Author: TEAM PROSTUTI

ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা কষে দেখি 19

ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা কষে দেখি 19

ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা কষে দেখি 19

প্রয়োজনীয় বৈশিষ্ট্য, সূত্র ও ধর্মাবলীঃ

⛔ আয়তঘন বা সমকোণী চৌপল ⛔

👉👉 সমকোণী চৌপল বা আয়তঘনের
দৈর্ঘ্য = a একক
প্রস্থ = b একক
উচ্চতা = c একক হলে,
👉 সমকোণী চৌপল বা আয়তঘনের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= 2 ( ab +bc +ca ) বর্গএকক
👉 সমকোণী চৌপলের আয়তন
= a×b×c ঘনএকক
👉 সমকোণী চৌপলের কর্ণ

\(\quad\quad\quad=\sqrt{ a^{2} + b^{2} + c^{2}}\) একক

⛔ ঘনক ⛔

👉👉 ঘনকের
বাহুর দৈর্ঘ্য = a একক হলে,
👉 ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= 6a² বর্গএকক
👉 ঘনকের আয়তন
= a³ ঘনএকক
👉 ঘনকের কর্ণ
=√3.a একক

⛔ লম্ব-বৃত্তাকার চোঙ ⛔

👉👉 চোঙের বৃত্তাকার তল দুটির
ব্যাসার্ধ r একক এবং
উচ্চতা h একক হলে,
👉 চোঙটির ভূমির ক্ষেত্রফল
= πr² বর্গএকক
👉 চোঙটির পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল
= 2πrh বর্গএকক
👉 চোঙটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= 2πr(r + h) বর্গএকক
👉 চোঙটির ঘনফল বা আয়তন
= πr²h ঘনএকক

⛔ ফাঁপা লম্ব-বৃত্তাকার চোঙ ⛔

👉👉 কোনো ফাঁপা চোঙের
বাইরের ব্যাসার্ধ R একক,
ভিতরের ব্যাসার্ধ r একক এবং
উচ্চতা h একক হলে
👉 চোঙটির ভিতরের ও বাইরের বক্রতলের মোট ক্ষেত্রফল
= 2π(R + r)h বর্গএকক
👉 ফাঁপা চোঙটির ঘনফল বা আয়তন
= π(R² − r²)h ঘনএকক*******

⛔ লম্ব-বৃত্তাকার শঙ্কু ⛔

👉👉 শঙ্কুর
ভূমির ব্যাসার্ধ r₁ একক,
উচ্চতা h একক এবং
তির্যক উচ্চতা l একক হলে,
👉 পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল
= πrl বর্গএকক
👉 সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
=πr(r+l) বর্গএকক
👉 আয়তন বা ঘনফল
= ¹/₃πr²h ঘনএকক
👉 তির্যক উচ্চতা ( l )

\(\quad\quad\quad =\sqrt{r^{2}+h^{2}}\) একক

⛔ গোলক ⛔

👉👉 গোলকের
ব্যাসার্ধ r একক হলে,
👉 গোলকের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল
=4πr² বর্গএকক
👉 গোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= 4πr²বর্গএকক
👉 গোলকের আয়তন বা ঘনফল
= ⁴/₃ πr³ ঘনএকক

⛔ অর্ধগোলক ⛔

👉👉 অর্ধগোলকের
ব্যাসার্ধ r একক হলে,
👉 অর্ধগোলকের ভূমির ক্ষেত্রফল
= πr² বর্গএকক
👉 অর্ধগোলকের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল
= 2πr² বর্গএকক
👉 অর্ধগোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= 3πr² বর্গএকক
👉 অর্ধগোলকের আয়তন বা ঘনফল
= ²/₃ πr³ ঘনএকক

1. আনোয়ারদের বাড়ির সামনে একটি নিরেট লোহার স্তম্ভ আছে যার নীচের অংশ লম্ব বৃত্তাকার চোঙ আকৃতির এবং উপরের অংশ শঙ্কু আকৃতির। এদের ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 20 সেমি, চোঙাকৃতি অংশের উচ্চতা 2.8 মিটার এবং শঙ্কু আকৃতি অংশের উচ্চতা 42 সেমি। 1 ঘন সেমি লোহার ওজন 7.5 গ্রাম হলে, লোহার স্তম্ভের ওজন কত হবে তা হিসাব করে লিখি।

Solution:
চোঙাকৃতি অংশের ভূমিতলের ব্যাসার্ধ = ²⁰/₂ = 10 সেমি.
চোঙাকৃতি অংশের উচ্চতা = 2.8 মিটার = 280 সেমি.
∴ চোঙাকৃতি অংশের আয়তন
= πr²h
= π(10)²×280 ঘন সেমি.
=227×10×10×280=88000×10×10×280=88000 ঘন সেমি।
শঙ্কু আকৃতি অংশের উচ্চতা 42 সেমি।
∴ শঙ্কু আকৃতি অংশের আয়তন
= ¹/₃πr²h
= ¹/₃π(10)²×42 ঘন সেমি.
∴ লোহার স্তম্ভের মোট আয়তন
= চোঙাকৃতি অংশের আয়তন + শঙ্কু আকৃতি অংশের আয়তন
= π(10)²×280 + ¹/₃π(10)²×42 ঘন সেমি.
= π(10)²(280 + ¹/₃×42) ঘন সেমি.
= π(10)²(280 + 14) ঘন সেমি.
= ²²/₇×100×(280 + 14) ঘন সেমি.
= ²²/₇×100×294 ঘন সেমি.
= 22×100×42 ঘন সেমি.
= 92400 ঘন সেমি.
1 ঘন সেমি লোহার ওজন 7.5 গ্রাম
∴92400 ঘন সেমি. লোহার স্তম্ভের ওজন
= 92400 × 7.5 গ্রাম
= 693000 গ্রাম
= 693 কিগ্রা.
Ans: লোহার স্তম্ভের ওজন 693 কিগ্রা.

2. একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা 20 সেমি এবং তির্যক উচ্চতা 25 সেমি। শঙ্কুটির সমান আয়তনবিশিষ্ট একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙের উচ্চতা 15 সেমি হলে, চোঙটির ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

Solution:
নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা(h₁) 20 সেমি. এবং তির্যক উচ্চতা(l) 25 সেমি.
∴ শঙ্কুটির ভূমিতলের ব্যাসার্ধ r₁ সেমি. হলে,
r₁² + h₁² = l²
⇒ r₁² = l² – h²
⇒ r₁² = (25)² – (20)²
⇒ r₁² = 625 – 400
⇒ r₁² = 625
∴ r₁ = 15
∴ শঙ্কুটির আয়তন
= ¹/₃πr₁²h
= ¹/₃π×(15)²×20 ঘন সেমি.
= ¹/₃π×15×15×20 ঘন সেমি.
= 15×100π ঘন সেমি.
লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধ r₂ সেমি.
লম্ব বৃত্তাকার চোঙের উচ্চতা(h₂) 15 সেমি.।
∴ লম্ব বৃত্তাকার চোঙের আয়তন
= πr₂²h₂
= πr₂²×15 ঘন সেমি.
= 15πr₂² ঘন সেমি.
প্রশ্নানুসারে,
15πr₂² = 15×100π
⇒ r₂² = 100
∴ r₂ = 10
∴ 2r₂ = 20
Ans: চোঙটির ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 20 সেমি.

3. 24 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসবিশিষ্ট একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙাকৃতি পাত্রে কিছু জল আছে। 6 সেমি. দৈর্ঘ্যের ভূমিতলের ব্যাস ও 4 সেমি. উচ্চতাবিশিষ্ট 60 টি নিরেট শঙ্কু আকৃতির লোহার টুকরো ওই জলে সম্পূর্ণভাবে নিমজ্জিত করলে, জলতলের উচ্চতা কতটা বৃদ্ধি পাবে হিসাব করে লিখি।

Solution:
নিরেট শঙ্কু আকৃতির লোহার টুকরোর ভূমিতলের ব্যাস = 6 সেমি.
∴ ভূমিতলের ব্যাসার্ধ = ⁶/₂ = 3 সেমি.
এবং উচ্চতা 4 সেমি.
∴ প্রতিটি লোহার টুকরোর আয়তন
= ¹/₃πr²h
= ¹/₃π×(3)²×4 ঘন সেমি.
∴ 60 টি নিরেট শঙ্কু আকৃতির লোহার টুকরোর আয়তন
= 60×¹/₃π×(3)²×4 ঘন সেমি.
= 60×π×3×4 ঘন সেমি.
∴ লম্ব বৃত্তাকার চোঙাকৃতি পাত্রের ব্যাসার্ধ = 12 সেমি.
লম্ব বৃত্তাকার চোঙাকৃতি পাত্রের ভূমির ক্ষেত্রফল
= πr²
= π×12×12 বর্গ সেমি.
∴ জলতল বৃদ্ধি পাবে

\(=\frac{60×π×3×4}{π×12×12}\quad cm.\\=\frac{5×3×4}{12}\quad cm.\\=5\quad cm.\)

Ans: জলতলের উচ্চতা 5 সেমি. বৃদ্ধি পাবে।

ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা কষে দেখি 19

4. একই দৈর্ঘ্যের ভূমিতলের ব্যাসার্ধ এবং একই উচ্চতাবিশিষ্ট একটি নিরেট শঙ্কু ও একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 5 : 8 হলে, উহাদের ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য ও উচ্চতার অনুপাত নির্ণয় করি।

Solution:
ধরি, নিরেট শঙ্কু ও লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ভূমিতলের ব্যাসার্ধ r একক এবং উচ্চতা h একক।
আরও ধরি শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা l ,
l² = h² + r²h একক
নিরেট শঙ্কুর বক্রতলের ক্ষেত্রফল = πrl বর্গ একক
লম্ব বৃত্তাকার চোঙের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πrh বর্গ একক
প্রশ্নানুসারে,

\(\quad\frac{πrl}{2πrh}=\frac{5}{8}\\⇒\frac{l}{2h}=\frac{5}{8}\\⇒\frac{l}{h}=\frac{5}{4}\\⇒25h^2=16l^2\\⇒25h^2=16(h^2+r^2)\\⇒25h^2-16h^2=16r^2\\⇒9h^2=16r^2\\⇒3h=4r\\\quad∴r:h=3:4\)

Ans: ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য ও উচ্চতার অনুপাত 3 : 4

অধ্যায়	বিষয়	কষে দেখি
1	একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic Equations with one variable)	কষে দেখি – 1.1 কষে দেখি – 1.2 কষে দেখি – 1.3 কষে দেখি – 1.4 কষে দেখি – 1.5
2	সরল সুদকষা (Simple Interest)	কষে দেখি – 2
3	বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য (Theorems related to circle)	কষে দেখি – 3.1 কষে দেখি – 3.2
4	আয়তঘন (Rectangular Parallelopiped or Cuboid)	কষে দেখি – 4
5	অনুপাত ও সমানুপাত (Ratio and Proportion)	কষে দেখি – 5.1 কষে দেখি – 5.2 কষে দেখি – 5.3
6	চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সমহার বৃদ্ধি বা হ্রাস (Compound Interest and Uniform Rate of Increase or Decrease)	কষে দেখি – 6.1 কষে দেখি – 5.2
7	বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য (Theorems related to Angles in a Circle)	কষে দেখি – 7.1 কষে দেখি – 7.2 কষে দেখি – 7.3
8	লম্ব বৃত্তাকার চোঙ (Right Circular Cylinder)	কষে দেখি – 8
9	দ্বিঘাত করণী (Quadratic Surd)	কষে দেখি – 9.1 কষে দেখি – 9.2 কষে দেখি – 9.3
10	বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Cyclic Quadrilateral)	কষে দেখি – 10
11	সম্পাদ্য : ত্রিভুজের পরিবৃত্ত ও অন্তবৃত্ত অঙ্কন (Construction : Construction of circumcircle and incircle of a triangle)	কষে দেখি – 11.1
12	গোলক (Sphere)	কষে দেখি – 12
13	ভেদ (Variation)	কষে দেখি – 13
14	অংশীদারি কারবার (Partnership Business)	কষে দেখি – 14
15	বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Tangent to a Circle)	কষে দেখি – 15.1 কষে দেখি – 15.2
16	লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু (Right Circular Cone)	কষে দেখি – 16
17	সম্পাদ্য : বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন (Construction: Construction of Tangent to a circle)	কষে দেখি – 17
18	সদৃশতা (Similarity)	কষে দেখি – 18.1 কষে দেখি – 18.2 কষে দেখি – 18.3 কষে দেখি – 18.4
19	বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা (Real life Problems related to different Solid Objects)	কষে দেখি – 19
20	ত্রিকোণমিতি: কোণ পরিমাপের ধারণা	কষে দেখি – 20
21	সম্পাদ্য : মধ্যসমানুপাতী নির্ণয় (Construction : Determination of Mean Proportional )	কষে দেখি – 21
22	পিথাগোরাসের উপপাদ্য (Pythagoras Theorem)	কষে দেখি – 22
23	ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি (Trigonometric Ratios and Trigonometric Identities)	কষে দেখি – 23.1 কষে দেখি – 23.2 কষে দেখি – 23.3
24	পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত (Trigonometric Ratios of Complementrary angle )	কষে দেখি – 24
25	ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ : উচ্চতা ও দূরত্ব (Application of Trigonometric Ratios: Heights & Distances)	কষে দেখি – 25
26	রাশিবিজ্ঞান : গড়, মধ্যমা, ওজাইভ, সংখ্যাগুরুমান (Statistics : Mean, Median, Ogive, Mode)	কষে দেখি – 26.1 কষে দেখি – 26.2 কষে দেখি – 26.3 কষে দেখি – 26.4

5. 8 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি নিরেট লোহার গোলককে গলিয়ে 1 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসের কয়টি নিরেট গুলি পাওয়া যাবে হিসাব করে দেখি।

Solution:
নিরেট লোহার গোলকের ব্যাসার্ধ 8 সেমি.।
∴ নিরেট লোহার গোলকের আয়তন
= ⁴/₃πr³
= ⁴/₃π(8)³ ঘন সেমি.।
প্রতিটি নিরেট গুলির ব্যাস = 1 সেমি.
∴ নিরেট গুলির ব্যাসার্ধ = ¹/₂ সেমি.
∴ প্রতিটি নিরেট গুলির আয়তন
= ⁴/₃πr³
= ⁴/₃π(¹/₂)³ ঘন সেমি.
ধরি, n টি নিরেট গুলি পাওয়া যাবে।
∴ n×⁴/₃π(¹/₂)³ = ⁴/₃π(8)³
⇒ n×(¹/₂)³ = (8)³
⇒ n×¹/₈ = 512
⇒ n = 512×8
⇒ n = 4096
Ans: 4096 টি নিরেট গুলি পাওয়া যাবে।

6. একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার লোহার দন্ডের ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 32 সেমি. এবং দৈর্ঘ্য 35 সেমি.। দন্ডটি গলিয়ে 8 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধ ও 28 সেমি. উচ্চতাবিশিষ্ট কতগুলি নিরেট শঙ্কু তৈরি করা যাবে তা হিসাব করে লিখি।

Solution:
নিরেট লম্ব বৃত্তাকার দন্ডের ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য (r) 32 সেমি. এবং উচ্চতা (h) 35 সেমি.।
∴ লোহার দন্ডের আয়তন
= πr²h
= π×32×32×35 ঘন সেমি.
= π×32×32×35 ঘন সেমি.।
প্রতিটি নিরেট শঙ্কুর ব্যাসার্ধ 8 সেমি. এবং উচ্চতা 28 সেমি.।
∴ প্রতিটি নিরেট শঙ্কুর আয়তন
= ¹/₃πr²h
= ¹/₃π×8×8×28 ঘন সেমি.।
ধরি, দন্ডটি গলিয়ে n টি নিরেট শঙ্কু তৈরি করা যাবে।
∴ n×¹/₃π×8×8×28= π×32×32×35
⇒ n×¹/₃×28= 4×4×35
⇒ n= 4×5×3
∴ n =60
Ans: দন্ডটি গলিয়ে 60 টি নিরেট শঙ্কু তৈরি করা যাবে

ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা কষে দেখি 19

7. 4.2 ডেসিমি. দৈর্ঘ্যের ধারবিশিষ্ট একটি নিরেট কাঠের ঘনক থেকে সবচেয়ে কম কাঠ নষ্ট করে যে নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু পাওয়া যাবে তার আয়তন নির্ণয় করি।

Solution:
কাঠের ঘনকের প্রতিটি ধারের দৈর্ঘ্য 4.2 ডেসিমি. = 42 সেমি.।
নিরেট কাঠের ঘনক থেকে সবচেয়ে কম নষ্ট করে যে নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু পাওয়া যাবে তার ভূমিতলের ব্যাসার্ধ ^4.2/₂ = 2.1ডেসিমি. =21 সেমি. এবং উচ্চতা 42 সেমি.।
∴ নিরেট শঙ্কুটির আয়তন
= ¹/₃πr²h
= ¹/₃×²²/₇×21×21×42 ঘন সেমি.
= 22×21×42 ঘন সেমি.
= 19404 ঘন সেমি.।
Ans: নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন 19404 ঘন সেমি.।

8. একটি নিরেট গোলক ও একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য সমান ও তাদের ঘনফলও সমান হলে , চোঙটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য ও উচ্চতার অনুপাত হিসাব করে লিখি।

Solution:
মনে করি, চোঙটির ব্যাসার্ধ r একক এবং উচ্চতা h একক।
∴ গোলকটির ব্যাসার্ধ r একক।
চোঙটির আয়তন = πr²h ঘন একক এবং
গোলকটির আয়তন = ⁴/₃πr³ ঘন একক
প্রশ্নানুসারে,
⁴/₃πr³ = πr²h
⇒ 4r = 3h
⇒ ^r/_h = ³/₄
∴ r : h = 3 : 4
Ans: চোঙটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য ও উচ্চতার অনুপাত 3 : 4।

9. 6.6 ডেসিমি. দীর্ঘ, 4.2 ডেসিমি. প্রশস্ত এবং 1.4 ডেসিমি. পুরু একটি তামার নিরেট আয়তঘানাকার টুকরো গলিয়ে 2.1 ডেসিমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসের কয়টি নিরেট গোলক ঢালাই করা যাবে এবং প্রতিটি গোলকে কত ঘন ডেসিমি ধাতু থাকবে হিসাব করে দেখি।

Solution:
আয়তঘানাকার টুকরোর দৈর্ঘ্য 6.6 ডেসিমি., প্রস্থ 4.2 ডেসিমি. এবং উচ্চতা 1.4 ডেসিমি.।
∴ আয়তঘানাকার টুকরোর আয়তন = 6.6×4.2×1.4 ঘন ডেসিমি.।
প্রতিটি নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধ = 2.1 ডেসিমি.।
∴ প্রতিটি নিরেট গোলকের আয়তন
= ⁴/₃πr³
= ⁴/₃×²²/₇×^2.1/₂×^2.1/₂×^2.1/₂
= 4.851 ঘন ডেসিমি।
∴ নিরেট গোলকের সংখ্যা
= ^{6.6×4.2×1.4}/_4.851
= 8 টি।
Ans: 8 টি নিরেট গোলক ঢালাই করা যাবে।
প্রতিটি গোলকে 4.851 ঘন ডেসিমি ধাতু থাকবে।

10. 4.2 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি সোনার নিরেট গোলক পিটিয়ে 2.8 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসের একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার দণ্ড তৈরি করা হলে, দন্ডটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।

Solution: গোলকটির ব্যাসার্ধ 4.2 সেমি.।
∴ নিরেট গোলকটির আয়তন
= ⁴/₃π(4.2)³
= ⁴/₃×π×4.2×4.2×4.2 ঘন সেমি.।
লম্ব বৃত্তাকার দণ্ডটির ব্যাসার্ধ = ^2.8/₂ = 1.4 সেমি.।
ধরি, লম্ব বৃত্তাকার দণ্ডটির উচ্চতা h সেমি.।
∴ লম্ব বৃত্তাকার দণ্ডটির আয়তন
= πr²h
= π×1.4×1.4×h ঘন সেমি.।
প্রশ্নানুসারে,
π×1.4×1.4×h = ⁴/₃×π×4.2×4.2×4.2
⇒ 1.4×1.4×h = 4×1.4×4.2×4.2
⇒ h = 4×3×4.2
⇒ h= 50.4
Ans: দন্ডটির দৈর্ঘ্য 50. 4 সেমি।

11. 6 ডেসিমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসের একটি নিরেট রৌপ্য গোলক গলিয়ে 1 ডেসিমি. লম্বা একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার দণ্ড তৈরি করা হলে, দন্ডটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

Solution:
রৌপ্য গোলকটির ব্যাসার্ধ = ⁶/₂ ডেসিমি. = 3 ডেসিমি.
∴ নিরেট রৌপ্য গোলকটির আয়তন
= ⁴/₃πr³
= ⁴/₃π×3×3×3 ঘন ডেসিমি.
= 4π×3×3 ঘন ডেসিমি
= 36π ঘন ডেসিমি।
নিরেট লম্ব বৃত্তাকার দণ্ডটির উচ্চতা 1 ডেসিমি.।
মনেকরি, নিরেট লম্ব বৃত্তাকার দণ্ডটির ব্যাসার্ধ r ডেসিমি.।
∴ নিরেট লম্ব বৃত্তাকার দণ্ডটির আয়তন
= πr²×h
= πr²×1 ঘন ডেসিমি.
= πr² ঘন ডেসিমি.
প্রশ্নানুসারে,
πr² = 36π
⇒ r² = 36
⇒ r = 6
Ans: দন্ডটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য = (6 × 2) = 12 ডেসিমি.।

ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা কষে দেখি 19

12. একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার দন্ডের প্রস্থচ্ছেদের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 3.2 ডেসিমি.। সেই দন্ডটি গলিয়ে 21 টি নিরেট গোলক তৈরি করা হলো। গোলকগুলির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য যদি 8 সেমি. হয়, তবে দন্ডটির দৈর্ঘ্য কত ছিল তা হিসাব করে লিখি।

Solution:
ধরি, লম্ব বৃত্তাকার দণ্ডটির দৈর্ঘ্য h সেমি.।
দণ্ডটির ব্যাসার্ধ = 3.2 ডেসিমি. = 32 সেমি.।
∴ দণ্ডটির আয়তন
= πr²h
= π×32×32×h ঘন সেমি.।;
গোলকগুলির ব্যাসার্ধ = 8 সেমি.।
∴ 21টি গোলকের আয়তন
= 21×⁴/₃πr³
= 21×⁴/₃×π×8×8×8 ঘন সেমি.।
প্রশ্নানুসারে,
π×32×32×h = 21×⁴/₃×π×8×8×8
⇒ 32×32×h = 7×4×8×8×8
⇒ h = 7×2
⇒ h = 14
Ans: দন্ডটির দৈর্ঘ্য ছিল 14 সেমি।

13. 21 ডেসিমি দীর্ঘ, 11 ডেসিমি. প্রশস্ত এবং 6 ডেসিমি. গভীর একটি চৌবাচ্চা অর্ধেক জলপূর্ণ আছে। এখন সেই চৌবাচ্চায় যদি 21 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসের 100 টি লোহার গোলক সম্পূর্ণ ডুবিয়ে দেওয়া হয়, তবে জলতল কত ডেসিমি. উঠবে তা হিসাব করে লিখি।

Solution:
প্রতিটি লোহার গোলকের ব্যাসার্ধ = ²¹/₂ সেমি. = ²¹/₂₀ ডেসিমি.।
∴ 100 টি লোহার গোলকের আয়তন
= 100×⁴/₃πr³
= 100×⁴/₃π(²¹/₂₀)³ ঘন ডেসিমি.।
চৌবাচ্চায় 100 টি লোহার গোলক সম্পূর্ণ ডোবালে লোহার গোলকগুলির সমআয়তন জল অপসারিত করবে।
ধরি, চৌবাচ্চার জলতল h ডেসিমি. উঠবে।
প্রশ্নানুসারে,
21×11× h = 100×⁴/₃π(²¹/₂₀)³
⇒ 21×11× h = 100×⁴/₃×²²/₇×²¹/₂₀×²¹/₂₀×²¹/₂₀
⇒ h = 100×⁴/₃×²/₇×¹/₂₀×²¹/₂₀×²¹/₂₀
⇒ h = 100×⁴/₃×¹/₂₀×²¹/₂₀×³/₁₀
⇒ h = 4×¹/₂×²¹/₂₀
⇒ h = ²¹/₁₀
∴ h = 2.1
Ans: চৌবাচ্চার জলতল 2.1 ডেসিমি উঠবে।

14. সমান ভূমিতলের ব্যাস এবং সমান উচ্চতাবিশিষ্ট একটি নিরেট শঙ্কু, একটি নিরেট অর্ধগোলক এবং একটি নিরেট চোঙের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় করি।

Solution:
ধরি, শঙ্কু, অর্ধগোলক এবং চোঙের ভূমিতলের ব্যাসার্ধ 2r একক এবং উচ্চতা h একক।
∴ r = h;
∴ শঙ্কু, অর্ধগোলক এবং চোঙের আয়তনের অনুপাত
= ¹/₃πr²h : ²/₃πr³ : πr²h
= ¹/₃×h : ²/₃×r : h
= ¹/₃×r : ²/₃×r : r
= ¹/₃ : ²/₃ : 1
= 1 : 2 : 3
Ans: নিরেট শঙ্কু, নিরেট অর্ধগোলক এবং নিরেট চোঙের আয়তনের অনুপাত = 1 : 2 : 3

Utube_comptech_home — দশম শ্রেণীর **ভৌত** বিজ্ঞান এবং **জীবন** বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন

15. 1 সেমি. পুরু সিসার পাতের তৈরি একটি ফাঁপা গোলকের বাহিরের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 6 সেমি.। গোলকটি গলিয়ে 2 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার দণ্ড তৈরি করা হলে, দন্ডটির দৈর্ঘ্য কত হবে হিসাব করে লিখি।

Solution:
ফাঁপা গোলকের বাহিরের ব্যাসার্ধ (R) = 6 সেমি.।
সিসার পাত 1 সেমি. পুরু।
∴ গোলকটির ভিতরের ব্যাসার্ধ (r) = (6 – 1) = 5 সেমি.।
∴ গোলকটির আয়তন
= ⁴/₃πr³(R³ – r³)
= ⁴/₃π(6³ – 5³) ঘন সেমি.
= ⁴/₃π(216−125) ঘন সেমি.
= ⁴/₃π×91 ঘন সেমি.
ধরি, নিরেট লম্ব বৃত্তাকার দণ্ডটির দৈর্ঘ্য h সেমি.।
দন্ডটির ব্যাসার্ধ = 2 সেমি.
∴ দন্ডটির আয়তন = π×2²×h ঘন সেমি.
= 4πh ঘন সেমি.
প্রশ্নানুসারে,
4πh = ⁴/₃π×91
বা, h = ⁹¹/₃ = 30¹/₃
Ans: দন্ডটির দৈর্ঘ্য 30¹/₃ সেমি।

16. 2 মিটার লম্বা একটি আয়তঘনাকার কাঠের লগের প্রস্থচ্ছেদ বর্গাকার এবং তার প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 14 ডেসিমি। সবচেয়ে কম কাঠ নষ্ট করে ওই লগটিকে যদি একটি লম্ব বৃত্তাকার গুঁড়িতে পরিণত করা যায়, তবে তাতে কত ঘন মিটার কাঠ থাকবে এবং কত ঘন মিটার কাঠ নষ্ট হবে হিসাব করি।
[উত্তর সংকেত – বর্গাকার চিত্রের অন্তর্লিখিত পরিবৃত্ত হলে, বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য বর্গাকার চিত্রের বাহুর দৈর্ঘ্যের সমান।]

Solution:
2 মিটার লম্বা একটি আয়তঘনাকার কাঠের লগের প্রস্থচ্ছেদ বর্গাকার এবং
তার প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 14 ডেসিমি = 1.4 মিটার।
∴ আয়তঘনাকার কাঠের লগের আয়তন
= 2 × 1.4 × 1.4
= 3.92 ঘন মিটার।
সবচেয়ে কম কাঠ নষ্ট করে লগটিকে একটি লম্ব বৃত্তাকার গুঁড়িতে পরিণত করলে তার ব্যাস হবে 1.4 মিটার এবং উচ্চতা হবে 2 মিটার।
লম্ব বৃত্তাকার গুঁড়ির ব্যাসার্ধ = ^1.4/₂ = 0.7 মিটার
∴ লম্ব বৃত্তাকার গুঁড়ির আয়তন
= πr²h
= ²²/₇×0.7×0.7×2 ঘন মিটার
= 22×0.1×0.7×2 ঘন মিটার
= 3.08 ঘন মিটার
Ans: লম্ব বৃত্তাকার গুঁড়িতে 3.08 ঘন মিটার কাঠ থাকবে।
কাঠ নষ্ট হবে (3.92 – 3.08) = 0.84 ঘন মিটার।

12. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)

(i) r একক দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি নিরেট গোলককে গলিয়ে r একক উচ্চতার একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু তৈরি করা হলো। শঙ্কুটির ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য –
(a) 2r একক (b) 3r একক (c) r একক (d) 4r একক

Ans: (a) 2r একক
[ধরি, শঙ্কুটির ভূমির ব্যাসার্ধ = R একক
প্রশ্নানুসারে,
¹/₃πR²×r = ⁴/₃πr³
বা, R² = 4r²
বা, R² = (2r)²
বা, R = 2r]

(ii) একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুকে গলিয়ে একই দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙ তৈরি করা হলো যার উচ্চতা 5 সেমি। শঙ্কুটির উচ্চতা –
(a) 10 সেমি. (b) 15 সেমি. (c) 18 সেমি. (d) 24 সেমি.

Ans: (b) 15 সেমি
[ধরি, নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ব্যাসার্ধ = বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধ = r সেমি এবং শঙ্কুর উচ্চতা = h সেমি
এখানে চোঙের উচ্চতা 5 সেমি।
প্রশ্নানুসারে,
¹/₃πr²×h = πr²×5
বা, ^h/₃ = 5
বা, h = 15]

(iii) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক এবং উচ্চতা 2r একক। চোঙটির মধ্যে সর্ববৃহৎ যে গোলকটি রাখা যাবে তার ব্যাসের দৈর্ঘ্য –
(a) r একক (b) 2r একক (c) ^r/₂ একক (d) 4r একক

Ans: (b) 2r একক
[লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধ = গোলকের ব্যাসার্ধ = r একক
∴গোলকটির ব্যাস = 2r একক]

(iv) r একক দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি নিরেট অর্ধগোলক থেকে সর্ববৃহৎ যে নিরেট শঙ্কু কেটে নেওয়া যাবে তার আয়তন-
(a) 4πr³ ঘন একক (b) 3πr³ ঘন একক (c) ^πr3/₄ ঘন একক d) ^πr3/₃ ঘন একক

Ans: (d) ^πr3/₃
[নিরেট অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধ = r একক
∴ কেটে নেওয়া শঙ্কুর ব্যাসার্ধ = r একক এবং উচ্চতা = r একক
∴ কেটে নেওয়া শঙ্কুর আয়তন
= ¹/₃×πr²×r
= ¹/₃πr³ ঘন একক

(v) x একক দৈর্ঘ্যের ধারবিশিষ্ট একটি নিরেট ঘনক থেকে সর্ববৃহৎ একটি নিরেট গোলক কেটে নেওয়া হলে, গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য
(a) x একক (b) 2x একক (c) ^x/₂ একক (d) 4x একক

Ans: (a) x একক
[নিরেট ঘনকের একটি ধারের দৈর্ঘ্য = নিরেট গোলকের ব্যাস]

(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখিঃ

(i) দুটি একই ধরনের নিরেট অর্ধগোলক যাদের ভূমিতলের প্রত্যেকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক এবং তা ভূমি বরাবর জোড়া হলে, মিলিত ঘনবস্তুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল হবে 6πr² বর্গ একক।

Ans: মিথ্যা
[দুটি একই ধরনের নিরেট অর্ধগোলককে ভূমি বরাবর জোড়া হলে, মিলিত ঘনবস্তুটি একটি নিরেট গোলক হবে।
গোলকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 4πr² বর্গ একক।]

(ii) একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r একক এবং উচ্চতা h একক এবং তির্যক উচ্চতা l একক। শঙ্কুটির ভূমিতলকে একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ভুমিতল বরাবর জুড়ে দেওয়া হলো। যদি চোঙের ও শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য এবং উচ্চতা একই হয় তবে মিলিত ঘনবস্তুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল (πrl + 2πrh + 2πr²) বর্গ একক।

Ans: মিথ্যা
[মিলিত ঘনবস্তুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= শঙ্কুটির পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল + চোঙের পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল + চোঙের ভূমিতলের ক্ষেত্রফল
= (πrl + 2πrh + πr²) বর্গ একক।]

(C) শূন্যস্থান পূরণ করিঃ

(i) একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙ ও দুটি অর্ধগোলকের ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য সমান। দুটি অর্ধগোলককে চোঙটির দুটি সমতলে আটকে দেওয়া হলে নতুন ঘনবস্তুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = একটি অর্ধগোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল + ________ বক্রতলের ক্ষেত্রফল + অপর অর্ধগোলকটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল।

Ans: চোঙের।

(ii) একমুখ কাটা একটি পেনসিলের আকার শঙ্কু ও ________ সমন্বয়।

Ans: চোঙের।

(iii) একটি নিরেট গোলককে গলিয়ে একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙ তৈরি করা হলো। গোলক ও চোঙের আয়তন ________।

Ans: সমান।

18. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

(i) একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুকে গলিয়ে একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙ তৈরি করা হলো। উভয়ের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য সমান। যদি শঙ্কুর উচ্চতা 15 সেমি হয়, তাহলে নিরেট চোঙের উচ্চতা কত হিসাব করে লিখি।

Solution:
ধরি, নিরেট চোঙের ব্যাসার্ধ = নিরেট শঙ্কুর ব্যাসার্ধ = r সেমি এবং নিরেট চোঙের উচ্চতা = h সেমি।
প্রদত্ত, শঙ্কুর উচ্চতা 15 সেমি।
নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুকে গলিয়ে নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙ তৈরি করা হলো।
∴ উভয়ের আয়তন সমান হবে।
∴, πr²h =¹/₃×πr²×5
⇒ h = ¹/₃×15
∴ h = 5
Ans: নিরেট চোঙের উচ্চতা 5 সেমি।

(ii) একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু এবং নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য সমান এবং আয়তন সমান। গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য এবং শঙ্কুর উচ্চতার অনুপাত কত তা হিসাব করে লিখি।

Solution:
ধরি, শঙ্কুর ব্যাসার্ধ = গোলকের ব্যাসার্ধ = r একক এবং
শঙ্কুর উচ্চতা h একক।
প্রশ্নানুসারে,
¹/₃×πr²h = ⁴/₃×πr³
⇒ h = 4r
⇒ 4r = h
⇒ ^2r/_h = ¹/₂
∴ 2r : h =1 : 2
Ans: গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য এবং শঙ্কুর উচ্চতার অনুপাত 1 : 2;

(iii) সমান দৈর্ঘ্যের ব্যাস এবং সমান উচ্চতাবিশিষ্ট নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙ, নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু এবং নিরেট গোলকের আয়তনের অনুপাত কত তা লিখি।

Solution:
ধরি, লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধ = লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ব্যাসার্ধ = গোলকের ব্যাসার্ধ = r একক এবং
লম্ব বৃত্তাকার চোঙের উচ্চতা = লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা = গোলকের উচ্চতা = h একক
∵ গোলকের ব্যাস = 2r একক
∴ গোলকের উচ্চতা h = 2r একক
∴ লম্ব বৃত্তাকার চোঙ, লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু এবং গোলকের আয়তনের অনুপাত
= πr²h : ¹/₃×πr²h : ⁴/₃×πr³
= h : ¹/₃×h : ⁴/₃×r
= 2r : ¹/₃×2r : ⁴/₃×r
= 1 : ¹/₃ : ²/₃
= 3 : 1 : 2
Ans: নির্ণেয় অনুপাত 3 : 1 : 2

(iv) একটি ঘনবস্তুর নীচের অংশ অর্ধগোলক আকারের এবং উপরের অংশ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকারের। যদি দুটি অংশের তলের ক্ষেত্রফল সমান হয়, তাহলে ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য এবং শঙ্কুর উচ্চতার অনুপাত হিসাব করে লিখি।

Solution:
ধরি, শঙ্কুর ব্যাসার্ধ r একক, উচ্চতা h একক এবং তীর্যক উচ্চতা l একক
∴ অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধ r একক।
প্রশ্নানুসারে,
2πr² = πrl
⇒ 2r = l
⇒ 4r² = l²
⇒ 4r² = h² + r²
⇒ 4r² – r² = h²
⇒ 3r² = h²
⇒ √3r = h
⇒ ^r/_h = ¹/_√3
∴ r : h = 1 : √3
Ans: নির্ণেয় অনুপাত 1 : √3

(v) একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য একটি নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের সমান। গোলকের আয়তন শঙ্কুর আয়তনের দ্বিগুন হলে, শঙ্কুর উচ্চতা এবং ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত কত তা লিখি।

Solution:
ধরি, শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধ = গোলকের ব্যাসার্ধ = r একক এবং
শঙ্কুর উচ্চতা h একক।
প্রশ্নানুসারে,
⁴/₃πr³ = 2×¹/₃πr²×h
⇒ 2r = h
⇒ h = 2r
⇒ ^h/_r = ²/₁
∴ h : r = 2 : 1
Ans: শঙ্কুর উচ্চতা এবং ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 2 : 1

PREVIOUS

NEXT

December 25, 2023

Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স

Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স

বহু বিকল্পধর্মী প্রতিটি প্রশ্নের মান 1

সঠিক উত্তরটি নির্বাচন করোঃ

1. (i) নীচের বিবৃতিগুলির কোনটি সত্য?
(a) K একটি স্কেলার ও A যে-কোনো ম্যাট্রিক্স হলে KA হবে একটি ম্যাট্রিক্স যার প্রত্যেকটি পদ A-এর অনুরূপ পদের K গুণ।
(b) A ও B ম্যাট্রিক্স দুটি যথাক্রমে m×n ও r×s ক্রমের (r ≠ m, s ≠ n) হলে, A + B ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করা যায়।
(c) A ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা যদি B ম্যাট্রিক্সের স্তম্ভ সংখ্যার সমান হয়, তবে AB গুণফল ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করা যায়।
(d) দুটি ম্যাট্রিক্স A ও B -এর ক্ষেত্রে AB ও BA উভয় গুণফল সংজ্ঞাত হলে তারা সমক্রমের ম্যাট্রিক্স হবে।
Ans: (a) K একটি স্কেলার ও A যে-কোনো ম্যাট্রিক্স হলে KA হবে একটি ম্যাট্রিক্স যার প্রত্যেকটি পদ A-এর অনুরূপ পদের K গুণ।
[► A + B ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করা যাবে যদি A ও B সমক্রমের হয়।
এখানে A ম্যাট্রিক্স m×n ক্রমের ও B ম্যাট্রিক্স r×s ক্রমের কিন্তু r ≠ m এবং s ≠ n
∴ A ও B সমক্রমের নয়।
A + B ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করা যায় না।
►►AB গুণফল সংজ্ঞাত হবে যদি
A ম্যাট্রিক্সের স্তম্ভ সংখ্যা = B ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা]

2. নীচের বিবৃতিগুলির কোনটি মিথ্যা?
(a) A ও B যথাক্রমে m×n ও n×p ক্রমের ম্যাট্রিক্স হলে AB একটি m×p ক্রমের ম্যাট্রিক্স হবে।
(b) ম্যাট্রিক্সের গুণ সাধারণভাবে বিনিময় নিয়ম সিদ্ধ করে না।
(c) দুটি ম্যাট্রিক্স A ও B -এর ক্ষেত্রে AB ও BA উভয় গুণফল সংজ্ঞাত এবং সমক্রমের হলেও তারা পরস্পর সমান নাও হতে পারে।
(d) ম্যাট্রিক্স গুণন ক্রিয়া সংযোগ নিয়ম সিদ্ধ করে না।

Ans: (d) ম্যাট্রিক্স গুণন ক্রিয়া সংযোগ নিয়ম সিদ্ধ করে না।।
[A -এর ক্রম m×n
ও B -এর ক্রম n×p
∴ AB -এর ক্রম m×p]

3. নীচের বিবৃতিগুলির কোনটি মিথ্যা?
(a) A, B ও C তিনটি ম্যাট্রিক্স এমন যে, CA = CB; তাহলে সর্বদা A = B হবে।
(b) যে-কোনো বর্গ ম্যাট্রিক্সকে একটি প্রতিসম ও একটি বিপ্রতিসম ম্যাটিক্সের সমষ্টির আকারে প্রকাশ করা যায়।
(c) A ≠ 0, B ≠ 0 দুটি ম্যাট্রিক্স হলে AB = 0 হতে পারে, এখানে 0 দ্বারা শূন্য ম্যাট্রিক্স সূচিত হয়।
(d) একটি 3×3 ক্রমের বর্গ ম্যাট্রিক্সকে একটি লম্ব ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি AA^T = A^TA = I হয়; যেখানে I হল 3×3 ক্রমের একক ম্যাট্রিক্স।

Ans: (a) A, B ও C তিনটি ম্যাট্রিক্স এমন যে, CA = CB; তাহলে সর্বদা A = B হবে।

4. A ও B দুটি ম্যাট্রিক্সের জন্য AB = A এবং BA = B হলে B =
(a) B² (b) I (c) A (d) 0

Ans: (a) B²
[B² = B.B
= BA.B – – – (∵ BA = B)
= B(AB)
= B.A – – – (∵ AB = A)
= B]

5. একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স A যদি তার পরিবর্ত ম্যাট্রিক্স A^t -এর সমান হয় তবে A-কে বলা হবে-
(a) প্রতিসম (b) একক ম্যাট্রিক্স
(c) বিপ্রতিসম (d) এদের কোনোটিই নয়

Ans: (a) প্রতিসম

Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স

6. A বর্গ ম্যাট্রিক্সের পরিবর্ত ম্যাট্রিক্স A^t হলে, A-কে একটি বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি –
(a) A^t = -A হয় (b) AA^t = A হয়
(c) A^tA = A হয় (d) A^-1 হয়

Ans: (a) A^t = -A হয়

7. (AB)^t =
(a) B^tA^t (b) A^tB^t (c) A^tB (d) B^tA

Ans: (a) B^tA^t
[∵ (AB)^t = B^tA^t]

8. A একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স এবং । একই ক্রমের একক ম্যাট্রিক্স হলে, A.I=
(a) A (b) A^T (c) -A (d) A.A^T

Ans: (a) A
[∵ AI = A]

9. যদি A = [a_jj] একটি 2×2 ক্রমের ম্যাট্রিক্স হয়, যেখানে a_jj = i + 2j তবে A হবে-

\(\mathbf{(a)\begin{bmatrix}1\quad 3\\2\quad 4\end{bmatrix}\quad (b)}\begin{bmatrix}2\quad 4\\3\quad 5\end{bmatrix}\quad (c)\begin{bmatrix}3\quad 5\\4\quad 6\end{bmatrix}\quad (d)\)এদের কোনোটিই নয়\(\\\mathbf{Ans}\quad(c)\quad\begin{bmatrix}3\quad 4\\5\quad 6\end{bmatrix}\)

[∵ a_jj = i + 2j
i = 1, 2 এবং j = 1, 2 বসিয়ে পাই,
a₁₁ = (1 + 2.1) = 3;
a₁₂ = (1 + 2.2) = 5;
a₂₁ = (2 + 2.1) = 4;
a₂₂ = (2 + 2.2) = 6;

UNIT – 2
বীজগণিত
Algebra

ম্যাট্রিক্সের প্রকারভেদ ও ম্যাট্রিক্স প্রক্রিয়াসমূহ প্রশ্নমালা 1 (Part-III)	▶️ CLICK HERE
Types of Matrix & Operation Matrices Exercise – 1 (Part-II)	▶️ CLICK HERE
ম্যাট্রিক্সের প্রকারভেদ ও ম্যাট্রিক্স প্রক্রিয়াসমূহ Types of Matrix & Operation Matrices প্রশ্নমালা 1 (Part-I)	▶️ CLICK HERE

দ্বাদশ শ্রেণীর S N Dey বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নীচের BUTTON-এ ক্লিক করো।

CLICK

10. যদি A = [a_jj] একটি 2×2 ক্রমের ম্যাট্রিক্স হয়, যেখানে a_jj = ¹/₂(i + 2j)² তবে A হবে –

\(\mathbf{(a)\begin{bmatrix}\frac{9}{2}\quad \frac{25}{2}\\8\quad 18\end{bmatrix}\quad (b)\begin{bmatrix}9\quad \frac{25}{2}\\8\quad 18\end{bmatrix}\quad (c)\begin{bmatrix}\frac{9}{2}\quad \frac{25}{2}\\8\quad 9\end{bmatrix}\quad (d)\begin{bmatrix}\frac{9}{2}\quad \frac{25}{2}\\4\quad 18\end{bmatrix}\\Ans:\quad(a)\quad\begin{bmatrix}\frac{9}{2}\quad \frac{25}{2}\\4\quad 18\end{bmatrix}}\)

[∵ a_jj = ¹/₂(i + 2j)²
i = 1, 2 এবং j = 1, 2 বসিয়ে পাই,
a₁₁ = ¹/₂(1 + 2.1)² = ¹/₂(3)² = ⁹/₂ ;
a₁₂ = ¹/₂(1 + 2.2)² = ¹/₂(5)² = ²⁵/₂ ;
a₂₁ = ¹/₂(2 + 2.1)² = ¹/₂(4)² = 8 ;
a₂₂ = ¹/₂(2 + 2.2)² = ¹/₂(6)² = 18 ;]

Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স

11. যদি A = [a_jj] একটি 3×2 ক্রমের ম্যাটিক্স হয়, যেখানে a_ij = 3i – 2j তবে A হবে –

\(\mathbf{(a)\begin{bmatrix}1\quad 1\\4\quad 2\\7\quad 5\end{bmatrix}\quad (b)\begin{bmatrix}1\quad -1\\4\quad\quad 2\\7\quad\quad 5\end{bmatrix}\quad (c)\begin{bmatrix}-1\quad -1\\\quad4\quad\quad 2\\\quad7\quad\quad 5\end{bmatrix}\quad (d)\begin{bmatrix}1\quad -1\\4\quad -2\\7\quad\quad 5\end{bmatrix}\\\mathbf{Ans:}\quad (b)\quad \begin{bmatrix}1\quad -1\\4\quad\quad 2\\7\quad\quad 5\end{bmatrix}}\)

[∵ a_ij = 3i – 2j
i = 1, 2, 3 এবং j = 1, 2 বসিয়ে পাই,
a₁₁ = 3.1 – 2.1 = 1;
a₁₂ = 3.1 – 2.2 = -1;
a₂₁ = 3.2 – 2.1 = 4;
a₂₂ = 3.2 – 2.2 = 2;
a₃₁ = 3.3 – 2.1 = 7;
a₃₂ = 3.3 – 2.2 = 5;]

12. যদি A = [a_jj] একটি 2×3 ক্রমের ম্যাট্রিক্স হয়, যেখানে a_jj = ¹/₂|3i – 4j| তবে A হবে –

\(\mathbf{(a)\begin{bmatrix}\frac{1}{2}\quad \frac{5}{2}\quad \frac{9}{2}\\1\quad 1\quad 3\end{bmatrix}\quad (b)\begin{bmatrix}1\quad 5\quad 9\\\frac{1}{2}\quad \frac{1}{2}\quad \frac{3}{2}\end{bmatrix}\quad (c)\begin{bmatrix}\frac{1}{2}\quad \frac{5}{2}\quad 9\\1\quad 1\quad 3\end{bmatrix}\quad (d)\begin{bmatrix}\frac{1}{2}\quad \frac{5}{2}\quad \frac{9}{2}\\\frac{1}{2}\quad \frac{1}{2}\quad \frac{3}{2}\end{bmatrix}\\\mathbf{Ans:}\quad (d)\quad \begin{bmatrix}\frac{1}{2}\quad \frac{5}{2}\quad \frac{9}{2}\\1\quad 1\quad 3\end{bmatrix}}\)

[∵ a_jj = ¹/₂|3i – 4j|
i = 1, 2 এবং j = 1, 2, 3 বসিয়ে পাই,
a₁₁ = ¹/₂|3.1 – 4.1| = ¹/₂|-1| = ¹/₂
a₁₂ = ¹/₂|3.1 – 4.2| = ¹/₂|-5| = ⁵/₂
a₁₃ = ¹/₂|3.1 – 4.3| = ¹/₂|-9| = ⁹/₂
a₂₁ = ¹/₂|3.2 – 4.1| = ¹/₂|2| = 1
a₂₂ = ¹/₂|3.2 – 4.2| = ¹/₂|-2| = 1
a₂₃ = ¹/₂|3.2 – 4.3| = ¹/₂|-6| = 3]

13. যদি A এবং B nxn ক্রমের দুটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স হয়, তবে নীচের কোন্ উক্তিটি সঠিক নয়?
(a) A + B একটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স
(b) A + B একটি বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স
(c) A + B একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স
(d) A + B একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স

Ans: (b) A + B একটি বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স
[∵ A এবং B nxn ক্রমের দুটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স হয়।]

14. যদি

\(\mathbf{A=\begin{bmatrix}0\quad 7\\0\quad 0\end{bmatrix}}\)

এবং f(x) = I + x + x² +…..+ x²⁰ হয়, তবে

\(\mathbf{f(a) =\\(a)\quad 0\quad\quad (b)\quad\begin{bmatrix}1\quad 7\\0\quad 0\end{bmatrix}\\(c)\quad\begin{bmatrix}0\quad 7\\0\quad 1\end{bmatrix}(d)\quad\begin{bmatrix}0\quad 7\\1\quad 1\end{bmatrix}}\\\)\(\mathbf{Ans:}\quad (c)\quad \begin{bmatrix}1\quad 7\\0\quad 1\end{bmatrix}\)

[\(A^2=A.A\\=\begin{bmatrix}0\quad 7\\0\quad 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\quad 7\\0\quad 0\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0\quad 0\\0\quad 0\end{bmatrix}\\=0\)

∵ f(x) = I + x + x² +…..+ x²⁰
= I + A + A² + A³ +…..+ A²⁰
= I + A + 0 + 0.A + 0.A² +….. + 0.A¹⁸
= I + A

\(\quad=\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\quad 7\\0\quad 0\end{bmatrix}\\\quad=\begin{bmatrix}1\quad 7\\0\quad 1\end{bmatrix}\)]

Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স

15. যদি A একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স হয়, তাহলে A² হবে-
(a) প্রতিসম ম্যাট্রিক্স (b) বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স
(c) কর্ণ ম্যাট্রিক্স (d) এদের কোনোটিই নয়

Ans: (d) এদের কোনোটিই নয়
[ধরি

\(A=\begin{bmatrix}\quad 2\quad -1\\-1\quad\quad 2\end{bmatrix}\)একটি 2×2 ক্রমের বর্গ ম্যাট্রিক্স \(\\A^2 =A.A\\=\begin{bmatrix}\quad 2\quad -1\\-1\quad\quad 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\quad 2\quad -1\\-1\quad\quad 2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 4+1\quad -2-2\\-2-2\quad\quad 1+4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 5\quad -4\\-4\quad\quad 5\end{bmatrix}\)]

16. যদি

\(\mathbf{\begin{bmatrix}2x-y\quad 5\\\quad 3\quad y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6\quad\quad 5\\3\quad -2\end{bmatrix}}\)

হয়, তবে x-এর মান হবে –
(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3

Ans: (c) 2
[ম্যাট্রিক্সের সমতার সংজ্ঞানুসারে,
2x – y = 6;
এবং y = -2
∵ 2x – y = 6
বা, 2x – (-2) = 6
বা, 2x = 4
বা, x = 2]

17. যদি

\(\mathbf{\begin{bmatrix}1\quad 4\\ 2\quad 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x\quad y^2\\z\quad 0\end{bmatrix}}\)

(y<0) হয়, তবে x – y + z এর মান হবে-
(a) 5 (b) 2 (c) 1 (d) -3

Ans: (a) 5
[ম্যাট্রিক্সের সমতার সংজ্ঞানুসারে,
x = 1; z = 2
y² = 4
বা, y = ±2
∴ y = -2 – – -[y<0]
x – y + z = 1 – (-2) + 2
= 1 + 2 + 2
= 5]

18. যদি

\(A-2B=\begin{bmatrix}1\quad 5\\3\quad 7\end{bmatrix}\quad এবং \quad 2A-3B=\begin{bmatrix}-2\quad 5\\\quad 0\quad 7\end{bmatrix}\)

হয়, তবে B ম্যাট্রিক্স হবে-

\((a)\quad \begin{bmatrix}-4\quad -5\\-6\quad -7\end{bmatrix}\quad(b)\quad \begin{bmatrix}\quad 0\quad 6\\-3\quad 7\end{bmatrix}\\(c)\quad \begin{bmatrix}2\quad –1\\3\quad\quad 2\end{bmatrix}\quad(d)\quad \begin{bmatrix}6\quad -1\\0\quad\quad 1\end{bmatrix}\\\mathbf{Ans.}\quad(a)\quad \begin{bmatrix}-4\quad -5\\-6\quad -7\end{bmatrix}\)

[\((2A-3B)-2(A-2B)=\begin{bmatrix}-2\quad 5\\\quad 0\quad 7\end{bmatrix}-2\begin{bmatrix}1\quad 5\\3\quad 7\end{bmatrix}\\⇒B=\begin{bmatrix}-2\quad 5\\\quad 0\quad 7\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}2\quad 10\\6\quad 14\end{bmatrix}\\⇒B=\begin{bmatrix}-4\quad -5\\-6\quad -7\end{bmatrix}\)]

Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স

19. যদি

\(\mathbf{A=\begin{bmatrix} \quad 4 \quad 2\\-1\quad 1\end{bmatrix}}\)

হয়, তবে (A – 2I)(A – 3I) -এর মান হবে [যেখানে । দ্বিতীয় ক্রমের একক ম্যাট্রিক্স] –
(a) A (b) I (c) 0 (d) 5I

Ans: (c) 0

[\(A=\begin{bmatrix}\quad 4 \quad 2\\-1\quad 1\end{bmatrix},\quad I=\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\\∴A-2I\\=\begin{bmatrix}\quad 4\quad 2\\-1\quad 1\end{bmatrix}-2\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 4\quad 2\\-1\quad 1\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}2\quad 0\\0\quad 2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 2\quad\quad 2\\-1\quad -1\end{bmatrix}\\A-3I\\=\begin{bmatrix}\quad 4\quad 2\\-1\quad 1\end{bmatrix}-3\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 4\quad 2\\-1\quad 1\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}3\quad 0\\0\quad 3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 1\quad\quad 2\\-1\quad -2\end{bmatrix} \)

∴ (A – 2I)(A – 3I)

\(\begin{bmatrix}\quad 2\quad\quad 2\\-1\quad -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\quad 1\quad\quad 2\\-1\quad -2\end{bmatrix}\\= \begin{bmatrix}2-2\quad 4-4\\-1+1\quad -2+2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0\quad 0\\0\quad 0\end{bmatrix} \)]

20. যদি

\(\mathbf{A=\begin{bmatrix}x\quad\quad y\\z\quad -x\end{bmatrix}}\)

ম্যাট্রিক্স এরূপ যে A² = I হয়, তবে
(a) 1 + x² + yz = 0 (b) 1 – x² + yz = 0
(c) 1 – x² – yz = 0 (d) 1 + x² – yz = 0

Ans: (c) 1 – x² – yz = 0

[\(\quad A^2=I\\⇒A.A=I\\=\begin{bmatrix}x \quad\quad y\\z\quad -x\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \quad\quad y\\z\quad -x\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}x^2+yz \quad xy-xy\\xz-xz\quad yz+x^2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}x^2+yz \quad\quad 0\\\quad 0\quad yz+x^2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\\∴x^2+yz=1\\⇒1-x^2-yz=0\)]

21. যদি ম্যাট্রিক্স A প্রতিসম এবং বিপ্রতিসম উভয়ই হয়, তবে A ম্যাট্রিক্স হবে –
(a) কর্ণ ম্যাট্রিক্স (b) শূন্য ম্যাট্রিক্স
(c) বর্গ ম্যাট্রিক্স (d) এদের কোনোটিই নয়

Ans: (b) শূন্য ম্যাট্রিক্স

[ধরি\(A=\begin{bmatrix}0 \quad 0\\0\quad 0\end{bmatrix}=0\\∴A^T=\begin{bmatrix}0 \quad 0\\0\quad 0\end{bmatrix}=0=A\\∴A^T=0=-0=-A\)]

22 একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স A এরূপ যে A² = A, তবে (I + A)³ – 7A-এর মান হবে-
(a) A (b) I – A (c) I (d) 3A

Ans: (c) I
(I + A)³ – 7A
[ (I + A)³ – 7A
= (I + A)(I + A)(I + A) – 7A
= (I² + IA + AI +A²)(I + A) – 7A
= (I + A + A + A)(I + A) – 7A – – – [∵ A² = A; I² = A; AI =A]
= (I + 3A)(I + A) – 7A
= I + A + 3A + 3A – 7A
= I + 7A – 7A
= I ]

Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স

অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রতিটি প্রশ্নের মান 2

\(\mathbf{1.\\A=\begin{bmatrix}\quad 2\quad -3\\\quad0\quad\quad 1\\-1\quad\quad 4\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}-1\quad\quad 5\\\quad 2\quad -3\\\quad 0\quad\quad 1\end{bmatrix}\quad এবং \quad C=\begin{bmatrix}\quad 4\quad -2\\\quad 0\quad -1\\\quad 3\quad\quad 5\end{bmatrix}}\)

(i) A + 2B (ii) 2B – 3C
(iii) 4C – A (iv) A + 4B – 3C ম্যাট্রিক্সগুলি নির্ণয় করো।

(i)
Solution:
A + 2B

\(=\begin{bmatrix}\quad 2\quad -3\\\quad0\quad\quad 1\\-1\quad\quad 4\end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}-1\quad\quad 5\\\quad 2\quad -3\\\quad 0\quad\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 2\quad -3\\\quad0\quad\quad 1\\-1\quad\quad 4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-2\quad\quad 10\\\quad 4\quad -6\\\quad 0\quad\quad 2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 0\quad\quad 7\\\quad 4\quad -5\\-1\quad\quad 6\end{bmatrix}\quad \mathbf{(Ans)}\)

(ii)
Solution:
2B – 3C

\(2\begin{bmatrix}-1\quad\quad 5\\\quad 2\quad -3\\\quad 0\quad\quad 1\end{bmatrix}-3\begin{bmatrix}\quad 4\quad -2\\\quad 0\quad -1\\\quad 3\quad\quad 5\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-2\quad\quad 10\\\quad 4\quad -6\\\quad 0\quad\quad 2\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\quad 12\quad -6\\\quad 0\quad -3\\\quad 9\quad\quad 15\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-14\quad\quad 16\\\quad 4\quad -3\\\quad -9\quad -13\end{bmatrix}\quad \mathbf{(Ans)}\)

(iii)
Solution:
4C – A

\(=4\begin{bmatrix}\quad 4\quad -2\\\quad 0\quad -1\\\quad 3\quad\quad 5\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\quad 2\quad -3\\\quad0\quad\quad 1\\-1\quad\quad 4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 16\quad -8\\\quad 0\quad -4\\\quad 12\quad\quad 20\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\quad 2\quad -3\\\quad0\quad\quad 1\\-1\quad\quad 4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 14\quad -5\\\quad 0\quad -5\\\quad 13\quad\quad 16\end{bmatrix}\quad \mathbf{(Ans)}\)

(iv)
Solution:
A + 4B – 3C

\(\\=\begin{bmatrix}\quad 2\quad -3\\\quad0\quad\quad 1\\-1\quad\quad 4\end{bmatrix}+4\begin{bmatrix}-1\quad\quad 5\\\quad 2\quad -3\\\quad 0\quad\quad 1\end{bmatrix} -3\begin{bmatrix}\quad 4\quad -2\\\quad 0\quad -1\\\quad 3\quad\quad 5\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 2\quad -3\\\quad0\quad\quad 1\\-1\quad\quad 4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-4\quad\quad 20\\\quad 8\quad -12\\\quad 0\quad\quad 4\end{bmatrix} -\begin{bmatrix}\quad 12\quad -6\\\quad 0\quad -3\\\quad 9\quad\quad 15\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-2\quad 17\\\quad 8\quad -11\\-1\quad\quad 8\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\quad 12\quad -6\\\quad 0\quad -3\\\quad 9\quad\quad 15\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-14\quad 23\\ 8\quad\quad14\\-10\quad -7\end{bmatrix}\quad \mathbf{(Ans)}\)

2. (i) যদি

\(\mathbf{A=\begin{bmatrix}2\quad 4\\5\quad 6\end{bmatrix}\quad এবং \quad B=\begin{bmatrix}3\quad 6\\5\quad 9\end{bmatrix}}\)

হয়, তবে 2×2 ক্রমের বর্গ ম্যাট্রিক্স X নির্ণয় করো যখন 3A + 4B = 2X

Solution:

∵\(3A+4B=2X\\∴3\begin{bmatrix}2\quad 4\\5\quad 6\end{bmatrix}+4\begin{bmatrix}3\quad 6\\5\quad 9\end{bmatrix}=2X\\⇒\begin{bmatrix}6\quad 12\\15\quad 18\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}12\quad 24\\20\quad 36\end{bmatrix}=2X\\⇒\begin{bmatrix}18\quad 36\\35\quad 54\end{bmatrix} =2X\\⇒2X=\begin{bmatrix}18\quad 36\\35\quad 54\end{bmatrix} \\⇒X=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}18\quad 36\\35\quad 54\end{bmatrix}\\⇒X=\begin{bmatrix}9\quad 18\\\frac{35}{2}\quad 27\end{bmatrix}\quad \mathbf{(Ans)}\)

(ii) যদি

\(\mathbf{A=\begin{bmatrix}-1\quad 2\\\quad 3\quad 4\end{bmatrix}\quad ও \quad B=\begin{bmatrix}3\quad -2\\1\quad\quad 5\end{bmatrix}}\)

এবং হয়, তবে X ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করো।

Solution:

\(∵2A+B+X=0\\⇒2\begin{bmatrix}-1\quad 2\\\quad3\quad 4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}3\quad -2\\1\quad \quad 5\end{bmatrix}+X=0\\⇒\begin{bmatrix}-2\quad 4\\\quad 6\quad 8\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}3\quad -2\\1\quad \quad 5\end{bmatrix}+X=0\\⇒\begin{bmatrix}1\quad\quad 2\\7\quad\quad 13\end{bmatrix}+X=0\\⇒X=-\begin{bmatrix}1\quad 2\\\quad 7\quad 13\end{bmatrix}\\⇒X=\begin{bmatrix}-1\quad -2\\\quad -7\quad -13\end{bmatrix}\)

3. A ও B ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করো যখন :

\(\mathbf{(i)\\A+B=\begin{bmatrix}1\quad 5\quad 10\\5\quad 9\quad\quad8\end{bmatrix}\quad এবং\quad A-B=\begin{bmatrix}-1\quad -1\quad -4\\\quad 1\quad\quad 1\quad\quad 6\end{bmatrix}}\\\)

\(\mathbf{Solution:}\\ A+B=\begin{bmatrix}1\quad 5\quad 10\\5\quad 9\quad\quad8\end{bmatrix} – – – (i)\\ A-B=\begin{bmatrix}-1\quad -1\quad -4\\\quad 1\quad\quad 1\quad\quad 6\end{bmatrix} – – – (ii)\\\)

(i) + (ii) করে পাই

\(∴2A=\begin{bmatrix}0\quad 4\quad 6\\6\quad 10\quad 14\end{bmatrix}\\⇒A=\begin{bmatrix}0\quad 2\quad 3\\3\quad 5\quad 7\end{bmatrix}\\ \)

(i) – (ii) করে পাই

\(∴2B=\begin{bmatrix}2\quad 6\quad 14\\4\quad 8\quad 2\end{bmatrix}\\⇒A=\begin{bmatrix}1\quad 3\quad 7\\2\quad 4\quad 1\end{bmatrix}\\ \)

\(\mathbf{(ii)\\A-2B=\begin{bmatrix}-7\quad\quad 7\\\quad4\quad -8\end{bmatrix}\quad এবং\quad A-3B=\begin{bmatrix}-11\quad\quad 9\\4\quad -13\end{bmatrix}}\)

(i) – (ii) করে পাই,

\(\quad (A-2B)-(A-3B)=\begin{bmatrix}-7\quad\quad 7\\\quad4\quad -8\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}-11\quad\quad 9\\4\quad -13\end{bmatrix}\\⇒B=\begin{bmatrix}4\quad -2\\0\quad\quad 5\end{bmatrix}\)

আবার (i) থেকে পাই,

\(\quad A-2\begin{bmatrix}4\quad -2\\0\quad\quad 5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-7\quad\quad 7\\\quad4\quad -8\end{bmatrix}\\⇒A=\begin{bmatrix}-7\quad\quad 7\\\quad4\quad -8\end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}4\quad -2\\0\quad\quad 5\end{bmatrix}\\⇒A=\begin{bmatrix}-7\quad\quad 7\\\quad4\quad -8\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}8\quad -4\\0\quad\quad 10\end{bmatrix}\\⇒A=\begin{bmatrix}1\quad 3\\ 4\quad 2\end{bmatrix}\)

\(\mathbf{(iii)\\2A+B=\begin{bmatrix}\quad1\quad\quad 2\quad\quad 3\\-1\quad -2\quad -3\\\quad 4\quad\quad 2\quad\quad 3\end{bmatrix}\quad এবং\quad A+2B=\begin{bmatrix}0\quad 2\quad 3\\4\quad 1\quad 7\\1\quad 1\quad 5\end{bmatrix}}\)

2×(i) – (ii) করে পাই,

\(\mathbf{Solution:}\\∴2(2A+B)-(A+2B)=2\begin{bmatrix}\quad1\quad\quad 2\quad\quad 3\\-1\quad -2\quad -3\\\quad 4\quad\quad 2\quad\quad 3\end{bmatrix}\quad-\begin{bmatrix}0\quad 2\quad 3\\4\quad 1\quad 7\\1\quad 1\quad 5\end{bmatrix}\\⇒4A+2B-A-2B=\begin{bmatrix}\quad2\quad\quad 4\quad\quad 6\\-2\quad -4\quad -6\\\quad 8\quad\quad 4\quad\quad 6\end{bmatrix}\quad-\begin{bmatrix}0\quad 2\quad 3\\4\quad 1\quad 7\\1\quad 1\quad 5\end{bmatrix}\\⇒3A=\begin{bmatrix}\quad2\quad\quad 2\quad\quad 3\\-6\quad -5\quad -13\\\quad 7\quad\quad 3\quad\quad 1\end{bmatrix}\\⇒A=\frac{1}{3}\begin{bmatrix}\quad2\quad\quad 2\quad\quad 3\\-6\quad -5\quad -13\\\quad 7\quad\quad 3\quad\quad 1\end{bmatrix}\)

2×(ii) – (i) করে পাই,

\(\\2(A+2B)-(2A+B)=2\begin{bmatrix}0\quad 2\quad 3\\4\quad 1\quad 7\\1\quad 1\quad 5\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\quad1\quad\quad 2\quad\quad 3\\-1\quad -2\quad -3\\\quad 4\quad\quad 2\quad\quad 3\end{bmatrix}\\⇒2A+4B-2A-B=\begin{bmatrix}0\quad 4\quad 6\\8\quad 2\quad 14\\2\quad 2\quad 10\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\quad1\quad\quad 2\quad\quad 3\\-1\quad -2\quad -3\\\quad 4\quad\quad 2\quad\quad 3\end{bmatrix}\\⇒3B=\begin{bmatrix}\quad1\quad\quad 2\quad\quad 3\\\quad9\quad\quad 4\quad\quad 17\\\quad -2\quad\quad 0\quad\quad 7\end{bmatrix}\\⇒B=\frac{1}{3}\begin{bmatrix}\quad1\quad\quad 2\quad\quad 3\\\quad 9\quad\quad 4\quad\quad 17\\ -2\quad\quad 0\quad\quad 7\end{bmatrix}\)

\(\mathbf{4.(i)}\\A=\begin{bmatrix}3\quad 5\\2\quad a\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}4\quad b\\2\quad 9\end{bmatrix} \quadএবং \quad C=\begin{bmatrix}26\quad a\\14\quad 45\end{bmatrix}\)

হলে a ও b-এর মান নির্ণয় করো যখন 2A + 5B = C;

\(\mathbf{Solution:}\\∵ 2A + 5B = C\\∴2\begin{bmatrix}3\quad 5\\2\quad a\end{bmatrix}+5\begin{bmatrix}4\quad b\\2\quad 9\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}26\quad a\\14\quad 45\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}6\quad 10\\4\quad 2a\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}20\quad 5b\\10\quad 45\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}26\quad a\\14\quad 45\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}26\quad 10+5b\\14\quad 2a+45\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}26\quad a\\14\quad 45\end{bmatrix}\)

ম্যাট্রিক্সের সমতার সংজ্ঞানুসারে,
10 + 5b = a – – – – (i)
2a + 45 = 45
বা, 2a = 0
∴ a = 0
(i) নং থেকে পাই,
10 + 5b = 0
⇒ 5b = -10
∴ b = -2
Ans: a -এর মান 0
b-এর মান -2

Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স

(ii) একটি ম্যাট্রিক্সের 1৪টি পদ থাকলে তার সম্ভাব্য ক্রমগুলি লেখো। কোনো ম্যাট্রিক্সে,র পাঁচটি পদ থাকলে সম্ভাব্য ক্রমগুলি লেখো।

Solution:
একটি ম্যাট্রিক্সের মোট পদ সংখ্যাকে যতগুলি ক্রমের আকারে প্রকাশ করা যাবে ততগুলি ক্রমের ম্যাট্রিক্স পাওয়া যাবে।
18 = 1 × 18 ; 18 = 18 × 1 ;
18 = 2 × 9 ; 18 = 9 × 2 ;
18 = 3 × 6 ; 18 = 6 × 3;
∴ মোট ক্রমের 6 টি ম্যাট্রিক্স পাওয়া যাবে।
Ans: ম্যাট্রিক্সের 1৪টি পদ থাকলে তার সম্ভাব্য ক্রমগুলি 1×18, 18×1, 2×9, 9×2, 3×6 ও 6×3;
কোনো ম্যাট্রিক্সে,র পাঁচটি পদ থাকলে সম্ভাব্য ক্রমগুলি হল 1×5, 5×1;
18 = 1 × 18 ;

Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স

(iii) যদি

হয়, তবে x y-এর মান নির্ণয় করো।

\(\mathbf{2\begin{bmatrix}1\quad 3\\0\quad x\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}y\quad 0\\1\quad 2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5\quad 6\\1\quad 8\end{bmatrix}}\)

Solution:

\(\quad 2\begin{bmatrix}1\quad 3\\0\quad x\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}y\quad 0\\1\quad 2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5\quad 6\\1\quad 8\end{bmatrix}\\⇒\)

\(\mathbf{4.(iv)\\\quad \begin{bmatrix}x+y+z\\z+x\\y+z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 9\\5\\7\end{bmatrix}}\)

হয়, তবে x. y ও z-এর মান নির্ণয় করো।

Solution:
ম্যাট্রিক্সের সমতার সংজ্ঞানুসারে,
x + y + z = 9 – – – (i)
z + x = 5 – – – (ii)
y + z = 7 – – – (ii)
(i) – (ii) – (iii) করে পাই,
(x + y + z) – (z + x) – (y + z) = 9 – 5 – 7
⇒ x + y + z – z – x – y – z = -3
⇒ – z = -3
∴ z = 3
(ii) নং -এ z = 3 বসিয়ে পাই,
3 + x = 5
∴ x = 2
(iii) নং -এ z = 3 বসিয়ে পাই,
y + 3 = 7
∴ y = 4
Ans: x -এর মান 2
y -এর মান 4
z -এর মান 3

\(\mathbf{5.(i)\quad A=\begin{bmatrix}\quad 2\quad 0\quad -5\\-3\quad 4\quad\quad 7\end{bmatrix}\quad এবং \quad B=\begin{bmatrix} 3\quad 1\quad -1\\4\quad 5\quad\quad 0\end{bmatrix}}\) হলে প্রমাণ করো যে,

\(\mathbf{(a)\quad (A+B)=A^I+B^I\\(b)\quad (A-B)^I=A^I-B^I}\)

\(\mathbf{5.(i)\\Solution}\\A=\begin{bmatrix}\quad 2\quad 0\quad -5\\-3\quad 4\quad\quad 7\end{bmatrix}\quad ∴A^I=\begin{bmatrix}\quad 2\quad -3\\\quad 0\quad \quad 4\\-5\quad \quad 7 \end{bmatrix}\\B=\begin{bmatrix} 3\quad 1\quad -1\\4\quad 5\quad\quad 0\end{bmatrix}\quad∴B^I=\begin{bmatrix}\quad 3\quad\quad 4\\\quad 1\quad \quad 5\\-1\quad \quad 0 \end{bmatrix}\)

\(\mathbf{(a)}\\A+B\\=\begin{bmatrix}\quad 2\quad 0\quad -5\\-3\quad 4\quad\quad 7\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 3\quad 1\quad -1\\4\quad 5\quad\quad 0\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}5\quad 1\quad -6\\1\quad 9\quad\quad 7\end{bmatrix}\\∴(A+B)^I\\=\begin{bmatrix}\quad 5\quad 1\\\quad 1\quad 9\\-6\quad 7\end{bmatrix}\\∴A^I+B^I\\=\begin{bmatrix}\quad 2\quad -3\\\quad 0\quad\quad 4\\-5\quad\quad 7\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}\quad 3\quad 4\\\quad 1\quad 5\\-1\quad 0\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 5\quad 1\\\quad 1\quad 9\\-6\quad 7\end{bmatrix}\\∴(A+B)^I=A^I+B^I\quad \mathbf{(Proved)}\)

\(\mathbf{(b)}\\A-B\\=\begin{bmatrix}\quad 2\quad 0\quad -5\\-3\quad 4\quad\quad 7\end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 3\quad 1\quad -1\\4\quad 5\quad\quad 0\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-1\quad -1\quad -4\\-7\quad -1\quad\quad 7\end{bmatrix}\\∴(A-B)^I\\=\begin{bmatrix}\quad -1\quad -7\\\quad -1\quad -1\\-4\quad\quad 7\end{bmatrix}\\∴A^I-B^I\\=\begin{bmatrix}\quad 2\quad -3\\\quad 0\quad\quad 4\\-5\quad\quad 7\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\quad 3\quad 4\\\quad 1\quad 5\\-1\quad 0\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-1\quad -7\\\quad -1\quad -1\\-4\quad\quad 7\end{bmatrix}\\∴(A-B)^I=A^I-B^I\quad \mathbf{(Proved)}\)

\(\mathbf{(ii)\quad A=\begin{bmatrix}1\\2\\ 3\end{bmatrix}}\) হলে \(AA^T\) নির্ণয় করো।

\(\mathbf{Solution}\\\quad A=\begin{bmatrix}1\\2\\ 3\end{bmatrix}\\∴A^T=\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\end{bmatrix}\)

A ম্যাট্রিক্সের স্তম্ভ সংখ্যা = B ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা = 1
∴ AA^T সংজ্ঞাত।

\(∴ AA^T\\=\begin{bmatrix}1\\ 2\\ 3\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1×1\quad 1×2\quad 1×3\\2×1\quad 2×2\quad 2×3\\3×1\quad 3×2\quad 3×3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\\2\quad 4\quad 6\\3\quad 6\quad 9\end{bmatrix}\)

\(\mathbf{(ii)\quad A=\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\end{bmatrix}}\) হলে \(AA^T\) নির্ণয় করো।

\(\mathbf{Solution}\\A=\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\end{bmatrix}\\∴A^T=\begin{bmatrix}1\\2\\ 3\end{bmatrix}\\\)

A ম্যাট্রিক্সের স্তম্ভ সংখ্যা = B ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা = 3
∴ AA^T সংজ্ঞাত।

\(∴ AA^T\\=\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\\ 2\\ 3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1×1+ 2×2+3×3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}14\end{bmatrix}\)

Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স

6. A ম্যাট্রিক্স 2 x m ক্রমের ও B ম্যাট্রিক্স 3 x n ক্রমের; যদি তাদের গুণফল AB সংজ্ঞাত ও px4 ক্রমের ম্যাট্রিক্স হয়, তবে m, n ও p-এর মান নির্ণয় করো।

Solution:
A ম্যাট্রিক্স 2 x m ক্রমের ও B ম্যাট্রিক্স 3 x n ক্রমের
∵ AB সংজ্ঞাত;
∴ A ম্যাট্রিক্সের স্তম্ভ সংখ্যা = B ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা
⇒ m = 3
∴ AB ম্যাট্রিক্স হবে 2 x n ক্রমের।
প্রদত্ত, AB ম্যাট্রিক্স px4 ক্রমের ম্যাট্রিক্স।
∴ p = 2
Ans: m -এর মান = 3;
n -এর মান = 4;
p -এর মান = 2

7. দুটি ম্যাট্রিক্স A ও B -এর ক্ষেত্রে A + B এবং AB উভয়ই সংজ্ঞাত হলে প্রমাণ করো যে, A ও B একই ক্রমের বর্গ ম্যাট্রিক্স হবে।

Solution:
A + B সংজ্ঞাত
∴ A ও B একই ক্রমের ম্যাট্রিক্স হবে।
ধরি, A ও B m×n ক্রমের ম্যাট্রিক্স।
আবার AB সংজ্ঞাত
∴ A ম্যাট্রিক্সের স্তম্ভ সংখ্যা = B ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা
⇒ n = m
∴ A ও B m×m ক্রমের ম্যাট্রিক্স।
A ও B একই ক্রমের বর্গ ম্যাট্রিক্স (Proved)

Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স

8. একটি উদাহরণের সাহায্যে দেখাও যে, ম্যাট্রিক্স গুণন ক্রিয়া সাধারণভাবে বিনিময় নিয়ম (commutative law) সিদ্ধ করে না।

Solution:
ধরি,

\(\\A=\begin{bmatrix}\quad 4\quad 2\\-1\quad 3\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}3\quad -1\\5\quad\quad 2\end{bmatrix}\)

A-এর স্তম্ভ সংখ্যা = B-এর সারি সংখ্যা = 2
∴ AB সংজ্ঞাত।

\(∴AB=\begin{bmatrix}\quad 4\quad 2\\-1\quad 3\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}3\quad -1\\5\quad\quad 2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix} 4×3+2×5\quad\quad 4×-1+2×2\\-1×3+3×5\quad -1×-1+3×2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}22\quad 0\\12\quad 7\end{bmatrix}\)

আবার B-এর স্তম্ভ সংখ্যা = A-এর সারি সংখ্যা = 2
∴ BA সংজ্ঞাত।

\(∴BA=\begin{bmatrix}3\quad -1\\5\quad\quad 2\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}\quad 4\quad 2\\-1\quad 3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 3×4+-1×-1\quad\quad 3×2+-1×3\\\quad 5×4+2×-1\quad\quad 5×2+2×3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 13\quad 3\\18\quad 16\end{bmatrix}\\∴\quad AB≠BA\)

∴ম্যাট্রিক্স গুণন ক্রিয়া সাধারণভাবে বিনিময় নিয়ম সিদ্ধ করে না। (Proved)

\(\mathbf{(i)\quad A=\begin{bmatrix}\quad 2\\\quad 3\\-1\end{bmatrix}\quad এবং \quad B=\begin{bmatrix} 3\quad 5\quad 7\end{bmatrix}}\)

হলে AB নির্ণয় করো।

Solution:

\(\quad A=\begin{bmatrix}\quad 2\\\quad 3\\-1\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix} 3\quad 5\quad 7\end{bmatrix}\)

A-এর স্তম্ভ সংখ্যা = B-এর সারি সংখ্যা = 1
∴ AB সংজ্ঞাত।

\(∴AB=\begin{bmatrix}\quad 2\\\quad 3\\-1\end{bmatrix}×\begin{bmatrix} 3\quad 5\quad 7\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 2×3\quad\quad 2×5\quad\quad 2×7\\\quad 3×3\quad\quad 3×5\quad\quad 3×7\\-1×3\quad -1×5\quad -1×7\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 6\quad\quad 10\quad\quad 14\\\quad 9\quad\quad 15\quad\quad 21\\-3\quad -5\quad -7\end{bmatrix}\)

\(\mathbf{(ii)\quad A=\begin{bmatrix} 1\quad 2\quad 3\quad 4\end{bmatrix}\quad এবং \quad B=\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix}}\)

হলে AB ও BA নির্ণয় করো।

Solution:

\(A=\begin{bmatrix} 1\quad 2\quad 3\quad 4\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix}\)

A-এর স্তম্ভ সংখ্যা = B-এর সারি সংখ্যা = 4
∴ AB সংজ্ঞাত।

\(AB=\begin{bmatrix} 1\quad 2\quad 3\quad 4\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix} 1×1+2×2+3× 3+4×4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix} 1+4+9+16\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}30\end{bmatrix}\)

B-এর স্তম্ভ সংখ্যা = Aএর সারি সংখ্যা = 1
∴ BA সংজ্ঞাত।

\(∴BA=\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix}×\begin{bmatrix} 1\quad 2\quad 3\quad 4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1×1\quad 1×2\quad 1×3\quad 1×4\\2×1\quad 2×2\quad 2×3\quad 2×4\\3×1\quad 3×2\quad 3×3\quad 3×4\\4×1\quad 4×2\quad 4×3\quad 4×4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\quad 4\\2\quad 4\quad 6\quad 8\\3\quad 6\quad 9\quad 12\\4\quad 8\quad 12\quad 16\end{bmatrix}\)

Types of Matrix Class XII S N Dey ম্যাট্রিক্স

(iii). মান নির্ণয় করো:

\(\begin{bmatrix} x\\y\\z\end{bmatrix}×\begin{bmatrix} a\quad h\quad g\\h\quad b\quad f\\g\quad f\quad c\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}x\\y\\z \end{bmatrix}\)

\(\mathbf{Solution:}\\\quad\begin{bmatrix} x\\y\\z\end{bmatrix}×\begin{bmatrix} a\quad h\quad g\\h\quad b\quad f\\g\quad f\quad c\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}x\\y\\z \end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix} x\\y\\z\end{bmatrix}×\begin{bmatrix} ax+hy+gz\\hx+by+fz\\gx+ fy+cz\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix} x(ax+hy+gz)+y(hx+by+fz)+z(gx+ fy+cz)\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix} ax^2+hxy+gzx+hxy+by^2+fyz+gzx+ fyz+cz^2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix} ax^2+by^2+cz^2+2hxy+2fyz+2gzx\end{bmatrix}\)

\(\mathbf{10.\\A=\begin{bmatrix}\quad 1\quad\quad 2\quad 3\\\quad 2\quad -1\quad 5\\ -3\quad\quad 2\quad 4 \end{bmatrix},\quad X=\begin{bmatrix}x \\y\\z \end{bmatrix},\quad এবং\quad B=\begin{bmatrix}14 \\15\\13 \end{bmatrix}}\)

হলে AX = B ম্যাট্রিক্স সমীকরণ দিয়ে প্রকাশিত x, y, z-এর একঘাত সমীকরণ তিনটি লেখো।

\(\mathbf{Solution:}\\∵AX=B\\⇒\begin{bmatrix}\quad 1\quad\quad 2\quad 3\\\quad 2\quad -1\quad 5\\ -3\quad\quad 2\quad 4 \end{bmatrix}×\begin{bmatrix}x \\y\\z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}14 \\15\\13 \end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}x+2y+3z\\2x-y+5z\\-3x+2y+4z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}14 \\15\\13 \end{bmatrix}\)

Ans: x, y ও z -এর একঘাত সমীকরণ তিনটি হল –
x + 2y + 3z = 14;
2x – y + 5z = 15;
-3x + 2y + 4z = 13

11. নীচের সমীকরণগুলি ম্যাট্রিক্স সমীকরণের আকারে প্রকাশ করো:
(i) a₁x + b₁y + c₁ = 0
a₂x + b₂y + c₂ = 0

(ii) a₁x + b₁y + c₁z = k₁
a₂x + b₂y + c₂z = k₂
a₃x + b₃y + c₃z = k₃

(i)
Solution:
a₁x + b₁y + c₁ = 0 – – – – – (i)
a₂x + b₂y + c₂ = 0 – – – – (ii)
ধরি

\(A= \begin{bmatrix}a_1\quad b_1\\a_2\quad b_2\end{bmatrix},\quad X=\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix},\quad C=\begin{bmatrix}c_1\\c_2\end{bmatrix},\quad 0=\begin{bmatrix}0 \\0 \end{bmatrix}\\\)

\(∴AX=\begin{bmatrix}a_1\quad b_1\\a_2\quad b_2\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\\\quad =\begin{bmatrix}a_1x+b_1y\\a_2x+b_2y\end{bmatrix}\\∴AX+C\\=\begin{bmatrix}a_1x+b_1y\\a_2x+b_2y\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}c_1\\c_2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}a_1x+b_1y+c_1\\a_2x+b_2y+c_2\end{bmatrix}\\\)নির্ণেয় ম্যাট্রিক্স আকার -\(\begin{bmatrix}a_1x+b_1y+c_1\\a_2x+b_2y+c_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 \\0 \end{bmatrix}\\⇒AX+C=0 \)

(ii)
Solution:
a₁x + b₁y + c₁z = k₁ – – – – – (i)
a₂x + b₂y + c₂z = k₂ – – – – (ii)
a₃x + b₃y + c₃z = k₃ – – – – (iii)
ধরি

\(A= \begin{bmatrix}a_1\quad b_1\quad c_1\\a_2\quad b_2\quad c_2\\a_3\quad b_3\quad c_3\end{bmatrix},\quad X=\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix},\quad K=\begin{bmatrix}k_1\\k_2\\k_3\end{bmatrix} \\\)

\(∴AX= \begin{bmatrix}a_1\quad b_1\quad c_1\\a_2\quad b_2\quad c_2\\a_3\quad b_3\quad c_3\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}a_1x+b_1y+c_1z\\a_2x+b_2y+c_2z\\a_3x+b_3y+c_3z\end{bmatrix}\\\)নির্ণেয় ম্যাট্রিক্স আকার -\(∴AX=K\\⇒\begin{bmatrix}a_1x+b_1y+c_1z\\a_2x+b_2y+c_2z\\ a_3x+b_3y+c_3z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}k_1\\k_2\\k_3\end{bmatrix}\)

\(\mathbf{12.\\A=\begin{bmatrix}2\quad 3\\4\quad 5\end{bmatrix}}\)

হলে দেখাও যে, A – A^T একটি বিপ্রতিসম (skew-symmetric) ম্যাট্রিক্স
Solution:

\(A=\begin{bmatrix}2\quad 3\\4\quad 5\end{bmatrix}\\\therefore A^T=\begin{bmatrix}2\quad 4\\3\quad 5\end{bmatrix}\\\therefore A-A^T\\=\begin{bmatrix}2\quad 3\\4\quad 5\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}2\quad 4\\3\quad 5\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0\quad -1\\1\quad\quad 0\end{bmatrix} \\\therefore (A-A^T)^T\\=\begin{bmatrix}\quad 0\quad 1\\-1\quad 0\end{bmatrix}\\=-\begin{bmatrix}0\quad -1\\1\quad\quad 0\end{bmatrix}\\=-(A-A^T)\) A – \(A^{T}\) একটি বিপ্রতিসম (skew-symmetric) ম্যাট্রিক্স\(\quad\mathbf{(Proved)}\)

PREVIOUS

NEXT