Author: TEAM PROSTUTI

Ans: (c) 80^o
[∠A = 100^o
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোন দ্বয়ের সমষ্টি 180^o হয়।
∴ ∠A + ∠C = 180^o
বা, 100^o + ∠C = 180^o
বা, ∠C = 180^o – 100^o = 80^o]

(iv) ^7π/₁₂ -এর যষ্টিক পদ্ধতিতে মানটি হল:
(a) 115^o (b) 150^o (c) 135^o (d) 105^o
Ans: (d) 105^o
[^7π/₁₂ = ^7×180o/₁₂
= 7×15^o = 105^o]

(v) একটি ঘনকের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য a একক এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য d একক হলে a এবং d -এর সম্পর্ক হবে:
(a) √2a = d (b) √3a = d (c) a =√3d (d) a =√2d
Ans: (b) √3a = d
[ঘনকের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য a একক এবং কর্ণের দৈর্ঘ্য d একক
ঘনকের কর্ণ = √3×বাহুর দৈর্ঘ্য
∴ d = √3a]

(vi) 6, 7, x, 8, y, 16 সংখ্যাগুলির গড় 9 হলে:
(a) x + y = 21 (b) x + y = 17 (c) x – y = 21 (d) x – y = 19
Ans: (b) x + y = 17
[ ^6+7+x+8+y+16/₆ = 9
⇒ ^x+y+37/₆ = 9
⇒ x + y = 54 – 37
∴ x + y = 17]

Complete Solution of MP-18

2. শূন্যস্থান পূরণ করো (যে কোনো পাঁচটি): 1×5=5

i) বার্ষিক r% সরল সুদের হারে কোনো মূলধনের n বছরের সুদ ^pnr/₂₅ টাকা হলে মূলধনের পরিমাণ __________   টাকা হবে।
Ans: 4p
[ধরি মূলধনের পরিমাণ x টাকা
এখানে বার্ষিক সরল সুদ r%
সময় n বছর
সুদ ^pnr/₂₅ টাকা
∴ ^pnr/₂₅ = ^x.r.n/₁₀₀
⇒ p = ^x/₄
⇒ x = 4p]

(ii) (a – 2)x² + 3x + 5 = 0 সমীকরণটিতে a-এর মান __________   এর জন্য দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না।
Ans: 2
[x² এর সহগ শূন্য হলে সমীকরণটি দ্বিঘাত সমীকরণ হবে না।
∴ a – 2 = 0
⇒ a = 2]

(iii) ABCD একটি বৃত্তস্থ সামান্তরিক হলে ∠A -এর মান হবে __________ ।
Ans: 90^o
[বৃত্তস্থ সামান্তরিক একটি আয়তক্ষেত্র হয়]

(iv) tan35^otan55^o = sinθ হলে, θ-এর সর্বনিম্ন ধনাত্মক মান __________   হবে ।
Ans: 90^o
[ tan35^otan55^o = sinθ
⇒ tan35^otan(90^o – 35^o) = sinθ
⇒ tan35^o.cot35^o = sinθ
⇒ 1 = sinθ – – – – (∵ tanθ.cotθ = 1)
⇒ sin90^o = sinθ
∴ θ = 90^o

(v) একমুখ কাটা একটি পেনসিলের আকার চোঙ ও __________ র সমন্বয়।
Ans: শঙ্কু

(vi) মধ্যগামিতার মাপকগুলি হল গড়, মধ্যমা ও __________
Ans: সংখ্যাগুরুমান

Complete Solution of MP-18

3. সত্য বা মিথ্যা লেখো (যে কোনো পাঁচটি): 1×5=5

(i) নির্দিষ্ট আসলের উপর সমান হারে সুদ হলে 2 বছরের সরল সুদ, চক্রবৃদ্ধি সুদের তুলনায় বেশী।
Ans: সত্য

(ii) x³y, x²y² এবং xy³ ক্রমিক সমানুপাতী।
Ans: সত্য
[ ^x3y/_x²y² = ^x/_y
এবং ^x2y2/_xy³ = ^x/_y
∴ ^x3y/_x²y² = ^x2y2/_xy³
x³y, x²y² এবং xy³ ক্রমিক সমানুপাতী]

(iii) অর্ধবৃত্তাংশস্থ অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর বৃত্তাংশস্থ কোণ স্থূলকোণ।
Ans: সত্য

(iv) sec²27^o – cot²63^o -এর সরলতম মান 1.
Ans: সত্য
[sec²27^o – cot²63^o
= sec²27^o – cot²(90^o – 27^o)
= sec²27^o – tan²27^o
= 1 – – – – – (∵ sec²θ – tan²θ = 1)

(v) একটি গোলকের ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ হলে গোলকটির প্রথম গোলকের আয়তনের দ্বিগুণ হবে।

Ans: মিথ্যা
[ধরি, গোলকটির ব্যাসার্ধ r একক।
∴ গোলকটির আয়তন(V₁) = ⁴/₃πr³ ঘন একক
গোলকের ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ হলে গোলকটির আয়তন হবে
= ⁴/₃π(2r)³ ঘন একক
= ⁴/₃π×8r³ ঘন একক
= 8×⁴/₃πr³ ঘন একক
= 8×V₁ ঘন একক]

(vi)

বিভাজনটির সংখ্যাগুরু মান হল 3.
Ans: মিথ্যা
[এখানে স্কোর 4 এর পরিসংখ্যা সবচেয়ে বেশি।
∴ সংখ্যাগুরু মান 7]

Complete Solution of MP-18

4. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দাও (যে কোনো দশটি): 2×10=20

4 (i) বার্ষিক সরল সুদের হার 4% থেকে 3¾% হওয়ায় এক ব্যক্তির বার্ষিক আয় 60 টাকা কম হয়। ঐ ব্যক্তির মূলধন নির্ণয় করো।
Solution:
সরল সুদের হার 4% থেকে 3¾ হওয়ায়
সুদের হ্রাস হয় =(4- 3¾)%
= (4-¹⁵/₄) % = ¼%
∴ ¼ টাকা আয় কম হয় 100 টাকায়।
1 টাকা আয় কম হয় 100×4 টাকায়
60 টাকা আয় কম হয় 100x4x60 টাকায়
= 24000 টাকায়
Ans: ঐ ব্যক্তির মূলধন 24000 টাকা

(ii) A এবং B যথাক্রমে 15,000 টাকা ও 45,000 টাকা দিয়ে একটি ব্যবসা শুরু করল। 6 মাস পরে B লভ্যাংশ হিসাবে 3,030 টাকা পেল। A -এর লভ্যাংশ কত?

Solution:
A এবং B-এর মূলধনের অনুপাত
= 15000 : 45000
= 1:3
ধরি A-এর লভ্যাংশ x টাকা
B-এর লভ্যাংশ 3030 টাকা
∵ লভ্যাংশের অনুপাত = মূলধনের অনুপাত
∴ x : 3030 = 1 : 3
বা, x = ¹/₃×3030
বা, x = 1010
Ans: A -এর লভ্যাংশ 1010 টাকা

Complete Solution of MP-18

(v) △ABC-এর BC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা AB ও AC কে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে। যদি AP = 4 সেমি, QC = 9 সেমি এবং PB = AQ হয় তাহলে PB-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
Solution:

△ABC-এর BC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা AB ও AC কে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে
এখানে
AP = 4 সেমি,
QC = 9 সেমি এবং
PB = AQ
ধরি, PB = x সেমি

\(\large{\frac{AP}{PB}=\frac{AQ}{QC}\\⇒\frac{4}{x}=\frac{x}{9}}\)

⇒ x2 = 36
⇒ x = 6
Ans: PB-এর দৈর্ঘ্য 6 সেমি

(vi) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি। O বিন্দু থেকে 13 সেমি দূরত্বে P একটি কিন্দু। PQ এবং PR বৃত্তের দুটি স্পর্শক হলে PQOR চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল কত?
Solution:

OQ = OR = 5 সেমি,
OP = 13 সেমি
∴PQ = PR = √(13² – 5²)
= √(169 – 25)
= √144 = 12 সেমি
△POQ –এর ক্ষেত্রফল
= ¹/₂ × 12 × 5
= 30 বর্গ সেমি
∴ PQOR চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল = 2 × 30 = 60 বর্গ সেমি
Ans: PQOR চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল 60 বর্গ সেমি

(vii) O কেন্দ্রীয় বৃত্তে AB ও CD জ্যা দুটি কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী। ∠AOB = 60^o এবং CD = 6 সেমি হলে, বৃত্তটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত?
Solution:

প্রদত্ত CD = 6সেমি.
∴ AB = 6সেমি. – – – [∵AB=CD]
ΔAOB এর
AO = BO – – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ ∠OAB = ∠OBA
ΔAOB থেকে পাই,
∠OAB + ∠OBA+ ∠AOB =180°
বা, ∠OAB + ∠OAB+ 60° = 180°
বা, 2∠OAB = 120°
বা, ∠OAB = 60°
∴ ΔAOB একটি সমবাহু ত্রিভুজ
∴AO = BO = AB = 6 সেমি.
Ans: বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 6 সেমি.

(viii) tanθ + cotθ = 2 হলে tan⁷θ + cot⁷θ = কত?
Solution:
tanθ + cotθ = 2
⇒ tanθ + ¹/_tanθ = 2
⇒ ^{tan2θ +1}/_tanθ = 2
⇒ tan²θ + 1= 2tanθ
⇒ tan²θ – 2tanθ + 1 = 0
⇒ (tanθ – 1)² = 0
⇒ tanθ – 1 = 0
⇒ tanθ = 1
∴ cotθ = ¹/_tanθ
= 1
∴ tan⁷θ + cot⁷θ
= (1)⁷+(1)⁷
= 1 + 1 = 2
Ans: tan⁷θ + cot⁷θ = 2

Complete Solution of MP-18

(ix) একটি স্তম্ভের ছায়ার দৈর্ঘ্য এবং স্তম্ভের উচ্চতার অনুপাত √3 : 1 হলে, সূর্যের উন্নতি কোণ নির্ণয় করো।
Solution:

চিত্রে AB স্তম্ভ এবং AC স্তম্ভের ছায়া
∴ ^AC/_AB = cot∠ACB
⇒ ^√3 : ₁ = cot∠ACB
⇒ √3 = cot∠ACB
⇒ cot30^o= cot∠ACB
⇒ 30^o = ∠ACB
Ans: সূর্যের উন্নতি কোণ 30^o

(x) দুটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের আয়তন সমান ও তাদের উচ্চতার অনুপাত 1 : 2 হলে, চোঙদুটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত কত?
Solution:
ধরি চোঙ দুটির উচ্চতা যথাক্রমে h একক ও 2h একক এবং ব্যাসার্ধ r₁ একক ও r₂ একক
∵ দুটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের আয়তন সমান।
∴ πr₁²×h₁ = πr₂²×h₂
⇒ r₁²×h = r₂²×2h
⇒ r₁² = 2r₂²
⇒ (^r₁/_r2)² = ²/₁
⇒ ^r₁/_r2 = ^√2/₁
∴ r₁ : r₂ = √2 : 1
Ans: চোঙদুটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের √2 : 1

(xi) একটি নিরেট অর্ধগোলকের আয়তন 144π ঘনসেমি হলে, গোলকটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য কত?

Solution:
ধরি, নিরেট অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধ r সেমি
∴ নিরেট অর্ধগোলকের আয়তন = 2πr³
প্রশ্নানুযায়ী,
²/₃πr³ = 144π
বা r³ = 144׳/₂
বা r³ = 72×3 = 216
বা r³ = (6)³
বা r =6
∴ 2r = 2×6=12
Ans: গোলকটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 12 সেমি.

(xii) একটি পরিসংখ্যা বিভাজনের গড় 8.1, Σfixi = 132 + 5K এবং Σfi  = 20 হলে K-এর মান কত?
Solution:

\(\large{\quad\frac{Σf_ix_i}{Σf_i}=\frac{132+5K}{20}\\⇒8.1=\frac{132+5K}{20}}\)

⇒ 162 = 132 + 5K
⇒ 5K = 162 – 132
⇒ 5K = 13
∴ K = 6
Ans: K-এর মান 6

Complete Solution of MP-18

5. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

(a) আমিনুর একটি ব্যাঙ্ক থেকে 64,000 টাকা ধার নিয়েছে। যদি ব্যাঙ্কের সুদের হার প্রতি বছরে প্রতি টাকায় 2.5 পয়সা হয়, তবে ঐ টাকার 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ কত হবে?

Solution:
এখানে,
আসল(P) = 64000 টাকা
সুদের হার(r) = ^2.5/₁₀₀×100%
= 2.5%
সময়(t) = 2 বছর
∴ 2 বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি

\(\large{=P{ \left( {1 + \frac{r}{{100}}}\right)^t}\\=64000{ \left( {1 + \frac{2.5}{{100}}} \right)^2}\\=64000{ \left( {1 + \frac{25}{{1000}}} \right)^2}\\=64000{ \left( {1 + \frac{1}{{40}}} \right)^2}\\=64000×\frac{41}{40}×\frac{41}{40}}\)

= 40×41×41 টাকা
= 67240 টাকা
∴ 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ
= (67240 – 64000) টাকা
= 3240 টাকা
Ans: 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ 3240 টাকা

(b) A, B ও C যথাক্রমে 6,000 টাকা, 8,000 টাকা ও 9,000 টাকা মূলধন নিয়ে একত্রে ব্যবসা আরম্ভ করল। কয়েক মাস পর A আরও 3,000 টাকা ব্যবসায় লগ্নী করল। বছরের শেষে মোট 30,000 টাকা লাভ হল এবং C তার ভাগে 10,800 টাকা লভ্যাংশ পেল। A কখন আরও 3,000 টাকা লগ্নী করেছিল?

Solution:
ধরি, ব্যবসা শুরু করার x মাস বাদে আরও 3,000 টাকা ব্যবসায় লগ্নী করল।
A, B ও C-এর মূলধনের অনুপাত
= [(6000×x) + (6000 + 3000)×(12 – x)] : (8000×12) : (9000×12)
= [(6x) + (6 + 3)×(12 – x)] : (8×12) : (9×12)
= [6x + 9×(12 – x)] : 96 : 108
= [6x + 108 – 9x] : 96 : 108
= (108 – 3x) : 96 : 108
= (36 – x) : 32 : 36
বছরের শেষে মোট 30000 টাকা লাভ হল
30,000 টাকার মধ্যে,
C পাবে = 30000׳⁶/_36-x+32+36 টাকা
= 30000׳⁶/_104-x টাকা
প্রশ্নানুযায়ী,
30000׳⁶/_104-x = 10800
বা, 10800(104 – x) = 30000×36
বা, 108(104 – x) = 300×36
বা, 3(104 – x) = 300
বা, 104 – x = 100
বা, – x = 100 – 104 = -4
∴ x = 4
Ans: A, 4 মাস পরে আরও 3,000 টাকা লগ্নী করেছিল।

6. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

(a) সমাধান করো:

\(\large{\mathbf{\quad\left(\frac{x+4}{x-4}\right)^2-5\left(\frac{x+4}{x-4}\right)+6=0, (x≠4)\\Solution:}}\)

\(\large {\quad \left ( \frac {x+4}{x-4}\right)^2 – 5 \left( \frac {x+4}{x-4}\right)+6=0}\)

ধরি,

\(\large {\quad\frac {x+4}{x-4}=a}\)

∴ a² – 5a + 6 = 0
⇒ a² – 3a – 2a + 6 = 0
⇒ a(a – 3) – 2(a – 3) = 0
⇒ (a – 3)(a – 2) = 0
হয় (a – 3) = 0 নতুবা (a – 2) = 0
বা, a = 3 বা, a = 2
বা, ^{x + 4}/_{x – 4} = 3 বা, ^{x + 4}/_{x – 4} = 2
বা, 3x – 12 = x + 4 বা, 2x – 8 = x + 4
বা, 3x – x = 4 + 12 বা, 2x – x = 4 + 8
বা, 2x = 16 বা, x = 12
বা, x = 8 বা, x = 12
Ans: নির্ণেয় সমাধানঃ x = 8 এবং 12

(b) দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্কটি দশক স্থানীয় অঙ্ক অপেক্ষা 6 বেশি এবং অঙ্কদ্বয়ের গুণফল সংখ্যাটির চেয়ে 12 কম। সংখ্যাটির এককের অঙ্ক কী কী হতে পারে?

Solution:
ধরি, দশকের ঘরের অঙ্ক x
∴ এককের ঘরের অঙ্ক (x + 6)
সংখ্যাটি = 10×x + 1×(x + 6)
= 10x + x + 6
= 11x + 6
অঙ্ক দুটির গুনফল = x(x + 6)
= x² + 6x
প্রশ্নানুযায়ী,
(11x + 6) – (x² + 6x) = 12
⇒ 11x + 6 – x² – 6x = 12
⇒ 5x + 6 – x² – 12 = 0
⇒ 5x – x² – 6 = 0
⇒ – (x² – 5x + 6) = 0
⇒ x² – 5x + 6 = 0

⇒ x² – 3x – 2x + 6 = 0
⇒ x(x – 3) – 2(x – 3) = 0
⇒ (x – 3)(x – 2) = 0
হয় x – 3 = 0 অথবা x – 2 = 0
বা, x = 3 বা, x = 2
এককের অঙ্ক 3 + 6 = 9 বা, 2 + 6 = 8
Ans: সংখ্যাটির একক ঘরের অঙ্ক 8 অথবা 9

Complete Solution of MP-18

7. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

(a) সরলতম মান নির্ণয় করো:

\(\large{\mathbf{\quad √7(√5-√2)-√5(√7-√2)+\frac{2√2}{√5+√7}}}\)

Solution:
প্রদত্ত রাশি

\(\Large{= √7(√5-√2)-√5(√7-√2)+\frac{2√2}{√5+√7}\\=√7(√5-√2)-√5(√7-√2)+\frac{2√2(√7-√5)}{(√7+√5)(√7-√5)}\\=√35-√14-√35+√10+\frac{2(√14-√10)}{(√7)^2-(√5)^2}\\=√10-√14+\frac{2(√14-√10)}{7-5}\\=√10-√14+\frac{2(√14-√10)}{2}}\)

= √10 – √14 + √14- √10
= 0
Ans: নির্ণেয় সরলতম মান 0

(b) x ∝ y এবং y ∝ z হলে প্রমাণ করো: (x² + y² + z²) ∝ (xy + yz + zx)

Solution:
x ∝ y
⇒ x = ky – – – – [যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
y ∝ z
⇒ y = mz – – – – [যেখানে m অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
∴ x = k.mz
⇒ x = kmz

\(\Large{∴\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx}\\=\frac{(kmz)^2+(mz)^2+z^2}{kmz.mz+mz.z+z.kmz}\\=\frac{k^2m^2z^2+m^2z^2+z^2}{km^2z^2+mz^2+kmz^2}\\=\frac{z^2(k^2m^2+m^2+1)}{z^2(km^2+m+km)}\\=\frac{k^2m^2+m^2+1}{km^2+m+km}}\)

= ধ্রুবক
∴ (x² + y² + z²) ∝ (xy + yz + zx) (Proved)

8. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

\(\Large{\mathbf{(a)\quad\frac{a+b-c}{a+b}=\frac{b+c-a}{b+c}=\frac{c+a-b}{c+a}}}\)

এবং a + b + c ≠ 0 হলে প্রমাণ করো a = b = c
Solution:

\(\Large{\quad\frac{a+b-c}{a+b}=\frac{b+c-a}{b+c}=\frac{c+a-b}{c+a}}\)

প্রতিটি পক্ষ থেকে 1 বিয়োগ করে পাই,

\(\Large{\quad\frac{a+b-c}{a+b}-1=\frac{b+c-a}{b+c}-1=\frac{c+a-b}{c+a}-1\\⇒\frac{a+b-c-a-b}{a+b}=\frac{b+c-a-b-c}{b+c}=\frac{c+a-b-c-a}{c+a}\\⇒\frac{-c}{a+b}=\frac{-a}{b+c}=\frac{-b}{c+a}\\⇒\frac{c}{a+b}=\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}}\)

পুনরায় প্রতিটি পক্ষের সঙ্গে 1 যোগ করে পাই,

\(\Large{⇒\frac{c}{a+b}+1=\frac{a}{b+c}+1=\frac{b}{c+a}+1\\⇒\frac{c+a+b}{a+b}=\frac{a+b+c}{b+c}=\frac{b+c+a}{c+a}\\⇒\frac{1}{a+b}=\frac{1}{b+c}=\frac{1}{c+a}}\)

⇒ a + b = b + c = c + a
∴ a + b = b + c
বা, a = c – – – – (i)
আবার
b + c = c + a
বা, b = a – – – – (ii)
(i) ও (ii) থেকে পাই,
a = b = c (Proved)

(b) x : a = y : b = z : c হলে দেখাও (a² + b² + c²)(x² + y² + z²) = (ax + by + cz)² হবে।

Solution:
x : a = y : b = z : c
বা, ^x/_a = ^y/_b = ^z/_c = k – – – (k ≠ 0)
∴ ^x/_a = k ^y/_b = k ^z/_c = k
⇒ x = ak ⇒ y = bk ⇒ z = ck
L.H.S.
= (a² + b² + c²)(x² + y² + z²)
= (a² + b² + c²){(ak)² + (bk)² + (ck)²}
= (a² + b² + c²){a²k² + b²k² + c²k²}
= (a² + b² + c²)k²(a² + b² + c²)
= k²(a² + b² + c²)²
R.H.S.
= (ax + by + cz)²
= (a.ak + b.bk + c.ck)²
= (a²k + b²k + c²k)²
= {k(a² + b² + c²)}²
= k²(a² + b² + c²)² = L.H.S.
∴ (a² + b² + c²)(x² + y² + z²) = (ax + by + cz)² (Proved)

Complete Solution of MP-18

9. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

(a) প্রমাণ করো একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকৌণিক বিন্দু থেকে অতিভুজের উপর লম্ব অঙ্কন করলে লম্বের দুপাশে যে দুটি ত্রিভুজ উৎপন্ন হয়, তারা মূল ত্রিভুজের সঙ্গে সদৃশ এবং পরস্পর সদৃশ।

স্বীকারঃ ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার ∠A সমকোণ এবং সমকৌণিক বিন্দু A থেকে অতিভুজ BC-এর উপর AD লম্ব।
প্রামান্য বিষয়: (i) △DBA ও △ABC পরস্পর সদৃশ।
(ii) △DAC ও △ABC পরস্পর সদৃশ।
(iii) △DBA ও △DAC পরস্পর সদৃশ।
প্রমাণ: △DBA ও △ABC-এর মধ্যে,
∠BDA = ∠BAC = 90^o
∠ABD = ∠CBA
∴ অবশিষ্ট ∠BAD = ∠BCA
∴ △DBA ও △ABC সদৃশকোণী।
∴ △DBA ও △ABC পরস্পর সদৃশ। – – – [প্রমাণিত]
আবার, △DAC ও △ABC-এর মধ্যে,
∠ADC = ∠BAC = 90^o
∠ACD = ∠BCA.
∴ অবশিষ্ট ∠CAD = ∠CBA
∴ △DAC ও △ABC সদৃশকোণী।
∴ △DAC ও △ABC সদৃশ। – – – [প্রমাণিত]
△DBA ও △ABC পরস্পর সদৃশ। আবার,
△DAC ও △ABC পরস্পর সদৃশ।
△DBA ও △DAC পরস্পর সদৃশ। – – – [প্রমাণিত]

(b) প্রমাণ করো কোনো বৃত্তের স্পর্শক ও স্পর্শ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধ পরস্পর লম্ব।

স্বীকার: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের P বিন্দুতে AB স্পর্শক এবং OP, P বিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।৷
প্রামাণ্য বিষয়: OP ও AB পরস্পর লম্ব। অর্থাৎ, OP⊥ AB
অঙ্কন: AB স্পর্শকের উপর যে-কোনো একটি বিন্দু Q নিলাম। O, Q বিন্দুদ্বয় যোগ করলাম।
প্রমাণ: স্পর্শক AB-এর উপর স্পর্শবিন্দু P ছাড়া অন্য যে-কোনো বিন্দু বৃত্তের বাইরে অবস্থিত হবে।
∴ OQ বৃত্তটিকে একটি বিন্দুতে ছেদ করবে।
মনে করি, OQ বৃত্তটিকে R বিন্দুতে ছেদ করে। 
অর্থাৎ  OR < OQ – – – [ ∵ R বিন্দু O ও Q-এর মধ্যবর্তী]
আবার, OR = OP – – – [ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ OP<OQ
আবার Q বিন্দু AB স্পর্শকের উপর যে-কোনো বিন্দু,
সুতরাং বৃত্তের কেন্দ্র O থেকে AB স্পর্শক পর্যন্ত যত সরলরেখাংশ অঙ্কন করা যায় OP তাদের মধ্যে ক্ষুদ্রতম।
আবার ক্ষুদ্রতম দূরত্ব হয় লম্ব দূরত্ব।
∴  OP ⊥ AB (প্রমাণিত)

10. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

(a) ABC ত্রিভুজের BC বাহুর উপর AD লম্ব এবং AD² = BD.DC; প্রমাণ করো ∠BAC একটি সমকোণ।

স্বীকার: ABC ত্রিভুজের BC বাহুর উপর AD লম্ব এবং AD² = BD.DC;
প্রামাণ্য বিষয়: ∠BAC = 1 সমকোণ।
প্রমাণ: ADB একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার ∠ADB = 90°।
∴ AB² = AD² + BD² – – – (i)
আবার, ADC সমকোণী ত্রিভুজের ∠ADC = 90°
∴ AC²  = AD² + CD² – – – (ii)
(i) + (ii) করে পাই,
AB² + AC² = AD² + BD² + AD² + CD²
=  BD² + CD² + 2AD²
= BD² + CD² + 2BD.CD – – – [∵ AD = BD.CD]
= (BD + CD)² = BC²
∴ AB² + AC² = BC²
∴ ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার ∠BAC = 1 সমকোণ।
∴ ∠BAC = 1 সমকোণ (Proved)

(b) একটি সরলরেখা দুটি এককেন্দ্রীয় বৃত্তের একটিকে A ও B বিন্দুতে এবং অপরটিকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করো AC = BD.

স্বীকারঃ AB সরলরেখা O কেন্দ্রীয় দুটি বৃত্তকে A ও B এবং C ও D বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয়ঃ AC = DB
অঙ্কনঃ O বিন্দু থেকে AB এর উপর OP লম্ব অঙ্কন করা হল।
প্রমাণঃ P বিন্দু AB –এর মধ্যবিন্দু – – – [∵ OP ⊥ AB]
এবং P বিন্দু CD –এর মধ্যবিন্দু। – – – [∵ OP ⊥ CD]
∴ AP = BP এবং CP = DP
∴ AC = AP – CP
= BP – DP
= DB
∴ AC = DB (Proved)

Complete Solution of MP-18

11. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

(a) 4 সেমি ও 2 সেমি ব্যাসার্ধবিশিষ্ট দুটি বৃত্ত অঙ্কন করো যাদের কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব 7 সেমি। ঐ বৃত্তদুটির একটি সরল সাধারণ স্পর্শক অঙ্কন করো। (কেবলমাত্র অঙ্কন চিহ্ন দিতে হবে।)

(b) একটি ত্রিভুজ অঙ্কন করো যার দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য 9 সেমি 7 সেমি এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ 60°; ত্রিভুজটির অন্তর্বৃত্ত অঙ্কন করো।(কেবলমাত্র অঙ্কন চিহ্ন দিতে হবে।)

12 . যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 2×3=6

(a) একটি বৃত্তের 220 সেমি দৈর্ঘ্যের বৃত্তচাপ বৃত্তের কেন্দ্রে 60^o পরিমাপের কোণ উৎপন্ন করলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

Solution:
এখানে, s = 220 সেমি;

\(\Large{\quad θ = 60^o\\=60×\frac{π^c}{180}\\=\left(\frac{60×22}{180×7}\right)^c\\=\left(\frac{22}{21}\right)^c}\)

আমরা জানি
s = rθ

\(\Large{\therefore 220=r×\frac{22}{21}\\⇒ 220=r×\frac{22}{21}\\⇒r=\frac{220×21}{22}}\)

=210
Ans. বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 200 সেমি।

(b) যদি cos²θ – sin²θ = ¹/₂ হয়, তাহলে tan²θ-এর মান নির্ণয় ।
Solution:
cos²θ – sin²θ = ¹/₂
বা, 2(cos²θ – sin²θ) = 1
বা, 2(cos²θ – sin²θ) = cos²θ + sin²θ – – – (∵ cos²θ + sin²θ = 1)
বা, 2cos²θ – 2sin²θ = cos²θ + sin²θ
বা, – 2sin²θ – sin²θ = cos²θ – 2cos²θ
বা, – 3sin²θ = – cos²θ
বা, 3sin²θ = cos²θ
বা, ^sin2θ/_cos²θ = ¹/₃
∴ tan²θ = ¹/₃
Ans. tan²θ-এর মান ¹/₃

(c) মান নির্ণয় করো:

\(\Large{\mathbf{\quad\frac{sec17^o}{cosec73^o}+\frac{tan 68^o}{cot 22^o}+cos^244^o + cos^246^o\\Solution:}}\)

\(\Large{\quad\frac{sec17^o}{cosec73^o}+\frac{tan 68^o}{cot 22^o}+cos^244^o + cos^246^o\\=\frac{sec17^o}{cosec(90^o-17^o)}+\frac{tan 68^o}{cot (90^o-68^o)}+cos^2(90^o-46^o) + cos^246^o\\=\frac{sec17^o}{sec17^o}+\frac{tan 68^o}{tan 68^o}+sin^246^o+ cos^246^o\\=}\)

= 1 + 1 +1
= 3
Ans: নির্ণেয় মান 3

Complete Solution of MP-18

13. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

(a) সূর্য্যের উন্নতি কোণ 45^o থেকে বৃদ্ধি পেয়ে 60^o হলে, একটি খুঁটির ছায়ার দৈর্ঘ্য 3 মিটার কমে যায়। খুঁটিটির উচ্চতা নির্ণয় করো।
Solution:

ধরি,  খুঁটিটির উচ্চতা (AB) = x  মিটার।
প্রশ্নানুসারে,
 ∠BCA = 60^o ;
∠BDA = 45^o এবং
      CD = 3 মিটার ।
আরও ধরা যাক BC = y মিটার।
এখন ͢ΔABD থেকে পাওয়া যায়,
^AB/_BD = tan45^o
বা, ^AB/_BC+CD = 1
বা, ^x/_y+3 = 1
বা, y + 3 =  x
বা, y = x – 3
আবার ͢ΔABC থেকে পাওয়া যায়,
^AB/_BC = tan60^o
বা, ^x/_y = √3
বা, ^x/_x-3 = √3
বা, √3x + 3√3 =  x
বা, √3x – x = 3√3
বা, x(√3 – 1) = 3√3
বা, x(√3 – 1)(√3 + 1) = 3√3(√3 + 1)
বা, x{(√3)² – (1)²} = 9 + 3√3
বা, x(3 – 1) = 9 + 3×1.732
বা, 2x = 9 + 5.196
বা, 2x = 14.196
∴ x = 7.098
Ans: খুঁটিটির উচ্চতা 7.098 মিটার

(b) 5√3 মিটার উঁচু একটি রেলওয়ে ওভারব্রিজে দাঁড়িয়ে এক ব্যক্তি প্রথমে একটি ট্রেনের ইঞ্জিনকে ব্রিজের এপারে 30^o অবনতি কোণে দেখলেন। কিন্তু 2 সে. পরে ঐ ইঞ্জিনকে ব্রিজের ওপারে 45^o অবনতি কোণে দেখলেন। ট্রেনটির গতিবেগ কত?

ধরি, ব্যক্তিটি RS রেলওয়ে ওভারব্রিজে দাঁড়িয়ে প্রথমে P বিন্দুতে ইঞ্জিনকে 30^o অবনতি কোণে এবং 2 সে. পরে Q বিন্দুতে ইঞ্জিনকে 45^o অবনতি কোণে দেখলেন।
চিত্রে,
AB = 5√3 মিটার
∠BPA = 30^o
∠BQA = 45^o
সমকোণী ত্রিভুজ BAP থেকে পাওয়া যায়,
^AB/_AP = tan30^o
বা, ^5√3/_AP = ¹/_√3
বা, AP = 5√3×√3
বা, AP = 15
আবার ͢সমকোণী ত্রিভুজ BAQ থেকে পাওয়া যায়,
^AB/_AQ = tan45^o
বা, ^5√3/_AQ = 1
বা, AQ = 5√3
বা, AQ = 5×1.732
বা, AQ = 8.660
∴ PQ = AP + AQ
= 15 + 8.660
= 23.660
ট্রেনটি 2 সেকেন্ডে যায় 23.660 মিটার
∴ ট্রেনটি 1 সেকেন্ডে যায় ^23.660/₂ মিটার = 11.830 মিটার
Ans: ট্রেনটির গতিবেগ সেকেন্ডে 11.830 মিটার

14. যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 2×4=8

(a) একটি ঘনকের প্রতিটি বাহুকে 50% কমানো হল। মূল ঘনক ও পরিবর্তিত ঘনকের ঘনফলের অনুপাত কত?
Splution:
মনেকরি, ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য = 2a সেমি
∴ ঘনকের আয়তন = (2a)³ ঘন সেমি
= 8a³ ঘন সেমি
ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য 50% কমানাে হলে, ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য হবে
= 2a × ⁵⁰/₁₀₀ সেমি
= a সেমি
∴ পরিবর্তিত ঘনকের আয়তন = a³ ঘন সেমি
∴ সেমি মূল ঘনক ও পরিবর্তিত ঘনকের আয়তনের অনুপাত
= 8a³ : a³
  = 8 : 1
Ans: মূল ঘনক ও পরিবর্তিত ঘনকের ঘনফলের অনুপাত 8 : 1

(b) ঢাকনাবিহীন একটি লম্ববৃত্তাকার চোঙাকৃতি পাত্রের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 2002 বর্গসেমি। পাত্রটির ভূমির ব্যাসার্ধ্য 7 সেমি হলে, পাত্রটিতে কত লিটার জল ধরবে?(1 লিটার = 1 ঘন ডেসিমি)

Solution:
পাত্রটির ভুমির ব্যাস = 14
∴ পাত্রটির ভুমির ব্যাসার্ধ(r) = ¹⁴/₂ = 7 সেমি.
ধরি, পাত্রটির উচ্চতা = h সেমি
প্রশ্নানুযায়ী,
πr(r + 2h) = 2002
⇒ ²²/₇×7×(7 + 2h) = 2002
⇒ 22(7 + 2h) = 2002
⇒ 7 + 2h = 91
⇒ 2h = 91 – 7
⇒ 2h = 84
⇒ h = 42
∴ পাত্রটিতে জল ধরবে
= πr²h
= ²²/₇×7²×42 ঘন সেমি.
= 22×7×42 ঘন সেমি.
= 6468 ঘন সেমি.
= 6.468 ঘন ডেসিমি.
= 6.468 লিটার
Ans: পাত্রটিতে 6.468 লিটার জল ধরবে।

(c) 21 ডেসিমি দীর্ঘ, 11 ডেসিমি প্রশস্ত ও 6 ডেসিমি গভীর একটি চৌবাচ্চার অর্ধেক জলপূর্ণ আছে। ঐ চৌবাচ্চায় যদি 21 সেমি ব্যাসের 100 টি নিরেট গোলক ডুবিয়ে দেওয়া যায়, তবে জলতল কত ডেসিমি উঠে আসবে?
Solution:
প্রতিটি লোহার গোলকের ব্যাসার্ধ = ²¹/₂ সেমি. = ²¹/₂₀ ডেসিমি.।
∴ 100 টি লোহার গোলকের আয়তন
= 100×⁴/₃πr³
= 100×⁴/₃π(²¹/₂₀)³ ঘন ডেসিমি.।
চৌবাচ্চায় 100 টি লোহার গোলক সম্পূর্ণ ডোবালে লোহার গোলকগুলির সমআয়তন জল অপসারিত করবে।
ধরি, চৌবাচ্চার জলতল h ডেসিমি. উঠবে।
প্রশ্নানুসারে,
  21×11× h = 100×⁴/₃π(²¹/₂₀)³
⇒ 21×11× h = 100×⁴/₃ײ²/₇ײ¹/₂₀ײ¹/₂₀ײ¹/₂₀
⇒ h = 100×⁴/₃ײ/₇×¹/₂₀ײ¹/₂₀ײ¹/₂₀
⇒ h = 100×⁴/₃×¹/₂₀ײ¹/₂₀׳/₁₀
⇒ h = 4×¹/₂ײ¹/₂₀
⇒ h = ²¹/₁₀
∴ h = 2.1
Ans: চৌবাচ্চার জলতল 2.1 ডেসিমি উঠবে।

Complete Solution of MP-18

15. যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 4+4=8

(a) নিম্নে প্রদত্ত প্রবেশিকা পরীক্ষায় পরীক্ষার্থীর বয়সের পরিসংখ্যা বিভাজন ছক থেকে সংখ্যাগুরু মান নির্ণয় করো:

বয়স (বছরে)	16-18	18-20	20-22	22-24	24-26
পরীক্ষার্থীর সংখ্যা	45	75	38	22	20

Solution:
প্রদত্ত পরিসংখ্যা বিভাজন ছকটি হল-

বয়স (বছরে)	16-18	18-20	20-22	22-24	24-26
পরীক্ষার্থীর সংখ্যা	45	75	38	22	20

প্রদত্ত পরিসংখ্যা বিভাজন ছকে সর্বাধিক পরিসংখ্যা 78
∴ সংখ্যাগুরুমান সংবলিত শ্রেণি 18 – 20
এখানে, l = 18;  f₀ = 45;
f₁ = 75; f₂ = 38
h = 20- 18= 2;
∴ সংখ্যাগুরুমান

\(\Large{= l+\frac{f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-f_{0}-f_{2}}×h\\=18+\frac{75-45}{2×75-45-38}×2\\=18+\frac{30}{67}×2\\=18+\frac{60}{67}}\)

= 18 + 0.895
= 18.89 (প্রায়)
Ans: তথ্যটির সংখ্যাগুরুমান 18.89

(b) নীচের তথ্যের মধ্যমা নির্ণয় করো:

শ্রেণি সীমা	1-5	6-10	11-15	16-20	21-25	26-30	31-35
পরিসংখ্যা	2	3	6	7	5	4	3

Solution:
প্রদত্ত ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা বিভাজন ছক থেকে প্রাপ্ত পরিসংখ্যা বিভাজন ছকটি হল:

শ্রেণি-সীমা	শ্রেণি সীমানা	পরিসংখ্যা	ক্ষুদ্রতর সূচক ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা
1-5	0.5-5.5	2	2
6-10	5.5-10.5	3	2+3=5
11-15	10.5-15.5	6	5+6=11
16-20	15.5-20.5	7	11+7=18
21-25	20.5-25.5	5	18+5=23
26-30	25.5-30.5	4	23+4=27
31-35	30.5-35.5	3	27+3=30

এখানে,  N = 30
∴ ^N/₂ = ³⁰/₂ = 15
এখানে, 15-এর অধিক ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যাবিশিষ্ট শ্রেণি হল 15.5-20.5
∴ 15.5-20.5 হল মধ্যমা শ্রেনি।
∴ মধ্যমা =

\(\Large{\quad l + \left(\quad\frac{\frac{N}{2} – C}{f_{m}}\right).h}\)

এখানে l = 15.5; N = 30;
C = 11; fm = 7;
h = 15.5 – 20.5 = 5

\(\Large{ = 15.5 + \left(\frac{15 – 11}{7}\right).5\\ = 15.5+ \frac{4}{7}.5\\ = 15.5 + \frac{20}{7}}\)

= 15.5 + 2.857 (প্রায়)
= 15.5 + 2.86 (প্রায়)
= 18.36 (প্রায়)
Ans: তথ্যটির মধ্যমা 18.36

(c) নীচের পরিসংখ্যা বিভাজনের ক্ষুদ্রতর সূচক ওজাইভ অঙ্কন করো:

প্রাপ্ত নম্বর	50-60	60-70	70-80	80-90	90-100
পরিসংখ্যা	4	8	12	6	10

Solution:

শ্রেণি	ক্ষুদ্রতর সূচক ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা
60 এর কম	4
70 এর কম	4+8=12
80 এর কম	12+12=24
90 এর কম	24+6=30
100 এর কম	30+10=40

x অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের 1টি বাহু = 1 একক এবং y অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের 1টি বাহু = 1 একক ধরে (60, 4), (70, 12), (80, 24), (90, 30), (100,40) বিন্দুগুলি স্থাপন করে যুক্ত করলাম এবং ক্ষুদ্রতর সূচক ওজাইভ অঙ্কন করলাম।

PREVIOUS

NEXT

• JBNSTS- Junior & Senior Scholarship – How to apply, Syllabus etc.
• জি. পি. বিড়লা স্কলারশিপ || How to apply GP Birla Scholarship
• Vidyasagar Science Olympiad How To Apply বিদ্যাসাগর সায়েন্স অলিম্পিয়াড
• Medhasree Scholarship মেধাশ্রী – How to apply, Check Date, Eligibility
• COLGATE SCHOLARSHIP কলগেট স্কলারশিপ -How to apply
• Sitaram Jindal সীতারাম জিন্দাল Scholarship- How to apply
• PRIYAMVADA BIRLA SCHOLARSHIP-How to apply
• ALO SCHOLARSHIP আলো স্কলারশিপ How to apply
• NABANNA নবান্ন Scholarship – How to apply
• Oasis Scholarship ওয়েসিস How to apply
• SWAMI-VIVEKANANDA SCHOLARSHIP (SVMCM)- How to apply
• Aikyashree ঐক্যশ্রী SCHOLARSHIP How to apply Aikyashree
• KANYASHREE PRAKALPA কন্যাশ্রী How to apply Kanyashree
• SIKSHASHREE শিক্ষাশ্রী SCHEME-How to apply In SIKSHASHREE

January 25, 2024

2017 সালের মাধ্যমিকের সকল বিষয়ের pdf download করার link নীচে দেওয়া হল

বাংলা (Bengali) 2017 সালের মাধ্যমিক প্রশ্নপত্রের pdf download করতে এখানে ক্লিক করো।
ইংরেজি (English) 2017 সালের মাধ্যমিক প্রশ্নপত্রের pdf download করতে এখানে ক্লিক করো।
গণিত (Mathematics) 2017 সালের মাধ্যমিক প্রশ্নপত্রের pdf download করতে এখানে ক্লিক করো।
ইতিহাস (History) 2017 সালের মাধ্যমিক প্রশ্নপত্রের pdf download করতে এখানে ক্লিক করো।
ভূগোল (Geography) 2017 সালের মাধ্যমিক প্রশ্নপত্রের pdf download করতে এখানে ক্লিক করো।
জীবনবিজ্ঞান (Life Science) 2017 সালের মাধ্যমিক প্রশ্নপত্রের pdf download করতে এখানে ক্লিক করো।
ভৌতবিজ্ঞান (Physical Science) 2017 সালের মাধ্যমিক প্রশ্নপত্রের pdf download করতে এখানে ক্লিক করো।

(iv) sinθ = cosθ হলে 2θ-এর মান হবে (a) 30^o (b) 60^o (c) 45^o (d) 90^o
Ans. (d) 90^o
[ sinθ = cosθ
⇒ sinθ = sin(90^o – θ)
⇒ θ = 90^o – θ
⇒ 2θ = 90^o]

(v) একটি শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য এবং উচ্চতা প্রত্যেকটি দ্বিগুণ হল শঙ্কুটির আয়তন হয় পূর্বের শঙ্কুর আয়তনের
(a) 3 গুণ (b)  4 গুণ (c) 6 গুণ (d) ৪ গুণ
Ans. (d) ৪ গুণ
[ধরি, শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধ r একক এবং উচ্চতা h একক
∴ শঙ্কুটির আয়তন V₁= ¹/₃πr²h ঘন একক
শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধ এবং উচ্চতা প্রত্যেকটি দ্বিগুণ হল শঙ্কুটির আয়তন হয়
= ¹/₃π×(2r)²×2h ঘন একক
= ¹/₃π×4r²×2h ঘন একক
= 8×¹/₃πr²h ঘন একক
= 8×V₁ ঘন একক]

(vi) 2, 8, 2, 3, 8, 3, 9, 5, 6 সংখ্যাগুলির মধ্যমা
(a) 8 (b) 6.5 (c) 5.5 (d) 52
Ans. (d) 52
[সংখ্যাগুলিকে মানের উর্ধক্রমে সাজিয়ে পাই- 2, 2, 3, 3, 5, 6, 8, 8, 9
এখানে n = 9
∴ মধ্যমা = ⁿ⁺¹/₂ তম পদ
= ⁹⁺¹/₂ তম পদ
= ¹⁰/₂ তম পদ
= 5 তম পদ = 5]

Complete Solution of MP-17

2. শূন্যস্থান পূরণ কর (যে কোনো পাঁচটি) 1×5=5

(i) কোনো মূলধনের বার্ষিক শতকরা একই সুদের হারে __________ বছরের সরলসুদ ও চক্রবৃদ্ধি সুদের পরিমাণ সমান।
Ans: এক

(ii) ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) দ্বিঘাত সমীকরণের b² = 4ac হলে ধীজদ্বয় বাস্তব ও __________ হবে।
Ans: সমান

(iii) দুটি ত্রিভুজের বাহুগুলির দৈর্ঘ্যের পরিমাপ সমানুপাতে থাকলে ত্রিভুজ দুটি __________ হবে।
Ans: সদৃশ

(iv) cos²θ – sin²θ = ¹/_x (x > 1), হলে cos⁴θ – sin⁴θ  __________
Ans: ¹/_x
[cos⁴θ – sin⁴θ
= (cos²θ)² – (sin²θ)²
= (cos²θ + sin²θ)(cos²θ – sin²θ)
= 1×¹/_x
= ¹/_x]

(v) একটি নিরেট অর্ধগোলকের সমতল সংখ্যা __________।
Ans: একটি

(vi) x₁, x₂, x₃ …….. x_n এই n সংখ্যক সংখ্যার গড় x হলে Kx₁, Kx₂, Kx₃ …….. Kx_n এর গড় __________ (K≠ 0)
Ans: Kx̄
[ ^{x₁+x₂+x₃+ …….. +x_n}/_n = x̄
∴ ^{Kx₁+Kx₂+Kx₃+ …….. +Kx_n}/_n
⇒ ^{K(x₁+x₂+x₃+ …….. +x_n)}/_n
= Kx̄]

Complete Solution of MP-17

3. সত্য বা মিথ্যা লেখ (যে কোনো পাঁচটি) 1×5=5

(i) A 10,000 টাকা দিয়ে ব্যবসা শুরু করার 6 মাস পরে B 20,000 টাকা দিল। বৎসরান্তে তাদের লভ্যাংশের পরিমাণ সমান হবে।
Ans: সত্য
[A B এর মূলধনের অনুপাত
= 10,000×12 : 20,000×6
= 120,000 : 120,000
= 1 : 1
লভ্যাংশের অনুপাত = মূলধনের অনুপাত = 1 : 1]

(ii) x = 2 + √3 হলে x + ¹/_x – এর মান হবে 2√3

Ans: মিথ্যা
[ x = 2 + √3
∴ ¹/_x = ¹/_{2 + √3}
= ^{2 – √3}/_{(2 + √3)(2 – √3)}
= ^{2 – √3}/_{(2)² – (√3)²}
= ^{2 – √3}/_4-3
= 2 – √3
∴ X + ¹/_x = 2 + √3 + 2 – √3 = 4]

(iii) 7 সেমি ও 3 সেমি ব্যাসার্ধবিশিষ্ট দুটি বৃত্ত বহিঃস্পর্শ করলে তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব 4 সেমি হবে।
Ans: মিথ্যা
[7 সেমি ও 3 সেমি ব্যাসার্ধবিশিষ্ট দুটি বৃত্ত বহিঃস্পর্শ করলে তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব হবে
= (7 + 3) সেমি = 10 সেমি

(iv) 0^o < θ < 90^o হলে sinθ > sin²θ হবে।
Ans: সত্য

(v) একটি অর্ধগোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 36π বর্গ সেমি ক্ষেত্রফল হলে উহার ব্যাসার্ধ 3 সেমি হবে।
Ans: সত্য
[ধরি, অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধ r সেমি
∴ 3πr² = 36π
⇒ r² = 12
⇒ r² = 2√3]

(vi) ওজাইভ দুটির ছেদবিন্দু থেকে x অক্ষের উপর লম্ব টানলে, x অক্ষ ও লম্বের ছেদবিন্দুর ভুজই হল মধ্যমা।
Ans: সত্য

Complete Solution of MP-17

4. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দাও (যে কোনো দশটি) 2×10=20

(i) r% হার চক্রবৃদ্ধি সুদে কোনো মূলধন 8 বছরে দ্বিগুণ হলে চারগুণ হবে কত বছরে?

Solution:
ধরি, মূলধনের পরিমাণ P টাকা
চক্রবৃদ্ধি সুদের হার r%
P টাকা 8 বছরে দ্বিগুণ হয়।

Ans: 16 বছরে চারগুণ হবে

(ii) কোনো এক ব্যবসায় A-এর মূলধন B-এর মূলধনের দেড়গুণ। ওই ব্যবসায় বৎসরান্তে B 1,500 টাকা লভ্যাংশ পেলে, A কত টাকা পাবে?

Solution:
ধরি, B-এর মূলধন x টাকা
∴ A-এর মূলধন = x × .1¹/₂ টাকা
= ^3x/₂ টাকা
∴ A ও B-এর মূলধনের অনুপাত
= ^3x/₂ : x
= ³/₂ : 1
= 3 : 2
আরও ধরি A লভ্যাংশ পাবে p টাকা
B লভ্যাংশ পায় 1,500 টাকা
∵ লভ্যাংশের অনুপাত = মূলধনের অনুপাত
∴ p : 1,500 = 3 : 2
বা, p = 1,500 × ³/₂
বা, p = 750×3
বা, p = 2250
Ans: A পাবে 2250 টাকা ।

Complete Solution of MP-17

(iv) x ∝ yz এবং y ∝ zx হলে, দেখাও যে, z (≠ 0) একটি ধ্রুবক।
Solution:
x ∝ yz এবং y ∝ zx
⇒ x = kyz – – – – [k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
এবং
y ∝ zx
⇒ y = mzx – – – – [m একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
⇒ y = mz.kyz – – – – [∵ x = kyz]
⇒ 1 = mkz²
⇒ z² = ¹/_mk
⇒ z = ¹/_√mk
∴ z = ধ্রুবক (Proved)

(v) একটি সদৃশ ত্রিভুজের পরিসীমা যথাক্রমে 20 সেমি ও 16 সেমি, প্রথম ত্রিভুজের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য  9 সেমি হলে, দ্বিতীয় ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

Solution:
দুটি সদৃশ ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলির অনুপাত তাদের পরিসীমার অনুপাতের সমান হয়।
এখানে সদৃশ ত্রিভুজের পরিসীমার অনুপাত = 20 : 16 = 5 : 4
প্রথম ত্রিভুজের একটি বাহু 7 সেমি।
ধরি, দ্বিতীয় ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুর দৈর্ঘ্য x সেমি
∴ 9 : x = 5 : 4
বা, ⁹/_x = ⁵/₄
বা, 5x = 36
বা, x = ³⁶/₅
∴ x = 7.2
Ans: দ্বিতীয় ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুর দৈর্ঘ্য 7.2 সেমি

(vi) △ABC এর ∠ABC = 90^o, AB = 5 সেমি, BC = 12 সেমি হলে ত্রিভুজটির পরিব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত?

Solution:
△ABC এর ∠ABC = 90^o,
AB = 5 সেমি,
BC = 12 সেমি.
ABC সমকোণী ত্রিভুজের
AC² = AB² + BC²
⇒ AC² = (5)² + (12)²
⇒ AC² = 25 + 144
⇒ AC² = 169
∴ AC = 13
∴ ABC সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 13 সেমি.
সমকোণী ত্রিভুজের পরিবৃত্তের কেন্দ্র ঐ ত্রিভুজের অতিভুজের মধ্যবিন্দুতে অবস্থিত হয়।
Ans: ত্রিভুজটির পরিব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য ¹³/₂ = 6.5 সেমি.

(vii) ABC ত্রিভুজের AB = (2a – 1) সেমি, AC = 2√2a সেমি এবং BC = (2a + 1) সেমি হলে ∠BAC এর মান লেখো।
Solution:
ABC ত্রিভুজের,
AB = (2a – 1) সেমি,
AC = 2√2a সেমি এবং
BC = (2a + 1) সেমি
∴ AB² + AC²
= (2a – 1)² + (2√2a)²
= 4a² – 4a + 1 + 8a
= 4a² + 4a + 1
= (2a – 1)² = BC²
∴ BC² = AB² + AC²
∴ ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার অতিভুজ BC
∴ ∠BAC সমকোণ
∴ ∠BAC = 90^o
Ans: ∠BAC এর মান 90^o

(viii) x = asecθ, y = btanθ হলে x এবং y এর θ বর্জিত সম্পর্ক নির্ণয় করো।
Solution:
x = asecθ
∴ ^x/_a = secθ
বা, ^x2/_a² = sec²θ – – – – (i)
y = btanθ
∴ ^y/_b = tanθ
বা, ^y2/_b² = tan²θ – – – – (ii)
(i) – (ii) করে পাই,
^x2/_a² – ^y2/_b² = sec²θ – tan²θ
⇒ ^x2/_a² – ^y2/_b² = 1 – – – – [∵ sec²θ – tan²θ= 1]
Ans: θ বর্জিত সম্পর্কটি হল ^x2/_a² – ^y2/_b² = 1

Complete Solution of MP-17

(ix) tan(θ + 15^o) = √3 হলে sinθ + cosθ -এর মান নির্ণয় করো।

Solution:
tan(θ + 15^o) = √3
⇒ tan(θ + 15^o) = tan60^o
⇒ θ + 15^o = 60^o
⇒ θ = 60^o – 15^o
⇒ θ = 45^o
∴ sinθ + cosθ
= sin45^o + cos45^o
= ¹/_√2 + ¹/_√2
= ¹⁺¹/_√2
= ²/_√2
= √2
Ans: sinθ + cosθ -এর মান √2

(x) একটি গোলকের ব্যাস অপর একটি গোলকের ব্যাসের দ্বিগুণ। যদি বড় গোলকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের সাংখ্যমান ছোট গোলকটির আয়তনের সাংখ্যমানের সমান হয়, তবে ছোট গোলকটির ব্যাসার্ধ কত?

Solution:
ধরি, ছোট গোলকটির ব্যাস 2r একক এবং বড় গোলকটির ব্যাস 4r একক
∴ ছোট গোলকটির ব্যাসার্ধ r একক এবং বড় গোলকটির ব্যাসার্ধ 2r একক
বড় গোলকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= 4π(2r)² বর্গ একক
= 16πr² বর্গ একক

ছোট গোলকটির আয়তন
= ⁴/₃πr³ ঘন একক
∵ বড় গোলকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের সাংখ্যমান = ছোট গোলকটির আয়তনের সাংখ্যমান
∴ 16πr² = ⁴/₃πr³
বা, 48πr² = 4πr³
বা, 12 = r
∴ r = 12
Ans: ছোট গোলকটির ব্যাসার্ধ 12 একক

(xi) একটি আয়তঘনকের তলসংখ্যা x, ধার সংখ্যা y, শীর্ষবিন্দুর সংখ্যা z এবং কর্ণের সংখ্যা P হলে x – y + z + P এর মান কত?
Solution:
আয়তঘনকের তলসংখ্যা x = 6,
ধার সংখ্যা y = 12,
শীর্ষবিন্দুর সংখ্যা z = 8 এবং
কর্ণের সংখ্যা P = 4
∴ x – y + z + P
= 6 – 12 + 8 + 4
= 6
Ans: x – y + z + P এর মান 6

(xii) 11, 12, 14, x – 2, x + 4, x + 9, 32, 38, 47 রাশিগুলি ঊর্ধ্বক্রমানুসারে সাজানো এবং তাদের মধ্যমা 24 হলে x এর মান নির্ণয় কর।
Solution:
এখানে রাশির সংখ্যা 9 (অযুগ্ম)
∴ মধ্যমা = ⁿ⁺¹/₂-তম রাশির মান
= ⁹⁺¹/₂-তম রাশির মান
= ¹⁰/₂ = 5-তম রাশির মান
= x + 4
প্রশ্নানুযায়ী
x + 4 = 24
∴ x = 20
Ans: x এর মান 20

Complete Solution of MP-17

5. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 5

(i) বার্ষিক 4% হার সুদে কত টাকার 2 বছরের সরল সুদ ও চক্রবৃদ্ধি সুদেরঅন্তর 80 টাকা হবে?

Solution:
ধরি, আসল = P টাকা।
চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সরল সুদের অন্তর 80 টাকা
  ধরি, 2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ = I₁
  প্রদত্ত, 
        বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার (r) = 4%
        সময় (t) = 2 বছর।
  আমরা জানি,
2 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ

2 বছরের সরল সুদ

প্রশ্নানুযায়ী,

⇒ P = 625×8
∴ P =50000
Ans: 50000 টাকার 2 বছরের সরল সুদ ও চক্রবৃদ্ধি সুদের অন্তর 80 টাকা হবে।

(ii) A, B, C যৌথভাবে 1,90,000 টাকা দিয়ে একটি ব্যবসা শুরু করল। A, B এর থেকে 20,000 টাকা বেশি এবং B, C এর থেকে 20,000 টাকা বেশি দিল। লাভের পরিমাণ 10,800 টাকা তাদের মধ্যে ভাগ করে দাও।

Solution:
ধরি C-এর মূলধনের x টাকা
∴ B-এর মূলধনের (x + 20000) টাকা এবং
A-এর মূলধনের [(x + 20000) + 20000] টাকা = (x + 40000) টাকা
প্রশ্নানুযায়ী,
(x + 40000) + (x + 20000) + x = 180000
বা, 3x + 60000 = 180000
বা, 3x = 180000 – 60000
বা, 3x = 120000
বা, x = 40000
∴ A, B ও C-এর মূলধনের অনুপাত
= (40000 + 40000) : (40000 + 20000) : 40000
= 80000 : 60000 : 40000
= 8 : 6 : 4
= 4 : 3 : 2
∴ 10800 টাকার মধ্যে,
A পাবে = 10800×⁴/₄₊₃₊₂ টাকা
= 10800×⁴/₉ টাকা
= 1200×4 টাকা
= 4800 টাকা
B পাবে = 1200×3 টাকা
= 3600 টাকা
C পাবে = 1200×3 টাকা
= 3600 টাকা
Ans: A পাবে 4800 টাকা,
B পাবে 3600 টাকা ও
C পাবে 2400 টাকা

6. যে কোনো একটি সমাধান কর: 3

⇒ x² + ax + bx = -ab
⇒ x² + ax + bx + ab = 0
⇒ x(x + a) + b(x + a) = 0
⇒ (x + a)(x + b) = 0
হয় x + a = 0 নতুবা x + b = 0
∴ x = -a ∴ x = -b
Ans: নির্ণেয় সমাধানঃ x = – a এবং  x = – b

(ii) একটি অখণ্ড ধনাত্মক সংখ্যার পাঁচগুণ, তার বর্গের দ্বিগুণ অপেক্ষা 3 কম হলে সংখ্যাটি কত?
Solution:
ধরি, অখণ্ড ধনাত্মক সংখ্যাটি হল x
প্রশ্নানুযায়ী,
2x² – 5x = 3
⇒ 2x² – 5x – 3 = 0
⇒ 2x² – 6x + x – 3 = 0
⇒ 2x(x – 3) + 1(x – 3) = 0
⇒ (x – 3)(2x + 1) = 0
হয় (x – 3) = 0  নতুবা (2x + 1) = 0
বা, x = 3  বা, x = – 1/2
∵ সংখ্যাটি অখণ্ড ধনাত্মক সংখ্যা 
x ≠ – ½  
∴ x = 3
Ans: অখণ্ড ধনাত্মক সংখ্যাটি 3

Complete Solution of MP-17

7. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

(i) সরল কর:

= √3 – √2 – √3 + 1 + √2 – 1
= 0
Ans: নির্ণেয় সরলমান 0

(ii) একটি হোস্টেলের ব্যয় আংশিক ধ্রুবক ও আংশিক ঐ হোস্টেলের আবাসিকদের সংখ্যার সঙ্গে সরলভেদে আছে। আবাসিক সংখ্যা 120 হলে ব্যয় 2000 টাকা এবং আবাসিক সংখ্যা 100 হলে ব্যয় 1700 টাকা হয়। ব্যয় 1880 টাকা হলে হোস্টেলের আবাসিক সংখ্যা কত হবে?

Solution:
ধরি, হোস্টেলের ব্যয় C টাকা যার মধ্যে C₁ ধ্রুবক এবং C₂ আবাসিকদের সংখ্যা N-এর সঙ্গে সরলভেদে আছে।
∴ C = C₁ + C₂
∴ C₂ ∝ N
বা, C₂ = kN – – – – [k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
∴ C = C₁ + kN – – – – (i)
N = 120 হলে C = 2000 হয়।
(i) নং থেকে পাই,
2000 = C₁ + k×120
বা, 2000 = C₁ + 120k – – – – (ii)
N = 100 হলে C = 1700 হয়।
(i) নং থেকে পাই,
1700 = C₁ + k×100
বা, 1700 = C₁ + 100k – – – – (iii)

(ii) – (iii) করে পাই,
C₁ + 120k – (C₁ + 100k) = 2000 – 1700
বা, C₁ + 120k – C₁ – 100k = 300
বা, 20k = 300
বা, k = 15
(ii) নং সমীকরণে k = 15 বসিয়ে পাই,
2000 = C₁ + 15×120
বা, 2000 = C₁ + 1800
∴ C₁ = 200
(i) নং সমীকরণে C₁ ও k-এর মান বসিয়ে পাই,
C = 200 + 15N
C = 1880 হলে,
1880 = 200 + 15N
⇒ 15N =1880 – 200
⇒ 15N =1680
⇒ N =112
Ans: ব্যয় 1880 টাকা হলে হোস্টেলের আবাসিক সংখ্যা হবে 112 জন।

8. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

হয়, তবে প্রমাণ কর যে, প্রত্যেকটি অনুপাতের মান হয় ¹/₂ অথবা -1

প্রত্যেকটি অনুপাতের মান হয় (সংযোজন প্রক্রিয়া প্রয়োগ করে পাই)

প্রত্যেকটি অনুপাতের মান হয়

(ii) যদি (b + c − a) x = (c + a – b)y = (a + b – c) z = 2, হয়, তবে দেখাও যে

Solution:
∵ (b + c − a)x = (c + a – b)y = (a + b – c)z = 2
∴ (b + c − a)x = 2
বা, ^{b + c − a}/₂ = ¹/_x
(c + a – b)y = 2
বা, ^{c + a − b}/₂ = ¹/_y
(a + b – c) z = 2
বা, ^{a + b – c}/₂ = ¹/_z

Complete Solution of MP-17

9. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও? 5

(i) যে কোনো ত্রিভুজের একটি বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান হলে প্রমাণ কর প্রথম বাহুর বিপরীত কোণটি সমকোণ হবে।