Author: TEAM PROSTUTI

SEMESTER-3 Unit-2 MATRIX ALGEBRA বীজগণিত ম্যাট্রিক্স

SEMESTER-3 Unit-2 MATRIX ALGEBRA বীজগণিত ম্যাট্রিক্স

CLASS 12 SEMESTER III MATHEMATICS QUESTION PAPER WITH SOLUTION

এই প্রশ্নমালার আগের অঙ্কগুলির জন্য PART 1 দেখো

\(11.X=\begin{bmatrix}1\quad-3\quad -4\\-1\quad 3\quad 4\\1\quad -3\quad -4\end{bmatrix}\)

হলে, X² = ___________
Ⓐ X      Ⓑ I      Ⓒ 0      Ⓓ এদের কোনোটিই নয়
Ans:   Ⓒ 0
Solution:

\(X^2=\begin{bmatrix}1\quad -3\quad -4\\-1\quad 3\quad 4\\1\quad -3\quad -4\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\quad-3\quad -4\\-1\quad 3\quad 4\\1\quad -3\quad -4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0\quad 0\quad 0\\0\quad 0\quad 0\\0\quad 0\quad 0\end{bmatrix}→ Ⓒ\)

\(12. A=\begin{bmatrix}2\quad -1\\3\quad 2\end{bmatrix}\) এবং\(B=\begin{bmatrix}0\quad 4\\-1\quad 7\end{bmatrix}\)

হলে 3A² – 2B + I = ___________

\(Ⓐ\begin{bmatrix}4\quad -20\\30\quad 10\end{bmatrix}\ Ⓑ\begin{bmatrix}4\quad -20\\38\quad 10\end{bmatrix}\\Ⓒ\begin{bmatrix}4\quad -20\\38\quad -10\end{bmatrix}\ Ⓓ\begin{bmatrix}0\quad 0\\0\quad 0\end{bmatrix}\)

Solution: 3A² – 2B + I =

\(=3\begin{bmatrix}2\quad -1\\3\quad 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\quad -1\\3\quad 2\end{bmatrix}-2\begin{bmatrix}0\quad 4\\-1\quad 7\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\\=3\begin{bmatrix}1\quad -4\\12\quad 1\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}0\quad 8\\-2\quad 14\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}3\quad -12\\36\quad 3\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}0\quad 8\\-2\quad 14\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}4\quad -20\\38\quad -10\end{bmatrix}\)

\(13.\quad I=\begin{bmatrix}3\quad -5\\-4\quad 2\end{bmatrix}\)

হলে A² – 5A – 14I = ___________

\(Ⓐ\begin{bmatrix}0\quad 0\\0\quad 0\end{bmatrix}\quad Ⓑ\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\\Ⓒ\begin{bmatrix}-1\quad 0\\0\quad -1\end{bmatrix}\quad Ⓓ\begin{bmatrix}0\quad 1\\1\quad 0\end{bmatrix}\\Ans: Ⓐ\begin{bmatrix}0\quad 0\\0\quad 0\end{bmatrix}\)

Solution: A² – 5A – 14I

\(=\begin{bmatrix}3\quad -5\\-4\quad 2\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}3\quad -5\\-4\quad 2\end{bmatrix}-5\begin{bmatrix}3\quad -5\\-4\quad 2\end{bmatrix}-14\begin{bmatrix}3\quad -5\\-4\quad 2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}29\quad -25\\-20\quad 24\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}15\quad -25\\-20\quad 10\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}14\quad 0\\0\quad 14\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0\quad 0\\0\quad 0\end{bmatrix}=0 → Ⓐ\)

\(14.A=\begin{bmatrix}1\quad 2\\1\quad 2\end{bmatrix}\)

এবং f(x) = x² – 2x – 3 হলে f(A) = ___________
Ⓐ I Ⓑ A²Ⓒ 0 Ⓓ A³
Ans: Ⓒ 0
Solution: f(x) = x² – 2x – 3
∴ f(A) = A² – 2A – 3I

\(=\begin{bmatrix}1\quad 2\\1\quad 2\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\quad 2\\1\quad 2\end{bmatrix}-2\begin{bmatrix}1\quad 2\\1\quad 2\end{bmatrix}-3\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}5\quad 4\\4\quad 5\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}2\quad 4\\4\quad 2\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}3\quad 0\\0\quad 3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0\quad 0\\0\quad 0\end{bmatrix}=0 → Ⓒ\)

\(15.A=\begin{bmatrix}1\quad -2\quad 2\\0\quad 1\quad -1\\0\quad 0\quad 1\end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 0\\2\quad 3\quad -1\\0\quad -1\quad -2\end{bmatrix}\)

হলে (A’B)A একটি ___________ ম্যাট্রিক্স।
Ⓐ শূন্য Ⓑ কর্ণ Ⓒ একক Ⓓ প্রতিসম
Ans:Ⓑ কর্ণ অথবা Ⓓ প্রতিসম

\(Solution:A=\begin{bmatrix}1\quad -2\quad 2\\0\quad 1\quad -1\\0\quad 0\quad 1\end{bmatrix}\\∴A’=\begin{bmatrix}1\quad 0\quad 0\\-2\quad 1\quad 0\\2\quad -1\quad 1\end{bmatrix}\\A’B=\begin{bmatrix}1\quad 0\quad 0\\-2\quad 1\quad 0\\2\quad -1\quad 1\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 0\\2\quad 3\quad -1\\0\quad -1\quad -2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 0\\0\quad -1\quad -1\\0\quad 0\quad 1\end{bmatrix}\)

\((A’B)A=\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 0\\0\quad -1\quad -1\\0\quad 0\quad -1\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\quad -2\quad 2\\0\quad 1\quad -1\\0\quad 0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad 0\quad 0\\0\quad -1\quad 0\\0\quad 0\quad -1\end{bmatrix}→ Ⓑ / Ⓓ\)

\(16. A = \begin{pmatrix}cos θ\quad i sin θ\\i sin θ\quad cos θ\end{pmatrix}\)

হলে সব n ∈ N এর জন্য Aⁿ = ___________

\(Ⓐ\begin{bmatrix}cos θ\quad sin nθ\\ i sin nθ\quad cos nθ\end{bmatrix}\ Ⓑ\begin{bmatrix}cos nθ\quad i sin nθ\\i sin nθ\quad cos nθ\end{bmatrix}\\Ⓒ\begin{bmatrix}sin nθ\quad cos nθ\\i sin θ\quad i cos θ\end{bmatrix}\ Ⓓ\begin{bmatrix}i sin nθ\quad cosθ\\ cos θ\quad i sin nθ\end{bmatrix}\\Ans:Ⓑ\begin{bmatrix}cos nθ\quad i sin nθ\\i sin nθ\quad cos nθ\end{bmatrix}\)

\(Solution: A=A^2=\begin{bmatrix}cos θ\quad i sin θ\\i sin θ\quad cos θ\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}cos θ\quad i sin θ\\i sin θ\quad cos θ\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}cos^2θ-sin^2θ \quad i sin θcos θ+i sin θcos θ\\i sin θcos θ+i sin θcos θ\quad -sin^2θ+cos^2θ\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}cos2θ \quad i sin 2θ\\i sin 2θ\quad cos2θ\end{bmatrix}\\∴A^n=\begin{bmatrix}cosnθ \quad i sin nθ\\i sin nθ\quad cosnθ\end{bmatrix}→ [B]\)

\(17.I=\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}\) এবং \(E=\begin{pmatrix}0\quad 1\\0\quad 0\end{pmatrix}\)হলে \((2I + 3E)^3=\)

___________
Ⓐ 8I + 36E Ⓑ 8I – 36E Ⓒ 36I + 8E Ⓓ 36I – 8E
Ans: Ⓐ 8I + 36E
Solution:

\((2I+3E)= 2\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}+3\begin{pmatrix}0\quad 1\\0\quad 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\quad 3\\0\quad 2\end{pmatrix}\\∴(2I+3E)^2 = \begin{pmatrix}2\quad 3\\0\quad 2\end{pmatrix}×\begin{pmatrix}2\quad 3\\0\quad 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\quad 12\\0\quad 4\end{pmatrix}\)

\((2I+3E)^3=(2I+3E)^2×(2I+3E)\\=\begin{pmatrix}4\quad 12\\0\quad 4\end{pmatrix}×\begin{pmatrix}2\quad 3\\0\quad 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8\quad 36\\0\quad 8\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}8\quad 0\\0\quad 8\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\quad 36\\0\quad 0\end{pmatrix}\\=8\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}+36\begin{pmatrix}0\quad 1\\0\quad 0\end{pmatrix}=8I+36E → [a]\)

Click here to visit our Facebook

Column Matching ______

1. মনে করো, \(A=\begin{bmatrix}2\quad -3\\0\quad 1\\-1\quad 4\end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix}-1\quad 5\\2\quad -3\\0\quad 1\end{bmatrix}\) এবং \(C=\begin{bmatrix}4\quad -2\\0\quad -1\\3\quad 5\end{bmatrix}\)

স্তম্ভ A

স্তম্ভ B

\([i]A+2B=[a]\begin{bmatrix}0\quad 7\\4\quad -5\\-1\quad 6\end{bmatrix}\\ [ii]2B-3C =[b]\begin{bmatrix}14\quad -5\\0\quad -5\\13\quad 16\end{bmatrix}\\ [iii]4C-A=[c]\begin{bmatrix}-14\quad 23\\8\quad -8\\-10\quad -7\end{bmatrix}\\ [iv]A+4B-3C=[d]\begin{bmatrix}-14\quad 16\\4\quad -3\\-9\quad -13\end{bmatrix}\)

যে বিকল্পটি স্তম্ভ A-কে স্তম্ভ B-এর সঙ্গে মেলায়, সেটি নির্বাচন করে
Ⓐ [i]-[a], [ii]-[d], [iii]-[c], [iv]-[b]
Ⓑ [i]-[a], [ii]-[d], [iii]-[b], [iv]-[c]
Ⓒ [i]-[a], [ii]-[b], [iii]-[d], [iv]-[c]
Ⓓ [i]-[a], [ii]-[c], [iii]-[b], [iv]-[d]
Ans:Ⓑ [i]-[a], [ii]-[d], [iii]-[b], [iv]-[c]
Solution:

\( [i]A+2B=\begin{bmatrix}2\quad -3\\0\quad 1\\-1\quad 4\end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}-1\quad 5\\2\quad -3\\0\quad 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\quad 7\\4\quad -5\\-1\quad 6\end{bmatrix}→ [a]\\ [ii]2B-3C=2\begin{bmatrix}-1\quad 5\\2\quad -3\\0\quad 1\end{bmatrix}-3\begin{bmatrix}4\quad -2\\0\quad -1\\3\quad 5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-14\quad 16\\4\quad -3\\-9\quad -13\end{bmatrix}→[d]\\ [iii]4C-A=4\begin{bmatrix}4\quad -2\\0\quad -1\\3\quad 5\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}2\quad -3\\0\quad 1\\-1\quad 4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}14\quad -5\\0\quad -5\\13\quad 16\end{bmatrix}→[b]\\ [iv]A+4B-3C=\begin{bmatrix}2\quad -3\\0\quad 1\\-1\quad 4\end{bmatrix}+4\begin{bmatrix}-1\quad 5\\2\quad -3\\0\quad 1\end{bmatrix}-3\begin{bmatrix}4\quad -2\\0\quad -1\\3\quad 5\end{bmatrix}\\\quad =\begin{bmatrix}-14\quad 23\\8\quad -8\\-10\quad -7\end{bmatrix}→[c]\)

Question No. 2(Column Matching).

\(\begin{bmatrix}x-z\quad -z-x\\7-t\quad 6+z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3-t\quad 5-t\\t+5\quad x-y\end{bmatrix}\)

হলে বাম দিকের স্তম্ভের সঙ্গে ডান দিকের স্তম্ভ মেলাও।

স্তম্ভ A	স্তম্ভ B
[i] x =	[a] -1
[ii] y =	[b] -4
[iii] z =	[c] -3
[iv] t =	[d] 1

Ⓐ [i]-[a], [ii]-[b], [iii]-[c], [iv]-[d]
Ⓑ [i]-[a], [ii]-[c], [iii]-[b], [iv]-[d]
Ⓒ [i]-[d], [ii]-[b], [iii]-[c], [iv]-[a]
Ⓓ [i]-[a], [ii]-[b], [iii]-[d], [iv]-[c]
Ans: Ⓐ [i]-[a], [ii]-[b], [iii]-[c], [iv]-[d]

Solution: 7 – t = t + 5 ⇒ t = 1
x – z = 3 – t ⇒ x – z = 2 . . . (i)
-z – x = 5 – t ⇒ x + z = -4 . . . (ii)
(i) ও (ii) নং থেকে পাই,
x – z + x + z = 2 -4 ⇒ x = -1
∴ z = -3
আবার 6 + z = x – y
⇒ y = -1 + 3 – 6 = -4

\(3.\quad A=\begin{bmatrix}2\quad -3\quad -5\\-1\quad 4\quad 5\\1\quad -3\quad -4\end{bmatrix}\) এবং \(\begin{bmatrix}-1\quad 3\quad 5\\1\quad -3\quad -5\\-1\quad 3\quad 5\end{bmatrix}\)

হলে বাম দিকের স্তম্ভের সঙ্গে ডান দিকের স্তম্ভ মেলাও।

স্তম্ভ A	স্তম্ভ B
[i] A + B =	[a] I, I হল একক ম্যাট্রিক্স
[ii] A – B =	[b] -I
[iii] AB =	[c] 0,0 হল শূন্য ম্যাট্রিক্স

\([iv] BA =\quad\quad [d] \begin{bmatrix}3\quad -6\quad -10\\-2\quad 7\quad 10\\2\quad -6\quad -9\end{bmatrix}\)

Ⓐ [i]-[a], [ii]-[b], [iii]-[c], [iv]-[c]
Ⓑ [i]-[a], [ii]-[d], [iii]-[c], [iv]-[b]
Ⓒ [i]-[a], [ii]-[d], [iii]-[c], [iv]-[c]
Ⓓ [i]-[a], [ii]-[d], [iii]-[c], [iv]-[d]

Ans:Ⓒ [i]-[a], [ii]-[d], [iii]-[c], [iv]-[c]
Solution:

\([i]A+B=\begin{bmatrix}2\quad -3\quad -5\\-1\quad 4\quad 5\\1\quad -3\quad -4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-1\quad 3\quad 5\\1\quad -3\quad -5\\-1\quad 3\quad 5\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad 0\quad 0\\0\quad 1\quad 0\\0\quad 0\quad 1\end{bmatrix}= I → [a]\\ [ii]A-B=\begin{bmatrix}2\quad -3\quad -5\\-1\quad 4\quad 5\\1\quad -3\quad -4\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}-1\quad 3\quad 5\\1\quad -3\quad -5\\-1\quad 3\quad 5\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}3\quad -6\quad -10\\-2\quad 7\quad 10\\2\quad -6\quad -9\end{bmatrix} → [d]\)

\([iii]AB=\begin{bmatrix}2\quad -3\quad -5\\-1\quad 4\quad 5\\1\quad -3\quad -4\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}-1\quad 3\quad 5\\1\quad -3\quad -5\\-1\quad 3\quad 5\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0\quad 0\quad 0\\0\quad 0\quad 0\\0\quad 0\quad 0\end{bmatrix} → [c]\\ [iv]BA=\begin{bmatrix}-1\quad 3\quad 5\\1\quad -3\quad -5\\-1\quad 3\quad 5\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}2\quad -3\quad -5\\-1\quad 4\quad 5\\1\quad -3\quad -4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0\quad 0\quad 0\\0\quad 0\quad 0\\0\quad 0\quad 0\end{bmatrix} → [c]\)

\(4.A=\begin{pmatrix}x\quad -2\\2\quad 1\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}3\quad 4\\0\quad 1\end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix}-1\quad -2\\y\quad 2\end{pmatrix}\)

এবং A + B = BC হলে স্তম্ভ A-এর সঙ্গে স্তম্ভ B মেলাও।

স্তম্ভ A	স্তম্ভ B
[i] x =	[a] 0
[ii] x^y – y^x =	[b] 2
[iii] x + y =	[c] 4
[iv] xy =	[d] 4

Ⓐ [i]-[b], [ii]-[a], [iii]-[c], [iv]-[b]
Ⓑ [i]-[a], [ii]-[b], [iii]-[c], [iv]-[c]
Ⓒ [i]-[b], [ii]-[a], [iii]-[c], [iv]-[c]
Ⓓ [i]-[b], [ii]-[a], [iii]-[c], [iv]-[d]
Ans: Ⓓ [i]-[b], [ii]-[a], [iii]-[c], [iv]-[d]
Solution:

\(A+B=BC\\⇒\begin{pmatrix}x\quad -2\\2\quad 1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\quad 4\\0\quad 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\quad 4\\0\quad 1\end{pmatrix}×\begin{pmatrix}-1\quad -2\\y\quad 2\end{pmatrix}\\⇒\begin{pmatrix}x+3\quad 2\\2\quad 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4y-3\quad 2\\y\quad 2\end{pmatrix}\)

∴ y = 2,
x + 3 = 4y – 3 ⇒ x = 4.2 – 6 = 2
[i] x = 2 → [b]
[ii] x^y – y^x = 2² – 2² = 0 → [a],
[iii] x + y = 2 + 2 = 4 → [c],
[iv] xy = 2×2 = 4 → [d]

5. স্তম্ভ A -এর সঙ্গে স্তম্ভ B মেলাও।

স্তম্ভ A

স্তম্ভ B

\( [i]A=\begin{bmatrix}2\quad 1\\3\quad 4\end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}1\quad -2\\-1\quad 1\end{bmatrix}\) হলে \((AB)^t\)(যেখানে \(A^t\) হল A -এর পরিবর্ত)\(\quad [a] \begin{bmatrix}5\quad -16\\-17\quad 5\end{bmatrix}\)

\( [ii]A=\begin{bmatrix}-2\quad 1\quad 3\\0\quad 4\quad -1\end{bmatrix}\) এবং \(B =\begin{bmatrix}2\quad 1\\-3\quad 0\\4\quad -5\end{bmatrix}\) হলে \((AB)^t\) =(যেখানে A’ হল A এর পরিবর্ত) \(\quad [b] \begin{bmatrix}1\quad -1\\-3\quad -2\end{bmatrix}\)

\( [iii] A=\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 5\\-1\quad 3\quad -4\end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}3\quad -2\quad 1\\0\quad -1\quad 4\\5\quad 2\quad -1\end{bmatrix}\) হলে \((AB)^T =\) (যেখানে \(A^T\) হল A -এর পরিবর্ত) \( [c] \begin{bmatrix}2\quad -4\quad -6\\1\quad -2\quad -3\\4\quad -8\quad -12\end{bmatrix}\)

\( [iv] A=\begin{bmatrix}-1\\2\\3\end{bmatrix}\) এবং \(B = \begin{bmatrix}-2\quad -1\quad -4\end{bmatrix}\) হলে \((AB)^t=\)(যেখানে \(A^t\) হল A -এর পরিবর্ত)\(\quad [d] \begin{bmatrix}28\quad -23\\6\quad -9\\4\quad 15\end{bmatrix}\)

Ⓐ [i]-[a], [ii]-[b], [iii]-[d], [iv]-[c]
Ⓑ [i]-[b], [ii]-[a], [iii]-[c], [iv]-[d]
Ⓒ [i]-[a], [ii]-[b], [iii]-[c], [iv]-[d]
Ⓓ [i]-[b], [ii]-[a], [iii]-[d], [iv]-[c]

Ans:Ⓒ [i]-[b], [ii]-[a], [iii]-[c], [iv]-[c]
Solution:

\([i]AB=\begin{bmatrix}2\quad 1\\3\quad 4\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\quad -2\\-1\quad 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\quad -3\\-1\quad -2\end{bmatrix}\\∴(AB)^t=\begin{bmatrix}1\quad -1\\-3\quad -2\end{bmatrix}\ → [b]\\ [ii]AB=\begin{bmatrix}-2\quad 1\quad 3\\0\quad 4\quad -1\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}2\quad 1\\-3\quad 0\\4\quad -5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5\quad -17\\-16\quad 5\end{bmatrix}\\∴(AB)^t=\begin{bmatrix}5\quad -16\\-17\quad 5\end{bmatrix}\ → [a]\\ [iii]AB=\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 5\\-1\quad 3\quad -4\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}3\quad -2\quad 1\\0\quad -1\quad 4\\5\quad 2\quad -1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}28\quad 6\quad 4\\-23\quad -9\quad 15\end{bmatrix}\\∴(AB)^T=\begin{bmatrix}28\quad -23\\\quad 6\quad -9\\4\quad 15\end{bmatrix} → [d]\\ [iv]AB=\begin{bmatrix}-1\\2\\3\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}-2\quad -1\quad -4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\quad 1\quad 4\\-4\quad -2\quad -8\\-6\quad -3\quad -12\end{bmatrix}\\∴(AB)^t=\begin{bmatrix}2\quad -4\quad -6\\1\quad -2\quad -3\\4\quad -8\quad -12\end{bmatrix} → [c]\)

Ans:Ⓓ [i]-[b], [ii]-[a], [iii]-[d], [iv]-[c]

Rearrangement of Sentences/Events ______

1. \(\ A+I_3 =\begin{bmatrix}1\quad 3\quad 4\\-1\quad 1\quad 3\\-2\quad -3\quad 1\end{bmatrix}\)

    (A² – I₃) নির্ণয় করার ধাপগুলি হল,
[i] (A – I₃) নির্ণয় করতে হবে
[ii] A নির্ণয় করতে হবে
[iii] (A + I₃)(A – I₃) নির্ণয় করতে হবে
[iv] (A² – I₃) নির্ণয় করতে হবে
(যেখানে I₃ হল 3×3 ক্রমের একক ম্যাট্রিক্স)
সঠিক ক্রমটি হবে-
[i] (A – I₃) নির্ণয় করতে হবে                    [ii] A নির্ণয় করতে হবে
[iii] (A + I₃)(A – I₃) নির্ণয় করতে হবে  [iv] (A² – I₃) নির্ণয় করতে হবে
   (যেখানে I_3 হল 3×3 ক্রমের একক ম্যাট্রিক্স) সঠিক ক্রমটি হবে-
Ⓐ [ii]-[i]-[iii]-[iv]       Ⓑ [i]-[ii]-[iii]-[iv]
Ⓒ [iii]-[i]-[ii]-[iv]       Ⓓ [i]-[iii]-[ii]-[iv]
Ans: Ⓐ [ii]-[i]-[iii]-[iv]
Solution: A² – I₃ = A² – (I₃)²= (A + I₃)(A – I₃)
[ii] প্রথমে A + I₃ থেকে A নির্ণয় করতে হবে।
[i] (A – I₃) নির্ণয় করতে হবে
[iii] (A + I₃)(A – I₃) নির্ণয় করতে হবে
[iv] সবশেষে (A² – I₃) নির্ণয় করতে হবে।

2. মনে করো, f(x) = 2x² + 3x + 5 এবং

\(A=\begin{bmatrix}2\quad 1\\3\quad 4\end{bmatrix}\); f(A) -এর মান নির্ণয় করার ধাপগুলি হল

\([i]A^2=\begin{bmatrix}7\quad 6\\18 \quad 19\end{bmatrix}\quad [ii] f(A)=2A^2+3A+5I\\ [iii] 3A+5I=\begin{bmatrix}11\quad 3\\9 \quad 17\end{bmatrix}\quad [iv]2\begin{bmatrix}7\quad 6\\18 \quad 19\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}11\quad 3\\9 \quad 17\end{bmatrix}\)

সরল করে f(A) নির্ণয় করতে হবে। সঠিক ক্রমটি হবে-
Ⓐ [ii]-[i]-[iv]-[iii]       Ⓑ [ii]-[i]-[iii]-[iv]
Ⓒ [i]-[iii]-[iv]-[ii]       Ⓓ [i]-[iii]-[ii]-[iv]
Ans:     Ⓑ [ii]-[i]-[iii]-[iv]
[ii] প্রথমে f(A) = 2A² + 3A + 5I নির্ণয় করতে হবে

[i] তারপর \(A^2=\begin{bmatrix}7\quad 6\\18 \quad 19\end{bmatrix}\) নির্ণয় করতে হবে

[iii] \(3A+5I=\begin{bmatrix}11\quad 3\\9 \quad 17\end{bmatrix}\) নির্ণয় করতে হবে

[iv] সবশেষে \(2\begin{bmatrix}7\quad 6\\18 \quad 19\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}11\quad 3\\9 \quad 17\end{bmatrix}\) নির্ণয় করতে হবে

Relationship between Statements

প্রতিটি প্রশ্নে বিবৃতি A ও বিবৃতি B দেওয়া আছে। নীচের কোন বিকল্পটি বিবৃতি A এবং বিবৃতি B এর মধ্যে সঠিক সম্পর্ক নির্দেশ করে।
Ⓐ বিবৃতি A ও বিবৃতি B পরস্পরবিরোধী
Ⓑ বিবৃতি B হল বিবৃতি A এর কারন
Ⓒ বিবৃতি A হল সত্য কিন্তু বিবৃতি B মিথ্যা
Ⓓ বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পর নির্ভরশীল নয়।

1. বিবৃতি-A: একটি ম্যাট্রিক্সের 18টি পদ থাকলে তার সম্ভাব্য ক্রমগুলিহল 1×18, 18×1, 6×3, 3×6, 2×9, 9×2
বিবৃতি-B: কোনো ম্যাট্রিক্সের পাঁচটি পদ থাকলে সম্ভাব্য ক্রমগুলিহল 1×5, 5×1, 2.5×2, 2×2.5
Ans: Ⓒবিবৃতি A হল সত্য কিন্তু বিবৃতি B মিথ্যা

Solution: ∵ পদসংখ্যা = শ্রেনি সংখ্যা × স্তম্ভ সংখ্যা
বিবৃতি-A: 18 = 1×18, 18 = 18×1, 18 = 2×9, 18 = 9×2, 18 = 3×6, 18 = 6×3, → বিবৃতিটি সত্য।
বিবৃতি-B: শ্রেনি সংখ্যা, স্তম্ভ সংখ্যা ভগ্নাংশ হতে পারে না। বিবৃতিটি → মিথ্যা

2. মনে করো, A= \(\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\quad 4\end{bmatrix}\)এবং B=\(\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix}\)

বিবৃতি-A: AB = [30] বিবৃতি-B: BA =\(\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\quad 4\\2\quad 4\quad 6\quad 8\\3\quad 6\quad 9\quad 12\\4\quad 8\quad 12\quad 16\end{bmatrix}\)

Ans: Ⓓ বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পর নির্ভরশীল নয়।
Solution: বিবৃতি-A:

\(AB=\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\quad 4\\2\quad 4\quad 6\quad 8\\3\quad 6\quad 9\quad 12\\4\quad 8\quad 12\quad 16\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1+4+9+16\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}30\end{bmatrix}\)→ বিবৃতিটি সত্য।

\(BA=\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\quad 4\\2\quad 4\quad 6\quad 8\\3\quad 6\quad 9\quad 12\\4\quad 8\quad 12\quad 16\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\quad 4\\2\quad 4\quad 6\quad 8\\3\quad 6\quad 9\quad 12\\4\quad 8\quad 12\quad 16\end{bmatrix}\)→ বিবৃতিটি সত্য।

3. মনে করো, \(A=\begin{pmatrix}1\quad 2\\0\quad 1\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1 \end{pmatrix}\)বিবৃতি-A:\(A+B=\begin{pmatrix}2\quad 2\\0\quad 2\end{pmatrix}\)

বিবৃতি-B: \(AB=BA=\begin{pmatrix}1\quad 0\\2\quad 1\end{pmatrix}\)

Ans:Ⓒ বিবৃতি A হল সত্য কিন্তু বিবৃতি B মিথ্যা

Solution: A + B = \(\begin{pmatrix}1\quad 2\\0\quad 1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\quad 2\\0\quad 2\end{pmatrix}\)বিবৃতি-A সত্য

\(AB=\begin{pmatrix}1\quad 2\\0\quad 1\end{pmatrix}×\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\quad 2\\0\quad 1\end{pmatrix}\\BA=\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1 \end{pmatrix}×\begin{pmatrix}1\quad 2\\0\quad 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\quad 2\\0\quad 1\end{pmatrix}\\AB=BA≠\begin{pmatrix}1\quad 0\\2\quad 1\end{pmatrix}\) ⇒ বিবৃতি B মিথ্যা

4. মনে করো, \(A=\begin{bmatrix}1\quad 1\quad -1\\2\quad -3\quad 4\\3\quad -2\quad 3\end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}-1\quad -1\quad 1\\2\quad 2\quad -2\\-3\quad -3\quad 3\end{bmatrix}\)

বিবৃতি-A: AB ≠ 0 বিবৃতি-B: BA = 0
Ans: Ⓓ বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পর নির্ভরশীল নয়।

\(AB=\begin{bmatrix}1\quad 1\quad -1\\2\quad -3\quad 4\\3\quad -2\quad 3\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}-1\quad -1\quad 1\\2\quad 2\quad -2\\-3\quad -3\quad 3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}4\quad 4\quad -4\\-20\quad -20\quad 20\\-16\quad -16\quad 16\end{bmatrix}≠ 0\\BA=\begin{bmatrix}-1\quad -1\quad 1\\2\quad 2\quad -2\\-3\quad -3\quad 3\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\quad 1\quad -1\\2\quad -3\quad 4\\3\quad -2\quad 3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0\quad 0\quad 0\\0\quad 0\quad 0\\0\quad 0\quad 0\end{bmatrix}= 0\)

বিবৃতি-A সত্য এবং বিবৃতি-B সত্য।
কিন্তু বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পরের উপর নির্ভরশীল নয়।

5. মনে করো, \(A=\begin{pmatrix}4\quad 2\\-1\quad 1\end{pmatrix}\) এবং \(I=\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}\) বিবৃতি-A: (A – 2I)(A – 3I) =\(\begin{pmatrix}0\quad 0\\0\quad 0\end{pmatrix}\)

বিবৃতি-B: দুটি ম্যাট্রিক্সের কোনোটিই শূন্য ম্যাট্রিক্স না হলেও তাদে গুণফল একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স হতে পারে।
Ans: Ⓑ বিবৃতি B হল বিবৃতি A এর কারন
Solution:

\(A-2I=\begin{pmatrix}4\quad 2\\-1\quad 1\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\quad 2\\-1\quad -1\end{pmatrix}≠0\\A-3I=\begin{pmatrix}4\quad 2\\-1\quad 1\end{pmatrix}-3\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\quad 2\\-1\quad -2\end{pmatrix}≠0\\(A-2I)(A-3I)=\begin{pmatrix}2\quad 2\\-1\quad -1\end{pmatrix}×\begin{pmatrix}1\quad 2\\-1\quad -2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\quad 0\\0\quad 0\end{pmatrix}\)

(A – 2I) ≠ 0 এবং (A – 3I) ≠ 0 কিন্তু (A – 2I)(A – 3I) = 0
∴ দুটি ম্যাট্রিক্সের কোনোটিই শূন্য ম্যাট্রিক্স না হলেও তাদের গুণফল একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স হতে পারে।

6. বিবৃতি-A: যদি A= \(\begin{bmatrix}a\quad b\\0\quad 1\end{bmatrix}\)হয়, সব n ∈ N এর জন্য \(A^n=\begin{bmatrix}a^n\quad \frac{b(a^n – 1)}{(a – 1)}\\0\quad 1\end{bmatrix}\)

বিবৃতি-B: যদি A=\(\begin{bmatrix}1\quad 1\quad 1\\1\quad 1\quad 1\\1\quad 1\quad 1\end{bmatrix}\)হয়, তবে সব n ∈ N-এর জন্য \(A^n=\begin{bmatrix}3^{n-1}\quad 3^{n-1}\quad 3^{n-1}\\3^{n-1}\quad 3^{n-1}\quad 3^{n-1}\\3^{n-1}\quad 3^{n-1}\quad 3^{n-1}\end{bmatrix}\)

Ⓓ বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পর নির্ভরশীল নয়

\(Solution: A=\begin{bmatrix}a\quad b\\0\quad 1\end{bmatrix}\\A^2=\begin{bmatrix}a\quad b\\0\quad 1\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}a\quad b\\0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}a^2\quad ab+b\\0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}a^2\quad b(a+1)\\0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}a^2\quad \frac{b(a+1)(a-1)}{(a-1)}\\0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}a^2\quad \frac{b(a^2-1)}{(a-1)}\\0\quad 1\end{bmatrix}\\∴A^n=\begin{bmatrix}a^n\quad \frac{b(a^n – 1)}{(a – 1)}\\0\quad 1\end{bmatrix}\)

. বিবৃতি-B:\(A=\begin{bmatrix}1\quad 1\quad 1\\1\quad 1\quad 1\\1\quad 1\quad 1\end{bmatrix}\\A^2=\begin{bmatrix}1\quad 1\quad 1\\1\quad 1\quad 1\\1\quad 1\quad 1\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\quad 1\quad 1\\1\quad 1\quad 1\\1\quad 1\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}3\quad 3\quad 3\\3\quad 3\quad 3\\3\quad 3\quad 3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}3^{2-1}\quad 3^{2-1}\quad 3^{2-1}\\3^{2-1}\quad 3^{2-1}\quad 3^{2-1}\\3^{2-1}\quad 3^{2-1}\quad 3^{2-1}\end{bmatrix}\\∴A^n=\begin{bmatrix}3^{n-1}\quad 3^{n-1}\quad 3^{n-1}\\3^{n-1}\quad 3^{n-1}\quad 3^{n-1}\\3^{n-1}\quad 3^{n-1}\quad 3^{n-1}\end{bmatrix}\)

7. বিবৃতি-A: A=\(\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\\1\quad 3\quad 3\\1\quad 2\quad 4\end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix}6\quad -2\quad -3\\-1\quad 1\quad 0\\-1\quad 0\quad 1\end{bmatrix}\) হলে AB = BA

বিবৃতি-B: দুটি ম্যাট্রিক্স A ও B-এর গুণফল AB সংজ্ঞাত হবে যখন A ম্যাট্রিক্সের স্তম্ভ সংখ্যা ও B ম্যাট্রিক্সের সারির সংখ্যা সমান হয়।
Ans: Ⓓ বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পর নির্ভরশীল নয়।
Solution:

\(AB=\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\\1\quad 3\quad 3\\1\quad 2\quad 4\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}6\quad -2\quad -3\\-1\quad 1\quad 0\\-1\quad 0\quad 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\quad 0\quad 0\\0\quad 1\quad 0\\0\quad 0\quad 1\end{bmatrix}\\BA=\begin{bmatrix}6\quad -2\quad -3\\-1\quad 1\quad 0\\-1\quad 0\quad 1\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\\1\quad 3\quad 3\\1\quad 2\quad 4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\quad 0\quad 0\\0\quad 1\quad 0\\0\quad 0\quad 1\end{bmatrix}\)

∴ AB = BA ⇒ বিবৃতি-A সত্য
বিবৃতি-B সত্য কিন্তু বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পরের উপর নির্ভরশীল নয়।

8. বিবৃতি-A: A ≠ 0 এবং B ≠ 0 হলে AB = 0 হতে পারে।
বিবৃতি-B: দুটি ম্যাট্রিক্স A ও B-এর ক্ষেত্রে AB = 0 হলে A অথবা B যে-কোনো একটি ম্যাট্রিক্স শূন্য ম্যাট্রিক্স হবে।
Ans: Ⓒ বিবৃতি A হল সত্য কিন্তু বিবৃতি B মিথ্যা

9. বিবৃতি-A: A =\(\begin{bmatrix}2\quad 0\quad 9\\-1\quad 6\quad 10\\4\quad -1\quad 2\end{bmatrix}, B =\begin{bmatrix}0\quad -1\quad -2\\3\quad 2\quad -1\\4\quad -2\quad 0\end{bmatrix}\) এবং C=\(\begin{bmatrix}1\quad -2\quad 0\\0\quad 1\quad 2\\3\quad 0\quad -1\end{bmatrix}\) হলে A(B + C) = AB + AC

বিবৃতি-B: ম্যাটিক্সের যোগ ও গুণ সংজ্ঞাত হলে ম্যাট্রিক্স যোগ সাপেক্ষে ম্যাট্রিক্স গুণ প্রক্রিয়া বণ্টন নিয়ম (distributive law) সিদ্ধ করে।
Ans: Ⓑ বিবৃতি B হল বিবৃতি A এর কারন
Solution:

\(B+C=\begin{bmatrix}0\quad -1\quad -2\\3\quad 2\quad -1\\4\quad -2\quad 0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1\quad -2\quad 0\\0\quad 1\quad 2\\3\quad 0\quad -1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\quad -3\quad -2\\3\quad 3\quad 1\\7\quad -2\quad -1\end{bmatrix}\\A(B+C)=\begin{bmatrix}2\quad 0\quad 9\\-1\quad 6\quad 10\\4\quad -1\quad 2\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\quad -3\quad -2\\3\quad 3\quad 1\\7\quad -2\quad -1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}65\quad -24\quad -13\\87\quad 1\quad -2\\15\quad -19\quad -11\end{bmatrix}\)

\(AB=\begin{bmatrix}2\quad 0\quad 9\\-1\quad 6\quad 10\\4\quad -1\quad 2\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}0\quad -1\quad -2\\3\quad 2\quad -1\\4\quad -2\quad 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}36\quad -20\quad -4\\58\quad -7\quad -4\\5\quad -10\quad -7\end{bmatrix}\\AC=\begin{bmatrix}2\quad 0\quad 9\\-1\quad 6\quad 10\\4\quad -1\quad 2\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\quad -2\quad 0\\0\quad 1\quad 2\\3\quad 0\quad -1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}29\quad -4\quad -9\\29\quad 8\quad 2\\10\quad -9\quad -4\end{bmatrix}\\AB+AC=\begin{bmatrix}36\quad -20\quad -4\\58\quad -7\quad -4\\5\quad -10\quad -7\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}29\quad -4\quad -9\\29\quad 8\quad 2\\10\quad -9\quad -4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}65\quad -24\quad -13\\87\quad 1\quad -2\\15\quad -19\quad -11\end{bmatrix}\)

∴ A(B + C) = AB + AC ⇒ বিবৃতি-A সত্য
ম্যাটিক্সের যোগ ও গুণ সংজ্ঞাত হলে ম্যাট্রিক্স যোগ সাপেক্ষে ম্যাট্রিক্স গুণ প্রক্রিয়া বণ্টন নিয়ম (distributive law) সিদ্ধ করে। এটিও সত্য
∴ বিবৃতি B হল বিবৃতি A এর কারন

10. বিবৃতি-A: A=\(\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 0\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}0\quad 0\\1\quad 0\end{bmatrix}\) এবং C= \(\begin{bmatrix}0\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\) হলে AB= AC হবে।

বিবৃতি-B: A, B ও C -এর প্রত্যেকটি 2×2 ক্রমের ম্যাট্রিক্স এমন যে AB = AC তাহলে B = C হবে।
Ans: Ⓒ বিবৃতি A হল সত্য কিন্তু বিবৃতি B মিথ্যা
Solution:

\(AB =\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 0\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}0\quad 0\\1\quad 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\quad 0\\0\quad 0\end{bmatrix}\\AC =\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 0\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}0\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\quad 0\\0\quad 0\end{bmatrix}\)

∴ AB = AC ⇒ বিবৃতি-A সত্য
ম্যাট্রিক্স গুণের ক্ষেত্রে সাধারণভাবে অপসারণ নিয়ম প্রযোজ্য হয় না।
∴AB = AC হলে B = C হবে তার কোনো নিশ্চয়তা নেই। ⇒ বিবৃতি-B সত্য নয়।

Assertion-Reasoning

প্রতিটি প্রশ্নে বিবৃতি I (Assertion বা উক্তি) এবং বিবৃতি II (Reason বা উক্তির কারণ) দেওয়া আছে। প্রতিটি প্রশ্নের বিবৃতি দুটি নীচের কোন বিকল্পটিকে (Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ) সঠিকভাবে ব্যাখ্যা করে?
Ⓐ বিবৃতি । সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি ।-এর সঠিক কারণ।
Ⓑ বিবৃতি । সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি ।-এর সঠিক কারণ নয়।
Ⓒ বিবৃতি । সঠিক এবং বিবৃতি II সঠিক নয়।
Ⓓ বিবৃতি । সঠিক নয় এবং বিবৃতি II সঠিক।

1. বিবৃতি-I(A): \(3\begin{bmatrix}x\quad y\\z\quad t\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x\quad 6\\-1\quad 2t\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}4\quad x+y\\z+t\quad 3\end{bmatrix}\)

হলে x = 2 , y = 4, z = 1 , t = 3
বিবৃতি-II(R): দুটি ম্যাট্রিক্স A=[a_ij]_m×n এবং B=[b_ij]_p×q কে পরস্পর সমান বলা হবে যদি
(i) A ও B একই ক্রমের ম্যাট্রিক্স হয়, অর্থাৎ m = p ও n = q হয় এবং
(ii) (i, j) -এর প্রতি জোড়া মানের জন a_ij =b_ij হয়।
Ans: Ⓐ বিবৃতি । সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি ।-এর সঠিক কারণ।

\(Solution: \\\quad 3\begin{bmatrix}x\quad y\\z\quad t\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x\quad 6\\-1\quad 2t\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}4\quad x+y\\z+t\quad 3\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}3x\quad 3y\\3z\quad 3t\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x+4\quad 6+x+y\\z+t-1\quad 2t+3\end{bmatrix}\)

∴ 3x = x + 4 ⇒ x = 2,
     3y = 6 + x + y
⇒ 2y = 6 + x = 6 + 2
⇒ y = 4,
    3t = 2t + 3
⇒ t = 3,
     3z = z + t -1
⇒ 2z = 3 – 1 = 2
⇒ z = 1

2. মনে করো, \(A=\begin{bmatrix}2\quad 3\\5\quad 6\\7\quad 8\end{bmatrix}\) এবং B =\(\begin{bmatrix}3\quad 8\quad 5\\2\quad 1\quad 1\\1\quad 3\quad 3\end{bmatrix}\)

বিবৃতি-I(A): A + B এবং AB সংজ্ঞাত নয়

বিবৃতি-II(R): \(BA=\begin{bmatrix}81\quad 97\\16\quad 20\\38\quad 45\end{bmatrix}\)

Ans:Ⓑ বিবৃতি । সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি ।-এর সঠিক কারণ নয়।
Solution: A 3×2 ক্রমের ম্যাট্রিক্স কিন্তু B 3×3 ক্রমের ম্যাট্রিক্স।
∴ A + B সংজ্ঞাত নয়।
A এর স্তম্ভ সংখ্যা ≠ B এর সারি সংখ্যা
∴ AB সংজ্ঞাত নয়। ⇒ বিবৃতি-I(A) সত্য
B এর স্তম্ভ সংখ্যা = A এর সারি সংখ্যা
∴ BA সংজ্ঞাত ।

\( BA=\begin{bmatrix}3\quad 8\quad 5\\2\quad 1\quad 1\\1\quad 3\quad 3\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}2\quad 3\\5\quad 6\\7\quad 8\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}6+40+35\quad 9+48+40\\4+5+7\quad 6+6+8\\2+15+21\quad 3+18+24\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}81\quad 97\\16\quad 20\\38\quad 45\end{bmatrix}\)⇒ বিবৃতি-II(R) সত্য

3. বিবৃতি-I(A): \(A=\begin{bmatrix}0\quad 1\quad 2\\1\quad 2\quad 3\\3\quad 1\quad 1\end{bmatrix}\) এবং B =\(\begin{bmatrix}2\quad 1\quad 3\\-1\quad 0\quad 1\\3\quad -1\quad 4\end{bmatrix}\) হলে AB ≠ BA

বিবৃতি-II(R): ম্যাট্রিক্সের গুণন ক্রিয়া সাধারণভাবে বিনিময় নিয়ম (commutative law) সিদ্ধ করে না।
Ans: Ⓐ বিবৃতি । সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি ।-এর সঠিক কারণ।

\(AB=\begin{bmatrix}0\quad 1\quad 2\\1\quad 2\quad 3\\3\quad 1\quad 1\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}2\quad 1\quad 3\\-1\quad 0\quad 1\\3\quad -1\quad 4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}5\quad -2\quad 9\\9\quad -2\quad 17\\8\quad 2\quad 14\end{bmatrix}\\BA=\begin{bmatrix}2\quad 1\quad 3\\-1\quad 0\quad 1\\3\quad -1\quad 4\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}0\quad 1\quad 2\\1\quad 2\quad 3\\3\quad 1\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}10\quad 7\quad 10\\3\quad 0\quad -1\\11\quad 5\quad 7\end{bmatrix}\\∴AB ≠ BA\)

4. বিবৃতি-I(A): \(A=\begin{bmatrix}1\quad 2\\-1\quad -2\end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}-1\quad 3\\-3\quad 1\end{bmatrix}\) হলে \((A+B)^2≠A^2+2AB+B^2\)

বিবৃতি-II(R): ম্যাট্রিক্সের গুণ সাধারণত বিনিময় নিয়ম সিদ্ধ করে।
Ans: Ⓒ বিবৃতি । সঠিক এবং বিবৃতি II সঠিক নয়।
Solution: (A + B)² = (A + B)(A + B)
= A² + AB + BA + B² ≠ A² + 2AB + B²
কারণ ম্যাট্রিক্সের গুণ সাধারণত বিনিময় নিয়ম সিদ্ধ করে না।
অর্থাৎ AB ≠ BA
∴ বিবৃতি-I সঠিক এবং বিবৃতি II সঠিক নয়I

5. বিবৃতি-I(A): \(A=\begin{bmatrix}2\quad 0\quad 9\\-1\quad 6\quad 10\\4\quad -1\quad 2\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}0\quad -1\quad -2\\3\quad 2\quad -1\\4\quad -2\quad 0\end{bmatrix}\) এবং C = \(\begin{bmatrix}1\quad -2\quad 0\\0\quad 1\quad 2\\3\quad 0\quad -1\end{bmatrix}\) হলে A(BC) =(AB)C হবে।

বিবৃতি-II(R): ম্যাট্রিক্সের গুণ সংযোগ নিয়ম (associative law) সিদ্ধ করে।
Ans: Ⓒ বিবৃতি । সঠিক এবং বিবৃতি II সঠিক নয়।
Solution:

6. বিবৃতি-I(A): A, B ও C-এর প্রত্যেকটি 2×2 ক্রমের ম্যাট্রিক্স এমন যে, AB = AC তাহলে B = C হবে।

বিবৃতি-II(R): মনে করো, \(A=\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 0\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}0\quad 0\\1\quad 0\end{bmatrix}\) এবং C = \(\begin{bmatrix}0\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\) যদি AB = AC হয়, তবে B = C হবে।

Ans: বিবৃতি । সঠিক নয় এবং বিবৃতি II সঠিক নয়।
Solution: ম্যাট্রিক্সের গুণের ক্ষেত্রে সাধারণভাবে অপসারণ নিয়ম সিদ্ধ হয় না।
∴ AB = AC হলে B = C হবেই তার কোনো নিশ্চয়তা নেই।
বিবৃতি-I মিথ্যা।

\(AB=\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 0\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}0\quad 0\\1\quad 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\quad 0\\0\quad 0\end{bmatrix}\\AC=\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 0\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}0\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\quad 0\\0\quad 0\end{bmatrix}\)

AB = AC কিন্তু B ≠ C
বিবৃতি-II মিথ্যা।

7. বিবৃতি-I(A) \(:\begin{bmatrix}4\quad 2\quad -1\\3\quad 5\quad 7\\1\quad -2\quad 7\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4\quad \frac{5}{2}\quad 0\\\frac{5}{2}\quad 5\quad \frac{5}{2}\\0\quad \frac{5}{2}\quad 1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\quad -\frac{1}{2}\quad -1\\\frac{1}{2}\quad 0\quad \frac{9}{2}\\0\quad -\frac{9}{2}\quad 0\end{bmatrix}\)

বিবৃতি-II(R): একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সকে একটি প্রতিসম (symmetric) এবং একটি বিপ্রতিসম (skew-symmetric) ম্যাট্রিক্সের যোগফলরূপে প্রকাশ করা যায়।
Ans: Ⓐ বিবৃতি । সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি ।-এর সঠিক কারণ।
Solution:

\(:\begin{bmatrix}4\quad \frac{5}{2}\quad 0\\\frac{5}{2}\quad 5\quad \frac{5}{2}\\0\quad \frac{5}{2}\quad 1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\quad -\frac{1}{2}\quad -1\\\frac{1}{2}\quad 0\quad \frac{9}{2}\\0\quad -\frac{9}{2}\quad 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4\quad 2\quad -1\\3\quad 5\quad 7\\1\quad -2\quad 7\end{bmatrix}\)

বিবৃতি-I সত্য
বিবৃতি-II একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সকে একটি প্রতিসম এবং একটি বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্সের যোগফলরূপে প্রকাশ করা যায়।-সত্য

True and False

1. A এবং B উভয়ই m×n ক্রমের দুটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স।
    বিবৃতি-I: A + B একটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স
    বিবৃতি-II: A + B একটি বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স
    বিবৃতি-III: A + B একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স
    বিবৃতি-IV: A + B একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স

Ⓐ বিবৃতি I, II, III সত্য Ⓑ বিবৃতি I, III, IV সত্য
Ⓒ বিবৃতি I, III সত্য Ⓓ সবকটি বিবৃতিই সত্য
Ans: Ⓒ বিবৃতি I, III সত্য
Solution: A এবং B উভয়ই প্রতিসম ম্যাট্রিক্স।
∴ A^T = A, B^T= B
(A+B)^T= A^T + B^T= A + B এটি একটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স ⇒ বিবৃতি-I সত্য
∴ বিবৃতি II মিথ্যা
A এবং B উভয়ই n×n ক্রমের বর্গ ম্যাট্রিক্স।
∴ A + B একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স বিবৃতি-III সত্য
A + B একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স হতেও পারে আবার নাও হতে পারে।
∴ বিবৃতি IV মিথ্যা

2. মনে করো, A এবং B দুটি ম্যাট্রিক্স এরূপ যে, \(A+B=\begin{bmatrix}1\quad 5\quad 10\\5\quad 9\quad 8 \end{bmatrix}\) এবং \(A-B=\begin{bmatrix}-1\quad -1\quad -4\\1\quad 1\quad 6\end{bmatrix}\)

বিবৃতি-I: \(A=\begin{bmatrix}0\quad 2\quad 3\\3\quad 5\quad 7 \end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}1\quad 3\quad 7\\2\quad 4\quad 1\end{bmatrix}\)

বিবৃতি-II: \(A=\begin{bmatrix}1\quad 3\quad 7\\2\quad 4\quad 1 \end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}0\quad 2\quad 3\\3\quad 5\quad 7\end{bmatrix}\)

Ⓐ বিবৃতি I, II উভয়ই সত্য            Ⓑ বিবৃতি । সত্য এবং II মিথ্যা
Ⓒ বিবৃতি II সত্য এবং I মিথ্যা      Ⓓ বিবৃতি I, II উভয়ই মিথ্যা
Ans:  Ⓑ বিবৃতি । সত্য এবং II মিথ্যা

\(Solution:\\A+B+A-B=\begin{bmatrix}1\quad 5\quad 10\\5\quad 9\quad 8 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-1\quad -1\quad -4\\1\quad 1\quad 6\end{bmatrix}\\⇒2A=\begin{bmatrix}0\quad 4\quad 6\\6\quad 10\quad 14 \end{bmatrix}\ ⇒A=\begin{bmatrix}0\quad 2\quad 3\\3\quad 5\quad 7 \end{bmatrix}\\A+B-A+B=\begin{bmatrix}1\quad 5\quad 10\\5\quad 9\quad 8 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix}-1\quad -1\quad -4\\1\quad 1\quad 6\end{bmatrix}\\⇒2B=\begin{bmatrix}2\quad 6\quad 14\\4\quad 8\quad 2 \end{bmatrix}\ ⇒B=\begin{bmatrix}1\quad 3\quad 7\\2\quad 4\quad 1 \end{bmatrix}\)

3. মনে করো, \(2\begin{bmatrix}1\quad 3\\0\quad x\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}y\quad 0\\1\quad 2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5\quad 6\\1\quad 8\end{bmatrix}\)

বিবৃতি-I: x = 3 , y = 3
বিবৃতি-II: x = – 3, y = – 3
Ⓐ বিবৃতি I সত্য এবং II মিথ্যা      Ⓑ বিবৃতি II সত্য এবং I মিথ্যা
Ⓒ বিবৃতি I, II উভয়ই সত্য            Ⓓ বিবৃতি I, II উভয়ই মিথ্যা
Ans:   Ⓐ বিবৃতি I সত্য এবং II মিথ্যা

\(Solutiom:\\2\begin{bmatrix}1\quad 3\\0\quad x\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}y\quad 0\\1\quad 2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5\quad 6\\1\quad 8\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}2+y\quad 6\\1\quad 2x+2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5\quad 6\\1\quad 8\end{bmatrix}\)

∴ 2 + y = 5 ⇒ y = 3
2x + 2 = 8 ⇒ x= 3

4. মনে করো, \(A=\begin{bmatrix}2\quad 0\quad – 5\\-3\quad 4\quad 7\end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}3\quad 1\quad -1\\4\quad 5\quad 0\end{bmatrix}\)

বিবৃতি-I: (A + B)’ = A’ + B’
বিবৃতি-II: (A – B)’ = A’ – B’

Ⓐ বিবৃতি I সত্য এবং II মিথ্যা      Ⓑ বিবৃতি II সত্য এবং I মিথ্যা
Ⓒ বিবৃতি I, II উভয়ই সত্য            Ⓓ বিবৃতি I, II উভয়ই মিথ্যা
Ans:    Ⓒ বিবৃতি I, II উভয়ই সত্য
Solution: বিবৃতি । সত্য . . .[আমরা জানি (A + B)’ = A’ + B’]
বিবৃতি II সত্য . . .[আমরা জানি (A – B)’ = A’ – B’]

5. A ম্যাট্রিক্স 2×m ক্রমের ও B ম্যাট্রিক্স 3×n ক্রমের; তাদের গুণফল AB সংজ্ঞাত যা একটি p×4 ক্রমের ম্যাট্রিক্স।
বিবৃতি-I: m = 3, n = 2, p = 4
বিবৃতি-II: m = 3, n = 4, p = 2

Ⓐ বিবৃতি I সত্য এবং II মিথ্যা      Ⓑ বিবৃতি II সত্য এবং I মিথ্যা
Ⓒ বিবৃতি I, II উভয়ই সত্য            Ⓓ বিবৃতি I, II উভয়ই মিথ্যা
Ans:   Ⓑ বিবৃতি II সত্য এবং I মিথ্যা
[Solution: AB সংজ্ঞাত এবং AB-এর ক্রম হবে 2×n
∴ A-এর স্তম্ভ সংখ্যা = B-এর শ্রেণি সংখ্যা
∴ m = 3
আবার দেওয়া আছে AB একটি p×4 ক্রমের ম্যাট্রিক্স।
∴ p = 2, n = 4]

6. মনে করো, \(A=\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\\2\quad -1\quad 5\\-3\quad 2\quad 4\end{bmatrix},X=\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}14\\15\\13\end{bmatrix}\) এবং AX = B

বিবৃতি-I: x + 2y + 3z = 14
বিবৃতি-II: 2x – y + 5z = 15
বিবৃতি-III: – 3x + 2y + 4z = 13
Ⓐ বিবৃতি I, II সত্য            Ⓑ বিবৃতি I, III সত্য
Ⓒ বিবৃতি II, III সত্য          Ⓓ বিবৃতি I, II, III সত্য
Ans:   Ⓓ বিবৃতি I, II, III সত্য

\(Solution:\\\quad AX=B\\⇒\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\\2\quad -1\quad 5\\-3\quad 2\quad 4\end{bmatrix} ×\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}14\\15\\13\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}x+2y+3z\\2x-y+5z\\-3x+2y+4z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}14\\15\\13\end{bmatrix}\)

∴ x + 2y + 3z = 14,
2x – y + 5z = 15
-3x + 2y + 4z = 13

SEMESTER-3
সূচিপত্র

👉 UNIT-1 সম্বন্ধ ও অপেক্ষক

1. সম্বন্ধ
2. অপেক্ষক
3. বিপরীত ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকসমূহ

👉 UNIT-2 বীজগণিত

1. ম্যাট্রিক্সের প্রকারভেদ ও ম্যাট্রিক্স বীজগণিত
- ম্যাট্রিক্স PART 1
- ম্যাট্রিক্স PART 2
2. নির্ণায়ক
- মাইনর ও সহ-উৎপাদক
3. একটি ম্যাট্রিক্সের অ্যাডজয়েন্ট ও বিপরীত ম্যাট্রিক্স এবং সরল সহসমীকরণের সমাধান

👉 UNIT-3 কলনবিদ্যা

1. সন্ততা এবং অন্তরকলনযোগ্যতা
2. অবকলন বা অন্তরকলন
3. দ্বিতীয় ক্রমের অন্তরকলজ
4. অন্তরকলজের ব্যাখ্যা
5. স্পর্শক ও অভিলম্ব
6. বর্ধিষ্ণু ও ক্ষয়িষ্ণু অপেক্ষক 7
. চরম ও অবম মান

👉 UNIT-4 সম্ভাবনা

1. সম্ভাবনা
2. সমসম্ভব চলক ও তার বিভাজন
3. দ্বিপদ বিভাজন

👉 Semester III -এর প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান

Semester III 2026 এর প্রশ্নপত্র ও তার সম্পূর্ণ সমাধান

7. a₁x + b₁y + c₁z = k₁, a₂x + b₂y + c₂z = k₂ এবং a₃x + b₃y + c₃z = k₃ সমীকরণত্রয়ের ম্যাট্রিক্স সমীকরণ হল AX = B

বিবৃতি-1: \(A=\begin{bmatrix}a_1\quad b_1\quad c_1\\a_2\quad b_2\quad c_2\\a_3\quad b_3\quad c_3\end{bmatrix},X=\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}k_1\\k_2\\k_3 \end{bmatrix}\)

বিবৃতি-II: \(A=\begin{bmatrix}a_1\quad b_1\quad c_1\\a_2\quad b_2\quad c_2\\a_3\quad b_3\quad c_3\end{bmatrix},X=\begin{bmatrix}x\\z\\y\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}k_1\\k_2\\k_3\end{bmatrix}\)

Ⓐ বিবৃতি I সত্য এবং II মিথ্যা      Ⓑ বিবৃতি II সত্য এবং I মিথ্যা
Ⓒ বিবৃতি I, II উভয়ই সত্য            Ⓓ বিবৃতি I, II উভয়ই মিথ্যা
Ans:  Ⓐ বিবৃতি I সত্য এবং II মিথ্যা

Solution: AX = B হলে \(A=\begin{bmatrix}a_1\quad b_1\quad c_1\\a_2\quad b_2\quad c_2\\a_3\quad b_3\quad c_3 \end{bmatrix},\ X=\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix}k_1\\k_2\\k_3\end{bmatrix}\)

8. মনে করো, \(\begin{pmatrix}x + y\quad 2\\z\quad \quad 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\quad 2\quad x – z\\2x – y\quad 0\end{pmatrix}\) যেখানে x, y, z বাস্তব।

বিবৃতি-1: x = 1, y = z = – 1
বিবৃতি-II: x = y = 1 z = – 1

Ⓐ বিবৃতি I সত্য এবং II মিথ্যা      Ⓑ বিবৃতি II সত্য এবং I মিথ্যা
Ⓒ বিবৃতি I, II উভয়ই সত্য            Ⓓ বিবৃতি I, II উভয়ই মিথ্যা
Ans:  Ⓑ বিবৃতি II সত্য এবং I মিথ্যা
Solution:
[x + y = 2. . . (i)
x – z = 2. . . (ii)
2x – y = 1. . . (iii)
(i)+(iii) করে পাই, 3x = 3 ⇒ x = 1
∴y = 2 – 1 = 1
   z = 1 – 2 = -1]

9. মনে করো,\(A=\begin{pmatrix}4\quad\quad 2\quad -1\\3\quad -7\quad 1\end{pmatrix}\) এবং \(B=\begin{pmatrix}2\quad 3\\-3\quad 0\\-1\quad 5\end{pmatrix}\)

বিবৃতি-I: \(BA=\begin{pmatrix}17\quad -17\quad 1\\-12\quad -6\quad 3\\11\quad -37\quad 6\end{pmatrix}\)

বিবৃতি-II: \(AB=\begin{pmatrix}3\quad 7\\26\quad 14\end{pmatrix}\)

Ⓐ বিবৃতি I সত্য এবং II মিথ্যা      Ⓑ বিবৃতি II সত্য এবং I মিথ্যা
Ⓒ বিবৃতি I, II উভয়ই সত্য            Ⓓ বিবৃতি I, II উভয়ই মিথ্যা
Ans:   Ⓒ বিবৃতি I, II উভয়ই সত্য

\(BA=\begin{pmatrix}2\quad 3\\-3\quad 0\\-1\quad 5\end{pmatrix}×\begin{pmatrix}4\quad\quad 2\quad -1\\3\quad -7\quad 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}17\quad -17\quad 1\\-12\quad -6\quad3\\11\quad -37\quad 6\end{pmatrix}\\AB=\begin{pmatrix}4\quad\quad 2\quad -1\\3\quad -7\quad 1\end{pmatrix}×\begin{pmatrix}2\quad 3\\-3\quad 0\\-1\quad 5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\quad 7\\26\quad 14\end{pmatrix}\)

\(10.\ A=\begin{pmatrix}1\quad i\\-i\quad 1\end{pmatrix}\) এবং \(B=\begin{pmatrix}i\quad -1\\-1\quad -i\end{pmatrix}\) (যেখানে i = √-1))

বিবৃতি-I:\(\ BA=\begin{pmatrix}3i\quad -3\\-3\quad 3i\end{pmatrix}\)

বিবৃতি-II: \(\ AB=\begin{pmatrix} 1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}\)

Ⓐ বিবৃতি I সত্য এবং II মিথ্যা      Ⓑ বিবৃতি II সত্য এবং I মিথ্যা
Ⓒ বিবৃতি I, II উভয়ই সত্য            Ⓓ বিবৃতি I, II উভয়ই মিথ্যা
Ans:   Ⓓ বিবৃতি I, II উভয়ই মিথ্যা

\(Solution:\\BA=\begin{pmatrix}i\quad -1\\-1\quad -i\end{pmatrix}×\begin{pmatrix}1\quad i\\-i\quad 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2i\quad -2\\-2\quad -2i\end{pmatrix}\\AB=\begin{pmatrix}1\quad i\\-i\quad 1\end{pmatrix}×\begin{pmatrix}i\quad -1\\-1\quad -i\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\quad 0\\0\quad 0\end{pmatrix}\)

\(11. A=\begin{bmatrix}1\quad -1\\2\quad -1\end{bmatrix}, B =\begin{bmatrix} a\quad 1\\b\quad -1\end{bmatrix}\) এবং \((A+B)^2=A^2+B^2\)

বিবৃতি-I: a = 1, b = 4
বিবৃতি-II: a = -1, b = -4

Ⓐ বিবৃতি I সত্য এবং II মিথ্যা      Ⓑ বিবৃতি II সত্য এবং I মিথ্যা
Ⓒ বিবৃতি I, II উভয়ই সত্য            Ⓓ বিবৃতি I, II উভয়ই মিথ্যা
Ans:    Ⓐ বিবৃতি I সত্য এবং II মিথ্যা

\(Solution:\\A+B=\begin{bmatrix}1+a\quad 0\\2+b\quad -2\end{bmatrix}\\∴(A+B)^2=\begin{bmatrix}1+a\quad 0\\2+b\quad -2\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1+a\quad 0\\2+b\quad -2\end{bmatrix}\\\quad =\begin{bmatrix}(1+a)^2\quad 0\\(2+b)(1+a)-2(2+b)\quad 4\end{bmatrix}\\A^2+B^2=\begin{bmatrix}1\quad -1\\2\quad -1\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\quad -1\\2\quad -1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} a\quad 1\\b\quad -1\end{bmatrix}×\begin{bmatrix} a\quad 1\\b\quad -1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix} -1\quad 0\\0\quad -1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} a^2+b\quad a-1\\ab-b\quad b+1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix} a^2+b-1\quad a-1\\ab-b\quad b\end{bmatrix}\\∴\begin{bmatrix}(1+a)^2\quad 0\\(2+b)(1+a)-2(2+b)\quad 4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a^2+b-1\quad a-1\\ab-b\quad b\end{bmatrix}\)

∴ a – 1 = 0 ⇒ a = 1
b = 4

12. বিবৃতি-I: \(A=\begin{bmatrix}1\quad 2\\0\quad 1\end{bmatrix}\) হলে সব n∈N এর জন্য \(A^n=\begin{bmatrix}1\quad 2n\\1\quad 0\end{bmatrix}\)

বিবৃতি-II: \(A=\begin{bmatrix}3\quad -4\\1\quad -1\end{bmatrix}\) হলে সব n∈N এর জন্য \(A^n=\begin{bmatrix}1+2n\quad -4n\\n\quad 1-2n\end{bmatrix}\)

Ⓐ বিবৃতি I সত্য এবং II মিথ্যা Ⓑ বিবৃতি II সত্য এবং I মিথ্যা
Ⓒ বিবৃতি I, II উভয়ই সত্য Ⓓ বিবৃতি I, II উভয়ই মিথ্যা
Ans: Ⓑ বিবৃতি II সত্য এবং I মিথ্যা

\(Solution:\\A=\begin{bmatrix}1\quad 2\\0\quad 1\end{bmatrix}\\∴A^2=\begin{bmatrix}1\quad 2\\0\quad 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\quad 2\\0\quad 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\quad 4\\0\quad 1\end{bmatrix}\)কিন্তু \(A^2=\begin{bmatrix}1\quad 2.2\\1\quad 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\quad 4\\1\quad 0\end{bmatrix}\) বিবৃতি I মিথ্যা

\(Solution:\\A=\begin{bmatrix}3\quad -4\\1\quad -1\end{bmatrix}\\∴A^2=\begin{bmatrix}3\quad -4\\1\quad -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\quad -4\\1\quad -1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5\quad -8\\2\quad -3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1+2.2\quad -4.2\\2\quad 1-2.2\end{bmatrix}\) বিবৃতি II সত্য

Case Based

\(1. \ 2A+B=\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\\-1\quad -2\quad -3\\4\quad 2\quad 3 \end{bmatrix}\) এবং \(A+2B=\begin{bmatrix}0\quad 2\quad 3\\4\quad 1\quad 7\\1\quad 1\quad 5\end{bmatrix}\)হলে

[i] B =

\(Ⓐ\ \frac{1}{3}\begin{bmatrix}-1\quad 2\quad 3\\9\quad 4\quad 17\\-2\quad 1\quad 7\end{bmatrix} \quad Ⓑ\ \frac{1}{3}\begin{bmatrix}-1\quad 2\quad 3\\9\quad 4\quad 17\\-2\quad 0\quad 7\end{bmatrix}\\Ⓒ\ \frac{1}{3}\begin{bmatrix}-1\quad 2\quad 3\\9\quad 4\quad 17\\2\quad 0\quad 7\end{bmatrix}\\Ans:\ Ⓑ\ \frac{1}{3}\begin{bmatrix}-1\quad 2\quad 3\\9\quad 4\quad 17\\-2\quad 0\quad 7\end{bmatrix}\)Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

\(Solution:\\2(A+2B)-(2A+B)=2\begin{bmatrix}0\quad 2\quad 3\\4\quad 1\quad 7\\1\quad 1\quad 5\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\\-1\quad -2\quad -3\\4\quad 2\quad 3\end{bmatrix}\\⇒ 3B=\begin{bmatrix}0-1\quad 4-2\quad 6-3\\8+1\quad 2+2\quad 14+3\\2-4\quad 2-2\quad 10-3\end{bmatrix}\\⇒B=\frac{1}{3}\begin{bmatrix}-1\quad 2\quad 3\\9\quad 4\quad 17\\-2\quad 0\quad 7\end{bmatrix}\)

[ii] A =

\(Ⓐ\ \frac{1}{3}\begin{bmatrix}-1\quad 2\quad 3\\9\quad 4\quad 17\\-2\quad 0\quad 7\end{bmatrix} \quad Ⓑ\ \frac{1}{3}\begin{bmatrix}2\quad 2\quad 3\\-6\quad -5\quad -13\\7\quad 3\quad -1\end{bmatrix}\\Ⓒ\ \frac{1}{3}\begin{bmatrix}2\quad 2\quad 3\\-6\quad -5\quad -13\\7\quad 3\quad 1\end{bmatrix}\quad Ⓓ\ \frac{1}{3}\begin{bmatrix}2\quad 2\quad 3\\-6\quad 5\quad -13\\7\quad 3\quad 1\end{bmatrix}\\Ans:\ Ⓒ\ \frac{1}{3}\begin{bmatrix}2\quad 2\quad 3\\-6\quad -5\quad -13\\7\quad 3\quad 1\end{bmatrix}\)

\(Solution:\\2(2A+B)-(A+2B)=2\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\\-1\quad -2\quad -3\\4\quad 2\quad 3 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix}0\quad 2\quad 3\\4\quad 1\quad 7\\1\quad 1\quad 5\end{bmatrix}-\\⇒3A= \begin{bmatrix}2-0\quad 4-2\quad 6-3\\-2-4\quad -4-1\quad -6-7\\8-1\quad 4-1\quad 6-5\end{bmatrix}\\⇒A=\frac{1}{3}\begin{bmatrix}2\quad 2\quad 3\\-6\quad -5\quad -13\\7\quad 3\quad 1\end{bmatrix}\)

2. যদি 2A + 5B = C হয়, যেখানে \(A=\begin{pmatrix}3\quad 5\\2\quad a\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}4\quad b\\2\quad 9\end{pmatrix}\)এবং \(C=\begin{pmatrix}26\quad a\\14\quad 45\end{pmatrix}\) তবে

\(Solution:\\\quad 2A + 5B = C\\⇒2\begin{pmatrix}3\quad 5\\2\quad a\end{pmatrix}+5\begin{pmatrix}4\quad b\\2\quad 9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}26\quad a\\14\quad 45\end{pmatrix}\\⇒\begin{pmatrix}26\quad 10+5b\\14\quad 2a+45\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}26\quad a\\14\quad 45\end{pmatrix}\)

∴ 2a + 45 = 45 ⇒ a = 0,
10 + 5b = a
⇒ 5b = 0 – 10
⇒ b = -2

3. যদি\(\begin{pmatrix}x+y+z\\z+x\\y+z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9\\5\\7\end{pmatrix}\)হয়, তবে

[i] x =
Ⓐ 3     Ⓑ 4     Ⓒ 2     Ⓓ -2
Ans:   Ⓒ 2

[ii] z =
Ⓐ 2     Ⓑ 3     Ⓒ 4     Ⓓ 1
Ans:   Ⓑ 3

[iii] x + y – z =
Ⓐ 1     Ⓑ 2     Ⓒ 3     Ⓓ
Ans:   Ⓒ 3
[Solution:
∴ x + y + z = 9;   z + x = 5;   y + z = 7
x = 9 – 7 = 2,
y = 9 – 5 = 4,
z = 7 – 4 = 3,
∴ x + y – z
= 2 + 4 – 3 = 3]

\(4.\quad A=\begin{pmatrix}22\quad 13\\17\quad 8\end{pmatrix}\)এবং \(B=A+A^T\)হলে

[i] B =

\(Ⓐ\quad \begin{pmatrix}44\quad 30\\30\quad 16\end{pmatrix}\quad Ⓑ\quad \begin{pmatrix}44\quad 32\\32\quad 16\end{pmatrix}\quad\\Ⓒ\quad \begin{pmatrix}16\quad 30\\30\quad 44\end{pmatrix}\quad\)Ⓓ এদের কোনোটিই নয়\(\\Ans:\quad Ⓐ\ \begin{pmatrix}44\quad 30\\30\quad 16\end{pmatrix}\)

\(Solution:\\B=\begin{pmatrix}22\quad 13\\17\quad 8\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}22\quad 17\\13\quad 8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}44\quad 30\\30\quad 16\end{pmatrix}\\∴B^T=\begin{pmatrix}44\quad 30\\30\quad 16\end{pmatrix}=B\)

\(5.\begin{pmatrix}2\quad 1\\3\quad 4\end{pmatrix}×\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\)হলে

\(Solution:\\\quad \begin{pmatrix}2\quad 1\\3\quad 4\end{pmatrix}×\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\\⇒\begin{pmatrix}2x+y\\3x+4y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\)

∴ 2x + y = 1
বা, y = 1 – 2x
এবং 3x + 4y = -1
বা, 3x + 4(1 – 2x) = -1
বা, -5x = -5
বা,x = 1
∴ y = 1 – 2.1 = -1

6. যদি \(A=\begin{pmatrix}3\quad 1\\7\quad 5\end{pmatrix}\) এবং \(A^2=-xI+yA\) হয়, যেখানে I হল 2 মাত্রার একক ম্যাট্রিক্স তবে

[i] x -এর মান —
Ⓐ 2      Ⓑ 3      Ⓒ 8      Ⓓ -8
Ans:   Ⓒ 8

[ii] y -এর মান —
Ⓐ 8      Ⓑ 4      Ⓒ -4      Ⓓ -8
Ans:    Ⓐ 8

\(Solution:\\\quad A^2=-xI+yA\\⇒\begin{pmatrix}3\quad 1\\7\quad 5\end{pmatrix}×\begin{pmatrix}3\quad 1\\7\quad 5\end{pmatrix}=-x\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}3\quad 1\\7\quad 5\end{pmatrix}\\⇒\begin{pmatrix}9+7\quad 3+5\\21+35\quad 7+25\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-x\quad 0\\ 0\quad -x\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3y\quad y\\7y\quad 5y\end{pmatrix}\\⇒\begin{pmatrix}16\quad 8\\56\quad 32\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3y-x\quad y\\\quad 7y\quad 5y-x\end{pmatrix}\)

∴ y = 8
এবং 3y – x = 16
বা, -x = 16 – 3.8 = -8
বা, x = 8

7. যদি \(A=\frac{1}{3}\begin{bmatrix}a\quad 2\quad 2\\2\quad 1\quad b\\2\quad c\quad 1\end{bmatrix}\)ম্যাট্রিক্স AA’ = I সম্বন্ধ সিদ্ধ করে তবে (এখানে A’ হল A-এর পরিবর্ত এবং I হল 3 ক্রমের একক ম্যাট্রিক্স)

[i] a -এর মান হবে
Ⓐ 2      Ⓑ -2      Ⓒ 1      Ⓓ -1
Ans:   Ⓒ 1

[ii] b³ =
Ⓐ 1      Ⓑ -1      Ⓒ 8      Ⓓ -8
Ans:   Ⓓ -8

[iii] 2a + c
Ⓐ 0      Ⓑ 8      Ⓒ 10      Ⓓ 6
Ans:   Ⓐ 0

\(Solution:\\A=\frac{1}{3}\begin{bmatrix}a\quad 2\quad 2\\2\quad 1\quad b\\2\quad c\quad 1\end{bmatrix}\\∴A’=\frac{1}{3}\begin{bmatrix}a\quad 2\quad 2\\2\quad 1\quad c\\2\quad b\quad 1\end{bmatrix}\\∵AA’=I\\⇒\frac{1}{9}\begin{bmatrix}a\quad 2\quad 2\\2\quad 1\quad b\\2\quad c\quad 1\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}a\quad 2\quad 2\\2\quad 1\quad c\\2\quad b\quad 1\end{bmatrix}\\=\frac{1}{9}\begin{bmatrix}a^2+4+4\quad 2a+2+2b\quad 2a+2c+2\\2a+2+2b\quad 4+1+b^2\quad 4+c+b\\2a+2c+2\quad 4+c+b\quad 4+c^2+1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\quad 0\quad 0\\0\quad 1\quad 0\\0\quad 0\quad 1\end{bmatrix}\)

∴ 2a + 2b + 2 = 0 ⇒ a + b = -1 . . . (i)
   2a + 2c + 2 = 0 ⇒ a + c = -1 . . . (ii)
   b + c + 4 = 0 ⇒ b + c = -4 . . . (iii)
(i)+(ii)+(iii) করে পাই,
    2(a + b + c) = -6
⇒ a + b + c = -3
a = -3 + 4 = 1
b = -3 + 1 = -2
c = -3 + 1 = -2
b³ = (-2)³ = -8
2a + c = 2.1 – 2 = 0

MATHEMATICS 2026 SEMESTER 3 SOLUTION →

← এই প্রশ্নমালার পুরব্পরতি পূর্ববর্তী অঙ্কগুলির জন্য PART 1 দেখো

May 26, 2026

SEMESTER-3 Unit-2 MATRIX ALGEBRA বীজগণিত ম্যাট্রিক্সPART 1
SEMESTER-3 Unit-2 MATRIX ALGEBRA বীজগণিত ম্যাট্রিক্সPART 1
SEMESTER-3 Unit-2 MATRIX ALGEBRA বীজগণিত ম্যাট্রিক্সPART 1
বহুবিকল্পভিত্তিক প্রশ্নাবলি (MCQ) প্রতিটি প্রশ্নের মান 1
Conventional Type
1. একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স A যদি তার পরিবর্ত ম্যাট্রিক্স A^t-এর সমান হয়, তবে A-কে বলা হবে —
     Ⓐ প্রতিসম           Ⓑ একক ম্যাট্রিক্স            Ⓒ বিপ্রতিসম            Ⓓ এদের কোনোটিই নয়।
Ans: Ⓐপ্রতিসম
2. A বর্গ ম্যাট্রিক্সের পরিবর্ত ম্যাট্রিক্স A’ হলে, A-কে একটি বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি —
   Ⓐ A^t = -A হয়        Ⓑ AA^t = A হয়     Ⓒ A^tA = A হয়         Ⓓ A^-1 হয়
Ans: Ⓐ    A^t = -A হয়
3. A একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স এবং I একই ক্রমের একক ম্যাটিক্স হলে, A.I =
     Ⓐ A             Ⓑ A^t                 Ⓒ -A                  Ⓓ A.A^t
Ans: Ⓐ   A
Solution: ∵ AI = IA =A
4. যদি A = [a_ij] একটি 2×2 ক্রমের ম্যাটিক্স হয়, যেখানে a_ij = i + 2j তবে A হবে —
\(Ⓐ\begin{bmatrix}1\quad 3\\2\quad 0\end{bmatrix}\quad Ⓑ\begin{bmatrix}2\quad 4\\3\quad 5\end{bmatrix}\\Ⓒ\begin{bmatrix}3\quad 5\\4\quad 6\end{bmatrix}\)Ⓓ এদের কোনোটিই নয়। \(\\Ans:\ Ⓒ\begin{bmatrix}3\quad 5\\4\quad 6\end{bmatrix}\)
Solution:   [a_ij] একটি 2×2 ক্রমের ম্যাটিক্স এবং a_ij = i + 2j
∴ a₁₁ = 1 + 2.1 = 3;   a₁₂ = 1 + 2.2 = 5;
a₂₁ = 2 + 2.1 = 4;   a₂₂ = 2 + 2.2 = 6;
5. যদি A = [a_ij] একটি 2×2 ক্রমের ম্যাটিক্স হয়, যেখানে a_ij = ¹/₂(i + 2j)² তবে A হবে-
\(Ⓐ\begin{bmatrix}\frac{9}{2}\quad \frac{25}{2}\\8\quad 18\end{bmatrix}\quad Ⓑ\begin{bmatrix}9\quad \frac{25}{2}\\8\quad 18\end{bmatrix}\\Ⓒ\begin{bmatrix}\frac{9}{2}\quad \frac{25}{2}\\8\quad 9\end{bmatrix}\quad Ⓓ \begin{bmatrix}\frac{9}{2}\quad \frac{25}{2}\\4\quad 18\end{bmatrix}\\Ans:\ Ⓐ\begin{bmatrix}\frac{9}{2}\quad \frac{25}{2}\\8\quad 18\end{bmatrix}\)
Solution: A = [a_ij] একটি 2×2 ক্রমের ম্যাটিক্স এবং a_ij = ¹/₂(i + 2j)²
∴ a₁₁ = ¹/₂(1 + 2.1)²= ⁹/₂;
a₁₂ = ¹/₂(1 + 2.2)²= ²⁵/₂;
a₂₁ = ¹/₂(2 + 2.1)²= 8;
a₂₂ = ¹/₂(2 + 2.2)²= 18;
6. যদি A = [a_ij] একটি 3×2 ক্রমের ম্যাটিক্স হয়, যেখানে a_ij = 3i – 2j তবে A হবে —
\(Ⓐ\begin{bmatrix}1\quad 1\\4\quad 2\\7\quad5\end{bmatrix}\ Ⓑ\begin{bmatrix}1\quad -1\\4\quad 2\\7\quad5\end{bmatrix}\\Ⓒ\begin{bmatrix}-1\quad -1\\4\quad 2\\7\quad5\end{bmatrix}\ Ⓓ\begin{bmatrix}1\quad -1\\4\quad -2\\7\quad5\end{bmatrix}\\Ans:\ Ⓑ\begin{bmatrix}1\quad -1\\4\quad 2\\7\quad5\end{bmatrix}\)
Solution: A = [a_ij] একটি 3×2 ক্রমের ম্যাটিক্স এবং a_ij = 3i – 2j
∴ a₁₁ = 3.1 – 2.1 = 1;   a₁₂ = 3.1 – 2.2 = -1;
a₂₁ = 3.2 – 2.1 = 4;   a₂₂ = 3.2 – 2.2 = 2;
a₃₁ = 3.3 – 2.1 = 7;   a₃₂ = 3.3 – 2.2 = 5;
7. যদি A = [a_ij] একটি 2×3 ক্রমের ম্যাটিক্স হয়, যেখানে a_ij = ¹/₂|3i – 4j| তবে A হবে —
\(Ⓐ\begin{bmatrix}\frac{1}{2}\quad \frac{5}{2}\quad \frac{9}{2}\\1\quad 1\quad3\end{bmatrix}\ Ⓑ\begin{bmatrix}1\quad 5\quad9\\\frac{1}{2}\quad \frac{1}{2}\quad \frac{3}{2}\end{bmatrix}\\Ⓒ\begin{bmatrix}\frac{1}{2}\quad \frac{5}{2}\quad 9\\1\quad 1\quad3\end{bmatrix}\ Ⓓ\begin{bmatrix}\frac{1}{2}\quad \frac{5}{2}\quad \frac{9}{2}\\\frac{1}{2}\quad \frac{1}{2}\quad \frac{3}{2}\end{bmatrix}\\Ans:\ Ⓐ\begin{bmatrix}\frac{1}{2}\quad \frac{5}{2}\quad \frac{9}{2}\\1\quad 1\quad3\end{bmatrix}\)
Solution: A = [a_ij] একটি 2×3 ক্রমের ম্যাটিক্স এবং a_ij = ¹/₂|3i – 4j|
∴ a₁₁ = ¹/₂|3.1 – 4.1| = ¹/₂|– 1| = ¹/₂;
a₁₂ = ¹/₂|3.1 – 4.2| = ¹/₂|– 5| = ⁵/₂;
a₁₃ = ¹/₂|3.1 – 4.3| = ¹/₂|– 9| = ⁹/₂;
  a₂₁ = ¹/₂|3.2 – 4.1| = ¹/₂|2| = 1;
a₂₂ = ¹/₂|3.2 – 4.2| = ¹/₂|– 2| = 1;
  a₂₃ = ¹/₂|3.2 – 4.3| = ¹/₂|– 6| = 3
8. যদি A একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স হয়, তবে A² হবে —
Ⓐ একটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স           Ⓑ একটি বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স
   Ⓒ একটি কর্ণ ম্যাট্রিক্স                  Ⓓ এদের কোনোটিই নয়
Ans: Ⓓ    এদের কোনোটিই নয়

9. নীচের বিবৃতিগুলির কোনটি সত্য?
Ⓐ K একটি স্কেলার ও A যে-কোনো ম্যাট্রিক্স হলে KA হবে একটি ম্যাট্রিক্স যার প্রত্যেকটি পদ A এর অনুরূপ পদের K গুণ।
Ⓑ A ও B ম্যাট্রিক্স দুটি যথাক্রমে m×n ও r×s ক্রমের (r ≠ m, s ≠ n) হলে, A + B ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করা যায়।
Ⓒ A ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা যদি B ম্যাট্রিক্সের স্তম্ভ সংখ্যার সমান হয়, তবে AB গুণফল ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করা যায়।
Ⓓ দুটি ম্যাট্রিক্স A ও B-এর ক্ষেত্রে AB ও BA উভয় গুণফল সংজ্ঞাত হলে তারা সমক্রমের ম্যাট্রিক্স হবে।
Ans: Ⓐ    K একটি স্কেলার ও A যে-কোনো ম্যাট্রিক্স হলে KA হবে একটি ম্যাট্রিক্স যার প্রত্যেকটি পদ A এর অনুরূপ পদের K গুণ।
10. যদি \(\begin{bmatrix}2x-y\quad 5\\3\quad\quad\quad y\end{bmatrix}\)
হয়, তবে x-এর মান হবে —
    Ⓐ 0              Ⓑ 1
   Ⓒ 2                    Ⓓ 3
Ans: Ⓒ 2
Solution: y = -2;
     2x – y = 6
⇒ 2x = 6 – 2 = 4
⇒ x = 2
11. যদি \(\begin{bmatrix}1\quad 4\\2\quad 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x\quad y^2\\z\quad 0\end{bmatrix}\ (y \lt 0) \)
হয়, তবে x – y + z এর মান হবে —
Ⓐ 5              Ⓑ 2              Ⓒ 1               Ⓓ -3
Ans: Ⓐ5
Solution:   x = 1;     z = 2
y² = 4 ⇒ y = ±2
∵ y < 0 ∴ y = -2 ;
∴ x – y + z =1 + 2 + 2 = 5
12. যদি \(A-2B=\begin{bmatrix}1\quad 5\\3\quad 7\end{bmatrix}\) এবং \(2A-3B=\begin{bmatrix}-2\quad 5\\0\quad 7\end{bmatrix}\)
তবে B ম্যাট্রিক্সটি হবে —
\(Ⓐ\begin{bmatrix}-4\quad -5\\-6\quad -7\end{bmatrix}\ Ⓑ\begin{bmatrix}0\quad 6\\-3\quad -7\end{bmatrix}\\Ⓒ\begin{bmatrix}2\quad -1\\3\quad 2\end{bmatrix}\ Ⓓ\begin{bmatrix}6\quad -1\\0\quad 1\end{bmatrix}\\Ans:\ Ⓐ\begin{bmatrix}-4\quad -5\\-6\quad -7 \end{bmatrix}\)
\(Solution:\ B=(2A-3B)–2(A-2B)\\=\begin{bmatrix}-2\quad 5\\0\quad 7\end{bmatrix}-2\begin{bmatrix}1\quad 5\\3\quad 7\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-2\quad 5\\0\quad 7\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}2\quad 10\\6\quad 14\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-4\quad -10\\-6\quad -7\end{bmatrix}\)
13. যদি \(A=\begin{bmatrix}4\quad 2\\-1\quad 1\end{bmatrix}\)
হয়, তবে (A – 2I)(A – 3I) হবে — [যেখানে । দ্বিতীয় ক্রমের একক ম্যাট্রিক্স]
Ⓐ A             Ⓑ I                 Ⓒ 0                Ⓓ 5I
Ans:   Ⓒ   0
Solution:   (A – 2I)(A – 3I)
\(=\left( \begin{bmatrix}4\quad 2\\-1\quad 1\end{bmatrix}-2\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix} \right)\left( \begin{bmatrix}4\quad 2\\-1\quad 1\end{bmatrix}-3\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix} \right)\\=\begin{bmatrix}2\quad 2\\-1\quad -1\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\quad 2\\-1\quad -2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0\quad 0\\0\quad 0\end{bmatrix}→ Ⓒ\)
14. যদি \(A=\begin{bmatrix}x\quad y\\z\quad -x\end{bmatrix}\)
SEMESTER-3
সূচিপত্র
👉 UNIT-1 সম্বন্ধ ও অপেক্ষক
- 1. সম্বন্ধ
- 2. অপেক্ষক
- 3. বিপরীত ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকসমূহ
👉 UNIT-2 বীজগণিত
- 1. ম্যাট্রিক্সের প্রকারভেদ ও ম্যাট্রিক্স বীজগণিত
  - ম্যাট্রিক্স PART 1
  - ম্যাট্রিক্স PART 2
- 2. নির্ণায়ক
  - মাইনর ও সহ-উৎপাদক
- 3. একটি ম্যাট্রিক্সের অ্যাডজয়েন্ট ও বিপরীত ম্যাট্রিক্স এবং সরল সহসমীকরণের সমাধান
👉 UNIT-3 কলনবিদ্যা
- 1. সন্ততা এবং অন্তরকলনযোগ্যতা
- 2. অবকলন বা অন্তরকলন
- 3. দ্বিতীয় ক্রমের অন্তরকলজ
- 4. অন্তরকলজের ব্যাখ্যা
- 5. স্পর্শক ও অভিলম্ব
- 6. বর্ধিষ্ণু ও ক্ষয়িষ্ণু অপেক্ষক 7
- . চরম ও অবম মান
👉 UNIT-4 সম্ভাবনা
- 1. সম্ভাবনা
- 2. সমসম্ভব চলক ও তার বিভাজন
- 3. দ্বিপদ বিভাজন
👉 Semester III -এর প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান
- Semester III 2026 এর প্রশ্নপত্র ও তার সম্পূর্ণ সমাধান
ম্যাট্রিক্স এরূপ যে A² = I হয়, তবে
Ⓐ 1 + x² + yz = 0        Ⓑ 1 – x² + yz = 0
Ⓒ 1 – x² – yz = 0          Ⓓ 1 + x² – yz = 0
Ans:   Ⓒ 1 – x² – yz = 0
Solution:  A² = I
\(⇒\begin{bmatrix}x\quad y\\z\quad -x\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}x\quad y\\z\quad -x\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}x^2+yz\quad xy-xy\\xz-xz\quad yz+x^2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}x^2+yz\quad 0\\0\quad yz+x^2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\)
∴ x² + yz = 1
⇒ 1 – x² – yz = 0
15. নীচের বিবৃতিগুলির কোনটি মিথ্যা?
Ⓐ A ও B যথাক্রমে m×n ও n×p ক্রমের ম্যাট্রিক্স হলে AB একটি m×p ক্রমের ম্যাট্রিক্স হবে।
Ⓑ ম্যাট্রিক্সের গুণ সাধারণভাবে বিনিময় নিয়ম সিদ্ধ করে না।
Ⓒ দুটি ম্যাট্রিক্স A ও B-এর ক্ষেত্রে AB ও BA উভয় গুণফল সংজ্ঞাত এবং সমক্রমের হলেও তারা পরস্পর সমান নাও হতে পারে।
Ⓓ ম্যাট্রিক্স গুণন ক্রিয়া সংযোগ নিয়ম সিদ্ধ করে না।
Ans:   Ⓓ ম্যাট্রিক্স গুণন ক্রিয়া সংযোগ নিয়ম সিদ্ধ করে না।

16. যদি ম্যাট্রিক্স A প্রতিসম এবং বিপ্রতিসম উভয়ই হয়, তবে A ম্যাট্রিক্স হবে —
    Ⓐ কর্ণ ম্যাট্রিক্স       Ⓑ বর্গ ম্যাট্রিক্স
   Ⓒ শূন্য ম্যাট্রিক্স        Ⓓ এদের কোনোটিই নয়
Ans:   Ⓒ শূন্য ম্যাট্রিক্স
Solution:   A ম্যাট্রিক্স প্রতিসম ∴ A = A^T
আবার A ম্যাট্রিক্স বিপ্রতিসম ∴ A = -A^T
∴ A = -A    বা, 2A = 0     বা, A = 0
17. একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স A এরূপ যে A² = A তবে (I + A)³ – 7A এর মান হবে —
     Ⓐ A                Ⓑ I – A
     Ⓒ I                  Ⓓ 3A
Ans:   Ⓒ I
Solution:   (I + A)³ – 7A
= (I + A) (I + A) (I + A) – 7A
= (I² + IA + AI + A²) (I + A) – 7A
⇒ (I + A + A + A) (I + A) – 7A . . . [∵IA = AI = A, I²= I এবং A² = A]
⇒ (I + 3A) (I + A) – 7A
= I² + IA + 3AI + 3A² – 7A
= I + A + 3A + 3A – 7A = I
18. যদি \(A=\begin{bmatrix}-1\quad 2\\3\quad 4\end{bmatrix}\) ও \(B=\begin{bmatrix}3\quad -2\\1\quad 5\end{bmatrix}\)
এবং 2A + B + X = 0 হয়, তবে X ম্যাট্রিক্স হল —
\(Ⓐ\begin{bmatrix}-1\quad -2\\-7\quad -13\end{bmatrix}\ Ⓑ\begin{bmatrix}-1\quad -2\\7\quad -13\end{bmatrix}\\Ⓒ\begin{bmatrix}-1\quad -2\\-7\quad 13\end{bmatrix}\)Ⓓ এদের কোনোটিই নয় \(\\Ans:\ Ⓐ\begin{bmatrix}-1\quad -2\\-7\quad -13\end{bmatrix}\)
Solution: 2A + B + X = 0
\(⇒2\begin{bmatrix}-1\quad 2\\3\quad 4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}3\quad -2\\1\quad 5\end{bmatrix}+X=0\\⇒\begin{bmatrix}-2\quad 4\\6\quad 8\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}3\quad -2\\1\quad 5\end{bmatrix}+X=0\\⇒\begin{bmatrix}1\quad 2\\7\quad 13\end{bmatrix}+X=0\\∴X=\begin{bmatrix}-1\quad -2\\-7\quad -13\end{bmatrix}→Ⓐ\)
\(19.\ A-2B=\begin{bmatrix}-7\quad 7\\4\quad -8\end{bmatrix}\) এবং \(A-3B=\begin{bmatrix}-11\quad 9\\4\quad -13\end{bmatrix}\) হলে \(Ⓐ B=\begin{bmatrix}1\quad 3\\4\quad 2\end{bmatrix}\ Ⓑ A=\begin{bmatrix}1\quad 3\\4\quad -2\end{bmatrix}\\Ⓒ B=\begin{bmatrix}4\quad 2\\2\quad 5\end{bmatrix}\ Ⓓ A=\begin{bmatrix}1\quad 3\\4\quad 2\end{bmatrix}\\Ans:\ Ⓓ A=\begin{bmatrix}1\quad 3\\4\quad 2\end{bmatrix}\)
Solution: A = 3(A – 2B) – 2(A – 3B)
\(=3\begin{bmatrix}-7\quad 7\\4\quad -8\end{bmatrix}-2\begin{bmatrix}-11\quad 9\\4\quad -13\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-21\quad 21\\12\quad 24\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}-22\quad 18\\8\quad -26\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}1\quad 3\\4\quad 2\end{bmatrix}→ Ⓓ\)
20. A = [1      2      3] হলে AA^T হবে —
     Ⓐ [12]              Ⓑ [13]
     Ⓒ [14]                Ⓓ [16]
Ans:   Ⓒ     [14]
Solution:
\(\ AA^T=\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\\2\\3 \end{bmatrix}\\=[1+4+9]=[14]→Ⓒ\)
\(21. \begin{bmatrix}x\quad y\quad z\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}a\quad h\quad g\\h\quad b\quad f\\g\quad f\quad c\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}\) এর মান হবে –
Ⓐ [ax²+by²+cz²+2hxy+2fyz+2gzx]
Ⓑ [ax²+by²+cz²+2fxy+2hyz+2gzx]
Ⓒ [ax²+by² + cz²+2gxy+2hyz+2fzx]
Ⓓ [ax²+by² + cz²+2hxy+2gyz+2fzx]
Ans:   Ⓐ [ax²+by²+cz²+2hxy+2fyz+2gzx]
\(Solution:\ \begin{bmatrix}x\quad y\quad z\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}a\quad h\quad g\\h\quad b\quad f\\g\quad f\quad c\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}ax+hy+gz\quad hx+by+fz\quad gx+fy+cz\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}\)
= [ax²+hxy+gzx+hxy+by²+fyz+gzx+fyz+cz²]
= [ax²+by²+cz²+2hxy+2fyz+2gzx] → Ⓐ
22. a₁x + b₁y + c₁ = 0 এবং a₂x + b₂y + c₂ = 0 সমীকরণদ্বয়ের ম্যাট্রিক্স সমীকরণ হল AX + C = 0 যেখানে —
\(Ⓐ\ A=\begin{bmatrix}a_1\quad a_2\\b_1\quad b_2\\\end{bmatrix},\ X=\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix},\ C=\begin{bmatrix}c_1\\c_2\end{bmatrix}\\Ⓑ\ A=\begin{bmatrix}a_1\quad a_2\\b_1\quad b_2\\\end{bmatrix},\ X=\begin{bmatrix}y\\x\end{bmatrix},\ C=\begin{bmatrix}c_1\\c_2\end{bmatrix}\\Ⓒ\ A =\begin{bmatrix}a_1\quad b_1\\a_2\quad b_2\\\end{bmatrix},\ X=\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix},\ C=\begin{bmatrix}c_1\\c_2\end{bmatrix}\\Ⓓ\ A=\begin{bmatrix}a_1\quad b_1\\a_2\quad b_2\\\end{bmatrix},\ X=\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix},\ C=\begin{bmatrix}c_2\\c_1\end{bmatrix}\\Ans:\ ⒸA=\begin{bmatrix}a_1\quad b_1\\a_2\quad b_2\\\end{bmatrix},\ X=\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix},\ C=\begin{bmatrix}c_1\\c_2\end{bmatrix}\)
Solution:
   a₁x + b₁y + c₁ = 0
   a₂x + b₂y + c₂ = 0
এবং AX + C = 0
\(∴A=\begin{bmatrix}a_1\quad b_1\\a_2\quad b_2\end{bmatrix},\ X=\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix},\ C=\begin{bmatrix}c_1\\c_2\end{bmatrix}\)
23. নীচের বিবৃতিগুলির কোনটি মিথ্যা?
Ⓐ A. B ও C তিনটি ম্যাট্রিক্স এমন যে, CA = CB তাহলে সর্বদা A = B হবে।
Ⓑ যে-কোনো বর্গ ম্যাট্রিক্সকে একটি প্রতিসম ও একটি বিপ্রতিসম ম্যাটিক্সের সমষ্টির আকারে প্রকাশ করা যায়।
Ⓒ A ≠ 0 ও B ≠ 0 দুটি ম্যাট্রিক্স হলে AB = 0 হতে পারে, এখানে 0 দ্বারা শূন্য ম্যাট্রিক্স সূচিত হয়।
Ⓓ একটি 3×3 ক্রমের বর্গ ম্যাট্রিক্সকে একটি লম্ব ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি AA^T = A^TA = I হয়; যেখানে I হল 3×3 ক্রমের একক ম্যাট্রিক্স।
Ans:   Ⓐ A. B ও C তিনটি ম্যাট্রিক্স এমন যে, CA = CB তাহলে সর্বদা A = B হবে।
\(24.\ A=\begin{bmatrix}2\quad 3\\4\quad 5\end{bmatrix}\) হলে, \(A – A^T \) ম্যাট্রিক্সটি হবে —
    Ⓐ একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স                  Ⓑ একটি বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স
    Ⓒ একটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স             Ⓓ এদের কোনোটিই নয়
Ans:   Ⓑ একটি বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স
Solution:
\(\quad A-A^T=\begin{bmatrix}2\quad 3\\4\quad 5\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}2\quad 4\\3\quad 5\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0\quad -1\\1\quad 0\end{bmatrix}→Ⓑ\)
25. যদি A = [a_ij] একটি n ক্রমের বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স হয়, তবে —
    Ⓐ a_ij = 1/a_ij ∀ i, j      Ⓑ a_ij ≠ 0 ∀ i, j
    Ⓒ a_ij = 0 যেখানে i = j       Ⓓ a_ij ≠ 0 যেখানে i = j
Ans:   Ⓒ a_ij = 0 যেখানে i = j
Solution:
3 ক্রমের বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স \(\begin{bmatrix}0\quad 2\quad -3\\-2\quad 0\quad 4\\3\quad -4\quad 0\end{bmatrix}\)
26. যদি \(2\begin{bmatrix}x\quad 5\\7\quad y-3\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}3\quad 4\\1\quad 2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7\quad 14\\15\quad 14\end{bmatrix}\)
হয়, তবে x ও y এর মান —
  Ⓐ x = 9, y = 2 Ⓑ x = 2 , y = 9
Ⓒ x = 3 , y = 7 Ⓓ x = 7, y = 3
Ans:    Ⓑ x = 2, y = 9
Solution:
\(\ 2\begin{bmatrix}x\quad 5\\7\quad y-3\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}3\quad 4\\1\quad 2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7\quad 14\\15\quad 14\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}2x+3\quad 14\\15\quad 2y-4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7\quad 14\\15\quad 14\end{bmatrix}\)
∴ 2x + 3 = 7
বা, x = 2;
2y – 4 = 14
বা, y = 9
\(27.\ A=\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 1\\1\quad -1\quad 1\\2\quad 3\quad -1\end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}1\quad 4\quad 0\\-1\quad 2\quad 2\\0\quad 0\quad 2\end{bmatrix}\) হলে AB – 2B =
\(Ⓐ\begin{bmatrix}-3\quad 0\quad -6\\4\quad -2\quad -4\\-1\quad 14\quad 0\end{bmatrix}\ Ⓑ\begin{bmatrix}-3\quad 0\quad 6\\4\quad -2\quad -4\\-1\quad 1\quad 14\end{bmatrix}\\Ⓒ\begin{bmatrix}-3\quad 0\quad 6\\-4\quad 2\quad 4\\1\quad 14\quad 2\end{bmatrix}\ Ⓓ\begin{bmatrix}-3\quad 0\quad 6\\4\quad -2\quad -4\\-1\quad 14\quad 0\end{bmatrix}\\Ans:\ Ⓓ\begin{bmatrix}-3\quad 0\quad 6\\4\quad -2\quad -4\\-1\quad 14\quad 0\end{bmatrix}\)
Solution:    AB – 2B
\(=\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 1\\1\quad -1\quad 1\\2\quad 3\quad -1\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\quad 4\quad 0\\-1\quad 2\quad 2\\0\quad 0\quad 2\end{bmatrix}-2\begin{bmatrix}1\quad 4\quad 0\\-1\quad 2\quad 2\\0\quad 0\quad 2\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-1\quad 8\quad 6\\2\quad 2\quad 0\\-1\quad 14\quad 4\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}2\quad 8\quad 0\\-2\quad 4\quad 4\\0\quad 0\quad 4\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-3\quad 0\quad 6\\4\quad -2\quad -4\\-1\quad 14\quad 0\end{bmatrix}→ Ⓓ\)
\(28.\ A=\begin{pmatrix}1\quad 2\\-3\quad 0\end{pmatrix}\)
হলে, A² + 3A + 5I =
\(Ⓐ\begin{pmatrix}8\quad 3\\12\quad 1\end{pmatrix}\ Ⓑ\begin{pmatrix}3\quad 8\\-12\quad -1\end{pmatrix}\\Ⓒ\begin{pmatrix}3\quad 8\\12\quad 1\end{pmatrix}\ Ⓓ\begin{pmatrix}3\quad 8\\-1\quad -12\end{pmatrix}\\Ans:\ Ⓑ\begin{pmatrix}3\quad 8\\-12\quad -1\end{pmatrix}\)
Solution: A² + 3A + 5I
\(=\begin{pmatrix}1\quad 2\\-3\quad 0\end{pmatrix}×\begin{pmatrix}1\quad 2\\-3\quad 0\end{pmatrix}+3\begin{pmatrix}1\quad 2\\-3\quad 0\end{pmatrix}+5\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}-5\quad 2\\-3\quad -6\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\quad 6\\-9\quad 0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}5\quad 0\\0\quad 5\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}3\quad 8\\-12\quad -1\end{pmatrix}→Ⓑ\)
29. যদি \(A=\begin{bmatrix}1\quad 0\\-1\quad 7\end{bmatrix}\) এবং \(I=\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\)
হয়, তবে k -এর মান কত হলে A² = 8A + KI হবে?
      Ⓐ 6             Ⓑ -6               Ⓒ -7                 Ⓓ 7
Ans: Ⓒ -7
Solution: A² = 8A + KI
\(⇒\begin{bmatrix}1\quad 0\\-1\quad 7\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\quad 0\\-1\quad 7\end{bmatrix}=8\begin{bmatrix}1\quad 0\\-1\quad 7\end{bmatrix}+k\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}1\quad 0\\-8\quad 49\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}8\quad 0\\-8\quad 56\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}k\quad 0\\0\quad k\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}1\quad 0\\-8\quad 49\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}8+k\quad 0\\8\quad 56+k\end{bmatrix}\)
∴ 8 + k = 1
⇒ k = -7
30. যদি \(A=\begin{pmatrix}0\quad x\\y\quad 0\end{pmatrix}\)
এবং A³ + A = 0 হয়, তাহলে x এবং y এর মধ্যে সম্পর্ক (x, y ≠ 0) হল —
    Ⓐ xy = 1          Ⓑ x = y
    Ⓒ xy + 1 = 0         Ⓓ xy + 2 = 0
Ans: Ⓒ xy + 1 = 0
Solution:   A³ + A = 0
\(⇒\begin{pmatrix}0\quad x\\y\quad 0\end{pmatrix}×\begin{pmatrix}0\quad x\\y\quad 0\end{pmatrix}×\begin{pmatrix}0\quad x\\y\quad 0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\quad x\\y\quad 0\end{pmatrix}=0\\⇒\begin{pmatrix}xy\quad 0\\0\quad xy\end{pmatrix}×\begin{pmatrix}0\quad x\\y\quad 0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\quad x\\y\quad 0\end{pmatrix}=0\\⇒\begin{pmatrix}0\quad x^2y\\xy^2\quad 0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\quad x\\y\quad 0\end{pmatrix}=0\\⇒\begin{pmatrix}0\quad x^2y+x\\xy^2+y\quad 0\end{pmatrix}=0\)
∴ x²y + x = 0
⇒ x(xy +1) = 0
⇒ xy + 1 = 0 . . . [∵ x ≠ 0]
\(31.\ A=\begin{pmatrix}1\quad -3\quad 4\quad 2\\0\quad 5\quad -2\quad 3\end{pmatrix}\) এবং \(B=\begin{pmatrix}-5\quad 0\quad 6\quad -4\\7\quad 8\quad -2\quad 5\end{pmatrix}\)
হলে 2×4 ক্রমের X ম্যাট্রিক্স কী হবে যাতে 3A – 2X = B হয়?
\(Ⓐ\begin{pmatrix}4\quad -\frac{9}{2}\quad 3\quad 5\\\frac{7}{2}\quad \frac{7}{2}\quad -2\quad 2\end{pmatrix}\ Ⓑ\begin{pmatrix}4\quad -\frac{9}{2}\quad 3\quad 5\\-\frac{7}{2}\quad \frac{7}{2}\quad -2\quad 2\end{pmatrix}\\Ⓒ\begin{pmatrix}4\quad -\frac{9}{2}\quad 3\quad 5\\\frac{7}{2}\quad -\frac{7}{2}\quad -2\quad 2\end{pmatrix}\ Ⓓ\begin{pmatrix}4\quad -\frac{9}{2}\quad 3\quad 5\\-\frac{7}{2}\quad \frac{7}{2}\quad 2\quad -2\end{pmatrix}\\Ans:\ Ⓑ\begin{pmatrix}4\quad -\frac{9}{2}\quad 3\quad 5\\-\frac{7}{2}\quad \frac{7}{2}\quad -2\quad 2\end{pmatrix}\)
Solution: 3A – 2X = B
  ⇒ 2X = 3A – B
\(⇒2X=3\begin{pmatrix}1\quad -3\quad 4\quad 2\\0\quad 5\quad -2\quad 3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-5\quad 0\quad 6\quad -4\\7\quad 8\quad -2\quad 5\end{pmatrix}\\⇒2X=\begin{pmatrix}8\quad -9\quad 6\quad 10\\-7\quad 7\quad -4\quad 4\end{pmatrix}\\⇒X=\begin{pmatrix}4\quad -\frac{9}{2}\quad 3\quad 5\\-\frac{7}{2}\quad \frac{7}{2}\quad -2\quad 2\end{pmatrix}→ Ⓑ\)
\(32.A=\begin{pmatrix}3\quad 2\\3\quad 3\end{pmatrix}\) এবং B=\(\begin{pmatrix}1\quad -\frac{2}{3}\\-1\quad 1\end{pmatrix}\)
হলে, AB =
  Ⓐ 0   Ⓑ I   Ⓒ 2I   Ⓓ 3I
\(Solution:\ AB=\begin{pmatrix}3\quad 2\\3\quad 3\end{pmatrix}×\begin{pmatrix}1\quad -\frac{2}{3}\\-1\quad 1\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}3-2\quad -2+2\\3-3\quad -2+3\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}=I → Ⓑ\)
\(33.\ A=\begin{bmatrix}1\quad 1\\2\quad 2\\3\quad 3\end{bmatrix}\)হলে \(AA^T=\)
\(Ⓐ\begin{bmatrix}2\quad 4\quad 6\\4\quad 8\quad 10\\6\quad 12\quad 18\end{bmatrix}\ Ⓑ\begin{bmatrix}2\quad 4\quad 6\\4\quad 8\quad 12\\6\quad 10\quad 18\end{bmatrix}\\Ⓒ\begin{bmatrix}2\quad 4\quad 6\\4\quad 8\quad 10\\6\quad 10\quad 18\end{bmatrix}\ Ⓓ\begin{bmatrix}2\quad 4\quad 6\\4\quad 8\quad 12\\6\quad 12\quad 18\end{bmatrix}\)
\(Ans:\ Ⓓ\begin{bmatrix}2\quad 4\quad 6\\4\quad 8\quad 12\\6\quad 12\quad 18\end{bmatrix}\\ Solution:\ AA^T=\begin{bmatrix}1\quad 1\\2\quad 2\\3\quad 3\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\\1\quad 2\quad 3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}2\quad 4\quad 6\\4\quad 8\quad 12\\6\quad 12\quad 18\end{bmatrix}→Ⓓ\)
SEMESTER-3 Unit-2 MATRIX ALGEBRA বীজগণিত ম্যাট্রিক্সPART 1
\(34.\ A=\begin{pmatrix}2\quad -1\\-1\quad 2\end{pmatrix}\)
হলে A² – 4A + 3I =
\(Ⓐ\begin{pmatrix}2\quad 3\\6\quad 5\end{pmatrix}\ Ⓑ\begin{pmatrix}0\quad 0\\0\quad 0\end{pmatrix}\\ Ⓒ\begin{pmatrix}1\quad 2\\0\quad 1\end{pmatrix}\ Ⓓ\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}\\Ans:\ Ⓑ\begin{pmatrix}0\quad 0\\0\quad 0\end{pmatrix}\)
Solution: A² – 4A + 3I
\(=\begin{pmatrix}2\quad -1\\-1\quad 2\end{pmatrix}×\begin{pmatrix}2\quad -1\\-1\quad 2\end{pmatrix}- 4\begin{pmatrix}2\quad -1\\-1\quad 2\end{pmatrix}+3\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}5\quad -4\\-4\quad 5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}8\quad -4\\-4\quad 8\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\quad 0\\0\quad 3\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}0\quad 0\\0\quad 0\end{pmatrix}→Ⓑ\)
\(35.\ \begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\quad 3\quad2\\2\quad 5\quad 1\\15\quad 3\quad 2\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\\2\\x\end{bmatrix}=0\)
হলে x-এর মান —
Ⓐ x = 2, 7       Ⓑ x = – 2, – 14
Ⓒ x = – 2, 10        Ⓓ x = – 2, 14
Ans: Ⓑ x = – 2, – 14
Solution:
\(\ \begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\quad 3\quad2\\2\quad 5\quad 1\\15\quad 3\quad 2\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\\2\\x\end{bmatrix}=0\\⇒\begin{bmatrix}2x+16\quad 5x+6\quad x+4\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\\2\\x\end{bmatrix}=0\)
⇒ [2x + 16 + 10x + 12 + x² + 4x] = 0
⇒ [x² + 16x + 28] = 0
∴ x²+ 16x + 28 = 0
⇒ x²+ 14x + 2x + 28 = 0
⇒ (x + 14)(x + 2) = 0
∴ x = -14, -2
\(36.\ A=\begin{bmatrix}2\quad 0\quad 1\\1\quad 0\quad -1\\0\quad -1\quad 1\end{bmatrix}\)
হলে A² – 4A + 3I =
\(Ⓐ\begin{bmatrix}-1\quad -1\quad 1\\2\quad 4\quad 4\\-1\quad 3\quad 1\end{bmatrix}\ Ⓑ\begin{bmatrix}-1\quad -1\quad -1\\-2\quad 4\quad 4\\-1\quad 3\quad 1\end{bmatrix}\\Ⓒ\begin{bmatrix}-1\quad -1\quad -1\\-2\quad 4\quad 4\\-1\quad -3\quad 1\end{bmatrix}\)Ⓓ এদের কোনোটিই নয় \(\\Ans:\ Ⓑ\begin{bmatrix}-1\quad -1\quad -1\\-2\quad 4\quad 4\\-1\quad 3\quad 1\end{bmatrix}\)
Solution: A² – 4A + 3I
\(=\begin{bmatrix}2\quad 0\quad 1\\1\quad 0\quad -1\\0\quad -1\quad 1\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}2\quad 0\quad 1\\1\quad 0\quad -1\\0\quad -1\quad 1\end{bmatrix}-4\begin{bmatrix}2\quad 0\quad 1\\1\quad 0\quad -1\\0\quad -1\quad 1\end{bmatrix}+3\begin{bmatrix}1\quad 0\quad 0\\0\quad 1\quad 0\\0\quad 0\quad 1\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}4\quad -1\quad 3\\2\quad 1\quad 0\\-1\quad -1\quad 2\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}8\quad 0\quad 4\\4\quad 0\quad -4\\0\quad -4\quad 4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}3\quad 0\quad 0\\0\quad 3\quad 0\\0\quad 0\quad 3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}-1\quad -1\quad -1\\-2\quad 4\quad 4\\-1\quad 3\quad 1\end{bmatrix}→ Ⓑ\)
37. প্রদত্ত \(A=\begin{bmatrix}1\quad 0\quad 0\\0\quad -1\quad 0\\0\quad 0\quad 1\end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}2\quad x\quad x\\x\quad 4\quad 5\\x\quad 6\quad 7\end{bmatrix}\)
x-এর যে মানের জন্য AB = BA হবে, তা হল —
    Ⓐ 0        Ⓑ 1        Ⓒ 2           Ⓓ 3
Ans: Ⓐ   0
Solution: AB = BA
\(⇒\begin{bmatrix}1\quad 0\quad 0\\0\quad -1\quad 0\\0\quad 0\quad 1\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}2\quad x\quad x\\x\quad 4\quad 5\\x\quad 6\quad 7\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\quad x\quad x\\x\quad 4\quad 5\\x\quad 6\quad 7\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\quad 0\quad 0\\0\quad -1\quad 0\\0\quad 0\quad 1\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}2\quad x\quad x\\-x\quad -4\quad -5\\-x\quad -6\quad -7\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\quad -x\quad -x\\x\quad -4\quad -5\\x\quad -6\quad -7\end{bmatrix}\)
∴ x= – x
⇒ 2x = 0
⇒ x = 0
\(38.\ A=\begin{bmatrix}1\quad x\quad -2\\2\quad 2\quad 4\\0\quad 0\quad 2\end{bmatrix}\)
এবং A² + 2I₃ = 3A হলে x-এর মান (l₃ হল 3 ক্রমের একক ম্যাট্রিক্স) —
      Ⓐ 0       Ⓑ 1       Ⓒ 2         Ⓓ 3
Ans: Ⓐ   0
Solution: A² + 2I₃ = 3A
\(⇒\begin{bmatrix}1\quad x\quad -2\\2\quad 2\quad 4\\0\quad 0\quad 2\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\quad x\quad -2\\2\quad 2\quad 4\\0\quad 0\quad 2\end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}1\quad 0\quad 0\\0\quad 1\quad 0\\0\quad 0\quad 1\end{bmatrix}=3\begin{bmatrix}1\quad x\quad -2\\2\quad 2\quad 4\\0\quad 0\quad 2\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}2x+1\quad 3x\quad 4x-6\\6\quad 2x+4\quad 12\\0\quad 0\quad 4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}2\quad 0\quad 0\\0\quad 2\quad 0\\0\quad 0\quad 2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\quad 3x\quad -6\\6\quad 6\quad 12\\0\quad 0\quad 6\end{bmatrix} \\⇒\begin{bmatrix}2x+3\quad 3x\quad 4x-6\\6\quad 2x+6\quad 12\\0\quad 0\quad 6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\quad 3x\quad -6\\6\quad 6\quad 12\\0\quad 0\quad 6\end{bmatrix}\)
∴ 2x + 3 = 3
⇒ x = 0
\(39.A=\begin{bmatrix}0\quad -tan\frac{α}{2}\\tan\frac{α}{2}\quad 0\end{bmatrix}\)
এবং 2 ক্রমের একক ম্যাট্রিক্স I হলে, I + A = (I – A)K যেখানে
\(Ⓐ\begin{bmatrix}cosα\quad sinα\\-sinα\quad cosα\end{bmatrix}\ Ⓑ\begin{bmatrix}sinα\quad -cosα\\sinα\quad cosα\end{bmatrix}\\Ⓒ\begin{bmatrix}cosα\quad -sinα\\sinα\quad cosα\end{bmatrix}\ Ⓓ\begin{bmatrix}sinα\quad sin2α\\cosα\quad cos2α\end{bmatrix}\\Ans:\ Ⓒ\begin{bmatrix}cosα\quad -sinα\\sinα\quad cosα\end{bmatrix}\)
Solution: I + A = (I – A)K
\(\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\quad -tan\frac{α}{2}\\tan\frac{α}{2}\quad 0\end{bmatrix}=\left( \begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}0\quad -tan\frac{α}{2}\\tan\frac{α}{2}\quad 0\end{bmatrix} \right)k\\⇒\begin{bmatrix}1\quad -tan\frac{α}{2}\\tan\frac{α}{2}\quad 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\quad tan\frac{α}{2}\\-tan\frac{α}{2}\quad 1\end{bmatrix}k\)
\(⇒\begin{bmatrix}1\quad -tan\frac{α}{2}\\tan\frac{α}{2}\quad 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\quad tan\frac{α}{2}\\-tan\frac{α}{2}\quad 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\quad b\\c\quad d\end{bmatrix}(let)\\⇒\begin{bmatrix}1\quad -tan\frac{α}{2}\\tan\frac{α}{2}\quad 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a+ctan\frac{α}{2}\quad b+dtan\frac{α}{2}\\-atan\frac{α}{2}+c\quad -btan\frac{α}{2}+d\end{bmatrix}\)
∴ a + c tan ^α/₂ = 1 . . . . (i)
b + d tan ^α/₂ = -tan ^α/₂ . . . . (ii)
c – a tan ^α/₂ = tan ^α/₂ . . . . (iii)
d – b tan ^α/₂ – 1 . . . . (iv)
(i)×tan ^α/₂ + (iii) করে পাই,
a tan ^α/₂ + c tan² ^α/₂ + c – a tan ^α/₂ = tan ^α/₂ + tan ^α/₂
⇒ c(1 + tan² ^α/₂) = 2tan ^α/₂
⇒ c sec² ^α/₂ = 2tan ^α/₂
\(⇒c=\frac{sin\frac{α}{2}}{cos\frac{α}{2}}×cos^2\frac{α}{2}\\⇒c=2sin\frac{α}{2}×cos\frac{α}{2}\\⇒c=2sin2.\frac{α}{2}=sinα\)
∴ Option Ⓐ, Ⓓ → ভুল এবং Ⓑ অথবা Ⓒ ঠিক
(i) থেকে পাই,
\(\quad a+sinα.tan\frac{α}{2}=1\\⇒a=1-2sin\frac{α}{2}.cos\frac{α}{2}.\frac{sin\frac{α}{2}}{cos\frac{α}{2}}\\⇒a=1-2sin^2\frac{α}{2}=cos2.\frac{α}{2}=cosα\)
Click here to visit our Facebook
Analytical/Skill Based Type
Fill in the Blanks
1. A ও B দুটি ম্যাট্রিক্সের জন্য AB = A এবং BA = B হলে B = ___________
     Ⓐ B²    Ⓑ I     Ⓒ A      Ⓓ 0
Ans:    Ⓐ B²
Solution: B = BA = B(AB) = (BA)B = B.B = B²
2. (AB)^t = ___________
      Ⓐ B^tA^t      Ⓑ A^tB^t      Ⓒ A^tB      Ⓓ B^tA
Ans:    Ⓐ B^tA^t
3. যদি \(A=\begin{bmatrix}0\quad 7\\0\quad 0\end{bmatrix}\) এবং \(f(x)=1+x+x^2+ ….. + x^{20}\)
     হয়, তবে 3. f(A) = ___________
\(Ⓐ\quad 0\quad Ⓑ\begin{bmatrix}1\quad 7\\ 0\quad 0\end{bmatrix}\\Ⓒ\begin{bmatrix}1\quad 7\\ 0\quad 1\end{bmatrix}\ Ⓓ\begin{bmatrix}0\quad 7\\ 1\quad 1\end{bmatrix}\\Ans:\ Ⓒ\begin{bmatrix}1\quad 7\\ 0\quad 1\end{bmatrix}\)
Solution: f(A)= 1 + A + A² + . . . . . + A²⁰
\(A^2=\begin{bmatrix}0\quad 7\\ 0\quad 0\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}0\quad 7\\ 0\quad 0\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}0\quad 0\\ 0\quad 0\end{bmatrix}=0\\∴ f(A)= 1.I +\begin{bmatrix}0\quad 7\\ 0\quad 0\end{bmatrix} + 0 +. . . . . + 0\\=\begin{bmatrix}1\quad 0\\ 0\quad 1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\quad 7\\ 0\quad 0\end{bmatrix}\\= \begin{bmatrix}1\quad 7\\ 0\quad 1\end{bmatrix}→Ⓒ\)
4. যদি \(A=\begin{pmatrix}2\quad 4\\5\quad 6\end{pmatrix}\) এবং \(B=\begin{pmatrix}3\quad 6\\5\quad 9\end{pmatrix}\)
, তবে 2×2 ক্রমের বর্গ ম্যাট্রিক্স X = ___________ যখন 3A + 4B = 2X হয়
\(Ⓐ\begin{pmatrix}9\quad 18\\35\quad 27\end{pmatrix}Ⓑ\begin{pmatrix}9\quad 18\\\frac{35}{2}\quad 17\end{pmatrix}\\Ⓒ\begin{pmatrix}9\quad 18\\\frac{35}{2}\quad 27\end{pmatrix}Ⓓ\begin{pmatrix}18\quad 9\\\frac{35}{2}\quad 27\end{pmatrix}\\Ans:\ Ⓒ\begin{pmatrix}9\quad 18\\\frac{35}{2}\quad 27\end{pmatrix}\)
Solution: 3A + 4B = 2X
\(⇒ 3\begin{pmatrix}2\quad 4\\5\quad 6\end{pmatrix}+4\begin{pmatrix}3\quad 6\\5\quad 9\end{pmatrix}=2X\\⇒\begin{pmatrix}6\quad 12\\15\quad 18\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}12\quad 24\\20\quad 36\end{pmatrix}=2X\\⇒\begin{pmatrix}18\quad 36\\35\quad 54\end{pmatrix}=2X\\⇒\begin{pmatrix}9\quad 18\\\frac{35}{2}\quad 27\end{pmatrix}=X\)
\(5.A=\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}\)
হলে AA^T = ___________
\(Ⓐ\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\\2\quad 4\quad 6\\3\quad 6\quad 9\end{bmatrix}\ Ⓑ\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\\4\quad 2\quad 6\\3\quad 6\quad 9\end{bmatrix}\\Ⓒ\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\\3\quad 6\quad 9\\2\quad 4\quad 6\end{bmatrix}Ⓓ\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\\2\quad 4\quad 6\\9\quad 6\quad 3\end{bmatrix}\\Ans:\ Ⓐ\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\\2\quad 4\quad 6\\3\quad 6\quad 9\end{bmatrix}\)
\(Solution:\\AA^T =\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\end{bmatrix}\\= \begin{bmatrix}1\quad 2\quad 3\\2\quad 4\quad 6\\3\quad 6\quad 9\end{bmatrix} → Ⓐ\)
\(6.A=\begin{pmatrix}2\\3\\-1\end{pmatrix}\) এবং \(B=\begin{pmatrix}3\quad 5\quad 7\end{pmatrix}\)
হলে AB = ___________
\(Ⓐ\begin{bmatrix}6\quad 10\quad 14\\19\quad 15\quad 21\\3\quad -5\quad 7\end{bmatrix}\quad Ⓑ\begin{bmatrix}6\quad 10\quad 14\\9\quad 15\quad 21\\-3\quad -5\quad -7\end{bmatrix}\\Ⓒ\begin{bmatrix}6\quad 10\quad 14\\19\quad 15\quad 21\\3\quad 5\quad 7\end{bmatrix}\)Ⓓ এদের কোনোটিই নয়\(\\Ans:\ Ⓑ\begin{bmatrix}6\quad 10\quad 14\\9\quad 15\quad 21\\-3\quad -5\quad -7\end{bmatrix}\)
\(Solution:\\AB =\begin{bmatrix}2\\3\\-1\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}3\quad 5\quad 7\end{bmatrix}\\= \begin{bmatrix}6\quad 10\quad 14\\9\quad 15\quad 21\\-3\quad -5\quad -7\end{bmatrix} → Ⓑ\)
\(7.P=\begin{bmatrix}2\quad -2\quad -4\\-1\quad 3\quad 4\\1\quad -2\quad -3\end{bmatrix}\)
হলে p² = ___________
Ⓐ -P Ⓑ P Ⓒ 0 Ⓓ I
Ans: Ⓑ P
Solution:
\(P^2=\begin{bmatrix}2\quad -2\quad -4\\-1\quad 3\quad 4\\1\quad -2\quad -3\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}2\quad -2\quad -4\\-1\quad 3\quad 4\\1\quad -2\quad -3\end{bmatrix}\\=\begin{bmatrix}2\quad -2\quad -4\\-1\quad 3\quad 4\\1\quad -2\quad -3\end{bmatrix}→ Ⓑ\)
8. α – β = = (2n + 1)^π/₂ , n ∈ Z হলে,
\(\quad \begin{pmatrix}cos^2α\quad cosα sinα\\cosα sinα\quad sin^2α\end{pmatrix}\) এবং \(\quad \begin{pmatrix}cos^2β\quad cosβ sinβ\\cosβ sinβ\quad sin^2β\end{pmatrix}\)
ম্যাট্রিক্স দুটির গুণফল হবে ___________
Ⓐ I            Ⓑ 0
Ⓒ (cos² α + sin² β)             Ⓓ (sin² α + cos² β)
Ans:   Ⓑ   0
Solution:
\(\quad \begin{pmatrix}cos^2α\quad cosα sinα\\cosα sinα\quad sin^2α\end{pmatrix}×\begin{pmatrix}cos^2β\quad cosβ sinβ\\cosβ sinβ\quad sin^2β\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}cos^2αcos^2β+cos α sin α cos β sin β\quad cos^2αcosβsinβ+cosαsinαsin^2β\\cosαsinαcos^2β+sin^2αcosβsinβ\quad cosαsinαcosβsinβ+sin^2αsin^2β\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}cosαcosβ(cosαcosβ+sinαsinβ)\quad cosαsinβ(cosαcosβ+sinαsinβ)\\sinαcosβ(cosαcosβ+sinαsinβ)\quad sinαsinβ(cosαcosβ+sinαsinβ)\end{pmatrix}\)
\(=\begin{pmatrix}cosαcosβcos⁡(α-β)\quad cosαsinβcos⁡(α-β)\\sinαcosβcos⁡(α-β)\quad sinαsinβcos⁡(α-β)\end{pmatrix}\\=cos⁡(α-β)\begin{pmatrix}cosαcosβ\quad cosαsinβ\\sinαcosβ\quad sinαsinβ\end{pmatrix}\\=cos⁡(2n + 1)\frac{π}{2}\begin{pmatrix}cosαcosβ\quad cosαsinβ\\sinαcosβ\quad sinαsinβ\end{pmatrix}\\=cos⁡(nπ+\frac{π}{2})\begin{pmatrix}cosαcosβ\quad cosαsinβ\\sinαcosβ\quad sinαsinβ\end{pmatrix}\\=±cos⁡\frac{π}{2}\begin{pmatrix}cosαcosβ\quad cosαsinβ\\sinαcosβ\quad sinαsinβ\end{pmatrix}\\=0\begin{pmatrix}cosαcosβ\quad cosαsinβ\\sinαcosβ\quad sinαsinβ\end{pmatrix}=0 → Ⓑ\)
\(9.A=\begin{pmatrix}1\quad 4\\2\quad 3\end{pmatrix}\)
হলে, A² – 4A – ___________ I = 0
যেখানে \(I=\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}\) এবং \(0=\begin{pmatrix}0\quad 0\\0\quad 0\end{pmatrix}\)
   Ⓐ -5           Ⓑ 3            Ⓒ 5            Ⓓ -3
Ans:    Ⓒ 5
Solution:
\(A^2-4A=\begin{pmatrix}1\quad 4\\2\quad 3\end{pmatrix}×\begin{pmatrix}1\quad 4\\2\quad 3\end{pmatrix}-4\begin{pmatrix}1\quad 4\\2\quad 3\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}9\quad 16\\8\quad 17\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\quad 16\\8\quad 12\end{pmatrix}\\=\begin{pmatrix}5\quad 0\\0\quad 5\end{pmatrix}\\=5\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}=5I\)
\(10.X^2=\begin{bmatrix}3\quad -2\\4\quad -2\end{bmatrix}\)
হলে K-এর মান ___________ হলে A² = KA – 2I₂ হবে।
Ⓐ 1     Ⓑ 2     Ⓒ 3     Ⓓ 4
Ans:    Ⓐ 1
Solution: A² = KA – 2I₂
\(⇒\begin{bmatrix}3\quad -2\\4\quad -2\end{bmatrix}×\begin{bmatrix}3\quad -2\\4\quad -2\end{bmatrix}=k\begin{bmatrix}3\quad -2\\4\quad -2\end{bmatrix}-2\begin{bmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{bmatrix}\\⇒\begin{bmatrix}1\quad -2\\4\quad -4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3k-2\quad -2k\\4k\quad -2k-2\end{bmatrix}\)
∴ 3k – 2 = 1
⇒ 3k = 3   ⇒ k = 1
এই প্রশ্নমালার পরবর্তী অঙ্কগুলির জন্য PART 2 দেখো →
← INVERSE FUNCTION বিপরীত অপেক্ষক
MATHEMATICS 2026 SEMESTER 3 SOLUTION
May 20, 2026

Author: TEAM PROSTUTI

SEMESTER-3 Unit-2 MATRIX ALGEBRA বীজগণিত ম্যাট্রিক্স

হলে 3A2 – 2B + I = ___________

হলে A2 – 5A – 14I = ___________

এবং f(x) = x2 – 2x – 3 হলে f(A) = ___________ Ⓐ I Ⓑ A2 Ⓒ 0 Ⓓ A3 Ans: Ⓒ 0Solution: f(x) = x2 – 2x – 3∴ f(A) = A2 – 2A – 3I

হলে সব n ∈ N এর জন্য An = ___________

Column Matching ______

Question No. 2(Column Matching).

হলে বাম দিকের স্তম্ভের সঙ্গে ডান দিকের স্তম্ভ মেলাও।

এবং A + B = BC হলে স্তম্ভ A-এর সঙ্গে স্তম্ভ B মেলাও।

5. স্তম্ভ A -এর সঙ্গে স্তম্ভ B মেলাও।

Rearrangement of Sentences/Events ______

2. মনে করো, f(x) = 2x2 + 3x + 5 এবং

বিবৃতি-A: AB ≠ 0 বিবৃতি-B: BA = 0Ans: Ⓓ বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পর নির্ভরশীল নয়।

6. বিবৃতি-I(A): A, B ও C-এর প্রত্যেকটি 2×2 ক্রমের ম্যাট্রিক্স এমন যে, AB = AC তাহলে B = C হবে।

∴ 2 + y = 5 ⇒ y = 3 2x + 2 = 8 ⇒ x= 3

বিবৃতি-I: (A + B)’ = A’ + B’বিবৃতি-II: (A – B)’ = A’ – B’

7. a1x + b1y + c1z = k1, a2x + b2y + c2z = k2 এবং a3x + b3y + c3z = k3 সমীকরণত্রয়ের ম্যাট্রিক্স সমীকরণ হল AX = B

বিবৃতি-1: x = 1, y = z = – 1বিবৃতি-II: x = y = 1 z = – 1

বিবৃতি-I: a = 1, b = 4বিবৃতি-II: a = -1, b = -4

Case Based

[i] x =Ⓐ 3 Ⓑ 4 Ⓒ 2 Ⓓ -2Ans: Ⓒ 2[ii] z =Ⓐ 2 Ⓑ 3 Ⓒ 4 Ⓓ 1Ans: Ⓑ 3[iii] x + y – z =Ⓐ 1 Ⓑ 2 Ⓒ 3 Ⓓ Ans: Ⓒ 3[Solution:∴ x + y + z = 9; z + x = 5; y + z = 7 x = 9 – 7 = 2, y = 9 – 5 = 4, z = 7 – 4 = 3,∴ x + y – z = 2 + 4 – 3 = 3]

[i] x -এর মান — Ⓐ 2 Ⓑ 3 Ⓒ 8 Ⓓ -8Ans: Ⓒ 8[ii] y -এর মান — Ⓐ 8 Ⓑ 4 Ⓒ -4 Ⓓ -8Ans: Ⓐ 8

[i] a -এর মান হবেⒶ 2 Ⓑ -2 Ⓒ 1 Ⓓ -1Ans: Ⓒ 1[ii] b3 = Ⓐ 1 Ⓑ -1 Ⓒ 8 Ⓓ -8Ans: Ⓓ -8[iii] 2a + cⒶ 0 Ⓑ 8 Ⓒ 10 Ⓓ 6Ans: Ⓐ 0

SEMESTER-3 Unit-2 MATRIX ALGEBRA বীজগণিত ম্যাট্রিক্সPART 1

5. যদি A = [aij] একটি 2×2 ক্রমের ম্যাটিক্স হয়, যেখানে aij = 1/2(i + 2j)2 তবে A হবে-

8. যদি A একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স হয়, তবে A2 হবে —

হয়, তবে (A – 2I)(A – 3I) হবে — [যেখানে । দ্বিতীয় ক্রমের একক ম্যাট্রিক্স] Ⓐ A Ⓑ I Ⓒ 0 Ⓓ 5IAns: Ⓒ 0Solution: (A – 2I)(A – 3I)

17. একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স A এরূপ যে A2 = A তবে (I + A)3 – 7A এর মান হবে — Ⓐ A Ⓑ I – A Ⓒ I Ⓓ 3AAns: Ⓒ I

20. A = [1 2 3] হলে AAT হবে — Ⓐ [12] Ⓑ [13] Ⓒ [14] Ⓓ [16]Ans: Ⓒ [14]Solution:

22. a1x + b1y + c1 = 0 এবং a2x + b2y + c2 = 0 সমীকরণদ্বয়ের ম্যাট্রিক্স সমীকরণ হল AX + C = 0 যেখানে —

হলে, A2 + 3A + 5I =

হলে 2×4 ক্রমের X ম্যাট্রিক্স কী হবে যাতে 3A – 2X = B হয়?

হলে, AB = Ⓐ 0 Ⓑ I Ⓒ 2I Ⓓ 3I

হলে A2 – 4A + 3I =

হলে x-এর মান — Ⓐ x = 2, 7 Ⓑ x = – 2, – 14 Ⓒ x = – 2, 10 Ⓓ x = – 2, 14Ans: Ⓑ x = – 2, – 14Solution:

হলে A2 – 4A + 3I =

1. A ও B দুটি ম্যাট্রিক্সের জন্য AB = A এবং BA = B হলে B = ___________ Ⓐ B2 Ⓑ I Ⓒ A Ⓓ 0

, তবে 2×2 ক্রমের বর্গ ম্যাট্রিক্স X = ___________ যখন 3A + 4B = 2X হয়

8. α – β = = (2n + 1)π/2 , n ∈ Z হলে,

হলে K-এর মান ___________ হলে A2 = KA – 2I2 হবে। Ⓐ 1 Ⓑ 2 Ⓒ 3 Ⓓ 4Ans: Ⓐ 1Solution: A2 = KA – 2I2

হলে 3A² – 2B + I = ___________

হলে A² – 5A – 14I = ___________

এবং f(x) = x² – 2x – 3 হলে f(A) = ___________
Ⓐ I Ⓑ A²Ⓒ 0 Ⓓ A³
Ans: Ⓒ 0
Solution: f(x) = x² – 2x – 3
∴ f(A) = A² – 2A – 3I

হলে সব n ∈ N এর জন্য Aⁿ = ___________

2. মনে করো, f(x) = 2x² + 3x + 5 এবং

বিবৃতি-A: AB ≠ 0 বিবৃতি-B: BA = 0
Ans: Ⓓ বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পর নির্ভরশীল নয়।

∴ 2 + y = 5 ⇒ y = 3
2x + 2 = 8 ⇒ x= 3

বিবৃতি-I: (A + B)’ = A’ + B’
বিবৃতি-II: (A – B)’ = A’ – B’

7. a₁x + b₁y + c₁z = k₁, a₂x + b₂y + c₂z = k₂ এবং a₃x + b₃y + c₃z = k₃ সমীকরণত্রয়ের ম্যাট্রিক্স সমীকরণ হল AX = B

বিবৃতি-1: x = 1, y = z = – 1
বিবৃতি-II: x = y = 1 z = – 1

বিবৃতি-I: a = 1, b = 4
বিবৃতি-II: a = -1, b = -4

[i] x =
Ⓐ 3 Ⓑ 4 Ⓒ 2 Ⓓ -2
Ans: Ⓒ 2

[ii] z =
Ⓐ 2 Ⓑ 3 Ⓒ 4 Ⓓ 1
Ans: Ⓑ 3

[iii] x + y – z =
Ⓐ 1 Ⓑ 2 Ⓒ 3 Ⓓ
Ans: Ⓒ 3
[Solution:
∴ x + y + z = 9; z + x = 5; y + z = 7
x = 9 – 7 = 2,
y = 9 – 5 = 4,
z = 7 – 4 = 3,
∴ x + y – z
= 2 + 4 – 3 = 3]

[i] x -এর মান —
Ⓐ 2 Ⓑ 3 Ⓒ 8 Ⓓ -8
Ans: Ⓒ 8

[ii] y -এর মান —
Ⓐ 8 Ⓑ 4 Ⓒ -4 Ⓓ -8
Ans: Ⓐ 8

[i] a -এর মান হবে
Ⓐ 2 Ⓑ -2 Ⓒ 1 Ⓓ -1
Ans: Ⓒ 1

[ii] b³ =
Ⓐ 1 Ⓑ -1 Ⓒ 8 Ⓓ -8
Ans: Ⓓ -8

[iii] 2a + c
Ⓐ 0 Ⓑ 8 Ⓒ 10 Ⓓ 6
Ans: Ⓐ 0

5. যদি A = [a_ij] একটি 2×2 ক্রমের ম্যাটিক্স হয়, যেখানে a_ij = ¹/₂(i + 2j)² তবে A হবে-

8. যদি A একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স হয়, তবে A² হবে —

হয়, তবে (A – 2I)(A – 3I) হবে — [যেখানে । দ্বিতীয় ক্রমের একক ম্যাট্রিক্স]
Ⓐ A Ⓑ I Ⓒ 0 Ⓓ 5I
Ans: Ⓒ 0
Solution: (A – 2I)(A – 3I)

17. একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স A এরূপ যে A² = A তবে (I + A)³ – 7A এর মান হবে —
Ⓐ A Ⓑ I – A
Ⓒ I Ⓓ 3A
Ans: Ⓒ I

20. A = [1 2 3] হলে AA^T হবে —
Ⓐ [12] Ⓑ [13]
Ⓒ [14] Ⓓ [16]
Ans: Ⓒ [14]
Solution:

22. a₁x + b₁y + c₁ = 0 এবং a₂x + b₂y + c₂ = 0 সমীকরণদ্বয়ের ম্যাট্রিক্স সমীকরণ হল AX + C = 0 যেখানে —

হলে, A² + 3A + 5I =

হলে, AB =
Ⓐ 0 Ⓑ I Ⓒ 2I Ⓓ 3I

হলে A² – 4A + 3I =

হলে x-এর মান —
Ⓐ x = 2, 7 Ⓑ x = – 2, – 14
Ⓒ x = – 2, 10 Ⓓ x = – 2, 14
Ans: Ⓑ x = – 2, – 14
Solution:

হলে A² – 4A + 3I =

1. A ও B দুটি ম্যাট্রিক্সের জন্য AB = A এবং BA = B হলে B = ___________
Ⓐ B² Ⓑ I Ⓒ A Ⓓ 0

8. α – β = = (2n + 1)^π/₂ , n ∈ Z হলে,

হলে K-এর মান ___________ হলে A² = KA – 2I₂ হবে।
Ⓐ 1 Ⓑ 2 Ⓒ 3 Ⓓ 4
Ans: Ⓐ 1
Solution: A² = KA – 2I₂