Author: TEAM PROSTUTI

SN DEY CLASS11 MATH SOLUTION SEMESTER-I SET THEORY

SN DEY CLASS11 MATH SOLUTION SEMESTER-I SET THEORY
এস এন দে সেমিস্টার-I একাদশ শ্রেণী সেটতত্ত্ব

বহুবিকল্পভিত্তিক প্রশ্নাবলি (MCQ)

Conventional Type

1. চারটি পদ বিশিষ্ট কোনো সেটের উপসেটগুলির সংখ্যা হল-
Ⓐ 4        Ⓑ 8
Ⓒ 16      Ⓓ 64

Ans: Ⓒ 16
[একটি সসীম সেট A-র পদসংখ্যা n হলে তার সূচক সেটে 2ⁿ সংখ্যক পদ থাকবে।
∴ চারটি পদ বিশিষ্ট কোনো সেটের উপসেটগুলির সংখ্যা হল = 2⁴ = 16]

Semester 1
সূচিপত্র

👉 UNIT-1       সেট ও অপেক্ষক

• সেট তত্ত্ব
• সম্বন্ধ ও অপেক্ষক (Relation and Function)
  • ক্রমিত জোড় ও কার্তেসীয় গুনফল Ordered Pair and Cartesian Product PART I
  • সম্বন্ধ (Relation) PART II
  • অপেক্ষক (বা চিত্রন) [Function (or Mapping)] PART III
  • চল ও ধ্রুবক (Variable and Constant) PART IV
  • অপেক্ষকের লৈখিক প্রকাশ (Graphical Representation of Functions) PART V
  • ত্রিকোণমিতিক কোণ-পরিমাপন
  • ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকসমূহ ও আদর্শ কোণসমূহ
  • সংযুক্ত কোণসমূহের ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকসমূহ
  • যৌগিক কোণের ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক
  • ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকের যোগফল ও গুণফলের রূপান্তর
  • গুণিতক কোণের ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক
  • অংশ কোণের ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক
  • ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকের সমীকরণসমূহের সাধারণ সমাধান
  • ত্রিভুজের ধর্মাবলি

👉 UNIT-2       বীজগণিত

• সূচকের নিয়মাবলি
• লগারিদম্
• দ্বিঘাত সমীকরণ (পূর্বপাঠের পুনরালোচনা)
• জটিল সংখ্যা ও দ্বিঘাত সমীকরণ
• রৈখিক অসমীকরণ
• বিন্যাস ও সমবায়
• কলনবিদ্যা

👉 UNIT-3       কলনবিদ্যা

• বাস্তব সংখ্যা
• সীমা
• অন্তরকলন বা অবকলন
• অন্তরকলজের তাৎপর্য

2. পাঁচটি পদ বিশিষ্ট কোনো সেটের যথার্থ উপসেটগুলির সংখ্যা হল-
Ⓐ 5        Ⓑ 10
Ⓒ 32      Ⓓ 31

Ans: Ⓓ 31
[পাঁচটি পদ বিশিষ্ট কোনো সেটের যথার্থ উপসেটগুলির সংখ্যা হল
= 2⁵ – 1 = 32 – 1 = 31]

3. যদি x ∈ A ⇒ X ∈ B হয় তবে –
Ⓐ A = B        Ⓑ A ⊂ B
Ⓒ A ⊆ B      Ⓓ B ⊆ A

Ans: Ⓒ A ⊆ B
[[ যেহেতু x ∈ A ⇒ x ∈ B সুতরাং A ⊆ B]

4. যদি A ⊆ B এবং B ⊆ A হয়, তবে –
Ⓐ Α = Φ        Ⓑ Α ∩ Β = φ
Ⓒ A = B        Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

Ans: Ⓒ A = B
[ x ∈ A হলে x ∈ B হবে  (∵ A ⊆ B)
আবার x ∈ B হলে x ∈ A হবে  (∵ B ⊆ A)
∴ A = B]

5. যদি A ও B দুটি সেটের ক্ষেত্রে AU B = A ∩ B হয়, তবে –
Ⓐ A ⊆ B        Ⓑ B ⊆ A
Ⓒ A = B         Ⓓ এদের কোনোটিই নয়।

Ans: Ⓒ A = B
[ ধরি x ∈ A ∴ x ∈ A∪B.
আবার,  A∪B = A∩B
∴ x ∈ A∩B ⇒ x∈B
∴A⊂B  …..(i)
একই ভাবে,
যদি y ∈ B তবে
y ∈ A∪B = A∩B.
∴ y∈A ∴ B⊂A  …..(ii) 
(i) ও (ii) থেকে পাওয়া যায়, A=B]

SN DEY CLASS11 MATH SOLUTION বহুবিকল্পভিত্তিক প্রশ্নাবলি (MCQ)

6. A – B = Φ হবে যদি এবং কেবলমাত্র যদি –
Ⓐ A ≠ B        Ⓑ A ⊂ B
Ⓒ B ⊂ A      Ⓓ Α ∩ Β = φ
Ans: Ⓑ A ⊂ B[B ⊆ A হলে,
x: x ∈ A ⇒ x ∈ B}
∴ A – B = Φ]

7. যদি A ∩ B = B হয়, তবে-
Ⓐ A ⊆ B        Ⓑ B ⊆ A
Ⓒ A = B         Ⓓ A = φ

Ans: Ⓑ B ⊆ A
[ ∵ A ∩ B = B,
∴ B ⊆ A∩B
⇒ B ⊆ A ]

8. A ও B দুটি বিচ্ছেদ (disjoint) সেট হলে, n(A U B) =
Ⓐ n(A) + n(B)  Ⓑ n(A) – n(B)
Ⓒ 0                  Ⓓ এদের কোনোটিই নয়।

Ans: Ⓐ n(A) + n(B)
[ A ও B দুটি বিচ্ছেদ সেট।
∴ n(A ∩ B) = 0
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
= n(A) + n(B) – 0
= n(A) + n(B)]

9. যেকোনো দুটি সেট A ও B এর ক্ষেত্রে, n(A) + n(B) – n(A∩B) =
Ⓐ n(AUB)   Ⓑ n(A)- n(B)
Ⓒ φ            Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

Ans: Ⓐ n(AUB)
[∵ n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)]

10. A U U = U এর দ্বৈত অভেদ হবে —
Ⓐ A ∩ U = U        Ⓑ Α U φ = φ
Ⓒ A U φ = Α         Ⓓ A ∩ φ = φ

Ans: Ⓓ A ∩ φ = φ

11. A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C) অভেদের দ্বৈত অভেদ হল —
Ⓐ Α ∩ (B U C) = (Α ∩ B) U (A ∩ C)
Ⓑ AU (B U C) = (A U B) U (A U C)
Ⓒ A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ (A ∩ C)
Ⓓ A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)

Ans: Ⓐ Α ∩ (B U C) = (Α ∩ B) U (A ∩ C)

SN DEY CLASS11 MATH SOLUTION

12. নীচের কোন বিবৃতিটি সত্য?
Ⓐ কোনো অসীম সেটের উপসেট একটি অসীম সেট
Ⓑ 889 অপেক্ষা বড়ো যুগ্ম সংখ্যাগুলির সেট একটি অসীম সেট
Ⓒ (-150) অপেক্ষা বড়ো ঋণাত্মক সংখ্যাগুলির সেট হবে একটি অসীম সেট।
Ⓓ A = {x: x বাস্তব এবং  এবং 0 < x ≤ 1} একটি একপদী সেট।

Ans: Ⓑ 889 অপেক্ষা বড়ো যুগ্ম সংখ্যাগুলির সেট একটি অসীম সেট

13. নীচের কোন বিবৃতিটি সত্য নয়?
Ⓐ a ∈ A এবং a ∈ B হলে, A ⊆ B হবে।
Ⓑ A ⊆ B এবং B ⊆ C হলে, A ⊆ C হবে।
Ⓒ A ⊆ B এবং B ⊆ A হলে, A = B হবে।
Ⓓ A U φ  = φ (যেখানে ϕ হল শূন্য সেট)হলে, A = φ  হবে।

Ans: Ⓐ a ∈ A এবং a ∈ B হলে, A ⊆ B হবে।
[a ∈ A এবং a ∈ B
∴ A ⊆ B]

14. নীচের কোনটি 12 সংখ্যাটির উৎপাদকগুলির সেট?
Ⓐ {2, 3, 4, 6}        Ⓑ {2, 3, 4, 6, 12}
Ⓒ {2, 3, 4, 8, 6}    Ⓓ {1, 2, 3, 4, 6, 12}

Ans: Ⓓ {1, 2, 3, 4, 6, 12}
[12 = 2×2×3
∴ 12  এর উৎপাদকগুলি হল 1, 2, 3, 4, 6, 12]

15. নীচের সেটগুলির মধ্যে কোনটি শূন্য সেট?
Ⓐ {0}        Ⓑ {φ}
Ⓒ {x: x একটি পূর্ণসংখ্যা এবং 1 < x < 2}
Ⓓ {x: x একটি বাস্তব সংখ্যা এবং 1 < x < 2}

Ans: Ⓒ {x: x একটি পূর্ণসংখ্যা এবং 1 < x < 2}
[{0} এর একটি পদ 0 ;
{ϕ} এর একটি পদ ϕ ;
1 < x < 2 এর মধ্যে কোন পূর্ণ সংখ্যা নেই।
তাই  {x: x একটি পূর্ণ সংখ্যা এবং 1 < x < 2} একটি শূন্য সেট।
1 < x < 2 এর মধ্যে কোন পূর্ণ সংখ্যা নেই।
তাই  {x: x একটি পূর্ণ সংখ্যা এবং 1 < x < 2} একটি শূন্য সেট।]

বহুবিকল্পভিত্তিক প্রশ্নাবলি (MCQ)

16. A সেটের সূচক সেট B হলে, নীচের কোনটি সঠিক?
Ⓐ A ⊃ B        Ⓑ B ⊃ A
Ⓒ A ∈ B        Ⓓ A = B

Ans: Ⓒ A ∈ B [যেকোনো  সেট নিজেই নিজের উপসেট।
∴ A সেটটি সূচক সেট B সেটে থাকবে।

17. যদি x ∈ A U B হয়, তবে নিচের কোনটি সঠিক?
Ⓐ X ∈ A                Ⓑ x ∈ B
Ⓒ x ∈ A ∨ x ∈ B    Ⓓ x ∉ A

Ans: Ⓒ x ∈ A ∨ x ∈ B
[x ∈ A U B এর অর্থ হল x, A অথবা B অথবা A এবং B উভয় সেটের মধ্যেই আছে। ∴ x ∈ A U B ⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B]

18. x ∈ A ∩ B হয় তবে নীচের কোনটি সঠিক?
Ⓐ X ∈ A ∧ x ∈ B    Ⓑ x ∈ B
Ⓒ x ∈ A ∨ x ∈ B     Ⓓ x ∉ A

Ans: Ⓐ x ∈ A ∧ x ∈ B
[x ∈ A ∩ B এর অর্থ হল x, A এবং B উভয় সেটের মধ্যেই আছে।
∴ x ∈ A∩B ⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B]

19. A = {2, 4, 6, 8} হলে নীচের কোনটি সঠিক?
Ⓐ {2, 4} ∈ Α       Ⓑ {2, 4} ⊆ A
Ⓒ {2, 4} ⊂ A      Ⓓ {2, 4}  ∈ A^C

Ans: Ⓒ {2, 4} ⊂ A
[{2, 4} সেটটি A সেটের যথার্থ উপসেট কিন্তু পদ নয়।
∴ {2, 4} ∉ A
∴ {2, 4} ⊂ A]

SN DEY CLASS11 MATH SOLUTION SEMESTER-I SET THEORY

20. নীচের বিবৃতি গুলির মধ্যে কোনটি সঠিক?
Ⓐ {a} ∈ {a, b, c} Ⓑ a ∉ {a, b, c}
Ⓒa ⊂ {a, b, c}    Ⓓ {a} ⊂ {a, b, c}Ans: Ⓓ {a} ⊂ {a, b, c}
[Ⓐ {a}, {a, b, c} -এর উপসেট কিন্তু পদ নয়।
∴ {a} ∉ {a, b, c} ∴ বিবৃতিটি মিথ্যা।
Ⓑ a, {a, b, c} -এর একটি পদ।
∴ {a} ∈ {a, b, c}∴ বিবৃতিটি মিথ্যা।
Ⓒ a, {a, b, c} -এর একটি পদ কিন্তু উপসেট নয়।
∴ a ⊄ {a, b, c} ∴ বিবৃতিটি মিথ্যা।
Ⓓ {a} ⊂ {a, b, c} বিবৃতিটি সঠিক]

21. নীচের সংজ্ঞাত চারটি সেটের মধ্যে কোন দুটি সেট সমান?
(i) A = {0}                 (ii) B = {Φ}
(iii) C = {x: x এর মান একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা এবং 2 ≤ x ≤ 6}
(iv) D= {x: x একটি পূর্ণসংখ্যা এবং 1 < x < 1}
Ⓐ [i] ও [iv]     Ⓑ [ii] ও [iv]
Ⓒ [ii] ও [iii]    Ⓓ [iii] ও [iv]

Ans: Ⓐ [i] ও [iv]
[A = {0}
B = {Φ}
C = {x: x এর মান একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা এবং 2 ≤ x ≤ 6} = {4}
D= {x: x একটি পূর্ণসংখ্যা এবং 1 < x < 1} = {0}
∴ A = D]

22. নীচের সংজ্ঞাত সেটগুলির মধ্যে কোনটি শূন্য সেট?
Ⓐ A = {x: x-এর মান একটি পূর্ণসংখ্যার ঘন এবং 2 ≤ x ≤ 7}
Ⓑ B = {0}                  Ⓒ C = {Ф}
Ⓓ D = {x: x একটি পূর্ণসংখ্যা এবং 2 < x ≤ 3}

Ans: Ⓐ A = {x: x-এর মান একটি পূর্ণসংখ্যার ঘন এবং 2 ≤ x ≤ 7 }
[2 থেকে 7 এর মধ্যে কোনো পূর্ণ ঘন সংখ্যা নেই।
∴ A = ϕ (শূন্য সেট)]

সৌরেন্দ্রনাথ দে একাদশ শ্রেণীর গণিত সমাধান (প্রথম সেমিস্টার)

23. নীচের সংজ্ঞাত সেটগুলির মধ্যে কোনটি অসীম সেট?
Ⓐ A = {x : x-এর মান একটি পূর্ণসংখ্যা এবং – 1 ≤  x < 1}
Ⓑ B = (-100) অপেক্ষা বড়ো ঋণাত্মক যুগ্ম সংখ্যাসমূহের সেট
Ⓒ C = 100 এর চেয়ে ছোটো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাসমূহের সেট
Ⓓ D = (x: x বাস্তব ও -1 ≤ x < 1}

Ans: Ⓓ D = (x: x বাস্তব ও –1 ≤ x < 1}
 [-1 থেকে 1 এর মধ্যে অসীম সংখ্যক বাস্তব সংখ্যা বর্তমান।
 ∴ D সেটটি একটি অসীম সেট।]

24. A = {{1}, {2, 3}} সেটের সূচক সেটটি হল –
Ⓐ  {Φ, {1}, {2, 3}, A}     Ⓑ {{1}, {2,3}, A}
Ⓒ {Φ, {{1}}, {{2.3}}, A}  Ⓓ {Φ,{{1}}, {2},  {3}, {{2.3}}, A}

Ans: Ⓒ {Φ, {{1}}, {{2.3}}, A}
[A = {{1}, {2, 3}} সেটের সূচক সেটটি হল – {Φ, {{1}}, {{2.3}}, A}]

25. A = {1, 2, 3, 4} , B = {2, 4, 5, 8} C = {3, 4, 5, 6, 7} হলে –
Ⓐ A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}
Ⓑ B ∩ C = {4, 5}      Ⓒ A U (BUC) = {5, 6, 7}
Ⓓ A U (B ∩ C) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

Ans: Ⓑ B ∩ C = {4, 5}
[A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 8}Ⓑ B ∩ C = {4, 5}]

26. P = {a, b, c, d, e} এবং Q = {a, e, i, o, u} হলে –
Ⓐ P ⊂ QⒷ Q ⊂ P
Ⓒ P ∩ Q = {a, e}Ⓓ P U Q = {a, b, i, c, d, u}

Ans: Ⓒ P ∩ Q = {a, e}
[b ∈ P কিন্তু b ∉ Q
∴ P ⊄ Q Ⓐ সত্য নয়।
i ∈ Q কিন্তু i ∉ P
∴ Q ⊄ P Ⓑ সত্য নয়।
 (ii) P ∩ Q = { a, b, c, d, e} ∩ { a, e, i, o, u}
= { a, e}]

সৌরেন্দ্রনাথ দে একাদশ শ্রেণীর গণিত সমাধান (প্রথম সেমিস্টার)

27. মনে করো, A = {a, b, c}, B = {{a, b}, C = {a, b, d} এবং D = {c, d} এবং E = {d}; নিম্নলিখিত বক্তব্যসমুহের মধ্যে কোনটি সত্য?
Ⓐ {a} ∉ A      Ⓑ D ⊅ E
Ⓒ D ⊂ B       Ⓓ {a} ⊂ A

Ans: Ⓓ {a} ⊂ A
[{a} A-এর একটি উপসেট কিন্তু পদ নয়।
∴ Ⓐ {a} ∉ A বক্তব্যটি সত্য নয়।
c ∈ D কিন্তু c ∉ E
∴ E ⊂ D
Ⓑ D ⊅ E বক্তব্যটি সত্য নয়।
c ∈ D কিন্তু c ∉ B 
∴ Ⓒ D ⊂ B বক্তব্যটি সত্য নয়।
∵ a ∈ A
∴ {a} A-এর একটি উপসেট।
∴ Ⓓ {a} ⊂ A বক্তব্যটি সত্য।

28. মনে করো, সার্বিক সেট S = {1, 2, 3, 4, 5} এবং A = {3, 4, 5} ও B = {1, 4, 5} তার দুটি উপসেট। তবে (AUB)’ =
Ⓐ {2}               Ⓑ {1, 2}
Ⓒ {1, 3, 4, 5}   Ⓓ এদের কোনোটিই নয়।

Ans: Ⓐ {2}
[A U B = {1, 3, 4, 5}
(A U B)‘ = S – (A U B)
              = {1, 2, 3, 4, 5} – {1, 3, 4, 5}
              = {2}]

29. A = {1, 2, 3, 4} B = {2, 3, 4, 5}, C = {1, 3, 4, 5, 6, 7} হলে A – (B ∩ C) =
Ⓐ {1}         Ⓑ {2}
Ⓒ {1,2}      Ⓓ {{1}, {2}}

Ans: Ⓒ {1,2}
[B ∩ C = 2, 3, 4, 5} ∩ { 1, 3, 4, 5, 6, 7}
= {3, 4, 5}
A – (B ∩ C)
= {1, 2}]

30. সার্বিক সেট S = {1, 2, 4, 8, 16, 32} এবং A = {1, 2, 8, 32} B = {4, 8, 32} এর দুটি উপসেট হলে (AUB)^C =
Ⓐ {1, 2, 4, 8, 32}  Ⓑ {16}
Ⓒ {8, 32}              Ⓓ {1, 2, 4, 16}

Ans: Ⓑ {16}
[(AUB) = {1, 2, 4, 8, 16, 32}
(AUB)^C
= S – (AUB)
= {16}]

SN DEY CLASS11 MATH SOLUTION SEMESTER-I SET THEORY

31. P = {a, b, c, d, e, f} এবং Q = {a, c, e, f} হলে, (P – Q) U (P ∩ Q) হবে –
Ⓐ Q             Ⓑ P U Q
Ⓒ P ∩ Q      Ⓓ P

Ans: Ⓓ P
[(P – Q) = {b, c, d}
U (P ∩ Q) = {a, c, e, f}
∴ (P – Q) U (P ∩ Q)
= {a, b, c, d, e, f} = P]

32. যদি P = { θ: sinθ – cosθ = √ 2cosθ} এবং Q = { θ: sinθ + cosθ = √ 2sinθ} হয়, তবে
Ⓐ P ⊂ Q     Ⓑ Q ⊂ P
Ⓒ P = Q      Ⓓ P ∩ Q = Φ

Ans: Ⓒ P = Q
[ধরি, x ∈ P
∴ sinx – cosx  = √2 cosx
বা, sinx  = √2 cosx + cosx
বা, sinx  = (√2 + 1) cosx 
⇒ ¹/_{(√2 + 1)}  sinx = cos x
বা, ^{(√2 – 1)}/_{(2 – 1)} sinx = cosx
বা, √2 sinx – sinx = cosx
⇒ √2 sinx  = cosx + sin x
⇒ x ∈ Q
∴ P ⊆ Q – – – (i)
আবার ধরা যাক, y ∈ Q
∴ siny + cosy  = √2 siny
⇒ cosy  = √2 siny – siny
⇒ cosy  = (√2 – 1) siny 
= siny  = ¹/_{(√2 – 1)} cosy 
⇒ siny  = ^{(√2 + 1)}/_{(2 – 1)} cosy
⇒ siny  = (√2 + 1) cosy
= siny  = √2 cosy + cosy
⇒ siny – cosy = √2 cosy
⇒ y ∈ P
∴ Q ⊆ P – – – (ii)
(i) ও(ii) থেকে পাই,
P = Q]

33. প্রদত্ত A = {1, 2, 3, 4, 5} এবং (B U C) = {3, 4, 6} হলে, (A – B) ∩ (A – C) =
Ⓐ {1, 2}       Ⓑ {2, 5}
Ⓒ {1, 2, 5}   Ⓓ {1, 2, 6}

Ans: Ⓒ {1, 2, 5}
[( A – B)  ∩ ( A – C)
= A – ( B ∪ C)
= { 1, 2, 3, 4, 5 } – { 3, 4, 6 }
= { 1, 2, 5 }]

সৌরেন্দ্রনাথ দে একাদশ শ্রেণীর গণিত সমাধান (প্রথম সেমিস্টার)

34. মনে করো, সার্বিক সেট S = {a, b, c, d, e} এবং A = {a, b, d} ও B = {b, d, e} এর দুটি উপসেট। তাহলে (A U B)^/ =
Ⓐ {a, c, e}       Ⓑ {c}
Ⓒ {a, b, d, e}   Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

Ans: Ⓑ {c}
A ∪ B = {a, b, d} ∪ {b, d, e}
= {a, b, d, e}
∴ ( A ∪ B)’
 = S – (A ∪ B)
= {a, b, c, d, e} – {a, b, d, e}
= {c}]

35. মনে করো, সার্বিক সেট S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} এবং A ∪ B = {2, 3, 4}; A^C ∩ B^C =
Ⓐ {1, 5. 6}   Ⓑ {2, 3, 4}
Ⓒ Ф            Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

Ans: Ⓐ {1, 5. 6}
[A^C ∩ B^C
= (A U B}^C
= S – (A U B}^C
= {1, 5, 6}]

36. স্বাভাবিক সংখ্যাসমূহের সেট N এবং aN = {ax: x ∈ N} হলে, 3N ∩ 7N হবে –
Ⓐ N         Ⓑ 5N
Ⓒ 21N     Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

Ans: Ⓒ 21N
[aℕ = { ax : x ∈ ℕ }
3ℕ = { 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, ….. }
7ℕ = {7, 14, 21, 28, 35, 42, 49…… }
∴  3ℕ ∩ 7ℕ = { 21, 42, ……}
= 21ℕ]

37. মনে করো সব পূর্ণসংখ্যার সেট Z এবং A = {x: x = 6n, n ∈ Z} ও B = {x: x = 4n, n ∈ Z); A ∩ B =

Ⓐ {x: x = 2n, n ∈ Z}     Ⓑ {x: x = 12n, n ∈ Z}
Ⓒ  {x: x = 24n, n ∈ Z)  Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

SN DEY CLASS11 MATH SOLUTION SEMESTER-I SET THEORY

Ans: Ⓑ {x: x = 12n, n ∈ Z}
[A = { x : x = 6n, n ∈ ℤ }
= 6ℕ
B = { x : x = 4n, n ∈ ℤ }
= 4ℕ
∴ A ∩ B = 6ℕ ∩ 4ℕ
= kℕ – – [যেখানে k = 6 ও 4 এর লসাগু]
⇒ 12ℕ
= { x: x = 12n, n ∈ ℤ}]

38. যে কোনো দুটি সেট A ও B এর ক্ষেত্রে নিম্নলিখিতগুলির কোনটি সত্য নয়?
Ⓐ (Β – Α) ∩ Α = Φ        Ⓑ A^C – B^C = B – A
Ⓒ Α – Β = Α – (Α ∩ Β)  Ⓓ A – B = A^C ∩ B

Ans: Ⓓ A – B = A^C ∩ B
[(B-A) ∩ A
= (B ∩ A^C) ∩ A
= B ∩ ( A^C ∩ A)
⇒ B ∩ ϕ
= ϕ
∴ ( B – A) ∩ A = ϕ
Ⓐ (Β – Α) ∩ Α = Φ বিবৃতিটি সত্য।
ধরি, ∀x ∈ (A^C – B^C)
⇒ x ∈ A^C এবং x ∉ B^C
⇒ x ∉ A এবং x ∈ B
বা, x ∈ B এবং  x ∉ A
⇒ x ∈ (B – A)
∴ A^C – B^C  ⊆ B – A – – – (i)
আবার ধরি,
∀y ∈ (B – A)
⇒ y ∈ B এবং y ∉ A
⇒ y ∉ A এবং y ∈ B
বা,y ∈ A^C এবং y ∉ B^C
⇒ y ∈ (A^C – B^C)
∴ B – A ⊆ A^C – B^C – – – (ii)
(i) ও (ii) থেকে পাই,
A^C – B^C  = B – A
∴ A^C – B^C  = B – A
Ⓑ A^C – B^C = B – A বিবৃতিটি সত্য।
যে-কোনো দুটি সেট্ A ও B এর জন্য,
A∩B ⊆ B
ধরা যাক, x ∈ A-B যে-কোনো পদ
⇒ x∈A এবং x∉B
⇒ x∈A এবং x∉A∩B  [ ∵ A∩B ⊆ B ]
∴ x ∈ A – ( A ∩ B)
সুতরাং, x ∈ A-B
⇒ x ∈A – (A∩B)
∴ A – B ⊆ A – (A∩B) – – – (i)

সৌরেন্দ্রনাথ দে একাদশ শ্রেণীর গণিত সমাধান (প্রথম সেমিস্টার)

ধরা যাক, y ∈ A – (A∩B)  যে-কোনো পদ
⇒ y ∈ A এবং y ∉ A∩B
⇒ y ∈ A এবং (y ∉ A অথবা y ∉ B)
বা, (y ∈ A এবং y ∉ A) অথবা (y ∈ A অথবা y ∉ B)
⇒ (y ∈ A এবং y ∈ A^C) অথবা (y ∈ A অথবা y ∉ B)
⇒ y ∈ ( A ∩ A^C)  অথবা y ∈ ( A – B)
বা, y ∈ ( A ∩ A^C)  ∪ ( A – B)
⇒ y ∈ ϕ ∩ ( A – B)
⇒ y ∈ A – B
সুতরাং, y ∈ A – ( A – B)
⇒ y ∈ A – B
∴ A – (A∩B) ⊆ A – B – – – (ii)
(i) ও (ii) থেকে পাওয়া যায়,
A – B = A – (A ∩ B) Ⓒ Α – Β = Α – (Α ∩ Β) বিবৃতিটি সত্য।
∴ Ⓓ A – B = A^C ∩ B বিবৃতিটি সত্য নয়।]

39. মনে করো A, B, C তিনটি প্রদত্ত সেট। নীচের বিবৃতিগুলির মধ্যে কোনটি সত্য?
Ⓐ B ∈ A এবং x ∈ B হলে, x ∈ A হবে
Ⓑ B ⊂ A এবং A ∈ C হলে, B ∈ C হবে।
Ⓒ A ⊄ B এবং B ⊄ C হলে, A ⊄ C হবে।
Ⓓ এদের কোনোটিই নয়।

Ans: Ⓓ এদের কোনোটিই নয়।
[ধরি, A = {{1, 2}, 3}, B = {1, 2}
এখানে B ∈ A এবং 1 ∈ B কিন্তু 1 ∉ A
∴ Ⓐ বিবৃতিটি মিথ্যা।
A = {1, 2, 3}, B = {1, 2} এবং C =  {{1, 2, 3}, 4}
এখানে B ⊂ A এবং A ∈ C কিন্তু B ∉ C
∴ Ⓑ বিবৃতিটি মিথ্যা।
A = {1, 2}, B = {2, 3} এবং C =  {1, 2, 4}
এখানে A ⊄ B এবং B ⊄ C কিন্তু A ⊂ C
∴ Ⓒ বিবৃতিটি মিথ্যা।]

SN DEY CLASS11 MATH SOLUTION SEMESTER-I SET THEORY

40. একটি শ্রেণীতে 70 জন ছাত্র আছে যাদের প্রত্যেকে হয় ইংরাজি বা হিন্দি বা উভয় বিষয় পাঠ করে। 45 জন ছাত্র ইংরাজি এবং 30 জন হিন্দি পাঠ করে। কতজন ছাত্র উভয় বিষয়ে পাঠ করেন?
Ⓐ 5 জন      Ⓑ 15 জন
Ⓒ 25 জন     Ⓓ 40 জন

Ans: Ⓐ 5 জন
[যারা ইংরাজি এবং হিন্দি পাঠ করেন তাদের সেট যথাক্রমে E এবং H হলে,
 n(E U H) = 70, n(E) = 45 এবং n (H) = 30
∴ n(E ∩ H)
= n(E) + n(H) – n(Ε U Η)
= 45 + 30 – 70
= 75 – 70 = 5]

41. কলকাতার 1003 টি পরিবারের তথ্যানুসন্ধানে দেখা গেল 63 টি পরিবারের রেডিও বা টিভি ছিল না; 794 টি পরিবারে রেডিও এবং 187 টি পরিবারের টিভি ছিল। কতগুলো পরিবারের রেডিও ও টিভি উভয়ই ছিল?
Ⓐ 85      Ⓑ 22
Ⓒ 43      Ⓓ 41

Ans: Ⓓ 41
[n(R U T)^C = 63; n(R) = 794 এবং n(T) = 187
∴ n(R U T) = 1003 – 63 = 940
    n(R ∩ T)
 = n(R) + n(T) – n(R U T)
= 794 + 187 – 940
= 981 – 940 = 41]

42. কোনো বাজার অনুসন্ধানকারী দল 1000 জন ব্যবহারকারীর তথ্যঅনুসন্ধান করল এবং রিপোর্ট করল যে, 720 জন ব্যবহারকারী A সামগ্রী এবং 450 জন ব্যবহারকারী B সামগ্রী পছন্দ করে। কমপক্ষে কতজন উভয়সামগ্রী পছন্দ করে?
Ⓐ 585     Ⓑ 170
Ⓒ 270     Ⓓ 280

Ans: Ⓑ 170
[A সামগ্রী এবং B সামগ্রী পছন্দ করে এমন ব্যবহারকারীর সেট A ও B হলে উভয়সামগ্রী পছন্দ করে এমন ব্যবহারকারী হল (A ∩ B)
∴ (A ∩ B)
= n(A) + n(B) – n(A U B)
= 720 + 450 – 1000
= 1170 – 1000 = 170]

43. দুটি সেট A ও B এর পদসংখ্যা যথাক্রমে p ও q; যদি A সেটের উপসেটের সংখ্যা, B সেটের উপসেটের সংখ্যার চেয়ে 56 বেশি হয়, তবে p 3 q এর মান যথাক্রমে –
Ⓐ 3, 6      Ⓑ 6, 3
Ⓒ 5, 7      Ⓓ 3, 4

সৌরেন্দ্রনাথ দে একাদশ শ্রেণীর গণিত সমাধান (প্রথম সেমিস্টার)

Ans: Ⓑ 6, 3
[   2p – 2q = 56
⇒ 2p – 2q = 64 – 8
⇒ 2p – 2q = 2⁶ – 2³
∴ p = 6, q = 3]

44. দুটি সসীম সেট A ও B এর উপাদান সংখ্যা যথাক্রমে m এবং n হলে, AUB-এর সবচেয়ে বেশি উপাদান সংখ্যা–
Ⓐ mn        Ⓑ m – n
Ⓒ m + n   Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

Ans: Ⓒ m + n
[n(AUB) = n(A) + n(B) – n(A∩ B)
n(AUB)-এ সর্বাধিক উপাদান সংখ্যা হবে যদি n(A∩ B) = 0 হয় অর্থাৎ A ও B বিচ্ছেদ) সেট হয়।
∴ n(AUB)-এ সর্বাধিক উপাদান সংখ্যা হবে যদি,
n(AUB) = n(A) + n(B)
              = m + n হয়।]

45. মনে করো সার্বিক সেট, S = {x: 0 < x ≤ 10} –এর দুটি উপসেট হল– A = {x:  2 ≤ x < 5} এবং B = {x:  3 < x < 7}; A ∩ B =
Ⓐ {x: 3 ≤ x ≤ 5}    Ⓑ {x: 3 < x < 5}
Ⓒ {x: 2 ≤ x < 7}    Ⓓ {x: 2 < x < 3}

Ans: Ⓑ {x: 3 < x < 5}
[A ∩ B = {x:  2 ≤ x < 5} ∩  {x:  3 < x < 7}
           = {x:  3 < x < 5}]

46. P = {p, q, r, s, t, u} এবং Q ∩ R = {q, r, v, w) হলে, (P – Q) U (P – R) =
Ⓐ {p, s, t}       Ⓑ {p, s, t, u, w}
Ⓒ {s, t, u}       Ⓓ {p, s, t, u}

Ans: Ⓓ {p, s, t, u}
[ (P – Q) U (P – R)
= (P ∩ Q^C) U (P ∩ R^C)
=  P ∩ (Q^C U R^C)
= P ∩ (Q ∩ R) ^C
= P – (Q ∩ R)
= {p, s, t, u}]

SN DEY CLASS11 MATH SOLUTION SEMESTER-I SET THEORY

47. যদি S সার্বিক সেটের A, B, C তিনটি উপসেট হয়, যেখানে S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7), A = {1, 3, 5, 6}, B ∩ C = {1, 2, 6} তবে (B^C U C^C) =
Ⓐ {3, 4, 5}       Ⓑ {1, 3, 4, 5, 7}
Ⓒ {3, 4, 5, 7}   Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

Ans: Ⓒ {3, 4, 5, 7}
[(B^C U C^C) =(B ∩ C) ^C
 = S – (B ∩ C)
 = {3, 4, 5, 7}]

48. যদি U = {a, b, c, d, e, f} সার্বিক সেট হয় এবং A, B, C, U-এর তিনটি উপসেট হয়, যেখানে A = {a, c, d} এবং B U C = {a, d, c, f} তবে (A ∩ B) U (A ∩ C) =
Ⓐ {b, e}          Ⓑ {a, b, c, d}
Ⓒ {a, c, d}      Ⓓ {c, d}

Ans: Ⓒ {a, c, d}
[(A ∩ B) U (A ∩ C)
= A ∩ (B U C)
= {a, c, d} ∩ {a, d, c, f}
= {a, c, d}]

49. যেকোনো তিনটি সেট A, B, C এর ক্ষেত্রে নিম্নলিখিতগুলির কোনটি সত্য?
Ⓐ A U (B ∩ C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)
Ⓑ A ∩ (B U C) = (A U B) ∩ (A U C)
Ⓒ A – (B ∩ C) = (A ∩ B) – C
Ⓓ A – (B U C) = (A – B) ∩ (A – C)

Ans: Ⓓ A – (B U C) = (A – B) ∩ (A – C)
[ A – (B U C)
= A ∩ (B U C)^C
= A ∩ (B^C ∩ C^C)
= (A ∩ B^C) ∩ (A ∩ C^C)
= (A – B) ∩ (A – C)]

50. A ∩ (B – A) =   
Ⓐ Α ∩ Β         Ⓑ AUB
Ⓒ Φ               Ⓓ এদের কোনটিই নয়

Ans: Ⓒ Φ [  A ∩ (B – A)
= A ∩ (B ∩ A^C)
= (A ∩ B) ∩ (A ∩ A^C)
= (A ∩ B) ∩ Φ
= Φ]

সৌরেন্দ্রনাথ দে একাদশ শ্রেণীর গণিত সমাধান (প্রথম সেমিস্টার)

51. যদি A এবং B দুটি সেট নিম্নলিখিতভাবে সংজ্ঞাত হয় A = {(x,y), у = ¹/_x, x ≠ 0, x ∈ R} এবং B = {(x, y): y = -x, x ∈ R} তবে,
Ⓐ A ∩ B = A     Ⓑ A ∩ B = B
Ⓒ Α ∩ Β = Φ    Ⓓ A U B = A

Ans: Ⓒ Α ∩ Β = Φ
[A = {(x,y), у = ¹/_x, x ≠ 0, x ∈ R}
   = {(1,1), (2, ¹/₂), (3, ¹/₃)…….}
এবং B = {(x, y): y = -x, x ∈ R}
          = {(1, -1), (2, -2), (3, -3)……..}
A ও B-এর মধ্যে কোনো সাধারণ পদ নেই।
∴ Ⓒ Α ∩ Β = Φ]

52. 60 জন ছাত্রের একটি শ্রেণিতে 25 জন ক্রিকেট খেলে, 20 জন ছাত্র টেনিস খেলে এবং 10 জন ছাত্র উভয় খেলাই খেলে। তবে কোনো খেলাই খেলে না এরকম ছাত্রের সংখ্যা হবে –
Ⓐ 0         Ⓑ 25
Ⓒ 35       Ⓓ 45

Ans: Ⓑ 25
[প্রদত্ত সমস্যাটিকে ভেন ডায়াগ্রামের মাধ্যমে প্রকাশ করি –