Author: TEAM PROSTUTI

Complete Solution of MP-22 Mathematics
Complete Solution of MP-22
মাধ্যমিক গণিত ২০২২ সমাধান
2022 সালের মাধ্যমিক পরীক্ষার গণিত প্রশ্নপত্র-এর সম্পূর্ণ সমাধান || মাধ্যমিক গণিত ২০২২
2022
MATHEMATICS
Time- 3 Hours 15 Minutes
(First 15 minutes for reading the question paper only)
Full Marks 90- For Regular Candidates
100- For External Candidates
Special credit will be given for answers which are brief and to the point
Marks will be deducted for spelling mistakes, untidiness and bad handwriting.

[1, 2, 3, 4 প্রশ্নগুলির উত্তর প্রশ্নসংখ্যা লিখে অবশ্যই ক্রমানুযায়ী উত্তরপত্রের প্রথম দিকে লিখতে হবে। এর জন্য প্রয়োজনবোধে গণনা ও চিত্র অঙ্কন উত্তরপত্রের ডানদিকে মার্জিন টেনে করতে হবে। কোনো প্রকার সারণি বা গণকযন্ত্র ব্যবহার করা যাবে না। গণনার প্রয়োজনে π এর আসন্ন মান ²²/₇ ধরে নিতে হবে। দরকার মতো গ্রাফ পেপার দেওয়া হবে। পাটীগণিতের অঙ্ক বীজগাণিতিক পদ্ধতিতে করা যেতে পারে। ]
[দৃষ্টিহীন পরীক্ষার্থীদের জন্য ।। নং প্রশ্নের বিকল্প দেওয়া আছে ৪ নং পৃষ্ঠায় ]
[16 নং অতিরিক্ত প্রশ্ন কেবলমাত্র বহিরাগত পরীক্ষার্থীদের জন্য ৪ নং পৃষ্ঠায় দেওয়া আছে
দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধানের জন্য এখানে ক্লিক করো।
Complete Solution of MP-22
1. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির প্রতিটি ক্ষেত্রে সঠিক উত্তরটি নির্বাচন করো: 1×6=6
(i) একটি গ্রামের বর্তমান জনসংখ্যা P এবং প্রতিবছর জনসংখ্যা বৃদ্ধির হার 2r% হলে, n বছর পর জনসংখ্যা হবে:
\(\large{\mathbf{(a)\quad P(1+\frac{r}{100})^n\\(b)\quad P(1+\frac{r}{50})^n\\(a)\quad P(1+\frac{r}{100})^{2n}\\(a)\quad P(1-\frac{r}{100})^n\\Ans:}}\)
\((b)\quad P(1+\frac{r}{50})^n\)
[বর্তমান জনসংখ্যা P
জনসংখ্যা বৃদ্ধির হার 2r%
∴ n বছর পর জনসংখ্যা হবে
\(\large{\quad =P(1+\frac{2r}{100})^n\\\quad = P(1+\frac{r}{50})^n]}\)
(ii) ফতিমা, শ্রেয়া এবং স্মিতা তিনজনে মোট 6,000 টাকা দিয়ে একটি ব্যবসা শুরু করে। এক বছর পরে ফতিমা, শ্রেয়া এবং স্মিতা যথাক্রমে লভ্যাংশের 50 টাকা, 100 টাকা এবং 150 টাকা পায়। স্মিতা ঐ ব্যবসায় নিয়োজিত করে:
(a) 1,000 টাকা (b) 2,000 টাকা (c) 3,000 টাকা (d) 4,000 টাকা
Ans: (c) 3,000 টাকা
[ফতিমা, শ্রেয়া এবং স্মিতার লভ্যাংশের অনুপাত
= 50 :100 : 150 = 1 : 2 : 3
∴ তাদের মূল্ধনের অনুপাত = 1 : 2 : 3
6,000 টাকার মধ্যে,
স্মিতার পাবে = 6,000 × ³/₆ টাকা
= 1000 × 3 = 3000 টাকা]
(iii) A : B = 2 : 3, B : C = 5 : 8, C : D = 6 : 7, হলে, A : D = কতো ?
(a) 2 : 7 (b) 7 : 2 (c) 5 : 8 (d) 5 : 14
Ans: (d) 5 : 14
\(\quad[\frac{A}{B}×\frac{B}{C}×\frac{C}{D}=\frac{2}{3}×\frac{5}{8}×\frac{6}{7}\\⇒\frac{A}{D}=\frac{5}{14}\\∴ A:D=5:14]\)
(iv) ‘0’ কেন্দ্রীয় বৃত্তে PQ একটি ব্যাস; R বৃত্তের ওপর একটি বিন্দু এবং PR = RQ হলে ∠RPQ এর মান :
(a) 30^o (b) 90^o (c) 60^o (d) 45^o
Ans: (d) 45^o
[△PQR -এর PQ হলো বৃত্তটির ব্যাস।
∴ ∠PRQ = 90° – – – – (অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ)
আবার, PR = PQ
∴ ∠RPQ = ∠PQR
△PQR -এর
∠RPQ + ∠PQR + ∠PRQ = 180^o
⇒ ∠RPQ + ∠PQR + 90^o = 180^o
⇒ ∠RPQ + ∠RPQ = 180^o – 90^o
⇒ 2∠RPQ = 90^o
∴ ∠RPQ = 45^o
(v) দুটি বৃত্ত পরস্পরকে স্পর্শ বা ছেদ না করলে বৃত্তদুটির সাধারণ স্পর্শক সংখ্যা:
(a) 2 টি (b) 1 টি (c) 3 টি (d) 4 টি
Ans: (d) 4 টি

vi) 2r একক দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট নিরেট গোলকের আয়তন:
(a) ^32πr³/₃ ঘনএকক (b) ^16πr³/₃ ঘনএকক (c) ^8πr³/₃ ঘনএকক (d) ^64πr³/₃ ঘনএকক Ans: (a) ^32πr³/₃ ঘনএকক
[2r একক দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট নিরেট গোলকের আয়তন
= ⁴/₃π(2r)³ঘনএকক
= ⁴/₃π×8r³ ঘনএকক
= ^32πr³/₃ ঘনএকক]
Complete Solution of MP-22
2. শূন্যস্থান পূরণ করো (যে কোনো পাঁচটি): 1×5=5
(1) বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার r% এবং প্রথম বছরের মূলধন P টাকা হলে, দ্বিতীয় বছরের মূলধন __________।
Ans: P(1+r/100)

(ⅱ) ⁷/_√11 একটি __________ সংখ্যা।
Ans: অমূলদ

(iii) কোনো গোলকের ব্যাসার্ধ r এবং আয়তন v হলে, v ∝ __________।
Ans: r³
[গোলকের ব্যাসার্ধ r এবং আয়তন v হলে,
v = ⁴/₃πr³
⇒ v ∝ r³ – – – (∵ ⁴/₃π = ধ্রুবক)]

iv) দুটি ত্রিভুজ সদৃশ হবে, যদি তাদের অনুরুপ বাহুগুলি __________ হয়।
Ans: সমানুপাতী

(v) একটি চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সম্পূরক হলে, চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি __________।
Ans: সমবৃত্তস্থ

(vi) সমকোণী চৌপলের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা সমান হলে সেই ঘনবস্তুর বিশেষ নাম __________।
Ans: ঘনক
Complete Solution of MP-22
3. সত্য বা মিথ্যা লেখো (যে কোনো পাঁচটি): 1×5=5
(i) অংশীদারি ব্যবসায় কমপক্ষে 3 জন লোকের দরকার।
Ans: মিথ্যা

(ⅱ) আসল ও সবৃদ্ধিমূলের মধ্যে সম্পর্কটি হল আসল < সবৃদ্ধিমূল।
Ans: সত্য

(iii) x² = 100 সমীকরণের দুটি বীজ হল ± 10.
Ans: সত্য
[ x² = 100
⇒ x = ±√100
∴ x = ±10]

(iv) a ও b ব্যস্ত ভেদে থাকলে, ^a/_b = ধ্রুবক হবে।
Ans: মিথ্যা
[ a ∝ ¹/_b
⇒ a = k×¹/_b – – – -(k একটি ভেদ ধ্রুবক)
∴ ab = k = ধ্রুবক]

(v) দুটি এককেন্দ্রীয় বৃত্তের একটি মাত্র সাধারণ স্পর্শক থাকবে।
Ans: মিথ্যা
[দুটি এককেন্দ্রীয় বৃত্তের কোনো সাধারণ স্পর্শক নেই।

(vi) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা, ব্যাসার্ধ এবং তির্যক উচ্চতা সর্বদা একটি সমকোণী ত্রিভুজের বাহুত্রয়।
Ans: সত্য
Complete Solution of MP-22
4. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দাও (যে কোনো দশটি): 2×10=20
(i) বার্ষিক সুদ আসলের ¹/₁₆ অংশ হলে, 8 মাসে 690 টাকার সুদ কত হবে?
Solution:
প্রদত্ত, আসল(P) = 690 টাকা,
∴ বার্ষিক সুদ(I) = 690×¹/₁₆ টাকা
= ⁶⁹⁰/₁₆ টাকা
সময়(t) = 8 মাস
= ⁸/₁₂ বছর = ²/₃ বছর
1 বছরের সুদ ⁶⁹⁰/₁₆ টাকা
∴ ²/₃ বছরের সুদ ⁶⁹⁰/₁₆×²/₃ টাকা
= ⁶⁹⁰/_8×3 টাকা
= ¹¹⁵/₄টাকা
= 28.75 টাকা
Ans: 8 মাসে 690 টাকার সুদ হবে 28.75 টাকা।
(ⅱ) কোনো স্থানের লোকসংখ্যা 13,310 জন ছিল। কি হারে বৃদ্ধি পেলে 3 বছরে 17,280 জন হবে?
Solution:
ধরি, লোকসংখ্যা বৃদ্ধির হার = r%
প্রদত্ত, A = 17280 জন,
p = 13310 জন ও t = 3 বছর
আমরা জানি,
\(\large{\quad A=p\left(1+\frac{r}{100}\right)^t\\⇒17280=13310\left(1+\frac{r}{100}\right)^3\\⇒\left(1+\frac{r}{100}\right)^3=\frac{17280}{13310}\\⇒\left(\frac{100+r}{100}\right)^3=\frac{1728}{1331}\\⇒\left(\frac{100+r}{100}\right)^3=\left(\frac{12}{11}\right)^3\\⇒\frac{100+r}{100}=\frac{12}{11}}\)
⇒ 1100 + 11r = 1200
⇒ 11r = 1200 – 1100
⇒ 11r = 100
⇒ r = ¹⁰⁰/₁₁
∴ r = 9 ¹/₁₁
Ans: লোকসংখ্যা বৃদ্ধির হার 9 ¹/₁₁
(iii) কোনো ব্যবসাতে A, B, C এর মূলধনের অনুপাত ¹/_x : ¹/_y : ¹/_z ; বছরের শেষে ব্যবসাতে z টাকা ক্ষতি হয়েছে। C-এর ক্ষতির পরিমাণ নির্ণয় করো।
Solution:
A, B, C এর মূলধনের অনুপাত
= ¹/_x : ¹/_y : ¹/_z
= ¹/_x×xyz : ¹/_y×xyz : ¹/_z×xyz
= yz : zx : xy
বছরের শেষে ব্যবসাতে z টাকা ক্ষতি হলে,
C-এর ক্ষতির পরিমাণ = z×^xy/_yz+zx+xy টাকা
= ^xyz/_yz+zx+xy টাকা
Ans: C-এর ক্ষতির পরিমাণ ^xyz/_yz+zx+xy টাকা
(iv) 7x² – 66x + 27 = 0 সমীকরণটির বীজদ্বয়ের যোগফল ও গুণফলের অনুপাত কতো?
Solution:
ধরি, 7x² – 66x + 27 = 0 সমীকরণটির বীজদ্বয় α ও β
∴ বীজদ্বয়ের সমষ্টি = α + β
= ^-(-66)/₇
= ⁶⁶/₇ এবং
বীজদ্বয়ের গুণফল = αβ = ²⁷/₇
∴ বীজদ্বয়ের যোগফল ও গুণফলের অনুপাত
= ⁶⁶/₇ : ²⁷/₇
= ⁶⁶/₇×7 : ²⁷/₇×7
= 66 : 27
= 22 : 9
Ans: বীজদ্বয়ের যোগফল ও গুণফলের অনুপাত 22 : 9
Complete Solution of MP-22
(v) হরের করণী নিরসন করো:
\(\large{\mathbf{\quad\frac{12}{√15-3}\\Solution:\\}}\)\(\large{\quad\frac{12}{√15-3}\\=\frac{12(√15+3)}{(√15-3)(√15+3)}\\=\frac{12(√15+3)}{(√15)^2-(3)^2}\\=\frac{12(√15+3)}{15-9}\\=\frac{12(√15+3)}{6}\\=2(√15+3)}\)
Ans: 2(√15+3)
(vi) ‘O’ কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 13 সেমি. এবং AB একটি জ্যা এর দৈর্ঘ্য 10 সেমি., ‘O’ বিন্দু থেকে AB জ্যা এর দূরত্ব কত?
Solution:

‘O’ কেন্দ্রীয় বৃত্তের,
OA = 13 সেমি.
AB = 10 সেমি.
O বিন্দু থেকে AB-এর উপর OD লম্ব টানা হল।
∴ AD = ¹/₂×AB
= ¹/₂×10 সেমি.
= 5 সেমি.
ODA ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
AD² + OD² = OA²
⇒ (5)² + OD² = (13)²
⇒ 25 + OD² = 169
⇒ OD² = 169 – 25
⇒ OD² = 144
⇒ OD² = (12)²
∴ OD = 12
Ans: ‘O’ বিন্দু থেকে AB জ্যা এর দূরত্ব 12 সেমি.
(vii) AOB বৃত্তের একটি ব্যাস যার কেন্দ্র O, C বৃত্তের উপর একটি বিন্দু। ∠OBC = 60^o, হলে ∠OCA -এর মান নির্ণয় করো।
Solution:

AOB বৃত্তটির ব্যাস এবং C বৃত্তটির উপরিস্থ একটি বিন্দু।
∴ ∠ACB = 90^o – – – [∠ACB অর্ধবৃত্তস্থ কোণ]
আবার △OBC -এর,
OB = OC – – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ ∠OCB = ∠OBC – – – [ত্রিভুজের সমান বাহু দুটির বিপরীত কোণ দুটি সমান হয়]
∴ ∠OCB = 60^o – – – [∵ ∠OBC = 60^o]
∴∠OCA = ∠ACB – ∠OCB
= 90^o – 60^o
= 30^o
Ans: ∠OCA -এর মান 30^o
(viii) একটি ‘O’ কেন্দ্রীয় বৃত্ত যার কেন্দ্র থেকে 26 সেমি. দূরত্বে অবস্থিত P বিন্দু থেকে বৃত্তের স্পর্শকের দৈর্ঘ্য 10 সেমি. হলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত?
Solution:

স্পর্শক PQ = 10 সেমি.
OP = 26 সেমি.
PQ স্পর্শক এবং OQ স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।
∴ OQ ⊥ PQ
OQP সমকোণী ত্রিভুজের,
∴ OQ² + QP² = OP²
⇒ OQ² + 10² = 26²
⇒ OQ² + 100 = 676
⇒ OQ² = 676 – 100
⇒ OQ² = 576
⇒ OQ² = (24)²
∴ OQ = 24
Ans: বৃত্তের ব্যাসার্ধের 24 সেমি.
Complete Solution of MP-22
(ix) △ABC -এর DE || BC, যেখানে D ও E যথাক্রমে AB ও AC বাহুর ওপর অবস্থিত। যদি AD = 5 সেমি., DB = 6 সেমি. এবং AE = 7.5 সেমি, হয়, তবে AC এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
Solution:

∵ DE || BC
\(\large{∵\frac{AC}{AE}=\frac{AB}{AD}\\⇒\frac{AC}{AE}=\frac{AD+DB}{AD}\\⇒\frac{AC}{7.5}=\frac{5+6}{6}\\⇒\frac{AC}{7.5}=\frac{11}{5}\\⇒\frac{AC}{1.5}=11}\)
∴AC=16.5
Ans: AC এর দৈর্ঘ্য 16.5 সেমি,
(x) দুটি লম্ববৃত্তাকার চোঙের উচ্চতার অনুপাত 1 : 2, ভূমির পরিধির অনুপাত 3 : 4 হলে, তাদের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় করো।
Solution:
ধরি, লম্ব বৃত্তাকার চোঙ দুটির উচ্চতা ও ভূমির ব্যাসার্দ্ধ যথাক্রমে h₁ একক ও h₂ একক এবং r₁ একক ও r₂ একক
∴ লম্ব বৃত্তাকার চোঙ দুটির ভূমির পরিধি 2πr₁ বর্গ একক ও 2πr₂ বর্গ একক
প্রশ্নানুযায়ী,
\(\large{\quad\frac{2πr_1}{2πr_2}=\frac{3}{4}\\⇒\frac{r_1}{r_2}=\frac{3}{4}}\)
তাদের আয়তনের অনুপাত
\(\large{=\frac{πr_1^2h_1}{πr_2^2h_2}\\=\frac{r_1^2h_1}{r_2^2h_2}\\=\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2×\left(\frac{h_1}{h_2}\right)\\=\left(\frac{3}{4}\right)^2×\left(\frac{1}{2}\right)\\=\frac{9}{16}×\frac{1}{2}\\=\frac{9}{32}\\=9:32}\)
Ans: লম্ব বৃত্তাকার চোঙ দুটির আয়তনের অনুপাত 9 : 32
(xi) একটি গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 50% বৃদ্ধি করলে বক্রতলের ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পায়, তা নির্ণয় করো।
Solution:
ধরি, গোলকটির ব্যাসার্ধ 2r একক।
∴ গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল
= 4π(2r)² বর্গ একক
= 16πr² বর্গ একক
গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 50% বৃদ্ধি করলে ব্যাসার্ধ হবে
= (2r + 2r×⁵⁰/₁₀₀) একক
= (2r + r) একক
= 3r একক
∴ নতুন গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল হবে
= 4π(3r)²
= 36πг² বর্গ একক
∴ বক্রতলের ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পাবে
= (36πг² – 16πг²) বর্গ একক
= 20πг² বর্গ একক
∴ বক্রতলের ক্ষেত্রফল শতকরা বৃদ্ধি পায়
= ^20πг²/_16πг₂× 100%
= ²⁰/₁₆×100%
= 5×25%= 125%
Ans: নির্ণেয় গোলকটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল 125% বৃদ্ধি পায়।
(xii) একটি ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য 4√3 সেমি.। ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
Solution:
ধরি, ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য = a সেমি.
ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য 4√3 সেমি.
প্রশ্নানুযায়ী,
a√3 = 4√3
বা, a = 4
∴ ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= 6a² বর্গসেমি.
= 6 x (4)² বর্গসেমি.
= 96 বর্গসেমি.।
Ans: ঘনকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 96 বর্গসেমি.।
দশম শ্রেণীর ভৌত বিজ্ঞান এবং জীবন বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন
Complete Solution of MP-22
5. যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5×2=10
(i) কোনো মূলধনের একই বার্ষিক শতকরা সরল সুদের হারে 7 বছরে সুদে আসলে 7,100 টাকা এবং 4 বছরে সুদে-আসলে 6,200 টাকা হলে মূলধন ও বার্ষিক শতকরা সরল সুদের হার নির্ণয় করো।
Solution:
(7 বছরের সুদ + আসল) – (4 বছরের সুদ + আসল) = (7100 – 6200) টাকা
বা, 3 বছরের সুদ = 900 টাকা
∴ 1 বছরের সুদ = ⁹⁰⁰/₃ = 300 টাকা
∴ 4 বছরের সুদ = 300×4 = 1200 টাকা
∴ আসল = (6200 – 1200) টাকা = 5000 টাকা
ধরি, বার্ষিক সুদের হার (r) = r%
সময় (t) = 4 বছর
সুদ(I) = 1200 টাকা
I = ^{P × r× t}/₁₀₀ সূত্র থেকে পাই,
\(\large{\quad 200=\frac{5000×r×4 }{100} \\⇒ 50×4r = 1200\\⇒ \quad r=6}\)
Ans: মূলধন 5000 টাকা এবং
বার্ষিক সুদের হার 6% ।
Complete Solution of MP-22
(ii) তিনবন্ধু যথাক্রমে 8,000 টাকা, 10,000 টাকা ও 12,000 টাকা সংগ্রহ করে এবং ব্যাঙ্ক থেকে কিছু টাকা ঋণ নিয়ে একটি ব্যবসা শুরু করেন। বছরের শেষে তারা দেখলেন 13,400 টাকা লাভ হয়েছে। সেই লাভ থেকে ব্যাঙ্কের বছরের কিস্তি 5,000 টাকা শোধ দেওয়ার পর বাকি টাকা তারা মূলধনের অনুপাতে ভাগ করে নিলেন। লভ্যাংশ থেকে কে কতো টাকা পাবেন?
Solution:
তিনবন্ধুর মুলধনের অনুপাত
= 8000 : 10000 : 12000
= 4 : 5 : 6
বছরের শেষে 13400 টাকা লাভ হয়।
∴ লাভ থেকে ব্যাংকের বছরের কিস্তি 5000 টাকা শোধ দেওয়ার পর বাকি থাকে (13400 – 5000) বা, 8400 টাকা।
8400 টাকার মধ্যে,
প্রথম বন্ধু পায় = 8400×⁴/₄₊₅₊₆ টাকা
= 8400×⁴/₁₅ টাকা
= 560×4 টাকা
= 2240 টাকা
দ্বিতীয় বন্ধু পায় = 8400×⁵/₁₅ টাকা
= 560×5 টাকা
= 2800 টাকা
তৃতীয় বন্ধু পায় = 8400×⁶/₁₅ টাকা
= 560×6 টাকা
= 3360 টাকা
Ans: লভ্যাংশ থেকে তিনবন্ধু যথাক্রমে 2240 টাকা, 2800 টাকা এবং 3360 টাকা পাবেন।
Complete Solution of MP-22
(iii) 20,000 টাকার বার্ষিক 5% সুদের হারে, 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সরল সুদের পার্থক্য কত হবে?
Solution:
প্রদত্ত,
আসল (P) = 20000 টাকা,
বার্ষিক সুদের হার (r) = 5%
সময় (t) = 2 বছর।
আমরা জানি
2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ
\(\large{I_{1}=P\left (1+\frac{r}{100} \right )^{2}-P\\\quad =P\left [\left (1+\frac{5}{100} \right )^{2}-1\right]\\\quad =20000\left [\left (1+\frac{5}{100} \right )^{2}-1\right]\\\quad =20000\left [\left (1+\frac{1}{20}\right )^{2}-1\right]\\\quad =20000\left [\left (\frac{21}{20}\right )^{2}-1 \right ]\\\quad =20000 \left( \frac{441}{400}-1\right)\\\quad =20000 × \frac{41}{400}}\)
= 50×41 টাকা
= 2050 টাকা
আবার 2 বছরের সরল সুদ
\(\large{I_{2}=\frac{Prt}{100}\\\quad =\frac{20000×5×2}{100}\\\quad =\frac{20000×5×2}{100}}\)
= 200×10 টাকা
= 2000 টাকা
∴ চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সরল সুদের পার্থক্য
= I₁ – I₂
= 2050 টাকা – 2000 টাকা
= 50 টাকা
Ans: 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সরল সুদের পার্থক্য 50 টাকা।
6. যে কোনো দুটি প্রশ্নের সমাধান করো: 3×2=6
\(\large{\mathbf{(i)\quad \frac {1}{x+a+b}=\frac {1}{a}+\frac {1}{b}+\frac {1}{x}\quad x≠ 0,-(a+b)\\Solution:}\\\quad\frac{1}{x+a+b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{x}\\⇒\frac {1}{x+a+b}-\frac{1}{x}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\\⇒\frac{x-(x+a+b)}{x(x+a+b)}=\frac{b+a}{ab}\\⇒\frac {x-x-a-b}{x^{2}+ax+bx}=\frac{b+a}{ab}\\⇒ \frac {-a-b}{x^{2}+ax+bx}=\frac {b+a}{ab}\\⇒\frac{-(a+b)}{x^{2}+ax+bx}=\frac{b+a}{ab}\\⇒\frac {-1}{x^{2}+ax+bx}=\frac {1}{ab}}\)
⇒ x² + ax + bx = -ab
⇒ x² + ax + bx + ab = 0
⇒ x(x + a) + b(x + a) = 0
⇒ (x + a)(x + b) = 0
হয় x + a = 0 নতুবা x + b = 0
∴ x = -a ∴ x = -b
Ans: নির্ণেয় সমাধানঃ x = – a এবং x = – b
(ii) সমীকরণের বীজদ্বয় -4, 3 হলে দ্বিঘাত সমীকরণটি নির্ণয় করো।
Solution:
নির্ণেয় সমীকরণের বীজদ্বয় -4 ও 3 ;
∴ বীজদ্বয়ের সমষ্টি = -4 + 3 = -1
বীজদ্বয়ের গুণফল = -4×3 = -12
∴ সমীকরণটি হলঃ
x²– (বীজদ্বয়ের সমষ্টি) x + বীজদ্বয়ের গুণফল = 0
বা, x²– (-1)x + (-12) = 0
বা, x²+ x – 12 = 0
Ans: দ্বিঘাত সমীকরণটি হল-
x²+ x – 12 = 0
(iii) m + ¹/_m=√3 হলে, (a) m² + ¹/_m² এবং (b) m³ + ¹/_m³ -এদের সরলতম মান নির্ণয় করো?
Solution:
\(\large{\mathbf{(a)}\\m+\frac{1}{m}=\sqrt3\\\therefore m^2+\frac{1}{m^2}\\=(m)^2+\left(\frac{1}{m}\right)^2\\=\left(m+\frac{1}{m}\right)^2-2.m.\frac{1}{m}\\=(\sqrt3)^2-2\\=3-2=1}\)
\(\large{\mathbf{(b)\\}m+\frac{1}{m}=\sqrt3\\\therefore m^3+\frac{1}{m^3}\\=(m)^3+\left(\frac{1}{m}\right)^3\\=\left(m+\frac{1}{m}\right)^3-3.m.\frac{1}{m}.\left(m+\frac{1}{m}\right)\\=(\sqrt3)^3-3.\sqrt3\\=3\sqrt3-3\sqrt3=0\quad\mathbf{(Ans)}}\)
Ans: m² + ¹/_m²-এর সরলতম মান 1
m³ + ¹/_m³ -এর সরলতম মান 0
Complete Solution of MP-22
7. যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3×2=6
(i) সরলতম মান নির্ণয় করো:
\(\large{\mathbf{\quad\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}-\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{5}}+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}\\Solution:}}\)
\(\large{\quad\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}-\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{5}}+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}\\=\frac{\sqrt{5}(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}-\frac{3\sqrt{3}(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2})}+\frac{2\sqrt{2}(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}\\=\frac{\sqrt{5}(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2}-\frac{3\sqrt{3}(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{(\sqrt{5})^2-(\sqrt{2})^2}+\frac{2\sqrt{2}(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2}\\=\frac{\sqrt{5}(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{3-2}- \frac{3\sqrt{3}(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{5-2}+\frac{2\sqrt{2}(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{5-3}\\=\frac{\sqrt{5}(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{1}- \frac{3\sqrt{3}(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{3}+\frac{2\sqrt{2}(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{2}}\)
= √5(√3 – √2) – √3(√5 – √2) + √2(√5 – √3)
= √15 – √10 – √15 + √6 + √10 – √6
= 0
Ans: প্রদত্ত রাশির সরলতম মান 0
(ⅱ) যদি a = ^{√5 + 1}/_{√5 – 1}, এবং ab = 1 হয়, তবে ^a/_b + ^b/_a-এর মান নির্ণয় করো।
Solution:
\(\large{a=\frac{\sqrt5+1}{\sqrt5-1}\\ab=1\\\therefore b=\frac{1}{a}\\\quad=\frac{\sqrt5-1}{\sqrt5+1}\\\therefore a+b\\=\frac{\sqrt5+1}{\sqrt5-1}+\frac{\sqrt5-1}{\sqrt5+1}\\=\frac{(\sqrt5+1)^2+(\sqrt5-1)^2}{(\sqrt5-1)(\sqrt5+1)}\\=\frac{2[(\sqrt{5})^2+(1)^2)]}{(\sqrt{5})^2-(1)^2}\\=\frac{2(5+1)}{5-1}\\=\frac{2×6}{4}\\=3}\)
প্রদত্ত রাশি
\(\large{=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\\=\frac{a^2+b^2}{ab}\\=\frac{(a+b)^2-2ab}{ab}\\=\frac{3^2-2×1}{1}}\)
= 9 – 2
= 7
Ans: ^a/_b + ^b/_a-এর মান 7

(iii) 15 জন কৃষক 5 দিনে 18 বিঘা জমি চাষ করতে পারেন। ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে 10 জন কৃষক 12 বিঘা জমি কত দিনে চাষ করতে পারবেন, তা নির্ণয় করো।
Solution:
ধরি, কৃষকের সংখ্যা = N, সময় = t এবং জমির পরিমাণ = A
সময়, কৃষকের সংখ্যার সাথে ব্যস্ত ভেদে থাকে যখন জমির পরিমাণ স্থির থাকে ।
t ∝ ¹/_N – – – – [যখন A স্থির]
এবং সময়, জমির পরিমানের সাথে সরল ভেদে থাকে যখন কৃষকের সংখ্যা স্থির থাকে।
t ∝ A – – – – [যখন N স্থির]
∴ যৌগিক ভেদের উপপাদ্য অনুযায়ী,
t ∝ ^A/_N – – – – [যখন A ও N উভয়েই পরিবর্তনশীল]
∴ t = k×^A/_N – – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
∴ t = ^kA/_N– – – – – – (i)
N = 15 এবং A = 18 হলে t = 5 হয়।
(i) নং থেকে পাই,
5 = ^k×18/₁₅
বা, k×18 = 5×15
বা, k = ²⁵/₆
(i) নং এ k = ²⁵/₆ বসিয়ে পাই,
t = ²⁵/₆ × ^A/_N
N = 10 এবং A = 12 হলে
t = ²⁵/₆ × ¹²/₁₀
∴ t = 5
Ans: 10 জন কৃষক 12 বিঘা জমি 5 দিনে চাষ করতে পারবেন।
8. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 1×3 = 3
(i) যদি a : b = b : c হয় , তবে প্রমাণ করো
\(\large{\mathbf{\quad\frac{abc(a+b+c)^3}{(ab+bc+ca)^3}=1\\Solution:}}\)
\(\large{\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=k – – – (k≠0)\\∴b=ck;\\\quad a=bk=ck.k=ck^2\\\mathbf{\underline{L.H.S.}}\\\quad\frac{abc(a+b+c)^3}{(ab+bc+ca)^3}\\=\frac{ck^2.ck.c(ck^2+ck+c)^3}{(ck^2.ck+ck.c+c.ck^2)^3}\\=\frac{c^3k^3[c(k^2+k+1)]^3}{(c^2k^3+c^2k+c^2k^2)^3}\\=\frac{c^3k^3.c^3(k^2+k+1)^3}{[c^2.k(k^2+1+k)]^3}\\=\frac{c^6k^3(k^2+k+1)^3}{c^6.k^3(k^2+k+1)^3}\\=1=\mathbf{\underline{R.H.S.}\quad (Proved)}}\)
\(\large{\mathbf{(ii)\quad\frac{a}{1-a}+\frac{b}{1-b}+\frac{c}{1-c}}}\) হলে, \(\large{\mathbf{\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{1-c}}}\) এর মান নির্ণয় করো।
\(\large{\mathbf{Solution}\\\quad\frac{a}{1-a}+\frac{b}{1-b}+\frac{c}{1-c}=1\\⇒\frac{a}{1-a}+1+\frac{b}{1-b}+1+\frac{c}{1-c}+1=1+3\\⇒\frac{a+1-a}{1-a}+\frac{b+1-b}{1-b}+\frac{c+1-c}{1-c}=4\\⇒\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{1-c}=4\quad\mathbf{Ans}}\)
Complete Solution of MP-22
9. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 1×5=5
(i) প্রমাণ করো যে, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক।

স্বীকার: O কেন্দ্রীয় বৃত্তে ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
প্রামাণ্য বিষয়: (i) ∠ABC + ∠ADC = 2 সমকোণ
(ii) ∠BAD + ∠BCD = 2 সমকোণ
অঙ্কন: A, O এবং C, O যোগ করা হল।
প্রমাণ: ABC বৃত্তচাপের দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠AOC এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠ADC
∴ ∠AOC = 2∠ADC
∴ ∠ADC = ¹/₂∠AOC – – – – (i)
আবার ADC বৃত্তচাপের দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ প্রবৃদ্ধ ∠AOC এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠ABC
∴প্রবৃদ্ধ ∠AOC = 2∠ABC
∴ ∠ABC = ¹/₂ প্রবৃদ্ধ∠AOC – – – – (ii)
(i) + (ii) করে পাই,
∠ADC + ∠ABC = ¹/₂∠AOC + ¹/₂ প্রবৃদ্ধ∠AOC
= ¹/₂(∠AOC + প্রবৃদ্ধ∠AOC)
= ¹/₂×4 সমকোণ
= 2 সমকোণ
অনুরূপে B. O এবং D, O যোগ করে প্রমাণ করা যায় ∠BAD + ∠BCD = 2 সমকোণ
∴ ∠ABC + ∠ADC = 2 সমকোণ [প্রমাণিত]
∠BAD + ∠BCD = 2 সমকোণ[প্রমাণিত]
(ii) প্রমাণ করো ব্যাস নয় এরূপ কোনো জ্যা-এর উপর বৃত্তের কেন্দ্র থেকে লম্ব অঙ্কন করা হলে, ঐ লম্ব জ্যা-টিকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

স্বীকার: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ব্যাস নয় এরূপ একটি জ্যা এবং OD, AB জ্যা-এর উপর লম্ব।
প্রামাণ্য বিষয়: OD, AB জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করেছে অর্থাৎ AD = DB
অঙ্কন: O, A এবং O, B যুক্ত করা হল।
প্রমাণ: OD, AB জ্যা-এর উপর লম্ব।
∴ △ODA ও △ODB সমকোণী ত্রিভুজ।
সমকোণী △ODA ও △ODB-এর ক্ষেত্রে
∠ODA = ∠ODB – – – (প্রতিটি কোণ সমকোণ)
অতিভুজ OA = অতিভুজ OB – – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)
এবং OD সাধারণ বাহু
△ODA ≅ △ODB – – – [R-H-S সর্বসমতার শর্তানুসারে]
সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু সমান হয়।
∴ AD = DB [প্রমাণিত]
10. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 1×3=3
(i) ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। DE জ্যা ∠BDC -এর বহিদ্বিখণ্ডক। প্রমাণ করো যে AE (বা বর্ধিত AE) ∠BAC-এর বহির্দ্বিখণ্ডক।

প্রদত্তঃ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ ABCD এর ∠BDC এর বহির্দ্বিখন্ডক DE জ্যা।
প্রামান্য বিষয়ঃ AE , ∠BAC এর বহির্দ্বিখন্ডক।
অঙ্কনঃ CD কে G পর্যন্ত এবং BA কে F পর্যন্ত বর্ধিত করা হল।
প্রমাণঃ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বহিঃস্থ কোন বিপরীত অন্তঃস্থ কোনের সমান হয়।
∴ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ AEDB থেকে পাই,
∠EAF = ∠BDE
∵ ED, ∠BDC এর বহির্দ্বিখন্ডক।
∴ ∠BDE = ∠EDG
∴ ∠EAF = ∠EDG – – – (i)
অনুরুপে, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ ACDE থেকে পাই,
∠EDG = ∠EAC – – – (ii)
(i) ও (ii) নং থেকে পাই,
∠EAG = ∠EAC
∴ EA, ∠BAC এর বহির্দ্বিখন্ডক (প্রমাণিত)
(ii) O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের AB ও CD দুটি জা-কে বর্ধিত করলে তারা পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করে, প্রমাণ করো যে, ∠AOC – ∠BOD = 2∠BPC

সমাধানঃ
স্বীকারঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ও CD জ্যা দুটিকে বর্ধিত করলে P বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রামাণ্য বিষয়ঃ ∠AOC – ∠BOD = 2∠BPC
অঙ্কনঃ A,O ; O,C ; B,O ; B,C ; O,D যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AC বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠AOC এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠ABC
∴ ∠ABC = ½∠AOC – – – (1) [∵ একই বৃত্তচাপের ওপর অবস্থিত পরিধিস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক ]
△BPC –এর,
বহিঃস্থ কোণ ∠ABC = ∠BPC + ∠BCP – – – (2)- – [ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ অন্তস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান]
(1) নং ও (2) নং থেকে পাই,
½∠AOC = ∠BPC + ∠BCP
∴ ∠AOC = 2∠BPC + 2∠BCP – – – (3)
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের BD বৃত্তচাপ দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOD এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠BCD
∴∠BOD = 2∠BCD
∴ ∠BOD = 2∠BCP – – – (4)
(3) নং-এ 2∠BCP = ∠BOD বসিয়ে পাই,
∠AOC = 2∠BPC + ∠BOD
বা, ∠AOC – ∠BOD = 2∠BPC [Proved]
Complete Solution of MP-22
11. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 1×5 = 5
(i) একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন করো যার সমকোণ সংলগ্ন বাহুদুটির দৈর্ঘ্য 4 সেমি ও 8 সেমি.। ত্রিভুজটির পরিবৃত্ত অঙ্কন করো। (কেবলমাত্র অঙ্কনচিহ্ন দিতে হবে।)

(ii) 2.6 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি বৃত্ত অঙ্কন করো এবং ঐ বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 6 সেমি, দূরে, ঐ বৃত্তের বহিঃস্ব কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তটির একটি স্পর্শক অঙ্কন করো।

12. যে কোনো চারটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 4×4=16
(i) 2.1 মিটার দীর্ঘ, 1.5 মিটার প্রশস্ত একটি আয়তঘনাকার চৌবাচ্চার অর্ধেক জলপূর্ণ আছে। ওই চৌবাচ্চায় আরও 630 লিটার জল ঢাললে জলের উচ্চতা কতটা বৃদ্ধি পাবে নির্ণয় করো।
Solution:
চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য = 2.1 মিটাৱ
= 21 ডেসিমি
চৌবাচ্চার প্রস্থ = 1.5 মিটার
= 15 ডেসিমি
ধরি, জলের গভীরতা বৃদ্ধি পাবে = h ডেসিমি.
চৌবাচ্চায় ঢালা জলের আয়তন
= 630 লিটার
= 630 ঘন ডেসিমি.
প্রশ্নানুসারে,
21 x 15 x h = 630
বা, h = 2
Ans: চৌবাচ্চার গভীরতা 2 ডেসিমি বৃদ্ধি পাবে।
(ⅱ) একটি লম্ববৃত্তাকার চোঙের উচ্চতা উহার ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ। যদি উচ্চতা 6 গুণ হতো, তবে চোঙটির আয়তন 539 ঘন ডেসিমি বেশী হতো, চোঙটির উচ্চতা কত?
Solution:
ধরি, লম্ব বৃত্তাকার চোঙটির ব্যাসার্ধ = r ডেসিমি
∴ চোঙটির উচ্চতা = 2r ডেসিমি
∴ চোঙটির আয়তন = πr²h
= π×r²×2r ঘন ডেসিমি
= 2πr³ ঘন ডেসিমি
উচ্চতা 6 গুন হলে আয়তন হবে = π×r²×6r ঘন ডেসিমি
= 6π×r³ ঘন ডেসিমি
প্রশ্নানুসারে,
6π×r³ – 2π×r³ = 539
বা, 4×²²/₇×r³ = 539
বা, r³ = 539×⁷/₂₂×¹/₄
বা, r³ = 49×⁷/₂×¹/₄
বা, r³ = (⁷/₂)³
বা, r = ⁷/₂
Ans: চোঙটির উচ্চতা = 2×⁷/₂ = 7 ডেসিমি
(iii) লম্ববৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির একটি তাবুতে 11 জন লোক থাকতে পারে। প্রত্যেক লোকের জন্য ভূমিতে 4 বর্গমিটার জায়গা লাগে এবং 20 ঘনমিটার বাতাসের প্রয়োজন। ঠিক এই 11 জন লোকের জন্য নির্মিত তাবুর উচ্চতা নির্ণয় করো।
Solution:
ধরি, তাঁবুর উচ্চতা h মিটার।
∴ তাঁবুর ভূমিতলের ক্ষেত্রফল = 11 × 4 = 44 বর্গ মিটার।
তাঁবুর ভিতরের আয়তন = 11 × 20 = 220 ঘন মিটার।
প্রশ্নানুসারে,
¹/₃πr²h = 220
⇒ ¹/₃×44×h = 220
⇒ ¹/₃×h = 5
∴h = 15
Ans: তাঁবুর উচ্চতা 15 মিটার।
(iv) 8 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি নিরেট লোহার গোলককে গলিয়ে 1 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের কয়টি নিরেট গোলাকার গুলি তৈরী করা যাবে তা নির্ণয় করো।
সমাধান:
নিরেট লোহার গোলকের ব্যাসার্ধ (R) = 8 সেমি
∴ গোলকটির আয়তন = ⁴/₃π×8³ ঘন সেমি
নিরেট গোলাকার গুলির ব্যাসার্ধ (r) = 1 সেমি
∴ গুলির আয়তন = ⁴/₃π×1³ ঘন সেমি
ধরি, x টি নিরেট গুলি তৈরি করা যাবে
∴ x× ⁴/₃π×1³ = ⁴/₃π×8³
বা, x×1³ = 8³
বা, x = 512
Ans: নিরেট গোলাকার গুলি তৈরি করা যাবে 512টি।
(v) একটি চা-এর বাক্সের ভিতরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 7.5 ডেসিমি, 6 ডেসিমি এবং 5.4 ডেসিমি। চা ভর্তি বাক্সটির ওজন 52 কিগ্রা. 350 গ্রাম। কিন্তু খালি অবস্থায় বাক্সটির ওজন 3.75 কিগ্রা, হলে, 1 ঘন ডেসিমি, চা-এর ওজন কত হবে তা নির্ণয় করো।
Solution:
চা-এর বাক্সের ওজন
= (52.350 – 3.750) কিগ্রা
= 48.600 কিগ্ৰা।
চা-এর বাক্সের আয়তন
= (7.5 x 6 x 5.4) ঘন ডেসিমি.
= 243 ঘন ডেসিমি
243 ঘন ডেসিমি চায়ের ওজন = 48.600 কিগ্ৰা।
∴ প্রতি ঘন ডেসিমি চায়ের ওজন
= ^48.600/₂₄₃ কিগ্ৰা
= 0.2 কিগ্ৰা
= 200 গ্ৰাম।
Ans: 1 ঘন ডেসিমি. চা-এর ওজন 200 গ্ৰাম।
PREVIOUS
NEXT
JBNSTS- Junior & Senior Scholarship – How to apply, Syllabus etc.

জি. পি. বিড়লা স্কলারশিপ || How to apply GP Birla Scholarship

Vidyasagar Science Olympiad How To Apply বিদ্যাসাগর সায়েন্স অলিম্পিয়াড

Medhasree Scholarship মেধাশ্রী – How to apply, Check Date, Eligibility

COLGATE SCHOLARSHIP কলগেট স্কলারশিপ -How to apply

Sitaram Jindal সীতারাম জিন্দাল Scholarship- How to apply

PRIYAMVADA BIRLA SCHOLARSHIP-How to apply

ALO SCHOLARSHIP আলো স্কলারশিপ How to apply

NABANNA নবান্ন Scholarship – How to apply

Oasis Scholarship ওয়েসিস How to apply

SWAMI-VIVEKANANDA SCHOLARSHIP (SVMCM)- How to apply

Aikyashree ঐক্যশ্রী SCHOLARSHIP How to apply Aikyashree

KANYASHREE PRAKALPA কন্যাশ্রী How to apply Kanyashree

SIKSHASHREE শিক্ষাশ্রী SCHEME-How to apply In SIKSHASHREE
January 18, 2024
Matrix S N Dey Solution Part-3
Matrix S N Dey Solution Part-3
Matrix S N Dey Solution Part-3
S N Dey Matrix Solution Part-1
Matrix S N Dey Solution Part-2
\(\mathbf{1.(i)}\\\)\(A=\begin{bmatrix}2\quad\quad 0\quad\quad 1\\1\quad\quad 0\quad -1\\0\quad -1\quad\quad 1\end{bmatrix}\)
হলে A² – 4A + 3I ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করো।

Solution:
\(A=\begin{bmatrix}2\quad\quad 0\quad\quad 1\\1\quad\quad 0\quad -1\\0\quad -1\quad\quad 1\end{bmatrix}\)
∴ A² – 4A + 3I
\(=\begin{bmatrix}2\quad\quad 0\quad\quad 1\\1\quad\quad 0\quad -1\\0\quad -1\quad\quad 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\quad\quad 0\quad\quad 1\\1\quad\quad 0\quad -1\\0\quad -1\quad\quad 1\end{bmatrix}-4\begin{bmatrix}2\quad\quad 0\quad\quad 1\\1\quad\quad 0\quad -1\\0\quad -1\quad\quad 1\end{bmatrix}+3\begin{bmatrix}1\quad 0\quad 0\\0\quad 1\quad 0\\0\quad 0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}4+0+0\quad 0+0-1\quad 2+0+1\\2+0+0\quad 0+0+1\quad 1+0-1\\0-1+0\quad 0+0+1\quad 0+1+1\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}8\quad\quad 0\quad\quad 4\\4\quad\quad 0\quad -4\\0\quad -4\quad\quad 4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}3\quad 0\quad 0\\0\quad 3\quad 0\\0\quad 0\quad 3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}4\quad -1\quad 3\\2\quad\quad 1\quad 0\\-1\quad -1\quad 2\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}8\quad\quad 0\quad\quad 4\\4\quad\quad 0\quad -4\\0\quad -4\quad\quad 4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}3\quad 0\quad 0\\0\quad 3\quad 0\\0\quad 0\quad 3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}4-8+3\quad -1-0+0\quad 3-4+0\\2-4+0\quad\quad 1-0+3\quad 0+4+0\\-1+0+0\quad -1+4+0\quad 2-4+3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-1\quad -1\quad -1\\-2\quad\quad 4\quad\quad 4\\-1\quad\quad 3\quad\quad 1\end{bmatrix}\quad\mathbf{(Ans)}\)
\(\mathbf{1.(ii)}\\\)\(A=\begin{bmatrix}\quad 3\quad -5\\-4\quad\quad 2\end{bmatrix}\)
হলে A² – 5A – 14I ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করো।

Solution:
\(A=\begin{bmatrix}\quad 3\quad -5\\-4\quad\quad 2\end{bmatrix}\)
∴ A² – 5A – 14I
\(=\begin{bmatrix}\quad 3\quad -5\\-4\quad\quad 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\quad 3\quad -5\\-4\quad\quad 2\end{bmatrix}-5\begin{bmatrix}\quad 3\quad -5\\-4\quad\quad 2\end{bmatrix}-14\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 9+20\quad -15-10\\-12-8\quad\quad 20+4\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\quad 15\quad -25\\-20\quad\quad 10\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}14\quad 0\\0\quad 14\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 29\quad -25\\-20\quad\quad 24\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\quad 29\quad -25\\-20\quad\quad 24\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0\quad 0\\0\quad 0\end{bmatrix}\quad\mathbf{Ans}\)
\(\mathbf{2.}\\\)\(A=\begin{bmatrix}2\quad\quad 0\quad 9\\-1\quad\quad 6\quad 10\\4\quad -1\quad 2\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}0\quad -1\quad -2\\3\quad\quad 2\quad -1\\ 4\quad -2\quad\quad 0\end{bmatrix}\) এবং \(C=\begin{bmatrix}1\quad -2\quad\quad 0\\0\quad\quad 1\quad\quad 2\\3\quad\quad 0\quad -1\end{bmatrix}\)
হলে দেখাও যে, (i) A(BC) = (AB)C (ii) A(B + C) = AB + AC
(i)
Solution:
\(\quad BC\\=\begin{bmatrix}0\quad -1\quad -2\\3\quad\quad 2\quad -1\\ 4\quad -2\quad\quad 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\quad -2\quad\quad 0\\0\quad\quad 1\quad\quad 2\\3\quad\quad 0\quad -1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0+0-6\quad\quad 0-1+0\quad\quad 0-2+2\\3+0-3\quad -6+2+0\quad\quad 0+4+1\\4+0+0\quad -8-2+0\quad 0-4+0\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-6\quad -1\quad\quad 0\\0\quad -4\quad\quad 5\\4\quad -10\quad -4\end{bmatrix}\)
L.H.S.
A(BC)
\(=\begin{bmatrix}2\quad\quad 0\quad 9\\-1\quad\quad 6\quad 10\\4\quad -1\quad 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-6\quad -1\quad\quad 0\\0\quad -4\quad\quad 5\\4\quad -10\quad -4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-12+0+36\quad -2+0-90\quad 0+0-36\\\quad 6+0+40\quad\quad 1-24-100\quad 0+30-40\\-24+0+8\quad -4+4-20\quad 0-5-8\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}24\quad -92\quad -36\\46\quad\quad -123\quad -10\\-16\quad -20\quad -13\end{bmatrix}\\=\\\quad AB\\=\begin{bmatrix}2\quad\quad 0\quad 9\\-1\quad\quad 6\quad 10\\4\quad -1\quad 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\quad -1\quad -2\\3\quad\quad 2\quad -1\\ 4\quad -2\quad\quad 0\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0+0+36\quad -2+0-18\quad -4+0+0\\0+18+40\quad\quad 1+12-20\quad 2-6+0\\0-3+8\quad -4-2-4\quad -8+1+0\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}36\quad -20\quad -4\\58\quad -7\quad -4\\5\quad -10\quad -7\end{bmatrix}\)
R.H.S.
(AB)C
\(=\begin{bmatrix}36\quad -20\quad -4\\58\quad -7\quad -4\\5\quad -10\quad -7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\quad -2\quad\quad 0\\0\quad\quad 1\quad\quad 2\\3\quad\quad 0\quad -1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}36+0-12\quad -72-20+0\quad 0-40+4\\58+0-12\quad -116-7-0\quad 0-14+4\\ 5+0-21\quad -10+10+0\quad\quad 0-20+7\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}24\quad -92\quad -36\\46\quad -123\quad -10\\ -16\quad -20\quad\quad -13\end{bmatrix}=L.H.S.\quad\mathbf{(Proved)}\)
(ii)
Solution:
\(A=\begin{bmatrix}2\quad\quad 0\quad 9\\-1\quad\quad 6\quad 10\\4\quad -1\quad 2\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}0\quad -1\quad -2\\3\quad\quad 2\quad -1\\ 4\quad -2\quad\quad 0\end{bmatrix},\quad C=\begin{bmatrix}1\quad -2\quad\quad 0\\0\quad\quad 1\quad\quad 2\\3\quad\quad 0\quad -1\end{bmatrix}\\\quad B + C\\=\begin{bmatrix}0\quad -1\quad -2\\3\quad\quad 2\quad -1\\ 4\quad -2\quad\quad 0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1\quad -2\quad\quad 0\\0\quad\quad 1\quad\quad 2\\3\quad\quad 0\quad -1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad -3\quad -2\\3\quad\quad 3\quad\quad 1\\7\quad -2\quad -1\end{bmatrix}\)
L.H.S.
A(B + C)
\(=\begin{bmatrix}2\quad\quad 0\quad 9\\-1\quad\quad 6\quad 10\\4\quad -1\quad 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\quad -3\quad -2\\3\quad\quad 3\quad\quad 1\\7\quad -2\quad -1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}2+0+63\quad -6+0-18\quad -4+0-9\\-1+18+70\quad\quad 3+18-20\quad 2+6-10\\4-3+14\quad -12-3-4\quad -8-1-2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}65\quad -24\quad -13\\87\quad\quad 1\quad -2\\15\quad -19\quad -11\end{bmatrix}\\\quad AB\\=\begin{bmatrix}2\quad\quad 0\quad 9\\-1\quad\quad 6\quad 10\\4\quad -1\quad 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\quad -1\quad -2\\3\quad\quad 2\quad -1\\ 4\quad -2\quad\quad 0\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0+0+36\quad -2+0-18\quad -4+0+0\\0+18+40\quad\quad 1+12-20\quad 2-6+0\\0-3+8\quad -4-2-4\quad -8+1+0\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}36\quad -20\quad -4\\58\quad -7\quad -4\\5\quad -10\quad -7\end{bmatrix}\\\\\quad AC\\=\begin{bmatrix}2\quad\quad 0\quad 9\\-1\quad\quad 6\quad 10\\4\quad -1\quad 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\quad -2\quad\quad 0\\0\quad\quad 1\quad\quad 2\\3\quad\quad 0\quad -1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}2+0+27\quad -2+0-18\quad -4+0+0\\-1+0+30\quad\quad 2+6+0\quad 0+12-10\\4+0+6\quad -8-1-0\quad 0-2-2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}29\quad -4\quad -9\\29\quad\quad 8\quad\quad 2\\10\quad -9\quad -4\end{bmatrix}\)
R.H.S.
AB + AC
\(=\begin{bmatrix}36\quad -20\quad -4\\58\quad -7\quad -4\\5\quad -10\quad -7\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}29\quad -4\quad -9\\29\quad\quad 8\quad\quad 2\\10\quad -9\quad -4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}65\quad -24\quad -13\\87\quad\quad 1\quad -2\\15\quad -19\quad -11\end{bmatrix}=L.H.S.\quad \mathbf{(Proved)}\)
Matrix S N Dey Solution Part-3
\(\mathbf{3.}\\\)প্রদত্ত \(A=\begin{bmatrix}1\quad\quad 0\quad\quad 0\\0\quad -1\quad\quad 0\\0\quad\quad 0\quad -1\end{bmatrix},\quad\) এবং \(B=\begin{bmatrix}2\quad x\quad x\\x\quad 4\quad 5\\x\quad 6\quad 7\end{bmatrix}\)
x-এর কোনো মান থাকলে তা নির্ণয় করো যাতে AB = BA সম্পর্ক সিদ্ধ হয়।

Solution:14 4.8
\(A=\begin{bmatrix}1\quad\quad 0\quad\quad 0\\0\quad -1\quad\quad 0\\0\quad\quad 0\quad -1\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}2\quad x\quad x\\x\quad 4\quad 5\\x\quad 6\quad 7\end{bmatrix}\\\quad ∴AB\\=\begin{bmatrix}1\quad\quad 0\quad\quad 0\\0\quad -1\quad\quad 0\\0\quad\quad 0\quad -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\quad x\quad x\\x\quad 4\quad 5\\x\quad 6\quad 7\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}2+0+0\quad x+0+0\quad x+0+0\\0-x+0\quad 0-4+0\quad 0-5+0\\0+0-x\quad 0+0-6\quad 0+0-7\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}2\quad\quad x\quad\quad x\\-x\quad -4\quad -5\\-x\quad -6\quad -7\end{bmatrix}\\\quad ∴BA\\=\begin{bmatrix}2\quad x\quad x\\x\quad 4\quad 5\\x\quad 6\quad 7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\quad\quad 0\quad\quad 0\\0\quad -1\quad\quad 0\\0\quad\quad 0\quad -1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}2+0+0\quad 0-x+0\quad 0+0-x\\x+0+0\quad 0-4+0\quad 0+0-5\\x+0+0\quad 0-6+0\quad 0+0-7\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}2\quad -x\quad -x\\x\quad -4\quad -5\\x\quad -6\quad -7\end{bmatrix}\\\quad ∵BA=AB\\∴\begin{bmatrix}\quad 2\quad\quad x\quad\quad x\\-x\quad -4\quad -5\\-x\quad -6\quad -7\end{bmatrix}==\begin{bmatrix}2\quad -x\quad -x\\x\quad -4\quad -5\\x\quad -6\quad -7\end{bmatrix}\)
AB = BA
ম্যাট্রিক্সের সমতার সংজ্ঞানুসারে,
∴ x = -x
⇒ x +x = 0
⇒ 2x = 0
∴ x = 0
Ans: x-এর মান 0
4. A, B ও C-এর প্রত্যেকটি 2×2 ক্রমের ম্যাট্রিক্স এমন যে AB = AC তাহলে B = C হবে কি? উদাহরণের সাহায্যে তোমার উত্তর সমর্থন করো।

Solution:
AB = AC হলে সর্বদা B = C নাও হতে পারে।
ধরি,
\(A=\begin{bmatrix}6\quad -3\\2\quad -1\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}3\quad 2\\5\quad 5\end{bmatrix},\quad C=\begin{bmatrix}1\quad -1\\1\quad -1\end{bmatrix}\\\quad∴AB\\=\begin{bmatrix}6\quad -3\\2\quad -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\quad 2\\5\quad 5\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}18-15\quad 12-15\\6-5\quad 4-5\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}3\quad -3\\1\quad -1\end{bmatrix}\\\quad ∴AC\\=\begin{bmatrix}6\quad -3\\2\quad -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\quad -1\\1\quad -1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}6-3\quad –6+3\\2-1\quad -2+1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}3\quad -3\\1\quad -1\end{bmatrix}\)
∴ AB = AC কিন্তু B ≠ C (Proved)
Matrix S N Dey Solution Part-3
\(\mathbf{5.}\\\) \(A+I_3=\begin{bmatrix}\quad 1\quad\quad 3\quad 4\\-1\quad\quad 1\quad 3\\-2\quad -3\quad 1\end{bmatrix}\)
হলে (A + I₃)(A – I₃)-এর মান নির্ণয় করো যেখানে I হল 3×3 ক্রমের একক ম্যাট্রিক্স।

Solution:
\(\quad A+I_3=\begin{bmatrix}\quad 1\quad\quad 3\quad 4\\-1\quad\quad 1\quad 3\\-2\quad -3\quad 1\end{bmatrix}\\∴A-I_3\\=(A+I_3)-2I_3\\=\begin{bmatrix}\quad 1\quad\quad 3\quad 4\\-1\quad\quad 1\quad 3\\-2\quad -3\quad 1\end{bmatrix}-2\begin{bmatrix}1\quad 0\quad 0\\0\quad 1\quad 0\\0\quad 0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 1\quad\quad 3\quad 4\\-1\quad\quad 1\quad 3\\-2\quad -3\quad 1\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}2\quad 0\quad 0\\0\quad 2\quad 0\\0\quad 0\quad 2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-1\quad\quad 3\quad\quad 4\\-1\quad -1\quad\quad 3\\-2\quad -3\quad -1\end{bmatrix}\\∴(A+I_3)(A-I_3)\\=\begin{bmatrix}\quad 1\quad\quad 3\quad 4\\-1\quad\quad 1\quad 3\\-2\quad -3\quad 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1\quad\quad 3\quad\quad 4\\-1\quad -1\quad\quad 3\\-2\quad -3\quad -1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-1-3-8\quad\quad 3-3-12\quad\quad 4+9-4\\\quad 1-1-6\quad -3-1-9\quad -4+3-3\\\quad 2+3-1\quad -6+3-3\quad -8-9-1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-12\quad -12\quad\quad 9\\\quad -6\quad -13\quad -4\\\quad 3\quad -6\quad -18\end{bmatrix}\quad\mathbf{Ans}\)
6. (i)
মনে করো, f(x) = 2x² + 3x + 5 এবং
\(A=\begin{bmatrix}2\quad 1\\3\quad 4\end{bmatrix}\)
f(A) নির্ণয় করো।

Solution:
\(A=\begin{bmatrix}2\quad 1\\3\quad 4\end{bmatrix}\\∴f(A)\\=2A^2+3A+5\\=2A×A+3A+5I\\=2\begin{bmatrix}2\quad 1\\3\quad 4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\quad 1\\3\quad 4\end{bmatrix}+3\begin{bmatrix}2\quad 1\\3\quad 4\end{bmatrix}+5\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\\=2\begin{bmatrix}4+3\quad 2+4\\6+12\quad 3+16\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}6\quad 3\\9\quad 12\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}5\quad 0\\0\quad 5\end{bmatrix}\\=2\begin{bmatrix}7\quad 6\\18\quad 19\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}11\quad 3\\9\quad 17\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}14\quad 12\\36\quad 38\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}11\quad 3\\9\quad 17\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}25\quad 15\\45\quad 55\end{bmatrix}\quad\mathbf{Ans}\)
Matrix S N Dey Solution Part-3
6. (ii)
\(A=\begin{bmatrix}1\quad 2\\2\quad 1\end{bmatrix}\)
এবং f(x) = x² – 2x – 3 হলে দেখাও যে, f(A) = 0

Solution:
\(A=\begin{bmatrix}1\quad 2\\2\quad 1\end{bmatrix}\\∴f(A)\\=A^2-2A-3\\=A×A-2A-3I\\=\begin{bmatrix}1\quad 2\\2\quad 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\quad 2\\2\quad 1\end{bmatrix}-2\begin{bmatrix}1\quad 2\\2\quad 1\end{bmatrix}-3\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1+4\quad 2+2\\2+2\quad 4+1\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}2\quad 4\\4\quad 2\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}3\quad 0\\0\quad 3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}5\quad 4\\4\quad 5\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}2\quad 4\\4\quad 2\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}3\quad 0\\0\quad 3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}5-2-3\quad 4-4-0\\4-4-0\quad 5-2-3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0\quad 0\\0\quad 0\end{bmatrix}=0\)
∴ f(A) = 0 (Proved)
\(\mathbf{7.}\\\)\(A=\begin{bmatrix}1\quad x\quad -2\\2\quad 2\quad\quad 4\\0\quad 0\quad\quad 2\end{bmatrix}\)
এবং A² + 2I₃ = 3A হলে x-এর মান নির্নয় করো; এখানে I₃ হল 3 ক্রমের একক ম্যাট্রিক্স।

Solution:
\(A=\begin{bmatrix}1\quad x\quad -2\\2\quad 2\quad\quad 4\\0\quad 0\quad\quad 2\end{bmatrix}\\∴A^2+2I_3\\=\begin{bmatrix}1\quad x\quad -2\\2\quad 2\quad\quad 4\\0\quad 0\quad\quad 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\quad x\quad -2\\2\quad 2\quad\quad 4\\0\quad 0\quad\quad 2\end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}1\quad 0\quad 0\\0\quad 1\quad 0\\0\quad 0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1+2x+0\quad x+2x+0\quad -2+4x-4\\ 2+4+0\quad 2x+4+0\quad -4+8+8\\0+0+0\quad\quad 0+0+0\quad\quad 0+0+4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}2\quad 0\quad 0\\0\quad 2\quad 0\\0\quad 0\quad 2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}2x+1\quad\quad 3x\quad 4x-6\\6\quad 2x+4\quad\quad 12\\0\quad\quad 0\quad\quad 4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}2\quad 0\quad 0\\0\quad 2\quad 0\\0\quad 0\quad 2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}2x+3\quad\quad 3x\quad 4x-6\\6\quad 2x+6\quad\quad 12\\0\quad\quad 0\quad\quad 6\end{bmatrix}\)
∵ A² + 2I₃ = 3A
\(∴\begin{bmatrix}2x+3\quad\quad 3x\quad 4x-6\\6\quad 2x+6\quad\quad 12\\0\quad\quad 0\quad\quad 6\end{bmatrix} =3\begin{bmatrix}1\quad x\quad -2\\2\quad 2\quad\quad 4\\0\quad 0\quad\quad 2\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}2x+3\quad\quad 3x\quad 4x-6\\6\quad 2x+6\quad\quad 12\\0\quad\quad 0\quad\quad 6\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}3\quad 3x\quad -6\\6\quad 6\quad\quad 12\\0\quad 0\quad\quad 6\end{bmatrix}\\⇒\)
ম্যাট্রিক্সের সমতার সংজ্ঞানুসারে,
2x + 3 = 3
⇒ 2x = 0
∴ x = 0
Ans: x = 0
Matrix S N Dey Solution Part-3
\(\mathbf{8.(i)}\\\)\(A=\begin{bmatrix}2\quad 1\\3\quad 4\end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}\quad 1\quad -2\\-1\quad\quad 1\end{bmatrix}\)
হলে দেখাও যে, (AB)^t =B^tA^t, যেখানে A^t হল A ম্যাট্রিক্সের পরিবর্ত ।

Solution:
\(A=\begin{bmatrix}2\quad 1\\3\quad 4\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}\quad 1\quad -2\\-1\quad\quad 1\end{bmatrix}\\∴A^t=\begin{bmatrix}2\quad 3\\1\quad 4\end{bmatrix},\quad B^t=\begin{bmatrix}\quad 1\quad -1\\-2\quad\quad 1\end{bmatrix}\\AB=\begin{bmatrix}2\quad 1\\3\quad 4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\quad 1\quad -2\\-1\quad\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}2-1\quad -4+1\\3-4\quad -6+4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad -3\\-1\quad-2\end{bmatrix}\\∴(AB)^t=\begin{bmatrix}\quad 1\quad -1\\-3\quad -2\end{bmatrix}\\B^tA^t=\begin{bmatrix}\quad 1\quad -1\\-2\quad\quad 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\quad 3\\1\quad 4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 2-1\quad\quad 3-4\\-4+1\quad -6+4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 1\quad -1\\-3\quad -2\end{bmatrix}\)
(AB)^t =B^tA^t (Proved)
Matrix S N Dey Solution Part-3
\(\mathbf{8.(ii)}\\\)\(A=\begin{bmatrix}-2\quad 1\quad\quad 3\\\quad 0\quad 4\quad -1\end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}\quad 2\quad\quad 1\\-3\quad\quad 0\\\quad 4\quad -5\end{bmatrix}\)
হলে দেখাও যে, (AB)^I =B^IA^I যেখানে A^I হল A ম্যাট্রিক্সের পরিবর্ত ।

Solution:
\(A=\begin{bmatrix}-2\quad 1\quad\quad 3\\\quad 0\quad 4\quad -1\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}\quad 2\quad\quad 1\\-3\quad\quad 0\\\quad 4\quad -5\end{bmatrix}\\∴A^I=\begin{bmatrix}-2\quad\quad 0\\\quad 1\quad\quad 4\\\quad 3\quad -1\end{bmatrix}.\quad B^I=\begin{bmatrix}2\quad -3\quad\quad 4\\1\quad\quad 0\quad -5\end{bmatrix}\\∴AB=\begin{bmatrix}-4-3+12\quad -2+0-15\\0-12-4\quad\quad 0+0+5\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 5\quad\quad -17\\-16\quad\quad 5\end{bmatrix}\\∴AB^I=\begin{bmatrix}\quad 5\quad -16\\\quad -17\quad\quad 5\end{bmatrix}\\B^IA^I=\begin{bmatrix}2\quad -3\quad\quad 4\\1\quad\quad 0\quad-5\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\quad 5\quad\quad -17\\-16\quad\quad 5\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-4-3-12\quad 0-12-4\\\quad -2+0-15\quad 0+0+5\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 5\quad -16\\-17\quad\quad 5\end{bmatrix}\)
(AB)^I =B^IA^I (Proved)
Matrix S N Dey Solution Part-3
\(\mathbf{8.(iii)}\\\)\(A=\begin{bmatrix}\quad1\quad 2\quad\quad 5\\-1\quad 3\quad -4\end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}3\quad -2\quad\quad 1\\0\quad -1\quad\quad 4\\5\quad\quad 2\quad -1\end{bmatrix}\)
হলে দেখাও যে, (AB)^T =B^TA^T যেখানে A^T হল A ম্যাট্রিক্সের পরিবর্ত ।

Solution:
\(A=\begin{bmatrix}\quad1\quad 2\quad\quad 5\\-1\quad 3\quad -4\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}3\quad -2\quad\quad 1\\0\quad -1\quad\quad 4\\5\quad\quad 2\quad -1\end{bmatrix}\\∴A^T=\begin{bmatrix}1\quad -1\\\quad 2\quad\quad 3\\\quad 5\quad -4\end{bmatrix},\quad B^T=\begin{bmatrix}\quad 3\quad\quad 0\quad\quad 5\\-2\quad -1\quad\quad 2\\\quad 1\quad\quad 4\quad -1\end{bmatrix}\\∴AB=\begin{bmatrix}\quad1\quad 2\quad\quad 5\\-1\quad 3\quad -4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\quad -2\quad\quad 1\\0\quad -1\quad\quad 4\\5\quad\quad 2\quad -1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 3+0+25\quad -2-2+10\quad\quad 1+8-5\\-3+0-20\quad\quad 2-3-8\quad -1+12+4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}28\quad\quad 6\quad 4\\-23\quad -9\quad 15\end{bmatrix}\\∴(AB)^T=\begin{bmatrix}28\quad -23\\ 6\quad -9\\4\quad\quad 15\end{bmatrix}\\∴B^TA^T=\begin{bmatrix}\quad 3\quad\quad 0\quad\quad 5\\-2\quad -1\quad\quad 2\\\quad 1\quad\quad 4\quad -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\quad -1\\\quad 2\quad\quad 3\\\quad 5\quad -4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 3+0+25\quad -3+0-20\\-2-2+10\quad 2-3-8\\\quad 1+8-5\quad -1+12+4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}28\quad -23\\6\quad -9\\4\quad\quad 15\end{bmatrix}\\=\)
(AB)^T =B^TA^T (Proved)
\(\mathbf{8.(iv)}\\\)\(A=\begin{bmatrix}-1\\\quad 2\\\quad 3\end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}-2\quad -1\quad -4\end{bmatrix}\)
হলে দেখাও যে, (AB)^t =B^tA^t

Solution:
\(A=\begin{bmatrix}-1\\\quad 2\\\quad 3\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}-2\quad -1\quad -4\end{bmatrix}\\∴A^t=\begin{bmatrix}-1\quad 2\quad 3\end{bmatrix},\quad B^t==\begin{bmatrix} -2\\\quad -1\\\quad -4\end{bmatrix}\\∴AB=\begin{bmatrix}-1\\\quad 2\\\quad 3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-2\quad -1\quad -4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 2\quad\quad 1\quad\quad 4\\-4\quad -2\quad -8\\-6\quad -3\quad -12\end{bmatrix}\\(AB)^t=\begin{bmatrix}2\quad -4\quad -6\\1\quad -2\quad -3\\4\quad -8\quad -12\end{bmatrix}\\∴B^tA^t=\begin{bmatrix}-2\\-1\\-4\end{bmatrix}\begin{bmatrix} -1\quad 2\quad 3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}2\quad -4\quad -6\\1\quad -2\quad -3\\4\quad -8\quad -12\end{bmatrix}\)
(AB)^t =B^tA^t (Proved)
Matrix S N Dey Solution Part-3
\(\mathbf{9.\\}\)\(A=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}a\quad 2\quad 2\\2\quad 1\quad b\\2\quad c\quad 1\end{pmatrix}\)
ম্যাট্রিক্স AA^I = I সম্বন্ধ সিদ্ধ করে তবে a, b, c-এর মান নির্ণয় করো।( এখানে A^I হল A-এর পরিবর্ত এবং I হল 3 ক্রমের একক ম্যাট্রিক্স।

Solution:
\(A=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}a\quad 2\quad 2\\2\quad 1\quad b\\2\quad c\quad 1\end{pmatrix}\\∴A^I=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}a\quad 2\quad 2\\2\quad 1\quad c\\2\quad b\quad 1\end{pmatrix}\\∴AA^I=\frac{1}{9}\begin{pmatrix}a\quad 2\quad 2\\2\quad 1\quad b\\2\quad c\quad 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\quad 2\quad 2\\2\quad 1\quad c\\2\quad b\quad 1\end{pmatrix}\\=\frac{1}{9}\begin{pmatrix}a^2+4+4\quad 2a+2+2b\quad 2a+2c+2\\2a+2+2b\quad 4+1+b^2\quad 4+2c+b\\2a+2c+2\quad 4+c+b\quad 4+c^2+1\end{pmatrix}\\∴AA^I=I\\⇒\frac{1}{9}\begin{pmatrix}a^2+4+4\quad 2a+2+2b\quad 2a+2c+2\\2a+2+2b\quad 4+1+b^2\quad 4+2c+b\\2a+2c+2\quad 4+c+b\quad 4+c^2+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\quad 0\quad 0\\0\quad 1\quad 0\\0\quad 0\quad 1\end{pmatrix}\)
ম্যাট্রিক্সের সমতার সংজ্ঞানুসারে,
2a + 2 + 2b = 0
⇒ a + b + 1 = 0 – – – – (i)
2a + 2c + 2 = 0
⇒ a + c + 1 = 0 – – – – (ii)
4 + c + b = 0
⇒ b + c + 4 = 0 – – – – (iii)
(i) + (ii) + (iii) করে পাই,
a + b + 1 + a + c + 1 + b + c + 4 = 0
⇒ 2a + 2b + 2c + 6 = 0
⇒ a + b + c = -3 – – – – (iv)
(iv) – (i) করে পাই
a + b + c -a – b – 1 = -3
∴ c = -2
(iv) – (ii) করে পাই
a + b + c -a – c – 1 = -3
∴ b = -2
(iv) – (iii) করে পাই
a + b + c -b – c – 4 = -3
∴ a = 1
Ans: নির্ণেয় সমাধানঃ a = 1; b = -2; c = -2
\(\mathbf{10.}\\\)\(A=\begin{bmatrix}1\quad -2\quad\quad 2\\0\quad\quad 1\quad -1\\0\quad\quad 0\quad\quad 1\end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}1\quad\quad 2\quad\quad 0\\2\quad\quad 3\quad -1\\0\quad -1\quad -2\end{bmatrix}\)
হলে দেখাও যে (A^IB)A একটি কর্ণ ম্যাট্রিক্স।

Solution:
\(A=\begin{bmatrix}1\quad -2\quad\quad 2\\0\quad\quad 1\quad -1\\0\quad\quad 0\quad\quad 1\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}1\quad\quad 2\quad\quad 0\\2\quad\quad 3\quad -1\\0\quad -1\quad -2\end{bmatrix}\\∴A=\begin{bmatrix}\quad 1\quad\quad 0\quad 0\\-2\quad\quad 1\quad 0\\\quad 2\quad -1\quad 1\end{bmatrix}\\∴A^IB=\begin{bmatrix}\quad 1\quad\quad 0\quad 0\\-2\quad\quad 1\quad 0\\\quad 2\quad -1\quad 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\quad\quad 2\quad\quad 0\\2\quad\quad 3\quad -1\\0\quad -1\quad -2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad 1+0+0\quad\quad 2+0+0\quad 0+0+0\\-2+2+0\quad -4+3+0\quad 0-1+0\\\quad 2-2+0\quad\quad 4-3-1\quad 0+1-2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad\quad 2\quad\quad 0\\0\quad -1\quad -1\\0\quad\quad 0\quad -1\end{bmatrix}\\∴(A^IB)A=\begin{bmatrix}1\quad\quad 2\quad\quad 0\\0\quad -1\quad -1\\0\quad\quad 0\quad -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\quad -2\quad\quad 2\\0\quad\quad 1\quad -1\\0\quad\quad 0\quad\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1+0+0\quad -2+2+0\quad 2-2+0\\0+0+0\quad\quad 0-1+0\quad 0+1-1\\0+0+0\quad\quad 0+0+0\quad 0+0-1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad\quad 0\quad\quad 0\\0\quad -1\quad\quad 0\\0\quad\quad 0\quad -1\end{bmatrix}\)
∴ এটি একটি কর্ণ ম্যাট্রিক্স। (Proved)
Matrix S N Dey Solution Part-3
\(\mathbf{11\\}\)\(A=\begin{bmatrix}4\quad\quad 2\quad -1\\3\quad\quad 5\quad\quad 7\\1\quad -2\quad\quad 1\end{bmatrix}\)
ম্যাট্রিক্সকে একটি প্রতিসম (symmetric) এবং একটি বিপ্রতিসম (skew-symmetric) ম্যাট্রিক্সের যোগফলরূপে প্রকাশ করো।

Solution:
\(A=\begin{bmatrix}4\quad\quad 2\quad -1\\3\quad\quad 5\quad\quad 7\\1\quad -2\quad\quad 1\end{bmatrix}\\∴A^I=\begin{bmatrix}\quad 4\quad 3\quad\quad 1\\\quad 2\quad 5\quad -2\\-1\quad 7\quad\quad 1\end{bmatrix}\\=∴A+A^I\\=\begin{bmatrix}4\quad\quad 2\quad -1\\3\quad\quad 5\quad\quad 7\\1\quad -2\quad\quad 1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}\quad 4\quad 3\quad\quad 1\\\quad 2\quad 5\quad -2\\-1\quad 7\quad\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}4+4\quad\quad 2+3\quad -1+1\\3+2\quad\quad 5+5\quad\quad 7-2\\1-1\quad -2+7\quad\quad 1+1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}8\quad 5\quad 0\\5\quad 10\quad 5\\0\quad 5\quad 2\end{bmatrix}\\A-A^I=\)
এটি একটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স।
আবার
\(A-A^I\\=\begin{bmatrix}4\quad\quad 2\quad -1\\3\quad\quad 5\quad\quad 7\\1\quad -2\quad\quad 1\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\quad 4\quad 3\quad\quad 1\\\quad 2\quad 5\quad -2\\-1\quad 7\quad\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}4-4\quad\quad 2-3\quad -1-1\\3-2\quad\quad 5-5\quad\quad 7+2\\1+1\quad -2-7\quad\quad 1+1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0\quad -1\quad -2\\1\quad\quad 0\quad\quad 9\\2\quad -9\quad\quad 0\end{bmatrix}\)
এটি একটি বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স।
\(∴\frac{1}{2}(A+A^I)+\frac{1}{2}(A-A^I)\\=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}8\quad 5\quad 0\\5\quad 10\quad 5\\0\quad 5\quad 2\end{bmatrix}+\frac{1}{2}\begin{bmatrix}0\quad -1\quad -2\\1\quad\quad 0\quad\quad 9\\2\quad -9\quad\quad 0\end{bmatrix}\\=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}8+0\quad 5-1\quad 0-2\\5+1\quad 10+0\quad 5+9\\0+2\quad 5-9\quad 2+0\end{bmatrix}\\=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}8\quad\quad 4\quad -2\\6\quad\quad 10\quad\quad 14\\2\quad -4\quad\quad 2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}4\quad\quad 2\quad -1\\3\quad\quad 5\quad\quad 7\\1\quad -2\quad\quad 1\end{bmatrix}\\∴A=\begin{bmatrix}4\quad \frac{5}{2}\quad 0\\\frac{5}{2}\quad 5\quad \frac{5}{2}\\0\quad \frac{5}{2}\quad 1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\quad -\frac{1}{2}\quad -1\\\frac{1}{2}\quad\quad 5\quad\quad \frac{9}{2}\\1\quad\quad \frac{9}{2}\quad\quad 0\end{bmatrix}\quad\mathbf{(Ans)}\)
Matrix S N Dey Solution Part-3
\(\mathbf{12. (i)\\}\)\(A=\begin{bmatrix}1\quad 2\\0\quad 1\end{bmatrix}\)
হয় তবে গানিতিক আরোহ পদ্ধতির প্রয়োগে দেখাও যে,
\(A^n=\begin{bmatrix}1\quad 2n\\0\quad 1\end{bmatrix}\) সব n ∈ N এর জন্য।
Solution:
ধরি, প্রদত্ত বিবৃতিটি হল
\(P(n):\\A^n=\begin{bmatrix}1\quad 2n\\0\quad 1\end{bmatrix},\quad n ∈ N\)
∴ P(1) :
A¹ = A
\(=\begin{bmatrix}1\quad 2\\0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad 2.1\\0\quad 1\end{bmatrix}\)
∴ P(1) সত্য
∴ P(2) :
A² = A×A
\(=\begin{bmatrix}1\quad 2\\0\quad 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\quad 2\\0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1+0\quad 2+2\\0+0\quad 0+1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad 4\\0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad 2.2\\0\quad\quad 1\end{bmatrix}\)
∴ P(2) সত্য।
ধরি P(m) সত্য।
∴ P(m) :
A^m
\(=\begin{bmatrix}1\quad 2m\\0\quad 1\end{bmatrix}\\∴P(m+1):\\A^{m+1}=A^m×A\\=\begin{bmatrix}1\quad 2m\\0\quad 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\quad 2\\0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1+0\quad 2+2m\\0+0\quad 0+1\end{bmatrix}\\= \begin{bmatrix}1\quad 2+2m\\0\quad\quad 1\end{bmatrix}\\= \begin{bmatrix}1\quad 2(m+1)\\0\quad\quad 1\end{bmatrix}\)
∵ P(1) ও P (2) ;
∴ P(m) সত্য হলে, P (m + 1) সত্য হয়।
∴ n ∈ N এর জন্য P (n) সত্য।
\(\mathbf{12. (ii)\\}\)\(A=\begin{bmatrix}3\quad -4\\1\quad -1\end{bmatrix}\)
হয় তবে গানিতিক আরোহ পদ্ধতির প্রয়োগে দেখাও যে,
\(A^n=\begin{bmatrix}1+2n\quad -4n\\\quad n\quad\quad 1-2n\end{bmatrix}\) সব n ∈ N এর জন্য।
Solution:
ধরি, প্রদত্ত বিবৃতিটি হল
\(P(n):\\A^n=\begin{bmatrix}1+2n\quad -4n\\\quad n\quad\quad 1-2n\end{bmatrix},\quad n ∈ N\)
∴ P(1) :
A¹ = A
\(=\begin{bmatrix}3\quad -4\\1\quad -1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1+2.1\quad -4.1\\\quad 1\quad\quad 1-2.1\end{bmatrix}\)
∴ P(1) সত্য
∴ P(2) :
A² = A×A
\(=\begin{bmatrix}3\quad -4\\1\quad -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\quad -4\\1\quad -1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}9-4\quad -12+4\\3-1\quad -4+1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}5\quad -8\\2\quad -3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1+2.2\quad -4.2\\2\quad\quad 1-2.2\end{bmatrix}\)
∴ P(2) সত্য।
ধরি P(m) সত্য।
∴ P(m) :
A^m
\(=\begin{bmatrix}1+2m\quad -4m\\\quad m\quad\quad 1-2m\end{bmatrix}\\∴P(m+1):\\=A^{m+1}=A^m×A\\=\begin{bmatrix}1+2m\quad -4m\\\quad m\quad\quad 1-2m\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\quad -4\\1\quad -1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}3+6m-4m\quad -4-8m+4m\\\quad 3m+1-2m\quad\quad -4m-1+2m\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}3+2m\quad -4-4m\\m+1\quad -1-2m\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1+2(m+1)\quad -4(m+1)\\m+1\quad\quad 1-2(m+1)\end{bmatrix}\)
∵ P(1) ও P (2) ;
∴ P(m) সত্য হলে, P (m + 1) সত্য হয়।
∴ n ∈ N এর জন্য P (n) সত্য।
দশম শ্রেণীর ভৌত বিজ্ঞান এবং জীবন বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন
\(\mathbf{13.\\}\)\(A=\begin{bmatrix}cosθ\quad isinθ\\isinθ\quad cosθ\end{bmatrix}\)
হয় তবে গানিতিক আরোহ পদ্ধতির প্রয়োগে প্রমাণ করো যে,
\(A^n=\begin{bmatrix}cosnθ\quad i sinnθ\\i sinnθ\quad cosnθ\end{bmatrix}\) সব n ∈ N এর জন্য।
Solution:
ধরি, প্রদত্ত বিবৃতিটি হল
\(P(n):\\A^n=\begin{bmatrix}cosnθ\quad i sinnθ\\i sinnθ\quad cosnθ\end{bmatrix},\quad n ∈ N\)
∴ P(1) :
A¹ = A
\(=\begin{bmatrix}cosθ\quad isinθ\\isinθ\quad cosθ\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}cos1θ\quad isin1θ\\isin1θ\quad cos1θ\end{bmatrix}\)
P(1) সত্য
∴ P(2) :
A²= A×A
\(=\begin{bmatrix}cosθ\quad isinθ\\isinθ\quad cosθ\end{bmatrix}\begin{bmatrix}cosθ\quad isinθ\\isinθ\quad cosθ\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}cos^2θ-sin^2θ\quad icosθsinθ+isinθcosθ\\isinθcosθ+isinθcosθ\quad -sin^2θ+cos^2θ\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}cos2θ\quad isin2θ\\isin2θ\quad cos2θ\end{bmatrix}\)
∴ P(2) সত্য।
ধরি P(m) সত্য।
∴ P(m) :
A^m
\(=\begin{bmatrix}cosmθ\quad i sinmθ\\i sinmθ\quad cosmθ\end{bmatrix}\\\quad ∴P(m+1):\\A^{m+1}=A^m×A\\=\begin{bmatrix}cosmθ\quad i sinmθ\\i sinmθ\quad cosmθ\end{bmatrix}\begin{bmatrix}cosθ\quad i sinθ\\i sinθ\quad cosθ\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}cosmθcosθ+i^2sinmθsinθ\quad icosmθsinθ+isinmθcosθ\\isinmθcosθ+icosmθsinθ\quad i^2sinmθsinθ+cosmθcosθ\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}cosmθcosθ-sinmθsinθ\quad i(cosmθsinθ+sinmθcosθ)\\i(sinmθcosθ+cosmθsinθ)\quad -sinmθsinθ+cosmθcosθ\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}cos(mθ+θ)\quad isin(mθ+θ)\\isin(mθ+θ)\quad cos(mθ+θ)\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}cos(m+1)θ\quad isin(m+1)θ\\isin(m+1)θ\quad cos(m+1)θ\end{bmatrix}\)
∵ P(1) ও P (2) ;
∴ P(m) সত্য হলে, P (m + 1) সত্য হয়।
∴ n ∈ N এর জন্য P (n) সত্য।
Matrix S N Dey Solution Part-3
14.যদি
\(A=\begin{bmatrix}a\quad b\\0\quad 1\end{bmatrix}\)
হয় তবে গানিতিক আরোহ পদ্ধতির প্রয়োগে প্রমাণ করো যে,
\(A^n=\begin{bmatrix}a^n\quad \frac{b(a^n-1)}{a-1}\\0\quad\quad 1\end{bmatrix}\) সব n ∈ N এর জন্য।
Solution:
ধরি, প্রদত্ত বিবৃতিটি হল
\(P(n) : A^n=\begin{bmatrix}a^n\quad \frac{b(a^n-1)}{a-1}\\0\quad\quad 1\end{bmatrix},\quad n ∈ N\)
∴ P(1) :
A¹ = A
\(=\begin{bmatrix}a\quad b\\0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}a^1\quad \frac{b(a^1-1)}{a-1}\\0\quad\quad 1\end{bmatrix}\)
∴ P(1) সত্য
∴ P(2) :
A² = A×A
\(=\begin{bmatrix}a\quad b\\0\quad 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\quad b\\0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}a^2+0\quad ab+b\\0+0\quad 0+1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}a^2\quad b(a+1)\\0\quad\quad\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}a^2\quad \frac{b(a+1)(a-1)}{a-1}\\0\quad\quad\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}a^2\quad \frac{b(a^2-1)}{a-1}\\0\quad\quad 1\end{bmatrix}\)
∴ P(2) সত্য।
ধরি P(m) সত্য।
∴ P(m) :
A^m
\(=\begin{bmatrix}a^m\quad \frac{b(a^m-1)}{a-1}\\0\quad\quad 1\end{bmatrix}\\P(m+1):\\A^{m+1}=A^m×A\\=\begin{bmatrix}a^m\quad \frac{b(a^m-1)}{a-1}\\0\quad\quad 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\quad b\\0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad a^{m+1}\quad a^mb+\frac{b(a^m-1)}{a-1}\\0+0\quad\quad 0+1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}a^{m+1}\quad \frac{a^{m+1}b-a^mb+ba^m-b}{a-1}\\0\quad\quad 1\quad\quad\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\quad\quad a^{m+1}\quad \frac{b(a^{m+1}-1)}{a-1}\\0\quad 1\quad\end{bmatrix}\)
∵ P(1) ও P (2) ;
∴ P(m) সত্য হলে, P (m + 1) সত্য হয়।
∴ n ∈ N এর জন্য P (n) সত্য।
15.যদি
\(A=\begin{bmatrix}1\quad 1\quad 1\\1\quad 1\quad 1\\1\quad 1\quad 1\end{bmatrix}\)
হয় তবে গানিতিক আরোহ পদ্ধতির প্রয়োগে প্রমাণ করো যে,
\(A^n=\begin{bmatrix}3^{n-1}\quad 3^{n-1}\quad 3^{n-1}\\3^{n-1}\quad 3^{n-1}\quad 3^{n-1}\\3^{n-1}\quad 3^{n-1}\quad 3^{n-1}\end{bmatrix}\), n ∈ N এর জন্য।
Solution:
ধরি, প্রদত্ত বিবৃতিটি হল
\(P(n): A^n=\begin{bmatrix}3^{n-1}\quad 3^{n-1}\quad 3^{n-1}\\3^{n-1}\quad 3^{n-1}\quad 3^{n-1}\\3^{n-1}\quad 3^{n-1}\quad 3^{n-1}\end{bmatrix},\quad n∈N\\∴P(1): \\A^1=A\\=\begin{bmatrix}1\quad 1\quad 1\\1\quad 1\quad 1\\1\quad 1\quad 1\end{bmatrix}\\= \begin{bmatrix}3^{1-1}\quad 3^{1-1}\quad 3^{1-1}\\3^{1-1}\quad 3^{1-1}\quad 3^{1-1}\\3^{1-1}\quad 3^{1-1}\quad 3^{1-1}\end{bmatrix}\\\)
∴ P(1) সত্য
∴ P(2) :
A² = A×A
\(=\begin{bmatrix}1\quad 1\quad 1\\1\quad 1\quad 1\\1\quad 1\quad 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\quad 1\quad 1\\1\quad 1\quad 1\\1\quad 1\quad 1\end{bmatrix}\\= \begin{bmatrix}1+1+1\quad 1+1+1\quad 1+1+1\\1+1+1\quad 1+1+1\quad 1+1+1\\1+1+1\quad 1+1+1\quad 1+1+1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}3\quad 3\quad 3\\3\quad 3\quad 3\\3\quad 3\quad 3\end{bmatrix}\\= \begin{bmatrix}3^{2-1}\quad 3^{2-1}\quad 3^{2-1}\\3^{2-1}\quad 3^{2-1}\quad 3^{2-1}\\3^{2-1}\quad 3^{2-1}\quad 3^{2-1}\end{bmatrix}\\\)
∴ P(2) সত্য।
ধরি P(m) সত্য।
∴ P(m) :
A^m
\(=\begin{bmatrix}3^{m-1}\quad 3^{m-1}\quad 3^{m-1}\\3^{m-1}\quad 3^{m-1}\quad 3^{m-1}\\3^{m-1}\quad 3^{m-1}\quad 3^{m-1}\end{bmatrix}\\\\∴P(m+1):\\=A^{m+1}=A^m×A\\=\begin{bmatrix}3^{m-1}\quad 3^{m-1}\quad 3^{m-1}\\3^{m-1}\quad 3^{m-1}\quad 3^{m-1}\\3^{m-1}\quad 3^{m-1}\quad 3^{m-1}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\quad 1\quad 1\\1\quad 1\quad 1\\1\quad 1\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}3.3^{m-1}\quad 3.3^{m-1}\quad 3.3^{m-1}\\3.3^{m-1}\quad 3.3^{m-1}\quad 3.3^{m-1}\\3.3^{m-1}\quad 3.3^{m-1}\quad 3.3^{m-1}\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}3^{m}\quad 3^{m}\quad 3^{m}\\3^{m}\quad 3^{m}\quad 3^{m}\\3^{m}\quad 3^{m}\quad 3^{m}\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}3^{(m+1)-1}\quad 3^{(m+1)-1}\quad 3^{(m+1)-1}\\3^{(m+1)-1}\quad 3^{(m+1)-1}\quad 3^{(m+1)-1}\\3^{(m+1)-1}\quad 3^{(m+1)-1}\quad 3^{(m+1)-1}\end{bmatrix}\)
∵ P(1) ও P (2) ;
∴ P(m) সত্য হলে, P (m + 1) সত্য হয়।
∴ n ∈ N এর জন্য P (n) সত্য।
\(\mathbf{16.\\}\)\(A=\begin{bmatrix}0\quad -tan\frac{α}{2}\\tan\frac{α}{2}\quad 0\end{bmatrix}\)
এবং 2 ক্রমের একক ম্যাট্রিক্স I হলে দেখাও যে,
\(I+A=(I-A)\begin{bmatrix}cosα\quad -sinα\\sinα\quad cosα\end{bmatrix}\)
\(\mathbf{Solution:\\}\)\(A=\begin{bmatrix}0\quad -tan\frac{α}{2}\\tan\frac{α}{2}\quad 0\end{bmatrix}\\\)\(\mathbf{L.H.S.\\}\)\(I+A\\=\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\quad -tan\frac{α}{2}\\tan\frac{α}{2}\quad 0\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad -tan\frac{α}{2}\\tan\frac{α}{2}\quad 1\end{bmatrix}\\∴I-A\\=\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}0\quad -tan\frac{α}{2}\\tan\frac{α}{2}\quad 0\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad tan\frac{α}{2}\\-tan\frac{α}{2}\quad 1\end{bmatrix}\\\)
\(\mathbf{R.H.S.\\}\)\(\quad (I-A) \begin{bmatrix}cosα\quad -sinα\\sinα\quad\quad cosα\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad tan\frac{α}{2}\\-tan\frac{α}{2}\quad 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}cosα\quad -sinα\\sinα\quad\quad cosα\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad tan\frac{α}{2}\\-tan\frac{α}{2}\quad 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\frac{1-tan^2\frac{α}{2}}{1+tan^2\frac{α}{2}}\quad -\frac{2tan\frac{α}{2}}{1+tan^2\frac{α}{2}}\\\frac{2tan\frac{α}{2}}{1+tan^2\frac{α}{2}}\quad\quad \frac{1-tan^2\frac{α}{2}}{1+tan^2\frac{α}{2}}\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad x\\-x\quad 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\frac{1-x^2}{1+x^2}\quad -\frac{2x}{1+x^2}\\\frac{2x}{1+x^2}\quad\quad \frac{1-x^2}{1+x^2}\end{bmatrix}\quad x=tan\frac{α}{2} (Let)\\=\begin{bmatrix}\frac{1-x^2+2x^2}{1+x^2}\quad \frac{-2x+x-x^3}{1+x^2}\\\frac{-x+x^3+2x}{1+x^2}\quad \frac{2x^2+1-x^2}{1+x^2}\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}\frac{1+x^2}{1+x^2}\quad \frac{-x-x^3}{1+x^2}\\\frac{x+x^3}{1+x^2}\quad \frac{x^2+1}{1+x^2}\end{bmatrix}\\= \begin{bmatrix}\frac{1+x^2}{1+x^2}\quad \frac{-x(1+x^2)}{1+x^2}\\\frac{x(1+x^2)}{1+x^2}\quad \frac{x^2+1}{1+x^2}\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad -x\\x\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad -tan\frac{α}{2}\\tan\frac{α}{2}\quad 1\end{bmatrix}=L.H.S. \quad (Proved)\)
\(\mathbf{17}\\\)\(I=\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}\) এবং \(E=\begin{pmatrix}0\quad 1\\0\quad 0\end{pmatrix}\)
হলে প্রমাণ করো যে, (2I + 3E)³ = 8I + 36E

Solution:
\(\quad (2I+3E)\\=2\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}+3\begin{pmatrix}0\quad 1\\0\quad 0\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}2\quad 0\\0\quad 2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\quad 3\\0\quad 0\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}2\quad 3\\0\quad 2\end{pmatrix}\\\quad ∴(2I+3E)^2\\=(2I+3E)(2I+3E)\\=\begin{pmatrix}2\quad 3\\0\quad 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\quad 3\\0\quad 2\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}4+0\quad 6+6\\0+0\quad 0+4\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}4\quad 12\\0\quad 4\end{pmatrix}\\\mathbf{L.H.S}\\\quad ∴(2I+3E)^3\\=(2I+3E)^2(2I+3E)\\=\begin{pmatrix}4\quad 12\\0\quad 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\quad 3\\0\quad 2\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}8+0\quad 12+24\\0+0\quad 0+8\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}8\quad 36\\0\quad 8\end{pmatrix}\\\mathbf{R.H.S.}\\\quad 8I +36I\\=8\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}+36\begin{pmatrix}0\quad 1\\0\quad 0\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}8\quad 0\\0\quad 8\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\quad 36\\0\quad 0\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}8\quad 36\\0\quad 8\end{pmatrix}=L.H.S.\quad\mathbf{(Proved)}\)
PREVIOUS
NEXT
January 18, 2024

error: Content is protected !!