7. A = {1, 4}, B = {4, 3} এবং C = {3, 6} হলে, নীচের কোনটি সত্য? Ⓐ A×(B ∪ C) = (A×B) ∪ (A×C) Ⓑ A×(B ∪ C) = (A×B) ∩ (A×C) Ⓒ A×(B ∪ C) = (A ∪ B)×(A ∪ C) Ⓓ এদের কোনোটিই নয়
14. নীচেরপ্রদত্তকোন্বিবৃতিটিমিথ্যা? Ⓐ A = {1, 2, 3} , B = {4, 5} হলে, A×(B ∪ ϕ) = ϕ যেখানে ϕ হল শূন্য সেট। Ⓑ X = {a, b, c} এবং Y = {c, a, b} হলে, X×Y = Y×X Ⓒ যদি A = {3, 4, 5} এবং B = {1, 2} হয়, তবে A×(B ∩ ϕ) = ϕ যেখানে ϕ হল শূন্য সেট। Ⓓ A = {1, 0, – 1} হলে n(A×A) = 9 হবে।
15. যে-কোনো তিনটি সেট A, B ও C-এর ক্ষেত্রে নীচের কোন্ বিবৃতিটি সত্য? Ⓐ A×(B – C) = (A×B) – (A×C) Ⓑ A×(B – C) = (A – B)×(A – C) Ⓒ A×(B – C) =(AB) ∪ (A×C) Ⓓ A×(B – C) =(A×B) ∩ (A×C)
Ans: Ⓑ992 [দুটি সেট A এবং B-এর যদি n টি সাধারণ পদ থাকে তবে A×B-এর সাধারণ পদসংখ্যা হয় = n2 দুটি সেট A এবং B-এর 99 টি সাধারণ পদ আছে। ∴ A×B এবং B×A-এর সাধারণ পদসংখ্যা = 992]
অপেক্ষকের লৈখিক প্রকাশ (Graphical Representation of Functions) PART V
CHAPTER 3 ত্রিকোণমিতিক কোণ-পরিমাপন
CHAPTER 4 ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকসমূহ ও আদর্শ কোণসমূহ
CHAPTER 5 সংযুক্ত কোণসমূহের ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকসমূহ
CHAPTER 6 যৌগিক কোণের ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক
CHAPTER 7 ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকের যোগফল ও গুণফলের রূপান্তর
CHAPTER 8 গুণিতক কোণের ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক
CHAPTER 9 অংশ কোণের ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক
CHAPTER 10 ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকের সমীকরণসমূহের সাধারণ সমাধান
CHAPTER 11 ত্রিভুজের ধর্মাবলি
👉 UNIT-2বীজগণিত
CHAPTER 1 সূচকের নিয়মাবলি
CHAPTER 2 লগারিদম্
CHAPTER 3 দ্বিঘাত সমীকরণ (পূর্বপাঠের পুনরালোচনা)
CHAPTER 4 জটিল সংখ্যা ও দ্বিঘাত সমীকরণ
CHAPTER 5 রৈখিক অসমীকরণ
CHAPTER 6 বিন্যাস ও সমবায়
UNIT-3 কলনবিদ্যা
👉 UNIT-3কলনবিদ্যা
CHAPTER 1 বাস্তব সংখ্যা
CHAPTER 2 সীমা
CHAPTER 3 অন্তরকলন বা অবকলন
CHAPTER 4 অন্তরকলজের তাৎপর্য
2. পাঁচটি পদ বিশিষ্ট কোনো সেটের যথার্থ উপসেটগুলির সংখ্যা হল- Ⓐ 5 Ⓑ 10 Ⓒ 32 Ⓓ 31
Ans: Ⓓ 31 [পাঁচটি পদ বিশিষ্ট কোনো সেটের যথার্থ উপসেটগুলির সংখ্যা হল = 25 – 1 = 32 – 1 = 31]
3. যদি x ∈ A ⇒ X ∈ B হয় তবে – Ⓐ A = B Ⓑ A ⊂ B Ⓒ A ⊆ B Ⓓ B ⊆ A
Ans: Ⓒ A ⊆ B [[ যেহেতু x ∈ A ⇒ x ∈ B সুতরাং A ⊆ B]
4. যদি A ⊆ B এবং B ⊆ A হয়, তবে – Ⓐ Α = Φ Ⓑ Α ∩ Β = φ Ⓒ A = B Ⓓ এদের কোনোটিই নয়
Ans: Ⓒ A = B [ x ∈ A হলে x ∈ B হবে (∵ A ⊆ B) আবার x ∈ B হলে x ∈ A হবে (∵ B ⊆ A) ∴ A = B]
5. যদি A ও B দুটি সেটের ক্ষেত্রে AU B = A ∩ B হয়, তবে – Ⓐ A ⊆ B Ⓑ B ⊆ A Ⓒ A = B Ⓓ এদের কোনোটিই নয়।
Ans: Ⓒ A = B [ ধরি x ∈ A ∴ x ∈ A∪B. আবার, A∪B = A∩B ∴ x ∈ A∩B ⇒ x∈B ∴A⊂B …..(i) একই ভাবে, যদি y ∈ B তবে y ∈ A∪B = A∩B. ∴ y∈A ∴ B⊂A …..(ii) (i) ও (ii) থেকে পাওয়া যায়, A=B]
SN DEY CLASS11 MATH SOLUTION বহুবিকল্পভিত্তিক প্রশ্নাবলি (MCQ)
6. A – B = Φ হবে যদি এবং কেবলমাত্র যদি – Ⓐ A ≠ B Ⓑ A ⊂ B Ⓒ B ⊂ A Ⓓ Α ∩ Β = φ Ans: Ⓑ A ⊂ B[B ⊆ A হলে, x: x ∈ A ⇒ x ∈ B} ∴ A – B = Φ]
7. যদি A ∩ B = B হয়, তবে- Ⓐ A ⊆ B Ⓑ B ⊆ A Ⓒ A = B Ⓓ A = φ
Ans: Ⓑ B ⊆ A [ ∵ A ∩ B = B, ∴ B ⊆ A∩B ⇒ B ⊆ A ]
8. A ও B দুটি বিচ্ছেদ (disjoint) সেট হলে, n(A U B) = Ⓐ n(A) + n(B) Ⓑ n(A) – n(B) Ⓒ 0 Ⓓ এদের কোনোটিই নয়।
Ans: Ⓐ n(A) + n(B) [ A ও B দুটি বিচ্ছেদ সেট। ∴ n(A ∩ B) = 0 n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) = n(A) + n(B) – 0 = n(A) + n(B)]
9. যেকোনো দুটি সেট A ও B এর ক্ষেত্রে, n(A) + n(B) – n(A∩B) = Ⓐ n(AUB) Ⓑ n(A)- n(B) Ⓒ φ Ⓓ এদের কোনোটিই নয়
10. A U U = U এর দ্বৈত অভেদ হবে — Ⓐ A ∩ U = U Ⓑ Α U φ = φ Ⓒ A U φ = Α Ⓓ A ∩ φ = φ
Ans: Ⓓ A ∩ φ = φ
11. A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C) অভেদের দ্বৈত অভেদ হল — Ⓐ Α ∩ (B U C) = (Α ∩ B) U (A ∩ C) Ⓑ AU (B U C) = (A U B) U (A U C) Ⓒ A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ (A ∩ C) Ⓓ A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)
Ans: Ⓐ Α ∩ (B U C) = (Α ∩ B) U (A ∩ C)
SN DEY CLASS11 MATH SOLUTION
12. নীচের কোন বিবৃতিটি সত্য? Ⓐ কোনো অসীম সেটের উপসেট একটি অসীম সেট Ⓑ 889 অপেক্ষা বড়ো যুগ্ম সংখ্যাগুলির সেট একটি অসীম সেট Ⓒ (-150) অপেক্ষা বড়ো ঋণাত্মক সংখ্যাগুলির সেট হবে একটি অসীম সেট। Ⓓ A = {x: x বাস্তব এবং এবং 0 < x ≤ 1} একটি একপদী সেট।
13. নীচের কোন বিবৃতিটি সত্য নয়? Ⓐ a ∈ A এবং a ∈ B হলে, A ⊆ B হবে। Ⓑ A ⊆ B এবং B ⊆ C হলে, A ⊆ C হবে। Ⓒ A ⊆ B এবং B ⊆ A হলে, A = B হবে। Ⓓ A U φ = φ (যেখানে ϕ হল শূন্য সেট)হলে, A = φ হবে।
Ans: Ⓐ a ∈ A এবং a ∈ B হলে, A ⊆ B হবে। [a ∈ A এবং a ∈ B ∴ A ⊆ B]
15. নীচের সেটগুলির মধ্যে কোনটি শূন্য সেট? Ⓐ {0} Ⓑ {φ} Ⓒ {x: x একটি পূর্ণসংখ্যা এবং 1 < x < 2} Ⓓ {x: x একটি বাস্তব সংখ্যা এবং 1 < x < 2}
Ans: Ⓒ {x: x একটি পূর্ণসংখ্যা এবং 1 < x < 2} [{0} এর একটি পদ 0 ; {ϕ} এর একটি পদ ϕ ; 1 < x < 2 এর মধ্যে কোন পূর্ণ সংখ্যা নেই। তাই {x: x একটি পূর্ণ সংখ্যা এবং 1 < x < 2} একটি শূন্য সেট। 1 < x < 2 এর মধ্যে কোন পূর্ণ সংখ্যা নেই। তাই {x: x একটি পূর্ণ সংখ্যা এবং 1 < x < 2} একটি শূন্য সেট।]
বহুবিকল্পভিত্তিক প্রশ্নাবলি (MCQ)
16. A সেটের সূচক সেট B হলে, নীচের কোনটি সঠিক? Ⓐ A ⊃ B Ⓑ B ⊃ A Ⓒ A ∈ B Ⓓ A = B
Ans: Ⓒ A ∈ B [যেকোনো সেট নিজেই নিজের উপসেট। ∴ A সেটটি সূচক সেট B সেটে থাকবে।
17. যদি x ∈ A U B হয়, তবে নিচের কোনটি সঠিক? Ⓐ X ∈ A Ⓑ x ∈ B Ⓒ x ∈ A ∨ x ∈ B Ⓓ x ∉ A
Ans: Ⓒ x ∈ A ∨ x ∈ B [x ∈ A U B এর অর্থ হল x, A অথবা B অথবা A এবং B উভয় সেটের মধ্যেই আছে। ∴ x ∈ A U B ⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B]
18. x ∈ A ∩ B হয় তবে নীচের কোনটি সঠিক? Ⓐ X ∈ A ∧ x ∈ B Ⓑ x ∈ B Ⓒ x ∈ A ∨ x ∈ B Ⓓ x ∉ A
Ans: Ⓐ x ∈ A ∧ x ∈ B [x ∈ A ∩ B এর অর্থ হল x, A এবং B উভয় সেটের মধ্যেই আছে। ∴ x ∈ A∩B ⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B]
19. A = {2, 4, 6, 8} হলে নীচের কোনটি সঠিক? Ⓐ {2, 4} ∈ Α Ⓑ {2, 4} ⊆ A Ⓒ {2, 4} ⊂ A Ⓓ {2, 4} ∈ AC
Ans: Ⓒ {2, 4} ⊂ A [{2, 4} সেটটি A সেটের যথার্থ উপসেট কিন্তু পদ নয়। ∴ {2, 4} ∉ A ∴ {2, 4} ⊂ A]
SN DEY CLASS11 MATH SOLUTION SEMESTER-I SET THEORY
20. নীচেরবিবৃতিগুলিরমধ্যেকোনটিসঠিক? Ⓐ {a} ∈ {a, b, c} Ⓑ a ∉ {a, b, c} Ⓒa ⊂ {a, b, c} Ⓓ {a} ⊂ {a, b, c}Ans: Ⓓ {a} ⊂ {a, b, c} [Ⓐ {a}, {a, b, c} -এর উপসেট কিন্তু পদ নয়। ∴ {a} ∉ {a, b, c} ∴ বিবৃতিটি মিথ্যা। Ⓑ a, {a, b, c} -এর একটি পদ। ∴ {a} ∈ {a, b, c}∴ বিবৃতিটি মিথ্যা। Ⓒ a, {a, b, c} -এর একটি পদ কিন্তু উপসেট নয়। ∴ a ⊄ {a, b, c} ∴ বিবৃতিটি মিথ্যা। Ⓓ {a} ⊂ {a, b, c} বিবৃতিটি সঠিক]
21. নীচেরসংজ্ঞাতচারটিসেটেরমধ্যেকোনদুটিসেটসমান? (i) A = {0} (ii) B = {Φ} (iii) C = {x: x এর মান একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা এবং 2 ≤ x ≤ 6} (iv) D= {x: x একটি পূর্ণসংখ্যা এবং 1 < x < 1} Ⓐ [i] ও [iv] Ⓑ [ii] ও [iv] Ⓒ [ii] ও [iii] Ⓓ [iii] ও [iv]
Ans: Ⓐ [i] ও [iv] [A = {0} B = {Φ} C = {x: x এর মান একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা এবং 2 ≤ x ≤ 6} = {4} D= {x: x একটি পূর্ণসংখ্যা এবং 1 < x < 1} = {0} ∴ A = D]
22. নীচের সংজ্ঞাত সেটগুলির মধ্যে কোনটি শূন্য সেট? Ⓐ A = {x: x-এর মান একটি পূর্ণসংখ্যার ঘন এবং 2 ≤ x ≤ 7} Ⓑ B = {0} Ⓒ C = {Ф} Ⓓ D = {x: x একটি পূর্ণসংখ্যা এবং 2 < x ≤ 3}
Ans: Ⓐ A = {x: x-এর মান একটি পূর্ণসংখ্যার ঘন এবং 2 ≤ x ≤ 7 } [2 থেকে 7 এর মধ্যে কোনো পূর্ণ ঘন সংখ্যা নেই। ∴ A = ϕ (শূন্য সেট)]
সৌরেন্দ্রনাথ দে একাদশ শ্রেণীর গণিত সমাধান (প্রথম সেমিস্টার)
23. নীচেরসংজ্ঞাতসেটগুলিরমধ্যেকোনটিঅসীমসেট? Ⓐ A = {x : x-এর মান একটি পূর্ণসংখ্যা এবং – 1 ≤ x < 1} Ⓑ B = (-100) অপেক্ষা বড়ো ঋণাত্মক যুগ্ম সংখ্যাসমূহের সেট Ⓒ C = 100 এর চেয়ে ছোটো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাসমূহের সেট Ⓓ D = (x: x বাস্তব ও -1 ≤ x < 1}
Ans: Ⓓ D = (x: x বাস্তবও –1 ≤ x < 1} [-1 থেকে 1 এর মধ্যে অসীম সংখ্যক বাস্তব সংখ্যা বর্তমান। ∴ D সেটটি একটি অসীম সেট।]
25. A = {1, 2, 3, 4} , B = {2, 4, 5, 8} C = {3, 4, 5, 6, 7} হলে – Ⓐ A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5} Ⓑ B ∩ C = {4, 5} Ⓒ A U (BUC) = {5, 6, 7} Ⓓ A U (B ∩ C) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
Ans: Ⓑ B ∩ C = {4, 5} [A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 8}Ⓑ B ∩ C = {4, 5}]
26. P = {a, b, c, d, e} এবং Q = {a, e, i, o, u} হলে – Ⓐ P ⊂ QⒷ Q ⊂ P Ⓒ P ∩ Q = {a, e}Ⓓ P U Q = {a, b, i, c, d, u}
Ans: Ⓒ P ∩ Q = {a, e} [b ∈ P কিন্তু b ∉ Q ∴ P ⊄ Q Ⓐ সত্য নয়। i ∈ Q কিন্তু i ∉ P ∴ Q ⊄ P Ⓑ সত্য নয়। (ii) P ∩ Q = { a, b, c, d, e} ∩ { a, e, i, o, u} = { a, e}]
সৌরেন্দ্রনাথ দে একাদশ শ্রেণীর গণিত সমাধান (প্রথম সেমিস্টার)
27. মনে করো, A = {a, b, c}, B = {{a, b}, C = {a, b, d} এবং D = {c, d} এবং E = {d}; নিম্নলিখিত বক্তব্যসমুহের মধ্যে কোনটি সত্য? Ⓐ {a} ∉ A Ⓑ D ⊅ E Ⓒ D ⊂ B Ⓓ {a} ⊂ A
Ans: Ⓓ {a} ⊂ A [{a} A-এর একটি উপসেট কিন্তু পদ নয়। ∴ Ⓐ {a} ∉ A বক্তব্যটি সত্য নয়। c ∈ D কিন্তু c ∉ E ∴ E ⊂ D Ⓑ D ⊅ E বক্তব্যটি সত্য নয়। c ∈ D কিন্তু c ∉ B ∴ Ⓒ D ⊂ B বক্তব্যটি সত্য নয়। ∵ a ∈ A ∴ {a} A-এর একটি উপসেট। ∴ Ⓓ {a} ⊂ A বক্তব্যটি সত্য।
SN DEY CLASS11 MATH SOLUTION SEMESTER-I SET THEORY
31. P = {a, b, c, d, e, f} এবং Q = {a, c, e, f} হলে, (P – Q) U (P ∩ Q) হবে – Ⓐ Q Ⓑ P U Q Ⓒ P ∩ Q Ⓓ P
Ans: Ⓓ P [(P – Q) = {b, c, d} U (P ∩ Q) = {a, c, e, f} ∴ (P – Q) U (P ∩ Q) = {a, b, c, d, e, f} = P]
32. যদি P = { θ: sinθ – cosθ = √ 2cosθ} এবং Q = { θ: sinθ + cosθ = √ 2sinθ} হয়, তবে Ⓐ P ⊂ Q Ⓑ Q ⊂ P Ⓒ P = Q Ⓓ P ∩ Q = Φ
Ans: Ⓒ P = Q [ধরি, x ∈ P ∴ sinx – cosx = √2 cosx বা, sinx = √2 cosx + cosx বা, sinx = (√2 + 1) cosx ⇒ 1/(√2 + 1) sinx = cos x বা, (√2 – 1)/(2 – 1) sinx = cosx বা, √2 sinx – sinx = cosx ⇒ √2 sinx = cosx + sin x ⇒ x ∈ Q ∴ P ⊆ Q – – – (i) আবার ধরা যাক, y ∈ Q ∴ siny + cosy = √2 siny ⇒ cosy = √2 siny – siny ⇒ cosy = (√2 – 1) siny = siny = 1/(√2 – 1) cosy ⇒ siny = (√2 + 1)/(2 – 1) cosy ⇒ siny = (√2 + 1) cosy = siny = √2 cosy + cosy ⇒ siny – cosy = √2 cosy ⇒ y ∈ P ∴ Q ⊆ P – – – (ii) (i) ও(ii) থেকে পাই, P = Q]
33. প্রদত্ত A = {1, 2, 3, 4, 5} এবং (B U C) = {3, 4, 6} হলে, (A – B) ∩ (A – C) = Ⓐ {1, 2} Ⓑ {2, 5} Ⓒ {1, 2, 5} Ⓓ {1, 2, 6}
Ans: Ⓒ {1, 2, 5} [( A – B) ∩ ( A – C) = A – ( B ∪ C) = { 1, 2, 3, 4, 5 } – { 3, 4, 6 } = { 1, 2, 5 }]
সৌরেন্দ্রনাথ দে একাদশ শ্রেণীর গণিত সমাধান (প্রথম সেমিস্টার)
34. মনে করো, সার্বিক সেট S = {a, b, c, d, e} এবং A = {a, b, d} ও B = {b, d, e} এর দুটি উপসেট। তাহলে (A U B)/ = Ⓐ {a, c, e} Ⓑ {c} Ⓒ {a, b, d, e} Ⓓ এদের কোনোটিই নয়
Ans: Ⓑ {c} A ∪ B = {a, b, d} ∪ {b, d, e} = {a, b, d, e} ∴ ( A ∪ B)’ = S – (A ∪ B) = {a, b, c, d, e} – {a, b, d, e} = {c}]
35. মনে করো, সার্বিক সেট S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} এবং A ∪ B = {2, 3, 4}; AC ∩ BC = Ⓐ {1, 5. 6} Ⓑ {2, 3, 4} Ⓒ Ф Ⓓ এদের কোনোটিই নয়
Ans: Ⓐ {1, 5. 6} [AC ∩ BC = (A U B}C = S – (A U B}C = {1, 5, 6}]
36. স্বাভাবিক সংখ্যাসমূহের সেট N এবং aN = {ax: x ∈ N} হলে, 3N ∩ 7N হবে – Ⓐ N Ⓑ 5N Ⓒ 21N Ⓓ এদের কোনোটিই নয়
37. মনেকরোসবপূর্ণসংখ্যারসেটZ এবংA = {x: x = 6n, n ∈ Z} ওB = {x: x = 4n, n ∈ Z); A ∩ B =
Ⓐ {x: x = 2n, n ∈ Z} Ⓑ {x: x = 12n, n ∈ Z} Ⓒ {x: x = 24n, n ∈ Z) Ⓓ এদের কোনোটিই নয়
SN DEY CLASS11 MATH SOLUTION SEMESTER-I SET THEORY
Ans: Ⓑ {x: x = 12n, n ∈ Z} [A = { x : x = 6n, n ∈ ℤ } = 6ℕ B = { x : x = 4n, n ∈ ℤ } = 4ℕ ∴ A ∩ B = 6ℕ ∩ 4ℕ = kℕ – – [যেখানে k = 6 ও 4 এর লসাগু] ⇒ 12ℕ = { x: x = 12n, n ∈ ℤ}]
38. যে কোনো দুটি সেট A ও B এর ক্ষেত্রে নিম্নলিখিতগুলির কোনটি সত্য নয়? Ⓐ (Β – Α) ∩ Α = Φ Ⓑ AC – BC = B – A Ⓒ Α – Β = Α – (Α ∩ Β) Ⓓ A – B = AC ∩ B
Ans: Ⓓ A – B = AC ∩ B [(B-A) ∩ A = (B ∩ AC) ∩ A = B ∩ ( AC ∩ A) ⇒ B ∩ ϕ = ϕ ∴ ( B – A) ∩ A = ϕ Ⓐ (Β – Α) ∩ Α = Φ বিবৃতিটি সত্য। ধরি, ∀x ∈ (AC – BC) ⇒ x ∈ AC এবং x ∉ BC ⇒ x ∉ A এবং x ∈ B বা, x ∈ B এবং x ∉ A ⇒ x ∈ (B – A) ∴ AC – BC ⊆ B – A – – – (i) আবার ধরি, ∀y ∈ (B – A) ⇒ y ∈ B এবং y ∉ A ⇒ y ∉ A এবং y ∈ B বা,y ∈ AC এবং y ∉ BC ⇒ y ∈ (AC – BC) ∴ B – A ⊆ AC – BC – – – (ii) (i) ও (ii) থেকে পাই, AC – BC = B – A ∴ AC – BC = B – A Ⓑ AC – BC = B – A বিবৃতিটি সত্য। যে-কোনো দুটি সেট্ A ও B এর জন্য, A∩B ⊆ B ধরা যাক, x ∈ A-B যে-কোনো পদ ⇒ x∈A এবং x∉B ⇒ x∈A এবং x∉A∩B [ ∵ A∩B ⊆ B ] ∴ x ∈ A – ( A ∩ B) সুতরাং, x ∈ A-B ⇒ x ∈A – (A∩B) ∴ A – B ⊆ A – (A∩B) – – – (i)
সৌরেন্দ্রনাথ দে একাদশ শ্রেণীর গণিত সমাধান (প্রথম সেমিস্টার)
ধরা যাক, y ∈ A – (A∩B) যে-কোনো পদ ⇒ y ∈ A এবং y ∉ A∩B ⇒ y ∈ A এবং (y ∉ A অথবা y ∉ B) বা, (y ∈ A এবং y ∉ A) অথবা (y ∈ A অথবা y ∉ B) ⇒ (y ∈ A এবং y ∈ AC) অথবা (y ∈ A অথবা y ∉ B) ⇒ y ∈ ( A ∩ AC) অথবা y ∈ ( A – B) বা, y ∈ ( A ∩ AC) ∪ ( A – B) ⇒ y ∈ ϕ ∩ ( A – B) ⇒ y ∈ A – B সুতরাং, y ∈ A – ( A – B) ⇒ y ∈ A – B ∴ A – (A∩B) ⊆ A – B – – – (ii) (i) ও (ii) থেকে পাওয়া যায়, A – B = A – (A ∩ B) Ⓒ Α – Β = Α – (Α ∩ Β) বিবৃতিটি সত্য। ∴ Ⓓ A – B = AC ∩ B বিবৃতিটি সত্য নয়।]
39. মনেকরোA, B, C তিনটিপ্রদত্তসেট।নীচেরবিবৃতিগুলিরমধ্যেকোনটিসত্য? Ⓐ B ∈ A এবং x ∈ B হলে, x ∈ A হবে Ⓑ B ⊂ A এবং A ∈ C হলে, B ∈ C হবে। Ⓒ A ⊄ B এবং B ⊄ C হলে, A ⊄ C হবে। Ⓓ এদের কোনোটিই নয়।
Ans: Ⓓএদেরকোনোটিইনয়। [ধরি, A = {{1, 2}, 3}, B = {1, 2} এখানে B ∈ A এবং 1 ∈ B কিন্তু 1 ∉ A ∴ Ⓐ বিবৃতিটি মিথ্যা। A = {1, 2, 3}, B = {1, 2} এবং C = {{1, 2, 3}, 4} এখানে B ⊂ A এবং A ∈ C কিন্তু B ∉ C ∴ Ⓑ বিবৃতিটি মিথ্যা। A = {1, 2}, B = {2, 3} এবং C = {1, 2, 4} এখানে A ⊄ B এবং B ⊄ C কিন্তু A ⊂ C ∴ Ⓒ বিবৃতিটি মিথ্যা।]
SN DEY CLASS11 MATH SOLUTION SEMESTER-I SET THEORY
40. একটিশ্রেণীতে70 জনছাত্রআছেযাদেরপ্রত্যেকেহয়ইংরাজিবাহিন্দিবাউভয়বিষয়পাঠকরে।45 জনছাত্রইংরাজিএবং30 জনহিন্দিপাঠকরে।কতজনছাত্রউভয়বিষয়েপাঠকরেন? Ⓐ 5 জন Ⓑ 15 জন Ⓒ 25 জন Ⓓ 40 জন
Ans: Ⓐ 5 জন [যারা ইংরাজি এবং হিন্দি পাঠ করেন তাদের সেট যথাক্রমে E এবং H হলে, n(E U H) = 70, n(E) = 45 এবং n (H) = 30 ∴ n(E ∩ H) = n(E) + n(H) – n(Ε U Η) = 45 + 30 – 70 = 75 – 70 = 5]
Ans: Ⓑ 170 [A সামগ্রী এবং B সামগ্রী পছন্দ করে এমন ব্যবহারকারীর সেট A ও B হলে উভয়সামগ্রী পছন্দ করে এমন ব্যবহারকারী হল (A ∩ B) ∴ (A ∩ B) = n(A) + n(B) – n(A U B) = 720 + 450 – 1000 = 1170 – 1000 = 170]
44. দুটিসসীমসেটA ওB এরউপাদানসংখ্যাযথাক্রমেm এবংn হলে, AUB-এরসবচেয়েবেশিউপাদানসংখ্যা– Ⓐ mn Ⓑ m – n Ⓒ m + n Ⓓ এদের কোনোটিই নয়
Ans: Ⓒ m + n [n(AUB) = n(A) + n(B) – n(A∩ B) n(AUB)-এ সর্বাধিক উপাদান সংখ্যা হবে যদি n(A∩ B) = 0 হয় অর্থাৎ A ও B বিচ্ছেদ) সেট হয়। ∴ n(AUB)-এ সর্বাধিক উপাদান সংখ্যা হবে যদি, n(AUB) = n(A) + n(B) = m + n হয়।]
45. মনেকরোসার্বিকসেট, S = {x: 0 < x ≤ 10} –এরদুটিউপসেটহল– A = {x: 2 ≤ x < 5} এবংB = {x: 3 < x < 7}; A ∩ B = Ⓐ {x: 3 ≤ x ≤ 5} Ⓑ {x: 3 < x < 5} Ⓒ {x: 2 ≤ x < 7} Ⓓ {x: 2 < x < 3}
Ans: Ⓑ {x: 3 < x < 5} [A ∩ B = {x: 2 ≤ x < 5} ∩ {x: 3 < x < 7} = {x: 3 < x < 5}]
46. P = {p, q, r, s, t, u} এবংQ ∩ R = {q, r, v, w) হলে, (P – Q) U (P – R) = Ⓐ {p, s, t} Ⓑ {p, s, t, u, w} Ⓒ {s, t, u} Ⓓ {p, s, t, u}
Ans: Ⓓ {p, s, t, u} [ (P – Q) U (P – R) = (P ∩ QC) U (P ∩ RC) = P ∩ (QC U RC) = P ∩ (Q ∩ R) C = P – (Q ∩ R) = {p, s, t, u}]
SN DEY CLASS11 MATH SOLUTION SEMESTER-I SET THEORY
47. যদিS সার্বিকসেটেরA, B, C তিনটিউপসেটহয়, যেখানেS = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7), A = {1, 3, 5, 6}, B ∩ C = {1, 2, 6} তবে(BC U CC) = Ⓐ {3, 4, 5} Ⓑ {1, 3, 4, 5, 7} Ⓒ {3, 4, 5, 7} Ⓓ এদের কোনোটিই নয়
Ans: Ⓒ {3, 4, 5, 7} [(BC U CC) =(B ∩ C) C = S – (B ∩ C) = {3, 4, 5, 7}]
48. যদি U = {a, b, c, d, e, f} সার্বিক সেট হয় এবং A, B, C, U-এর তিনটি উপসেট হয়, যেখানে A = {a, c, d} এবং B U C = {a, d, c, f} তবে (A ∩ B) U (A ∩ C) = Ⓐ {b, e} Ⓑ {a, b, c, d} Ⓒ {a, c, d} Ⓓ {c, d}
Ans: Ⓒ {a, c, d} [(A ∩ B) U (A ∩ C) = A ∩ (B U C) = {a, c, d} ∩ {a, d, c, f} = {a, c, d}]
49. যেকোনো তিনটি সেট A, B, C এর ক্ষেত্রে নিম্নলিখিতগুলির কোনটি সত্য? Ⓐ A U (B ∩ C) = (A ∩ B) U (A ∩ C) Ⓑ A ∩ (B U C) = (A U B) ∩ (A U C) Ⓒ A – (B ∩ C) = (A ∩ B) – C Ⓓ A – (B U C) = (A – B) ∩ (A – C)
Ans: Ⓓ A – (B U C) = (A – B) ∩ (A – C) [ A – (B U C) = A ∩ (B U C)C = A ∩ (BC ∩ CC) = (A ∩ BC) ∩ (A ∩ CC) = (A – B) ∩ (A – C)]
50. A ∩ (B – A) = Ⓐ Α ∩ Β Ⓑ AUB Ⓒ Φ Ⓓ এদের কোনটিই নয়
Ans: Ⓒ Φ [ A ∩ (B – A) = A ∩ (B ∩ AC) = (A ∩ B) ∩ (A ∩ AC) = (A ∩ B) ∩ Φ = Φ]
সৌরেন্দ্রনাথ দে একাদশ শ্রেণীর গণিত সমাধান (প্রথম সেমিস্টার)
51. যদি A এবং B দুটি সেট নিম্নলিখিতভাবে সংজ্ঞাত হয় A = {(x,y), у = 1/x, x ≠ 0, x ∈ R} এবং B = {(x, y): y = -x, x ∈ R} তবে, Ⓐ A ∩ B = A Ⓑ A ∩ B = B Ⓒ Α ∩ Β = Φ Ⓓ A U B = A
Ans: Ⓒ Α ∩ Β = Φ [A = {(x,y), у = 1/x, x ≠ 0, x ∈ R} = {(1,1), (2, 1/2), (3, 1/3)…….} এবং B = {(x, y): y = -x, x ∈ R} = {(1, -1), (2, -2), (3, -3)……..} A ও B-এর মধ্যে কোনো সাধারণ পদ নেই। ∴ Ⓒ Α ∩ Β = Φ]
52. 60 জন ছাত্রের একটি শ্রেণিতে 25 জন ক্রিকেট খেলে, 20 জন ছাত্র টেনিস খেলে এবং 10 জন ছাত্র উভয় খেলাই খেলে। তবে কোনো খেলাই খেলে না এরকম ছাত্রের সংখ্যা হবে – Ⓐ 0 Ⓑ 25 Ⓒ 35 Ⓓ 45
Ans: Ⓑ 25 [প্রদত্ত সমস্যাটিকে ভেন ডায়াগ্রামের মাধ্যমে প্রকাশ করি –
[ক্রিকেট খেলা ছাত্রের সেট C এবং টেনিস খেলা ছাত্রের সেট T
শুধু ক্রিকেট, শুধু টেনিস এবং উভয় খেলাই খেলে এরকম ছাত্রের সংখ্যা = (15 + 10 + 10) = 35 জন কোনো খেলাই খেলে না এমন ছাত্রের সংখ্যা = 60 – 35 = 35 জন]
Analytical/Skill Based Type Fill in the Blanks
1. A ⊆ B এবং B ⊆ C হলে ____________। Ⓐ A = C Ⓑ A = B = C Ⓒ C ⊆ A Ⓓ A ⊆ C
Ans:Ⓓ A ⊆ C
2. AUB = B হলে ____________। Ⓐ B ⊆ A Ⓑ A ∩ B = B Ⓒ Α = Φ Ⓓ A ⊆ B
Ans:Ⓓ A ⊆ B [∵ AUB = B ∴ A ⊆ B]
3. A ⊆ B হলে ____________। Ⓐ AUB = A Ⓑ A ∩ B = B Ⓒ A – B = ϕ Ⓓ এদের কোনোটিই নয়
Ans:Ⓒ A – B = ϕ
4. যে-কোনো দুটি সেট A ও B এর ক্ষেত্রে, AUB = A∩B হলে____________। Ⓐ A ⊆ B ⒷB ⊆ A Ⓒ A = B = Φ Ⓓ A = B
Ans:Ⓓ A = B
5. n -সংখ্যক পদবিশিষ্ট কোনো সসীম সেট A-র সূচক সেট ____________ সংখ্যক পদবিশিষ্ট হবে। Ⓐ n2 Ⓑ 2n Ⓒ 2n Ⓓ n2n
Ans: Ⓒ 2n
6. কোনো ইঞ্জিনিয়ারিং কলেজে 80 জন ছাত্র Computer Science, 75 জন Information Technology এবং 72 জন Electronics-এ পড়ার সুযোগ পায়; যদি 60 জন ছাত্র প্রথম ও দ্বিতীয়, 50 জন দ্বিতীয় ও তৃতীয়, 40 জন প্রথম ও তৃতীয় এবং 30 জন তিনটি শাখাতেই পড়ার সুযোগ পেয়ে থাকে তবে কলেজে ছাত্রদের জন্য ____________ টি আসন আছে (ধরে নাও কলেজে কেবল তিনটি শাখাই আছে)। Ⓐ 105 Ⓑ 107 Ⓒ 102 Ⓓ 106
Ans:Ⓑ 107 [ধরি, Computer Science, Information Technology এবং Electronics- এর সেট যথাক্রমে C, I এবং E। এখানে n(C) = 80, n(I) = 75, n(E) = 72, n(C∩I) = 60, n(I∩E) = 50, n(E∩C) = 40 এবং n(C∩I∩E) = 30 ∴ n(CUIUE) = n(C) + n(I) + n(E) – n(C∩I) – n(I∩E) – n(E∩C) বা, n(CUIUE) = 80 + 75 + 72 – 60 – 50 – 40 + 30 বা, n(CUIUE) = 257 – 150 = 107 কলেজে মোট 107 টি আসন আছে।]
7. 100 জন ছাত্রের তথ্যানুসন্ধানে দেখা গেল 50 জন কলেজ লাইব্রেরির পুস্তক ব্যবহার করত, 40 জনের নিজস্ব পুস্তক ছিল এবং 30 জন ধার করা পুস্তক ব্যবহার করত; 20 জন কলেজ লাইব্রেরির পুস্তক ব্যবহার করত ও তাদের নিজস্ব পুস্তক ছিল, 15 জন নিজস্ব পুস্তক ও ধার করা পুস্তক ব্যবহার করত এবং 10 জন কলেজ লাইব্রেরির পুস্তক ও ধার করা পুস্তক ব্যবহার করত। প্রত্যেক ছাত্র কলেজ লাইব্রেরির পুস্তক অথবা নিজস্ব পুস্তক অথবা ধার করা পুস্তক ব্যবহার করে ধরে তিনটি উৎস থেকেই পুস্তক ব্যবহার করত এমন ছাত্রদের সংখ্যা হবে ____________। Ⓐ 24 Ⓑ 25 Ⓒ 20 Ⓓ 15
8. কোনো শহরে তিনটি দৈনিক সংবাদপত্র X, Y, Z প্রকাশিত হয়। ওই শহরের 65% লোক X পত্রিকা, 54% Y পত্রিকা, 45% Z পত্রিকা পড়ে; 38% লোক X ও Y; 32% Y ও Z; 28% X ও Z পত্রিকা পড়ে এবং 12% লোক এই তিন প্রকার পত্রিকার কোনোটাই পড়ে না। যদি শহরের মোট লোকসংখ্যা 1000000 জন হয়, তবে শহরের ____________ জন লোক তিনটি পত্রিকাই পড়ে। Ⓐ 250000 Ⓑ 560000 Ⓒ 220000 Ⓓ 780000
Ans:Ⓒ 220000 [ধরি মোট সংবাদপত্র পাঠকের সংখ্যা 100 জন এবং X, Y ও Z. সংবাদপত্র পাঠকের সেট যথাক্রমে A, B এবং C প্রদত্ত, n(A) = 65, n(B) = 54, n(C) = 45, n(A∩B) = 38, n(B∩C) = 32, n(C∩A) = 28, n(Ac∩Bc∩Cc) = 12 n(Ac∩Bc∩Cc) = 12 ⇒ n(AUBUC)c =12 ⇒ n(S) – n(AUBUC) = 12 বা, 100 – n(AUBUC) = 12 ⇒ n(AUBUC) = 100 – 12 = 88
9. মনে করো, A1, A2 , . . . , A30 এই 30 টি সেটের প্রত্যেকটিতে পাঁচটি এবং B1, B2 , … ,Bn এই n-সংখ্যক সেটের প্রত্যেকটিতে তিনটি করে পদ আছে। ধরো, A1 U A2 U … U A30 = B2 U B2 U … U Bn = S মনে করো S-এর প্রত্যেকটি পদ ঠিক দশটি A সেটে এবং নয়টি B সেটে আছে। n-এর মান হবে ____________। Ⓐ 25 Ⓑ 20 Ⓒ 45 Ⓓ 5
Ans:Ⓒ 45 [S = A1 U A2 U … U A30 S-এর 30 টি সেটের প্রতিটিতে 5টি এবং S-এর প্রত্যেকটি পদ ঠিক10টি A সেটে আছে। S সেটের মোট পদসংখ্যা = 30×5/10 = 15 S = B2 U B2 U … U Bn S-এর n টি সেটের প্রতিটিতে 3টি এবং S-এর প্রত্যেকটি পদ ঠিক 9টি B সেটে আছে। S সেটের মোট পদসংখ্যা = 3×n/9 = n/3 ∵ A1 U A2 U … U A30 = B2 U B2 U … U Bn = S ∴ 15 = n/3 বা, n = 45]
COLUMN MATCHING
1. স্তম্ভA-এরসঙ্গেস্তম্ভ–B মেলাও।
স্তম্ভ A
স্তম্ভ B
[i] {5, 6, 7} এই সেটের মোট উপসেট সংখ্যা
[a] 49
[ii] যদি n(A) = 75, n(B) = 49 এবং B ⊂ A হয়, তবে n (A∩B) =
[b] 16
[iii] যদি n(S) = 30, n(A) = 10, n(B) = 7 এবং n(A∩B) = 3 হয়, তবে n(AcUBc) =
[c] 8
[iv] যদি A সেটের পদসংখ্যা 7 হয়, তবে P(A)-এর সংখ্যা
[ii] A ও B সেট দুটির মধ্যে সাধারণ পদ হল (1,0) এবং (0,1) ∴ A ∩ В = {1} ≠ Ф [iii] 16x2 + 24x + 13 = 0 ∴ x = – 24 ± √[(24)² – 4.16.13]/2.16 ⇒ x = – 24 ±√[576 – 832]/32 ⇒ x= – 24 ±√- 256/32 x এর মান অবাস্তব। ∴ A = Φ [iv] sinx cosx = ½ ⇒ 2sinx cosx = 1 ⇒ sin2x = sinπ/2 ⇒ 2x = π/2 ⇒ x = π/4 Α ≠ Φ]
SEMESTER-I SET THEORY
3. স্তম্ভ A-এর সঙ্গে স্তম্ভ-B মেলাও।
স্তম্ভ A
স্তম্ভ B
[i] যদি A = {(x, y): y = e2x, x ∈ R} এবং B = {(x,y): y = e-2x, x ∈ R} হয়, তবে n(Ac U Bc) c =
[a] 28
[ii] যদি A = {3, 5, 6}; তবে n(P(P(A))) =
[b] 23
[iii] যদি A∩B = Ф, n(S) = 20 এবং n(B) = 12 হয় তবে n(A U B‘) =
[c] 7.22
[iv] মনে করো n(A) = m এবং n(B) = n যদি A সেটের উপসেটের সংখ্যা B সেটের উপসেটের সংখ্যার চেয়ে 112 বেশি হয় তবে mn =
Ans: Ⓒ [i] – [d], [ii] – [a], [iii] – [b], [iv] – [c] [[i] n(Ac U Bc) c = n[(A∩B) c] c = n(A∩B) x = 0 হলেই দুটি সেটের একটি মাত্র সাধারণ পদ থাকে। y = e2x = e^2.0 = e0 = 1 ∴ A সেটের একটি পদ হয় (0, 1) অনুরূপে y = e-2x = e-2.0 = e0 = 1 ∴ B সেটের একটি পদ হয় (0, 1) ∴ n(A∩B) = {0, 1) ⇒n(A∩B) = 1 = 20 – [d]
Ans: Ⓐ [i] – [d], [ii] – [b], [iii] – [c], [iv] – [a] [[i] {x: √3 < x < √10, x ∈ Z} = {2, 3} -(d) [ii] {x: √2 < x < √3, x ∈ Q} ∵ x ∈ Q ∴ √2 এবং √3 এর মধ্যে অসংখ্য মূলদ সংখ্যা আছে। ∴ এটি একটি অসীম সেট। – [b]
[iii] {x: √2 < x < 2, x ∈ Z} ∵ x ∈ Z ∴ √2 এবং 3 এর মধ্যে কোনো পূর্ণসংখ্যা নেই। ∴ এটি একটি শূন্য সেট। – [c] [iv] √2 < √4 < √5 ⇒ √2 < 2 < √5 {x: √2 < x < 2, x ∈ Z} = {2} ∴ এটি একটি একপদী সেট। – [a]]
REARRANGEMENT OF SENTENCES / EVENTS
1. যদি A = {1, 4, 5, 7} এবং B = {1, 7, 9, 10} দুটি সেট হয়, তবে A△Β সেট তৈরির ধাপগুলি হল – [i] (B – A) সেটটি নির্ণয় করতে হবে [ii] (A – B) সেটটি নির্ণয় করতে হবে [iii] A△Β সেটটি পাওয়া যাবে। [iv] (A – B) U (B – A) নির্ণয় করতে হবে। ধাপগুলির সঠিক ক্রম হল – Ⓐ [i] – [ii] – [iii] – [iv] Ⓑ [ii] – [i] – [iv] – [iii] Ⓒ [iii] – [i] – [ii] – [iv] Ⓓ [ii] – [iii] – [iv] – [i]
Ans: Ⓑ [ii] – [i] – [iv] – [iii]
2. দুটি সেট P = {x: 1 ≤ x < 7, x ∈ R} এবং Q = {x: -1 ≤ x <4, x ∈ R} -এর জন্য (P U Q) – (P ∩ Q) সেট গঠন করার ধাপগুলি হল – [i] P U Q = {x: 1 ≤ x <7, x ∈ R} [ii] P ∩ Q = {x: 1 ≤ x < 4, x ∈ R} [iii] (P U Q) – (P ∩ Q) = {x: -1 < x < 1 ∨ 1 ≤ x < 7, x ∈ R} [iv] (P U Q) – (P ∩ Q) = {x: – 1 ≤ x <7, x ∈ R} – {x: 1 ≤ x < 4, x ∈ R} ধাপগুলির সঠিক ক্রম হল- Ⓐ [i] – [ii] – [iv] – [iii] Ⓑ [ii] – [i] – [iii] – [iv] Ⓒ [iii] – [ii] – [iv] – [i] Ⓓ [iv] – [i] – [ii] – [iii]
SN DEY CLASS11 MATH SOLUTION SEMESTER-I SET THEORY
4. n(A) 5, n(B) =7, n(A U B) = 8 হলে, n(A△B) -এর মান নির্ণয় করার ধাপগুলি হল- [i] n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) [ii] n(A△B) = n(A U B) – n(A ∩ B) = 4 [iii] n(A ∩ B) = n(A) + n(B) – n(AUB) [iv] n(A ∩ B) = 5 + 7 – 8 = 4 ধাপগুলির সঠিক ক্রম হল- Ⓐ [i] – [iii] – [iv] – [ii] Ⓑ [i] – [ii] – [iv] – [iii] Ⓒ [ii] – [i] – [iii] – [iv] Ⓓ [ii] – [iii] – [i] – [iv]
Ans: Ⓐ [i] – [iii] – [iv] – [ii]
RELATIONSHIP BETWEEN STATEMENT
প্রতিটি প্রশ্নে বিবৃতি A এবং বিবৃতি B দেওয়া আছে। নীচের কোন বিকল্পটি বিবৃতি A এবং বিবৃতি B-এর মধ্যে সঠিক সম্পর্ক নির্দেশ করে ? Ⓐ বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পর বিরোধী Ⓑ বিবৃতি B হল বিবৃতি A এর কারণ Ⓒ বিবৃতি A হল সত্য কিন্তু বিবৃতি B মিথ্যা Ⓓ বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পর নির্ভরশীল নয়
1.বিবৃতি-A: যে সেটের উপাদান সংখ্যা সসীম, সেই সেটকে সসীম সেট বলে। বিবৃতি-B: যে কোনো অসীম সেটের উপসেট একটি অসীম সেট
Ans: Ⓒ বিবৃতি A হল সত্য কিন্তু বিবৃতি B মিথ্যা [যে কোনো অসীম সেটের উপসেট একটি সসীম সেট হতে পারে। যেমনঃ A = {1, 2, 3 …} A অসীম সেটের উপসেটগুলী হল {1}, {1}, {1, 2} ইত্যাদি। এগুলো প্রতিটি সসীম সেট]
2.বিবৃতি-A: মূলদ (Q) ও অমূলদ(QC) সংখ্যা মিলে পাওয়া যায় বাস্তব সংখ্যার সেট। বিবৃতি-B: Q U QC = R
Ans: Ⓑ বিবৃতি B হল বিবৃতি A এর কারণ
3. বিবৃতি-A: A = {3, 5}, B = {1, 3, 5} হলে A – B = Ф ⇔ A ⊂ B বিবৃতি-B: A – B = Ф ⇔ A ⊂ B
Ans: : Ⓑ বিবৃতি B হল বিবৃতি A এর কারণ [A – B = {} = Ф]
4.বিবৃতি-A: যদি A = {x: x2 + 3x + 2 = 0} হয়, তবে n( P(P(A))) = 16 বিবৃতি-B: যদি n(A) = m হয়, তবে n(P(A)) = 2m
Ans: Ⓑ বিবৃতি B হল বিবৃতি A এর কারণ [ x2 + 3x + 2 = 0 বা, (x + 2)(x + 1) = 0 বা, x = – 2, – 1 ∴ n(A) = 2 n(P(A)) = 22 = 4 n(P(P(A))) = 24 = 16 ]
5. বিবৃতি-A: A = {1, 5, 9, 15} এবং B = {3, 7, 9, 12, 15} হলে, (A ∩ B) U (A/B) = A বিবৃতি-B: A U (B – A) = A U B
Ⓓ বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পর নির্ভরশীল নয় [ [(A ∩ B) U (A/B) = {9, 15} U {1, 5} = {1, 5, 9, 15} = A A U (B – A) = {1, 5, 9, 15} U {3, 7, 12} = {1, 3, 5, 7, 9, 12, 15} = A U B]
ASSERTION-REASONING
প্রতিটি প্রশ্নে বিবৃতি । (Assertion বা উক্তি) এবং বিবৃতি II (Reason বা উক্তির কারণ) দেওয়া আছে। প্রতিটি প্রশ্নের বিবৃতি দুটি নীচের কোন্ বিকল্পটিকে Ⓐ Ⓑ Ⓒ ও Ⓓ সঠিকভাবে ব্যাখ্যা করে? Ⓐ বিবৃতি । সঠিক, বিবৃতি ।I সঠিক এবং বিবৃতি II. বিবৃতি ।-এর সঠিক কারণ। Ⓑ বিবৃতি । সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II. বিবৃতি I-এর সঠিক কারণ নয়। Ⓒ বিবৃতি। সঠিক এবং বিবৃতি II সঠিক নয়। Ⓓ বিবৃতি। সঠিক নয় এবং বিবৃতি II সঠিক।
1. বিবৃতি-I(A): অমূলদ সংখ্যার সেট হল বাস্তব সংখ্যার সেটের উপসেট। বিবৃতি-II(R): যদি a ∈ A ⇒ a ∈ B হয়, তবে A ⊆ B ।
Ans: Ⓐ বিবৃতি । সঠিক, বিবৃতি ।I সঠিক এবং বিবৃতি II. বিবৃতি ।-এর সঠিক কারণ। [অমূলদ সংখ্যা এবং মূলদ সংখ্যা নিয়ে বাস্তব সংখ্যা গঠিত। ∴ অমূলদ সংখ্যার সেট হল বাস্তব সংখ্যার সেটের উপসেট।]
2.বিবৃতি-I(A): যদি A = {x: x2 – 3x + 2 = 0, x ∈ R} এবং B = {x: x2 – 1 = 0, x ∈ ℕ} হয়, তবে n (A ∪ B) = 2 বিবৃতি-II(R): B ⊂ A হলে, n(A ∪ B) = n(A)
Ans: Ⓐ বিবৃতি । সঠিক, বিবৃতি ।I সঠিক এবং বিবৃতি II. বিবৃতি ।-এর সঠিক কারণ। [ x2 – 3x + 2 = 0 ⇒ x2 – 2x – x + 2 = 0 বা x(x – 2) – 1(x – 2) = 0 ⇒ (x – 2)(x – 1) = 0 ∴ x = 2, 1 ∴ A = {1, 2} x2 – 1 = 0 ⇒ (x + 1)(x – 1) = 0 ∴ x = 1, -1 এবং x ∈ ℕ ∴ B = {1} A ∪ B = {1, 2} n(A ∪ B) = 2]
3.বিবৃতি-I(A): যদি A = {x: – 1 < x < 1, x ∈ Z} হয়, তবে A একপদী সেট। বিবৃতি-II(R): কোনো সেটের সূচক সেট একপদী সেট হতে পারে না।
Ans: Ⓒ বিবৃতি। সঠিক এবং বিবৃতি II সঠিক নয়। [ A = {x: – 1 < x < 1, x ∈ Z} ⇒ A = {0}]
4. বিবৃতি-I(A): ; যদি A= {x: x হল 10-এর থেকে ছোটো মৌলিক সংখ্যা এবং x3 – 8x2 + 17x – 10 = 0} হয়, তবে n(P(A)) = 4 বিবৃতি-II(R): কোনো সসীম সেটে n-সংখ্যক উপাদান থাকলে, তারা সূচক সেটের উপাদান সংখ্যা হবে n2 ।
Ans: Ⓒ বিবৃতি। সঠিক এবং বিবৃতি II সঠিক নয়। [10-এর থেকে ছোটো মৌলিক সংখ্যা = 2, 3, 5, 7 x = 2 হলে, 23 – 8.22 + 17.2 – 10 = 8 – 32 + 34 – 10 = 0 x = 3 হলে, 33 – 8.32 + 17.3 – 10 = 27 – 72 + 51 – 10 ≠ 0 x = 5 হলে, 53 – 8.52 + 17.5 – 10 = 125 – 200 + 85 – 10 = 0 x = 7 হলে, 73 – 8.72 + 17.7 – 10 = 343 – 392 + 119 – 10 ≠ 0 ∴ A = {2, 5} n(A) = 2 ∴ n(P(A)) = 22 = 4 কোনো সসীম সেটে n-সংখ্যক উপাদান থাকলে, তারা সূচক সেটের উপাদান সংখ্যা হয় 22]
5. বিবৃতি-I(A): A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} B = {0, 1, 2, 3, 6, 7, 9} ∴ A△B = {4, 5, 6, 7, 9} বিবৃতি-II(R): A△B =(A ∩ Bc ) ∪ (B ∩ Ac )
Ans: Ⓓ বিবৃতি। সঠিক নয় এবং বিবৃতি II সঠিক। [ A△B = (A ∪ B) – (A ∩ B) ⇒ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9} – {0, 1, 2, 3, 6} = {4, 5, 7, 9}]
TRUE AND FALSE
1. বিবৃতি-I: P(A ∩ B) = P(A) ∩ P(B), যেখানে P(X) হল X সেটের সূচক সেট। বিবৃতি-II: যদি A এবং B দুটি অশূন্য সেট সেট হয়, তবে A ∩ (A ∩ B)’ = A’ ∩ B Ⓐ বিবৃতি। সত্য কিন্তু বিবৃতি ।। মিথ্যা Ⓑ বিবৃতি । মিথ্যা কিন্তু বিবৃতি ।। সত্য Ⓒ বিবৃতি । ও ।। উভয়েই সত্য Ⓓ বিবৃতি। ও ।। উভয়েই মিথ্যা
Ans: Ⓐ বিবৃতি। সত্য কিন্তু বিবৃতি ।। [প্রদত্ত সমস্যাটিকে ভেন ডায়াগ্রামের মাধ্যমে প্রকাশ করি-
চিত্রের কমলা অংশ[(A ∩ B)] ছাড়া আয়তক্ষেত্রের সমগ্র অংশটি দ্বারা (A ∩ B)’ সূচিত হয়। নীল অংশটি দ্বারা A ∩ (A ∩ B)’ সূচিত হয়। আর A বৃত্ত ছাড়া আয়তক্ষেত্রের সমগ্র অংশটি দ্বারা A’ সূচিত হয়। B বৃত্তের শুধুমাত্র হলুদ অংশটি দ্বারা A’ ∩ B সূচিত হয়। ∴ A ∩ (A ∩ B)’ ≠ A’ ∩ B]
2. বিবৃতি-I: (B – A) U (A ∩ B) = B বিবৃতি-II A ⊂ B ⇒ AUB = B Ⓐ বিবৃতি। সত্য কিন্তু বিবৃতি ।। মিথ্যা Ⓑ বিবৃতি । মিথ্যা কিন্তু বিবৃতি ।। সত্য Ⓒ বিবৃতি । ও ।। উভয়েই সত্য Ⓓ বিবৃতি। ও ।। উভয়েই মিথ্যা
Ans: Ⓒ বিবৃতি । ও ।। উভয়েই সত্য [সমাধানঃ প্রদত্ত সমস্যাটিকে ভেন ডায়াগ্রামের মাধ্যমে প্রকাশ করি-
B বৃত্তের শুধুমাত্র হলুদ অংশটি দ্বারা (B – A) সূচিত হয়। (A ∩ B) দ্বারা পুরো A বৃত্ত সূচিত হয়। (B – A) U (A ∩ B) দ্বারা পুরো B বৃত্ত সূচিত হয়। ∴ (B – A) U (A ∩ B) = B
Ans: Ⓑ [Ⓐ চিত্র নির্দেশ করে A – B Ⓒ চিত্র নির্দেশ করে A △ B Ⓓ চিত্র নির্দেশ করে A ∩ B]
2. নীচের কোন বিকল্পটি উপরের ভেনচিত্রটিকে নির্দেশ করে?
Ⓐ Α ∩ Β = Φ Ⓑ A U B = B Ⓒ A ∩ B = B Ⓓ এদের কোনোটিই নয় Ans: Ⓓ এদের কোনোটিই নয়
উপরের ভেনচিত্র অনুযায়ী (A U B) সেটের উপসেটের সংখ্যা হবে- Ⓐ 5 Ⓑ 16 Ⓒ 32 Ⓓ 8 Ans: Ⓒ 32 [A U B = {2, 4, 6, 8, 0} ∴ AU B সেটের উপসেটের সংখ্যা = 25 = 32]
4. কোনোটিই শূন্য সেট নয় এমন তিনটি সেট A, B এবং C-এর ক্ষেত্রে A ⊂B, C ⊄B,A ∩ C ≠ Φ বজায় রেখে অঙ্কিত ভেনচিত্রটি হবে–
Ans: Ⓑ [Ⓑ চিত্রটিতে A সম্পূর্ণরুপে В-এর মধ্যে অবস্থিত। ∴ A ⊂ B, C-এর কিছুটা B-এর বাইরে আছে। ∴ С ⊄ B A আর C পরস্পর ছেদ করেছে।∴ A ∩ C ≠ Φ]
5. কোনোটিই শূন্য সেট নয় এমন তিনটি সেট A, B এবং C এর ক্ষেত্রে A ⊂ B, В ∩ C ≠ Φ, С ∩ A = Φ, С ⊄ B বজায় রেখে অঙ্কিত ভেনচিত্রটি হবে –
Ans: (D)
[Ⓓ চিত্রটিতে A সম্পূর্ণরুপে В-এর মধ্যে অবস্থিত। ∴ A ⊂ B, আবার, B-এর মধ্যে কিছুটা C দখল করে আছে। ∴ В ∩ C ≠ Φ, C আর A পরস্পর ছেদ করেনি।∴ С ∩ A = Φ, C-এর কিছুটা B-এর বাইরে আছে।∴С ⊄ B]
SETS THEORY CASE BASED
1. সেট সম্পর্কে ধারণা দেওয়ার জন্য একজন গণিতের শিক্ষক সসীম পদসংখ্যাবিশিষ্ট দুটি সেট A ও B লিখলেন। A ও B সেট দুটির অঙ্কবাচক (cardinal number) সংখ্যার সমষ্টি 9। A ও B সেটের সূচক সেট দুটির অঙ্কবাচক সংখ্যার অনুপাত ৪:11
[i] A সেটটির অঙ্কবাচক সংখ্যা হল — Ⓐ 3 Ⓑ 6 Ⓒ 2 Ⓓ 9 Ans: Ⓑ 6
[ii] n(AUB) এর সর্বাধিক মান — Ⓐ 3 Ⓑ 6 Ⓒ 9 Ⓓ 12 Ans: Ⓒ 9
[সমাধানঃ ধরি, A ও B সেটের পদসংখ্যা যথাক্রমে a ও (9 – a) প্রশ্নানুযায়ী, P(A)/P(B) = 8/1 ⇒ 2a/29-a = 8 বা, 2a – 9 + a = 23 বা, 2a – 9 = 3 ⇒ 2a = 12 বা, a = 6 ∴ 9 – a = 9 – 6 = 3]
2. মনে করো, A = (a, b, c, d, e, f, g, h, i), B = {b, d, f, h), C = (a, c, e, g, i), D = {c, d, e) এবং E = (c, e)। যদি নিম্নলিখিত তথ্য দেওয়া থাকে তবে কোন সেট X এর সঙ্গে সমান হতে পারে?
[i] যখন X ও B পরস্পর বিচ্ছেদ সেট Ⓐ X = C এবং X = E Ⓑ X = B এবং X = D Ⓒ X = E Ⓓ X প্রদত্ত কোনো সেটের সমান নয় Ans: Ⓐ X = C এবং X = E [ B এবং E পরস্পর বিচ্ছেদ সেট। আবার, B এবং E-ও বিচ্ছেদ সেট। ]
[ii] যখন X ⊂ A কিন্তু X ⊄ C Ⓐ X = C এবং X = E Ⓑ X = B এবং X = D Ⓒ X = E Ⓓ X প্রদত্ত কোনো সেটের সমান নয় Ans: Ⓑ X = B এবং X = D [X = D কারণ B ⊂ A কিন্তু B ⊄ C । আবার X = D কারণ D ⊂ A কিন্তু B ⊄ C ।]
[iii] যখন X ⊂ D কিন্তু X ⊄ B Ⓐ X = C এবং X = E Ⓑ X = B এবং X = D Ⓒ X = E Ⓓ X প্রদত্ত কোনো সেটের সমান নয় Ans: Ⓒ X = E [E ⊂ D এবং E ⊄ B] [iv] যখন X ⊂ C কিন্তু X ⊄ A Ⓐ X = C এবং X = E Ⓑ X = B এবং X = D (উত্তর) Ⓒ X = E Ⓓ X প্রদত্ত কোনো সেটের সমান নয় Ans: Ⓓ X প্রদত্ত কোনো সেটের সমান নয়। [এখানে এমন কোনো সেট নেই যেটি C এর সাবসেট এবং A এর সাবসেট নয়।]
3. কোনো শহরে শতকরা 60 জন A পত্রিকা পাঠ করে এবং শতকরা 25 জন A পত্রিকা পাঠ করে না কিন্তু B পত্রিকা পাঠ করে।
[i] শতকরা কতজন কোনো পত্রিকা পাঠ করে না? Ⓐ 25% Ⓑ 15% Ⓒ 75% Ⓓ 85% Ans: Ⓑ 15% [এখানে n(A)= 60, n(B-A) = 25 ∴ n(AUB) = n(A) + n(B-A) = 60 + 25 = 85 ∴ কোনো পত্রিকাই পাঠ করে না = (100 – 85)% = 15%]
[ii] সম্ভাব্য সর্বাধিক শতকরা কতজন B পত্রিকা পাঠ করেন? Ⓐ 75% Ⓑ 45% Ⓒ 85% Ⓓ 25% Ans: Ⓒ 85% [∵ n (AUB) = 85; ∴ n(B)-এর সর্বাধিক মান হতে পারে 85]
[iii] সম্ভাব্য সর্বনিম্ন কতজন B পত্রিকা পাঠ করেন? Ⓐ 10% Ⓑ 20% Ⓒ 15% Ⓓ 25% Ans: Ⓓ 25% [∵ শতকরা 25 জন A পত্রিকা পাঠ করে না কিন্তু B পত্রিকা পাঠ করে।]
4. A = {x: 0 < x ≤ 2} এবং B = {x: 1 < x < 3} হলে, [i] A ∩ B Ⓐ {x: 0 < x < 3} Ⓑ {x: 0 < x ≤ 1} Ⓒ {x: 1 < x ≤ 2} Ⓓ {x: 0 < x ≤ 1} অথবা {2 < x < 3} Ans: Ⓒ {x: 1 < x ≤ 2} [A ∩ B = {x: 0 < x ≤ 2} ∩ {x: 1 < x < 3} = {x: 1 < x ≤ 2}]
SN DEY CLASS11 MATH SOLUTION SEMESTER-I SET THEORY এস এন দে সেমিস্টার-I একাদশ শ্রেণী সেটতত্ত্ব
[ii] A U B Ⓐ {x: 0 < x < 3} Ⓑ {x: 0 < x ≤ 1} Ⓒ {x: 1 < x ≤ 2} Ⓓ {x: 0 < x ≤ 1} অথবা {2 < x < 3} Ans: Ⓐ {x: 0 < x < 3} [A U B = {x: 0 < x ≤ 2} U {x: 1 < x < 3} = {x: 0 < x < 3}]
[iii] A – B Ⓐ {x: 0 < x < 3} Ⓑ {x: 0 < x ≤ 1} Ⓒ {x: 1 < x ≤ 2} Ⓓ {x: 0 < x ≤ 1} অথবা {2 < x < 3} Ans: Ⓑ {x: 0 < x ≤ 1} [A – B = {x: 0 < x ≤ 2} – {x: 1 < x < 3} = {x: 0 < x ≤ 1}]
[iv] A U B – (A ∩ B) Ⓐ {x: 0 < x < 3} Ⓑ {x: 0 < x ≤ 1} Ⓒ {x: 1 ≤ x ≤ 2} Ⓓ {x: 0 < x ≤ 1} অথবা {2 < x < 3} Ans: Ⓓ {x: 0 < x ≤ 1} অথবা {2 < x < 3} [A U B – (A ∩ B) = {x: 0 < x < 3} – {x: 1 < x ≤ 2} = {x: 0 < x ≤ 1} অথবা {2 < x < 3}]
5. প্রদত্ত X U Y = {1, 2, 3, 4}, X U Z = {2, 3, 4, 5} , X ∩ Y = {2, 3} এবং X ∩ Z = {2, 4}
[i] X সেটটি হবে — Ⓐ {1, 2, 3} Ⓑ {2, 4, 5} Ⓒ {2, 3, 4} Ⓓ এদের কোনোটিই নয় Ans: Ⓒ {2, 3, 4}
[iii] Z সেটটি হবে — Ⓐ {1, 2, 4} Ⓑ {2, 3, 4} Ⓒ {2, 4} Ⓓ {2, 4, 5} Ans: Ⓓ {2, 4, 5} [সমাধানঃ প্রদত্ত সমস্যাটিকে ভেন ডায়াগ্রামের মাধ্যমে প্রকাশ করি-
∴ X = {2, 3,4} Y = {1, 2, 3} Z = {2, 4, 5}
6. কোনও কলেজের 1000 জন ছাত্রের মধ্যে 540 জন ফুটবল, 465 জন ক্রিকেট এবং 370 জন ভলিবল খেলে; মোট ছাত্র সংখ্যার 325 জন ফুটবল ও ক্রিকেট, 260 জন ফুটবল ও ভলিবল, 235 জন ক্রিকেট ও ভলিবল এবং 125 জন প্রত্যেকটি গেম খেলে।
[i] কতজন ছাত্র কোনও গেম খেলে না? Ⓐ445 Ⓑ 110 Ⓒ 320 Ⓓ এদের কোনোটিই নয় Ans: Ⓒ 320
[ii] কতজন ছাত্র কেবল একটি গেম খেলে (A) 445 (B) 320 (C) 220 Ⓓ 110 Ans: Ⓓ 110
[iii] কতজন ছাত্র ঠিক দুটো গেম খেলে? Ⓐ 110 Ⓑ 445 Ⓒ 160 Ⓓ 320 Ans: Ⓑ 445 [সমস্যাটিকে ভেন চিত্রের মাধ্যমে প্রকাশ করে পাই,,
কোনও গেম খেলে না = 1000 – (540 + 110 + 30) = 1000 – 680 = 320 জন কেবল একটি গেম খেলে = 80 + 30 = 110 জন ঠিক দুটো গেম খেলে = 200 + 110 + 135 = 445 জন]
7. একটি দলে কয়েক জন ছাত্র আছে এবং দলের প্রত্যেকে বাংলা, হিন্দি ও ইংরেজি ভাষার মধ্যে কমপক্ষে একটি বলতে পারে। 65 জন ছাত্র বাংলা, 54 জন হিন্দি এবং 37 জন ইংরেজি ভাষায় কথা বলতে পারে; 31 জন বাংলা ও হিন্দি, 17 জন হিন্দি ও ইংরেজি এবং 18 জন বাংলা ও ইংরেজি ভাষায় কথা বলতে পারে।
[i] দলের সর্বোচ্চ ছাত্রসংখ্যা হতে পারে — Ⓐ 105 Ⓑ 75 Ⓒ 90 Ⓓ 107 Ans: Ⓓ 107
[ii] দলের সর্বনিম্ন ছাত্রসংখ্যা হতে পারে — Ⓐ 91 Ⓑ 90 Ⓒ 107 Ⓓ 89 Ans: Ⓑ 90
[বাংলা, হিন্দি ও ইংরাজি তে কথা বলতে পারে এমন ছাত্রের সেট যথাক্রমে B, H, E হলে, n(BUHUE) = n(B) + n(H) + n(E) – n(B∩H) – n(H∩E) – n(E∩B) + n(B∩H∩E) = 65 + 54 + 37 – 31 – 17 – 18 + n(B∩H∩E) ⇒ 156 – 66 + n(B∩H∩E) = 90 + n(B∩H∩E) n(BUHUE) এর মান ক্ষুদ্রতম হবে যদি n(B∩H∩E) = 0 হয়। ∴ n(BUHUE) এর ক্ষুদ্রতম মান = 90 + 0 = 90 আবার n(BUHUE) এর মান বৃহত্তম হবে যদি n(B∩H∩E) বৃহত্তম হয়। n(B∩H∩E) এর বৃহত্তম মান হবে (B∩H), (H∩E) এবং (E∩B) এর ক্ষুদ্রতম মান = 17 ∴ n(BUHUE) এর বৃহত্তম মান = 90 + 17 = 107]
8. একটি সভার 100 জন লোকের মধ্যে 29 জন ভারতীয় মহিলা এবং 23 জন ভারতীয় পুরুষ। এই ভারতীয়দের মধ্যে 4 জন ডাক্তার এবং 24 জন হয় পুরুষ নয়তো ডাক্তার। সভায় কোনো বিদেশী ডাক্তার নেই।
[i] সভায় কতজন বিদেশী ছিলেন? Ⓐ 43 Ⓑ47 Ⓒ 24 Ⓓ 48 Ans: (D) 48 [ii] সভায় মহিলা ডাক্তারের সংখ্যাই বা কত? Ⓐ 1 Ⓑ 4 Ⓒ 7 Ⓓ 8 Ans: (A) 1 [সভায় ভারতীয়দের সংখ্যা = 29 + 23 = 52 জন ∴ সভায় বিদেশীর সংখ্যা = 100 – 52 = 48 জন সভায় 24 জন হয় পুরুষ নয় ডাক্তার এবং 23 জন পুরুষ। ∴ মহিলা ডাক্তারের সংখ্যা (24 – 23) জন = 1 জন।]
