সেটতত্ত্ব- সসীম সেট, অসীম সেট ও শূন্য সেট

সেটতত্ত্ব SET THEORY

SET THEORY

Solution of S N Dey Class XI সমাধান S N Dey Class XI

সেটতত্ত্ব

সসীম সেট, অসীম সেট ও শূন্য সেট

সেটঃ বাস্তব বা চিন্তা জগতের সু-সংজ্ঞায়িত পৃথক বস্তুসমূহের সমাবেশ বা সংগ্রহকে সেট বলে।
সুতরাং কোনো বস্তুসমূহের সংগ্রহকে সেট বলা হবে যদি
(i) সংগ্রহটি সু-সংজ্ঞায়িত হয়,
[সু-সংজ্ঞায়িত বলতে বোঝায় সেটের অন্তর্গত বস্তুসমূহ একটি নির্দিষ্ট ধর্ম বা বৈশিষ্ট্য মেনে চলবে।]
(ii) সংগ্রহের অন্তর্গত যে কোনো দুটি বস্তু পরস্পর পৃথক হয়।
(iii) সংগ্রহের অন্তর্গত বস্তুগুলি ক্রম নিরপেক্ষ হয়।
উদাহরণঃ
** ইংরেজি বর্ণমালার স্বরবর্ণের সেট।
** প্রথম 5 টি স্বাভাবিক সংখ্যার সেট।
চিহ্নঃ
সাধারনত ইংরেজি বর্ণমালার Capital Letter দিয়ে (A,B,C, …. X,Y,Z ইত্যাদি) দিয়ে সেট প্রকাশ করা হয়। যেমন
ইংরেজি বর্ণমালার স্বরবর্ণের সেট হল A
A = {a, e, i, o, u}
প্রথম 5 টি স্বাভাবিক সংখ্যার সেট হল N
N = {1, 2, 3, 4, 5}
উপাদানঃ যে সকল বস্তু নিয়ে সেট গঠিত হয় তাদেরকে ঐ সেটের পদ বা উপাদান (Element) বলে।
যেমন ইংরেজি বর্ণমালার স্বরবর্ণের সেট A এর পদগুলি হল a, e, i, o, u
প্রথম 5 টি স্বাভাবিক সংখ্যার সেট N এর পদগুলি হল 1, 2, 3, 4, 5
চিহ্নঃ
সাধারনত ইংরেজি বর্ণমালার Small Letter দিয়ে (a, b, c, …. x, y, z ইত্যাদি) দিয়ে সেটের উপাদান বা পদগুলিকে প্রকাশ করা হয়। যেমন
A = {a, e, i, o, u} হলে, A সেটের একটি উপাদান a এবং b;
উপাদান প্রকাশ করা হয় ‘∈’ চিহ্ন দ্বারা।
∴ a ∈ A এবং পড়া হয়, a, A এর অন্তর্ভুক্ত (a belongs to A)
আবার A সেটে b পদটি নেই।
∴ b ∉ A এবং পড়া হয় b, A এর অন্তর্ভুক্ত নয় (b does not belongs to A)

উদাহরণ
সেট প্রতীকসমূহের সাহায্যে নিচের বিবৃতিগুলো লেখোঃ-
1. 5, A সেটের একটি পদ।
Ans: 5 ∈ A

2. a, B সেটের একটি পদ নয়।
Ans: a ∉ B

সসীম সেট, অসীম সেট ও শূন্য সেট

সেট প্রকাশের পদ্ধতিঃ

সেটের সকল উপাদান গুলিকে দ্বিতীয় বন্ধনীর ‘{ }’ মধ্যে রাখা হয় এবং একাধিক উপাদানকে ‘ কমা’ ব্যবহার করে পৃথক করা হয়।
সেটকে সাধারণত দুই ভাবে প্রকাশ করা হয়ে থাকে।
(i) তালিকা পদ্ধতি (Roster বা Tabular Method)
(ii) সেট গঠন পদ্ধতি ( Property বা Builder Method)
(i) তালিকা পদ্ধতি বা ছকবন্দীকরন পদ্ধতিঃ (i) তালিকা পদ্ধতিতে সেটের সমস্ত উপাদানগুলোকে দ্বিতীয় বন্ধনীর মধ্যে লেখা হয়।
ইংরেজি বর্ণমালার স্বরবর্ণের সেট A হলে A = {a, e, i, o, u}
প্রথম 5 টি স্বাভাবিক সংখ্যার সেট N হলে N = {1, 2, 3, 4, 5}
(ii) ধর্মভিত্তিক বা সেট গঠন পদ্ধতিঃ সেট গঠন পদ্ধতিতে সেটের সকল উপাদান উল্লেখ না করে উপাদানগুলি যে সাধারণ ধর্ম বা বৈশিষ্ট্য মেনে চলে তা উল্লেখ করা হয়।
ইংরেজি বর্ণমালার স্বরবর্ণের সেট A হলে A = {x : P(x), যেখানে P(x) হল ইংরেজি বর্ণমালার স্বরবর্ণ সমূহ।}
প্রথম 5 টি স্বাভাবিক সংখ্যার সেট N হলে N = {x : P(x), যেখানে P(x) হল প্রথম 5 টি স্বাভাবিক সংখ্যা।}

উদাহরণ:
নিচের সেটসমূহকে ছকবন্দীকরণ আকারে প্রকাশ করোঃ
3. 12-এর উৎপাদক সমূহের সেট।
Ans: 12-এর উৎপাদক গুলো হল 1, 2, 3, 4, 6 ও 12 ।
সুতরাং 12-এর উৎপাদক সমূহের সেট A হলে তার ছকবন্দীকরণ আকার হয়,
A = {1, 2, 3, 4, 6,12}

4. X = {x : x একটি পূর্ণবর্গ অখণ্ড সংখ্যা এবং 2 < x ≤ 49 }
Ans: স্পষ্টতই, 2 < x ≤ 49 এবং x একটি পূর্ণবর্গ অখণ্ড সংখ্যা হলে x =4,9,16,25,36,49 হয়।
সুতরাং X-এর ছকবন্দীকরণ আকার হবে X ={4,9,16,25,36,49}

নিচের সেটসমূহকে ধর্মভিত্তিক আকারে লেখঃ
5. ‘STATISTICS’ শব্দের অক্ষরসমূহের সেট।
Ans: ‘STATISTICS’ শব্দের অক্ষরসমূহের সেট S হলে S-এর ধর্মভিত্তিক আকার হবে—
S = {x : x হল ‘STATISTICS’ শব্দের অক্ষর}

6. 3 অথবা 3 অপেক্ষা বড় ও 25 অপেক্ষা ছোট অখন্ড সংখ্যাসমূহের সেট।
Ans: প্রদত্ত সেটটি A হলে A-এর ধর্মভিত্তিক আকার হবে,
A={x : x একটি অখণ্ড সংখ্যা এবং 3 ≤ x < 25 }}

সেটতত্ত্ব- সসীম সেট, অসীম সেট ও শূন্য সেট

সসীম সেট

সসীম সেট (Finite Set)ঃ
যে সেটের উপাদান সংখ্যা গণনা করে নির্ধারণ করা যায় অর্থাৎ উপাদান সংখ্যা সসীম হয় তাদের সসীম সেট বলে। যেমন,
A = {a, e, i, o, u}
N = {x : x একটি মৌলিক সংখ্যা এবং 1 < x < 10} ইত্যাদি
স্পষ্টতই A সেটে 5টি পদ এবং N সেটে 4টি (2, 3, 5, 7) পদ আছে। তাই এগুলো সসীম সেট।

উদাহরণ
7. নীচের কোনটি সসীম সেট?
(i) অখন্ড সংখ্যার সেট ।
(ii) ইংরেজি বর্ণমালার স্বরবর্ণের সেট ।
Ans: অখন্ড সংখ্যার সেটে অসীম সংখ্যক পদ আছে কিন্তু ইংরেজি বর্ণমালার স্বরবর্ণের সেটে পাঁচটি পদ আছে। তাই ইংরেজি বর্ণমালার স্বরবর্ণের সেট সসীম সেট ।

Solution of S N Dey Class XI
সমাধান S N Dey Class XI

S N DEY যে-কোনো কোণ ও সংযুক্ত কোণসমূহের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ {SA)	CLICK HERE
S N DEY যে-কোনো কোণ ও সংযুক্ত কোণসমূহের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ {VSA)	CLICK HERE
S N DEY যে-কোনো কোণ ও সংযুক্ত কোণসমূহের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ {MCQ)	CLICK HERE
Solution Of Set Theory S N Dey Class-XI সেটতত্ত্ব প্রশ্নমালা- 1 দীর্ঘ উত্তরধর্মী (LA)	CLICK HERE
Solution Of Set Theory S N Dey Class-XI সেটতত্ত্ব প্রশ্নমালা- 1 অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী (SA)	CLICK HERE
Solution Of Set Theory S N Dey Class-XI সেটতত্ত্ব প্রশ্নমালা- 1 অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী (VSA)	CLICK HERE
Solution Of Set Theory S N Dey Class-XI সেটতত্ত্ব প্রশ্নমালা- 1 বহু বিকল্প উত্তরধর্মী (MCQ)	CLICK HERE
ভেনচিত্র, সেট প্রক্রিয়াসমূহ	CLICK HERE
উপসেট , অধিসেট, সমান সেট,সার্বিক সেট,সূচক সেট	CLICK HERE
সসীম সেট, অসীম সেট ও শূন্য সেট	CLICK HERE

উদাহরণ সহ অসীম সেটের সংজ্ঞাঃ

অসীম সেট (Infinite Set)ঃ
যে সেটের উপাদান সংখ্যা গণনা করে নির্ধারণ করা যায় না অর্থাৎ উপাদান সংখ্যা অসীম হয় তাদের অসীম সেট বলে। যেমন,
A = {x : x বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যা}
পূর্ণসংখ্যার সেট Z হলে Z = {…….-3, – 2, -1, 0,1, 2, 3…….},
স্বাভাবিক সংখ্যার সেট N হলে N = {1, 2, 3, 4, ……..},
স্পষ্টতই A, Z, N সেটে অসীম সংখ্যক পদ আছে। তাই এগুলো অসীম সেট।

উদাহরণ
8. নীচের কোনটি অসীম সেট?
(i) 1 থেকে 100 পর্যন্ত অখন্ড সংখ্যার সেট ।
(ii) মূলদ সংখ্যার সেট ।
Ans: 1 থেকে 100 পর্যন্ত অখন্ড সংখ্যার সেটে 100 টি পদ আছে কিন্তু মূলদ সংখ্যার সেটে অসীম সংখ্যক পদ আছে। তাই মূলদ সংখ্যার সেট অসীম সেট ।

শূন্য বা খালি সেট (Empty বা Void বা Null Set)ঃ
যে সেটে কোনো পদ নেই তাকে শূন্য সেট বলে। যেমন,
B = {x : x একটি অখন্ড সংখ্যা এবং 2 < x < 3}
D = {x ∈ N : x একটি মৌলিক সংখ্যা এবং 23 < x < 29} ইত্যাদি।
স্পষ্টতই 2 এবং 3 এর মাঝে কোনো অখন্ড সংখ্যা নেই।
আবার 23 এবং 29 এর মাঝের 25, 26, 27, 28 সংখ্যাগুলির কোনোটাই মৌলিক সংখ্যা নয়।
শূন্য সেটকে ∅ বা { } দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

উদাহরণ
9. 13 এবং 17 এর মধ্যবর্তী মৌলিক সংখ্যাসমূহের সেট।
Ans: 13 এবং 17 এর মধ্যবর্তী সংখ্যাসমূহ 14, 15, 16 । সংখ্যাগুলির কোনোটাই মৌলিক সংখ্যা নয়।
13 এবং 17 এর মধ্যবর্তী মৌলিক সংখ্যাসমূহের সেট একটি শূন্য সেট।

10. নিচের সেট দুটির মধ্যে মধ্যে কোনটি শূন্য সেটঃ
(i) X = {0}
Ans: 0 অক্ষরটি X সেটের একটি পদ। সুতরাং X শূন্য সেট নয়।
(ii) Y = {x: x একটি অখন্ড সংখ্যা এবং 5 < x < 6}
Ans: 5 ও 6 এর মধ্যে কোন অখন্ড সংখ্যা নেই। তাই Y সেটের সংজ্ঞাকে সিদ্ধ করে এমন কোনো পদ নেই। অতএব Y একটি শূন্য সেট।

Fb_Prostuti — **আমাদের লেটেস্ট পোস্টের আপডেট পেতে আমাদের ফেসবুক পেজে জয়েন করতে পারো ।**

উদাহরণ সহ একপদী সেটের সংজ্ঞাঃ

একপদী সেট (Singleton Set)ঃ
যে সেটে শুধুমাত্র একটি পদ থাকে তাকে একপদী সেট বলে। যেমন,
C = {x : x একটি অখন্ড সংখ্যা এবং 2 < x < 4}
A = {x ∈ N : x একটি মৌলিক সংখ্যা এবং 4 < x < 6} ইত্যাদি।
স্পষ্টতই 2 এবং 4 এর মাঝে কোনো অখন্ড সংখ্যা নেই।
আবার 23 এবং 29 এর মাঝের 25, 26, 27, 28

উদাহরণ
11. সত্য অথবা মিথ্যা লেখোঃ-
K সেট একপদী সেট jK = {x : x একটি অখন্ড সংখ্যা এবং 2 < x < 4}
Ans: K সেটে একটি মাত্র পদ 3 আছে। তাই K সেট একপদী সেট।

সেটতত্ত্ব
উপসেট , অধিসেট, সমান সেট

উপসেট (Subset)ঃ
যদি A সেটের প্রত্যেকটি পদ B সেটেরও পদ হয়, তবে A কে B এর উপসেট বলে। যেমন
A = {a, b} এবং B = {b, a, c} দুটি সেট।
একে A ⊆ B প্রতীকের সাহায্যে লেখা হয় এবং পড়া হয় A, B এর উপসেট।
উপসেট নির্ণয়ের সুত্রটি হল = 2ⁿ [n হল সেটের পদ সংখ্যা ।] যেমন
একটি সেট A = {a, b, c}, এর উপসেট হবে = 2³ = 8
A এর উপসেট গুলো হল = {a, b, c}, {a, b}, {b, c}, {a, c}, {a}, {b}, {c}, { }
প্রকৃত উপসেট নির্ণয়ের সুত্র হল =(2ⁿ – 1)

উদাহরণ
সেট প্রতীকসমূহের সাহায্যে নিচের বিবৃতিগুলো লেখোঃ-
12. C হল D সেটের একটি উপসেট।
Ans: C ⊃ D

প্রকৃত বা যথার্থ উপসেট ও অধিসেট (Proper Subset and Superset)ঃ
যদি দুটি সেট A ও B এমন হয় যে, B সেটের প্রত্যেকটি পদ A সেটেরও পদ হয় (B ⊆ A) কিন্তু A সেটে কমপক্ষে এমন একটি পদ থাকে যা B সেটের অন্তর্গত নয় (A ≠ B) তাহলে B সেটকে A সেটের যথার্থ উপসেট এবং A সেটকে B সেটের অধিসেট বলা হয়।
B সেট A সেটের যথার্থ উপসেট অথবা A সেট B সেটের অধিসেট বক্তব্যটি A ⊃ B অথবা B ⊂ A আকারে প্রকাশ করা হয়। উদাহরন,
A = {a, s, d, f, g, h } এবং B = {a, d, h, g, f } দুটি সেট।
এখানে B সেটের প্রতিটি পদই A সেটের পদ কিন্তু A সেটের s পদটি B সেটের অন্তর্গত নয়।
সুতরাং B সেট A সেটের যথার্থ উপসেট (B ⊂ A)।
A সেট B সেটের অধিসেট (B ⊂ A)।

উদাহরণ
সেট প্রতীকসমূহের সাহায্যে নিচের বিবৃতিগুলো লেখোঃ-
13. E সেট F সেটের অধিসেট ।
Ans: F ⊂ E

14. G এবং H পরস্পর বিচ্ছেদ সেট।
Ans: G ∩ H = φ ; যেখানে φ হলো শূন্য সেট।

সূচক সেট (Power set)

যে সেটের পদগুলো একটি প্রদত্ত সেটের উপসেট, তাকে প্রদত্ত সেটের সূচক সেট বলে। সূচক সেটকে P(A) প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়। প্রতীকের সাহায্যে লেখা যায়- P(A) = { X : X ⊆ A}
যদি A = {a, b, c} হয়, তবে A সেটের উপসেটগুলো হয় = {a, b, c}, {a, b}, {b, c}, {a, c}, {a}, {b}, {c}, {}
সুতরাং A সেটের সূচক সেট হল = P(A) = { {a, b, c}, {a, b}, {b, c}, {a, c}, {a}, {b}, {c}, { } }
একটি সসীম সেট A এর পদসংখ্যা n হলে
P(A) এর পদসংখ্যা হবে = 2ⁿ [n হল সেটের পদ সংখ্যা ।]

PREVIOUS

HOME

NEXT