Author: TEAM PROSTUTI

Matrix S N Dey Solution Part-2
Matrix S N Dey Solution Part-2
Matrix S N Dey Solution Part-2
সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রতিটি প্রশ্নের মান 4
(i) হয় তবে x ও y -এর মান নির্ণয় করো।
\(2\begin{bmatrix}x\quad\quad 5\\7\quad y-3\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}3\quad 4\\1\quad 2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7\quad 14\\15\quad 14\end{bmatrix}\)
\(\mathbf{Solution:\\}\)\(\quad 2\begin{bmatrix}x\quad\quad 5\\7\quad y-3\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}3\quad 4\\1\quad 2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7\quad 14\\15\quad 14\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}2x\quad\quad 10\\14\quad 2y-6\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}3\quad 4\\1\quad 2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7\quad 14\\15\quad 14\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}2x+3\quad\quad 10+4\\14+1\quad 2y-6+2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7\quad 14\\15\quad 14\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}2x+3\quad\quad 14\\15\quad 2y-4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7\quad 14\\15\quad 14\end{bmatrix}\\\)
ম্যাট্রিক্সের সমতার সংজ্ঞানুসারে,
2x +3 = 7
⇒ 2x = 4
∴ x = 22
y – 4 = 14
⇒ 2y = 18
∴ y = 9
Ans: x = 2; y = 9
(ii) x, y ও z -এর মান নির্ণয় করো যখন
\(\begin{pmatrix}x+y\quad 2\\\quad1\quad\quad 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\quad\quad 2\quad x-z\\2x-y\quad 0\end{pmatrix}\)
\(\mathbf{Solution:\\}\)\(\begin{pmatrix}x+y\quad 2\\\quad1\quad\quad 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\quad\quad 2\quad x-z\\2x-y\quad 0\end{pmatrix}\)
ম্যাট্রিক্সের সমতার সংজ্ঞানুসারে,
x + y = 2 – – – – (i)
x – z = 2 – – – – (ii)
2x – y = 1 – – – – (iii)
(i) + (ii) করে পাই
x + y + 2x – y = 2 + 1
⇒ 3x = 3
∴ x = 1
(i) নং থেকে পাই
1 + y = 2
∴ y = 1
(ii) নং থেকে পাই
1 – z = 2
⇒ -z = -1
∴ z = -1
Ans: x = 1; y = 1; z = –1
Matrix S N Dey Solution Part-2
(iii) x, y, z এবং t-এর মান নির্ণয় করো যাতে নীচে দেওয়া ম্যাট্রিক্স দুটি সমান হয়
\(\begin{bmatrix}x-z\quad -z-x\\7-t\quad\quad 6+z\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3-t\quad 5-t\\t+5\quad x-1\end{bmatrix}\)
\(\mathbf{Solution:\\}\)\(\begin{bmatrix}x-z\quad -z-x\\7-t\quad\quad 6+z\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3-t\quad 5-t\\t+5\quad x-1\end{bmatrix}\)
ম্যাট্রিক্সের সমতার সংজ্ঞানুসারে,
x – z = 3 – t
⇒ x – z + t = 3 – – – – (i)
-z – x = 5 – t
⇒ -x – z + t = 5 – – – – (ii)
7- t = t + 5
⇒ -t – t = 5 – 7
⇒ -2t = -2
∴ t = 1
6 + z = x – y
⇒ x – y – z = 6 – – – – (iii)
(i) – (ii) করে পাই,
x – z + t – (-x – z + t) = 3 – 5
⇒ x – z + t + x + z – t = 3 – 5
⇒ 2x = -2
∴ x = -1
(i) থেকে পাই,
x – z + t = 3
⇒ -1 – z + 1 = 3
⇒ – z = 3
∴ z = -3
(iii) থেকে পাই,
x – y – z = 6
⇒ -1 – y -(-3) + 1 = 5
⇒ – y + 3 = 4
⇒ -y = 1
∴ y = -1
Ans: x = -1; y = -1; z = -3; t = 1;
(iv) a, b, c ও d -এর মান নির্ণয় করো যখন
\(\begin{pmatrix}b+c\quad c+a\\7-d\quad 6-c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9-d\quad 8-d\\a+b\quad a+b\end{pmatrix}\)
\(\mathbf{Solution:}\\\)\(\begin{pmatrix}b+c\quad c+a\\7-d\quad 6-c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9-d\quad 8-d\\a+b\quad a+b\end{pmatrix}\)
ম্যাট্রিক্সের সমতার সংজ্ঞানুসারে,
b + c = 9 – d
⇒ b + c + d = 9 – – – – (i)
c + a = 8 – d
⇒ a + c + d = 8 – – – – (ii)
7 – d = a + b
⇒ a + b + d = 7 – – – – (iii)
6 – c = a + b
⇒ a + b + c = 6 – – – – (iv)
(i) + (ii) + (iii) + (iv) করে পাই,
b + c + d + a + c + d + a + b + d + a + b + c = 9 + 8 + 7 + 6
⇒ 3(a + b + c + d) = 30
⇒ a + b + c + d = 10 – – – – (v)
(v) – (i) করে পাই,
a = 1
(v) – (ii) করে পাই,
b = 2
(v) – (iii) করে পাই,
c = 3
(v) – (iv) করে পাই,
d = 4
Ans: a = 1; b = 2; c = 3; d = 4;
(v). x, y, z এবং t-এর মান নির্ণয় করো যখন
\(3\begin{bmatrix}x\quad y\\z\quad t\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x\quad 6\\-1\quad 2t\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}\quad 4\quad x+y\\z+t\quad 3\end{bmatrix}\)
\(\mathbf{Solution:\\}\)\(3\begin{bmatrix}x\quad y\\z\quad t\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x\quad 6\\-1\quad 2t\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}\quad 4\quad x+y\\z+t\quad 3\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}3x\quad 3y\\3z\quad 3t\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\quad x+4\quad 6+x+y\\-1+z+t\quad 2t+3\end{bmatrix}\)
ম্যাট্রিক্সের সমতার সংজ্ঞানুসারে,
3x = x + 4
∴ x = 2
আবার
3y = 6 + x + y
⇒ 2y = 6 + x
⇒ 2y = 6 + 2 – – – – [x = 2]
∴ y = 4
3t = 2t + 3
∴ t = 3
3z = -1 + z + t
⇒ 2z = -1 + t
⇒ 2z = -1 + 3 – – – – [t = 2]
∴ z = 1
Ans: x = 4; y = 4; z = 1; t = 3
2. নীচে দেওয়া A ও B ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রে A + B, AB এবং BA সংজ্ঞাত কিনা বলো এবং সংজ্ঞাত ক্ষেত্রে তাদের মান নির্ণয় করো।
Solution:
A ম্যাট্রিক্স 2×2 ক্রমের ম্যাট্রিক্স এবং B ম্যাট্রিক্স 2×2 ক্রমের ম্যাট্রিক্স।
∴ A ও B সমক্রমের ম্যাট্রিক্স।
∴ A + B, AB এবং BA প্রতিটিই সংজ্ঞাত।
\(\mathbf{(i)\\}\)\(A=\begin{pmatrix}1\quad 2\\0\quad 1\end{pmatrix}\) এবং \(B=\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}\)
\(\quad A+B\\=\begin{pmatrix}1\quad 2\\0\quad 1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}2\quad 2\\0\quad 2\end{pmatrix}\quad \mathbf{(Ans)}\\\quad AB\\=\begin{pmatrix}1\quad 2\\0\quad 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}1+0\quad 0+2\\0+0\quad 0+1\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}1\quad 2\\0\quad 1\end{pmatrix}\quad \mathbf{(Ans)}\\\quad BA\\=\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\quad 2\\0\quad 1\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}1+0\quad 2+0\\0+0\quad 0+1\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}1\quad 2\\0\quad 1\end{pmatrix}\quad \mathbf{(Ans)}\)
\(\mathbf{(ii)}\\\)\(A\begin{bmatrix}2\quad 3\\5\quad 6\\7\quad 8\end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}3\quad 8\quad 5\\2\quad 1\quad 1\\1\quad 3\quad 3\end{bmatrix}\)
Solution:
A ম্যাট্রিক্স 3×2 ক্রমের ম্যাট্রিক্স এবং B ম্যাট্রিক্স 3×3 ক্রমের ম্যাট্রিক্স।
A ও B এর ক্রম ভিন্ন;
∴ A + B সংজ্ঞাত নয়।

A-এর স্তম্ভ সংখ্যা(2) ≠ B-এর সারি সংখ্যা(3)
∴ AB ম্যাট্রিক্সও সংজ্ঞাত নয়।
আবার B-এর স্তম্ভ সংখ্যা(3) = A-এর সারি সংখ্যা(3)
∴ BA ম্যাট্রিক্স সংজ্ঞাত।
\(\quad BA\\=\begin{bmatrix}3\quad 8\quad 5\\2\quad 1\quad 1\\1\quad 3\quad 3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\quad 3\\5\quad 6\\7\quad 8\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}6+40+35\quad 9+48+40\\4+5+7\quad\quad 6+6+8\\2+15+21\quad 3+18+24\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}81\quad 97\\16\quad 20\\38\quad 45\end{bmatrix}\quad\mathbf{(Ans)}\)
Matrix S N Dey Solution Part-2
3. কখন দুটি ম্যাট্রিক্স A ও B এর গুনফল AB সংজ্ঞাত হয়?
\(A=\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\\1\quad 3\quad 3\\1\quad 2\quad 4\end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}\quad 6\quad -2\quad -3\\-1\quad\quad 1\quad\quad 0\\-1\quad\quad 0\quad\quad 1\end{bmatrix}\)
হলে দেখাও যে AB = BA; ম্যাট্রিক্স গুননের ক্ষেত্রে এটি কি সাধারণভাবে সত্য? একটি উদাহরণের সাহায্যে তোমার উত্তরের যৌক্তিকতা প্রতিষ্ঠা করো।

Solution:
দুটি ম্যাট্রিক্স A ও B এর গুনফল AB সংজ্ঞাত হবে যদি
A ম্যাট্রিক্সের স্তম্ভ সংখ্যা = B ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা হয়।
A ম্যাট্রিক্সের স্তম্ভ সংখ্যা = B ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা হয় = 3
∴ AB সংজ্ঞাত
\(\quad AB=\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\\1\quad 3\quad 3\\1\quad 2\quad 4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\quad 6\quad -2\quad -3\\-1\quad\quad 1\quad\quad 0\\-1\quad\quad 0\quad\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}6-2-3\quad -2+2+0\quad -3+0+3\\6-3-3\quad -2+3+0\quad -3+0+3\\6-2-4\quad -2+2+0\quad -3+0+4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix} 1\quad 0\quad 0\\0\quad 1\quad 0\\0\quad 0\quad 1\end{bmatrix}\\\quad BA=\begin{bmatrix}\quad 6\quad -2\quad -3\\-1\quad\quad 1\quad\quad 0\\-1\quad\quad 0\quad\quad 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\\1\quad 3\quad 3\\1\quad 2\quad 4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad\quad 6-2-3\quad 12-6-6\quad\quad 18-6-12\\-1+1+0\quad -2+3+0\quad -3+3-0\\-1+0+1\quad -2+0+2\quad -3+0+2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix} 1\quad 0\quad 0\\0\quad 1\quad 0\\0\quad 0\quad 1\end{bmatrix}\\∴ AB = BA\)
ম্যাট্রিক্স গুননের ক্ষেত্রে AB = BA সর্বদা সত্য নয়।
ধরি,
\(A=\begin{bmatrix}0\quad 1\quad 2\\1\quad 2\quad 3\\3\quad 1\quad 1\end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}\quad 2\quad\quad 1\quad 3\\-1\quad\quad 0\quad 1\\\quad 3\quad -1\quad 4\end{bmatrix}\)
\(\quad AB\\=\begin{bmatrix}0\quad 1\quad 2\\1\quad 2\quad 3\\3\quad 1\quad 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\quad 2\quad\quad 1\quad 3\\-1\quad\quad 0\quad 1\\\quad 3\quad -1\quad 4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0-1+6\quad0+0-2\quad 0+1+8\\2-2+9\quad 1+0-3\quad 3+2+12\\6-1+3\quad 3+0-1\quad 9+1+4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}5\quad -2\quad 9\\9\quad -2\quad 17\\8\quad\quad 2\quad 14\end{bmatrix}\\\quad BA\\=\begin{bmatrix}\quad 2\quad\quad 1\quad 3\\-1\quad\quad 0\quad 1\\\quad 3\quad -1\quad 4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\quad 1\quad 2\\1\quad 2\quad 3\\3\quad 1\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0+1+9\quad\quad 2+2+3\quad\quad 4+3+3\\0+0+3\quad -1+0+1\quad -2+0+1\\0-1+12\quad\quad 3-2+4\quad\quad 6-3+4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}10\quad 7\quad\quad 10\\3\quad 0\quad -1\\11\quad 5\quad\quad 7\end{bmatrix}\)
এখানে AB ≠ BA
Matrix S N Dey Solution Part-2
\(\mathbf{4. \\}\)\(A=\begin{bmatrix}4\quad\quad 2\quad -1\\3\quad -7\quad\quad 1\end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}\quad 2\quad 3\\-3\quad 0\\-1\quad 5\end{bmatrix}\)
হলে AB ও BA নির্ণয় করো।

Solution:
\(\quad AB\\=\begin{bmatrix}4\quad\quad 2\quad -1\\3\quad -7\quad\quad 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\quad 2\quad 3\\-3\quad 0\\-1\quad 5\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}8-6+1\quad 12+0-5\\6+21-1\quad 9+0+5\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}3\quad 7\\26\quad 14\end{bmatrix}\\\quad BA\\=\begin{bmatrix}\quad 2\quad 3\\-3\quad 0\\-1\quad 5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}4\quad\quad 2\quad -1\\3\quad -7\quad\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 8+9\quad\quad 4-21\quad -2+3\\-12+0\quad -6+0\quad\quad 3+0\\-4+15\quad -2-35\quad\quad 1+5\end{bmatrix}\\=\\=\begin{bmatrix}\quad 17\quad -17\quad 1\\-12\quad -6\quad 3\\\quad 11\quad -37\quad 6\end{bmatrix}\)
\(\mathbf{5. \\}\)\(A=\begin{bmatrix}1\quad\quad 2\quad\quad 1\\1\quad -1\quad\quad 1\\2\quad\quad 3\quad -1\end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}\quad 1\quad 4\quad 0\\-1\quad 2\quad 2\\\quad 0\quad 0\quad 2\end{bmatrix}\)
হলে AB – 2B ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করো।

Solution:
\(\quad AB – 2B\\=\begin{bmatrix}1\quad\quad 2\quad\quad 1\\1\quad -1\quad\quad 1\\2\quad\quad 3\quad -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\quad 1\quad 4\quad 0\\-1\quad 2\quad 2\\\quad 0\quad 0\quad 2\end{bmatrix}-2\begin{bmatrix}\quad 1\quad 4\quad 0\\-1\quad 2\quad 2\\\quad 0\quad 0\quad 2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1-2+0\quad 4+4+0\quad 0+4+2\\1+1+0\quad 4-2+0\quad 0-2+2\\2-3+0\quad 8+6+0\quad 0+6-2\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\quad 2\quad 8\quad 0\\-2\quad 4\quad 4\\\quad 0\quad 0\quad 4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-1\quad 8\quad 6\\\quad 2\quad 2\quad 0\\-1\quad 14\quad 4\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\quad 2\quad 8\quad 0\\-2\quad 4\quad 4\\\quad 0\quad 0\quad 4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-3\quad\quad 0\quad\quad 6\\\quad 4\quad -2\quad -4\\-1\quad\quad 14\quad\quad 0\end{bmatrix}\quad\mathbf{(Ans)}\)
\(\mathbf{6. \\}\)\(A=\begin{bmatrix}0\quad 1\quad 2\\1\quad 2\quad 3\\3\quad 1\quad 1\end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}\quad 2\quad\quad 1\quad 3\\-1\quad\quad 0\quad 1\\\quad 3\quad -1\quad 4\end{bmatrix}\)
হলে দেখাও যে AB ≠ BA

Solution:
\(\quad AB\\=\begin{bmatrix}0\quad 1\quad 2\\1\quad 2\quad 3\\3\quad 1\quad 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\quad 2\quad\quad 1\quad 3\\-1\quad\quad 0\quad 1\\\quad 3\quad -1\quad 4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0-1+6\quad0+0-2\quad 0+1+8\\2-2+9\quad 1+0-3\quad 3+2+12\\6-1+3\quad 3+0-1\quad 9+1+4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}5\quad -2\quad 9\\9\quad -2\quad 17\\8\quad\quad 2\quad 14\end{bmatrix}\\\quad BA\\=\begin{bmatrix}\quad 2\quad\quad 1\quad 3\\-1\quad\quad 0\quad 1\\\quad 3\quad -1\quad 4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\quad 1\quad 2\\1\quad 2\quad 3\\3\quad 1\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0+1+9\quad\quad 2+2+3\quad\quad 4+3+3\\0+0+3\quad -1+0+1\quad -2+0+1\\0-1+12\quad\quad 3-2+4\quad\quad 6-3+4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}10\quad 7\quad\quad 10\\3\quad 0\quad -1\\11\quad 5\quad\quad 7\end{bmatrix}\)
∴ AB ≠ BA (Proved)
Matrix S N Dey Solution Part-2
\(\mathbf{7. \\}\)\(P=\begin{bmatrix}\quad 2\quad -2\quad -4\\-1\quad\quad 3\quad\quad 4\\\quad 1\quad -2\quad -3\end{bmatrix}\)
হলে দেখাও যে P² = P

Solution:
P² = P × P
\(=\begin{bmatrix}\quad 2\quad -2\quad -4\\-1\quad\quad 3\quad\quad 4\\\quad 1\quad -2\quad -3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\quad 2\quad -2\quad -4\\-1\quad\quad 3\quad\quad 4\\\quad 1\quad -2\quad -3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 4+2-4\quad -4-6+8\quad -8-8+12\\-2-3+4\quad\quad 2+9-8\quad\quad 4+12-12\\\quad 2+2-3\quad -2-6+6\quad -4-8+9\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 2\quad -2\quad -4\\-1\quad\quad 3\quad\quad 4\\\quad 1\quad -2\quad -3\end{bmatrix}\\=P\quad\mathbf{(Proved)}\)
\(\mathbf{8.\\}\)\(A=\begin{bmatrix}\quad 2\quad -3\quad -5\\-1\quad\quad 4\quad\quad 5\\\quad 1\quad -3\quad -4\end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}-1\quad\quad 3\quad\quad 5\\\quad 1\quad -3\quad -5\\-1\quad\quad 3\quad\quad 5\end{bmatrix}\)
হলে দেখাও যে AB = BA = 0, O একটি 3×3 ক্রমের শূন্য ম্যাট্রিক্স।

Solution:
\(\quad AB\\=\begin{bmatrix}\quad 2\quad -3\quad -5\\-1\quad\quad 4\quad\quad 5\\\quad 1\quad -3\quad -4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1\quad\quad 3\quad\quad 5\\\quad 1\quad -3\quad -5\\-1\quad\quad 3\quad\quad 5\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-2-3+5\quad\quad 6+9-15\quad\quad 10+15-25\\\quad 1+4-5\quad -3-12+15\quad -5-20+25\\-1-3+4\quad\quad 3+9-12\quad\quad 5+15-20\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0\quad 0\quad 0\\0\quad 0\quad 0\\0\quad 0\quad 0\end{bmatrix}=0\\\quad BA\\=\begin{bmatrix}-1\quad\quad 3\quad\quad 5\\\quad 1\quad -3\quad -5\\-1\quad\quad 3\quad\quad 5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\quad 2\quad -3\quad -5\\-1\quad\quad 4\quad\quad 5\\\quad 1\quad -3\quad -4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-2-3+5\quad\quad 3+12-15\quad\quad 5+15-20\\\quad 2+3-5\quad -3-12+15\quad -5-15+20\\-2-3+5\quad\quad 3+12-15\quad\quad 5+15-20\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0\quad 0\quad 0\\0\quad 0\quad 0\\0\quad 0\quad 0\end{bmatrix}=0\)
∴ AB = BA = 0 (Proved)
\(\mathbf{9. (i)\\}\)\(A=\begin{bmatrix}1\quad\quad 1\quad -1\\2\quad -3\quad\quad 4\\3\quad -2\quad\quad 3\end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}-1\quad -1\quad\quad 1\\\quad2\quad\quad 2\quad -2\\-3\quad -3\quad\quad 3\end{bmatrix}\)
হলে প্রমাণ করো যে AB ≠ 0 কিন্তু BA = 0

Solution:
\(\quad AB\\=\begin{bmatrix}1\quad\quad 1\quad -1\\2\quad -3\quad\quad 4\\3\quad -2\quad\quad 3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1\quad -1\quad\quad 1\\\quad2\quad\quad 2\quad -2\\-3\quad -3\quad\quad 3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-1+2+3\quad -1+2+3\quad 1-2-3\\-2-6-12\quad -2-6-12\quad 2+6+12\\-3-4-9\quad -3-4-9\quad 3+4+9\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 4\quad\quad 4\quad -4\\-20\quad -20\quad\quad 20\\-16\quad -16\quad\quad 16\end{bmatrix}\\\quad BA\\=\begin{bmatrix}-1\quad -1\quad\quad 1\\\quad2\quad\quad 2\quad -2\\-3\quad -3\quad\quad 3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\quad\quad 1\quad -1\\2\quad -3\quad\quad 4\\3\quad -2\quad\quad 3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-1-2+3\quad -1+3-2\quad\quad 1-4+3\\\quad 2+4-6\quad -2-6+4\quad -2+8-6\\-3-6+9\quad -3+9-6\quad\quad 3-12+9\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0\quad 0\quad 0\\0\quad 0\quad 0\\0\quad 0\quad 0\end{bmatrix}\\=0\)
∴ AB ≠ 0 কিন্তু BA = 0 (Proved)
Matrix S N Dey Solution Part-2
9. (ii)
α – β = (2n+1)π/2, n ∈ Z হলে প্রমান করো যে,
\(\begin{bmatrix}cos^2α\quad cosαsinα\\cosαsinα\quad sin^2α\end{bmatrix}\) এবং \(\begin{bmatrix}cos^2β\quad cosβsinβ\\cosβsinβ\quad sin^2β\end{bmatrix}\)
ম্যাট্রিক্স দুটির গুণফল হল একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স।

Solution:
\(\quad\begin{bmatrix}cos^2α\quad cosαsinα\\cosαsinα\quad sin^2α\end{bmatrix}\begin{bmatrix}cos^2β\quad cosβsinβ\\cosβsinβ\quad sin^2β\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}cos^2αcos^2β+cosαsinαcosβsinβ\quad cos^2αcosβsinβ+cosαsinαsin^2β\\cosαsinαcos^2β+sin^2αcosβsinβ\quad cosαsinαcosβsinβ+sin^2αsin^2β\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}cosαcosβcos(α-β)\quad cosαsinβcos(α-β)\\sinαcosβcos(α-β)\quad sinαsinβcos(α-β)\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0\quad 0\\0\quad 0\end{bmatrix}\quad [∵cos(α-β)=cos(2n+1)\frac{π}{2}=0]\\=0\quad\mathbf{(Proved)} \)
\(\mathbf{10.\\}\) \(A=\begin{pmatrix}1\quad 4\\2\quad 3\end{pmatrix}\) হলে দেখাও যে, \(A^2-4A-5I=0\) যেখানে \(I=\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}\) এবং \(0=\begin{pmatrix}0\quad 0\\0\quad 0\end{pmatrix}\)
Solution:
A² – 4A – 5I
\(=\begin{pmatrix}1\quad 4\\2\quad 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\quad 4\\2\quad 3\end{pmatrix}-4\begin{pmatrix}1\quad 4\\2\quad 3\end{pmatrix}-5\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}1+8\quad 4+12\\2+6\quad 8+9\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\quad 16\\8\quad 12\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5\quad 0\\0\quad 5\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}9\quad 16\\8\quad 17\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\quad 16\\8\quad 12\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5\quad 0\\0\quad 5\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}9-4-5\quad 16-16-0\\8-8-0\quad 17-12-5\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}0\quad 0\\0\quad 0\end{pmatrix}=0\quad\mathbf{(Proved)}\)
\(\mathbf{11. (ii)\\}\) \(A =\begin{pmatrix}\quad 1\quad 2\\-3\quad 0\end{pmatrix}\) হলে দেখাও যে, \(A^2+3A+5I =\begin{pmatrix}\quad3\quad\quad 8\\-12\quad -1\end{pmatrix}\)
Solution:
A² + 3A + 5I
\(=\begin{bmatrix}\quad 1\quad 2\\-3\quad 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\quad 1\quad 2\\-3\quad 0\end{bmatrix}+3\begin{bmatrix}\quad 1\quad 2\\-3\quad 0\end{bmatrix}+5\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1-6\quad 2+0\\-3+0\quad -6+0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}\quad 3\quad 6\\-9\quad 0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}5\quad 0\\0\quad 5\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-5\quad 2\\-3\quad -6\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}\quad 3+5\quad 6+0\\-9+0\quad 0+5\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-5\quad 2\\-3\quad -6\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}\quad 8\quad 6\\-9\quad 5\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}3\quad\quad 8\\-12\quad -1\end{bmatrix}\quad\mathbf{(Proved)}\)
(ii) যদি
\(A=\begin{bmatrix}\quad 1\quad 0\\-1\quad 7\end{bmatrix}\)এবং \(I=\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\)
হয়, তবে K-এর মান নির্ণয় করো যাতে A²= 8A + KI হয়।

Solution:
\(A^2=A×A\\=\begin{bmatrix}\quad 1\quad 0\\-1\quad 7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\quad 1\quad 0\\-1\quad 7\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1-0\quad 0+0\\-1-7\quad 0+49\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad\quad 0\\-8\quad 49\end{bmatrix}\\∵A^2=8A+KI\\⇒\begin{bmatrix}\quad 1\quad 0\\-8\quad 49\end{bmatrix}=8\begin{bmatrix}\quad 1\quad 0\\-1\quad 7\end{bmatrix}+K\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\\=⇒\begin{bmatrix}\quad 1\quad 0\\-8\quad 49\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\quad 8\quad 0\\-8\quad 56\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}K\quad 0\\0\quad K\end{bmatrix}\\=⇒\begin{bmatrix}\quad 1\quad 0\\-8\quad 49\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\quad K+8\quad 0\\-8\quad 56+K\end{bmatrix}\)
ম্যাট্রিক্সের সমতার সংজ্ঞানুসারে,
K + 8 = 1
বা, K = -7
Ans: K = -7
\(\mathbf{12.\\}\) \(A=\begin{pmatrix}\quad1\quad\quad 2\\-1\quad -2\end{pmatrix}\) এবং \(B =\begin{pmatrix}-1\quad 3\\-3\quad 1\end{pmatrix}\)
হলে দেখাও যে, (A + B)² ≠ A² + 2AB + B²
\((A+B)\\=\begin{pmatrix}\quad 1\quad\quad 2\\-1\quad -2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1\quad 3\\-3\quad 1\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}\quad 0\quad\quad 5\\-4\quad -1\end{pmatrix}\\\)\(\mathbf{L.H.S.}\\\)\((A+B)^2\\=(A+B)(A+B)\\=\begin{pmatrix}\quad 0\quad\quad 5\\-4\quad -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\quad 0\quad\quad 5\\-4\quad -1\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}\quad 0-20\quad\quad 0-5\\0+4\quad -20+1\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}-20\quad -5\\\quad 4\quad -19\end{pmatrix}\\A^2=A×A\\=\begin{pmatrix}\quad 1\quad\quad 2\\-1\quad -2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\quad 1\quad\quad 2\\-1\quad -2\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}1-2\quad 2-4\\-1+2\quad -2+4\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}-1\quad -2\\1\quad\quad 2\end{pmatrix}\\AB\\=\begin{pmatrix}\quad 1\quad\quad 2\\-1\quad -2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1\quad 3\\-3\quad 1\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}-1-6\quad 3+2\\1+6\quad -3-2\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}-7\quad 5\\7\quad -5\end{pmatrix}\\B^2=B×B\\=\begin{pmatrix}-1\quad 3\\-3\quad 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1\quad 3\\-3\quad 1\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}1-9\quad -3+3\\3-3\quad -9+1\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}-8\quad 0\\0\quad -8\end{pmatrix}\)
\(\mathbf{R.H.S.}\\\)\(A^2+2AB+B^2\\=\begin{pmatrix}-1\quad -2\\1\quad\quad 2\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}-7\quad\quad 5\\\quad 7\quad -5\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-8\quad 0\\\quad 0\quad -8\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}-1\quad -2\\1\quad\quad 2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-14\quad 10\\\quad 14\quad -10\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-8\quad 0\\\quad 0\quad -8\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}-23\quad 8\\15\quad -16\end{pmatrix}\)
(A + B)² ≠ A² + 2AB + B² (Proved)
\(\mathbf{13. (i)\\}\) \(\begin{pmatrix}2\quad 1\\3\quad 4\end{pmatrix}×\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\quad 1\\-1\end{pmatrix}\)
হলে x ও y -এর মান নির্ণয় করো।

Solution:
\(\quad\begin{pmatrix}2\quad 1\\3\quad 4\end{pmatrix}×\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\quad 1\\-1\end{pmatrix}\\⇒\begin{pmatrix}2x+y\\ 3x+4y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\quad 1\\-1\end{pmatrix}\)
ম্যাট্রিক্সের সমতার সংজ্ঞানুসারে,
2x + y = 1 – – – – (i)
3x + 4y = -1 – – – – (ii)
(i)×4 – (ii)×1 করে পাই,
8x + 4y – 3x – 4y= 1 + 4
⇒ 5x = 5
∴ x = 1
(i) নং x = 1-এ বসিয়ে পাই-
2 + y = 1
∴ x = -1
Ans: x = 1 ; y = -1
Matrix S N Dey Solution Part-2
\(\mathbf{(ii)\\}\) \(A=\begin{bmatrix}3\quad -2\\4\quad -2\end{bmatrix}\)
হলে K-এর মান নির্ণয় করো যাতে A² = KA – 2I₂ হয়।

Solution:
\(A^2=A×A\\=\begin{bmatrix}3\quad -2\\4\quad -2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\quad -2\\4\quad -2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}9-8\quad -6+4\\12-8\quad -8+4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad -2\\4\quad -4\end{bmatrix}\\∵A^2=KA-2I_2\\∴\begin{bmatrix}1\quad -2\\4\quad -4\end{bmatrix}=k\begin{bmatrix}3\quad -2\\4\quad -2\end{bmatrix}-2\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}1\quad -2\\4\quad -4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3k\quad -2k\\4k\quad -2k\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}2\quad 0\\0\quad 2\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}1\quad -2\\4\quad -4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3k+2\quad -2k+0\\4k+0\quad -2k-2\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}1\quad -2\\4\quad -4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3k+2\quad -2k\\4k\quad -2k-2\end{bmatrix}\)
ম্যাট্রিক্সের সমতার সংজ্ঞানুসারে,
4 = 4k
∴ k = 1
Ans: k = 1 ;
\(\mathbf{14.\\}\)\(A =\begin{pmatrix}\quad 4\quad 2\\-1\quad 1\end{pmatrix}\)এবং \(I=\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}\) হলে প্রমাণ করো যে,\((A-2I)(A-3I)=\begin{pmatrix}0\quad 0\\0\quad 0\end{pmatrix}\)
Solution:
\(\quad (A-2I)\\=\begin{pmatrix}\quad 4\quad 2\\-1\quad 1\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}\quad 4\quad 2\\-1\quad 1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\quad 0\\0\quad 2\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix} 2\quad\quad\quad 2\\-1\quad -1\end{pmatrix}\\\quad (A-3I)\\=\begin{pmatrix}\quad 4\quad 2\\-1\quad 1\end{pmatrix}-3\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}\quad 4\quad 2\\-1\quad 1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\quad 0\\0\quad 3\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix} 1\quad\quad\quad 2\\-1\quad -2\end{pmatrix}\\∴(A-2I)(A-3I)\\=\begin{pmatrix}\quad 2\quad\quad 2\\-1\quad -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\quad\quad 2\\-1\quad -2\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}\quad 2-2\quad 4-4\\-1+1\quad -2+2\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}0\quad 0\\0\quad 0\end{pmatrix}\quad\mathbf{(Proved)}\)
Matrix S N Dey Solution Part-2
\(\mathbf{15.}\\\)\(A=\begin{pmatrix}\quad 1\quad i\\-i\quad 1\end{pmatrix}\) এবং \(B =\begin{pmatrix}\quad i\quad -1\\-1\quad -i\end{pmatrix}\) হলে (\(i =\sqrt{-1}\))
AB ও BA নির্ণয় করো।

Solution:
\(AB\\=\begin{pmatrix}\quad 1\quad i\\-i\quad 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\quad i\quad -1\\-1\quad -i\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}i-i\quad -1-i^2\\-i^2-1\quad i-i\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}\quad0\quad -1+1\\1-1\quad\quad 0\end{pmatrix}\\= \begin{pmatrix}0\quad 0\\0\quad 0\end{pmatrix}\\\quad BA\\=\begin{pmatrix}\quad i\quad -1\\-1\quad -i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\quad 1\quad i\\-i\quad 1\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}i+i\quad\quad i^2-1\\-1+i^2\quad -i-i\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}2i\quad\quad -1-1\\-1-1\quad\quad -2i\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}2i\quad -2\\-2\quad -2i\end{pmatrix}\quad\mathbf{(Ans)}\)
16. \(X=\begin{bmatrix}\quad1\quad -3\quad -4\\-1\quad\quad 3\quad\quad 4\\\quad 1\quad -3\quad -4\end{bmatrix}\)
হলে দেখাও যে, X² = 0 যেখানে 0 হল 3×3 ক্রমের শূন্য ম্যাট্রিক্স।

Solution:
\(X^2=X×X\\=\begin{bmatrix}\quad1\quad -3\quad -4\\-1\quad\quad 3\quad\quad 4\\\quad 1\quad -3\quad -4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\quad1\quad -3\quad -4\\-1\quad\quad 3\quad\quad 4\\\quad 1\quad -3\quad -4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 1×1+(-3)(-1)+(-4)1\quad 1(-3)+(-3)3+(-4)×(-3)\quad 1(-4)+(-3)4+(-4)(-4)\\(-1)1+3×(-1)+4×1\quad\quad (-1)(-3)+3×3+4(-3)\quad\quad (-1)(-4)+3×4+4(-4)\\\quad 1×1+(-3)(-1)+(-4)1\quad 1(-3)+(-3)3+(-4)(-3)\quad 1(-4)+(-3)4+(-4)(-4)\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 1+3-4\quad -3-9+12\quad -4-12+16\\-1-3+4\quad\quad 3+9-12\quad\quad 4+12-16\\\quad 1+3-4\quad -3-9+12\quad -4-12+16\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0\quad 0\quad 0\\0\quad 0\quad 0\\0\quad 0\quad 0\end{bmatrix}\\∴X^2=0\quad\mathbf{(Ans)}\)
Matrix S N Dey Solution Part-2
\(\mathbf{17.}\\\)\(A=\begin{pmatrix}1\quad -3\quad\quad 4\quad 2\\0\quad\quad 5\quad -2\quad 3\end{pmatrix}\) এবং \(B=\begin{pmatrix}-5\quad 0\quad\quad 6\quad -4\\7\quad 8\quad -2\quad\quad 5\end{pmatrix}\)
হলে 2×4 ক্রমের X ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করো যখন 3A – 2X = B

Solution:
3A – 2X = B
⇒ 2X = 3A – B
\(∴2x=3\begin{pmatrix}1\quad -3\quad\quad 4\quad 2\\0\quad\quad 5\quad -2\quad 3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-5\quad 0\quad\quad 6\quad -4\\7\quad 8\quad -2\quad\quad 5\end{pmatrix}\\⇒2x=\begin{pmatrix}3\quad -9\quad\quad 12\quad 6\\0\quad\quad 15\quad -6\quad 9\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-5\quad 0\quad\quad 6\quad -4\\7\quad 8\quad -2\quad\quad 5\end{pmatrix}\\⇒2x=\begin{pmatrix}8\quad -9\quad\quad 6\quad10\\-7\quad\quad 7\quad -4\quad 4\end{pmatrix}\\⇒x=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}8\quad -9\quad\quad 6\quad10\\-7\quad\quad 7\quad -4\quad 4\end{pmatrix}\\⇒x=\begin{pmatrix}4\quad -\frac{9}{2}\quad\quad 3\quad 5\\-\frac{7}{2}\quad\quad \frac{7}{2}\quad -2\quad 2\end{pmatrix}\quad\mathbf{(Ans)}\)
\(\mathbf{18.}\) \(A=\begin{pmatrix}3\quad 2\\3\quad 3\end{pmatrix}\) এবং \(B=\begin{pmatrix}\quad 1\quad -\frac{2}{3}\\-1\quad\quad 1\end{pmatrix}\)
হলে দেখাও যে, AB = I₂ যেখানে I₂ হল 2 ক্রমের একক ম্যাট্রিক্স।

Solution:
\(AB\\=\begin{pmatrix}3\quad 2\\3\quad 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\quad 1\quad -\frac{2}{3}\\-1\quad\quad 1\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}3-2\quad -2+2\\3-3\quad -2+1\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}\\=I_2\quad \mathbf{(Proved)}\)
\(\mathbf{19.}\\A=\begin{bmatrix}1\quad -1\\2\quad -1\end{bmatrix}\quad এবং \quad B=\begin{bmatrix}a\quad\quad 1\\b\quad -1\end{bmatrix}\)
এবং (A + B)² = A² + B² হলে a ও b -এর মান নির্ণয় করো।

Solution:
\(A+B\\=\begin{bmatrix}1\quad -1\\2\quad -1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}a\quad\quad 1\\b\quad -1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1+a\quad -1+1\\2+b\quad -1-1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1+a\quad \quad0\\2+b\quad -2\end{bmatrix}\\∴(A+B)^2\\=(A+B)(A+B)\\=\begin{bmatrix}1+a\quad\quad 0\\2+b\quad -2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1+a\quad \quad 0\\2+b\quad -2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}(a+1)(a+1)+0×(b+2)\quad (a+1)×0+0×-2\\(b+2)×(a+1)-2(b+2)\quad (b+2)×0-2×-2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}(a+1)^2\quad\quad\quad 0\\(b+2)×(a+1)-2(b+2)\quad 4\end{bmatrix}\\\quad A^2\\=\begin{bmatrix}1\quad -1\\2\quad -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\quad -1\\2\quad -1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1-2\quad -1+1\\2-2\quad -2+1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-1\quad 0\\0\quad -1\end{bmatrix}\\\quad B^2\\=\begin{bmatrix}a\quad\quad 1\\b\quad -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\quad\quad 1\\b\quad -1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}a^2+b\quad a-1\\ab-b\quad b+1\end{bmatrix}\)
প্রশ্নানুযায়ী,
(A + B)² = A² + B²
\(∴ \begin{bmatrix}(a+1)^2\quad\quad\quad 0\\(b+2)(a+1)-2(b+2)\quad 4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1\quad 0\\0\quad -1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}a^2+b\quad a-1\\ab-b\quad b+1\end{bmatrix}\\⇒ \begin{bmatrix}(a+1)^2\quad\quad\quad 0\\(b+2)(a+1)-2(b+2)\quad 4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a^2+b-1\quad a-1\\ab-b\quad\quad b\end{bmatrix}\\\)
ম্যাট্রিক্সের সমতার সংজ্ঞানুসারে,
a – 1 = 0 এবং b = 4
∴ a = 1
Ans: a = 1 ; b = 2;
Matrix S N Dey Solution Part-2
\(\mathbf{20.\\A=\begin{bmatrix}1\quad 1\\2\quad 2\\3\quad 3\end{bmatrix}}\)
হলে AA^T নির্ণয় করো।Solution:
\(A=\begin{bmatrix}1\quad 1\\2\quad 2\\3\quad 3\end{bmatrix}\\∴A^T=\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\\1\quad 2\quad 3\end{bmatrix}\)
A ম্যাট্রিক্সের স্তম্ভ সংখ্যা = A^T ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা = 2
∴AA^T সংজ্ঞাত
\(\quad AA^T\\=\begin{bmatrix}1\quad 1\\2\quad 2\\3\quad 3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\\1\quad 2\quad 3\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}1×1+1×1\quad 1×2+1×2\quad 1×3+1×3\\2×1+2×1\quad 2×2+2×2\quad 2×3+2×3\\3×1+3×1\quad 3×2+3×2\quad 3×3+3×3\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}1+1\quad 2+2\quad 3+3\\2+2\quad 4+4\quad 6+6\\3+3\quad 6+6\quad 9+9\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}2\quad 4\quad 6\\4\quad 8\quad 12\\6\quad 12\quad 18\end{bmatrix}\quad\mathbf{(Ans)}\)
\(\mathbf{21.\\A=\begin{pmatrix}x\quad -2\\2\quad\quad 1\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}3\quad 4\\0\quad 1\end{pmatrix},C=\begin{pmatrix}-1\quad -2\\y\quad\quad 2\end{pmatrix}}\)
এবং A + B = BC হলে x ও y -এর মান নির্ণয় করো।

Solution:
∵ A + B = BC
\(∴\begin{pmatrix}x\quad -2\\2\quad\quad 1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\quad 4\\0\quad 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\quad 4\\0\quad 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1\quad -2\\y\quad\quad 2\end{pmatrix}\\⇒\begin{pmatrix}x+3\quad -2+4\\2+0\quad 1+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3+4y\quad -6+8\\0+y\quad 0+2\end{pmatrix}\\⇒\begin{pmatrix}x+3\quad 2\\2\quad\quad 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4y-3\quad 2\\y\quad\quad 2\end{pmatrix}\)
ম্যাট্রিক্সের সমতার সংজ্ঞানুসারে,
y = 2
এবং x + 3 = 4y – 3
⇒ x = 4y – 6
⇒ x = 4.2 – 6
⇒ x = 8 – 6 = 2
Ans: x = 2,
y = 2
দশম শ্রেণীর ভৌত বিজ্ঞান এবং জীবন বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন
22. দুটি ম্যাট্রিক্স A ও B -এর ক্ষেত্রে AB = 0 হলে A অথবা B-এর একটি কি শূন্য ম্যাট্রিক্স হবে? উদাহরণের সাহায্যে বোঝাও।

Solution:
দুটি ম্যাট্রিক্স A ও B -এর ক্ষেত্রে AB = 0 হলে A অথবা B-এর একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স নাও হতে পারে।
উদাহরণঃ
ধরি,
\(A=\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 0\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}0\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}\\∴AB=\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}1×0+0×0\quad 1×0+0×1\\0×0+0×0\quad 0×0+0×1\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}0\quad 0\\0\quad 0\end{pmatrix}\)
23. (i) দেখাও যে,
\(A=\begin{pmatrix}\quad 2\quad -1\\-1\quad\quad 2\end{pmatrix}\)
ম্যাট্রিক্স A² – 4A + 3I = 0 সমীকরণকে সিদ্ধ করে।
\(\mathbf{Solution:}\\A=\begin{pmatrix}\quad 2\quad -1\\-1\quad\quad 2\end{pmatrix}\\∴A^2\\=\begin{pmatrix}\quad 2\quad -1\\-1\quad\quad 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\quad 2\quad -1\\-1\quad\quad 2\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}2×2+-1×-1\quad\quad 2×-1+-1×2\\-1×2+2×-1\quad\quad -1×-1+2×2\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}\quad 5\quad -4\\-4\quad\quad 5\end{pmatrix}\\∴A^2-4A+3I\\=\begin{pmatrix}\quad 5\quad -4\\-4\quad\quad 5\end{pmatrix}-4\begin{pmatrix}\quad 2\quad -1\\-1\quad\quad 2\end{pmatrix}+3\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}\quad 5\quad -4\\-4\quad\quad 5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\quad 8\quad -4\\-4\quad\quad 8\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\quad 0\\0\quad 3\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}\quad 5-8+3\quad -4+4+0\\-4+4+0\quad\quad 5-8+3\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}0\quad 0\\0\quad 0\end{pmatrix}\\=0\quad \mathbf{Proved}\)
23. (ii)
\((ii)A=\begin{bmatrix}2\quad -1\\3\quad\quad 2\end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}\quad 0\quad 4\\-1\quad 7\end{bmatrix}\)
হলে 3A² – 2B + I ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করো।

Solution:
\(\quad A^2\\=\begin{bmatrix}2\quad -1\\3\quad\quad 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\quad -1\\3\quad\quad 2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}2×2-1×3\quad\quad 2×-1-1×2\\3×2+2×3\quad\quad 3×-1+2×2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad -4\\12\quad\quad 1\end{bmatrix}\\∴3A^2-2B+I\\=3\begin{bmatrix}1\quad -4\\12\quad\quad 1\end{bmatrix}-2\begin{bmatrix}\quad 0\quad 4\\-1\quad 7\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}3\quad -12\\36\quad\quad 3\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\quad 0\quad 8\\-2\quad 14\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}3-0+1\quad -12-8+0\\36+2+0\quad\quad 3-14+1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}4\quad\quad -20\\38\quad\quad -10\end{bmatrix}\quad\mathbf{(Ans)}\)
24.
\(\begin{bmatrix}1\quad x\quad 1\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\quad 3\quad 2\\2\quad 5\quad 1\\15 \quad 3\quad 2\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\\2\\x\end{bmatrix}=0\)
হলে x-এর মান নির্ণয় করো।

Solution:
\(\begin{bmatrix}1\quad x\quad 1\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\quad 3\quad 2\\2\quad 5\quad 1\\15 \quad 3\quad 2\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\\2\\x\end{bmatrix}=0\\⇒\begin{bmatrix}1+2x+15\quad 3+5x+3\quad 2+x+2\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\\2\\x\end{bmatrix}=0\\⇒\begin{bmatrix}2x+16\quad 5x+6\quad x+4\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\\2\\x\end{bmatrix}=0\\⇒\begin{bmatrix}(2x+16)×1+(5x+6)×2+(x+4)×x\end{bmatrix}=0\\⇒\begin{bmatrix}2x +16 +10x + 12 + x^2 + 4x = 0\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}x^2+16x+28=0\end{bmatrix}\)
ম্যাট্রিক্সের সমতার সংজ্ঞানুসারে,
x² + 16x + 28 = 0
⇒ x² + 14x + 2x + 28 = 0
⇒ x(x + 14) +2(x +14) = 0
⇒ (x + 14)(x +2) = 0
হয় (x + 14) = 0 নতুবা (x +2) = 0
∴ x = -14 বা x = -2
Ans: x = -2 , -14
PREVIOUS
NEXT
December 31, 2023

ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা কষে দেখি 19

ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা কষে দেখি 19

ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা কষে দেখি 19

প্রয়োজনীয় বৈশিষ্ট্য, সূত্র ও ধর্মাবলীঃ

⛔ আয়তঘন বা সমকোণী চৌপল ⛔

👉👉 সমকোণী চৌপল বা আয়তঘনের
দৈর্ঘ্য = a একক
প্রস্থ = b একক
উচ্চতা = c একক হলে,
👉 সমকোণী চৌপল বা আয়তঘনের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= 2 ( ab +bc +ca ) বর্গএকক
👉 সমকোণী চৌপলের আয়তন
= a×b×c ঘনএকক
👉 সমকোণী চৌপলের কর্ণ

\(\quad\quad\quad=\sqrt{ a^{2} + b^{2} + c^{2}}\) একক

⛔ ঘনক ⛔

👉👉 ঘনকের
বাহুর দৈর্ঘ্য = a একক হলে,
👉 ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= 6a² বর্গএকক
👉 ঘনকের আয়তন
= a³ ঘনএকক
👉 ঘনকের কর্ণ
=√3.a একক

⛔ লম্ব-বৃত্তাকার চোঙ ⛔

👉👉 চোঙের বৃত্তাকার তল দুটির
ব্যাসার্ধ r একক এবং
উচ্চতা h একক হলে,
👉 চোঙটির ভূমির ক্ষেত্রফল
= πr² বর্গএকক
👉 চোঙটির পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল
= 2πrh বর্গএকক
👉 চোঙটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= 2πr(r + h) বর্গএকক
👉 চোঙটির ঘনফল বা আয়তন
= πr²h ঘনএকক

⛔ ফাঁপা লম্ব-বৃত্তাকার চোঙ ⛔

👉👉 কোনো ফাঁপা চোঙের
বাইরের ব্যাসার্ধ R একক,
ভিতরের ব্যাসার্ধ r একক এবং
উচ্চতা h একক হলে
👉 চোঙটির ভিতরের ও বাইরের বক্রতলের মোট ক্ষেত্রফল
= 2π(R + r)h বর্গএকক
👉 ফাঁপা চোঙটির ঘনফল বা আয়তন
= π(R² − r²)h ঘনএকক*******

⛔ লম্ব-বৃত্তাকার শঙ্কু ⛔

👉👉 শঙ্কুর
ভূমির ব্যাসার্ধ r₁ একক,
উচ্চতা h একক এবং
তির্যক উচ্চতা l একক হলে,
👉 পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল
= πrl বর্গএকক
👉 সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
=πr(r+l) বর্গএকক
👉 আয়তন বা ঘনফল
= ¹/₃πr²h ঘনএকক
👉 তির্যক উচ্চতা ( l )

\(\quad\quad\quad =\sqrt{r^{2}+h^{2}}\) একক

⛔ গোলক ⛔

👉👉 গোলকের
ব্যাসার্ধ r একক হলে,
👉 গোলকের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল
=4πr² বর্গএকক
👉 গোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= 4πr²বর্গএকক
👉 গোলকের আয়তন বা ঘনফল
= ⁴/₃ πr³ ঘনএকক

⛔ অর্ধগোলক ⛔

👉👉 অর্ধগোলকের
ব্যাসার্ধ r একক হলে,
👉 অর্ধগোলকের ভূমির ক্ষেত্রফল
= πr² বর্গএকক
👉 অর্ধগোলকের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল
= 2πr² বর্গএকক
👉 অর্ধগোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= 3πr² বর্গএকক
👉 অর্ধগোলকের আয়তন বা ঘনফল
= ²/₃ πr³ ঘনএকক

1. আনোয়ারদের বাড়ির সামনে একটি নিরেট লোহার স্তম্ভ আছে যার নীচের অংশ লম্ব বৃত্তাকার চোঙ আকৃতির এবং উপরের অংশ শঙ্কু আকৃতির। এদের ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 20 সেমি, চোঙাকৃতি অংশের উচ্চতা 2.8 মিটার এবং শঙ্কু আকৃতি অংশের উচ্চতা 42 সেমি। 1 ঘন সেমি লোহার ওজন 7.5 গ্রাম হলে, লোহার স্তম্ভের ওজন কত হবে তা হিসাব করে লিখি।

Solution:
চোঙাকৃতি অংশের ভূমিতলের ব্যাসার্ধ = ²⁰/₂ = 10 সেমি.
চোঙাকৃতি অংশের উচ্চতা = 2.8 মিটার = 280 সেমি.
∴ চোঙাকৃতি অংশের আয়তন
= πr²h
= π(10)²×280 ঘন সেমি.
=227×10×10×280=88000×10×10×280=88000 ঘন সেমি।
শঙ্কু আকৃতি অংশের উচ্চতা 42 সেমি।
∴ শঙ্কু আকৃতি অংশের আয়তন
= ¹/₃πr²h
= ¹/₃π(10)²×42 ঘন সেমি.
∴ লোহার স্তম্ভের মোট আয়তন
= চোঙাকৃতি অংশের আয়তন + শঙ্কু আকৃতি অংশের আয়তন
= π(10)²×280 + ¹/₃π(10)²×42 ঘন সেমি.
= π(10)²(280 + ¹/₃×42) ঘন সেমি.
= π(10)²(280 + 14) ঘন সেমি.
= ²²/₇×100×(280 + 14) ঘন সেমি.
= ²²/₇×100×294 ঘন সেমি.
= 22×100×42 ঘন সেমি.
= 92400 ঘন সেমি.
1 ঘন সেমি লোহার ওজন 7.5 গ্রাম
∴92400 ঘন সেমি. লোহার স্তম্ভের ওজন
= 92400 × 7.5 গ্রাম
= 693000 গ্রাম
= 693 কিগ্রা.
Ans: লোহার স্তম্ভের ওজন 693 কিগ্রা.

2. একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা 20 সেমি এবং তির্যক উচ্চতা 25 সেমি। শঙ্কুটির সমান আয়তনবিশিষ্ট একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙের উচ্চতা 15 সেমি হলে, চোঙটির ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

Solution:
নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা(h₁) 20 সেমি. এবং তির্যক উচ্চতা(l) 25 সেমি.
∴ শঙ্কুটির ভূমিতলের ব্যাসার্ধ r₁ সেমি. হলে,
r₁² + h₁² = l²
⇒ r₁² = l² – h²
⇒ r₁² = (25)² – (20)²
⇒ r₁² = 625 – 400
⇒ r₁² = 625
∴ r₁ = 15
∴ শঙ্কুটির আয়তন
= ¹/₃πr₁²h
= ¹/₃π×(15)²×20 ঘন সেমি.
= ¹/₃π×15×15×20 ঘন সেমি.
= 15×100π ঘন সেমি.
লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধ r₂ সেমি.
লম্ব বৃত্তাকার চোঙের উচ্চতা(h₂) 15 সেমি.।
∴ লম্ব বৃত্তাকার চোঙের আয়তন
= πr₂²h₂
= πr₂²×15 ঘন সেমি.
= 15πr₂² ঘন সেমি.
প্রশ্নানুসারে,
15πr₂² = 15×100π
⇒ r₂² = 100
∴ r₂ = 10
∴ 2r₂ = 20
Ans: চোঙটির ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 20 সেমি.

3. 24 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসবিশিষ্ট একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙাকৃতি পাত্রে কিছু জল আছে। 6 সেমি. দৈর্ঘ্যের ভূমিতলের ব্যাস ও 4 সেমি. উচ্চতাবিশিষ্ট 60 টি নিরেট শঙ্কু আকৃতির লোহার টুকরো ওই জলে সম্পূর্ণভাবে নিমজ্জিত করলে, জলতলের উচ্চতা কতটা বৃদ্ধি পাবে হিসাব করে লিখি।

Solution:
নিরেট শঙ্কু আকৃতির লোহার টুকরোর ভূমিতলের ব্যাস = 6 সেমি.
∴ ভূমিতলের ব্যাসার্ধ = ⁶/₂ = 3 সেমি.
এবং উচ্চতা 4 সেমি.
∴ প্রতিটি লোহার টুকরোর আয়তন
= ¹/₃πr²h
= ¹/₃π×(3)²×4 ঘন সেমি.
∴ 60 টি নিরেট শঙ্কু আকৃতির লোহার টুকরোর আয়তন
= 60×¹/₃π×(3)²×4 ঘন সেমি.
= 60×π×3×4 ঘন সেমি.
∴ লম্ব বৃত্তাকার চোঙাকৃতি পাত্রের ব্যাসার্ধ = 12 সেমি.
লম্ব বৃত্তাকার চোঙাকৃতি পাত্রের ভূমির ক্ষেত্রফল
= πr²
= π×12×12 বর্গ সেমি.
∴ জলতল বৃদ্ধি পাবে

\(=\frac{60×π×3×4}{π×12×12}\quad cm.\\=\frac{5×3×4}{12}\quad cm.\\=5\quad cm.\)

Ans: জলতলের উচ্চতা 5 সেমি. বৃদ্ধি পাবে।

ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা কষে দেখি 19

4. একই দৈর্ঘ্যের ভূমিতলের ব্যাসার্ধ এবং একই উচ্চতাবিশিষ্ট একটি নিরেট শঙ্কু ও একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 5 : 8 হলে, উহাদের ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য ও উচ্চতার অনুপাত নির্ণয় করি।

Solution:
ধরি, নিরেট শঙ্কু ও লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ভূমিতলের ব্যাসার্ধ r একক এবং উচ্চতা h একক।
আরও ধরি শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা l ,
l² = h² + r²h একক
নিরেট শঙ্কুর বক্রতলের ক্ষেত্রফল = πrl বর্গ একক
লম্ব বৃত্তাকার চোঙের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πrh বর্গ একক
প্রশ্নানুসারে,

\(\quad\frac{πrl}{2πrh}=\frac{5}{8}\\⇒\frac{l}{2h}=\frac{5}{8}\\⇒\frac{l}{h}=\frac{5}{4}\\⇒25h^2=16l^2\\⇒25h^2=16(h^2+r^2)\\⇒25h^2-16h^2=16r^2\\⇒9h^2=16r^2\\⇒3h=4r\\\quad∴r:h=3:4\)

Ans: ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য ও উচ্চতার অনুপাত 3 : 4

অধ্যায়	বিষয়	কষে দেখি
1	একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic Equations with one variable)	কষে দেখি – 1.1 কষে দেখি – 1.2 কষে দেখি – 1.3 কষে দেখি – 1.4 কষে দেখি – 1.5
2	সরল সুদকষা (Simple Interest)	কষে দেখি – 2
3	বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য (Theorems related to circle)	কষে দেখি – 3.1 কষে দেখি – 3.2
4	আয়তঘন (Rectangular Parallelopiped or Cuboid)	কষে দেখি – 4
5	অনুপাত ও সমানুপাত (Ratio and Proportion)	কষে দেখি – 5.1 কষে দেখি – 5.2 কষে দেখি – 5.3
6	চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সমহার বৃদ্ধি বা হ্রাস (Compound Interest and Uniform Rate of Increase or Decrease)	কষে দেখি – 6.1 কষে দেখি – 5.2
7	বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য (Theorems related to Angles in a Circle)	কষে দেখি – 7.1 কষে দেখি – 7.2 কষে দেখি – 7.3
8	লম্ব বৃত্তাকার চোঙ (Right Circular Cylinder)	কষে দেখি – 8
9	দ্বিঘাত করণী (Quadratic Surd)	কষে দেখি – 9.1 কষে দেখি – 9.2 কষে দেখি – 9.3
10	বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Cyclic Quadrilateral)	কষে দেখি – 10
11	সম্পাদ্য : ত্রিভুজের পরিবৃত্ত ও অন্তবৃত্ত অঙ্কন (Construction : Construction of circumcircle and incircle of a triangle)	কষে দেখি – 11.1
12	গোলক (Sphere)	কষে দেখি – 12
13	ভেদ (Variation)	কষে দেখি – 13
14	অংশীদারি কারবার (Partnership Business)	কষে দেখি – 14
15	বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Tangent to a Circle)	কষে দেখি – 15.1 কষে দেখি – 15.2
16	লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু (Right Circular Cone)	কষে দেখি – 16
17	সম্পাদ্য : বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন (Construction: Construction of Tangent to a circle)	কষে দেখি – 17
18	সদৃশতা (Similarity)	কষে দেখি – 18.1 কষে দেখি – 18.2 কষে দেখি – 18.3 কষে দেখি – 18.4
19	বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা (Real life Problems related to different Solid Objects)	কষে দেখি – 19
20	ত্রিকোণমিতি: কোণ পরিমাপের ধারণা	কষে দেখি – 20
21	সম্পাদ্য : মধ্যসমানুপাতী নির্ণয় (Construction : Determination of Mean Proportional )	কষে দেখি – 21
22	পিথাগোরাসের উপপাদ্য (Pythagoras Theorem)	কষে দেখি – 22
23	ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি (Trigonometric Ratios and Trigonometric Identities)	কষে দেখি – 23.1 কষে দেখি – 23.2 কষে দেখি – 23.3
24	পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত (Trigonometric Ratios of Complementrary angle )	কষে দেখি – 24
25	ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ : উচ্চতা ও দূরত্ব (Application of Trigonometric Ratios: Heights & Distances)	কষে দেখি – 25
26	রাশিবিজ্ঞান : গড়, মধ্যমা, ওজাইভ, সংখ্যাগুরুমান (Statistics : Mean, Median, Ogive, Mode)	কষে দেখি – 26.1 কষে দেখি – 26.2 কষে দেখি – 26.3 কষে দেখি – 26.4

5. 8 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি নিরেট লোহার গোলককে গলিয়ে 1 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসের কয়টি নিরেট গুলি পাওয়া যাবে হিসাব করে দেখি।

Solution:
নিরেট লোহার গোলকের ব্যাসার্ধ 8 সেমি.।
∴ নিরেট লোহার গোলকের আয়তন
= ⁴/₃πr³
= ⁴/₃π(8)³ ঘন সেমি.।
প্রতিটি নিরেট গুলির ব্যাস = 1 সেমি.
∴ নিরেট গুলির ব্যাসার্ধ = ¹/₂ সেমি.
∴ প্রতিটি নিরেট গুলির আয়তন
= ⁴/₃πr³
= ⁴/₃π(¹/₂)³ ঘন সেমি.
ধরি, n টি নিরেট গুলি পাওয়া যাবে।
∴ n×⁴/₃π(¹/₂)³ = ⁴/₃π(8)³
⇒ n×(¹/₂)³ = (8)³
⇒ n×¹/₈ = 512
⇒ n = 512×8
⇒ n = 4096
Ans: 4096 টি নিরেট গুলি পাওয়া যাবে।

6. একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার লোহার দন্ডের ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 32 সেমি. এবং দৈর্ঘ্য 35 সেমি.। দন্ডটি গলিয়ে 8 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধ ও 28 সেমি. উচ্চতাবিশিষ্ট কতগুলি নিরেট শঙ্কু তৈরি করা যাবে তা হিসাব করে লিখি।

Solution:
নিরেট লম্ব বৃত্তাকার দন্ডের ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য (r) 32 সেমি. এবং উচ্চতা (h) 35 সেমি.।
∴ লোহার দন্ডের আয়তন
= πr²h
= π×32×32×35 ঘন সেমি.
= π×32×32×35 ঘন সেমি.।
প্রতিটি নিরেট শঙ্কুর ব্যাসার্ধ 8 সেমি. এবং উচ্চতা 28 সেমি.।
∴ প্রতিটি নিরেট শঙ্কুর আয়তন
= ¹/₃πr²h
= ¹/₃π×8×8×28 ঘন সেমি.।
ধরি, দন্ডটি গলিয়ে n টি নিরেট শঙ্কু তৈরি করা যাবে।
∴ n×¹/₃π×8×8×28= π×32×32×35
⇒ n×¹/₃×28= 4×4×35
⇒ n= 4×5×3
∴ n =60
Ans: দন্ডটি গলিয়ে 60 টি নিরেট শঙ্কু তৈরি করা যাবে

ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা কষে দেখি 19

7. 4.2 ডেসিমি. দৈর্ঘ্যের ধারবিশিষ্ট একটি নিরেট কাঠের ঘনক থেকে সবচেয়ে কম কাঠ নষ্ট করে যে নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু পাওয়া যাবে তার আয়তন নির্ণয় করি।

Solution:
কাঠের ঘনকের প্রতিটি ধারের দৈর্ঘ্য 4.2 ডেসিমি. = 42 সেমি.।
নিরেট কাঠের ঘনক থেকে সবচেয়ে কম নষ্ট করে যে নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু পাওয়া যাবে তার ভূমিতলের ব্যাসার্ধ ^4.2/₂ = 2.1ডেসিমি. =21 সেমি. এবং উচ্চতা 42 সেমি.।
∴ নিরেট শঙ্কুটির আয়তন
= ¹/₃πr²h
= ¹/₃×²²/₇×21×21×42 ঘন সেমি.
= 22×21×42 ঘন সেমি.
= 19404 ঘন সেমি.।
Ans: নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন 19404 ঘন সেমি.।

8. একটি নিরেট গোলক ও একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য সমান ও তাদের ঘনফলও সমান হলে , চোঙটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য ও উচ্চতার অনুপাত হিসাব করে লিখি।

Solution:
মনে করি, চোঙটির ব্যাসার্ধ r একক এবং উচ্চতা h একক।
∴ গোলকটির ব্যাসার্ধ r একক।
চোঙটির আয়তন = πr²h ঘন একক এবং
গোলকটির আয়তন = ⁴/₃πr³ ঘন একক
প্রশ্নানুসারে,
⁴/₃πr³ = πr²h
⇒ 4r = 3h
⇒ ^r/_h = ³/₄
∴ r : h = 3 : 4
Ans: চোঙটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য ও উচ্চতার অনুপাত 3 : 4।

9. 6.6 ডেসিমি. দীর্ঘ, 4.2 ডেসিমি. প্রশস্ত এবং 1.4 ডেসিমি. পুরু একটি তামার নিরেট আয়তঘানাকার টুকরো গলিয়ে 2.1 ডেসিমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসের কয়টি নিরেট গোলক ঢালাই করা যাবে এবং প্রতিটি গোলকে কত ঘন ডেসিমি ধাতু থাকবে হিসাব করে দেখি।

Solution:
আয়তঘানাকার টুকরোর দৈর্ঘ্য 6.6 ডেসিমি., প্রস্থ 4.2 ডেসিমি. এবং উচ্চতা 1.4 ডেসিমি.।
∴ আয়তঘানাকার টুকরোর আয়তন = 6.6×4.2×1.4 ঘন ডেসিমি.।
প্রতিটি নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধ = 2.1 ডেসিমি.।
∴ প্রতিটি নিরেট গোলকের আয়তন
= ⁴/₃πr³
= ⁴/₃×²²/₇×^2.1/₂×^2.1/₂×^2.1/₂
= 4.851 ঘন ডেসিমি।
∴ নিরেট গোলকের সংখ্যা
= ^{6.6×4.2×1.4}/_4.851
= 8 টি।
Ans: 8 টি নিরেট গোলক ঢালাই করা যাবে।
প্রতিটি গোলকে 4.851 ঘন ডেসিমি ধাতু থাকবে।

10. 4.2 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি সোনার নিরেট গোলক পিটিয়ে 2.8 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসের একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার দণ্ড তৈরি করা হলে, দন্ডটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।

Solution: গোলকটির ব্যাসার্ধ 4.2 সেমি.।
∴ নিরেট গোলকটির আয়তন
= ⁴/₃π(4.2)³
= ⁴/₃×π×4.2×4.2×4.2 ঘন সেমি.।
লম্ব বৃত্তাকার দণ্ডটির ব্যাসার্ধ = ^2.8/₂ = 1.4 সেমি.।
ধরি, লম্ব বৃত্তাকার দণ্ডটির উচ্চতা h সেমি.।
∴ লম্ব বৃত্তাকার দণ্ডটির আয়তন
= πr²h
= π×1.4×1.4×h ঘন সেমি.।
প্রশ্নানুসারে,
π×1.4×1.4×h = ⁴/₃×π×4.2×4.2×4.2
⇒ 1.4×1.4×h = 4×1.4×4.2×4.2
⇒ h = 4×3×4.2
⇒ h= 50.4
Ans: দন্ডটির দৈর্ঘ্য 50. 4 সেমি।

11. 6 ডেসিমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসের একটি নিরেট রৌপ্য গোলক গলিয়ে 1 ডেসিমি. লম্বা একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার দণ্ড তৈরি করা হলে, দন্ডটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

Solution:
রৌপ্য গোলকটির ব্যাসার্ধ = ⁶/₂ ডেসিমি. = 3 ডেসিমি.
∴ নিরেট রৌপ্য গোলকটির আয়তন
= ⁴/₃πr³
= ⁴/₃π×3×3×3 ঘন ডেসিমি.
= 4π×3×3 ঘন ডেসিমি
= 36π ঘন ডেসিমি।
নিরেট লম্ব বৃত্তাকার দণ্ডটির উচ্চতা 1 ডেসিমি.।
মনেকরি, নিরেট লম্ব বৃত্তাকার দণ্ডটির ব্যাসার্ধ r ডেসিমি.।
∴ নিরেট লম্ব বৃত্তাকার দণ্ডটির আয়তন
= πr²×h
= πr²×1 ঘন ডেসিমি.
= πr² ঘন ডেসিমি.
প্রশ্নানুসারে,
πr² = 36π
⇒ r² = 36
⇒ r = 6
Ans: দন্ডটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য = (6 × 2) = 12 ডেসিমি.।

ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা কষে দেখি 19

12. একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার দন্ডের প্রস্থচ্ছেদের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 3.2 ডেসিমি.। সেই দন্ডটি গলিয়ে 21 টি নিরেট গোলক তৈরি করা হলো। গোলকগুলির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য যদি 8 সেমি. হয়, তবে দন্ডটির দৈর্ঘ্য কত ছিল তা হিসাব করে লিখি।

Solution:
ধরি, লম্ব বৃত্তাকার দণ্ডটির দৈর্ঘ্য h সেমি.।
দণ্ডটির ব্যাসার্ধ = 3.2 ডেসিমি. = 32 সেমি.।
∴ দণ্ডটির আয়তন
= πr²h
= π×32×32×h ঘন সেমি.।;
গোলকগুলির ব্যাসার্ধ = 8 সেমি.।
∴ 21টি গোলকের আয়তন
= 21×⁴/₃πr³
= 21×⁴/₃×π×8×8×8 ঘন সেমি.।
প্রশ্নানুসারে,
π×32×32×h = 21×⁴/₃×π×8×8×8
⇒ 32×32×h = 7×4×8×8×8
⇒ h = 7×2
⇒ h = 14
Ans: দন্ডটির দৈর্ঘ্য ছিল 14 সেমি।

13. 21 ডেসিমি দীর্ঘ, 11 ডেসিমি. প্রশস্ত এবং 6 ডেসিমি. গভীর একটি চৌবাচ্চা অর্ধেক জলপূর্ণ আছে। এখন সেই চৌবাচ্চায় যদি 21 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসের 100 টি লোহার গোলক সম্পূর্ণ ডুবিয়ে দেওয়া হয়, তবে জলতল কত ডেসিমি. উঠবে তা হিসাব করে লিখি।

Solution:
প্রতিটি লোহার গোলকের ব্যাসার্ধ = ²¹/₂ সেমি. = ²¹/₂₀ ডেসিমি.।
∴ 100 টি লোহার গোলকের আয়তন
= 100×⁴/₃πr³
= 100×⁴/₃π(²¹/₂₀)³ ঘন ডেসিমি.।
চৌবাচ্চায় 100 টি লোহার গোলক সম্পূর্ণ ডোবালে লোহার গোলকগুলির সমআয়তন জল অপসারিত করবে।
ধরি, চৌবাচ্চার জলতল h ডেসিমি. উঠবে।
প্রশ্নানুসারে,
21×11× h = 100×⁴/₃π(²¹/₂₀)³
⇒ 21×11× h = 100×⁴/₃×²²/₇×²¹/₂₀×²¹/₂₀×²¹/₂₀
⇒ h = 100×⁴/₃×²/₇×¹/₂₀×²¹/₂₀×²¹/₂₀
⇒ h = 100×⁴/₃×¹/₂₀×²¹/₂₀×³/₁₀
⇒ h = 4×¹/₂×²¹/₂₀
⇒ h = ²¹/₁₀
∴ h = 2.1
Ans: চৌবাচ্চার জলতল 2.1 ডেসিমি উঠবে।

14. সমান ভূমিতলের ব্যাস এবং সমান উচ্চতাবিশিষ্ট একটি নিরেট শঙ্কু, একটি নিরেট অর্ধগোলক এবং একটি নিরেট চোঙের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় করি।

Solution:
ধরি, শঙ্কু, অর্ধগোলক এবং চোঙের ভূমিতলের ব্যাসার্ধ 2r একক এবং উচ্চতা h একক।
∴ r = h;
∴ শঙ্কু, অর্ধগোলক এবং চোঙের আয়তনের অনুপাত
= ¹/₃πr²h : ²/₃πr³ : πr²h
= ¹/₃×h : ²/₃×r : h
= ¹/₃×r : ²/₃×r : r
= ¹/₃ : ²/₃ : 1
= 1 : 2 : 3
Ans: নিরেট শঙ্কু, নিরেট অর্ধগোলক এবং নিরেট চোঙের আয়তনের অনুপাত = 1 : 2 : 3

Utube_comptech_home — দশম শ্রেণীর **ভৌত** বিজ্ঞান এবং **জীবন** বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন

15. 1 সেমি. পুরু সিসার পাতের তৈরি একটি ফাঁপা গোলকের বাহিরের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 6 সেমি.। গোলকটি গলিয়ে 2 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার দণ্ড তৈরি করা হলে, দন্ডটির দৈর্ঘ্য কত হবে হিসাব করে লিখি।

Solution:
ফাঁপা গোলকের বাহিরের ব্যাসার্ধ (R) = 6 সেমি.।
সিসার পাত 1 সেমি. পুরু।
∴ গোলকটির ভিতরের ব্যাসার্ধ (r) = (6 – 1) = 5 সেমি.।
∴ গোলকটির আয়তন
= ⁴/₃πr³(R³ – r³)
= ⁴/₃π(6³ – 5³) ঘন সেমি.
= ⁴/₃π(216−125) ঘন সেমি.
= ⁴/₃π×91 ঘন সেমি.
ধরি, নিরেট লম্ব বৃত্তাকার দণ্ডটির দৈর্ঘ্য h সেমি.।
দন্ডটির ব্যাসার্ধ = 2 সেমি.
∴ দন্ডটির আয়তন = π×2²×h ঘন সেমি.
= 4πh ঘন সেমি.
প্রশ্নানুসারে,
4πh = ⁴/₃π×91
বা, h = ⁹¹/₃ = 30¹/₃
Ans: দন্ডটির দৈর্ঘ্য 30¹/₃ সেমি।

16. 2 মিটার লম্বা একটি আয়তঘনাকার কাঠের লগের প্রস্থচ্ছেদ বর্গাকার এবং তার প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 14 ডেসিমি। সবচেয়ে কম কাঠ নষ্ট করে ওই লগটিকে যদি একটি লম্ব বৃত্তাকার গুঁড়িতে পরিণত করা যায়, তবে তাতে কত ঘন মিটার কাঠ থাকবে এবং কত ঘন মিটার কাঠ নষ্ট হবে হিসাব করি।
[উত্তর সংকেত – বর্গাকার চিত্রের অন্তর্লিখিত পরিবৃত্ত হলে, বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য বর্গাকার চিত্রের বাহুর দৈর্ঘ্যের সমান।]

Solution:
2 মিটার লম্বা একটি আয়তঘনাকার কাঠের লগের প্রস্থচ্ছেদ বর্গাকার এবং
তার প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 14 ডেসিমি = 1.4 মিটার।
∴ আয়তঘনাকার কাঠের লগের আয়তন
= 2 × 1.4 × 1.4
= 3.92 ঘন মিটার।
সবচেয়ে কম কাঠ নষ্ট করে লগটিকে একটি লম্ব বৃত্তাকার গুঁড়িতে পরিণত করলে তার ব্যাস হবে 1.4 মিটার এবং উচ্চতা হবে 2 মিটার।
লম্ব বৃত্তাকার গুঁড়ির ব্যাসার্ধ = ^1.4/₂ = 0.7 মিটার
∴ লম্ব বৃত্তাকার গুঁড়ির আয়তন
= πr²h
= ²²/₇×0.7×0.7×2 ঘন মিটার
= 22×0.1×0.7×2 ঘন মিটার
= 3.08 ঘন মিটার
Ans: লম্ব বৃত্তাকার গুঁড়িতে 3.08 ঘন মিটার কাঠ থাকবে।
কাঠ নষ্ট হবে (3.92 – 3.08) = 0.84 ঘন মিটার।

12. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)

(i) r একক দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি নিরেট গোলককে গলিয়ে r একক উচ্চতার একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু তৈরি করা হলো। শঙ্কুটির ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য –
(a) 2r একক (b) 3r একক (c) r একক (d) 4r একক

Ans: (a) 2r একক
[ধরি, শঙ্কুটির ভূমির ব্যাসার্ধ = R একক
প্রশ্নানুসারে,
¹/₃πR²×r = ⁴/₃πr³
বা, R² = 4r²
বা, R² = (2r)²
বা, R = 2r]

(ii) একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুকে গলিয়ে একই দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙ তৈরি করা হলো যার উচ্চতা 5 সেমি। শঙ্কুটির উচ্চতা –
(a) 10 সেমি. (b) 15 সেমি. (c) 18 সেমি. (d) 24 সেমি.

Ans: (b) 15 সেমি
[ধরি, নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ব্যাসার্ধ = বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধ = r সেমি এবং শঙ্কুর উচ্চতা = h সেমি
এখানে চোঙের উচ্চতা 5 সেমি।
প্রশ্নানুসারে,
¹/₃πr²×h = πr²×5
বা, ^h/₃ = 5
বা, h = 15]

(iii) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক এবং উচ্চতা 2r একক। চোঙটির মধ্যে সর্ববৃহৎ যে গোলকটি রাখা যাবে তার ব্যাসের দৈর্ঘ্য –
(a) r একক (b) 2r একক (c) ^r/₂ একক (d) 4r একক

Ans: (b) 2r একক
[লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধ = গোলকের ব্যাসার্ধ = r একক
∴গোলকটির ব্যাস = 2r একক]

(iv) r একক দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি নিরেট অর্ধগোলক থেকে সর্ববৃহৎ যে নিরেট শঙ্কু কেটে নেওয়া যাবে তার আয়তন-
(a) 4πr³ ঘন একক (b) 3πr³ ঘন একক (c) ^πr3/₄ ঘন একক d) ^πr3/₃ ঘন একক

Ans: (d) ^πr3/₃
[নিরেট অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধ = r একক
∴ কেটে নেওয়া শঙ্কুর ব্যাসার্ধ = r একক এবং উচ্চতা = r একক
∴ কেটে নেওয়া শঙ্কুর আয়তন
= ¹/₃×πr²×r
= ¹/₃πr³ ঘন একক

(v) x একক দৈর্ঘ্যের ধারবিশিষ্ট একটি নিরেট ঘনক থেকে সর্ববৃহৎ একটি নিরেট গোলক কেটে নেওয়া হলে, গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য
(a) x একক (b) 2x একক (c) ^x/₂ একক (d) 4x একক

Ans: (a) x একক
[নিরেট ঘনকের একটি ধারের দৈর্ঘ্য = নিরেট গোলকের ব্যাস]

(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখিঃ

(i) দুটি একই ধরনের নিরেট অর্ধগোলক যাদের ভূমিতলের প্রত্যেকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক এবং তা ভূমি বরাবর জোড়া হলে, মিলিত ঘনবস্তুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল হবে 6πr² বর্গ একক।

Ans: মিথ্যা
[দুটি একই ধরনের নিরেট অর্ধগোলককে ভূমি বরাবর জোড়া হলে, মিলিত ঘনবস্তুটি একটি নিরেট গোলক হবে।
গোলকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 4πr² বর্গ একক।]

(ii) একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক এবং উচ্চতা h একক এবং তির্যক উচ্চতা l একক। শঙ্কুটির ভূমিতলকে একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ভুমিতল বরাবর জুড়ে দেওয়া হলো। যদি চোঙের ও শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য এবং উচ্চতা একই হয় তবে মিলিত ঘনবস্তুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল (πrl + 2πrh + 2πr²) বর্গ একক।

Ans: মিথ্যা
[মিলিত ঘনবস্তুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= শঙ্কুটির পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল + চোঙের পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল + চোঙের ভূমিতলের ক্ষেত্রফল
= (πrl + 2πrh + πr²) বর্গ একক।]

(C) শূন্যস্থান পূরণ করিঃ

(i) একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙ ও দুটি অর্ধগোলকের ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য সমান। দুটি অর্ধগোলককে চোঙটির দুটি সমতলে আটকে দেওয়া হলে নতুন ঘনবস্তুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = একটি অর্ধগোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল + ________ বক্রতলের ক্ষেত্রফল + অপর অর্ধগোলকটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল।

Ans: চোঙের।

(ii) একমুখ কাটা একটি পেনসিলের আকার শঙ্কু ও ________ সমন্বয়।

Ans: চোঙের।

(iii) একটি নিরেট গোলককে গলিয়ে একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙ তৈরি করা হলো। গোলক ও চোঙের আয়তন ________।

Ans: সমান।

18. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

(i) একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুকে গলিয়ে একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙ তৈরি করা হলো। উভয়ের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য সমান। যদি শঙ্কুর উচ্চতা 15 সেমি হয়, তাহলে নিরেট চোঙের উচ্চতা কত হিসাব করে লিখি।

Solution:
ধরি, নিরেট চোঙের ব্যাসার্ধ = নিরেট শঙ্কুর ব্যাসার্ধ = r সেমি এবং নিরেট চোঙের উচ্চতা = h সেমি।
প্রদত্ত, শঙ্কুর উচ্চতা 15 সেমি।
নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুকে গলিয়ে নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙ তৈরি করা হলো।
∴ উভয়ের আয়তন সমান হবে।
∴, πr²h =¹/₃×πr²×5
⇒ h = ¹/₃×15
∴ h = 5
Ans: নিরেট চোঙের উচ্চতা 5 সেমি।

(ii) একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু এবং নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য সমান এবং আয়তন সমান। গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য এবং শঙ্কুর উচ্চতার অনুপাত কত তা হিসাব করে লিখি।

Solution:
ধরি, শঙ্কুর ব্যাসার্ধ = গোলকের ব্যাসার্ধ = r একক এবং
শঙ্কুর উচ্চতা h একক।
প্রশ্নানুসারে,
¹/₃×πr²h = ⁴/₃×πr³
⇒ h = 4r
⇒ 4r = h
⇒ ^2r/_h = ¹/₂
∴ 2r : h =1 : 2
Ans: গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য এবং শঙ্কুর উচ্চতার অনুপাত 1 : 2;

(iii) সমান দৈর্ঘ্যের ব্যাস এবং সমান উচ্চতাবিশিষ্ট নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙ, নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু এবং নিরেট গোলকের আয়তনের অনুপাত কত তা লিখি।

Solution:
ধরি, লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধ = লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ব্যাসার্ধ = গোলকের ব্যাসার্ধ = r একক এবং
লম্ব বৃত্তাকার চোঙের উচ্চতা = লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা = গোলকের উচ্চতা = h একক
∵ গোলকের ব্যাস = 2r একক
∴ গোলকের উচ্চতা h = 2r একক
∴ লম্ব বৃত্তাকার চোঙ, লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু এবং গোলকের আয়তনের অনুপাত
= πr²h : ¹/₃×πr²h : ⁴/₃×πr³
= h : ¹/₃×h : ⁴/₃×r
= 2r : ¹/₃×2r : ⁴/₃×r
= 1 : ¹/₃ : ²/₃
= 3 : 1 : 2
Ans: নির্ণেয় অনুপাত 3 : 1 : 2

(iv) একটি ঘনবস্তুর নীচের অংশ অর্ধগোলক আকারের এবং উপরের অংশ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকারের। যদি দুটি অংশের তলের ক্ষেত্রফল সমান হয়, তাহলে ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য এবং শঙ্কুর উচ্চতার অনুপাত হিসাব করে লিখি।

Solution:
ধরি, শঙ্কুর ব্যাসার্ধ r একক, উচ্চতা h একক এবং তীর্যক উচ্চতা l একক
∴ অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধ r একক।
প্রশ্নানুসারে,
2πr² = πrl
⇒ 2r = l
⇒ 4r² = l²
⇒ 4r² = h² + r²
⇒ 4r² – r² = h²
⇒ 3r² = h²
⇒ √3r = h
⇒ ^r/_h = ¹/_√3
∴ r : h = 1 : √3
Ans: নির্ণেয় অনুপাত 1 : √3

(v) একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য একটি নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের সমান। গোলকের আয়তন শঙ্কুর আয়তনের দ্বিগুন হলে, শঙ্কুর উচ্চতা এবং ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত কত তা লিখি।

Solution:
ধরি, শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধ = গোলকের ব্যাসার্ধ = r একক এবং
শঙ্কুর উচ্চতা h একক।
প্রশ্নানুসারে,
⁴/₃πr³ = 2×¹/₃πr²×h
⇒ 2r = h
⇒ h = 2r
⇒ ^h/_r = ²/₁
∴ h : r = 2 : 1
Ans: শঙ্কুর উচ্চতা এবং ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 2 : 1

PREVIOUS

NEXT

December 25, 2023

Author: TEAM PROSTUTI

Matrix S N Dey Solution Part-2

Matrix S N Dey Solution Part-2

সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রতিটি প্রশ্নের মান 4

Matrix S N Dey Solution Part-2

Matrix S N Dey Solution Part-2

Matrix S N Dey Solution Part-2

ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা কষে দেখি 19

ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা কষে দেখি 19

প্রয়োজনীয় বৈশিষ্ট্য, সূত্র ও ধর্মাবলীঃ

⛔ আয়তঘন বা সমকোণী চৌপল ⛔

⛔ ঘনক ⛔

⛔ লম্ব-বৃত্তাকার চোঙ ⛔

⛔ ফাঁপা লম্ব-বৃত্তাকার চোঙ ⛔

⛔ লম্ব-বৃত্তাকার শঙ্কু ⛔

⛔ গোলক ⛔

⛔ অর্ধগোলক ⛔

ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা কষে দেখি 19

ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা কষে দেখি 19

12. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)

(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখিঃ

(C) শূন্যস্থান পূরণ করিঃ

18. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)