Author: TEAM PROSTUTI

Koshe Dekhi 18.2 Class X Similarity সদৃশতা
Koshe Dekhi 18.2 Class X Similarity সদৃশতা
সদৃশতা Koshe Dekhi 18.2 Class X Similarity
Madhyamik Previous Year (2017 – 2024) MATHEMATICS Question with complete solution|
বিগত বছরের (2017 – 2024) মাধ্যমিক গণিত প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নীচের BUTTON-এ CLICK করো|
CLICK
1. (i)△ABC-এর BC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা AB ও AC বাহুকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে।
PB = AQ, AP = 9 একক, QC = 4 একক হলে, PB-এর দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
Solution:
এখানে PB = AQ
AP = 9 একক, QC = 4 একক
∵ PQ ∥ BC
∴ থ্যালাসের উপপাদ্য থেকে পাই,
^AP/_PB = ^AQ/_QC
∴ ⁹/_PB = ^PB/₄
⇒ PB² = 36
⇒ PB = 6
Ans: PB-এর দৈর্ঘ্য 6 একক
1. (ii)△ABC-এর BC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা AB ও AC বাহুকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে।
PB-এর দৈর্ঘ্য AP-এর দৈর্ঘ্যের দ্বিগুণ এবং QC-এর দৈর্ঘ্য AQ-এর দৈর্ঘ্যের চেয়ে 3 একক বেশি হলে, AC-এর দৈর্ঘ্য কত হবে, হিসাব করে লিখি।
Solution:

এখানে PB = 2AP
ধরি, AQ = x একক,
∴ QC = (x + 3) একক
∵ PQ ∥ BC
∴ থ্যালাসের উপপাদ্য থেকে পাই,
^AP/_PB = ^AQ/_QC
∴ ^AP/_2AP = ^x/_{x + 3}
⇒ ¹/₂ = ^x/_{x + 3}
⇒ 2x = x + 3
∴ x = 3
∴ QC = (3 + 3) একক
= 6 একক
∴ AC = AQ + QC
= (3 + 6) = 9 একক
Ans: AC-এর দৈর্ঘ্য 9 একক
1. (iii)△ABC-এর BC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা AB ও AC বাহুকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে।
যদি AP = QC, AB-এর দৈর্ঘ্য 12 একক এবং AQ-এর দৈর্ঘ্য 2 একক হয়, তবে CQ-এর দৈর্ঘ্য কত হবে, হিসাব করে লিখি।
Solution:

ধরি, AP = QC = x একক , AB = 12 একক
এবং AQ = 2 একক
∴ PB = (12 – x) একক
∵ PQ ∥ BC
∴ থ্যালাসের উপপাদ্য থেকে পাই,
^AP/_PB = ^AQ/_QC
∴ ^x/_(12-x) = ²/_x
⇒ x² = 2(12 – x)
⇒ x² + 2x -24 = 0
বা, x² + 6x – 4x -24 = 0
⇒ x(x + 6) – 4(x + 6) = 0
⇒ (x + 6)(x – 4) = 0
হয় (x + 6) = 0 নতুবা (x – 4) = 0
∴ x = -6 x = 4
বাহুর দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হয় না।
x ≠ -6
∴ x = 4
Ans: CQ-এর দৈর্ঘ্য 4 একক
Koshe Dekhi 18.2 Class X
2. (i) △PQR-এর PQ ও PR বাহুর উপর যথাক্রমে X, Y দুটি বিন্দু নিলাম।
PX = 2 একক, XQ = 3.5 একক, YR = 7 একক এবং PY = 4.25 একক হলে, XY ও QR পরস্পর সমান্তরাল হবে কিনা যুক্তি দিয়ে লিখি।
Solution:

এখানে PX = 2 একক, XQ = 3.5 একক,
YR = 7 একক, PY = 4.25 একক
XY ও QR পরস্পর সমান্তরাল হবে যদি
^PX/_XQ= ^PY/_YRহয়।
∴ ^PX/_XQ= ²/_3.5 = ²⁰/₃₅ = ⁴/₇
^PY/_YR= ^4.25/₇ = ⁴²⁵/₇₀₀ = ¹⁷/₂₈
∴ ^PX/_XQ≠ ^PY/_YR
থ্যালেসের বিপরীত উপপাদ্য অনুযায়ী,
∴ XY ∦ QR
Ans: XY ও QR সমান্তরাল হবে না।
2 (ii)△PQR-এর PQ ও PR বাহুর উপর যথাক্রমে X, Y দুটি বিন্দু নিলাম।
PQ = 8 একক, YR = 12 একক, PY = 4 একক এবং PY-এর দৈর্ঘ্য XQ-এর দৈর্ঘ্যের চেয়ে 2 একক কম হলে, XY ও QR সমান্তরাল হবে কিনা যুক্তি দিয়ে লিখি।
Solution:

এখানে PQ = 8 একক, YR = 12 একক,
PY = 4 একক
PY-এর দৈর্ঘ্য XQ-এর দৈর্ঘ্যের চেয়ে 2 একক কম।
∴ XQ = PY + 2 একক
= (4 + 2) একক = 6 একক
∴ PX = PQ – XQ
= (8 – 6) একক = 2 একক
XY ও QR পরস্পর সমান্তরাল হবে যদি
^PX/_XQ= ^PY/_YRহয়।
∴ ^PX/_XQ= ²/₆ = ¹/₃
^PY/_YR= ⁴/₁₂= ¹/₃
∴ ^PX/_XQ= ^PY/_YR
থ্যালেসের বিপরীত উপপাদ্য অনুযায়ী,
∴ XY ∥ QR
Ans: XY ও QR সমান্তরাল হবে ।
3. প্রমাণ করি যে, কোনো ত্রিভুজের একটি বাহুর মধ্যবিন্দু দিয়ে অঙ্কিত দ্বিতীয় বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা তৃতীয় বাহুকে সমদ্বিখন্ডিত করে। [ থ্যালাসের উপপাদ্যের সাহায্যে প্রমাণ করি]
Solution:

স্বীকার: △ABC –এর AB বাহুর মধ্যবিন্দু P দিয়ে অঙ্কিত BC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা AC-কে Q বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয়: Q, AC –এর মধ্যবিন্দু। অর্থাৎ, AQ = QC।
প্রমান: △ABC –এর PQ || BC
∴ থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পাই,
^AP/_PB= ^AQ/_QC
⇒ ^AP/_AP= ^AQ/_QC – – – [∵ X, AB বাহুর মধ্যবিন্দু, ∴ AP = PB]
⇒ 1 = ^AQ/_QC
∴ AQ = QC
∴ Q, AC বাহুর মধ্যবিন্দু। (প্রমাণিত)
দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নিচের BUTTON-এ ক্লিক করো।
CLICK
4. △ABC-এর AD মধ্যমার উপর P একটি বিন্দু। বর্ধিত BP ও CP যথাক্রমে AC ও AB-কে Q ও R বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, RQ ∥ BC.
Solution:

স্বীকার: △ABC-এর AD মধ্যমার উপর P একটি বিন্দু। বর্ধিত BP ও CP যথাক্রমে AC ও AB-কে Q ও R বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয়: RQ ∥ BC
অঙ্কন: AD- কে X পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করা হল যেন PD = DX হয়। B, X; C, X যুক্ত করা হল।
প্রমান: PBXC চতুর্ভুজের,
PD = DX – – – [ অঙ্কনানুসারে]
এবং BD = DC – – – [∵ AD মধ্যমা]
∴ PBXC চতুর্ভুজটি একটি সামান্তরিক – – – [ ∵ সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখন্ডিত করে]
∴ PC || BX অর্থাৎ RP || BX
থ্যালেসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
^AR/_RB= ^AP/_PX– – – (i)
আবার ∵ PBXC একটি সামান্তরিক
∴ BP || XC অর্থাৎ PQ || XC
∴ থ্যালেসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
^AP/_PX= ^AQ/_QC– – – (Ii)
∴ (i) ও (ii) থেকে পাই,
^AR/_RB= ^AQ/_QC
∴ থ্যালেসের বিপরীত উপপাদ্য অনুযায়ী,
RQ || BC [প্রমাণিত]
5. △ABC-এর BE ও CF মধ্যমা দুটি পরস্পরকে G বিন্দুতে ছেদ করেছে এবং FE সরলরেখাংশ AG সরলরেখাংশকে O বিন্দুতে ছেদ করলে, প্রমাণ করি যে, AO = 3OG
Solution:

স্বীকার: △ABC-এর BE ও CF মধ্যমা দুটি পরস্পরকে G বিন্দুতে ছেদ করেছে এবং FE সরলরেখাংশ AG সরলরেখাংশকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে
প্রামাণ্য বিষয়: AO = 3OG
অঙ্কন: AG কে বর্ধিত করা হল যা BC কে D বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমান: △ABC-এর, AB বাহুর মধ্যবিন্দু F – – – (∵ CF মধ্যমা)
এবং AC বাহুর মধ্যবিন্দু E – – -(∵ BE মধ্যমা)
∴ FE || BC
△ABD-এর FO || BD – – – – [∵ FE || BC]
∴ থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পাই,
^AF/_FB= ^AO/_OD– – – (i)
⇒ ^AF/_AF= ^AO/_OD – – – [∵ F, AB বাহুর মধ্যবিন্দু, ∴ AF = FB]
⇒1 = ^AO/_OD
⇒ AO = OD
∴O, AD বাহুর মধ্যবিন্দু।
আবার
AO + OD = AD
⇒ AO + AO = ³/₂ AG – – – [AG = ²/₃AD]
⇒ 2AO = ³/₂ (AO + OG)
বা, 4AO = 3(AO + OG)
⇒ 4AO = 3AO + 3OG
⇒ AO = 3OG (প্রমাণিত)
6. প্রমাণ করি যে, ট্রাপিজিয়মের তির্যক বাহুগুলির মধ্যবিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখাংশ সমান্তরাল বাহুগুলির সমান্তরাল।
Solution:

স্বীকার: ABCD ট্রাপিজিয়মের AD || BC এবং তির্যক বাহু AB ও CD-এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P ও Q
প্রামাণ্য বিষয়: PQ || AD এবং
PQ || BC
অঙ্কন: BA ও CD কে বর্ধিত করা হল যারা পরস্পরকে R বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমান: △RBC এর AD || BC – – – – (স্বীকার)
∴ থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পাই,
^RA/_AB= ^RD/_DC– – – (i)
আবার AB ও CD-এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P ও Q
∴ AB = 2AP এবং DC = 2DQ
(i) থেকে পাই,
^RA/_AB= ^RD/_DC
⇒ ^RA/_2AP= ^RD/_2DQ
⇒ ^RA/_AP= ^RD/_DQ
∴ △RAP এর ^RA/_AP= ^RD/_DQ
∴থ্যালেসের বিপরীত উপপাদ্য থেকে পাই,
PQ || AD (Proved)
আবার PQ || AD এবং AD || BC
∴ PQ || BC (Proved)
7. △ABC-এর BC বাহুর উপর D যে-কোনো একটি বিন্দু। P, Q যথাক্রমে △ABD ও △ADC-এর ভরকেন্দ্র। প্রমাণ করি যে, PQ ∥ BC.
Solution:

স্বীকার: △ABC-এর BC বাহুর উপর D যে-কোনো একটি বিন্দু। P, Q যথাক্রমে △ABD ও △ADC-এর ভরকেন্দ্র।
প্রামাণ্য বিষয়: PQ ∥ BC
অঙ্কন: ABD ও ADC ত্রিভুজের মধ্যমা যথাক্রমে AR এবং AS অঙ্কন করা হলো।
প্রমান: AR, ত্রিভুজ ABD-এর মধ্যমা এবং P, AR-এর উপর অবস্থিত।
∴ ^AP/_PR= ³/₁ – – – – (i)
আবার, AS, ত্রিভুজ ADC-এর মধ্যমা এবং Q, AS-এর উপর অবস্থিত।
∴ ^AQ/_QS = ³/₁ – – – – (ii)
(i) ও (ii) থেকে পাই,
^AP/_PR = ^AQ/_QS
∴ ARS ত্রিভুজের ^AP/_PR = ^AQ/_QS
∴ থ্যালেসের বিপরীত উপপাদ্য অনুসারে,
PQ ∥ RS
∴ PQ ∥ BC (প্রমাণিত)
8. একই ভূমি QR-এর উপর এবং একই পার্শ্বে দুটি ত্রিভুজ △PQR ও △SQR অঙ্কন করেছি যাদের ক্ষেত্রফল সমান। F ও G যথাক্রমে ত্রিভুজদুটির ভরকেন্দ্র হলে প্রমাণ করি যে, FG ∥ QR.
Solution:

স্বীকার: সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট দুটি ত্রিভুজ △PQR এবং △SQR একই ভূমি QR-এর উপর এবং QR-এর একই পার্শ্বে অবস্থিত।F ও G যথাক্রমে △PQR এবং △SQR ত্রিভুজ দুটির ভরকেন্দ্র।
অঙ্কন: P, S যুক্ত করা হল। P, F ও S, G যুক্ত করে বর্ধিত করা হল যারা পরস্পরকে QR-এর উপর E বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রামাণ্য বিষয়: FG ∥ QR
প্রমান: ∵ ত্রিভুজ △PQR এবং △SQR একই ভূমি QR-এর উপর এবং QR-এর একই পার্শ্বে অবস্থিত এবং তাদের ক্ষেত্রফল সমান।
∴ QR ∥ PS
PT ত্রিভুজ PQR-এর মধ্যমা এবং F, PT-এর উপর অবস্থিত।
∴ PF/_FT = ³/₁ – – – – (i)
আবার, ST ত্রিভুজ SQR-এর মধ্যমা এবং G, ST-এর উপর অবস্থিত।
∴ ^SG/_GT = ³/₁ – – – – (ii)
(i) ও (ii) থেকে পাই,
^PF/_FT = ^SG/_GT
∴ PST ত্রিভুজের ^PF/_FT = ^SG/_GT
∴ থ্যালেসের বিপরীত উপপাদ্য অনুসারে,
FG ∥ QR (প্রমাণিত)
9. প্রমাণ করি যে, কোনো সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়মের সমান্তরাল বাহুদুটির যে-কোনো একটির সংলগ্ন কোণ দুটি সমান।
Solution:

স্বীকার: ABCD সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়মের AD ∥ BC এবং AB = DC
প্রামাণ্য বিষয়: ∠BAD = ∠ADC
অঙ্কন: BA ও CD-কে বর্ধিত করা হল যারা পরস্পরকে E বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমান: △EBC ত্রিভুজের AD ∥ BC
∴ থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পাই,
^EA/_AB = ^ED/_DC
আবার AB = DC
∴ ^EA/_AB = ^ED/_AB
⇒ EA = ED
∴ EAD সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
∴ ∠EAD = ∠EDA
∵ ∠BAD = 180^o – ∠EAD
= 180^o – ∠EDA – – – – [∵ ∠EAD = ∠EDA]
= ∠ADC
∴ ∠BAD = ∠ADC (প্রমাণিত)
10. △ABC এবং △DBC একই ভূমি BC-এর উপর এবং BC-এর একই পার্শ্বে অবস্থিত। BC বাহুর উপর E যেকোনো একটি বিন্দু। E বিন্দু দিয়ে AB এবং BD-এর সমান্তরাল সরলরেখা AC এবং DC বাহুকে যথাক্রমে F ও G বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, AD ∥ FG.
Solution:

স্বীকার: △ABC এবং △DBC একই ভূমি BC-এর উপর এবং BC-এর একই পার্শ্বে অবস্থিত। BC বাহুর উপর অবস্থিত যেকোনো একটি বিন্দু E দিয়ে AB এবং BD-এর সমান্তরাল সরলরেখা AC এবং DC বাহুকে যথাক্রমে F ও G বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয়: AD ∥ FG
অঙ্কন: AD ও FG যুক্ত করা হল।
প্রমান: △ABC ত্রিভুজের AB ∥ FE
∴ থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পাই,
^CE/_EB = ^CF/_FA – – – – (i)
আবার △CBD ত্রিভুজের EG ∥ BD
∴ থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পাই,
^CE/_EB = ^CG/_GD – – – – (ii)
(i) ও (ii) থেকে পাই,
^CF/_FA = ^CG/_GD
∴ △CAD ত্রিভুজের,
^CF/_FA = ^CG/_GD
∴ থ্যালাসের বিপরীত উপপাদ্য থেকে পাই,
FG ∥ AD
∴ AD ∥ FG (প্রমাণিত)
দশম শ্রেণীর ভৌত বিজ্ঞান এবং জীবন বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন
Koshe Dekhi 18.2 Class X
11. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)
(i) △ABC-এর BC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা AB এবং AC বাহুকে যথাক্রমে X এবং Y বিন্দুতে ছেদ করে। AX = 2.4 সেমি, AY = 3.2 সেমি এবং YC = 4.8 সেমি, হলে AB-এর দৈর্ঘ্য
(a) 3.6 সেমি(b) 6 সেমি(c) 6.4 সেমি(d) 7.2 সেমি

Ans: (b) 6 সেমি
[△ABC-এর BC ∥ XY
∴ থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পাই,
\(\Large{\quad\frac{AX}{XB}=\frac{AY}{YC}\\⇒\frac{2.4}{XB}=\frac{3.2}{4.8}\\⇒XB=\frac{2.4×4.8}{3.2}}\)
∴ XB = 3.6
∴ AB = AX + XB
= (2.4 + 3.6) সেমি
= 6 সেমি]
(ii) △ABC ত্রিভুজের AB এবং AC বাহুর উপর D ও E বিন্দু এমনভাবে অবস্থিত যে DE ∥ BC এবং AD : DB = 3 : 1; যদি EA = 3.3 সেমি হয়, তাহলে AC-এর দৈর্ঘ্য
(a) 1.1 সেমি (b) 4 সেমি (c) 4.4 সেমি (d) 5.5 সেমি

Ans: (c) 4.4 সেমি
[△ABC-এর DE ∥ BC
∴ থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পাই,
\(\Large{\quad\frac{A D}{DB}=\frac{AE}{EC}\\⇒\frac{3}{1}=\frac{3.3}{EC}\\⇒EC=\frac{3.3}{3}}\)
∴ EC = 1.1
∴ AC = AE + EC
= (3.3 + 1.1) সেমি
= 4.4 সেমি]
(iii) পাশের চিত্রে DE ∥ BC হলে x-এর মান
(a) 4 (b) 1 (c) 3 (d) 2

Ans: (d) 2
[△ABC-এর DE ∥ BC
∴ থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পাই,
\(\Large{\quad\frac{A D}{DB}=\frac{AE}{EC}\\⇒\frac{x+3}{3x+19}=\frac{x}{3x+4}}\)
⇒ (x + 3)(3x + 4) = x(3x + 19)
⇒ 3x² + 4x + 9x + 12 = 3x² + 19x
ব্যা 13x + 12 = 19x
⇒ 13x – 19x = -12
⇒ -6x = -12
∴ x = 2]
(iv) ABCD ট্রাপিজিয়মের AB ∥ DC এবং AD ও BC বাহুর উপর P ও Q বিন্দু দুটি এমনভাবে অবস্থিত যে PQ ∥ DC; যদি PD = 18 সেমি, BQ = 35 সেমি, QC = 15 সেমি হয়, তাহলে AD-এর দৈর্ঘ্য
(a) 60 সেমি (b) 30 সেমি (c) 12 সেমি (d) 15 সেমি
Ans: (a) 60 সেমি.

ABCD ট্রাপিজিয়মের AB ∥ DC এবং PQ ∥ DC;
\(\Large{∴\frac{A P}{PD}=\frac{BQ}{QC}\\⇒\frac{A P}{18}=\frac{35}{15}\\∴AP=\frac{35×18}{15}\\⇒AP=42}\)
AD = AP + PD
= (42 + 18) সেমি. = 60 সেমি.]
(v) পাশের চিত্রে, DP = 5 সেমি, DE = 15 সেমি, DQ = 6 সেমি এবং QF = 18 সেমি হলে
(a) PQ = EF (b) PQ ∥ EF (c) PQ ≠ EF (d) PQ ∦ EF

Ans: (d) PQ ∦ EF
[PE = DE – DP
= (15 – 5) সেমি = 10 সেমি
\(\Large{∴\frac{DP}{PE}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\\\frac{DQ}{PE}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}\\∴\frac{DP}{PE}≠\frac{DQ}{PE}\\∴PQ ∦ EF]}\)
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি :
(i) দুটি সদৃশ ত্রিভুজ সর্বদা সর্বসম।
Ans: মিথ্যা
(ii) পাশের চিত্রে DE ∥ BC হলে, AB/BD = AC/CE হবে

Ans: সত্য
[△ABC-এর DE ∥ BC
∴ থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পাই,
\(\Large{\quad\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{CE}\\⇒\frac{AD}{BD}+1=\frac{AE}{CE}+1\\⇒\frac{AD+BD}{BD}=\frac{AE+CE}{CE}\\⇒\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{CE}]}\)
(C) শূন্যস্থান পূরণ করি :
(i) একটি ত্রিভুজের যে-কোনো বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা অপর দুটি বাহুকে বা তাদের বর্ধিতাংশকে __________ বিভক্ত করে।
Ans: সমানুপাতে
(ii) দুটি ত্রিভুজের ভূমি একই সরলরেখায় অবস্থিত এবং ত্রিভুজ দুটির অপর শীর্ষবিন্দুটি সাধারণ হলে ত্রিভুজ দুটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত ভূমির দৈর্ঘ্যের অনুপাতের __________।
Ans: সমান
(iii) একটি ট্রাপিজিয়মের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমান্তরাল সরলরেখা অপর বাহুদ্বয়কে __________ বিভক্ত করে।
Ans: সমানুপাতে
12. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) পাশের চিত্রে, ABC ত্রিভুজে \(\Large{\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}}\) এবং ∠ADE = ∠ACB হলে, বাহুভেদে ABC ত্রিভুজটি কী ধরনের লিখি।

△ABC-এর \(\Large{\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}}\)
∴ থ্যালেসের বিপরীত উপপাদ্য থেকে পাই,
DE ∥ BC
∵ DE ∥ BC এবং AB ভেদক
∴∠ADE = ∠ABC – – – (অনুরূপ কোন)
আবার ∠ADE = ∠ACB
∴ ∠ABC = ∠ACB
△ABC-এর ∠ABC = ∠ACB
∴ AB = AC
Ans: বাহুভেদে ABC ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
Koshe Dekhi 18.2 Class X
(ii) পাশের চিত্রে DE ∥ BC এবং AD : BD = 3 : 5 হলে, △ADE-এর ক্ষেত্রফল : △CDE-এর ক্ষেত্রফল কত তা লিখি।
Solution:

△ABC-এর DE ∥ BC
∴ থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পাই,
\(\Large{\quad ∴\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}\\⇒\frac{3}{5}=\frac{AE}{EC}}\)
ধরি, D থেকে AB বাহুর লম্ব দূরত্ব h
∴△ADE-এর ক্ষেত্রফল : △CDE-এর ক্ষেত্রফল
= ¹/₂×AE×h : ¹/₂×EC×h
= AE : EC = 3 : 5 (Ans)
(iii) পাশের চিত্রে LM ∥ AB এবং AL = (x – 3) একক, AC = 2x একক, BM = (x – 2) একক এবং BC = (2x + 3) একক হলে, x-এর মান নির্ণয় করি।
Solution:

△CAB-এর LM ∥ AB
∴ থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পাই,
\(\Large{\quad ∴\frac{CL}{LA}=\frac{CM}{MB}\\⇒\frac{CL}{LA}+1=\frac{CM}{MB}+1\\⇒\frac{CL+LA}{LA}=\frac{CM+MB}{MB}\\⇒\frac{AC}{AL}=\frac{BC}{BM}\\⇒\frac{2x}{x-3}=\frac{2x+3}{x-2}}\)
⇒ 2x(x – 2) = (x – 3)(2x + 3)
⇒ 2x² – 4x = 2x² +3x – 6x – 9
বা, – 4x + 6x – 3x = -9
⇒ -x = -9
⇒x = 9
Ans: x-এর মান 9
Koshe Dekhi 18.2 Class X
(iv) পাশের চিত্রে, ABC ত্রিভুজে DE ∥ PQ ∥ BC এবং AD = 3 সেমি, DP = x সেমি, PB = 4 সেমি, AE = 4 সেমি, EQ = 5 সেমি, QC = y সেমি হলে, x ও y-এর মান নির্ণয় করি।
Solution:

চিত্রে, ABC ত্রিভুজে DE ∥ PQ ∥ BC এবং
AD = 3 সেমি, DP = x সেমি,
PB = 4 সেমি, AE = 4 সেমি,
EQ = 5 সেমি, QC = y সেমি
△APQ-এর DE ∥ PQ
∴ থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পাই,
\(\Large{\quad ∴\frac{AD}{DP}=\frac{AE}{EQ}\\⇒\frac{3}{x}=\frac{4}{5}\\∴x=\frac{3×5}{4}=\frac{15}{4}}\)
আবার,△ABC-এর PQ ∥ BC
∴ থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পাই,
\(\Large{\quad ∴\frac{AP}{PB}=\frac{AQ}{QC}\\⇒\frac{AD+DP}{PB}=\frac{AE+EQ}{QC}\\⇒\frac{3+\frac{15}{4}}{4}=\frac{4+5}{y}\\⇒\frac{\frac{12+15}{4}}{4}=\frac{9}{y}\\⇒\frac{27}{16}=\frac{9}{y}\\∴y=\frac{16}{3}}\)
Ans: x-এর মান ¹⁵/₄ এবং
y-এর মান ¹⁶/₃
(v) পাশের চিত্রে, DE ∥ BC, BE ∥ XC এবং ^AD/_DB = ²/₁ হলে, ^AX/_XB -এর মান নির্ণয় করি।
Solution:

△ABC-এর DE ∥ BC
∴ থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পাই,
\(\Large{\quad ∴\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}\\⇒\frac{2}{1}=\frac{AE}{EC}\\∴\frac{AE}{EC}=\frac{2}{1}}\)
আবার, △AXC এর BE ∥ XC
∴ থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পাই,
\(\Large{\quad∴\frac{AB}{BX}=\frac{AE}{EC}\\⇒\frac{AB}{BX}=\frac{2}{1}\\⇒\frac{AB}{BX}+1=\frac{2}{1}+1\\⇒\frac{AB+BX}{BX}=\frac{2+1}{1}\\∴\frac{AX}{XB}=\frac{3}{1}\quad\mathbf{Ans}}\)
Madhyamik Question
MP-2022
▶️ △ABC -এর DE || BC, যেখানে D ও E যথাক্রমে AB ও AC বাহুর ওপর অবস্থিত। যদি AD = 5 সেমি., DB = 6 সেমি. এবং AE = 7.5 সেমি, হয়, তবে AC এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
VIEW ANSER
MP-2018
▶️ △ABC-এর BC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা AB ও AC কে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে। যদি AP = 4 সেমি, QC = 9 সেমি এবং PB = AQ হয় তাহলে PB-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
Solution:

△ABC-এর BC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা AB ও AC কে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে
এখানে
AP = 4 সেমি,
QC = 9 সেমি এবং
PB = AQ
ধরি, PB = x সেমি
\(\large{\frac{AP}{PB}=\frac{AQ}{QC}\\⇒\frac{4}{x}=\frac{x}{9}}\)
⇒ x2 = 36
⇒ x = 6
Ans: PB-এর দৈর্ঘ্য 6 সেমি
PREVIOUS
NEXT
JBNSTS- Junior & Senior Scholarship – How to apply, Syllabus etc.

জি. পি. বিড়লা স্কলারশিপ || How to apply GP Birla Scholarship

Vidyasagar Science Olympiad How To Apply বিদ্যাসাগর সায়েন্স অলিম্পিয়াড

Medhasree Scholarship মেধাশ্রী – How to apply, Check Date, Eligibility

COLGATE SCHOLARSHIP কলগেট স্কলারশিপ -How to apply

Sitaram Jindal সীতারাম জিন্দাল Scholarship- How to apply

PRIYAMVADA BIRLA SCHOLARSHIP-How to apply

ALO SCHOLARSHIP আলো স্কলারশিপ How to apply

NABANNA নবান্ন Scholarship – How to apply

Oasis Scholarship ওয়েসিস How to apply

SWAMI-VIVEKANANDA SCHOLARSHIP (SVMCM)- How to apply

Aikyashree ঐক্যশ্রী SCHOLARSHIP How to apply Aikyashree

KANYASHREE PRAKALPA কন্যাশ্রী How to apply Kanyashree

SIKSHASHREE শিক্ষাশ্রী SCHEME-How to apply In SIKSHASHREE
March 24, 2024
Koshe Dekhi 23.3 Class 10 | ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি কষে দেখি- ২৩.৩
Koshe Dekhi 23.3 Class 10 | ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি কষে দেখি- ২৩.৩
CLASS X TRIGONOMETRIC RATIOS AND TRIGONOMETRIC IDENTITIES KOSHE DEKHI 23.3
Madhyamik Previous Year (2017 – 2024) MATHEMATICS Question with complete solution|
বিগত বছরের (2017 – 2024) মাধ্যমিক গণিত প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নীচের BUTTON-এ CLICK করো|
CLICK
Koshe Dekhi 23.3 Class 10 | ত্রিকোণমিতিক অনুপাত
\(\Large{\mathbf{(i) sinθ = \frac{4}{5}}}\) হলে, \(\Large{\mathbf{\frac{cosecθ}{1+cotθ}}}\) -এর মান নির্ণয় করে লিখি।
চিত্রে ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠B সমকোন।
এখানে ∠BAC = θ
∴ sinθ = ^BC/_AC = ⁴/₅
ধরি, BC = 4k একক এবং AC = 5k একক, যেখানে k > 0
ABC সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
AB² + BC² = AC²
বা, AB²+ (4k)² = (5k)²
বা, AB² = 25k² – 16k² = 9k²
∴ AB = ±3k
∵AB > 0
∴ AB = 3k
∴ cosecθ = ^AC/_BC
= ^5k/_4k= ⁵/₄
∴ cotθ = ^AB/_BC
= ^3k/_4k= ³/₄
\(\Large{\frac{cosecθ}{1+cotθ}=\frac{\frac{5}{4}}{1+\frac{3}{4}}\\\quad\quad\quad=\frac{\frac{5}{4}}{\frac{4+3}{4}}\\\quad\quad\quad=\frac{\frac{5}{4}}{\frac{7}{4}}=\frac{5}{7}\quad\mathbf{Ans}}\)
\(\Large{\mathbf{(ii) যদি tanθ = \frac{3}{4} }}\) হয়, তবে দেখাই যে \(\Large{\mathbf{\sqrt{\frac{1-sinθ}{1+sinθ}}=\frac{1}{2}}}\)

চিত্রে ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠B সমকোন।
এখানে ∠BAC = θ
∴ tanθ = ^BC/_AB = ³/₄
ধরি, BC = 3k একক এবং AB = 4k একক, যেখানে k > 0
ABC সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
AC² = AB² + BC²
= (4k)² + (3k)²
= 16k² + 9k² = 25k²
∴ AC = ±5k
∵ AC > 0
∴ AC = 5k
∴ sinθ = ^BC/_AC
= ^3k/_5k= ³/₅
\(\Large{\mathbf{L.H.S.}\\\quad\sqrt{\frac{1-sinθ}{1+sinθ}}\\=\sqrt{\frac{1-\frac{3}{5}}{1+\frac{3}{5}}}\\=\sqrt{\frac{\frac{5-3}{5}}{\frac{5+3}{5}}}\\=\sqrt{\frac{2}{8}}\\=\sqrt{\frac{1}{4}}\\=\frac{1}{2}=\mathbf{R.H.S\quad(Proved)} }\)
\(\Large{\mathbf{(iii)\quad tanθ = 1}}\) হলে, \(\Large{\mathbf{\quad \frac{8sinθ+5cosθ}{ sin^3θ-2cos^3θ+7cosθ}}}\) -এর মান নির্ণয় করি।
\(\Large{\mathbf{Solution:}\\\quad\quad \frac{8sinθ+5cosθ}{ sin^3θ-2cos^3θ+7cosθ}\\\quad=\frac{\frac{8sinθ+5cosθ}{cos^3θ}}{\frac{ sin^3θ-2cos^3θ+7cosθ}{cos^3θ}}\\\quad=\frac{8\frac{tanθ}{cos^2θ}+5\frac{1}{cos^2θ}}{tan^3θ-2+7\frac{1}{cos^2θ}}\\\quad=\frac{8tanθ×sec^2θ+5sec^2θ}{tan^3θ-2+7sec^2θ}\\\quad=\frac{8tanθ×(1+tan^2θ)+5(1+tan^2θ)}{tan^3θ-2+7(1+tan^2θ)}\\\quad=\frac{8×1×(1+1^2)+5(1+1^2)}{1^3-2+7(1+1^2)}\\\quad=\frac{8×2+5×2}{1-2+7×2}\\\quad=\frac{16+10}{-1+14}\\\quad=\frac{26}{13}=2\mathbf{(Ans)}}\)
Koshe Dekhi 23.3 Class 10 | ত্রিকোণমিতিক অনুপাত
2. (i) cosecθ এবং tanθ-কে sinθ-এর মাধ্যমে প্রকাশ করি।
Solution:
\(\Large{\quad cosecθ=\frac{1}{sinθ}\quad\mathbf{(Ans)}\\\quad tanθ=\frac{sinθ}{cosθ}\\\quad\quad\quad=\frac{sinθ}{\sqrt{1-sin^2θ}}\quad\mathbf{(Ans)}}\)
(ⅱ) cosecθ এবং tanθ-কে cosθ-এর মাধ্যমে লিখি।
Solution:
\(\Large{\quad cosecθ=\frac{1}{sinθ}==\frac{1}{\sqrt{1-cos^2θ}}\quad\mathbf{(Ans)}\\\quad tanθ=\frac{sinθ}{cosθ}\\\quad\quad\quad=\frac{\sqrt{1-cos^2θ}}{cosθ}\quad\mathbf{(Ans)}}\)
3. (i) secθ + tanθ = 2 হলে, (secθ – tanθ)-এর মান নির্ণয় করি।
Solution:
secθ + tanθ = 2
আমরা জানি,
sec²θ – tan²θ = 1
বা, (secθ + tanθ)(secθ – tanθ) = 1
বা, 2×(secθ + tanθ) = 1
∴ secθ + tanθ = ¹/₂
Ans: secθ – tanθ-এর মান ¹/₂
(ii) cosecθ – cotθ = √2 – 1 হলে, (cosecθ + cotθ)-এর মান হিসাব করে লিখি।
Solution:
cosecθ – cotθ = √2 – 1
আমরা জানি,
cosec²θ – cot²θ = 1
বা, (cosecθ + cotθ)(cosecθ – cotθ) = 1
বা, (cosecθ – cotθ)(√2 – 1) = 1
⇒ cosecθ – cotθ = ¹/_{√2 – 1}
⇒ cosecθ – cotθ = ^{√2 + 1}/_{(√2 – 1)(√2 – 1)}
বা, cosecθ – cotθ = ^{√2 + 1}/_{(√2)² – (1)²}
⇒ cosecθ – cotθ = ^{√2 + 1}/_{2 – 1}
⇒ cosecθ – cotθ = √2 + 1
Ans: cosecθ + cotθ-এর মান √2 + 1
(iii) sinθ + cosθ = 1 হলে, sinθ×cosθ-এর মান নির্ণয় করি।
Solution:
sinθ + cosθ = 1
উভয় দিকে বর্গ করে পাই
(sinθ + cosθ)² = (1)²
বা, sin²θ + cosθ² + 2.sinθ.cosθ = 1
বা, (1)² + 2sinθcosθ = 1 – – – – [∵ sin²θ + cosθ² = 1]
⇒ 1 + 2sinθcosθ = 1
বা, 2sinθcosθ = 0
∴ sinθcosθ = 0
Ans: sinθ×cosθ-এর মান 0
দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নিচের BUTTON-এ ক্লিক করো।
CLICK
(iv) tanθ + cotθ = 2 হলে, (tanθ – cotθ)-এর মান নির্ণয় করি।
Solution:
tanθ + cotθ = 2
উভয় দিকে বর্গ করে পাই
(tanθ + cotθ)² = (2)²
বা, (tanθ – cotθ)² + 4.tanθ.cotθ = 4
বা, (tanθ – cotθ)² + 4 = 4
∴ (tanθ – cotθ)² = 0
∴ tanθ – cotθ = 0
Ans: tanθ – cotθ -এর মান 0
(v) sinθ – cosθ = ⁷/₁₃ হলে, sinθ + cosθ-এর মান নির্ণয় করি।
Solution:
(a + b)² + (a – b)² = 2(a² + b²) সুত্র প্রয়োগ করে পাই,
(sinθ + cosθ)² + (sinθ + cosθ)² = 2(sin²θ + cos²θ)
⇒ (sinθ + cosθ)² + (⁷/₁₃)² = 2.1 – – – – [∵ sin²θ + cos²θ = 1]
⇒ (sinθ + cosθ)² + ⁴⁹/₁₆₉ = 2
বা, (sinθ + cosθ)² = 2 – ⁴⁹/₁₆₉
⇒ (sinθ + cosθ)² = ^338-49/₁₆₉
⇒ (sinθ + cosθ)² = ²⁸⁹/₁₆₉
∴ sinθ + cosθ = ±¹⁷/₁₃
∵ 0^o ≤ θ ≤ 90^o
∴ sinθ + cosθ = ¹⁷/₁₃
Ans: sinθ + cosθ-এর মান ¹⁷/₁₃
(vi) sinθcosθ = ¹/₂ হলে, (sinθ + cosθ) -এর মান হিসাব করে লিখি।
Solution:
sinθcosθ = ¹/₂
(sinθ + cosθ)²
= sin²θ + cos²θ + 2.sinθ.cosθ
= 1 + 2.¹/₂ = 1 + 1 = 2
∴ sinθ + cosθ = ±√2
∵ 0^o ≤ θ ≤ 90^o
∴ sinθ + cosθ = √2
Ans: sinθ + cosθ -এর মান √2
Koshe Dekhi 23.3 Class 10 | ত্রিকোণমিতিক অনুপাত
(vii) secθ – tanθ = ¹/_√3 হলে, secθ এবং tanθ উভয়ের মান নির্ণয় করি।
Solution:
secθ – tanθ = ¹/_√3 – – – – (i)
আমরা জানি,
sec²θ – tan²θ = 1
বা, (secθ + tanθ)(secθ – tanθ) = 1
বা, (secθ + tanθ)×¹/_√3 = 1
∴ secθ + tanθ = √3 – – – – (ii)
(i) + (ii) করে পাই,
secθ – tanθ + secθ + tanθ = ¹/_√3 + √3
বা, 2secθ = ¹⁺³/_√3
বা, 2secθ = ⁴/_√3
∴ secθ = ²/_√3
(ii) নং থেকে পাই,
secθ + tanθ = √3
বা, ²/_√3 + tanθ = √3
বা, tanθ = √3 – ²/_√3 = ^3-2/_√3
∴ tanθ = ¹/_√3
Ans: secθ -এর মান ²/_√3
tanθ -এর মান ¹/_√3
(viii) cosecθ + cotθ = √3 হলে, cosecθ এবং cotθ উভয়ের মান নির্ণয় করি।
Solution:
cosecθ + cotθ = √3 – – – – (i)
আমরা জানি,
cosec²θ – cot²θ = 1
বা, (cosecθ + cotθ)(cosecθ – cotθ) = 1
বা, √3(cosecθ – cotθ) = 1
∴ cosecθ – cotθ = ¹/_√3 – – – – (ii)
(i) + (ii) করে পাই,
cosecθ + cotθ + cosecθ – cotθ = √3 + ¹/_√3
বা, 2cosecθ = ³⁺¹/_√3
বা, 2cosecθ = ⁴/_√3
∴ cosecθ = ²/_√3
(i) নং থেকে পাই,
cosecθ + cotθ = √3
বা, ²/_√3 + cotθ = √3
বা, cotθ = √3 – ²/_√3 = ^3-2/_√3
∴ cotθ = ¹/_√3
Ans: cosecθ -এর মান ²/_√3
cotθ -এর মান ¹/_√3
(ix) ^{sinθ + cosθ}/_{sinθ – cosθ} = 7 হলে, tanθ-এর মান হিসাব করে লিখি।
Solution:
^{sinθ + cosθ}/_{sinθ – cosθ} = 7
বা, 7(sinθ – cosθ) = sinθ + cosθ
বা, 7sinθ – 7cosθ = sinθ + cosθ
⇒ 7sinθ – sinθ= cosθ + 7cosθ
বা, 6sinθ= 8cosθ
∴ ^sinθ/_cosθ = ⁸/₆
∴ tanθ = ⁴/₃
Ans: tanθ-এর মান ⁴/₃
(x) ^{cosecθ + sinθ}/_{cosecθ – sinθ} = ⁵/₂ হলে, sinθ-এর মান হিসাব করে লিখি।
Solution:
^{cosecθ + sinθ}/_{cosecθ – sinθ} = ⁵/₂
বা, 2(cosecθ + sinθ) = 5(cosecθ – sinθ)
বা, 2cosecθ + 2sinθ = 5cosecθ – 5sinθ
⇒ 2sinθ + 5sinθ = 5cosecθ – 2cosecθ
⇒ 7sinθ = 3cosecθ
বা, 7sinθ = ³/_sinθ
বা, sin²θ = ³/₇
∴ sinθ = ^√3/_√7
Ans: sinθ-এর মান ^√3/_√7
Koshe Dekhi 23.3 Class 10 | ত্রিকোণমিতিক অনুপাত
(xi) secθ + cosθ = ⁵/₂ হলে, (secθ – cosθ)-এর মান হিসাব করে লিখি।
Solution:
secθ + cosθ = ⁵/₂
উভয় দিকে বর্গ করে পাই
(secθ + cosθ)² = (⁵/₂)²
বা, (secθ – cosθ)² + 4secθ.cosθ = ²⁵/₄
বা, (secθ – cosθ)² + 4 = ²⁵/₄
⇒ (secθ – cosθ)² = ²⁵/₄ -4
বা, (secθ – cosθ)² = ^25-16/₄ = ⁹/₄
বা, secθ – cosθ = ³/₂
Ans: secθ – cosθ -এর মান ³/₂
(xii) 5sin²θ + 4cos²θ = ⁹/₂-সম্পর্কটি থেকে tanθ-এর মান নির্ণয় করি।
Solution:
5sin²θ + 4cos²θ = ⁹/₂
বা, 2(5sin²θ + 4cos²θ) = 9×1
বা, 10sin²θ + 8cos²θ = 9×(sin²θ + cos²θ)
⇒ 10sin²θ + 8cos²θ = 9sin²θ + 9cos²θ
⇒ 10sin²θ – 9sin²θ = 9cos²θ – 8cos²θ
বা, sin²θ = cos²θ
বা, sinθ = cosθ
∴ ^sinθ/_cosθ = 1
∴ tanθ = 1
Ans: tanθ-এর মান 1
Koshe Dekhi 23.3 Class 10 | ত্রিকোণমিতিক অনুপাত
(xiii) tan²θ + cot²θ = ¹⁰/₃ হলে, tanθ + cotθ এবং tanθ – cotθ-এর মান নির্ণয় করি এবং সেখান থেকে tanθ-এর মান হিসাব করে লিখি।
Solution:
tan²θ + cot²θ = ¹⁰/₃
বা, (tanθ + cotθ)² – 2.tanθ.cotθ = ¹⁰/₃
বা, (tanθ + cotθ)² – 2 = ¹⁰/₃
⇒ (tanθ + cotθ)² = ¹⁰/₃ + 2
বা, (tanθ + cotθ)² = ¹⁶/₃
∴ tanθ + cotθ = ⁴/_√3 – – – – (i)
আবার
tan²θ + cot²θ = ¹⁰/₃
বা, (tanθ – cotθ)² + 2.tanθ.cotθ = ¹⁰/₃
বা, (tanθ – cotθ)² + 2 = ¹⁰/₃
⇒ (tanθ – cotθ)² = ¹⁰/₃ – 2
বা, (tanθ – cotθ)² = ⁴/₃
∴ tanθ – cotθ = ±²/_√3 – – – – (ii)
tanθ – cotθ = ²/_√3 হলে
(i) + (ii) করে পাই,
tanθ + cotθ + tanθ – cotθ = ⁴/_√3 + ²/_√3
বা, 2tanθ = ⁶/_√3
বা, tanθ = ³/_√3 = √3
tanθ – cotθ = –²/_√3 হলে
(i) + (ii) করে পাই,
tanθ + cotθ + tanθ – cotθ = ⁴/_√3 – ²/_√3
বা, 2tanθ = ²/_√3
বা, tanθ = ¹/_√3
Ans: tanθ + cotθ = ⁴/_√3
tanθ – cotθ = ±²/_√3
tanθ = ¹/_√3 বা √3
(xiv) sec²θ + tan²θ = ¹³/₁₂ হলে, (sec⁴θ – tan⁴θ)-এর মান হিসাব করে লিখি।
Solution:
sec²θ + tan²θ = ¹³/₁₂
sec⁴θ – tan⁴θ
= (sec²θ)² – (tan²θ)²
= (sec²θ + tan²θ)(sec²θ – tan²θ)
⇒ ¹³/₁₂ × 1 – – – – [∵ sec²θ – tan²θ = 1]
= ¹³/₁₂
Ans: sec⁴θ – tan⁴θ = ¹³/₁₂
Koshe Dekhi 23.3 Class 10 | ত্রিকোণমিতিক অনুপাত
4. (i) PQR ত্রিভুজে ∠Q সমকোণ। PR = √5 একক এবং PQ – RQ = 1 একক হলে, cosP – cosR-এর মান নির্ণয় করি।

PQR ত্রিভুজে ∠Q = 90^o
PR = √5 একক এবং
PQ – RQ = 1 একক
∴ cosP – cosR
= ^PQ/_PR – ^RQ/_PR
= ^{PQ – RQ}/_PR
⇒ ¹/_√5
Ans: cosP – cosR = 1/_√5
Koshe Dekhi 23.3 Class 10 | ত্রিকোণমিতিক অনুপাত
(ii) XYZ ত্রিভুজে ∠Y সমকোণ। XY = 2√3 একক এবং XZ – YZ = 2 একক হলে, (secX – tanX)-এর মান নির্ণয় করি।

XYZ ত্রিভুজে ∠Y = 90^o
XY = 2√3 একক এবং
XZ – YZ = 2 একক
∴ secX – tanX
= ^XZ/_XY – ^YZ/_XY
= ^{XZ – YZ}/_XY
⇒ ²/_2√3 = 1/_√3
Ans: secX – tanX = 1/_√3
5. সম্পর্কগুলি থেকে ‘θ’ অপনয়ন করি:
(i) x = 2sinθ, y = 3cosθ
Solution:
x = 2sinθ
∴ sinθ = ^x/₂
y = 3cosθ
∴ cosθ = ^y/₃
আমরা জানি,
sin²θ + cos²θ = 1
⇒ (^x/₂)² + (^y/₃)² = 1
⇒ ^x²/₄ + ^y²/₉ = 1
∴ 9x² + 4y² = 36
Ans: θ অপনয়ন করে পাই,
9x² + 4y² = 36
(ii) 5x = 3secθ, y = 3tanθ
Solution:
5x = 3secθ
∴ secθ = ^5x/₃
∴ sec²θ = ^25x²/₉
y = 3tanθ
∴ tanθ = ^y/₃
∴ tan²θ = ^y²/₉
আমরা জানি,
sec²θ – tan²θ = 1
⇒ ^25x²/₉ – ^y²/₉ = 1
⇒ 25x² – y² = 9
Ans: θ অপনয়ন করে পাই,
25x² – y² = 9
Koshe Dekhi 23.3 Class 10 | ত্রিকোণমিতিক অনুপাত
6. (i) যদি sinα = ⁵/₁₃ হয়, তাহলে দেখাই যে tanα + secα = 1.5
Solution:
sinα = ⁵/₁₃
\(\Large{∴cosα = \sqrt{1-sin^2α}\\\quad\quad\quad=\sqrt{1-(\frac{5}{13})^2}\\\quad\quad\quad=\sqrt{1-\frac{25}{169}}\\\quad\quad\quad=\sqrt{\frac{169-25}{169}}\\\quad\quad\quad=\sqrt{\frac{144}{169}}\\\quad\quad\quad=\frac{12}{13}\\∴secα=\frac{13}{12}\\∴tanα=\frac{sinα}{cosα}\\\quad\quad=\frac{\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}}=\frac{5}{13}}\)
L.H.S.
tanα + secα
= ⁵/₁₂ + ¹³/₁₂
⇒ ⁵⁺¹³/₁₂ = ¹⁸/₁₂
= ³/₂ = 1.5 = R.H.S. (Proved)
Koshe Dekhi 23.3 Class 10 | ত্রিকোণমিতিক অনুপাত
(ii) যদি tanA = ⁿ/_m হয়, তাহলে sinA ও secA উভয়ের মান নির্ণয় করি।
Solution:
tanA = ⁿ/_m
∴ cotA = ^m/_n
⇒cot²A = ^m²/_n²
\(\Large{∵ cosec^2A = 1 + cot^2A\\⇒cosec^2A = 1 + \frac{m^2}{n^2}\\⇒cosec^2A = \frac{n^2+m^2}{n^2}\\∴cosecA = \frac{\sqrt{n^2+m^2}}{n}\\∴sinA = \frac{n}{\sqrt{m^2+n^2}}\mathbf{\quad Ans}\\∴cosA = cotA.sinA\\\quad\quad\quad=\frac{m}{n}. \frac{n}{\sqrt{m^2+n^2}}\\\quad\quad\quad=\frac{m}{\sqrt{m^2+n^2}}\\∴secA=\frac{\sqrt{m^2+n^2}}{m}\mathbf{\quad Ans}}\)
(ⅲ) যদি
\(\Large{\mathbf{cosθ=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}}}\) হয়, তাহলে দেখাই যে, xsinθ = ycosθ
\(\Large{\mathbf{Solution:}\\\quad cosθ=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\\∴sinθ=\sqrt{1-cos^2θ}\\\quad=\sqrt{1-\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)^2}\\\quad=\sqrt{1-\frac{x^2}{x^2+y^2}}\\\quad=\sqrt{\frac{x^2+y^2-x^2}{x^2+y^2}}\\\quad=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\\\quad∴xsinθ=x×\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\\\quad\quad\quad=y×\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\\\quad\quad\quad=ycosθ \\\quad∴\mathbf{xsinθ = ycosθ\quad (Proved)}}\)
Koshe Dekhi 23.3 Class 10 | ত্রিকোণমিতিক অনুপাত
(iv) যদি \(\Large{\mathbf{sinα=\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}}}\) হয়, তাহলে দেখাই যে, \(\Large{\mathbf{Cotα=\frac{2ab}{a^2-b^2}\\Solution:}}\)
\(\Large{\quad sinα=\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}\\∴cosecα=\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}\\⇒ cosec^2α=\frac{(a^2+b^2)^2}{(a^2-b^2)^2}\\⇒1+cot^2α=\frac{(a^2+b^2)^2}{(a^2-b^2)^2}\\⇒cot^2α=\frac{(a^2+b^2)^2}{(a^2-b^2)^2}-1\\⇒cot^2α=\frac{(a^2+b^2)^2-(a^2-b^2)^2}{(a^2-b^2)^2}\\⇒cot^2α=\frac{4a^2.b^2}{(a^2-b^2)^2}\\∴cotα=\frac{2ab}{a^2-b^2}\quad \mathbf{(Proved)}}\)
(v) যদি \(\Large{\mathbf{\frac{sinθ}{x}=\frac{cosθ}{y}}}\) হয়, তাহলে দেখাই যে, \(\Large{\mathbf{\quad sinθ-cosθ =\frac{x-y}{\sqrt{x^2+y^2}}}}\)
\(\Large{\mathbf{Solution:}\\\quad\frac{sinθ}{x}=\frac{cosθ}{y}=k}\)
∴ sinθ = kx এবং
cosθ = ky
আমরা জানি,
sin²θ + cos²θ = 1
বা, (kx)² + (ky)² = 1
⇒ k²x² + k²y² = 1
বা, k²(x² + y²) = 1
বা, k² = ¹/_{x² + y²}
∴ k = 1/√_{x² + y²}
\(\Large{\mathbf{L.H.S.}\\sinθ-cosθ\\\quad =kx-ky\\\quad=k(x-y)\\\quad=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}×(x-y)\\\quad=\frac{x-y}{\sqrt{x^2+y^2}}=\mathbf{R.H.S.\quad (Proved)}}\)
Koshe Dekhi 23.3 Class 10 | ত্রিকোণমিতিক অনুপাত
(vi) যদি (1+ 4x²)cosA = 4x হয়, তাহলে দেখাই যে, cosecA + cotA = ^{1 + 2x}/ _{1 – 2x}
Solution:
(1+ 4x²)cosA = 4x
\(\Large{∴cosA=\frac{4x}{1+4x^2}\\∴sinA=\sqrt{1-cos^2A}\\\quad = \sqrt{1-\left(\frac{4x}{1+4x^2}\right)^2}\\\quad =\sqrt{1-\frac{16x^2}{(1+4x^2)^2}}\\\quad =\sqrt{\frac{(1+4x^2)^2-4.1.4x^2}{(1+4x^2)^2}}\\\quad =\sqrt{\frac{(1-4x^2)^2}{(1+4x^2)^2}}\\\quad =\frac{1-4x^2}{1+4x^2}\\ ∴cosecA=\frac{1}{sinA}\\\quad =\frac{1+4x^2}{1-4x^2}\\∴cotA=\frac{cosA}{sinA}\\\quad =\frac{\frac{4x}{1+4x^2}}{\frac{1-4x^2}{1+4x^2}}\\\quad=\frac{4x}{1-4x^2}}\)
\(\Large{\mathbf{L.H.S.}\\CosecA+cotA\\\quad =\frac{1+4x^2}{1-4x^2}+\frac{4x}{1-4x^2}\\\quad=\frac{1+4x^2+4x}{1-4x^2}\\\quad =\frac{(1)^2+(2x)^2+2.1.2x}{(1)-(2x)^2}\\\quad =\frac{(1+2x)^2}{(1+2x)(1-2x)}\\\quad=\frac{1+2x}{1-2x}=\mathbf{R.H.S.\quad (Proved)}}\)
7. যদি x = asinθ এবং y = btanθ হয়, তাহলে প্রমাণ করি যে,
\(\Large{\mathbf{\quad\frac{a^2}{x^2}-\frac{b^2}{y^2}=1}}\)
Solution:
x = asinθ এবং
y = btanθ
\(\Large{\mathbf{L.H.S.}\\\quad\frac{a^2}{x^2}-\frac{b^2}{y^2}\\=\frac{a^2}{a^2sin^2θ}-\frac{b^2}{b^2tan^2θ}\\=\frac{1}{sin^2θ}-\frac{1}{tan^2θ}\\=cosec^2θ-cot^2θ\\=1=\mathbf{R.H.S.\quad (Proved)}}\)
8. যদি sinθ + sin²θ = 1 হয়, তাহলে প্রমাণ করি যে, cos²θ + cos⁴θ = 1
Solution:
sinθ + sin²θ = 1
⇒ sinθ = 1 – sin²θ
⇒ sinθ = cos²θ
∴ sin²θ = cos⁴θ
⇒ 1 – cos²θ = cos⁴θ
⇒ 1 = cos⁴θ + cos²θ
∴ cos²θ + cos⁴θ = 1 (Proved)
9. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.):
(i) যদি 3x = cosecα এবং ³/_x = cotα হয়, তাহলে 3(x² – ¹/_x²)-এর মান
(a) ¹/₂₇ (b) ¹/₈₁ (c) ¹/₃ (d) ¹/₉
Ans: (a)¹/₃
[ cosecα = 3x
∴ cosec²α = 9x²
আবার cotα = ³/_x
∴ cot²α = ⁹/_x²
আমরা জানি
cosec²α – cot²α = 1
⇒ 9x² – ⁹/_x² = 1
⇒ 9(x² – ¹/_x²) = 1
∴ 3(x² – ¹/_x²) = ¹/₃]
(ii) যদি 2x = secA এবং ²/_x = tanA হয়, তাহলে 2(x² – ¹/_x²)-এর মান
(a) ¹/₂ (b) ¹/₄ (c) ¹/₈ (d) ¹/₁₆
Ans: (a) ¹/₂
[ secA = 2x
∴ sec²A = 4x²
আবার tanA = ²/_x
∴ tan²A = ⁴/_x²
আমরা জানি,
sec²A – tan²A = 1
⇒ 4x² – ⁴/_x² = 1
⇒ 4(x² – ¹/_x²) = 1
∴ 2(x² – ¹/_x²) = ¹/₂]
(iii) tanα + cotα = 2 হলে, (tan¹³α + cot¹³α)-এর মান
(a) 1 (b) 0 (c) 2 (d) কোনটিই নয়
Ans: (c)2
[ tanα + cotα = 2
⇒ tanα + ¹/_tanα = 2
⇒ tan²α + ¹/_tanα = 2
= tan²α + 1 = 2tanα
⇒ tan2α – 2tanα + 1 = 0
⇒ (tanα – 1)² = 0
tanα – 1 = 0
⇒ tanα = 1
cotα = ¹/_tanα
= ¹/₁ = 1
tan¹³α + cot¹³α
= (1)¹³ + (1)¹³
= 1 + 1= 2]
(iv) যদি sinθ – cosθ = 0 (0^o ≤ θ ≤ 90^o) এবং secθ + cosecθ = x হয়, তাহলে x-এর মান
(a) 1 (b) 2 (c) √2 (d) 2√2
Ans: (d) 2√2
[ sinθ – cosθ = 0
বা, sinθ = cosθ
বা, ^sinθ/_cosθ = 1
⇒ tanθ = tan45^o
বা, θ = 45^o
secθ + cosecθ = x
বা, sec45^o + cosec45^o = x
বা, √2 + √2 = x
∴ x = 2√2
(v) 2cos3θ = 1 হলে, θ-এর মান
(a) 10^o (b) 15^o (c) 20^o (d) 30^o
Ans: (c)20^o
[ 2cos3θ = 1
বা, cos3θ = ¹/₂
বা, cos3θ = cos60^o
⇒ 3θ = 60^o
বা, θ = 20^o]
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি:
(i) যদি, 0^o ≤ α < 90^o হয়, তাহলে (sec²α + cos²α)-এর সর্বনিম্ন মান 2
Ans: সত্য
[sec²α + cos²α
= (secα – cosα)² + 2×secα×cosα
= (secα – cosα)² + 2
∵ (secα – cosα)² ≥ 0
⇒ (secα – cosα)² + 2 ≥ 0 + 2
⇒ (secα – cosα)² + 2 ≥ 2
∴ sec²α + cos²α ≥ 2]
(ii) (cos0^oxcos1^oxcos2^oxcos3^ox. . . . . . . . . × cos90^o) -এর মান 1
Ans: মিথ্যা
[ cos0^oxcos1^oxcos2^oxcos3^ox. . . . . . . . . × cos90^o
= cos0^oxcos1^oxcos2^oxcos3^ox. . . . . . . . . ×0
= 0]
(C) শূন্যস্থান পূরণ করি:
(i) (⁴/_sec²θ + ¹/_1+cot²θ + 3sin²θ) -এর মান ________
Ans: 4
\(\Large{[\quad\frac{4}{sec^2θ}+\frac{1}{1+cot^2θ}+3sin^2θ\\=4cos^2θ+\frac{1}{cosec^2θ}+3sin^2θ\\=4cos^2θ+sin^2θ+3sin^2θ\\=4cos^2θ+4sin^2θ\\=4(cos^2θ+4sin^2θ)\\=4×1=4]}\)
(ii) sin(θ – 30^o) = ¹/₂ হলে, cosθ-এর মান ________
Ans: ¹/₂
[sin(θ – 30^o) = ¹/₂
⇒ sin(θ – 30^o) = sin30^o
⇒ θ = 60^o
cosθ = cos60^o
= ¹/₂]
(iii) cos²θ – sin²θ = ¹/₂ হলে, cos⁴θ – sin⁴θ-এর মান ________
Ans: ¹/₂
[cos⁴θ – sin⁴θ
⇒ (cos²θ)² – (sin²θ)²
= (cos²θ + sin²θ)(cos²θ – sin²θ)
⇒ 1×¹/₂
= ¹/₂]
দশম শ্রেণীর ভৌত বিজ্ঞান এবং জীবন বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন
10. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.):
(i) যদি rcosθ = 2√3, rsinθ = 2 এবং 0^o < θ < 90^o হয়, তাহলে r এবং θ উভয়ের মান নির্ণয় করি।
Solution:
rcosθ = 2√3
⇒ (rcosθ)² = (2√3)²
⇒ r²cos²θ = 12 – – – (i),
rsinθ = 2
⇒ (rsinθ)² = (2)²
⇒ r²sin²θ = 4 – – – (ii)
(i) + (ii) করে পাই,
r²cos²θ + r²sin²θ = 12 + 4
বা, r²(cos²θ + sin²θ) = 16
বা, r² = 16
∴ r = 4
(ii) নং থেকে পাই,
4sinθ = 2
বা, sinθ = ¹/₂
বা, sinθ = sin30^o
∴ θ = 30^o
Ans: r-এর মান 4 এবং θ-এর মান 30^o
(ii) যদি sinA + sinB = 2 হয়, যেখানে 0^o ≤ A ≤ 90^o এবং 0^o ≤ B ≤ 90^o, তাহলে (cosA + cosB)-এর মান নির্ণয় করি।
Solution:
sinA + sinB = 2 – – – (i)
∵ 0^o ≤ A ≤ 90^o এবং 0^o ≤ B ≤ 90^o
∴ sinA-এর সর্বোচ্চ মান 1 এবং sinB-এর সর্বোচ্চ মান 1
sinA = 1 এবং sinB = 1 (i) নং সমীকরণকে সিদ্ধ করে।
∴ sinA = 1 এবং sinB = 1
∴ sinA = sin90^o ∴ sinB = sin90^o
A = 90^o ∴ B = 90^o
∴ cosA + cosB
= cos90^o + cos90^o
⇒ 0 + 0
⇒ 0
Ans: cosA + cosB -এর মান 0
(iii) যদি 0^o < θ < 90^o হয়, তাহলে (9tan²θ + 4cot²θ)-এর সর্বনিম্ন মান নির্ণয় করি।
Solution:
9tan²θ + 4cot²θ
= (3tanθ)² + (2cotθ)²
= (3tanθ – 2cotθ)² + 2×3tanθ×2cotθ
⇒ (3tanθ – 2cotθ)² + 12×tanθ.cotθ
= (3tanθ – 2cotθ)² + 12×1- – – [∵ tanθ.cotθ = 1]
= (3tanθ – 2cotθ)² + 12
∵ (3tanθ – 2cotθ)² ≥ 0
⇒(3tanθ – 2cotθ)² + 12 ≥ 0 + 12
⇒ (3tanθ – 2cotθ)² + 12 ≥ 12
⇒9tan²θ + 4cot²θ ≥ 12
Ans: 9tan²θ + 4cot²θ-এর সর্বনিম্ন মান 12
(iv) (sin⁶α + cos⁶α + 3sin²α.cos²α)-এর মান নির্ণয় করি।
Solution:
sin6α + cos6α + 3sinα² cos²α
= (sin²α)³ + (cos²α)³ + 3sin²α cos²α(sin²α + cos²α)
= (sin²α + cos²α)³
⇒ (1)²
= 1
Ans: sin⁶α + cos⁶α + 3sin²α.cos²α -এর মান 1
(v) যদি cosec²θ = 2cotθ এবং 0^o < θ < 90^o হয়, তাহলে θ-এর মান নির্ণয় করি।
Solution:
cosec²θ = 2cotθ
বা, 1 + cot²θ – 2cotθ = 0
বা, cot²θ – 2×cotθ×1 + 1² = 0
⇒ (cotθ – 1)² = 0
⇒ cotθ – 1 = 0
বা, cotθ = 1
বা, cotθ = cot45^o
∴ θ = 45^o
Ans: θ-এর মান 45^o
Madhyamik Question
MP-2024
▶️ rcos θ = 2√3, rsin θ = 2 এবং 0^o < θ < 90^o হয় তাহলে r এবং θ এর মান নির্ণয় করো।
VIEW ANSER
▶️ tan θ + cot θ এর সর্বনিম্নমান-
(a) 0 (b) 2 (c) -2 (d) 1
Ans: (b) 2
[(tan θ + cot θ)²
= (tan θ – cot θ)² + 4tan θcot θ
= (tan θ – cot θ)² + 4
∵ (tan θ – cot θ)² ≥ 0
⇒ (tan θ – cot θ)² + 4 ≥ 0 + 4
⇒ (tan θ – cot θ)² + 4 ≥ 4
বা, (tan θ + cot θ)² ≥ 4
⇒ tan θ – cot θ ≥ 2]
▶️ 5sin²θ + 4cos²θ = ⁹/₂ সম্পর্ক থেকে tanθ এর মান নির্ণয় করো।
VIEW ANSER
MP-2023
▶️ θ এর যে মানের জন্য 5 + 4 sinθ -র বৃহত্তম মান হবে
(a) 0 (b) 2 (c) -2 (d) 1
Ans: (a) 9
[ 0 ≤ sinθ ≤ 1
⇒ 4×0 ≤ 4sinθ ≤ 4×1
⇒ 5 + 0 ≤ 5 + 4sinθ ≤ 4 +5
∴ 5 ≤ 5 + 4sinθ ≤ 9
▶️ tanθ cos 60° = √3/2 হলে, sin (θ – 15°) এর মান হবে __________।(শূন্যস্থান পূরণ)
VIEW ANSER
▶️ যদি \(\Large{\mathbf{cosθ=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}}}\) হয়, তাহলে দেখাই যে, xsinθ = ycosθ
VIEW ANSER
▶️ দেখাও যে, \(\Large{\mathbf{\frac{tanθ + secθ – 1}{tanθ-secθ+1}=\frac{1+sinθ}{cosθ}}}\)
VIEW ANSER
MP-2020
▶️ যদি sinθ – cosθ = 0, (0^o ≤ θ ≤ 90_o) এবং secθ + cosecθ = x হয়, তাহলে x-এর মান-
(a) 1 (b) 2 (c) √2 (d) 2√2
VIEW ANSER
▶️ (iv) sin3θ -এর সর্বোচ্চ মান ________ হবে। (শূন্যস্থান পূরণ)
Ans: 1
[0 ≤ sinθ ≥ 1 হয়
∴ 0 ≤ sin3θ ≥ 1
∴sin3θ -এর সর্বোচ্চ মান 1 হবে।]
MP-2019
▶️ tanα + cotα = 2 হলে tan¹³α + cot¹³α-এর মান-
(a) 13 (b) 2 (c) 1 (d) 0
VIEW ANSER
▶️ (0^o ≤ θ ≤ 90^o) এর কোন্ মান/মানগুলির জন্য 2sinθ cosθ = cosθ হবে?
VIEW ANSER
▶️ △ABC-এর ∠C= 90^o, যদি BC = m এবং AC = n হয় তবে দেখাও যে, msinA + nsinB = √m² + n²
VIEW ANSER
MP-2018
▶️ tanθ + cotθ = 2 হলে tan⁷θ + cot⁷θ = কত?
VIEW ANSER
▶️ যদি cos²θ – sin²θ = ¹/₂ হয়, তাহলে tan²θ-এর মান নির্ণয় ।
VIEW ANSER
MP-2017
▶️ cos²θ – sin²θ = ¹/_x (x > 1), হলে cos⁴θ – sin⁴θ __________(শূন্যস্থান পূরণ)
VIEW ANSER
▶️ x = asecθ, y = btanθ হলে x এবং y এর θ বর্জিত সম্পর্ক নির্ণয় করো।
VIEW ANSER
PREVIOUS
NEXT
JBNSTS- Junior & Senior Scholarship – How to apply, Syllabus etc.

জি. পি. বিড়লা স্কলারশিপ || How to apply GP Birla Scholarship

Vidyasagar Science Olympiad How To Apply বিদ্যাসাগর সায়েন্স অলিম্পিয়াড

Medhasree Scholarship মেধাশ্রী – How to apply, Check Date, Eligibility

COLGATE SCHOLARSHIP কলগেট স্কলারশিপ -How to apply

Sitaram Jindal সীতারাম জিন্দাল Scholarship- How to apply

PRIYAMVADA BIRLA SCHOLARSHIP-How to apply

ALO SCHOLARSHIP আলো স্কলারশিপ How to apply

NABANNA নবান্ন Scholarship – How to apply

Oasis Scholarship ওয়েসিস How to apply

SWAMI-VIVEKANANDA SCHOLARSHIP (SVMCM)- How to apply

Aikyashree ঐক্যশ্রী SCHOLARSHIP How to apply Aikyashree

KANYASHREE PRAKALPA কন্যাশ্রী How to apply Kanyashree

SIKSHASHREE শিক্ষাশ্রী SCHEME-How to apply In SIKSHASHREE
March 18, 2024

Author: TEAM PROSTUTI

Koshe Dekhi 18.2 Class X Similarity সদৃশতা

সদৃশতা Koshe Dekhi 18.2 Class X Similarity

Koshe Dekhi 18.2 Class X

দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নিচের BUTTON-এ ক্লিক করো।

4. △ABC-এর AD মধ্যমার উপর P একটি বিন্দু। বর্ধিত BP ও CP যথাক্রমে AC ও AB-কে Q ও R বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, RQ ∥ BC.Solution:

7. △ABC-এর BC বাহুর উপর D যে-কোনো একটি বিন্দু। P, Q যথাক্রমে △ABD ও △ADC-এর ভরকেন্দ্র। প্রমাণ করি যে, PQ ∥ BC.Solution:

9. প্রমাণ করি যে, কোনো সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়মের সমান্তরাল বাহুদুটির যে-কোনো একটির সংলগ্ন কোণ দুটি সমান।Solution:

Koshe Dekhi 18.2 Class X

11. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)

(iii) পাশের চিত্রে DE ∥ BC হলে x-এর মান (a) 4 (b) 1 (c) 3 (d) 2

Ans: (d) 2[△ABC-এর DE ∥ BC∴ থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পাই,

⇒ (x + 3)(3x + 4) = x(3x + 19)⇒ 3x2 + 4x + 9x + 12 = 3x2 + 19xব্যা 13x + 12 = 19x⇒ 13x – 19x = -12⇒ -6x = -12∴ x = 2]

ABCD ট্রাপিজিয়মের AB ∥ DC এবং PQ ∥ DC;

AD = AP + PD = (42 + 18) সেমি. = 60 সেমি.]

(v) পাশের চিত্রে, DP = 5 সেমি, DE = 15 সেমি, DQ = 6 সেমি এবং QF = 18 সেমি হলে (a) PQ = EF (b) PQ ∥ EF (c) PQ ≠ EF (d) PQ ∦ EF

Ans: (d) PQ ∦ EF[PE = DE – DP = (15 – 5) সেমি = 10 সেমি

(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি :

(i) দুটি সদৃশ ত্রিভুজ সর্বদা সর্বসম।Ans: মিথ্যা

(ii) পাশের চিত্রে DE ∥ BC হলে, AB/BD = AC/CE হবে

Ans: সত্য[△ABC-এর DE ∥ BC∴ থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পাই,

(C) শূন্যস্থান পূরণ করি :

(iii) একটি ট্রাপিজিয়মের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমান্তরাল সরলরেখা অপর বাহুদ্বয়কে __________ বিভক্ত করে।Ans: সমানুপাতে

12. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

(ii) পাশের চিত্রে DE ∥ BC এবং AD : BD = 3 : 5 হলে, △ADE-এর ক্ষেত্রফল : △CDE-এর ক্ষেত্রফল কত তা লিখি।Solution:

(iii) পাশের চিত্রে LM ∥ AB এবং AL = (x – 3) একক, AC = 2x একক, BM = (x – 2) একক এবং BC = (2x + 3) একক হলে, x-এর মান নির্ণয় করি।Solution:

(v) পাশের চিত্রে, DE ∥ BC, BE ∥ XC এবং AD/DB = 2/1 হলে, AX/XB -এর মান নির্ণয় করি।Solution:

Madhyamik Question

MP-2022

MP-2018

Koshe Dekhi 23.3 Class 10 | ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি কষে দেখি- ২৩.৩

2. (i) cosecθ এবং tanθ-কে sinθ-এর মাধ্যমে প্রকাশ করি।Solution:

(ⅱ) cosecθ এবং tanθ-কে cosθ-এর মাধ্যমে লিখি।Solution:

3. (i) secθ + tanθ = 2 হলে, (secθ – tanθ)-এর মান নির্ণয় করি।

(ii) cosecθ – cotθ = √2 – 1 হলে, (cosecθ + cotθ)-এর মান হিসাব করে লিখি।

(iii) sinθ + cosθ = 1 হলে, sinθ×cosθ-এর মান নির্ণয় করি।

দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নিচের BUTTON-এ ক্লিক করো।

(iv) tanθ + cotθ = 2 হলে, (tanθ – cotθ)-এর মান নির্ণয় করি।

(v) sinθ – cosθ = 7/13 হলে, sinθ + cosθ-এর মান নির্ণয় করি।

(vi) sinθcosθ = 1/2 হলে, (sinθ + cosθ) -এর মান হিসাব করে লিখি।

(vii) secθ – tanθ = 1/√3 হলে, secθ এবং tanθ উভয়ের মান নির্ণয় করি।

(viii) cosecθ + cotθ = √3 হলে, cosecθ এবং cotθ উভয়ের মান নির্ণয় করি।

(ix) sinθ + cosθ/sinθ – cosθ = 7 হলে, tanθ-এর মান হিসাব করে লিখি।

(x) cosecθ + sinθ/cosecθ – sinθ = 5/2 হলে, sinθ-এর মান হিসাব করে লিখি।

(xi) secθ + cosθ = 5/2 হলে, (secθ – cosθ)-এর মান হিসাব করে লিখি।

(xii) 5sin2θ + 4cos2θ = 9/2-সম্পর্কটি থেকে tanθ-এর মান নির্ণয় করি।

(xiii) tan2θ + cot2θ = 10/3 হলে, tanθ + cotθ এবং tanθ – cotθ-এর মান নির্ণয় করি এবং সেখান থেকে tanθ-এর মান হিসাব করে লিখি।

(xiv) sec2θ + tan2θ = 13/12 হলে, (sec4θ – tan4θ)-এর মান হিসাব করে লিখি।

4. (i) PQR ত্রিভুজে ∠Q সমকোণ। PR = √5 একক এবং PQ – RQ = 1 একক হলে, cosP – cosR-এর মান নির্ণয় করি।

(ii) XYZ ত্রিভুজে ∠Y সমকোণ। XY = 2√3 একক এবং XZ – YZ = 2 একক হলে, (secX – tanX)-এর মান নির্ণয় করি।

5. সম্পর্কগুলি থেকে ‘θ’ অপনয়ন করি:

(i) x = 2sinθ, y = 3cosθ

(ii) 5x = 3secθ, y = 3tanθ

6. (i) যদি sinα = 5/13 হয়, তাহলে দেখাই যে tanα + secα = 1.5

(vi) যদি (1+ 4x²)cosA = 4x হয়, তাহলে দেখাই যে, cosecA + cotA = 1 + 2x/ 1 – 2xSolution: (1+ 4x²)cosA = 4x

7. যদি x = asinθ এবং y = btanθ হয়, তাহলে প্রমাণ করি যে,

8. যদি sinθ + sin2θ = 1 হয়, তাহলে প্রমাণ করি যে, cos2θ + cos4θ = 1

9. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.):

(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি:

(C) শূন্যস্থান পূরণ করি:

(ii) sin(θ – 30o) = 1/2 হলে, cosθ-এর মান ________

(iii) cos2θ – sin2θ = 1/2 হলে, cos4θ – sin4θ-এর মান ________

10. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.):

(i) যদি rcosθ = 2√3, rsinθ = 2 এবং 0o < θ < 90o হয়, তাহলে r এবং θ উভয়ের মান নির্ণয় করি।

(ii) যদি sinA + sinB = 2 হয়, যেখানে 0o ≤ A ≤ 90o এবং 0o ≤ B ≤ 90o, তাহলে (cosA + cosB)-এর মান নির্ণয় করি।

(iii) যদি 0o < θ < 90o হয়, তাহলে (9tan2θ + 4cot2θ)-এর সর্বনিম্ন মান নির্ণয় করি।

(iv) (sin6α + cos6α + 3sin2α.cos2α)-এর মান নির্ণয় করি।

(v) যদি cosec2θ = 2cotθ এবং 0o < θ < 90o হয়, তাহলে θ-এর মান নির্ণয় করি।

Madhyamik Question

MP-2024

MP-2023

MP-2020

MP-2019

MP-2018

MP-2017

4. △ABC-এর AD মধ্যমার উপর P একটি বিন্দু। বর্ধিত BP ও CP যথাক্রমে AC ও AB-কে Q ও R বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, RQ ∥ BC.
Solution:

7. △ABC-এর BC বাহুর উপর D যে-কোনো একটি বিন্দু। P, Q যথাক্রমে △ABD ও △ADC-এর ভরকেন্দ্র। প্রমাণ করি যে, PQ ∥ BC.
Solution:

9. প্রমাণ করি যে, কোনো সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়মের সমান্তরাল বাহুদুটির যে-কোনো একটির সংলগ্ন কোণ দুটি সমান।
Solution:

11. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)

(iii) পাশের চিত্রে DE ∥ BC হলে x-এর মান
(a) 4 (b) 1 (c) 3 (d) 2

Ans: (d) 2
[△ABC-এর DE ∥ BC
∴ থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পাই,

⇒ (x + 3)(3x + 4) = x(3x + 19)
⇒ 3x² + 4x + 9x + 12 = 3x² + 19x
ব্যা 13x + 12 = 19x
⇒ 13x – 19x = -12
⇒ -6x = -12
∴ x = 2]

AD = AP + PD
= (42 + 18) সেমি. = 60 সেমি.]

(v) পাশের চিত্রে, DP = 5 সেমি, DE = 15 সেমি, DQ = 6 সেমি এবং QF = 18 সেমি হলে
(a) PQ = EF (b) PQ ∥ EF (c) PQ ≠ EF (d) PQ ∦ EF

Ans: (d) PQ ∦ EF
[PE = DE – DP
= (15 – 5) সেমি = 10 সেমি

(i) দুটি সদৃশ ত্রিভুজ সর্বদা সর্বসম।
Ans: মিথ্যা

Ans: সত্য
[△ABC-এর DE ∥ BC
∴ থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পাই,

(iii) একটি ট্রাপিজিয়মের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমান্তরাল সরলরেখা অপর বাহুদ্বয়কে __________ বিভক্ত করে।
Ans: সমানুপাতে

(ii) পাশের চিত্রে DE ∥ BC এবং AD : BD = 3 : 5 হলে, △ADE-এর ক্ষেত্রফল : △CDE-এর ক্ষেত্রফল কত তা লিখি।
Solution:

(iii) পাশের চিত্রে LM ∥ AB এবং AL = (x – 3) একক, AC = 2x একক, BM = (x – 2) একক এবং BC = (2x + 3) একক হলে, x-এর মান নির্ণয় করি।
Solution:

(v) পাশের চিত্রে, DE ∥ BC, BE ∥ XC এবং ^AD/_DB = ²/₁ হলে, ^AX/_XB -এর মান নির্ণয় করি।
Solution:

2. (i) cosecθ এবং tanθ-কে sinθ-এর মাধ্যমে প্রকাশ করি।
Solution:

(ⅱ) cosecθ এবং tanθ-কে cosθ-এর মাধ্যমে লিখি।
Solution:

(v) sinθ – cosθ = ⁷/₁₃ হলে, sinθ + cosθ-এর মান নির্ণয় করি।

(vi) sinθcosθ = ¹/₂ হলে, (sinθ + cosθ) -এর মান হিসাব করে লিখি।

(vii) secθ – tanθ = ¹/_√3 হলে, secθ এবং tanθ উভয়ের মান নির্ণয় করি।

(ix) ^{sinθ + cosθ}/_{sinθ – cosθ} = 7 হলে, tanθ-এর মান হিসাব করে লিখি।

(x) ^{cosecθ + sinθ}/_{cosecθ – sinθ} = ⁵/₂ হলে, sinθ-এর মান হিসাব করে লিখি।

(xi) secθ + cosθ = ⁵/₂ হলে, (secθ – cosθ)-এর মান হিসাব করে লিখি।

(xii) 5sin²θ + 4cos²θ = ⁹/₂-সম্পর্কটি থেকে tanθ-এর মান নির্ণয় করি।

(xiii) tan²θ + cot²θ = ¹⁰/₃ হলে, tanθ + cotθ এবং tanθ – cotθ-এর মান নির্ণয় করি এবং সেখান থেকে tanθ-এর মান হিসাব করে লিখি।

(xiv) sec²θ + tan²θ = ¹³/₁₂ হলে, (sec⁴θ – tan⁴θ)-এর মান হিসাব করে লিখি।

6. (i) যদি sinα = ⁵/₁₃ হয়, তাহলে দেখাই যে tanα + secα = 1.5

(vi) যদি (1+ 4x²)cosA = 4x হয়, তাহলে দেখাই যে, cosecA + cotA = ^{1 + 2x}/ _{1 – 2x}
Solution:
(1+ 4x²)cosA = 4x

8. যদি sinθ + sin²θ = 1 হয়, তাহলে প্রমাণ করি যে, cos²θ + cos⁴θ = 1

(ii) sin(θ – 30^o) = ¹/₂ হলে, cosθ-এর মান ________

(iii) cos²θ – sin²θ = ¹/₂ হলে, cos⁴θ – sin⁴θ-এর মান ________

(i) যদি rcosθ = 2√3, rsinθ = 2 এবং 0^o < θ < 90^o হয়, তাহলে r এবং θ উভয়ের মান নির্ণয় করি।

(ii) যদি sinA + sinB = 2 হয়, যেখানে 0^o ≤ A ≤ 90^o এবং 0^o ≤ B ≤ 90^o, তাহলে (cosA + cosB)-এর মান নির্ণয় করি।

(iii) যদি 0^o < θ < 90^o হয়, তাহলে (9tan²θ + 4cot²θ)-এর সর্বনিম্ন মান নির্ণয় করি।

(iv) (sin⁶α + cos⁶α + 3sin²α.cos²α)-এর মান নির্ণয় করি।

(v) যদি cosec²θ = 2cotθ এবং 0^o < θ < 90^o হয়, তাহলে θ-এর মান নির্ণয় করি।