Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স
Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স
বহু বিকল্পধর্মী প্রতিটি প্রশ্নের মান 1 সঠিক উত্তরটি নির্বাচন করোঃ 1. (i) নীচের বিবৃতিগুলির কোনটি সত্য? (a) K একটি স্কেলার ও A যে-কোনো ম্যাট্রিক্স হলে KA হবে একটি ম্যাট্রিক্স যার প্রত্যেকটি পদ A-এর অনুরূপ পদের K গুণ। (b) A ও B ম্যাট্রিক্স দুটি যথাক্রমে m× n ও r× s ক্রমের (r ≠ m, s ≠ n) হলে, A + B ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করা যায়। (c) A ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা যদি B ম্যাট্রিক্সের স্তম্ভ সংখ্যার সমান হয়, তবে AB গুণফল ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করা যায়। (d) দুটি ম্যাট্রিক্স A ও B -এর ক্ষেত্রে AB ও BA উভয় গুণফল সংজ্ঞাত হলে তারা সমক্রমের ম্যাট্রিক্স হবে। × ×
2. নীচের বিবৃতিগুলির কোনটি মিথ্যা? (a) A ও B যথাক্রমে m×n ও n×p ক্রমের ম্যাট্রিক্স হলে AB একটি m×p ক্রমের ম্যাট্রিক্স হবে। (b) ম্যাট্রিক্সের গুণ সাধারণভাবে বিনিময় নিয়ম সিদ্ধ করে না। (c) দুটি ম্যাট্রিক্স A ও B -এর ক্ষেত্রে AB ও BA উভয় গুণফল সংজ্ঞাত এবং সমক্রমের হলেও তারা পরস্পর সমান নাও হতে পারে। (d) ম্যাট্রিক্স গুণন ক্রিয়া সংযোগ নিয়ম সিদ্ধ করে না। Ans: (d) ম্যাট্রিক্স গুণন ক্রিয়া সংযোগ নিয়ম সিদ্ধ করে না।।m ×n p
3. নীচের বিবৃতিগুলির কোনটি মিথ্যা? (b) যে-কোনো বর্গ ম্যাট্রিক্সকে একটি প্রতিসম ও একটি বিপ্রতিসম ম্যাটিক্সের সমষ্টির আকারে প্রকাশ করা যায়। (c) A ≠ 0, B ≠ 0 দুটি ম্যাট্রিক্স হলে AB = 0 হতে পারে, এখানে 0 দ্বারা শূন্য ম্যাট্রিক্স সূচিত হয়। (d) একটি 3×3 ক্রমের বর্গ ম্যাট্রিক্সকে একটি লম্ব ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি AAT = AT Ans: (a) A, B ও C তিনটি ম্যাট্রিক্স এমন যে, CA = CB; তাহলে সর্বদা A = B হবে।
4. A ও B দুটি ম্যাট্রিক্সের জন্য AB = A এবং BA = B হলে B = 2 (b) I (c) A (d) 0 Ans: (a) B2 2 = B.B
5. একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স A যদি তার পরিবর্ত ম্যাট্রিক্স At -এর সমান হয় তবে A-কে বলা হবে- Ans: (a) প্রতিসম
Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স 6. A বর্গ ম্যাট্রিক্সের পরিবর্ত ম্যাট্রিক্স At হলে, A-কে একটি বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি – t = -A হয় (b) AAt = A হয়t A = A হয় (d) A-1 হয় Ans: (a) At = -A হয়
7. (AB)t = t At (b) At Bt (c) At B (d) Bt A (a) Bt At t = Bt At ]
8. A একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স এবং । একই ক্রমের একক ম্যাট্রিক্স হলে, A.I= T (c) -A (d) A.AT
9. যদি A = [ajj ] একটি 2×2 ক্রমের ম্যাট্রিক্স হয়, যেখানে ajj = i + 2j তবে A হবে-
\(\mathbf{(a)\begin{bmatrix}1\quad 3\\2\quad 4\end{bmatrix}\quad (b)}\begin{bmatrix}2\quad 4\\3\quad 5\end{bmatrix}\quad (c)\begin{bmatrix}3\quad 5\\4\quad 6\end{bmatrix}\quad (d)\)এদের কোনোটিই নয়\(\\\mathbf{Ans}\quad(c)\quad\begin{bmatrix}3\quad 4\\5\quad 6\end{bmatrix}\)
[∵ ajj = i + 2j11 = (1 + 2.1) = 3;12 = (1 + 2.2) = 5;21 = (2 + 2.1) = 4;22 = (2 + 2.2) = 6;
UNIT – 2 বীজগণিত ম্যাট্রিক্সের প্রকারভেদ ও ম্যাট্রিক্স প্রক্রিয়াসমূহ ▶️ CLICK HERE Types of Matrix & Operation Matrices Exercise – 1 (Part-II) ▶️ CLICK HERE ম্যাট্রিক্সের প্রকারভেদ ও ম্যাট্রিক্স প্রক্রিয়াসমূহ ▶️ CLICK HERE
দ্বাদশ শ্রেণীর S N Dey বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নীচের BUTTON-এ ক্লিক করো।
10. যদি A = [ajj ] একটি 2×2 ক্রমের ম্যাট্রিক্স হয়, যেখানে ajj = 1 /2 (i + 2j)2 তবে A হবে –
\(\mathbf{(a)\begin{bmatrix}\frac{9}{2}\quad \frac{25}{2}\\8\quad 18\end{bmatrix}\quad (b)\begin{bmatrix}9\quad \frac{25}{2}\\8\quad 18\end{bmatrix}\quad (c)\begin{bmatrix}\frac{9}{2}\quad \frac{25}{2}\\8\quad 9\end{bmatrix}\quad (d)\begin{bmatrix}\frac{9}{2}\quad \frac{25}{2}\\4\quad 18\end{bmatrix}\\Ans:\quad(a)\quad\begin{bmatrix}\frac{9}{2}\quad \frac{25}{2}\\4\quad 18\end{bmatrix}}\)
[∵ ajj = 1 /2 2 11 = 1 /2 (1 + 2.1)2 = 1 /2 (3)2 = 9 /2 ;12 = 1 /2 (1 + 2.2)2 = 1 /2 (5)2 = 25 /2 ;21 = 1 /2 (2 + 2.1)2 = 1 /2 (4)2 = 8 ;22 = 1 /2 (2 + 2.2)2 = 1 /2 (6)2 = 18 ;]
Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স 11. যদি A = [ajj ] একটি 3×2 ক্রমের ম্যাটিক্স হয়, যেখানে aij = 3i – 2j তবে A হবে –
\(\mathbf{(a)\begin{bmatrix}1\quad 1\\4\quad 2\\7\quad 5\end{bmatrix}\quad (b)\begin{bmatrix}1\quad -1\\4\quad\quad 2\\7\quad\quad 5\end{bmatrix}\quad (c)\begin{bmatrix}-1\quad -1\\\quad4\quad\quad 2\\\quad7\quad\quad 5\end{bmatrix}\quad (d)\begin{bmatrix}1\quad -1\\4\quad -2\\7\quad\quad 5\end{bmatrix}\\\mathbf{Ans:}\quad (b)\quad \begin{bmatrix}1\quad -1\\4\quad\quad 2\\7\quad\quad 5\end{bmatrix}}\)
[∵ aij = 3i – 2j 11 = 3.1 – 2.1 = 1;12 = 3.1 – 2.2 = -1;21 = 3.2 – 2.1 = 4;22 = 3.2 – 2.2 = 2;31 = 3.3 – 2.1 = 7;32 = 3.3 – 2.2 = 5;]
12. যদি A = [ajj ] একটি 2×3 ক্রমের ম্যাট্রিক্স হয়, যেখানে ajj = 1 /2 |3i – 4j| তবে A হবে –
\(\mathbf{(a)\begin{bmatrix}\frac{1}{2}\quad \frac{5}{2}\quad \frac{9}{2}\\1\quad 1\quad 3\end{bmatrix}\quad (b)\begin{bmatrix}1\quad 5\quad 9\\\frac{1}{2}\quad \frac{1}{2}\quad \frac{3}{2}\end{bmatrix}\quad (c)\begin{bmatrix}\frac{1}{2}\quad \frac{5}{2}\quad 9\\1\quad 1\quad 3\end{bmatrix}\quad (d)\begin{bmatrix}\frac{1}{2}\quad \frac{5}{2}\quad \frac{9}{2}\\\frac{1}{2}\quad \frac{1}{2}\quad \frac{3}{2}\end{bmatrix}\\\mathbf{Ans:}\quad (d)\quad \begin{bmatrix}\frac{1}{2}\quad \frac{5}{2}\quad \frac{9}{2}\\1\quad 1\quad 3\end{bmatrix}}\)
[∵ ajj = 1 /2 |3i – 4j| 11 = 1 /2 |3.1 – 4.1| = 1 /2 |-1| = 1 /2 12 = 1 /2 |3.1 – 4.2| = 1 /2 |-5| = 5 /2 13 = 1 /2 |3.1 – 4.3| = 1 /2 |-9| = 9 /2 21 = 1 /2 |3.2 – 4.1| = 1 /2 |2| = 122 = 1 /2 |3.2 – 4.2| = 1 /2 |-2| = 123 = 1 /2 |3.2 – 4.3| = 1 /2 |-6| = 3]
13. যদি A এবং B nxn ক্রমের দুটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স হয়, তবে নীচের কোন্ উক্তিটি সঠিক নয়? (b) A + B একটি বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স (c) A + B একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স (d) A + B একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স
Ans: (b) A + B একটি বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স
14. যদি
\(\mathbf{A=\begin{bmatrix}0\quad 7\\0\quad 0\end{bmatrix}}\)
এবং f(x) = I + x + x2 +…..+ x20 হয়, তবে
\(\mathbf{f(a) =\\(a)\quad 0\quad\quad (b)\quad\begin{bmatrix}1\quad 7\\0\quad 0\end{bmatrix}\\(c)\quad\begin{bmatrix}0\quad 7\\0\quad 1\end{bmatrix}(d)\quad\begin{bmatrix}0\quad 7\\1\quad 1\end{bmatrix}}\\\)\(\mathbf{Ans:}\quad (c)\quad \begin{bmatrix}1\quad 7\\0\quad 1\end{bmatrix}\)
[\(A^2=A.A\\=\begin{bmatrix}0\quad 7\\0\quad 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\quad 7\\0\quad 0\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0\quad 0\\0\quad 0\end{bmatrix}\\=0\)
∵ f(x) = I + x + x2 +…..+ x20 2 + A3 +…..+ A20 2 +….. + 0.A18
\(\quad=\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\quad 7\\0\quad 0\end{bmatrix}\\\quad=\begin{bmatrix}1\quad 7\\0\quad 1\end{bmatrix}\)]
Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স 15. যদি A একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স হয়, তাহলে A2 হবে- Ans: (d) এদের কোনোটিই নয়
\(A=\begin{bmatrix}\quad 2\quad -1\\-1\quad\quad 2\end{bmatrix}\)একটি 2×2 ক্রমের বর্গ ম্যাট্রিক্স \(\\A^2 =A.A\\=\begin{bmatrix}\quad 2\quad -1\\-1\quad\quad 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\quad 2\quad -1\\-1\quad\quad 2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 4+1\quad -2-2\\-2-2\quad\quad 1+4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 5\quad -4\\-4\quad\quad 5\end{bmatrix}\)]
16. যদি
\(\mathbf{\begin{bmatrix}2x-y\quad 5\\\quad 3\quad y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6\quad\quad 5\\3\quad -2\end{bmatrix}}\)
হয়, তবে x-এর মান হবে – Ans: (c) 2
17. যদি
\(\mathbf{\begin{bmatrix}1\quad 4\\ 2\quad 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x\quad y^2\\z\quad 0\end{bmatrix}}\)
(y<0) হয়, তবে x – y + z এর মান হবে- Ans: (a) 52 = 4
18. যদি
\(A-2B=\begin{bmatrix}1\quad 5\\3\quad 7\end{bmatrix}\quad এবং \quad 2A-3B=\begin{bmatrix}-2\quad 5\\\quad 0\quad 7\end{bmatrix}\)
হয়, তবে B ম্যাট্রিক্স হবে-
\((a)\quad \begin{bmatrix}-4\quad -5\\-6\quad -7\end{bmatrix}\quad(b)\quad \begin{bmatrix}\quad 0\quad 6\\-3\quad 7\end{bmatrix}\\(c)\quad \begin{bmatrix}2\quad –1\\3\quad\quad 2\end{bmatrix}\quad(d)\quad \begin{bmatrix}6\quad -1\\0\quad\quad 1\end{bmatrix}\\\mathbf{Ans.}\quad(a)\quad \begin{bmatrix}-4\quad -5\\-6\quad -7\end{bmatrix}\)
[\((2A-3B)-2(A-2B)=\begin{bmatrix}-2\quad 5\\\quad 0\quad 7\end{bmatrix}-2\begin{bmatrix}1\quad 5\\3\quad 7\end{bmatrix}\\⇒B=\begin{bmatrix}-2\quad 5\\\quad 0\quad 7\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}2\quad 10\\6\quad 14\end{bmatrix}\\⇒B=\begin{bmatrix}-4\quad -5\\-6\quad -7\end{bmatrix}\)]
Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স 19. যদি
\(\mathbf{A=\begin{bmatrix} \quad 4 \quad 2\\-1\quad 1\end{bmatrix}}\)
হয়, তবে (A – 2I)(A – 3I) -এর মান হবে [যেখানে । দ্বিতীয় ক্রমের একক ম্যাট্রিক্স] – (a) A (b) I (c) 0 (d) 5I Ans: (c) 0
[\(A=\begin{bmatrix}\quad 4 \quad 2\\-1\quad 1\end{bmatrix},\quad I=\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\\∴A-2I\\=\begin{bmatrix}\quad 4\quad 2\\-1\quad 1\end{bmatrix}-2\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 4\quad 2\\-1\quad 1\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}2\quad 0\\0\quad 2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 2\quad\quad 2\\-1\quad -1\end{bmatrix}\\A-3I\\=\begin{bmatrix}\quad 4\quad 2\\-1\quad 1\end{bmatrix}-3\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 4\quad 2\\-1\quad 1\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}3\quad 0\\0\quad 3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 1\quad\quad 2\\-1\quad -2\end{bmatrix} \)
∴ (A – 2I)(A – 3I)
\(\begin{bmatrix}\quad 2\quad\quad 2\\-1\quad -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\quad 1\quad\quad 2\\-1\quad -2\end{bmatrix}\\=
\begin{bmatrix}2-2\quad 4-4\\-1+1\quad -2+2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0\quad 0\\0\quad 0\end{bmatrix}
\)]
20. যদি
\(\mathbf{A=\begin{bmatrix}x\quad\quad y\\z\quad -x\end{bmatrix}}\)
ম্যাট্রিক্স এরূপ যে A2 = I হয়, তবে2 + yz = 0 (b) 1 – x2 + yz = 0 (c) 1 – x2 – yz = 0 (d) 1 + x2 – yz = 0 Ans: (c) 1 – x2 – yz = 0
[\(\quad A^2=I\\⇒A.A=I\\=\begin{bmatrix}x \quad\quad y\\z\quad -x\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \quad\quad y\\z\quad -x\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}x^2+yz \quad xy-xy\\xz-xz\quad yz+x^2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}x^2+yz \quad\quad 0\\\quad 0\quad yz+x^2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\\∴x^2+yz=1\\⇒1-x^2-yz=0\)]
21. যদি ম্যাট্রিক্স A প্রতিসম এবং বিপ্রতিসম উভয়ই হয়, তবে A ম্যাট্রিক্স হবে – Ans: (b) শূন্য ম্যাট্রিক্স
[ধরি\(A=\begin{bmatrix}0 \quad 0\\0\quad 0\end{bmatrix}=0\\∴A^T=\begin{bmatrix}0 \quad 0\\0\quad 0\end{bmatrix}=0=A\\∴A^T=0=-0=-A\)]
22 একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স A এরূপ যে A2 = A, তবে (I + A)3 – 7A-এর মান হবে- Ans: (c) I3 – 7A3 – 7A2 + IA + AI +A2 )(I + A) – 7A2 = A; I2 = A; AI =A]
Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রতিটি প্রশ্নের মান 2\(\mathbf{1.\\A=\begin{bmatrix}\quad 2\quad -3\\\quad0\quad\quad 1\\-1\quad\quad 4\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}-1\quad\quad 5\\\quad 2\quad -3\\\quad 0\quad\quad 1\end{bmatrix}\quad এবং \quad C=\begin{bmatrix}\quad 4\quad -2\\\quad 0\quad -1\\\quad 3\quad\quad 5\end{bmatrix}}\)
(i) A + 2B (ii) 2B – 3C (iii) 4C – A (iv) A + 4B – 3C ম্যাট্রিক্সগুলি নির্ণয় করো।
(i) Solution: A + 2B
\(=\begin{bmatrix}\quad 2\quad -3\\\quad0\quad\quad 1\\-1\quad\quad 4\end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}-1\quad\quad 5\\\quad 2\quad -3\\\quad 0\quad\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 2\quad -3\\\quad0\quad\quad 1\\-1\quad\quad 4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-2\quad\quad 10\\\quad 4\quad -6\\\quad 0\quad\quad 2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 0\quad\quad 7\\\quad 4\quad -5\\-1\quad\quad 6\end{bmatrix}\quad \mathbf{(Ans)}\)
(ii) 2B – 3C
\(2\begin{bmatrix}-1\quad\quad 5\\\quad 2\quad -3\\\quad 0\quad\quad 1\end{bmatrix}-3\begin{bmatrix}\quad 4\quad -2\\\quad 0\quad -1\\\quad 3\quad\quad 5\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-2\quad\quad 10\\\quad 4\quad -6\\\quad 0\quad\quad 2\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\quad 12\quad -6\\\quad 0\quad -3\\\quad 9\quad\quad 15\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-14\quad\quad 16\\\quad 4\quad -3\\\quad -9\quad -13\end{bmatrix}\quad \mathbf{(Ans)}\)
(iii) 4C – A
\(=4\begin{bmatrix}\quad 4\quad -2\\\quad 0\quad -1\\\quad 3\quad\quad 5\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\quad 2\quad -3\\\quad0\quad\quad 1\\-1\quad\quad 4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 16\quad -8\\\quad 0\quad -4\\\quad 12\quad\quad 20\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\quad 2\quad -3\\\quad0\quad\quad 1\\-1\quad\quad 4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 14\quad -5\\\quad 0\quad -5\\\quad 13\quad\quad 16\end{bmatrix}\quad \mathbf{(Ans)}\)
(iv) Solution: A + 4B – 3C
\(\\=\begin{bmatrix}\quad 2\quad -3\\\quad0\quad\quad 1\\-1\quad\quad 4\end{bmatrix}+4\begin{bmatrix}-1\quad\quad 5\\\quad 2\quad -3\\\quad 0\quad\quad 1\end{bmatrix} -3\begin{bmatrix}\quad 4\quad -2\\\quad 0\quad -1\\\quad 3\quad\quad 5\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 2\quad -3\\\quad0\quad\quad 1\\-1\quad\quad 4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-4\quad\quad 20\\\quad 8\quad -12\\\quad 0\quad\quad 4\end{bmatrix} -\begin{bmatrix}\quad 12\quad -6\\\quad 0\quad -3\\\quad 9\quad\quad 15\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-2\quad 17\\\quad 8\quad -11\\-1\quad\quad 8\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\quad 12\quad -6\\\quad 0\quad -3\\\quad 9\quad\quad 15\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-14\quad 23\\ 8\quad\quad14\\-10\quad -7\end{bmatrix}\quad \mathbf{(Ans)}\)
2. (i) যদি
\(\mathbf{A=\begin{bmatrix}2\quad 4\\5\quad 6\end{bmatrix}\quad এবং \quad B=\begin{bmatrix}3\quad 6\\5\quad 9\end{bmatrix}}\)
হয়, তবে 2×2 ক্রমের বর্গ ম্যাট্রিক্স X নির্ণয় করো যখন 3A + 4B = 2X Solution:
∵\(3A+4B=2X\\∴3\begin{bmatrix}2\quad 4\\5\quad 6\end{bmatrix}+4\begin{bmatrix}3\quad 6\\5\quad 9\end{bmatrix}=2X\\⇒\begin{bmatrix}6\quad 12\\15\quad 18\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}12\quad 24\\20\quad 36\end{bmatrix}=2X\\⇒\begin{bmatrix}18\quad 36\\35\quad 54\end{bmatrix} =2X\\⇒2X=\begin{bmatrix}18\quad 36\\35\quad 54\end{bmatrix} \\⇒X=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}18\quad 36\\35\quad 54\end{bmatrix}\\⇒X=\begin{bmatrix}9\quad 18\\\frac{35}{2}\quad 27\end{bmatrix}\quad \mathbf{(Ans)}\)
(ii) যদি
\(\mathbf{A=\begin{bmatrix}-1\quad 2\\\quad 3\quad 4\end{bmatrix}\quad ও \quad B=\begin{bmatrix}3\quad -2\\1\quad\quad 5\end{bmatrix}}\)
এবং হয়, তবে X ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করো ।Solution:
\(∵2A+B+X=0\\⇒2\begin{bmatrix}-1\quad 2\\\quad3\quad 4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}3\quad -2\\1\quad \quad 5\end{bmatrix}+X=0\\⇒\begin{bmatrix}-2\quad 4\\\quad 6\quad 8\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}3\quad -2\\1\quad \quad 5\end{bmatrix}+X=0\\⇒\begin{bmatrix}1\quad\quad 2\\7\quad\quad 13\end{bmatrix}+X=0\\⇒X=-\begin{bmatrix}1\quad 2\\\quad 7\quad 13\end{bmatrix}\\⇒X=\begin{bmatrix}-1\quad -2\\\quad -7\quad -13\end{bmatrix}\)
3. A ও B ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করো যখন :
\(\mathbf{(i)\\A+B=\begin{bmatrix}1\quad 5\quad 10\\5\quad 9\quad\quad8\end{bmatrix}\quad এবং\quad A-B=\begin{bmatrix}-1\quad -1\quad -4\\\quad 1\quad\quad 1\quad\quad 6\end{bmatrix}}\\\)
\(\mathbf{Solution:}\\ A+B=\begin{bmatrix}1\quad 5\quad 10\\5\quad 9\quad\quad8\end{bmatrix} – – – (i)\\
A-B=\begin{bmatrix}-1\quad -1\quad -4\\\quad 1\quad\quad 1\quad\quad 6\end{bmatrix} – – – (ii)\\\)
(i) + (ii) করে পাই
\(∴2A=\begin{bmatrix}0\quad 4\quad 6\\6\quad 10\quad 14\end{bmatrix}\\⇒A=\begin{bmatrix}0\quad 2\quad 3\\3\quad 5\quad 7\end{bmatrix}\\
\)
(i) – (ii) করে পাই
\(∴2B=\begin{bmatrix}2\quad 6\quad 14\\4\quad 8\quad 2\end{bmatrix}\\⇒A=\begin{bmatrix}1\quad 3\quad 7\\2\quad 4\quad 1\end{bmatrix}\\
\)
\(\mathbf{(ii)\\A-2B=\begin{bmatrix}-7\quad\quad 7\\\quad4\quad -8\end{bmatrix}\quad এবং\quad A-3B=\begin{bmatrix}-11\quad\quad 9\\4\quad -13\end{bmatrix}}\)
(i) – (ii) করে পাই,
\(\quad (A-2B)-(A-3B)=\begin{bmatrix}-7\quad\quad 7\\\quad4\quad -8\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}-11\quad\quad 9\\4\quad -13\end{bmatrix}\\⇒B=\begin{bmatrix}4\quad -2\\0\quad\quad 5\end{bmatrix}\)
আবার (i) থেকে পাই,
\(\quad A-2\begin{bmatrix}4\quad -2\\0\quad\quad 5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-7\quad\quad 7\\\quad4\quad -8\end{bmatrix}\\⇒A=\begin{bmatrix}-7\quad\quad 7\\\quad4\quad -8\end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}4\quad -2\\0\quad\quad 5\end{bmatrix}\\⇒A=\begin{bmatrix}-7\quad\quad 7\\\quad4\quad -8\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}8\quad -4\\0\quad\quad 10\end{bmatrix}\\⇒A=\begin{bmatrix}1\quad 3\\ 4\quad 2\end{bmatrix}\)
\(\mathbf{(iii)\\2A+B=\begin{bmatrix}\quad1\quad\quad 2\quad\quad 3\\-1\quad -2\quad -3\\\quad 4\quad\quad 2\quad\quad 3\end{bmatrix}\quad এবং\quad A+2B=\begin{bmatrix}0\quad 2\quad 3\\4\quad 1\quad 7\\1\quad 1\quad 5\end{bmatrix}}\)
2×(i) – (ii) করে পাই,
\(\mathbf{Solution:}\\∴2(2A+B)-(A+2B)=2\begin{bmatrix}\quad1\quad\quad 2\quad\quad 3\\-1\quad -2\quad -3\\\quad 4\quad\quad 2\quad\quad 3\end{bmatrix}\quad-\begin{bmatrix}0\quad 2\quad 3\\4\quad 1\quad 7\\1\quad 1\quad 5\end{bmatrix}\\⇒4A+2B-A-2B=\begin{bmatrix}\quad2\quad\quad 4\quad\quad 6\\-2\quad -4\quad -6\\\quad 8\quad\quad 4\quad\quad 6\end{bmatrix}\quad-\begin{bmatrix}0\quad 2\quad 3\\4\quad 1\quad 7\\1\quad 1\quad 5\end{bmatrix}\\⇒3A=\begin{bmatrix}\quad2\quad\quad 2\quad\quad 3\\-6\quad -5\quad -13\\\quad 7\quad\quad 3\quad\quad 1\end{bmatrix}\\⇒A=\frac{1}{3}\begin{bmatrix}\quad2\quad\quad 2\quad\quad 3\\-6\quad -5\quad -13\\\quad 7\quad\quad 3\quad\quad 1\end{bmatrix}\)
2×(ii) – (i) করে পাই,
\(\\2(A+2B)-(2A+B)=2\begin{bmatrix}0\quad 2\quad 3\\4\quad 1\quad 7\\1\quad 1\quad 5\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\quad1\quad\quad 2\quad\quad 3\\-1\quad -2\quad -3\\\quad 4\quad\quad 2\quad\quad 3\end{bmatrix}\\⇒2A+4B-2A-B=\begin{bmatrix}0\quad 4\quad 6\\8\quad 2\quad 14\\2\quad 2\quad 10\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\quad1\quad\quad 2\quad\quad 3\\-1\quad -2\quad -3\\\quad 4\quad\quad 2\quad\quad 3\end{bmatrix}\\⇒3B=\begin{bmatrix}\quad1\quad\quad 2\quad\quad 3\\\quad9\quad\quad 4\quad\quad 17\\\quad -2\quad\quad 0\quad\quad 7\end{bmatrix}\\⇒B=\frac{1}{3}\begin{bmatrix}\quad1\quad\quad 2\quad\quad 3\\\quad 9\quad\quad 4\quad\quad 17\\ -2\quad\quad 0\quad\quad 7\end{bmatrix}\)
দশম শ্রেণীর ভৌত বিজ্ঞান এবং জীবন বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন \(\mathbf{4.(i)}\\A=\begin{bmatrix}3\quad 5\\2\quad a\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}4\quad b\\2\quad 9\end{bmatrix} \quadএবং \quad C=\begin{bmatrix}26\quad a\\14\quad 45\end{bmatrix}\)
হলে a ও b-এর মান নির্ণয় করো যখন 2A + 5B = C;
\(\mathbf{Solution:}\\∵ 2A + 5B = C\\∴2\begin{bmatrix}3\quad 5\\2\quad a\end{bmatrix}+5\begin{bmatrix}4\quad b\\2\quad 9\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}26\quad a\\14\quad 45\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}6\quad 10\\4\quad 2a\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}20\quad 5b\\10\quad 45\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}26\quad a\\14\quad 45\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}26\quad 10+5b\\14\quad 2a+45\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}26\quad a\\14\quad 45\end{bmatrix}\)
ম্যাট্রিক্সের সমতার সংজ্ঞানুসারে,Ans: a -এর মান 0
Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স (ii) একটি ম্যাট্রিক্সের 1৪টি পদ থাকলে তার সম্ভাব্য ক্রমগুলি লেখো। কোনো ম্যাট্রিক্সে,র পাঁচটি পদ থাকলে সম্ভাব্য ক্রমগুলি লেখো। Ans: ম্যাট্রিক্সের 1৪টি পদ থাকলে তার সম্ভাব্য ক্রমগুলি 1×18, 18×1, 2×9, 9×2, 3×6 ও 6×3;
Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স (iii) যদি
হয়, তবে x y-এর মান নির্ণয় করো।
\(\mathbf{2\begin{bmatrix}1\quad 3\\0\quad x\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}y\quad 0\\1\quad 2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5\quad 6\\1\quad 8\end{bmatrix}}\)
Solution:
\(\quad 2\begin{bmatrix}1\quad 3\\0\quad x\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}y\quad 0\\1\quad 2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5\quad 6\\1\quad 8\end{bmatrix}\\⇒\)
\(\mathbf{4.(iv)\\\quad \begin{bmatrix}x+y+z\\z+x\\y+z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 9\\5\\7\end{bmatrix}}\)
হয়, তবে x. y ও z-এর মান নির্ণয় করো।Solution: Ans: x -এর মান 2
\(\mathbf{5.(i)\quad A=\begin{bmatrix}\quad 2\quad 0\quad -5\\-3\quad 4\quad\quad 7\end{bmatrix}\quad এবং \quad B=\begin{bmatrix} 3\quad 1\quad -1\\4\quad 5\quad\quad 0\end{bmatrix}}\) হলে প্রমাণ করো যে,
\(\mathbf{(a)\quad (A+B)=A^I+B^I\\(b)\quad (A-B)^I=A^I-B^I}\)
\(\mathbf{5.(i)\\Solution}\\A=\begin{bmatrix}\quad 2\quad 0\quad -5\\-3\quad 4\quad\quad 7\end{bmatrix}\quad ∴A^I=\begin{bmatrix}\quad 2\quad -3\\\quad 0\quad \quad 4\\-5\quad \quad 7 \end{bmatrix}\\B=\begin{bmatrix} 3\quad 1\quad -1\\4\quad 5\quad\quad 0\end{bmatrix}\quad∴B^I=\begin{bmatrix}\quad 3\quad\quad 4\\\quad 1\quad \quad 5\\-1\quad \quad 0 \end{bmatrix}\)
\(\mathbf{(a)}\\A+B\\=\begin{bmatrix}\quad 2\quad 0\quad -5\\-3\quad 4\quad\quad 7\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 3\quad 1\quad -1\\4\quad 5\quad\quad 0\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}5\quad 1\quad -6\\1\quad 9\quad\quad 7\end{bmatrix}\\∴(A+B)^I\\=\begin{bmatrix}\quad 5\quad 1\\\quad 1\quad 9\\-6\quad 7\end{bmatrix}\\∴A^I+B^I\\=\begin{bmatrix}\quad 2\quad -3\\\quad 0\quad\quad 4\\-5\quad\quad 7\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}\quad 3\quad 4\\\quad 1\quad 5\\-1\quad 0\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 5\quad 1\\\quad 1\quad 9\\-6\quad 7\end{bmatrix}\\∴(A+B)^I=A^I+B^I\quad \mathbf{(Proved)}\)
\(\mathbf{(b)}\\A-B\\=\begin{bmatrix}\quad 2\quad 0\quad -5\\-3\quad 4\quad\quad 7\end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 3\quad 1\quad -1\\4\quad 5\quad\quad 0\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-1\quad -1\quad -4\\-7\quad -1\quad\quad 7\end{bmatrix}\\∴(A-B)^I\\=\begin{bmatrix}\quad -1\quad -7\\\quad -1\quad -1\\-4\quad\quad 7\end{bmatrix}\\∴A^I-B^I\\=\begin{bmatrix}\quad 2\quad -3\\\quad 0\quad\quad 4\\-5\quad\quad 7\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\quad 3\quad 4\\\quad 1\quad 5\\-1\quad 0\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-1\quad -7\\\quad -1\quad -1\\-4\quad\quad 7\end{bmatrix}\\∴(A-B)^I=A^I-B^I\quad \mathbf{(Proved)}\)
\(\mathbf{(ii)\quad A=\begin{bmatrix}1\\2\\ 3\end{bmatrix}}\) হলে \(AA^T\) নির্ণয় করো।
\(\mathbf{Solution}\\\quad A=\begin{bmatrix}1\\2\\ 3\end{bmatrix}\\∴A^T=\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\end{bmatrix}\)
A ম্যাট্রিক্সের স্তম্ভ সংখ্যা = B ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা = 1T সংজ্ঞাত।
\(∴ AA^T\\=\begin{bmatrix}1\\ 2\\ 3\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1×1\quad 1×2\quad 1×3\\2×1\quad 2×2\quad 2×3\\3×1\quad 3×2\quad 3×3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\\2\quad 4\quad 6\\3\quad 6\quad 9\end{bmatrix}\)
\(\mathbf{(ii)\quad A=\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\end{bmatrix}}\) হলে \(AA^T\) নির্ণয় করো।
\(\mathbf{Solution}\\A=\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\end{bmatrix}\\∴A^T=\begin{bmatrix}1\\2\\ 3\end{bmatrix}\\\)
A ম্যাট্রিক্সের স্তম্ভ সংখ্যা = B ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা = 3T সংজ্ঞাত।
\(∴ AA^T\\=\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\\ 2\\ 3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1×1+ 2×2+3×3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}14\end{bmatrix}\)
Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স 6. A ম্যাট্রিক্স 2 x m ক্রমের ও B ম্যাট্রিক্স 3 x n ক্রমের; যদি তাদের গুণফল AB সংজ্ঞাত ও px4 ক্রমের ম্যাট্রিক্স হয়, তবে m, n ও p-এর মান নির্ণয় করো। Solution: Ans: m -এর মান = 3;
7. দুটি ম্যাট্রিক্স A ও B -এর ক্ষেত্রে A + B এবং AB উভয়ই সংজ্ঞাত হলে প্রমাণ করো যে, A ও B একই ক্রমের বর্গ ম্যাট্রিক্স হবে। Solution: (Proved)
Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স 8. একটি উদাহরণের সাহায্যে দেখাও যে, ম্যাট্রিক্স গুণন ক্রিয়া সাধারণভাবে বিনিময় নিয়ম (commutative law) সিদ্ধ করে না। Solution: ধরি,
\(\\A=\begin{bmatrix}\quad 4\quad 2\\-1\quad 3\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}3\quad -1\\5\quad\quad 2\end{bmatrix}\)
A-এর স্তম্ভ সংখ্যা = B-এর সারি সংখ্যা = 2
\(∴AB=\begin{bmatrix}\quad 4\quad 2\\-1\quad 3\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}3\quad -1\\5\quad\quad 2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix} 4×3+2×5\quad\quad 4×-1+2×2\\-1×3+3×5\quad -1×-1+3×2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}22\quad 0\\12\quad 7\end{bmatrix}\)
আবার B-এর স্তম্ভ সংখ্যা = A-এর সারি সংখ্যা = 2
\(∴BA=\begin{bmatrix}3\quad -1\\5\quad\quad 2\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}\quad 4\quad 2\\-1\quad 3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 3×4+-1×-1\quad\quad 3×2+-1×3\\\quad 5×4+2×-1\quad\quad 5×2+2×3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 13\quad 3\\18\quad 16\end{bmatrix}\\∴\quad AB≠BA\)
∴ম্যাট্রিক্স গুণন ক্রিয়া সাধারণভাবে বিনিময় নিয়ম সিদ্ধ করে না। (Proved)
\(\mathbf{(i)\quad A=\begin{bmatrix}\quad 2\\\quad 3\\-1\end{bmatrix}\quad এবং \quad B=\begin{bmatrix} 3\quad 5\quad 7\end{bmatrix}}\)
হলে AB নির্ণয় করো। Solution:
\(\quad A=\begin{bmatrix}\quad 2\\\quad 3\\-1\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix} 3\quad 5\quad 7\end{bmatrix}\)
A-এর স্তম্ভ সংখ্যা = B-এর সারি সংখ্যা = 1
\(∴AB=\begin{bmatrix}\quad 2\\\quad 3\\-1\end{bmatrix}×\begin{bmatrix} 3\quad 5\quad 7\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 2×3\quad\quad 2×5\quad\quad 2×7\\\quad 3×3\quad\quad 3×5\quad\quad 3×7\\-1×3\quad -1×5\quad -1×7\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 6\quad\quad 10\quad\quad 14\\\quad 9\quad\quad 15\quad\quad 21\\-3\quad -5\quad -7\end{bmatrix}\)
\(\mathbf{(ii)\quad A=\begin{bmatrix} 1\quad 2\quad 3\quad 4\end{bmatrix}\quad এবং \quad B=\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix}}\)
হলে AB ও BA নির্ণয় করো। Solution:
\(A=\begin{bmatrix} 1\quad 2\quad 3\quad 4\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix}\)
A-এর স্তম্ভ সংখ্যা = B-এর সারি সংখ্যা = 4
\(AB=\begin{bmatrix} 1\quad 2\quad 3\quad 4\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix} 1×1+2×2+3× 3+4×4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix} 1+4+9+16\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}30\end{bmatrix}\)
B-এর স্তম্ভ সংখ্যা = Aএর সারি সংখ্যা = 1
\(∴BA=\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix}×\begin{bmatrix} 1\quad 2\quad 3\quad 4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1×1\quad 1×2\quad 1×3\quad 1×4\\2×1\quad 2×2\quad 2×3\quad 2×4\\3×1\quad 3×2\quad 3×3\quad 3×4\\4×1\quad 4×2\quad 4×3\quad 4×4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\quad 4\\2\quad 4\quad 6\quad 8\\3\quad 6\quad 9\quad 12\\4\quad 8\quad 12\quad 16\end{bmatrix}\)
Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স (iii). মান নির্ণয় করো:
\(\begin{bmatrix} x\\y\\z\end{bmatrix}×\begin{bmatrix} a\quad h\quad g\\h\quad b\quad f\\g\quad f\quad c\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}x\\y\\z \end{bmatrix}\)
\(\mathbf{Solution:}\\\quad\begin{bmatrix} x\\y\\z\end{bmatrix}×\begin{bmatrix} a\quad h\quad g\\h\quad b\quad f\\g\quad f\quad c\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}x\\y\\z \end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix} x\\y\\z\end{bmatrix}×\begin{bmatrix} ax+hy+gz\\hx+by+fz\\gx+ fy+cz\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix} x(ax+hy+gz)+y(hx+by+fz)+z(gx+ fy+cz)\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix} ax^2+hxy+gzx+hxy+by^2+fyz+gzx+ fyz+cz^2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix} ax^2+by^2+cz^2+2hxy+2fyz+2gzx\end{bmatrix}\)
\(\mathbf{10.\\A=\begin{bmatrix}\quad 1\quad\quad 2\quad 3\\\quad 2\quad -1\quad 5\\ -3\quad\quad 2\quad 4 \end{bmatrix},\quad X=\begin{bmatrix}x \\y\\z \end{bmatrix},\quad এবং\quad B=\begin{bmatrix}14 \\15\\13 \end{bmatrix}}\)
হলে AX = B ম্যাট্রিক্স সমীকরণ দিয়ে প্রকাশিত x, y, z-এর একঘাত সমীকরণ তিনটি লেখো।
\(\mathbf{Solution:}\\∵AX=B\\⇒\begin{bmatrix}\quad 1\quad\quad 2\quad 3\\\quad 2\quad -1\quad 5\\ -3\quad\quad 2\quad 4 \end{bmatrix}×\begin{bmatrix}x \\y\\z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}14 \\15\\13 \end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}x+2y+3z\\2x-y+5z\\-3x+2y+4z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}14 \\15\\13 \end{bmatrix}\)
Ans: x, y ও z -এর একঘাত সমীকরণ তিনটি হল –
11. নীচের সমীকরণগুলি ম্যাট্রিক্স সমীকরণের আকারে প্রকাশ করো:1 x + b1 y + c1 = 02 x + b2 y + c2 = 0 (ii) a1 x + b1 y + c1 z = k1 2 x + b2 y + c2 z = k2 3 x + b3 y + c3 z = k3
(i) Solution: 1 x + b1 y + c1 = 0 – – – – – (i)2 x + b2 y + c2 = 0 – – – – (ii)
\(A= \begin{bmatrix}a_1\quad b_1\\a_2\quad b_2\end{bmatrix},\quad X=\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix},\quad C=\begin{bmatrix}c_1\\c_2\end{bmatrix},\quad 0=\begin{bmatrix}0 \\0 \end{bmatrix}\\\)
\(∴AX=\begin{bmatrix}a_1\quad b_1\\a_2\quad b_2\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\\\quad =\begin{bmatrix}a_1x+b_1y\\a_2x+b_2y\end{bmatrix}\\∴AX+C\\=\begin{bmatrix}a_1x+b_1y\\a_2x+b_2y\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}c_1\\c_2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}a_1x+b_1y+c_1\\a_2x+b_2y+c_2\end{bmatrix}\\\)নির্ণেয় ম্যাট্রিক্স আকার -\(\begin{bmatrix}a_1x+b_1y+c_1\\a_2x+b_2y+c_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 \\0 \end{bmatrix}\\⇒AX+C=0 \)
(ii) Solution: 1 x + b1 y + c1 z = k1 – – – – – (i)2 x + b2 y + c2 z = k2 – – – – (ii)3 x + b3 y + c3 z = k3 – – – – (iii)
\(A= \begin{bmatrix}a_1\quad b_1\quad c_1\\a_2\quad b_2\quad c_2\\a_3\quad b_3\quad c_3\end{bmatrix},\quad X=\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix},\quad K=\begin{bmatrix}k_1\\k_2\\k_3\end{bmatrix} \\\)
\(∴AX= \begin{bmatrix}a_1\quad b_1\quad c_1\\a_2\quad b_2\quad c_2\\a_3\quad b_3\quad c_3\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}a_1x+b_1y+c_1z\\a_2x+b_2y+c_2z\\a_3x+b_3y+c_3z\end{bmatrix}\\\)নির্ণেয় ম্যাট্রিক্স আকার -\(∴AX=K\\⇒\begin{bmatrix}a_1x+b_1y+c_1z\\a_2x+b_2y+c_2z\\ a_3x+b_3y+c_3z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}k_1\\k_2\\k_3\end{bmatrix}\)
\(\mathbf{12.\\A=\begin{bmatrix}2\quad 3\\4\quad 5\end{bmatrix}}\)
হলে দেখাও যে, A – AT একটি বিপ্রতিসম (skew-symmetric) ম্যাট্রিক্স Solution:
\(A=\begin{bmatrix}2\quad 3\\4\quad 5\end{bmatrix}\\\therefore A^T=\begin{bmatrix}2\quad 4\\3\quad 5\end{bmatrix}\\\therefore A-A^T\\=\begin{bmatrix}2\quad 3\\4\quad 5\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}2\quad 4\\3\quad 5\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0\quad -1\\1\quad\quad 0\end{bmatrix}
\\\therefore (A-A^T)^T\\=\begin{bmatrix}\quad 0\quad 1\\-1\quad 0\end{bmatrix}\\=-\begin{bmatrix}0\quad -1\\1\quad\quad 0\end{bmatrix}\\=-(A-A^T)\) A – \(A^{T}\) একটি বিপ্রতিসম (skew-symmetric) ম্যাট্রিক্স\(\quad\mathbf{(Proved)}\)
