসাইনসমূহ l, m, n
$$\large{cosα=\frac{al+am+an}{\sqrt{a^2+a^2+a^2}}\\\quad=\frac{a(l+m+n)}{\sqrt{3a^2}}\\\quad=\frac{l+m+n}{\sqrt{3}} \\cosβ=\frac{-al+am+an}{\sqrt{(-a)^2+a^2+a^2}}\\\quad=\frac{a(-l+m+n)}{\sqrt{3a^2}}\\\quad=\frac{-l+m+n}{\sqrt{3}}\\cosγ=\frac{-al-am+an}{\sqrt{(-a)^2+(-a)^2+a^2}}\\\quad=\frac{a(-l-m+n)}{\sqrt{3a^2}}\\\quad=\frac{-l-m+n}{\sqrt{3}}\\cosδ=\frac{al-am+an}{\sqrt{a^2+(-a)^2+a^2}}\\\quad=\frac{a(l-m+n)}{\sqrt{3a^2}}\\\quad=\frac{l-m+n}{\sqrt{3}}}$$
L.H.S.
= cos²α + cos²β + cos²γ + cos²δ
= (^{l + m + n}/_√3)² + (^{-l + m + n}/_√3)² + (^{-l – m + n}/_√3)² + (^{l – m + n}/_√3)²
= ¹/₃ [(l + m + n)² + (-l + m + n)² + (-l – m + n)² + (l – m + n)²]
= ¹/₃ × 4(l² + m² + n²)
= ¹/₃ × 4 – – – – – [∵ l² + m² + n² = 1]
= ⁴/₃ = R.H.S. (Proved)
5. যদি তিনটি পরস্পর লম্ব সরলরেখার দিক কোসাইনসমূহ l₁, m₁, n₁; l₂, m₂, n₂ এবং l₃, m₃, n₃ হয়, তবে দেখাও যে প্রদত্ত সরলরেখা তিনটি (l₁ + l₂ + l₃), (m₁ + m₂ + m₃), (n₁ + n₂ + n₃) দিক সংখ্যাবিশিষ্ট সরলরেখার সঙ্গে সমান কোন উৎপন্ন করে।
Solution:
ধরি, প্রথম সরলরেখার দিক কোসাইনসমূহ l₁, m₁, n₁
দ্বিতীয় সরলরেখার দিক কোসাইনসমূহ l₂, m₂, n₂
এবং তৃতীয় সরলরেখার দিক কোসাইনসমূহ l₃, m₃, n₃
সরলরেখা তিনটি পরস্পর লম্ব ।
∴ l₁l₂ + m₁m₂ + n₁n₂ = 0
l₂l₃ + m₂m₃ + n₂n₃ = 0
∴ l₃l₁ + m₃m₁ + n₃n₁ = 0
প্রদত্ত সরলরেখা তিনটির দিক সংখ্যা (l₁ + l₂ + l₃), (m₁ + m₂ + m₃), (n₁ + n₂ + n₃)
আরও ধরি, প্রদত্ত সরলরেখাটি প্রথম, দ্বিতীয় এবং তৃতীয় সরলরেখার সঙ্গে θ₁, θ₂ এবং θ₃ কোণ উৎপন্ন করে।
$$\large{cosθ_1\\=\frac{l_1(l_1+l_2+l_3)+m_1(m_1+m_2+m_3)+n_1(n_1+n_2+n_3)}{\sqrt{(l_1+l_2+l_3)^2+(m_1+m_2+m_3)^2+(n_1+n_2+n_3)^2}\\\quad\quad\quad[\sqrt{(l_1+l_2+l_3)^2+(m_1+m_2+m_3)^2+(n_1+n_2+n_3)^2}=k\quad(Let)]}\\=\frac{l_1^2+l_1l_2+l_3l_1)+m_1^2+m_1m_2+m_3m_1+n_1^2+n_1n_2+n_3n_1}{k}\\=\frac{(l_1^2+m_1^2+n_1^2)+(l_1l_2+m_1m_2+n_1n_2)+(l_3l_1+m_3m_1+n_3n_1)}{k}\\\\=\frac{1+0+0)}{k}=\frac{1}{k} }$$
অনুরূপে পাওয়া যায়
cosθ₂ = ¹/_k
cosθ₃ = ¹/_k
প্রদত্ত সরলরেখা তিনটি সরলরেখার সঙ্গে সমান কোন উৎপন্ন করে। (Proved)
Direction Cosines and Direction Ratios Class XII S N Dey দিক্ কোসাইন এবং দিক্ অনুপাত
6. A, B, C, D একটি সামান্তরিকের চারটি শীৰবিন্দু। যদি A, B এবং C-এর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (0, 0, 0), (3, -4, 4) এবং (7, 1, 4) হয়, তবে দিক্ অনুপাতের সাহায্যে D শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।
Solution:
ধরি D এর স্থানাঙ্ক (x, y, z)
∴ AB -এর দিক্ অনুপাতসমূহ (3 – 0), ( -4 – 0), (4 – 0) বা 3, -4, 4
CD -এর দিক্ অনুপাতসমূহ (x – 7), ( y – 1), (z – 4)
ABCD একটি সামান্তরিক।
∴ CD = AB
(x – 7) = 3 বা, x = 10
(y – 1) = -4, বা, y = -3
(z – 4) = 4 বা, z = 8
Ans: D শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক (10, -3, 8)
7. মনে করো, P(-1, 0, 3) ও Q(2, 5, 1) দুটি প্রদত্ত বিন্দু এবং L সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ 6, 2, 3; তাহলে PL সরলরেখার ওপর L সরলরেখাংশের লম্ব অভিক্ষেপের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
Solution:
দুটি প্রদত্ত বিন্দু P(-1, 0, 3) ও Q(2, 5, 1)
∴ PQ এর দিক্ অনুপাতসমূহ – (2 + 1), (5 – 0), (1 – 3) বা, 3, 5, -2
L সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ 6, 2, 3
∴ L সরলরেখার দিক্ কোসাইনসমূহ
$$\large{\frac{6}{\sqrt{6^2+2^2+3^2}},\quad\frac{2}{\sqrt{6^2+2^2+3^2}},\quad\frac{3}{\sqrt{6^2+2^2+3^2}}\\⇒\frac{6}{\sqrt{36+4+9}},\quad\frac{2}{\sqrt{36+4+9}},\quad\frac{3}{\sqrt{36+4+9}}\\⇒\frac{6}{\sqrt{49}},\quad\frac{2}{\sqrt{49}},\quad\frac{3}{\sqrt{49}}\\⇒\frac{6}{7},\quad\frac{2}{7},\quad\frac{3}{7}}$$
PL সরলরেখার ওপর L সরলরেখাংশের লম্ব অভিক্ষেপের দৈর্ঘ্য
= ⁶/₇×3 + ²/₇×5 + ³/₇×(-2)
= ¹⁸/₇ + ¹⁰/₇ – ⁶/₇
= ^18+10-6/₇
= ²²/₇ একক
Ans: PL সরলরেখার ওপর L সরলরেখাংশের লম্ব অভিক্ষেপের দৈর্ঘ্য ²²/₇ একক
Direction Cosines and Direction Ratios Class XII S N Dey দিক্ কোসাইন এবং দিক্ অনুপাত
8. দেখাও যে, যদি দুটি সরলরেখার দিক কোসাইনগুলি al + bm + cn = 0 এবং pl² + qm² + rn² = 0 দ্বারা প্রকাশ করা যায়, তবে সরলরেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব হলে a²(q+r) + b² (r+p) + c²(p + q) = 0
Solution:
al + bm + cn = 0
∴ l = –^{bm + cn}/_a
এবং m = –^{al + cn}/_b
আবার pl² + qm² + rn² = 0
বা, p(-^{bm + cn}/_a)² + qm² + rn² = 0
বা, p×^{(b²m² + 2bcmn + c²n²)}/_a² + qm² + rn² = 0
বা, pb²m² + 2bcmnp + pc²n² + a²qm² + a²rn² = 0
বা, m²(pb² + a²q) + 2bcmnp + n²(pc² + a²r) = 0
বা, (^m/_n)²(pb² + a²q) + 2bcp^m/_n + pc² + a²r = 0
∴ দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় ^m₁/_n₁ এবং ^m₂/_n₂ হলে,
^m₁/_n₁ × ^m₂/_n₂ = ^{pc² + a²r}/_{pb² + a²q}
⇒ ^m₁m₂/_{^{pc² + a²r}} = ^n₁n₂/_{^{pb² + a²q}}

এবং pl² + qm² + rn² = 0
বা, pl² + q(-^{al + cn}/_b)² + rn² = 0
বা, pl² + q × ^{(a²l² + 2acln + c²l²)}/_b² + rn² = 0
বা, pl²b² + qa²l² + 2aclnq + c²ql² + b²rn² = 0
বা, l²(pb² + a²q) + 2aclnq + n²(qc² + b²r) = 0
বা, (^l/_n)²(pb² + a²q) + 2bcp^l/_n + qc² + b²r = 0
∴ দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় ^l₁/_n₁ এবং ^l₂/_n₂ হলে,
^l₁/_n₁ × ^l₂/_n₂ = ^{qc² + b²r}/_{pb² + a²q}
⇒ ^l₁l₂/_{^{qc² + b²r}} = ^n₁n₂/_{^{pb² + a²q}}
∴ ^l₁l₂/_{^{qc² + b²r}} = ^m₁m₂/_{^{pc² + a²r}} = ^n₁n₂/_{^{pb² + a²q}} = k (ধরি)
∴ l₁l₂ = k(qc² + b²r)
m₁m₂ = k(pc² + a²r)
n₁n₂ = k(pb² + c²r)
সরলরেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব হলে
l₁l₂ + m₁m₂ + n₁n₂ = 0 হবে।
বা, k(qc² + b²r) + k(pc² + a²r) + k(pb² + a²q) = 0
বা, k(qc² + b²r + pc² + a²r + pb² + a²q) = 0
বা, qc² + b²r + pc² + a²r + pb² + a²q = 0
বা, a²(q + r) + b²(r + p) + c²(p + q) = 0 (Proved)
PREVIOUS
NEXT
HS 2025 Mathematics Solution।। উচ্চ মাধ্যামিক ২০২৫ গণিত প্রশ্নপত্রের সমাধানMarch 29, 2025

Matrix S N Dey Solution Part-3January 18, 2024

Matrix S N Dey Solution Part-2December 31, 2023

Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্সDecember 17, 2023

S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতলDecember 6, 2023

Straight Line Ex 4A Class XII সরলরেখা S N Dey SolutionNovember 27, 2023

Direction Cosines and Direction Ratios Class XII S N Dey দিক্ কোসাইন এবং দিক্ অনুপাতNovember 19, 2023

Probability Bayes’ Theorem বেইজ উপপাদ্য প্রশ্নমালা 1BNovember 12, 2023

দ্বাদশ শ্রেণীর সম্ভাবনা Probability S N Day Part -2November 5, 2023

Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা Part-IOctober 15, 2023

অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Significance of Derivative S N Dey Part-2October 2, 2023

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1September 24, 2023

ভেক্টর বীজগণিত Class XII Vector Algebra S N Dey Part 2September 17, 2023

Vector Algebra Class XII ভেক্টর বীজগণিত Part 1September 10, 2023

Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part IIAugust 27, 2023

Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part-1August 8, 2023

JBNSTS- Junior & Senior Scholarship – How to apply, Syllabus etc.June 10, 2023

জি. পি. বিড়লা স্কলারশিপ || How to apply GP Birla ScholarshipJune 4, 2023

Vidyasagar Science Olympiad How To Apply বিদ্যাসাগর সায়েন্স অলিম্পিয়াডMarch 23, 2023

Medhasree Scholarship মেধাশ্রী – How to apply, Check Date, EligibilityFebruary 11, 2023
November 19, 2023