Koshe Dekhi 15.1 Class X বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য

Koshe Dekhi 15.1 Class X বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য

Koshe Dekhi 15.1 Class X বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য

1. মাসুম O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্ত অঙ্কন করেছে যার AB একটি জ্যা। B বিন্দুতে একটি স্পর্শক অঙ্কন করেছি যা বর্ধিত AO-কে T বিন্দুতে ছেদ করল। ∠BAT = 21° হলে, ∠BTA-এর মান হিসাব করে লিখি।

Solution:
O, B যুক্ত করা হল।
এখানে ∠BAT = 21°
আবার ∠ABO = ∠BAO – – – – [∵ OB = OA]
∴ ∠ABO = 21°
BT স্পর্শক ও OB স্পর্শক বিন্দুগামী ব্যাসার্ধ
∴ ∠OBT = 90°
∴ ∠ABT = ∠ABO + ∠OBT
= 21° + 90°
= 111°
∴ ∠BTA = 180° – ∠BAT – ∠ABT
= 180° – 21° – 111°
= 180° – 132°
= 48°
Ans: ∠BTA-এর মান 48°

2. কোনো বৃত্তের XY একটি ব্যাস। বৃত্তটির উপর অবস্থিত A বিন্দুতে PAQ বৃত্তের স্পর্শক। X বিন্দু থেকে বৃত্তের স্পর্শকের উপর অঙ্কিত লম্ব PAQ-কে Z বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, XA, ∠YXZ-এর সমদ্বিখণ্ডক।

Solution:
স্বীকার: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের XY ব্যাস এবং বৃত্তের উপর অবস্থিত A বিন্দুতে PAQ স্পর্শক অঙ্কন করা হয়েছে। X বিন্দু থেকে স্পর্শকের উপর অঙ্কিত লম্ব XZ, PAQ কে Z বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয়: XA, ∠YXZ –এর সমদ্বিখণ্ডক।
অঙ্কন: X, A; A, O যুক্ত করা হল।
প্রমাণ: XZ ⟂ PQ
∴ ∠XZA = 90°
আবার, PQ স্পর্শক এবং OA স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।
∴ ∠OAZ = 90°
∴ ∠XZA = ∠OAZ
∴ XZ || AO
∴ ∠AXZ = একান্তর ∠OAX – – – – (i)
আবার, △AOX থেকে পাই,
OX = OA
∴ ∠AXO = ∠OAX – – – – (ii)
(i) নং ও (ii) নং থেকে পাই,
∠AXZ = ∠AXO
∴ XA, ∠YXZ–এর সমদ্বিখণ্ডক। (প্রমাণিত)

Koshe Dekhi 15.1 Class X বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য

3. একটি বৃত্ত অঙ্কন করলাম যার PR একটি ব্যাস। P বিন্দুতে একটি স্পর্শক অঙ্কন করলাম এবং এই স্পর্শকের উপর S এমন একটি বিন্দু নিলাম যাতে PR = PS হয়। RS, বৃত্তকে T বিন্দুতে ছেদ করলে, প্রমাণ করি যে, ST = RT = PT

Solution:
স্বীকার: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের PR ব্যাস। P বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের উপর S এমন একটি বিন্দু যেখানে PR = PS ; RS বৃত্তকে T বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয়: ST = RT = PT
অঙ্কন: P, T যুক্ত করা হল।
প্রমাণ: PS স্পর্শক এবং PR স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।
∴ ∠RPS= 90°
△RPS এর,
∠PRS = ∠PSR . . . . . [PR=PS স্বীকার]
∠PRS = ∠PSR = 180°- ^90°/₂
= ^90°/₂ =45°
∴ ∠PRT =∠PST = 45°
আবার, ∠PTR অর্ধবৃত্তস্থ কোণ
∴ ∠PTR = 90°
∴ ∠RPT + ∠PTR + ∠PRT= 180°
বা, ∠RPT + 90° + 45° = 180°
বা, ∠RPT = 180°-135°
= 45°
△PTR এর.
∠RPT= ∠PRT
∴ RT=PT . . . . (i)
∴ ∠TPS = ∠RPS – ∠RPT
= 90° – 45°= 45°
△PTS এর,
∠TPS = ∠PST
∴ ST=PT . . . . (ii)
(i) নং ও (ii) নং থেকে পাই,
RT = PT = ST
বা, ST = RT = PT (প্রমাণিত)।

Koshe Dekhi 15.1 Class X বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য

4. একটি O কেন্দ্রীয় বৃত্ত অঙ্কন করি যার দুটি ব্যাসার্ধ OA ও OB পরস্পর লম্বভাবে অবস্থিত। A ও B বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় পরস্পরকে T বিন্দুতে ছেদ করলে, প্রমাণ করি যে, AB = OT এবং তারা পরস্পরকে লম্বভাবে সমদ্বিখন্ডিত করে।

Solution:
স্বীকার: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের OA ও OB ব্যাসার্ধ পরস্পর লম্বভাবে অবস্থিত। A ও B বিন্দুদ্বয়ে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় পরস্পর T বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয়: AB = OT এবং তারা পরস্পরকে লম্বভাবে সমদ্বিখন্ডিত করে।
অঙ্কন: A, B; O, T যুক্ত করা হল।
প্রমাণ:
AT স্পর্শক এবং OA স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ
∴ OA ⟂ AT
∴ ∠OAT = 90°
আবার, BT স্পর্শক এবং OB স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ
∴ OB ⟂ BT
∴ ∠OBT = 90°
∴ OATB চতুর্ভুজের,
∠OAT + ∠OBT = 90° + 90°
= 180°
∴ OATB একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।- – – – [যেহেতু বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সম্পূরক হয়]
আবার, ∠AOB = 90°
∴ OATB বৃত্তস্থ চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র।
আবার OA = OB (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)
∴ OATB একটি বৃত্তস্থ বর্গক্ষেত্র।
AB ও OT, OATB বর্গক্ষেত্রের দুটি কর্ন।
∵ বর্গক্ষেত্রের কর্নদ্বয়ের দৈর্ঘ্য সমান হয়।
∴ AB = OT (প্রমাণিত)
বর্গক্ষেত্রের কর্নদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
∴ AB ও OT পরস্পরকে লম্বভাবে সমদ্বিখন্ডিত করে। (প্রমাণিত)

অধ্যায়	বিষয়	কষে দেখি
1	একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic Equations with one variable)	কষে দেখি – 1.1 কষে দেখি – 1.2 কষে দেখি – 1.3 কষে দেখি – 1.4 কষে দেখি – 1.5
2	সরল সুদকষা (Simple Interest)	কষে দেখি – 2
3	বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য (Theorems related to circle)	কষে দেখি – 3.1 কষে দেখি – 3.2
4	আয়তঘন (Rectangular Parallelopiped or Cuboid)	কষে দেখি – 4
5	অনুপাত ও সমানুপাত (Ratio and Proportion)	কষে দেখি – 5.1 কষে দেখি – 5.2 কষে দেখি – 5.3
6	চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সমহার বৃদ্ধি বা হ্রাস (Compound Interest and Uniform Rate of Increase or Decrease)	কষে দেখি – 6.1 কষে দেখি – 5.2
7	বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য (Theorems related to Angles in a Circle)	কষে দেখি – 7.1 কষে দেখি – 7.2 কষে দেখি – 7.3
8	লম্ব বৃত্তাকার চোঙ (Right Circular Cylinder)	কষে দেখি – 8
9	দ্বিঘাত করণী (Quadratic Surd)	কষে দেখি – 9.1 কষে দেখি – 9.2 কষে দেখি – 9.3
10	বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Cyclic Quadrilateral)	কষে দেখি – 10
11	সম্পাদ্য : ত্রিভুজের পরিবৃত্ত ও অন্তবৃত্ত অঙ্কন (Construction : Construction of circumcircle and incircle of a triangle)	কষে দেখি – 11.1
12	গোলক (Sphere)	কষে দেখি – 12
13	ভেদ (Variation)	কষে দেখি – 13
14	অংশীদারি কারবার (Partnership Business)	কষে দেখি – 14
15	বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Tangent to a Circle)	কষে দেখি – 15.1 কষে দেখি – 15.2
16	লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু (Right Circular Cone)	কষে দেখি – 16
17	সম্পাদ্য : বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন (Construction: Construction of Tangent to a circle)	কষে দেখি – 17
18	সদৃশতা (Similarity)	কষে দেখি – 18.1 কষে দেখি – 18.2 কষে দেখি – 18.3 কষে দেখি – 18.4
19	বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা (Real life Problems related to different Solid Objects)	কষে দেখি – 19
20	ত্রিকোণমিতি: কোণ পরিমাপের ধারণা	কষে দেখি – 20
21	সম্পাদ্য : মধ্যসমানুপাতী নির্ণয় (Construction : Determination of Mean Proportional )	কষে দেখি – 21
22	পিথাগোরাসের উপপাদ্য (Pythagoras Theorem)	কষে দেখি – 22
23	ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি (Trigonometric Ratios and Trigonometric Identities)	কষে দেখি – 23.1 কষে দেখি – 23.2 কষে দেখি – 23.3
24	পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত (Trigonometric Ratios of Complementrary angle )	কষে দেখি – 24
25	ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ : উচ্চতা ও দূরত্ব (Application of Trigonometric Ratios: Heights & Distances)	কষে দেখি – 25
26	রাশিবিজ্ঞান : গড়, মধ্যমা, ওজাইভ, সংখ্যাগুরুমান (Statistics : Mean, Median, Ogive, Mode)	কষে দেখি – 26.1 কষে দেখি – 26.2 কষে দেখি – 26.3 কষে দেখি – 26.4

5. দুটি এককেন্দ্রীয় বৃত্তের বৃহত্তরটির AB ও AC জ্যা দুটি অপর বৃত্তকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে স্পর্শ করলে, প্রমাণ করি যে, PQ = ¹/₂BC.

Solution:
স্বীকার: দুটি এককেন্দ্রীয় বৃত্তের কেন্দ্র O। বৃহত্তর বৃত্তের দুটি জ্যা AB ও AC ছোটো বৃত্তকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয়: PQ = ¹/₂BC
অঙ্কন: O, P ও O, Q যুক্ত করা হল।
প্রমাণ: O কেন্দ্রীয় ছোটো বৃত্তের P ও Q বিন্দুতে AB ও AC দুটি স্পর্শক এবং স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ দুটি হল যথাক্রমে OP ও OQ
∴ OP ⟂ AB এবং OQ ⟂ AC
O কেন্দ্রীয় বড়ো বৃত্তের জ্যা AB -এর P বিন্দুতে OP লম্ব।
∴ AP = PB
অর্থাৎ P, AB -এর মধ্যবিন্দু।
অনুরূপে O কেন্দ্রীয় বড়ো বৃত্তটির AC জ্যা –এর Q বিন্দুতে OQ লম্ব।
∴ AQ = QC
অর্থাৎ Q, AC -এর মধ্যবিন্দু।
△ ABC -এর AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P ও Q এবং PQ সংযোজক সরলরেখা।
∴ PQ = ¹/₂BC (প্রমাণিত)

Koshe Dekhi 15.1 Class X বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য

6. O কেন্দ্রীয় কোনো বৃত্তের উপর অবস্থিত A বিন্দুতে স্পর্শকের উপর X যে-কোনো একটি বিন্দু। X বিন্দু থেকে অঙ্কিত একটি ছেদক বৃত্তকে Y ও Z বিন্দুতে ছেদ করে। YZ-এর মধ্যবিন্দু P হলে, প্রমাণ করি যে, XAPO বা XAOP একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।

Solution:
স্বীকার: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের A বিন্দুতে AX স্পর্শক। X বিন্দু থেকে অঙ্কিত ছেদক বৃত্তকে Y ও Z বিন্দুতে ছেদ করেছে। YZ –এর মধ্যবিন্দু P।
প্রামাণ্য বিষয়: XAOP বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
অঙ্কন: O, Y ও O, Z যুক্ত করা হল।
প্রমাণ: AX স্পর্শক এবং OA স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ
∴ OA ⟂ AX
∴ ∠OAX = 90°
আবার P, YZ-এর মধ্যবিন্দু এবং PO বৃত্তের কেন্দ্রগামী সরলরেখা।
∴ ∠OPX = 90°
XAOP চতুর্ভুজের,
∠OAX + ∠OAX = 90° + 90°
= 180°
∴ XAOP চতুর্ভুজের বিপরীত কোণ পরস্পর সম্পূরক।
∴ XAOP একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। (প্রমাণিত)

Koshe Dekhi 15.1 Class X বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য

7. O কেন্দ্রীয় কোনো বৃত্তের একটি ব্যাসের উপর P যে-কোনো একটি বিন্দু। ওই ব্যাসের উপর O বিন্দুতে অঙ্কিত লম্ব বৃত্তকে Q বিন্দুতে ছেদ করে। বর্ধিত QP বৃত্তকে R বিন্দুতে ছেদ করে। R বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক বর্ধিত OP-কে S বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, SP = SR.

Solution:
স্বীকার: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের একটি ব্যাসের উপর P একটি বিন্দু। OP –এর উপর O বিন্দুতে অঙ্কিত লম্ব বৃত্তকে Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। বর্ধিত QP বৃত্তকে R বিন্দুতে ছেদ করেছে এবং R বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক বর্ধিত OP –কে S বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয়: SP = SR
অঙ্কন: O, R যুক্ত করা হল।
প্রমাণ: △ROQ থেকে পাই,
OR = OQ – – – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ ∠ORQ = ∠OQR ………(i)
∵ RS স্পর্শক ও OR স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।
∴ ∠ORS = 90°
∴ ∠PRS = 90° – ∠ORP ………(ii)
বা, ∠PRS = 90° – ∠OQP [(i) নং থেকে]
আবার OQ ⟂ OP
∴ ∠QOP = 90°
∴ ∠OPQ = 90° – ∠OQP
∴ ∠RPS = 90° – ∠OQP – – – [∠OPQ = বিপ্রতীপ ∠RPS]
∴ ∠RPS = 90° – ∠ORP ………(iii)
(iii) ও (iii) নং থেকে পাই,
∠PRS = ∠RPS
△PRS ত্রিভুজের
∠PRS = ∠RPS
∴ SP = SR (প্রমাণিত)

Fb_Prostuti — **আমাদের লেটেস্ট পোস্টের আপডেট পেতে আমাদের ফেসবুক পেজে জয়েন করতে পারো ।**

8. রুমেলা O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্ত অঙ্কন করেছে যার QR একটি জ্যা। Q ও R বিন্দুতে দুটি স্পর্শক অঙ্কন করেছি যারা পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে। QM বৃত্তের একটি ব্যাস হলে, প্রমাণ করি যে, ∠QPR = 2∠RQM

Solution:
স্বীকার: O কেন্দ্রীয় বৃত্তের QR একটি জ্যা এবং QM বৃত্তের ব্যাস। Q ও R বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক দুটি পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয়: ∠QPR = 2∠RQM
অঙ্কন:
প্রমাণ: বহিঃস্থ বিন্দু P থেকে দুটি স্পর্শক PR ও PQ
∴ PR = PQ – – – – [∵ বহিঃস্থ বিন্দু থেকে বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয়ের দৈর্ঘ্য সমান হয়।]
△PQR এর,
∠PRQ = ∠PQR – – – – [∵ PR = PQ]
∴ ∠QPR = 180° – ∠PRQ – ∠PQR
= 180° – ∠PQR – ∠PQR
= 180° – 2∠PQR
∴ 2∠PQR = 180° – ∠QPR
আবার PQ স্পর্শক এবং QO স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ।
∴ ∠OQP = 90°
বা, ∠RQM + ∠PQR= 90°
বা, 2∠RQM + 2∠PQR= 180°
বা, 2∠RQM + 180° – ∠QPR = 180° – – – – [2∠PQR = 180° – ∠QPR]
বা, 2∠RQM = ∠QPR
বা, ∠QPR = 2∠RQM (প্রমাণিত)

Koshe Dekhi 15.1 Class X বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য

9. কোনো বৃত্তের AC ও BD দুটি জ্যা পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে। A ও B বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক দুটি পরস্পরকে P বিন্দুতে এবং C ও D বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক দুটি পরস্পরকে Q বিন্দুতে ছেদ করলে, প্রমাণ করি যে, ∠P + ∠Q = 2∠BOC

Solution:
স্বীকার: বৃত্তের জ্যা AC ও BD পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে। A ও B বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় P বিন্দুতে এবং C ও D বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় Q বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয়: ∠P + ∠Q = 2∠BOC
অঙ্কন: A,R; B,R; C,R; D,R এবং B,C যুক্ত করা হল।
প্রমাণ: ∵ PA ও PB স্পর্শক এবং AR ও BR স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ যথাক্রমে
∴ ∠RAP = ∠RBP = 90°, = 90°
∴ ∠RAP + ∠RBP = 90° + 90°
= 180°
∴ ∠APB + ∠ARB = 360° – 180°
বা, ∠APB + ∠ARB = 180°
বা, ∠P = 180° – ∠ARB – – – – – (i)
আবার বৃত্ত চাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ ∠ARB ও পরিধিস্থ কোণ ∠ACB
∴ ∠ARB = 2∠ACB
(i) নং থেকে পাই,
∠P = 180° – 2∠ACB
অনুরূপে প্রমাণ করা যায়,
∠Q = 180° – 2∠DBC – – – – – (ii)
(ii) ও (ii) যোগ করে পাই,
∠P + ∠Q = 180° – 2∠ACB + 180° – 2∠DBC
বা, ∠P + ∠Q = 360° – 2(∠ACB + ∠DBC)
বা, ∠P + ∠Q = 360° – 2(∠OCB + ∠OBC)
বা, ∠P + ∠Q = 360° – 2(180° – ∠BOC)
বা, ∠P + ∠Q = 360° – 360° + ∠BOC
বা, ∠P + ∠Q = ∠BOC (প্রমাণিত)