Complete Solution of MP-19 Mathematics

Complete Solution of MP-19

মাধ্যমিক গণিত ২০১৯ সমাধান

2019 সালের মাধ্যমিক পরীক্ষার গণিত প্রশ্নপত্র-এর সম্পূর্ণ সমাধান || মাধ্যমিক গণিত ২০১৯

দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধানের জন্য এখানে ক্লিক করো।

2019
MATHEMATICS
Compulsory
Time-Three Hours Fifteen Minutes
(First FIFTEEN minutes for reading the question paper)
Full Marks 90- For Regular Candidates
100- For External Candidates

Complete Solution of MP-19

1. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির প্রতিটি ক্ষেত্রে সঠিক উত্তরটি নির্বাচন করো: 1×6=6

(i) কোনো অংশীদারী ব্যবসায়ে দুই বন্ধুর প্রাপ্ত লভ্যাংশের অনুপাত ¹/₂ : ¹/₃ হলে, তাদের মূলধনের অনুপাত-
(a) 2 : 3 (c) 1 : 1 (b) 3 : 2 (d) 5 : 3
Ans: (b) 3 : 2
[প্রাপ্ত লভ্যাংশের অনুপাত
= ¹/₂ : ¹/₃
= ¹/₂×6 : ¹/₃×6
= 3 : 2]

(ii) যদি p+q =√13 এবং p-q= √5 হয়, তাহলে pq -এর মান-
(a) 2 (b) 18 (c) 9 (d) 8
Ans: (a) 2
[ p+q =√13 এবং p-q= √5²
∴ 4pq = (p+q)² – (p+q)²
⇒ 4pq = (p+q)² – (p+q)²
⇒ 4pq = (√13)² – (√5)²
⇒ 4pq = 13 – 5
⇒ 4pq = 8
∴ pq = 2]

(iii) কোনো বৃত্তের কেন্দ্র O এবং ব্যাস AB; ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। ∠ABC = 65^o, ∠DAC = 40^o হলে ∠BCD এর মান-
(a) 75^o (b) 105^o (c) 115^o (d) 80^o
Ans: (c) 115^o

[∠ACB অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
∴ ∠ACB = 90°
∴ ∠BAC = 180° – (90° + 65°)
= 180° – 155° = 25°
∴ ∠BAD = 25° + 40° = 65°
ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের,
∴ ∠BAD + ∠BCD = 180°
∴ ∠BCD = 180° – 65°
= 115°]

(iv) tanα + cotα = 2 হলে tan¹³α + cot¹³α-এর মান-
(a) 13 (b) 2 (c) 1 (d) 0
Ans: (b) 2
[ tanα + cotα = 2
⇒ tanα + ¹/_tanα = 2
⇒ ^tan²α+1/_tanα = 2
⇒ tan²α + 1 = 2tanα
⇒ tan²α – 2tanα + 1 = 0
⇒ (tanα)² – 2.tanα.1 + (1)² = 0
⇒ (tanα – 1)² = 0
⇒ tanα – 1 = 0
∴ tanα = 1
cotα = ¹/_tanα = ¹/₁ = 1
tan¹³α + cot¹³α
= (1)¹³ + (1)¹³
= 1 + 1 = 2]

(v) 2√6 সেমি বাহুবিশিষ্ট দুটি ঘনক পাশাপাশি রাখলে উৎপন্ন আয়তঘনকটির কর্ণের দৈর্ঘ্য হবে-
(a) 10 সেমি (b) 6 সেমি (c) 2 সেমি (d) 12 সেমি
Ans: (d) 12 সেমি
[2√6 সেমি বাহুবিশিষ্ট দুটি ঘনক পাশাপাশি রাখলে উৎপন্ন আয়তঘনকটির
দৈর্ঘ্য হবে = 2×2√6 সেমি = 4√6 সেমি
প্রস্থ হবে = 2√6 সেমি
উচ্চতা হবে = 2√6 সেমি
∴ আয়তঘনকটির কর্ণের দৈর্ঘ্য
= √(4√6)² + (2√6)² + (2√6)² সেমি
= √96 + 24 + 24 সেমি
= √144 সেমি = 12]

(vi) x₁, x₂, x₃ …….. x₁₀ রাশিগুলির গড় 20 হলে x₁ + 4, x₂ + 4, x₃ + 4 …….. x₁₀ + 4 রাশিগুলির গড় হবে-
(a) 20 (b) 24 (c) 40 (d) 10
Ans: (b) 24
[প্রতিটি রাশির সঙ্গে 4 যোগ হয়েছে।
সুতরাং রাশিগুলির গড়ও 4 বৃদ্ধি পাবে।
অতএব রাশিগুলির গড় হবে 20 + 4 = 24]

Complete Solution of MP-19

2. শূন্যস্থান পূরণ করো (যে-কোনো পাঁচটি): 1×5=5

(i) এক ব্যক্তি ব্যাংকে 100 টাকা জমা রেখে, 2 বছর পর সমূল চক্রবৃদ্ধি পেলেন 121 টাকা। বার্ষিক সুদের হার ছিল __________ %
Ans: 10
[ ধরি, বার্ষিক সুদের হার r%

$\quad 100(1+\frac{r}{100})^2=121\\⇒(1+\frac{r}{100})^2=\frac{121}{100}\\⇒(1+\frac{r}{100})^2=(\frac{11}{10})^2\\⇒1+\frac{r}{100}=\frac{11}{10}\\⇒\frac{r}{100}=\frac{11}{10}-1\\⇒\frac{r}{100}=\frac{1}{10}\\∴r=10$

(ii) দুটি দ্বিঘাত করণীর যোগফল ও গুণফল একটি মূলদ সংখ্যা হলে করণীদ্বয় __________ করণী
Ans: অনুবন্ধী করনী

(iii) দুটি ত্রিভুজের ভূমি একই সরলরেখায় অবস্থিত এবং ত্রিভুজ দুটির অপর শীর্ষবিন্দুটি সাধারণ হলে, ত্রিভুজ দুটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত ভূমির দৈর্ঘ্যের অনুপাতের __________।
Ans: সমান

(iv) cos 53^o/sin37^o -এর সরলতম মান __________।
Ans: 1

[$\Large{\quad\frac{cos53^o}{sin37^o}\\=\frac{cos53^o}{sin(90^o-53^o)}\\=\frac{cos53^o}{cos53^o}\\=1}$]

(v) একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙের তলসংখ্যা __________।
Ans: 3টি

(vi) x₁, x₂ ….. x₁₀₀ চলগুলি ঊর্ধ্বক্রমে থাকলে, এদের মধ্যমা __________।
Ans: 50.5
[এখানে n = 100 (যুগ্ম সংখ্যা)
∴ মধ্যমা = [ⁿ/₂ তম পদের মান + (ⁿ/₂+1)তম পদের মান] ÷2
= [¹⁰⁰/₂ তম পদের মান + (¹⁰⁰/₂+1)তম পদের মান] ÷2
= [50-তম পদের মান + (50+1)তম পদের মান] ÷2
= [50-তম পদের মান + 51তম পদের মান] ÷2
= [50 + 51] ÷2
= 101 ÷2 = 50.5]

Complete Solution of MP-19

3. সত্য বা মিথ্যা লেখো (যে কোনো পাঁচটি): 1×5=5

(i) বার্ষিক 10% হারে 100 টাকার 1 বছরের সরল সুদ ও চক্রবৃদ্ধি সুদের পার্থক্য 1 টাকা।
Ans: মিথ্যা
[ বার্ষিক সুদের হার 10%
আসল 100 টাকা
সময় 1 বছর
∴1 বছরের সরল সুদ
= ^100×1×10/₁₀₀ = 10 টাকা
1 বছরের চক্রবৃদ্ধি সুদ
= 100(1+¹⁰/₁₀₀)¹ টাকা
= 100(1+¹/₁₀) টাকা
= 100(¹⁰⁺¹/₁₀) টাকা
= 100×¹¹/₁₀ টাকা
= 110 টাকা
সরল সুদ ও চক্রবৃদ্ধি সুদ সমান।]

(ii) ab : c², bc : a² এবং ca : b² -এর যৌগিক অনুপাত 1:1।
Ans: সত্য
[ab : c², bc : a² এবং ca : b² -এর যৌগিক অনুপাত
= ab×bc×ca : a²×b²×c²
= a²b²c² : a²b²c²
= 1 ; 1]

(iii) তিনটি অসমরেখ বিন্দু দিয়ে একটি মাত্র বৃত্ত আঁকা যায়।
Ans: সত্য

(iv) sin 30^o + sin 60^o > sin 90^o
Ans: সত্য
[sin 30^o + sin 60^o
= ¹/₂ + ^√3/₂
= ^1+√3/₂
= ^1+1.732/₂
= ^2.732/₂
= 1.366 > 1 = sin 90^o]

(v) একই ভূমি ও একই উচ্চতাবিশিষ্ট একটি লম্ববৃত্তাকার শঙ্কু ও একটি লম্ববৃত্তাকার চোঙের আয়তনের অনুপাত 1:3 হবে।
Ans: সত্য
[ধরি, লম্ববৃত্তাকার শঙ্কু ও লম্ববৃত্তাকার চোঙের ভূমির ব্যাসার্ধ r এবং উচ্চতা h
∴লম্ববৃত্তাকার শঙ্কু ও লম্ববৃত্তাকার চোঙের আয়তনের অনুপাত
= ¹/₃πr²h : πr²h
= ¹/₃ : 1
= 1 : 3]

(vi) 2, 3, 9, 10, 9,3,9 তথ্যের মধ্যমার মান 10।
Ans: মিথ্যা
[সংখ্যা গুলিকে মানের ঊর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে পাই
2, 3, 3, 9, 9, 9, 10
এখানে n = 7 (অযুগ্ম সংখ্যা)
∴ মধ্যমা = ⁿ⁺¹/₂ তম পদের মান
= ⁷⁺¹/₂ তম পদের মান
= ⁸/₂ তম পদের মান
= 4-তম পদের মান
= 9]

Complete Solution of MP-19

4. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দাও (যে-কোনো দশটি): 2×10=20

(i) বার্ষিক 5% সরল সুদের হারে কত টাকার মাসিক সুদ 1 টাকা হবে তা নির্ণয় করো।
Solution:
ধরি, আসল(P) = P টাকা
এখানে, সুদের হার(r) = 5%
সময়(t) = 1 মাস
= 1/12 বছর
সুদ = 1 টাকা

$\large{∵ I=\frac{Prt}{100}\\⇒ 1=\frac{P×5×1}{100×12}\\⇒ P = 240}$

Ans: 240 টাকার মাসিক সুদ 1 টাকা।

(ii) এক অংশীদারী ব্যবসায় তিনজনের মূলধনের অনুপাত 3 : 5 : 8। প্রথম ব্যক্তির লাভ তৃতীয় ব্যক্তির লাভের থেকে 60 টাকা কম হলে ব্যবসায় মোট কত লাভ হয়েছিল?
Solution:
ধরি, মোট লাভ হয়েছিল P টাকা
তিনজনের মূলধনের অনুপাত 3 : 5 : 8
∴ প্রথম ব্যক্তির লাভ হয়েছিল
= P×³/₃₊₅₊₈ টাকা
= P×³/₁₆ টাকা
= ^3P/₁₆ টাকা
তৃতীয় ব্যক্তির লাভ হয়েছিল
= P×⁸/₁₆ টাকা
= ^8P/₁₆ টাকা
প্রশ্নানুযায়ী
^8P/₁₆ – ^3P/₁₆ = 60
বা, ^8P-3P/₁₆ = 60
বা, ^5P/₁₆ = 60
বা, P = 60×¹⁶/₅
বা, P = 12×16
বা, P = 192
Ans: ব্যবসায় মোট 192 টাকা লাভ হয়েছিল।

(iii)

$\large{\mathbf{ \frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}=\frac{2a−3b+4c}{p}}}$

হলে, p-এর মান কত?
Solution:
ধরি,

$\large{\large{\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}=\frac{2a−3b+4c}{p}=k}}$ যেখানে k একটি অশূন্য ধ্রুবক।

∴a = 2k,
b = 3k,
c = 4k এবং
∵ 2a – 3b + 4c = pk
∴ 2×2k – 3×3k + 4×4k = pk
বা, 4k – 9k + 16k = pk
বা,11k = pk
∴ p =11
Ans: p-এর মান 11

(iv) x ∝ y² এবং y = 2a, x = a হলে দেখাও যে y² = 4ax ।

Solution:
x ∝ y²
∴ x = ky² – – – (i) – – [ k একটি অশূন্য ভেদ ধ্রুবক ]
y = 2a যখন x = a;
∴ a = k(2a)²
বা, a = 4ka²
বা, 1 = 4ka
বা, k = ¹/_4a
(i) নং-এ k = ¹/_4aবসিয়ে পাই,
x = ^y2/_4a
⇒ y² = 4ax (Proved)

Complete Solution of MP-19

(v) ABCD ট্রাপিজিয়ামের BC || AD এবং AD = 4 সেমি। AC ও BD কর্ণদ্বয় এমনভাবে O বিন্দুতে ছেদ করে যে ^AO/_OC = ^DO/_OB = ¹/₂ হয়। BC-এর দৈর্ঘ্য কত?
Solution:

ABCD ট্রাপিজিয়ামের BC || AD এবং AD = 4 সেমি.।
AC ও BD কর্ণদ্বয় O বিন্দুতে ছেদ করে এবং
^AO/_OC = ^DO/_OB = ¹/₂
△AOD ও △BOC এর ক্ষেত্রে,
∠OAD = একান্তর ∠OCD – – – – [ ∵ AD||BC এবং AC ভেদক]
∠ODA = একান্তর ∠OCB – – – – [∵ AD||BC এবং DB ভেদক]
∠AOD = ∠BOC – – – – [বিপ্রতীপ কোন]
∴△AOD এবং △BOC সদৃশকোণী।
সদৃশকোণী ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতী হয়।
∴ ^AD/_BC = ^AO/_OC = ^DO/_OB = ¹/₂
∴ ^AD/_BC = ¹/₂
⇒ ⁴/_BC = 1/2 – – – – [AD = 4]
⇒ BC = 8
Ans: BC-এর দৈর্ঘ্য 8 সেমি.

(vi) একটি বৃত্তে দুটি জ্যা AB এবং AC পরস্পর লম্ব। AB = 4 সেমি এবং AC = 3 সেমি হলে, বৃত্তটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
Solution:

সমাধানঃ
প্রদত্ত AB = 4 সেমি ও
AC = 3 সেমি
AB এবং AC পরস্পর লম্ব।
∴ ∠BAC অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
অতএব, BC ব্যাস।
△BAC সমকোণী ত্রিভুজের
BC² = AB² + AC²
= 4² + 3²
= 16 + 9
= 25 = 5²
∴ BC = 5
∴ বৃত্তটির ব্যাসার্ধ = ⁵/₂
=2.5
Ans: বৃত্তটির ব্যাসার্ধ 2.5 সেমি

(vii) △ABC-এর ∠ABC = 90^o এবং BD⊥AC, যদি AB = 5 সেমি এবং BC = 12 সেমি হয়, তবে BD-এর দৈর্ঘ্য কত?

Solution:
△ABC-এর,
∠ABC = 90^o
AB = 5 সেমি এবং BC = 12 সেমি.
∴ AC² = AB² + AC²
⇒ AC² = 5² + 12²
⇒ AC² = 25 + 144
⇒ AC² = 169
⇒ AC² = (13)²
∴ AC = 13
∴ △ABC-এর ক্ষেত্রফল
= ¹/₂×AB×AC
= ¹/₂×5×12 বর্গ সেমি.
= 30 বর্গ সেমি.
আবার BD ⊥ AC,
∴△ABC-এর ক্ষেত্রফল
= ¹/₂×BD×AC
= ¹/₂×BD×13 বর্গ সেমি.
= ¹³/₂×BD বর্গ সেমি.
∴ ¹³/₂×BD = 30
বা, BD=30 × ²/₁₃
বা, BD = ⁶⁰/₁₃
বা, BD = 4 ⁸/₁₃
Ans: BD-এর দৈর্ঘ্য 4 ⁸/₁₃ সেমি.

(viii) (0^o ≤ θ ≤ 90^o) এর কোন্ মান/মানগুলির জন্য 2sinθ cosθ = cosθ হবে?
Solution:
2sinθ cosθ = cosθ
বা, 2sinθ cosθ – cosθ = 0
বা, cosθ(2sinθ – 1) = 0
হয় cosθ =0 নতুবা 2sinθ – 1 = 0
বা, cosθ = cos90^o বা, 2sinθ = 1
বা, θ = 90^o বা, sinθ = ¹/₂
বা, sinθ = sin30^o
বা, θ = 30^o
Ans: θ-এর মান 90^o, 30^o

Complete Solution of MP-19

(ix) sin 10θ = cos8θ এবং 10θ ধনাত্মক সূক্ষ্মকোণ হলে, tan9θ-এর মান নির্ণয় করো।
Solution:
sin10θ = cos8θ
⇒ sin10θ = sin(90^o – 8θ)
⇒ 10θ = 90^o – 8θ
⇒ 10θ + 8θ = 90^o
⇒ 18θ = 90^o
⇒ θ = 5^o
∴ tan9θ = tan9×5^o
= tan45^o
=1
Ans: tan9θ-এর মান 1

(x) একটি আয়তঘনাকৃতি ঘরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে a, b এবং c একক এবং a + b + c = 25, ab + bc + ca = 240.5 হলে ঘরটির মধ্যে যে বৃহত্তম দন্ডটি রাখা যাবে তার দৈর্ঘ্য কত হবে?
Solution:
আয়তঘনাকৃতি ঘরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে a, b এবং c একক এবং
a + b + c = 25,
ab + bc + ca = 240.5
∴ আয়তঘনাকৃতি ঘরের কর্ন

$\large{\quad =\sqrt{a^2+b^2+c^2}\\=\sqrt{(a+b+c)^2-2(ab + bc + ca)}\\=\sqrt{(25)^2-2×240.5}\\=\sqrt{625-481}\\=\sqrt{144}\\=12}$

Ans: ঘরটির মধ্যে যে বৃহত্তম দন্ডটি রাখা যাবে তার দৈর্ঘ্য 12 একক

(xi) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল ভূমির ক্ষেত্রফলের 5 গুণ। শঙ্কুটির উচ্চতা ও ভূমির ব্যাসার্ধের অনুপাত কত?
Solution:
ধরি, শঙ্কুটির উচ্চতা h, তির্যক উচ্চতা l এবং ব্যাসার্ধ r;
প্রশ্নানুসারে,

$$\large{\quadπrl=\sqrt{5}×πr^2\\⇒l=\sqrt{5}×r\\⇒l^2=5r^2\\⇒h^2+r^2=5r^2\\⇒h^2=4r^2\\⇒h=2r\\\therefore \frac{h}{r}=\frac{2}{1}}$$

Ans: শঙ্কুটির উচ্চতা ও ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 2 : 1

(xii) প্রথম (2n+1) সংখ্যক ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্যবর্তী সংখ্যা ⁿ⁺¹⁰³/₃ হলে, n এর মান নির্ণয় করো।
Solution:
প্রথম (2n+1) সংখ্যক ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্যবর্তী সংখ্যা হবে
= ^(2n+1)+1/₂
= ²ⁿ⁺²/₂
= n+1
প্রশ্নানুযায়ী,
n + 1 = ⁿ⁺¹⁰³/₃
⇒ 3n + 3 = n + 103
⇒ 3n – n = 103 – 3
⇒ 2n = 100
⇒ n = 50
Ans: n এর মান 50

Complete Solution of MP-19

Utube_comptech_home — দশম শ্রেণীর **ভৌত** বিজ্ঞান এবং **জীবন** বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন

5. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

(i) যদি 6 মাস অন্তর সুদ আসলের সঙ্গে যুক্ত হয় তাহলে বার্ষিক 10% চক্রবৃদ্ধি হার সুদে 8000 টাকার 1¹/₂ বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি ও চক্রবৃদ্ধি সুদ কত হবে?

Solution:
∵ 6 মাস অন্তর কিস্তি দেওয়া হয়,
সুদের পর্ব (n) = 6 মাস = ¹²/₆ = 2
সুদের হার (r) = 10%
আসল (P) = 8000 টাকা
সময় (t) = 1¹/₂ বছর
1½ বছরের শেষে সমূল চক্রবৃদ্ধি হবে

$\large{=P{\left( {1 + \frac{r}{{200}}} \right)^{2n}}\\=8000\times {\left( {1 + \frac{10}{{200}}} \right)^{2\times \frac{3}{2}}}\\=8000\times {\left( {1 + \frac{1}{{20}}} \right)^3}\\=8000\times {\left(\frac{21}{20} \right)^3}\\=8000\times \frac{21}{20}\times \frac{21}{20}\times \frac{21}{20}}$

= 21×21×21 টাকা
= 9261 টাকা
চক্রবৃদ্ধি সুদ = (9261 -8000) টাকা
= 1261 টাকা
Ans: সমূল চক্রবৃদ্ধি 9261 টাকা ও
চক্রবৃদ্ধি সুদ 1261 টাকা

(ii) দুই বন্ধু যথাক্রমে 40000 টাকা ও 50000 টাকা দিয়ে একটি অংশীদারী ব্যবসা শুরু করে। তাদের মধ্যে একটি চুক্তি হয় যে, লাভের 50% নিজেদের মধ্যে সমান ভাগে এবং লাভের অবশিষ্টাংশ মূলধনের অনুপাতে ভাগ হবে। প্রথম বন্ধুর লভ্যাংশ যদি দ্বিতীয় বন্ধুর লভ্যাংশ অপেক্ষা 800 টাকা কম হয়, তবে প্রথম বন্ধুর লভ্যাংশ কত?

Solution:
দুই বন্ধুর মূলধনের অনুপাত
= 40000 : 50000
= 4 : 5
ধরি মোট লাভ x টাকা।
লাভের 50% = x×⁵⁰/₁₀₀ = ^x/₂ টাকা
^x/₂ টাকা থেকে দুই বন্ধুর প্রত্যেকে পাবে
= ^x/₂ ÷ 2 = ^x/₄ টাকা
অবশিষ্ট ^x/₂ টাকা থেকে.
প্রথম বন্ধু পাবে = ^x/₂ ×⁴/₄₊₅ টাকা
= ^x/₂ × ⁴/₉ টাকা
= ^4x/₁₈ টাকা
দ্বিতীয় বন্ধু পাবে = ^x/₂ × ⁵/₉ টাকা
= ^5x/₁₈ টাকা
প্রশ্নানুযায়ী,
(^5x/₁₈ + ^x/₄) – (^4x/₁₈ + ^x/₄) = 800
বা, ^5x/₁₈ + ^x/₄ – ^4x/₁₈ – ^x/₄ = 800
বা, ^5x/₁₈ – ^4x/₁₈ = 800
বা, ^5x-4x/₁₈ = 800
বা, ^x/₁₈ = 800
বা, x = 800×18 = 14400
∴ প্রথম বন্ধু পাবে = ^x/₄ + ^4x/₁₈ টাকা
= ^9x+8x/₃₆ টাকা
= ^17x/₃₆ টাকা
= ¹⁷/₃₆ × 14400 টাকা
= 17 × 400 = 6800 টাকা
Ans: প্রথম বন্ধুর ল্ভ্যাংশের পরিমাণ 6800 টাকা

6. যে-কোনো একটি প্রশ্নের সমাধান করো: 3

(i) x² + x + 1 = 0 সমীকরণটির বীজগুলির বর্গ যে সমীকরণের বীজ, সেই সমীকরণটি নির্ণয় করো।

Solution:
x² + x + 1 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় α. ও β হলে,
বীজদ্বয়ের সমষ্টি = α + β = -1, এবং
বীজদ্বয়ের গুণফল = αβ = 1
∴ নির্ণেয় সমীকরনের বীজদ্বয় α² ও β ²
নির্ণেয় সমীকরনের,
বীজদ্বয়ের সমষ্টি = α² + β ²
= (α +.β)² – 2α.β
= (-1)² – 2.1
= 1 – 2 = -1 এবং
বীজদ্বয়ের গুণফল = α².β²
= (α.β)² = (1)² = 1
Ans: নির্ণেয় সমীকরণটি হবে –
x² – (- 1)x + 1 = 0
বা, x² + x + 1 = 0

(ii) কলমের মূল্য প্রতি ডজনে 6 টাকা কম হলে 30 টাকায় আরও তিনটি বেশি কলম পাওয়া যাবে। কমার পূর্বে প্রতি ডজন কলমের মূল্য নির্ণয় করো।

Solution:
ধরি প্রতি ডজন কলমের মূল্য x টাকা।
x টাকায় পাওয়া যায় 12 টি কলম ,
1 টাকায় পাওয়া যায় 12/x টি কলম,
30 টাকায় পাওয়া যায় 12×30/x টি কলম।
কলমের মূল্য প্রতি ডজনে 6 টাকা কমলে,
প্রতি ডজন কলমের মূল্য হয় (x – 6) টাকা।
সেক্ষেত্রে,
30 টাকায় পাওয়া যায় 12×30/(x – 6) টি কলম।
প্রশ্নানু্যায়ী,

$\Large{\quad\frac {12×30}{x-6}-\frac {12×30}{x}=3\\⇒\frac {360x-360(x-6)}{x(x-6)}=3\\⇒\frac {360x-360x-360×6}{x^{2}-6x}=3\\⇒\frac {360×6}{x^{2}-6x}=3\\⇒\frac {360×2}{x^{2}-6x}=1}$

⇒ x² – 6x = 720
⇒ x² – 6x – 720 = 0
⇒ x² – 30x + 24x – 720 = 0
⇒ x(x – 30) + 24(x – 30) = 0
⇒ (x – 30)(x + 24)= 0
হয় x – 30 = 0 নতুবা x + 24 = 0
বা, x = 30 বা, x = -24
মূল্য ঋণাত্মক হতে পারে না।
∴ x ≠ – 24
x = 30
Ans: কমার পূর্বে প্রতি ডজন কলমের মূল্য ছিল 30 টাকা।

Complete Solution of MP-19

7. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

(i) সরল করো:

$\large{\mathbf{\quad\frac{4√3}{2-√2}-\frac{30}{4√3-√18}-\frac{√18}{3-√12}\\Solution:}}$

$\large{\quad\frac{4√3}{2-√2}-\frac{30}{4√3-√18}-\frac{√18}{3-√12}\\=\frac{4√3(2+√2)}{(2-√2)(2+√2)}-\frac{30(4√3+√18)}{(4√3-√18)(4√3+√18)}-\frac{√18(3+√12)}{(3-√12)(3+√12)}\\=\frac{4√3(2+√2)}{(2)^2-(√2)^2}-\frac{30(4√3+3√2)}{(4√3)^2-(√18)^2}-\frac{3√2(3+√12)}{(3)^2-(√12)^2}\\=\frac{4√3(2+√2)}{4-2}-\frac{30(4√3+3√2)}{48-18}-\frac{3√2(3+2√3)}{9-12}\\=\frac{4√3(2+√2)}{2}-\frac{30(4√3+3√2)}{30}-\frac{3√2(3+2√3)}{-3}}$

= 2√3(2 + √2) – (4√3 + 3√2) + √2(3 + 2√3)
= 4√3 + 2√6 – 4√3 – 3√2 + 3√2 + 2√6
= 2√6 + 2√6
= 4√6

Ans: নির্ণয় সরলতম মান 4√6

$\large{\mathbf{(ii)}}$ যদি $\large{\mathbf{\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right)∝\frac{1}{x-y}}}$ হয় তবে দেখাও যে, $\large{\mathbf{(x² + y²)∝xy\\Solution:}}$

$\Large{\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right)∝\frac{1}{x-y}\\⇒\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right)=k\frac{1}{x-y}- – (k= Constant)\\⇒ \frac{y-x}{xy}=\frac{k}{x-y}\\⇒ \frac{-(x-y)}{xy}=\frac{k}{x-y}}$

⇒ (x – y)² = -kxy
⇒ x² – 2xy + y² = – kxy
⇒ x² + y² = 2xy – kxy
⇒ x² + y² = xy(2 – k)
⇒ ^{x² + y²}/_xy = (2 – k)
⇒ ^{x² + y²}/_xy = ধ্রুবক
∴ x² + y² ∝ xy (Proved)

8. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

(i) (3x – 2y) : (x + 3y) = 5 : 6 হলে, (2x + 5y) : (3x + 4y) নির্ণয় করো।

Solution:
(3x – 2y) : (x + 3y) = 5 : 6
⇒ ^{3x – 2y}/_{x + 3y} = 5/6
⇒ 6(3x – 2y) = 5(x + 3y)
⇒ 18x – 12y = 5x + 15
⇒ 18x – 5x = 15y + 12y
⇒ 13x = 27y
⇒ ^x/₂₇ = ^y/₁₃ = k (ধরি)
∴ x = 27k; y = 13k
প্রদত্ত রাশি:
= (2x + 5y) : (3x + 4y)
= (2×27k + 5×13k) : (3×27k + 4×13k)
= (54k + 65k) : (81k + 52k)
= 129k : 133k
= 129 : 133
= 17 : 19
Ans: নির্নেয় মান 17 : 19

$\large{\mathbf{(ii)}}$ যদি $\large{\mathbf{\frac{b+c-a}{y+z-x}=\frac{c+a-b}{z+x-y}=\frac{a+b-c}{x+y-z}}}$ হয়, তবে প্রমাণ করো যে, $\large{\mathbf{\quad\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\\Solution:}}$

$\large{\quad\frac{b+c-a}{y+z-x}=\frac{c+a-b}{z+x-y}=\frac{a+b-c}{x+y-z}}$

প্রতিটি অনুপাতের মান (সংযোজন প্রক্রিয়া)

$\Large{=\frac{b+c-a+a+b-c+c+a-b}{y+z-x+z+x-y+x+y-z}\\=\frac{b+c+a}{y+z+x}\\=\frac{a+b+c}{x+y+z}\\∴\frac{b+c-a}{y+z-x}=\frac{c+a-b}{z+x-y}=\frac{a+b-c}{x+y-z}=\frac{a+b+c}{x+y+z}\\∴\frac{b+c-a}{y+z-x}=\frac{a+b+c}{x+y+z}\\=\frac{a+b+c-(b+c-a)}{x+y+z-(y+z-x)}\\=\frac{a+b+c-b-c+a}{x+y+z-y-z+x}\\=\frac{2a}{2x}\\=\frac{a}{x}- – – (i)}$

আবার

$\Large{\frac{c+a-b}{z+x-y}=\frac{a+b+c}{x+y+z}\\=\frac{a+b+c-(c+a-b)}{x+y+z-(z+x-y)}\\=\frac{a+b+c-c-a+b}{x+y+z-z-x+y}\\=\frac{2b}{2y}\\=\frac{b}{y}- – – (ii)}$

এবং

$\Large{\frac{a+b-c}{x+y-z}=\frac{a+b+c}{x+y+z}\\=\frac{a+b+c-(a+b-c)}{x+y+z-(x+y-z)}\\=\frac{a+b+c-a-b+c}{x+y+z-x-y+z}\\=\frac{2c}{2z}\\=\frac{c}{z}- – – (iii)\\∴\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\quad\mathbf{(Proved)}}$

Complete Solution of MP-19

9. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

(i) অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ-প্রমাণ করো।

স্বীকারঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ∠ACB একটি অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
প্রামান্য বিষয়: ∠ACB =1 সমকোণ।।
অঙ্কন: A, P ও B, P যোগ করলাম।
প্রমাণঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের APB বৃত্তচাপের দ্বারা গঠিত সম্মুখ কেন্দ্রস্থ কোণ ∠AOB এবং ∠ACB ওই একই বৃত্তচাপের দ্বারা গঠিত সম্মুখ বৃত্তস্থ কোণ।
∴ ∠AOB = 2∠ACB – – – [∵ একই বৃত্তচাপের দ্বারা গঠিত কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুন হয়]
বা, ∠ACB = ¹/₂∠AOB
আবার AB একটি সরলরেখাংশ।
∴ ∠AOB একটি সরলকোণ।
∴ ∠AOB = 2 সমকোণ
∴ ∠ACB = ¹/₂×2 সমকোণ
বা, ∠ACB = 1 সমকোণ
∴ অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ। (Proved)

(ii) প্রমাণ করো যে, যদি দুটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করে, তাহলে স্পর্শ বিন্দুটি কেন্দ্র দুটির সংযোজক সরলরেখাংশের ওপর অবস্থিত হবে।

স্বীকারঃ A ও B কেন্দ্রীয় দুটি বৃত্ত পরস্পরকে P বিন্দুতে স্পর্শ করেছে।
প্রামান্য বিষয়: A, P ও B সমরেখ।
অঙ্কন: A, P ও B, P যোগ করলাম।
প্রমাণঃ A কেন্দ্রীয় ও B কেন্দ্রীয় বৃত্তদুটি পরস্পরকে P বিন্দুতে স্পর্শ করেছে।
∴ P বিন্দুতে বৃত্ত দুটির একটি সাধারণ স্পর্শক আছে।
ধরি, ST হলো সাধারণ স্পর্শক যা দুটি বৃত্তকেই P বিন্দুতে স্পর্শ করেছে।
A কেন্দ্রীয় বৃত্তের ST স্পর্শক এবং AP স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।
∴ AP ⊥ ST
আবার B কেন্দ্রীয় বৃত্তের ST স্পর্শক এবং BP স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।
∴ BP ⊥ ST
AP ও BP একই বিন্দু P-তে ST সরলরেখার উপর লম্ব।
∴ AP ও BP একই সরলরেখায় অবস্থিত।
∴ A, P ও B সমরেখ। (Proved)

10. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3

(i) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের পরিলিখিত চতুর্ভুজ ABCD হলে প্রমাণ করো যে. AB + CD = BC + DA

স্বীকারঃ ABCD চতুর্ভুজটি O কেন্দ্রীয় বৃত্তে পরিলিখিত। ধরি, AB, BC, CD ও DA বৃত্তটিকে যথাক্রমে P, Q. R ও S বিন্দুতে স্পর্শ করেছে।
প্রামান্য বিষয়: AB + CD = BC + DA
প্রমাণঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে অঙ্কিত দুটি স্পর্শক AS ও AP
∴ AS = AP . . . . [বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু থেকে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয়ের দৈর্ঘ্য সমান হয়]
অনুৰূপে, BP = BQ, CQ = CR এবং DR = DS
আবার AB একটি সরলরেখাংশ।
∴ AB + CD = AP + BP + CR + DR
= AS + BQ + CQ + DS
= (AS + DS) + (BQ + CQ)
= AD + BC
∴ AB + CD = BC + DA (Proved)

(ii) △ABC-এর ∠A সমকোণ এবং BP ও CQ দুটি মধ্যমা হলে, প্রমাণ করো যে, 5BC² = 4(BP² + CQ²)

স্বীকারঃ ত্রিভুজ ABC-এর ∠A সমকোণ এবং BP ও CQ দুটি মধ্যমা।
প্রামান্য বিষয়: 5BC² = 4(BP² + CQ²)
প্রমাণঃ ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠A সমকোণ।
∴ BC² = AB² + AC²
= (2AQ)² + (2AP)² – – – [ যেহেতু P ও Q যথাক্রমে AC ও AB এর মধ্যবিন্দু]
= 4AQ² + 4AP²
= 4(AQ² + AP²) – – – – (i)
সমকোণী ত্রিভুজ BAP-এর ক্ষেত্রে,
BP² = AP² + AB²
= AP² + (2AQ)²
= AP² + 4AQ² – – – – (ii)
এবং সমকোণী ত্রিভুজ CAQ-এর ক্ষেত্রে,
CQ² = AQ² + AC²
= AQ² + (2AP)²
= AQ² + 4AP² – – – – (iii)
(ii) + (iii) করে পাই
BP² + CQ²
= AP² + 4AQ² + AQ² + 4AP²
= 5AP² + 5AQ²
= 5(AP² + AQ²) – – – – (iv)
∵ BC² = 4(AQ² + AP²) – – – -[(i) নং থেকে]
⇒ 5BC² = 5x̄4(AQ² + AP²)
⇒ 5BC² = 4x̄5(AQ² + AP²)
⇒ 5BC² = 4(BP² + CQ²) – – – -[(iv) নং থেকে]
∴ 5BC² = 4(BP² + CQ²) (Proved)

Complete Solution of MP-19

11. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

(i) ABC একটি ত্রিভুজ অঙ্কন করো যার BC = 7 সেমি, AB = 5 সেমি এবং AC = 6 সেমি। ABC ত্রিভুজটির পরিবৃত্ত অঙ্কন করো। (কেবলমাত্র অঙ্কন চিহ্ন দিতে হবে)

সমকোণী ত্রিভুজের পরিবৃত্ত অঙ্কন

(ii) 4 সেমি ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি বৃত্ত অঙ্কন করো। বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 6.5 সেমি দূরে কোনো বহিঃস্থ বিন্দু থেকে ওই বৃত্তের দুটি স্পর্শক অঙ্কন করো।

বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু থেকে বৃত্তের উপর দুটি স্পর্শক অঙ্কন

12. যে-কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3×2=6

(i) △ABC-এর ∠C= 90^o, যদি BC = m এবং AC = n হয় তবে দেখাও যে, msinA + nsinB = √m² + n²
Solution:

△ABC-এর ∠C= 90^o,
BC = m এবং
AC = n
∴ AB² = BC² + AC²
⇒ AB² = m² + n²

$\Large{∴AB=\sqrt{m^2+n^2}}$

∴ sinA = ^BC/_AB
= ^m/_{√m² + n²}
sinB = ^AC/_AB
= ⁿ/_{√m² + n²}

$\Large{\mathbf{L.H.S.}\\msinA+nsinB\\=m×\frac{m}{\sqrt{m^2+n^2}}+n×\frac{n}{\sqrt{m^2+n^2}}\\=\frac{m^2}{\sqrt{m^2+n^2}}+\frac{n^2}{\sqrt{m^2+n^2}}\\=\frac{m^2+n^2}{\sqrt{m^2+n^2}}\\=\sqrt{m^2+n^2}\quad \mathbf{R.H.S. \quad (Proved)}}$

(ii) মান নির্ণয় করো: ⁴/₃cot²30^o + 3sin²60^o – 2cosec²60^o – ³/₄tan²30^o
Solution:
প্রদত্ত রাশি
⁴/₃cot²30^o + 3sin²60^o – 2cosec²60^o – ³/₄tan²30^o
= ⁴/₃×(√3)² + 3×(^√3/₂)² – 2×(²/_√3)² – ³/₄×(¹/_√3)²
= ⁴/₃×3 + 3×³/₄ – 2×⁴/₃ – ³/₄×¹/₃
= 4 + ⁹/₄ – ⁸/₃ – ¹/₄
= ^48+27-32-3/₁₂
= ^75-35/₁₂ = ⁴⁰/₁₂
= ¹⁰/₃ = 3 ¹/₃
Ans: নির্ণেয় মান 3 ¹/₃

(iii) যদি ∠P + ∠Q = 90^o হয় তবে দেখাও যে,

$\Large{\quad\mathbf{\sqrt{\frac{sinP}{cosQ}}-sinPcosQ=cos^2p}}$

Solution:
∠P + ∠Q = 90^o
∴ ∠Q = 90^o – ∠P
L.H.S.

$\Large{\quad\sqrt{\frac{sinP}{cosQ}}-sinPcosQ}\\=\sqrt{\frac{sinP}{cos(90^o-P)}}-sinPcos(90^o-P)\\=\sqrt{\frac{sinP}{sinP}}-sinPsinP$

= 1 -sin²P
= cos²P = R.H.S. (Proved)

Complete Solution of MP-19

13. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5

(i) 600 মিটার চওড়া কোনো নদীর একটি ঘাট থেকে দুটি নৌকা দুটি ভিন্ন অভিমুখে নদীর ওপারে যাওয়ার জন্য রওনা দিল। যদি প্রথম নৌকাটি নদীর এপারের সঙ্গে 30^o কোণ এবং দ্বিতীয় নৌকাটি প্রথম নৌকার গতিপথের সঙ্গে 90^o কোণ করে চলে ওপারে পৌঁছায় তাহলে ওপারে পৌঁছানোর পরে নৌকা দুটির মধ্যে দূরত্ব কত হবে?

প্রথম নৌকাটি নদীর এপারের সঙ্গে 30° কোণ এবং দ্বিতীয় নৌকাটি প্রথম নৌকার গতিপথের সঙ্গে 90° কোণ করে চলে ওপারে পৌঁছায়।
চিত্রে ∠DAQ =30^o
∴ ∠BAD = 90^o – 30^o = 60^o
∠DAC = 90^o
∴ ∠CAB = 90^o – 60^o = 30^o
AB=600 মিটার।
DBA সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
^DB/_BA= tan60^o
বা, ^DB/₆₀₀ = √3
বা, DB = 600√3
আবার CBA সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
^CB/_BA = tan30^o
বা, ^CB/₆₀₀= ¹/_√3
বা, CB =⁶⁰⁰/_√3 = 200√3
∴ CD = CB + DB
= 200√3 + 600√3
= 800√3
Ans: ওপারে পৌঁছানোর পরে নৌকা দুটির মধ্যে দূরত্ব হবে 800√3 মিটার।

(ii) একটি তিনতলা বাড়ির ছাদে 3.6 মিটার দৈর্ঘ্যের একটি পতাকা দণ্ড আছে। রাস্তার কোনো একস্থান থেকে দেখলে পতাকা দন্ডটির চূড়া ও পাদদেশের উন্নতি কোণ যথাক্রমে 50^o ও 45^o হয়। বাড়িটির উচ্চতা কত?(ধরে নাও tan 50^o = 1.2)

চিত্রে,
পতাকা দণ্ড DC= 3.6 মিটার এবং
বাড়ি AD
∠ABD = 45^o
∠ABC = 50^o
∴ DAB সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
^DA/_AB = tan45^o
বা, ^DA/_AB = 1
বা DA = AB
আবার CAB সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
^CA/_AB = tan50^o
বা, ^CD+DA/_AB= 1.2
বা, ^3.6+DA/_AD = 1.2 – – – – [∵ AB = AD]
বা, 1.2DA = 3.6 + DA
বা, 1.2DA – DA = 3.6
বা 0.2DA = 3.6
বা, DA = 18
Ans: বাড়িটির উচ্চতা 18 মিটার।

14. যে-কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 4×2=8

(i) ঘনকাকৃতি একটি জলপূর্ণ চৌবাচ্চা থেকে সমান মাপের 64 বালতি জল তুলে নিলে চৌবাচ্চাটির ¹/₃ অংশ জলপূর্ণ থাকে। চৌবাচ্চাটির বাহুর দৈর্ঘ্য যদি 1.2 মিটার হয়, তবে প্রতিটি বালতিতে কত লিটার জল ধরে? (1 ঘনডেসিমিটার = 1 লিটার)
Solution:
চৌবাচ্চাটির বাহুর দৈর্ঘ্য 1.2 মিটার
∴ চৌবাচ্চাটির আয়তন
= (1.2)³ ঘন মিটার
= 1.728 ঘন মিটার
= 1728 ঘন ডেসিমি
= 1728 লিটার – – – [: ঘন ডেসিমি = 1 লিটার]
64 বালতি জল = চৌবাচ্চাটির আয়তনের (1 – ⅓) অংশ
= ⅔ অংশ
∴ 64 বালতি জল = 1728 × ⅔ লিটার
= 1152 লিটার
∴ 1 বালতি জল = ¹¹⁵²/₆₄ লিটার
= 18 লিটার
Ans: প্রতি বালতিতে 18 লিটার জল ধরে।

(ii) একটি তারের প্রস্থচ্ছেদের ব্যাস 50% কমানো হল। আয়তন অপরিবর্তিত রাখতে হলে তারটির দৈর্ঘ্য কত শতাংশ বাড়াতে হবে?

Solution:
ধরি, তারের প্রস্থচ্ছেদের ব্যাস 4r একক এবং দৈর্ঘ্য h একক
∴ প্রস্থচ্ছেদের ব্যাসার্ধ 2r একক
∴ তারের আয়তন = π(2r)²h ঘনএকক
= 4πr²h ঘনএকক
প্রস্থচ্ছেদের ব্যাস 50% কমালে ব্যাস হবে 4r×⁵⁰/₁₀₀ = 2r একক
∴ প্রস্থচ্ছেদের ব্যাসার্ধ হবে r একক
আয়তন অপরিবর্তিত রাখতে হলে তারটির দৈর্ঘ্য হবে x একক
∴ তারের আয়তন হবে = πr²x ঘনএকক
আয়তন অপরিবর্তিত থাকবে,
∴ পরিবর্তিত আয়তন = পূর্বের আয়তন
πr²x = 4πr²h
⇒ x = 4h
তারটির দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি পাবে
= (4h – h) একক
= 3h একক
= ^3h/_h.100 %
= 300 %
Ans: আয়তন অপরিবর্তিত রাখতে হলে তারটির দৈর্ঘ্য বাড়াতে হবে 300%

(iii) লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির একটি তাঁবু তৈরি করতে 77 বর্গমিটার ত্রিপল লেগেছে। তাঁবুটির তির্যক উচ্চতা যদি 7 মিটার হয়, তবে তাঁবুটির ভূমিতলের ক্ষেত্রফল কত?
Solution:
লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির তাঁবুর পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল 77 বর্গ মিটার।
আবার, তাঁবুটির তির্যক উচ্চতা 7 মিটার।
ধরি, তাঁবুটির ভূমির ব্যাসার্ধ r মিটার।
প্রশ্নানুসারে,
πrl = 77
⇒ ²²/₇×r×7 = 77
⇒ 22r = 77
∴ r= 7/2
∴ তাঁবুটির ভূমিতলের ক্ষেত্রফল
= ²²/₇×⁷/₂×⁷/₂ বর্গ মিটার
= 11×⁷/₂ বর্গ মিটার
= ⁷⁷/₂ = 38.5 বর্গ মিটার
Ans: তাঁবুটির ভূমিতলের ক্ষেত্রফল 38.5 বর্গ মিটার।

Complete Solution of MP-19

15. যে-কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 4×2=8

(i) যদি নীচের পরিসংখ্যা বিভাজন তালিকার যৌগিক গড় 54 হয়, তবে K-এর মান নির্ণয় করো:

শ্রেণি	0-20	20-40	40-60	60-80	80-100
পরিসংখ্যা	7	11	K	9	13

Solution:
প্রদত্ত তথ্যের ভিত্তিতে পরিসংখ্যা বিভাজন ছকটি হল:

শ্রেণি-সীমানা	পরিসংখ্যা(f_i)	শ্রেণী মধ্যক(x_i)	x_if_i
0-20	7	10	70
20-40	11	30	330
40-60	k	50	50k
60-80	9	70	630
80-100	13	90	1170
মোট	Σf_i=k+40		Σx_if_i=2200+50k

নম্বরের যৌগিক গড় 54
প্রশ্নানুযায়ী,

$$\Large{\frac{Σf_{i}x{i}}{Σf_{i}}=54\\⇒\frac{2200+50k}{k+40}=54\\⇒54k+2160=2200+50k\\⇒54k-50k=2200-2160\\⇒4k=40\\\therefore k=10}$$

Ans: k-এর মান 10

Complete Solution of MP-19

(ii) নীচের প্রদত্ত ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা বিভাজন ছকটি থেকে পরিসংখ্যা বিভাজন ছক তৈরি করে তথ্যটির সংখ্যাগুরুমান নির্ণয় করো:

শ্রেণি	10-এর কম	20-এর কম	30-এর কম	40-এর কম	50-এর কম	60-এর কম	70-এর কম	80-এর কম
পরিসংখ্যা	4	16	40	76	96	112	120	125

Solution:
প্রদত্ত ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা বিভাজন ছকটি থেকে পরিসংখ্যা বিভাজন ছক হল-

শ্রেণি	10-এর কম	20-এর কম	30-এর কম	40-এর কম	50-এর কম	60-এর কম	70-এর কম	80-এর কম
পরিসংখ্যা	4	16	40	76	96	112	120	125

শ্ৰেণী সীমানা	পরিসংখ্যা
0 – 10	4
10 – 20	16 – 4 = 12
20 – 30	40 – 16 = 24
30 – 40	76 – 40 = 36
40 – 50	96 – 76 = 20
50 – 60	112 – 96 = 16
60 – 70	120 – 112 = 8
70 – 80	125 – 120 = 5

প্রদত্ত পরিসংখ্যা বিভাজন ছকে সর্বাধিক পরিসংখ্যা 36
∴ সংখ্যাগুরুমান সংবলিত শ্রেণি 30 – 40
এখানে, l = 30; f₀ = 24;
f₁ = 36; f₂ = 20
h = 40 – 30 = 10;
∴ সংখ্যাগুরুমান

$\Large{= l+\frac{f_{1}-f_{0}}{2f_{1}-f_{0}-f_{2}}×h\\=30+\frac{36-24}{2×36-24-20}×10\\=30+\frac{12}{28}×10\\=30+\frac{30}{7}}$

= 30 + 4.29 (প্রায়)
= 34.29 (প্রায়)
Ans: তথ্যটির সংখ্যাগুরুমান 34.29