PROSTUTI

Author: TEAM PROSTUTI

  • Koshe Dekhi 18-4 Class 10 সদৃশতা

    Koshe Dekhi 18-4 Class 10 সদৃশতা

    Koshe Dekhi 18-4 Class 10 সদৃশতা

    সদৃশতা Koshe Dekhi 18-4 Class 10

    1. ∆ABC-এর ∠ABC = 90° এবং BD ⊥ AC; যদি BD = 8 সেমি. এবং AD = 5 সেমি. হয়, তবে CD-এর দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
    Solution:

    D C B A

    ∆ABC ত্রিভুজের ∠ABC = 90o এবং সমকৌণিক বিন্দু B থেকে অতিভুজ AC এর উপর BD লম্ব।
    সমকোণী ত্রিভুজের সমকৌণিক বিন্দু থেকে অতিভুজের উপর লম্ব অঙ্কন করলে লম্বের উভয়পার্শ্বে যে দুটি ত্রিভুজ উৎপন্ন হয় তারা পরস্পর সদৃশ।
    ΔBDC এবং ΔADB সদৃশকোণী।
    সদৃশকোণী ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতী হয়।
    ∴ BD/AD = DC/BD
    ⇒8/5 = DC/8 – – [BD = 8; AD = 5]
    ⇒CD = 64/5 = 12.8
    Ans: CD এর দৈর্ঘ্য 12.8 সেমি.।

    2. ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার ∠B সমকোণ এবং BD ⊥ AC; যদি AD = 4 সেমি. এবং CD = 16 সেমি, হয়, তবে BD ও AB-এর দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
    Solution:

    D C A B

    ABC ত্রিভুজের ABC = 90o এবং সমকৌণিক বিন্দু B থেকে অতিভুজের উপর AC লম্ব।
    সমকোণী ত্রিভুজের সমকৌণিক বিন্দু থেকে অতিভুজের উপর লম্ব অঙ্কন করলে লম্বের উভয়পার্শ্বে যে দুটি ত্রিভুজ উৎপন্ন হয় তারা পরস্পর সদৃশ।
    ∴ ΔBDC এবং ΔBDA সদৃশকোণী।
    সদৃশকোণী ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতী হয়।
    ∴ BD/AD = DC/BD
    ⇒BD/4 = 16/BD – – – [AD = 4; CD = 16]
    ⇒BD2 = 64
    বা, BD = 8
    সমকোণী ত্রিভুজ ΔADB-এর ক্ষেত্রে,
    AB2 = AD2 + BD2
    বা, AB2 = 42 + 82
    বা, AB2 = 16 + 64
    বা, AB2 = 80
    ∴ AB = √80 = 4√5
    Ans: BD = ৪ সেমি. এবং AB= 4√5 সেমি.।

    3. O কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্তের AB একটি ব্যাস। P বৃত্তের উপর যে-কোনো একটি বিন্দু। A ও B বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক দুটিকে P বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকটি যথাক্রমে Q ও R বিন্দুতে ছেদ করেছে। যদি বৃত্তের ব্যাসার্ধ r হয়, প্রমাণ করি যে, PQ.PR = r2
    Solution:

    স্বীকার: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ব্যাস। বৃত্তের উপর যে-কোনো একটি বিন্দু P-তে অঙ্কিত স্পর্শক A ও B বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক দুটিকে যথাক্রমে Q ও R বিন্দুতে ছেদ করে। বৃত্তের ব্যাসার্ধ r একক। z
    .প্রামান্য বিষয়: PQ.PR = r2
    অঙ্কন: O, P; O, Q এবং O, R যুক্ত করা হল।

    Q R O P B A

    প্রমাণ: P বিন্দুতে QR স্পর্শক এবং OP স্পর্শ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।
    ∴ OP ⊥ QR
    ∴ ∠OPQ = 90o
    আবার, A বিন্দুতে AQ স্পর্শক এবং OA স্পর্শ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।
    ∴ OA ⊥ AQ
    ∴ ∠OAQ = 90o
    AOQ এবং POQ ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
    ∠OAQ = ∠OPQ = 90o
    OQ সাধারণ বাহু
    AQ = PQ – – – [বহিঃস্থ বিন্দু Q থেকে অঙ্কিত দুটি স্পর্শক AQ এবং PQ ∴ AQ এবং PQ সমান]
    ∴ ΔΑΟQ ≅ ΔPOQ
    ∴ ∠AOQ = ∠POQ
    অনুরূপে পাই, ΔBOR ≅ ΔPOR
    ∴ ∠BOR = ∠POR
    ∠AOQ + ∠POQ + ∠POR + ∠BOR = 180o
    বা, ∠POQ + ∠POQ + ∠POR + ∠POR = 180o – – – [∵ ∠AOQ = ∠POQ এবং ∠BOR = ∠POR]
    বা, 2∠POQ + 2∠POR = 180o
    বা, 2(∠POQ + ∠POR) = 180o
    বা, (∠POQ + ∠POR) = 90o
    বা, ∠QOR = 90o
    ∴ QOR সমকোণী ত্রিভুজ যার ∠QOR সমকোণ এবং সমকৌণিক বিন্দু O থেকে অতিভুজ QR এর উপর OP লম্ব।
    সমকোণী ত্রিভুজের সমকৌণিক বিন্দু থেকে অতিভুজের উপর লম্ব অঙ্কন করলে লম্বের উভয়পার্শ্বে যে দুটি ত্রিভুজ উৎপন্ন হয় তারা পরস্পর সদৃশ হয়।
    ∴ ΔOPQ এবং ΔOPR সদৃশকোণী।
    সদৃশকোণী ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতী হয়।
    ∴ OP/PR = PQ/OP = OQ/RO
    ⇒ OP/PR = PQ/OP
    ⇒ OP2 = PQ.PR
    বা, r2 = PQ.PR
    বা, PQ.PR = r2  (প্রমাণিত)

    4. AB-কে ব্যাস করে একটি অর্ধবৃত্ত অঙ্কন করেছি। AB-এর উপর যে-কোনো বিন্দু C থেকে AB-এর উপর লম্ব অঙ্কন করেছি যা অর্ধবৃত্তকে D বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, CD, AC ও BC-এর মধ্যসমানুপাতী।
    Solution:

    D B A C

    স্বীকার:AB কে ব্যাস করে একটি অর্ধবৃত্ত অঙ্কন করা হয়েছে। AB-এর উপর যে-কোনো বিন্দু C থেকে AB এর উপর লম্ব CD যা অর্ধবৃত্তকে D বিন্দুতে ছেদ করে।
    প্রামান্য বিষয়: CD, AC ও BC এর মধ্য সমানুপাতী। অর্থাৎ CD2 = AC.BC
    অঙ্কন: A, D এবং B, D যুক্ত করা হল।
    প্রমাণ: ∠ADB = 90o – – -n[∵ অর্ধবৃত্তস্থ কোন 1 সমকোণ]
    ∴ সমকৌণিক বিন্দু D থেকে অতিভুজ AB এর উপর DC লম্ব।
    সমকোণী ত্রিভুজের সমকৌণিক বিন্দু থেকে অতিভুজের উপর লম্ব অঙ্কন করলে লম্বের উভয়পার্শ্বে যে দুটি ত্রিভুজ উৎপন্ন হয় তারা পরস্পর সদৃশ হয়।
    ∴ ∆ACD এবং ∆DCB সদৃশকোণী।
    সদৃশকোণী ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতী হয়।
    ∴ AD/BD = CD/BC = AC/CD
    ⇒ CD/BC = AC/CD
    বা, CD2 = AC.BC
    ∴ CD, AC ও BC-এর মধ্যসমানুপাতী।  (প্রমাণিত)

    5. সমকোণী ত্রিভুজ ABC-এর ∠A সমকোণ। অতিভুজ BC-এর উপর লম্ব AD হলে, প্রমাণ করি যে,

    \(\Large{\mathbf{\quad\quad\frac{∆ABC}{∆ADC}=\frac{BC^2}{AC^2}}}\)

    Solution:
    স্বীকার: ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠A সমকোণ। অতিভুজ BC-এর উপর AD লম্ব।
    প্রামাণ্য বিষয়:

    \(\Large{\quad\quad\frac{∆ABC}{∆ADC}=\frac{BC^2}{AC^2}}\)
    D C B A

    প্রমাণ: ABC সমকোণী ত্রিভুজের সমকৌণিক বিন্দু A থেকে BC এর উপর AD লম্ব।
    সমকৌণিক বিন্দু থেকে অতিভুজের উপর লম্ব অঙ্কন করলে লম্বের উভয়পার্শ্বে যে দুটি ত্রিভুজ উৎপন্ন হয় তারা পরস্পর সদৃশ এবং প্রত্যেকটি ত্রিভুজ মূল ত্রিভুজের সাথে সদৃশ হয়।
    ∴ ∆BAC এবং ∆ADC সদৃশকোণী।
    সদৃশকোণী ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতী হয়।
    ∴ AC/CD = BC/AC
    বা, AC2 = CD.BC\frac{∆ABC}{∆ADC}= \frac{BC^2}{AC^2}\quad\quad\mathbf{(Proved)}
    ×BC×AD

    \(\Large{\frac{∆ABC}{∆ADC}=\frac{\frac{1}{2}×BC×AD}{\frac{1}{2}×AD×CD}\\\quad\quad\quad\quad=\frac{BC}{CD}\\\quad\quad\quad\quad=\frac{BC.BC}{CD.BC}\\\quad\quad\quad\quad=\frac{BC^2}{AC^2}\quad\quad\mathbf{(Proved)}}\)

    দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে এখানে ক্লিক করো।

    6. O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ব্যাস। A বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত একটি সরলরেখা বৃত্তকে C বিন্দুতে এবং B বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শককে D বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে,
    (i) BD2 = AD.DC
    (ii) যে-কোনো সরলরেখার জন্য AC এবং AD দ্বারা গঠিত আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সর্বদা সমান।
    Solution:

    O D C B A

    স্বীকার:
    O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ব্যাস। A বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত একটি সরলরেখা বৃত্তকে C বিন্দুতে এবং B বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শককে D বিন্দুতে ছেদ করে।
    প্রামাণ্য বিষয়: (i) BD2 = AD.DC এবং
    (ii) যে- কোনো সরলরেখার জন্য AC এবং AD দ্বারা গঠিত আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সর্বদা সমান, অর্থাৎ  যেকোনো সরলরেখার ক্ষেত্রে (AC×AD) সর্বদা নির্দিষ্ট।
    অঙ্কনঃ B, C যুক্ত করা হল।
    প্রমাণ: ∠ACB = 90o – – – [∵ অর্ধবৃত্তস্থ কোণ 1 সমকোণ]
    ∴ BC ⊥ AD
    আবার, AB হল বৃত্তের ব্যাস এবং B বিন্দুতে BD স্পর্শক।
    ∴ ∠ABD = 90o
    ABD সমকোণী ত্রিভুজের সমকৌণিক বিন্দু B থেকে অতিভুজ AD এর উপর BC লম্ব ।
    সমকৌণিক বিন্দু থেকে অতিভুজের উপর লম্ব অঙ্কন করলে লম্বের উভয়পার্শ্বে যে দুটি ত্রিভুজ উৎপন্ন হয় তারা পরস্পর সদৃশ এবং প্রত্যেকটি ত্রিভুজ মূল ত্রিভুজের সাথে সদৃশ হয়।
    ∴ BCD এবং ABD সদৃশকোণী।
    সদৃশকোণী ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতী হয়।
    ∴ BD/AD = DC/BD
    বা, BD2 = AD.DC (প্রমাণিত)
    আবার ABD এবং ACB সদৃশকোণী।
    ∴ AB/AC = AD/AB
    বা, AB2 = AC.AD
    ∴ AC ও AD বাহু দ্বারা গঠিত আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল বৃত্তের ব্যাসের উপর অবস্থিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান।
    ∴ যেকোনো সরলরেখার জন্য AC ও AD বাহু দ্বারা গঠিত আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সর্বদা সমান (প্রমাণিত)

    7. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
    (A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.):

    (i) ∆ABC ও ∆DEF-এ AB/DE = BC/FD = AC/EF হলে,
    (a) ∠B = ∠E (b) ∠A = ∠D (c) ∠B = ∠D (d) ∠A = ∠F

    Ans: (c) ∠B = ∠D
    [∆ABC ও ∆DEF-এর
    AB/DE = BC/FD = AC/EF
    ∴ ∆ABC ও ∆DEF সদৃশকোণী।
    সদৃশকোণী ত্রিভুজের অনুরূপ কোণগুলি সমান হয়।
    ∴ ∠C = ∠F, ∠A = ∠E এবং ∠B = ∠D]

    (ii) ∆DEF ও ∆PQR-এ ∠D = ∠Q এবং ∠R = ∠E হলে, নীচের কোনটি সঠিক নয় লিখি।
    (a) EF/PR = DF/PQ (b) QR/PQ = EF/DF (c) DE/QR = DF/PQ (d) EF/RP = DE/QR

    Ans: (b) QR/PQ = EF/DF
    [∆DEF ও ∆PQR-এ
    ∠D = ∠Q এবং ∠R = ∠E
    ∴ ∠F = ∠P
    ∴ ∆DEF ও ∆PQR সদৃশ।
    ⇒ DE/QR = EF/RP = FD/PQ]

    (iii) ABC ও DEF ত্রিভুজে ∠A = ∠E = 40o, AB : ED = AC : EF এবং ∠F = 65o হলে ∠B-এর মান
    (a) 35o (b) 65o (c) 75o (d) 85o

    Ans:  (c) 75o
    [DEF ত্রিভুজের ∠E = 40oএবং ∠F = 65o
    ∴ ∠D = 180o – (∠E + ∠F)
    বা, ∠D = 180o – (40o + 65o)
    বা, ∠D = 180o – 105o = 75o
    ∵ AB : ED = AC : EF
    ∴ ∠B = ∠D = 75o]

    (iv) ∆ABC এবং ∆PQR-এ AB/QR = BC/PR = CA/PQ হলে,
    (a) ∠A = ∠Q (b) ∠A = ∠P (c) ∠A = ∠R (d) ∠B = ∠Q

    Ans:  (a) ∠A = ∠Q
    [∆ABC এবং ∆PQR-এ,
    AB/QR = BC/PR = CA/PQ
    ∴ AB/QR = BC/RP = CA/PQ
    ∴ ∠A = ∠Q, ∠B = ∠R এবং ∠C = ∠P]

    (v) ABC ত্রিভুজে AB = 9 সেমি., BC = 6 সেমি. এবং CA = 7.5 সেমি। DEF ত্রিভুজে BC বাহুর অনুরূপ বাহু EF; EF = 8 সেমি এবং ∆DEF ~ ∆ABC হলে ∆DEF-এর পরিসীমা
    (a) 22.5 সেমি. (b) 25 সেমি. (c) 27 সেমি. (d) 30 সেমি.

    Ans: (d) 30 সেমি.
    [DEF ত্রিভুজে BC বাহুর অনুরূপ বাহু EF;
    BC = 6 সেমি. এবং EF = 8 সেমি.
    ∴ BC/EF = 6/8 = 3/4
    ∵ ∆DEF ~ ∆ABC
    ∴ AB/DE = CA/FD = 3/4
    ∴ AB/DE = 3/4
    বা, 9/DE = 3/4 – – – [∵ AB = 9]
    বা, DE = 12
    এবং CA/FD = 3/4
    বা, 7.5/FD = 3/4 – – – [∵ CA = 9]
    বা, FD = 2.5×4 = 10
    ∆DEF-এর পরিসীমা
    = (12 + 8 + 10)সেমি.
    = 30 সেমি.]

    (B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখি:

    (i) দুটি চতুর্ভুজের অনুরূপ কোণগুলি সমান হলে চতুর্ভুজ দুটি সদৃশ।

    Ans:  মিথ্যা

    (ii) পাশের চিত্রে ∠ADE = ∠ACB হলে, ∆ADE ~ ∆ACB

    Ans: সত্য

    E D C B A

    [∆ADE এবং ∆ACB-এর,
    ∠ADE = ∠ACB – – – [প্রদত্ত]
    ∠DAE = ∠CAB – – – [একই কোণ]
    ∴ অবশিষ্ট ∠AED = অবশিষ্ট ∠ABC
    ∴∆ADE ~ ∆ACB]

    (iii) ∆PQR-এর QR বাহুর উপর D এমন একটি বিন্দু যে PD ⊥ QR; সুতরাং, ∆PQD ~ ∆RPD

    Ans:  মিথ্যা

    (C) শূন্যস্থান পূরণ করি:

    (i) দুটি ত্রিভুজ সদৃশ হবে যদি তাদের __________ বাহুগুলি সমানুপাতী হয়।

    Ans: অনুরূপ

    (ii) ∆ABC ও ∆DEF-এর পরিসীমা যথাক্রমে 30 সেমি. এবং 18 সেমি.। ∆ABC ~ ∆DEF: BC ও EF অনুরূপ বাহু। যদি BC = 9 সেমি. হয়, তাহলে EF = __________ সেমি.।

    Ans: 5.4
    [∆ABC ও ∆DEF-এর পরিসীমা যথাক্রমে 30 সেমি. এবং 18 সেমি.।
    ∆ABC ~ ∆DEF; এবং BC ও EF অনুরূপ বাহু।
    ∴ BC/EF = AB/DE = CA/DF = AC/AD
    ∴ প্রতিটি অনুপাতের মান
    = BC + AB + CA/EF + DE + DF – – – [সংযোজন প্রক্রিয়া প্রয়োগ করে পাই]
    = 30/18 = 5/3
    ∴ BC/EF = 5/3
    বা, 9/EF = 5/3 – – – [∵ BC = 9]
    বা, EF = 9×3/5 = 5.4]

    8. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

    (i) পাশের চিত্রে, ∠ACB= ∠BAD এবং AD ⊥ BC; AC = 15 সেমি., AB = 20 সেমি. এবং BC = 25 সেমি, হলে, AD-এর দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।
    Solution:

    D C B A

    ∠ACB = ∠BAD এবং AD ⊥ BC;
    AC = 15 সেমি., AB = 20 সেমি.
    এবং BC = 25 সেমি,
    △ABC এবং ∆ADB ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
    ∠BAC = ∠ADB = 90°
    ∠ACB = ∠BAD – – – [প্রদত্ত]
    ∠ABC = ∠ABD – – – [একই কোণ]
    ∴ ∆ABC এবং ∆ADB সদৃশকোণী।
    সদৃশকোণী ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতী হয়।
    ∴ BC/AB =  AB/BD = AC/AD
    ⇒BC/AB = AC/AD
    ⇒25/20 = 15/AD
    বা, AD = 20×15/25
    ∴ AD = 12
    Ans: AD এর দৈর্ঘ্য 12 সেমি.।

    (ii) পাশের চিত্রে, ∠ABC = 90o এবং BD ⊥ AC; যদি AB = 30 সেমি., BD = 24 সেমি. এবং AD = 18 সেমি. হলে, BC-এর দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।
    Solution:

    D C B A

    চিত্রে ∠ABC = 90o এবং BD ⊥ AC; 
    AB = 30 সেমি.; BD = 24 সেমি.
    এবং AD = 18 সেমি.
    আমরা জানি সমকৌণিক বিন্দু থেকে অতিভুজের উপর লম্ব অঙ্কন করলে লম্বের উভয়পার্শ্বে যে দুটি ত্রিভুজ উৎপন্ন হয় তারা পরস্পর সদৃশ হয় এবং উৎপন্ন ত্রিভুজ দুটি মূল ত্রিভুজের সঙ্গেও  সদৃশ হয় ।
    ∴ ∆ADB এবং ∆CDB সদৃশকোণী।
    আবার সদৃশকোণী ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতী হয়।
    ∴ AB/BC =  BD/CD = AD/BD
    ⇒ BD/CD = AD/BD
    ⇒ CD×AD = BD2
    বা, CD×18 = (24)2 – – – [∵ AD = 8; ∵ BD =24]
    বা, CD×18 = 24×24
    ∴ CD = 32
    আবার ∆ABC এবং ∆BDC সদৃশকোণী।
    ∴ AB/BD =  BC/CD = AC/BC
    ⇒ AB/BD = BC/CD
    ⇒30/24 = BC/32
    ⇒5/4 = BC/32
    ⇒BC = 5×8 = 40
    Ans: BC-এর দৈর্ঘ্য 40 সেমি.।

    (iii) পাশের চিত্রে, ∠ABC = 90o এবং BD ⊥ AC; যদি BD = 8 সেমি. এবং AD = 4 সেমি. হয়, তাহলে CD-এর দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।
    Solution:

    D C B A

    চিত্রে ∠ABC = 90o এবং BD ⊥ AC; 
    BD = 8 সেমি. এবং AD = 4 সেমি.
    আমরা জানি সমকৌণিক বিন্দু থেকে অতিভুজের উপর লম্ব অঙ্কন করলে লম্বের উভয়পার্শ্বে যে দুটি ত্রিভুজ উৎপন্ন হয় তারা পরস্পর সদৃশ হয়।
    ∴ ∆ADB এবং ∆CDB সদৃশকোণী।
    আবার সদৃশকোণী ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতী হয়।
    ∴ AB/BC =  BD/CD = AD/BD
    ∴ BD/CD = AD/BD
    বা, BD2 =  AD×CD
    বা, 82 = CDX4 – – – [∵ BD = 8]
    ⇒ 64 = CDX4
    বা, CD = 16
    Ans:  CD-এর দৈর্ঘ্য 16 সেমি.

    (iv) ABCD ট্রাপিজিয়ামের BC || AD এবং AD = 4 সেমি.। AC ও BD কর্ণদ্বয় এমনভাবে O বিন্দুতে ছেদ করে যে AO/OC = DO/OB = 1/2 হয়। BC-এর দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।
    Solution:

    O D C B A

    ABCD ট্রাপিজিয়ামের BC || AD,
    AD = 4 সেমি. এবং
    AO/OC = DO/OB = 1/2
    ∆AOD ও ∆COB এর ক্ষেত্রে,
    ∠OAD = একান্তর কোণ ∠OCB – – – [ ∵ AD || BC এবং AC ভেদক]
    আবার, ∠ODA = একান্তর কোণ ∠OBC – – – [∵ AD || BC এবং DB ভেদক]
    এবং ∠AOD = বিপ্রতীপ কোন ∠BOC 
    ∴ ∆AOD ও ∆COB সদৃশকোণী।
    সদৃশকোণী ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতী হয়।
    ∴ AO/OC = DO/OB = AD/BC
    আবার AO/OC = DO/OB = 1/2
    ∴ AD/BC =  1/2
    বা, 4/BC =  1/2
    বা, BC = 8
    Ans: BC এর দৈর্ঘ্য 8 সেমি.।

    (v) ∆ABC ~ ∆DEF এবং ∆ABC ও ∆DEF-এ AB, BC ও CA বাহুর অনুরূপ বাহুগুলি যথাক্রমে DE, EF ও DF; ∠A = 47o এবং ∠E = 83o হলে, ∠C-এর পরিমাপ কত তা লিখি।
    Solution:

    83 O O 47 D E F C B A

    ΔΑΒC ও △DEF সদৃশ এবং ∆ABC ও △DEF -এর AB, BC ও CA বাহুর অনুরূপ বাহুগুলি যথাক্রমে DE, EF ও DF.
    সদৃশকোণী ত্রিভুজের অনুরূপ কোণগুলি সমান হয়।
    ∴ ∠C = ∠F, ∠A = ∠D এবং ∠B = ∠E
    প্রদত্ত ∠A = 47o
    এবং ∠B = ∠E = 83o
    ∴ ∠C = 180o – (∠A + ∠B)
    = 180o – (47o + 83o)
    = 180o – 130o = 50o
    Ans: ∠C-এর পরিমাপ 50o

    Utube_comptech_home
    দশম শ্রেণীর ভৌত বিজ্ঞান এবং জীবন বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন

    Madhyamik Question

    MP-2024

    ▶️ দুটি সদৃশ ত্রিভুজের অনুরুপ বাহুগুলি _______________
    Ans:     সমানুপাতী

    ▶️ ABCD ট্রপিজিয়ামের BC ∥ AD এবং AD = 4 সেমি, AC ও BD কর্ণদ্বয় এমনভাবে O বিন্দুতে ছেদ করে যে, AO/OC = DO/OB = 1/2 -হয়, তাহলে BC এর দৈর্ঘ্য কত?

    VIEW ANSER

    MP-2023

    ▶️ ΔABC এর AC এবং BC বাহু দুটির উপর যথাক্রমে L এবং M দুটি বিন্দু এমনভাবে অবস্থান করে যাতে LM || AB এবং AL = (x – 2) একক, AC = 2x + 3 একক, BM (x – 3) একক এবং BC = 2x একক, তবে x-এর মান নির্ণয় করো।

    VIEW ANSER

    MP-2022

    ▶️ দুটি ত্রিভুজ সদৃশ হবে, যদি তাদের অনুরুপ বাহুগুলি __________ হয়।
    Ans:     সমানুপাতী

    MP-2020

    ▶️ সমকোণী ত্রিভুজ ABC-এর ∠A সমকোণ। অতিভুজ BC-এর উপর লম্ব AD হলে, প্রমাণ করি যে,

    \(\Large{\mathbf{\quad\quad\frac{∆ABC}{∆ADC}=\frac{BC^2}{AC^2}}}\)
    VIEW ANSER

    MP-2019

    ▶️ দুটি ত্রিভুজের ভূমি একই সরলরেখায় অবস্থিত এবং ত্রিভুজ দুটির অপর শীর্ষবিন্দুটি সাধারণ হলে, ত্রিভুজ দুটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত ভূমির দৈর্ঘ্যের অনুপাতের __________। (শূন্যস্থান পূরণ)
    Ans: সমান।

    ▶️ ABCD ট্রাপিজিয়ামের BC || AD এবং AD = 4 সেমি। AC ও BD কর্ণদ্বয় এমনভাবে O বিন্দুতে ছেদ করে যে AO/OC = DO/OB = 1/2 হয়। BC-এর দৈর্ঘ্য কত?

    VIEW ANSER

    MP-2018

    ▶️ △ABC-এর BC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা AB ও AC কে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে। যদি AP = 4 সেমি, QC = 9 সেমি এবং PB = AQ হয় তাহলে PB-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

    VIEW ANSER

    ▶️ প্রমাণ করো একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকৌণিক বিন্দু থেকে অতিভুজের উপর লম্ব অঙ্কন করলে লম্বের দুপাশে যে দুটি ত্রিভুজ উৎপন্ন হয়, তারা মূল ত্রিভুজের সঙ্গে সদৃশ এবং পরস্পর সদৃশ।

    VIEW ANSER

    MP-2017

    ▶️ দুটি ত্রিভুজের বাহুগুলির দৈর্ঘ্যের পরিমাপ সমানুপাতে থাকলে ত্রিভুজ দুটি __________ হবে। (শূন্যস্থান পূরণ)
    Ans:     সদৃশ

    PREVIOUS
    NEXT
  • Koshe Dekhi 18-3 Class 10 সদৃশতা

    Koshe Dekhi 18-3 Class 10 সদৃশতা

    Koshe Dekhi 18-3 Class 10 সদৃশতা

    Madhyamik Previous Year (2017 – 2024) MATHEMATICS Question with complete solution|
    বিগত বছরের (2017 – 2024) মাধ্যমিক গণিত প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নীচের BUTTON-এ CLICK করো|

    CLICK

    1. নীচের কোন ত্রিভুজ জোড়া সদৃশ হিসাব করে লিখি।
    সমাধান:

    5 এককo80 6 একক P Q R 2.5 একক 4 একক 80 o A B C 5 একক 4 একক 6 একক P Q R 3 একক 2.5 একক 2 একক A B C

    ΔΑBC এবং ΔPQR এর ক্ষেত্রে,
    AB/QR = 2/4 = 1/2
    BC/PQ = 2.5/5 = 1/2
    CA/RP = 3/6 = 1/2
    ∴ AB/QR = BC/PQ = CA/RP
    ∴ ΔΑBC এবং ΔPQR সদৃশকোণী ত্রিভুজ।
    Ans: ΔΑBC এবং ΔPQR সদৃশ।

    Koshe Dekhi 18-3 Class 10 সদৃশতা

    2. নীচের ত্রিভুজ জোড়া দেখি ও ∠A-এর মান হিসাব করে লিখি।
    সমাধান:

    10.4 একক5.2 একক 65 O O 75 8.4 একক 4.2 একক 14 একক 7 এককC B A Z Y X

    এখানে
    XY/CB = 4.2/8.4 = 1/2
    YZ/AB = 7/14 = 1/2
    ZX/AC = 5.2/10.4 = 1/2
    ∴ XY/CB = YZ/AB = ZX/AC
    ∴ ΔXYZ এবং ΔABC সদৃশকোণী ত্রিভুজ।
    ΔXYZ এবং ΔABC এর অনুরূপ কোণগুলি সমান হবে।
    ∴ ∠A = ∠Z = 65o
    Ans: ∠A-এর মান 65o

    Koshe Dekhi 18-3 Class 10 সদৃশতা

    3. আমাদের মাঠে 6 সেমি. দৈর্ঘ্যের একটি কাঠির 4 সেমি. দৈর্ঘ্যের ছায়া মাটিতে পড়েছে। ওই একই সময়ে যদি একটি উঁচু টাওয়ারের ছায়ার দৈর্ঘ্য 28 মিটার হয়, তবে টাওয়ারের উচ্চতা কত হবে হিসাব করে লিখি।
    সমাধান:

    D A B C E

    AB টাওয়ার এবং DE কাঠি, BC ভূমির উপর লম্বভাবে অবস্থিত।
    এখানে, DE = 6 মিটার, DC= 4 মিটার,
    BC =28 মিটার
    ∠ABC = ∠EDC = 90o
    ΔΑBC এবং ΔDEC এর ক্ষেত্রে,
    ∠ABC = ∠EDC = 90o
    ∠ACB = ∠ECD – – – [সাধারণ কোণ]
    ∠CAB = অনুরূপ কোণ ∠CED [∵ AB || ED এবং AC ভেদক]
    ΔΑBC এবং ΔDEC সদৃশকোণী ত্রিভুজ।
    সদৃশকোণী ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতিক হয়।
    ∴ BA/DE = BC/DC
    ⇒ BA/6 = 28/4 = 1/2
    ⇒ BA = 6×7 = 42
    Ans: টাওয়ারের উচ্চতা 42 মিটার।

    4. প্রমাণ করি যে, কোনো ত্রিভুজের দুটি বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল ও অর্ধেক।
    সমাধান:

    D AB C E

    স্বীকার: ΔΑBC এর AB এবং AC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D ও E;
    প্রামান্য বিষয়: DE || BC
    এবং DE = 1/2 BC
    প্রমাণ: ∆ABC এর AB বাহুর মধ্যবিন্দু D;
    ∴ AD = 1/2AB
    ⇒ AD/AB = 1/2
    আবার, ∆ABC এর AC বাহুর মধ্যবিন্দু E;
    ∴ AE = 1/2AC
    ⇒ AE/AC = 1/2
    ∴ AD/AB = AE/AC = 1/2
    ∆ABC এর,
    AD/AB = AE/AC
    ∴ থ্যালেসের বিপরীত উপপাদ্য থেকে পাই,
    DE || BC (প্রমাণিত)
    ∆ADE ও ∆ABC এর,
    ∠ADE = অনুরূপ কোণ ∠ABC – – – [∵ DE || BC এবং AB ভেদক]
    ∠AED = অনুরূপ কোণ ∠ACE – – – [∵ DE || BC এবং AC ভেদক]
    এবং ∠A দুটি ত্রিভুজেরই সাধারণ কোণ
    ∴ ∆ADE এবং ∆ABC সদৃশকোণী
    সদৃশকোণী ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতিক হয়।
    ∴ AD/AB = AE/AC = DE/BC
    ⇒ DE/BC = AD/AB = 1/2
    ∴ DE = 1/2BC (প্রমাণিত)

    5. তিনটি সমবিন্দু সরলরেখাকে দুটি সমান্তরাল সরলরেখা যথাক্রমে A, B, C ও X, Y, Z বিন্দুতে ছেদ করেছে, প্রমাণ করি যে, AB : BC = XY : YZ
    সমাধান:

    X Y ZA B O Q P R C

    স্বীকার: O বিন্দুগামী তিনটি সমবিন্দু সরলরেখা হল OP, OQ এবং OR; OP, OQ এবং OR তিনটি সমবিন্দু সরলরেখাকে দুটি সমান্তরাল সরলরেখা যথাক্রমে A, B, C ও X, Y, Z বিন্দুতে ছেদ করেছে।
    প্রামান্য বিষয়: : AB : BC = XY : YZ
    প্রমাণ: ΔΟΑΒ এবং ΔΟXY এর,
    ∠OAB = অনুরূপ কোণ ∠OXY – – – [∵ AC || XZ এবং OX ভেদক]
    ∠OBA = অনুরূপ কোণ ∠OYX – – – [∵ AC || XZ এবং OY ভেদক]
    ∠AOB = ∠XOY – – – [একই কোণ]
    ∴ ΔΟΑΒ এবং ΔΟXY সদৃশকোণী
    সদৃশকোণী ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতিক হয়।
    ∴ OA/OX = OB/OY = AB/XY
    ⇒ OB/OY = AB/XY – – – (i)
    অনুরুপে প্রমাণ করা যায়, ∆ΟBC এবং ΔΟΥΖ সদৃশকোণী।
    সদৃশকোণী ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতিক হয়।
    ∴ OB/OY = OC/OZ = BC/YZ
    ⇒ OB/OY = BC/YZ – – – (ii)
    (i) ও (ii) থেকে পাই,
    ∴ AB/XY = BC/YZ
    বা, AB/BC = XY/YZ
    ∴ AB : BC = XY :YZ (প্রমাণিত)

    Koshe Dekhi 18-3 Class 10 সদৃশতা

    6. PQRS একটি ট্রাপিজিয়াম অঙ্কন করেছি যার PQ || SR; PR ও QS কর্ণ দুটি O বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করলে, প্রমাণ করি যে, OP : OR = OQ : OS;
    যদি SR = 2PQ হয়, তাহলে প্রমাণ করি যে, O বিন্দু কর্ণ দুটির প্রত্যেকটির সমত্রিখন্ডক বিন্দুর একটি বিন্দু হবে।।
    সমাধান:

    S R P Q O

    স্বীকার: PQRS একটি ট্রাপিজিয়াম, যার PQ || SR; PR ও QS কর্ণদুটি ০ বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করেছে।
    প্রামান্য বিষয়: OP : OR = OQ : OS
    আবার যদি SR = 2PQ হয়, তাহলে প্রমাণ করতে হবে যে, O বিন্দু কর্ণ দুটির প্রত্যেকটির সমত্রিখন্ডক বিন্দুর একটি বিন্দু হবে।
    অর্থাৎ OP : OR = OQ : OS =1 : 2
    প্রমাণ: △OPQ এবং △ORS এর,
    ∠OPQ = একান্তর কোণ ∠ORS – – – [∵ PQ||SR এবং PR ভেদক]
    ∠OQP = একান্তর কোণ ∠OSR – – – [∵ PQ||SR এবং SQ ভেদক]
    এবং ∠POQ = বিপ্রতীপ ∠ROS
    ∴ △OPQ এবং △ORS সদৃশকোণী
    সদৃশকোণী ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতিক হয়।
    ∴ OP/OR = OQ/OS = PQ/SR – – – (i)
    বা, OP/OR = OQ/OS
    ∴ OP : OR = OQ : OS (প্রমাণিত)
    SR = 2PQ হলে,
    PQ/SR = 1/2 হয়
    (i) নং থেকে পাই,
    OP/OR = OQ/OS = PQ/SR
    ∴ OP/OR = OQ/OS = 1/2
    ∴ OP : OR = OQ : OS =1 : 2 (প্রমাণিত)

    দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নিচের BUTTON-এ ক্লিক করো।

    CLICK

    7. PQRS একটি সামান্তরিক। S বিন্দুগামী একটি সরলরেখা PQ এবং বর্ধিত RQ-কে যথাক্রমে X ও Y বিন্দুতে ছেদ করলে, প্রমাণ করি যে, PS : PX = QY : QX = RY : RS.
    সমাধান:

    S R P Q Y X

    স্বীকার: PQRS একটি সামান্তরিক, S বিন্দুগামী একটি সরলরেখা PQ ও বর্ধিত RQ কে X ও Y বিন্দুতে ছেদ করেছে।
    প্রামান্য বিষয়: PS : PX = QY : QX = RY : RS.
    প্রমাণ: △XSP এবং △XYQ এর,
    ∠XSP = একান্তর কোণ ∠XYQ – – – [∵ SP||QY এবং SY ভেদক]
    ∠SXP = বিপ্রতীপ কোণ ∠YXQ
    এবং ∠SPX = একান্তর কোণ ∠YQX – – – [∵ SP||QY এবং PQ ভেদক]
    ∴ △XSP এবং △XYQ সদৃশকোণী।
    সদৃশকোণী ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতিক হয়।
    ∴ XS/XY = SP/YQ = XP/XQ
    বা, SP/YQ = XP/XQ
    বা, SP/XP = YQ/XQ – – – (i)
    আবার, △YQX এবং △YRS এর,
    ∠YXQ = অনুরূপ কোণ ∠YSR – – – [∵ PQ||SR এবং YS ভেদক]
    ∠YQX = অনুরূপ কোণ ∠YRS – – – [∵ PQ||SR এবং YR ভেদক]
    ∠XYQ = ∠SYR – – – [দুটি ত্রিভুজেরই সাধারণ কোণ]
    ∴ △YQX এবং △YRS সদৃশকোণী।
    সদৃশকোণী ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতিক হয়।
    ∴ YQ/YR = YX/YS = XQ/SR
    বা, YQ/YR = XQ/SR
    ⇒ YR/YQ = SR/XQ
    বা, YR/SR = YQ/XQ – – – (ii)
    (i) ও (ii) থেকে পাই,
    SP/XP = YQ/XQ = YR/SR
    ⇒ SP : XP = YQ : XQ = YR : SR
    ∴ PS : PX = QY : QX = RY : RS (প্রমাণিত)

    Koshe Dekhi 18-3 Class 10 সদৃশতা

    Fb_Prostuti
    আমাদের লেটেস্ট পোস্টের আপডেট পেতে আমাদের ফেসবুক পেজে জয়েন করতে পারো ।

    8. দুটি সুক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ ∆ABC ও ∆PQR সদৃশকোণী। তাদের পরিকেন্দ্র যথাক্রমে X ও Y; BC ও QR অনুরূপ বাহু হলে, প্রমাণ করি যে, BX : QY = BC : QR.
    সমাধান:

    X A B CY P Q R

    স্বীকার: দুটি সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ △ABC ও △PQR সদৃশকোণী।
    ∠A = ∠P, ∠B = ∠Q এবং ∠C = ∠R. X ও Y যথাক্রমে ∆ABC এবং △PQR এর পরিকেন্দ্র। BC ও QR অনুরূপ বাহু।
    প্রামান্য বিষয়: BX : QY = BC : QR.
    প্রমাণ: BC বৃত্তচাপের উপর ∠BXC কেন্দ্রস্থ কোন এবং ∠BAC পরিধিস্থ কোণ।
    ∴ ∠BXC = 2∠BAC
    ∴ ∠BAC = 1/2∠BXC
    আবার, QR বৃত্তচাপের উপর ∠QYR কেন্দ্রস্থ কোন এবং ∠QPR পরিধিস্থ কোণ
    ∴ ∠QYR =2∠QPR
    ∴ ∠QPR = 1/2∠QYR
    ∠BAC= ∠QPR – – – (স্বীকার)
    ⇒ 1/2∠BXC = 1/2∠QYR
    ⇒ ∠BXC = ∠QYR
    এখন, BX = XC – – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
    ∴ ∠XBC = ∠XCB
    △BXC থেকে পাই,
    ∠XBC + ∠XCB + ∠BXC = 180o
    বা, 2∠XBC + ∠BXC = 180o
    বা, ∠BXC= 180o – 2∠XBC
    আবার, YQ = YR – – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
    ∠YQR = ∠YRQ
    এখন △QYR থেকে পাই,
    ∠YQR + ∠YRQ + ∠QYR = 180o
    বা, 2∠YQR + ∠QYR = 180o
    বা, ∠QYR = 180o – 2∠YQR
    ∵ ∠BXC = ∠QYR
    ∴ 180o – 2∠XBC = 180o – 2∠YQR
    ⇒ – 2∠XBC = – 2∠YQR
    ⇒ ∠XBC = ∠YQR
    △BXC এবং △QYR এর,
    ∠XBC = ∠YQR,
    ∠XCB = ∠YRQ
    এবং ∠BXC = ∠QYR.
    ∴ △BXC এবং △QYR সদৃশকোণী
    সদৃশকোণী ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতিক হয়।
    △ BX : QY = BC : QR = XC : YR
    ∴ BX : QY = BC : QR (প্রমাণিত)

    9. কোনো বৃত্তের PQ ও RS দুটি জ্যা বৃত্তের অভ্যন্তরে X বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করেছে। P, S ও R, Q যুক্ত করে, প্রমাণ করি যে, ∆PXS ও ∆RSQ সদৃশকোণী। এর থেকে প্রমাণ করি যে, PX.XQ = RX.XS
    অথবা
    একটি বৃত্তে দুটি জ্যা পরস্পরকে অন্তঃস্থভাবে ছেদ করলে একটির অংশদ্বয়ের আয়তক্ষেত্র অপরটির অংশদ্বয়ের আয়তক্ষেত্রের সমান হবে।
    সমাধান:

    X P Q RS

    স্বীকার: PQ ও RS দুটি জ্যা বৃত্তের অভ্যন্তরে X বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করেছে। P, S ও R, Q যুক্ত করা হল।
    প্রামান্য বিষয়: △PXS এবং △RXQ সদৃশকোণী
    এবং PX.XQ = RX.XS
    প্রমাণ: ∠SPQ = ∠SRQ – – -[∵ একই বৃত্তাংশস্থ সকল কোণের মান সমান হয়।]
    ∴ ∠SPX = ∠QRX
    △SPX এবং △QRX ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
    ∠XPS = ∠XRQ – – – [পূর্বে প্রমানিত]
    ∠PSX = ∠RQX – – – [ একই বৃত্তাংশস্থ কোণ]
    এবং ∠SXP = ∠RXQ – – – [বিপ্রতীপ কোণ]
    ∴ △PXS এবং △RXQ সদৃশকোণী – – –  (প্রমাণিত)
    দ্বিতীয় অংশ:
    যেহেতু সদৃশকোণী ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতিক হয়।
    ∴ PX/RX = XS/XQ = PS/RQ
    ⇒ PX/RX = XS/XQ
    ⇒ PX.XQ = RX.XS – – – (প্রমাণিত)

    X S R Q P

    10. একটি সরলরেখার উপর P এবং Q দুটি বিন্দু। P এবং Q বিন্দুতে সরলরেখাটির উপর যথাক্রমে PR এবং QS লম্ব। PS এবং QR পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে। OT, PQ-এর উপর লম্ব। প্রমাণ করি যে, 1/OT = 1/PR + 1/QS 
    সমাধান:

    X Y S R P Q 0 T

    স্বীকার: XY সরলরেখার উপর P ও Q যেকোনো দুটি বিন্দু I P ও Q বিন্দুতে সরলরেখাটির উপর PR ও QS লম্ব। PR ও QS পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে, OT, PQ-এর উপর লম্ব।
    প্রমাণ্য বিষয়:  1/OT = 1/PR + 1/QS
    প্রমাণ: △RPQ এবং △OTQ এর মধ্যে,
    ∠RPQ  = ∠OTQ – – – [প্রত্যেকে 1 সমকোণ]
    ∠RQP = ∠OQT – – – [একই কোণ]
    ∠PRQ = অনুরূপ কোণ ∠TOQ – – – [ ∵ PR || TO এবং RQ ভেদক]
    ∴ △RPQ এবং △OTQ সদৃশকোণী ত্রিভুজ।
    সদৃশকোণী ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতিক হয়।
    ∴ OT/PR = TQ/PQ = OQ/RQ
    ⇒ OT/PR = TQ/PQ – – – (i)
    আবার, △SPQ এবং △OPT এর মধ্যে
    ∠SQP = ∠OTP – – – [প্রত্যেকে 1 সমকোণ]
    ∠SPQ = ∠OPT – – – [একই কোণ]
    ∠PSQ = অনুরূপ কোণ ∠POT [∵ OT || SQ এবং PS ভেদক]
    ∴ △SPQ এবং △OPT সদৃশকোণী ত্রিভুজ।
    সদৃশকোণী ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতিক হয়।
    ∴ ∴ OP/SP = PT/PQ = OT/SQ
    ⇒ OT/SQ = PT/PQ – – – (ii)
    (i) ও (ii) যোগ করে পাই,

    \(\Large{\quad\frac{OT}{PR}+\frac{OT}{SQ}=\frac{TQ}{PQ}+\frac{PT}{PQ}\\⇒OT\left(\frac{1}{PR}+\frac{1}{SQ}\right)=\frac{TQ+PT}{PQ}\\⇒OT\left(\frac{1}{PR}+\frac{1}{SQ}\right)=\frac{PQ}{PQ}\\⇒OT\left(\frac{1}{PR}+\frac{1}{SQ}\right)=1\\⇒\frac{1}{PR}+\frac{1}{SQ}=\frac{1}{OT}\\∴\frac{1}{OT}=\frac{1}{PR}+\frac{1}{QS}\quad\quad\mathbf{(Proved)}}\)

    11. একটি বৃত্তে অন্তলিখিত ∆ABC; বৃত্তের ব্যাস AD এবং AE, BC বাহুর উপর লম্ব যা BC বাহুকে E বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, ∆AEB এবং ∆ACD সদৃশকোণী। এর থেকে প্রমাণ করি যে, AB.AC = AE.AD.
    Solution:

    A B C D E

    স্বীকার: ∆ABC ত্রিভুজটি বৃত্তে অন্তর্লিখিত, যার ব্যাস AD; AE, BC বাহুর উপর লম্ব যা BC বাহুকে E বিন্দুতে ছেদ করেছে।
    প্রামাণ্য বিষয়: ∆AEB এবং ∆ACD সদৃশকোণী
    এবং AB.AC = AE.AD.
    প্রমাণ: ΔΑEB এবং △ACD-এর ক্ষেত্রে,
    ∠AEB = ∠ACD – – – [প্র্যতেকে সমকোণ]
    ∠ABE = ∠ADC – – – [একই বৃত্তাংশস্থ কোণ]
    ∠BAE = ∠DAC – – – [অবশিষ্ট কোণ]
    ∴ ΔAEB এবং ΔACD সদৃশকোণী (প্রমাণিত)
    আবার সদৃশকোণী ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতিক হয়।
    ∴ AB/AD = AE/AC = BE/DC
    ⇒ AB/AD = AE/AC
    ⇒ AB.AC = AD.AE (প্রমাণিত)

    Madhyamik Question

    MP-2024

    ▶️ দুটি সদৃশ ত্রিভুজের অনুরুপ বাহুগুলি _______________ (শূন্যস্থান পুরণ)
    Ans: সমানুপাতী

    ▶️ PQR সমকোণী ত্রিভুজের ∠P = 90o এবং PS, অতিভুজ QR-এর ওপর লম্ব। প্রমাণ করো যে 1/PS2 – 1/PQ2 = 1/PR2

    VIEW ANSER

    MP-2017

    ▶️ একটি সদৃশ ত্রিভুজের পরিসীমা যথাক্রমে 20 সেমি ও 16 সেমি, প্রথম ত্রিভুজের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য  9 সেমি হলে, দ্বিতীয় ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

    VIEW ANSER
    PREVIOUS
    NEXT
error: Content is protected !!
Verified by MonsterInsights