Author: TEAM PROSTUTI

Complete Solution of MP-20 Mathematics

Complete Solution of MP-20

মাধ্যমিক গণিত ২০২০ সমাধান

2020 সালের মাধ্যমিক পরীক্ষার গণিত প্রশ্নপত্র-এর সম্পূর্ণ সমাধান || মাধ্যমিক গণিত ২০২০

2020
MATHEMATICS
Compulsory
Time- 3 Hours 15 Minutes
(First 15 minutes for reading the question paper)
Full Marks 90- For Regular Candidates
100- For External Candidates

2021 করোনার জন্য মাধ্যমিক পরীক্ষা হয় নি।

[1, 2, 3, 4 প্রশ্নগুলোর উত্তর প্রশ্নসংখ্যা লিখে অবশ্যই ক্রমানুযায়ী প্রথম দিকে লিখতে হবে। এর জন্য প্রয়োজনবোধে গণনা ও চিত্র অঙ্কন উত্তরপত্রের ডানদিকে মার্জিন টেনে করতে হবে। কোনো প্রকার সারণি বা গণক যন্ত্র ব্যবহার করা যাবে না।গণনার প্রয়োজনে π-এর আসন্ন মান 22/7 ধরে নিতে হবে। দরকার মতো গ্রাফ পেপার দেওয়া হবে। পাটীগণিতের অঙ্ক বীজগাণিতিক পদ্ধতিতে করা যেতে পারে।

Complete Solution of MP-20

1. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির প্রতিটি ক্ষেত্রে সঠিক উত্তরটি নির্বাচন করো: 1×6=6

(i) কোনো মূলধন 10 বছরে দ্বিগুণ হলে, বার্ষিক সরল সুদের হার-
(a) 5% (b) 10% (c) 15% (d) 20%
Ans: (b) 10%
[ ধরি, আসল = x টাকা
মূলধন 10 বছরে দ্বিগুণ হলে সুদ হবে x টাকা
সময় = t বছর
∴ x = ^x×10×r/₁₀₀
বা, 1 = ^r/₁₀
বা, r = 10]

(ii) x² – 7x + 3 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুণফল
(a) 7 (b) -7 (c) 3 (d) -3
Ans: (c) 3

(iii) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ও CD জ্যা দুটির দৈর্ঘ্য সমান, ∠AOB = 60^o হলে, ∠COD-এর মান হবে –
(a) 30^o (b) 60^o (c) 120^o (d) 180^o
Ans: (b) 60^o
[∵ বৃত্তের সমান দৈর্ঘ্যের জ্যা বৃত্তের কেন্দ্রে সমান সন্মুখ কোণ উৎপন্ন করে।]

(iv) দুটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তনের অনুপাত 1:4 এবং তাদের ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 4:5 হলে, তাদের উচ্চতার অনুপাত(a) 1:5 (b) 5:4 (c) 25:16 (d) 25:64
Ans: (d) 25:64
[ধরি,, দুটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা যথাক্রমে h₁ ও h₂ এবং ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 4r একক এবং 5r একক।
প্রশ্নানুসারে,

$\Large{\quad\frac{\frac{1}{3}π(4r)^2h_1}{\frac{1}{3}π(5r)^2h_2}=\frac{1}{4}\\⇒\frac{16r^2×h_1}{25r^2×h_2}=\frac{1}{4}\\⇒\frac{16h_1}{25h_2}=\frac{1}{4}\\⇒\frac{h_1}{h_2}=\frac{25}{64}]}$

(v) যদি sinθ – cosθ = 0, (0^o ≤ θ ≤ 90^o) এবং secθ + cosecθ = x হয়, তাহলে x-এর মান-
(a) 1 (b) 2 (c) √2 (d) 2√2
Ans: (d) 2√2
[ sinθ – cosθ = 0
⇒ sinθ = cosθ
⇒ sinθ = sin(90^o – θ)
⇒ θ = 90^o – θ
⇒ 2θ = 90^o
⇒ θ = 45^o
secθ + cosecθ = x
⇒ sec45^o + cosec45^o = x
⇒ √2 + √2 = x
⇒ 2√2 = x

(vi) 1, 3, 2, 8, 10, 8, 3, 2, 8, 8 -এর সংখ্যাগুরু মান-
(a) 2 (b) 3 (c) 8 (d) 10
Ans: (c) 8
[1, 3, 2, 8, 10, 8, 3, 2, 8, 8 কে মানের উর্ধক্রমে সাজিয়ে পাই
1, 2, 2, 3, 3, 8, 8, 8, 8, 10]

Complete Solution of MP-20

2. শূন্যস্থান পুরণ করো (যে-কোনো পাঁচটি): 1×5=5

(i) আনিসুর 600 টাকা 9 মাসের জন্য এবং ডেভিড 500 টাকা 5 মাসের জন্য একটি যৌথ ব্যবসায় নিয়োজিত করে। তাদের লভ্য্যাংশের অনুপাত হবে ________।
Ans: 3 : 2
[আনিসুর ও ডেভিডের মূলধনের অনুপাত
= 500×9 : 600×5
= 4500 : 3000
= 45 : 30
= 3 : 2
∵ লভ্যাংশের অনুপাত = মূলধনের অনুপাত
∴ লভ্যাংশের অনুপাত = 18 : 25]

(ii) ax² + 2bx + c = 0 (a≠ 0) দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে, b² = ________ হবে।

Ans: ac
[দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে নিরূপক শূন্য হয়।
∴ (2b)² – 4ac = 0
⇒ 4b2 – 4ac = 0
⇒ 4b2 = 4ac
⇒ b2 = ac হবে।]

(iii) দুটি কোণের সমষ্টি ________ হলে তাদেরকে পরস্পরের সম্পূরক বলা হয়।
Ans:. 180^o

(iv) sin3θ -এর সর্বোচ্চ মান ________ হবে।
Ans: 1
[0 ≤ sinθ ≥ 1 হয়
∴ 0 ≤ sin3θ ≥ 1
∴sin3θ -এর সর্বোচ্চ মান 1 হবে।]

(v) একটি নিরেট গোলককে গলিয়ে একটি নিরেট লম্ববৃত্তাকার চোঙ তৈরি করা হলে, গোলক ও চোঙের ________ সমান হবে।
Ans: আয়তন

(vi) কিছু ছাত্রের বয়স হল (বছর) 10, 11, 9, 7, 13, 8, 14। এদের বয়সের মধ্যমা হল ________ বছর।
Ans: 10
[ছাত্রেদের বয়স মানের উর্দ্ধক্রমে সাজিয়ে পাই 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14
এখানে তথ্যের সংখ্যা 7(অযুগ্ম)
∴ মধ্যমা = ⁿ⁺¹/₂ তম পদ
= ⁷⁺¹/₂ তম পদ
= ⁸/₂ তম পদ
= 4 তম পদ= 10]

Complete Solution of MP-20

3. সত্য মিথ্যা লেখো (যে-কোনো পাঁচটি): 1×5=5

(i) বার্ষিক ^r/₂% সরল সুদের হারে 2p টাকার t বছরের সুদে-আসলে হল 2p + ^prt/₁₀₀ টাকা।
Ans: সত্য
[ ^r/₂% সরল সুদের হারে 2p টাকার t বছরের সুদ
= ^prt/₁₀₀টাকা।
∴ t বছরের সুদ-আসল
= 2p + ^prt/₁₀₀ টাকা।]

(ii) 2a = 3b = 4c হলে, a : b : c = 2 : 3 : 4 হবে।

Ans: মিথ্যা
[ 2a = 3b = 4c =k(ধরি)
∴ 2a = k; ∴ a = ^k/₂;
3b = k; ∴ b = ^k/₃;
4c = k ∴ c = ^k/₄;
∴ a : b : c
= ^k/₂ : ^k/₃ : ^k/₄
= ^k/₂×12 : ^k/₃×12 : ^k/₄×12
= 6 : 4 :3]

(iii) একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্যের অনুপাত 5 : 12 : 13 হলে, ত্রিভুজটি সর্বদা সমকোণী ত্রিভূজ হবে।
Ans: সত্য
[ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্যের অনুপাত 5 : 12 : 13
ধরি ত্রিভুজের বাহু তিনটি 5x একক, 12x একক ও 13x একক
∴ (5x)² + (12x)²
= 25x² +144x²
= 169x²
= (13x)²
∴ (13x)² = (5x)² + (12x)²
∴ ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভূজ।]

(iv) একটি রশ্মির প্রান্তবিন্দুকে কেন্দ্র করে, রশ্মিটিকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘোরার জন্য উৎপন্ন কোণটি ধনাত্মক হবে।
Ans: সত্য

(v) n যদি যুগ্মসংখ্যা হয়, তবে মধ্যমা হবে- (ⁿ/₂)-তম ও (ⁿ/₂ – 1)-তম পর্যবেক্ষণের গড়।
Ans: মিথ্যা
[n যুগ্মসংখ্যা হলে মধ্যমা হয়- (ⁿ/₂)-তম ও (ⁿ/₂ + 1)-তম পর্যবেক্ষণের গড়]

(vi)একটি লম্ববৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য অর্ধেক এবং উচ্চতা দ্বিগুণ করা হলে শঙ্কুটির আয়তন একই থাকে।
Ans: মিথ্যা
[ধরি লম্ববৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধ r একক এবং উচ্চতা h একক।
∴লম্ববৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন (V)
= ¹/₃×πr²h ঘন একক
ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য অর্ধেক এবং উচ্চতা দ্বিগুণ করা হলে শঙ্কুটির আয়তন হয়
= ¹/₃×π(^r/₂)²×2h ঘন একক
= ¹/₃×π×^r²/₄×2h ঘন একক
= ¹/₃×π×^r²/₂×h ঘন একক
= ¹/₂×¹/₃×πr²h ঘন একক
= ¹/₂×V ঘন একক
∴ ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য অর্ধেক এবং উচ্চতা দ্বিগুণ করা হলে শঙ্কুটির আয়তন পূর্বের আয়তনের অর্ধেক হয়।]

Complete Solution of MP-20

4. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দাও (যে-কোনো দশটি): 2×10=20

(i) কোনো আসল ও তার 5 বছরের সবৃদ্ধিমূলের অনুপাত 5:6 হলে, বার্ষিক সরল সুদের হার নির্ণয় করো।
Solution:
ধরি আসল ও তার 5 বছরের সবৃদ্ধিমূল যথাক্রমে 5x টাকা ও 6x টাকা ।
আসল(P) = 5x টাকা
∴ সুদ(I) = (6x -5x) টাকা = x টাকা
সময়(t) = 1 বছর
বার্ষিক সরল সুদের হার
= ^x×100/_5x.5 – – – – [ r=^100I/_Pt সুত্র থেকে পাই]
= 4%
Ans: বার্ষিক সরল সুদের হার 4%

(ii) A এবং B কোনো ব্যবসায় 1,050 টাকা লাভ করে। A-এর মূলধন 900 টাকা এবং লভ্যাংশ 630 টাকা হলে B-এর মূলধন কত?

Solution:
ধরি B-এর মূলধন x টাকা
A-এর মূলধন 900 টাকা এবং লভ্যাংশ 630 টাকা
∴ B-এর লভ্যাংশ (1050-630) টাকা = 420 টাকা
∵ মূলধনের অনুপাত = লভ্যাংশের অনুপাত
∴ ⁹⁰⁰/_x = ⁶³⁰/₄₂₀
⇒ ⁹⁰⁰/_x = ³/₂
⇒ x = 900×²/₃
∴ x = 600
Ans: B-এর মূলধন 600 টাকা

(iii) x∝y, y∝z এবংz∝x হলে, ভেদ ধ্রুবক তিনটির গুণফল নির্ণয় করো।
Solution:
x ∝ y
∴ x = ky – – – [k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক] – – (i)
y ∝ z
∴ y = mz – – – [m একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক] – – (ii)
z ∝ x
∴ z = nx – – – [n একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক] – – (iii)
(i)×(ii)×(iii) করে পাই,
xyz = ky×mz×nx
⇒ 1 = kmn
Ans: ভেদ ধ্রুবক তিনটির গুণফল ধ্রুবক।

(iv) 5x² – 2x + 3 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদুটি α ও β হলে ¹/_α + ¹/_β-এর মান নির্ণয় করো।

Solution:
5x² – 2x + 3 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদুটি α ও β
∴ α + β = ^-(-2)/₅
= ²/₅
α × β =³/₅
∴ ¹/_α + ¹/_β
= ^{β + α}/_αβ
= ^²/₅/_³/₅
= ²/₃
Ans: ¹/_α + ¹/_β-এর মান ²/₃

Complete Solution of MP-20

(v) ABCD আয়তকার চিত্রের অভ্যন্তরে O বিন্দু এমনভাবে অবস্থিত যে, OB = 6 সেমি, OD=8 সেমি এবং OA = 5সেমি।OC-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
Solution:
এখানে OB = 6 সেমি,
OD =8 সেমি এবং
OA = 5 সেমি।
ABCD আয়তকার চিত্রের অভ্যন্তরে O বিন্দু অবস্থিত।
∴ OA² + OC² = OB² + OD²
⇒ 5² + OC² = 6² + 8²
⇒ 25 + OC² = 36 + 64
⇒ OC² = 100 – 25
⇒ OC² = 75
∴ OC = 5√3
Ans: OC-এর দৈর্ঘ্য 5√3 সেমি.

(vi) ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠ABC = 90^o, AB= 3 সেমি এবং BC = 4 সেমি এবং B বিন্দু থেকে AC বাহুর ওপর লম্ব BD যা AC বাহুর সঙ্গে D বিন্দুতে মিলিত হয়। BD-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
Solution:

ABC সমকোণী ত্রিভুজের,
∠ABC = 90^o,
AB= 3 সেমি এবং BC = 4 সেমি
∴ AC² = AB² + BC²
⇒ AC² = 3² + 4²
⇒ AC² = 9 + 16
⇒ AC² = 25
⇒ AC² = 5²
∴ AC = 5
ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
= ¹/₂×AB×BC
= ¹/₂×3×4 বর্গ সেমি.
= 6 বর্গ সেমি. – – – (i)
অবার B বিন্দু থেকে AC বাহুর ওপর লম্ব BD
∴ ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
= ¹/₂×AC×BD
= ¹/₂×5×BD বর্গ সেমি.
= ⁵/₂×BD বর্গ সেমি – – – (ii)
(i) ও (ii) থেকে পাই,
⁵/₂×BD = 6
বা, BD = ¹²/₅ = 2.4
Ans: BD-এর দৈর্ঘ্য 2.4 সেমি.

(vii) দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 8 সেমি এবং 3 সেমি। তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব 13 সেমি। বৃত্ত দুটির সরল সাধারণ স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কত?
Solution:
প্রথম বৃত্তের ব্যাসার্ধ(r₁) = 8 সেমি.
দ্বিতীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ(r₂) = 3 সেমি.
কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব (d) = 13 সেমি.
∴ বৃত্ত দুটির সরল সাধারণ স্পর্শকের দৈর্ঘ্য

$\Large{=\sqrt{d^2-(r_1-r_2)^2}\\=\sqrt{(13)^2-(8-3)^2}\\=\sqrt{169-25}\\=\sqrt{144}\\=12}$

Ans: বৃত্ত দুটির সরল সাধারণ স্পর্শকের দৈর্ঘ্য 12 সেমি.

Fb_Prostuti — **আমাদের লেটেস্ট পোস্টের আপডেট পেতে আমাদের ফেসবুক পেজে জয়েন করতে পারো ।**

(viii) একটি ঘড়ির ঘণ্টার কাঁটা 1 ঘণ্টায় যে কোণ আবর্তন করে তার বৃত্তীয় মান কত?
Solution:
ঘণ্টার কাঁটা 12 ঘণ্টায় আবর্তন করে 360^o
ঘণ্টার কাঁটা 1 ঘণ্টায় আবর্তন করে ^{360^o}/₁₂
= ^{360^o}/₁₂×^π/₁₈₀
= ^π/₆
Ans: ঘণ্টার কাঁটা 1 ঘণ্টায় যে কোণ আবর্তন করে তার বৃত্তীয় মান ^π/₆

Complete Solution of MP-20

(ix) tan4θ.tan6θ = 1 এবং 6θ ধনাত্মক সূক্ষ্মকোণ হলে, θ-এর মান নির্ণয় করো। ।
Solution:
tan4θ.tan6θ = 1
⇒ tan4θ = ¹/_tan6θ
⇒ tan4θ = cot6θ
⇒ tan4θ = tan(90^o – 6θ)
⇒ 4θ = 90^o – 6θ
⇒4θ + 6θ = 90^o
⇒ 10θ = 90^o
∴ θ = 9^o
Ans: θ-এর মান 9^o

(x) একটি লম্ববৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা 12 সেমি এবং আয়তন 100π ঘনসেমি। শঙ্কুটির তির্যক উচ্চতা নির্ণয় করো।
Solution:
লম্ববৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা(h) = 12 সেমি এবং আয়তন 100π ঘনসেমি।
ধরি, শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধ r সেমি. এবং
শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা l
∴ ¹/₃×πr²h = 100π
বা, ¹/₃×r²×12 = 100
বা, 4r² = 100
বা, r² = 25
বা, r² = 5²
বা, r = 5
আবার
l² = h² + r²
⇒ l² = (12)² + (5)²
⇒ l² = 144 + 25
⇒ l² = 169
⇒ l² = (13)²
∴ l = 13
Ans: শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা 13 সেমি.।

(xi) দুটি গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 1: 4 হলে, তাদের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় করো।

Solution:
দুটি গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 1:4।
ধরি, গোলক দুটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে r₁ একক এবং r₂ একক।
∴ দুটি গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল যথাক্রমে 4πr₁² বর্গ একক এবং 4πr₂² বর্গ একক
প্রশ্নানুযায়ী,

$\Large{\quad\frac{4πr_1^2}{4πr_2^2}=\frac{1}{4}\\⇒\frac{r_1^2}{r_2^2}=\frac{1}{4}\\⇒\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2\\⇒\frac{r_1}{r_2}=\frac{1}{2}⇒}$

∴ দুটি গোলকের আয়তনের অনুপাত

$\Large{=\frac{\frac{4}{3}πr_1^3}{\frac{4}{3}πr_2^3}\\=\frac{r_1^3}{r_2^3}\\=\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3\\=\left(\frac{1}{2}\right)^3\\=\frac{1}{8}\\1:8}$

Ans: দুটি গোলকের আয়তনের অনুপাত 1 : 8

$\large{\mathbf{(xii)\quad u_i=\frac{x_i-35}{10},\quad Σf_iu_i=30}}$ এবং Σfi = 60 হয়, তাহলে x̄-এর মান নির্ণয় করো।

Solution: এখানে A = 35 h = 10

$\large{\quad \bar{x}=A+\frac{Σf_iu_i}{Σf_i}×h\\⇒\bar{x}=35+\frac{30}{60}×10\\⇒\bar{x}=35+\frac{1}{2}×10\\⇒\bar{x}=35+5=40}$

Ans: x̄-এর মান 40

Complete Solution of MP-20

5. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5×1=5

(i) তোমার কাকার কারখানায় একটি মেশিনের মূল্য প্রতি বছর 10% হারে হাসপ্রাপ্ত হয়। মেশিনটির বর্তমান মূল্য 6000 টাকা হলে, 3 বছর পরে ওই মেশিনের মূল্য কত হবে?

Solution:
মেশিনের বর্তমান মূল্য (P) = 6000 টাকা
মূল্য হ্রাসের হার (r) = 10%
সময় (n) = 3 বছর
3 বছর পরে মেশিনটির মূল্য হবে

$\Large{=P\left( {1 -\frac{r}{100}} \right)^n\\=6000\left( {1 – \frac{10}{100}} \right)^3\\=6000\left( {1 -\frac{1}{10}}\right)^3\\=6000\left( {\frac{9}{10}} \right)^3\\=6000×{\frac{9×9×9}{10×10×10}}}$

= 6×9×9×9 টাকা
= 4374 টাকা
Ans: 3 বছর পরে মেশিনটির মূল্য হবে 4374 টাকা।

(ii) তিন বন্ধু যথাক্রমে 1,20,000 টাকা, 1,50,000 টাকা ও 1,10,000 টাকা মূলধন নিয়ে একটি বাস ক্রয় করে। প্রথম জন ড্রাইভার ও বাকি দুজন কন্ডাক্টরের কাজ করে। তারা ঠিক করে যে, সেই আয়ের ²/₅ অংশ কাজের জন্য 3 : 2 : 2 অনুপাতে ভাগ করবে এবং বাকি টাকা মূলধনের অনুপাতে ভাগ করে নেবে। কোনো এক মাসে যদি 29,260 টাকা আয় হয়, তবে কে কত টাকা পাবে নির্ণয় করো।

Solution:
তিনবন্ধুর মুলধনের অনুপাত
= 120000 : 150000 : 110000
= 12 : 15 : 11
এক মাসে 29260 টাকা লাভ হয়।
29260 টাকার ²/₅ অংশ
= 29260×²/₅ টাকা
= 5852×2 টাকা
= 11704 টাকা
তিন বন্ধু 11704 টাকা কাজের জন্য 3 : 2 : 2 অনুপাতে ভাগ করে নেয়।
11704 টাকার মধ্যে,
প্রথম বন্ধু পায় = 17556×³/₃₊₂₊₂ টাকা
= 17556×³/₇ টাকা
= 1672×3 টাকা
= 5016 টাকা
দ্বিতীয় বন্ধু পায় = 17556×²/₇ টাকা
= 1672×2 টাকা
= 3344 টাকা
তৃতীয় বন্ধু পায় = 17556×²/₇ টাকা
= 1672×2 টাকা
= 3344 টাকা
11704 টাকা কাজের অনুপাতে ভাগ করে নেওয়ার পর বাকি থাকে (29260 – 11704) বা, 17556 টাকা।
17556 টাকা মূলধনের অনুপাতে ভাগ করে।
17556 টাকার মধ্যে,
প্রথম বন্ধু পায় = 17556 ×¹²/_12+15+11 টাকা
= 17556×¹²/₃₈ টাকা
= 462×12 টাকা
= 5544 টাকা
দ্বিতীয় বন্ধু পায় = 17556×¹⁵/₃₈ টাকা
= 462×15 টাকা
= 6930 টাকা
তৃতীয় বন্ধু পায় = 17556×¹¹/₃₈ টাকা
= 462×11 টাকা
= 5082 টাকা
∴ প্রথম বন্ধু মোট পায় = (5016 + 5544) = 10560 টাকা
দ্বিতীয় বন্ধু মোট পায় = (3344 + 6930) = 10274 টাকা
তৃতীয় বন্ধু মোট পায় = (3344 + 5082) = 8426 টাকা
Ans: লভ্যাংশ থেকে তিনবন্ধু যথাক্রমে 10560 টাকা, 10274 টাকা এবং 8426 টাকা পাবেন।

6. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3×1=3

(i) সমাধান করো:

$\Large{\mathbf{\quad\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+5}=\frac{1}{6}\\Solution:\\}}$$\large{\quad\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+5}=\frac{1}{6}\\⇒\frac{(x+5)-(x-3)}{(x-3)(x+5)}=\frac{1}{6}\\⇒\frac{x+5-x+3}{x^2+5x-3x-15}=\frac{1}{6}\\⇒\frac{8}{x^2+2x-15}=\frac{1}{6}}$

⇒ x² + 2x – 15 = 48
⇒ x² + 2x – 15 – 48 = 0
⇒ x² + 2x – 63 = 0
⇒ x² + 9x – 7x – 63 = 0
⇒ x(x + 9) – 7(x + 9) = 0
⇒ (x + 9)(x – 7) = 0
হয় x + 9 = 0 নতুবা x – 7 = 0
∴ x = -9 ∴ x = 7
Ans: নির্ণেয় সমাধান 7 এবং -9

(ii) দুটি ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যার গুণফল 143 হলে, সমীকরণটি গঠন করো এবং শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে সংখ্যা দুটি নির্ণয় করো।

Solution:
ধরি দুটি ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যা x এবং x + 2
প্রশ্নানুযায়ী
x(x + 2) = 143
বা, x² + 2x = 143
বা, x² + 2x – 143 = 0
সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0এর সঙ্গে তুলনা করে পাই যেখানে,
a = 1, b = 2, c = -143
শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে পাই,

$\Large{x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}\\\quad=\frac{-2±\sqrt{2^2-4.1.(-143)}}{2.1}\\\quad=\frac{-2±\sqrt{4+572}}{2.1}\\\quad=\frac{-2±\sqrt{576}}{2.1}\\\quad=\frac{-2±24}{2}\\=$

∴ x = ^-2+24/₂ এবং x = ^-2-24/₂
বা, x = ²²/₂ বা, x = ^-26/₂
∴ x = 11 ∴ x = -13
সংখ্যা দুটি ধনাত্মক সংখ্যা।
∴ x ≠ -13
∴ x = 11
x + 2 = 11 + 2 = 13
Ans: সংখ্যা দুটি 11 এবং 13

Complete Solution of MP-20

7. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3×1=3

(i) x = 2 + √3 এবং x + y = 4 হলে, xy + ¹/_xy -এর সরলতম মান নির্ণয় করো।

Solution:
x = 2 + √3 এবং x + y = 4
∴ y = 4 – x
= 4 – (2 + √3)
= 4 – 2 – √3
= 2 – √3
∴ xy = (2 + √3)×(2 – √3)
= 2² – (√3)²
= 4 – 3 = 1
প্রদত্ত রাশি = 1 + ¹/₁
= 1 + 1 = 2
Ans: xy + ¹/_xy -এর সরলতম মান 2

(ii) a ∝ b এবং b ∝ c হলে, প্রমাণ করো, a³ + b³ + c³ ∝ 3abc

Solution:
b ∝ c
∴ b = kc – – – – [k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
a ∝ b
∴ a = mb – – – – [m একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
বা, a = m.kc
বা, a = kmc

$\Large{∴\frac{a^3+b^3+c^3}{3abc}\\=\frac{(kmc)^3+(kc)^3+c^3}{3kmc.kc.c}\\=\frac{k^3m^3c^3+k^3c^3+c^3}{3k^2mc^3}\\=\frac{c^3(k^3m^3+k^3+1)}{3k^2mc^3}\\=\frac{k^3m^3+k^3+1}{3k^2m}}$

= ধ্রুবক
∴ a³ + b³ + c³ ∝ 3abc (Proved)

8. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3×1=3

(i) x : a = y : b = z : c হলে দেখাও

$\Large{\mathbf{\quad\frac{x^3}{a^3}+\frac{y^3}{b^3}+\frac{z^3}{c^3}=\frac{3xyz}{abc}}}$

Solution:x : a = y : b = z : c = k – – – [ধরি, k একটি অশূন্য ধ্রুবক।]
∴ x = ak;
y = bk;
z = ck

$\Large{\mathbf{\underline{L.H.S.}\\}=\frac{x^3}{a^3}+\frac{y^3}{b^3}+\frac{z^3}{c^3}\\=\frac{(ak)^3}{a^3}+\frac{(bk)^3}{b^3}+\frac{(ck)^3}{c^3}\\=\frac{a^3k^3}{a^3}+\frac{b^3k^3}{b^3}+\frac{c^3k^3}{c^3}\\=k^3+k^3+k^3\\=3k^3\\\mathbf{\underline{R.H.S.}}\\=\frac{3xyz}{abc}\\=\frac{3.ak.bk.ck}{abc}\\=\frac{3k^3abc}{abc}\\=3k^3=\mathbf{\underline{R.H.S.}\quad (Proved)}}$

$\Large{\mathbf{(ii)}}$ যদি $\large{\mathbf{\frac{ay-bx}{c}=\frac{cx-az}{b}=\frac{bz-cy}{a}}}$ হয়, তবে প্রমান করো $\Large{\mathbf{\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}}}$

$\Large{\mathbf{Solution:}\\\quad\frac{ay-bx}{c}=\frac{cx-az}{b}=\frac{bz-cy}{a}\\∴\frac{c(ay-bx)}{c.c}=\frac{b(cx-az)}{b.b}=\frac{a(bz-cy)}{a.a}\\∴\frac{acy-bcx}{c^2}=\frac{bcx-abz}{b^2}=\frac{abz-cay}{a^2}}$

প্রতিটি অনুপাতের মান (সংযোজন প্রক্রিয়া প্রয়োগ করে)

$\Large{=\frac{acy-bcx+bcx-abz+abz-cay}{c^2+b^2+c^2}\\=0\\∴\frac{ay-bx}{c}=0\\⇒ay-bx=0\\⇒bx=ay\\⇒\frac{x}{a}=\frac{y}{b} – – – (i)\\\quad\frac{cx-az}{b}\\⇒cx-az=0\\⇒cx=az\\⇒\frac{x}{a}=\frac{z}{c} – – – (ii)}$

(i) ও (ii) থেকে পাই
^x/_a = ^y/_b = ^z/_c (Proved)

Complete Solution of MP-20

9. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

(i) প্রমাণ করো, একই বৃত্তাংশস্থ সকল কোণের মাণ সমান।

স্বীকার: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ∠ACB ও ∠ADB যে-কোনো দুটি কোণ ABDC বৃত্তাংশে অবস্থিত।
প্রামান্য বিষয়: ABDC বৃত্তাংশস্থ সকল বৃত্তস্থ কোণই সমান।
∵ ∠ACB ও ∠ADB, ABDC বৃত্তাংশস্থ যে-কোনো দুটি বৃত্তস্থ কোণ,
∴ ∠ACB ও ∠ADB পরস্পর সমান প্রমাণ করলেই উপপাদ্যটি প্রমাণিত হবে।
অঙ্কন: O, A এবং O, B যুক্ত করা হল।
প্রমাণ: APB বৃত্তচাপের দ্বারা গঠিত ∠AOB কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ∠ACB ও ∠ADB বৃত্তস্থ কোণ।
∴ ∠AOB = 2∠ACB এবং
∠AOB = 2∠ADB
∴ 2∠ACB = 2∠ADB
বা, ∠ACB = ∠ADB
∴ একই বৃত্তাংশস্থ সকল বৃত্তস্থ কোণের মান সমান। (Proved)

(ii) প্রমাণ করো, বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে যে দুটি স্পর্শক অঙ্কন করা যায় তাদের স্পর্শবিন্দু দুটির সঙ্গে বহিঃস্থ বিন্দুর সংযোজক সরলরেখাংশ দুটির দৈর্ঘ্য সমান।

স্বীকার: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু P থেকে PA ও PB দুটি স্পর্শক যাদের স্পর্শবিন্দু যথাক্রমে A ও B,
O.A; O, B; O, P যুক্ত করায় PA ও PB সরলরেখাংশ দুটি কেন্দ্রে যথাক্রমে ∠POA ও ∠POB দুটি কোণ উৎপন্ন করেছে।
প্রামান্য বিষয়: PA = PB
প্রমাণ: PA ও PB স্পর্শক এবং OA ও OB স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।
OA ⊥ PA এবং OB ⊥ PB
POA ও POB সমকোণী ত্রিভুজদ্বয়ের মধ্যে,
∠OAP = ∠OBP – – – (প্রত্যেকে 1 সমকোণ)
অতিভুজ OP সাধারণ বাহু এবং
OA = OB – – – (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)
∴ ΔΡΑΟ = ΔΡΒO – – – [সর্বসমতার R-H-S শর্তানুসারে]
∴ সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু সমান হয়।
∴PA = PB [Proved]

10. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

(i) দুটি বৃত্ত পরস্পরকে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। PA ও PB যথাক্রমে দুটি বৃত্তের ব্যাস হলে, প্রমান কর A,Q ও B বিন্দুত্রয় সমরেখ।

স্বীকারঃ দুটি বৃত্ত পরস্পর P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। PA ও PB বৃত্ত দুটির ব্যাস।
প্রামাণ্য বিষয়ঃ A, Q, B বিন্দুত্রয় সমরেখ।
অঙ্কনঃ A, Q; Q, B; P, Q যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ PA ও PB বৃত্ত দুটির ব্যাস।
∴ ∠PQA এবং ∠PQB অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
∠PQA = ∠PQB = 1 সমকোণ।
∴ ∠PQA + ∠PQB = 2 সমকোণ।
∴ A, Q, B বিন্দুত্রয় সমরেখ। [Proved]

(ii) সমকোণী ত্রিভুজ ABC-এর উপর ∠A =90°, BC-এর উপর AD লম্ব , প্রমাণ করো,

$\Large{\mathbf{\quad\frac{△ABC-এর ক্ষেত্রফল}{△ACD-এরক্ষেত্রফল}=\frac{BC^2}{AC^2}}}$

স্বীকারঃ ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠A সমকোণ, অতিভুজ BC- এর উপর AD লম্ব

প্রামাণ্য বিষয়ঃ ^{△ABC-এর ক্ষেত্রফল}/_{△ACD-এরক্ষেত্রফল} = ^BC²/_AC²
প্রমাণঃ ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠BAC সমকোণ এবং সমকৌণিক বিন্দু A থেকে BC এর উপর AD লম্ব।
∵ সমকৌণিক বিন্দু থেকে অতিভুজের উপর লম্ব অঙ্কন করলে লম্বের উভয়পার্শ্বে যে দুটি ত্রিভুজ উৎপন্ন হয় তারা পরস্পর সদৃশ হয় এবং প্রতিটি ত্রিভুজ মূল ত্রিভুজের সাথেও সদৃশ হয়।
∴ △ABC এবং △DAC পরস্পর সদৃশ
∴ ^BC/_AC = ^AB/_AD = ^AC/_DC
△ABC -এর ক্ষেত্রফল = ¹/₂×AB×AC
△ACD -এর ক্ষেত্রফল = ¹/₂×DC×AD
∴ ^{△ABC-এর ক্ষেত্রফল}/_{△ACD-এরক্ষেত্রফল}
= ^½×AB×AC/_½×DC×AD
= ^AB×AC/_DC×AD
= ^AB/_AD × ^AC/_DC
= ^BC/_AC × ^BC/_AC
= ^BC²/_AC²
∴ ^{△ABC-এর ক্ষেত্রফল}/_{△ACD-এরক্ষেত্রফল} = ^BC²/_AC² [Proved]

Complete Solution of MP-20

11. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

(i) 4 সেমি. ও 3 সেমি. দৈর্ঘ্যের সরলরেখাংশ দুটির মধ্যসমানুপাতী অঙ্কন করো।

মধ্যসমানুপাতী অঙ্কন

(ii) 3 সেমি ব্যাসার্ধের একটি বৃত্ত অঙ্কন করো। বৃত্তের উপর একটি বিন্দু A তে স্পর্শক অঙ্কন করো।

বৃত্তের উপর একটি বিন্দুতে স্পর্শক অঙ্কন

12. যে-কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3×2=6

(i) যদি sin 17^o = ^x/_y হয়, তাহলে দেখাও যে,

$\Large{\mathbf{sec17^o-sin73^o=\frac{x^2}{y\sqrt{y^2-x^2}}\\Solution}}$

$\Large{\quad sin17^o=\frac{x}{y}}\\∴cos17^o=\sqrt{1-sin^217^o}\\\quad=\sqrt{1-(\frac{x}{y})^2}\\\quad=\sqrt{1-\frac{x^2}{y^2}}\\\quad=\sqrt{\frac{y^2-x^2}{y^2}}\\\quad=\frac{\sqrt{y^2-x^2}}{y}\\∴sec17^o=\frac{1}{cos17^o}\\\quad=\frac{y}{\sqrt{y^2-x^2}}\\sin73^o=sin(90-73)^o\\=cos17^o\\=\frac{\sqrt{y^2-x^2}}{y} $

L.H.S.

$\Large{\quad sec17^o-sin73^o\\\quad=\frac{y}{\sqrt{y^2-x^2}}-\frac{\sqrt{y^2-x^2}}{y}\\\quad=\frac{y^2-(\sqrt{y^2-x^2})^2}{y\sqrt{y^2-x^2}}\\\quad=\frac{y^2-y^2+x^2}{y\sqrt{y^2-x^2}}\\\quad=\frac{x^2}{y\sqrt{y^2-x^2}}=\mathbf{R.H.S.\quad (Proved)}}$

(ii) দুটি কোণের সমষ্টি 135^o এবং তাদের অন্তর ^π/₁₂ হলে, কোণ দুটির ষষ্টিক ও বৃত্তীয় মান লেখো।
Solution:
ধরি, বৃহত্তর কোণটি θ
∴ অপর কোণটি 135^o – θ
π/12 = 180^o/12
=15^o
প্রশ্নানুযায়ী,
θ – (135^o – θ) = 15^o
বা, θ – 135^o + θ = 15^o
বা, 2θ = 15^o + 135^o
বা, 2θ = 150^o
বা, θ = 75^o
বা, θ = 75 × π^c/180
বা, θ = 5π^c/12
∴ অপর কোণটি = 135^o – 75^o
= 60^o
= 60× π^c/180
= π^c/3
Ans: কোণ দুটির ষষ্টিক মান যথাক্রমে 60^o ও 75^o এবং
বৃত্তীয় মান যথাক্রমে π^c/3 ও 5π^c/12

(iii) মান নির্ণয় করো:

$\Large{\mathbf{\frac{5cos^2\frac{π}{3}+4sec^2\frac{π}{6}-tan^2\frac{π}{4}}{sin^2\frac{π}{6}+cos^2\frac{π}{6}}\\Solution}}$

$\Large{\quad\frac{5cos^2\frac{π}{3}+4sec^2\frac{π}{6}-tan^2\frac{π}{4}}{sin^2\frac{π}{6}+cos^2\frac{π}{6}}\\=\frac{5cos^260^o+4sec^230^o-tan^245^o}{sin^230^o+cos^230^o}\\=\frac{5×(\frac{1}{2})^2+4×(\frac{2}{√3})^2-(1)^2}{1} – – (∵sin^2θ+cos^2θ=1)\\=}$

= 5×¹/₄ + 4×⁴/₃ -1
= ⁵/₄ + ¹⁶/₃ -1
= ^15+64-12/₁₂
= ⁶⁷/₁₂
= 5 ⁷/₁₂
Ans: নির্ণেয় মান 5 ⁷/₁₂

Complete Solution of MP-20

13. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

(i) একটি হ্রদের h মিটার উপর একটি বিন্দু থেকে কোনো মেঘের উন্নতি কোণ α এবং হ্রদের উপর ওর প্রতিবিম্বের অবনতি কোণ β। প্রমাণ করো, যে বিন্দু থেকে মেঘ দেখা যাচ্ছে সেখান থেকে মেঘের দূরত্ব

$\Large{\mathbf{\quad\frac{2hsecα}{tanβ-tanα}}}$

ধরা যাক, MN হ্রদের A বিন্দুর উপর h মিটার উচ্চতায় অবস্থিত B বিন্দু থেকে P বিন্দুতে অবস্থিত মেঘের উন্নতি কোণ α;
আবার B বিন্দু থেকে Q বিন্দুতে মেঘের প্রতিবিম্বের অবনতি কোণ β ।
চিত্রে AB = h মিটার
∠CBP = α এবং
∠CBQ = β
এখানে BC ∥ AD;
AB = CD
এবং AD = BC
BPC সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
^PC/_BC = tanα
⇒ PC = BC tanα
আবার BCQ সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
^CQ/_BC = tanβ
⇒ CQ = BC tanβ
⇒ DQ + CD = BC tanβ
⇒ DP + CD = BC tanβ- – – [∵হ্রদ থেকে মেঘের দূরত্ব এবং হ্রদ থেকে প্রতিবিম্বের দূরত্ব সমান ∴ DP = DQ]
⇒ CP + CD + CD = BC tanβ
⇒ CP + 2CD = BC tanβ
⇒ CP + 2AB = BC tanβ – – – [∵ AB = CD]
⇒ CP + 2h = BC tanβ
⇒ 2h = BC tanβ – CP
⇒ 2h = BC tanβ – BC tanα – – – [∵ PC= BC tanα]
⇒ 2h = BC(tanβ – tanα) – – – (i)
BPC সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
^BC/_BP = cosα
⇒ BC= BP cosα
(i) নং-এ BC = BP cosα বসিয়ে পাই
2h = BP cosα(tanβ – tanα)
বা, 2h = BP×¹/_secα×(tanβ-tanα)
বা, BP = ^2hsecα/_tanβ-tanα
যে বিন্দু থেকে মেঘ দেখা যাচ্ছে সেখান থেকে মেঘের দূরত্ব ^2hsecα/_tanβ-tanα (Proved)

(ii) দুটি স্তম্ভের উচ্চতা যথাক্রমে 180 মিটার ও 60 মিটার। দ্বিতীয় স্তম্ভটির গোড়া থেকে প্রথম চূড়ার উন্নতি কোণ 60^o হলে, প্রথমটির গোড়া থেকে দ্বিতীযটির চূড়ার উন্নতি কোণ নির্ণয় কর।

চিত্রে,
স্তম্ভ AB = 180 মিটার এবং
স্তম্ভ CD = 60 মিটার।
এখানে, ∠PBQ = 60^o
ABC সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
^AB/_BC = tan60^o
বা, ^AB/_BC = √3
বা, ¹⁸⁰/_BC = √3
বা, √3BC = 180
বা, BC = ¹⁸⁰/_√3
বা, BC = 60√3
আবার DCB সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
tan∠CBD = ^DC/_BC
বা, tan∠CBD = ⁶⁰/_60√3
বা, tan∠CBD = ¹/_√3
বা, tan∠CBD = tan30^o
∴ ∠CBD = 30^o
Ans: প্রথমটির গোড়া থেকে দ্বিতীযটির চূড়ার উন্নতি কোণ 30^o

Complete Solution of MP-20

14. যে-কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 4×2=8

(i) একটি ফাঁপা লম্ব বৃত্তাকার চোঙাকৃতি লোহার নলের বহির্ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি. এবং অন্তর্ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 4 সেমি.। নলটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 1188 বর্গসেমি হলে ,নলটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

Solution:
এখানে,
নলটির বহির্ব্যাসার্ধ (R) = 5 সেমি.
নলটির অন্তর্ব্যাসার্ধ (r) = 4 সেমি.
ধরি, নলটির দৈর্ঘ্য h সেমি.।
∴ নলটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= 2πRh + 2πrh + 2π(R² – r²)
= [2π×5×h + 2π×4×h + 2π(5² – 4²)] বর্গসেমি
= 2π[5h + 4h + (25 – 16)] বর্গসেমি
= 18πh + 18π = 18π(h + 1) বর্গসেমি
প্রশ্নানুযায়ী,
18π(h + 1) = 1188
বা, 18×²²/₇(h + 1) = 1188
বা, 18×¹/₇(h + 1) = 54
বা, ¹/₇(h + 1)= 3
বা, h + 1= 21
∴ h = 10.5
Ans: নলটির দৈর্ঘ্য 10.5 সেমি.

(ii) 9 সেমি. অন্তর্ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি অর্ধগোলাকার পাত্র সম্পূর্ণ জলপূর্ণ আছে। এই জল 3 সেমি. ব্যাস এবং 4 সেমি. উচ্চতা বিশিষ্ট চোঙাকৃতি বোতলে ভর্তি করে রাখা হবে। পাত্রটি খালি করতে কতগুলি এইরূপ বোতল দরকার তা নির্ণয় করো।
Solution:
অর্ধগোলাকার পাত্রের অন্তর্ব্যাসার্ধ(R) = 9 সেমি.
∴ অর্ধগোলাকার পাত্রের আয়তন
= ²/₃πR³
= ²/₃π(9)³ ঘনসেমি.
= ²/₃×π×9×81 ঘনসেমি.
= 2×π×3×81 ঘনসেমি.
চোঙাকৃতি বোতলের ব্যাসার্ধ(r) = ³/₂ সেমি.
এবং উচ্চতা(h) = 4 সেমি.
∴ চোঙাকৃতি বোতলের আয়তন
= πr²h .
= π×(³/₂)²×4 ঘনসেমি.
= π×⁹/₄×4 ঘনসেমি.
= 9π ঘনসেমি.
ধরি, পাত্রটি খালি করতে xটি বোতল দরকার।
∴ x.9π = 2×π×3×81
বা, 9x = 2×3×81
বা, x = 2×3×9
∴ x = 54
Ans: পাত্রটি খালি করতে 54টি বোতল দরকার।

(iii) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাস 21 মিটার এবং উচ্চতা 14 মিটার। প্রতি বর্গ মিটার 1.50 টাকা হিসাবে পার্শ্বতল রঙ করতে কত খরচ পড়বে?
Solution:
শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধ = ²¹/₂ মিটার।
∴ শঙ্কুটির তির্যক উচ্চতা l হলে
l² = h² + r²
বা, l² = (14)² + (²¹/₂)²
বা, l² = 196 + ⁴⁴¹/₄
বা, l² = ^784+441/₄
বা, l² = ¹²²⁵/₄
বা, l = ³⁵/₂
∴ শঙ্কুটির পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল
= πrl
= ²²/₇×²¹/₂×³⁵/₂ বর্গ মিটার
= 11×3×³⁵/₂ বর্গ মিটার
= ¹¹⁵⁵/₂ বর্গ মিটার
∴ প্রতি বর্গ মিটার 1.50 টাকা হিসাবে পার্শ্বতল রং করতে খরচ পড়বে = ¹¹⁵⁵/₂×1.50 টাকা = 866.25 টাকা।
Ans: পার্শ্বতল রং করতে 866.25 টাকা খরচ পড়বে।

Complete Solution of MP-20

15. যে-কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 4×2=8

(i) ছাত্রীদের প্রাপ্ত নম্বরের গড় নির্ণয় করো যদি তাদের প্রাপ্ত নম্বরের ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা নিম্নরূপ হয়:

নম্বর	ছাত্রী সংখ্যা
10-এর কম 20-এর কম 30-এর কম 40-এর কম 50-এর কম	6 10 18 30 46

Solution:
প্রদত্ত তথ্যের ভিত্তিতে পরিসংখ্যা বিভাজন ছকটি হল:

শ্রেণি-সীমা (নম্বর)	শ্রেণী সীমানা (নম্বর)	পরিসংখ্যা (ছাত্রী সংখ্যা) (f_i)	শ্রেণী মধ্যক(x_i)	x_if_i
10-এর কম	0-10	6	5	30
20-এর কম	10-20	(10-6)=4	15	60
30-এর কম	20-30	(18-10)=8	25	200
40-এর কম	30-40	(30-18)=12	35	420
50-এর কম	40-50	(46-30)=16	45	720
মোট		Σf_i=46		Σx_if_i=1430

প্রত্যক্ষ পদ্ধতিতে 45 জন ছাত্রীর নম্বরের গড়

$$\Large{=\frac{f_{i}x{i}}{f_{i}}\\=\frac{1430}{46}\\=31.666\\=31.67}$$

Ans: ছাত্রীদের প্রাপ্ত নম্বরের গড় 31.08 (প্রায়)

(ii) নীচের পরিসংখ্যা বিভাজন থেকে তথ্যটির মধ্যমা নির্ণয় করো

শ্রেণি সীমানা	পরিসংখ্যা
0-10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70	4 7 10 15 10 8 5

Solution:
প্রদত্ত তথ্যের ভিত্তিতে পরিসংখ্যা বিভাজন তালিকাটি হলঃ

শ্রেণি সীমানা	পরিসংখ্যা	ক্ষুদ্রতর সূচক ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা (সেমি)
0-10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70	4 7 10 15 10 8 5	4 11 21 36 46 54 59

এখানে, N = Σf_i = 59
∴ ^N/₂ = ⁵⁹/₂ = 29.5
যে শ্রেণির ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা ^N/₂ বা ঠিক ^N/₂ অপেক্ষা বৃহত্তর সেটিই হবে মধ্যমা শ্রেণি।
এখানে, 29.5 বা 29.5 এর অধিক ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যাবিশিষ্ট শ্রেণি হল 30-40
∴ 30-40 হল মধ্যমা শ্রেনি।
∴ মধ্যমা =

$\Large{\quad l + \left(\frac{\frac{N}{2} – C}{f_{m}}\right).h}$

এখানে l = 30; N = 59; C = 21; fm = 15; h = 10]

$\Large{ = 30 + \left(\frac{29.5 – 21}{15}\right).10\\ = 30 + \frac{8.5}{15}.10\\ = 30 + \frac{85}{15}\\ = 30 + \frac{17}{3}}$

= 30 + 5.67
= 35.67 (প্রায়)
Ans: তথ্যটির মধ্যমা 35.67

(iii) নীচের শ্রেণি বিন্যাসিত পরিসংখ্যা বিভাজনের সংখ্যাগুরু মান নির্ণয় করো:

শ্রেণি	পরিসংখ্যা
3-6 6-9 9-12 12-15 15-18 18-21 21-24	2 6 12 24 21 12 3

Solution:
পরিসংখ্যা বিভাজন তালিকাটি হলঃ

শ্রেণি	পরিসংখ্যা
3-6 6-9 9-12 12-15 15-18 18-21 21-24	2 6 12 24 21 12 3

এখানে সর্বাধিক পরিসংখ্যা 24
সংখ্যাগুরু মানের শ্রেণীটি হল 12-15
সংখ্যাগুরু মান

$\Large{=l+\left(\frac{f_{m}-f_{1}}{2f_{m}-f_{1}-f_{2}}\right).h}$

এখানে সংখ্যাগুরু শ্রেণীর,
নিম্নমান(l) = 12
পরিসংখ্যা(f_m) = 24
পূর্ববর্তী শ্রেণীর পরিসংখ্যা(f₁) =12
পরবর্তী শ্রেণীর পরিসংখ্যা(f₂) = 21
শ্রেণী দৈর্ঘ্য(h) = 3
∴ সংখ্যাগুরু মান

$\Large{=12+\left(\frac{24-12}{2.24-12-21}\right).3\\=12+\left(\frac{12}{48-33}\right).3\\=12+\left(\frac{12}{15}\right).3\\=12+\frac{12}{5}}$

= 12+2.4
= 14.4
Ans: শ্রেণি বিন্যাসিত পরিসংখ্যা বিভাজনের সংখ্যাগুরু মান 14.4

PREVIOUS

NEXT

January 29, 2024

Complete Solution of MP-19 Mathematics

Complete Solution of MP-19

মাধ্যমিক গণিত ২০১৯ সমাধান

2019 সালের মাধ্যমিক পরীক্ষার গণিত প্রশ্নপত্র-এর সম্পূর্ণ সমাধান || মাধ্যমিক গণিত ২০১৯

দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধানের জন্য এখানে ক্লিক করো।

2019
MATHEMATICS
Compulsory
Time-Three Hours Fifteen Minutes
(First FIFTEEN minutes for reading the question paper)
Full Marks 90- For Regular Candidates
100- For External Candidates

Complete Solution of MP-19

1. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির প্রতিটি ক্ষেত্রে সঠিক উত্তরটি নির্বাচন করো: 1×6=6

(i) কোনো অংশীদারী ব্যবসায়ে দুই বন্ধুর প্রাপ্ত লভ্যাংশের অনুপাত ¹/₂ : ¹/₃ হলে, তাদের মূলধনের অনুপাত-
(a) 2 : 3 (c) 1 : 1 (b) 3 : 2 (d) 5 : 3
Ans: (b) 3 : 2
[প্রাপ্ত লভ্যাংশের অনুপাত
= ¹/₂ : ¹/₃
= ¹/₂×6 : ¹/₃×6
= 3 : 2]

(ii) যদি p+q =√13 এবং p-q= √5 হয়, তাহলে pq -এর মান-
(a) 2 (b) 18 (c) 9 (d) 8
Ans: (a) 2
[ p+q =√13 এবং p-q= √5²
∴ 4pq = (p+q)² – (p+q)²
⇒ 4pq = (p+q)² – (p+q)²
⇒ 4pq = (√13)² – (√5)²
⇒ 4pq = 13 – 5
⇒ 4pq = 8
∴ pq = 2]

(iii) কোনো বৃত্তের কেন্দ্র O এবং ব্যাস AB; ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। ∠ABC = 65^o, ∠DAC = 40^o হলে ∠BCD এর মান-
(a) 75^o (b) 105^o (c) 115^o (d) 80^o
Ans: (c) 115^o

[∠ACB অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
∴ ∠ACB = 90°
∴ ∠BAC = 180° – (90° + 65°)
= 180° – 155° = 25°
∴ ∠BAD = 25° + 40° = 65°
ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের,
∴ ∠BAD + ∠BCD = 180°
∴ ∠BCD = 180° – 65°
= 115°]

(iv) tanα + cotα = 2 হলে tan¹³α + cot¹³α-এর মান-
(a) 13 (b) 2 (c) 1 (d) 0
Ans: (b) 2
[ tanα + cotα = 2
⇒ tanα + ¹/_tanα = 2
⇒ ^tan²α+1/_tanα = 2
⇒ tan²α + 1 = 2tanα
⇒ tan²α – 2tanα + 1 = 0
⇒ (tanα)² – 2.tanα.1 + (1)² = 0
⇒ (tanα – 1)² = 0
⇒ tanα – 1 = 0
∴ tanα = 1
cotα = ¹/_tanα = ¹/₁ = 1
tan¹³α + cot¹³α
= (1)¹³ + (1)¹³
= 1 + 1 = 2]

(v) 2√6 সেমি বাহুবিশিষ্ট দুটি ঘনক পাশাপাশি রাখলে উৎপন্ন আয়তঘনকটির কর্ণের দৈর্ঘ্য হবে-
(a) 10 সেমি (b) 6 সেমি (c) 2 সেমি (d) 12 সেমি
Ans: (d) 12 সেমি
[2√6 সেমি বাহুবিশিষ্ট দুটি ঘনক পাশাপাশি রাখলে উৎপন্ন আয়তঘনকটির
দৈর্ঘ্য হবে = 2×2√6 সেমি = 4√6 সেমি
প্রস্থ হবে = 2√6 সেমি
উচ্চতা হবে = 2√6 সেমি
∴ আয়তঘনকটির কর্ণের দৈর্ঘ্য
= √(4√6)² + (2√6)² + (2√6)² সেমি
= √96 + 24 + 24 সেমি
= √144 সেমি = 12]

(vi) x₁, x₂, x₃ …….. x₁₀ রাশিগুলির গড় 20 হলে x₁ + 4, x₂ + 4, x₃ + 4 …….. x₁₀ + 4 রাশিগুলির গড় হবে-
(a) 20 (b) 24 (c) 40 (d) 10
Ans: (b) 24
[প্রতিটি রাশির সঙ্গে 4 যোগ হয়েছে।
সুতরাং রাশিগুলির গড়ও 4 বৃদ্ধি পাবে।
অতএব রাশিগুলির গড় হবে 20 + 4 = 24]

Complete Solution of MP-19

2. শূন্যস্থান পূরণ করো (যে-কোনো পাঁচটি): 1×5=5

(i) এক ব্যক্তি ব্যাংকে 100 টাকা জমা রেখে, 2 বছর পর সমূল চক্রবৃদ্ধি পেলেন 121 টাকা। বার্ষিক সুদের হার ছিল __________ %
Ans: 10
[ ধরি, বার্ষিক সুদের হার r%

$\quad 100(1+\frac{r}{100})^2=121\\⇒(1+\frac{r}{100})^2=\frac{121}{100}\\⇒(1+\frac{r}{100})^2=(\frac{11}{10})^2\\⇒1+\frac{r}{100}=\frac{11}{10}\\⇒\frac{r}{100}=\frac{11}{10}-1\\⇒\frac{r}{100}=\frac{1}{10}\\∴r=10$

(ii) দুটি দ্বিঘাত করণীর যোগফল ও গুণফল একটি মূলদ সংখ্যা হলে করণীদ্বয় __________ করণী
Ans: অনুবন্ধী করনী

(iii) দুটি ত্রিভুজের ভূমি একই সরলরেখায় অবস্থিত এবং ত্রিভুজ দুটির অপর শীর্ষবিন্দুটি সাধারণ হলে, ত্রিভুজ দুটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত ভূমির দৈর্ঘ্যের অনুপাতের __________।
Ans: সমান

(iv) cos 53^o/sin37^o -এর সরলতম মান __________।
Ans: 1

[$\Large{\quad\frac{cos53^o}{sin37^o}\\=\frac{cos53^o}{sin(90^o-53^o)}\\=\frac{cos53^o}{cos53^o}\\=1}$]

(v) একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙের তলসংখ্যা __________।
Ans: 3টি

(vi) x₁, x₂ ….. x₁₀₀ চলগুলি ঊর্ধ্বক্রমে থাকলে, এদের মধ্যমা __________।
Ans: 50.5
[এখানে n = 100 (যুগ্ম সংখ্যা)
∴ মধ্যমা = [ⁿ/₂ তম পদের মান + (ⁿ/₂+1)তম পদের মান] ÷2
= [¹⁰⁰/₂ তম পদের মান + (¹⁰⁰/₂+1)তম পদের মান] ÷2
= [50-তম পদের মান + (50+1)তম পদের মান] ÷2
= [50-তম পদের মান + 51তম পদের মান] ÷2
= [50 + 51] ÷2
= 101 ÷2 = 50.5]

Complete Solution of MP-19

3. সত্য বা মিথ্যা লেখো (যে কোনো পাঁচটি): 1×5=5

(i) বার্ষিক 10% হারে 100 টাকার 1 বছরের সরল সুদ ও চক্রবৃদ্ধি সুদের পার্থক্য 1 টাকা।
Ans: মিথ্যা
[ বার্ষিক সুদের হার 10%
আসল 100 টাকা
সময় 1 বছর
∴1 বছরের সরল সুদ
= ^100×1×10/₁₀₀ = 10 টাকা
1 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ
= 100(1+¹⁰/₁₀₀)¹ টাকা
= 100(1+¹/₁₀) টাকা
= 100(¹⁰⁺¹/₁₀) টাকা
= 100×¹¹/₁₀ টাকা
= 110 টাকা
সরল সুদ ও চক্রবৃদ্ধি সুদ সমান।]

(ii) ab : c², bc : a² এবং ca : b² -এর যৌগিক অনুপাত 1:1।
Ans: সত্য
[ab : c², bc : a² এবং ca : b² -এর যৌগিক অনুপাত
= ab×bc×ca : a²×b²×c²
= a²b²c² : a²b²c²
= 1 ; 1]

(iii) তিনটি অসমরেখ বিন্দু দিয়ে একটি মাত্র বৃত্ত আঁকা যায়।
Ans: সত্য

(iv) sin 30^o + sin 60^o > sin 90^o
Ans: সত্য
[sin 30^o + sin 60^o
= ¹/₂ + ^√3/₂
= ^1+√3/₂
= ^1+1.732/₂
= ^2.732/₂
= 1.366 > 1 = sin 90^o]

(v) একই ভূমি ও একই উচ্চতাবিশিষ্ট একটি লম্ববৃত্তাকার শঙ্কু ও একটি লম্ববৃত্তাকার চোঙের আয়তনের অনুপাত 1:3 হবে।
Ans: সত্য
[ধরি, লম্ববৃত্তাকার শঙ্কু ও লম্ববৃত্তাকার চোঙের ভূমির ব্যাসার্ধ r এবং উচ্চতা h
∴লম্ববৃত্তাকার শঙ্কু ও লম্ববৃত্তাকার চোঙের আয়তনের অনুপাত
= ¹/₃πr²h : πr²h
= ¹/₃ : 1
= 1 : 3]

(vi) 2, 3, 9, 10, 9,3,9 তথ্যের মধ্যমার মান 10।
Ans: মিথ্যা
[সংখ্যা গুলিকে মানের ঊর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে পাই
2, 3, 3, 9, 9, 9, 10
এখানে n = 7 (অযুগ্ম সংখ্যা)
∴ মধ্যমা = ⁿ⁺¹/₂ তম পদের মান
= ⁷⁺¹/₂ তম পদের মান
= ⁸/₂ তম পদের মান
= 4-তম পদের মান
= 9]

Complete Solution of MP-19

4. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দাও (যে-কোনো দশটি): 2×10=20

(i) বার্ষিক 5% সরল সুদের হারে কত টাকার মাসিক সুদ 1 টাকা হবে তা নির্ণয় করো।
Solution:
ধরি, আসল(P) = P টাকা
এখানে, সুদের হার(r) = 5%
সময়(t) = 1 মাস
= 1/12 বছর
সুদ = 1 টাকা

$\large{∵ I=\frac{Prt}{100}\\⇒ 1=\frac{P×5×1}{100×12}\\⇒ P = 240}$

Ans: 240 টাকার মাসিক সুদ 1 টাকা।

(ii) এক অংশীদারী ব্যবসায় তিনজনের মূলধনের অনুপাত 3 : 5 : 8। প্রথম ব্যক্তির লাভ তৃতীয় ব্যক্তির লাভের থেকে 60 টাকা কম হলে ব্যবসায় মোট কত লাভ হয়েছিল?
Solution:
ধরি, মোট লাভ হয়েছিল P টাকা
তিনজনের মূলধনের অনুপাত 3 : 5 : 8
∴ প্রথম ব্যক্তির লাভ হয়েছিল
= P×³/₃₊₅₊₈ টাকা
= P×³/₁₆ টাকা
= ^3P/₁₆ টাকা
তৃতীয় ব্যক্তির লাভ হয়েছিল
= P×⁸/₁₆ টাকা
= ^8P/₁₆ টাকা
প্রশ্নানুযায়ী
^8P/₁₆ – ^3P/₁₆ = 60
বা, ^8P-3P/₁₆ = 60
বা, ^5P/₁₆ = 60
বা, P = 60×¹⁶/₅
বা, P = 12×16
বা, P = 192
Ans: ব্যবসায় মোট 192 টাকা লাভ হয়েছিল।

(iii)

$\large{\mathbf{ \frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}=\frac{2a−3b+4c}{p}}}$

হলে, p-এর মান কত?
Solution:
ধরি,

$\large{\large{\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}=\frac{2a−3b+4c}{p}=k}}$ যেখানে k একটি অশূন্য ধ্রুবক।

∴a = 2k,
b = 3k,
c = 4k এবং
∵ 2a – 3b + 4c = pk
∴ 2×2k – 3×3k + 4×4k = pk
বা, 4k – 9k + 16k = pk
বা,11k = pk
∴ p =11
Ans: p-এর মান 11

(iv) x ∝ y² এবং y = 2a, x = a হলে দেখাও যে y² = 4ax ।

Solution:
x ∝ y²
∴ x = ky² – – – (i) – – [ k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
y = 2a যখন x = a;
∴ a = k(2a)²
বা, a = 4ka²
বা, 1 = 4ka
বা, k = ¹/_4a
(i) নং-এ k = ¹/_4aবসিয়ে পাই,
x = ^y2/_4a
⇒ y² = 4ax (Proved)

Complete Solution of MP-19

(v) ABCD ট্রাপিজিয়ামের BC || AD এবং AD = 4 সেমি। AC ও BD কর্ণদ্বয় এমনভাবে O বিন্দুতে ছেদ করে যে ^AO/_OC = ^DO/_OB = ¹/₂ হয়। BC-এর দৈর্ঘ্য কত?
Solution:

ABCD ট্রাপিজিয়ামের BC || AD এবং AD = 4 সেমি.।
AC ও BD কর্ণদ্বয় O বিন্দুতে ছেদ করে এবং
^AO/_OC = ^DO/_OB = ¹/₂
△AOD ও △BOC এর ক্ষেত্রে,
∠OAD = একান্তর ∠OCD – – – – [ ∵ AD||BC এবং AC ভেদক]
∠ODA = একান্তর ∠OCB – – – – [∵ AD||BC এবং DB ভেদক]
∠AOD = ∠BOC – – – – [বিপ্রতীপ কোন]
∴△AOD এবং △BOC সদৃশকোণী।
সদৃশকোণী ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতী হয়।
∴ ^AD/_BC = ^AO/_OC = ^DO/_OB = ¹/₂
∴ ^AD/_BC = ¹/₂
⇒ ⁴/_BC = 1/2 – – – – [AD = 4]
⇒ BC = 8
Ans: BC-এর দৈর্ঘ্য 8 সেমি.

(vi) একটি বৃত্তে দুটি জ্যা AB এবং AC পরস্পর লম্ব। AB = 4 সেমি এবং AC = 3 সেমি হলে, বৃত্তটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
Solution:

সমাধানঃ
প্রদত্ত AB = 4 সেমি ও
AC = 3 সেমি
AB এবং AC পরস্পর লম্ব।
∴ ∠BAC অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
অতএব, BC ব্যাস।
△BAC সমকোণী ত্রিভুজের
BC² = AB² + AC²
= 4² + 3²
= 16 + 9
= 25 = 5²
∴ BC = 5
∴ বৃত্তটির ব্যাসার্ধ = ⁵/₂
=2.5
Ans: বৃত্তটির ব্যাসার্ধ 2.5 সেমি

(vii) △ABC-এর ∠ABC = 90^o এবং BD⊥AC, যদি AB = 5 সেমি এবং BC = 12 সেমি হয়, তবে BD-এর দৈর্ঘ্য কত?

Solution:
△ABC-এর,
∠ABC = 90^o
AB = 5 সেমি এবং BC = 12 সেমি.
∴ AC² = AB² + AC²
⇒ AC² = 5² + 12²
⇒ AC² = 25 + 144
⇒ AC² = 169
⇒ AC² = (13)²
∴ AC = 13
∴ △ABC-এর ক্ষেত্রফল
= ¹/₂×AB×AC
= ¹/₂×5×12 বর্গ সেমি.
= 30 বর্গ সেমি.
আবার BD ⊥ AC,
∴△ABC-এর ক্ষেত্রফল
= ¹/₂×BD×AC
= ¹/₂×BD×13 বর্গ সেমি.
= ¹³/₂×BD বর্গ সেমি.
∴ ¹³/₂×BD = 30
বা, BD=30 × ²/₁₃
বা, BD = ⁶⁰/₁₃
বা, BD = 4 ⁸/₁₃
Ans: BD-এর দৈর্ঘ্য 4 ⁸/₁₃ সেমি.

(viii) (0^o ≤ θ ≤ 90^o) এর কোন্ মান/মানগুলির জন্য 2sinθ cosθ = cosθ হবে?
Solution:
2sinθ cosθ = cosθ
বা, 2sinθ cosθ – cosθ = 0
বা, cosθ(2sinθ – 1) = 0
হয় cosθ =0 নতুবা 2sinθ – 1 = 0
বা, cosθ = cos90^o বা, 2sinθ = 1
বা, θ = 90^o বা, sinθ = ¹/₂
বা, sinθ = sin30^o
বা, θ = 30^o
Ans: θ-এর মান 90^o, 30^o

Complete Solution of MP-19

(ix) sin 10θ = cos8θ এবং 10θ ধনাত্মক সূক্ষ্মকোণ হলে, tan9θ-এর মান নির্ণয় করো।
Solution:
sin10θ = cos8θ
⇒ sin10θ = sin(90^o – 8θ)
⇒ 10θ = 90^o – 8θ
⇒ 10θ + 8θ = 90^o
⇒ 18θ = 90^o
⇒ θ = 5^o
∴ tan9θ = tan9×5^o
= tan45^o
=1
Ans: tan9θ-এর মান 1

(x) একটি আয়তঘনাকৃতি ঘরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে a, b এবং c একক এবং a + b + c = 25, ab + bc + ca = 240.5 হলে ঘরটির মধ্যে যে বৃহত্তম দন্ডটি রাখা যাবে তার দৈর্ঘ্য কত হবে?
Solution:
আয়তঘনাকৃতি ঘরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে a, b এবং c একক এবং
a + b + c = 25,
ab + bc + ca = 240.5
∴ আয়তঘনাকৃতি ঘরের কর্ন

$\large{\quad =\sqrt{a^2+b^2+c^2}\\=\sqrt{(a+b+c)^2-2(ab + bc + ca)}\\=\sqrt{(25)^2-2×240.5}\\=\sqrt{625-481}\\=\sqrt{144}\\=12}$

Ans: ঘরটির মধ্যে যে বৃহত্তম দন্ডটি রাখা যাবে তার দৈর্ঘ্য 12 একক

(xi) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল ভূমির ক্ষেত্রফলের 5 গুণ। শঙ্কুটির উচ্চতা ও ভূমির ব্যাসার্ধের অনুপাত কত?
Solution:
ধরি, শঙ্কুটির উচ্চতা h, তির্যক উচ্চতা l এবং ব্যাসার্ধ r;
প্রশ্নানুসারে,

$$\large{\quadπrl=\sqrt{5}×πr^2\\⇒l=\sqrt{5}×r\\⇒l^2=5r^2\\⇒h^2+r^2=5r^2\\⇒h^2=4r^2\\⇒h=2r\\\therefore \frac{h}{r}=\frac{2}{1}}$$

Ans: শঙ্কুটির উচ্চতা ও ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 2 : 1

(xii) প্রথম (2n+1) সংখ্যক ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্যবর্তী সংখ্যা ⁿ⁺¹⁰³/₃ হলে, n এর মান নির্ণয় করো।
Solution:
প্রথম (2n+1) সংখ্যক ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্যবর্তী সংখ্যা হবে
= ^(2n+1)+1/₂
= ²ⁿ⁺²/₂
= n+1
প্রশ্নানুযায়ী,
n + 1 = ⁿ⁺¹⁰³/₃
⇒ 3n + 3 = n + 103
⇒ 3n – n = 103 – 3
⇒ 2n = 100
⇒ n = 50
Ans: n এর মান 50

Complete Solution of MP-19

Utube_comptech_home — দশম শ্রেণীর **ভৌত** বিজ্ঞান এবং **জীবন** বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন

5. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

(i) যদি 6 মাস অন্তর সুদ আসলের সঙ্গে যুক্ত হয় তাহলে বার্ষিক 10% চক্রবৃদ্ধি হার সুদে 8000 টাকার 1¹/₂ বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি ও চক্রবৃদ্ধি সুদ কত হবে?

Solution:
∵ 6 মাস অন্তর কিস্তি দেওয়া হয়,
সুদের পর্ব (n) = 6 মাস = ¹²/₆ = 2
সুদের হার (r) = 10%
আসল (P) = 8000 টাকা
সময় (t) = 1¹/₂ বছর
1½ বছরের শেষে সমূল চক্রবৃদ্ধি হবে

$\large{=P{\left( {1 + \frac{r}{{200}}} \right)^{2n}}\\=8000\times {\left( {1 + \frac{10}{{200}}} \right)^{2\times \frac{3}{2}}}\\=8000\times {\left( {1 + \frac{1}{{20}}} \right)^3}\\=8000\times {\left(\frac{21}{20} \right)^3}\\=8000\times \frac{21}{20}\times \frac{21}{20}\times \frac{21}{20}}$

= 21×21×21 টাকা
= 9261 টাকা
চক্রবৃদ্ধি সুদ = (9261 -8000) টাকা
= 1261 টাকা
Ans: সমূল চক্রবৃদ্ধি 9261 টাকা ও
চক্রবৃদ্ধি সুদ 1261 টাকা

(ii) দুই বন্ধু যথাক্রমে 40000 টাকা ও 50000 টাকা দিয়ে একটি অংশীদারী ব্যবসা শুরু করে। তাদের মধ্যে একটি চুক্তি হয় যে, লাভের 50% নিজেদের মধ্যে সমান ভাগে এবং লাভের অবশিষ্টাংশ মূলধনের অনুপাতে ভাগ হবে। প্রথম বন্ধুর লভ্যাংশ যদি দ্বিতীয় বন্ধুর লভ্যাংশ অপেক্ষা 800 টাকা কম হয়, তবে প্রথম বন্ধুর লভ্যাংশ কত?

Solution:
দুই বন্ধুর মূলধনের অনুপাত
= 40000 : 50000
= 4 : 5
ধরি মোট লাভ x টাকা।
লাভের 50% = x×⁵⁰/₁₀₀ = ^x/₂ টাকা
^x/₂ টাকা থেকে দুই বন্ধুর প্রত্যেকে পাবে
= ^x/₂ ÷ 2 = ^x/₄ টাকা
অবশিষ্ট ^x/₂ টাকা থেকে.
প্রথম বন্ধু পাবে = ^x/₂ ×⁴/₄₊₅ টাকা
= ^x/₂ × ⁴/₉ টাকা
= ^4x/₁₈ টাকা
দ্বিতীয় বন্ধু পাবে = ^x/₂ × ⁵/₉ টাকা
= ^5x/₁₈ টাকা
প্রশ্নানুযায়ী,
(^5x/₁₈ + ^x/₄) – (^4x/₁₈ + ^x/₄) = 800
বা, ^5x/₁₈ + ^x/₄ – ^4x/₁₈ – ^x/₄ = 800
বা, ^5x/₁₈ – ^4x/₁₈ = 800
বা, ^5x-4x/₁₈ = 800
বা, ^x/₁₈ = 800
বা, x = 800×18 = 14400
∴ প্রথম বন্ধু পাবে = ^x/₄ + ^4x/₁₈ টাকা
= ^9x+8x/₃₆ টাকা
= ^17x/₃₆ টাকা
= ¹⁷/₃₆ × 14400 টাকা
= 17 × 400 = 6800 টাকা
Ans: প্রথম বন্ধুর ল্ভ্যাংশের পরিমাণ 6800 টাকা

6. যে-কোনো একটি প্রশ্নের সমাধান করো: 3

(i) x² + x + 1 = 0 সমীকরণটির বীজগুলির বর্গ যে সমীকরণের বীজ, সেই সমীকরণটি নির্ণয় করো।

Solution:
x² + x + 1 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় α. ও β হলে,
বীজদ্বয়ের সমষ্টি = α + β = -1, এবং
বীজদ্বয়ের গুণফল = αβ = 1
∴ নির্ণেয় সমীকরনের বীজদ্বয় α² ও β ²
নির্ণেয় সমীকরনের,
বীজদ্বয়ের সমষ্টি = α² + β ²
= (α +.β)² – 2α.β
= (-1)² – 2.1
= 1 – 2 = -1 এবং
বীজদ্বয়ের গুণফল = α².β²
= (α.β)² = (1)² = 1
Ans: নির্ণেয় সমীকরণটি হবে –
x² – (- 1)x + 1 = 0
বা, x² + x + 1 = 0

(ii) কলমের মূল্য প্রতি ডজনে 6 টাকা কম হলে 30 টাকায় আরও তিনটি বেশি কলম পাওয়া যাবে। কমার পূর্বে প্রতি ডজন কলমের মূল্য নির্ণয় করো।

Solution:
ধরি প্রতি ডজন কলমের মূল্য x টাকা।
x টাকায় পাওয়া যায় 12 টি কলম ,
1 টাকায় পাওয়া যায় 12/x টি কলম,
30 টাকায় পাওয়া যায় 12×30/x টি কলম।
কলমের মূল্য প্রতি ডজনে 6 টাকা কমলে,
প্রতি ডজন কলমের মূল্য হয় (x – 6) টাকা।
সেক্ষেত্রে,
30 টাকায় পাওয়া যায় 12×30/(x – 6) টি কলম।
প্রশ্নানু্যায়ী,

$\Large{\quad\frac {12×30}{x-6}-\frac {12×30}{x}=3\\⇒\frac {360x-360(x-6)}{x(x-6)}=3\\⇒\frac {360x-360x-360×6}{x^{2}-6x}=3\\⇒\frac {360×6}{x^{2}-6x}=3\\⇒\frac {360×2}{x^{2}-6x}=1}$

⇒ x² – 6x = 720
⇒ x² – 6x – 720 = 0
⇒ x² – 30x + 24x – 720 = 0
⇒ x(x – 30) + 24(x – 30) = 0
⇒ (x – 30)(x + 24)= 0
হয় x – 30 = 0 নতুবা x + 24 = 0
বা, x = 30 বা, x = -24
মূল্য ঋণাত্মক হতে পারে না।
∴ x ≠ – 24
x = 30
Ans: কমার পূর্বে প্রতি ডজন কলমের মূল্য ছিল 30 টাকা।

Complete Solution of MP-19

7. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

(i) সরল করো:

$\large{\mathbf{\quad\frac{4√3}{2-√2}-\frac{30}{4√3-√18}-\frac{√18}{3-√12}\\Solution:}}$

$\large{\quad\frac{4√3}{2-√2}-\frac{30}{4√3-√18}-\frac{√18}{3-√12}\\=\frac{4√3(2+√2)}{(2-√2)(2+√2)}-\frac{30(4√3+√18)}{(4√3-√18)(4√3+√18)}-\frac{√18(3+√12)}{(3-√12)(3+√12)}\\=\frac{4√3(2+√2)}{(2)^2-(√2)^2}-\frac{30(4√3+3√2)}{(4√3)^2-(√18)^2}-\frac{3√2(3+√12)}{(3)^2-(√12)^2}\\=\frac{4√3(2+√2)}{4-2}-\frac{30(4√3+3√2)}{48-18}-\frac{3√2(3+2√3)}{9-12}\\=\frac{4√3(2+√2)}{2}-\frac{30(4√3+3√2)}{30}-\frac{3√2(3+2√3)}{-3}}$

= 2√3(2 + √2) – (4√3 + 3√2) + √2(3 + 2√3)
= 4√3 + 2√6 – 4√3 – 3√2 + 3√2 + 2√6
= 2√6 + 2√6
= 4√6

Ans: নির্ণয় সরলতম মান 4√6

$\large{\mathbf{(ii)}}$ যদি $\large{\mathbf{\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right)∝\frac{1}{x-y}}}$ হয় তবে দেখাও যে, $\large{\mathbf{(x² + y²)∝xy\\Solution:}}$

$\Large{\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right)∝\frac{1}{x-y}\\⇒\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right)=k\frac{1}{x-y}- – (k= Constant)\\⇒ \frac{y-x}{xy}=\frac{k}{x-y}\\⇒ \frac{-(x-y)}{xy}=\frac{k}{x-y}}$

⇒ (x – y)² = -kxy
⇒ x² – 2xy + y² = – kxy
⇒ x² + y² = 2xy – kxy
⇒ x² + y² = xy(2 – k)
⇒ ^{x² + y²}/_xy = (2 – k)
⇒ ^{x² + y²}/_xy = ধ্রুবক
∴ x² + y² ∝ xy (Proved)

8. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

(i) (3x – 2y) : (x + 3y) = 5 : 6 হলে, (2x + 5y) : (3x + 4y) নির্ণয় করো।

Solution:
(3x – 2y) : (x + 3y) = 5 : 6
⇒ ^{3x – 2y}/_{x + 3y} = 5/6
⇒ 6(3x – 2y) = 5(x + 3y)
⇒ 18x – 12y = 5x + 15
⇒ 18x – 5x = 15y + 12y
⇒ 13x = 27y
⇒ ^x/₂₇ = ^y/₁₃ = k (ধরি)
∴ x = 27k; y = 13k
প্রদত্ত রাশি:
= (2x + 5y) : (3x + 4y)
= (2×27k + 5×13k) : (3×27k + 4×13k)
= (54k + 65k) : (81k + 52k)
= 129k : 133k
= 129 : 133
= 17 : 19
Ans: নির্নেয় মান 17 : 19

$\large{\mathbf{(ii)}}$ যদি $\large{\mathbf{\frac{b+c-a}{y+z-x}=\frac{c+a-b}{z+x-y}=\frac{a+b-c}{x+y-z}}}$ হয়, তবে প্রমাণ করো যে, $\large{\mathbf{\quad\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\\Solution:}}$

$\large{\quad\frac{b+c-a}{y+z-x}=\frac{c+a-b}{z+x-y}=\frac{a+b-c}{x+y-z}}$

প্রতিটি অনুপাতের মান (সংযোজন প্রক্রিয়া)

$\Large{=\frac{b+c-a+a+b-c+c+a-b}{y+z-x+z+x-y+x+y-z}\\=\frac{b+c+a}{y+z+x}\\=\frac{a+b+c}{x+y+z}\\∴\frac{b+c-a}{y+z-x}=\frac{c+a-b}{z+x-y}=\frac{a+b-c}{x+y-z}=\frac{a+b+c}{x+y+z}\\∴\frac{b+c-a}{y+z-x}=\frac{a+b+c}{x+y+z}\\=\frac{a+b+c-(b+c-a)}{x+y+z-(y+z-x)}\\=\frac{a+b+c-b-c+a}{x+y+z-y-z+x}\\=\frac{2a}{2x}\\=\frac{a}{x}- – – (i)}$

আবার

$\Large{\frac{c+a-b}{z+x-y}=\frac{a+b+c}{x+y+z}\\=\frac{a+b+c-(c+a-b)}{x+y+z-(z+x-y)}\\=\frac{a+b+c-c-a+b}{x+y+z-z-x+y}\\=\frac{2b}{2y}\\=\frac{b}{y}- – – (ii)}$

এবং

$\Large{\frac{a+b-c}{x+y-z}=\frac{a+b+c}{x+y+z}\\=\frac{a+b+c-(a+b-c)}{x+y+z-(x+y-z)}\\=\frac{a+b+c-a-b+c}{x+y+z-x-y+z}\\=\frac{2c}{2z}\\=\frac{c}{z}- – – (iii)\\∴\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\quad\mathbf{(Proved)}}$

Complete Solution of MP-19

9. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

(i) অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ-প্রমাণ করো।

স্বীকারঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ∠ACB একটি অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
প্রামান্য বিষয়: ∠ACB =1 সমকোণ।।
অঙ্কন: A, P ও B, P যোগ করলাম।
প্রমাণঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের APB বৃত্তচাপের দ্বারা গঠিত সম্মুখ কেন্দ্রস্থ কোণ ∠AOB এবং ∠ACB ওই একই বৃত্তচাপের দ্বারা গঠিত সম্মুখ বৃত্তস্থ কোণ।
∴ ∠AOB = 2∠ACB – – – [∵ একই বৃত্তচাপের দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুন হয়]
বা, ∠ACB = ¹/₂∠AOB
আবার AB একটি সরলরেখাংশ।
∴ ∠AOB একটি সরলকোণ।
∴ ∠AOB = 2 সমকোণ
∴ ∠ACB = ¹/₂×2 সমকোণ
বা, ∠ACB = 1 সমকোণ
∴ অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ। (Proved)

(ii) প্রমাণ করো যে, যদি দুটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করে, তাহলে স্পর্শ বিন্দুটি কেন্দ্র দুটির সংযোজক সরলরেখাংশের ওপর অবস্থিত হবে।

স্বীকারঃ A ও B কেন্দ্রীয় দুটি বৃত্ত পরস্পরকে P বিন্দুতে স্পর্শ করেছে।
প্রামান্য বিষয়: A, P ও B সমরেখ।
অঙ্কন: A, P ও B, P যোগ করলাম।
প্রমাণঃ A কেন্দ্রীয় ও B কেন্দ্রীয় বৃত্তদুটি পরস্পরকে P বিন্দুতে স্পর্শ করেছে।
∴ P বিন্দুতে বৃত্ত দুটির একটি সাধারণ স্পর্শক আছে।
ধরি, ST হলো সাধারণ স্পর্শক যা দুটি বৃত্তকেই P বিন্দুতে স্পর্শ করেছে।
A কেন্দ্রীয় বৃত্তের ST স্পর্শক এবং AP স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।
∴ AP ⊥ ST
আবার B কেন্দ্রীয় বৃত্তের ST স্পর্শক এবং BP স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।
∴ BP ⊥ ST
AP ও BP একই বিন্দু P-তে ST সরলরেখার উপর লম্ব।
∴ AP ও BP একই সরলরেখায় অবস্থিত।
∴ A, P ও B সমরেখ। (Proved)

10. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

(i) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের পরিলিখিত চতুর্ভুজ ABCD হলে প্রমাণ করো যে. AB + CD = BC + DA

স্বীকারঃ ABCD চতুর্ভুজটি O কেন্দ্রীয় বৃত্তে পরিলিখিত। ধরি, AB, BC, CD ও DA বৃত্তটিকে যথাক্রমে P, Q. R ও S বিন্দুতে স্পর্শ করেছে।
প্রামান্য বিষয়: AB + CD = BC + DA
প্রমাণঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে অঙ্কিত দুটি স্পর্শক AS ও AP
∴ AS = AP . . . . [বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু থেকে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয়ের দৈর্ঘ্য সমান হয়]
অনুৰূপে, BP = BQ, CQ = CR এবং DR = DS
আবার AB একটি সরলরেখাংশ।
∴ AB + CD = AP + BP + CR + DR
= AS + BQ + CQ + DS
= (AS + DS) + (BQ + CQ)
= AD + BC
∴ AB + CD = BC + DA (Proved)

(ii) △ABC-এর ∠A সমকোণ এবং BP ও CQ দুটি মধ্যমা হলে, প্রমাণ করো যে, 5BC² = 4(BP² + CQ²)

স্বীকারঃ ত্রিভুজ ABC-এর ∠A সমকোণ এবং BP ও CQ দুটি মধ্যমা।
প্রামান্য বিষয়: 5BC² = 4(BP² + CQ²)
প্রমাণঃ ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠A সমকোণ।
∴ BC² = AB² + AC²
= (2AQ)² + (2AP)² – – – [ যেহেতু P ও Q যথাক্রমে AC ও AB এর মধ্যবিন্দু]
= 4AQ² + 4AP²
= 4(AQ² + AP²) – – – – (i)
সমকোণী ত্রিভুজ BAP-এর ক্ষেত্রে,
BP² = AP² + AB²
= AP² + (2AQ)²
= AP² + 4AQ² – – – – (ii)
এবং সমকোণী ত্রিভুজ CAQ-এর ক্ষেত্রে,
CQ² = AQ² + AC²
= AQ² + (2AP)²
= AQ² + 4AP² – – – – (iii)
(ii) + (iii) করে পাই
BP² + CQ²
= AP² + 4AQ² + AQ² + 4AP²
= 5AP² + 5AQ²
= 5(AP² + AQ²) – – – – (iv)
∵ BC² = 4(AQ² + AP²) – – – -[(i) নং থেকে]
⇒ 5BC² = 5x̄4(AQ² + AP²)
⇒ 5BC² = 4x̄5(AQ² + AP²)
⇒ 5BC² = 4(BP² + CQ²) – – – -[(iv) নং থেকে]
∴ 5BC² = 4(BP² + CQ²) (Proved)

Complete Solution of MP-19

11. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

(i) ABC একটি ত্রিভুজ অঙ্কন করো যার BC = 7 সেমি, AB = 5 সেমি এবং AC = 6 সেমি। ABC ত্রিভুজটির পরিবৃত্ত অঙ্কন করো। (কেবলমাত্র অঙ্কন চিহ্ন দিতে হবে)

সমকোণী ত্রিভুজের পরিবৃত্ত অঙ্কন

(ii) 4 সেমি ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি বৃত্ত অঙ্কন করো। বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 6.5 সেমি দূরে কোনো বহিঃস্থ বিন্দু থেকে ওই বৃত্তের দুটি স্পর্শক অঙ্কন করো।

বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু থেকে বৃত্তের উপর দুটি স্পর্শক অঙ্কন

12. যে-কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3×2=6

(i) △ABC-এর ∠C= 90^o, যদি BC = m এবং AC = n হয় তবে দেখাও যে, msinA + nsinB = √m² + n²
Solution:

△ABC-এর ∠C= 90^o,
BC = m এবং
AC = n
∴ AB² = BC² + AC²
⇒ AB² = m² + n²

$\Large{∴AB=\sqrt{m^2+n^2}}$

∴ sinA = ^BC/_AB
= ^m/_{√m² + n²}
sinB = ^AC/_AB
= ⁿ/_{√m² + n²}

$\Large{\mathbf{L.H.S.}\\msinA+nsinB\\=m×\frac{m}{\sqrt{m^2+n^2}}+n×\frac{n}{\sqrt{m^2+n^2}}\\=\frac{m^2}{\sqrt{m^2+n^2}}+\frac{n^2}{\sqrt{m^2+n^2}}\\=\frac{m^2+n^2}{\sqrt{m^2+n^2}}\\=\sqrt{m^2+n^2}\quad \mathbf{R.H.S. \quad (Proved)}}$

(ii) মান নির্ণয় করো: ⁴/₃cot²30^o + 3sin²60^o – 2cosec²60^o – ³/₄tan²30^o
Solution:
প্রদত্ত রাশি
⁴/₃cot²30^o + 3sin²60^o – 2cosec²60^o – ³/₄tan²30^o
= ⁴/₃×(√3)² + 3×(^√3/₂)² – 2×(²/_√3)² – ³/₄×(¹/_√3)²
= ⁴/₃×3 + 3×³/₄ – 2×⁴/₃ – ³/₄×¹/₃
= 4 + ⁹/₄ – ⁸/₃ – ¹/₄
= ^48+27-32-3/₁₂
= ^75-35/₁₂ = ⁴⁰/₁₂
= ¹⁰/₃ = 3 ¹/₃
Ans: নির্ণেয় মান 3 ¹/₃

(iii) যদি ∠P + ∠Q = 90^o হয় তবে দেখাও যে,

$\Large{\quad\mathbf{\sqrt{\frac{sinP}{cosQ}}-sinPcosQ=cos^2p}}$

Solution:
∠P + ∠Q = 90^o
∴ ∠Q = 90^o – ∠P
L.H.S.

$\Large{\quad\sqrt{\frac{sinP}{cosQ}}-sinPcosQ}\\=\sqrt{\frac{sinP}{cos(90^o-P)}}-sinPcos(90^o-P)\\=\sqrt{\frac{sinP}{sinP}}-sinPsinP$

= 1 -sin²P
= cos²P = R.H.S. (Proved)

Complete Solution of MP-19

13. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

(i) 600 মিটার চওড়া কোনো নদীর একটি ঘাট থেকে দুটি নৌকা দুটি ভিন্ন অভিমুখে নদীর ওপারে যাওয়ার জন্য রওনা দিল। যদি প্রথম নৌকাটি নদীর এপারের সঙ্গে 30^o কোণ এবং দ্বিতীয় নৌকাটি প্রথম নৌকার গতিপথের সঙ্গে 90^o কোণ করে চলে ওপারে পৌঁছায় তাহলে ওপারে পৌঁছানোর পরে নৌকা দুটির মধ্যে দূরত্ব কত হবে?

প্রথম নৌকাটি নদীর এপারের সঙ্গে 30° কোণ এবং দ্বিতীয় নৌকাটি প্রথম নৌকার গতিপথের সঙ্গে 90° কোণ করে চলে ওপারে পৌঁছায়।
চিত্রে ∠DAQ =30^o
∴ ∠BAD = 90^o – 30^o = 60^o
∠DAC = 90^o
∴ ∠CAB = 90^o – 60^o = 30^o
AB=600 মিটার।
DBA সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
^DB/_BA= tan60^o
বা, ^DB/₆₀₀ = √3
বা, DB = 600√3
আবার CBA সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
^CB/_BA = tan30^o
বা, ^CB/₆₀₀= ¹/_√3
বা, CB =⁶⁰⁰/_√3 = 200√3
∴ CD = CB + DB
= 200√3 + 600√3
= 800√3
Ans: ওপারে পৌঁছানোর পরে নৌকা দুটির মধ্যে দূরত্ব হবে 800√3 মিটার।

(ii) একটি তিনতলা বাড়ির ছাদে 3.6 মিটার দৈর্ঘ্যের একটি পতাকা দণ্ড আছে। রাস্তার কোনো একস্থান থেকে দেখলে পতাকা দন্ডটির চূড়া ও পাদদেশের উন্নতি কোণ যথাক্রমে 50^o ও 45^o হয়। বাড়িটির উচ্চতা কত?(ধরে নাও tan 50^o = 1.2)

চিত্রে,
পতাকা দণ্ড DC= 3.6 মিটার এবং
বাড়ি AD
∠ABD = 45^o
∠ABC = 50^o
∴ DAB সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
^DA/_AB = tan45^o
বা, ^DA/_AB = 1
বা DA = AB
আবার CAB সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
^CA/_AB = tan50^o
বা, ^CD+DA/_AB= 1.2
বা, ^3.6+DA/_AD = 1.2 – – – – [∵ AB = AD]
বা, 1.2DA = 3.6 + DA
বা, 1.2DA – DA = 3.6
বা 0.2DA = 3.6
বা, DA = 18
Ans: বাড়িটির উচ্চতা 18 মিটার।

14. যে-কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 4×2=8

(i) ঘনকাকৃতি একটি জলপূর্ণ চৌবাচ্চা থেকে সমান মাপের 64 বালতি জল তুলে নিলে চৌবাচ্চাটির ¹/₃ অংশ জলপূর্ণ থাকে। চৌবাচ্চাটির বাহুর দৈর্ঘ্য যদি 1.2 মিটার হয়, তবে প্রতিটি বালতিতে কত লিটার জল ধরে? (1 ঘনডেসিমিটার = 1 লিটার)
Solution:
চৌবাচ্চাটির বাহুর দৈর্ঘ্য 1.2 মিটার
∴ চৌবাচ্চাটির আয়তন
= (1.2)³ ঘন মিটার
= 1.728 ঘন মিটার
= 1728 ঘন ডেসিমি
= 1728 লিটার – – – [: ঘন ডেসিমি = 1 লিটার]
64 বালতি জল = চৌবাচ্চাটির আয়তনের (1 – ⅓) অংশ
= ⅔ অংশ
∴ 64 বালতি জল = 1728 × ⅔ লিটার
= 1152 লিটার
∴ 1 বালতি জল = ¹¹⁵²/₆₄ লিটার
= 18 লিটার
Ans: প্রতি বালতিতে 18 লিটার জল ধরে।

(ii) একটি তারের প্রস্থচ্ছেদের ব্যাস 50% কমানো হল। আয়তন অপরিবর্তিত রাখতে হলে তারটির দৈর্ঘ্য কত শতাংশ বাড়াতে হবে?

Solution:
ধরি, তারের প্রস্থচ্ছেদের ব্যাস 4r একক এবং দৈর্ঘ্য h একক
∴ প্রস্থচ্ছেদের ব্যাসার্ধ 2r একক
∴ তারের আয়তন = π(2r)²h ঘনএকক
= 4πr²h ঘনএকক
প্রস্থচ্ছেদের ব্যাস 50% কমালে ব্যাস হবে 4r×⁵⁰/₁₀₀ = 2r একক
∴ প্রস্থচ্ছেদের ব্যাসার্ধ হবে r একক
আয়তন অপরিবর্তিত রাখতে হলে তারটির দৈর্ঘ্য হবে x একক
∴ তারের আয়তন হবে = πr²x ঘনএকক
আয়তন অপরিবর্তিত থাকবে,
∴ পরিবর্তিত আয়তন = পূর্বের আয়তন
πr²x = 4πr²h
⇒ x = 4h
তারটির দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি পাবে
= (4h – h) একক
= 3h একক
= ^3h/_h.100 %
= 300 %
Ans: আয়তন অপরিবর্তিত রাখতে হলে তারটির দৈর্ঘ্য বাড়াতে হবে 300%

(iii) লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির একটি তাঁবু তৈরি করতে 77 বর্গমিটার ত্রিপল লেগেছে। তাঁবুটির তির্যক উচ্চতা যদি 7 মিটার হয়, তবে তাঁবুটির ভূমিতলের ক্ষেত্রফল কত?
Solution:
লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির তাঁবুর পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল 77 বর্গ মিটার।
আবার, তাঁবুটির তির্যক উচ্চতা 7 মিটার।
ধরি, তাঁবুটির ভূমির ব্যাসার্ধ r মিটার।
প্রশ্নানুসারে,
πrl = 77
⇒ ²²/₇×r×7 = 77
⇒ 22r = 77
∴ r= 7/2
∴ তাঁবুটির ভূমিতলের ক্ষেত্রফল
= ²²/₇×⁷/₂×⁷/₂ বর্গ মিটার
= 11×⁷/₂ বর্গ মিটার
= ⁷⁷/₂ = 38.5 বর্গ মিটার
Ans: তাঁবুটির ভূমিতলের ক্ষেত্রফল 38.5 বর্গ মিটার।

Complete Solution of MP-19

15. যে-কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 4×2=8

(i) যদি নীচের পরিসংখ্যা বিভাজন তালিকার যৌগিক গড় 54 হয়, তবে K-এর মান নির্ণয় করো:

শ্রেণি	0-20	20-40	40-60	60-80	80-100
পরিসংখ্যা	7	11	K	9	13

Solution:
প্রদত্ত তথ্যের ভিত্তিতে পরিসংখ্যা বিভাজন ছকটি হল:

শ্রেণি-সীমানা	পরিসংখ্যা(f_i)	শ্রেণী মধ্যক(x_i)	x_if_i
0-20	7	10	70
20-40	11	30	330
40-60	k	50	50k
60-80	9	70	630
80-100	13	90	1170
মোট	Σf_i=k+40		Σx_if_i=2200+50k

নম্বরের যৌগিক গড় 54
প্রশ্নানুযায়ী,

$$\Large{\frac{Σf_{i}x{i}}{Σf_{i}}=54\\⇒\frac{2200+50k}{k+40}=54\\⇒54k+2160=2200+50k\\⇒54k-50k=2200-2160\\⇒4k=40\\\therefore k=10}$$

Ans: k-এর মান 10

Complete Solution of MP-19

(ii) নীচের প্রদত্ত ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা বিভাজন ছকটি থেকে পরিসংখ্যা বিভাজন ছক তৈরি করে তথ্যটির সংখ্যাগুরুমান নির্ণয় করো:

শ্রেণি	10-এর কম	20-এর কম	30-এর কম	40-এর কম	50-এর কম	60-এর কম	70-এর কম	80-এর কম
পরিসংখ্যা	4	16	40	76	96	112	120	125

Solution:
প্রদত্ত ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা বিভাজন ছকটি থেকে পরিসংখ্যা বিভাজন ছক হল-

শ্রেণি	10-এর কম	20-এর কম	30-এর কম	40-এর কম	50-এর কম	60-এর কম	70-এর কম	80-এর কম
পরিসংখ্যা	4	16	40	76	96	112	120	125

শ্ৰেণী সীমানা	পরিসংখ্যা
0 – 10	4
10 – 20	16 – 4 = 12
20 – 30	40 – 16 = 24
30 – 40	76 – 40 = 36
40 – 50	96 – 76 = 20
50 – 60	112 – 96 = 16
60 – 70	120 – 112 = 8
70 – 80	125 – 120 = 5

প্রদত্ত পরিসংখ্যা বিভাজন ছকে সর্বাধিক পরিসংখ্যা 36
∴ সংখ্যাগুরুমান সংবলিত শ্রেণি 30 – 40
এখানে, l = 30; f₀ = 24;
f₁ = 36; f₂ = 20
h = 40 – 30 = 10;
∴ সংখ্যাগুরুমান

$\Large{= l+\frac{f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-f_{0}-f_{2}}×h\\=30+\frac{36-24}{2×36-24-20}×10\\=30+\frac{12}{28}×10\\=30+\frac{30}{7}}$

= 30 + 4.29 (প্রায়)
= 34.29 (প্রায়)
Ans: তথ্যটির সংখ্যাগুরুমান 34.29