PROSTUTI

Sequence and Series SEMESTER-2 অনুক্রমSequence and Series SEMESTER-2 অনুক্রমSequence and Series SEMESTER-2 অনুক্রম

Straight Line SEMESTER-2 সরলরেখা

Written by

TEAM PROSTUTI

in

, ,

Sequence and Series SEMESTER-2 অনুক্রম

Sequence and Series SEMESTER-2
অনুক্রম
S. N. DEY CLASS XI MATHEMATICS SOLUTION

সংক্ষিপ্ত প্রশ্নাবলি

অনুক্রম
Sequence and Series SEMESTER-2

SEMESTER-2
সূচিপত্র

👉 UNIT-1       বীজগণিত

👉 UNIT-2       স্থানাঙ্ক জ্যামিতি (দ্বিমাত্রিক)

👉 UNIT-3       পরিসংখ্যানবিদ্যা ও সম্ভাবনা

  • 1. চিত্রের মাধ্যমে রাশিতথ্যের উপস্থাপনা
  • 2. কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপ
  • 3. বিস্তৃতির পরিমাপ
  • 4. সম্ভাবনা তত্ত্ব

1. নীচে সংজ্ঞাত অনুক্রমগুলির প্রত্যেকটির প্রথম 5টি পদ নির্ণয় করো।
(i) un = n/n + 1
(ii) un = (- 1)n.  n/3n + 1
(iii) un = 2n2 – 3n
প্রতিক্ষেত্রে পদগুলি দ্বারা গঠিত শ্রেণিগুলিও নির্ণয় করো।

(i) Ans:  un = n/n + 1
n = 1, 2, 3, 4, 5 বসিয়ে পাই,
u1 = 1/1 + 1 = 1/2
u2 = 2/2 + 1 = 2/3
u3 = 3/3 + 1 = 3/4
u4 = 4/4 + 1 = 4/5
u5= 5/5 + 1 = 5/6
প্রথম 5টি পদ হল 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6
পদগুলি দ্বারা গঠিত শ্রেণিটি হল –
1/2 + 2/3 + 3/4 + 4/5 + 5/6

(ii) Ans: un = (- 1)n.  n/3n + 1
u1 = (- 1)1.  1/3.1 + 1 = – 1/4
u2 = (- 1)2.  2/3.2 + 1 = 2/7
u3 = (- 1)3.  3/3.3 + 1 = – 3/10
u4 = (- 1)4.  4/3.4 + 1 = 4/13
u5= (- 1)5.  5/3.5 + 1 = – 5/16
প্রথম 5টি পদ হল –1/4, 2/7, – 3/10, 4/13, –5/16
পদগুলি দ্বারা গঠিত শ্রেণিটি হল –
–1/4 + 2/7 + (- 3/10) + 4/13 + (-5/16)

(iii) Ans: un = 2n2 – 3n
u1 = 2.12 – 3.1 = 2 – 3 = -1
u2 = 2.22 – 3.2 = 8 – 6 = 2
u3 = 2.32 – 3.3 = 18 – 9 = 9
u4 = 2.42 – 3.4 = 32 – 12 = 20
u5= 2.52 – 3.5 = 50 – 15 = 35
প্রথম 5টি পদ হল -1, 2, 9, 20, 35
পদগুলি দ্বারা গঠিত শ্রেণিটি হল –
-1 + 2 + 9 + 20 + 35

2. (1, 8, 27, 64, …) অনুক্রমের ষষ্ঠ এবং r-তম পদ নির্ণয় করো।

Ans: u1 = 1 = 13 u2 = 8 = 23
u3 = 27 = 33 u4 = 64 = 43
∴ ur = r3
অনুক্রমের ষষ্ঠ পদ = u6 = 63 = 216
অনুক্রমের r-তম পদ = ur = r3

3. (i) { 1/5, 1/7, 1/9, 1/11 , . . . } অনুক্রমের প্রথম n-সংখ্যক পদের শ্রেণি তৈরি করো।

Ans: u1 = 1/5 = 1/3 + 2.1
u2 = 1/7 = 1/3 + 2.2
u3 = 1/9 = 1/3 + 2.3
u4 = 1/11 = 1/3 + 2.4
————-
un = 1/3 + 2.n
∴ অনুক্রমের প্রথম n-সংখ্যক পদের শ্রেণি
= 1/5 + 1/7 + 1/9 + 1/11. . . .  + 1/3 + 2.n

(ii) {1/2, 1/3, 1/5, 1/8, 1/12 , . . . } অনুক্রমের 11-তম পদ নির্ণয় করো।

Ans: {1/2, 1/3, 1/5, 1/8, 1/12 , . . . } অনুক্রমের হরগুলি হল 2, 3, 5, 8, 12, . .
ধরি, 
Sn = 2 + 3 + 5 +8 + 12 +. . .  + n-তম পদ
Sn =     2 + 3 + 5 + 8 + 12 +. . .  + n-তম পদ
–   –  –   –   –   –   –   –  (বিয়োগ করে)
_____________________________________________
0 = 2 +[1 + 2 + 3 + 4 + . . .  + (n-1)-তম পদ] – n-তম পদ
⇒ n-তম পদ = 2 + [n(n – 1)/2]
⇒ tn = 2 + [n(n – 1)/2]
∴ tn = 2 + [11(11 – 1)/2]
= 2 + 11.10/2
= 2 + 55 = 57
∴ অনুক্রমের 11-তম পদ 57

\(4.\ \sum_{r=1}^{n}\frac{r^2+1}{2r^2-1}\) শ্রেণিটি বিস্তৃত আকারে লেখো।
Ans: প্রদত্ত\(\ \sum_{r=1}^{n}\frac{r^2+1}{2r^2-1}\)

∴ r এর স্থলে 1, 2, 3, 4, 5 বসিয়ে পাই, 
u1 = 12 + 1/2.12 – 1 =  1 + 1/2 – 1 = 2
u2 = 22 + 1/2.22 – 1 =  4 + 1/8 – 1 = 5/7
u3 = 32 + 1/2.32 – 1 =  9 + 1/18 – 1 = 10/17
u4 = 42 + 1/2.42 – 1 =  16 + 1/32 – 1 = 17/31
– – – – – – – – – –
un = n2 + 1/2.n2 – 1
শ্রেণিটি বিস্তৃত আকার হল-
2 + 5/7 + 10/17 + 17/31 + . . . . + n2 + 1/2.n2 – 1

5. un অনুক্রমের n-তম পদ un নিম্নলিখিতভাবে সংজ্ঞাত:
   un = {n/n+1, যখন n-এর মান বিজোড়
        {n/n+1, যখন n-এর মান জোড়
অনুক্রমটির 25-তম এবং 50-তম পদ দুটি নির্ণয় করো।

Ans: অনুক্রমটির 25-তম পদ
= u25 = 25/25 + 1 =  25/26
এবং 50-তম পদ
= u50 = 50 + 1/50 + 2 =  51/52
অনুক্রমটির 25-তম এবং 50-তম পদ দুটি হল যথাক্রমে 25/26 এবং 51/52

6. নিম্নে সংজ্ঞাত অনুক্রমের প্রথম 5 টি পদ নির্ণয় করো:
a1 = – 2 , a2 = 2 এবং an = n/n – 2 . an – 1 , n > 2

Ans: a1 = – 2 , a2 = 2 এবং an = n/n – 2 . an – 1 , n > 2
∴ n = 1, 2, 3 . . . . হলে,
a3 = 3/3 – 2 . a3 – 1
= 3/1 . a2 = 3.2 = 6
a4 = 4/4 – 2 . a4 – 1
= 4/2 . a3 = 4/2.6 = 12
a5 = 5/5 – 2 . a5 – 1
= 5/3 . a4 = 5/3.12 = 20
অনুক্রমের প্রথম 5টি পদ (-2), 2, 6, 12, 20

7. 3/2 + 1 + 7/10 + 9/17 + . . .  + 2r+1/r2 +1 শ্রেণিটি সিগমা প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করো।

\(Ans:\ S_r=\frac{3}{2}+1+\frac{7}{10}+\frac{9}{17}+…+\frac{2.r+1}{r^2+1}\\= \frac{2.1+1}{1^2+1}+\frac{2.2+1}{2^2+1}+\frac{2.3+1}{3^2+1}+\frac{2.4+1}{4^2+1}+…+\frac{2.r+1}{r^2+1}\\= \sum_{i=1}^{r}\frac{2.r+1}{r^2+1} \)

8. u1 = 4 এবং un =3un – 1 +2, n ≥ 2 দ্বারা সংজ্ঞাত অনুক্রমের প্রথম 5টি পদ নির্ণয় করো।
পদগুলির দ্বারা গঠিত অনুক্রমের 5 টি পদ সমন্বিত শ্রেণিটিও নির্ণয় করো।

Ans: u1 = 4 এবং un =3un – 1 +2, n ≥ 2
∴ n = 1, 2, 3 . . . . হলে,
u2 =3u2 – 1 +2
= 3u1 +2 = 3.4 +2 = 14
u3 =3u3 – 1 +2
= 3u2 +2 = 3.14 +2 = 44
u4 =3u4 – 1 +2 = 3u3 +2
= 3.44 +2 = 132 + 2 = 134
u5 =3u5 – 1 +2 = 3u4 +2
= 3.134 +2 = 402 + 2 = 404
অনুক্রমের প্রথম 5টি পদ 4, 14, 44, 134, 404
5 টি পদ সমন্বিত অনুক্রমের শ্রেণিটি হলো-
4 + 14 + 44 + 134 + 404

\(9.\ \sum_{i=1}^{n}\frac{2i+1}{i^2+1}\) শ্রেণিটি বিস্তৃত আকারে প্রকাশ করো।।
\(Ans.\ \sum_{i=1}^{n}\frac{2i+1}{i^2+1}\\=\frac{2.1+1}{1^2+1}+\frac{2.2+1}{2^2+1}+\frac{2.3+1}{3^2+1}+. . . +\frac{2.n+1}{n^2+1}\\=\frac{3}{2}+1+\frac{7}{10}+. . . +\frac{2n+1}{n^2+1}\)

আমাদের YOUTUBE CHANNEL “COMPTECH” দেখার জন্য এখানে ক্লিক করো। 

10. Sn = u1 + u2 + . . .  + un = n2 + 2n হলে un অনুক্রমের প্রথম 4 টি পদ নির্ণয় করো।

Ans: Sn = u1 + u2 + . . .  + un = n2 + 2n
∵ tn = Sn – Sn – 1
= n2 + 2n – [(n – 1)2 + 2(n – 1)]
= n2 + 2n – (n2 – 2n + 1 + 2n – 2)
== n2 + 2n – n2 + 2n – 1 – 2n + 2
= 2n + 1
∴ t1 = 2.1 + 1 = 3
t2 = 2.2 + 1 = 5
t3 = 2.3 + 1 = 7
t4 = 2.4 + 1 = 9
∴ অনুক্রমের প্রথম 4 টি পদ 3, 5, 7, 9

11. ur অনুক্রমের r-তম পদ হয়, ur = (- 1)r – 1 . 33 – r ; অনুক্রমটির প্রথম 5 টি পদ নির্ণয় করো; পদগুলির দ্বারা গঠিত শ্রেণিটিও নির্ণয় করো।

Ans:  ur = (- 1)r – 1 . 33 – r ;
r = 1, 2, 3, 4 বসিয়ে পাই ,
u1 = (- 1)1 – 1 . 33 – 1 = (- 1)0 . 32 = 9
u2 = (- 1)2 – 1 . 33 – 2 = (- 1)1 . 31 = -3
u3 = (- 1)3 – 1 . 33 – 3 = (- 1)2 . 30 = 1
u4 = (- 1)4 – 1 . 33 – 4 = (- 1)3 . 3-1 = –1/3
u5 = (- 1)5 – 1 . 33 – 5 = (- 1)4 . 3-2 = 1/9
অনুক্রমটির প্রথম 5 টি পদ 9, -3, 1, –1/3, 1/9
পদগুলির দ্বারা গঠিত শ্রেণিটি হলো-
9 + (-3) + 1 + (-1/3) + 1/9

12. একটি শ্রেণির প্রথম r-সংখ্যক পদের সমষ্টি হয় a . r2 + br শ্রেণিটির প্রথম পদ এবং 12-তম পদ নির্ণয় করো।

Ans: Sr = a . r2 + br
∵ tr = Sr – Sr – 1
= a . r2 + br – [a . (r – 1)2 + b(r – 1)]
= a . r2 + br – (ar2 – 2ar + a + br – b)
== ar2 + br – ar2 + 2ar – a – br + b
= 2ar – a + b
∴প্রথম পদ
t1 = 2a.1 – a + b = a + b
এবং 12-তম পদ
t12 = 2a.12 – a + b
= 24a – a + b
= 23a + b
প্রথম পদ এবং 12-তম পদ যথাক্রমে a + b এবং 23a + b

13. ur অনুক্রমের ক্ষেত্রে, যদি u1 = 2 এবং ur + 1 = ur + r + 2 হয়, [সব স্বাভাবিক সংখ্যা r-এর জন্য], তবে অনুক্রমটির দশম পদ নির্ণয় করো।

Ans: u1 = 2 এবং ur + 1 = ur + r + 2
∴ u2 = u1 + 1 + 2 = 2 + 3 = 5
u3 = u2 + 2 + 2 = 5 + 4 = 9
u4 = u3 + 3 + 2 = 9 + 5 = 14
অনুরূপে,
u5 = u4 + 6 = 14 + 6 = 20
u6 = u5 + 7 = 20 + 7 = 27
u7 = u6 + 8 = 27 + 8 = 35
u8 = u7+ 9 = 35 + 9 = 44
u9 = u8+ 10 = 44 + 10 = 54
u10 = u9 + 11 = 54 + 11 = 65
∴ অনুক্রমটির দশম পদ 65

14. un অনুক্রমের ক্ষেত্রে, u1 = 1/4 এবং un + 1 = un/2 + un হলে 1/u50-এর মান নির্ণয় করো।

\(Ans:\ u_1 = \frac{1}{4};\quad u_{n + 1} = \frac{u_n}{2+u_n}\\⇒\ \frac{1}{u_{n + 1}} = \frac{2+u_n}{u_n}\\⇒\frac{2}{u_n}+1\)

 n = 1, 2, 3 . . . . হলে,

\(\frac{1}{u_2}=\frac{2}{u_1}+1=\frac{2^1}{u_1}+(2^1-1)\\ \frac{1}{u_3}=\frac{2}{u_2}+1=2\left( \frac{2}{u_1}+1 \right)+1\\\quad =\frac{4}{u_1}+3=\frac{2^2}{u_1}+(2^2-1)\\\frac{1}{u_4}=\frac{2}{u_3}+1=2\left( \frac{2^2}{u_1}+3 \right)+1\\\quad =\frac{2^3}{u_1}+7=\frac{2^3}{u_1}+(2^3-1)\\∴ \frac{1}{u_{50}}\\=\frac{2^{49}}{u^1}+(2^{49}-1)\\=\frac{2^{49}}{\frac{1}{4}}+(2^{49}-1)\\=2^{49}.2^2+2^{49}-1\\=2^{49}(4+1)-1\\=5.2^{49}-1\)
সমান্তর প্রগতি

Comments

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

More posts

error: Content is protected !!
Verified by MonsterInsights