Author: TEAM PROSTUTI

সমবাহু ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রই(G) হলো অন্তর্বৃত্তের কেন্দ্র।
চিত্রে GD হলো অন্তর্বৃত্তের ব্যাসার্ধ এবং AD হলো সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা।
ধরি সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা = h একক ।
এখানে GD =√13
∴ ¹/₃AD = GD
বা, ¹/₃.h = √13
বা, h = 3√13
সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা = ^√3/₂×a . . .  [বাহুর দৈর্ঘ্য = a]
∴ ^√3/₂×a = 3√13
বা, a = ^2×3√13/_√3
বা, a = 2×√3×√13
সমবাহু ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল
= ^√3/₄×a²
= ^√3/₄×(2√3×√13)²
⇒ ^√3/₄×4×3×13
= 39√3
Ans: ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 39√3বর্গএকক

16. (ii) যে সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি x² + y² – 4x – 6y – 23 = 0 বৃত্তের পরিধির ওপর অবস্থিত তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

Solution: x² + y² – 4x – 6y – 23 = 0
বা, x² – 2.x.2 + 2² + y² – 2.3.y + 3² – 4 – 9 – 23 = 0
বা, (x – 2)² + (y – 3)² = 36 = (6)²
∴ বৃত্তের পরিধির ওপর অবস্থিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
= ^3√3/₄.r² .  .  [যেখানে r বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
= ^3√3/₄.(6)²
= = ^3√3/₄.36 = 27√3
Ans: বৃত্তের পরিধির ওপর অবস্থিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 27√3বর্গএকক

Click here to visit our Facebook

বর্ণনামূলক প্রশ্নাবলি        প্রতিটি প্রশ্নের মান 3

1. একটি বৃত্তের কেন্দ্র (2, -4) বিন্দুতে এবং তা x² + y² – 2x + 2y – 38 = 0 বৃত্তের কেন্দ্রগামী; বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution: যে বৃত্তেরকেন্দ্র (2, -4) ধরি তার সমীকরণ (x – 2)² + (y + 4)² = r² . . .  (i)
x² + y² – 2x + 2y – 38 = 0 বৃত্তের কেন্দ্র (1, -1)
(i) নং বৃত্ত (1, -1) বিন্দুগামী।
∴ (1 – 2)² + (-1 + 4)² = r²
বা, 1 + 9 = r²
বা, r² = 10
(i) নং থেকে পাই,
(x – 2)² + (y + 4)² = 10
বা, x² – 4x + 4 + y² + 8y + 16 = 10
বা, x² + y² – 4x + 8y + 10 = 0
Ans: নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ:
x² + y² – 4x + 8y + 10 = 0

2. (2, -2) বিন্দুগামী এবং x² + y² – 4x + 6y + 4 = 0 বৃত্তের সঙ্গে এককেন্দ্রীয় বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় করো। বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত?

Solution: x² + y² – 4x + 6y + 4 = 0 বৃত্তের কেন্দ্র (2, -3)
ধরি, প্রদত্ত বৃত্তের সঙ্গে এককেন্দ্রীয় বৃত্তের সমীকরণ (x – 2)² + (y + 3)² = r² . . .  (i)
(i) নং বৃত্ত (2, -2) বিন্দুগামী।
∴ (2 – 2)² + (-2 + 3)² = r²
বা, 0 + 1 = r²
বা, r² = 1
(i) নং থেকে পাই,
(x – 2)² + (y + 3)² = 1
বা, x² – 4x + 4 + y² + 6y + 9 = 1
বা, x² + y² – 4x + 6y + 12 = 0
Ans: নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ:
x² + y² – 4x + 6y + 12 = 0
বৃত্তটির ব্যাসার্ধ 1 একক

3. x² + y² + 4x – 6y – 13 = 0 বৃত্তের সঙ্গে এককেন্দ্রীয় এবং x² + y² – 8x – 10y – 8 = 0 বৃত্তের কেন্দ্রগামী বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution: x² + y² + 4x – 6y – 13 = 0 বৃত্তের কেন্দ্র (-2, 3)
ধরি, x² + y² + 4x – 6y – 13 = 0 বৃত্তের সঙ্গে এককেন্দ্রীয় বৃত্তের সমীকরণ:
(x + 2)² + (y – 3)² = r² . . .  (i)
x² + y² – 8x – 10y – 8 = 0 বৃত্তের কেন্দ্র (4, 5)
(i) নং বৃত্ত (4, 5) বিন্দুগামী।
∴ (4 + 2)² + (5 – 3)² = r²
বা, 36 + 4 = r²
বা, r² = 40
(i) নং থেকে পাই,
(x + 2)² + (y – 3)² = 40
বা, x² + 4x + 4 + y² – 6y + 9 = 40
বা, x² + y² + 4x – 6y – 27 = 0
Ans: নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ:
x² + y² + 4x – 6y – 27 = 0

4. x² + y² + 2x + 2y – 23 = 0 বৃত্তের কেন্দ্রগামী যে সরলরেখাটি x – y + 8 = 0 সরলরেখার ওপর লম্ব, তার সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution: x² + y² + 2x + 2y – 23 = 0 বৃত্তের কেন্দ্র (-1, -1)
x – y + 8 = 0 সরলরেখার ওপর লম্ব সরলরেখার সমীকরণ x + y + k = 0 . . .  (i)
(i) নং সরলরেখা (-1, -1) বিন্দুগামী।
∴ -1 – 1 + k = 0
বা, k = 2
 (i) নং সমীকরণে k = 2 বসিয়ে পাই,
x + y + 2 = 0
Ans:  লম্ব সরলরেখার সমীকরণ x + y + 2 = 0

5.(i) প্রদত্ত বিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় করো: (0, 0), (1, 2), (2, 0)

Solution: ধরি (0, 0), (1, 2) এবং (2, 0) বিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ:
x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 . . .  (i)
∴ 0² + 0² + 2g.0 + 2f.0 + c = 0
বা, c = 0
এবং 1² + 2² + 2g.1 + 2f.2 + c = 0
বা, 1 + 4 + 2g + 4f + 0 = 0 . . . [∵ c = 0]
বা, 2g + 4f + 5 = 0 . . .  (ii)
আবার 2² + 0² + 2g.2 + 2f.0 + 0 = 0 . . . [∵ c = 0]
বা, 4 + 4g = 0
বা, g = -1
(ii) নং থেকে পাই,
2(-1) + 4f + 5 = 0
বা, 4f + 3 = 0
বা, f = –³/₄
∴ বৃত্তের সমীকরণ:
x² + y² + 2.(-1)x + 2.(-³/₄)y + 0 = 0
বা, x² + y² – 2x – ³/₂y = 0
বা, 2x² + 2y² – 4x – 3y = 0
Ans:  বৃত্তের সমীকরণ: 2x² + 2y² – 4x – 3y = 0

5. (ii) প্রদত্ত বিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় করো: (2, -1), (2, 3), (4, -1)

Solution: ধরি (2, -1), (2, 3) এবং (4, -1) বিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ:
x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 . . .  (i)
∴ 2² + (-1)² + 2g.2 + 2f.(-1) + c = 0
বা, 4 + 1 + 4g – 2f + c = 0
বা, 4g – 2f + 5 + c = 0 . . .  (ii)
এবং 2² + 3² + 2g.2 + 2f.3 + c = 0
বা, 4 + 9 + 4g + 6f + c = 0
বা, 4g + 6f + 13 + c = 0 . . .  (iii)
আবার 4² + (-1)² + 2g.4 + 2f.(-1) + c = 0
বা, 16 + 1 + 8g – 2f + c = 0
বা, 8g – 2f + 17 + c = 0 . . .  (iv)
(ii) – (iii) করে পাই,
4g – 2f + 5 + c – (4g + 6f + 13 + c) = 0
বা, 4g – 2f + 5 + c – 4g – 6f – 13 – c = 0
বা, -8f – 8 = 0
⇒ f = -1
(iii) – (iv) করে পাই,
4g + 6f + 13 + c – (8g – 2f + 17 + c) = 0
বা, 4g + 6f + 13 + c – 8g + 2f – 17 – c = 0
বা, -4g + 8f – 4 = 0
⇒ -4g + 8.(-1) – 4 = 0 . . . [∵ f = -1]
বা, -4g – 12 = 0
বা, g = -3
(ii) নং থেকে পাই,
4(-3) – 2(-1) + 5 + c = 0
বা, -12 + 2 + 5 + c = 0
বা, c = 5
∴ বৃত্তের সমীকরণ:
x² + y² + 2.(-3)x + 2.(-1)y + 5 = 0
বা, x² + y² – 6x – 2y + 4 = 0
Ans: বৃত্তটির সমীকরণ x² + y² – 6x – 2y + 4 = 0

6. দেখাও যে (2, 0), (5, -3), (2, -6) এবং (-1, -3) বিন্দু চারটি একই বৃত্তের ওপর অবস্থিত। বৃত্তটির সমীকরণ ও কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।

Solution: ধরি (2, 0), (5, -3) এবং (2, -6) বিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণঃ
x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 . . .  (i)
∴ 2² + 0² + 2g.2 + 2f.0 + c = 0
বা, 4 + 4g + c = 0 . . .  (ii)
এবং 5² + (-3)² + 2g.5 + 2f.(-3) + c = 0
বা, 34 + 10g – 6f + c = 0 . . .  (iii)
আবার 2² + (-6)² + 2g.2 + 2f.(-6) + c = 0
বা, 40 + 4g – 12f + c = 0 . . .  (iv)
(ii) – (iv) করে পাই,
4 + 4g + c – (40 + 4g – 12f + c) = 0
বা, 4 + 4g + c – 40 – 4g + 12f – c = 0
বা, 4 – 40 + 12f = 0
⇒ 12f = 36
বা, f = 3
(ii) – (iii) করে পাই,
4 + 4g + c – (34 + 10g – 6f + c) = 0
বা, 4 + 4g + c – 34 – 10g + 6f – c = 0
বা, – 30 – 6g + 6f = 0
⇒ – 30 – 6g + 6.3 = 0 . . .  [∵ f = 3]
⇒ – 12 – 6g = 0
বা, – 6g = 12
বা, g = -2
(ii) নং থেকে পাই,
4 + 4(-2) + c = 0
বা, -4 + c = 0
বা, c = 4
∴ বৃত্তেরকেন্দ্র (2, -3)
বৃত্তের সমীকরণ:
x² + y² + 2.(-2)x + 2.3y + 4 = 0
বা, x² + y² – 4x + 6y + 4 = 0 . . .  (v)
(v) নং সমীকরণের ডানপক্ষে (-1, -3) বসিয়ে পাই,
(-1)² + (-3)² – 4.(-1) + 6.(-3) + 4
= 1 + 9 + 4 – 18 + 4
= 18 – 18 = 0
∴  (-1, -3) দ্বারা নির্ণেয় বৃত্তটির সমীকরণ সিদ্ধ হয়।
(-1, -3) বিন্দুটি নির্ণেয় বৃত্তটির উপর অবস্থিত।
অতএব (2, 0), (5, -3), (2, -6) এবং (-1, -3) বিন্দু চারটি একই বৃত্তের ওপর অবস্থিত।(Proved)
Ans: বৃত্তটির সমীকরণ:
x² + y² – 4x + 6y + 4 = 0
ও কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (2, -3)

7. প্রমাণ করো যে x² + y² – 10x + 9 = 0, x² + y² – 6x + 2y + 1 = 0 এবং x² + y² – 18x – 4y + 21 = 0 বৃত্ত তিনটির কেন্দ্র একটি সরলরেখার ওপর অবস্থিত; সরলরেখাটির সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution: x² + y² – 10x + 9 = 0 . . .  (i)
x² + y² – 6x + 2y + 1 = 0 . . .  (ii)  এবং
x² + y² – 18x – 4y + 21 = 0 . . .  (iii)
প্রদত্ত বৃত্ত তিনটিকে x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই,
(i) নং বৃত্তের ক্ষেত্রে,
2g = -10 বা, g = -5;
2f = 0 বা, f = 0
; c = 9
∴ (i) নং বৃত্তের কেন্দ্র (5, 0)
(ii) নং বৃত্তের ক্ষেত্রে,
2g = -6 বা, g = -3;
2f = 2 বা, f = 1;
c = 1
∴ (ii) নং বৃত্তের কেন্দ্র (3, -1)
(iii) নং বৃত্তের ক্ষেত্রে,
2g = -18 বা, g = -9;
2f = -4 বা, f = -2;
c = 21
∴ (iii) নং বৃত্তের কেন্দ্র (9, 2)
(5, 0) এবং  (3, -1) বিন্দুদ্বয় সংযোজক সরলরেখার সমীকরণ:

⇒ x – 3 = 2y + 2
⇒ x – 2y = 5 . . . (iv)
(iv) নং সমীকরণের ডানপক্ষে  (9, 2) বসিয়ে পাই,
9 – 2.2 = 9 – 4 = 5
(9, 2) দ্বারা (5, 0) এবং  (3, -1) বিন্দুদ্বয় সংযোজক সরলরেখার সমীকরণটি সিদ্ধ হয়।
∴ (9, 2), (5, 0) এবং  (3, -1)  বিন্দু তিনটি সমরেখ।
অতএব বৃত্ত তিনটির একটি সরলরেখার ওপর অবস্থিত। (Proved)
সরলরেখাটির সমীকরণ: x – 2y = 5 (Ans)

8. দেখাও যে, নীচে প্রদত্ত বৃত্ত তিনটির কেন্দ্রগুলি একরেখীয় এবং এদের ব্যাসার্ধগুলি সমান্তর প্রগতিতে আছে: x² + y² = 1 , x² + y² + 6x – 2y – 6 = 0, x² + y² – 12x + 4y – 9 = 0

Solution: x² + y² = 1
⇒ x² + y² = 1²
∴ বৃত্তের কেন্দ্র (0, 0) এবং ব্যাসার্ধ 1 একক
x² + y² + 6x – 2y – 6 = 0
⇒ x² + 2.3.x + 3² + y² – 2.y.1 + 1² – 9 – 1 – 6 = 0
⇒ (x + 3)² + (y – 1)² = 16 = 4²
∴ বৃত্তের কেন্দ্র (-3, 1) এবং ব্যাসার্ধ 4 একক
x² + y² – 12x + 4y – 9 = 0
⇒ x² – 2.6.x + 6² + y² + 2.y.2 + 2² – 36 – 4 – 9 = 0
⇒ (x – 6)² + (y + 2)² = 49 = 7²
∴ বৃত্তের কেন্দ্র (6, -2) এবং ব্যাসার্ধ 7 একক
(0, 0) এবং  (-3, 1) বিন্দুদ্বয় সংযোজক সরলরেখার সমীকরণ:

⇒ x + 3y = 0 . . . (i)
(i) নং সমীকরণের ডানপক্ষে  (6, -2) বসিয়ে পাই,
6 + 3.(-2) = 6 – 6 = 0
(6, -2) দ্বারা (0, 0) এবং  (-3, 1) বিন্দুদ্বয় সংযোজক সরলরেখার সমীকরণটি সিদ্ধ হয়।
∴ (0, 0), (-3, 1) এবং (6, -2) বিন্দু তিনটি সমরেখ।
অতএব বৃত্ত তিনটির কেন্দ্রগুলি একরেখীয় (Proved)
বৃত্ত তিনটির ব্যাসার্ধ 1 একক, 4 একক এবং 7 একক।
1 + 7 = 8 = 2.4
ব্যাসার্ধগুলি সমান্তর প্রগতিতে আছে (Proved)

9. মূলবিন্দুগামী একটি বৃত্তের ধনাত্মক অক্ষ দুটিতে ছেদিতাংশ যথাক্রমে 3 ও 4; বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় করো। বৃত্তটির মূলবিন্দুগামী ব্যাসের সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution: বৃত্তের ধনাত্মক অক্ষ দুটিতে ছেদিতাংশ যথাক্রমে 3 ও 4;
অর্থাৎ বৃত্তটি ধনাত্মক অক্ষ দুটিকে যথাক্রমে (3, 0) ও (0, 4) বিন্দুতে ছেদ করে।
আবার বৃত্তটি মূলবিন্দুগামী ।
∴ বৃত্তটি (3, 0), (0, 4) ও (0, 0) বিন্দু দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের পরিলিখিত বৃত্ত হবে।
পরিলিখিত বৃত্তের ব্যাসের প্রান্ত বিন্দুদ্বয় হল (3, 0) ও (0, 4)
∴ বৃত্তটির সমীকরণ:
(x – 3)(x – 0) + (y – 0)(y – 4) = 0
বা, x² – 3x + y² – 4y = 0
বা, x² + y² – 3x – 4y = 0
বৃত্তটির কেন্দ্র (^{3 + 0}/₂, ^{0 + 4}/₂) = (³/₂, 2)
বৃত্তের মূলবিন্দুগামী ব্যাসটির সমীকরণ:

⇒ 4x – 6 = 3y – 6
⇒ 4x – 3y = 0
Ans: বৃত্তের সমীকরণ: x² + y² – 3x – 4y = 0
এবং মূলবিন্দুগামী ব্যাসের সমীকরণ 4x – 3y = 0

10. 2x + 3y = 6 সরলরেখাটি স্থানাঙ্ক অক্ষ দুটির সঙ্গে যে ত্রিভুজ উৎপন্ন করে, তার পরিলিখিত বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় করো। বৃত্তটির ব্যাস কত?

Solution: সরলরেখাটির সমীকরণঃ
2x + 3y = 6
⇒ ^x/₃ + ^y/₂ = 1
সরলরেখাটি স্থানাঙ্ক অক্ষ দুটিকে যথাক্রমে (3, 0) ও (0, 2) বিন্দুতে ছেদ করে।
সরলরেখাটি স্থানাঙ্ক অক্ষ দুটির সঙ্গে সমকোণী ত্রিভুজ উৎপন্ন করে।
সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ পরিলিখিত বৃত্তের ব্যাস হয়।
∴ পরিলিখিত বৃত্তের ব্যাসের প্রান্ত বিন্দুদ্বয় হল (3, 0) ও (0, 2)
∴ বৃত্তটির সমীকরণ:
(x – 3)(x – 0) + (y – 0)(y – 2) = 0
বা, x² – 3x + y² – 2y = 0
বা, x² + y² – 3x – 2y = 0
সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ = পরিলিখিত বৃত্তের ব্যাস

Ans: পরিলিখিত বৃত্তের সমীকরণ: x² + y² – 3x – 2y = 0
এবং পরিলিখিত বৃত্তের ব্যাস √13 একক

11. যে বৃত্তের কোনো ব্যাসের প্রান্তবিন্দু দুটির স্থানাঙ্ক (4, -2) এবং (-1, 3), তার সমীকরণ নির্ণয় করো। ওই বৃত্তের মূলবিন্দুগামী ব্যাসটির সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution: বৃত্তের কোনো ব্যাসের প্রান্তবিন্দু দুটির স্থানাঙ্ক (4,-2) এবং (-1, 3)
∴ বৃত্তটির সমীকরণ:
(x – 4)(x + 1) + (y + 2)(y – 3) = 0
বা, x² + x – 4x – 4 + y² – 3y + 2y – 6 = 0
বা, x² + y² – 3x – y – 10 = 0
বৃত্তটির কেন্দ্র (^4-1/₂, ^-2+3/₂) = (³/₂, ¹/₂)
বৃত্তের মূলবিন্দুগামী ব্যাসটির সমীকরণ:

⇒ 2x – 6y = 0
⇒ x – 3y = 0
Ans: বৃত্তটির সমীকরণ: x² + y² – 3x – y – 10 = 0
এবং মূলবিন্দুগামী ব্যাসটির সমীকরণ: x – 3y = 0

12. (i) একটি বৃত্ত (-2, 5) ও (4, 3) বিন্দুগামী এবং এর কেন্দ্র 2x – 3y = 4 সরলরেখার ওপর অবস্থিত। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution: ধরি বৃত্তটির কেন্দ্র (α, β)
বৃত্তের কেন্দ্র 2x – 3y = 4 সরলরেখার ওপর অবস্থিত
∴ 2α – 3β = 4
বা, 2α – 3β – 4 = 0 . . .  (i)
বৃত্তটি (-2, 5) এবং (4, 3) বিন্দুগামী।
বৃত্তটির কেন্দ্র থেকে (-2, 5) এবং (4, 3) বিন্দু দুটি সমদূরবর্তী।

⇒(α + 2)² + (β – 5)² = (α – 4)² + (β – 3)²
⇒ α² + 4α + 4 + β² – 10β + 25 = α² – 8α + 16 + β² – 6β + 9
⇒ 12α – 4β + 4 = 0
বা, 4(3α – β + 1) = 0
⇒ 3α – β + 1 = 0
⇒ β = 3α + 1 . . .  (ii)
(i) নং সমীকরণে β = 3α + 1 বসিয়ে পাই,
2α – 3(3α + 1) – 4 = 0
বা, 2α – 9α – 3 – 4 = 0
বা, -7α = 7
⇒ α = -1
(ii) নং থেকে পাই,
β = 3.(-1) + 1 = -2
বৃত্তটির কেন্দ্র (-1, -2)

∴ বৃত্তটির সমীকরণ:
(x + 1)² + (y + 2)² = (5√2)²
বা, x² + 2x + 1 + y² + 4y + 4 = 50
বা, x² + y² + 2x + 4y – 45 = 0
Ans: বৃত্তটির সমীকরণ:
x² + y² + 2x + 4y – 45 = 0

12. (ii) (3, 4) এবং (-1, 2) বিন্দুগামী এমন একটি বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় করো, যার কেন্দ্র x – y = 4 সরলরেখার ওপর অবস্থিত।

Solution: ধরি বৃত্তটির কেন্দ্র (α, β)
বৃত্তের কেন্দ্র x – y = 4 সরলরেখার ওপর অবস্থিত
∴ α – β = 4
বা, α – β – 4 = 0 . . .  (i)
বৃত্তটি (3, 4) এবং (-1, 2) বিন্দুগামী।
বৃত্তটির কেন্দ্র থেকে (3, 4) এবং (-1, 2) বিন্দু দুটি সমদূরবর্তী।

⇒(α – 3)² + (β – 4)² = (α + 1)² + (β – 2)²
⇒ α² – 6α + 9 + β² – 8β + 16 = α² + 2α + 1 + β² – 4β + 4
⇒ – 8α – 4β + 20 = 0
বা, -4(2α + β – 5) = 0
⇒ 2α + β – 5 = 0 . . .  (ii)
(i) + (ii) করে পাই,
α – β – 4 + 2α + β – 5 = 0
বা, 3α – 9 = 0
বা, α = 3
(ii) নং থেকে পাই,
2.3 + β – 5 = 0
বা, 1 + β = 0
বা, β = -1
বৃত্তটির কেন্দ্র (3, -1)

∴ বৃত্তটির সমীকরণ:
(x – 3)² + (y + 1)² = (5)²
বা, x² – 6x + 9 + y² + 2y + 1 = 25
বা, x² + y² – 6x + 2y – 15 = 0
Ans: বৃত্তটির সমীকরণ:
x² + y² – 6x + 2y – 15 = 0

13. একটি বৃত্তের কেন্দ্র 5x – 2y + 1 = 0 সরলরেখার ওপর অবস্থিত এবং বৃত্তটি x-অক্ষকে -5 ও 3 ভুজবিশিষ্ট দুটি বিন্দুতে ছেদ করে; বৃত্তটির সমীকরণ এবং ব্যাসার্ধ নির্ণয় করো।

Solution: ধরি বৃত্তটির কেন্দ্র (α, β)
বৃত্তের কেন্দ্র 5x – 2y + 1 = 0 সরলরেখার ওপর অবস্থিত
∴ 5α – 2β + 1 = 0 . . .  (i)
বৃত্তটি x-অক্ষকে -5 ও 3 ভুজবিশিষ্ট দুটি বিন্দুতে ছেদ করে;
অর্থাৎ বৃত্তটি (-5, 0) ও (3, 0) বিন্দুগামী।
বৃত্তটির কেন্দ্র থেকে (-5, 0) ও (3, 0) বিন্দু দুটি সমদূরবর্তী।

⇒ (α + 5)² + (β – 0)² = (α – 3)² + (β – 0)²
⇒ α² + 10α + 25 + β² = α² – 6α + 9 + β²
বা, 16α = -16
⇒ α = -1
(i) নং থেকে পাই,
5.(-1) – 2β + 1 = 0
বা, -2β = 4
বা, β = -2
বৃত্তটির কেন্দ্র (-1, -2)

∴ বৃত্তটির সমীকরণ: (x + 1)² + (y + 2)² = (√20)²
বা, x² + 2x + 1 + y² + 4y + 4 = 20
বা, x² + y² + 2x + 4y – 15 = 0
Ans: বৃত্তটির সমীকরণ:
x² + y² + 2x + 4y – 15 = 0
এবং বৃত্তটির ব্যাসার্ধ 2√5একক

14. কোনো বৃত্তের একটি ব্যাসের সমীকরণ হয় 2x – y + 4 = 0 এবং বৃত্তটি (4, 6) ও (1, 9) বিন্দুগামী। বৃত্তটির সমীকরণ, কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় করো।

Solution: ধরি বৃত্তটির কেন্দ্র (α, β)
বৃত্তের একটি ব্যাসের সমীকরণ 2x – y + 4 = 0
∴ 2α – β + 4 = 0 . . .  (i)
বৃত্তটি (4, 6) ও (1, 9) বিন্দুগামী।
বৃত্তটির কেন্দ্র থেকে (4, 6) ও (1, 9) বিন্দু দুটি সমদূরবর্তী।

⇒ (α – 4)² + (β – 6)² = (α – 1)² + (β – 9)²
⇒ α² – 8α + 16 + β² – 12β + 36 = α² – 2α + 1 + β² – 18β + 81
বা, – 8α + 16 – 12β + 36 = – 2α + 1 – 18β + 81
বা, – 6α + 6β – 30 = 0
⇒ – 6(α – β + 5) = 0
⇒ α – β + 5 = 0 . . .  (ii)
(i) – (ii) করে পাই,
2α – β + 4 – (α – β + 5) = 0
বা, 2α – β + 4 – α + β – 5 = 0
বা, α – 1 = 0
∴ α = 1
(ii) নং থেকে পাই,
1 – β + 5 = 0
বা, β = 6
বৃত্তটির কেন্দ্র (1, 6)

∴ বৃত্তটির সমীকরণ: (x – 1)² + (y – 6)² = (3)²
বা, x² – 2x + 1 + y² – 12y + 36 = 9
বা, x² + y² – 2x – 12y + 28 = 0
Ans: বৃত্তটির সমীকরণ:
x² + y² – 2x – 12y + 28 = 0
বৃত্তটির কেন্দ্র (1, 6)
এবংবৃত্তটির ব্যাসার্ধ 3 একক

বিভিন্ন সরকারি স্কলারশিপগুলি সম্বন্ধে বিস্তারিত জানতে এখানে ক্লিক করো ।

15. 5 একক ব্যাসার্ধবিশিষ্ট যে বৃত্ত (-6, 5) ও (-3, -4) বিন্দুগামী তার সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution: ধরি বৃত্তটির কেন্দ্র (α, β)
বৃত্তটির ব্যাসার্ধ 5 একক৷
বৃত্তটির সমীকরণ: (x – α)² + (y – β)² = (5)² . . .  (i)
(i) নং বৃত্ত (-6, 5) ও (-3, -4) বিন্দুগামী।
∴ (-6 – α)² + (5 – β)² = (5)²
বা, 36 + 12α + α² + 25 – 10β + β² = 25
বা, α² + β² + 12α – 10β + 36 = 0 . . .  (ii)
আবার (-3 – α)² + (-4 – β)² = (5)²
বা, 9 + 6α + α² + 16 + 8β + β² = 25
বা, α² + β² + 6α + 8β = 0 . . .  (iii)
(ii) – (iii) করে পাই,
α² + β² + 12α – 10β + 36 – (α² + β² + 6α + 8β) = 0
বা, α² + β² + 12α – 10β + 36 – α² – β² – 6α – 8β = 0
বা, 6α – 18β + 36 = 0
⇒ 6(α – 3β + 6) = 0
বা, α – 3β + 6 = 0
বা, α = 3β – 6 . . .  (iv)

(iii) নং সমীকরণে α = 3β – 6 বসিয়ে পাই,
(3β – 6)² + β² + 6(3β – 6) + 8β = 0
বা, 9β² – 36β + 36 + β² + 18β – 36 + 8β = 0
বা, 10β² – 10β = 0
⇒ 10β(β – 1) = 0
বা, β(β – 1) = 0
∴ β = 0, 1
β = 0 হলে, α = 3.0 – 6 = -6
β = 1 হলে, α = 3.1 – 6 = -3
বৃত্তটির কেন্দ্র (-6, 0) এবং (-3, 1)
বৃত্তটির সমীকরণ: (x + 6)² + (y – 0)² = (5)²
বা, x² + 12x + 36 + y² = 25
বা, x² + y² + 12x + 11 = 0
এবং (x + 3)² + (y – 1)² = (5)²
বা, x² + 6x + 9 + y² – 2y + 1 = 25
বা, x² + y² + 6x – 2y – 15 = 0
Ans: বৃত্তটির সমীকরণ:
x² + y² + 12x + 11 = 0 এবং
x² + y² + 6x – 2y – 15 = 0

16. (-2, 2) বিন্দুগামী বৃত্তে দুটি ব্যাসের সমীকরণ যথাক্রমে 3x + y = 5 এবং x + y + 1 = 0 বৃত্তটির সমীকরণ ও তার ব্যাসার্ধ নির্ণয় করো।

Solution: বৃত্তে দুটি ব্যাসের সমীকরণ যথাক্রমে
3x + y = 5
বা, 3x + y – 5 = 0 . . . (i)এবং
x + y + 1 = 0  . . . (ii)
ব্যাস দুটির ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক:
(i) – (ii) করে পাই,
3x + y – 5 – (x + y + 1) = 0
বা, 3x + y – 5 – x – y – 1 = 0
বা, 2x – 6 = 0
⇒ x = 3
(ii) নং থেকে পাই,
3 + y + 1 = 0
বা, y= -4
বৃত্তটির কেন্দ্র (3, -4)
বৃত্তটি (-2, 2) বিন্দুগামী।

বৃত্তটির সমীকরণ:
(x – 3)² + (y + 4)² = (√61)²
বা, x² – 6x + 9 + y² + 8y + 16 = 61
বা, x² + y² – 6x + 8y – 36 = 0
Ans: বৃত্তটির সমীকরণ:
x² + y² – 6x + 8y – 36 = 0 এবং
  ব্যাসার্ধ √61 একক

17. একটি বৃত্ত (-3, 4) ও (1,0) বিন্দুগামী এবং তার কেন্দ্র x-অক্ষের ওপর অবস্থিত; বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution: বৃত্তটির কেন্দ্র x-অক্ষের ওপর অবস্থিত।
ধরি বৃত্তটির কেন্দ্র (α, 0)
বৃত্তটি (-3, 4) ও (1, 0) বিন্দুগামী।
বৃত্তটির কেন্দ্র থেকে (-3, 4) ও (1, 0) বিন্দু দুটি সমদূরবর্তী।

⇒ (α + 3)² + (-4)² = (α – 1)²
⇒ α² + 6α + 9 + 16 = α² – 2α + 1
বা, 8α = -24
⇒ α = -3
বৃত্তটির কেন্দ্র (-3, 0)

∴ বৃত্তটির সমীকরণ:
(x + 3)² + (y – 0)² = (4)²
বা, x² + 6x + 9 + y² = 16
বা, x² + y² + 6x – 7 = 0
Ans: বৃত্তটির সমীকরণ: x² + y² + 6x – 7 = 0

18. যে বৃত্ত (2, 0) ও (4, 0) বিন্দুগামী এবং যার কেন্দ্র y = 2 সরলরেখার ওপর অবস্থিত তার সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution: বৃত্তটির কেন্দ্র y = 2 সরলরেখার ওপর অবস্থিত।
ধরি বৃত্তটির কেন্দ্র (α, 2)
বৃত্তটি (2, 0) ও (4, 0) বিন্দুগামী।
বৃত্তটির কেন্দ্র থেকে (2, 0) ও (4, 0) বিন্দু দুটি সমদূরবর্তী।

⇒ (α – 2)² + (2)² = (α – 4)² + (2)²
⇒ α² – 4α + 4 + 4 = α² – 8α + 16 + 4
বা, 4α = 12
⇒ α = 3
বৃত্তটির কেন্দ্র (3, 2)

∴ বৃত্তটির সমীকরণ:
(x – 3)² + (y – 2)² = (√5)²
বা, x² – 6x + 9 + y² – 4y + 4= 5
বা, x² + y² – 6x – 4y + 8 = 0
Ans: বৃত্তটির সমীকরণ:
x² + y² – 6x – 4y + 8 = 0

19. যে বৃত্ত y-অক্ষকে মূলবিন্দুতে স্পর্শ করে এবং (α, β) বিন্দু দিয়ে যায়, তার সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution: বৃত্তটি y-অক্ষকে মূলবিন্দুতে স্পর্শ করে।
∴ বৃত্তটির কেন্দ্র x-অক্ষের উপর।
ধরি, ব্যাসার্ধ r একক।
∴ বৃত্তটির কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক হবে (r, 0)
বৃত্তটি (α, β) বিন্দুগামী।

∴  বৃত্তটির সমীকরণ:
(x – r)² + (y – 0)² = r²
বা, x² – 2rx + r² + y² = r²
বা, x² – 2rx + y² = 0
⇒ x² – 2.^{α2+ β2}/_2α.x + y² = 0
⇒ x² – ^{α2+ β2}/_α.x + y² = 0
বা, x²  + y² = ^{α2+ β2}/_α.x
বা, α(x²  + y²) = (α²+ β²)x
Ans: বৃত্তটির সমীকরণ:
α(x²  + y²) = (α²+ β²)x

20. একটি বৃত্ত x-অক্ষকে (3.0) বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং এর ব্যাসার্ধ x² + y² – 2x – 2y – 2 = 0 বৃত্তের ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ। বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় করো এবং y-অক্ষ, এই বৃত্তটিকে যে জ্যা-তে ছেদ করে তার দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

Solution: x² + y² – 2x – 2y – 2 = 0 বৃত্তকে x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে পাই,
2g = -2 বা, g = -1;
2f = -2 বা, f = -1;
c = -2
∴ বৃত্তের কেন্দ্র (1, 1)

নির্ণেয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 2.2 = 4 একক
বৃত্ত x-অক্ষকে (3, 0) বিন্দুতে স্পর্শ করে।
স্পষ্টতই বৃত্তের কেন্দ্রের ভুজ হবে 3
ধরি বৃত্তের কেন্দ্র (3, k)
(i) নং বৃত্ত বৃত্ত (3, 0) বিন্দুগামী।

∴ k = 4
বৃত্তের কেন্দ্র (3, 4)
∴ বৃত্তের সমীকরণ:
(x – 3)² + (y – 4)² = (4)²
বা, x² – 6x + 9 + y² – 8y + 16 = 16
বা, x² + y² – 6x – 8y + 9 = 0