SOLUTION OF DIFFERENTIABILITY S N DEY SEMESTER-3 অন্তরকলনযোগ্যতা

DIFFERENTIABILITY S N DEY SEMESTER-3 অন্তরকলনযোগ্যতা

DIFFERENTIABILITY S N DEY SEMESTER-3 অন্তরকলনযোগ্যতা

সন্ততা এবং অন্তরকলনযোগ্যতা
SEMESTER-3
অন্তরকলনযোগ্যতা (DIFFERENTIABILITY)

বহুবিকল্পভিত্তিক প্রশ্নাবলি (MCQ)
প্রতিটি প্রশ্নের মান 1
Conventional Type

1. প্রদত্ত বিবৃতিগুলির কোনটি সত্য?
   Ⓐ x -এর সকল বাস্তব মানের জন্য, f(x) = log_e x অপেক্ষকের সসীম অন্তরকলজ থাকবে।
   Ⓑ y = f(x) অপেক্ষক x = a বিন্দুতে সন্তত হলে, ওই বিন্দুতে f(x) অপেক্ষকের সসীম অন্তরকলজ থাকবে।
   Ⓒ y= f(x) অপেক্ষকের x = a বিন্দুতে সসীম অবকল সহগ থাকলে, ওই বিন্দুতে অপেক্ষকটি সন্তত হবে।
   Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

Solution: Ⓐ f(x) = log_e x
∴ f’(x) = ¹/_x
x = 0 বিন্দুতে f’(x) অসন্তত হবে। → বিবৃতিটি মিথ্যা।
Ⓑ একটি অপেক্ষক সন্তত হলে সেটির সসীম অন্তরকলজ থাকতেও পারে নাও থাকতে পারে। সুতরাং বিবৃতিটি মিথ্যা।
Ⓒ একটি অপেক্ষকের সসীম অবকল সহগ থাকলে, ওই অপেক্ষকটি সর্বদা সন্তত হবে। সুতরাং বিবৃতিটি সত্য। 
Ans: Ⓒ y= f(x) অপেক্ষকের x = a বিন্দুতে সসীম অবকল সহগ থাকলে, ওই বিন্দুতে অপেক্ষকটি সন্তত হবে।

2. f(x) = |x + 1| অপেক্ষকটি হবে-
Ⓐ x = – 1 বিন্দুতে সন্তত
Ⓑ x = – 1 বিন্দুতে সসীম অন্তরকলনযোগ্য
Ⓒ x = ±1 বিন্দুদ্বয়ে সসীম অন্তরকলনযোগ্য 
Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

Solution:  |x – a| অপেক্ষক a-এর যেকোন বাস্তব মানের জন্য সন্তত হয়।
 f(x) = |x + 1| = |x – (-1)|
∴ x = -1 বিন্দুতে অপেক্ষকটি সন্তত।
Ans: Ⓐ x = – 1 বিন্দুতে সন্তত

3. e^-2x -এর x = 0 বিন্দুতে অন্তরকলজ-
Ⓐ -2         Ⓑ 4
Ⓒ -7         Ⓓ 1

Solution: ^d/_dx (e^-2x) = e^-2x.(-2)
∴ x = 0 বিন্দুতে অন্তরকলজ
= e^-2.0.(-2) = 1.(-2) = -2
Ans: Ⓐ -2

4. f(x) = 2x + |x – 1| অপেক্ষকটি x = 1 বিন্দুতে-
Ⓐ সন্তত ও অবলনযোগ্য
Ⓑ সন্তত কিন্তু অবকলনযোগ্য নয়
Ⓒ সন্তত নয় কিন্তু অবকলনযোগ্য
Ⓓ সন্তত নয় ও অবকলনযোগ্য নয়

Solution: ^d/_dx (xe^x)
= 1.e^x + x.e^x
= (1 + x)e^x
Ans: Ⓑ (1 + x)e^x

5. xe^x -এর x-এর সাপেক্ষে অবকল সহগ-
Ⓐ xe^x                  Ⓑ (1 + x)e^x
Ⓒ (x – 1)e^x        Ⓓ ^ex/_{1 + x}

Solution: ^d/_dx (xe^x)
= 1.e^x + x.e^x
= (1 + x)e^x
Ans: Ⓑ (1 + x)e^x

6. যদি f(x) একটি যুগ্ম অপেক্ষক হয় এবং f’(0) -এর অস্তিত্ব থাকে, তবে f'(0) =
Ⓐ 0         Ⓑ 5
Ⓒ 4         Ⓓ কোনোটিই নয়

Solution: f(x) একটি যুগ্ম অপেক্ষক।
∴ f(x) = f(-x)
উভয়পক্ষকে x -এর সাপেক্ষে অবকলন করে পাই:
      f’(x) = f’(-x).^d/_dx(-x)
⇒ f’(x) = -f’(-x)
  x = 0 বসিয়ে পাই,
     f’(0) = -f’(0)
⇒ 2f’(0) = 0
⇒ f’(0) = 0
Ans: Ⓐ 0

7.যদি f(x) = {x2+ bx + c  যখন x < 1
             {    x       যখন x < 1

অপেক্ষক x = 1 বিন্দুতে অবকলনযোগ্য হয়, তবে b – c =
Ⓐ 0         Ⓑ 1
Ⓒ -2       Ⓓ 2

Solution: অপেক্ষকটি x = 1 বিন্দুতে অবকলনযোগ্য।
 ∴ L.H.D. = R.H.D.
⇒ 2x + b + 0 = 1
⇒ 2x + b = 1
   x = 1 হলে,
   2.1 + b = 1
⇒ b = -1
অপেক্ষকটি x = 1 বিন্দুতে অবকলনযোগ্য।
সুতরাং অপেক্ষকটি x = 1 বিন্দুতে সন্তত।
∴  lim_x→1- f(x) =  lim_x→1+ f(x)
⇒ lim_x→1-  (x² + bx + c) = lim_x→1+ x
⇒1 + b + c = 1
⇒ b + c = 0
⇒ c = -b = -(-1) = 1
∴ b – c = – 1 – 1 = -2
Ans:Ⓒ -2

প্রতিটি প্রশ্নের মান 1
Analytical/Skill Based Type
Fill in the Blanks

1. e^x/2 -এর x = – 2 বিন্দুতে অন্তরকলজ _________
Ⓐ 2e         Ⓑ e
Ⓒ ¹/_2e         Ⓓ ¹/_e

Solution:  ^d/_dx (e^x/₂)
= e^x/₂ . ^d/_dx(^x/₂)= e^x/₂ . ¹/₂
x = – 2 বিন্দুতে অন্তরকলজ
= ¹/₂.e^-2/₂
= ¹/₂.e^-1 = ¹/_2e
Ans: Ⓒ ¹/_2e

2. একটি অপেক্ষক f(x) -এর সংজ্ঞা নিম্নরূপ:

f(x)= {1 - x           যখন x < 1
      {x2- 2x + 3    যখন x ≤ 1

x = 1 বিন্দুতে f(x) অপেক্ষকটি ________
Ⓐ সন্তত ও অবকলনযোগ্য
Ⓑ সন্তত কিন্তু অবকলনযোগ্য নয়
Ⓒ সন্তত নয় কিন্তু অবকলনযোগ্য
Ⓓ সন্তত নয় ও অবকলনযোগ্যও নয়

Solution:
   lim_x→1- f(x)
= lim_x→1- (1 – x)
= 1 – 1 = 0
আবার  lim_x→1+ f(x)
=  lim_x→1+ (x² – 3x + 2)
= 1² – 3 + 2 = 0
∴  lim_x→1- f(x) = lim_x→1+ f(x) = 0
অতএব অপেক্ষকটি x = 1 বিন্দুতে সন্তত।
   Lf’(x) = 0 – 1 = -1
∴ Lf’(1) = -1
আবার Rf’(x) = 2x – 3
∴ Rf’(1) = 2.1 – 3 = -1
∴ Lf’(1) = Rf’(1) = -1
অতএব অপেক্ষকটি x = 1 বিন্দুতে অবকলনযোগ্য।Ans: Ⓐ সন্তত ও অবকলনযোগ্য

3. e^√x -এর x -এর সাপেক্ষে অবকল সহগ ________
Ⓐ ^e√x/_√x         Ⓑ 2√xe^√x
Ⓒ ^e√x/_2√x      Ⓓ √xe^√x

Solution: ^d/_dx(e^√x)
= e^√x. ^d/_dx(√x)
=e^√x .¹/_2√x
= ^e√x/_2√x

Ans: Ⓒ ^e√x/_2√x

4. e^{√tan x} -এর x-এর সাপেক্ষে অবকল সহগ _______
Ⓐ e^{√tan x}        Ⓑ e^{sec x}
Ⓒ sec xe^{tan x}
Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

Solution: ^d/_dx(e^{√tan x})
= e^{√tan x}. ^d/_dx(√tan x)
=e^{√tan x}. ¹/_{2√tan x} .^d/_dx(tan x)
= e^{√tan x}. ¹/_{2√tan x} .sec² x
Ans: Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

SEMESTER-3
সূচিপত্র

👉 UNIT-1   সম্বন্ধ ও অপেক্ষক   

• 1. সম্বন্ধ
• 2. অপেক্ষক
  • 2A অপেক্ষক
  • 2B অপেক্ষকের (বা চিত্রণের) সংযোজন
  • 2C বিপরীত অপেক্ষক
• 3. বিপরীত ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকসমূহ

👉 UNIT-2       বীজগণিত

• 1. ম্যাট্রিক্সের প্রকারভেদ ও ম্যাট্রিক্স বীজগণিত
  • ম্যাট্রিক্স PART 1
  • ম্যাট্রিক্স PART 2
• 2. নির্ণায়ক
  • মাইনর ও সহ-উৎপাদক
• 3. একটি ম্যাট্রিক্সের অ্যাডজয়েন্ট ও বিপরীত ম্যাট্রিক্স এবং সরল সহসমীকরণের সমাধান

👉 UNIT-3       কলনবিদ্যা

• 1. সন্ততা এবং অন্তরকলনযোগ্যতা
  • সন্ততা
  • অন্তরকলনযোগ্যতা
• 2. অবকলন বা অন্তরকলন
• 3. দ্বিতীয় ক্রমের অন্তরকলজ
• 4. অন্তরকলজের ব্যাখ্যা
• 5. স্পর্শক ও অভিলম্ব
• 6. বর্ধিষ্ণু ও ক্ষয়িষ্ণু অপেক্ষক
• . চরম ও অবম মান

👉 UNIT-4       সম্ভাবনা

• 1. সম্ভাবনা
  • সম্ভাবনা
  • Bayes’ উপপাদ্য
• 2. সমসম্ভব চলক ও তার বিভাজন
• 3. দ্বিপদ বিভাজন

👉       Semester III -এর প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান

• Semester III 2026 এর প্রশ্নপত্র ও তার সম্পূর্ণ সমাধান

সন্ততা এবং অন্তরকলনযোগ্যতা

Column Matching _______

1. বাম দিকের স্তম্ভের সঙ্গে ডান দিকের স্তম্ভ মেলাও।

Ⓐ [i] – [d], [ii] – [a], [iii] – [b], [iv] – [c]
Ⓑ [i] – [b], [ii] – [a], [iii] – [d], [iv] – [c]
Ⓒ [i] – [b], [ii] – [c], [iii] – [d], [iv] – [a]
Ⓓ [i] – [c], [ii] – [b], [iii] – [a], [iv] – [d]
Solution:

 Ans: Ⓑ [i] – [b], [ii] – [a], [iii] – [d], [iv] – [c]

Rearrangement of Sentences/Events _______

1. f(x) অপেক্ষক নিম্নলিখিতভাবে সংজ্ঞাত:

Solution: বিবৃতি-A:
 f(x)= {x2- 2x + 3    যখন x ≤1
       {2x2- 5x + 5   যখন x > 1

   x = 1 বিন্দুতে অপেক্ষকটির সন্ততা ও অবকলনযোগ্যতা যাচাই করার ধাপগুলি হল
[i]  f(x) =  f(x) = f(1) হয় কিনা দেখতে হবে
[ii]  f(x),  f(x) এবং f(1) নির্ণয় করতে হবে
[iii] Rf’(1), Lf’(1) নির্ণয় করতে হবে
[iv] Rf’(1) = Lf’(1) হয় কি না দেখতে হবে
      ধাপগুলির সঠিক ক্রম হল-
Ⓐ [ii] – [iii] – [i] – [iv]
Ⓑ [ii] – [i] – [iii] – [iv]
Ⓒ [iii] – [i] – [ii] – [iv]
Ⓓ [i] – [iii] – [ii] – [iv]

Solution: ধাপগুলি হল –
[ii]  f(x),  f(x) এবং f(1) নির্ণয় করতে হবে
[i]  f(x) =  f(x) = f(1) হয় কিনা দেখতে হবে
[iii] Rf’(1), Lf’(1) নির্ণয় করতে হবে
[iv] Rf’(1) = Lf’(1) হয় কি না দেখতে হবে
Ans: Ⓑ [ii] – [i] – [iii] – [iv]

Relationship between Statements ____________

প্রতিটি প্রশ্নে বিবৃতি A এবং বিবৃতি B দেওয়া আছে। নীচের কোন বিকল্পটি বিবৃতি A এবং বিবৃতি B-এর মধ্যে সঠিক সম্পর্ক নির্দেশ করে?
Ⓐ বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পরবিরোধী
Ⓑ বিবৃতি B হল বিবৃতি A এর কারণ
Ⓒ বিবৃতি A হল সত্য কিন্তু বিবৃতি B মিথ্যা
Ⓓ বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পর নির্ভরশীল নয়

1. বিবৃতি-A: f(x) = x|x| অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে অবকলনযোগ্য।
    বিবৃতি-B: f(x) = |x| অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে অবকলনযোগ্য।

Solution: বিবৃতি-A:
 f(x)= x|x|
     ={x.(-x)=-x2  যখন x<0
      {x.(x)= x2   যখন x≥0

   Lf’(x) = -2x
∴ Lf’(0) = 0
আবার Rf’(x) = 2x
          ∴ Rf’(0) = 0
∴ Lf’(0) = Rf’(0) = 0
অতএব অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে অবকলনযোগ্য। → বিবৃতিটি সত্য।
বিবৃতি-R:  |x – a| অপেক্ষকটি x = a বিন্দুতে অবকলনযোগ্য নয়।
∴ |x| = |x – 0| অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে অবকলনযোগ্য নয়। → বিবৃতিটি মিথ্যা।
Ans: Ⓒ বিবৃতি A হল সত্য কিন্তু বিবৃতি B মিথ্যা

2. বিবৃতি-A: x = 0 বিন্দুতে f(x) = |sin x| অপেক্ষকটি সন্তত ও অবকলনযোগ্য।
     বিবৃতি-B: x = a বিন্দুতে f(x) অপেক্ষক অন্তরকলনযোগ্য হলেও ওই বিন্দুতে অপেক্ষকটি সন্তত নাও হতে পারে।

Solution: বিবৃতি-A:
 f(x)= |sin x|
     ={-sin⁡x   যখন x<0
      {sin⁡x    যখন x≥0

Lf’(x) = -cos x
∴ Lf’(0) = -cos 0 = -1
আবার Rf’(x) = cos x
       ∴ Rf’(0) = bos 0 = 1
∴ Lf’(0) ≠ Rf’(0) = 0
অতএব অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে অবকলনযোগ্য নয়। → বিবৃতিটি মিথ্যা।
বিবৃতি-B: x = a বিন্দুতে f(x) অপেক্ষক অন্তরকলনযোগ্য হলে ওই বিন্দুতে অপেক্ষকটি সন্তত হবে। → বিবৃতিটি মিথ্যা।
Ans: বিবৃতি A এবং বিবৃতি B উভয়ই মিথ্যা

Assertion-Reasoning _____

প্রতিটি প্রশ্নে বিবৃতি I (Assertion বা উক্তি) এবং বিবৃতি II (Reason বা উক্তির কারণ) দেওয়া আছে। প্রতিটি প্রশ্নের বিবৃতি দুটি নীচের কোন্ বিকল্পটিকে (Ⓐ, Ⓑ, Ⓒ,ও Ⓓ) সঠিকভাবে ব্যাখ্যা করে?
   Ⓐ বিবৃতি । সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি I-এর সঠিক কারণ।
   Ⓑ বিবৃতি। সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি I-এর সঠিক কারণ নয়।
   Ⓒ বিবৃতি । সঠিক এবং বিবৃতি II সঠিক নয়।
   Ⓓ বিবৃতি। সঠিক নয় এবং বিবৃতি II সঠিক।

1. মনে করো, f(x) = {5x - 4   যখন 0<x≤1
                     {4x2 - 3x যখন x > 1
বিবৃতি-I(A): x = 1 বিন্দুতে f(x) অপেক্ষকটি সন্তত ও অবকলনযোগ্য
বিবৃতি-II(R): x = a বিন্দুতে f(x) অপেক্ষক অন্তরকলনযোগ্য হলে ওই বিন্দুতে অপেক্ষকটি সন্তত হবে।

 Solution: বিবৃতি-I(A): Lf’(x) = 5
∴ Lf’(1) = 5
আবার Rf’(x) = 8x – 3
∴ Rf’(1) = 8.1 – 3 = 5
   ∴ Lf’(1) = Rf’(1) = 5
অতএব অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে অবকলনযোগ্য। → বিবৃতিটি সত্য।
বিবৃতি-II(R): x = a বিন্দুতে f(x) অপেক্ষক অন্তরকলনযোগ্য হলে ওই বিন্দুতে অপেক্ষকটি সন্তত হবে। → বিবৃতিটি সত্য।
Ans: Ⓐ বিবৃতি । সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি I-এর সঠিক কারণ।

2. বিবৃতি-I(A): log(cosx) -এর x -এর সাপেক্ষে অবকল সহগ – tanx
     বিবৃতি-II(R): sin(log x)-এর x -এর সাপেক্ষে অবকল সহগ cos(logx)

Solution:  বিবৃতি-I(A): ^d/_dx[log(cosx)]
= ¹/_{cos x} . ^d/_dx(cos x)
= ¹/_{cos x} . (- sin x) = – tanx → বিবৃতিটি সত্য।
বিবৃতি-II(R): ^d/_dx [sin(log x)]
= cos(log x) . ^d/_dx(log x)
= cos(log x) . ¹/ _x = ^{cos(log x)}/ _x → বিবৃতিটি মিথ্যা।
Ans:  Ⓒ বিবৃতি । সঠিক এবং বিবৃতি II সঠিক নয়।

আমাদের YOUTUBE CHANNEL “COMPTECH” দেখার জন্য এখানে ক্লিক করো। 

True and False __________

1. বিবৃতি-I: x-এর সাপেক্ষে e^3x -এর অন্তরকলজ e^3x
    বিবৃতি-II: x-এর সাপেক্ষে log 3x -এর অন্তরকলজ ¹/_x
Ⓐ বিবৃতি । সত্য
Ⓑ বিবৃতি I, II উভয়ই সত্য
Ⓒ বিবৃতি II সত্য
Ⓓ বিবৃতি I, II উভয়ই মিথ্যা

Solution: বিবৃতি-I:  ^d/_dx (e^3x)
= e^3x × ^d/_dx(3x) = e^3x ×3 = 3e^3x → বিবৃতিটি মিথ্যা।
বিবৃতি-II:  ^d/_dx (log 3x)
= ¹/_3x × ^d/_dx(3x) = ¹/_3x ×3 = ¹/_x → বিবৃতিটি সত্য।
Ans:  Ⓒ বিবৃতি II সত্য

2. f(x) = {1          যখন x<0
          {1 + sin x  যখন x ≥ 0
  অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে,
বিবৃতি-I:  f(x) সন্তত
বিবৃতি-II: f’(0) -এর অস্তিত্ব নেই।

Ⓐ বিবৃতি । সত্য
Ⓑ বিবৃতি I, II উভয়ই সত্য
Ⓒ বিবৃতি II সত্য
Ⓓ বিবৃতি I, II উভয়ই মিথ্যা

Solution: বিবৃতি-I:    lim _x→0- f(x) =  lim _x→0- 1 = 1
      lim _x→0+ f(x)
=  lim _x→0+ (1 + sin x)
= 1 + sin 0 = 1 + 0 = 1
∴  lim _x→0- f(x) =  lim _x→0+ f(x) = 1
∴ x = 0 বিন্দুতে f(x) সন্তত → বিবৃতিটি সত্য।
বিবৃতি-II:  L.H.D. = 0
এবং R.H.D. = 0 + cos x = cos x
    x = 0 বিন্দুতে,
         L.H.D. = 0
এবং R.H.D. = cos 0 = 1
    x = 0 বিন্দুতে, L.H.D. ≠ R.H.D.
∴ x = 0 বিন্দুতে f’(0) -এর অস্তিত্ব নেই। → বিবৃতিটি সত্য।
Ans:  Ⓑ বিবৃতি I, II উভয়ই সত্য

Case Based ____________

1. f(x) = {x2 + 3x + p  যখন x ≤1
          {qx + 2       যখন x > 1
  অপেক্ষকটি x = 1 বিন্দুতে অন্তরকলনযোগ্য।

[i] p-এর মান হবে-
Ⓐ 5        Ⓑ 7
Ⓒ 9        Ⓓ 3

Solution:  অপেক্ষকটি x = 1 বিন্দুতে অন্তরকলনযোগ্য।
   ∴ LHD = RHD
⇒ 2x + 3 = q
  x = 1 হলে,
      2 + 3 = q
বা, q = 5
 f(x) অপেক্ষকটি x = 1 বিন্দুতে অন্তরকলনযোগ্য, সুতরাং অপেক্ষকটি x = 1 বিন্দুতে সন্তত।
   ∴ 1² + 3.1 + p = q.1 + 2
বা, 4 + p = 5 + 2 . . . [∵ q = 5]
বা, p = 3
Ans:  Ⓓ 3

[ii] q-এর মান হবে-
Ⓐ 3        Ⓑ 5
Ⓒ 7        Ⓓ 9

Ans:  Ⓑ 5

2. f(x) = {2x + 3    যখন x ≤1
          {ax2 + bx  যখন x > 1
  অপেক্ষক সর্বত্র অন্তরকলনযোগ্য

[i] a-এর মান হবে-
Ⓐ 3        Ⓑ -3
Ⓒ 8        Ⓓ -8

Solution:  ∵ অপেক্ষকটি সর্বত্র অন্তরকলনযোগ্য
   ∴ L.H.D. = R.H.D.
⇒ 2 = 2ax + b
  x = 1 হলে,
       2 = 2a + b
বা, 2a + b = 2 . . .  (i)
 f(x) অপেক্ষকটি সর্বত্র অন্তরকলনযোগ্য, সুতরাং অপেক্ষকটি সর্বত্র সন্তত।
   ∴ 2 + 3 = a + b
বা, a + b = 5 . . .  (ii)
 (i) – (ii) করে পাই,
      2a + b – a – b = 2 – 5
বা, a = -3
  (ii) থেকে পাই,
     – 3 + b = 5
বা, b = 8
Ans:  Ⓑ -3

[ii] b-এর মান হবে-
Ⓐ 3        Ⓑ 8
Ⓒ -8        Ⓓ -3

Ans: Ⓑ 8

[iii]  f’(3) =
Ⓐ 1        Ⓑ 5
Ⓒ 14     Ⓓ -10

Solution: f(x) = ax² + bx = -3x² + 8x . . . [∵ a = -3, b = 8]
     f’(x) = – 6x + 8
∴ f’(3) = -6.3 + 8 = -10
Ans:  Ⓓ -10