বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি ১০ Koshe Dekhi 10

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Cyclic Quadrilateral) Theorems related to Cyclic Quadrilateral Koshe Dekhi 10

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Cyclic Quadrilateral) Theorems related to Cyclic Quadrilateral Koshe Dekhi 10

1. পাশের ছবির PQRS বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে X বিন্দুতে এমনভাবে ছেদ করেছে যে ∠PRS = 65° এবং ∠RQS = 45°; ∠SQP ও ∠RSP-এর মান হিসাব করে লিখি।

Solution:
PS বৃত্তচাপের উপর ∠SQP ও ∠PRS বৃত্তস্থ কোণ।
∴ ∠SQP = ∠PRS = 65°
আবার ∠PQR = ∠SQP + ∠RQS
= 65° + 45°
= 110°
PQRS বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের,
∠RSP + ∠PQR = 180°
বা, ∠RSP + 110° = 180°
বা, ∠RSP = 180° – 110°
= 70°
Ans: ∠SQP = 65°, ∠RSP = 70°

2. ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের AB বাহুকে X বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করলাম এবং মেপে দেখছি ∠XBC = 82° এবং ∠ADB = 47°; ∠BAC-এর মান হিসাব করে লিখি।

Solution:
∠CBX = 82°
∴ ∠ABC = 180° – 82°
= 98°
ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের,
∠ADC + ∠ABC = 180°
বা, ∠ADC + 98° = 180°
বা, ∠ADC = 180° – 98°
= 82°
∵ ∠ADB = 47°
∴ ∠BDC = 82° – 47°
= 35°
BC বৃত্তচাপের উপর ∠BAC ও ∠BDC বৃত্তস্থ কোণ।
∴∠BAC = ∠BDC = 35°
Ans: ∠BAC = 35°

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Cyclic Quadrilateral) Theorems related to Cyclic Quadrilateral Koshe Dekhi 10

3. PQRS বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের PQ, SR বাহু দুটি বর্ধিত করায় T বিন্দুতে মিলিত হলো। বৃত্তের কেন্দ্র O; ∠POQ = 110°, ∠QOR = 60°, ∠ROS = 80° হলে ∠RQS ও ∠QTR –এর মান হিসাব করে লিখি।

Solution:
SR বৃত্তচাপের উপর ∠SOR কেন্দ্রস্থ কোণ ও ∠RQS বৃত্তস্থ কোণ।
∴ ∠RQS = ½ × ∠SOR
= ½ × 80° = 40°
∠POS = 360° – (∠SOR + ∠ROQ + ∠QOP)
= 360° – (80° + 60° + 110°)
= 360° – 250°
⇒ 110°
∴ PS বৃত্তচাপের উপর ∠POS কেন্দ্রস্থ কোণ ও ∠PQS বৃত্তস্থ কোণ।
∴ ∠PQS = ½ × ∠POS
= ½ × 110° = 55°
∴ ∠PQR = ∠PQS + ∠RQS
= 55° + 40° = 95°
∴ ∠RQT = 180° – ∠PQR
= 180° – 95° = 85°
QS বৃত্তচাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ ∠SOQ ও বৃত্তস্থ কোণ ∠SPQ
∴ 2∠SPQ = ∠SOQ
বা, 2∠SPQ = ∠SOR + ∠ROQ
বা, 2∠SPQ = 80° + 60°
⇒ 2∠SPQ = 140°
বা, ∠SPQ = 70°
আবার, PQRS বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের,
বহিঃস্থ কোণ ∠QRT = বিপরীত অন্তস্থ কোণ ∠SPQ
∴ ∠QRT = 70°
△RQT থেকে পাই,
∠QTR = 180° – (∠RQT + ∠QRT)
= 180° – (85° + 70°)
= 180° – 155°
⇒ 25°
Ans: ∠RQS = 40°,
∠QTR = 25°

4. দুটি বৃত্ত পরস্পরকে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। P ও Q বিন্দুগামী দুটি সরলরেখা একটি বৃত্তকে যথাক্রমে A ও C এবং অপর বৃত্তকে যথাক্রমে B ও D বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, AC ∥ BD।

প্রদত্তঃ দুটি বৃত্ত P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। P ও Q বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত AB ও CD সরলরেখা বৃত্ত দুটিকে যথাক্রমে A ও B এবং C ও D বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামান্য বিষয়ঃ AC ∥ BD
অঙ্কনঃ A, C; P, Q; B, D যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ APQC বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের,
∴ ∠PAC + ∠PQC = 2 সমকোণ
আবার, PBDQ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের,
বহিঃস্থ কোণ ∠PQC = অন্তস্থ কোণ ∠PBD
∵ ∠PAC + ∠PQC = 2 সমকোণ
∴ ∠PAC + ∠PBD = 2 সমকোণ
AC ও BD সরলরেখার ভেদক AB এবং অন্তস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি 2 সমকোন
∴ AC ∥ BD (প্রমানিত)।

5. ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভজ অঙ্কন করেছি এবং এর BC বাহুকে E বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করলাম। প্রমাণ করে যে, ∠BAD ও ∠DCE-এর সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় বৃত্তের উপর মিলিত হবে।

প্রদত্তঃ ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের BC বাহুকে E পর্যন্ত বর্ধিত করা হয়েছে। ∠BAD –এর সমদ্বিখণ্ডক AF পরিধিকে F বিন্দুতে ছেদ করেছে। F, C যুক্ত করা হল।
প্রামান্য বিষয়ঃ CF, ∠DCE –এর সমদ্বিখণ্ডক।
প্রমাণঃ ABCF বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের,
∴ বহিঃস্থ কোণ ∠ECF = বিপরীত অন্তস্থ কোণ ∠BAF ……….(i)
FD বৃত্তচাপের উপর বৃত্তস্থ কোণ ∠DCF ও ∠FAD
∴ ∠DCF = ∠FAD
আবার, AF, ∠BAD –এর সমদ্বিখণ্ডক
∠FAD = ∠BAF
বা, ∠DCF = ∠BAF – – – [∵ ∠DCF = ∠FAD]
বা, ∠DCF = ∠ECF – – – [(i) নং থেকে]
∴ CF, ∠DCE –এর সমদ্বিখণ্ডক।
∴ ∠BAD ও ∠DCE –এর সমদ্বিখন্ডকদ্বয় বৃত্তের উপর মিলিত হবে।(প্রমানিত)

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Cyclic Quadrilateral) Theorems related to Cyclic Quadrilateral Koshe Dekhi 10

6. মোহিত একটি বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু X দিয়ে দুটি সরলরেখা অঙ্কন করেছে যারা বৃত্তটিকে যথাক্রমে A, B বিন্দু ও C, D বিন্দুতে ছেদ করেছে। যুক্তি দিয়ে প্রমাণ করি যে, △XAC ও △XBD-এর দুটি করে কোণ সমান।

প্রদত্তঃ বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু X দিয়ে অঙ্কিত দুটি সরলরেখা বৃত্তকে A ও B এবং C ও D বিন্দু ছেদ করেছে।
প্রামান্য বিষয়ঃ △XAC ও △XBD-এর দুটি করে কোণ সমান।
অঙ্কনঃ A, C ও B, D যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বহিঃস্থ কোন বিপরীত অন্তঃস্থ কোনের সমান হয়।
ABDC বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের,
বহিঃস্থ কোণ ∠CAX = বিপরীত অন্তস্থ কোণ ∠BDC এবং
বহিঃস্থ কোণ ∠ACX = বিপরীত অন্তস্থ কোণ ∠ABD
△XAC ও △XBD-এর,
∠CAX = ∠BDC এবং
∠ACX = ∠ABD
∴ △XAC ও △XBD –এর দুটি করি কোণ সমান। (প্রমানিত)

7. দুটি বৃত্ত অঙ্কন করেছি যারা পরস্পরকে G ও H বিন্দুতে ছেদ করেছে। এবার G বিন্দুগামী একটি সরলরেখা অঙ্কন করলাম যেটি বৃত্ত দুটিকে P ও Q বিন্দুতে এবং H বিন্দুগামী PQ-এর সমান্তরাল অপর একটি সরলরেখা অঙ্কন করলাম যা বৃত্তদুটিকে R ও S বিন্দুতে ছেদ করল। প্রমাণ করি যে PQ = RS।

প্রদত্তঃ দুটি বৃত্ত পরস্পর G, H বিন্দুতে ছেদ করেছে। G ও H বিন্দুগামী সরলরেখা বৃত্ত দুটিকে যথাক্রমে P ও Q এবং R ও S বিন্দুতে ছেদ করেছে এবং PQ ∥ RS.
প্রামান্য বিষয়ঃ PQ = RS
অঙ্কনঃ P, R; G, H এবং Q, S যুক্ত করা হল ।
প্রমাণঃ GHSQ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের,
∴ ∠HSQ + ∠HGQ = 180° – – – (i)
আবার, PQ সরলরেখার ওপর G বিন্দুতে, GH দণ্ডায়মান।
∴∠PGH + ∠HGQ = 180° – – – (ii)
(i) ও (ii) নং থেকে পাই,
∠HSQ + ∠HGQ = ∠PGH+ ∠HGQ7
বা, ∠HSQ = ∠PGH
আবার, PRHG বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের,
∠PRH + ∠PGH = 180°
বা, ∠PRH + ∠HSQ = 180° – – – [∵ ∠PGH = ∠HSQ]
PR ও QS বাহুদ্বয়ের ভেদক RS এর একই পার্শ্বস্থ অন্তঃকোণের সমষ্টি 180°
∴ PR || QS
আবার, PQ || RS
∴ PRSQ একটি সামান্তরিক।
∴PQ = RS (প্রমাণিত)

8. ABC একটি ত্রিভুজ অঙ্কন করেছি যার AB = AC এবং বর্ধিত BC-এর উপর E যে-কোনো একটি বিন্দু। △ABC-এর পরিবৃত্ত AE-কে D বিন্দুতে ছেদ করলে প্রমাণ করি যে, ∠ACD = ∠AEC।

প্রদত্তঃ ABC ত্রিভুজে AB = AC এবং BC –এর উপর E যেকোনো বিন্দু। AE পরিধিকে D বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রামান্য বিষয়ঃ ∠ACD = ∠AEC
অঙ্কনঃ C, D যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের
∴ বহিঃস্থ ∠CDE = অন্তস্থ ∠ABC
আবার, ABC ত্রিভুজের,
AB = AC
∴ ∠ABC = ∠ACB
∴ ∠CDE = ∠ACB
△DCE -এর,
বহিঃস্থ কোণ ∠BCD = ∠CDE + ∠CED
বা, ∠ACB + ∠ACD = ∠CDE + ∠AEC
বা, ∠CDE + ∠ACD = ∠CDE + ∠AEC
∴ ∠ACD = ∠AEC (প্রমাণিত)

জ্যামিতিক পদ্ধতিতে 4 ও 8 এর মধ্যসমানুপাতী নির্ণয় CLICK HERE

9. ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। DE জ্যা ∠BDC-এর বহির্দ্বিখন্ডক। প্রমাণ করি যে, AE (বা বর্ধিত AE) ∠BAC-এর বহির্দ্বিখন্ডক।

প্রদত্তঃ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ ABCD এর ∠BDC এর বহির্দ্বিখন্ডক DE জ্যা।
প্রামান্য বিষয়ঃ AE , ∠BAC এর বহির্দ্বিখন্ডক।
অঙ্কনঃ CD কে G পর্যন্ত এবং BA কে F পর্যন্ত বর্ধিত করা হল।
প্রমাণঃ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বহিঃস্থ কোন বিপরীত অন্তঃস্থ কোনের সমান হয়।
∴ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ AEDB থেকে পাই,
∠EAF = ∠BDE
∵ ED, ∠BDC এর বহির্দ্বিখন্ডক।
∴ ∠BDE = ∠EDG
∴ ∠EAF = ∠EDG – – – (i)
অনুরুপে, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ ACDE থেকে পাই,
∠EDG = ∠EAC – – – (ii)
(i) ও (ii) নং থেকে পাই,
∠EAG = ∠EAC
∴ EA, ∠BAC এর বহির্দ্বিখন্ডক (প্রমাণিত)

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Cyclic Quadrilateral) Theorems related to Cyclic Quadrilateral Koshe Dekhi 10

দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে এখানে ক্লিক করো।

10. ABC ত্রিভুজের AC ও AB বাহুর উপর BE ও CF যথাক্রমে লম্ব। প্রমাণ করি যে, B, C, E, F বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ। এর থেকে প্রমাণ করি যে, △AEF ও △ABC এর দুটি করে কোণ সমান।

প্রদত্তঃ △ABC এর AC এবং AB বাহুর ওপর যথাক্রমে BE ও CF লম্ব ।
প্রামান্য বিষয়ঃ B,C,E,F বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ।
অঙ্কনঃ E, F যোগ করা হল ।
প্রমাণঃ ∵ BE ⊥ AC
∴∠BEC = 1 সমকোণ এবং
∵ CF ⊥ AB
∴ ∠CFB = 1 সমকোণ
∴∠BEC = ∠CFB = 1 সমকোন
∴ একই রেখাংশ BC এর ওপর অবস্থিত দুটি কোন ∠BEC ও ∠CFB অর্ধবৃত্তস্থ কোন।
∴ B,C,E,F বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ (প্রমানিত)
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বহিঃস্থ কোণ বিপরীত অন্তঃস্থ কোণের সমান হয়।
∴ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ BCEF এর,
বহিঃস্থ কোন ∠AEF = বিপরীত অন্তঃস্থ কোন ∠FBC
বা, ∠AEF = ∠ABC এবং
বহিঃস্থ কোন ∠AFE = বিপরীত অন্তঃস্থ কোন ∠ECB
বা, ∠AFE= ∠ACB
△AEF এবং △ABC এর,
∠AEF = ∠ABC এবং
∠AFE= ∠ACB
∴△AEF ও △ABC এর দুটি করে কোন সমান (প্রমাণিত)

11. ABCD একটি সামান্তরিক। A ও B বিন্দুগামী একটি বৃত্ত AD ও BC-কে যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, E, F, C, D বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ।

প্রদত্তঃ ABCD সামান্তরিকের A ও B বিন্দুগামী বৃত্ত AD ও BC বৃত্তকে যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামান্য বিষয়ঃ E, F, C, D সমবৃত্তস্থ।
অঙ্কনঃ E, F যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ ABFE বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের,
∠BAE + ∠BFE = 180° – – – (i)
আবার ABCD সামান্তরিকের,
∠BAD + ∠ADC = 180°∴ ∠BAE + ∠EDC = 180° – – – (ii) [সামান্তরিকের সন্নিহিত কোনদ্বয়ের সমষ্টি 180°]
(i) ও (ii) থেকে পাই,
∠BAE + ∠BFE = ∠BAE + ∠EDC
বা, ∠BFE = ∠EDC
বা, 180° – ∠EFC = ∠EDC
⇒ ∠EFC + ∠EDC = 180
EFCD চতুর্ভুজের,
∠EFC + ∠CDE = 180°
∴ EFCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
∴ E, F, C, D বিন্দু চারটি সমবৃত্তস্থ। (প্রমাণিত)

12. ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। AB ও DC বাহুদ্বয়কে বর্ধিত করলে P বিন্দুতে এবং AD ও BC বাহুদ্বয়কে বর্ধিত করলে R বিন্দুতে মিলিত হয়। △BCP এবং △CDR-এর পরিবৃত্তদ্বয় T বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, P, T, R সমরেখ।

প্রদত্তঃ ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ, যার বর্ধিত AB এবং DC পরস্পরকে P বিন্দুতে এবং বর্ধিত AD ও BC পরস্পর R বিন্দুতে মিলিত হয়েছে । △BCP এবং △CDR এর পরিবৃত্তদ্বয় T বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রামান্য বিষয়ঃ P, T, R সমরেখ ।
অঙ্কনঃ P, T; R T এবং C, T যুক্ত করা হল ।
প্রমাণঃ BCTP বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের,
∠CTP + ∠CBP = 180°
বা, ∠CTP = 180° – ∠CBP
বা, ∠CTP = ∠ABC
∠CDA = 180° – ∠CDR
বা, ∠CDA = ∠CTR
ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের,
∠ABC + ∠CDA = 180°
বা, ∠CTP + ∠CTR = 180°
∠CTP এবং ∠CTR এর CT সাধারন বাহু এবং কোন দুটির সমষ্টি 180°,
∴ P, T, R সমরেখ। (প্রমাণিত)

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Cyclic Quadrilateral) Theorems related to Cyclic Quadrilateral Koshe Dekhi 10

13. ABC ত্রিভুজের লম্ববিন্দু O; প্রমাণ করি যে O বিন্দুটি পাদত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্র।

প্রদত্তঃ △ABC এর শীর্ষবিন্দু তিনটি থেকে বিপরীত বাহুগুলির ওপর অঙ্কিত লম্ব তিনটি যথাক্রমে AD, BE এবং CF, O বিন্দুতে ছেদ করেছে ।
প্রামান্য বিষয়ঃ O বিন্দুটি পাদত্রিভুজ △DEF এর অন্তঃকেন্দ্ৰ ৷
অঙ্কনঃ D, E; E, F এবং F, D যুক্ত করা হল ।
প্রমাণঃ O, △ABC এর লম্ববিন্দু ।
সুক্ষকোনী ত্রিভুজের শীর্ষ থেকে বিপরীত বাহুর ওপর অঙ্কিত লম্ব তার পাদত্রিভুজের কোনকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
∴ AD রেখা, ∠FDE কে, BE রেখা ∠DEF কে এবং CF রেখা ∠DFD কে সমদ্বিখন্ডিত করে ।
⇒ △DEF এর অন্তর্দ্বিখন্ডকত্রয় O বিন্দুতে মিলিত হয়েছে।
∴ O △DEF এর অন্তঃকেন্দ্ৰ (প্রমাণিত)

14. ABCD এমন একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ এঁকেছি যে AC, ∠BAD-কে সমদ্বিখন্ডিত করেছে। এবার AD-কে E বিন্দু পর্যন্ত এমনভাবে বর্ধিত করলাম যেন DE = AB হয়। প্রমাণ করি যে, CE = CA

প্রদত্তঃ ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের AC, ∠BAD-কে সমদ্বিখন্ডিত করেছে এবং DE = AB ;
প্রামান্য বিষয়ঃ CE = CA
অঙ্কনঃ B,D যুক্ত করা হল ।
প্রমাণঃ ∠BAC = ∠BDC – – – [একই বৃত্তাংশস্থ কোন]
এবং ∠CAD = ∠CBD – – – [ একই বৃত্তাংশস্থ কোন]
আবার, ∠BAC = ∠CAD – – – [ ∵ AC, ∠BAD এর সমদ্বিখণ্ডক]
∴ ∠BDC = ∠DBC
∴ △BCD থেকে পাই, CD =BC
AE সরলরেখার ওপর D বিন্দুতে DE দণ্ডায়মান
∴ ∠EDC + ∠CDA = 180°
ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের,
∠ADC + ∠ABC = 180°
∴ ∠EDC + ∠CDA = ∠ADC + ∠ABC
বা, ∠EDC = ∠ABC
এখন △DEC ও △ABC এর মধ্যে
DE = AB – – – ( প্রদত্ত )
∠EDC = ∠ABC – – – ( পূর্বে প্রমানিত )
CD = BC – – – ( পূর্বে প্রমানিত )
∴ △DCE ≅ △ABC – – – [ S-S-S শর্তানুসারে ]
∴ CE = CA – – – (অনুরূপ বাহু )[প্রমাণিত ]

15. দুটি বৃত্তের একটি অপরটির কেন্দ্র O বিন্দুগামী এবং বৃত্ত দুটি পরস্পরকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে। A বিন্দুগামী একটি সরলরেখা O বিন্দুগামী বৃত্তকে P বিন্দুতে এবং O কেন্দ্রীয় বৃত্তকে R বিন্দুতে ছেদ করেছে। P, B ও R, B যুক্ত করে, প্রমাণ করি যে PR = PB

প্রদত্তঃ দুটি বৃত্তের একটি অপরটির কেন্দ্র O বিন্দুগামী। RAP সরলরেখা O কেন্দ্রীয় বৃত্তকে R বিন্দুতে এবং অপর বৃত্তকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে। P,B ও R,B যুক্ত করা হল ।
প্রামান্য বিষয়ঃ PR = PB
অঙ্কনঃ O, A; O, B এবং O, R যুক্ত করা হল ।
প্রমাণঃ △ROB এর OR = OB – – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ ∠ORB = ∠OBR
△ROA এর OA = OR – -M – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ ∠OAR = ∠ARO
আবার চতুর্ভুজ AOBP সমবৃত্তস্থ ।
∴ ∠OBP+ ∠OAP = 180° – – – (i)
PR বাহুর ওপর A বিন্দুতে AO দন্ডায়মান ৷
∴ ∠OAP + ∠OAR = 180° – – – (ii)
(i) ও (ii) থেকে পাই,
∠OBP+ ∠OAP = ∠OAP + ∠OAR
বা, ∠OBP = ∠OAR
বা, ∠OBP = ∠ARO
∠PRB = ∠ARO + ∠ORB
= ∠OBP + ∠OBR
= ∠PBR
△PBR এর ∠PRB = ∠PBR
∴ PR = PB (প্রমাণিত)

16. প্রমাণ করি যে একটি সুষম পঞ্চভুজের যে-কোনো চারটি শীর্ষবিন্দু সমবৃত্তস্থ।

প্রদত্তঃ ধরি, ABCDE একটি সুষম পঞ্চভুজ।
প্রামান্য বিষয়ঃ ABCDE এর যেকোনো চারটি শীর্ষবিন্দু সমবৃত্তস্থ।
অঙ্কনঃ A, D যুক্ত করা হল ।
প্রমাণঃ সুষম পঞ্চভুজের প্রতিটি কোনের মান
= ^{{(5 – 2) × 180°}}/₅
= ^540°/₅ = 108°
এখন, △ADE এর AE = DE
∴ ∠DAE = ∠EDA
= ^{(180°-108°)}/₂
= 36^°
∴ ∠BAD = 108° – 36° = 72°
∴ ∠BAD + BCD = 108° + 72°
= 180°
অতএব ABCD চতুর্ভুজের বিপরীত কোনগুলির সমষ্টি 180°
∴ ABCD চতুর্ভুজটি সমবৃত্তস্থ ।
সুষম পঞ্চভুজের যে-কোনো চারটি শীর্ষবিন্দু সমবৃত্তস্থ। (প্রমাণিত)

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Cyclic Quadrilateral) Theorems related to Cyclic Quadrilateral Koshe Dekhi 10

17. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)

(i) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB ব্যাস। ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। ∠ADC = 120° হলে, ∠BAC-এর মান(a) 50° (b) 60° (c) 30° (d) 40°

Ans: (c) 30°
Solution:
ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের,
∠ADC + ∠ABC = 180°
∴ ∠ABC = 180° – 120° = 60°
আবার, ∠ACB অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
∴ ∠ACB = 90°
∴ ∠BAC = 180° – (90° + 60°)
= 180° – 150° = 30°

(ii) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB ব্যাস। ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। ∠ABC = 65°, ∠DAC = 40° হলে, ∠BCD-এর মান – (a) 75° (b) 105° (c) 115° (d) 80°

Ans: (c) 115°
Solution:
∠ACB অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
∴ ∠ACB = 90°
∴ ∠BAC = 180° – (90° + 65°)
= 180° – 155° = 25°
∴ ∠BAD = 25° + 40° = 65°
ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের,
∴ ∠BAD + ∠BCD = 180°
∴ ∠BCD = 180° – 65°
= 115°

(iii) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB বৃত্তের ব্যাস। ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ যার AB ∥ DC এবং ∠BAC = 25° হলে ∠DAC-এর মান(a) 50° (b) 60° (c) 30° (d) 40°

Ans: (d) 40°
Solution:
∵ AB ∥ CD
∴ ∠ACD = ∠BAC = 25°
∠ACB অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
∴ ∠ACB = 90°
∴ ∠ABC = 180° – 90° – 25°
= 180° – 115° = 65°
ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের,
∴ ∠ABC + ∠CDA = 180°
∴ ∠ADC = 180° – 65°
= 115°
∴ ∠DAC = 180° – (115° + 25°)
= 180° – 140° = 40°

(iv) পাশের চিত্রে ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। BA-কে F বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো। AE ∥ CD, ∠ABC = 92° এবং ∠FAE = 20° হলে, ∠BCD-এর মান – (a) 20° (b) 88° (c) 108° (d) 72°

Ans: b) 88°
Solution:
ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ
∠ABC + ∠CDA = 180°
∴ ∠CDA = 180° – 92° = 88°
∵ AE ∥ CD
∴ ∠CDA = একান্তর ∠DAE
= 88°
∴ ∠DAF = ∠DAE + ∠EAF
= 88° + 20° = 108°
ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের,
অন্তস্থ ∠BCD = বহিঃস্থ ∠DAF
= 108°

(v) পাশের চিত্রে দুটি বৃত্ত পরস্পরকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করে। D ও C বিন্দুগামী দুটি সরলরেখা একটি বৃত্তকে যথাক্রমে A ও B বিন্দুতে এবং অপর বৃত্তকে E ও F বিন্দুতে ছেদ করে। ∠DAB = 75° হলে, ∠DEF-এর মান – (a) 75° (b) 70° (c) 60° (d) 105°

Ans: (d) 105°
Solution:
C, D যুক্ত করা হল।
ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের,
বহিঃস্থ ∠DCF = অন্তস্থ ∠DAB = 75°
আবার, DCFE বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের,
∠DEF + ∠DCF = 180° – 75°
বা, ∠DEF = 180° – 75° = 105°

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Cyclic Quadrilateral) Theorems related to Cyclic Quadrilateral Koshe Dekhi 10

(B) সত্য / মিথ্যা লিখিঃ

(i) একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণ পরস্পর পূরক।
Ans: মিথ্যা।

(ii) একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ বিপরীত অন্তঃস্থ কোণের সমান হয়।
Ans: সত্য।

(C) শূন্যস্থান পূরণ করিঃ

(i) একটি চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সম্পুরক হলে চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি ________।
Ans: সমবৃত্তস্থ।

(ii) একটি বৃত্তস্থ সামান্তরিক একটি __________ চিত্র।
Ans: আয়তাকার।

(iii) একটি বর্গাকার চিত্রের শীর্ষবিন্দুগুলি ________।
Ans: সমবৃত্তস্থ।

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য

18. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.):

(i) পাশের চিত্রে P ও Q কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তদুটি B ও C বিন্দুতে ছেদ করেছে। ACD একটি সরলরেখাংশ। ∠ARB = 150°, ∠BQD = x° হলে, x-এর মান নির্ণয় করি।

ARBC বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের,
∠ARB + ∠ACB = 180°
∴ ∠ACB = 180° – 150° = 30°
∴ ∠BCD = 180° – 30° = 150°
BD বৃত্তচাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ প্রবৃদ্ধ ∠BQD ও বৃত্তস্থ কোণ ∠BCD
∴ প্রবৃদ্ধ ∠BQD = 2∠BCD
= 2 × 150° = 300°
∴ ∠BQD = 360° – প্রবৃদ্ধ ∠BQD
= 360° – 300° = 60°
Ans: x –এর মান 60°।

(ii) পাশের চিত্রে দুটি বৃত্ত পরস্পর P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে। ∠QAD = 80° এবং ∠PDA = 84° হলে, ∠QBC ও ∠BCP-এর মান নির্ণয় করি।

AQPD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের,
∠ADP + ∠AQP = 180°
∴ ∠AQP = 180° – 84° = 96°
∴ ∠BQP = 180° – 96° = 84°
এবং ∠DAQ + ∠DPQ = 180°
বা, ∠DPQ = 180° – 80° = 100°
∴ ∠QPC = 180° – 100° = 80°
BCPQ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের,
∠BCP + ∠BQP = 180°
∴ ∠BCP = 180° – 84° = 96°
∠QBC + ∠QPC = 180°
∴ ∠QBC = 180° – 80° = 100°
Ans: ∠QBC = 100°, ∠BCP = 96°

(iii) পাশের চিত্রে ∠BAD = 60°, ∠ABC = 80° হলে, ∠DPC এবং ∠BQC-এর মান নির্ণয় করি।

ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের.
∠DAB + ∠DCB = 180°
∴ ∠DCB = 180° – 60°
= 120° এবং
∠ABC + ∠ADC = 180°
∴ ∠ADC = 180° – 80°
= 100°
△APD এর ক্ষেত্রে,
∠APB = 180° – ∠BAD – ∠ABC
= 180° – 60° – 80°
= 40°
∴ ∠DPC = 40°
△AQD এর ক্ষেত্রে,
∠AQD = 180° – ∠BAD – ∠ADC
= 180° – 60° – 100°
= 20°
∴ ∠BQC = 20°
Ans: ∠DPC = 40° এবং ∠BQC = 20°

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Cyclic Quadrilateral) Theorems related to Cyclic Quadrilateral Koshe Dekhi 10

(iv) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AC ব্যাস। ∠AOB = 80° এবং ∠ACE = 10° হলে, ∠BED-এর মান নির্ণয় করি।

যেহেতু ∠AOB = 80°
∴ ∠BOC = 180° – 80° = 100°
∴ ∠OCB + ∠OBC = 180° – 100°
বা, 2∠OCB = 80° – – [OC = OB, একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
বা, ∠OCB = ^80°/₂
⇒ ∠OCB = 40°
∠BCE = ∠OCB + ∠ACE
= 40° + 10° = 50°
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের BC বৃত্তচাপের কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOC ও বৃত্তস্থ কোণ ∠BEC
∴ ∠BOC = 2∠BEC
∴ 2∠BEC = 100°
⇒ ∠BEC = ^100°/₂ = 50°
∵ CD ∥ BE
∴ ∠BEC = ∠DCE = 50°
∴ ∠BCD = ∠DCE + ∠BCE
= 50° + 50°
= 100°
∴ EBCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের
∠BED + ∠BCD = 180°
∴ ∠BED = 180° – 100°
= 80°
Ans: ∠BED-এর মান = 50°

(v) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB বৃত্তের ব্যাস। ∠AOD = 140° এবং ∠CAB = 50° হলে, ∠BED-এর মান নির্ণয় করি।

ABDC বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের
∠CAB + ∠CDB = 180°
বা, 50° + ∠CDB = 180°
বা, ∠CDB = 180° – 50° = 130°
∴ ∠BDE = 180° – ∠CDB
= 180° – 130° = 50°
আবার, ∠AOD = 140°
∴ ∠BOD = 180° – ∠AOD
= 180° – 140° = 40°
∴ ∠OBD + ∠ODB = 180° – 40°
বা, 2∠OBD = 140° – – [OB = OD, একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
বা, ∠OBD = ^140°/₂
⇒ ∠OBD = 70°
∴ ∠DBE = 180° – ∠OBD
= 180° – 70°
= 110°
∴ ∠BED = 180° – (110° + 50°)
= 180° – 160°
= 20°
Ans: ∠BED-এর মান = 20°

Madhyamik Question

MP-2024

▶️ ‘O’ কেন্দ্রীয় বৃত্তে BOC ব্যাস, ABCD বৃত্তস্থ চর্তুভুজ, ∠ADC = 110^o হলে ∠ACB এর মান নির্ণয় করো।

VIEW ANSER

MP-2023

▶️ প্রমাণ করো যে, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক।

VIEW ANSER

▶️ ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। ∠DAB এবং BCD এর সমদ্বিখন্ডকদ্বয় বৃত্তকে যথাক্রমে X ও Y বিন্দুতে ছেদ করেছে। 0 বৃত্তটির কেন্দ্র হলে ∠XOY এর মান নির্ণয় করো।

VIEW ANSER

▶️ প্রমাণ করো – বৃত্তস্থ ট্রাপিজিয়াম একটি সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম।

VIEW ANSER

MP-2022

▶️ একটি চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সম্পূরক হলে, চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি __________। (শূন্যস্থান পূরণ)
Ans: সমবৃত্তস্থ

▶️ প্রমাণ করো যে, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক।

VIEW ANSER

▶️ ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। DE জ্যা ∠BDC -এর বহিদ্বিখণ্ডক। প্রমাণ করো যে AE (বা বর্ধিত AE) ∠BAC-এর বহির্দ্বিখণ্ডক।

VIEW ANSER

MP-2020

▶️ দুটি কোণের সমষ্টি ________ হলে তাদেরকে পরস্পরের সম্পূরক বলা হয়।
Ans:. 180^o

MP-2019

▶️ ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের ∠A = 100^o হলে ∠C-এর মান:
(a) 50^o (b)20^o (c) 80^o (d) 180^o

VIEW ANSER

MP-2018

▶️ কোনো বৃত্তের কেন্দ্র O এবং ব্যাস AB; ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। ∠ABC = 65^o, ∠DAC = 40^o হলে ∠BCD এর মান-
(a) 75^o (b) 105^o (c) 115^o (d) 80^o

VIEW ANSER

▶️ ABCD একটি বৃত্তস্থ সামান্তরিক হলে ∠A -এর মান হবে __________ । (শূন্যস্থান পূরণ)
Ans: 90^o
[বৃত্তস্থ সামান্তরিক একটি আয়তক্ষেত্র হয়]

MP-2017

▶️ প্রমাণ কর যে, কোনো চতুর্ভুজের কোণ চারটির সমদ্বিখণ্ডকগুলি পরস্পর মিলিত হয়ে যে চতুর্ভুজ গঠন করে, সেটি বৃত্তঃস্থ চতুর্ভুজ।

VIEW ANSER

KOSHE DEKHI 9.3

KOSHE DEKHI 11.1

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি ১০

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য কষে দেখি ১০ Koshe Dekhi 10

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Cyclic Quadrilateral) Theorems related to Cyclic Quadrilateral Koshe Dekhi 10

9. ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। DE জ্যা ∠BDC-এর বহির্দ্বিখন্ডক। প্রমাণ করি যে, AE (বা বর্ধিত AE) ∠BAC-এর বহির্দ্বিখন্ডক।

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Cyclic Quadrilateral) Theorems related to Cyclic Quadrilateral Koshe Dekhi 10

দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে এখানে ক্লিক করো।

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Cyclic Quadrilateral) Theorems related to Cyclic Quadrilateral Koshe Dekhi 10

13. ABC ত্রিভুজের লম্ববিন্দু O; প্রমাণ করি যে O বিন্দুটি পাদত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্র।

16. প্রমাণ করি যে একটি সুষম পঞ্চভুজের যে-কোনো চারটি শীর্ষবিন্দু সমবৃত্তস্থ।

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Cyclic Quadrilateral) Theorems related to Cyclic Quadrilateral Koshe Dekhi 10

17. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)

(i) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB ব্যাস। ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। ∠ADC = 120° হলে, ∠BAC-এর মান(a) 50° (b) 60° (c) 30° (d) 40°

(ii) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB ব্যাস। ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। ∠ABC = 65°, ∠DAC = 40° হলে, ∠BCD-এর মান – (a) 75° (b) 105° (c) 115° (d) 80°

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Cyclic Quadrilateral) Theorems related to Cyclic Quadrilateral Koshe Dekhi 10

(B) সত্য / মিথ্যা লিখিঃ

(C) শূন্যস্থান পূরণ করিঃ

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য

18. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.):

(ii) পাশের চিত্রে দুটি বৃত্ত পরস্পর P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে। ∠QAD = 80° এবং ∠PDA = 84° হলে, ∠QBC ও ∠BCP-এর মান নির্ণয় করি।

(iii) পাশের চিত্রে ∠BAD = 60°, ∠ABC = 80° হলে, ∠DPC এবং ∠BQC-এর মান নির্ণয় করি।

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems related to Cyclic Quadrilateral) Theorems related to Cyclic Quadrilateral Koshe Dekhi 10

(iv) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AC ব্যাস। ∠AOB = 80° এবং ∠ACE = 10° হলে, ∠BED-এর মান নির্ণয় করি।

(v) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB বৃত্তের ব্যাস। ∠AOD = 140° এবং ∠CAB = 50° হলে, ∠BED-এর মান নির্ণয় করি।