Solution of Vector Algebra Semester 4 ভেক্টর বীজগণিত

     Solution of Vector Algebra Semester 4 ভেক্টর বীজগণিত

ভেক্টর বীজগণিত Class XII Vector Algebra S N Dey

Unit 1    ▶ Chapter 1
ভেক্টর বীজগণিত Vector Algebra
সংক্ষিপ্ত প্রশ্নাবলি                                                                                                       প্রতিটি প্রশ্নের মান 3

1. (i) জ্যামিতিক ধারণা থেকে একটি ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও।
    (ii) দুটি ভিন্ন ভেক্টর লেখো যাদের মান সমান।
    (iii) দুটি ভিন্ন ভেক্টর লেখো যাদের একই অভিমুখ।

(i) Ans: যে ভৌত রাশির একটি নির্দিষ্ট মান (magnitude), অভিমুখ (direction) আছে এবং যা যোগের নিয়ম মেনে চলে তাকে ভেক্টর রাশি বা ভেক্টর বলে। যেমন – বল, সরন, বেগ, ত্বরণ ইত্যাদি।

একটি দিকনির্দেশিত সরলরেখাংশের মান ও অভিমুখ উভয়ই আছে বলে, দিকনির্দেশিত সরলরেখাংশের দ্বারা ভেক্টর রাশিকে প্রকাশ করা হয়। চিত্রে ĀB̄ সরলরেখাংশের দ্বারা একটি ভেক্টর রাশিকে প্রকাশ করা হয়েছে যার A বিন্দু প্রারম্ভিক বিন্দু এবং B̄ বিন্দু অন্তিম বিন্দু।

(ii) Ans: ā = 2î – 5ĵ + 3k̂    ও b̄ = 5î + 3ĵ – 2k̂ দুটি ভিন্ন ভেক্টর

 ∴ |ā| = |b̄| =       ā ও b̄ দুটি ভিন্ন ভেক্টর যাদের মান সমান।

(iii) Ans: ā = 2î – 5ĵ + 3k̂    ও b̄ = 4î – 10ĵ + 6k̂ দুটি ভিন্ন ভেক্টর।
b̄ = 4î – 10ĵ + 6k̂
    = 2(2î – 5ĵ + 3k̂) = 2ā
∵ b̄ = 2ā
∴ ā = 2î – 5ĵ + 3k̂ ও b̄ = 4î – 10ĵ + 6k̂ দুটি ভিন্ন ভেক্টর যাদের অভিমুখ একই।

2. একটি মূলবিন্দু সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর অবস্থান ভেক্টরের (position Vector)-এর সংজ্ঞা দাও। P ও Q বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে ā ও b̄ হলে ā ও b̄ এর মাধ্যমে P̄Q̄ ভেক্টর নির্ণয় করো।

Ans: কোন একটি তলে O -কে একটি মূলবিন্দু ধরলে ŌP̄ ভেক্টরকে O বিন্দুর  সাপেক্ষে P বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর বলে।  প্রারম্ভিক বিন্দু O -কে নির্দেশতন্ত্রের মূলবিন্দু বলা হয়।
P ও Q বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে ā ও b̄ হলে
P̄Q̄ = (Q বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর) – (P বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর) = b̄ – ā

3. P ও Q বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 2î + k̂ এবং -3î – 4ĵ – 5k̂ হলে QP ভেক্টরটি নির্ণয় করো।
 
Solution: Q̄P̄ = (P̄ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর) – (Q̄ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর)
= (2î + k̂) – (-3î – 4ĵ – 5k̂)
=2î + k̂ +3î + 4ĵ + 5k̂)
= 5î + 4ĵ + 6k̂  (Ans)

4. একটি ভেক্টর ও একটি একক ভেক্টরের সংজ্ঞা দাও। ā ভেক্টরের আকারে ā ভেক্টরের অভিমুখে একটি একক ভেক্টর নির্ণয় করো।

Ans: ভেক্টরঃ যে ভৌত রাশির একটি নির্দিষ্ট মান (magnitude), অভিমুখ (direction) আছে এবং যা যোগের নিয়ম মেনে চলে তাকে ভেক্টর রাশি বা ভেক্টর বলে। যেমন – বল, সরন, বেগ, ত্বরণ ইত্যাদি।
একক ভেক্টরঃ কোন নির্দিষ্ট অভিমুখে একটি ভেক্টরের মান (magnitude) বা মডিউলাস 1 হলে তাকে একক ভেক্টর বলে।
ā ভেক্টরের আকারে ā ভেক্টরের অভিমুখে একটি একক ভেক্টর: ^ā/_|ā|

5(i). যদি r̄ = xā + yb̄ + zc̄ হয়, তবে ā অভিমুখে r̄ -এর স্কেলার উপাংশ কী হবে?

Ans:  x

5(ii). O̅P̄ = xî + yĵ + zk̂ হলে হলে নীচের y -অক্ষ অভিমুখে O̅P̄ -এর ভেক্টর উপাংশ কী হবে?
 
Ans: yĵ

6. মনে করো, A ও B বিন্দু দুটির সংযোজক রেখাংশের মধ্যবিন্দু C যদি A ও C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে ā ও c̄ হয় তবে B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর হবে কী হবে?

Solution: ধরি, B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর b̄
∴ c̄ = ^{ā + b̄}/₂
বা, ā + b̄ = 2c̄
বা, b̄ = 2c̄ – ā
∴ B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর 2c̄ – ā (Ans)

7. ā = 2î – 5ĵ + 3k̂ এবং b̄ = î – 2ĵ – 4k̂ হলে l3ā + 2b̄|-এর মান নির্ণয় করো।

Solution:  ā = 2î – 5ĵ + 3k̂ এবং b̄ = î – 2ĵ – 4k̂
∴ 3ā + 2b̄ = 3(2î – 5ĵ + 3k̂) + 2(î – 2ĵ – 4k̂)
= 6î – 15ĵ + 9k̂ + 2î – 4ĵ – 8k̂
= 8î – 19ĵ + k̂

8. ā = 2î + 3ĵ – 4k̂ এবং b̄ = î + 2ĵ + k̂ হলে (ā + b̄) এবং lā + b̄| নির্ণয় করো।

Solution: ā = 2î + 3ĵ – 4k̂ এবং b̄ = î + 2ĵ + k̂
∴ ā + b̄ = 2î + 3ĵ – 4k̂ + î + 2ĵ + k̂
= 3î + 5ĵ – 3k̂   (Ans)

9. যদি ᾱ = 2î – 5ĵ + 4k̂ এবং β̄ = î – 4ĵ + 6k̂ হলে 2ᾱ – β̄ ভেক্টর নির্ণয় করো। (2ᾱ – β̄ ) ভেক্টরের অভিমুখে একটি একক ভেক্টর নির্ণয় করো।

Solution: 2ᾱ – β̄ = 2(2î – 5ĵ + 4k̂) – (î – 4ĵ + 6k̂)
= 4î – 10ĵ + 8k̂ – î + 4ĵ – 6k̂
= 3î – 6ĵ + 2k̂  (Ans)

SEMESTER-4
সূচিপত্র

👉 SEMESTER IV-এর প্রশ্নপত্রের সমাধান

• 2025 SEMESTER 4 QUESTION PAPER WITH SOLUTION
• 2025 HS Mathematics Solution

👉 UNIT-1 ভেক্টর এবং ত্রিমাত্রিক স্থানাঙ্ক জ্যামিতি

• 1. ভেক্টর বীজগণিত
• 2. দুটি ভেক্টরের গুণ
• 3. দিক্ কোসাইন এবং দিক্ অনুপাত
• 4. ত্রিমাত্রিক দেশে সরলরেখা 5. সমতল

👉 UNIT-2     কলনবিদ্যা

• 1. অনির্দিষ্ট সমাকল
• 2. পরিবর্ত বা প্রতিস্থাপন পদ্ধতিতে সমাকলন
• 3. আংশিক সমাকলন
• 4. কয়েকটি বিশেষ আকারের অপেক্ষকের সমাকল
• 5. নির্দিষ্ট সমাকল
• 6. ক্ষেত্রফলরূপে নির্দিষ্ট সমাকল
• 7. অবকল সমীকরণ

👉 UNIT-3    রৈখিক প্রোগ্রামবিধি

• 1. রৈখিক প্রোগ্রামবিধি

10. দেখাও যে, – î + ĵ, – 4î – 6ĵ এবং 5î + 5ĵ ভেক্টর তিনটি একটি সমকোণী ত্রিভুজের তিনটি বাহু।

∴ ভেক্টর তিনটি একটি সমকোণী ত্রিভুজের তিনটি বাহু।  (Proved)

12. ভেক্টর পদ্ধতিতে প্রমাণ করো যে, A(-5, 7), B(-4, 5) এবং C(1, -5) বিন্দু তিনটি একরেখীয়।

Solution:  A, B ও C বিন্দু তিনটির অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে -5î + 7ĵ, -4î + 5ĵ এবং î – 5ĵ:
∴ ĀB̄ = (-4î + 5ĵ) – (-5î + 7ĵ)
= -4î + 5ĵ + 5î – 7ĵ  = î – 2ĵ
∴ B̄C̄ = (î – 5ĵ) – (-4î + 5ĵ)
= î – 5ĵ + 4î – 5ĵ
= 5î – 10ĵ  = 5(î – 2ĵ) = 5ĀB̄
∵ B̄C̄ = 5ĀB̄  এবং  B বিন্দু ĀB̄ ও B̄C̄ -এর সাধারন বিন্দু ।
∴ ĀB̄ ও B̄C̄ রেখাংশ একরেখীয়।
অতএব A, B ও C বিন্দু তিনটি একরেখীয়। (Proved)

13. ā = î + ĵ এবং b̄ = 4î – ĵ হলে, (2ā – b̄) ভেক্টরের অভিমুখে একক ভেক্টর এবং (2ā – b̄) ভেক্টরের অক্ষ দুটি বরাবর ভেক্টর ও স্কেলার উপাংশ নির্ণয় করো।

Solution: এখানে, ā = î + ĵ এবং b̄ = 4î – ĵ
∴ 2ā – b̄
= 2(î + ĵ) -(4î – ĵ)
= 2î + 2ĵ -4î + ĵ  = -2î + 3ĵ

x অক্ষ বরাবর ভেক্টর উপাংশ -2î এবং স্কেলার উপাংশ -2;
y অক্ষ বরাবর ভেক্টর উপাংশ 3ĵ এবং স্কেলার উপাংশ 3 (Ans)

14. দুটি প্রদত্ত বিন্দু P ও Q -এর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে ৪î + 3ĵ এবং 2î – 5ĵ: P̄Q̅ ভেক্টরের মান ও দিক নির্ণয় করো।

Solution: P ও Q -এর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে ৪î + 3ĵ এবং 2î – 5ĵ
∴ P̄Q̅ = (2î – 5ĵ) – (8î + 3ĵ) = 2î – 5ĵ – 8î – 3ĵ = -6î – 8ĵ

P̄Q̅, x অক্ষের ধনাত্মক দিকের সঙ্গে α কোন উৎপন্ন করলে,
cosα = ^-6/₁₀ = – ³/₅    বা, α = cos^-1(- ³/₅)
Ans: P̄Q ভেক্টরের মান 10 ও দিক cos^-1(- ³/₅)

15. A ও B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 4î – 3 ĵ এবং -2î + 5 ĵ ;
    (i) ĀB̅ রেখাংশের মধ্যবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর এবং
   (ii) ĀB̅ রেখাংশ যে দুটি বিন্দুতে সমত্রিখণ্ডিত হয় তাদের অবস্থান ভেক্টর নির্ণয় করো।

Solution:
(i) A ও B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 4î – 3ĵ এবং -2î + 5ĵ ;
∴ ĀB রেখাংশের মধ্যবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর
= ^{(4î – 3ĵ – 2î + 5ĵ)}/₂
= ^{(2î + 2ĵ)}/₂ = î + 2ĵ
ANS: ĀB রেখাংশের মধ্যবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর î + 2ĵ

(ii)
^A__________^C__________^D__________ ^B
ধরি, ĀB̄ রেখাংশ C বিন্দুতে 1:2 অনুপাতে এবং D বিন্দুতে 2:1 অনুপাতে সমত্রিখণ্ডিত হয়।
A ও B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 4î – 3ĵ এবং -2î + 5ĵ;
∴ C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর
= ^{1.(-2î + 5ĵ) + 2(4î – 3ĵ)}/_{1 + 2}
= ^{-2î + 5ĵ + 8î – 6ĵ}/₃
=^{6î – ĵ}/₃ = 2î – ¹/₃ ĵ
B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর
= ^{2.(-2î + 5ĵ) + 1(4î – 3ĵ)}/_{1 + 2}
= ^{-4î + 10ĵ + 4î – 3ĵ}/₃
=^7ĵ/₃ = ⁷/₃ ĵ
Ans: যে বিন্দু দুটি AB রেখাংশকে সমত্রিখণ্ডিত করে তাদের অবস্থান ভেক্টর  2î – ¹/₃ ĵ এবং ⁷/₃ ĵ;

16. যে ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু তিনটি A(-1, -3), B(5, 7) এবং C(2, 5) তার মধ্যমা তিনটির ছেদবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর নির্ণয় করো।

Solution: ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু তিনটির অবস্থান ভেক্টর A(-î – 3ĵ), B(5î + 7ĵ) এবং C(2î + 5ĵ)
∴ মধ্যমা তিনটির ছেদবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর
= ^{-î – 3ĵ + 5î + 7ĵ + 2î + 5ĵ}/₃
= ^{6î + 9ĵ}/₃ = 2î + 3ĵ
ANS: মধ্যমা তিনটির ছেদবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর 2î + 3ĵ

17(i). pî – 5ĵ এবং 2î – 3ĵ ভেক্টর দুটি সমরেখ হলে p এর মান নির্ণয় করো।

Solution:  pî – 5ĵ এবং 2î – 3ĵ ভেক্টর দুটি সমরেখ
∴ pî – 5ĵ = m(2î – 3ĵ) – – – [m ≠ 0]
⇒ pî – 5ĵ = 2mî – 3mĵ
∴ -5 = -3m
⇒ m = ⁵/₃ 
এবং p = 2m
বা, p = 2×⁵/₃ = ¹⁰/₃
ANS: p = ¹⁰/₃

17(ii). যদি ᾱ = 2î + 3ĵ – 6k̂ এবং β̄ = pî – ĵ + 3k̂ ভেক্টর দুটি সমান্তরাল হয়, তবে p এর মান নির্ণয় করো।

Solution: ᾱ ও β̄ ভেক্টর দুটি পরস্পর সমান্তরাল।
∴ ᾱ = mβ̄ – – – – [m ≠ 0]
বা, 2î + 3ĵ – 6k̂ = m(pî – ĵ + 3k̂)
বা, 2î + 3ĵ – 6k̂ = mpî – mĵ + 3mk̂  
∴ 3 = -m
বা, m = -3
এবং 2 = mp
বা, 2 = -3.p
বা, p = –²/₃
Ans: p এর মান –²/₃

17(iii). ABC ত্রিভুজে AB ও BC বাহু যথাক্রমে 2î – ĵ + 2k̂ ও î + 3ĵ + 5k̂ ভেক্টর দ্বারা সূচিত হলে CA বাহু যে ভেক্টর দ্বারা সুচিত হবে তা নির্ণয় করো।

Solution: ভেক্টর যোগের সূত্রের সাহায্যে পাই,
   AB̄ + BC̄ + CĀ = 0
∴ CĀ = – (AB̄ + BC̄)
= – (2î – ĵ + 2k̂ + î + 3ĵ + 5k̂)
= – 3î – 2 ĵ – 7k̂
ANS: CA বাহু যে ভেক্টর দ্বারা সুচিত হবে তা হল – 3î – 2 ĵ – 7k̂

18. A ও B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 3î – ĵ + 7k̂ এবং 4î – 3ĵ – k̂ হলে AB ভেক্টরের মান ও তার দিক্‌ (direction) কোসাইনগুলি নির্ণয় করো।

Solution:
A ও B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 3î – ĵ + 7k̂ এবং 4î – 3ĵ – k̂
∴ ĀB̄ = (4î – 3ĵ – k̂) – (3î – ĵ + 7k̂)
= 4î – 3ĵ – k̂ – 3î + ĵ – 7k̂
= î – 2ĵ – 8k̂
  |ĀB̄|

Ans:  AB ভেক্টরের মান  √69 ও তার দিক্‌ কোসাইনগুলি হল- ¹/_√69, ^-2/_√69, ^-8/_√69

19.  ā = î + 2ĵ – k̂ এবং b̄ = 3î + ĵ – 5k̂ হলে (ā – b̄) ভেক্টরের সমান্তরাল দিকে একটি একক ভেক্টর নির্ণয় করো।

Solution:
ā = î + 2ĵ – k̂ এবং  b̄ = 3î + ĵ – 5k̂
∴ ā – b̄ = î + 2ĵ – k̂ – (3î + ĵ – 5k̂)
= î + 2ĵ – k̂ – 3î – ĵ + 5k̂
= -2î + ĵ + 4k̂
∴ |ā – b̄|

ā – b̄ ভেক্টরের সমান্তরাল দিকে একক ভেক্টর হল
= ^{ā – b̄}/_{|ā – b̄|}
= ¹/_√21(-2î + ĵ + 4k̂) (Ans)

20. মনে করো, ā = 4î + 3ĵ – k̂, b̄ = 5î + 2ĵ + 2k̂, c̄ = 2î – 2ĵ – 3k̂ এবং d̄ = 4î – 4ĵ + 3k̂; দেখাও যে, b̄ – ā এবং d̄ – c̄ ভেক্টর দুটি সমান্তরাল; তাদের মানের (modulus)-এর অনুপাত নির্ণয় করো।

Solution:  ā = 4î + 3ĵ – k̂,    b̄ = 5î + 2ĵ + 2k̂,    c̄ = 2î – 2ĵ – 3k̂  এবং d̄ = 4î – 4ĵ + 3k̂;
∴ b̄ – ā = 5î + 2ĵ + 2k̂ – (4î + 3ĵ – k̂)
= 5î + 2ĵ + 2k̂ – 4î – 3ĵ + k̂
= î – ĵ + 3k̂
d̄ – c̄ = 4î – 4ĵ + 3k̂ – (2î – 2ĵ – 3k̂)
= 4î – 4ĵ + 3k̂ – 2î + 2ĵ + 3k̂
= 2î – 2ĵ + 6k̂
=2(î – ĵ + 3k̂)
= 2(b̄ – ā)
∵ d̄ – c̄ = 2(b̄ – ā)
b̄ – ā এবং d̄ – c̄ ভেক্টর দুটি সমান্তরাল। (Proved)
∵ 2(b̄ – ā) = d̄ – c̄
⇒ ^{|b̄ – ā|}/_{|d̄ – c̄|} = ¹/₂
⇒ |b̄ – ā| ∶ |d̄ – c̄| = 1 ∶ 2
ভেক্টর দুটির মানের অনুপাত = 1 : 2 (Ans)

21(i). 2î – ĵ + k̂, î – 3ĵ – 5k̂ এবং  -2î +3ĵ – 4k̂ ভেক্টর তিনটি একটি সমকোণী ত্রিভুজের তিনটি বাহু।

Solution: ধরি, ā = 2î – ĵ + k̂; b̄ = î – 3ĵ – 5k̂ এবং c̄ = -2î + 3ĵ – 4k̂

∴ |ā|² + |c̄|²
= (√6)² + (√29)²
= 35 = (√35)² = |b̄|²
ভেক্টর তিনটি একটি সমকোণী ত্রিভুজের তিনটি বাহু। (Proved)

21(ii). A. B. C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 3î – 4ĵ – 4k̂, 2î – ĵ + k̂ এবং î – 3ĵ – 5k̂; দেখাও যে, বিন্দু তিনটির সংযোগে একটি সমকোণী ত্রিভূজ উৎপন্ন হয়।

Solution: A. B. C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 3î – 4ĵ – 4k̂, 2î – ĵ + k̂ এবং î – 3ĵ – 5k̂;
∴ ĀB̄ = (2î – ĵ + k̂) – (3î – 4ĵ – 4k̂)
= 2î – ĵ + k̂ – 3î + 4ĵ + 4k̂
= -î + 3ĵ + 5k̂
B̄C̄ = (î – 3ĵ – 5k̂) – (2î – ĵ + k̂)
= î – 3ĵ – 5k̂ – 2î + ĵ – k̂
= -î – 2ĵ – 6k̂
C̄Ā = (3î – 4ĵ – 4k̂) – (î – 3ĵ – 5k̂)
= 3î – 4ĵ – 4k̂ – î + 3ĵ + 5k̂
= 2î – ĵ + k̂

∴ |ĀB̄|² + |C̄Ā|²
= 35 + 6
= 41 = ( √41)² = |B̄C̄|²
বিন্দু তিনটির সংযোগে একটি সমকোণী ত্রিভূজ উৎপন্ন হয়। (Proved)

22. ā = î + ĵ – 4k̂, b̄ = 4î – ĵ – 2k̂ হলে,
    (i) (2ā – b̄) ভেক্টরের অভিমুখে একটি একক ভেক্টর এবং
    (ii) (2ā – b̄) ভেক্টরের স্থানাঙ্ক অক্ষগুলি বরাবর ভেক্টর ও স্কেলার উপাংশসমূহ নির্ণয় করো।

(i) Solution: ā = î + ĵ – 4k̂ এবং b̄ = 4î – ĵ – 2k̂
∴ 2ā – b̄ = 2(î + ĵ – 4k̂) – (4î – ĵ – 2k̂)
= 2î + 2ĵ – 8k̂ – 4î + ĵ + 2k̂
= -2î + 3ĵ – 6k̂
∴ |2ā – b̄|

2ā – b̄ ভেক্টরের অভিমুখে একটি একক ভেক্টর
=  ^{2ā – b̄}/_{|2ā – b̄|}
= ¹/₇ (-2î + 3ĵ – 6k̂) (Ans)

(ii) Solution: (2ā – b̄) = -2î + 3ĵ – 6k̂ ভেক্টরের,
  x-অক্ষ বরাবর ভেক্টর উপাংশ – 2î এবং স্কেলার উপাংশ – 2 (Ans)
  y-অক্ষ বরাবর ভেক্টর উপাংশ  3ĵ  এবং স্কেলার উপাংশ 3 (Ans)
  z-অক্ষ বরাবর ভেক্টর উপাংশ – 6k̂ এবং স্কেলার উপাংশ – 6 (Ans)

23. pî – 5ĵ + 6k̂ এবং 2î – 3ĵ – qk̂ ভেক্টর দুটি সমরেখ হলে p ও q -এর মান নির্ণয় করো।

Solution: ∵ বিন্দু তিনটি সমরেখ।         
 ∴ pî – 5ĵ + 6k̂ = λ (2î – 3ĵ – qk̂) – – – – [λ ≠ 0]
বা, pî – 5ĵ + 6k̂ = 2λî – 3λĵ – qλk̂
 ∴ -5 = -3λ
বা, λ = ⁵/₃
আবার, p = 2λ
বা, p = 2.⁵/₃ = ¹⁰/₃
এবং 6 = -qλ
বা, 6 = -q.⁵/₃
বা, q = –¹⁸/₅
Ans: p = ¹⁰/₃, q = –¹⁸/₅

24. A ও B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 4î – 3ĵ + 5k̂ এবং -2î + 3ĵ + 2k̂ হলে,
(i) ĀB̄ রেখাংশের মধ্যবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর নির্ণয় করো;
(ii) যে বিন্দু দুটি AB রেখাংশকে সমত্রিখণ্ডিত করে তাদের অবস্থান ভেক্টর নির্ণয় করো।

Solution:
(i) A ও B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 4î – 3ĵ + 5k̂ এবং -2î + 3ĵ + 2k̂;
∴ ĀB̄ রেখাংশের মধ্যবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর
= ^{(4î – 3ĵ + + 5k̂ – 2î + 3ĵ + 2k̂)}/₂
= ^{(2î + 7k̂)}/₂ = î + ⁷/₂k̂
Ans: ĀB̄ রেখাংশের মধ্যবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর î + ⁷/₂k̂

(ii)           ^A__________^C__________^D__________ ^B
ধরি, ĀB̄ রেখাংশ C বিন্দুতে 1:2 অনুপাতে এবং D বিন্দুতে 2:1 অনুপাতে সমত্রিখণ্ডিত হয়।
A ও B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 4î – 3ĵ + 5k̂ এবং -2î + 3ĵ + 2k̂;
∴ C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর
= ^{1.(-2î + 3ĵ + 2k̂) + 2(4î – 3ĵ + 5k̂)}/_{1 + 2}
=^{-2i ̂ + 3ĵ + 2k ̂ + 8i ̂ – 6ĵ + 10k̂}/₃
=^{6i ̂ – 3ĵ + 12k̂}/₃
= 2i ̂ – ĵ +4k̂
B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর
= ^{2.(-2î + 3ĵ + 2k̂) + 1(4î – 3ĵ + 5k̂)}/_{1 + 2}
=^{-4i ̂ + 6ĵ + 4k ̂ + 4i ̂ – 3ĵ + 5k̂}/₃
= ^{3ĵ + 9k̂}/₃
= ĵ +3k̂
Ans: যে বিন্দু দুটি AB রেখাংশকে সমত্রিখণ্ডিত করে তাদের অবস্থান ভেক্টর 2î – ĵ + 4k̂ এবং ĵ + 3k̂;

25. দেখাও যে, î + ĵ + k̂ ভেক্টরটি স্থানাঙ্ক অক্ষ তিনটির ধনাত্মক দিকের সঙ্গে একই কোণ করে।

Solution: î + ĵ + k̂ ভেক্টরটির, X অক্ষ বরাবর স্কেলার উপাংশ 1, Y অক্ষ বরাবর স্কেলার উপাংশ 1 এবং Z অক্ষ বরাবর স্কেলার উপাংশ 1
∵ অক্ষ তিনটি বরাবর স্কেলার উপাংশ সমান।
∴ ভেক্টরটি স্থানাঙ্ক অক্ষ তিনটির ধনাত্মক দিকের সঙ্গে একই কোণ করে। (Proved)

Click here to visit our Facebook

বর্ণনামূলক প্রশ্নাবলি
প্রতিটি প্রশ্নের মান 3

1. ā, b̄, c̄ তিনটি প্রদত্ত ভেক্টর হলে, দেখাও যে, 7ā – c̄, ā + 2b̄ + 3c̄ এবং -2ā + 3b̄ + 5c̄ অবস্থান ভেক্টরবিশিষ্ট বিন্দু তিনটি একরেখীয়।

Solution: ধরি, A, B ও C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 7ā – c̄, ā + 2b̄ + 3c̄ এবং -2ā + 3b̄ + 5c̄
 ĀB̄ = (ā + 2b̄ + 3c̄) – (7ā – c̄)
=ā + 2b̄ + 3c̄ – 7ā + c̄
= -6ā + 2b̄ + 4c̄
=2(-3ā + b̄ + 2c̄)
 B̄C̄ = (-2ā + 3b̄ + 5c̄) – (ā + 2b̄ + 3c̄)
= -2ā + 3b̄ + 5c̄ – ā – 2b̄ – 3c̄
= -3ā + b̄ + 2c̄
∵ ĀB̄ = 2B̄C̄ এবং B বিন্দু ĀB̄ ও B̄C̄ -এর সাধারন বিন্দু।        A, B ও C বিন্দু তিনটি সমরেখ।
∴ 7ā – c̄, ā + 2b̄ + 3c̄ এবং -2ā + 3b̄ + 5c̄ অবস্থান ভেক্টরবিশিষ্ট বিন্দু তিনটি সমরেখ। (প্রমানিত)

2. A, B ও C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে -2î + 2ĵ + 2k̂, 2î + 3ĵ + 3k̂ এবং -î – 2ĵ + 3k̂ হলে দেখাও যে ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।

Solution: A, B ও C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে -2î + 2ĵ + 2k̂, 2î + 3ĵ + 3k̂ এবং -î – 2ĵ + 3k̂
∴ ĀB̄ = (2î + 3ĵ + 3k̂) – (-2î + 2ĵ + 2k̂)
= 2î + 3ĵ + 3k̂ + 2î – 2ĵ – 2k̂
= 4î + ĵ + k̂
B̄C̄ = (-î – 2ĵ + 3k̂) – (2î + 3ĵ + 3k̂)
= -î – 2ĵ + 3k̂ – 2î – 3ĵ – 3k̂
= -3î – 5ĵ
C̄Ā = (-2î + 2ĵ + 2k̂) – (-î – 2ĵ + 3k̂)
= -2î + 2ĵ + 2k̂ + î + 2ĵ – 3k̂
= -î + 4ĵ – k̂

∴ |ĀB̄| = |C̄Ā| ≠ |B̄C̄|
∴ ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। (Proved)

3(i) A, B, C বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (2, 6, 3), (1, 2, 7) এবং (3, 10, -1) হলে ভেক্টর পদ্ধতির প্রয়োগে প্রমাণ করো যে, বিন্দু তিনটি সমরেখ।

Solution: ŌX̄, ŌȲ ও ŌZ̄ অভিমুখে একক ভেক্টরগুলি যথাক্রমে î, ĵ ও k̂ হলে,
 A, B ও C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 2î + 6ĵ + 3k̂, î + 2ĵ + 7k̂ এবং 3î + 10ĵ – k̂
∴ ĀB̄ = (î + 2ĵ + 7k̂) – (2î + 6ĵ + 3k̂)
= î + 2ĵ + 7k̂ – 2î – 6ĵ – 3k̂
= -î – 4ĵ + 4k̂
B̄C̄ = (3î + 10ĵ – k̂) – (î + 2ĵ + 7k̂)
= 3î + 10ĵ – k̂ – î – 2ĵ – 7k̂
=2î + 8ĵ – 8k̂
= -2(î – 4ĵ + 4k̂) = -2ĀB̄
∵ B̄C̄ = 2ĀB̄ এবং B বিন্দু ĀB̄ ও B̄C̄ -এর সাধারন বিন্দু অর্থাৎ A, B ও C বিন্দু তিনটি সমরেখ।
∴ (2, 6, 3), (1, 2, 7) এবং (3, 10, -1) বিন্দু তিনটি সমরেখ। (প্রমানিত)

3(ii). দেখাও যে, তিনটি বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর
 (a) -2î + 3ĵ + 5k̂, î + 2ĵ + 3k̂ এবং 7î – k̂
  (b) î – 2ĵ + 3k̂, 2î + 3ĵ – 4k̂ এবং -7î + 4k̂ হলে উভয়ক্ষেত্রে বিন্দু তিনটি সমরেখ।

(a) Solution: ধরি, A, B ও C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে -2î + 3ĵ + 5k̂, î + 2ĵ + 3k̂ এবং 7î – k̂
∴ ĀB̄ = (î + 2ĵ + 3k̂) – (-2î + 3ĵ + 5k̂)
= î + 2ĵ + 3k̂ + 2î – 3ĵ – 5k̂
= 3î – ĵ – 2k̂
B̄C̄ = (7î – k̂) – (î + 2ĵ + 3k̂)
= 7î – k̂ – î – 2ĵ – 3k̂
= 6î – 2ĵ – 4k̂ = 2(î – ĵ – 2k̂) = 2ĀB̄
∵ B̄C̄ = 2ĀB̄ এবং B বিন্দু ĀB̄ ও B̄C̄ -এর সাধারন বিন্দু অর্থাৎ A, B ও C বিন্দু তিনটি সমরেখ।
∴ -2î + 3ĵ + 5k̂, î + 2ĵ + 3k̂ এবং 7î – k̂ বিন্দু তিনটি সমরেখ। (Proved)

(b) Solution: ধরি, A, B ও C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে î – 2ĵ + 3k̂, 2î + 3ĵ – 4k̂ এবং -7î + 4k̂;
∴ ĀB̄ = (2î + 3ĵ – 4k̂) – (î – 2ĵ + 3k̂)
= 2î + 3ĵ – 4k̂ – î + 2ĵ – 3k̂
= î + 5ĵ – 7k̂
B̄C̄ = (-7î + 4k̂) – (2î + 3ĵ – 4k̂)
= -7î + 4k̂ – 2î – 3ĵ + 4k̂
= -9î – 3ĵ + 8k̂
C̄Ā = (î – 2ĵ + 3k̂) – (-7î + 4k̂)
= î – 2ĵ + 3k̂ + 7î – 4k̂
= 8î – 2ĵ – k̂
 ĀB̄ + B̄C̄ = î + 5ĵ – 7k̂ -9î – 3ĵ + 8k̂
= -8î + 2ĵ + k̂
= -(8î – 2ĵ – k̂) = -C̄Ā
∴ ĀB̄ + B̄C̄ + C̄Ā = 0
∴ î – 2ĵ + 3k̂, 2î + 3ĵ – 4k̂ এবং -7î + 4k̂ বিন্দু তিনটি সমরেখ। (Proved)

4. তিনটি বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর  î + 3ĵ – 2k̂, 3î – 2ĵ + k̂ এবং -2î + ĵ + 3k̂; দেখাও যে বিন্দু তিনটির সংযোগে একটি সমবাহু ত্রিভুজ পাওয়া যায়।

Solution: ধরি, A, B ও C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে î + 3ĵ – 2k̂, 3î – 2ĵ + k̂ এবং -2î + ĵ + 3k̂ ;
∴ ĀB̄ = (3î – 2ĵ + k̂) – (î + 3ĵ – 2k̂)
= 3î – 2ĵ + k̂ – î – 3ĵ + 2k̂
= 2î – 5ĵ + 3k̂
B̄C̄ = (-2î + ĵ + 3k̂) – (3î – 2ĵ + k̂)
= -2î + ĵ + 3k̂ – 3î + 2ĵ – k̂
= -5î + 3ĵ + 2k̂
এবং C̄Ā = (î + 3ĵ – 2k̂) – (-2î + ĵ + 3k̂)
= î + 3ĵ – 2k̂ + 2î – ĵ – 3k̂
= 3î + 2ĵ – 5k̂

∴ |ĀB̄| = |B̄C̄| = |C̄Ā|
∴ বিন্দু তিনটির সংযোগে একটি সমবাহু ত্রিভুজ পাওয়া যায়। (Proved)

5. î + bĵ + ck̂, 7î + 2ĵ + 6k̂, 5î + 2ĵ + 5k̂ অবস্থান ভেক্টরবিশিষ্ট বিন্দু তিনটি সমরেখ হলে b ও c -এর মান নির্ণয় করো।

Solution: ধরি, A, B ও C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে î + bĵ + ck̂, 7î + 2ĵ + 6k̂ এবং 5î + 2ĵ + 5k̂ ;
∴ ĀB̄ = (7î + 2ĵ + 6k̂) – (î + bĵ + ck̂)
= 7î + 2ĵ + 6k̂ – î – bĵ – ck̂
= 6î + (2 – b)ĵ + (6 – c)k̂
এবং B̄C̄ = (5î + 2ĵ + 5k̂) – (7î + 2ĵ + 6k̂)
= 5î + 2ĵ + 5k̂ – 7î – 2ĵ – 6k̂
= -2î – k̂
∵ বিন্দু তিনটি সমরেখ।
∴ ĀB̄ = λB̄C̄ – – – – [λ ≠ 0]
∴ 6î + (2 – b)ĵ + (6 – c)k̂ = λ(-2î – k̂)
বা, 6î + (2 – b)ĵ + (6 – c)k̂ = -2λî – λk̂
∴ 6 = -2λ
বা, λ = -3
আবার, 2 – b = 0
বা, b = 2
এবং 6 – c = -λ = 3
বা, c = 3
Ans: b = 2 c = 3

6. ABCD সামান্তরিকের ĀB̄ = 2î – 4ĵ + 5k̂ এবং B̄C̄ = î – 2ĵ – 3k̂ হলে সামান্তরিকটির ĀC̄ কর্ণের সমান্তরাল দিকে একটি একক ভেক্টর নির্ণয় করো।

Solution:  ĀC̄ = ĀB̄ + B̄C̄
   = 2î – 4ĵ + 5k̂ + î – 2ĵ – 3k̂
   = 3î – 6ĵ + 2k̂

ĀC̄ কর্ণের সমান্তরাল দিকে একক ভেক্টর
= ^ĀC̄/_|ĀC̄|
= ¹/₇(3î – 6ĵ + 2) (Ans)

ভেক্টর বীজগণিত Class XII Vector Algebra S N Dey

7. A ও B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 2ā + b̄ এবং ā – 3b̄ যদি C বিন্দু AB রেখাংশকে 1:2 অনুপাতে বর্হিবিভক্ত করে তবে C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর নির্ণয় করো। আরও দেখাও যে, A বিন্দু CB রেখাংশের মধ্যবিন্দু।

Solution:  A বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর 2ā + b̄ এবং B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর ā – 3b̄
C বিন্দু AB রেখাংশকে 1:2 অনুপাতে বর্হিবিভক্ত করে
∴ C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর
= ^{2.(2ā + b̄) – 1(ā – 3b̄)}/_{2 – 1}
= 4ā + 2b̄ – ā + 3b̄ =3ā + 5b̄ (Ans)
CB রেখাংশের মধ্যবিন্দু
= ^{3ā + 5b̄ + ā – 3b̄}/_{1 + 1}
= ^{4ā + 2b̄}/₂ =2ā + b̄  = A বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর
∴ A বিন্দু CB রেখাংশের মধ্যবিন্দু।  (Proved)

8. ABC ত্রিভুজের B̄C̄, C̄Ā এবং AB̄ বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F হলে প্রমাণ করো যে, ĀD̄ + B̄Ē + C̄F̄ = 0
Solution: 

ĀD̄ = ĀB̄ + B̄D̄ – – – – (i)
B̄Ē = B̄C̄ + C̄Ē – – – – (ii)
C̄F̄ = C̄Ā + ĀF̄ – – – – (iii)
(i)+ (ii)+ (iii) করে পাই,
   ĀD̄ +B̄Ē + C̄F̄
= ĀB̄ + B̄D̄ + B̄C̄ + C̄Ē + C̄Ā + ĀF̄
= ĀB̄ + ^B̄C̄/₂ + B̄C̄ + ^C̄Ā/₂ + C̄Ā + ^ĀB̄/₂
=^{2ĀB̄ + B̄C̄ + 2B̄C̄ + C̄Ā + 2C̄Ā + ĀB̄}/₂
= ^{3ĀB̄ + 3B̄C̄ + 3C̄Ā}/₂
=^{3(ĀB̄ + B̄C̄ + C̄Ā)}/₂
= ^3.0/₂ = 0
∴ ĀD̄ +B̄Ē + C̄F̄ = 0 (Proved)

9. ĀŌ + ŌB̄ = B̄Ō + ŌC̄ হলে দেখাও যে, A, B এব C বিন্দু তিনটি সমরেখ।

Solution:  ∵ ĀŌ + ŌB̄ = B̄Ō + ŌC̄
বা, -ŌĀ + ŌB̄ = -ŌB̄ + ŌC̄
বা, ŌB̄ – ŌĀ = ŌC̄ – ŌB̄
বা,ĀB̄ = B̄C̄
∵ ĀB̄ = B̄C̄
∴ ĀB̄ ও B̄C̄ সমান্তরাল।
আবার ĀB̄ ও B̄C̄ -এর সাধারন বিন্দু B;
∴ A, B এব C বিন্দু তিনটি সমরেখ। (Proved)

10. একটি সামান্তরিক PQRS-এ প্রমাণ করো যে, P̄R̅ – Q̄S̅ = 2P̄Q̄

 Solution:

ভেক্টরের যোগের ত্রিভুজ সূত্রানুসারে, ত্রিভুজ PQR থেকে পাই,
   P̄R̅ = P̅Q̅ + Q̄R̅
আবার ত্রিভুজ PQS থেকে পাই,
   Q̅S̅ = Q̅P̅ + P̄S̅ = Q̅P̅ – P̄S̅
∴ P̄R̅ – Q̅S̅
= P̅Q̅ + Q̄R̅ – Q̅P̅ – P̄S̅ = P̅Q̅ + Q̄R̅ + P̅Q̅ – Q̄R̅
যেহেতু PQRS একটি সামান্তরিক, তাই এর বিপরীত বাহু QR এবং PS-এর মান ও অভিমুখ একই।
∴ Q̄R̅ = P̄S̅
∴ P̄R̅ – Q̅S̅
= P̅Q̅ + Q̄R̅ + P̅Q̅ – Q̄R̅
= 2P̅Q̅
P̄R̅ – Q̅S̅ = 2P̅Q̅ (Proved)

11(i). ā = 2î + 4ĵ – 4k̂, b̄ = -5î + 4ĵ + 2k̂, c̄ = 3î – 3ĵ – 2k̂ হলে ā + b̄ + 2c̄ ভেক্টরের মান এবং ঐ ভেক্টরের অভিমুখে একটি একক ভেক্টর নির্ণয় করো।

Solution:  ā = 2î + 4ĵ – 4k̂;
b̄ = -5î + 4ĵ + 2k̂
এবং c̄ = 3î – 3ĵ – 2k̂
∴ ā + b̄ + 2c̄
= 2î + 4ĵ – 4k̂ -5î + 4ĵ + 2k̂ +6î – 6ĵ – 4k̂
= 3î + 2ĵ – 6k̂
|ā + b̄ + 2c̄|

ā + b̄ + 2c̄ -এর সমান্তরাল দিকে একটি একক ভেক্টর
= ^{ā + b̄ + 2c̄}/_{|ā + b̄ + 2c̄|}
= ¹/₇(3î + 2ĵ – 6k̂) (Ans)

11(ii). ā = î + ĵ + k̂, b̄ = 2î – ĵ + 3k এবং 2 = î – 2ĵ + k̂ হলে, (2ā – b̄ + 3c̄) ভেক্টরের সমান্তরাল একটি একক ভেক্টর নির্ণয় করো।

Solution:  ā = î + ĵ + k̂;
b̄ = 2î – ĵ + 3k
এবং  c̄ = î – 2ĵ + k̂
∴ 2ā – b̄ + 3c̄
= 2î + 2ĵ + 2k̂ – 2î + ĵ – 3k + 3î – 6ĵ + 3k̂
= 3î – 3ĵ + 2k̂
∴ |2ā – b̄ + 3c̄|

2ā – b̄ + 3c̄ -এর সমান্তরাল দিকে একটি একক ভেক্টর
= ^{2ā – b̄ + 3c̄}/_{|2ā – b̄ + 3c̄|}
= ¹/_√22 (3î – 3ĵ + 2k̂) (Ans)

12. ভেক্টর পদ্ধতি প্রয়োগ করে প্রমাণ করো যে, (7, 2, -3), (6, 1, 4), (−3, -4, −1) এবং (- 2, -3, -8 ) বিন্দু চারটি একটি সামান্তরিকের চারটি শীর্ষবিন্দু।

Solution: ধরি প্রদত্ত বিন্দু চারটি হল A(7, 2, -3), B(6, 1, 4), C(−3, -4, −1) এবং D(-2, -3, -8 )
এবং ŌX̄, ŌȲ ও ŌZ̄ অভিমুখে একক ভেক্টরগুলি যথাক্রমে î, ĵ ও k̂ হলে,
ŌĀ = 7î + 2ĵ – 3k̂;
ŌB̄ = 6î + ĵ + 4k̂;
ŌC̄ = -3î – 4ĵ −k̂;
ŌD̄ = -2î – 3ĵ – 8k̂
∴ ĀB̄ = 6î + ĵ + 4k̂ – (7î + 2ĵ – 3k̂)
= 6î + ĵ + 4k̂ – 7î – 2ĵ + 3k̂
= -î – ĵ + 7k̂
   D̄C̄ = −3î – 4ĵ −k̂ – (-2î – 3ĵ – 8k̂)
= −3î – 4ĵ −k̂ +2î + 3ĵ + 8k̂
= -î – ĵ + 7k̂
∴ ĀB̄ = D̄C̄   এবং |ĀB̄| = |D̄C̄|
∴ ĀB̄ ও D̄C̄ পরস্পর সমান এবং সমান্তরাল।
অতএব ABCD একটি সামান্তরিক।
∴ প্রদত্ত বিন্দু চারটি একটি সামান্তরিকের চারটি শীর্ষবিন্দু। (Proved)

13. ā = 2î + 4ĵ – 5k̂ এবং b̄ = î + 2ĵ + 3k̂ ভেক্টর দুটির সমষ্টির সমান্তরাল দিকে একটি একক ভেক্টর নির্ণয় করো; ভেক্টরের দিক (direction) কোসাইনগুলিও নির্ণয় করো।

Solution:
ā + b̄ = 2î + 4ĵ – 5k̂ + î + 2ĵ + 3k̂
= 3î + 6ĵ – 2k̂
|ā + b̄|

|ā + b̄| -এর সমান্তরাল দিকে একটি একক ভেক্টর
= ^{ā + b̄}/_{|ā + b̄|}
= ¹/₇(3î + 6ĵ – 2k̂) (Ans)
|3î + 6ĵ – 2k̂| এর দিক অনুপাত ³/₇, ⁶/₇, ^-2/₇ (Ans)

14. ā = 2î – 2ĵ + k̂, b̄ = 2î + 3ĵ + 6k̂ এবং C = -î + 2k̂ হলে ā – b̄ + 2c̄ ভেক্টরের মান ও দিক নির্ণয় করো।

Solution:  ā – b̄ + 2c̄
= 2î – 2ĵ + k̂ – (2î + 3ĵ + 6k̂) + 2(-î + 2k̂)
=2î – 2ĵ + k̂ – 2î – 3ĵ – 6k̂ – 2î + 4k̂
= -2î – 5ĵ – k̂

|-2î – 5ĵ – k̂| এর দিক অনুপাত  ^-2/_√30, ^-5/_√30, ^-1/_√30 (Ans)

15. ā ও b̄ ভেক্টর দুটি একরেখীয় নয়। x-এর মান নির্ণয় করো যাতে c̄ = (x – 7)ā + 2b̄ এবং d̄ = (2x + 1)ā – b̄ ভেক্টর দুটি একরেখীয় হয়।

Solution: c̄ ও d̄ ভেক্টর দুটি একরেখীয়।
∴ c̄ = md̄ – – – -[m ≠ 0]
বা, (x – 7)ā + 2b̄ = m{(2x + 1)ā – b̄}
বা, (x – 7)ā + 2b̄ = m(2x + 1)ā – mb̄
বা,(x – 7)ā – m(2x + 1)ā + mb̄ + 2b̄ = 0
বা, (x – 7 – 2mx – m)ā + (m + 2)b̄ = 0
∵ ā ও b̄ ভেক্টর দুটি একরেখীয় নয়।
∵ m + 2 = 0
বা, m = -2
আবার,   x – 7 – 2mx – m = 0
বা, x – 7 – 2.(-2)x + 2 = 0
বা, x – 7 + 4x + 2 = 0
বা,5x – 5 = 0
বা, 5x = 5
বা, x = 1
Ans: x-এর মান 1

16. 12î – 5ĵ, 10î + 3ĵ এবং xî + 11ĵ অবস্থান ভেক্টর বিশিষ্ট বিন্দু তিনটি সমরেখ হলে x -এর মান নির্ণয় করো।

Solution: ধরি, A, B এবং C -এর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 12î – 5ĵ, 10î + 3ĵ এবং xî + 11ĵ
∴ ĀB̄ = (10î + 3ĵ) – (12î – 5ĵ)
   = 10î + 3ĵ – 12î + 5ĵ   = -2î + 8ĵ
B̄C̄ = (xî + 11ĵ) – (10î + 3ĵ)
 = xî + 11ĵ – 10î – 3ĵ   = xî – 10î + 8ĵ 
  = (x – 10)î + 8ĵ
∵ বিন্দু তিনটি সমরেখ,
  ∴ ĀB̄ = mB̄C̄ – – – -[m ≠ 0]
বা, -2î + 8ĵ = m{(x – 10)î + 8ĵ}
বা, -2î + 8ĵ = m(x – 10)î + 8mĵ
∴ 8 = 8m
বা, m = 1
আবার,   -2 = m(x – 10)
বা, -2 = 1(x – 10)
বা, -2 = x – 10
বা,x = -2 + 10
বা, x = 8
Ans: x -এর মান 8

17. ā ও b̄ ভেক্টর দুটি একরেখীয় নয়।
যদি p = (x + 4y)ā + (2x + y + 1)b̄ এবং q = (- 2x + y + 2)ā + (2x – 3y – 1)b̄ ভেক্টর দুটির মধ্যে 3p = 2q সম্বন্ধ থাকে তবে x ও y এর মান নির্ণয় করো।

Solution: ∵ 3p = 2q
∴ 3{(x + 4y)ā + + (2x + y + 1)b̄} = 2{(- 2x + y + 2)ā + (2x – 3y – 1)b̄}
তুলনা করে পাই,
      3(x + 4y) = 2(- 2x + y + 2 )
বা, 3x + 12y = -4x + 2y + 4
বা, 3x + 4x + 12y – 2y = 4
বা,7x + 10y = 4 – – – – (i)
আবার,   3(2x + y + 1) = 2(2x – 3y – 1)
বা, 6x + 3y + 3 = 4x – 6y – 2
বা, 6x – 4x + 3y + 6y = -2 – 3
বা,2x + 9y = -5 – – – – (ii)
(i)×2 – 7×(ii) করে পাই,
      14x – 14x + 20y – 63 = 8 + 35
বা, -43y = 43
বা, y = -1
(i) নং থেকে পাই,
      7x + 10×-1 = 4
বা, 7x = 4 + 10
বা, 7x = 14
বা,x = 2
Ans: x = 2,   y = -1

18. দুটি একক ভেক্টরের সমষ্টি একটি একক ভেক্টর হলে প্রমাণ করো যে ভেক্টর দুটির অন্তরের মান √3 হবে।

Solution:  ধরি, ভেক্টর দুটি ā এবং b̄ 
∴ |ā| = 1;       |b̄| = 1;     |ā + b̄| = 1
 ∵ |ā – b̄|² + |ā + b̄|² = 2{|ā|² + |b̄|²}
বা, |ā – b̄|² = 2{|ā|² + |b̄|²} – |ā + b̄|²
বা, |ā – b̄|² = 2{(1)² + (1)²} – (1)²
বা,|ā – b̄|² = 2{1 + 1} – 1
বা, |ā – b̄|² = 2.2 – 1 = 3
∴ |ā – b̄| = √3 (Proved)

19. ABCDEF একটি সুষম ষড়ভুজ। C̄D̄ = ā, D̄Ē = b̄ হলে, ĀB̄, B̄C̄, B̄F̄, C̄Ā, ĀD̄ এবং B̄D̄-এর মান ā ও b̄-এর আকারে নির্ণয় করো

Solution:

C̄D̄ = ā এবং D̄Ē = b̄
∴ ĀB̄ = -D̄Ē = -,b̄ (Ans)
△CDE থেকে পাই,
    C̄D̄ + D̄Ē + ĒC̄ = 0
⇒ C̄Ē = C̄D̄ + D̄Ē = ā + b̄
∵ C̄Ē ∥ B̄F̄
∴ B̄F̄ = ā + b̄ (Ans)
∵ B̄Ē ∥ C̄D̄ এবং B̄Ē = 2.C̄D̄ 
∴ B̄Ē = 2ā
△BCE থেকে পাই,
       B̄C̄ + C̄Ē = B̄Ē
বা, B̄C̄ = B̄Ē – C̄Ē
বা, B̄C̄ = 2ā – (ā + b̄)
বা,B̄C̄ = 2ā – ā – b̄
বা, B̄C̄ = ā – b̄ (Ans)
∴ B̄C̄ = ā – b̄ (Ans)
△ABC থেকে পাই,
   ĀB̄ + B̄C̄ + C̄Ā = 0
বা, -b̄ + (ā – b̄) + C̄Ā = 0
বা, -2b̄ + ā + C̄Ā = 0
বা,C̄Ā = 2b̄ – ā (Ans)

△ACD থেকে পাই,
      ĀC̄ + C̄D̄ = ĀD̄
বা, ĀD̄ = ĀC̄ + C̄D̄
বা, ĀD̄ = ā – 2b̄ + ā
বা,ĀD̄ = 2ā – 2b̄
বা, ĀD̄ = 2(ā – b̄) (Ans)
△BCD থেকে পাই,
      B̄D̄ = B̄C̄ + C̄D̄
বা, B̄D̄ = (ā – b̄) + ā
বা,B̄D̄ = ā – b̄ + ā
বা, B̄D̄ = 2ā – b̄ (Ans)

20. ABCD সামান্তরিকের ĀC̄ ও B̄D̄ হল কর্ণ। প্রমাণ করো  ĀC̄ + B̄D̄ = 2B̄C̄ এবং ĀC̄ – B̄D̄ = 2ĀB̄

Solution: 

ধরি, ABCD সামান্তরিকের A, B, C এবং D বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে ā, b̄, c̄ এবং d̄;
ABCD একটি সামান্তরিকের,
        ĀB̄ = D̄C̄
∴ b̄ – ā = c̄ – d̄
বা, b̄ – c̄ = ā – d̄ – – – (i)
এবং ĀD̄ = B̄C̄
∴ d̄ – ā = c̄ – b̄
বা, b̄ – ā = c̄ – d̄ – – – (ii)
ĀC̄ + B̄D̄
= c̄ – ā + d̄ – b̄
= c̄ – b̄ + d̄ – ā
=c̄ – b̄ – (ā – d̄)
= c̄ – b̄ – (b̄ – c̄) – – – [(i) নং থেকে পাই]
=c̄ – b̄ – b̄ + c̄
= 2(c̄ – b̄)  = 2B̄C̄ (Proved)
ĀC̄ – B̄D̄
= c̄ – ā – (d̄ – b̄)
= c̄ – ā – d̄ + b̄
=b̄ – ā + c̄ – d̄
= b̄ – ā + b̄ – ā – – – [(ii) নং থেকে পাই]
= 2(b̄ – ā)  = 2ĀB̄ (Proved)

21. ভেক্টর পদ্ধতির সাহায্যে প্রমাণ করো যে, চতুর্ভুজের বাহুগুলোর মধ্যবিন্দু পরপর যোগ করলে একটি সামান্তরিক উৎপন্ন হয়।

Solution:

ধরি, ABCD সামান্তরিকের A, B, C এবং D বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে ā, b̄, c̄ এবং d̄
AB, BC, CD এবং DA এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে E, F, G এবং H
E -এর অবস্থান ভেক্টর = ^{ā + b̄}/₂
F -এর অবস্থান ভেক্টর = ^{b̄+ c̄}/₂
G -এর অবস্থান ভেক্টর = ^{c̄ + d̄}/₂
H -এর অবস্থান ভেক্টর = ^{d̄ + ā}/₂
ĒF̄ = ^{b̄+ c̄}/₂ – ^{ā + b̄}/₂ = ^{b̄ + c̄ – ā – b̄}/₂ = ^{c̄ – ā}/₂
H̄Ḡ = ^{c̄ + d̄}/₂ – ^{d̄ + ā}/₂ = ^{c̄ + d̄ – d̄ – ā}/₂ = ^{c̄ – ā}/₂
∴ ĒF̄ এবং H̄Ḡ ভেক্টর দুটি পরস্পর সমান এবং সমান্তরাল।
∴ EFGH একটি সামান্তরিক।
চতুর্ভুজের বাহুগুলোর মধ্যবিন্দু পরপর যোগ করলে একটি সামান্তরিক উৎপন্ন হয়। (Proved)

ভেক্টর বীজগণিত Class XII Vector Algebra S N Dey

22. ভেক্টর পদ্ধতির প্রয়োগে প্রমাণ করো যে, সামান্তরিকের কর্ণ দুটি পরস্পর পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
Solution:ধরি, ABCD একটি সামান্তরিকের A, B, C এবং D বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে ā, b̄, c̄ এবং d̄;
P, B̄C̄ বাহুর মধ্যবিন্দু।
∴ P-এর অবস্থান ভেক্টর = ^{c̄ + b̄}/₂
ABCD একটি সামান্তরিকের,
   ĀB̄ = D̄C̄
∴ b̄ – ā = c̄ – d̄
⇒ b̄ + d̄ = c̄ + ā
⇒  ^{b̄ + d̄}/₂ = ^{c̄ + ā}/₂
∴ B̄D̄ কর্ণের মধ্যবিন্দু  = ĀC̄ কর্ণের মধ্যবিন্দু
সামান্তরিকের কর্ণ দুটি পরস্পর পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।  (Proved)

23. ABCD সামান্তরিকের BC বাহুর মধ্যবিন্দু P। ভেক্টর পদ্ধতির সাহায্যে প্রমাণ করো যে. AC এবং DP রেখাংশ ছেদবিন্দতে পরস্পর সমত্রিখণ্ডিত হয়।

Solution:

ধরি, A, B, C এবং D বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে ā, b̄, c̄ এবং d̄;
P, B̄C̄ বাহুর মধ্যবিন্দু।
∴ P-এর অবস্থান ভেক্টর = ^{c̄ + b̄}/₂
  ABCD একটি সামান্তরিক। 
∴ ĀD̄ = B̄C̄
∴ d̄ – ā = c̄ – b̄
বা, d̄ + b̄ = c̄ + ā
বা, d̄ + b̄ + c̄ = c̄ + c̄ + ā
∴ b̄ + c̄ + d̄ = ā + 2c̄ 
ধরি, E, D̄P̄ কে 2:1 অনুপাতে ভাগ করে।
∴ E বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর
= ^{2×(c̄ + b̄)/₂ + d̄}/_{2 + 1}
= ^{b̄ + c̄ + d̄}/₃
আবার ধরি, F, ĀC̄ কে 2:1 অনুপাতে ভাগ করে।
∴ F বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর
= ^{2.c̄ + ā}/_{2 + 1}
=^{ā + c̄ + c̄}/₃ – – – [b̄ + c̄ + d̄ = ā + 2c̄]
= ^{b̄ + c̄ + d̄}/₃
∴ E ও F একই বিন্দু।      
∴ AC এবং DP রেখাংশ ছেদবিন্দুতে পরস্পর সমখিণ্ডিত হয়। (Proved)

24. ABCD সামান্তরিকের ĀB̄ এবং D̄C̄ বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P এবং Q; ভেক্টর পদ্ধতির সাহায্যে দেখাও যে, D̄P̄ এবং B̄Q̄ রেখাংশ ĀC̄-কে সমান তিন ভাগে বিভক্ত করে এবং ĀC̄ দিয়ে তারা সমত্রিখণ্ডিত হয়।

Solution:

ধরি, A, B, C এবং D বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে ā, b̄, c̄ এবং d̄;
ĀB̄ এবং D̄C̄ বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P এবং Q
∴ P-এর অবস্থান ভেক্টর = ^{ā + b̄}/₂
এবং Q-এর অবস্থান ভেক্টর = ^{c̄ + d̄}/₂
ABCD একটি সামান্তরিক। 
∴ ^{ā + c̄}/₂ = ^{b̄ + d̄}/₂
⇒ ā + c̄ = b̄ + d̄
ধরি, E, D̄P̄ কে 2:1 অনুপাতে ভাগ করে।
∴ E বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর
= ^{2×(ā + b̄)/₂ + d̄}/_{2 + 1}
= ^{ā + b̄ + d̄}/₃
=^{ā + ā + c̄}/₃ – – – [ā + c̄ = b̄ + d̄]
= ^{2.ā + 1.c̄}/_{2 + 1}
∴ E, D̄P̄ কে 2:1 অনুপাতে ভাগ করে।
আবার ধরি, F, B̄Q̄ কে 2:1 অনুপাতে ভাগ করে।
∴ F বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর
= ^{2×(c̄ + d̄)/₂ + b̄}/_{2 + 1}
= ^{c̄ + d̄ + b̄}/₃
=^{ā + c̄ + c̄}/₃ – – – [ā + c̄ = b̄ + d̄]
= ^{2.c̄ + ā}/_{2 + 1}
∴ F, B̄Q̄ কে 2:1 অনুপাতে ভাগ করে।
∴ D̄P̄ এবং B̄Q̄ রেখাংশ ĀC̄-কে সমান তিন ভাগে বিভক্ত করে এবং ĀC̄ দিয়ে তারা সমত্রিখণ্ডিত হয়। (Proved)

25. ABCD সামান্তরিকের D̄C̄ বাহুর মধ্যবিন্দু P। ĀP̄ -র ওপর Q বিন্দু এমনভাবে নেওয়া হয় যাতে ĀQ̄ = ²/₃ĀP̄ হয়। ভেক্টর পদ্ধতির সাহায্যে দেখাও যে, Q বিন্দু B̄D̄ কর্ণের ওপর অবস্থিত এবং B̄Q̄ = ²/₃B̄D̄

Solution: ধরি, A, B, C এবং D বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে ā, b̄, c̄ এবং d̄;
P, D̄C̄ বাহুর মধ্যবিন্দু।
∴ P-এর অবস্থান ভেক্টর = ^{c̄ + d̄}/₂
∵ ĀQ̄ = ²/₃ĀP̄
∴ Q বিন্দু ĀP̄ কে 2:1 অনুপাতে বিভক্ত করে।
∴ Q বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর
= ^{2.c̄ + d̄/₂+ ā}/₂₊₁
= ^{c̄ + d̄ + ā}/₃  – – – (i)
ABCD সামান্তরিকের,
   ĀB̄ = D̄C̄
∴ b̄ – ā = c̄ – d̄
⇒ b̄ + d̄ = ā + c̄
 (i) থেকে পাই,
Q বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর
= ^{b̄ + d̄ + d̄}/₃
= ^{b̄ + 2d̄}/_{2 + 1}
∴ Q বিন্দু B̄D̄ কে 2:1 অনুপাতে ভাগ করে।
∴ Q বিন্দু B̄D̄ কর্ণের ওপর অবস্থিত এবং B̄Q̄ = ²/₃B̄D̄ (Proved)

26. ABC ত্রিভুজের B̄C̄, C̄Ā এবং ĀB̄ বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D. E ও F; যদি ত্রিভুজ সমতলে P যে-কোনো একটি বিন্দু হয়, তবে প্রমাণ করো যে, P̄Ā + P̄B̄ + P̄C̄ = P̄D̄ + P̄Ē + P̄F̄

Solution: ধরি, P বিন্দুর সাপেক্ষ A, B এবং C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে ā, b̄ এবং c̄
B̄C̄, C̄Ā এবং ĀB̄ বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D. E ও F;
∴ D. E ও F -এর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে ^{b̄ +c̄}/₂ , ^{ā + c̄}/₂ ও ^{ā + b̄}/₂
∴ P̄D̄ + P̄Ē + P̄F̄
= ^{b̄ +c̄}/₂ + ^{ā + c̄}/₂ + ^{ā + b̄}/₂
= ^{b̄ + c̄ + ā + c̄ + ā + b̄}/₂
=ā + b̄ + c̄
= P̄Ā + P̄B̄ + P̄C̄ (Proved)

27. ĀB̄ রেখাংশের মধ্যবিন্দু C এবং O যে-কোনো বিন্দু (AB-র ওপর অবস্থিত নয়) হলে প্রমাণ করো যে, ŌĀ + ŌB̄ = 2ŌC̄

Solution:

△OAC থেকে পাই,
      ŌĀ + ĀC̄ = ŌC̄
বা, ŌĀ = ŌC̄ – ĀC̄
আবার, △OCB থেকে পাই,
     ŌC̄ + C̄B̄ = ŌB̄
বা, ŌB̄ = ŌC̄ + C̄B̄
∴ ŌĀ + ŌB̄
= ŌC̄ – ĀC̄ + ŌC̄ + C̄B̄
= 2ŌC̄ – ĀC̄ + C̄B̄
⇒ 2ŌC̄ – ĀC̄ + ĀC̄ – – – – [ĀC̄ = C̄B̄]
= 2ŌC̄
∴ ŌĀ + ŌB̄ = 2ŌC̄ (Proved)

28. ABC ত্রিভুজের অভ্যন্তরে G একটি বিন্দু। যদি ḠĀ + ḠB̄ + ḠC̄ = 0̄ হয়, তবে প্রমাণ করো যে, G বিন্দু ABC ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র।

Solution: ধরি, মূলবিন্দু সাপেক্ষ A, B, C এবং G বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে ā, b̄, c̄ ও ḡ
∵ ḠĀ + ḠB̄ + ḠC̄ = 0̄ 
⇒ ā – ḡ + b̄ – ḡ + c̄ – ḡ = 0
⇒ – 3ḡ = -ā – b̄ – c̄
⇒3ḡ = ā + b̄ + c̄
⇒ ḡ = ^{(ā + b̄ + c̄)}/₃
∴ g হল △ABC -এর ভরকেন্দ্র। (Proved)

29. ABCD সামান্তরিকের কর্ণ দুটি E বিন্দুতে ছেদ করে। কোনো অনির্দিষ্ট মূলবিন্দু O সাপেক্ষে সামান্তরিকটির শীর্ষবিন্দু চারটির অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে ā, b̄, c̄ এবং d̄ হলে প্রমাণ করো যে, ā + b̄ + c̄ + d̄ = 4ŌĒ ।

Solution:

ABCD সামান্তরিকের কর্ণ দুটি E বিন্দুতে সমদ্বিখন্ডিত হয়।
E বিন্দু ĀC̄ কর্ণের মধ্যবিন্দু।
∴ অনির্দিষ্ট মূলবিন্দু O সাপেক্ষে,
E বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর ŌĒ = ^{ā + c̄}/₂ – – – – – (i)
আবার E বিন্দু B̄C̄ কর্ণের মধ্যবিন্দু।
E বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর ŌĒ = ^{b̄ + d̄}/₂ – – – – – (ii)
(i) ও (ii) যোগ করে পাই,            
       ŌĒ + ŌĒ = ^{ā + c̄}/₂ + ^{b̄ + d̄}/₂
বা, 2ŌĒ = ^{ā +b̄ + c̄ + d̄}/₂
∴ ā + b̄ + c̄ + d̄ = 4ŌĒ (Proved

30. ভেক্টর পদ্ধতির সাহায্যে প্রমাণ করো যে, কোনো ট্রাপিজিয়ামের তির্যক বাহু দুটির মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা তার সমান্তরাল বাহু দুটির সমান্তরাল এবং তাদের সমষ্টির অর্ধেকের সমান।

Solution:

ধরি, ABCD একটি ট্রাপিজিয়াম যার A, B, C ও D বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে  ā, b̄, c̄ ও d̄ এবং তির্যক বাহু AD ও BC -এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে E ও F;
∴ E বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর = ^{ā + d̄}/₂ 
এবং F বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর = ^{b̄ + c̄}/₂
আবার ĀB̄ ও D̄C̄ পরস্পর সমান্তরাল।
∴ ĒF̄, ĀB̄ ও D̄C̄ -এর সমান্তরাল। (Proved)
E ও F, AD ও BC -এর মধ্যবিন্দু ;
∴ |ĒF̄| = ½|ĀB̄ + D̄C̄| (Proved)