দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.2 Complete Solution of Quadratic Equation

দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.2
Complete Solution of Quadratic Equation
দ্বিঘাত সমীকরন
কষে দেখি-1.2

Complete Solution of Quadratic Equation
দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.2
দ্বিঘাত সমীকরন
কষে দেখি-1.2

প্রিয় ছাত্র-ছাত্রী
X-Mathematics এই ক্যাটাগরিতে আমরা আগের পোস্টে দশম শ্রেণীর এর গণিত প্রকাশ বইয়ের প্রথম অধ্যায়ের একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণের কষে দেখি 1.1 এর সমস্ত প্রশ্নের সমাধান করেছিলাম। আমাদের আজকের পোস্টে কষে দেখি 1.2 এর সমস্ত প্রশ্ন সহ উত্তর করে দেওয়া হল। পরবর্তী পোষ্টে কষে দেখি 1.3 এর সমস্ত প্রশ্ন সহ উত্তর করে দেওয়া হবে। তাই আমাদের এই পোস্টগুলো পেতে আমাদের পেজটিকে নিয়মিত ফলো করতে থাকো। মাধ্যমিক পরীক্ষায় ভাল ফল করতে এই প্রশ্নগুলি তৈরি করে নাও।
মাধ্যমিক ইংরাজি সহ অন্যান্য বিষয়ের উপর এই ধরনের প্রশ্নোত্তর পেতে আমাদের পেজটি নিয়মিত follow করতে থাকো।

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণের সাধারণ আকার হলো:
ax² + bx + c = 0 যেখানে a, b, c যেকোনো বাস্তব সংখ্যা এবং a ≠ 0 হয়।
অর্থাৎ যেসব সমীকরণকে ax² + bx + c = 0 (যেখানে a, b, c যেকোনো বাস্তব সংখ্যা এবং a ≠ 0) আকারে প্রকাশ করা যায় তাদেরকে বাস্তব সহগযুক্ত একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ বলে।

একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ এর বৈশিষ্ট্য হলো:
(i) একটিমাত্র চল থাকবে।
(ii) চলের সর্বোচ্চ ঘাত 2 হতে হবে।
(iii) দ্বিঘাত চলযুক্ত পদের সহগ অবশ্যই কোনো অশূন্য বাস্তব সংখ্যা হবে।
(iv) চলের সহগগুলো বাস্তব হবে।

বীজ: যে সকল বাস্তব সংখ্যা বা রাশি কোন প্রদত্ত সমীকরণকে সিদ্ধ করে সেই সমস্ত বাস্তব সংখ্যা বা রাশিকে ওই সমীকরণের বীজ বলে।
একটি একচলবিশিষ্ট একঘাত সমীকরণের বীজের সংখ্যা হবে 1 এবং একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণের বীজের সংখ্যা হবে 2

দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.2
প্রশ্ন নম্বর – 1-(i),(ii)

1. নীচের প্রতিক্ষেত্রে প্রদত্ত মানগুলি প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ কিনা যাচাই করে লিখি:
(i) x² + x + 1 = 0, 1 ও -1
(ii) 8x² + 7x = 0, 0 ও 2
(iii) x + ¹/_x = ¹³/₆, ⁵/₆ ও ⁴/₃
(iv) x²- √3x – 6=0, -√3 ও 2√3

সমাধানঃ
(i) x² + x + 1 = 0
সমীকরণের বামপক্ষে x = 1 বসিয়ে পাই,
(1)² + 1 + 1
= 1 + 1 + 1
= 3 ≠ 0
আবার সমীকরণের বামপক্ষে x = -1 বসিয়ে পাই,
(-1)² + (-1) +1
= 1 – 1 + 1 = 1 ≠ 0
∴ 1 ও -1 দ্বারা সমীকরণটী সিদ্ধ হচ্ছে না।
তাই 1 ও -1 দ্বিঘাত সমীকরণটীর বীজ নয়।

(ii) 8x² + 7x = 0
সমীকরণের বামপক্ষে x = 0 বসিয়ে পাই,
8x(0)² + 7×0
= 0 + 0 = 0 = 0
আবার সমীকরণের বামপক্ষে x = 2 বসিয়ে পাই,
8x(2)² + 7×2
= 8×4 + 14
= 32 +14 = 46 ≠ 0
∴ 0 দ্বারা সমীকরণটী সিদ্ধ হচ্ছে । কিন্তু 2 দ্বারা সমীকরনটী সিদ্ধ হচ্ছে না।
তাই 0 দ্বিঘাত সমীকরণটীর বীজ কিন্তু 2 দ্বিঘাত সমীকরণটীর বীজ নয়।

Madhyamik Previous Year (2017 – 2024) MATHEMATICS Question with complete solution|
বিগত বছরের (2017 – 2024) মাধ্যমিক গণিত প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নীচের BUTTON-এ CLICK করো|

CLICK

দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.2
প্রশ্ন নম্বর – 1-(iii),(iv)

(iii) Solution:
x + ¹/_x = ¹³/₆ সমীকরণের বামপক্ষে x = ⁵/₆ বসিয়ে পাই,

\(\Large{\quad\frac {4}{3}+\frac {1}{\frac {4}{3}}\\=\frac {4}{3}+\frac {3}{4}\\=\frac {16+9}{12}\\=\quad\frac {25}{12}≠\quad\frac {13}{6}}\) আবার

x + ¹/_x = ¹³/₆ সমীকরণের বামপক্ষে x = ⁴/₃ বসিয়ে পাই,

\(\Large{\quad\frac {5}{6}+\frac {1}{\frac {5}{6}}\\=\frac {5}{6}+\frac {6}{5}\\=\frac {25+36}{30}\\=\frac {61}{30}\\≠\quad\frac {13}{6}}\)

∴ ⁵/₆ ও ⁴/₃ দ্বারা সমীকরণটী সিদ্ধ হচ্ছে না।
তাই ⁵/₆ ও ⁴/₃ দ্বিঘাত সমীকরণটীর বীজ নয়।

(iv) x²– √3x – 6 = 0, -√3 ও 2√3
সমীকরণের বামপক্ষে x = -√3 বসিয়ে পাই,
(-√3)² – √3x(-√3) – 6 = 3 + 3 – 6 = 6 – 6 = 0
আবার সমীকরণের বামপক্ষে x = 2√3 বসিয়ে পাই,
(2√3)² – √3x(2√3) – 6 = 12 – 6 – 6 = 12 – 12 = 0
∴ -√3 ও 2√3 দ্বারা সমীকরণটী সিদ্ধ হচ্ছে ।
তাই -√3 ও 2√3 দ্বিঘাত সমীকরণটীর দুটি বীজ ।

দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.2
প্রশ্ন নম্বর – 2-(i),(ii),(iii)

2 (i) k-এর কোন মানের জন্য 7x² + kx – 3 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ ²/₃ হবে হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ
7x² + kx – 3 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ ²/₃
∴ 7(²/₃)² + k.²/₃ – 3 = 0
বা, ²⁸/₉ + ^2k/₃ – 3 = 0
⇒ 28 + 6k – 27 =0
বা, 6k – 1 =0
বা, k = –¹/₆
উত্তরঃ k-এর মান –¹/₆ হলে 7x² + kx – 3 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ ²/₃ হবে ।

(ii) k-এর কোন মানের জন্য x² + 3ax + k = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ -a হবে হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ
x²+3ax+k=0 দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ -a;
∴ (-a)² + 3a.(-)a – k = 0
বা, a² – 3a² – k = 0
⇒ -2a²– k =0
বা, k = 2a²
উত্তরঃ k-এর মান 2a² হলে x² + 3ax + k = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ -a হবে ।

দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নিচের BUTTON-এ ক্লিক করো।

CLICK

দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.2
প্রশ্ন নম্বর – 3

3. যদি ax² + 7x + b = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ ²/₃ এবং -3 হয় তবে a ও b-এর মান নির্ণয় করি

সমাধানঃ
ax² + 7x + b = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজ ⅔ এবং -3
∴ a(²/₃)² + 7.²/₃ + b = 0
বা, ^4a/₉ + ¹⁴/₃ + b =0
বা, 4a + 42 + 9b = 0 ………………….(i)
আবার,
a(-3)² + 7.(-3) + b = 0
বা, 9a – 21 + b = 0
বা, b = 21 – 9a………………….(ii)
(i) নং সমীকরণে b = 21 – 9a বসিয়ে পাই,
4a + 42 + 9(21 – 9a) = 0
বা, 4a + 42 + 189 – 81a = 0
⇒ -77a + 231 = 0
বা, -77a = -231
বা, a = 3
(ii) নং-এ সমীকরণে a = 3 বসিয়ে পাই,
b = 21 – 9a
বা, b = 21 – 9×3
বা, b = 21 -27
∴ b = -6
উত্তরঃ a = 3 এবং b = -6

THE SNAIL SAQ — **মাধ্যমিকের গণিতের App Madhyamik Mathematics ডাউনলোড করতে এখানে CLICK কর**।

দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.2
প্রশ্ন নম্বর – 4-(i),(ii),(iii)

4. সমাধান করোঃ

(i) 3y² – 20 = 160 -2y²

সমাধানঃ
3y² – 20 = 160 -2y²
⇒ 3y² + 2y² = 160 – 20
⇒ 5y² = 180
∴ y² = 36
⇒ y = ± √36
⇒ y = ± 6
নির্ণেয় সমাধানঃ y = – 6 এবং y = 6

(ii) (2x + 1)² + (x + 1)² = 6x + 47

সমাধানঃ
(2x + 1)² + (x + 1)² = 6x + 47
⇒ 4x² + 4x + 1 + x² + 2x + 1 = 6x + 47
⇒ 5x² + 6x + 2 = 6x + 47
5×2 = 6x – 6x + 47 – 2
⇒ 5x² = 45
⇒ x² = 9
x = ±√9
⇒ x = ± 3
নির্ণেয় সমাধানঃ x = – 3 এবং x = 3

(iii) (x – 7)(x -9) = 195

সমাধানঃ
(x – 7)(x -9) = 195
⇒ x² – 9x -7x + 63 = 195
⇒ x² – 16x + 63 – 195 = 0
x² – 16x – 132 = 0
⇒ x² -22x + 6x – 132 = 0
∴ x(x -22) + 6(x – 22) = 0
⇒ (x -22)(x + 6) = 0
হয় (x -22) = 0 নতুবা, (x + 6) = 0
∴ x = 22 . ∴ x = – 6
নির্ণেয় সমাধানঃ x = – 6 এবং x = 22

দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.2
প্রশ্ন নম্বর – 4-(iv),(v),(vi)

\(\Large{\mathbf{(iv) \quad 3x-\frac {24}{x}=\frac {x}{3},\quad x≠0\\Solution:}}\)\(\Large{\quad 3x-\frac {24}{x}=\frac {x}{3}\\⇒ \frac {3x^{2}-24}{x}=\frac {x}{3}}\)

⇒ 3(3x² – 24) = x²
9x² – 72 = x²
⇒ 9x² – x² = 72
⇒ 8x² = 72
∴ x² = 9
∴ x = ±3
Ans: নির্ণেয় সমাধানঃ x = – 3 এবং x = 3

\(\Large{}\) \(\Large{\mathbf{(v) \quad \frac {x}{3}+\frac {3}{x}=\frac {15}{x},\quad x≠0\\Solution:}}\)

\(\Large{ \quad \frac {x}{3}+\frac {3}{x}=\frac {15}{x}\\⇒ \frac {x^{2}+9}{3x}=\frac {15}{x}\\⇒ \frac {x^{2}+9}{3}=15….[∵ x≠0] }\)

x² + 9 = 45
⇒ x² = 45 – 9
⇒ x² = 36
∴ x = √36
∴ x = ±6
Ans: নির্ণেয় সমাধানঃ x = – 6 এবং x = 6

\(\Large{\mathbf{(vi) \quad 10x-\frac {1}{x}=3,\quad x≠0}}\)

Solution:

\(\Large{ \quad 10x-\frac {1}{x}=3\\⇒\frac {10x^{2}-1}{x}=3}\)

⇒ 10x² – 1 = 3x
10x² – 3x – 1 = 0
⇒ 10x² – 5x + 2x – 1 = 0
⇒ 5x(2x – 1) +1(2x – 1) = 0
(2x – 1)(5x + 1) = 0
হয় (2x – 1) = 0 বা, (5x + 1) = 0
∴ 2x = 1 ∴ 5x = -1
∴ x = ¹/₂ ∴ x = –¹/₅
Ans: নির্ণেয় সমাধানঃ x = – ¹/₅ এবং x = ¹/₂

ত্রিভুজের অন্তর্বৃত্ত অঙ্কন পদ্ধতি : CLICK HERE

দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.2
প্রশ্ন নম্বর – 4-(vii),(viii)

\(\Large{\mathbf{(vii) \quad \frac {2}{x^2}-\frac {5}{x}+2=0,\quad x≠0\\Solution:}}\)\(\Large{\quad \frac {2}{x^2}-\frac {5}{x}+2=0\\⇒ \frac {2-5x+2x^{2}}{x^2}=0}\)

⇒ 2x² – 5x + 2 = 0
2x² – 4x – x + 2 = 0
⇒ 2x(x – 2) -1(x – 2) = 0
⇒ (x – 2)(2x – 1) = 0
হয় x – 2 = 0 নতুবা, 2x – 1 = 0
∴ x = 2 ∴ 2x = 1
∴ x = ¹/₂
Ans: নির্ণেয় সমাধানঃ x = ¹/₂ এবং x = 2

\(\Large{\mathbf{(viii) \quad\frac{x-2}{x+2}-6\left(\frac{x-2}{x-6}\right)=1,\\\quad x≠-2,6\\Solution:}}\)\(\Large{\quad\frac{x-2}{x+2}+6\left(\frac{x-2}{x-6}\right)=1\\⇒\frac{x-2}{x+2}=1-6\left(\frac{x-2}{x-6}\right)\\⇒\frac{x-2}{x+2}=1-\frac {6x-12}{x-6}\\\quad \frac{x-2}{x+2}=\frac{(x-6)-(6x-12)}{x-6}\\⇒\frac{x-2}{x+2}=\frac{x-6-6x+12}{x-6}\\⇒\frac{x-2}{x+2}=\frac{x-6-6x+12}{x-6}\\\quad \frac {x-2}{x+2}=\frac {6-5x}{x-6}}\)

⇒ (x – 2)(x – 6) = (6 – 5x)(x + 2)
⇒ x² – 6x – 2x + 12 = 6x + 12 -5x² -10x
x² + 5x² – 8x + 4x = 0
⇒ 6x² – 4x = 0
⇒ 2x(3x – 2) = 0
হয় 2x = 0 নতুবা, 3x – 2 = 0
∴ x = 0 ∴ 3x = 2
∴ x = ²/₃
Ans: নির্ণেয় সমাধানঃ x = 0 এবং x = ²/₃

দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.2
প্রশ্ন নম্বর – 4-(ix),(x),(xi)

\(\Large{\mathbf{(ix)\quad \frac {1}{x-3}-\frac {1}{x+5}=\frac {1}{6},\quad x≠3,-5\\Solution:}}\)\(\Large{\quad\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+5}=\frac{1}{6}\\⇒\frac{(x+5)-(x-3)}{(x-3)(x+5)}=\frac{1}{6}\\⇒\frac{x+5-x+3}{x^{2}+5x-3x-15}=\frac {1}{6}\\\quad \frac {8}{x^{2}+2x-15}=\frac {1}{6}}\)

⇒ x² + 2x – 15 = 48
⇒ x² + 2x – 15 – 48 = 0
x² + 2x – 63 = 0
⇒ x² + 9x – 7x – 63 = 0
⇒ x(x + 9) – 7(x + 9) = 0
(x + 9)(x – 7) = 0
হয় x + 9 = 0 নতুবা, x – 7 = 0
∴ x = -9 ∴ x = 7
Ans: নির্ণেয় সমাধানঃ x = -9 এবং x = 7

\(\Large{\mathbf{(x)\quad \frac {x}{x+1}+\frac {x+1}{x}=2\frac {1}{12},\quad x≠0,-1\\Solution:}}\)\(\Large{ \quad \frac {x}{x+1}+\frac {x+1}{x}=2\frac {1}{12}}\)

ধরি, ^x/_x+1 = a
∴ a + ¹/_a =2 ¹/₁₂
⇒ ^{a² + 1}/_a = ²⁵/₁₂
⇒ 12(a² + 1) = 25a
12a² + 12 = 25a
⇒ 12a² – 25a + 12 = 0
⇒ 12a² – 16a – 9a + 12 = 0
4a(3a – 4) -3(a – 4) = 0
⇒ (3a – 4)(4a – 3) = 0
হয় 3a – 4 = 0 নতুবা, 4a – 3 = 0
বা, a = ⁴/₃ বা, a = ³/₄
a = ^x/_x+1 বসিয়ে পাই,
^x/_x+1 = ⁴/₃ ^x/_x+1 = ³/₄
বা, 4x + 4 = 3x বা, 4x = 3x + 3
বা, x = -4 বা, x = 3
Ans: নির্ণেয় সমাধানঃ x = -4 এবং x = 3

\(\Large{\mathbf{(xi)\quad \frac {ax+b}{a+bx}=\frac {cx+d}{c+dx},\quad [a≠b,c≠d], x≠\frac {a}{-b},\frac {-c}{d}\\Solution:}}\)\(\Large{ \quad\quad \frac {ax+b}{a+bx}=\frac {cx+d}{c+dx}}\)

⇒ (ax + b)(c + dx) = (cx + d)(a + bx)
acx + adx² + bc + bdx = acx + bcx² + ad + bdx
⇒ acx + adx² + bdx – acx – bcx² – bdx = ad – bc
⇒ adx² – bcx² = ad – bc
(ad – bc)x² = (ad – bc)
⇒ x² = 1
⇒ x = ±1
Ans: নির্ণেয় সমাধানঃ x = 1 এবং x = -1

দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.2
প্রশ্ন নম্বর – 4-(xii),(xiii),(xiv)

\(\Large{\mathbf{(xii)\quad (2x+1)+ \frac {3}{2x+1}=4, \quad x≠ -\frac {1}{2}\\Solution:}}\)\(\Large{ \quad (2x+1)+ \frac {3}{2x+1}=4}\)

ধরি, 2x + 1 = a

\(\Large{ \quad\therefore \quad a+\frac {3}{a}=4\\⇒\quad \frac {a^{2}+3}{a}=4}\)

⇒ a² – 4a +3 = 0
a² – 3a – a +3 = 0
⇒ a(a – 3) -1(a – 3) = 0
⇒ (a – 3)(a – 1) = 0
হয় a – 3 = 0 নতুবা, a – 1 = 0
বা, a = 3 বা, a = 1
a = (2x + 1) বসিয়ে পাই,
2x + 1 =3 2x + 1 = 1
বা, 2x = 2 বা, 2x = 0
বা, x = 1 বা, x = 0
Ans: নির্ণেয় সমাধানঃ x = 0 এবং x = 1

\(\Large{\mathbf{(xiii)\quad \frac {x+1}{2}+ \frac {2}{x+1}=\frac {x+1}{3}+\frac {3}{x+1}-\frac {5}{6}, \quad x≠ -1\\Solution:}}\)

\(\Large{\quad\frac {x+1}{2}+ \frac {2}{x+1}=\frac {x+1}{3}+\frac {3}{x+1}-\frac {5}{6}\\⇒ \frac {2}{x+1}-\frac {3}{x+1}=\frac {x+1}{3}-\frac {x+1}{2}-\frac {5}{6}\\⇒ \frac {2-3}{x+1}=\frac {2(x+1)-3(x+1)-5}{6}\\\quad \frac {-1}{x+1}=\frac {2x+2-3x-3-5}{6}\\⇒ \frac {-1}{x+1}=\frac {-x-6}{6}\\⇒ \frac {-1}{x+1}=\frac {-(x+6)}{6}\\\quad \frac {1}{x+1}=\frac {x+6}{6}}\)

⇒ (x + 1)(x + 6) = 0
⇒ x² + 6x + x + 6 – 6 = 0
x² + 7x = 0
⇒ x(x + 7) = 0
হয় x = 0 নতুবা, x + 7 = 0
∴ x = -7
Ans: নির্ণেয় সমাধানঃ x = -7 এবং x = 0

দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.2
প্রশ্ন নম্বর – 4-(xv),(xvi)

\(\Large{\mathbf{(xiv)\quad \frac {12x+17}{3x+1}- \frac {2x+15}{x+7}=3\frac {1}{5}, \quad x≠ \frac {1}{3},-7\\Solution:}}\)

\(\Large{\quad{12x+17}{3x+1}-\frac{2x+15}{x+7}=3\frac{1}{5}\\⇒\frac{4(3x+1)+13}{3x+1}-\frac{2(x+7)+1}{x+7}=3\frac {1}{5}\\ ⇒ 4+\frac {13}{3x+1}-2- \frac {1}{x+7}=3+\frac {1}{5}\\\quad 2+\frac {13}{3x+1}-\frac{1}{x+7}=3+\frac{1}{5}\\⇒\frac {13}{3x+1}-\frac{1}{x+7}=3+\frac{1}{5}-2\\⇒\frac{13(x+7)-(3x+1)}{(3x+1)(x+7)}=1+\frac{1}{5}\\\quad\frac{13x+91-3x-1}{3x^{2}+21x+x+7}=\frac{5+1}{5}\\⇒\frac{10x+90}{3x^{2}+22x+7}=\frac{6}{5}\\⇒\frac{2(5x+45)}{3x^{2}+22x+7}=\frac{6}{5}\\\quad\frac{5x+45}{3x^{2}+22x+7}=\frac {3}{5}}\)

3(3x² + 22x + 7) = 5(5x + 45)
⇒ 9x² + 66x + 21 = 25x + 225
⇒ 9x² + 66x + 21 – 25x – 225 = 0
9x² + 41x – 204 = 0
⇒ 9×2 + 68x – 27x – 204 = 0
⇒ x(9x + 68) – 3(9x + 68) = 0
(9x + 68)(x – 3) = 0
হয় 9x + 68 = 0 নতুবা, x – 3 = 0
বা, 9x = -68 ∴ x = 3
বা, x= –⁶⁸/₉
Ans: নির্ণেয় সমাধানঃ x = – ⁶⁸/₉ এবং x = 3

\(\Large{}\) \(\Large{\mathbf{(xv)\quad \left ( \frac {x+3}{x-3}\right)^2 + 6 \left( \frac {x-3}{x+3}\right)=5, \quad x≠ 3,-3\\Solution: }}\)\(\Large{\left ( \frac {x+3}{x-3}\right) + 6 \left( \frac {x-3}{x+3}\right)=5}\)

ধরি, \(\Large{ \quad\frac {x+3}{x-3}=a\\ \therefore \quad a + 6\times \frac {1}{a}=5\\ ⇒ \quad \frac {a^{2}+6}{a}=5}\)

⇒ a² + 6 = 5a
a² – 5a + 6 = 0
⇒ a² – 3a – 2a + 6 = 0
⇒ a(a – 3) – 2(a – 3) = 0
(a – 3)(a – 2) = 0
হয় a – 3 = 0 নতুবা, a – 2 = 0
∴ a = 3 ∴ a = 2
a = ^(x+3)/_(x-3) বসিয়ে পাই,
^(x+3)/_(x-3) = 3 ^(x+3)/_(x-3) = 2
∴ 3(x – 3) = x + 3 ∴ 2(x – 3) = x + 3
∴ 3x – x = 3 + 9 ∴ 2x – x = 3 + 6
x = 6 x = 9
Ans: নির্ণেয় সমাধানঃ x = 6 এবং x = 9

\(\large{\mathbf{(xvi)\quad \frac {1}{x+a+b}=\frac {1}{a}+\frac {1}{b}+\frac {1}{x}\quad x≠ 0,-(a+b)\\Solution:}\\\quad\frac{1}{x+a+b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{x}\\⇒\frac {1}{x+a+b}-\frac{1}{x}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\\⇒\frac{x-(x+a+b)}{x(x+a+b)}=\frac{b+a}{ab}\\\quad\frac {x-x-a-b}{x^{2}+ax+bx}=\frac{b+a}{ab}\\⇒ \frac {-a-b}{x^{2}+ax+bx}=\frac {b+a}{ab}\\⇒\frac{-(a+b)}{x^{2}+ax+bx}=\frac{b+a}{ab}\\\quad\frac {-1}{x^{2}+ax+bx}=\frac {1}{ab}}\)

Solution:

∴ x² + ax + bx = -ab
∴ x² + ax + bx + ab = 0
⇒ x(x + a) + b(x + a) = 0
⇒ (x + a)(x + b) = 0
হয় x + a = 0 নতুবা x + b = 0
∴ x = -a ∴ x = -b
Ans: নির্ণেয় সমাধানঃ x = – a এবং x = – b

দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.2
প্রশ্ন নম্বর – 4-(xvii),(xviii)

\(\Large{}\) \(\Large{\mathbf{(xvii)\quad \left( \quad \frac {x+a}{x-a}\right)^2 – 5\left( \frac {x+a}{x-a}\right)+6=0 \quad x≠ a}}\) \(\Large{ \quad}\)

Solution:

\(\Large{ \quad\quad \left( \quad \frac {x+a}{x-a}\right)^2 – 5\left( \frac {x+a}{x-a}\right)+6=0\\}\)ধরি,\(\Large{ \quad\frac {x+a}{x-a}=p}\)

∴ p² – 5p + 6 = 0
∴ p² – 3p – 2p + 6 = 0
⇒ p(p – 3) -2(p – 3) = 0
⇒ (p – 3)(p – 2) = 0
হয় p – 3 = 0 নতুবা, p – 2 = 0
∴ p = 3 ∴ p = 2
p = ^(x+a)/_(x-a) বসিয়ে পাই,
^(x+a)/_(x-a) = 3 ^(x+a)/_(x-a) = 2
∴ 3(x – a) = x + a ∴ 2(x – a) = x + a
∴ 3x – x = a + 3a ∴ 2x – x = a + 2a
x = 2a x = 3a
Ans: নির্ণেয় সমাধানঃ x = 2a এবং x = 3a

\(\Large{}\) \(\Large{\mathbf{(xviii)\quad \frac {1}{x}-\frac {1}{x+b}=\frac {1}{a}-\frac {1}{a+b},\quad x≠0,-b}}\)

Solution:

\(\Large{ \quad\quad\frac {1}{x}-\frac {1}{x+b}=\frac {1}{a}-\frac {1}{a+b}\\⇒ \frac {(x+b)-x}{x(x+b)}=\frac {(a+b)-a}{a(a+b)}\\⇒ \frac {x+b-x}{x^{2}+bx}=\frac {a+b-a}{a^{2}+ab}\\\quad\frac {b}{x^{2}+bx}=\frac {b}{a^{2}+ab}\\⇒ \frac {1}{x^{2}+bx}=\frac {1}{a^{2}+ab}\\}\)

∴ x² + bx = a² + ab
∴ x² – a² + bx – ab = 0
⇒ (x + a)(x – a) + b(x – a) = 0
⇒ (x – a)(x + a + b) = 0
হয় x – a = 0 নতুবা, x + a + b = 0
∴ x = a ∴ x = -(a + b)
Ans: নির্ণেয় সমাধানঃ x = a, -(a + b)

দ্বিঘাত সমীকরন কষে দেখি-1.2
প্রশ্ন নম্বর – 4-(xix),(xx),(xxi)

\(\Large{}\) \(\Large{\mathbf{(xix)\quad \frac {1}{(x-1)(x-2)}+\frac {1}{(x-2)(x-3)}+\frac {1}{(x-3)(x-4)}=\frac {1}{6},x≠1,2,3,4}}\)

Solution:

\(\Large{ \quad\quad\frac {1}{(x-1)(x-2)}+\frac {1}{(x-2)(x-3)}+\frac {1}{(x-3)(x-4)}=\frac {1}{6}\\⇒ \frac {(x-1)-(x-2)}{(x-1)(x-2)}+\frac {(x-2)-(x-3)}{(x-2)(x-3)}+\frac {(x-3)-(x-4)}{(x-3)(x-4}=\frac {1}{6}\\⇒ \frac {1}{x-2}-\frac {1}{x-1}+\frac {1}{x-3}-\frac {1}{x-2}+\frac {1}{x-4}-\frac {1}{x-3}=\frac {1}{6}\\∴ -\frac {1}{x-1}+\frac {1}{x-4}=\frac {1}{6}\\⇒ \frac {-(x-4)+(x-1)}{(x-1)(x-4)}=\frac {1}{6}\\⇒ \frac {-x+4+x-1}{x^{2}-4x-x+4}=\frac {1}{6}\\∴ \frac {3}{x^{2}-5x+4}=\frac {1}{6}}\)

⇒ x² – 5x + 4 = 18
⇒ x² – 5x – 14 = 0
x² – 7x + 2x – 14 = 0
⇒ x(x – 7) + 2(x – 7) = 0
⇒ (x – 7)(x + 2) = 0
হয় x – 7 = 0 নতুবা, x + 2 = 0
∴ x = 7 ∴ x = -2
Ans: নির্ণেয় সমাধানঃ x = -2, 7

\(\Large{}\) \(\Large{\mathbf{(xx)\quad \frac {a}{x-a}+\frac {b}{x-b}=\frac {2c}{x-c},\quad x≠a,b,c}}\)

Solution:

\(\Large{ \quad\frac{a}{x – a } + \frac{b}{x – b} = \frac{2c}{x – c}\\= \frac{a}{x – a } + 1 + \frac{b}{x – b} + 1= \frac{2c}{x – c} + 2\\= \frac{a + x – a}{x – a } + \frac{b + x – b}{x – b} = \frac{2c + 2x – 2c}{x – c}\\⇒ \frac{x}{x – a } + \frac{x}{x – b} = \frac{2x}{x – c}⇒ \frac{x}{x – a } + \frac{x}{x – b} – \frac{2x}{x – c} =0\\=x\left(\frac{1}{x – a } + \frac{1}{x – b} – \frac{2}{x – c}\right) =0}\)

হয় x = 0
অথবা

\(\Large{ \quad\frac{1}{x – a } + \frac{1}{x – b} – \frac{2}{x – c} =0\\=\frac{1}{x – a } – \frac{1}{x – c} = \frac{1}{x – c} – \frac{1}{x – b}\\=\frac{x – c – x + a}{(x – a)(x – c)} = \frac{x – b – x + c}{(x – b)(x – c)}\\⇒\frac{a – c}{x – a} = \frac{c – b}{x – b}}\)

∴ (x – a)(c – b) = (x – b)(a – c)
⇒ cx – ac – bx + ab = ax – cx – ab + bc
⇒ cx – bx – ax + cx = ac – ab – ab + bc
2cx – bx – ax = ac – 2ab + bc
⇒ x(2c – b – a) = ac + bc – 2ab
∴ x = ^{ac + bc – 2ab}/_{2c – a – b}
Ans: নির্ণেয় সমাধানঃ x = 0, ^{ac + bc – 2ab}/_{2c – a – b}

(xxi) x² – (√3 + 2)x + 2√3 = 0

Solution:
x² – (√3 + 2)x + 2√3 = 0
⇒ x² – (√3 + 2)x + 2√3 = 0
⇒ x² – √3x – 2x + 2√3 = 0
বা, x(x – √3) – 2(x – √3) = 0
বা, (x – √3)(x – 2) = 0
হয় x – √3 = 0 নতুবা, x – 2 = 0
∴ x = √3 ∴ x = 2
Ans: নির্ণেয় সমাধানঃ x = √3, 2