Author: TEAM PROSTUTI

লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু কষে দেখি 16 দশম শ্রেণি Right Circular Cone

লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু কষে দেখি 16 দশম শ্রেণি Right Circular Cone

লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু কষে দেখি 16 দশম শ্রেণি Right Circular Cone

⛔ লম্ব-বৃত্তাকার শঙ্কু ঃ কোনো সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণের ধারক যেকোনো একটি বাহুকে স্থির রেখে বা অক্ষ ধরে ত্রিভুজটিকে একবার পূর্ণ আবর্তন করালে যে ঘনবস্তু উৎপন্ন হয় , তাকে লম্ব-বৃত্তাকার শঙ্কু বলে ।
👉 যেমন ঃ- রাজমিস্ত্রিরির ওলন, মোচার অগ্রভাগ, ফানেল, টোপর ইত্যাদি
👉 A কে শঙ্কুটির শীর্ষ বলা হয় ।
👉 C বিন্দু দ্বারা গঠিত বৃত্তাকার ক্ষেত্রটিকে শঙ্কুর ভূমি বলে ।
👉 BC বৃত্তের ব্যাসার্ধ ।
👉 ভূমির উপর লম্ব AC-কে শঙ্কুর উচ্চতা বলা হয়।
👉 AB-কে শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা বলা হয় ।
👉 শঙ্কুর দুটি তল –
একটি বৃত্তাকার সমতল,
একটি বক্রতল – যাকে শঙ্কুর পার্শ্বতল বলে ।

⛔ শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধ r, উচ্চতা h এবং তির্যক উচ্চতা l হলে,
✴️ পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল
= π × ভূমির ব্যাসার্ধ × তির্যক উচ্চতা
= πrl বর্গএকক
= ¹/₂ × (2πr) × l বর্গএকক
= ¹/₂ × ভূমির পরিধি × তির্যক উচ্চতা
✴️ সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= ভূমির ক্ষেত্রফল + পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল
= πr² + πrl বর্গএকক
= πr(r + l) বর্গএকক
✴️ আয়তন বা ঘনফল
= ⅓ × ভূমির ক্ষেত্রফল × উচ্চতা
= ¹/₃πr²h ঘনএকক
⛔ শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধ r, উচ্চতা h এবং তির্যক উচ্চতা l হলে এদের মধ্যে সম্পর্ক –
h² + r² = l²

লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু কষে দেখি 16 দশম শ্রেণি Right Circular Cone

1. আমি একটি মুখবন্ধ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু তৈরি করেছি যার ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 15 সেমি এবং তির্যক উচ্চতা 24 সেমি। ওই শঙ্কুর পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল ও সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।

Solution:
শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধ 15 সেমি এবং তির্যক উচ্চতা 24 সেমি।
∴ শঙ্কুর পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল
= πrl
= ²²/₇×15×24 বর্গ সেমি
= ⁷⁹²⁰/₇ বর্গ সেমি
= 1131³/₇ বর্গ সেমি

শঙ্কুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= πr(r + l)
= ²²/₇×15(15 + 24) বর্গ সেমি
= ²²/₇×15×39 বর্গ সেমি
= ¹²⁸⁷⁰/₇ বর্গ সেমি
= 1838⁴/₇ বর্গ সেমি
Ans: শঙ্কুর পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল 1131³/₇ বর্গ সেমি
শঙ্কুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 1838⁴/₇ বর্গ সেমি

2. শঙ্কুর আয়তন নির্ণয় করি যখন,(i) ভূমির ক্ষেত্রফল 1.54 বর্গ মিটার এবং উচ্চতা 2.4 মিটার,(ii) ভূমির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 21 মিটার এবং তির্যক উচ্চতা 17.5 মিটার।

(i)
Solution:
ধরি,, শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধ r মিটার।
∴ πr² = 1.54 এবং উচ্চতা h =2.4 মিটার
∴ শঙ্কুর আয়তন
= ¹/₃πr²h
= ¹/₃×πr²×h
= ¹/₃×1.54×2.4 ঘন মিটার
= 1.54×0.8 ঘন মিটার
= 1.232 ঘন মিটার
Ans: শঙ্কুর আয়তন 1.232 ঘন মিটার।

(ii)
Solution:
শঙ্কুর ভূমির ব্যাসের = 21 মিটার
∴ ভূমির ব্যাসার্ধ r = ²¹/₂ = 10.5 মিটার।
তির্যক উচ্চতা l = 17.5 মিটার
শঙ্কুটির উচ্চতা h হলে,
h² + r² = l²
⇒ h² = l² – r²
⇒ h² = (17.5)² – (10.5)²
⇒ h² =(17.5 + 10.5)(17.5 – 10.5)
⇒ h² = 28×7
⇒ h² = 4×7×7
∴h = 14
∴ শঙ্কুর আয়তন
= ¹/₃πr²h
= ¹/₃×²²/₇×²¹/₂×²¹/₂ ×14 ঘন মিটার
= 11×21 ×7 ঘন মিটার
= 1617 ঘন মিটার
Ans: শঙ্কুর আয়তন 1617 ঘন মিটার।

3. আমিনা একটি সমকোনী ত্রিভুজ অঙ্কন করেছে যার সমকোণ সংলগ্ন বাহু দুটির দৈর্ঘ্য 15 সেমি ও 20 সেমি। 15 সেমি দীর্ঘ বাহুটিকে অক্ষ ধরে ত্রিভুজটিকে একবার পূর্ণ আবর্তন করলে যে ঘনবস্তু তৈরি হয়, তার পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল, সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল এবং আয়তন নির্ণয় করি।

Solution:
সমকোনী ত্রিভুজের 15 সেমি দীর্ঘ বাহুটিকে অক্ষ ধরে ত্রিভুজটিকে একবার পূর্ণ আবর্তন করলে লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু তৈরি হয় যার ভূমির ব্যাসার্ধ 20 সেমি এবং উচ্চতা 15 সেমি।
ধরি, শঙ্কুটির তির্যক উচ্চতা l
l² = h² + r²
⇒ l² = (15)² + (20)²
⇒ l² = 225 + 400
⇒ l² = 625
∴ l =25
∴ শঙ্কুটির পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল
= πrl
= ²²/₇×20×25 বর্গ সেমি
= ¹¹⁰⁰⁰/₇ বর্গ সেমি
= 1571³/₇ বর্গ সেমি
∴ শঙ্কুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= πr(r + l)
= ²²/₇×20(20 + 25) বর্গ সেমি
= ²²/₇×20×45 বর্গ সেমি
= ¹⁹⁸⁰⁰/₇ বর্গ সেমি
= 2828⁴/₇ বর্গ সেমি
∴ শঙ্কুটির আয়তন
= ¹/₃πr²h
= ¹/₃×²²/₇×20×20×15 ঘন সেমি
= ²²/₇×20×20×5 ঘন সেমি
= ⁴⁴⁰⁰⁰/₇ ঘন সেমি
= 6285⁵/₇ ঘন সেমি
Ans: শঙ্কুটির পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল 1571³/₇ বর্গ সেমি
শঙ্কুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 2828⁴/₇ বর্গ সেমি
শঙ্কুটির আয়তন 6285⁵/₇ ঘন সেমি

লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু কষে দেখি 16 দশম শ্রেণি Right Circular Cone

4. কোনো শঙ্কুর উচ্চতা ও তির্যক উচ্চতা 6 সেমি ও 10 সেমি হলে, শঙ্কুটির সমগ্রতলের ক্ষেতফল ও আয়তন নির্ণয় করি।
Solution:
প্রদত্ত শঙ্কুর উচ্চতা ও তির্যক উচ্চতা 6 সেমি ও 10 সেমি। শঙ্কুটির ব্যাসার্ধ r সেমি হলে,
h² + r² = l²
⇒ r² = l² – h²
⇒ r² = 10² – 6²
⇒ r² = 100−36
⇒ r² = 64
∴ r = 8
∴ শঙ্কুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= πr(r + l)
= ²²/₇×8(8 + 10) বর্গ সেমি
= ²²/₇×8×18 বর্গ সেমি
= ³¹⁶⁸/₇ বর্গ সেমি
= 452⁴/₇ বর্গ সেমি
∴ শঙ্কুটির আয়তন
= ¹/₃πr²h
= ¹/₃×²²/₇×8×8×6 ঘন সেমি
= ¹/₃×²²/₇×8×8×6 ঘন সেমি
= ²²/₇×8×8×2 ঘন সেমি
= ²⁸¹⁶/₇ ঘন সেমি
= 402²/₇ ঘন সেমি
Ans: শঙ্কুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 452⁴/₇ বর্গ সেমি
শঙ্কুটির আয়তন 402²/₇ ঘন সেমি

অধ্যায়	বিষয়	কষে দেখি
1	একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic Equations with one variable)	কষে দেখি – 1.1 কষে দেখি – 1.2 কষে দেখি – 1.3 কষে দেখি – 1.4 কষে দেখি – 1.5
2	সরল সুদকষা (Simple Interest)	কষে দেখি – 2
3	বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য (Theorems related to circle)	কষে দেখি – 3.1 কষে দেখি – 3.2
4	আয়তঘন (Rectangular Parallelopiped or Cuboid)	কষে দেখি – 4
5	অনুপাত ও সমানুপাত (Ratio and Proportion)	কষে দেখি – 5.1 কষে দেখি – 5.2 কষে দেখি – 5.3
6	চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সমহার বৃদ্ধি বা হ্রাস (Compound Interest and Uniform Rate of Increase or Decrease)	কষে দেখি – 6.1 কষে দেখি – 5.2
7	বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য (Theorems related to Angles in a Circle)	কষে দেখি – 7.1 কষে দেখি – 7.2 কষে দেখি – 7.3
8	লম্ব বৃত্তাকার চোঙ (Right Circular Cylinder)	কষে দেখি – 8
9	দ্বিঘাত করণী (Quadratic Surd)	কষে দেখি – 9.1 কষে দেখি – 9.2 কষে দেখি – 9.3
10	বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Cyclic Quadrilateral)	কষে দেখি – 10
11	সম্পাদ্য : ত্রিভুজের পরিবৃত্ত ও অন্তবৃত্ত অঙ্কন (Construction : Construction of circumcircle and incircle of a triangle)	কষে দেখি – 11.1
12	গোলক (Sphere)	কষে দেখি – 12
13	ভেদ (Variation)	কষে দেখি – 13
14	অংশীদারি কারবার (Partnership Business)	কষে দেখি – 14
15	বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Tangent to a Circle)	কষে দেখি – 15.1 কষে দেখি – 15.2
16	লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু (Right Circular Cone)	কষে দেখি – 16
17	সম্পাদ্য : বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন (Construction: Construction of Tangent to a circle)	কষে দেখি – 17
18	সদৃশতা (Similarity)	কষে দেখি – 18.1 কষে দেখি – 18.2 কষে দেখি – 18.3 কষে দেখি – 18.4
19	বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা (Real life Problems related to different Solid Objects)	কষে দেখি – 19
20	ত্রিকোণমিতি: কোণ পরিমাপের ধারণা	কষে দেখি – 20
21	সম্পাদ্য : মধ্যসমানুপাতী নির্ণয় (Construction : Determination of Mean Proportional )	কষে দেখি – 21
22	পিথাগোরাসের উপপাদ্য (Pythagoras Theorem)	কষে দেখি – 22
23	ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি (Trigonometric Ratios and Trigonometric Identities)	কষে দেখি – 23.1 কষে দেখি – 23.2 কষে দেখি – 23.3
24	পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত (Trigonometric Ratios of Complementrary angle )	কষে দেখি – 24
25	ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ : উচ্চতা ও দূরত্ব (Application of Trigonometric Ratios: Heights & Distances)	কষে দেখি – 25
26	রাশিবিজ্ঞান : গড়, মধ্যমা, ওজাইভ, সংখ্যাগুরুমান (Statistics : Mean, Median, Ogive, Mode)	কষে দেখি – 26.1 কষে দেখি – 26.2 কষে দেখি – 26.3 কষে দেখি – 26.4

5. কোনো লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন 100π ঘন সেমি এবং উচ্চতা 12 সেমি হলে, শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা হিসাব করে লিখি।

Solution:
লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুটির আয়তন 100π ঘন সেমি এবং উচ্চতা 12 সেমি।
ধরি, শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধ r সেমি।
প্রশ্নানুসারে,
¹/₃πr²h = 100π
⇒ ¹/₃×π×r²×12 = 100
⇒ 4r² = 100
⇒ r² = 25
∴ r = 5
∴ শঙ্কুটির তির্যক উচ্চতা l হলে,
l² = h² + r²
⇒ l² = (12)² + (5)²
⇒ l² =144 + 25
⇒ l² =169
∴ l =13
Ans: শঙ্কুটির তির্যক উচ্চতা 13 সেমি।

6. লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির একটি তাঁবু তৈরি করতে 77 বর্গ মিটার ত্রিপল লেগেছে। তাঁবুটির তির্যক উচ্চতা যদি 7 মিটার হয়, তবে তাঁবুটির ভূমিতলের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।

Solution:
লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির তাঁবুর পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল 77 বর্গ মিটার।
আবার, তাঁবুটির তির্যক উচ্চতা 7 মিটার।
ধরি, তাঁবুটির ভূমির ব্যাসার্ধ r মিটার।
প্রশ্নানুসারে,
πrl = 77
⇒ ²²/₇×r×7 = 77
⇒ 22r = 77
∴ r= 7/2
∴ তাঁবুটির ভূমিতলের ক্ষেত্রফল
= ²²/₇×⁷/₂×⁷/₂ বর্গ মিটার
= 11×⁷/₂ বর্গ মিটার
= ⁷⁷/₂ = 38.5 বর্গ মিটার
Ans: তাঁবুটির ভূমিতলের ক্ষেত্রফল 38.5 বর্গ মিটার।

লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু কষে দেখি 16 দশম শ্রেণি Right Circular Cone

7. একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাস 21 মিটার এবং উচ্চতা 14 মিটার। প্রতি বর্গ মিটার 1.50 টাকা হিসাবে পার্শ্বতল রং করতে কত টাকা খরচ পড়বে হিসাব করি।

Solution:
শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধ = ²¹/₂ মিটার।
∴ শঙ্কুটির তির্যক উচ্চতা l হলে
l² = h² + r²
বা, l² = (14)² + (²¹/₂)²
বা, l² = 196 + ⁴⁴¹/₄
বা, l² = ^784+441/₄
বা, l² = ¹²²⁵/₄
বা, l = ³⁵/₂
∴ শঙ্কুটির পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল
= πrl
= ²²/₇×²¹/₂×³⁵/₂ বর্গ মিটার
= 11×3×³⁵/₂ বর্গ মিটার
= ¹¹⁵⁵/₂ বর্গ মিটার
∴ প্রতি বর্গ মিটার 1.50 টাকা হিসাবে পার্শ্বতল রং করতে খরচ পড়বে = ¹¹⁵⁵/₂×1.50 টাকা = 866.25 টাকা।
Ans: পার্শ্বতল রং করতে 866.25 টাকা খরচ পড়বে।

8. নিরেট শঙ্কু আকৃতির একটি কাঠের খেলনার ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 10 সেমি। খেলনাটির বক্রতলে প্রতি বর্গ সেমি 2.10 টাকা হিসাবে পালিশ করতে 429 টাকা খরচ পড়ে। খেলনাটির উচ্চতা কত হিসাব করি। খেলনাটি তৈরি করতে কত ঘন সেমি কাঠ লেগেছে নির্ণয় করি।

Solution:
কাঠের খেলনার ভূমিতলের ব্যাসার্ধ = ¹⁰/₂ =5 সেমি।
2.10 টাকা খরচ হয় 1 বর্গ সেমিতে
1 টাকা খরচ হয় ¹/_2.10 বর্গ সেমিতে
∴ 429 টাকা খরচ হয় ¹/_2.10× 429 বর্গ সেমিতে
খেলনাটির পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল = ⁴²⁹/_2.10 বর্গ সেমি।
ধরি, খেলনাটির তির্যক উচ্চতা l সেমি।
প্রশ্নানুসারে,
πrl = ⁴²⁹/_2.10
⇒ ²²/₇×5×l = ⁴²⁹/_2.10
⇒ ²²/₇×5×l = ^429×100/₂₁₀
⇒ 22×5×l = ^429×10/₃
⇒ 22×5×l = 143×10
⇒ l = 13
∴ খেলনাটির তির্যক উচ্চতা = 13 সেমি
আবার
h² + r² = l²
বা, h² = l² – r²
বা, h² = 13² – 5²
বা, h² = 169 – 25
বা, h² = 144
∴ h = 12
খেলনাটির আয়তন = ¹/₃πr²h
= ¹/₃×²²/₇×5×5×124 ঘন সেমি
= ²²⁰⁰/₇ ঘন সেমি
= 314²/₇ ঘন সেমি
Ans: খেলনাটি তৈরি করতে 314 2/7 ঘন সেমি কাঠ লেগেছে।

লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু কষে দেখি 16 দশম শ্রেণি Right Circular Cone

9. লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির একটি লোহার পাতের বয়া তৈরি করতে 75³/₇ বর্গ মিটার লোহার পাত লেগেছে। বয়াটির তির্যক উচ্চতা যদি 5 মিটার হয়, তবে বয়াটিতে কত বায়ু আছে এবং বয়াটির উচ্চতা কত হিসাব করে লিখি।ওই বয়াটির চারপাশ রং করতে প্রতি বর্গ মিটার 2.80 টাকা হিসাবে কত খরচ পড়বে নির্ণয় করি। [ লোহার পাতের বেধ হিসাবের মধ্যে ধরতে হবে না ]

Solution:
বয়াটির পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল = 75³/₇ = ⁵²⁸/₇ বর্গ মিটার এবং তির্যক উচ্চতা 5 মিটার।
ধরি, বয়াটির ভূমিতলের ব্যাসার্ধ r মিটার
∴ বয়াটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল π×r(r + l) বর্গ একক
প্রশ্নানুসারে,
πr(r + l) = ⁵²⁸/₇
⇒ ²²/₇×r(r + 5)= ⁵²⁸/₇
⇒ 22×r(r + 5)= 528
⇒ r(r + 5)= 24
⇒ r² + 5r – 24 = 0
⇒ r² + 8r – 3r – 24 = 0
⇒ r(r + 8) – 3(r + 8) = 0
⇒ (r + 8)(r – 3) = 0
হয় (r + 8) = 0 নতুবা (r – 3) = 0
বা, r = -8 বা, r = 3
ব্যাসার্ধ ঋণাত্মক হতে পারে না।
∴ r = 3
∴ বয়াটির ভূমিতলের ব্যাসার্ধ 3 মিটার।
ধরি, বয়াটির উচ্চতা
h² + r² = l²
বা, h² = l² – r²
বা, h² = 5²– 3²
বা, h² = 25 – 9
বা, h² = 16
∴ h = 4
∴ বয়াটির উচ্চতা = 4 মিটার।
বয়াটির আয়তন = ¹/₃πr²h
= ¹/₃×²²/₇×3×3×4 ঘন মিটার
= ²²/₇×3×4 ঘন মিটার
= ²⁶⁴/₇ = 37⁵/₇ ঘন মিটার
বয়াটির চারপাশ রং করতে প্রতি বর্গ মিটার 2.80 টাকা হিসাবে কত খরচ পড়বে = ⁵²⁸/₇×2.80 টাকা = 211.20 টাকা।
Ans: বয়াটিতে 37⁵/₇ ঘন মিটার বায়ু আছে।
বয়াটির উচ্চতা 4 মিটার।
বয়াটির চারপাশ রং করতে খরচ পড়বে 211.20 টাকা।

10. লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির একটি তাঁবুতে 11 জন লোক থাকতে পারে। প্রত্যেক লোকের জন্য ভুমিতে 4 বর্গ মিটার জায়গা লাগে এবং 20 ঘন মিটার বাতাসের প্রয়োজন। ঠিক এই 11 জন লোকের জন্য নির্মিত তাঁবুর উচ্চতা নির্ণয় করি।

Solution:
ধরি, তাঁবুর উচ্চতা h মিটার।
∴ তাঁবুর ভূমিতলের ক্ষেত্রফল = 11 × 4 = 44 বর্গ মিটার।
তাঁবুর ভিতরের আয়তন = 11 × 20 = 220 ঘন মিটার।
প্রশ্নানুসারে,
¹/₃πr²h = 220
⇒ ¹/₃×44×h = 220
⇒ ¹/₃×h = 5
∴h = 15
Ans: তাঁবুর উচ্চতা 15 মিটার।

11. শোলা দিয়ে তৈরি একটি শঙ্কু আকৃতির মাথার টোপরের ভূমির বাইরের দিকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 21 সেমি। টোপরটির উপরিভাগ রাংতা দিয়ে মুড়তে প্রতি বর্গ সেমি 10 পয়সা হিসাবে 57.75 টাকা খরচ পড়ে। টোপরটির উচ্চতা ও তির্যক উচ্চতা হিসাব করে লিখি।

Solution:
ধরি, টোপরটির তির্যক উচ্চতা l সেমি।
টোপরটির ভূমির ব্যাসার্ধ = ²¹/₂ = 10.5 সেমি।
10 পয়সা = 0.01 টাকা
0.01 টাকা খরচ হয় 1 বর্গ সেমিতে
1 টাকা খরচ হয় ¹/_0.01 বর্গ সেমিতে
57.75 টাকা খরচ হয় ¹/_0.01× 57.75 বর্গ সেমিতে
= ⁵⁷⁷⁵/₁₀ বর্গ সেমিতে
∴ টোপরটির পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল = ⁵⁷⁷⁵/₁₀
∴ ²²/₇×²¹/₂×l = ⁵⁷⁷⁵/₁₀
⇒ 11×3×l = ⁵⁷⁷⁵/₁₀
⇒ l = ¹⁷⁵/₁₀ =17.5
∴ টোপরটির তির্যক উচ্চতা 17.5 সেমি।
∴ টোপরটির উচ্চতা h সেমি হলে
h² + r² = l²
বা, h² = l² – r²
বা, h² = (17.5)²– (10.5)²
বা, h² = (17.5+10.5)(17.5−10.5)
বা, h² = 28×7
∴ h = 14
Ans: টোপরটির উচ্চতা 14 সেমি
ও তির্যক উচ্চতা 17.5 সেমি

12. গমের একটি স্তূপ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকারে আছে, যার ভূমির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 9 মিটার এবং উচ্চতা 3.5 মিটার। মোট গমের আয়তন নির্ণয় করি। গমের ওই স্তূপ ঢাকতে কমপক্ষে কত বর্গ মিটার প্লাস্টিকের চাদর প্রয়োজন হবে হিসাব করে দেখি। [ ধরি, π = 3.14, √130=11.4 ]

Solution:
গমের স্তূপের ভূমির ব্যাসার্ধ = ⁹/₂ = 4.5 মিটার।
গমের স্তূপের উচ্চতা = 3.5 মিটার।
∴ গমের স্তূপের আয়তন
= ¹/₃πr²h
= ¹/₃×²²/₇×(⁹/₂)²×³⁵/₁₀ ঘন মিটার
= ¹/₃×²²/₇×⁸¹/₄×³⁵/₁₀ ঘন মিটার
= 11×²⁷/₂×⁵/₁₀ ঘন মিটার
= 74.18 ঘন মিটার (প্রায়)
গমের স্তূপের তির্যক উচ্চতা

$$\large{=\sqrt{(3.5)^2+(4.5)^2}\\=\sqrt{12.25+20.25}\\=\sqrt{32.50}\\=5.7}$$

∴ প্লাস্টিকের চাদর প্রয়োজন
= πrl
= ²²/₇×4.5×5.7 বর্গ মিটার
= 80.54 বর্গ মিটার (প্রায়)
Ans: মোট গমের আয়তন 74.18 ঘন মিটার।
গমের ওই স্তূপ ঢাকতে 80.54 বর্গ মিটার প্লাস্টিকের চাদর প্রয়োজন হবে।

Utube_comptech_home — দশম শ্রেণীর **ভৌত** বিজ্ঞান এবং **জীবন** বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন

লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু কষে দেখি 16 দশম শ্রেণি Right Circular Cone

13. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)

(i) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা 15 সেমি এবং ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 16 সেমি হলে, শঙ্কুটির পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল (a) 60π বর্গ সেমি (b) 68π বর্গ সেমি (c) 120π বর্গ সেমি (d) 130π বর্গ সেমি

Ans: (c) 120π বর্গ সেমি
[শঙ্কুটির ব্যাসার্ধ = ¹⁶/₂ = 8 সেমি।
∴ শঙ্কুটির পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল
= πrl
= π×8×15 বর্গ সেমি
= 120π বর্গ সেমি

(ii) দুটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তনের অনুপাত 1:4 এবং তাদের ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 4:5 হলে, তাদের উচ্চতার অনুপাত(a) 1:5 (b) 5:4 (c) 25:16 (d) 25:64

Ans: (d) 25:64
[ধরি,, দুটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা যথাক্রমে h₁ ও h₂ এবং ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 4r একক এবং 5r একক।প্রশ্নানুসারে,

$$\large{\quad\frac{\frac{1}{3}π(4r)^2h_1}{\frac{1}{3}π(5r)^2h_2}=\frac{1}{4}\\⇒\frac{16r^2×h_1}{25r^2×h_2}=\frac{1}{4}\\⇒\frac{16h_1}{25h_2}=\frac{1}{4}\\⇒\frac{h_1}{h_2}=\frac{25}{64}]}$$

(iii) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য একই রেখে উচ্চতা দ্বিগুন করলে, শঙ্কুটির আয়তন বৃদ্ধি পায় (a) 100% (b) 200% (c) 300% (d) 400%

Ans: (a) 100%
[ধরি, লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ব্যাসার্ধ এবং উচ্চতা r একক ও h একক।
∴ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন = ¹/₃πr²h
ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য একই রেখে উচ্চতা দ্বিগুন করলে আয়তন হবে
= ¹/₃πr²×2h
= ²/₃πr²h
∴ শঙ্কুটির আয়তন বৃদ্ধি হয়
= ²/₃πr²h – ¹/₃πr²h
= ¹/₃πr²h
∴ আয়তনের শতকরা বৃদ্ধি =

$$\large{=\frac{\frac{1}{3}πr^2h}{\frac{1}{3}πr^2h}×100\%\\=100\%]}$$

(iv) একটি শঙ্কুর ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য এবং উচ্চতা প্রত্যেকটি দ্বিগুন হলে, শঙ্কুটির আয়তন হয় পূর্বের শঙ্কুর আয়তনের (a) 3 গুণ (b) 4 গুণ (c) 6 গুণ (d) 8 গুণ

Ans: (d) 8 গুণ
[ধরি, লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য এবং উচ্চতা r একক ও h একক।
∴ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন V₁ = ¹/₃πr²h
শঙ্কুর ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য এবং উচ্চতা প্রত্যেকটি দ্বিগুন হলে, শঙ্কুটির আয়তন হয়
= ¹/₃π(2r)²×2h
= ¹/₃π×4r²×2h
= 8×¹/₃πr²h
= 8×V₁]

(v) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r/2 একক এবং তির্যক উচ্চতা 2l একক হলে, সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল (a) 2πr(l+r) বর্গ একক (b) πr(l + ^r/₄) বর্গ একক (c) πr(l+r) বর্গ একক (d) 2πrl বর্গ একক

Ans: (b) πr(l + ^r/₄) বর্গ একক
[সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= π(^r/₂)² + πrl
= π×^r²/₄ + πrl
= πr(^r/₄ + l)
= πr(l + ^r/₄)]

লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু কষে দেখি 16 দশম শ্রেণি Right Circular Cone

(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখিঃ

(i) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য অর্ধেক এবং উচ্চতা দ্বিগুন করা হলে শঙ্কুটির আয়তন একই থাকে।

Ans: মিথ্যা।
[ধরি, লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ব্যাসার্ধ r এবং উচ্চতা h;
∴ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন
V₁ = ¹/₃πr²h
লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য অর্ধেক এবং উচ্চতা দ্বিগুন করা হলে শঙ্কুটির আয়তন হবে =
V₂ = ¹/₃π(^r/₂)²×2h
= ¹/₃π×^r²/₄×2h
= ¹/₂×¹/₃πr²h
= ¹/₂×V₁
= পূর্বের আয়তনের অর্ধেক হয়।]

(ii) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা, ব্যাসার্ধ এবং তির্যক উচ্চতা সর্বদা একটি সমকোনী ত্রিভুজের বাহুত্রয়।

Ans: সত্য।

(C) শূন্যস্থান পূরণ করিঃ

(i) ABC সমকোনী ত্রিভুজের AC অতিভুজ। AB বাহুকে অক্ষ করে ত্রিভুজটির একবার পূর্ন আবর্তনের জন্য যে লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু উৎপন্ন হয় তার ব্যাসার্ধ _______।

Ans: BC

(ii) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন V ঘন একক এবং ভূমিতলের ক্ষেত্রফল A বর্গ একক হলে, উচ্চতা _______।

Ans: ^3V/_A
[ধরি, লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ব্যাসার্ধ এবং উচ্চতা যথাক্রমে r ও h
∴ V = ¹/₃πr²h
এবং A = πr²
∴ V = ¹/₃πr²h
বা, V = ¹/₃×A×h
বা, A×h = 3V
বা, h = ^3V/_A]

(iii) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙ এবং লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য সমান এবং তাদের উচ্চতা সমান। তাদের আয়তনের অনুপাত _______।

Ans: 3:1
[ πr²h : ¹/₃πr²h
= ¹/₃ : 1
= 3 : 1]

14. . সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

(i) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা 12 সেমি এবং আয়তন 100π ঘন সেমি। শঙ্কুটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।

Solution:
ধরি, লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ব্যাসার্ধ r;
এখানে, শঙ্কুটির উচ্চতা h = 12 সেমি এবং আয়তন 100π ঘন সেমি।
∴ ¹/₃πr²h = 100π
বা, ¹/₃πr²×12 = 100π
বা, 4r² = 100
বা, r²= 25
∴ r= 5
Ans: শঙ্কুটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি

(ii) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল ভূমিতলের ক্ষেত্রফলের √5 গুন। শঙ্কুটির উচ্চতা ও ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত কত তা লিখি।

Solution:
ধরি, শঙ্কুটির উচ্চতা h, তির্যক উচ্চতা l এবং ব্যাসার্ধ r;
প্রশ্নানুসারে,

$$\large{\quadπrl=\sqrt{5}×πr^2\\⇒l=\sqrt{5}×r\\⇒l^2=5r^2\\⇒h^2+r^2=5r^2\\⇒h^2=4r^2\\⇒h=2r\\\therefore \frac{h}{r}=\frac{2}{1}}$$

Ans: শঙ্কুটির উচ্চতা ও ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 2 : 1

(iii) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন V ঘন একক, ভূমিতলের ক্ষেত্রফল A বর্গ একক এবং উচ্চতা H একক হলে, ^AH/_V -এর মান কত তা লিখি।

Solution:
ধরি, লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ব্যাসার্ধ r একক,

$$\large{\therefore V= \frac{1}{3}πr^2H\\\quad A = πr^2\\\therefore\frac{AH}{V}=\frac{πr^2×H}{\frac{1}{3}πr^2H}\\\quad\quad =3}$$

Ans: ^AH/_V -এর মান 3

(iv) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন এবং পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফলের সাংখ্যমান সমান। শঙ্কুটির উচ্চতা এবং ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে h একক এবং r একক হলে, ¹/_ℎ² + ¹/_r² -এর মান কত তা লিখি।

Solution:
ধরি, শঙ্কুটির তির্যক উচ্চতা l একক।
প্রশ্নানুসারে,

$$\large{\quad\frac{1}{3}πr^2h=πrl\\⇒rh=3l\\⇒r^2h^2=9l^2\\⇒r^2h^2=9(h^2+r^2)\\⇒\frac{h^2+r^2}{r^2h^2}=\frac{1}{9}\\⇒\frac{1}{r^2}+\frac{1}{h^2}=\frac{1}{9}\quad\mathbf{(Proved)}}$$

(v) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙ এবং লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 3:4 এবং তাদের উচ্চতার অনুপাত 2:3; চোঙ এবং শঙ্কুর আয়তনের অনুপাত কত তা লিখি।

Solution:
ধরি, লম্ব বৃত্তাকার চোঙ এবং লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 3x একক ও 4x একক এবং উচ্চতা যথাক্রমে 2y একক ও 3y একক,
∴ চোঙ এবং শঙ্কুর আয়তনের অনুপাত

$$\large{=\frac{πr_1^2h_1}{\frac{1}{3}πr_2^2h_2}\\=3×\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2×\frac{h_1}{h_2}\\=3×\left(\frac{3x}{4x}\right)^2×\frac{2y}{3y}\\=3×\frac{9}{16}×\frac{2}{3}\\=\frac{9}{8}\\=9:8}$$Ans: চোঙ এবং শঙ্কুর আয়তনের অনুপাত 9:8

KOSHE DEKHI

December 3, 2023

Straight Line Ex 4A Class XII সরলরেখা S N Dey Solution
Straight Line Ex 4A Class XII সরলরেখা S N Dey Solution
ত্রিমাত্রিক দেশে সরলরেখা প্রশ্নমালা 4A Straight Line in Three Dimensional Space Ex 4A Class XII S N Dey Solution
বহু বিকল্পধর্মী প্রতিটি প্রশ্নের মান 1
Direction Cosines and Direction Ratios Class XII S N Dey দিক্ কোসাইন এবং দিক্ অনুপাত
1. x অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার কার্তেসিয় সমীকরণ হয় –
$$\large{(a)\quad\frac{x-x_1}{0}=\frac{y-y_1}{a}=\frac{z-z_1}{0},a≠0\\(b)\quad\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{0}=\frac{z-z_1}{a},a≠0\\(c)\quad\frac{x-x_1}{0}=\frac{y-y_1}{a}=\frac{z-z_1}{0},a≠0\\(d)\quad\frac{x-x_1}{0}=\frac{y-y_1}{0}=\frac{z-z_1}{a},a≠0}$$
Ans: (b)
[x অক্ষের দিক্ অনুপাত 1, 0, 0
∴ x অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার ক্ষেত্রে a ≠ 0 ]
2. ᾱ অবস্থান ভেক্টরবিশিষ্ট বিন্দুগামী যে সরলরেখা β̄ ভেক্টরের সমান্তরাল, তার ভেক্টর সমীকরণ হয়-
(a) r̄ = ᾱ + β̄ (b) r̄ = β̄ + tᾱ
(c) r̄ = ᾱ + tβ̄ (d)এদের কোনোটিই নয়।
Ans: (c) r̄ = ᾱ + tβ̄
3. যে সরলরেখার প্রতিসম আকারে সমীকরণ ^{x – 1}/₃ = ^{y – 5}/₁ = ^{z – 3}/₀ সেই সরলরেখার সমান্তরাল যে-কোনো সরলরেখার দিক্ অনুপাতগুলি হয় –
(a) (3, 1, 0) (b) (3, -1, 0) (c) (1, 5, 3) (d) (-3, 1, 0)
Ans: (a) (3, 1, 0)
4. যে সরলরেখার কার্তেসিয় সমীকরণ 3x – 2 = 2y + 1 = 2z – 4. তার দিক্ অনুপাতগুলি হয়-
(a) ¹/₃, –¹/₂, ¹/₂ (b) –¹/₃, ¹/₂, ¹/₂
(c) ¹/₃, ¹/₂, ¹/₂ (d) ¹/₃, ¹/₂, –¹/₂
Ans: (c) ¹/₃, ¹/₂, ¹/₂
$$\large{\quad 3x-2=2y+1=2z-4\\⇒3(x-\frac{2}{3})=2(y+\frac{1}{2})=2(z-\frac{4}{2})\\⇒\frac{x-\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}}=\frac{y+\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}}=\frac{z-2}{\frac{1}{2}}}$$
Straight Line Ex 4A Class XII সরলরেখা S N Dey Solution
5. ( 1, 2, 3) ও (4, 0, 6) বিন্দুদ্বয়গামী সরলরেখার সমীকরণ হয় –
$$\large{(a)\quad\frac{x-1}{4}=\frac{y-2}{0}=\frac{z-3}{6}\\(b)\quad\frac{x-4}{1}=\frac{y-0}{2}=\frac{z-6}{3}\\(c)\quad\frac{x-1}{3}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{-3}\\(d)\quad\frac{x-4}{3}=\frac{y-0}{-2}=\frac{z-6}{3}\\\mathbf{Ans\quad(d)}\\\[\frac{x-1}{4-1}=\frac{y-2}{0-2}=\frac{z-3}{6-3}\\⇒ \frac{x-1}{3}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z-3}{3}]}$$
6. (5, 2, 7) বিন্দুগামী যে সরলরেখা y অক্ষের সমান্তরাল, তার সমীকরণ হয়-
$$\large{(a)\quad\frac{x-5}{b}=\frac{y-2}{0}=\frac{z-7}{b},b≠0\\(b)\quad\frac{x+5}{b}=\frac{y+2}{0}=\frac{z+7}{b},b≠0\\(c)\quad\frac{x-5}{0}=\frac{y-2}{b}=\frac{z-7}{0},b≠0\\(d)\quad\frac{x+5}{0}=\frac{y+2}{b}=\frac{z+7}{0},b≠0}$$
Ans: (c)
[y অক্ষের দিক্ অনুপাত 0, 1, 0
∴ y অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার ক্ষেত্রে b ≠ 0 ]
7. নীচের বিবৃতিগুলির মধ্যে কোনটি সত্য?
(a) ^x-x₁/_a = ^y-y₁/_b = ^z-z₁/_c সরলরেখা x-অক্ষ বা x-অক্ষের সমান্তরাল হওয়ার শর্ত হয়, a ≠ 0 ও b = c = 0 ।
(b) ^x-x₁/_a = ^y-y₁/_b = ^z-z₁/_c সরলরেখা মূলবিন্দুগামী হওয়ার শর্ত হয়, ^x₁/_a = ^y₁/_b = –^z₁/_c ।
(c) (1, 0, 0) ও (0, 5, 3) বিন্দুগামী সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ হয় r̄ = (1, 0, 0) + t(-1, -5, 3)
(d) x = 3 + 2t, y = 5, z = 3 সরলরেখা y অক্ষের সমান্তরাল।
Ans: (a) ^x-x₁/_a = ^y-y₁/_b = ^z-z₁/_c সরলরেখা x-অক্ষ বা x-অক্ষের সমান্তরাল হওয়ার শর্ত হয়, a ≠ 0 ও b = c = 0 ।
[x অক্ষের দিক্ অনুপাত 0, 1, 0
∴ x-অক্ষ বা x অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার ক্ষেত্রে a ≠ 0 ]
8. যদি P(1, 2, 3), Q(4, 5, 6), R(7, 8, 9) বিন্দুত্রয় সমরেখ হয়, তবে Q বিন্দু PR সরলরেখাকে যে অনুপাতে ছেদ করে তা হল –
(a) 2 : 1 (b) 1 : 2 (c) 1 : 1 (d) 1 : 3
Ans: (c) 1 : 1
[P(1, 2, 3) ও R(7, 8, 9) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক (¹⁺⁷/₂, ²⁺⁸/₂, ³⁺⁹/₂) বা (4, 5, 6)
∵ PR-এর মধ্যবিন্দু Q
∴ Q বিন্দু PR সরলরেখাকে 1 : 1 অনুপাতে ছেদ করে.]
$$\mathbf{\large{9.\quad\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}}\\}\\$$
সরলরেখাটি z-অক্ষের সমান্তরাল হলে,
(a) a = c = 0 ও b ≠ 0 হবে
(b) a = b = 0 ও c ≠ 0 হবে
(c) b = c = 0 ও a ≠ 0 হবে
(d) a = b = c = 0 হবে

Ans: (b) a = b = 0 ও c ≠ 0 হবে
[z-অক্ষের দিক্ অনুপাত 0, 0, 1]
Straight Line Ex 4A Class XII সরলরেখা S N Dey Solution
10. (1, 2, 3) ও (4, 5, 6) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ হয়-
$$\large{(a)\quad\frac{x-1}{1-4}=\frac{y-2}{2-5}=\frac{z-3}{3-6},\\(b)\quad\frac{x-1}{4-1}=\frac{y-2}{5-2}=\frac{z-3}{4-2},\\(c)\quad\frac{x-4}{4-1}=\frac{y-5}{5-2}=\frac{z-6}{5-3},\\(d)\quad\frac{x-4}{4-1}=\frac{y-5}{2-5}=\frac{z-6}{3-6}\\\mathbf{Ans:\quad}(a)\frac{x-1}{1-4}=\frac{y-2}{2-5}=\frac{z-3}{3-6}\\}$$$$[\large{\frac{x-1}{4-1}=\frac{y-2}{5-2}=\frac{z-3}{6-3}\\⇒\frac{x-1}{1-4}=\frac{y-2}{2-5}=\frac{z-3}{3-6}]}$$
অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রতিটি প্রশ্নের মান 2
1. x – অক্ষের কার্তেসিয় ও ভেক্টর সমীকরণ লেখো।

Solution:
(0, 0, 0) বিন্দুটি x – অক্ষের উপর অবস্থিত এবং x – অক্ষের দিক্ অনুপাতসমূহ হল 1, 0, 0
x – অক্ষের কার্তেসিয় সমীকরণ
$$\large{\quad\frac{x-0}{1}=\frac{y-0}{0}=\frac{z-0}{0} \quad\mathbf{(Ans)}\\}$$
x – অক্ষের ভেক্টর সমীকরণ
r̄ = 0î + 0ĵ + 0k̂ + t(1î + 0ĵ + 0k̂) – – [t একটি বাস্তব প্যারামিটার]
⇒ r̄ = tî (Ans)
2. কোনো সরলরেখার কার্তেসিয় সমীকরণ ^{2x – 5}/₃ = ^{6 – 3y}/₂ = ^{z + 1}/₆ হলে, ওই সরলেরখার সমান্তরাল কোনো সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ কি হবে?

Solution:
সরলরেখার কার্তেসিয় সমীকরণ
$$\large{\quad \frac{2x-5}{3}=\frac{6-3y}{2}=\frac{z+1}{6}\\⇒\frac{2(x-\frac{5}{2})}{3}=\frac{-3(y-\frac{6}{3})}{2}=\frac{z+1}{6}\\⇒\frac{x-\frac{5}{2}}{\frac{3}{2}}=\frac{y-2}{-\frac{2}{3}}=\frac{z+1}{6}\\⇒\frac{x-\frac{5}{2}}{\frac{3}{2}×6}=\frac{y-2}{-\frac{2}{3}×6}=\frac{z+1}{6×6}\\⇒\frac{x-\frac{5}{2}}{9}=\frac{y-2}{-4}=\frac{z+1}{36}}$$Ans: প্রদত্ত সরলেরখার সমান্তরাল কোনো সরলরেখার দিক্ অনুপাতসমূহ 9, -4, 36;
3. যে সরলরেখার কার্তেসিয় সমীকরণ 6x – 2 = 3y + 1 = 2z – 4, তার দিক্ কোসাইনগুলি লেখ।

Solution:
সরলরেখার কার্তেসিয় সমীকরণ
$$\large{\quad 6x-2=3y+1=2z-4\\⇒6(x-\frac{2}{6})=3(y+\frac{1}{3})=2(z-\frac{4}{2})\\⇒\frac{x-\frac{1}{3}}{\frac{1}{6}}=\frac{y-\frac{-1}{3}}{\frac{1}{3}}=\frac{z-2}{\frac{1}{2}}\\⇒\frac{x-\frac{1}{3}}{1}=\frac{y-\frac{-1}{3}}{2}=\frac{z-2}{3}}$$
∴ সরলরেখাটির দিক্ অনুপাতসমূহ 1, 2, 3;
∴ সরলরেখাটির দিক্ কোসাইনগুলি হল
$$\large{=±\frac{1}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}},\quad±\frac{2}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}},\quad±\frac{3}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}}\\⇒±\frac{1}{\sqrt{1+4+9}},\quad±\frac{2}{\sqrt{1+4+9}},\quad±\frac{3}{\sqrt{1+4+9}}\\⇒±\frac{1}{\sqrt{14}},\quad±\frac{2}{\sqrt{14}},\quad±\frac{3}{\sqrt{14}}\quad\mathbf{(Ans)}}$$
4. ^{x – 5}/₂ = ^{y + 6}/₀ = ^{z – 3}/₂ সরলরেখাটি কোন্ অক্ষের ওপর লম্ব?
Solution:
$$\large{\frac{x-5}{2}=\frac{y+6}{0}=\frac{z-3}{2}\\}$$
সরলরেখাটির দিক্ অনুপাত 2, 0, 2;
আবার y অক্ষের দিক্ অনুপাত 0, 1, 0;
∴ 2×0 + 0×1 + 2×0 = 0
∴ প্রদত্ত সরলরেখাটি এবং y অক্ষের ওপর লম্ব। (Ans)
5. ^{x – 5}/₃ = ^{y + 4}/₇ = ^{z – 6}/₂ সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ লেখো।
Solution:
$$\large{\frac{x-5}{3}=\frac{y+4}{7}=\frac{z-6}{2}\\}$$
সরলরেখাটি (5, -4, 6) বিন্দুগামী এবং 3, 7, 2 দিক্ অনুপাতবিশিষ্ট।
∴ সরলরেখাটি 5î – 4ĵ + 6k̂ অবস্থান ভেক্টরবিশিষ্ট বিন্দুগামী এবং 3î + 7ĵ + 2k̂ ভেক্টরের সমান্তরাল।
প্রদত্ত সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ-
r̄ = 5î – 4ĵ + 6k̂ + t(3î + 7ĵ + 2k̂) – – [t একটি বাস্তব প্যারামিটার] (Ans)
Straight Line Ex 4A Class XII সরলরেখা S N Dey Solution
সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রতিটি প্রশ্নের মান 4
1. î – 2ĵ + 3k̂ ভেক্টরের সমান্তরাল যে সরলরেখা (1, -2, 5) বিন্দুগামী, তার ভেক্টর ও কার্তেসিয় সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution:
(1, -2, 5) এর অবস্থান ভেক্টর î – 2ĵ + 5k̂
(1, -2, 5) বিন্দুগামী যে সরলরেখা î – 2ĵ + 3k̂ ভেক্টরের সমান্তরাল, তার ভেক্টর সমীকরণ হল
r̄ = î – 2ĵ + 5k̂ + t(î – 2ĵ + 3k̂) – – [t একটি বাস্তব প্যারামিটার] (Ans)
î – 2ĵ + 3k̂ ভেক্টরের সমান্তরাল সরলরেখাটির দিক্ অনুপাতসমূহ 1, -2, 3
(1, -2, 5) বিন্দুগামী এবং 1, -2, 3 দিক্ অনুপাতবিশিষ্ট সরলরেখার কার্তেসিয় সমীকরণ –
$$\large{\frac{x-1}{1}=\frac{y-(-2)}{-2}=\frac{z-5}{3}\\⇒\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{-2}=\frac{z-5}{3}\quad\mathbf{(Ans)}}$$
2. (5, 2, -4) বিন্দুগামী যে সরলরেখা 3i + 2j – 8k ভেক্টরের সমান্তরাল, তার ভেক্টর ও কার্তেসিয় সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution:
(5, 2, -4) এর অবস্থান ভেক্টর 5î + 2ĵ – 4k̂
(5, 2, -4) বিন্দুগামী যে সরলরেখা 3i + 2j – 8k ভেক্টরের সমান্তরাল, তার ভেক্টর সমীকরণ হল
r̄ = 5î + 2ĵ – 4k̂ + t(3î + 2ĵ – 8k̂) – – [t একটি বাস্তব প্যারামিটার] (Ans)

3i + 2j – 8k ভেক্টরের সমান্তরাল সরলরেখাটির দিক্ অনুপাতসমূহ 3, 2, -8
(5, 2, -4) বিন্দুগামী এবং 3, 2, -8 দিক্ অনুপাতবিশিষ্ট সরলরেখার কার্তেসিয় সমীকরণ –
$$\large{\frac{x-5}{3}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-(-4)}{-8}\\⇒\frac{x-5}{3}=\frac{y-2}{2}=\frac{z+4}{-8}\quad\mathbf{(Ans)} }$$
3. কোনো সরলরেখার কার্তেসিয় সমীকরণ ^{x + 3}/₂ = ^{y – 5}/₄ = ^{z + 6}/₂ হলে, সরলরেখাটির ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution:
সরলরেখাটির কার্তেসিয় সমীকরণ –
$$\large{\frac{x+3}{2}=\frac{y-5}{4}=\frac{z+6}{2}\\⇒ \frac{x-(-3)}{2}=\frac{y-5}{4}=\frac{z-(-6)}{2} \\}$$
সরলরেখাটি (-3, 5, -6) বিন্দুগামী এবং সরলরেখাটির দিক্ অনুপাতসমূহ 2, 4, 2
∴ সরলরেখাটির ভেক্টর সমীকরণ
r̄ = -3î + 5ĵ – 6k̂ + t(2î + 4ĵ + 2k̂) – – [t একটি বাস্তব প্যারামিটার] (Ans)
4. কোনো সরলরেখার কার্তেসিয় সমীকরণ 3x + 2 = 5y – 4 = 3 – z; সরলরেখাটি যে বিন্দুগামী তার স্থানাঙ্ক ও তার দিক্ অনুপাতসমূহ নির্ণয় করো। সরলরেখাটি প্রতিসম (symmetric) আকারে প্রকাশ করো এবং তার ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution:
সরলরেখাটির কার্তেসিয় সমীকরণ –
$$\large{3x+2=5y-4=3-z\\⇒ 3(x+\frac{2}{3})=5(y-\frac{4}{5})=-1(z-3)\\⇒ \frac{x+\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}}=\frac{y-\frac{4}{5}}{\frac{1}{5}}=\frac{z-3}{-1}\\}$$
Ans: সরলরেখাটি (-²/₃, ⁴/₅, 3) বিন্দুগামী।
সরলরেখাটির দিক্ অনুপাতসমূহ ¹/₃, ¹/₅, -1
সরলরেখাটির প্রতিসম আকার –
$$\large{\frac{x+\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}}=\frac{y-\frac{4}{5}}{\frac{1}{5}}=\frac{z-3}{-1}\quad\mathbf{(Ans)}\\}$$
সরলরেখাটির ভেক্টর আকার –
r̄ = –²/₃î + ⁴/₅ĵ + 3k̂ + t(¹/₃î + ¹/₅ĵ – k̂) – – [t একটি বাস্তব প্যারামিটার] (Ans)
5. কোনো সরলরেখার কার্তেসিয় সমীকরণ 3x + 1 = 6y – 2 = 1 – z; সরলরেখাটি যে নির্দিষ্ট বিন্দুগামী, তা নির্ণয় করো ও রেখাটির দিক্ অনুপাতসমূহ নির্ণয় করে সেটি প্রতিসম (symmetric) আকারে ও ভেক্টর আকারে প্রকাশ করো।

Solution:
সরলরেখাটির কার্তেসিয় সমীকরণ –
$$\large{3x+1=6y-2=1-z\\⇒ 3(x+\frac{1}{3})=6(y-\frac{1}{3})=-1(z-1)\\⇒\frac{x-\frac{-1}{3}}{\frac{1}{3}}=\frac{y-\frac{1}{3}}{\frac{1}{6}}=\frac{z-1}{-1} \\⇒\frac{x-\frac{-1}{3}}{2}=\frac{y-\frac{1}{3}}{1}=\frac{z-1}{-6} \\}$$
Ans: সরলরেখাটি (-¹/₃, ¹/₃, 1) বিন্দুগামী।
সরলরেখাটির দিক্ অনুপাতসমূহ 2, 1, -6
সরলরেখাটির প্রতিসম আকার –
$$\large{\frac{x-\frac{-1}{3}}{2}=\frac{y-\frac{1}{3}}{1}=\frac{z-1}{-6}\quad\mathbf{(Ans)}\\}$$
সরলরেখাটির ভেক্টর আকার –
r̄ = –¹/₃î + ¹/₃ĵ + k̂ + t[2î + ĵ – 6k̂] – – [t একটি বাস্তব প্যারামিটার] (Ans)
6. (1, 2, -4 ) ও ( 4, -5, 2 ) বিন্দুদ্বয়গামী সরলরেখাটির কার্তেসীয় ও ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution:
কার্তেসীয় সমীকরণঃ
(1, 2, -4 ) ও ( 4, -5, 2 ) বিন্দুদ্বয়গামী সরলরেখাটির কার্তেসীয় সমীকরণ –
$$\large{\frac{x-1}{4-1}=\frac{y-2}{-5-2}=\frac{z-(4)}{2-(-4)}\\⇒\frac{x-1}{3}=\frac{y-2}{-7}=\frac{z+4}{6}\quad\mathbf{(Ans)}}$$
ভেক্টর সমীকরণঃ
(1, 2, -4 ) ও ( 4, -5, 2 ) বিন্দুদ্বয়গামী সরলরেখাটির ভেক্টর সমীকরণ –
r̄ = 1î + 2ĵ – 4k̂ + t[(4 – 1)î + (-5 – 2)ĵ + (2 + 4)k̂] – – [t একটি বাস্তব প্যারামিটার]
= î + 2ĵ – 4k̂ + t(3î – 7ĵ + 6k̂) (Ans)
দশম শ্রেণীর ভৌত বিজ্ঞান এবং জীবন বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন
7. কোনো সরলরেখার সমীকরণ x = by + c, z = ay + d হলে তার প্রতিসম (symmetric) আকারে কার্তেসীয় ও ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution:
প্রতিসম আকারে কার্তেসীয় সমীকরণঃ
$$\large{x=by+c\quad⇒y=\frac{x-c}{b}\\z=ay+d\quad⇒y=\frac{z-d}{a}\\\therefore \frac{x-c}{b}=\frac{y-0}{1}=\frac{z-d}{a}}$$
প্রদত্ত সরলরেখাটি (c, 0, d) বিন্দুগামী এবং সরলরেখাটির দিক অনুপাতসমূহ b, 1, a;
ভেক্টর সমীকরণঃ
(c, 0, d) এর অবস্থান ভেক্টর cî + dk̂ এবং সরলরেখাটি bî + ĵ + ak̂ ভেক্টরের সমান্তরাল।
সরলরেখাটির ভেক্টর সমীকরণ হল
∴ r̄ = cî + dk̂ + t(bî + ĵ + ak̂) – – [t একটি বাস্তব প্যারামিটার]
Straight Line Ex 4A Class XII সরলরেখা S N Dey Solution
8. P. Q ও R বিন্দুগুলির অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 2î + 5ĵ – 8k̂, -3ĵ + 6k̂ ও -3î + 2ĵ + 3k̂; PQRS একটি সামান্তরিক হলে, QS সরলরেখার ভেক্টর ও কার্তেসীয় সমীকরণ নির্ণয় করো।
Solution:
ধরি, PQRS সামান্তরিকের কর্ণ পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে।
P. Q ও R বিন্দুগুলির অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 2î + 5ĵ – 8k̂, -3ĵ + 6k̂ ও -3î + 2ĵ + 3k̂;
∴ P. Q ও R বিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (2, 5, -8), (0, -3, 6) ও (-3, 2, 3)
সামান্তরিকের কর্ণ পরস্পরকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
∴ O বিন্দুর স্থানাঙ্ক (^2-3/₂, ⁵⁺²/₂, ^-8+3/₂) = (-¹/₂, ⁷/₂, –⁵/₂)
কার্তেসীয় সমীকরণঃ
∴ QO সরলরেখার কার্তেসীয় সমীকরণ:
$$\large{\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}=\frac{z-z_1}{z_1-z_2}\\⇒\frac{x-0}{0+\frac{1}{2}}=\frac{y+3}{-3-\frac{7}{2}}=\frac{z-6}{6+\frac{5}{2}}\\⇒\frac{x}{\frac{1}{2}}=\frac{y+3}{-\frac{13}{2}}=\frac{z-6}{\frac{17}{2}}\\⇒\frac{x}{1}=\frac{y+3}{-13}=\frac{z-6}{17}—(i)}$$∴ QS সরলরেখার কার্তেসীয় সমীকরণ:$$\large{\frac{x}{1}=\frac{y+3}{-13}=\frac{z-6}{17}\quad\mathbf{(Ans)}\\}$$
ভেক্টর সমীকরণঃ
QS সরলরেখা (0, -3, 6) বিন্দুগামী এবং এর দিক অনুপাতসমূহ 1, -13, 17
∴ সরলরেখাটি -3ĵ + 6k̂ বিন্দুগামী এবং î – 13ĵ + 17k̂ ভেক্টরের সমান্তরাল।
QS সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ:
∴ r̄ = -3ĵ + 6k̂ + t(î – 13ĵ + 17k̂) – – [t একটি বাস্তব প্যারামিটার]
9. দেখাও যে, তিনটি বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 4î + 5k̂, î + ĵ + 3k̂ ও – 5i + 3j – k হলে, বিন্দু তিনটি সমরেখ।

Solution:
ধরি বিন্দু তিনটি হল P, Q এবং R
∴ ŌP̄ = 4î + 5k̂
ŌQ̄ = î + ĵ + 3k̂
ŌR̄ = -5î + 3ĵ – k̂
∴ P, Q ও R এর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (4, 0, 5), (1, 1, 3) এবং (-5, 3, -1)
∴ PQ সরলরেখার সমীকরণঃ
$$\large{\frac{x-x_1}{x_1-x_2}=\frac{y-y_1}{y_1-y_2}=\frac{z-z_1}{z_1-z_2}\\⇒\frac{x-4}{4-1}=\frac{y-0}{0-1}=\frac{z-5}{5-3}\\⇒\frac{x-4}{3}=\frac{y}{-1}=\frac{z-5}{2}—-(i)}$$(i) নং সমীকরণে (-5, 3, -1) বসিয়ে পাই,$$\large{\frac{-5-4}{3}=\frac{3}{-1}=\frac{-1-5}{2}\\⇒\frac{-9}{3}=\frac{3}{-1}=\frac{-6}{2}\\⇒-3=-3=-3}$$
(-5, 3, -1) বিন্দু দ্বারা (i) নং সমীকরণটি সিদ্ধ হয়।
∴ PQ সরলরেখাটি (-5, 3, -1) অর্থাৎ R বিন্দুগামী।
∴ বিন্দু তিনটি সমরেখ। (Proved)
10. ^{x + 2}/₃ = ^{y + 1}/₂ = ^{z – 3}/₂ সরলরেখার উপরিস্থ যে বিন্দুগুলি P(1, 3, 3 ) বিন্দু থেকে 5 একক দূরত্বে অবস্থিত, সেগুলি নির্ণয় করো।

Solution:
ধরি$$\large{\frac{x+2}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-3}{2}=t\\}$$
– – – – [t একটি বাস্তব প্যারামিটার]
∴ x = 3t – 2
y = 2t – 1
z = 2t + 3
∴ সরলরেখার উপর যেকোনো বিন্দুর স্থানাঙ্ক (3t – 2, 2t – 1, 2t + 3)
(3t – 2, 2t – 1, 2t + 3) বিন্দু থেকে (1, 3, 3 ) বিন্দুর দূরত্ব
= √{(3t – 2 – 1)² + (2t – 1 – 3)² + (2t + 3 – 3)²}
= √{(3t – 3)² + (2t – 4)² + (2t)²}
প্রশ্নানুযায়ী
√{(3t – 3)² + (2t – 4)² + (2t)²} = 5
⇒ (3t – 3)² + (2t – 4)² + (2t)² = 25
⇒ 9t² + 9 – 18t + 4t² + 16 – 16t + 4t² = 25
⇒ 17t² + 25 – 34t = 25
⇒ 17t² – 34t = 0
⇒ 17t(t – 2) = 0
⇒ t(t – 2) = 0
∴ t = 0, t = 2
t = 0 হলে,
বিন্দুটির স্থানাঙ্ক (3×0 – 2, 2×0 – 1, 2×0 + 3) = (-2, -1, 3)
t = 2 হলে,
বিন্দুটির স্থানাঙ্ক (3×2 – 2, 2×2 – 1, 2×2 + 3) = (4, 3, 7)
সরলরেখার উপরিস্থ যে বিন্দুগুলি P(1, 3, 3 ) বিন্দু থেকে 5 একক দূরত্বে অবস্থিত, সেগুলি হল (-2, -1, 3) এবং (4, 3, 7) (Ans)
Straight Line Ex 4A Class XII সরলরেখা S N Dey Solution
11. যদি p̄.q̄ = |p̄||q̄| হয়, তবে দেখাও যে, P ও Q বিন্দুর সংযোজক সরলরেখা (যেখানে P বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর p̄ = p₁î + p₂ĵ + p₃k̂ ও Q বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর q̄ = q₁î + q₂ĵ + q₃k̂) মূলবিন্দুগামী হবে।

Solution:
P বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর
ŌP̄ = p̄ = p₁î + p₂ĵ + p₃k̂
Q বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর
ŌQ̄ = q̄ = q₁î + q₂ĵ + q₃k̂
ধরি p̄ ও q̄ এর মধ্যবর্তী কোণ θ
∴ ŌP̄.ŌQ̄ = p̄.q̄
= |p̄||q̄|cosθ
∴ |p̄||q̄|cosθ = |p̄||q̄| – – – – [∵ p̄.q̄ = |p̄||q̄|]
⇒ cosθ = 1
⇒ cosθ = cos0°
∴ θ = 0°
ŌP̄ ও ŌQ̄ এর মধ্যবর্তী কোণ 0°
অর্থাৎ ŌP̄ ও ŌQ̄ একই সরলরেখায় অবস্থিত।
∴ P ও Q বিন্দুর সংযোজক সরলরেখা মূলবিন্দুগামী। (Proved)
12. (i) 2î – ĵ + k̂ অবস্থান ভেক্টরবিশিষ্ট বিন্দুগামী এবং -î + 4ĵ + k ও i + 2ĵ + 2k̂ বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার সমান্তরাল সরলরেখার ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় করো। সরলরেখাটির অনুরূপ কার্তেসীয় সমীকরণ-ও নির্ণয় করো।

Solution:
ধরি সরলরেখাটির ভেক্টর সমীকরণ –
r̄ = ā + tb̄ – – – – [t একটি বাস্তব প্যারামিটার]
এখানে
ā = 2î – ĵ + k̂
b̄ = (î + 2ĵ + 2k̂) – (-î + 4ĵ + k̂)
= 2î – 2ĵ + k̂
সরলরেখাটির ভেক্টর সমীকরণ
∴ r̄ = 2î – ĵ + k̂ + t(2î – 2ĵ + k̂) – – [t একটি বাস্তব প্যারামিটার]
স্পষ্টতই সরলরেখাটি (2, -1, 1) বিন্দুগামী এবং সরলরেখাটির দিক্ অনুপাত 2, -2, 1
∴ সরলরেখাটির অনুরূপ কার্তেসীয় সমীকরণ হল-
$$\large{\frac{x-2}{2}=\frac{y-(-1)}{-2}=\frac{z-1}{1}\\⇒\frac{x-2}{2}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z-1}{1} \quad\mathbf{(Ans)}}$$
(ii) কোনো সরলরেখার কার্তেসীয় সমীকরণ 6x – 2 = 3y + 1 = 2z – 2 হলে সরলরেখাটির দিক অনুপাতগুলি এবং ভেক্টর সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution:
$$\large{6x-2=3y+1=2z-2\\⇒6(x-\frac{1}{3})=3(y-\frac{-1}{3})=2(z-1)\\⇒\frac{x-\frac{1}{3}}{\frac{1}{6}}=\frac{y-\frac{-1}{3}}{\frac{1}{3}}=\frac{z-1}{\frac{1}{2}}\\⇒\frac{x-\frac{1}{3}}{1}=\frac{y-\frac{-1}{3}}{2}=\frac{z-1}{3}}$$
সরলরেখাটির দিক অনুপাতগুলি হল 1, 2, 3 (Ans)
সরলরেখাটি (¹/₃, –¹/₃, 1) বিন্দুগামী
∴ সরলরেখাটির ভেক্টর সমীকরণ –
r̄ = ā + tb̄ – – – – [t একটি বাস্তব প্যারামিটার]
⇒ r̄ = ¹/₃î – ¹/₃ĵ + k̂ + t(î + 2ĵ + 3k̂) (Ans)
HS 2025 Mathematics Solution।। উচ্চ মাধ্যামিক ২০২৫ গণিত প্রশ্নপত্রের সমাধান

Matrix S N Dey Solution Part-3

Matrix S N Dey Solution Part-2

Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স

S N Dey Complete Solution Class XII Plane Ex 5a সমতল

Straight Line Ex 4A Class XII সরলরেখা S N Dey Solution

Direction Cosines and Direction Ratios Class XII S N Dey দিক্ কোসাইন এবং দিক্ অনুপাত

Probability Bayes’ Theorem বেইজ উপপাদ্য প্রশ্নমালা 1B

দ্বাদশ শ্রেণীর সম্ভাবনা Probability S N Day Part -2

Complete Solution of Probability S N Dey সম্ভাবনা Part-I

অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Significance of Derivative S N Dey Part-2

Significance of Derivative S N Dey অন্তরকলজের ব্যাখ্যা Part-1

ভেক্টর বীজগণিত Class XII Vector Algebra S N Dey Part 2

Vector Algebra Class XII ভেক্টর বীজগণিত Part 1

Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part II

Solution of Class XII Chapter 1 Relation সম্বন্ধ S N Dey Part-1

JBNSTS- Junior & Senior Scholarship – How to apply, Syllabus etc.

জি. পি. বিড়লা স্কলারশিপ || How to apply GP Birla Scholarship

Vidyasagar Science Olympiad How To Apply বিদ্যাসাগর সায়েন্স অলিম্পিয়াড

Medhasree Scholarship মেধাশ্রী – How to apply, Check Date, Eligibility
November 27, 2023