বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৭.৩ RELATED TO ANGLES IN A CIRCLE

বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৭.৩
|| RELATED TO ANGLES IN A CIRCLE || KOSHE DEKHI 7.3 || দশম শ্রেণি গণিত প্রকাশ || CLASS X GANIT PRAKASH

1. ABC ত্রিভুজের B কোণটি সমকোণ। যদি AC-কে ব্যাস করে একটি বৃত্ত অঙ্কন করি যা AB-কে D বিন্দুতে ছেদ করে, তবে নীচের তথ্যগুলির মধ্যে কোনটি ঠিক লিখি –(i) AB > AD (ii) AB = AD (iii) AB < AD

সমাধানঃ △ABC -এর তিনটি বিন্দু অসমরেখ বিন্দু এবং A ও C বিন্দুটি বৃত্তের উপর অবস্থিত, তাই B বিন্দুটিও বৃত্তের উপরেই অবস্থিত হবে। – – – [তিনটি অসমরেখ বিন্দু দিয়ে কেবলমাত্র একটিই বৃত্ত অঙ্কন করা যায়।]
প্রশ্নানুযায়ী, AB রেখাকে বৃত্তটি D বিন্দুতে ছেদ করেছে।
∴ B ও D বিন্দু দুটি একই বিন্দু হবে।
∴ AB = AD হবে।
Ans: (ii) AB = AD

2. প্রমাণ করি যে একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহু দুটির যে-কোনোটিকে ব্যাস করে অঙ্কিত বৃত্ত অসমান বাহুটিকে সমদ্বিখন্ডিত করে।

স্বীকারঃ △ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AB = AC, AB -কে ব্যাস ধরে O কেন্দ্রীয় বৃত্ত আঁকা হল। যা BC -কে D বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয়ঃ BD = DC
অঙ্কনঃ A, D যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ ∠ADB = 1 সমকোণ – – – [∵∠ADB অর্ধবৃত্তস্থ কোণ]
∴ ∠ADC = 1 সমকোণ।
△ADB ও △ADC -এর
∠ADB = ∠ADC – – – [প্রত্যেকে 1 সমকোণ]
অতিভুজ AC = অতিভুজ AB – – – [প্রদত্ত]
∠ABD = ∠ACD – – – [সমান বাহুর বিপরীত কোণ]
∴ △ADB ≅ △ADC
⇒ BD = DC
∴ D বিন্দু BC –কে সমদ্বিখন্ডিত করেছে। [প্রমাণিত]

3. সাহানা দুটি বৃত্ত এঁকেছে যারা পরস্পরকে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। PA ও PB যথাক্রমে দুটি বৃত্তের ব্যাস হলে, প্রমাণ করি যে A, Q ও B বিন্দুত্রয় সমরেখ।

স্বীকারঃ দুটি বৃত্ত পরস্পর P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। PA ও PB বৃত্ত দুটির ব্যাস।
প্রামাণ্য বিষয়ঃ A, Q, B বিন্দুত্রয় সমরেখ।
অঙ্কনঃ A, Q; Q, B; P, Q যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ PA ও PB বৃত্ত দুটির ব্যাস।
∴ ∠PQA এবং ∠PQB অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
∠PQA = ∠PQB = 1 সমকোণ।
∴ ∠PQA + ∠PQB = 2 সমকোণ।
∴ A, Q, B বিন্দুত্রয় সমরেখ। [প্রমাণিত]

4. রজত একটি সরলরেখাংশ PQ অঙ্কন করেছে যার মধ্যবিন্দু R এবং সে PR ও PQ-কে ব্যাস করে দুটি বৃত্ত অঙ্কন করেছে। আমি P বিন্দুগামী একটি সরলরেখা অঙ্কন করেছি যা প্রথম বৃত্তকে S বিন্দুতে এবং দ্বিতীয় বৃত্তকে T বিন্দুতে ছেদ করেছে। যুক্তি দিয়ে প্রমাণ করি যে PS = ST

স্বীকারঃ PQ রেখাংশের মধ্যবিন্দু R এবং PR ও PQ –কে ব্যাস ধরে দুটি বৃত্ত আঁকা হয়েছে। P বিন্দুগামী যেকোনো রেখা ওই বৃত্ত দুটিকে যথাক্রমে T ও S বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয়ঃ PS = ST
অঙ্কনঃ S, R ও T, Q যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ যেহেতু, ∠PSR এবং ∠PTQ অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
∠PSR = ∠PTQ = 1 সমকোণ।
∴ SR ও TQ উভয়েই একই সরলরেখা PT -এর উপর লম্ব।
∴ SR || TQ
△PTQ –এর PQ বাহুর মধ্যবিন্দু R এবং RS || QT
∴ S, PT –এর মধ্যবিন্দু।
∴ PS = ST [প্রমাণিত]

5. একটি বৃত্তের উপর তিনটি বিন্দু P, Q ও R অবস্থিত। PQ ও PR-এর উপর P বিন্দুতে অঙ্কিত লম্ব দুটি বৃত্তকে যথাক্রমে S ও T বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, RQ = ST

স্বীকারঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের উপর P, Q, R তিনটি বিন্দু। PQ ও PR-এর উপর P বিন্দুতে অঙ্কিত লম্ব দুটি PS এবং PT বৃত্তকে যথাক্রমে S ও T বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয়ঃ RQ = ST
অঙ্কনঃ Q, S; R, T; S, T; S, O; T, O; R, O এবং Q,O যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ PS ⊥ PQ
∴ ∠QPS = 90°
অর্থাৎ ∠QPS অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
∴ QS বৃত্তের ব্যাস।
আবার PR ⊥ PT
∴ ∠RPT = 90°
অর্থাৎ ∠RPT অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
∴ RT বৃত্তের ব্যাস।
△SOT ও △QOR -এর থেকে পাই,
OT = OQ – – – [ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
OS = OQ – – – [ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
∠SOT = বিপ্রতীপ ∠ROQ
∴ △SOT ≅ △QOR
∴ RQ = ST [প্রমাণিত]

দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে এখানে এ ক্লিক করো।

6. ABC একটি সূক্ষ্মকোনী ত্রিভুজ। ABC ত্রিভুজের পরিবৃত্তের ব্যাস AP; BE ও CF যথাক্রমে AC ও AB বাহুর উপর লম্ব এবং তারা পরস্পরকে Q বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, BPCQ একটি সামান্তরিক।

স্বীকার: ABC ত্রিভুজের পরিবৃত্তের ব্যাস AP; BE ও CF যথাক্রমে AC ও AB বাহুর উপর লম্ব এবং তারা পরস্পরকে Q বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রামাণ্য বিষয়: BPCQ একটি সামান্তরিক।
অঙ্কন: B, P ও C, P যুক্ত করা হল।
প্রমাণ: ABC ত্রিভুজের পরিবৃত্তের ব্যাস AP;
∴ ∠ABP এবং ∠ACP অর্ধবৃত্তস্থ কোণ
∴ ∠ABP = ∠ACP = 90°
অর্থাৎ, PB ⟂ AB
এবং PC ⟂ AC
∵ PB ⟂ AB এবং CF⟂ AB (প্রদত্ত)
∴ PB || CF
অর্থাৎ, PB || CQ
আবার, PC ⟂ AC
এবং BE ⟂ AC (প্রদত্ত)
∴ PC || BE
অর্থাৎ, PC || BQ
∴ BPCQ চতুর্ভুজের,
PB || CQ এবং
PC || BQ
∴ BPCQ চতুর্ভুজটি একটি সামান্তরিক। [প্রমাণিত]

7. একটি ত্রিভুজের শীর্ষকোণের অন্তর্সমদ্বিখন্ডক ও বহির্সমদ্বিখন্ডক ত্রিভুজটির পরিবৃত্তকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, PQ বৃত্তের একটি ব্যাস।

স্বীকারঃ △ABC এর ∠BAC এর অন্তর্দ্বিখন্ডক ও বহির্দ্বিখন্ডক ত্রিভুজটির পরিবৃত্তকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রামাণ্য বিষয়ঃ PQ বৃত্তের একটি ব্যাস ।
অঙ্কনঃ P, Q যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ ∠BAC এর অন্তর্দ্বিখন্ডক এবং বহির্দ্বিখন্ডক যথাক্রমে AP ও AQ;
∵ কোনো কোণের অন্তর্দ্বিখন্ডক এবং বহির্দ্বিখন্ডক পরস্পর লম্ব হয়।
∴ AP ⊥ AQ
∠PAQ = 1 সমকোণ [
অর্থাৎ ∠PAQ অর্ধবৃত্তস্থ কোণ ৷
∴ PQ বৃত্তের ব্যাস [প্রমাণিত]

8. AB এবং CD একটি বৃত্তের দুটি ব্যাস। প্রমাণ করি যে, ACBD একটি আয়তাকার চিত্র।

স্বীকারঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ও CD দুটি ব্যাস।
প্রামাণ্য বিষয়ঃ ACBD একটি আয়তাকার চিত্র।
অঙ্কনঃ A, D; D, B; B, C; C, D যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ∠CAD, ∠ADB, ∠DBC এবং ∠BCA প্রতিটি কোণ অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
∴ ∠CAD = ∠ADB = ∠DBC = ∠BCA = 90°
আবার
∠CAD + ∠DBC
= 90° + 90° = 180°
∴ ADBC একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ যার প্রত্যেকটি কোণ সমকোণ।
ACBD একটি আয়াতাকার চিত্র। [প্রমাণিত]

9. প্রমাণ করি, একটি রম্বসের বাহুগুলিকে ব্যাস করে বৃত্ত অঙ্কন করলে বৃত্তগুলি একটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে যায়।

স্বীকারঃ ABCD একটি রম্বস।
প্রামাণ্য বিষয়ঃ রম্বসের বাহুগুলিকে ব্যাস করে বৃত্ত অঙ্কন করলে বৃত্তগুলি একটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে যাবে ।
অঙ্কনঃ A C এবং B,D যুক্ত করা হল যারা পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণঃ রম্বসের কর্ণগুলি পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে। সুতরাং,
∴ ∠AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠DOA = 90°
আবার যেহেতু অর্ধবৃত্তস্থ কোণ 1 সমকোণ, তাই AB বা BC বা CD বা DA যেকোনো বাহুকে ব্যাস ধরে বৃত্ত অঙ্কন করলে বৃত্তটি O বিন্দু দিয়ে যাবে ।
∴রম্বসের বাহুগুলিকে ব্যাস করে বৃত্ত অঙ্কন করলে বৃত্তগুলি একটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে যাবে। [প্রমাণিত]

বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৭.৩

10. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)

(i) O কেন্দ্রীয় বৃত্তে PQ একটি ব্যাস এবং PR = RQ; ∠RPQ-এর মান(a) 30° (b) 90° (c) 60° (d) 45°

Ans: (d) 45°
[∵ PR = RQ
∴ ∠RPQ = ∠RQP
∠PRQ অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
△PRQ -এর ক্ষেত্রে,
∴ ∠PRQ = 90°
∴ ∠RPQ + ∠RQP = 90°
বা, 2∠RPQ = 90°
বা, ∠RPQ = 45°]

(ii) QR বৃত্তের একটি জ্যা এবং POR বৃত্তের একটি ব্যাস। OD, QR বাহুর উপর লম্ব। OD = 4 সেমি হলে, PQ-এর দৈর্ঘ্য
(a) 4 সেমি (b) 2 সেমি (c) 8 সেমি (d) কোনটিই নয়

Ans: (c) 8 সেমি
[OD ⊥ QR
O হল বৃত্তের কেন্দ্র
∴ D, QR এর মধ্যবিন্দু।
∠PQR অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
∴ PQ ⊥ QR
OD = 12 PQ [:: ত্রিভুজের যেকোনো দুটি বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখার দৈর্ঘ্য তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল ও অর্ধেক
∴ PQ ∥ OD এবং
½ PQ = OD
বা, PQ = 2×OD
বা PO = 2 × 4
= 8 ]

Utube_comptech_home — দশম শ্রেণীর **ভৌত** বিজ্ঞান এবং **জীবন** বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন

(iii) AOB বৃত্তের ব্যাস। AC এবং BD জ্যা দুটি বর্ধিত করলে E বিন্দুতে মিলিত হয়। ∠COD = 40° হলে, ∠CED-এর মান(a) 40° (b) 80° (c) 20° (d) 70°

Ans: (d) 70°
[∠COD = 40°
C, D ও A, D যুক্ত করা হল।
CD বৃত্তচাপের উপর ∠COD কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ∠DAE বৃত্তস্থ কোণ।
∴ ∠DAE = ½ ∠COD
= ½ × 40°
= 20°
∴ ∠ADB = 90° – – – [∠ADB অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।]
বা, ∠ADE = 90°
△ADE –এর ক্ষেত্রে,
∠AED + ∠EDA + ∠DAE = 180°
বা, ∠AED + 90° + 20° = 180°
বা, ∠AED + 110° = 180°
⇒ ∠AED = 70°
বা, ∠CED = 70°]

(iv) AOB বৃত্তের ব্যাস। AC = 3 সেমি ও BC = 4 সেমি হলে AB-এর দৈর্ঘ্য
(a) 3 সেমি (b) 4 সেমি (c) 5 সেমি (d) 8 সেমি

Ans: (c) 5 সেমি
[∠ACB অর্ধবৃত্তস্থ কোণ
∴ ∠ACB = 90°
△BAC সমকোণী ত্রিভুজের,
AB² = AC² + BC²
= 3² + 4²
= 9 + 16
⇒ 25 = 5²
∴ AB = 5]

(v) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB ব্যাস। ∠BCE = 20°, ∠CAE = 25° হলে, ∠AEC-এর মান নির্ণয় করি।
(a) 50° (b) 90° (c) 45° (d) 20°

Ans: (c) 45°
[প্রদত্ত ∠BCE = 20°, ∠CAE = 25°
∠ACB = 90° – – – [অর্ধবৃত্তস্থ কোণ]
△ADC –এর,
∠ADC = 180° – ∠ACD – ∠CAD
= 180° – 90° – 25°
= 65°
△CED –এর বহিঃস্থ কোণ ∠ADC
∴ ∠ADC = ∠DCE + ∠DEC
বা, 65° = 20° + ∠DEC
বা, ∠DEC = 65° – 25°
= 45°
∴ ∠AEC = 45°]

বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৭.৩

(B) সত্য না মিথ্যা লিখিঃ

(i) অর্ধবৃত্ত অপেক্ষা বৃহত্তর বৃত্তাংশস্থ কোণ স্থুলকোণ।
Ans: মিথ্যা।

(ii) ABC ত্রিভুজের AB বাহুর মধ্যবিন্দু O এবং OA = OB = OC; AB বাহুকে ব্যাস করে বৃত্ত অঙ্কন করলে বৃত্তটি C বিন্দু দিয়ে যাবে।
Ans: সত্য।

বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য কষে দেখি ৭.৩

(C) শূন্যস্থান পূরণ করিঃ

(i) অর্ধবৃত্তস্থ কোণ __________।
Ans: সমকোণ।

(ii) অর্ধবৃত্ত অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর বৃত্তাংশস্থ কোন __________।
Ans: স্থুলকোণ।

(iii) সমকোনী ত্রিভুজের অতিভুজকে ব্যাস করে বৃত্ত অঙ্কন করলে বৃত্তটি _________ বিন্দু দিয়ে যাবে।Ans: সমকৌনিক বিন্দু।

11. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

(i) ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AB = AC ; AB বাহুকে ব্যাস করে বৃত্ত অঙ্কন করলে বৃত্তটি BC বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করে, BD = 4 সেমি হলে CD-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।

সমাধানঃ
প্রদত্ত BD = 4 সেমি
∵ AB ব্যাস।
∴ ADB অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
∴ ∠ADB = ∠ADC
= 90°
△ABD এবং △ACD থেকে পাই,
AB = AC
∠ADB = ∠ADC – – – [প্রত্যেকে 1 সমকোণ]
AD সাধারণ বাহু।
∴ △ABD ≅ △ADC
∴ BD = CD – – – [অনুরূপ বাহু]
⇒ CD = 4 সেমি। – – – [∵ BD = 4 সেমি]
Ans: CD-এর দৈর্ঘ্য 4 সেমি

(ii) একটি বৃত্তে দুটি জ্যা AB এবং AC পরস্পর লম্ব। AB = 4 সেমি ও AC = 3 সেমি হলে, বৃত্তটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।

সমাধানঃ
প্রদত্ত AB = 4 সেমি ও
AC = 3 সেমি
AB এবং AC পরস্পর লম্ব।
∴ ∠BAC অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
অতএব, BC ব্যাস।
△BAC সমকোণী ত্রিভুজের
BC² = AB² + AC²
= 4² + 3²
= 16 + 9
⇒ 25 = 5²
∴ BC = 5
∴ বৃত্তটির ব্যাসার্ধ = ⁵/₂
=2.5
Ans: বৃত্তটির ব্যাসার্ধ 2.5 সেমি

(iii) একটি বৃত্তে দুটি জ্যা PQ এবং PR পরস্পর লম্ব। বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r সেমি হলে, জ্যা QR-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।

সমাধানঃ
প্রদত্ত বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r সেমি
PR ও PQ পরস্পর লম্ব।
∴ ∠RPQ অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
∴ QR বৃত্তের ব্যাস।
Ans: QR -এর দৈর্ঘ্য 2r সেমি।

(iv) AOB বৃত্তে একটি ব্যাস। C বৃত্তের উপর একটি বিন্দু। ∠OBC = 60° হলে ∠OCA-এর মান নির্ণয় করি।

সমাধানঃ
প্রদত্ত ∠OBC = 60°
∠ACB = 90° – – – [∵ ∠ACB অর্ধবৃত্তস্থ কোণ]
△ABC –এর
∠BAC = 180° – ∠ACB – ∠ABC
= 180° – 90° – 60°
= 30°
∴ ∠OAC = 30°
∠OCA = ∠OAC – – – [∵ OC = OA]
= 30°
△AOC –এর OA = OC [ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
আবার, ∠OAC = ∠CAB
∴ ∠OCA = 30°
Ans: ∠OCA-এর মান 30°

(v) পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB ব্যাস। জ্যা CD-এর দৈর্ঘ্য বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের সমান। AC ও BD-কে বর্ধিত করায় P বিন্দুতে ছেদ করে। ∠APB-এর মান নির্ণয় করি।

সমাধানঃ
A, D যুক্ত করা হল।
জ্যা CD-এর দৈর্ঘ্য বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের সমান
∴ OB = OA = OC = OD =CD
∴ △COD একটি সমবাহু ত্রিভুজ
⇒ ∠COD = 60°
CD বৃত্তচাপের উপর ∠COD কেন্দ্রস্থ কোণ এবং ∠DAP বৃত্তস্থ কোণ।
∴ ∠DAP = ½ × ∠COD
= ½ × 60°
= 30°
আবার, ∠ADB অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
∴ ∠ADB = 90°
∴ ∠PDA = 90°
△PDA -এর ক্ষেত্রে
∠APD = 180° – ∠DAP – ∠PDA
= 180° – 30° – 90°
= 60°
∴ ∠APB = 60°
Ans: ∠APB-এর মান 60°