Author: TEAM PROSTUTI

SOLUTION OF DETERMINANT S N DEY MINOR AND COFACTOR নির্ণায়ক মাইনর ও সহ-উৎপাদক

SOLUTION OF DETERMINANT S N DEY MINOR AND COFACTOR
নির্ণায়ক মাইনর ও সহ-উৎপাদক

**S N DEY MINOR AND COFACTOR নির্ণায়ক মাইনর ও সহ-উৎপাদকQUESTION PAPER WITH SOLUTION**

বহুবিকল্পভিত্তিক প্রশ্নাবলি (MCQ) প্রতিটি প্রশ্নের মান 1
Conventional Type

\(1.\ \begin{vmatrix}a\quad b\quad a\\a\quad b\quad b\\a\quad b\quad c\end{vmatrix}\) এর মান হবে —

Ⓐ -1 Ⓑ 1 Ⓒ 0 Ⓓ 2
Solution:

\(\ \begin{vmatrix}a\quad b\quad a\\a\quad b\quad b\\a\quad b\quad c\end{vmatrix}\\=\begin{vmatrix}1\quad 1\quad a\\1\quad 1\quad b\\1\quad 1\quad c\end{vmatrix}\)

= ab.0 = 0. . [∵ নির্ণায়কের দুটি স্তম্ভ অভিন্ন]
Ans: Ⓒ 0

2. [x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)] কে একটি তৃতীয় ক্রমের নির্ণায়কের আকারে লিখলে তা হবে —

\(Ⓐ\ \begin{vmatrix}x_1\quad -y_1\quad 1\\x_2\quad y_2\quad -1\\x_3\quad -y_3\quad 1\end{vmatrix}\\Ⓑ\ \begin{vmatrix}x_1\quad y_1\quad 1\\x_2\quad y_2\quad 1\\x_3\quad y_3\quad 1\end{vmatrix}\\Ⓒ\ \begin{vmatrix}x_1\quad -y_1\quad 1\\x_2\quad y_2\quad -1\\-x_3\quad y_3\quad 1\end{vmatrix}\\Ⓓ\ \begin{vmatrix}-_1\quad y_1\quad 1\\x_2\quad -y_2\quad 1\\-x_3\quad y_3\quad 1\end{vmatrix}\\Ans:\quad Ⓑ\ \begin{vmatrix}x_1\quad y_1\quad 1\\x_2\quad y_2\quad 1\\x_3\quad y_3\quad 1\end{vmatrix}\)

\(3.\ △=\begin{vmatrix}a_1\quad b_1\quad c_1\\a_2\quad b_2\quad c_2\\a_3\quad b_3\quad c_3\end{vmatrix}\)

এবং a₁, b₁, c₁. . . ইত্যাদির সহ-উৎপাদকগুলি যথাক্রমে A₁, B₁, C₁. . . ইত্যাদি হলে, △এর মান হরে —
Ⓐ a₂C₂ + b₂C₂ + c₂C₂
Ⓑ a₂A₁ + b₂B₁ + c₂C₁
Ⓒ a₁B₁ + a₂B₂ + a₃B₃
Ⓓ c₁C₁ + c₂C₂ + c₃C₃Solution: △ = নির্ণায়কের যেকোনো সারি বা স্তম্ভের পদ্গুলির সঙ্গে তার সহ-উৎপাদকগুলির গুণফলের সমষ্টি।
∴ △ = c₁C₁ + c₂C₂ + c₃C₃
Ans: Ⓓ c₁C₁ + c₂C₂ + c₃C₃

4. যদি \(\begin{vmatrix}2\quad 4\\5\quad 1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}x\quad 6\\4\quad 2x\end{vmatrix}\) হয়, তবে x এর মান হবে —

Ⓐ 0 Ⓑ ±1 Ⓒ ±√3 Ⓓ ±3
Solution:

\(\quad \begin{vmatrix}2\quad 4\\5\quad 1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}x\quad 6\\4\quad 2x\end{vmatrix}\)

⇒ 2 – 20 = 2x² – 24
⇒2x²= 6
⇒ 2x²= ±√3
Ans: Ⓒ ±√3

5. একক মাট্রিক্সের নির্ণায়কের মান হবে —
Ⓐ 1 Ⓑ -1 Ⓒ 2 Ⓓ -2
Ans: Ⓐ 1

\(6.\ \begin{vmatrix}log_xy\quad 1\\1\quad\quad log_yx\end{vmatrix}\) এর মান হবে —

Ⓐ 0 Ⓑ 1
Ⓒ -1 Ⓓ এদের কোনোটিই নয়
Solution:

\(\ \begin{vmatrix}log_xy\quad 1\\1\quad\quad log_yx\end{vmatrix}\)

= log_xy.log_yx – 1.1
=^{log y}/_{log x} . ^{log x}/_{log y}
= 1 – 1 = 0
Ans: Ⓐ 0

7. যদি \(\begin{vmatrix}x-2\quad -3\\3x\quad\quad 2x\end{vmatrix}=3\) হয়, তবে x-এর মান হবে —

Ⓐ –¹/₂, 3 Ⓑ ¹/₂, -3
Ⓒ 1, ¹/₂ Ⓓ 1, -3
Solution:

\(\begin{vmatrix}x-2\quad -3\\3x\quad\quad 2x\end{vmatrix}=3\)

⇒ (x – 2).2x – (-3).3x = 3
⇒ 2x² – 4x + 9x = 3
⇒2x² + 5x – 3 = 0
⇒ 2x² + 6x – x – 3 = 0
⇒2x(x + 3) – 1(x + 3) = 0
⇒ (x + 3)(2x – 1) = 0
∴ x = -3, ¹/₂
Ans: Ⓑ ¹/₂, -3

\(8.\ \begin{vmatrix}ω^2\quad 1\quad ω\\ω\quad ω^2\quad 1\\1\quad ω\quad ω^2\end{vmatrix}\)

নির্ণায়কের মান হবে (যেখানে ω হল 1 এর অবাস্তব ঘনমূল) —
Ⓐ 1 Ⓑ φ Ⓒ φ² Ⓓ 0
Solution:

\(\ \begin{vmatrix}ω^2\quad 1\quad ω\\ω\quad ω^2\quad 1\\1\quad ω\quad ω^2\end{vmatrix}\\=\begin{vmatrix}ω^2+1+ω\quad 1\quad ω\\ω^2+1+ω\quad ω^2\quad 1\\ω^2+1+ω\quad ω\quad ω^2\end{vmatrix}..[C_1’=C_1+C_2+C_3]\\=\begin{vmatrix}0\quad 1\quad ω\\0\quad ω^2\quad 1\\0\quad ω\quad ω^2\end{vmatrix}..[1+ω+ω^2=0]\\=0\\Ans:\quad Ⓓ\ 0\)

\(9.\ \begin{vmatrix}1\quad 5\quad -7\\2\quad -3\quad 5\\6\quad 0\quad\quad 4\end{vmatrix}\)

নির্ণায়কটির পদ 4 -এর সহ-উৎপাদক হবে —
Ⓐ 13 Ⓑ -13 Ⓒ 12 Ⓓ -12

Solution: প্রদত্ত নির্ণায়কটির 4 -এর সহ-উৎপাদক
= 1×(-3) – 2×5 = -13
Ans: Ⓑ -13

\(10.\ \begin{vmatrix}0\quad 2\quad 6\\1\quad 5\quad 0\\3\quad 7\quad 1\end{vmatrix}\)

নির্ণায়কটির পদ 5 -এর মাইনর্ হবে —
Ⓐ -18 Ⓑ 9 Ⓒ -9 Ⓓ 18

Solution: প্রদত্ত নির্ণায়কটির 5 -এর মাইনর্
= 0×1 – 3×6 = -18
Ans: Ⓐ -18

\(11.\ \begin{vmatrix}1\quad -3\quad 2\\4\quad -1\quad 2\\2\quad\quad 5\quad 7\end{vmatrix}\)

এর পদ a₃₂ -এর সহ-উৎপাদক হবে —
Ⓐ -6 Ⓑ 4 Ⓒ -4 Ⓓ 6

Solution: প্রদত্ত নির্ণায়কটির a₃₂ বা 5-এর সহ-উৎপাদক
= -[1×2 – 4×2]
= -(-6) = 6
Ans: Ⓓ 6

\(12.\ \begin{vmatrix}3\quad x\\x\quad 1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}3\quad 2\\4\quad 1\end{vmatrix}\) হলে, x =

Ⓐ ±2√2 Ⓑ ±2√3
Ⓒ ±2√5 Ⓓ ±2√7

\(Solution:\ \begin{vmatrix}3\quad x\\x\quad 1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}3\quad 2\\4\quad 1\end{vmatrix}\)

⇒ 3 – x² = 3 – 8
⇒ – x² = – 8
⇒x² = 8
⇒ x = ±2√2
Ans: Ⓐ ±2√2

\(13.\ \begin{vmatrix}-1\quad 1\quad 1\\2\quad -2\quad 2\\3\quad 3\quad -3\end{vmatrix}=\\Ⓐ\ 0\quad Ⓑ\ 15\quad Ⓒ\ 24\quad Ⓓ\ 30\\Solution:\ \begin{vmatrix}-1\quad 1\quad 1\\2\quad -2\quad 2\\3\quad 3\quad -3\end{vmatrix}\)

= -1(6 – 6) – 1(-6 -6) + 1(6 + 6)
= 0 + 12 + 12 = 24
Ans: Ⓒ 24

14. নীচের প্রদত্ত বিবৃতিগুলির কোনটি সত্য।
Ⓐ যে-কোনো নির্ণায়কের একটি নির্দিষ্ট মান আছে।
Ⓑ কোনো নির্ণায়কের একটি পদের সহ-উৎপাদক হল ওই পদের মাইনর।
Ⓒ কোনো নির্ণায়কের সারিসমূহের পদগুলি স্তম্ভ বরাবর এবং স্তম্ভসমূহের পদগুলি সারি বরাবর লিখলে তার মান পরিবর্তিত হয়।
Ⓓ কোনো নির্ণায়কের প্রথম সারি ও প্রথম স্তম্ভ পরস্পর অভেদ হলে, তার মান শূন্য হবে।
Ans: Ⓐ যে-কোনো নির্ণায়কের একটি নির্দিষ্ট মান আছে।

Analytical/Skill Based Type
Fill in the Blanks ______________

1. যদি \(\begin{vmatrix}3x\quad 7\\2\quad 4\end{vmatrix}=10\) হয়, তবে x এর মান ____________ \(\\Ⓐ\ 0\quad Ⓑ\ 1\quad Ⓒ\ 2\quad Ⓓ\ 3\\Solution:\ \begin{vmatrix}3x\quad 7\\2\quad 4\end{vmatrix}=10\)

⇒ 12x – 14 = 10
⇒12x = 24
⇒ x = 2
Ans: Ⓒ 2

\(2.\ \begin{vmatrix}cos 15°\quad sin 15°\\sin 75°\quad cos 75°\end{vmatrix}= —–\\Ⓐ\ 0\quad Ⓑ\ tan 15°\\Ⓒ\ tan 75°\quad Ⓓ\ 1\\Solution:\ \begin{vmatrix}cos 15°\quad sin 15°\\sin 75°\quad cos 75°\end{vmatrix}\)

= cos 15°. cos 75° -sin 75°.sin 15°
=cos (75 +15)°
= cos 90° = 0
Ans: Ⓐ 0

\(3.\ \begin{vmatrix}2\quad 4\\5\quad 1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2x\quad 4\\6\quad x\end{vmatrix}\) হলে, x =

Ⓐ ±√2 Ⓑ ±√3
Ⓒ ±√5 Ⓓ ±√7
Solution:

\(\ \begin{vmatrix}2\quad 4\\5\quad 1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2x\quad 4\\6\quad x\end{vmatrix}\)

⇒ 2 – 20 = 2x² – 24
⇒2x² = 6
⇒ x² = 3
⇒ x = ±√3
Ans: Ⓑ ±√3

Fill in the Blanks

\(4.\ \begin{vmatrix}13\quad 16\quad 19\\14\quad 17\quad 20\\15\quad 18\quad 21\end{vmatrix}=—–\\Ⓐ\ 0\quad Ⓑ\ 15 \quad Ⓒ\ 24\quad Ⓓ\ 30\)

\(Solution:\ \begin{vmatrix}13\quad 16\quad 19\\14\quad 17\quad 20\\15\quad 18\quad 21\end{vmatrix}\\=\begin{vmatrix}13\quad 16\quad 19\\1\quad 1\quad 1\\1\quad 1\quad 1\end{vmatrix}\)

. . .[R₂^’=R₂-R₁,R₃^’=R₃-R₂]
=0 . . [∵ নির্ণায়কের দুটি সারি অভিন্ন]
Ans: Ⓐ 0

\(5.\ \begin{vmatrix}1\quad a\quad bc\\1\quad b\quad ca\\1\quad c\quad ab\end{vmatrix}= ———–\)

Ⓐ (a + b)(b + c)(c + a)
Ⓑ a³ + b³ + c³
Ⓒ (a – b)(b – c)(c – a)
Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

\(Solution:\ \begin{vmatrix}1\quad a\quad bc\\1\quad b\quad ca\\1\quad c\quad ab\end{vmatrix}\\=\begin{vmatrix}1\quad\quad\quad a\quad\quad\quad\quad bc\\0\quad a-b\quad -c(a-b)\\0\quad b-c\quad -a(b-c)\end{vmatrix}..[R_2’=R_1-R_2,\ R_3’=R_2-R_3]\\=(a-b)(b-c)\begin{vmatrix}1\quad a\quad bc\\0\quad 1\quad -c\\0\quad 1\quad -a\end{vmatrix}\)

= (a – b)(b – c)(-a + c)
= (a – b)(b – c)(c – a)
Ans: Ⓒ (a – b)(b – c)(c – a)

\(6.\ \begin{vmatrix}\quad 0\quad sin α\quad -cos α\\-sin α\quad 0\quad\quad sin β\\cos α\quad -sin β\quad\quad 0\end{vmatrix}= ———–\\Ⓐ\ 0\quadⒷ\ sin α\quad Ⓒ\ cos α\quad Ⓓ\ tan α\\Solution:\ \begin{vmatrix}\quad 0\quad sin α\quad -cos α\\-sin α\quad 0\quad\quad sin β\\cos α\quad -sin β\quad\quad 0\end{vmatrix}\)

= 0 – sin α(0 – cos α sin β) – cos α (sin α sin β – 0)
=sin α sin β cos α – sin α sin β cos α
= 0
Ans: Ⓐ 0

\(7.\ \begin{vmatrix}5\quad\quad 2\\0\quad -1\end{vmatrix}\)

-এ 5-এর মাইনর ও 0-এর সহ-উৎপাদক যথাক্রমে __________ ও __________
Ⓐ -1, -2 Ⓑ -2, -1
Ⓒ 1, 2 Ⓓ 2, 1

Solution: 5-এর মাইনর = -1 ও
0-এর সহ-উৎপাদক = –(2) = -2
Ans: Ⓐ -1, -2

\(8.\ \begin{vmatrix}x^2\quad x\quad 1\\0\quad 2\quad 1\\3\quad 1\quad 4 \end{vmatrix}= 28\)

হয়, তবে x-এর পূর্ণসংখ্যা মান (integral value)
Ⓐ 0 Ⓑ 1
Ⓒ 2 Ⓓ 3
Solution:

\(\ \begin{vmatrix}x^2\quad x\quad 1\\0\quad 2\quad 1\\3\quad 1\quad 4 \end{vmatrix}= 28\)

⇒ x²(8 – 1) – x(0 – 3) + 1(0 – 6) = 28
⇒ 7x² + 3x – 34 = 0
⇒7x² + 17x – 14x – 34 = 0
⇒ x(7x + 17) – 2(7x + 17) = 0
⇒ (7x + 17)(x – 2) = 0
∴ x = ^-17/₇, 2
Ans: Ⓒ 2

Column Matching ______________

\(1.\ △=\begin{vmatrix}[x]+1\quad\quad [y]\quad\quad [z]\\\quad [x]\quad [y]+1\quad\quad [z]\\\quad [x]\quad\quad [y]\quad [z]+1\end{vmatrix}\)

নির্ণায়কটি বিবেচনা করো: যেখানে [x] দ্বারা x-এর মানের বৃহত্তম পূর্ণসংখ্যা বোঝায়, যা x-এর মানের চেয়ে বড়ো নয় এবং -1 ≤ x < 0, 0 ≤ y < 1, 1 ≤ z < 2
A স্তম্ভ -এর সঙ্গে স্তম্ভ B মেলাও।

স্তম্ভ A	স্তম্ভ B
[i] [z] + 1 =	[a] 1
[ii] △ =	[b] 2
[iii] [x] =	[c] -2
[iv] [y] + 1 =	[d] -1

Ⓐ [i] – [b], [ii] – [a], [iii] – [d], [iv] – [a]
Ⓑ [i] – [b], [ii] – [a], [iii] – [c], [iv] – [a]
Ⓒ [i] – [a], [ii] – [a], [iii] – [d], [iv] – [a]
Ⓓ [i] – [b], [ii] – [c], [iii] – [d], [iv] – [a]

Solution: [x] = -1 . . (∵ 1 ≤ x < 0),
[y] = 0. . (∵ 0 ≤ x < 1),
[z] = 1. . (∵ 1 ≤ x < 2)
[i] [z] + 1 = 1 + 1 = 2 → [b],

\([ii]\ △=\begin{vmatrix}\quad 0\quad 0\quad 1\\-1\quad 1\quad 1\\-1\quad 0\quad 2\end{vmatrix}\)

= -0 – 0 + 1(0 + 1) = 1 →[a],
[iii] [x] = -1 →[d],
[iv] [y] + 1 = 0 + 1 = 1 →[a]
Ans: Ⓐ [i] – [b], [ii] – [a], [iii] – [d], [iv] – [a]

2. যদি \(A=\begin{vmatrix}2\quad 5\\2\quad 1\end{vmatrix}\) এবং \(B=\begin{vmatrix}4\quad -3\\2\quad\quad 5\end{vmatrix}\) হয়, তবে স্তম্ভ A-এর সঙ্গে স্তন্ত B মেলাও।

স্তম্ভ A	স্তম্ভ B
[i] \|A\| =	[a] 26
[ii] \|AB\| =	[b] 28
[iii] \|B\| =	[c] -208
[iv] \|A + B\| =	[d] -8

Ⓐ [i] – [d], [ii] – [c], [iii] – [b], [iv] – [a]
Ⓑ [i] – [d], [ii] – [b], [iii] – [a], [iv] – [c]
Ⓒ [i] – [a], [ii] – [c], [iii] – [d], [iv] – [b]
Ⓓ [i] – [d], [ii] – [c], [iii] – [a], [iv] – [b]

Solution:
[i] |A| = 2 – 10 = -8→ [d],

\([ii]\ AB=\begin{vmatrix}2\quad 5\\2\quad 1\end{vmatrix}\begin{vmatrix}4\quad -3\\2\quad\quad 5\end{vmatrix}\\=\begin{vmatrix}8+10\quad -6+25\\8+2\quad\quad -6+5\end{vmatrix}\\=\begin{vmatrix}18\quad 19\\10\quad -1\end{vmatrix}\)

∴ AB = -18 – 190 = -208→ [c],
[iii] |B| = 20 – (-6) = 26 → [a],

\([iv]\ A+B=\begin{vmatrix}2\quad 5\\2\quad 1\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}4\quad -3\\2\quad\quad 5\end{vmatrix}\\=\begin{vmatrix}6\quad 2\\4\quad 6\end{vmatrix}\)

∴ |A + B| = 36 – 8 = 28 → [b]
Ans: Ⓓ [i] – [d], [ii] – [c], [iii] – [a], [iv] – [b]

Column Matching Q No – 3

\(3.\ △=\begin{vmatrix}1\quad a\quad b\\-a\quad 1\quad c\\-b\quad -c\quad 1\end{vmatrix}\) হলে স্তম্ভ A-এর সঙ্গে স্তন্ত B মেলাও।

স্তম্ভ A	স্তম্ভ B
[i] a₂₁ এর মাইনর্	[a] -(c + ab)
[ii] a₃₂ এর সহ-উৎপাদক	[b] (b + ac)
[iii] △ =	[c] (a + bc)
[iv] a₁₃ এর সহ উৎপাদক	[d] 1 + a² + b² + c²

Ⓐ [i] – [b], [ii] – [a], [iii] – [d], [iv] – [c]
Ⓑ [i] – [c], [ii] – [a], [iii] – [d], [iv] – [b]
Ⓒ [i] – [a], [ii] – [b], [iii] – [d], [iv] – [c]
Ⓓ [i] – [c], [ii] – [b], [iii] – [d], [iv] – [a]

Solution: [i] a₂₁ = -a এর মাইনর্
= a – (-bc)
= a + bc →[c]
[ii] a₃₂ = -c এর সহ-উৎপাদক
= -[c – (-ab)]
= -(c + ab) →[a]
[iii] △ = 1(1 + c²) – a(-a + bc) + b(ac + b)
= 1 + c² + a²– abc + abc + b²
= a² + b² + c² →[d]
[iv] a₁₃ = b এর সহ উৎপাদক
= ac – (-b)
= ac + b→[b]
Ans: Ⓑ [i] – [c], [ii] – [a], [iii] – [d], [iv] – [b]

Click here to visit our Facebook

Rearrangement of Sentences/Events ______________

1. সারাস নিয়ম (Sarrus rule)-এর সাহায্যে

\(\begin{vmatrix}\quad 2\quad 3\quad -5\\\quad 7\quad 1\quad -2\\-3\quad 4\quad\quad 1\end{vmatrix}\) মান নির্ণয় করার ধাপগুলি নীচে দেওয়া হল —

[i] নির্ণায়কের মান = (সমান্তরাল মুখ্য কর্ণগুলির পদগুলির গুণফলের সমষ্টি) – (সমান্তরাল গৌণ কর্ণগুলির পদগুলির গুণফলের সমষ্টি)
[ii] [2×1 ×1 + 3×(- 2)×(- 3) + (- 5)×7×4] – [3×7×1 + 2×(- 2)×4 + (-5)×1×(- 3)]
[iii] প্রথম দুটি স্তম্ভকে তৃতীয় স্তম্ভের ডানদিকে স্থাপন করে নিম্নলিখিতভাবে লিখতে হবে

2 3 -5 2 3

-3 4 1 -3 4

7 1 -2 7 1

[iv] নির্ণায়কের মান -140

ধাপগুলির সঠিক ক্রম হল –
Ⓐ [i] – [ii] – [iii] – [iv]
Ⓑ [iii] – [ii] – [i] – [iv]
Ⓒ [iii] – [i] – [ii] – [iv]
Ⓓ [i] – [iii] – [ii] – [iv]

Solution: [iii] প্রথম দুটি স্তম্ভকে তৃতীয় স্তম্ভের ডানদিকে স্থাপন করে লিখতে হবে।
[i] নির্ণায়কের মান = (সমান্তরাল মুখ্য কর্ণগুলির পদগুলির গুণফলের সমষ্টি) – (সমান্তরাল গৌণ কর্ণগুলির পদগুলির গুণফলের সমষ্টি)
[ii] [2×1 ×1 + 3×(- 2)×(- 3) + (- 5)×7×4] – [3×7×1 + 2×(- 2)×4 + (-5)×1×(- 3)]
[iv] নির্ণায়কের মান -140
Ans: Ⓒ [iii] – [i] – [ii] – [iv]

2. যদি A = হয়, তবে A² – 2A ম্যাট্রিক্সটির নির্ণায়কটির মান নির্ণয় করার ধাপগুলি নীচে দেওয়া হল —

\([i]\ |A^2-2A|=\begin{vmatrix}5\quad 0\\0\quad 5\end{vmatrix}=25\\ [ii]\ A^2=\begin{vmatrix}1\quad 3\\2\quad 1\end{vmatrix}×\begin{vmatrix}1\quad 3\\2\quad 1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}7\quad 6\\4\quad 7\end{vmatrix}\\ [iii]\ -2A=\begin{vmatrix}-2\quad -4\\-4\quad -2\end{vmatrix}\\ [iv]\ A^2-2A =\begin{vmatrix}7\quad 6\\4\quad 7\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}-2\quad -4\\-4\quad -2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}5\quad 0\\0\quad 5\end{vmatrix}\)

ধাপগুলির সঠিক ক্রমটি হবে —
Ⓐ [ii] – [iii] – [iv] – [i]
Ⓑ [ii] – [iii] – [i] – [iv]
Ⓒ [iv] – [ii] – [iii] – [i]
Ⓓ [iii] – [ii] – [i] – [iv]
Solution:

\([ii]\ A^2=\begin{vmatrix}1\quad 3\\2\quad 1\end{vmatrix}×\begin{vmatrix}1\quad 3\\2\quad 1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}7\quad 6\\4\quad 7\end{vmatrix}\\ [iii]\ -2A=\begin{vmatrix}-2\quad -4\\-4\quad -2\end{vmatrix}\\ [iv]\ A^2-2A =\begin{vmatrix}7\quad 6\\4\quad 7\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}-2\quad -4\\-4\quad -2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}5\quad 0\\0\quad 5\end{vmatrix}\\ [i]\ |A^2-2A|=\begin{vmatrix}5\quad 0\\0\quad 5\end{vmatrix}=25\)

Ans: Ⓐ [ii] – [iii] – [iv] – [i]

Relationship between Statements ______________

প্রতিটি প্রশ্নে বিবৃতি A এবং বিবৃতি B দেওয়া আছে। নীচের কোন বিবৃতিটি বিবৃতি A এবং বিবৃতি B -এর মধ্যে সঠিক সম্পর্ক নির্দেশ করে।
Ⓐ বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পরবিরোধী
Ⓑ বিবৃতি B হল বিবৃতি A এর কারণ
Ⓒ বিবৃতি A হল সত্য কিন্তু বিবৃতি B মিথ্যা
Ⓓ বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পর নির্ভরশীল নয়

1. বিবৃতি-A:

\(\begin{vmatrix}\ a+ib\quad c+id\\-c+id\quad a-ib\end{vmatrix}=a^2+b^2+c^2+d^2\)

বিবৃতি-B: i² = 1
Solution: বিবৃতি-A: = (a + ib)( a – ib) – (-c + id) (c + id)
= a² – i²b² – (i²d² – c²)
=a² + b² – (-d² – c²)
= a² + b² + c² + d²→ বিবৃতিটি সত্য।
বিবৃতি-B: i² = -1 → বিবৃতিটি মিথ্যা।
Ans: Ⓒ বিবৃতি A হল সত্য কিন্তু বিবৃতি B মিথ্যা

2. বিবৃতি-A:

\(\quad \begin{vmatrix}\quad 1\quad 4\quad -3\\-4\quad 1\quad 2\\3\quad -2\quad 1 \end{vmatrix}=30\\\)বিবৃতি-\(B:\begin{vmatrix}x\quad z\quad 0\\0\quad y\quad y\\z\quad 0\quad x\end{vmatrix}=y(z^2+x^2)\)

Solution: বিবৃতি-A: △ = 1(1 + 4) – 4(-4 – 6) + (-3)(8 – 3)
= 5 + 40 – 15
= 30 → বিবৃতিটি সত্য।
বিবৃতি-B: △ = x(xy – 0) – z(0 – yz) + 0
= x²y + yz²
= y(z² + x²) → বিবৃতিটি সত্য।
Ans: Ⓓ বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পর নির্ভরশীল নয়

SEMESTER-3
সূচিপত্র

👉 UNIT-1 সম্বন্ধ ও অপেক্ষক

1. সম্বন্ধ
2. অপেক্ষক
3. বিপরীত ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকসমূহ

👉 UNIT-2 বীজগণিত

1. ম্যাট্রিক্সের প্রকারভেদ ও ম্যাট্রিক্স বীজগণিত
- ম্যাট্রিক্স PART 1
- ম্যাট্রিক্স PART 2
2. নির্ণায়ক
- মাইনর ও সহ-উৎপাদক
3. একটি ম্যাট্রিক্সের অ্যাডজয়েন্ট ও বিপরীত ম্যাট্রিক্স এবং সরল সহসমীকরণের সমাধান

👉 UNIT-3 কলনবিদ্যা

1. সন্ততা এবং অন্তরকলনযোগ্যতা
2. অবকলন বা অন্তরকলন
3. দ্বিতীয় ক্রমের অন্তরকলজ
4. অন্তরকলজের ব্যাখ্যা
5. স্পর্শক ও অভিলম্ব
6. বর্ধিষ্ণু ও ক্ষয়িষ্ণু অপেক্ষক 7
. চরম ও অবম মান

👉 UNIT-4 সম্ভাবনা

1. সম্ভাবনা
2. সমসম্ভব চলক ও তার বিভাজন
3. দ্বিপদ বিভাজন

👉 Semester III -এর প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান

Semester III 2026 এর প্রশ্নপত্র ও তার সম্পূর্ণ সমাধান

3. বিবৃতি-A:

\(\quad \begin{vmatrix}\quad 1\quad z\quad -y\\-z\quad 1\quad x\\y\quad -x\quad 1 \end{vmatrix}=x^2+y^2+z^2+1\)

বিবৃতি-\(B:\begin{vmatrix}a_1\quad b_1\quad c_1\\a_2\quad b_2\quad c_2\\a_3\quad b_3\quad c_3\end{vmatrix}= a_1\begin{vmatrix}b_2\quad c_2\\b_3\quad c_3\end{vmatrix}-a_2\begin{vmatrix}b_1\quad c_1\\b_3\quad c_3\end{vmatrix}+a_3\begin{vmatrix}b_1\quad c_1\\b_2\quad c_2\end{vmatrix}\)

Solution: △ = 1(1 + x²) – z(-z – xy) + (-y)(xz – y)
= 1 + x² + z² + xyz – xyz + y²
= x² + y² + z²+ 1 → বিবৃতিটি সত্য।
বিবৃতি-B: বিবৃতিটিও সত্য।
Ans: Ⓑ বিবৃতি B হল বিবৃতি A এর কারণ

Assertion-Reasoning ______________

প্রতিটি প্রশ্নে বিবৃতি I (Assertion বা উক্তি) এবং বিবৃতি II (Reason বা উক্তির কারণ) দেওয়া আছে। প্রতিটি প্রশ্নের বিবৃতি দুটি নীচের কোন বিকল্পটিকে (Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ) সঠিকভাবে ব্যাখ্যা করে?
Ⓐ বিবৃতি I সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি Ⅱ, বিবৃতি I-এর সঠিক কারণ।
Ⓑ বিবৃতি I সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি I-এর সঠিক কারণ নয়।
Ⓒ বিবৃতি I সঠিক এবং বিবৃতি II সঠিক নয়।
Ⓓ বিবৃতি I সঠিক নয় এবং বিবৃতি II সঠিক।

1. বিবৃতি-I(A): যদি \(A=\begin{vmatrix}1\quad 2\\6\quad 2\end{vmatrix}\) হয়, তবে |2A| = 4|A|

বিবৃতি-II(R): \(x=\begin{vmatrix}a\quad b\\c\quad d\end{vmatrix}\) হলে \(2x=\begin{vmatrix}a\quad\quad b\\2c\quad 2d\end{vmatrix}\)

Solution: বিবৃতি-I: n ক্রমের নির্ণায়কের(A) ক্ষেত্রে det(kA) = kⁿA হয়।
∴ |2A| = 2²|A|
= 4|A| → বিবৃতিটি সত্য।
বিবৃতি-II:

\(X=\begin{vmatrix}a\quad b\\c\quad d\end{vmatrix}\) হলে \(2X=\begin{vmatrix}2a\quad 2b\\2c\quad 2d\end{vmatrix}\) হবে।

বিবৃতি II মিথ্যা।
Ans: Ⓒ বিবৃতি I সঠিক এবং বিবৃতি II সঠিক নয়।

2. বিবৃতি-\(I(A):\begin{vmatrix}1\quad\quad 1\quad\quad 1\\1\quad 1+x\quad 1\\1\quad 1\quad 1+y\end{vmatrix}=xy\)

বিবৃতি-\(II(R):\begin{vmatrix}1+a\quad\quad b\quad\quad c\\\quad a\quad 1+b\quad\quad c\\\quad a\quad\quad b\quad 1+c\end{vmatrix}=a+b+c+1\)

Solution: বিবৃতি-I

\(\ \begin{vmatrix}1\quad\quad 1\quad\quad 1\\1\quad 1+x\quad 1\\1\quad 1\quad 1+y\end{vmatrix}\\=\begin{vmatrix}1\quad 1\quad 1\\0\quad x\quad 0\\0\quad 0\quad y\end{vmatrix}\\ . . . [R_2’ = R_2 – R_1;\ R_3’ = R_3 – R_1]\)

= 1(xy – 0)
= xy → বিবৃতিটি সত্য।
বিবৃতি-II:

\(\begin{vmatrix}1+a\quad\quad b\quad\quad c\\\quad a\quad 1+b\quad\quad c\\\quad a\quad\quad b\quad 1+c\end{vmatrix}\\=\begin{vmatrix}1+a+b+c\quad b\quad\quad c\\1+a+b+c\quad 1+b\quad\quad c\\1+a+b+c\quad\quad b\quad 1+c\end{vmatrix}\\. . . [C_1’=C_1+C_2+C_3]\\= (1+a+b+c)\begin{vmatrix}1\quad\quad b\quad\quad c\\\quad 1\quad 1+b\quad\quad c\\\quad 1\quad\quad b\quad 1+c\end{vmatrix}\\=(1+a+b+c)\begin{vmatrix}1\quad b\quad c\\0\quad 1\quad 0\\0\quad 0\quad 1\end{vmatrix}\\. . .[R_2’=R_2-R_1;\ R_3’=R_3-R_1]\)

= (1 + a + b + c)(1 – 0)
= 1 + a + b + c → বিবৃতিটি সত্য।
Ans: Ⓑ বিবৃতি I সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি I-এর সঠিক কারণ নয়।

Assertion-Reasoning ______________

3. বিবৃতি-\(I(A):\begin{vmatrix}-a\quad\quad a\quad\quad a\\\quad b\quad -b\quad\quad b\\\quad c\quad\quad c\quad -c\end{vmatrix}\)

বিবৃতি-\(II(R):\begin{vmatrix}a_1\quad b_1\quad c_1\\a_2\quad b_2\quad c_2\\a_3\quad b_3\quad c_3\end{vmatrix}=a_1\begin{vmatrix}b_2\quad c_2\\b_3\quad c_3\end{vmatrix}-b_1\begin{vmatrix}a_2\quad c_2\\a_3\quad c_3\end{vmatrix}+c_1\begin{vmatrix}a_2\quad b_2\\a_3\quad b_3\end{vmatrix}\)

Solution: বিবৃতি-I:

\(\begin{vmatrix}-a\quad\quad a\quad\quad a\\\quad b\quad -b\quad\quad b\\\quad c\quad\quad c\quad -c\end{vmatrix}\\=\begin{vmatrix}0\quad\quad a\quad\quad a\\0\quad -b\quad\quad b\\0\quad\quad c\quad -c\end{vmatrix} . . . [C_1’ = C_1 + C_2]\)

= 2c(ab + ab)
= 4abc → বিবৃতিটি সত্য।
বিবৃতি-II: বিবৃতিটি সত্য এবং বিবৃতি Ⅱ, বিবৃতি I-এর সঠিক কারণ।
Ans: Ⓐ বিবৃতি I সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি Ⅱ, বিবৃতি I-এর সঠিক কারণ।

4. বিবৃতি-I(A): \(△=\begin{vmatrix}\ 1\quad\quad sin θ\quad\ 1\\-sin θ\quad 1\quad sin θ\\-1\quad -sin θ\quad 1\end{vmatrix}\) হলে 2 ≤ △ ≤ 4

বিবৃতি-II(R): 0 ≤ sin² θ ≤ 1

Solution: △ = 1(1 + sin² θ) – sin θ (-sin θ + sin θ) + 1(sin² θ + 1)
= 1 + sin² θ + sin² θ + 1
= 2 + 2 sin² θ
∵ -1 ≤ sin θ ≤ 1
∴ 0 ≤ sin² θ ≤ 1
⇒ 0 ≤ 2sin² θ ≤ 2
⇒0 + 2 ≤ 2 + 2sin² θ ≤ 2 + 2
⇒ 2 ≤ △ ≤ 4 → বিবৃতি I সঠিক
বিবৃতি-II: ∵ -1 ≤ sin θ ≤ 1
∴ 0 ≤ sin² θ ≤ 1 → বিবৃতি II সঠিক
Ans: Ⓐ বিবৃতি I সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি Ⅱ, বিবৃতি I-এর সঠিক কারণ।

True and False ____

1. বিবৃতি-I: যদি \(\begin{vmatrix}x-2\quad -3\\3x\quad\quad 2x\end{vmatrix}=3\) হয়, তবে x-এর একটি মান -3

বিবৃতি-II: যদি \(\begin{vmatrix}x-2\quad -3\\3x\quad\quad 2x\end{vmatrix}=3\) হয়, তবে x-এর একটি মান \(\frac{1}{2},-3\)

Ⓐ বিবৃতি I সত্য এবং II মিথ্যা
Ⓑ বিবৃতি II সত্য এবং I মিথ্যা
Ⓒ বিবৃতি । ও II মিথ্যা
Ⓓ বিবৃতি I ও II সত্য

Solution: △ = (x – 2).2x – (-3).3x = 3
⇒ 2x² – 4x + 9x = 3
⇒ 2x² + 5x – 3 = 0
⇒2x² + 6x – x – 3 = 0
⇒ 2x(x + 3) – 1(x + 3) = 0
⇒ (x + 3)(2x – 1) = 0
∴ x = -3, ¹/₂
∴ বিবৃতি-I মিথ্যা এবং বিবৃতি-II সত্য।
Ans: Ⓓ বিবৃতি I ও II সত্য

2. বিবৃতি-I: \(\begin{vmatrix}-1\quad 4\\\quad 2\quad 3\end{vmatrix}\) এ 4-এর মাইনর্ 2

বিবৃতি-II: \(\begin{vmatrix}-1\quad 4\\\quad 2\quad 3\end{vmatrix}\) এ 3 -এর সহ-উৎপাদক -1

Solution: বিবৃতি-I: 4-এর মাইনর্ 2 → বিবৃতিটি সত্য।
বিবৃতি-II: 3 -এর সহ-উৎপাদক -1 → বিবৃতিটি সত্য।
Ans: Ⓓবিবৃতি I ও II সত্য।

3. বিবৃতি-I: \(\begin{vmatrix}0\quad 2\quad 6\\1\quad 5\quad 0\\3\quad 7\quad 11\end{vmatrix}\)-এ 7-এর মাইনর ও সহ-উৎপাদক যথাক্রমে -6 ও -6

বিবৃতি-II: 3-এর মাইনর্ ও 5-এর সহগুণনীয়ক যথাক্রমে -30 এবং -18
Ⓐ বিবৃতি I সত্য এবং II মিথ্যা
Ⓑ বিবৃতি II সত্য এবং I মিথ্যা
Ⓒ বিবৃতি । ও II মিথ্যা
Ⓓ বিবৃতি I ও II সত্য

Solution: বিবৃতি-I: 7-এর মাইনর = (0 – 6) = -6,
7-এর সহ-উৎপাদক
= -(-6) = 6 → বিবৃতিটি মিথ্যা।
বিবৃতি-II: 3-এর মাইনর্ = 0 – 30 = -30,
5-এর সহগুণনীয়ক = (0 – 18) = -18 → বিবৃতিটি সত্য।
Ans: Ⓑ বিবৃতি II সত্য এবং I মিথ্যা।

\(4.\ A=\begin{vmatrix}1\quad 0\quad 1\\0\quad 1\quad 2\\0\quad 0\quad 4\end{vmatrix}\) হলে, নীচের বিবৃতি দুটি বিবেচনা করো।

বিবৃতি-I: |A| = 4
বিবৃতি-II: |3A| = 27|A|
Ⓐ বিবৃতি I সত্য এবং II মিথ্যা
Ⓑ বিবৃতি II সত্য এবং I মিথ্যা
Ⓒ বিবৃতি । ও II মিথ্যা
Ⓓ বিবৃতি I ও II সত্য

Solution: বিবৃতি-I: |A| = 1(4 – 0) – 0 + 1(0 – 0) = 4 → বিবৃতিটি সত্য।
বিবৃতি-II: n ক্রমের নির্ণায়কের(A) ক্ষেত্রে det(kA) = kⁿA হয়।
∴ |3A| = 3³|A|
= 27|A| → বিবৃতিটি সত্য।
Ans: Ⓓবিবৃতি I ও II সত্য

5. যদি \(f(θ)=\begin{vmatrix}\quad cos^2θ\quad\quad cosθsinθ\quad -sinθ\\cosθsinθ\quad sin^2θ\quad\quad cosθ\\sinθ\quad -cosθ\quad\quad 0\end{vmatrix}\) হয়, তবে

বিবৃতি-I: f(^π/₆) = 1
বিবৃতি-II: f(^π/₂) = 1
Ⓐ বিবৃতি I সত্য এবং II মিথ্যা
Ⓑ বিবৃতি II সত্য এবং I মিথ্যা
Ⓒ বিবৃতি । ও II মিথ্যা
Ⓓ বিবৃতি I ও II সত্য

Solution: f(θ) = sin θ(cos² θsin θ + sin³ θ) + cos θ(cos³ θ + cos θsin² θ) + 0
= sin² θ(cos² θ + sin² θ) + cos² θ(cos² θ + sin² θ)
= sin² θ + cos² θ = 1
f(θ) = 1
বিবৃতি-I: ∴ f(^π/₆) = 1 → বিবৃতিটি সত্য।
বিবৃতি-II: f(θ) = 1 ∴ f(^π/₂) = 1 → বিবৃতিটি সত্য।
Ans: Ⓓ বিবৃতি I ও II সত্য

Case Based ______

\(1.\ \begin{vmatrix}1\quad a\quad bc\\1\quad b\quad ca\\1\quad c\quad ab\end{vmatrix}\) -এর

[i] bc-এর মাইনর্ হল —
Ⓐ b – c   Ⓑ c – b
Ⓒ b + c   Ⓓ এদের কোনোটিই নয়
Solution: 1×c – 1×b = c – b
Ans:   Ⓑ   c – b

[ii] ab-এর সহ-উৎপাদক হল —
Ⓐ b – a      Ⓑ a – b
Ⓒ a + b     Ⓓ এদের কোনোটিই নয়
Solution: 1×b – 1×a = b – a
Ans:   Ⓐ   b – a

[iii] b-এর মাইনর্ হল —

\(Ⓐ\ \begin{vmatrix}1\quad ca\\1\quad bc\end{vmatrix}\ Ⓑ\ \begin{vmatrix}bc\quad 1\\ab\quad 1\end{vmatrix}\\Ⓒ\ \begin{vmatrix}1\quad bc\\1\quad ab\end{vmatrix}\ Ⓓ\ \begin{vmatrix}1\quad a\\1\quad c\end{vmatrix}\\Ans:\ Ⓒ\ \begin{vmatrix}1\quad bc\\1\quad ab\end{vmatrix}\)

\(2.\ \begin{vmatrix}\quad 2\quad 4\quad 1\\\quad 8\quad 5\quad 2\\-1\quad 3\quad 7\end{vmatrix}\) নির্ণায়কটির

[i] প্রথম স্তম্ভের প্রত্যেকটি পদের মাইনর্ যথাক্রমে —
Ⓐ 29, -25, 3       Ⓑ -29, -25, -3
Ⓒ 29, 25, 3          Ⓓ এদের কোনোটিই নয়
Solution: 2-এর মাইনর্ = 5×7 – 3×2 = 29,
8-এর মাইনর্ = 4×7 – 3×1 = 25,
-1-এর মাইনর্ = 4×2 – 5×1 = 3
Ans:   Ⓒ   29, 25, 3

[ii] নির্ণায়কটির মান —
Ⓐ -145     Ⓑ 145
Ⓒ 165       Ⓓ -165
Solution: △ = 2(5×7 – 3×2) – 4(8×7 +1×2) + 1(8×3 + 1×5)
= 2×29 – 4×58 + 29
=58 – 232 + 29
= 87 – 232
= – 145
Ans:   Ⓐ   -145

[iii] দ্বিতীয় সারির প্রত্যেকটি পদের সহ-উৎপাদক —
Ⓐ 25, -15, 10     Ⓑ -25, 15, -10
Ⓒ 15, 25, 10       Ⓓ -15, -10, 25
Solution: 8-এর সহ-উৎপাদক = –(4×7 – 3×1) = -25,
5-এর সহ-উৎপাদক = 2×7 – (-1)×1 = 15,
2-এরসহ-উৎপাদক = –(2×3 – (-1)×4) = -10
Ans: Ⓑ   -25, 15, -10

MATHEMATICS 2026 SEMESTER 3 SOLUTION →

← MATRIX

June 13, 2026

STATISTICS AND TIME TABLE FIFA WORLDCUP 2026

STATISTICS AND TIME TABLE FIFA WORLDCUP 2026

STATISTICS AND TIME TABLE FIFA WORLDCUP 2026

🏆2026 ⚽সালের ⚽ফিফা ⚽ বিশ্বকাপ🏆
⚽STATISTICS AND TIME TABLE FIFA WORLDCUP 2026⚽

AT A GLANCE 2022 FIFA WORLD CUP

CHAMPION: ARGENTINA
RUNNER-UP: FRANCE
RESULT: 3-3 (4-2)
Golden Ball: Lionel Messi (Argentina)
Golden Boot: Kylian Mbappe (France)
MAN OF THE MATCH: LIONEI MESSI (Argentina)
Golden Glove: Emiliano Martínez (Argentina)

ভারতে 2026 ফিফা বিশ্বকাপের (FIFA World Cup 2026) ম্যাচগুলো জি এন্টারটেইনমেন্ট (ZEE Entertainment) এবং ‘ইউনাইট৮ স্পোর্টস’ (Unite8 Sports) চ্যানেলে সরাসরি সম্প্রচারিত হবে।

১১ জুন মেক্সিকোর আজতেকা স্টেডিয়ামে শুরু হবে বিশ্বকাপের উদ্বোধনী অনুষ্ঠান।

এবারই প্রথম 48টি দলকে নিয়ে অনুষ্ঠিত হতে যাচ্ছে বিশ্বের সবচেয়ে জনপ্রিয় ক্রীড়া আসর পুরুষদের ফুটবল বিশ্বকাপ। যুক্তরাষ্ট্র, মেক্সিকো ও কানাডায় হতে যাওয়া এবারের বিশ্বকাপে প্রথম পর্বের খেলা হবে 4টি করে দল নিয়ে 12টি গ্রুপে । এরপর 32টি দলকে নিয়ে শুরু হবে নকআউট পর্ব।আজকের এই পর্বে 2026 ফিফা বিশ্বকাপের খুঁটিনাটি বিভিন্ন বিষয় নিয়ে আলোচনা করা হবে। 2026 ফিফা বিশ্বকাপ 11ই জুন মেক্সিকো সিটিতে মেক্সিকো ও দক্ষিণ আফ্রিকার ম্যাচ দিয়ে শুরু হবে।

বিশ্বকাপের বাছাইপর্ব

2026 ফিফা বিশ্বকাপের বাছাইপর্ব শুরু হয় 7ই সেপ্টেম্বর 2023 এবং শেষ হয় 31শে মার্চ 2026।
বাছাইপর্বে 6টি কনফেডারেশন থেকে 207 টি দেশ অংশগ্রহন করে। বাছাইপর্বে সর্বোচ্চ গোলদাতা হল নরওয়ের আরলিং হোলান। তিনি মোট 16 টি গোল করেন।
বাছাইপর্বে প্রথম গোল করেন কলম্বিয়ার রাফায়েল সান্তোস বোরে।
বাছাইপর্বের ৬টি কনফেডারেশন হল এএফসি, ক্যাফ, কনকাকাফ, কনমেবল, ওএফসি এবংউয়েফা। এছাড়া আন্তঃমহাদেশীয় প্লে-অফ থেকে 2টি দেশ অংশগ্রহন করবে।

AFC

এএফসি (Asian Football Confederation এশিয়ান ফুটবল কনফেডারেশন) – 2026 ফিফা বিশ্বকাপে 48টি দলের মধ্যে এএফসি থেকে 8টি এবং আন্তঃমহাদেশীয় প্লে-অফ থেকে 1টি অর্থাৎ মোট 9টি দেশ অংশগ্রহন করবে। এই গ্রুপে মোট অংশগ্রহণকারী দেশের সংখ্যা ছিল ৪৬ টি।
এএফসি থেকে যোগ্যতা অর্জনকারী দল –
1. জাপান, 2. ইরান, 3. অস্ট্রেলিয়া, 4. দক্ষিণ কোরিয়া, 5. কাতার, 6. সৌদি আরব, 7. জর্ডন, 8. উজবেকিস্তান, 9. ইরাক

CAF

ক্যাফ (Confédération Africaine de Football আফ্রিকান বিভাগ)থেকে 9টি এবং আন্তঃমহাদেশীয় প্লে-অফ থেকে 1টি অর্থাৎ মোট 10টি দেশ অংশগ্রহন করবে। এখানে 53টি দেশ বাছাই পর্ব অংশগ্রহণ করে।
ক্যাফ থেকে যোগ্যতা অর্জনকারী দল –
2. মরক্কো, 2. টিউনিশিয়া, 3 ইজিপ্ট, 4. আলজিরিয়া, 5. ঘানা, 6. কেপ ভার্দে, 7. দক্ষিণ আফ্রিকা, 8. সেনেগাল, 9. আইভরি কোষ্ট, 10. কঙ্গো প্রজাতন্ত্র

CONCACAF

কনকাকাফ (Confederation of North, Central America and Caribbean Association Football.) উত্তর, মধ্য আমেরিকা ও ক্যারিবীয়ের বিভাগটি উত্তর, মধ্য আমেরিকা ও ক্যারিবীয় ফুটবল অ্যাসোসিয়েশন (কনকাকাফ) থেকে চূড়ান্ত প্রতিযোগিতায় 3টি এবং আন্তঃমহাদেশীয় প্লে-অফ থেকে 2টি অর্থাৎ মোট 5টি দেশ অংশগ্রহন করবে। এছাড়া এই অঞ্চল থেকে আয়োজক দেশ হিসাবে যুক্তরাষ্ট্র, কানাডা ও মেক্সিকো সরাসরি প্রতিযোগিতায় অংশগ্রহণ করবে। সুতরাং কনকাকাফ থেকে 8টি দেশ প্রতিযোগিতায় অংশগ্রহণ করবে। এই গ্রুপে 32 টি দেশ বাছাই পর্বে অংশগ্রহণ করে।
কনকাকাফ থেকে যোগ্যতা অর্জনকারী দল –
1. যুক্তরাষ্ট্র, 2. কানাডা, 3. মেক্সিকো, 4. হাইতি, 5. পানামা, 6. কুরাসাও

CONMEBOL

কনমেবল দক্ষিণ আমেরিকার থেকে চূড়ান্ত প্রতিযোগিতায় 6টি এবং আন্তঃমহাদেশীয় প্লে-অফ থেকে 1টি অর্থাৎ মোট 7টি দেশ অংশগ্রহন করবে। এখানে 10টি দেশের মধ্যে 7টি দেশ চূড়ান্ত পর্বে খেলার যোগ্যতা অর্জন করে।
কনমেবল থেকে যোগ্যতা অর্জনকারী দল –
1. আর্জেন্টিনা, 2. ব্রাজিল, 3. কলম্বিয়া, 4. ইকুয়েডর, 5. প্যারাগুয়ে, 6. উরুগুয়ে

OFC

ওএফসি (Oceania Football Confederation) ওশেনিয়ান বিভাগ থেকে চূড়ান্ত প্রতিযোগিতায় 1টি এবং আন্তঃমহাদেশীয় প্লে-অফ থেকে 1টি অর্থাৎ মোট 2টি দেশ অংশগ্রহন করবে। এই গ্রুপে 11টা দেশ বাছাই পর্বে অংশগ্রহণ করে।
ওএফসি থেকে যোগ্যতা অর্জনকারী দল –
1. নিউজিল্যান্ড

UEFA

উয়েফা (Union of European Football Associations) ইউরোপিয়ান ফুটবল অ্যাসোসিয়েশন থেকে চূড়ান্ত প্রতিযোগিতায় ১৬টি দেশ অংশগ্রহন করবে। এখানে 54টি দেশ বাছাই পর্ব অংশগ্রহণ করে।
উয়েফা থেকে যোগ্যতা অর্জনকারী দল –
1. অস্ট্রিয়া, 2. বেলজিয়াম, 3. ক্রোয়েশিয়া, 4. ইংল্যান্ড, 5. ফ্রান্স, 6. জার্মানি, 7. নেদারল্যান্ডস, 8. নরওয়ে, 9. পর্তুগাল, 10. স্কটল্যান্ড, 11. স্পেন, 12. সুইজারল্যান্ড,13. বসনিয়া ও হার্জেগোভিনা, 14. চেক প্রজাতন্ত্র, 15. সুইডেন, 16. তুরস্ক

PLAY-OFF

আন্তঃকনফেডারেশন প্লে-অফের মাধ্যমে ২০২৬ ফিফা বিশ্বকাপের বাকি দুটি স্থান পূরণ করা হবে। এতে উয়েফা ব্যতীত প্রতি কনফেডারেশন থেকে একটি দল এবং কনকাকাফ থেকে অতিরিক্ত একটি দল সহ মোট ৬টি দলকে নিয়ে একটি প্লে-অফ প্রতিযোগিতা অনুষ্ঠিত হয় যেখান থেকে 2টি দেশ যোগ্যতা অর্জন করে। ২০২৬ ফিফা বিশ্বকাপের আন্তঃকনফেডারেশন প্লে-অফের মাধ্যমে নির্বাচিত হওয়া দুটি দল হলো:
1. AFC থেকে ইরাক
2. CAF থেকে কঙ্গো প্রজাতন্ত্র

১১ জুন থেকে শুরু এ বারের ফুটবল বিশ্বকাপ। আমেরিকা, মেক্সিকো ও কানাডায় হবে প্রতিযোগিতা। এই প্রথম বার ৪৮টি দেশ নামবে ফুটবলের বিশ্বযুদ্ধে। ইতিমধ্যেই সেই ৪৮ দেশ চূড়ান্ত হয়ে গিয়েছে। শেষ দু’টি জায়গা বাকি ছিল। জামাইকাকে হারিয়ে কঙ্গো ও বলিভিয়াকে হারিয়ে ইরাক জায়গা করে নিয়েছে বিশ্বকাপে। ১২টি গ্রুপে ভাগ করা হয়েছে এই ৪৮ দেশকে। ১২টি গ্রুপ থেকে প্রথম ও দ্বিতীয় স্থানাধিকারী মোট 24টি এবং শীর্ষ তৃতীয় স্থানাধিকারী বাকি 8টি দল নিয়ে মোট ৩২ টি দল রাউন্ড অব 32এর নকআউট পর্যায়ে খেলবে। দেখে নিন, কোন গ্রুপে কারা রয়েছেন।

GROUP

Group-A:
     মেক্সিকো, দক্ষিণ আফ্রিকা, দক্ষিণ কোরিয়া, চেক প্রজাতন্ত্র
Group-B
     কানাডা, কাতার, সুইজারল্যান্ড, বসনিয়া ও হারজে গোভিনা
Group-C
     ব্রাজিল, মরক্কো, হাইতি, স্কটল্যান্ড
Group-D
     যুক্তরাষ্ট্র, প্যারাগুয়ে, অস্ট্রেলিয়া, তুরস্ক

Group-E
     জার্মানি, কুরাসাও, আইভরি কোষ্ট, ইকুয়েডর
Group-F
     নেদারল্যান্ডস, জাপান, সুইডেন, টিউনিশিয়া
Group-G
     বেলজিয়াম, ইজিপ্ট/মিশর, ইরান, নিউজিল্যান্ড
Group-H
     স্পেন, কেপ ভার্দে, সৌদি আরব, উরুগুয়ে

Group-I
     ফ্রান্স, সেনেগাল, নরওয়ে, ইরাক
Group-J
     আর্জেন্টিনা, আলজিরিয়া, অস্ট্রিয়া, জর্ডন
Group-K
     পর্তুগাল, উজবেকিস্তান, কলম্বিয়া, কঙ্গো
Group-L
     ইংল্যান্ড, ক্রোয়েশিয়া, ঘানা, পানামা

AT A GLANCE FIFA WORLDCUP 2026

আয়োজক দেশ: যুক্তরাষ্ট্র, কানাডা ও মেক্সিকো
সময়: 11ই জুন,2026 থেকে 19 জুলাই, 2026 পর্যন্ত
দল সংখ্যা: 48
ম্যাচ সংখ্যা: 104
গ্রুপ সংখ্যা: 12টি গ্রুপ, প্রতি গ্রুপে 4টি দল

🏟️ ম্যাচ ও ভেন্যু

উদ্বোধনী ম্যাচ: ১১ জুন, ২০২৬ – মেক্সিকো সিটির এস্তাদিও আজটেকা স্টেডিয়ামে
কানাডায় প্রথম ম্যাচ: ১২ জুন, ২০২৬ – টরন্টোর BMO ফিল্ড
যুক্তরাষ্ট্রে প্রথম ম্যাচ: ১২ জুন, ২০২৬ – ইনগলউডের SoFi স্টেডিয়াম
ফাইনাল ম্যাচ: ১৯ জুলাই, ২০২৬ – নিউ জার্সির মেটলাইফ স্টেডিয়াম
মোট ১৬টি শহরে ম্যাচ অনুষ্ঠিত হবে, যার মধ্যে ১১টি যুক্তরাষ্ট্রে, ৩টি মেক্সিকোতে এবং ২টি কানাডায়।
যুক্তরাষ্ট্রে কোয়ার্টার ফাইনাল থেকে ফাইনাল পর্যন্ত সব ম্যাচ অনুষ্ঠিত হবে।

যুক্তরাষ্ট্রের যে যে শহরে ম্যাচ অনুষ্ঠিত হবেঃ
আটলান্টা, বোস্টন, ডালাস, হিউস্টন, কানসাস সিটি, লস অ্যাঞ্জেলেস, মিয়ামি, নিউ ইয়র্ক/নিউ জার্সি, ফিলাডেলফিয়া, সান ফ্রান্সিসকো এবং সিয়াটল

মেক্সিকোর যে যে শহরে ম্যাচ অনুষ্ঠিত হবেঃ
গুয়াদালাহারা, মেক্সিকো সিটি এবং মনটেরি

কানাডার যে যে শহরে ম্যাচ অনুষ্ঠিত হবেঃ
টরেন্টো এবং ভ্যাঙ্কুভার

গুরুত্বপূর্ণ তারিখসমূহ

GROUP STAGE
     12ই জুন, 2026 থেকে 27শে জুন, 2026
ROUND OF 32
     28শে জুন, 2026 থেকে 3রা জুলাই, 2026
ROUND OF 16
     4ই জুলাই, 2026 থেকে 7ই জুলাই, 2026
QUARTER FINAL
     9ই জুলাই, 2026 থেকে 11ই জুলাই, 2026
SEMIFINAL
     14ই জুলাই, 2026 এবং ১৫ই জুলাই, 2026
THIRD PLACE
     18ই জুলাই, 2026
FINAL
     19ই জুলাই, 2026