SOLUTION OF RANDOM VARIABLE AND ITS DISTRIBUTION সমসম্ভব চলক ও তার বিভাজন

SOLUTION OF RANDOM VARIABLE AND ITS DISTRIBUTION সমসম্ভব চলক ও তার বিভাজন

S N DEY MATHEMATICS SOLUTION
CLASS XII
SEMESTER – III
UNIT 4          CHAPTER 2
SOLUTION OF RANDOM VARIABLE AND ITS DISTRIBUTION
সমসম্ভব চলক ও তার বিভাজন

বহুবিকল্পভিত্তিক প্রশ্নাবলি (MCQ)                                                  প্রতিটি প্রশ্নের মান 1
Conventional Type

1. একটি যদৃচ্ছ চলকের সম্ভাবনা অপেক্ষক সর্বদা-
Ⓐ ≥ 1 হবে        Ⓑ >  1 হবে
Ⓒ ধনাত্মক হবে
Ⓓ ঋণাত্মক হবে না

Ans:  Ⓓ ঋণাত্মক হবে না

2. E(10x) -এর মান হবে-
Ⓐ 10 + E(x)       Ⓑ 10E(x)
Ⓒ E(x)                 Ⓓ E(x) – 10

Solution: E(10x) = 10E(x) . . . [∵ E(ax) = aE(x)]
Ans:  Ⓑ 10E(x) 

3. Var (4x)-এর মান হবে-
Ⓐ 16Var(x)      Ⓑ 4Var(x)
Ⓒ 2Var(x)        Ⓓ Var(x) + 4

Solution: Var (4x) = 16Var (x) . . . [∵ Var (ax) = a²Var (x)]
Ans:  Ⓐ 16Var(x)

4. Var (x) =
Ⓐ E(x²) – E(x)
Ⓑ E(x²) – {E(x)}²
Ⓒ E(x²) + E(x)
Ⓓ {E(x)}² – E(x²)

Ans:  Ⓑ E(x²) – {E(x)} ²

5. যদি X যদৃচ্ছ চলকের সম্ভাবনা বিভাজন f(x) হয় এবং X চলক কেবল দুটি মান x₁ ও x₂ গ্রহণ করতে পারে, তবে f(x₁) + f(x₂) –
Ⓐ ≥ 1 হবে       Ⓑ ≤ 1 হবে
Ⓒ ≥ 0 হবে      Ⓓ 1 হবে

Ans:  Ⓓ 1 হবে

6. Var(ax + b) =
Ⓐ aVar(x) + b
Ⓑ a²Var(x) + b
Ⓒ a²Var(x)
Ⓓ এদের কোনোটিই নয়

Ans:  Ⓒ a²Var(x)

7. নিম্নে প্রদত্ত বিভাজনগুলির মধ্যে কোনটি X যদৃচ্ছ চলকের সম্ভাবনা বিভাজনকে প্রকাশ করে?  

Ⓐ	X	-2	-1	0	1	2
	p(X)	0.14	0.24	0.32	0.28	0.12

Ⓑ	X	1	3	5	7	9
	p(X)	0.25	0.36	-0.26	0.38	0.27

Ⓒ	X	-3	-2	-1	0	1
	p(X)	0.12	0.16	0.24	0.32	0.16

Ⓓ	X	1	2	3	4	5
	p(X)	-2	0.25	0.25	0.25	0.25

Solution: Ⓐ ∑p(x) = 0.14 + 0.24 + 0.32 + 0.28 + 0.12 = 1.10 ≠ 1
Ⓑ f(5) = -0.26 < 0
Ⓒ ∑p(x) = 0.12 + 0.16 + 0.24 + 0.32 + 0.16 = 1.00 = 1
Ans:  Ⓒ

8. মনে করো, দুইটি ঝোঁকশূন্য পাশা গড়িয়ে দেওয়ার যদৃচ্ছ পরীক্ষায় অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি X দ্বারা সূচিত হয়। X যদৃচ্ছ চলকের সম্ভাবনা বিভাজন ছক- 

x	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
f(x)	a	2a	3a	4a	5a	6a	5a	4a	3a	2a	a

     a =
Ⓐ 1             Ⓑ 0
Ⓒ ¹/₃₆       Ⓓ ¹/₁₈

Solution: ∵ ∑p(x) = 1
∴ a + 2a + 3a + 4a + 5a + 6a + 5a + 4a + 3a + 2a + a  = 1
⇒36a = 1
⇒ a = ¹/₃₆
Ans:  Ⓒ ¹/₃₆

9. মনে করো, একটি ঝোঁকশূন্য মুদ্রা উৎক্ষেপণের যদৃচ্ছ পরীক্ষায় প্রথম হেড্ পড়ার পূর্বে যতগুলি টেল্ পড়ে তার সংখ্যা X দ্বারা সূচিত হয়। X যদৃচ্ছ চলকের সম্ভাবনা বিভাজন হল-
Ⓐ f(x) = (¹/₂)^{x + 1}, x = 0, 1, 2 , . . 
Ⓑ f(x) = (¹/₂)^{x + 1}, x = 0, 1, 2
Ⓒ f(x) = (¹/₂)^x, x = 0, 1, 2 , . . 
Ⓓ f(x) = (¹/₂)^x, x = 0, 1, 2

Solution: ঝোঁকশূন্য মুদ্রা উৎক্ষেপণের যদৃচ্ছ পরীক্ষায় হেড্ ও টেল্ পড়ার ঘটনা যথাক্রমে H ও T হলে,
P(H) = P(T) = ¹/₂
∴ চলকের সম্ভাবনা বিভাজন হল

X	0	1	2	3	. . .
f(X)	H 1/2	TH (1/2)2	TTH (1/2)3	TTTH (1/2)4	1/2530

∴ f(X) = (¹/₂)^{X + 1}, X = 0, 1, 2 , . .
Ans:  Ⓐ f(x) = (¹/₂)^{x + 1}, x = 0, 1, 2 , . .

10. অসাবধান বশতঃ 20 টি ভালো বাল্বের সঙ্গে 5 টি খারাপ বাল্ব মিশে যায়। কোনো একটি বাল্ব দেখেই ঠিক করা যায় না সেটি ভালো না খারাপ। মিশ্রিত বাল্বগুলি থেকে 4 টি বাল্ব তোলা হলে খারাপ বাল্বের সংখ্যার সম্ভাবনা বিভাজন হল-  

Ⓐ	x	0	1	2	3	4
	p(x)	969/2530	114/253	38/253	4/253	1/2530

Ⓑ	x	0	1	2	3	4
	p(x)	969/2530	114/2530	38/2530	4/2530	1/2530

Ⓒ	x	1	2	3	4	5
	p(x)	969/2530	114/2530	38/2530	4/2530	1/2530

Ⓓ	x	1	2	3	4	5
	p(x)	969/2530	114/253	38/253	4/253	1/2530

 Solution: X = খারাপ বাল্বের সংখ্যা
X = 0 হলে
P(X=0) = ^20C4×5C0/_25C4 = ^{20×19×18×17}/_{25×24×23×22}
     = ^19×3×17/_5×23×22 = ⁹⁶⁹/₂₅₃₀
X = 1 হলে
P(X=1) = ^20C3×5C1/_25C4 = ^{20×19×18×5}/₆ײ⁴/_{25×24×23×22}
     = ^20×19×3×5/₁×¹/_25×23×22 = ^2×19×3/_23×11 = ¹¹⁴/₂₅₃
X = 2 হলে
P(X=2) = ^20C2×5C2/_25C4 = ^20×19×5×4/_2×2ײ⁴/_{25×24×23×22}
     = ^20×19×5/₁×¹/_25×23×22 = ^2×19/_23×11 = ³⁸/₂₅₃
X = 3 হলে
P(X=3) = ^20C1×5C3/_25C4 = ^20×5×4×3/₆ײ⁴/_{25×24×23×22}
     = ^20×5×2/₁×¹/_25×23×22 = ⁴/_23×11 = ⁴/₂₅₃
X = 4 হলে
P(X=4) = ^20C0×5C4/_25C4 = ^1×5/₁ײ⁴/_{25×24×23×22}
     = ¹/_5×23×22 = ¹/₂₅₃₀
∴ খারাপ বাল্বের সংখ্যার সম্ভাবনা বিভাজন হল- 
Ans:  

Ⓐ	x	0	1	2	3	4
	p(x)	969/2530	114/253	38/253	4/253	1/2530

11. 52 টি তাসের একটি প্যাকেট থেকে যথেচ্ছভাবে 2 টি তাস তোলা হয়। “রাজার সংখ্যার” মধ্যক, ভেদমান ও সমক পার্থক্য যথাক্রমে-
Ⓐ ²/₁₃, ⁴⁰⁰/₂₈₇₃, 0.37
Ⓑ ⁴⁰⁰/₂₈₇₃, ²/₁₃, 0.37
Ⓒ²/₁₃, 0.37, ⁴⁰⁰/₂₈₇₃
Ⓓ ²/₁₃, ²/₁₃, ²/₁₃

Solution: X = রাজার সংখ্যা
X = 0 হলে
P(X=0) = ^48C2×4C0/_52C2 = ^48×47×1/_52×51 = ^4×47/_13×17 = ¹⁸⁸/₂₂₁
X = 1 হলে
P(X=1) = ^48C1×4C1/_52C2 = ^48×4×2/_52×51 = ^4×8/_13×17 = ³²/₂₂₁
X = 2 হলে
P(X=2) = ^48C0×4C2/_52C2 = ^1×4×3/_52×51 = ¹/_13×17 = ¹/₂₂₁
∴ মধ্যক: E(X) = ∑x_i.p(x_i)
= 0×¹⁸⁸/₂₂₁ + 1׳²/₂₂₁ + 2×¹/₂₂₁
=¹/₂₂₁×(32 + 2)
= ³⁴/₂₂₁ = ²/₁₃
   ভেদমান:
     Var (x)
= E(x²) – [E(x)] ²
= (0×¹⁸⁸/₂₂₁ + 1׳²/₂₂₁ + 4×¹/₂₂₁) – (²/₁₃)²
=¹/₂₂₁×(32 + 4) – ⁴/₁₆₉
= ³⁶/₂₂₁ – ⁴/₁₆₉
= ^{468 – 68}/_169×17 = ⁴⁰⁰/₂₈₇₃

Ans:  Ⓐ ²/₁₃, ⁴⁰⁰/₂₈₇₃, 0.37

12. K-এর মান কত হলে f(x) = Kx (x = 1, 2, 3, . . . , n) দ্বারা x যদৃচ্ছ চলকের সম্ভাবনা বিভাজন প্রকাশিত হবে?
Ⓐ ¹/_n         Ⓑ ²/_{(n + 1)}
Ⓒ ²/_n         Ⓓ ²/_{n(n + 1)}

Solution: x যদৃচ্ছ চলকের সম্ভাবনা বিভাজন হল-  

x	1	2	3	. . .	n
p(x)	k	2k	3k		nk

∵ ∑p(x) = 1
∴ k + 2k + 3k + . . . + nk = 1
⇒ k(1 + 2 + 3 + . . . + n) = 1
⇒k.^{n(n + 1)}/₂ = 1
⇒ k = ²/_{n(n + 1)}
Ans:  Ⓓ ²/_{n(n + 1)}

13. একটি যদৃচ্ছ চলক X-এর সম্ভাবনা বিভাজন নিম্নরূপ:

x	0	1	2	3	4
p(x)	0.20	0.25	0.35	0.14	0.06

     y = x² + 5 হলে Y চলকের সম্ভাবনা বিভাজন হল-

Ⓐ	y	5	6	9	14	21
	p(y)	0.20	0.25	0.35	0.14	0.06

Ⓑ	y	5	6	9	14	21
	p(y)	0.04	0.0625	0.1225	0.0196	0.0036

Ⓒ	y	5	6	9	14	21
	p(y)	5.04	5.0625	5.1225	5.0196	5.0036

Ⓓ	y	5	6	9	14	21
	p(y)	0.06	0.14	0.25	0.25	0.20

Solution: ∵ y = x² + 5
∴ x = 0 হলে y = 0² + 5 = 5;
x = 1 হলে y = 1² + 5 = 6;
x = 2 হলে y = 2² + 5 = 9;
x = 3 হলে y = 3² + 5 = 14;
x = 4 হলে y = 4² + 5 = 21;

∴ y চলকের সম্ভাবনা বিভাজন হল 

y	5	6	9	14	21
p(y)	0.20	0.25	0.35	0.14	0.06

Ans:  Ⓐ

14. 10 টি ঝোঁকশূন্য মুদ্রা একসঙ্গে টস্ করা হলে X সংখ্যক মুদ্রায় হেড্ পড়ে। X-এর সম্ভাবনা বিভাজন হল-
Ⓐ f(X) = ¹⁰C_X(¹/₂)^X; X = 0, 1, 2, . . . , 10
Ⓑ f(X) = ¹⁰C_X(¹/₂)¹⁰; X = 0, 1, 2, . . . , 10
Ⓒ f(X)= ¹⁰P_X(¹/₂)^X; X = 0, 1, 2, . . . , 10
Ⓓ f(X)= ¹⁰P_X(¹/₂)¹⁰; X = 0, 1, 2, . . . , 10

Solution: ∵ f(x) = ¹⁰C_x(¹/₂)^x (¹/₂)^{10 – x}
∴ f(X) = ¹⁰C_X(¹/₂)¹⁰;   X = 0, 1, 2, . . . , 10
Ans:  Ⓑ f(X) = ¹⁰C_X(¹/₂)¹⁰; X = 0, 1, 2, . . . , 10

15. একটি ঝোঁকশূন্য পাশা একবার গড়িয়ে দেওয়া হলে একজন ব্যক্তি প্রাপ্ত যুগ্ম সংখ্যার সমপরিমাণ অর্থ লাভ করে এবং প্রাপ্ত অযুগ্ম সংখ্যার সমপরিমাণ অর্থ হারায়। গেম্ পিছু পরিণামে সে কত অর্থ প্রত্যাশা করতে পারে?
Ⓐ 0         Ⓑ ¹/₃
Ⓒ ¹/₂      Ⓓ 3

Solution: X = গেমে প্রাপ্ত অর্থের পরিমাণ

X	-1	2	-3	4	-5	6
P(X)	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

∴ E(X) = (-1)×¹/₆ + 2×¹/₆ + (-3)×¹/₆ + 4×¹/₆ + (-5)×¹/₆ + 6×¹/₆
= ¹/₆×(-1 + 2 – 3 + 4 – 5 + 6)
= 3×¹/₆ = ¹/₂
Ans:  Ⓒ ¹/₂

16. A ও B একটি গেম খেলে যাতে তারা একজনের পর আর একজন 4 টি ঝোঁকশূন্য মুদ্রা একসঙ্গে নিক্ষেপ করে। যখন A নিক্ষেপ করে তখন সে h টাকা পায় যেখানে h দ্বারা প্রাপ্ত হেড্ সংখ্যা প্রকাশিত হয়। B তার নিক্ষেপে 4 টিই হেড্ অথবা 4 টিই টেল্ ফেললে k টাকা পায় অন্যথায় কোনো কিছু পায় না। গেমটি পক্ষপাতহীন হতে হলে k=
Ⓐ 16       Ⓑ ¹/₂
Ⓒ 2         Ⓓ 0

Solution: A-এর নিক্ষেপের ক্ষেত্রে,
P(h=0) = ⁴C₀×(¹/₂)⁴ = ¹/₁₆;
P(h=1) = ⁴C₁×(¹/₂)⁴ = ⁴/₁₆;
P(h=2) = ⁴C₂×(¹/₂)⁴ = ⁶/₁₆;
P(h=3) = ⁴C₃×(¹/₂)⁴ = ⁴/₁₆;
P(h=4) = ⁴C₄×(¹/₂)⁴ = ¹/₁₆;
∴ E(h) = 0×¹/₁₆ + 1×⁴/₁₆ + 2×⁶/₁₆ + 3×⁴/₁₆ + 4×¹/₁₆
= ¹/₁₆(4 + 12 + 12 + 4)
= 32×¹/₁₆ = 2
B-এর নিক্ষেপের ক্ষেত্রে,
  k. ¹/₁₆ + k. ¹/₁₆ = ^2k/₁₆
গেমটি পক্ষপাতহীন হলে
     ^2k/₁₆ = 2
বা, k = 16 হবে।
Ans:  Ⓐ 16

17. 99 টাকার একটি প্রাইজের জন্য A ও B খেলে। একটি পাশায় যে খেলোয়াড় প্রথমে 3 ফেলে সেই প্রাইজ জয়লাভ করে। প্রথমে A পাশা নিক্ষেপ করে এবং যদি সে ‘3’ ফেলতে না পারে তবে B পাশা নিক্ষেপ করে এবং যদি B ‘3’ ফেলতে না পারে তবে এ আবার পাশা নিক্ষেপ করে এবং এইভাবে খেলা চলতে থাকে। তাদের প্রত্যেকের প্রত্যাশা যথাক্রমে-
Ⓐ 45 টাকা, 54 টাকা
Ⓑ 99 টাকা, 99 টাকা
Ⓒ 99 টাকা, 6 টাকা
Ⓓ 54 টাকা, 45 টাকা

Solution: A ও B-এর 3 ফেলার ঘটনা যথাক্রমে A ও B হলে,
      P(A) = P(B) = ¹/₆
∴ P(A^C) = P(B^C) = 1 – ¹/₆ = ⁵/₆
A-এর জয়লাভের সম্ভাবনা
= P(A + A^CB^CA + A^CB^CA^CB^CA + . . . )
= P(A) + P(A^C)P(B^C)P(A) + P(A^C)P(B^C)P(A^C) P(B^C)P(A) + . . .
= ¹/₆ + ⁵/₆×⁵/₆×¹/₆ + ⁵/₆×⁵/₆×⁵/₆×⁵/₆×¹/₆ + . . .
= ¹/₆[1 + (⁵/₆)² + (⁵/₆)⁴ + . . . ]

B-এর জয়লাভের সম্ভাবনা
= 1 – ⁶/₁₁ = ⁵/₁₁
∴ A –এর প্রত্যাশা = ⁶/₁₁×99 = 54 টাকা
∴ B –এর প্রত্যাশা = ⁵/₁₁×99 = 45 টাকা
Ans:  Ⓓ 54 টাকা, 45 টাকা

18.  

x	0	1	2	3
p(x)	1/6	1/2	3/10	1/30

   প্রদত্ত সম্ভাবনা বিভাজনের মধ্যক, ভেদমান ও সমক পার্থক্য যথাক্রমে-
Ⓐ 1.2, 0.56, 0.75
Ⓑ 0.56, 1.2, 0.75
Ⓒ 0.75, 0.56, 1.2
Ⓓ 0.56, 0.75, 1.2

Solution: মধ্যক: E(x) = ∑x_i.p(x_i)
= 0×¹/₆ + 1×¹/₂ + 2׳/₁₀ + 3×¹/₃₀
=¹/₂ + ³/₅ + ¹/₁₀
= ^{5 + 6 + 1}/₁₀
= ¹²/₁₀ = 1.2
ভেদমান: Var (x)
= E(x²) – [E(x)] ²
= (0×¹/₆ + 1×¹/₂ + 4׳/₁₀ + 9×¹/₃₀) – (1.2)²
=(¹/₂ + 4׳/₁₀ + 9×¹/₃₀) – (1.2)²
=(¹/₂ + ⁶/₅ + ³/₁₀) – 1.44
= ^{5 + 12 + 3}/₁₀ – 1.44
= 2 – 1.44 = 0.56

Ans:  Ⓐ 1.2, 0.56, 0.75

19. একটি যদৃচ্ছ চলক X-এর সম্ভাবনা বিভাজন নিম্নরূপ:

x	1	2	3	4	5	6
p(x)	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

     যদি y = 2x + 3 হয়, তবে Y যদৃচ্ছ চলকের মধ্যক, ভেদমান ও সমক পার্থক্য যথাক্রমে-
Ⓐ 11.67, 10, 3.4
Ⓑ 10, 3.4, 11.67
Ⓒ 10, 11.67, 3.4
Ⓓ 3.4, 10, 11.67

Solution: E(x) = ∑x_i.p(x_i)
= 1×¹/₆ + 2×¹/₆ + 3×¹/₆ + . . . + 4×¹/₆
=(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)×¹/₆
=  21×¹/₆ = ⁷/₂
    Var (x)
= E(x²) – [E(x)] ²
= (1² + 2² + 3² + 4² + 5² + 6²)×¹/₆ – (⁷/₂)²
=⁹¹/₆ – ⁴⁹/₄
= ^{182 – 147}/₁₂
= ³⁵/₁₂
   মধ্যক:
      E(y)
= E(2x + 3)
=2E(x) + E(3)
= 2×⁷/₂ + 3
= 7 + 3 = 10
   ভেদমান:
     Var (y)
= Var (2x + 3)
=4Var(x)
= 4׳⁵/₁₂
= ³⁵/₃ = 11.67

Ans:  Ⓒ 10, 11.67, 3.4

20. মনে করো, দুটি স্বাধীন যদৃচ্ছ চলক x ও y-এর ভেদমান যথাক্রমে k এবং 2 । যদি z = (3y – x) -এর ভেদমান 25 হয়, তবে k =
Ⓐ 4         Ⓑ 5
Ⓒ 6         Ⓓ 7

Solution: Var (x) = k;               Var (y) = 2;
             z = (3y – x)
     Var (z) = 25
⇒ Var (3y – x) = 25
⇒3² Var (y) + (-1) ² Var (x) = 25   . . . [∵ Var (ax + by) = a² Var (x) + b² Var (y)]
⇒9 Var (y) + Var (x) = 25
⇒ 9×2 + k = 25
⇒ k = 7
Ans:  Ⓓ 7

21. একটি যদৃচ্ছ চলক X-এর ক্ষেত্রে দেওয়া আছে, মধ্যক = 10, Var (X) = 25, Y = (aX – b) -এর মধ্যক 0 ও ভেদমান 1 হলে, বিকল্পগুলির মধ্যে কোনটি সঠিক?
Ⓐ a = 2, b = ¹/₅
Ⓑ a = ¹/₅, b = 2
Ⓒ a = ¹/₂, b = 5
Ⓓ a = 5, b = ¹/₂

Solution: E(X) = 10;        Var (X) = 25;       Y = (aX – b)
∵ E(Y) = 0
∴ E(aX – b) = 0
⇒ E(aX) – E(b) = 0
⇒aE(X) – b = 0
⇒ 10a – b = 0  .  .  . (i)
   Var (Y) = 1
∴ Var (aX – b) = 1
⇒ a² Var (X) = 1
⇒25a² = 1
⇒ a² = ¹/₂₅
∴ a = ¹/₅
(i) নং থেকে পাই,
    10×¹/₅ – b = 0
⇒ b = 2
Ans:  Ⓑ a = ¹/₅, b = 2

22. 1, 2, 3, …, 150 সংখ্যা সেট থেকে যথেচ্ছভাবে একটি সংখ্যা নেওয়া হয় এবং 1, 2, 3, . . . , 75 সংখ্যা সেট থেকে অপর একটি সংখ্যা যথেচ্ছভাবে নেওয়া হয়। প্রাপ্ত সংখ্যা দুটির গুণফলের প্রত্যাশিত মান হল-
Ⓐ 2896         Ⓑ 2869
Ⓒ 8269         Ⓓ 8296

Solution: 1, 2, 3, …, 150 সংখ্যা সেট থেকে যথেচ্ছভাবে একটি সংখ্যা নেওয়া এবং 1, 2, 3, . . . , 75 সংখ্যা সেট থেকে অপর একটি সংখ্যা যথেচ্ছভাবে নেওয়ার ঘটনা যথাক্রমে A ও B হলে,
P(A) =¹/₁₅₀    এবং P(B) =¹/₇₅
∴ E(X) = (1 + 2 + 3 + .  .  . + 150)×¹/₁₅₀
= ^{150(1 + 150)}/₂× ¹/₁₅₀
= ^{150 × 151}/₂× ¹/₁₅₀ = ¹⁵¹/₂
    E(Y) = (1 + 2 + 3 + .  .  . + 75)×¹/₇₅
= ^{75(1 + 75)}/₂× ¹/₇₅
= ^{75 × 76}/₂× ¹/₇₅ = ⁷⁶/₂ = 38
∴ E(X)×E(Y)
= ¹⁵¹/₂×38
= 151×19 = 2869
  Ans:  Ⓑ 2869

23. একটি যদৃচ্ছ চলক X-এর সম্ভাবনা বিভাজন নিম্নরূপ:

x	-2	-1	0	1	2	3
p(x)	0.1	k	0.2	2k	0.3	3K

তবে P(X ≥ 2) -এর মান-
Ⓐ 0.2        Ⓑ 0.5
Ⓒ 0.1         Ⓓ 0.4

Solution: ∵ ∑p(x) = 1
∴ 0.1 + k + 0.2 + 2k + 0.3 + 3k = 1
⇒ 6k = 1 – 0.6
⇒6k = 0.4
⇒ k = ²/₃₀
∴ P(X ≥ 2)
= 0.3 + 3k
=0.3 + 3ײ/₃₀
= 0.3 + 0.2 = 0.5
Ans:  Ⓑ  0.5

Analytical/Skill Based Type
Fill in the Blanks _________

1. কোনো একটি নির্দিষ্ট ব্যাবসায় একজন লোকের 300 টাকা মুনাফা করার সম্ভাবনা 0.6 এবং 100 টাকা ক্ষতি হওয়ার সম্ভাবনা 0.4; তার প্রত্যাশা হল ____________
Ⓐ 400 টাকা          Ⓑ 200 টাকা
Ⓒ 220 টাকা          Ⓓ 140 টাকা

Solution: লোকটির প্রত্যাশা
=[300×0.6 + (-100)×0.4]
= (180 – 40) = 140 টাকা
Ans:  Ⓓ 140 টাকা

2. দুটি ঝোঁকশূন্য পাশা যথেচ্ছভাবে একসঙ্গে নিক্ষিপ্ত হয়। পাশাদ্বয়ে প্রাপ্ত সংখ্যাদ্বয়ের সমষ্টির মধ্যকের মান ____________
Ⓐ ⁴⁹/₁₂       Ⓑ ⁷/₆
Ⓒ 7                Ⓓ 6

Solution: X = পাশাদ্বয়ে প্রাপ্ত সংখ্যাদ্বয়ের সমষ্টি
 পাশাদ্বয়ে প্রাপ্ত সংখ্যাদ্বয়ের সমষ্টির সম্ভাবনা বিভাজন নিম্নরূপ:

X	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
p(X)	1/36	2/36	3/36	4/36	5/36	6/36	5/36	4/36	3/36	2/36	1/36

∴  মধ্যক E(X) = 2×¹/₃₆ + 3ײ/₃₆ + 4׳/₃₆ + . . . + 12×¹/₃₆
                      = ¹/₃₆×(2×1 + 3×2 + 4×3 + 5× 4 + 6×5 + 7×6 + 8×5 + 9×4 + 10×3 + 11×2 + 12×1)
                      = ¹/₃₆×(2 + 6 + 12 + 20 + 30 + 42 + 40 + 36 + 30 + 22 + 12) = ¹/₃₆×252 = 7
Ans:  Ⓒ 7

3. একটি বাক্সে 4 টি সাদা ও 6টি লাল বল আছে। বাক্স থেকে যথেচ্ছভাবে 2 টি বল তোলা হলে লাল বলের সংখ্যার মধ্যক ____________        Ⓐ ⁶/₅          Ⓑ ⁵/₆          Ⓒ ¹/₆          Ⓓ 1

Solution: X = লাল বলের সংখ্যা
X = 0 হলে,
∴ P(X=0) = ^6C0×4C2/_10C2 = ^1×6/₄₅ = ⁶/₄₅
X = 1 হলে,
P(X=1) = ^6C1×4C1/_10C2 = ^6×4/₄₅ = ²⁴/₄₅
X = 2 হলে,
P(X=2) = ^6C2×4C0/_10C2 = ^15×1/₄₅ = ¹⁵/₄₅
∴ লাল বলের মধ্যক E(X)
= 0×⁶/₄₅ + 1ײ⁴/₄₅ + 2×¹⁵/₄₅
=¹/₄₅×(0 + 24 + 30)
= ⁵⁴/₄₅ = ⁶/₅
Ans:  Ⓐ ⁶/₅

4. একটি ছক্কার একবার নিক্ষেপ থেকে মধ্যক ____________ হবে যখন n মানের স্কোর n² টাকা প্রাইজ মূল্য দ্বারা পুরস্কৃত হয়।
Ⓐ 17.15 টাকা          Ⓑ 15.17 টাকা
Ⓒ 15 টাকা          Ⓓ 17 টাকা

Solution: X = প্রাইজ মূল্য
প্রতিটি স্কোরের বর্গ 1², 2², 3², 4², 5², 6² =1, 4, 9, 16, 25, 36
এবং প্রতিটি সংখ্যা পড়ার সম্ভাবনা ¹/₆
∴ মধ্যক E(X)
= 1×¹/₆ + 4×¹/₆ + 9×¹/₆ + 16×¹/₆ + 25×¹/₆ + 36×¹/₆
=(1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36)×¹/₆
= ⁹¹/₆ ≈ 15.17
Ans:  Ⓑ 15.17 টাকা

SEMESTER-3
সূচিপত্র

👉 UNIT-1   সম্বন্ধ ও অপেক্ষক   

• 1. সম্বন্ধ
• 2. অপেক্ষক
  • 2A অপেক্ষক
  • 2B অপেক্ষকের (বা চিত্রণের) সংযোজন
  • 2C বিপরীত অপেক্ষক
• 3. বিপরীত ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকসমূহ

👉 UNIT-2       বীজগণিত

• 1. ম্যাট্রিক্সের প্রকারভেদ ও ম্যাট্রিক্স বীজগণিত
  • ম্যাট্রিক্স PART 1
  • ম্যাট্রিক্স PART 2
• 2. নির্ণায়ক
  • মাইনর ও সহ-উৎপাদক
• 3. একটি ম্যাট্রিক্সের অ্যাডজয়েন্ট ও বিপরীত ম্যাট্রিক্স এবং সরল সহসমীকরণের সমাধান

👉 UNIT-3       কলনবিদ্যা

• 1. সন্ততা এবং অন্তরকলনযোগ্যতা
• 2. অবকলন বা অন্তরকলন
• 3. দ্বিতীয় ক্রমের অন্তরকলজ
• 4. অন্তরকলজের ব্যাখ্যা
• 5. স্পর্শক ও অভিলম্ব
• 6. বর্ধিষ্ণু ও ক্ষয়িষ্ণু অপেক্ষক 7
• . চরম ও অবম মান

👉 UNIT-4       সম্ভাবনা

• 1. সম্ভাবনা
  • সম্ভাবনা
  • Bayes’ উপপাদ্য
• 2. সমসম্ভব চলক ও তার বিভাজন
• 3. দ্বিপদ বিভাজন

👉       Semester III -এর প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান

• Semester III 2026 এর প্রশ্নপত্র ও তার সম্পূর্ণ সমাধান

Column Matching _________

1. একটি বিচ্ছিন্ন যদৃচ্ছ চলক x-এর সম্ভাবনা বিভাজন নিম্নরূপ:

x	0	1	2	3	4	5	6	7
p(x)	a	4a	3a	7a	8a	10a	6a	9a

      বাম দিকের স্তম্ভের সাথে ডান দিকের স্তম্ভ মেলাও।

স্তম্ভ A	স্তম্ভ B
[i] P(x < 3) =	[a] 11/16
[ii] P(x ≥ 4) =	[b] 11/24
[iii] P(0 < x < 5) =	[c] 1/6
[iv] P(x ≤ m) ≥  0.6 হলে m-এর       ক্ষুদ্রতম মান	[d] 5

 Ⓐ [i]-[c], [ii]-[a], [iii]-[b], [iv]-[d]
 Ⓑ [i]-[c], [ii]-[a], [iii]-[d], [iv]-[b]
Ⓒ [i]-[a], [ii]-[c], [iii]-[d], [iv]-[b]
 Ⓓ [i]-[d], [ii]-[c], [iii]-[a], [iv]-[b]

Solution: ∵ ∑p(x) = 1
∴ a + 4a + 3a + 7a + 8a + 10a + 6a + 9a = 1
⇒ 48a = 1
⇒ a = ¹/₄₈

[i]   P(x < 3)
= a + 4a + 3a = 8a
= 8×¹/₄₈ = ¹/₆ → [c]
[ii]  P(x ≥  4)
= 8a + 10a + 6a + 9a = 33a
= 33×¹/₄₈ = ¹¹/₁₆ → [a]
[iii] P(0 < x < 5)
= 4a + 3a + 7a + 8a = 22a
= 22×¹/₄₈ = ¹¹/₂₄  → [b]
[iv] P(x ≤ 4)
= a + 4a + 3a + 7a + 8a = 23a
= 23×¹/₄₈ = ²³/₄₈ ≈ 0.48
     P(x ≤ 5)
= 23a + 10a = 33a
= 33×¹/₄₈ = ¹¹/₁₆ ≈ 0.69
∴ m-এর ক্ষুদ্রতম মান 5 → [d]
Ans:   Ⓐ [i]-[c], [ii]-[a], [iii]-[b], [iv]-[d]

2. মনে করো, X একটি বিচ্ছিন্ন চলক এরূপ যে, Var(X) = 1।
      স্তম্ভ A-এর সঙ্গে স্তম্ভ B মেলাও।

স্তম্ভ A	স্তম্ভ B
[i] E(X – X̄ )	[a] 9
[ii] Var(3X + 5)	[b] 0
[iii] E(3X)	[c] 9E(X)
[iv] Var(5)	[d] 3E(X)

Ⓐ [i]-[d], [ii]-[c], [iii]-[a], [iv]-[b]
Ⓑ [i]-[b], [ii]-[a], [iii]-[a], [iv]-[c]
Ⓒ [i]-[b], [ii]-[a], [iii]-[d], [iv]-[b]
Ⓓ [i]-[b], [ii]-[a], [iii]-[d], [iv]-[d]

Solution:[i] E(X – X̄)
= ∑(X – X̄)p
= (X₁ – X̄)p₁ + (X₂ – X̄)p₂ + .  .  . + (X_n – X̄)p_n
=(X₁p₁ + X₂p₂ + .  .  . + X_np_n) – X̄(p₁ + p₂ + .  .  . + p_n) = E(X) – X̄  . . . [∵ ∑p = 1]
= X̄ – X̄ = 0 → [b]
[ii] Var(3X + 5)
= 3² Var(X)
= 9Var(X) = 9.1 = 9 → [a]

[iii] E(3X)
= E(3) . E(X) = 3E(X) → [d]
[iv] Var(5) = 0 → [b]
Ans:  Ⓒ [i]-[b], [ii]-[a], [iii]-[d], [iv]-[b]

Relationship between Statements ______

প্রতিটি প্রশ্নে বিবৃতি A এবং বিবৃতি B দেওয়া আছে। নীচের কোন বিকল্পটি বিবৃতি A এবং বিবৃতি B-এর মধ্যে সঠিক সম্পর্ক নির্দেশ করে?
Ⓐ বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পরবিরোধী
Ⓑ বিবৃতি B হল বিবৃতি A এর কারণ
Ⓒ বিবৃতি A হল সত্য কিন্তু বিবৃতি B মিথ্যা
Ⓓ বিবৃতি A এবং বিবৃতি B পরস্পর নির্ভরশীল নয়

1. একজন জুয়াড়ি দুটি ঝোঁকশূন্য ছক্কা গড়িয়ে দেয় এবং 2 টাকা হারাতে হয় যদি একটিও ছয় না ফেলতে পারে, 4 টাকা লাভ করে যদি একটি ছয় ফেলে এবং 10 টাকা লাভ করে যদি দুটিতেই ছয় ফেলে।

বিবৃতি-A: প্রদত্ত শর্তে ওই জুয়াড়ির গেম খেলা উচিত।বিবৃতি-B: ওই জুয়াড়ির প্রাপ্ত টাকা X যদৃচ্ছ চলক দ্বারা প্রকাশ করা হলে X = -2, 4, 10 এবং E(X) = 0

Solution: X = ছয়ের সংখ্যা = জুয়াড়ির প্রাপ্ত টাকা
X = 0 হলে প্রাপ্ত টাকা (-2)
∴ P(X=0) = ⁵/₆×⁵/₆ = ²⁵/₃₆
X = 1 হলে প্রাপ্ত টাকা (4)
∴ P(X=1) = (¹/₆×⁵/₆) + (⁵/₆×¹/₆) = ¹⁰/₃₆
X = 2 হলে প্রাপ্ত টাকা (10)
∴ P(X=2) = ¹/₆×¹/₆ = ¹/₃₆
বিবৃতি(A): জুয়াড়ির টাকা লাভের প্রত্যাশা E(X)
= (-2)ײ⁵/₃₆ + 4×¹⁰/₃₆ + 10×¹/₃₆
= ^{– 50 + 40 + 10}/₃₆ = 0
∴ প্রদত্ত শর্তে ওই জুয়াড়ির গেম খেলা উচিত। → বিবৃতি(A) সত্য
বিবৃতি(B): ওই জুয়াড়ির প্রাপ্ত টাকা X যদৃচ্ছ চলক দ্বারা প্রকাশ করা হলে X = -2, 4, 10 এবং E(X) = 0 → বিবৃতি(B) সত্য
Ans:  Ⓑ বিবৃতি B হল বিবৃতি A এর কারণ

আমাদের YOUTUBE CHANNEL “COMPTECH” দেখার জন্য এখানে ক্লিক করো। 

Assertion-Reasoning ______

প্রতিটি প্রশ্নে বিবৃতি 1 (Assertion বা উক্তি) এবং বিবৃতি II (Reason বা উক্তির কারণ) দেওয়া আছে। প্রতিটি প্রশ্নের বিবৃতি দুটি নীচের কোন্ বিকল্পটিকে (Ⓐ, Ⓑ, Ⓒ,ও Ⓓ) সঠিকভাবে ব্যাখ্যা করে?
 Ⓐ বিবৃতি । সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II. বিবৃতি I-এর সঠিক কারণ।
 Ⓑ বিবৃতি। সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II, বিবৃতি I-এর সঠিক কারণ নয়।
 Ⓒ বিবৃতি । সঠিক এবং বিবৃতি II সঠিক নয়।
 Ⓓ বিবৃতি। সঠিক নয় এবং বিবৃতি II সঠিক।

1. বিবৃতি-I(A): একটি থলিতে 5 টি সাদা ও 7 টি কালো বল আছে। একজন ব্যক্তিকে থলি থেকে 2 টি বল তুলতে দেওয়া হয় এবং প্রত্যেকটি কালো বল তোলার জন্য এক টাকা ও প্রত্যেকটি সাদা বল তোলার জন্য দুই টাকা দেওয়া হয়। ওই ব্যক্তির টাকা পাওয়ার প্রত্যাশা 2.83 টাকা।
    বিবৃতি-II(R): একটি বিচ্ছিন্ন যদৃচ্ছ চলক X যদি x_i (i = 1, 2, 3, . . . , n) মানসমূহ গ্রহণ করে এবং p(X = x_i) = p_i হয়, তবে X-এর গাণিতিক প্রত্যাশা E(X) =

Solution: বিবৃতি(A): এখানে, সাদা(5) ও কালো(7) বলের মোট সংখ্যা = 5 + 7 = 12 টি
∴ 12 টি বল থেকে 2 টি বল তোলা যায় ¹²C₂ = 66 উপায়ে
2 টি কালো তুললে দেওয়া হয়
= 2×1 টাকা = 2 টাকা
1 টি সাদা ও 1 টি কালো বল তুললে দেওয়া হয়
= (1×2 + 1×1) টাকা = 3 টাকা
2 টি সাদা বল তুললে দেওয়া হয়
= 2×2 টাকা = 4 টাকা
X = কালো বলের সংখ্যা
P(X=2) = ^7C2/_5C2 = ²¹/₆₆ = ⁷/₂₂
P(X=1) = ^{7C1 x 5C1}/_5C2 = ^{7 x 5}/₆₆ = ³⁵/₆₆
P(X=0) = ^5C2/_5C2 = ¹⁰/₆₆ = ⁵/₃₃                
ওই ব্যক্তির টাকা পাওয়ার প্রত্যাশা E(X)
 = 2×⁷/₂₂ + 3׳⁵/₆₆ + 4×⁵/₃₃
= ^{42 + 105 + 40}/₆₆
=¹⁸⁷/₁₆ = 2.83 (প্রায়) → বিবৃতি(A) সত্য
বিবৃতি(R) → বিবৃতি(R) সত্য
Ans:  Ⓐ বিবৃতি । সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II. বিবৃতি I-এর সঠিক কারণ।

2. বিবৃতি- (A): মনে করো X, Y দুটি স্বাধীন যদৃচ্ছ চলক। যদি Var(X) = 4 এবং Var(Y) = 1 হলে Var(X+Y) = 5
     বিবৃতি-(R): X, Y দুটি স্বাধীন যদৃচ্ছ চলক হলে Var(aX + bY) = a²Var(X) + b²Var(Y)

Solution: বিবৃতি-(A):
    Var(X+Y)
= 1².Var(X) + 1².Var(Y)
=Var(X) + Var(Y)
= 4 + 1 = 5 → বিবৃতি(A) সত্য
বিবৃতি-(R): X, Y দুটি স্বাধীন যদৃচ্ছ চলক হলে Var(aX + bY) = a²Var(X) + b²Var(Y) → বিবৃতি(R) সত্য
Ans:  Ⓐ বিবৃতি । সঠিক, বিবৃতি II সঠিক এবং বিবৃতি II. বিবৃতি I-এর সঠিক কারণ।

True and False _____________________

1. বিবৃতি-।: E(K) = K, যেখানে K একটি ধ্রুবক।
    বিবৃতি-II: E(ax + b) = aE(x) + b যেখানে a ও b ধ্রুবক।
Ⓐ বিবৃতি I ও II সত্য
Ⓑ বিবৃতি । সত্য ও বিবৃতি II মিথ্যা
Ⓒ বিবৃতি। মিথ্যা ও বিবৃতি II সত্য
Ⓓ বিবৃতি I ও II মিথ্যা

Solution: বিবৃতি-।: E(K) = K, যেখানে K একটি ধ্রুবক। → বিবৃতি I সত্য
বিবৃতি-II: E(ax + b) = aE(x) + b যেখানে a ও b ধ্রুবক। → বিবৃতি II সত্য
Ans:  Ⓐ বিবৃতি I ও II সত্য

2. বিবৃতি-I: E(X- X̄) = 0 যেখানে X̄ = X চলকের মধ্যক।
বিবৃতি-II: Var(K) = 0, যেখানে K একটি ধ্রুবক।
Ⓐ বিবৃতি I ও II সত্য
Ⓑ বিবৃতি । সত্য ও বিবৃতি II মিথ্যা
Ⓒ বিবৃতি। মিথ্যা ও বিবৃতি II সত্য
Ⓓ বিবৃতি I ও II মিথ্যা

Solution: বিবৃতি I: E(X- (X ) ̅) = 0 যেখানে X̄ = X চলকের মধ্যক। → বিবৃতি I সত্য
বিবৃতি II: Var(K) = 0, যেখানে K একটি ধ্রুবক। → বিবৃতি II সত্য
Ans: Ⓐ বিবৃতি I ও II সত্যX̄

3. 4 টি সাধারণ মুদ্রাকে একসঙ্গে টস্ করা হয়। মনে করো, X যদৃচ্ছ চলক দ্বারা প্রাপ্ত হেড্ সংখ্যা সূচিত হয়।
    বিবৃতি-I: X-এর সম্ভাবনা বিভাজন ছক হল

x	0	1	2	3	4
f(x)	1/5	1/5	1/5	1/5	1/5

   বিবৃতি-II: X চলকের মধ্যক ও ভেদমান যথাক্রমে 2 ও 2।
Ⓐ বিবৃতি I ও II সত্য
Ⓑ বিবৃতি । সত্য ও বিবৃতি II মিথ্যা
Ⓒ বিবৃতি। মিথ্যা ও বিবৃতি II সত্য
Ⓓ বিবৃতি I ও II মিথ্যা

Solution: বিবৃতি I:
P(X=0) = ⁴C₀ . (¹/₂)⁴ = ¹/₁₆;
P(X=1) = ⁴C₁ . (¹/₂)⁴ = ⁴/₁₆;
P(X=2) = ⁴C₂ . (¹/₂)⁴ = ⁶/₁₆;
P(X=3) = ⁴C₃ . (¹/₂)⁴ = ⁴/₁₆;
P(X=4) = ⁴C₄ . (¹/₂)⁴ = ¹/₁₆ → বিবৃতি। মিথ্যা

বিবৃতি II: চলকের মধ্যক E(X)
= 0×¹/₁₆ + 1×⁴/₁₆ + 2×⁶/₁₆ + 3×⁴/₁₆ + 4×¹/₁₆
= ⁴/₁₆ + ¹²/₁₆ + ¹²/₁₆ + ⁴/₁₆
=^{4 + 12 + 12 + 4}/₁₆
= ³²/₁₆ = 2

ভেদমান Var(X)
= [0×¹/₁₆ + 1×⁴/₁₆ + 4×⁶/₁₆ + 9×⁴/₁₆ + 16×¹/₁₆] – (2)²
= ⁴/₁₆ + ²⁴/₁₆ + ³⁶/₁₆ + 1 – 4
=^{4 + 24 + 36}/₁₆ – 3
= ⁶⁴/₁₆ – 3
= 4 – 3 = 1 → বিবৃতি।I মিথ্যা
Ans:  Ⓓ বিবৃতি I ও II মিথ্যা

Case Based _____________________

1. তিনটি ঝোঁকশূন্য মুদ্রা উৎক্ষেপণের যদৃচ্ছ পরীক্ষায় X দ্বারা “হেড্ সংখ্যা” প্রকাশিত হয়।

   [i] X যদৃচ্ছ চলকের সম্ভাবনা বিভাজন হল-

Ⓐ	x	0	1	2	3
	f(x)	1/8	3/8	3/8	1/8

Ⓑ	x	1	2	3
	f(x)	1/3	1/3	1/3

Ⓒ	x	1	2	3	4
	f(x)	1/4	1/4	1/4	1/4

Ⓓ	x	1	2	3
	f(x)	3/8	3/8	1/8

 

Solution: তিনটি ঝোঁকশূন্য মুদ্রা উৎক্ষেপণের নমুনা দেশ
S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}
কোনো হেড না পড়ার সম্ভাবনা {TTT} :
∴ P(X = 0) = ¹/₈
ঠিক একটি হেড পড়ার সম্ভাবনা {HTT, THT, TTH} :
∴ P(X = 1) = ³/₈
ঠিক দুটি হেড পড়ার সম্ভাবনা {HHT, HTH, THH} :
∴ P(X = 2) = ³/₈
ঠিক তিনটি হেড পড়ার সম্ভাবনা {HHH} :
∴ P(X = 3) = ¹/₈
Ans:   Ⓐ

x	0	1	2	3
f(x)	1/8	3/8	3/8	1/8

[ii] X চলকের মধ্যক ও ভেদমান যথাক্রমে-
Ⓐ ³/₂ ও ³/₄        Ⓑ 2 ও ²/₃
Ⓒ ³/₂ ও ⁵/₄       Ⓓ ³/₂ ও 3

Solution: মধ্যক= E(X) = 0×¹/₈ + 1׳/₈ + 2׳/₈ + 3×¹/₈
= ³/₈ + ⁶/₈ + ³/₈
=^{3 + 6 + 3}/₈
= ¹²/₈ = ³/₂
ভেদমান = Var(X)
= [0×¹/₈ + 1׳/₈ + 4׳/₈ + 9×¹/₈] – (³/₂)²
=³/₈ + ¹²/₈ + ⁹/₈ – ⁹/₄
= ^{3 + 12 + 9 – 18}/₈
= ⁶/₈ = ³/₄
Ans:  Ⓐ ³/₂ ও ³/₄

2. একটি বাক্সে 5 টি ঘড়ি আছে যার মধ্যে 2 টি ঘড়ি খারাপ। বাক্স থেকে যথেচ্ছভাবে 2 টি ঘড়ি তোলা হয়। মনে করো, X যদৃচ্ছ চলক দ্বারা খারাপ ঘড়ির সংখ্যা সূচিত হয়।

[i] X যদৃচ্ছ চলকের সম্ভাবনা বিভাজন হল-

Ⓐ	x	0	1	2
	f(x)	1/3	1/3	1/3

Ⓑ	x	1	2	3
	f(x)	1/3	1/3	1/3

Ⓒ	x	0	1	2
	f(x)	1/10	3/5	3/10

Ⓓ	x	0	1	2
	f(x)	3/10	3/5	1/10

 Solution: 5 টি ঘড়ির মধ্যে 2 টি ঘড়ি খারাপ।
∴ ভালো ঘড়ি আছে 3 টি
P(X = 0) = ^{2C0 x 3C2}/_5C2 = ^{1 x 3}/₁₀ = ³/₁₀
P(X = 1) = ^{2C1 x 3C1}/_5C2 = ^{2 x 3}/₁₀ = ³/₅
এবং P(X = 2) = ^{2C2 x 3C0}/_5C2 = ^{1 x 1}/₁₀ = ¹/₁₀
Ans:  Ⓓ

x	0	1	2
f(x)	3/10	3/5	1/10

[ii] X-এর মধ্যক হল-
Ⓐ ¹/₅          Ⓑ ⁴/₅
Ⓒ ³/₅          Ⓓ ²/₅

Solution: E(X) = 0׳/₁₀ + 1׳/₅ + 2×¹/₁₀
= ³/₅ + ¹/₅ = ⁴/₅
Ans:  Ⓑ ⁴/₅

3. 5 টি ত্রুটিপূর্ণ বস্তু সম্বলিত 25 টি বস্তুর একটি লট থেকে 4 টি বস্তুর নমুনা যথেচ্ছভাবে নেওয়া হলে নীচের প্রশ্নগুলির উত্তর দাও।

[i] পুনঃস্থাপিত না করে ত্রুটিপূর্ণ বস্তুর সংখ্যা X-এর সম্ভাবনা বিভাজন হল-
Ⓐ f(x) = ^{5Cx × 20C5-x}/_25C4;  x = 0, 1, 2, 3, 4, 5
Ⓑ f(x) = ^{5Cx × 20C5-x}/_25C4;  x = 0, 1, 2, 3, 4
Ⓒ f(x) = ^{5Cx × 20C4-x}/_25C4;  x = 0, 1, 2, 3, 4
Ⓓ f(x) = ^{5Cx × 20C5-x}/_25C4;  x = 0, 1, 2, 3, 4 . . . .

Solution: পুনঃস্থাপিত না করে ত্রুটিপূর্ণ বস্তুর সংখ্যা X-এর সম্ভাবনা বিভাজন হল-
P(X=0) = ^5C0×20C4/_5C4 ;
P(X=1) = ^5C1×20C3/_5C4 ; 
P(X=2) = ^5C2×20C2/_5C4 ;
 P(X=3) = ^5C3×20C1/_5C4 ;
P(X=4) = ^5C4×20C0/_5C4 ;
  ∴ f(x) = ^{5Cx×20C(4-x)}/_5C4
Ans:  Ⓒ f(x) = ^{5Cx × 20C4-x}/_25C4;  x = 0, 1, 2, 3, 4

[ii] পুনঃস্থাপিত করে ত্রুটিপূর্ণ বস্তুর সংখ্যা X-এর সম্ভাবনা বিভাজন হল-
Ⓐ f(x) = ⁵C_x (¹/₅)^x (⁴/₅)^{5 – x};   x = 1, 2, 3, 4, 5
Ⓑ f(x) = ⁴C_x (¹/₅)^x (⁴/₅)^{4 – x};   x = 1, 2, 3, 4
Ⓒ f(x) = ⁵C_x (¹/₅)^x (⁴/₅)^{5 – x};   x = 1, 2, 3, 4
Ⓓ f(x) = ⁴C_x (¹/₅)^x (⁴/₅)^{4 – x};   x = 0. 1, 2, 3, 4, 5

Solution:
পুনঃস্থাপিত করে ত্রুটিপূর্ণ বস্তুর সংখ্যা X-এর সম্ভাবনা বিভাজন:
25 টি বস্তুর মধ্যে ত্রুটিপূর্ণ বস্তুর সংখ্যা 5 টি
∴ ভালো বস্তুর সংখ্যা (25 – 5) = 20 টি
একটি বস্তু ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার সম্ভাবনা(p) = ⁵/₂₅ = ¹/₅
একটি বস্তু ত্রুটিপূর্ণ না হওয়ার (ভালো হওয়ার) সম্ভাবনা(q) = 1 – p = 1 – ¹/₅ = ⁴/₅
4 টি বস্তুর নমুনা যথেচ্ছভাবে নেওয়া হলে n = 4
দ্বিপদ বিভাজনের সূত্র P(X = x) = ⁿC_x p^x q^{n – x} থেকে পাই,
    P(X = x) = ⁴C_x (¹/₅)^x (⁴/₅)^{4 – x}
Ans:  Ⓓ f(x) = ⁴C_x (¹/₅)^x (⁴/₅)^{4 – x};   x = 0. 1, 2, 3, 4, 5

4. একটি যদৃচ্ছ চলক X-এর সম্ভাবনা বিভাজন নিম্নরূপ:

x	-2	-1	0	1	2	3
p(x)	0.1	k	0.2	2k	0.3	3K

[i] K-এর মান-
Ⓐ ¹/₁₀        Ⓑ ¹/₁₅
 Ⓒ ¹/₅          Ⓓ 1

Solution: ∵ ∑p(x) = 1
∴ 0.1 + k + 0.2 + 2k + 0.3 + 3k = 1
⇒ 6k = 1 – 0.6 = 0.4
⇒ k = ^0.4/₆ = ¹/₁₅
Ans:  Ⓑ ¹/₁₅

[ii] P(x < 2) , P(x ≥ 2), P(- 2 < x ≥ 2) -এর মান যথাক্রমে-
Ⓐ 0.7, 0.5, 0.5          Ⓑ 0.7, 0.7, 0.5
Ⓒ 0.5, 0.5, 0.7          Ⓓ 0.5, 0.7, 0.5

Solution: P(x < 2) =0.1 + k + 0.2 + 2k
= 0.3 + 3k
= 0.3 + 3×¹/₁₅
=0.3 + 0.2 = 0.5
P(x ≥ 2) = 0.3 + 3k
= 0.3 + 3×¹/₁₅
= 0.3 + 0.2 = 0.5
P(- 2 < x ≥ 2) = k + 0.2 + 2k + 0.3
= 0.5 + 3k = 0.5 + 3×¹/₁₅
= 0.5 + 0.2 = 0.7
Ans:  Ⓒ 0.5, 0.5, 0.7

5. একটি বিচ্ছিন্ন যদৃচ্ছ চলক X-এর সম্ভাবনা বিভাজন f(x) হয়-

x	1	2	3
f(x)	1/2	1/3	1/6

[i] X-এর মধ্যক হল- 
Ⓐ ⁵/₃          Ⓑ ³/₅
Ⓒ ⁴/₅          Ⓓ 2

Solution: E(X) = 1×¹/₂ + 2×¹/₃ + 3×¹/₆
= ¹/₂ + ²/₃ + ¹/₂
=^{3 + 4 + 3}/₆
= ¹⁰/₆ = ⁵/₃
Ans:  Ⓐ ⁵/₃

[ii] X-এর ভেদমান হল-
Ⓐ 0          Ⓑ ⁹/₅
Ⓒ ⁵/₉      Ⓓ 1

Solution: Var(X)
= [1×¹/₂ + 4×¹/₃ + 9×¹/₆] – (⁵/₃)²
= ¹/₂ + ⁴/₃ + ³/₂ – ²⁵/₉
=^9+24+27-50/₁₈
= ¹⁰/₁₈ = ⁵/₉
Ans:  Ⓒ ⁵/₉

6. একটি বিচ্ছিন্ন যদৃচ্ছ চলক X -এর সম্ভাবনা বিভাজন নিম্নরূপ:

x	-2	-1	0	2	4
p(x)	0.1	0.2	0.4	0.25	0.05

[i] X-এর মধ্যক হল-
Ⓐ 0          Ⓑ 0.1
Ⓒ 0.2      Ⓓ 0.3

Solution: E(X) = -2×0.1 + (-1)×0.2 + 0×0.4 + 2×0.25 + 4×0.05
= -0.2 – 0.2 + 0 + 0.5 + 0.2 = 0.3
Ans:  Ⓓ  0.3

[ii] X -এর সমক পার্থক্য হল-
Ⓐ 0         Ⓑ 1.52
Ⓒ 1          Ⓓ 2

Solution:
     Var(X)
= [4×0.1 + 1×0.2 + 0×0.4 + 4×0.25 + 16×0.05] – (0.3)²
=0.4 + 0.2 + 0 + 1 + 0.8 – 0.09
= 2.4 – 0.09 = 2.31

Ans:  Ⓑ 1.52

7. একটি পাত্রে 7 টি সাদা ও 3টি লাল বল আছে। ওই পাত্র থেকে একসঙ্গে দুটি বল তোলা হয়।
[i] কোনো বল সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা–
Ⓐ ⁷/₁₅        Ⓑ ¹/₁₅
 Ⓒ ¹/₃         Ⓓ ¹/₅

Solution: X = সাদা বলের সংখ্যা হলে,
কোনো বল সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা
= P(X = 0) = ^3C₂/_¹⁰C2 = ³/₄₅ = ¹/₁₅
Ans:  Ⓑ ¹/₁₅

[ii] একটি সাদা এবং একটি লাল বল পাওয়ার সম্ভাবনা-
Ⓐ ¹/₁₅      Ⓑ ¹/₅
Ⓒ ⁸/₁₅      Ⓓ ⁷/₁₅

Solution: একটি সাদা ও একটি লাল বল হবার সম্ভাবনা
= P(x = 1) = ^{7C1 x 3C1}/_10C2 = ^7×3/₄₅ = ⁷/₁₅
Ans:  Ⓓ ⁷/₁₅

[iii] প্রত্যাশিত সাদা বলের সংখ্যা-
  Ⓐ 1.2         Ⓑ 1.3
 Ⓒ 1.4         Ⓓ 1.5

Solution: E(x)= 0×P(X = 0) + 1×P(X = 1) + 2×P(X = 2)
 = 0x ^3C2/_10C2  + 1×^{7C1 x 3C1}/_10C2 + 2×^7C2/_10C2
= 0 + ^7×3/₄₅ + 2ײ¹/₄₅
=⁷/₁₅ + ¹⁴/₁₅
= ²¹/₁₅ = 1.4
Ans:  Ⓒ  1.4