Author: TEAM PROSTUTI

Complete Solution of MP-25 P. Sc.
Complete Solution of MP-25 P. Sc.
মাধ্যমিক ২০২৫ ভৌত বিজ্ঞান সমাধান
Complete Solution of MP P.Sc
2025
PHYSICAL SCIENCE
*For Regular and External Candidates)
Time – Three Hours Fifteen Minutes
(First FIFTEEN minutes for reading the question paper only)
Full Marks – 90 – For Regular Candidates
100 – For External Candidates
Special credit will be given for answers which are brief and to the point.
Marks will be deducted for spelling mistakes, untidliness and bad handwriting
কেবলমাত্র বহিরাগত পরীক্ষার্থীদের ‘ঙ’ বিভাগের প্রশ্নগুলির উত্তর দিতে হবে।
প্রান্তিক সংখ্যাগুলি প্রশ্নের পূর্ণমান নির্দেশ করছে।
বিভাগ- ক
১। বহু বিকল্প ভিত্তিক প্রশ্ন। প্রতিটি প্রশ্নের নীচে চারটি করে বিকল্প উত্তর দেওয়া আছে। যেটি ঠিক সেটি লেখো: ১×১৫=১৫
১.১ নীচের কোন রশ্মিটির গ্যাসকে আয়নিত করার ক্ষমত্যা সর্বাধিক? (a) α – রাশ্মি (b) γ – রাশ্মি (c) β – রশ্মি (d) আলোকরশ্মি
Ans: (a) α – রাশ্মি
১.২ ফিউজ তারের বৈশিষ্ট্য হল – (a) উচ্চরোধ, নিম্নগলনাঙ্ক (b) নিম্নরোধ, উচ্চপালানাঙ্ক (c) নিম্নরোধ, নিম্নগলনাঙ্ক (d) উচ্চরোধ, উচ্চগলনাঙ্ক
Ans: (a) উচ্চরোধ, নিম্নগলনাঙ্ক
১.৩ আধুনিক দীর্ঘ পর্যায় সারণিতে কয়টি শ্রেণি রয়েছে? (a) 7 (b) 17 (c) 15 (d) 18
Ans: (d) 18
১.৪ নীচের কোন্ যৌগটির সম্পূর্ণ অণু হিসাবে পৃথক অস্তিত্ব নেই – (a) H₂S (b) CHCI₃ (c) NO₂ (d) NaCl
Ans: (d) NaCl
১.৫ নীচের কোন অ্যাসিডটি মৃদু তড়িৎবিশ্লেষ্য? (a) CH₃COOH (b) H₂SO₄ (c) HNO₃ (4) HCI
Ans: (a) CH₃COOH
১.৬ লঘু সালফিউরিক অ্যাসিড মিশ্রিত পটাসিয়াম ডাইক্রোমেট দ্রবণে H₂S চালনা করলে কী রঙ উৎপন্ন হয়? (a) কমলা (b) বেগুনি (c) সবুজ (d) গাঢ় নীল
Ans: (c) সবুজ
১.৭ নীচের কোন্ আকরিকটি অ্যালুমিনিয়ামের আকরিক? (a) হেমাটাইট (b) বক্সাইট (c) ম্যালাকাইট (d) চ্যালকোসাইট
Ans: (b) বক্সাইট
১.৮ ত্রিবন্ধনীযুক্ত অসম্পৃক্ত হাইড্রোকার্বনটিকে সনাক্ত করো – (a)CH₄(b) C₂H₆(c) C₂H₄(d) C₂H₂
Ans: (d) C₂H₂
১.৯ গ্রীনহাউস গ্যাসটি শনাক্ত করো: (a) অক্সিজেন (b) হাইড্রোজেন (c) জলীয় বাম্প (d) নাইট্রোজেন
Ans: (c) জলীয় বাম্প
2023 সালের মাধ্যমিকের সকল বিষয়ের pdf download করার link নীচে দেওয়া হল –
বাংলা (Bengali) 2023 সালের মাধ্যমিক প্রশ্নপত্রের pdf download করতে এখানে ক্লিক করো।
ইংরেজি (English) 2023 সালের মাধ্যমিক প্রশ্নপত্রের pdf download করতে এখানে ক্লিক করো।
গণিত (Mathematics) 2023 সালের মাধ্যমিক প্রশ্নপত্রের pdf download করতে এখানে ক্লিক করো।
ইতিহাস (History) 2021 সালের মাধ্যমিক প্রশ্নপত্রের pdf download করতে এখানে ক্লিক করো।
ভূগোল (Geography) 2023 সালের মাধ্যমিক প্রশ্নপত্রের pdf download করতে এখানে ক্লিক করো।
জীবনবিজ্ঞান (Life Science) 2023 সালের মাধ্যমিক প্রশ্নপত্রের pdf download করতে এখানে ক্লিক করো।
ভৌতবিজ্ঞান (Physical Science) 2023 সালের মাধ্যমিক প্রশ্নপত্রের pdf download করতে এখানে ক্লিক করো।
১.১০ S.T.P. তে 22 গ্রাম CO₂ -এর আয়তন হল [C=12, O =16] : (a) 22.4 লিটার (b) 11.2 লিটার (c) 2.24 লিটার (d) 1.12 লিটার
Ans: (b) 11.2 লিটার
[CO₂ -এর আনবিক ভর = 12 + 2×16 = 44
S.T.P. তে ,
44 গ্রাম CO₂ -এর আয়তন 22.4 লিটার
1 গ্রাম CO₂ -এর আয়তন ^22.4/₄₄ লিটার
22 গ্রাম CO₂ -এর আয়তন ^22.4/₄₄×22 = 11.2 লিটার ]
১.১১ 10 গ্রাম ক্যালসিয়াম কার্বোনেটকে তীব্র উত্তপ্ত করালে, কত গ্রাম ক্যালসিয়াম অক্সাইড পাওয়া যাবে? ধরে নাও সকল ক্যালসিয়াম কার্বনেট সম্পূর্ণ বিয়োজিত হয়েছে। [Ca=40, C=12, O = 16]। (a) 4.4 গ্রাম (b) 5.6 গ্রাম (c) 10 গ্রাম (d) 100 গ্রাম
Ans: (b) 5.6 গ্রাম
[CaCO₃ = CaO + CO₂
CaCO₃ -এর আনবিক ভর
= 40+12+3×16 = 52+48 = 100
CaO -এর আনবিক ভর
= 40+16 = 56
100 গ্রাম CaCO₃ থেকে পাওয়া যায় 56 গ্রাম CaO
1 গ্রাম CaCO₃ থেকে পাওয়া যায় ⁵⁶/₁₀₀ গ্রাম CaO
10 গ্রাম CaCO₃ থেকে পাওয়া যায় ⁵⁶/₁₀₀×10 = 5.6 গ্রাম CaO]
১.১২ তাপ পরিবাহিতাঙ্ক নির্ভর করে –
(a) পরিবাহীর দুই প্রান্তের তাপমাত্রার পার্থক্যের উপর
(b) পরিবাহীর উপাদানের প্রকৃতির উপর
(c) পরিবাহীর দৈর্ঘ্যের উপর
(d) পরিবাহীর প্রস্থছেদের ক্ষেত্রফলের উপর
Ans: (b) পরিবাহীর উপাদানের প্রকৃতির উপর
১,১৩ আলোর প্রতিসরণের সময় নীচের কোন রাশিটি অপরিবর্তিত থাকে?
(a) গতিবেগ (b) বিস্তার (c) কম্পাঙ্ক (d) তরঙ্গদৈর্ঘ্য
Ans: (c) কম্পাঙ্ক
১.১৪ কোন প্রকার দর্পণে অসদ, ছোট এবং সমশীর্ষ প্রতিবিম্ব গঠিত হয়? (a) সমতল দর্পণ (b) অবতল দর্পণ (c) উত্তল দর্পণ (d) অধিবৃত্তাকার দর্পণ
Ans: (c) উত্তল দর্পণ
১.১৫ নীচের কোন এককটি তড়িৎশক্তির একক? (a) ওয়াট (b) ওহম (c) কিলোওয়াট ঘণ্টা (d) ভোল্ট
Ans: (c) কিলোওয়াট ঘণ্টা
বিভাগ- খ
২। নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দাও (বিকল্প প্রশ্নগুলি লাক্ষণীয়):
২.১ তেজস্ক্রিয়তার S.1. এককটি লেখো।
Ans: তেজস্ক্রিয়তার S.1. একক হল বেকারেল।
অথবা
²³⁵₉₂U থেকে একটি β – কণা নির্গত হলে, পারমাণবিক সংখ্যার কী পরিবর্তন ঘটবে?
Ans: ²³⁵₉₂U থেকে একটি β – কণা নির্গত হলে, পারমাণবিক সংখ্যা 1 বেড়ে যাবে অর্থাৎ পারমাণবিক সংখ্যা হবে (92+1) বা 93
২.২ বাম স্তম্ভের সঙ্গে ডান স্তম্ভের সামঞ্জস্য বিধান করো:
```
          বামস্তন্ত                   ডানস্তম্ভ
২.২.১ জার্মান সিলভারে উপস্থিত ধাতু    (a)  Li
২.২.২ ইউরেনিয়ামোত্তর মৌল          (b)  Zn
২.২.৩ ক্যালামাইন থেকে নিষ্কাশিত ধাতু  (c)  Pu
২.২.৪ পর্যায়সারণির দ্বিতীয় পর্যায়ে      (d)  Ni
       অবস্থিত ক্ষারীয় ধাতু
```
```
Ans: 
          বামস্তন্ত                   ডানস্তম্ভ
২.২.১ জার্মান সিলভারে উপস্থিত ধাতু    (d)  Ni
২.২.২ ইউরেনিয়ামোত্তর মৌল          (c)  Pu
২.২.৩ ক্যালামাইন থেকে নিষ্কাশিত ধাতু  (b)  Zn
২.২.৪ পর্যায়সারণির দ্বিতীয় পর্যায়ে      (a)  Li
       অবস্থিত ক্ষারীয় ধাতু
```
২.৩ নীচের বিবৃতিটি সত্য না মিথ্যা লেখোঃ
তড়িৎ বিশ্লেষণ সর্বদা জারণ-বিজারণের মাধ্যমে ঘটে।
Ans: সত্য
২.৪ অ্যাসিড মিশ্রিত জল তড়িৎ বিশ্লেষণের ফলে ক্যাথোডে কোন গ্যাস উৎপন্ন হয্ত
Ans: অ্যাসিড মিশ্রিত জল তড়িৎ বিশ্লেষণের ফলে ক্যাথোডে হাইড্রোজেন (H₂) গ্যাস উৎপন্ন হয়?
অথবা
নীচের কোনটি তড়িৎ বিশ্লেষ্য –
চিনির জলীয় দ্রবণ, ইথানল এবং অ্যাসিটিক অ্যাসিড
Ans: অ্যাসিটিক অ্যাসিড তড়িৎ বিশ্লেষ্য।
২.৫ কি ঘটবে যদি লোহার চামচকে অ্যাসিড মিশ্রিত কপার সালফেট দ্রবণে ডোবানো হয়?
Ans: লোহার চামচকে অ্যাসিড মিশ্রিত কপার সালফেট দ্রবণে ডোবালে লোহার উপর কপারের আস্তরণ পড়বে এবং নীল বর্ণের কপার সালফেট দ্রবন সবুজ বর্ণে পরিণত হবে।
Fe + CuSO₄ = FeSO₄ + Cu
২.৬ হেবার পদ্ধতিতে অ্যামোনিয়া প্রস্তুতির জন্য কোন ধাতুটি অনুঘটক হিসাবে ব্যবহার করা হয়?
Ans: হেবার পদ্ধতিতে অ্যামোনিয়া প্রস্তুতির জন্য লোহা অনুঘটক হিসাবে ব্যবহার করা হয়।
অথবা
শূন্যস্থান পূরণ করোঃ CaC₂ + N₂ → …… + C
Ans: CaC₂ + N₂ → CaNCN + C
২.৭ থার্মিট পদ্ধতিতে কোন ধাতু নিষ্কাশিত হয়?
Ans: থার্মিট পদ্ধতিতে লোহা নিষ্কাশিত হয়।
২.৮ নীচের জৈব যৌগটির IUPAC নাম লেখো।
```
        CH₃- CH - CH₃
              |
              Br
```
Ans: জৈব যৌগটির IUPAC নাম 2-ব্রোমো প্রপেন।
অথবা
অবস্থানগত আইসোমেরিজম বা সমাবয়বতার উদাহরণ দাও।
Ans: জৈব যৌগের কার্যকরী মূলকের অবস্থানের পার্থক্যের জন্য যে সমনায়বতার তাকে অবস্থানগত আইসোমেরিজম বা সমাবয়বতা বলে। যেমন একই আণবিক সংকেত বিশিষ্ট (C₃H₈O) দুটি জৈব যৌগ হলো নর্মাল প্রোপাইল অ্যালকোহল এবং আইসো প্রোপাইল অ্যালকোহল ।
```
  নর্মাল প্রোপাইল অ্যালকোহল   আইসো প্রোপাইল অ্যালকোহল
   CH₃- CH₂ - CH₂ - OH     CH₃- CH - CH₃
                                 |
                                 OH
```
২.৯ রান্নার পাত্রে আঠাবিহীন প্রলেপ বা ননস্টিক প্রলেপ দেওয়ার জন্য ব্যবহৃত পলিমারের মনোমারটির নাম লেখো।
Ans: রান্নার পাত্রে আঠাবিহীন প্রলেপ বা ননস্টিক প্রলেপ দেওয়ার জন্য ব্যবহৃত পলিমারের মনোমারটির নাম টেট্রাফ্লুরো ইথিলিন (F₂C = CF₂)
২.১০ বায়ুমণ্ডলের কোন স্তরে ঝড়-বৃষ্টি ঘটা সম্ভব?
Ans: বায়ুমণ্ডলের ট্রপোস্ফিয়ারে ঝড়-বৃষ্টি ঘটা সম্ভব।
অথবা
ওজনস্তরের গাঢ়ত্ব কোন এককে প্রকাশ করা হয়?
Ans: ওজনস্তরের গাঢ়ত্ব প্রকাশ করা হয় ডবসন এককে ।
২.১১ রেফ্রিজারেটর থেকে নির্গত প্রিনহাউস গ্যাসটির নাম লেখো।
Ans: রেফ্রিজারেটর থেকে নির্গত প্রিনহাউস গ্যাসটি হল ক্লোরোফ্লুরো কার্বন (CFC)
২.১২ নীচের বিবৃতিটি সত্য না মিথ্যা লেখোঃ
চার্লসের সূত্রানুযায়ী, (-)273°C তাপমাত্রায় যে কোনো গ্যাসের আয়তন অসীম হয়।
Ans: মিথ্যা
২.১৩ S.T.P তে 16 গ্রাম অক্সিজেন গ্যাসে উপস্থিত অণুর সংখ্যা কত?
Ans: S.T.P তে 16 গ্রাম অক্সিজেন গ্যাসে উপস্থিত অণুর সংখ্যা 3.011×10²² টি
[O₂ -এর আনবিক ভর = 16×2 = 32
S.T.P তে,
32 গ্রাম O₂ এ অণু আছে 6.022×10²² টি
1 গ্রাম O₂ এ অণু আছে ^{6.022×10²²}/₃₂ টি
16 গ্রাম O₂ এ অণু আছে ^{6.022×10²²}/₃₂×16 টি
= 3.011×10²² টি
২.১৪ নীচের বিবৃতিটি সত্য না মিথ্যা লেখোঃ
লোহার দৈর্ঘ্য প্রসারণ গুণাঙ্ক 1.2×10^-5/℃ হলে, লোহার আয়তন প্রসারণ গুণাঙ্ক 3.6×10^-5/℃ হবে।
Ans: সত্য
[আমরা জানি ,
আয়তন প্রসারণ গুণাঙ্ক = 3×দৈর্ঘ্য প্রসারণ গুণাঙ্ক
এখানে লোহার দৈর্ঘ্য প্রসারণ গুণাঙ্ক 1.2×10^-5/℃
∴ লোহার আয়তন প্রসারণ গুণাঙ্ক = 3×1.2×10^-5/℃
= 3.6×10^-5/℃]
অথবা
Wm^-1K^-1 এটি কোন ভৌতরাশির একক?
Ans: Wm^-1K^-1 পরিবাহিতাঙ্কের একক।
২,১৫ বিবর্ধক কাচ বুপে কোন ধরণের লেন্স ব্যবহৃত হয়?
Ans: বিবর্ধক কাচ বুপে উত্তল লেন্স ব্যবহৃত হয়।
২.১৬ আলোকরশ্মির প্রতিসরণের সময় আপতন কোণের কোন্ মানের জন্য স্নেলের সূত্রটি প্রযোজা নয়?
Ans: আপতন কোণ 0^o হলে স্নেলের সূত্রটি প্রযোজা নয়।
২.১৭ বর্তমানে তড়িৎ-বর্তনীতে ফিউজ তারের পরিবর্তে কী ব্যবহার করা হয়?
Ans: বর্তমানে তড়িৎ-বর্তনীতে ফিউজ তারের পরিবর্তে সার্কিট ব্রেকার বা MCB ব্যবহার করা হয়।
২.১৮ 220V- 100W বাল্বের রোধ কত?
Ans: 220V – 100W বাল্বের রোধ 484 ওহম।
[এখানে V = 220V; P = 100W
আমরা জানি
P = IV
বা, P = ^V/_R. V – – – – – [V = IR]
বা, P = ^{V ^²}/_R
∴ V = ^{220^{^²}}/ 100 = 484 ]
বিভাগ – গ
৩। নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দাও (বিকল্প প্রশ্নগুলি লক্ষণীয়):
৩.১ এমন দুটি সংকর ধাতুর নাম লেখো, যেখানে কপার উপস্থিত। প্রত্যেকটি সংকর ধাতুর একটি করে ব্যবহার রেখো। ১+১
Ans:
ব্রোঞ্জ ও পিতল হল কপারের দুটি সংকর ধাতু।
ব্যবহার:
▪️ ব্রোঞ্জ মুদ্রা, স্প্রিং, অস্ত্র তৈরিতে ব্যবহৃত হয়।
▪️ পিতল রান্নার পাত্র, তালা, দরজার হাতল তৈরিতে ব্যবহৃত হয়।
অথবা
খনিজ এবং আকরিকের মধ্যে পার্থক্য বুঝিয়ে লেখো। ২
Ans: প্রকৃতিতে কোনো ধাতু যৌগ আকারে অবস্থান করলে ওই যৌগকে মৌলটির খনিজ বলে। আবার যেসব খনিজ পদার্থ থেকে প্রয়োজনীয় ধাতুকে সুলভে এবং সহজে নিষ্কাশন করা যায় তাকে ওই ধাতুর আকরিক বলে। যেমন রেড হেমাটাইট (Fe₂O₃) ও আয়রন পাইরাইটস (FeS₂) লোহার দুটি খনিজ পদার্থ। রেড হেমাটাইট থেকে সহজেই ও স্বল্প খরচে লোহা নিষ্কাশন করা যায়। তাই রেড হেমাটাইট লোহার আকরিক। কিন্তু আয়রন পাইরাইটস থেকে সহজে এবং সুলভে ভালো মানের লোহা পাওয়া যায় না। তাই এটি লোহার আকরিক নয়।
৩.২ কিভাবে নীচের পরিবর্তনটি সম্পন্ন করা যায়। ২
```
  H     H         H     H
  |     |         |     |
  C  =  C  →  H - C  -  C  - H  
  |     |         |     |
  H     H         H     H 
```
Ans: 250°C তাপমাত্রায় উত্তপ্ত নিকেল চূর্নের উপর দিয়ে ইথিলিন এবং হাইড্রোজেনের মিশ্রণ চালনা করলে ইথেন উৎপন্ন হয়। এখানে Ni অনুঘটকের কাজ করে।
H₂C = CH₂ + H₂ → (NI/250°C) H₃C – CH₃
অথবা
দুটি জৈবভঙ্গুর (বায়োডিগ্রেডেবল) পলিমারের নাম লেখো। ২
Ans: দুটি জৈবভঙ্গুর (বায়োডিগ্রেডেবল) পলিমার হল প্রোটিন এবং স্টার্চ।
৩.৩ ওজনস্তরকে প্রাকৃতিক সৌরপর্দা বলা হয় কেন ব্যাখ্যা করো।
Ans: বায়ুমণ্ডলের স্ট্যাটা স্ট্রাটোস্ফিয়ারের নিচের অংশে থাকা ওজোনস্তর সূর্য থেকে আসা অতিবেগুনি রশ্মি শোষণ করে পৃথিবীতে ঢুকতে বাধা দেয় এবং অতিবেগুনি রশ্মির ক্ষতিকারক প্রভাব থেকে পৃথিবীকে রক্ষা করে। তাই ওজনস্তরকে প্রাকৃতিক সৌর পর্দা বলে।
অথবা
বিশ্বউষ্ণায়ণ এবং গ্রিনহাউস এফেক্ট কিভাবে সম্পর্কযুক্ত। ২
Ans: কার্বন ডাই-অক্সাইড, ক্লোরোফ্লুরো কার্বন,, ওজোন, জলীয় বাষ্প প্রভৃতি গ্রিনহাউস গ্যাসগুলির দ্বারা বায়ুমণ্ডলের উষ্ণতা বৃদ্ধিই হল বিশ্ব উষ্ণায়নের প্রধান কারণ । সূর্য থেকে আসা ক্ষুদ্র তরঙ্গদৈর্ঘ্যবিশিষ্ট তাপীয় বিকিরণ পৃথিবীর বায়ুমণ্ডলের মধ্যে দিয়ে গিয়ে ভূপৃষ্ঠকে উত্তপ্ত করে। আবার ভূপৃষ্ঠ থেকে নির্গত দীর্ঘ তরঙ্গদৈর্ঘ্যবিশিষ্ট ইনফ্রারেড রশ্মি মহাশূন্যে ফেরার সময় বায়ুমণ্ডলে উপস্থিত গ্রিনহাউস গ্যাসগুলির দ্বারা শোষিত ও বাধাপ্রাপ্ত হয়ে তার কিছু অংশ পুনরায় পৃথিবীপৃষ্ঠে ফিরে এসে বায়ুমন্ডলকে উত্তপ্ত করে । এর ফলে পৃথিবীর স্বাভাবিক উষ্ণতা অস্বাভাবিকভাবে বৃদ্ধি পায় ও বিশ্ব উষ্ণায়ন ঘটে ।
৩.৪ 76 সেমি পারদস্তম্ভচাপে এবং 27°C তাপমাত্রায় নির্দিষ্ট পরিমাণ গ্যাসের আয়তন 200c.c.। যদি গ্যাসটির চাপ 38 সেমি পারদস্তম্ভ এবং তাপমাত্রা 127°C-এ পরিবর্তিত হয়, তবে গ্যাসটির আয়তন নির্ধারণ করো। ২
Ans:
প্রাথমিক চাপ (P₁) = 76 সেমি পারদস্তম্ভ
প্রাথমিক তাপমাত্রা (T₁) = 27°C = (27+273)K = 300K
থমিক আয়তন (V₁) = 200 c.c.
অন্তিম চাপ(P₂) = 38 সেমি পারদস্তম্ভ
অন্তিম তাপমাত্রা (T₂) = 127°C = (127+273)K = 400K
ধরি অন্তিম আয়তন (V₂) = V c.c.
∴ চার্লস ও বয়েলের সমন্বয় সূত্র থেকে পাই,,
^P₁V₁/_T₁= ^P₂V₂/_T₂
বা, ^76×200/₃₀₀= ^38×V/₄₀₀
বা, ⁴⁰⁰/₃ = ^V/₄
∴ 3V=1600
বা V = ¹⁶⁰⁰/₃ = 533.33
উত্তর: গ্যাসটির আয়তন 533.33 c.c
অথবা
227°C তাপমাত্রায় এবং 83.14 সেমি পারদস্তম্ভ চাপে 14 গ্রাম নাইট্রোজেন গ্যাসের আয়তন নির্ণয় করো, [R = 8.314 জুল মোল^-1K^-1] ২
Ans:
এখানে T = 227°C = (227+273)K = 500K;
P = 83.14 সেমি পারদস্তম্ভের চাপ
= 83.14×13.6×9.8 ^N/_m²
= 8.314×136×98 ^N/_m²
R = 8.314 জুল মোল^-1K^-1
মোল সংখ্যা(n) = ¹⁴/₂₈ = ¹/₂
আমরা জানি,
PV = nRT
বা, 8.314×136×98×V = ¹/₂×8.314×500
বা, 136×98×V = 250
⇒ V = ²⁵⁰/_136×98 = 0.01875
∴ V = 0.01875 m³
= 0.01875×10⁶ cc = 18.75×10³ cc
উত্তর: গ্যাসের আয়তন 18.75×103 cc
৩.৫ অবতল লেন্স দ্বারা প্রতিবিম্ব গঠন প্রক্রিয়াটি উপযুক্ত রেখাচিত্র অঙ্কন করে ব্যাখ্যা করো। ২
Ans:
.
PQ লক্ষ্যবস্তু MN অবতল লেন্সের প্রধান অক্ষের ওপর লম্বভাবে অবস্থিত । Q বিন্দু থেকে আগত প্রধান অক্ষের সমান্তরাল আলোকরশ্মি লেন্সে প্রতিসরণের পর ফোকাস F থেকে অপসৃত হচ্ছে বলে মনে হয়। Q বিন্দু থেকে অপর একটি তীর্যক রশ্মি আলোককেন্দ্র (O) দিয়ে সোজা চলে যায়। এই দুই প্রতিসৃত রশ্মিকে পিছনের দিকে বাড়ালে q বিন্দুতে মিলিত হয়। সুতরাং Q-এর প্রতিবিম্ব হল q। q বিন্দু থেকে প্রধান অক্ষের ওপর qp লম্ব টানা হল। সুতরাং pq হল PQ-এর প্রতিবিম্ব। এক্ষেত্রে বস্তুটি লেন্সের যে দিকে থাকে প্রতিবিম্বটি সেই দিকেই গঠিত হয় এবং প্রতিবিম্বটি অসৎ, সমশীর্ষ এবং বস্তু অপেক্ষা আকারে ছোটো হয়।
অথবা
আকাশকে নীল দেখায় কেন একটি চিত্রসহ ব্যাখ্যা করো। ২
Ans: আলোর বিক্ষেপণের জন্য আকাশকে নীল দেখায়। বায়ুমণ্ডলে ভাসমান ধূলিকণা এবং বিভিন্ন গ্যাসের অণু দ্বারা সূর্যালোকের বিক্ষেপণ ঘটে। বিক্ষিপ্ত আলোর তীব্রতা, আপতিত আলোর তরঙ্গদৈর্ঘ্যের চতুর্থ ঘাতের ব্যস্তানুপাতিক হয়। লাল আলোর তরঙ্গদৈর্ঘ্য তুলনামূলকভাবে বেশি, তাই লাল আলোর বিক্ষেপণ অনেকটাই কম। বেগুনি বা নীল বর্ণের আলোর তরঙ্গদৈর্ঘ্য অপেক্ষাকৃত কম, তাই এদের ক্ষেত্রে বিক্ষেপণের মাত্রা বেশি হয়। সূর্যের সাদা আলো ভাসমান ধূলিকণা ও বিভিন্ন গ্যাস অণুর দ্বারা বিক্ষিপ্ত হওয়ার পর তার মধ্যে উপস্থিত বেগুনি ও নীল বর্ণের আলোর তীব্রতা সবচেয়ে বেশি হয়। আমাদের চোখ বেগুনি আলো অপেক্ষা নীল আলোর প্রতি বেশি সংবেদনশীল, তাই বায়ুমণ্ডলে সূর্যের বিক্ষিপ্ত আলো আমাদের চোখে এসে পৌঁছোলে নীল আলোর অধিক বিক্ষেপণের জন্য আমরা আকাশকে নীল দেখি।
৩.৬ 4 ওহম রোধবিশিষ্ট একটি পাতলা তারকে বৃত্তে পরিবর্তিত করা হলে, বৃত্তটির যে কোনো ব্যাস বরাবর রোধ নির্ণয় করো।
Ans:
বৃত্তটির যে কোনো ব্যাস বরাবর তারটি সমান দুভাগে ভাগ হবে।
∴ প্রতিটি ভাগের রোধ হবে ⁴/₂ = 2 ওহম।
প্রতিটি ভাগ পরস্পর সমান্তরাল সমবায়ে যুক্ত হবে।
∴ ব্যাস বরাবর রোধ R ওহম হলে,
¹/_R = ¹/₂ + ¹/₂ = 1 হবে।
∴ R = 1 হবে।
উত্তর: ব্যাস বরাবর রোধ 1 ওহম।

৩.৭ ক্যালসিয়াম অক্সাইডের ইলেকট্রন ডট গঠনটি এঁকে দেখাও, [Ca এবং O-এর পারমাণবিক সংখ্যা যথাক্রমে 20 এবং 8 হয়।]
Ans; ক্যালসিয়াম পরমানুর (2,8,8,2) যোজ্যতা কক্ষের 2টি ইলেকট্রন অক্সিজেন পরমানুর (2,6) যোজ্যতা কক্ষে স্থানান্তরিত হওয়ার ফলে আয়নীয় যৌগ CaO উৎপন্ন হয়। CaO এর ইলেকট্রন ডট গঠনটি হল:

অথবা
সোডিয়াম ক্লোরাইডের গলনাঙ্ক গ্লুকোজ গলনাঙ্ক থেকে অনেকটা বেশি কেন ব্যাখ্যা করো। ২
Ans: সোডিয়াম ক্লোরাইডের গলনাঙ্ক গ্লুকোজের গলনাঙ্কের চেয়ে বেশি। , সোডিয়াম ক্লোরাইড আয়নীয় যৌগ। তাই এর ধনাত্মক ও ঋণাত্মক আয়নগুলি তীব্র তড়িৎ কুলম্বীয় বলের প্রভাবে একে অপরের কাছাকাছি অবস্থান করে। এর জন্য সোডিয়াম ক্লোরাইড সাধারণ উষ্ণতায় কঠিন প্রকৃতির হয়। অর্থাৎ গলনাঙ্ক বেশি হয়। কিন্তু গ্লুকোজ সমযোজী যৌগ। গ্লুকোজ অণুদের মধ্যে দুর্বল ভ্যানডার ওয়ালস বল ক্রিয়া করে। এর জন্য গ্লুকোজের গলনাঙ্ক কম হয়।
৩.৮ নিচের যৌগগুলির মধ্যে তড়িৎযোজী আর সমযোজী যৌগ সনাক্ত করো –
LiH, NH₃, KCI, C₂H₆
Ans: তড়িৎযোজী যৌগ – LiH, KCI
সমযোজী যৌগ – NH₃, C₂H₆
৩.৯ উত্তপ্ত সোডিয়ামের ওপর দিয়ে শুদ্ধ অ্যামোনিয়া গ্যাস চালনা করলে কি ঘটবে, শমিত রাসায়নিক সমীকরণ সহ লেখো। ২
Ans: 360°C উষ্ণতায় উত্তপ্ত সোডিয়ামের (Na) ওপর দিয়ে শুদ্ধ অ্যামোনিয়া (NH₃) গ্যাস চালনা করলে মোমের মতো সাদা কঠিন সোডিয়াম অ্যামাইড (NaNH₂) বা সোডাৃাইড এবং হাইড্রোজেন গ্যাস (H₂) উৎপন্ন হয়।
এই বিক্রিয়ার রাসায়নিক সমীকরণ হল:
2Na + 2NH₃ = 2NaNH₂ + H₂
বিভাগ – ঘ
৪। নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দাও (বিকল্প প্রশ্নগুলি লক্ষণীয়):
৪.১ আধুনিক পর্যায় সুত্রটি লেখো। শ্রেণি 1 থেকে 2 এবং শ্রেণি 13 থেকে 17 পর্যায় বরাবর মৌলগুলির পারমাণবিক ব্যাসার্ধের প্রবণতা আলোচনা করো। ১+২
Ans: আধুনিক পর্যায় সূত্র হলো, “মৌলসমূহের ভৌত ও রাসায়নিক ধর্ম তাদের পারমাণবিক সংখ্যা বৃদ্ধির সঙ্গে পর্যায় ক্রমে আবর্তিত হয়”।
▶️ পর্যায় বরাবর পর্যায়-সারণির বামদিকে থেকে যদি ডানদিকে যাওয়া যায় তবে মৌলগুলির পারমাণবিক ব্যাসার্ধ কমে যায়। সুতরাং পর্যায় বরাবর 1 নং শ্রেণির মৌলগুলির থেকে 2 নং শ্রেণির মৌলগুলির পারমাণবিক ব্যাসার্ধ কম হবে।
যেমন দ্বিতীয় পর্যায়ের ক্ষেত্রে: Li > Be
অনুরূপে 13 নং শ্রেণির মৌলগুলির থেকে 17 নং শ্রেণির মৌলগুলিরও পর্যায় বরাবর পারমাণবিক ব্যাসার্ধ ক্রমশঃ কমতে থাকবে।
যেমন দ্বিতীয় পর্যায়ের ক্ষেত্রে: B > C > N > O > F
অথবা
আধুনিক পর্যায় সারণীতে হাইড্রোজেনের অবস্থান ব্যাখ্যা করো। পর্যায় সারণির কোন্ শ্রেণিতে কঠিন, তরল এবং গ্যাসীয় মৌল অবস্থান করে? ২+১
Ans: পর্যায় সারণিতে হাইড্রোজেনের অবস্থান বিতর্কমুলক। অনেকের মতে একে পর্যায় সারণির IA শ্রেণিতে আবার কারও মতে এটি VIIA শ্রেণিতে বসতে পারে।
IA শ্রেণির ক্ষার ধাতুর মতো হাইড্রোজেনর যোজ্যতা 1 এবং ক্ষার ধাতুর ন্যায় হাইড্রোজেনও হ্যালোজেনের সাথে যুক্ত হয়ে হ্যালাইড গঠন করে। তাই হাইড্রোজেনকে IA শ্রেণিতে রাখা হয়।
আবার VIIA শ্রেণির হ্যালোজেনসমূহের ন্যায় হাইড্রোজেনও একটি অধাতু এবং হ্যালোজেনসমূহের ন্যায় হাইড্রোজেনও দ্বিপরমাণুক। তাই হাইড্রোজেনকে VIIA শ্রেণিতেও রাখা যেতে পারে।
▶️ আধুনিক পর্যায় সারণির 17 নম্বর শ্রেণিতে কঠিন, তরল, এবং গ্যাসীয় মৌল অবস্থান করে।
৪.২ পিতলের চামচে নিকেলের তড়িৎ লেপনের জন্য ক্যাথোড, অ্যানোড এবং তড়িদবিশ্লেষ্য হিসাবে কী কী পদার্থ ব্যবহৃত হয়? ৩
Ans: পিতলের চামচে নিকেলের তড়িৎ লেপনের জন্য,
ক্যাথোড হিসেবে পিতলের চামচ,
অ্যানোড হিসেবে বিশুদ্ধ নিকেলের পাত, এবং
তড়িৎ বিশ্লেষ্য হিসেবে বোরিক অ্যাসিড মিশ্রিত অ্যামোনিয়াম সালফেট [(NH₄)₂SO₄] এবং নিকেল সালফেটের (NiSO₄) জলীয় দ্রবণ ব্যবহার করা হয়।
৪.৩ লেড নাইট্রেটের জলীয় দ্রবণে হাইড্রোজেন সালফাইড পাঠালে, কি ঘটবে শমিত রাসায়নিক সমীকরণসহ লেখো। ৩
Ans: লেড নাইট্রেটের জলীয় দ্রবণে হাইড্রোজেন সালফাইড পাঠালে, লেড নাইট্রেটের সাথে হাইড্রোজেন সালফাইডের বিক্রিয়ায় কালো রঙের লেড সালফাইড উৎপন্ন হয়। ফলে দ্রবণের বর্ন কালো হয়ে যায়।
শমিত রাসায়নিক সমীকরণ:
Pb(NO₃)₂ + H₂S → PbS + 2HNO₃
৪.৪ 1, 2 ডাইব্রোমোইথেন এবং 1, 1, 2, 2 টেট্রারোমো ইথেনের গঠন। সংকেত লেখো। ইথাইল অ্যালকোহলের সঙ্গে গাঢ় সালফিউরিক অ্যাসিড মিশিয়ে উত্তপ্ত করলে, যে জৈবযৌগটি উৎপন্ন হয়, তার নাম লেখো। ২+১
Ans:
1,2 ডাইব্রোমোইথেনের গঠন সংকেত
H Br
| |
H - C - C - H
| |
Br H

1,1,2,2 টেট্রারোমো ইথেনের গঠন সংকেত

Br Br
| |
H - C - C - H
| |
Br Br
▶️ ইথাইল অ্যালকোহলের সঙ্গে (C₂H₅OH) গাঢ় সালফিউরিক অ্যাসিডের (H₂SO₄) মিশিয়ে উত্তপ্ত করলে ইথিলিন (C₂H₄) উৎপন্ন হয়।
অথবা
সি এন জি (CNG)-এর একটি ব্যবহার লেখো। মিথানল এবং ইথানলের একটি করে ক্ষতিকর প্রভাব আলোচনা করো। ১+২
Ans: গাড়িতে পেট্রোল, ডিজেল ইত্যাদি জীবাশ্ম জ্বালানীর বিকল্প হিসেবে সি এন জি ব্যবহার করা হয়।
▶️ মিথানলের ক্ষতিকর প্রভাব: মিথানল অপটিক নার্ভকে ক্ষতিগ্রস্ত করে অন্ধত্ব রোগ সৃষ্টি করে।
▶️ ইথানলের ক্ষতিকর প্রভাব: ইথানল চামড়া ও চোখে জ্বালাপড়া সৃষ্টি করে।
৪.৫. অ্যাভোগ্যাড্রো সূত্রটি লেখো। শুদ্ধবায়ুর চেয়ে আর্দ্রবায়ু হালকা হয় – সাধারণ গাণিতিক হিসাব করে দেখাও। ১+২
Ans: অ্যাভোগ্যাড্রো সূত্র: একই চাপ ও উষ্ণতায়, সম-আয়তন সব গ্যাসের মধ্যে সমসংখ্যক অণু বর্তমান থাকে।
▶️ শুষ্ক বায়ুতে উপাদান হিসেবে নাইট্রোজেন (N₂) থাকে প্রায় 78% এবং অক্সিজেন (O₂) থাকে প্রায় 21%। বাকি 1% অন্যান্য গ্যাস থাকে।
শুষ্ক বায়ুতে নাইট্রোজেন ও অক্সিজেন প্রায় 4 : 1 অনুপাতে থাকে।
∴ শুষ্ক বায়ুর গড় মোলার ভর হয়
= ^4×28+1×32/₄₊₁
= ¹¹²⁺³²/₅ = ¹⁴⁴/₅ = 28.8 গ্রাম।
আবার, আর্দ্র বায়ুর মূল উপাদান জলীয় বাষ্প যার মোলার ভর 18 গ্রাম। সুতরাং শুষ্ক বায়ুর সঙ্গে জলীয় বাষ্প মিশে যখন আর্দ্র বায়ু হয় তখন তার গড় মোলার ভর 28.8 গ্রাম থেকে কম হয়। তাই শুষ্কবায়ুর চেয়ে আর্দ্রবায়ু হালকা হয়।
৪.৬ একটি আবদ্ধ পাত্রে 1 গ্রাম ম্যাগনেসিয়াম, 0.5 গ্রাম অক্সিজেনের উপস্থিতিতে পোড়ানো হলে, কোন্ বিক্রিয়কটি উদ্বৃত্ত থাকবে। উদ্বৃত্ত বিক্রিয়কটির পরিমাণ নির্ণয় করো। [Mg=24, O=16]
Ans:
2Mg + O2 = 2MgO
2×24 2×16
= 48 = 32
বিক্রিয়ায় ম্যাগনেসিয়াম ও অক্সিজেনের অনুপাত
= 48 : 32 = 3 : 2
ব্যবহৃত বিক্রিয়কের অনুপাত
= 1 : 0.5 = 2 : 1 = 4 : 2
∴ ম্যাগনেসিয়াম উদ্বৃত্ত থাকবে।
32 গ্রাম অক্সিজেন পোড়ায় 48 গ্রাম ম্যাগনেসিয়ামকে
1 গ্রাম অক্সিজেন পোড়ায় ⁴⁸/₃₂ গ্রাম ম্যাগনেসিয়ামকে
0.5 গ্রাম অক্সিজেন পোড়ায় ⁴⁸/₃₂×0.5 গ্রাম ম্যাগনেসিয়ামকে
= 3/4 = 0.75 গ্রাম ম্যাগনেসিয়ামকে
উত্তর: উদ্বৃত্ত বিক্রিয়কটির পরিমাণ =(1 -0.75) = 0.25 গ্রাম ম্যাগনেসিয়াম
অথবা
কত গ্রাম CaCO₃ -এর সঙ্গে অতিরিক্ত লঘু HCI বিক্রিয়া করে 66 গ্রাম CO₂ উৎপন্ন করবে। [Ca=40, C=12, O=16]
Ans:
CaCO₃ + 2HCl = CaCl₂ + CO₂ + H₂O
40+12+3×16 12+2×16
=52+48 =12+32
=100 =44
44 গ্রাম CO₂ এর জন্য CaCO₃ প্রয়োজন 100 গ্রাম
1 গ্রাম CO₂ এর জন্য CaCO₃ প্রয়োজন ¹⁰⁰/₄₄ গ্রাম
66 গ্রাম CO₂ এর জন্য CaCO₃ প্রয়োজন ¹⁰⁰/₄₄×66 = 150 গ্রাম
উত্তর: 150 গ্রাম CaCO₃ প্রয়োজন।
৪.৭ একটি রেল লাইনের পরপর দুই পাতের মধ্যে নির্দিষ্ট ব্যবধানে ফাঁক রাখা হয় কেন। দৈর্ঘ্য প্রসারণ গুণাঙ্ক (α), ক্ষেত্রপ্রসারণ গুণাঙ্ক (β) এবং আয়তন প্রসারণ গুণাঙ্ক (γ) -এর মধ্যে সম্পর্কটি লেখো। ২+১
Ans: দিনের বিভিন্ন সময়ে বা বিভিন্ন ঋতুতে তাপমাত্রার বিভিন্নতার জন্য রেল লাইনের দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি বা হ্রাস পায়। কিন্তু দুটি লাইনের মধ্যে ফাঁক থাকার জন্য লাইনগুলি বাড়ার জায়গা পায়। লাইনগুলি মুখে মুখে জোড়া থাকলে উত্তাপে আর বাড়ার জায়গা না পেয়ে মাটি ছেড়ে উপরে উঠে পড়ত। ফলে দুর্ঘটনা ঘটত। তাই রেল লাইনের পরপর দুই পাতের মধ্যে নির্দিষ্ট ব্যবধানে ফাঁক রাখা হয়।
▶️ α, β এবং γ এর মধ্যে সম্পর্ক হলঃ
α = ^β/₂ =^γ/₃
অথবা
10°C তাপমাত্রায় একটি লোহার রডের দৈর্ঘ্য 20 সেমি হলে, 110°C তাপমাত্রায় রডটির দৈর্ঘ্য কত হবে নির্ণয় করো। (লোহার আয়তন প্রসারণ গুণাঙ্ক =36×10^-6/℃]
Ans: এখানে প্রাথমিক দৈর্ঘ্য (l₁) = 20 সেমি;
প্রাথমিক তাপমাত্রা (t₁) = 10°C
অন্তিম দৈর্ঘ্য (l₁) =?
অন্তিম তাপমাত্রা (t₂) = 110°C
লোহার আয়তন প্রসারণ গুণাঙ্ক (γ) = 36×10^-6/℃
সুতরাং লোহার দৈর্ঘ্য প্রসারণ গুণাঙ্ক (α)
= 36×10^-6/℃/3
= 12×10^-6/℃
আমরা জানি,
α = ^{l₂ – l₁}/_{l₁(t₂ – t₁)}
বা, l₂ = l₁ + α.l₁(t₂ – t₁)
বা, l₂ = 20 + 20×12×10^-6×(110 – 10)
∴ l₂ = 20 + 240×10^-6×100
বা, l₂ = 20 + 24×10^-3
বা, l₂ = 20 + 0.024 = 20.024
উত্তর : 110°C তাপমাত্রায় রডটির দৈর্ঘ্য 20.024 সেমি।
৪.৮ প্রমাণ করো, আয়তাকার কাচের ফলকে আপতিত আলোক রশ্মি এবং ফলক থেকে নির্গত আলোক রশ্মি পরস্পরের সমান্তরাল হবে। ৩

Ans:

ABCD একটি আয়তাকার কাচের ফলক যার AB ও CD হল দুটি সমান্তরাল পৃষ্ঠ। একটি রশ্মি PQ বায়ু মাধ্যম থেকে কাচের ফলকের AB পৃষ্ঠের Q বিন্দুতে প্রতিসরণের পর কাচের ফলকের মধ্য দিয়ে QR পথে যায়। এই রশ্মিটি CD পৃষ্ঠের R বিন্দুতে পুনরায় আবার প্রতিসৃত হয়ে RS পথে বায়ুতে বেরিয়ে যায়। ধরা যাক Q বিন্দুতে আপতন কোণ এবং প্রতিসরণ কোণ যথাক্রমে I₁ এবং r₁। বায়ু সাপেক্ষে কাচের প্রতিসরাঙ্ক μ হলে,
প্রতিসরণের দ্বিতীয় সূত্রানুসারে,
μ = ^sini₁/_sinr₁ – – – – (i)
এখন R বিন্দুতে আলোক রশ্মি কাচ থেকে বায়ুতে প্রতিসৃত হয়।
আবার AB ও CD সমান্তরাল বলে Q ও Rবিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্ব দুটি পরস্পরের সমান্তরাল হয়।
∴R বিন্দুতে আপতন কোণ = Q বিন্দুতে প্রতিসরণ কোণ = r₁ – – (একান্তর কোণ)।
R বিন্দুতে প্রতিসরণ কোণ i₂ হলে,
∴ ¹/_μ = ^sinr₁/_sini₂ – – – – (ii)
(i)×(ii) করে পাই,
μ× ¹/_μ = ^sini₁/_sinr₁×^sinr₁/_sini₂
⇒ 1= ^sini₁/_sini₂
⇒sini₁ = sini₂
∴ i₁ = i₂
অর্থাৎ আপতিত ও নির্গত রশ্মিদুটি পরস্পর সমান্তরাল হয়।
অতএব, আয়তাকার কাচের ফলকে আপতিত আলোক রশ্মি এবং ফলক থেকে নির্গত আলোক রশ্মি পরস্পরের সমান্তরাল। (প্রমানিত)
অথবা
একটি প্রিজমের প্রতিসরাঙ্ক μ এবং প্রতিসারক কোণ A। প্রিজমের একটি প্রতিসারক তলে আলোকরশ্মি লম্বভাবে আপতিত হল। আলোকরশ্মির চ্যুতিকোণ D হলে, μ, A এবং D-এর মধ্যে সম্পর্ক প্রতিষ্ঠা করো। ৩
Ans:

XYZ একটি প্রিজমের প্রধান ছেদ যার ∠X প্রিজমের প্রতিসারক কোণ, XY এবং XZ দুটি প্রতিসারক তেল এবং YZ হল প্রিজমের ভূমি।
এখানে প্রিজমের প্রতিসরাঙ্ক = μ;
প্রতিসারক কোণ ∠X = A
আলোকরশ্মির চ্যুতিকোণ = D
ধরি আলোকরশ্মি PQ বায়ুর মধ্য দিয়ে গিয়ে কাচের প্রিজমের XY প্রতিসারক তলের Q বিন্দুতে লম্বভাবে আপতিত হল। সুতরাং আপতিত আলোকরশ্মি দিক পরিবর্তন না করে XZ-তে R বিন্দুতে আপতিত হবে। R বিন্দু থেকে প্রতিসরণের পর RS পথে নির্গত হবে।
MN হল R বিন্দুতে XZ-এর উপর অভিলম্ব।
∠PQX = 90°;
∠A = A
∴ ∠QRX = 90° – A
∴ আপতন কোণ = ∠QRN = 90° – (90° – A) = A
∠MRT = A;
চ্যুতিকোণ ∠TRS = D
∴ প্রতিসরন কোণ = ∠MRS
= ∠MRT + ∠TRS = A + D
∴ μ = ^sin(A+D)/_sinA
৪.৯ দীর্ঘদৃষ্টি বা হাইপারমেট্রোপিয়া কি? এর প্রতিকারে কোন ধরণের লেন্স ব্যবহার করবে? ২+১
Ans: যদি চোখ দুরের বস্তুকে স্পষ্ট দেখতে পায় কিন্তু কাছের বস্তুকে স্পষ্ট দেখতে না পায় তাহলে চোখের দৃষ্টিজনিত ত্রুটিকে দীর্ঘদৃষ্টি বা হাইপারমেট্রোপিয়া বলে।
▶️ দীর্ঘদৃষ্টি বা হাইপারমেট্রোপিয়া প্রতিকারে উপযুক্ত ফোকাস দৈর্ঘ্যের উত্তল লেন্স ব্যবহার করতে হবে।
৪.১০ তিনটি 20 ওহম রোধকে শ্রেণি সমবায়ে যুক্ত করে, সমবায়টি 30 ওহম রোধের সঙ্গে সমান্তরাল সমবায়ে যুক্ত করা হল, অন্তিম সমবায়ের তুল্যরোধ নির্ণয় করো।
Ans:
তিনটি 20 ওহম রোধকে শ্রেণি সমবায়ে যুক্ত করলে তুল্যরোধ হবে = (20 + 20 + 20) = 60 ওহম
সমবায়টি 30 ওহম রোধের সঙ্গে সমান্তরাল সমবায়ে যুক্ত করা হলে,
অন্তিম সমবায়ের তুল্যরোধ R ওহম হলে,
¹/_R = ¹/₆₀ + ¹/₃₀
বা, ¹/_R = ¹⁺²/₆₀ = ¹/₂₀
বা, R = 20
উত্তর : অন্তিম সমবায়ের তুল্যরোধ 20 ওহম
অথবা
একই মানের তিনটি রোধকে শ্রেণি সমবায়ে যুক্ত করে ওদের দু-প্রান্তে একটি তড়িৎচালক বলের উৎস যোগ করা হলে 10 W ক্ষমতা ব্যয়িত হয়। রোধ তিনটিকে সমান্তরাল সমবায়ে যুক্ত করে একই তড়িৎচালক বল প্রয়োগ করলে কত Watt ক্ষমতা ব্যয়িত হবে। ৩
Ans: ধরি তিনটি রোধ x ওহম।
তিনটি রোধকে শ্রেণি সমবায়ে যুক্ত করলে তুল্যরোধ হবে = 3x ওহম।
এখানে ক্ষমতা (P) = 10 W
আমরা জানি ,
P = ^V²/_r
বা, 10 = ^V²/_3x
বা, V² = 30x
রোধ তিনটিকে সমান্তরাল সমবায়ে যুক্ত করলে তুল্যরোধ (R) হলে,
¹/_R = ¹/_x + ¹/_x + ¹/_x
বা, ¹/_R = ³/_x
বা, R = ^x/₃
∵ P = ^V²/_r
∴ P = ^30x/_^x/₃
বা, P = 90
উত্তর : 90 Watt ক্ষমতা ব্যয়িত হবে।
৪.১১ লেন্জের সূত্রটি লেখো। লেন্জের সূত্রটি শক্তির সংরক্ষণ সূত্র মেনে চলে – যুক্তি দাও। ১+২
Ans: লেঞ্জের সূত্র: তড়িৎচুম্বকীয় আবেশের ক্ষেত্রে আবিষ্ট তড়িৎচালক বলের অভিমুখ এমন হয় যেন এই আবিষ্ট তড়িৎচালক বল বর্তনীতে তড়িৎপ্রবাহ সৃষ্টির কারণকে বাধা দিতে পারে।
▶️ লেঞ্জের সূত্র অনুযায়ী, যখন চৌম্বক ক্ষেত্র পরিবর্তিত হয়, তখন এটি একটি আবিষ্ট তড়িৎচালক বল উৎপন্ন করে। এই আবিষ্ট তড়িৎচালক বলের ফলে যে বর্তনী সৃষ্টি হয়, তা চৌম্বক ক্ষেত্রের পরিবর্তনের বিরুদ্ধে কাজ করে এবং এটি শক্তিকে সৃষ্টি বা ধ্বংস করতে বাধা দেয়, এইভাবে লেঞ্জের সূত্র শক্তি সংরক্ষণের সূত্র মেনে চলে।
১২ ভর বিচ্যুতি বলতে কি বোঝ? হিলিয়াম নিউক্লিয়াসের (⁴₂He) ভর বিচ্যুতি কত হবে যদি প্রোটন, নিউট্রন এবং হিলিয়াম নিউক্লিয়াসের ভর যথাক্রমে 1.00728, 1.00867 এবং 4.0015 amu হয়? ১+২
Ans:
কোনা নিউক্লিয়াস মধ্যস্থ প্রোটন ও নিউট্রনগুলির মোট ভর এবং নিউক্লিয়াসের প্রকৃত ভরের পার্থক্যকে নিউক্লিয়াসটির ভর বিচ্যুতি বলে।
▶️ হিলিয়ামের নিউক্লিয়াসে 2টি প্রোটন ও (4-2)=2টি নিউট্রন থাকে।
হিলিয়াম নিউক্লিয়াসের 2টি প্রোটন ও 2টি নিউট্রনের মোট ভর
= (2×1.00728 + 2×1.00867) amu
= (2.01456 + 2.01734) amu = 4.03190 amu
হিলিয়াম নিউক্লিয়াসের প্রকৃত ভর = 4.0015 amu
হিলিয়াম নিউক্লিয়াসের (He) ভর বিচ্যুতি
= হিলিয়াম নিউক্লিয়াসের প্রোটন ও নিউট্রনের মোট ভর – হিলিয়াম নিউক্লিয়াসের প্রকৃত ভর
= (4.03190 – 4.0015) amu = 0.0304 amu
উত্তর : হিলিয়াম নিউক্লিয়াসের (He) ভর বিচ্যুতি 0.0304 amu
MP 2025 Mathematics Solution
February 25, 2025

Madhyamik -25 Mathematics Solution

মাধ্যমিক ২৫ গণিত সমাধান

Madhyamik -25 Mathematics Solution

2025
MATHEMATICS
Time – 3 Hours 15 Minutes

First 15 minutes for reading the question paper only)
Full Marks – 90 – For Regular Candidates
100 – For External Candidates
Special credit will be given for answers which are brief and to the point
Marks will be deducted for spelling mistakes, untidiness and had handwriting

[ 1, 2, 3, 4 প্রশ্নগুলির উত্তর প্রশ্নসংখ্যা লিখে অবশ্যই ক্রমানুযায়ী উত্তরপত্রের প্রথম দিকে লিখতে হবে। এর জনা প্রয়োজনবোধে গননা ও চিত্র অঙ্কন উত্তরপত্রের ডানদিকে মার্জিন টেনে করতে হবে। কোনো প্রকার সারণি বা গণকযন্ত্র ব্যবহার করা যাবে না। গগনার প্রয়োজনে π-এর আসন্ন মান ²²/₇ ধরে নিতে হবে। গ্রাফ পেপার প্রশ্নপত্রের সাথেই দেওয়া হবে। পাটিগণিতের অঙ্ক বীজগাণিতিক পদ্ধতিতে করা যেতে পারে।]

[দৃষ্টিহীন পরীক্ষার্থীদের জন্য ।। নং প্রশ্নের বিকল্প দেওয়া আছে 7 নং পৃষ্ঠায়]
[16 নং অতিরিক্ত প্রশ্ন কেবলমাত্র বহিরাগত পরীক্ষার্থীদের জন্য 8 নং পৃষ্ঠায় দেওয়া আছে]

2024 সালের মাধ্যমিকের সকল বিষয়ের pdf download করার link নীচে দেওয়া হল –

বাংলা (Bengali) 2024 সালের মাধ্যমিক প্রশ্নপত্রের pdf download করতে এখানে ক্লিক করো।
ইংরেজি (English) 2024 সালের মাধ্যমিক প্রশ্নপত্রের pdf download করতে এখানে ক্লিক করো।
গণিত (Mathematics) 2024 সালের মাধ্যমিক প্রশ্নপত্রের pdf download করতে এখানে ক্লিক করো।

ইতিহাস (History) 2024 সালের মাধ্যমিক প্রশ্নপত্রের pdf download করতে এখানে ক্লিক করো।
ভূগোল (Geography) 2024 সালের মাধ্যমিক প্রশ্নপত্রের pdf download করতে এখানে ক্লিক করো।
জীবনবিজ্ঞান (Life Science) 2024 সালের মাধ্যমিক প্রশ্নপত্রের pdf download করতে এখানে ক্লিক করো।
ভৌতবিজ্ঞান (Physical Science) 2024 সালের মাধ্যমিক প্রশ্নপত্রের pdf download করতে এখানে ক্লিক করো।

মাধ্যমিক পরীক্ষার গণিত প্রশ্নপত্র-এর সম্পূর্ণ সমাধান — Complete Solution of MP Math

1. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির প্রতিটি ক্ষেত্রে সঠিক উত্তরটি নির্বাচন করো: 1×6=6

(i) উর্দ্ধক্রমে সাজানো 27, 31, 46, 52, x, y+2, 71, 79, 85, 90 রাশি তথ্যের মধ্যমা 64 হলে x + y – এর মান –
(a) 125. (b) 126 (c) 127 (d) 128
Ans: (b) 126
[মোট পদ সংখ্যা টি
∴ মধ্যমা 5-তম এবং 6-তম পদের গড়
= ^{x + y + 2}/₂
∴ ^{x + y + 2}/₂ = 64
⇒ x + y + 2 = 128
⇒ x + y = 126]

(ii) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙ ও একটি অর্ধ-গোলকের ব্যাসার্ধ সমান এবং এদের আয়তনও সমান। চোঙটির উচ্চতা অপেক্ষা অর্ধ-গোলকটির উচ্চতা শতকরা কত বেশী?
(a) 25% (b) 50% (c) 100% (d) 200%
Ans: (b) 50%
[লম্ব বৃত্তাকার চোঙ ও একটি অর্ধ-গোলকের ব্যাসার্ধ = r
ধরি চোঙটির উচ্চতা h
অর্ধ-গোলকটির উচ্চতা = ব্যাসার্ধ = r
∴ πr²h = ²/₃πr³
⇒ r = ³/₂h
∴ অর্ধ-গোলকটির উচ্চতা বেশী
= r – h
= ³/₂h – h =
= ^h/₂ = ^h/₂× 100%
= h× 50%]

(iii) একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য secθ, 1 এবং tanθ, (θ ≠ 90°) হলে, ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোনের মান –
(a) 30° (b) 45° (c) 60° (d) 90°
Ans: (d) 90°
[∵ sec²θ = 1 + tan²θ
∴ ত্রিভুজটির সমকোণী ত্রিভুজ]

(iv) O কেন্দ্রীয় বৃত্তে AB একটি ব্যাস। AC জ্যা কেন্দ্রে 60° কোণ উৎপন্ন করলে ∠OCB -এর মান হবে –
(a) 20° (b) 30° (c) 40° (d) 50°

Ans: (b) 30°
[∠COA = 60°
∴ ∠OCA =∠OAC – – – – [∵ OA = OC]
= ^{180° – 60°}/₂ = 60°
∠OCB
= ∠ACB – ∠ACO
= 90° – 60° = 30°]

(v) a : 2 = b : 5 হলে a, b – এর কত % এর সমান হবে –
(a) 20 (b) 30 (c) 40 (d) 50
Ans: (c) 40
[a : 2 = b : 5
⇒ a = ^2b/₅
⇒ a= ^2b/₅× 100% = b×40%]

(vi) বার্ষিক X% সরল সুদের হারে Y টাকার Z মাসের সুদ হবে-
(a) ^XYZ/₁₂₀₀ (b) ^XYZ/₁₀₀ (c) ^XYZ/₂₀₀ (d) ^XYZ/₁₂₀
Ans: (a) ^XYZ/₁₂₀₀
[I = ^prt/₁₀₀
⇒ I = ^YXZ/_12×100 = ^XYZ/₁₂₀₀]

2. শূন্যস্থান পূরণ করো (যে কোনো পাঁচটি): 1×5=5

(i) (p + q) সংখ্যক সংখ্যার গড় x, এর মধ্যে p সংখ্যক সংখ্যার গড় y হলে, অবশিষ্ট q সংখ্যক সংখ্যার গড় হবে ___________।
Ans: ^{px + qx – p y}/_q
[(p + q) সংখ্যক সংখ্যার সমষ্টি =(p + q)× x
p সংখ্যক সংখ্যার সমষ্টি = p ×y
q সংখ্যক সংখ্যার সমষ্টি = (p + q)x – p y
q সংখ্যক সংখ্যার গড় = ^{px + qx – p y}/_q]

(ii) r একক দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি নিরেট অর্ধগোলক থেকে সর্ববৃহৎ যে নিরেট শঙ্কু কেটে নেওয়া যাবে তার আয়তন ___________।
Ans: ¹/₃πr³

(iii) যদি sin²θ + 2xcos²θ = 1 হয়, তবে x-এর মান হবে ___________।
Ans: ¹/₂
[sin²θ + 2xcos²θ = 1
⇒ 2xcos²θ = 1 – sin²θ
⇒ 2xcos²θ = cos²θ
∴ 2x = 1
∴ x = ¹/₂]

(iv) একই তলে অবস্থিত দুটি বৃত্তের 3 টি সাধারণ স্পর্শক হলে বৃত্ত দুটি পরস্পরকে ___________ করবে।
Ans: বহিঃস্পর্শ

(v) যদি x(4 – √3) = y(4 + √3) = 1 হয়, তাহলে x² + y² -এর মান হবে ___________।
Ans: ³⁸/₁₆₉
[x(4 – √3) = y(4 + √3) = 1
∴ x = ¹/_{4 – √3}
⇒ x = ^{4 + √3}/_{(4 – √3)(4 + √3)}
⇒ x= ^{4 + √3}/_{16 – 3} = ^{4 + √3}/₁₃
আবার y = ¹/_{4 + √3}
⇒ y = ^{4 – √3}/_{(4 + √3)(4 – √3)}
⇒ x= ^{4 – √3}/_{16 – 3} = ^{4 – √3}/₁₃
∴ x² + y²
= (^{4 + √3}/₁₃)² + (^{4 – √3}/₁₃)²
= ¹/₁₆₉[(4 + √3)² + (4 – √3)² ]
⇒ ¹/₁₆₉[2{(4)² + (√3)² }]
= ¹/₁₆₉[2(16 + 3) ]
= ³⁸/₁₆₉]

(vi) একটি বাবসায় পিন্টু আমনের 1¹/₂ গুণ টাকা দিয়েছিল এবং ডেভিড, আমনের 2¹/₂ গুণ টাকা দিয়েছিল। আমন, পিন্টু ও ডেভিডের মূলধনের অনুপাত হবে ___________।
Ans: 2 : 3 : 5
[ধরি আমন দেয় x টাকা
∴ পিন্টু দেয় = x.1¹/₂ = ^3x/₂ টাকা
ডেভিড দেয় = x.2¹/₂ = ^5x/₂ টাকা
∴ আমন, পিন্টু ও ডেভিডের মূলধনের অনুপাত
= x : ^3x/₂ : ^5x/₂
= 1 : ³/₂ : ⁵/₂ = 2 : 3 : 5]

3. সত্য বা মিথ্যা লেখো (যে কোনো পাঁচটি): 1×5=5

(i) সংখ্যাগুরু মান = 2×মধ্যমা – 3×যৌগিক গড়।
Ans: মিথ্যা

(ii) শঙ্কুর আয়তন x, ভূমির ক্ষেত্রফল y এবং উচ্চতা z হলে ^x/_yz এর মান 3 হবে।
Ans: মিথ্যা
[ধরি শঙ্কুর ব্যাসার্ধ r
এবং উচ্চতা z
∴ x = ¹/₃πr²z
y = πr²
∴ ^x/_yz
= ^1/₃πr2z/_πr².z = ¹/₃]

(iii) 0° < θ < 90° হলে sinθ < sin²θ হবে।
Ans: মিথ্যা
[ 0° < θ < 90°
⇒ sin0° < sinθ < sin90°
⇒ 0 < sinθ < 1
∴ sinθ < 1
⇒ sinθ .sinθ < 1.sinθ – – – – – [sinθ > 0]
⇒ sin²θ < sinθ

(iv) ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। ∠ADB = x° এবং ∠ABD = y° হলে, ∠BCD এর মান হবে (x + y)°
Ans: সত্য

[∠ADB = x° এবং ∠ABD = y°
∴ ∠DAB = 180° – x° – y°
আবার ∠DCB + ∠DAB = 180°
বা ∠DCB = 180° – ∠DAB
বা ∠DCB = 180° – 180° + x° + y°
∴ ∠DCB = x° + y°]

(v) 6x² + x + k = 0 সমীকরণের বীজদ্বয়ের বর্গের সমষ্টি ²⁵/₃₆ হলে, k-এর মান হবে 12
Ans: মিথ্যা
[6x² + x + k = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় α ও β হলে,
α + β = –¹/₆
αβ = ^k/₆
∴ α² + β² = (α + β)² – 2αβ
বা α² + β² = (-¹/₆ )² – 2.^k/₆
বা α² + β² = ¹/₃₆ -.^k/₃
প্রশ্নানুযায়ী,
¹/₃₆ -.^k/₃ = ²⁵/₃₆
⇒ 1 – 12k = 25
⇒ – 12k = 24
∴ k= -2]

(vi) একটি যৌথ ব্যবসায় দুই বন্ধুর মধ্যে একজন xyz টাকা y মাসের জন্য এবং অপরজন y²z টাকা x মাসের জন্য নিয়োজিত করে। চুক্তির শেষে তাদের লভ্যাংশের অনুপাত হবে x : y
Ans: মিথ্যা
[ প্রথম ও দ্বিতীয় বন্ধুর মূলধনের অনুপাত
= xyz.y : y²z.x = xy²z : xy²z = 1 : 1
∴ তাদের লভ্যাংশের অনুপাত হবে 1 : 1]

4. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দাও (যে কোনো দশটি): 2×10= 20

(i) প্রথম (2n + 1) সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্যমা হলো ^{(n + 103)}/₃, n -এর মান নির্ণয় করো।
Solution:
2n + 1 একটি অযুগ্ম সংখ্যা
∴ প্রথম (2n + 1) সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্যমা হলো
= ^{2n + 1 +1}/₂ =n + 1
প্রশ্নানুযায়ী
n + 1= ^{(n + 103)}/₃
বা 3n + 3= n + 103
বা 2n = 100
বা n = 50
Ans: n -এর মান 50

(ii) দুটি লম্ব বৃত্তাকার নিরেট চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 2:3 এবং উচ্চতার অনুপাত 5:3 হলে, তাদের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কতো?
Solution:
ধরি, লম্ব বৃত্তাকার চোঙ দুটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে r₁ ও r₂ একক এবং উচ্চতা h₁ ও h₂ একক।
∴ r₁ : r₂ = 2 : 3 এবং
h₁ : h₂ = 5 : 3
তাদের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত

$$\large{=2πr_{1}h_{1}:2πr_{2}h_{2}\\=\frac{2πr_{1}h_{1}}{2πr_{2}h_{2}}\\=\left(\frac{r_1}{r_2}\right)×\left(\frac{h_1}{h_2}\right)\\=\left(\frac{2}{3}\right)×\left(\frac{5}{3}\right)\\=\frac{10}{9}\\=10:9}$$

(iii) একটি আয়তঘনের ধারগুলির সংখ্যা x. তলগুলির সংখ্যা y হলে, ‘a’ এর সর্বনিম্ন মান কতো হলে (x + y + a) একটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে।
Solution:
আয়তঘনের ধারগুলির সংখ্যা x= 12 এবং তলগুলির সংখ্যা y =6
∴ x + y =12+6=18
18 এর সঙ্গে 7 যোগ করলে 25 বা (5)² হয় যা একটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা।
Ans: ‘a’ এর সর্বনিম্ন মান 7

(iv) cos⁴θ – sin⁴θ = ²/₃ হলে, 1 – 2sin²θ এর মান নির্ণয় করো।
Solution:
cos⁴θ – sin⁴θ = ²/₃
বা (cos²θ)² – (sin^²θ)² = ²/₃
বা (cos²θ + sin^²θ)(cos²θ – sin^²θ) = ²/₃
⇒ 1.(cos²θ – sin^²θ) = ²/₃
⇒ 1 – sin²θ – sin^²θ = ²/₃
বা 1 -2sin^²θ = ²/₃
Ans: 1 – 2sin²θ এর মান ²/₃

(v) sin(θ + 30°) = cos15° হলে, cos 2θ এর মান কতো।
Solution:
sin(θ + 30°) = cos15°
বা sin(θ + 30°) = sin(90° – 15°) = sin75°
বা θ + 30° = 75°
∴ θ = 75° – 30° = 45 °
cos 2θ = cos 2.45 ° = cos90° = 0
Ans: cos 2θ এর মান 0

(vi) ABCD আয়তক্ষেত্রের অভ্যন্তরে O বিন্দু এমনভাবে অবস্থিত যে OB = 6 সেমি, OD = 8 সেমি এবং OA = 5 সেমি। OC এর দৈর্ঘ্য নির্নয় করো।
Solution:
এখানে OB = 6 সেমি., OD = 8 সেমি. এবং OA = 5 সেমি.
ABCD আয়তাকার চিত্রের অভ্যন্তরে O একটি বিন্দু।
∴ AO² + OC² = BO² + OD²
∴ 5² + OC² = 6² + 8²
বা, OC² = 36 + 64 – 25
বা, OC² = 100 – 25 = 75
∴ OC = √75 = 5√3
Ans: OC-এর দৈর্ঘ্য 5√3 সেমি.

(vii) O-কেন্দ্রীয় বৃত্তের একটি বহিঃস্থ বিন্দু P থেকে PS ও PT দুটি স্পর্শক টানা হল। QS বৃত্তের একটি জ্যা যেটি PT এর সমান্তরাল। ∠SPT = 80° হলে ∠QST এর মান কতো?
Ans:

∠QST = ∠PTS – – – – [∵ PS ∥ PT এবং ST ভেদক]
আবার SP = TP
∴ ∠PTS = ∠PST
△ PTS এর ক্ষেত্রে,
∠PTS + ∠PST + ∠SPT = 180°
বা ∠PTS + ∠PTS + 80° = 180° – – – – [∵ ∠SPT = 80°]
বা 2∠PTS = 100°
∴ ∠PTS = 50°
∴ ∠QST = 50°
Ans: ∠QST এর মান 50°

(viii) দুটি সদৃশ ত্রিভুজের পরিসীমা যথাক্রমে 27 সেমি ও 16 সেমি, প্রথম ত্রিভুজের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য 9 সেমি হলে, দ্বিতীয় ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুর দৈর্ঘ্য কতো হবে নির্ণয় করো।
Solution:
দুটি সদৃশ ত্রিভুজের পরিসীমার অনুপাত 27ঃ16
∴ তাদের অনুরূপ বাহুর দৈর্ঘ্য-এর অনুপাতও সমান হবে।
ধরি দ্বিতীয় ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুর দৈর্ঘ্য x সেমি
∴ 9 : x = 27: 16
বা 1 : x = 3: 16
বা x = ¹⁶/₃ = 5¹/₃
Ans: দ্বিতীয় ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুর দৈর্ঘ্য 5¹/₃ সেমি

(ix) x ∝ √y এবং y = a² যদি x = 2a হয় তাহলে ^x2/ _y এর মান নির্ণয় করো।
Solution:
x ∝ √y
বা x =k√y – – – – – [k একটি অশূন্য ধ্রুবক]
y = a² হয় যখন x = 2a
∴ 2a = k√a²
বা 2a = ka
বা k = 2
∴ x =2√y
বা x² =4y
বা ^x2/ _y =4
Ans: ^x2/ _y এর মান 4

(x) ^x/₂ = ^y/₃= ^z/₄ হলে ^{(3x + 4y + 8z)}/_{(x + 3y)} এর মান কতো?
Solution:
ধরি ^x/₂ = ^y/₃= ^z/₄ = k
∴ x = 2k;
y = 3k;
x = 4k
^{(3x + 4y + 8z)}/_{(x + 3y)}
= ^{(3.2k + 4.3k + 8,4k)}/_{(2k + 3.3k)}
= ^{(6k + 12k + 32k)}/_{(2k + 9k)}
⇒ ^50k/_11k
⇒ ⁵⁰/₁₁
Ans: ^{(3x + 4y + 8z)}/_{(x + 3y)} এর মান ⁵⁰/₁₁

(xi) কোনো ব্যবসায় A ও B এর মূলধনের অনুপাত 3 : 2, লাভের 5% দান করার পর B এর লাভ 798 টাকা হলে, মোট লাভ কতো?
Solution:
ধরি মোট লাভ x টাকা
লাভের 5% দান করার পর লভ্যাংশ থাকে
= x – x.⁵/₁₀₀
= x – ^x/₂₀ = ^19x/₂₀ টাকা
A ও B এর মূলধনের অনুপাত 3 : 2 হলে,
B এর লাভ = ^19x/₂₀ . ²/₅ = ^19x/₅₀
প্রশ্নানুযায়ী,
^19x/₅₀ = 798
বা x = 798 . ⁵⁰/₁₉
বা x = 42.50 = 2100
Ans: মোট লাভ 2100 টাকা

(xii) বার্ষিক সরল সুদের হার 5.5% থেকে কমে 4.5%, হলে এক ব্যক্তির প্রাপা বার্ষিক সুদ 250 টাকা কম হয়। মূলধন কতো?
Solution:
বার্ষিক সরল সুদের হার 5.5% থেকে কমে 4.5%, হলে,
1 টাকা সুদ কমে 100 টাকায়
250 টাকা সুদ কমে 100×250 বা 25000 টাকায়
Ans: মূলধন 25000 টাকা

5. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

(i) কোনো যৌথ ব্যবসায়ে সমর ও মহিমের প্রত্যেকের মূলধন 20,000 টাকা। 6 মাস পরে সমর আরও 5,000 টাকা দিল কিন্তু মহিম 5,000 টাকা তুলে নিল। যদি বৎসরান্তে 32,000 টাকা লাভ হয়ে থাকে, তবে তাদের প্রত্যেকের লভ্যাংশ নির্ণয় করো

Solution:
1 মাস হিসাবে সমর ও মহিমের মূলধনের অনুপাত
= [20000×6 + (20000 + 5000)×6] : [20000×6 + (20000 – 5000)×6]
= [120000 + 25000×6] : [120000 + 15000×6]
⇒ [120000 + 150000] : [120000 + 90000]
⇒ 270000 : 210000
= 27 : 21 = 9 : 7
∴ বৎসরান্তে 32,000 টাকা লাভ হলে,
সমরের লভ্যাংশ = 32,000×⁹/₉₊₇
= 32,000×⁹/₁₆
= 2000×9 = 18000 টাকা
মহিমের লভ্যাংশ = 32,000×⁷/₁₆
= 2000×7 = 14000 টাকা
Ans: সমরের লভ্যাংশ 18000 টাকা
মহিমের লভ্যাংশ 14000 টাকা

(ii) 21,866 টাকাকে এমন দুটি অংশে ভাগ করো, যাতে প্রথম অংশের 3 বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি, দ্বিতীয় অংশের 5 বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধির সমান হয়, যেখানে বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি সুদের হার 5%।

Solution:
ধরি প্রথম অংশ x টাকা
∴ দ্বিতীয় অংশ (21,866 – x) টাকা
প্রথম অংশ x টাকার 3 বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি

$\Large{=x×\left ( 1+\frac{5}{100} \right )^{3}\\=x×\left ( 1+\frac{1}{20} \right )^{3}\\=x×\left ( \frac{20+1}{20} \right )^{3}\\=x×\left ( \frac{21}{20} \right )^{3}}$

দ্বিতীয় অংশ (21,866 – x) টাকার 5 বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি

$\Large{=(21,866 – x)×\left ( 1+\frac{5}{100} \right )^{5}\\=(21,866 – x)×\left ( 1+\frac{1}{20} \right )^{5}\\=(21,866 – x)×\left ( \frac{20+1}{20} \right )^{5}\\=(21,866 – x)×\left ( \frac{21}{20} \right )^{5}}$

প্রশ্নানুযায়ী,

$\Large{ x×\left ( \frac{21}{20} \right )^{3}=(21,866 – x)×\left ( \frac{21}{20} \right )^{5}\\⇒ x=(21,866 – x)×\left ( \frac{21}{20} \right )^{2}\\⇒x=(21,866 – x)× \frac{441}{400} }$

⇒ 400x = (21,866 – x)×441
⇒ 400x + 441x = 21,866×441
বা, 841x = 21,866×441
বা x = 26×441 =11466
∴ 21,866 – 11466 = 10400
Ans: অংশ দুটি হল 11466 টাকা ও 10400 টাকা ।

6. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

(i) 16 কে এরূপ দুই অংশে বিভক্ত করো যেন বৃহত্তর অংশের বর্গের দ্বিগুণ ক্ষুদ্রতর অংশের বর্গের চেয়ে 164 বেশী
Solution:
ধরি বৃহত্তর অংশ x
∴ অপর অংশ (16 – x)
প্রশ্নানুযায়ী,
2x² – (16 – x)² = 164
বা 2x² – 256 + 32x – x² – 164 = 0
বা x² + 32x – 420 = 0
⇒ x² + 42x – 10x – 420 = 0
⇒ x(x + 42) – 10(x + 42) = 0
বা (x + 42)(x – 10) = 0
হয় x + 42 = 0 নতুবা x – 10 = 0
x + 42 = 0 হলে, x = – 42
∴ 16 – x = 16 + 42 = 58 > 16 যা সম্ভব নয়।
x – 10 = 0 হলে x = 10
∴ 16 – x = 16 – 10 = 6
Ans: অংশ দুটি হল 10 ও 6

(ii) সমাধান করো :

$$\frac{x+3}{x-3}+\frac{x-3}{x+3}=2\frac{1}{2}\quad (x ≠ 3, -3)$$সমাধানঃ $$\frac{x+3}{x-3}+\frac{x-3}{x+3}=2\frac{1}{2}\\⇒a+\frac{1}{a}=2\frac{1}{2} – – – – \left[\frac{x+3}{x-3}=a\right]\\⇒\frac{a^{2}+1}{a}=\frac{5}{2}$$

বা, 2a² + 2 = 5a
বা, 2a² – 5a + 2 = 0
⇒ 2a² – 4a – a + 2 = 0
⇒ 2a(a – 2) -1( a – 2) = 0
বা, (a – 2)(2 a – 1) = 0
হয় a – 2 = 0 নতুবা 2 a – 1 – 0
বা a – 2 বা, a = ¹/₂
বা, ^{x + 3}/_{x – 3} = 2 বা ^{x + 3}/_{x – 3} = ¹/₂
⇒ 2x – 6 = x + 3 বা 2x + 6 = x – 3
বা, x = 9 বা x = – 9
নির্ণেয় সমাধান x= 9 বা -9

7. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

(i) যদি (x³ – ¹/_y³) ∝ (x³ + ¹/_y³) হয়, তবে দেখাও যে, x ∝ ¹/_y

Solution:
(x³ – ¹/_y³) ∝ (x³ + ¹/_y³)
বা (x³ – ¹/_y³) = k(x³ + ¹/_y³) – – – – – [k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
বা x³ – kx³ = ^k/_y³ + ¹/_y³
⇒ x³(1 – k) = ¹/_y³ (k + 1)
বা x³ = ^{(k + 1)}/_{(1 – k)} ¹/_y³
বা x³ = ^{(k + 1)}/_{(1 – k)} ¹/_y³ – – –
– – [k একটি ধ্রুবক
∴ ^{(k + 1)}/_{(1 – k)} ও একটি ধ্রুবক
ধরি, ^{(k + 1)}/_{(1 – k)} = m³
∴ x³ = ^m³. ¹/_y³
বা, x³ ∝ ¹/_y³
বা, x ∝ ¹/_y [প্রমানিত]

(ii) যদি$\Large{\quad x=\frac{4\sqrt{15}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}}$হয়, তবে $\Large{\frac{x+\sqrt{20}}{x-\sqrt{20}}+\frac{x+\sqrt{12}}{x-\sqrt{12}}}$ এর মান নির্ণয় করো

$\Large{Solution: \\\quad x=\frac{4\sqrt{15}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\\⇒x=\frac{2\sqrt{4.5.3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\\⇒x=\frac{2\sqrt{3}\sqrt{20}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\\⇒\frac{x}{\sqrt{20}}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\\⇒\frac{x+\sqrt{20}}{x-\sqrt{20}}=\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2\sqrt{3}-\sqrt{5}-\sqrt{3}}\\⇒\frac{x+\sqrt{20}}{x-\sqrt{20}}=\frac{3\sqrt{3}+\sqrt{5}}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}}$আবার

$\Large{\quad x=\frac{2\sqrt{4.5.3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\\⇒x=\frac{2\sqrt{5}\sqrt{12}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\\⇒\frac{x}{\sqrt{12}}=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\\⇒\frac{x+\sqrt{12}}{x-\sqrt{12}}=\frac{2\sqrt{5}+\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2\sqrt{5}-\sqrt{5}-\sqrt{3}}\\⇒\frac{x+\sqrt{12}}{x-\sqrt{12}}=\frac{3\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}}$

$\Large{\therefore \frac{x+\sqrt{20}}{x-\sqrt{20}}+\frac{x+\sqrt{12}}{x-\sqrt{12}}\\⇒\frac{3\sqrt{3}+\sqrt{5}}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}+\frac{3\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}\\⇒\frac{3\sqrt{3}+\sqrt{5}}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}-\frac{3\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}\\⇒\frac{3\sqrt{3}+\sqrt{5}-3\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}\\⇒\frac{2\sqrt{3}-2\sqrt{5}}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}\\⇒\frac{2(\sqrt{3}-\sqrt{5})}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}\\⇒2 } $

8. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও:

(i) যদি (b + c – a)x = (c + a – b)y = (a + b – c)z = 2 হয়, তবে প্রমাণ করো যে (¹/_x + ¹/_y)(¹/_y + ¹/_z)(¹/_z + ¹/_x ) = abc
Solution:
(b + c – a)x = (c + a – b)y = (a + b – c)z = 2
∴ (b + c – a)x = 2
⇒ ^{b + c – a}/₂ = ¹/_x
(c + a – b)y = 2
⇒ ^{c + a – b}/₂ = ¹/_y
(a + b – c)z = 2
⇒ ^{a + b – c}/₂= ¹/_z
L.H.S.
(¹/_x + ¹/_y)(¹/_y + ¹/_z)(¹/_z + ¹/_x )
= (^{b + c – a}/₂ + ^{c + a – b}/₂)(^{c + a – b}/₂ + ^{a + b – c}/₂)(^{a + b – c}/₂ + ^{b + c – a}/₂)
= (^{b + c – a+c+a-b}/₂)(^{c + a – b+a+b-c}/₂)(^{a + b – c+b+c-a}/₂)
⇒ ^2c/₂ × ^2a/₂ × ^2b/₂
⇒ abc = R.H.S. (Proved)

(ii) $\Large{\quad\frac{x}{y}=\frac{a+2}{a-2}}$হলে, তবে $\Large{\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}}$ এর মান নির্ণয় করো

$\Large{Solution: \\\quad \quad\frac{x}{y}=\frac{a+2}{a-2}\\⇒\left(\frac{x}{y}\right)^2=\left(\frac{a+2}{a-2}\right)^2\\⇒\frac{x^2}{y^2}=\frac{(a+2)^2}{(a-2)^2}\\⇒\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=\frac{(a+2)^2-(a-2)^2}{(a+2)^2+(a-2)^2}\\⇒\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=\frac{4ab}{2(a^2+2^2}\\⇒\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=\frac{2ab}{a^2+4}\quad Ans }$

9. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

(i) বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক – প্রমাণ করো।

স্বীকার: O কেন্দ্রীয় বৃত্তে ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
প্রামাণ্য বিষয়: (i) ∠ABC + ∠ADC = 2 সমকোণ
(ii) ∠BAD + ∠BCD = 2 সমকোণ
অঙ্কন: A, O এবং C, O যোগ করা হল।
প্রমাণ: ABC বৃত্তচাপের দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠AOC এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠ADC
∴ ∠AOC = 2∠ADC
∴ ∠ADC = ¹/₂∠AOC – – – – (i)
আবার ADC বৃত্তচাপের দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ প্রবৃদ্ধ ∠AOC এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠ABC
∴প্রবৃদ্ধ ∠AOC = 2∠ABC
∴ ∠ABC = ¹/₂ প্রবৃদ্ধ∠AOC – – – – (ii)
(i) + (ii) করে পাই,
∠ADC + ∠ABC = ¹/₂∠AOC + ¹/₂ প্রবৃদ্ধ∠AOC
= ¹/₂(∠AOC + প্রবৃদ্ধ∠AOC)
= ¹/₂×4 সমকোণ
= 2 সমকোণ
অনুরূপে B. O এবং D, O যোগ করে প্রমাণ করা যায় ∠BAD + ∠BCD = 2 সমকোণ
∴ ∠ABC + ∠ADC = 2 সমকোণ [প্রমাণিত]
∠BAD + ∠BCD = 2 সমকোণ[প্রমাণিত]

(ii) পিথাগোরাসের উপপাদ্য বিবৃত করো এবং প্রমাণ করো।
Ans:

পিথাগোরাসের উপপাদ্য: যে-কোনো সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান।
স্বীকার: ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার ∠A সমকোণ।
প্রামাণ্য বিষয় : BC² = AB² + AC²
অঙ্কন: সমকৌণিক বিন্দু A থেকে অতিভুজ BC-এর উপর AD লম্ব অঙ্কন করা হল যা BC বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ: সমকোণী ত্রিভুজ ABC-এর অতিভুজ BC-এর উপর AD লম্ব।
△ABD ও △CBA সদৃশ।
∴ ^AB/_BC = ^BD/_AB
বা, AB² = BC.BD – – – – (i)
আবার, △CAD ও △CBA সদৃশ।
∴ ^AC/_BC = ^DC/_AC
বা, AC² = BC.DC – – – – (ii)
(i) ও (ii) যোগ করে পাই,
AB² + AC² = BC.BD + BC.DC
⇒ AB² + AC² = BC(BD + DC)
⇒ AB² + AC² = BC.BC = BC²
∴ AB² + AC² = BC² [প্রমাণিত]

10. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

(i) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ব্যাস, বৃত্তের উপরিস্থিত কোনো বিন্দু P থেকে PN, AB এর উপর একটা লম্ব টানা হল। জ্যামিতিক যুক্তি দিয়ে প্রমাণ করো যে PB² = AB.BN
Ans:

প্রমাণ: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ∠APB অর্ধবৃত্তস্থ কোন।
∴ ∠APB = 90°
△APB এবং △PBN এর মধ্যে,
∠APB = ∠PNB – – – [প্রতিটি 1 সমকোণ]
∠ABP = ∠NBP – – – [একই কোণ]
অবশিষ্ট ∠BAP =অবশিষ্ট ∠BPN
∴ △APB ও △PBN সদৃশকোনী ত্রিভুজ।
সদৃশকোনী ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতি হয়।
∴ ^AB/_PB = ^PB/_BN
⇒ PB² = AB.BN (Proved)

(ii) ABC ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র ‘O’ এবং OD⊥BC হলে প্রমাণ করো ∠BOD = ∠BAC.
Ans:

অঙ্কন: OB ও OC যুক্ত করা হল।
প্রমাণ: △BOD এবং △COD এর মধ্যে,
OB = OC – – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্দ্ধ]
∠ODB = ∠ODC – – – [∵ OD ⊥ BC]
OD সাধারণ বাহু।
∴ △BOD ≅ △COD
∠BOD = ∠COD – – – [∴ অনুরূপ কোণ]
∴ ∠BOD = ¹/₂ ∠BOC
আবার O কেন্দ্রীয় বৃত্তের BPC বৃত্তচাপের উপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOC এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠BAC
∴ ∠BOC = 2∠BAC
∠BOD = ¹/₂ ∠BOC – – – [পূর্বে প্রমাণিত]
বা, ∠BOD = ¹/₂×2∠BAC
বা, ∠BOD = ∠BAC [প্রমাণিত]

11. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

(i) জ্যামিতিক পদ্ধতিতে 2√3 এর মান নির্ণয় করো।
Ans:

(ii) 6 সেমি, 8 সেমি ও 10 সেমি বাহুবিশিষ্ট একটি ত্রিভুজ অঙ্কন করো। ওই ত্রিভুজটির অন্তর্বৃত্ত অঙ্কন করো।
Ans:
ত্রিভুজের অন্তর্বৃত্ত অঙ্কন পদ্ধতি

12 যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3×2=6

(i) যদি $\Large{sinx=msiny}$ এবং ,$\Large{tanx=ntany}$ তবে দেখাও যে $\Large{cos^2x=\frac{m^2-1}{n^2-1}}$

Ans:
sinx = msiny
বা, sin²x = m²sin²y
বা, sin²y = ^sin²x/_m²
আবার
tanx = ntany
বা, tan²x = n²tan²y

$⇒tan^2x=\frac{n^2sin^2y}{cos^2y}\\⇒tan^2x=\frac{n^2sin^2y}{1-sin^2y}\\⇒tan^2x=\frac{n^2\frac{sin^2x}{m^2}}{1-\frac{sin^2x}{m^2}}\\⇒\frac{sin^2x}{cos^2x}=\frac{n^2sin^2x}{m^2}×\frac{m^2}{m^2-sin^2x}\\⇒\frac{1}{cos^2x}=\frac{n^2}{m^2-sin^2x}\\⇒n^2cos^2x = m^2-sin^2x \\⇒n^2cos^2x = m^2- 1 + cos^2x\\⇒n^2cos^2x-cos^2x = m^2-1\\⇒cos^2x(n^2-1) = m^2- 1\\⇒cos^2x=\frac{m^2-1}{n^2-1}\quad (Proved)$

(ii) tanθ = ⁵/₇ হলে ^{5sinθ + 7cosθ}/_{7sinθ + 5cosθ} এর মান নির্ণয় করো।
Ans:
tanθ = ⁵/₇
বা,^sinθ/_cosθ = ⁵/₇
বা, ^sinθ/₅ = ^cosθ/₇ = k (ধরি)
∴ sinθ = 5k ;
cosθ = 7k
প্রদত্ত রাশি
= ^{5sinθ + 7cosθ}/_{7sinθ + 5cosθ}
= ^{5×5k + 7×7k}/_{7×5k + 5×7k}
⇒ ^{25k + 49k}/_{35k + 35k}
= ^74k/_70k
= ³⁷/₃₅ = 1 ²/₃₅
উত্তরঃ নির্ণেয় মান 1 ²/₃₅

(iii) একটি বৃত্তের অসমান দৈর্ঘ্যের দুটি চাপের অনুপাত 5 : 2। চাপ দুটি কেন্দ্রে যে কোন ধারণ করে আছে তার দ্বিতীয় কোণটির মান 30° হলে প্রথম কোণটির বৃত্তীয় মান কতো?
Ans:
দ্বিতীয় কোণটির মান(θ₁) = 30° = 30×^π/₁₈₀ = ^π/₆
ধরি প্রথম কোণটির মান = θ₂
আমরা জানি, s = rθ
∴ S₁ = rθ₁ – – – – (i)
এবং S₂ = rθ₂ – – – – (ii)
(i) ÷ (ii) করে পাই,
∴ ^S₁/_S₂ = ^rθ₁/ _rθ₂
বা, ⁵/₂ = ^θ₁/ _θ₂
বা, 2×θ₁ = 5×θ₂
⇒ 2×θ₁ = 5×^π/₆
∴ θ₁ = ^5π/₁₂
উত্তর: প্রথম কোণটির বৃত্তীয় মান ^5π/₁₂

13. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

(i) মাঠের মাঝখানে দাঁড়িয়ে হাবু একটি উড়ন্ত পাখিকে প্রথমে উত্তরদিকে 30° উন্নতি কোণে এবং 2 মিনিট পর দক্ষিণ দিকে 60° উন্নতি কোণে দেখতে পেল। পাখিটি যদি বরাবর 50√3 মিটার উঁচুতে একই সরলরেখায় উড়ে থাকে তবে তার গতিবেগ কতো।
Ans:

ধরি মাঠের মাঝখানে A বিন্দুতে দাঁড়িয়ে হাবু পাখিটি উত্তর দিকে B বিন্দু থেকে দক্ষিণ দিকে C বিন্দুতে উড়ে যেতে দেখল।
চিত্রানুযায়ী,
AB = 50√3 মিটার
∠YAB = 30^o এবং ∠XAC = 60^o
∴ ∠ABD = 30^o এবং ∠ACD = 60^o
ADB সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
^AD/_DB= tan30^o
বা, ^50√3/_DB = ¹/_√3
বা, DB = 50×3 = 150
∴ DB = 150
আবার ADC সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
^AD/_DC = tan60^o
বা, ^50√3/_DC = √3
বা, DC×√3 =50√3
∴ DC =50
∴ BC = BD + DC
= 150 + 50 = 200
পাখিটি 2 মিনিটে যায় 200 মিটার
পাখিটি 1 মিনিটে যায় ²⁰⁰/₂ মিটার
পাখিটি 60 মিনিটে যায় 100×60 = 6000 মিটার
6000 মিটার = 6 কিলোমিটার
উত্তরঃ পাখিটির গতিবেগ ঘণ্টায় 6 কিমি।

(ii) দুটি স্তম্ভের দূরত্ব 150 মিটার, একটির উচ্চতা অন্যটির তিনগুণ। স্তম্ভেদ্বয়ের পাদদেশ সংযোগকারী রেখাংশের মধ্যবিন্দু থেকে তাদের শীর্ষের উন্নতি কোণদ্বয় পরস্পর পূরক। ছোট স্তম্ভেটির উচ্চতা কতো?
Ans:

ধরি, ছোট স্তম্ভ CD = x মিটার এবং
বড় স্তম্ভ AB = 3x মিটার।
AB ও CD স্তম্ভদ্বয়ের পাদদেশ সংযোজক রেখাংশ AC -এর মধ্যবিন্দু E থেকে স্তম্ভ দুটির শীর্ষের উন্নতি কোণ যথাক্রমে θ এবং (90^o – θ)
এখানে AC = 150 মিটার
∴ AE = CE = ¹⁵⁰/₂ = 75 মিটার
∠AEB = θ
∠CED = 90^o – θ
ΔBAE -এর ক্ষেত্রে,
^AB/_AE = tanθ
⇒ ^3x/₇₅ = tanθ
⇒ 3x = 75×tanθ – – – (i)
আবার ΔDCE -এর ক্ষেত্রে,
^CD/_CE = tan(90^o – θ)
⇒ ^x/₇₅ = cotθ
⇒ x = 75×cotθ – – – (ii)
(i)×(ii) করে পাই
3x.x = 75×tanθ×75×cotθ
⇒ 3x² = 75×75×tanθ.cotθ
⇒ x² = 75×25×1 – – – (∵ tanθ.cotθ = 1)
⇒ x² = 3×25×25
∴ x = 25√3
Ans: ছোট স্তম্ভটির উচ্চতা 25√3 মিটার।

14. যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 4×2=8

(i) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর বক্রতলের ক্ষেত্রফল 154√2 বর্গসেমি এবং ভূমির ব্যাসার্ধ 7 সেমি হলে উহার শীর্ষকোণ নির্ণয় করো।
Ans:

প্রদত্ত, শঙ্কুর ব্যাসার্দ্ধ 7 সেমি
ধরি শঙ্কুর তীর্যক উচ্চতা l সেমি এবং অর্ধশীর্ষকোণ α
প্রশ্নানুসারে,
πrl = 154√2বা, π×7×l = 154√2
বা, ²²/₇×7×l = 154√2
বা, l = 7√2
আবার,
sinα = ^r/_l
বা, sinα = ⁷/_7√2
⇒ sinα = ¹/_√2
⇒ sinα = sin45°
∴ α = 45°
বা, 2α = 90°
উত্তর: শঙ্কুর শীর্ষকোণ 90°

(ii) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের উচ্চতা উহার ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ। যদি উচ্চতা ব্যাসার্ধের 6 গুণ হতো তবে চোঙটির আয়তন 539 ঘন ডেসিমি বেশী হতো, চোঙটির উচ্চতা নির্ণয় করো।
Solution:
ধরি, লম্ব বৃত্তাকার চোঙটির ব্যাসার্ধ = r ডেসিমি
∴ চোঙটির উচ্চতা = 2r ডেসিমি
∴ চোঙটির আয়তন = πr²h
= π×r²×2r ঘন ডেসিমি
= 2πr³ ঘন ডেসিমি
উচ্চতা 6 গুন হলে আয়তন হবে = π×r²×6r ঘন ডেসিমি
= 6π×r³ ঘন ডেসিমি
প্রশ্নানুসারে,
6π×r³ – 2π×r³ = 539
বা, 4×²²/₇×r³ = 539
বা, r³ = 539×⁷/₂₂×¹/₄
বা, r³ = 49×⁷/₂×¹/₄
বা, r³ = (⁷/₂)³
বা, r = ⁷/₂
Ans: চোঙটির উচ্চতা = 2×⁷/₂ = 7 ডেসিমি

(iii) 12 সেমি ব্যাসবিশিষ্ট একটি নিরেট সীসার গোলক গলিয়ে তিনটি ছোট ছোট নিরেট সীসার গোলক তৈরি করা হল। যদি ছোট গোলকগুলির ব্যাসের অনুপাত 3 : 4: 5 হয়, তবে ছোট গোলকগুলির প্রত্যেকটির ব্যাসার্ধ নির্ণয় করো।
Ans:
ছোট গোলকগুলির ব্যাসের অনুপাত 3 : 4 : 5
ধরি, ছোট গোলকগুলির ব্যাস যথাক্রমে 3x সেমি, 4x সেমি এবং 5x সেমি।
বড় গোলকটির ব্যাসার্দ্ধ (r) = ¹²/₂ = 6 সেমি।
প্রশ্নানুসারে,
⁴/₃πr³ = ⁴/₃πr₁³ + ⁴/₃πr₂³ + ⁴/₃πr₃³
বা, ⁴/₃πr³ = ⁴/₃π(r₁³ + r₂³ + r₃³)
বা, r³ = r₁³ + r₂³ + r₃³
⇒ 6³ = (^3x/₂)³ + (^4x/₂)³ + (^5x/₂)³
⇒ 216 = ^27x³/₈ + ^64x³/₈ + ^125x³/₈
বা, 216 = ^216x³/₈
বা, 1 = ^x³/₈
⇒ x³ = 8
∴ x = 2
উত্তর: গোলকগুলির ব্যাসার্দ্ধ ^3×2/₂ = 3 সেমি, ^4×2/₂ = 4 সেমি এবং ^5×2/₂ = 5 সেমি।

15. যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 4×2=8

(i) একটি কর্মসূচীতে উপস্থিত 100 জনের বয়স নীচের ছকে দেওয়া হল। ঐ 100 জন লোকের গড় বয়স নির্ণয় করো (যে কোনো পদ্ধতি অবলম্বন করে) বয়স (বছরে)

শ্রেণী-সীমা	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60	60-70
পরিসংখ্যা	8	12	20	22	18	20

Ans:
ধরি, কল্পিত গড়(a) = 45
∴ d_i= x_i – 45
এবং u_i= ^{x_i – 45}/₁₀
∴ পরিসংখ্যা বিভাজন ছকটি হল:

শ্রেণি-সীমা	পরিসংখ্যা (f_i)	শ্রেণী মধ্যক(x_i)	d_i= x_i – 155	u_i= ^{x_i – 155}/₂₀	u_if_i
10 – 20	8	15	-30	-3	-24
20 – 30	12	25	-20	-2	-24
30 – 40	20	35	-10	-1	-20
40 – 50	22	45	0	0	0
50 -60	18	55	10	1	18
60 – 70	20	65	20	2	40
মোট	Σf_i=100				Σu_if_i=-10

এখানে Σf_i=100
Σx_if_i=-10
h = 10
∴ গড়=

$\Large{=a+\frac{f_{i}u{i}}{f_{i}}×h\\=45+\frac{-10}{100}×10}$

= 45 – 1
= 44
Ans: নির্ণেয় গড় 44

(ii) নীচের তথ্যের মধ্যমা 32 হলে x ও y এর মান নির্ণয় করো যখন x + y = 100.

শ্রেণী-সীমা	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60
পরিসংখ্যা	10	x	25	30	y	10

Ans:
প্রদত্ত পরিসংখ্যা বিভাজন ছকটি হল:

শ্রেণি-সীমা	পরিসংখ্যা	ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা
0-10	10	10
10-20	x	10+x
20-30	25	10+x+25=35+x
30-40	30	35+x+30=65+x
40-50	y	65+x+y
50-60	10	65+x+y+10=75+x+y
মোট

এখানে, N = 100
∴ ^N/₂ = ¹⁰⁰/₂ = 50
প্রশ্নানুযায়ী
75 + x + y = 100
বা, x + y = 25 – – – – (i)
∵ মধ্যমা 32
∴ মধ্যমা শ্রেনিটি হল 30-40।
∴ মধ্যমা =

$\Large{\quad l + \left(\quad\frac{\frac{N}{2} – C}{f_{m}}\right).h}$

এখানে l = 30; N = 100;
C = 35 + x; fm = 30;
h = 30 – 40 = 10

$\Large{ = 30 + \left(\frac{50 – (35+x)}{30}\right).10\\ = 30 + \frac{6}{13}.10\\ = 30 + \frac{15-x}{3}}$

প্রশ্নানুযায়ী,
30 + ^15-x/₃ = 32
বা, ^15-x/₃ = 32 – 30 = 2
বা, 15 – x = 6
বা, x = 9
(i) নং সমীকরণে x = 9 বসিয়ে পাই,
9 + y = 25
∴ y = 16
Ans: x -এর মান 9
y-এর মান 16

(iii) প্রদত্ত তথ্যের ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা (ক্ষুদ্রতর সূচক) তৈরী করে ছক কাগজে ওজাইভ অঙ্কন কর।

শ্রেণী-সীমা	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60	60-70
পরিসংখ্যা	1	6	15	20	15	6	1

Ans:

শ্রেণি	ক্ষুদ্রতর সূচক ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা
10 এর কম	1
20 এর কম	1+6=7
30 এর কম	7+15=22
40 এর কম	22+20=42
50 এর কম	42+15=57
60 এর কম	57+6=63
70 এর কম	63+1=64

x অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের 1টি বাহু = 1 একক এবং y অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গক্ষেত্রের 1টি বাহু = 1 একক ধরে (10, 1), (20, 7), (30, 22), (40, 42), (50,57), (60, 63), (70,64) বিন্দুগুলি স্থাপন করে যুক্ত করলাম এবং ক্ষুদ্রতর সূচক ওজাইভ অঙ্কন করলাম।

MP 2025 English Solution

February 18, 2025

Author: TEAM PROSTUTI

Complete Solution of MP-25 P. Sc.

বিভাগ- ক

2023 সালের মাধ্যমিকের সকল বিষয়ের pdf download করার link নীচে দেওয়া হল –

বিভাগ- খ

২। নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দাও (বিকল্প প্রশ্নগুলি লাক্ষণীয়):

বিভাগ – গ

বিভাগ – ঘ

৪। নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দাও (বিকল্প প্রশ্নগুলি লক্ষণীয়):

Madhyamik -25 Mathematics Solution

Madhyamik -25 Mathematics Solution

মাধ্যমিক ২৫ গণিত সমাধান

1. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির প্রতিটি ক্ষেত্রে সঠিক উত্তরটি নির্বাচন করো: 1×6=6

2. শূন্যস্থান পূরণ করো (যে কোনো পাঁচটি): 1×5=5

3. সত্য বা মিথ্যা লেখো (যে কোনো পাঁচটি): 1×5=5

4. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দাও (যে কোনো দশটি): 2×10= 20

5. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

6. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

7. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

8. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও:

9. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

10. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

11. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

12 যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3×2=6

13. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

14. যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 4×2=8

15. যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 4×2=8