বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্যঃ কষে দেখি

বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্যঃ কষে দেখি – 3.2 দশম শ্রেণি

বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্যঃ কষে দেখি – 3.2 দশম শ্রেণি

▶️ বৃত্তের সমান দৈর্ঘ্যের জ্যা বৃত্তে সমান দৈর্ঘ্যের চাপ ছিন্ন করে।
▶️ বৃত্তের সমান দৈর্ঘ্যের জ্যা বৃত্তের কেন্দ্রে সমান সন্মুখ কোণ উৎপন্ন করে।
🔅 কোনো বৃত্তের যে সকল জ্যা বৃত্তের কেন্দ্রে সমান সন্মুখ কোণ উৎপন্ন করে তাদের দৈর্ঘ্য সমান হয়।
▶️ তিনটি অসমরেখ বিন্দু দিয়ে কেবলমাত্র একটি বৃত্তই আকাঁ সম্ভব।
▶️ তিনটি বিন্দু সমরেখ হলে বিন্দু তিনটি দিয়ে কোনো বৃত্তই আকাঁ সম্ভব নয়।

✴️ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ: কোনো চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি বৃত্তের উপর অবস্থিত হলে সেই চতুর্ভুজকে বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ বলে।
▶️ সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়ামের শীর্ষবিন্দুগুলি সমবৃত্তস্থ হয়।
▶️ বৃত্তের কেন্দ্র থেকে জ্যায়ের উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
✴️ কোনো বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী প্রতিটি জ্যায়ের দৈর্ঘ্য সমান হয়।
▶️ ব্যাস বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা।
▶️ পরিধি বৃত্তের বৃহত্তম চাপ।

1. O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি এবং AB একটি জ্যা-এর দৈর্ঘ্য ৪ সেমি.। O বিন্দু থেকে AB জ্যা-এর দূরত্ব হিসাব করে লিখি।

O কেন্দ্রীয় বৃত্তের,
OB = 5 সেমি
AB = 8 সেমি
∴ BC = ½ × AB
= ½ × 8 সেমি
= 4 সেমি
OCB সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
OC² + BC² = OB²
OC² = OB² – BC²
= 5² – 4²
⇒ 25 – 16
⇒ 9
∴ OC = √9
= 3
Ans: O বিন্দু থেকে AB জ্যা-এর দূরত্ব 3 সেমি

2. O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 26 সেমি। O বিন্দু থেকে PQ জ্যা-এর দূরত্ব 5 সেমি । PQ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

O কেন্দ্রীয় বৃত্তের,
AB = 26 সেমি
∴ OQ = ½ × AB
= ²⁶/₂ সেমি
= 13 সেমি
OS = 5 সেমি
OSQ সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
OS² + SQ² = OQ²
SQ² = OQ² – OS²
⇒ (13)² – 5²
= 169 – 25
= 144
∴ SQ = √144
= 12
∴ PQ = 2 × SQ
= 2 × 12
= 24 সেমি
Ans: PQ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 24 সেমি

Madhyamik Previous Year (2017 – 2024) MATHEMATICS Question with complete solution|
বিগত বছরের (2017 – 2024) মাধ্যমিক গণিত প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নীচের BUTTON-এ CLICK করো|

CLICK

3. O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের PQ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 4 সেমি এবং O বিন্দু থেকে PQ-এর দূরত্ব 2.1 সেমি.। বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

O কেন্দ্রীয় বৃত্তের,
PQ = 4 সেমি
OS = 2.1 সেমি
∴ SQ = ½ × PQ
= ½ × 4 = 2 সেমি।
OSQ সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
OQ² = OS² + SQ²
⇒ (2.1)² + 2²
= 4.41 + 4
= 8.41
∴ OQ = √8.41
=2.9
∴ বৃত্তটির ব্যাস = 2 × OQ
= 2 × 2.9
= 5.8 সেমি
Ans: বৃত্তের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 5.8 সেমি

Country, Capital and Currency of South America CLICK HERE

4. O কেন্দ্রীয় বৃত্তে 6 সেমি. ও ৪ সেমি দৈর্ঘ্যের দুটি জ্যা। যদি ছোটো দৈর্ঘ্যের জ্যাটির বৃত্তের কেন্দ্র থেকে দূরত্ব 4 সেমি হয়, তাহলে অপর জ্যাটির কেন্দ্র থেকে দূরত্ব কত তা হিসাব করে লিখি।

সমাধানঃ
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের,
CD = 6 সেমি
AB = 8 সেমি এবং
OQ = 4 সেমি
∴ QD = ½ × CD
= ½ × 6 = 3 সেমি।
∴ PB = ½ × AB
= ½ × 8 = 4 সেমি।
OQD সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
OD² = OQ² + QD²
= 4² + 3²
⇒ 16 + 9
= 25
∴ OD = 5
OPB সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
OP² + PB² = OB²
বা, OP² + 4² = 25² – – – [∵ OB=OD]
⇒ OP² = 25 – 16
বা, OP² = 9 =(3)²
∴ OP = 3
Ans: অপর জ্যাটির কেন্দ্র থেকে দূরত্ব 3 সেমি।

5. যদি কোনো বৃত্তের একটি জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 48 সেমি এবং কেন্দ্র থেকে ওই জ্যা-এর দূরত্ব 7 সেমি, হয়, তবে ওই বৃত্তের কেন্দ্র থেকে যে জ্যা-এর দূরত্ব 20 সেমি সেই জ্যা-এর দৈর্ঘ্য কত হবে তা হিসাব করে লিখি।

O কেন্দ্রীয় বৃত্তের,
AB = 48 সেমি
OP ⟂ AB অঙ্কন করা হল।
∴ PB = ½ × AB
= ½ × 48 = 24 সেমি।
প্রশ্নানুসারে, OP = 7 সেমি
OAP সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
OB² = PB² + OP²
= 24² + 7²
⇒ 576 + 49
= 625 = (25)²
∴ OB = 25
∴ বৃত্তটির ব্যাসার্ধ = 25 সেমি।
আবার, O কেন্দ্র থেকে CD জ্যা এর দূরত্ব 20 সেমি।
∴ OQ = 20 সেমি।
OQD সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
OQ² + QD² = OD²
বা, 20² + QD² = 25² – – – [∵ OB=OD]
বা, 400 + QD² = 625
⇒ QD² = 625 – 400
বা, QD² = 225 =(15)²
∴ OD = 15
∴ CD = 2 × 15 সেমি
= 30 সেমি
Ans: নির্নেয় জ্যা –এর দৈর্ঘ্য 30 সেমি।

6.পাশের O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ছবিতে OP ⊥ AB, AB = 6 সেমি. এবং PC = 2 সেমি হলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

চিত্রে AB = 6 সেমি
OP⟂AB
∴ P, AB –এর মধ্যবিন্দু।
BP = ½ × AB
=½ × 6 = 3 সেমি
প্রশ্নানুসারে, PC = 2 সেমি
ধরি, বৃত্তটির ব্যাসার্ধ = r সেমি।
OB = OC = r – – – [ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
∴ OP = OC – PC
= (r – 2 ) সেমি
OPB সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
PB² + OP² = OB²
∴ 3² + (r – 2)² = r²
বা, 9 + r² – 4r + 4 = r²
বা, – 4r = – 13
⇒ 4r = 13
বা, r = ¹³/₄
বা, r = 3.75
Ans: বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 3.75 সেমি

7. একটি সরলরেখা দুটি এককেন্দ্রীয় বৃত্তের একটিকে A ও B বিন্দুতে এবং অপরটিকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করেছে। যুক্তি দিয়ে প্রমাণ করি যে AC = DB

স্বীকারঃ AB সরলরেখা O কেন্দ্রীয় দুটি বৃত্তকে A ও B এবং C ও D বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয়ঃ AC = DB
অঙ্কনঃ O বিন্দু থেকে AB এর উপর OP লম্ব অঙ্কন করা হল।
প্রমাণঃ P বিন্দু AB –এর মধ্যবিন্দু – – – [∵ OP ⊥ AB]
এবং P বিন্দু CD –এর মধ্যবিন্দু। – – – [∵ OP ⊥ CD]
∴ AP = BP এবং CP = DP
∴ AC = AP – CP
= BP – DP
= DB
∴ AC = DB (প্রমাণিত)

Complete Solution of MP-2023 P.Sc CLICK HERE

8. প্রমাণ করি, কোনো বৃত্তের দুটি পরস্পরছেদি জ্যা পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করতে পারে না, যদি না উভয়েই বৃত্তের ব্যাস হয়।

স্বীকারঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাস নয় এরূপ একটি জ্যা AB এর মধ্যবিন্দু P এবং P বিন্দুগামী অপর একটি জ্যা CD যা বৃত্তের ব্যাস নয়।
প্রামাণ্য বিষয়ঃ প্রমাণ করতে হবে AB ও CD জ্যা দুটি পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করবে না, যদি না উভয়েই বৃত্তের ব্যাস হয়। অর্থাৎ P, CD –এর মধ্যবিন্দু নয় প্রমাণ করলেই উপপাদ্যটি প্রমাণ হবে।
অঙ্কনঃ O, P যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ P, AB এর মধ্যবিন্দু।
∴ OP⟂ AB
যেহেতু, AB ও CD উভয়েই P বিন্দুগামী
∴ AB ও CD উভয়েই OP এর উপর P বিন্দুতে লম্ব হতে পারে না।
∴ CD, OP –এর উপর লম্ব নয়।
আবার, যেহেতু কোনো জ্যা –এর মধ্যবিন্দু ও বৃত্তের কেন্দ্র সংযোজক রেখাংশ জ্যা এর উপর লম্ব।
∴ P, CD এর মধ্যবিন্দু নয়।
কোনো বৃত্তের দুটি পরস্পরছেদি জ্যা পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করতে পারে না, যদি না উভয়েই বৃত্তের ব্যাস হয়। [ প্রমাণিত]

দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নিচের BUTTON-এ ক্লিক করো।

CLICK

9. X ও Y কেন্দ্রবিশিষ্ট দুটি বৃত্ত পরস্পরকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে। XY এর মধ্যবিন্দু S-এর সঙ্গে A বিন্দু যুক্ত করলাম এবং A বিন্দু দিয়ে SA-এর উপর লম্ব অঙ্কন করলাম যা বৃত্ত দুটিকে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করল। প্রমাণ করি যে PA = AQ.

স্বীকারঃ X ও Y কেন্দ্রবিশিষ্ট দুটি বৃত্ত পরস্পরকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে। A বিন্দু দিয়ে SA –এর উপর লম্ব PAQ অঙ্কন করা হল। PAQ বৃত্তদ্বয়কে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্য বিষয়ঃ PA = AQ
অঙ্কনঃ XM ⟂ PA এবং YN ⟂ AQ অঙ্কন করা হল।
XN যুক্ত করা হল যা AS কে G বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণঃ XM, SA এবং YN প্রত্যেকেই PQ –এর উপর লম্ব।
∴ XM || SA || YN
△XYN –এর XY –এর মধ্যবিন্দু S এবং SG || YN
∴ G, XN –এর মধ্যবিন্দু
আবার, △NMX –এর G, XN –এর মধ্যবিন্দু।
∴ A বিন্দু MN এর মধ্যবিন্দু
∴ MA = NA
আবার,
M, AP –এর মধ্যবিন্দু – – – [∵ XM ⟂ AP]
∴ MA = ½ PA
অনুরূপে, NA = ½ AQ
∵ MA = NA – – – [পূর্বে প্রমাণিত]
∴ ½ PA = ½ AQ
∴ PA = AQ [ প্রমাণিত]

10. O কেন্দ্রীয় বৃত্তের 10 সেমি. ও 24 সেমি দৈর্ঘ্যের দুটি সমাস্তরাল জ্যা AB এবং CD কেন্দ্রের বিপরীত পার্শ্বে অবস্থিত। যদি AB ও CD-জ্যা দুটির মধ্যে দূরত্ব 17 সেমি হয়, তবে হিসাব করে বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য লিখি।

চিত্রে, AB =10 সেমি.; CD = 24 সেমি.; EF = 17 সেমি.
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r সেমি. এবং বৃত্তের কেন্দ্র থেকে AB জ্যা-এর দূরত্ব x সেমি.।
∴ OE = x সেমি.
OF = (17 – x) সেমি. বৃত্তের কেন্দ্র O থেকে AB ও CD এর উপর লম্ব যথাক্রমে OE ও OF;
∵ বৃত্তের কেন্দ্র থেকে জ্যায়ের উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
∴ AE = ½ × AB
= ½ × 10 = 5
এবং CF = ½ × CD
= ½ × 24 = 12
ΔOEA এর ক্ষেত্রে,
OA² = AE² + OE²
= 5² + x² – – – (i)
ΔOFC এর ক্ষেত্রে,
OC² = CF² + OF²
= 12² + (17-x)²
OA = OC – – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
OA² = OC²
∴ 5² + x² = 12² + (17-x)²
বা, 25 + x² = 144 + 289 – 34x + x²
বা, 34x = 433 – 25
⇒ 34x = 408
বা, x = 12
(i) নং থেকে পাই,
OA² = AE² + OE²
বা, OA² = 5² + 12²
⇒ OA² = 25 + 144
বা, OA² = 169
∴ OA = 13
Ans: বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 13 সেমি।

11. দুটি বৃত্তের কেন্দ্র P এবং Q: বৃত্ত দুটি A এবং B বিন্দুতে ছেদ করে। A বিন্দু দিয়ে PQ সরলরেখাংশের সমান্তরাল সরলরেখা বৃত্ত দুটিকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, CD =2PQ

স্বীকারঃ P ও Q কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্ত দুটি পরস্পরকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে। A বিন্দু দিয়ে PQ সরলরেখাংশের সমান্তরাল সরলরেখা বৃত্ত দুটিকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রামাণ্য বিষয়ঃ CD = 2PQ
অঙ্কনঃ P ও Q বিন্দু থেকে যথাক্রমে CD এর উপর যথাক্রমে PX ও QY লম্ব অঙ্কন করা হল।
প্রমাণঃ ∵ PQ ∥ CD
∴ PQ ∥ XY
আবার, PX ⊥ CD এবং QY ⊥ CD
PX || QY
PQYX চতুর্ভুজের,
PQ Il XY, PX Il QY
∴ PQYX চতুর্ভুজটি একটি সামান্তরিক।
XY = PQ
বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস নয় এরূপ কোনো জ্যা এর উপর লম্ব জ্যাটিকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
∴ AX = ½ × AC
বা, AC = 2AX
AY = ½ × AD
বা, AD = 2AY
∴ CD = AC + AD
= 2AX + 2AY
⇒ 2(AX + AY)
= 2XY
= 2PQ
CD=2PQ [প্রমাণিত]

MY OWN TRUE FAMILY Important Questions and Answer CLICK HERE

12. একটি বৃত্তের AB ও AC জ্যা দুটি সমান। প্রমাণ করি যে, ∠BAC-এর সমদ্বিখণ্ডক কেন্দ্রগামী।

স্বীকারঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ও AC জ্যা দুটি সমান।
প্রামাণ্য বিষয়ঃ ∠BAC এর সমদ্বিখন্ডক O বিন্দুগামী।
অঙ্কনঃ B ও C যুক্ত করা হল। ∠BAC এর সমদ্বিখন্ডক BC কে P বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণঃ ΔABP এবং ΔACP এর মধ্যে
AB = AC – – – [প্রদত্ত]
∠BAP = ∠CAP – – – [∵ AP, ∠BAC এর সমদ্বিখন্ডক]
AP সাধারণ বাহু
S-A-S সর্বসমতানুসারে
ΔABP = ΔACP
∠BPA = ∠CPA – – – [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ কোণ]
BP= CP – – – [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু]
∠BPA +∠CPA = 180°
∴ ∠BPA = ∠CPA = 90°
P, BC বাহুর মধ্যবিন্দু এবং AP ⊥ BC
আবার O কেন্দ্রীয় বৃত্তের BC জ্যা এবং P, BC এর মধ্যবিন্দুএবং AP ⊥ BC
∴ AP, O বিন্দুর উপর দিয়ে অবস্থিত।
∠BAC এর সমদ্বিখন্ডক O বিন্দুগামী। [প্রমাণিত]

13. একটি বৃত্তের দুটি পরস্পরচ্ছেদী জ্যা-এর অন্তর্ভূত কোণের সমদ্বিখণ্ডক যদি কেন্দ্রগামী হয়, তাহলে প্রমাণ করি যে, জ্যা দুটি সমান।

স্বীকারঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ও CD জ্যা দুটি পরস্পরকে R বিন্দুতে ছেদ করেছে। OR, ∠ARC এর সমদ্বিখণ্ডক।
প্রামাণ্য বিষয়ঃ AB=CD
অঙ্কনঃ O বিন্দু থেকে AB ও CD এর উপর যথাক্রমে OP ও OQ লম্ব অঙ্কন করলাম। O,A এবং O,C যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ ΔOPR এবং ΔOQR এর মধ্যে
∠ORP = ∠ORQ – – – [OR, ∠ARC এর সমদ্বিখণ্ডক]
∠OPR = ∠OQR – – – [উভয়েই সমকোণ]
OR সাধারণ বাহু
∴ ΔOPM = ΔOQM – – – [A-A-S সর্বসমতানুসারে]
∴ OP = OQ – – – [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু]
ΔOPA এবং ΔOQC এর মধ্যে
OP = OQ
∠OPA = ∠OQC – – – [উভয়েই সমকোণ]
OC = OA – – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ্য]
∴ ΔOPA = ΔOQC – – – [S-A-S সর্বসমতানুসারে]
∴ AP = CQ
বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস নয় এরূপ কোনো জ্যা এর উপর লম্ব জ্যাটিকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
AP = ½ × AB এবং CQ = ½ × CD
∵ AP = CQ
½ × AB = ½ × CD
AB = CD [প্রমাণিত]

14. প্রমাণ করি, একটি বৃত্তে দুটি জ্যা-এর মধ্যে যে জ্যাটি কেন্দ্রের নিকটবর্তী সেটির দৈর্ঘ্য অপর জ্যা-টির দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বৃহত্তর।

স্বীকারঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ও CD দুটি জ্যা-এর মধ্যে AB জ্যা কেন্দ্রের নিকটবর্তী।
প্রামাণ্য বিষয়ঃ AB জ্যা -এর দৈর্ঘ্য, CD জ্যা অপেক্ষা বৃহত্তর
অর্থাৎ, AB > CD
অঙ্কনঃ O, A এবং O, C বিন্দুদ্বয় যুক্ত করা হল। O থেকে AB ও CD দুটি জ্যা-এর উপর যথাক্রমে OP এবং OQ লম্ব অঙ্কন করা হল।
প্রমাণঃ ∵ OP ⟂ AB
∴ AP = ½ × AB
আবার, OQ ⟂ CD
∴ CQ = ½ CD এবং
APO সমকোণী ত্রিভুজে,
AP² + OP² = OA²
CQO সমকোণী ত্রিভুজে,
CQ² + OQ² = OC²
আবার, OA = OC – – – [∵ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
∴ AP² + OP² = CQ² + OQ²
বা, AP² – CQ² = OQ² – OP² – – – (i)
OP < OQ – – – [ প্রশ্নানুসারে ]
∴ OQ > OP
∴ OQ² > OP²
বা, OQ² – OP² > 0
(i) নং থেকে পাই,
AP² – CQ² > 0
বা, AP² > CQ²
বা, AP > CQ
বা, ½ × AB > ½ × CD
∴ AB > CD [ প্রমাণিত ]
একটি বৃত্তে দুটি জ্যা-এর মধ্যে যে জ্যাটি কেন্দ্রের নিকটবর্তী সেটির দৈর্ঘ্য অপর জ্যা-টির দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বৃহত্তর। (Proved)

জি. পি. বিড়লা স্কলারশিপ || How to apply GP Birla Scholarship Details

15. একটি বৃত্তের ভিতর যে-কোনো বিন্দু দিয়ে ক্ষুদ্রতম জ্যা কোনটি হবে তা প্রমাণ করে লিখি।

স্বীকারঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের মধ্যস্থ P যেকোনো একটি বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত দুটি জ্যা AB ও CD এবং P, AB জ্যা-এর মধ্যবিন্দু ।
অঙ্কনঃ CD এর ওপর OQ লম্ব অঙ্কন করা হলো ।
প্রমানঃ সমকোণী ত্রিভুজ ΔOPQ এর OP অতিভুজ।
OP > OQ
বৃত্তের কেন্দ্র থেকে দূরবর্তী জ্যা ক্ষুদ্রতম হয়।
∴ AB < CD
কোনও বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত জ্যাটি ক্ষুদ্রতম হবে, যখন ঐ বিন্দু জ্যাটির মধ্যবিন্দু হবে (প্রমাণিত )

16. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.) (A) (M.CQ.) :

(i) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ও CD জ্যা দুটির দৈর্ঘ্য সমান। ∠AOB= 60° হলে, ∠COD-এর মান
(a) 40° (b) 30° (c) 60° (d) 90°

Ans: (c) 60°
[∵ বৃত্তের সমান দৈর্ঘ্যের জ্যা বৃত্তের কেন্দ্রে সমান সন্মুখ কোণ উৎপন্ন করে।]

(ii) একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 13 সেমি এবং বৃত্তের একটি জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 10 সেমি.। বৃত্তের কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর দূরত্ব
(a) 12.5 সেমি. (b) 12 সেমি. (c) 69 সেমি. (d) 24 সেমি.

Ans: (b) 12 সেমি.
[[প্রদত্ত
OB = 13 সেমি.
AB =10 সেমি.
OP ⊥ AB অঙ্কন করা হল।
বৃত্তের কেন্দ্র থেকে জ্যায়ের উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
∴ PB = ½ × AB
= ½ × 10 = 5
BPO সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই,
OP² + PB² = OB²
⇒ OP² = OB² – PB²
⇒ OP² = 13² – 5²
বা, OP² = 169 – 25 = 144
∴ OP = 6]

(iii) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ও CD দুটি সমান দৈর্ঘ্যের জ্যা। O বিন্দু থেকে AB জ্যা-এর দূরত্ব 4 সেমি. হলে, CD জ্যা-এর দূরত্ব
(a) 2 সেমি. (b) 4 সেমি. (c) 6 সেমি. (d) 8 সেমি.

Ans: (b) 4 সেমি.
[বৃত্তের সমান দৈর্ঘ্যের জ্যা বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।]

(iv) AB ও CD দুটি সমান্তরাল জ্যা-এর প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 16 সেমি.। বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 10 সেমি হলে, জ্যা দুটির মধ্যে দূরত্ব
(a) 12 সেমি. (b) 16 সেমি. (c) 20 সেমি. (d) 5. সেমি.

Ans: (a) 12 সেমি.
[প্রদত্ত
AB = CD =16 সেমি.
OB = 10 সেমি.
OP ⊥ AB অঙ্কন করা হল।
বৃত্তের কেন্দ্র থেকে জ্যায়ের উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
∴ PB = ½ × AB
= ½ × 12 = 6
BPO সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই,
OP² + PB² = OB²
বা, OP² = OB² – PB²
⇒ OP² = 10² – 8²
বা, OP² = 100 – 64 = 36
∴ OP = 6
আবার, বৃত্তের সমান দৈর্ঘ্যের জ্যা বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।
∴ OP = OQ = 6
PQ = OP + OQ
= 6 + 6 = 12]

(v) দুটি সমকেন্দ্রীয় বৃত্তের কেন্দ্র O: একটি সরলরেখা একটি বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে এবং অপর বৃত্তকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করে। AC = 5 সেমি হলে BD-এর দৈর্ঘ্য
(a) 2.5 সেমি. (b) 5 সেমি. (c) 10 সেমি. (d) কোনটিই নয়।

Ans: (b) 5 সেমি.
[∵ OP ⊥ AB
বৃত্তের কেন্দ্র থেকে জ্যায়ের উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
∴ PC = PD এবং PA = PB
এখানে, AC = 5 সেমি
∴ BD = PB – PD
= PA – PC
= AC = 5
BD-এর দৈর্ঘ্য 5 সেমি]

(B) সত্য / মিথ্যা লিখি :

(i) তিনটি সমরেখ বিন্দু দিয়ে যায় এরকম একটি বৃত্ত অঙ্কন করা যায়।

Ans: মিথ্যা

(ii) ABCDA ও ABCEA বৃত্ত দুটি একই বৃত্ত।

Ans: সত্য
[বৃত্ত দুটির তিনটি বিন্দু (A, B, C) একই , তাই বৃত্ত দুটি একই বৃত্ত।

(ii) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB এবং AC জ্যা দুটি OA ব্যাসার্ধের বিপরীত পার্শ্বে অবস্থিত হলে, ∠OAB = ∠OAC

Ans: মিথ্যা
[সমান সমান জ্যা বৃত্তের কেন্দ্রে সমান কোন উৎপন্ন করে]

(C) শূন্যস্থান পুরণ করি :

(i) O কেন্দ্রীয় বৃত্তে PQ ও RS জ্যা দুটির দৈর্ঘ্যের অনুপাত 1:1 হলে, ∠POQ : ∠ROS = _______________ ।

Ans: 1 :1
[বৃত্তের সমান দৈর্ঘ্যের জ্যা বৃত্তের কেন্দ্রে সমান সন্মুখ কোণ উৎপন্ন করে।]

(i) বৃত্তের কোনো জ্যা-এর লম্বসমদ্বিখণ্ডক ওই বৃত্তের _______________ ।

Ans: কেন্দ্রগামী
[বৃত্তের কেন্দ্র থেকে জ্যায়ের উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।]

17. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

(i) 10 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের দুটি সমান বৃত্ত পরস্পরকে ছেদ করে এবং তাদের সাধারণ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 12 সেমি। বৃত্ত দুটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় করি।

সমাধানঃ
A ও B কেন্দ্রীয় দুটি বৃত্ত পরস্পরকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করেছে।
এখানে CD = 12 সেমি.
AC = BC = 10 সেমি.
AB ⊥ CD এবং
OC = ½ × CD
=½ ×12 = 6
AOC সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই,
AO² + OC² = AC²
বা, AO² = AC² – OC²
⇒ AO² = 10² – 6²
বা, AO² = 100 – 36 = 64
∴ AO = 8
∵ বৃত্তদুটির ব্যসার্ধ সমান
∴ AP = PB
∴ AB= 2 × ৪ সেমি. = 16 সেমি.
Ans: বৃত্ত দুটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব 16 সেমি

(ii) 5 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তে AB এবং AC দুটি সমান দৈর্ঘ্যের জ্যা। বৃত্তের কেন্দ্র ABC ত্রিভুজের বাইরে অবস্থিত। AB = AC = 6 সেমি. হলে, BC জ্যা-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।

সমাধানঃ
প্রদত্ত AB = AC = 6সেমি.
∵ AB = AC
OA, ∠BAC এর সমদ্বিখন্ডক
এখানে OA = 5 সেমি.
ধরি, OP = xসেমি.
∴ AP = OA-OP
=(5-x)সেমি.
ΔABP থেকে পাই,
BP² + AP²= AB²
বা, BP2 = AB² – AP²
বা, BP² = 6² – (5-x)² – – – (i)
আবার, ΔBPO থেকে পাই,
BP² + OP² = OB²
বা, BP² = OB² – OP²
বা, BP² = 5² – x² – – – (ii)
(i) ও (ii) থেকে পাই,
6² – (5-x)² = 5² – x²
বা, 36 – (25-10x + x² ) = 25 – x²
⇒ 36-25+10x – x² = 25 – x²
বা, 11+10x = 25
বা, 10x = 25-11
∴ x = 1.4
(i) নং সমীকরণে x = 1.4 বসিয়ে পাই,
BP² = 5² – (1.4)²
বা, BP² = 25 – 1.96
বা, BP² = 23.04
∴ BP = 4.8
∴ BC = 2 x BP
= 2 x 4.8 = 9.6
Ans: BC জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 9.6 সেমি.

Utube_comptech_home — দশম শ্রেণীর **ভৌত** বিজ্ঞান এবং **জীবন** বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন

(iii) O কেন্দ্রীয় বৃত্তে AB ও CD জ্যা দুটির দৈর্ঘ্য সমান। ∠AOB = 60° এবং CD = 6. সেমি. হলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত তা নির্ণয় করি।

সমাধানঃ
প্রদত্ত CD=6সেমি.
∴ AB=6সেমি. – – – [∵AB=CD]
ΔAOB এর
AO=BO – – – [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ ∠OAB=∠OBA
ΔAOB থেকে পাই,
∠OAB + ∠OBA+ ∠AOB=180°
বা, ∠OAB + ∠OAB+ 60° = 180°
⇒ 2∠OAB = 120°
বা, ∠OAB = 60°
∴ ΔAOB একটি সমবাহু ত্রিভুজ
∴AO=BO=AB= 6 সেমি.
Ans: বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 6 সেমি.

(iv) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ভিতর P যে-কোনো একটি বিন্দু। বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি এবং OP = 3 সেমি. হলে, P বিন্দুগামী যে জ্যাটির দৈর্ঘ্য ন্যূনতম তা নির্ণয় করি।

সমাধানঃধরি,
P বিন্দুগামী যে জ্যাটির দৈর্ঘ্য নূন্যতম তা হলো AB
P, AB এর মধ্যবিন্দু এবং OP ⊥ AB
এখানে OA=5সেমি.
APO সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
OP² AP² = OA²
বা, AP² = OA²-OP²
⇒ AP² = 5²– 3²
বা, AP² =25- 9=16
∴ AP = 4
.∵ P, AB বাহুর মধ্যবিন্দু
∴ AB = 2 x AP
=2 x 4 সেমি. = 8 সেমি.
Ans: নির্ণেয় জ্যাটির দৈর্ঘ্য ৪ সেমি.

(v) P ও Q কেন্দ্রবিশিষ্ট দুটি বৃত্ত A ও B বিন্দুতে ছেদ করে। A বিন্দু দিয়ে PQ-এর সমান্তরাল সরলরেখা বৃত্তদুটিকে যথাক্রমে C ও D বিন্দুতে ছেদ করে। PQ =5 সেমি. হলে, CD-এর দৈর্ঘ্য কত তা নির্ণয় করি।

সমাধানঃ
P ও Q বিন্দু থেকে CD এর উপর যথাক্রমে PX এবং QY লম্ব অঙ্কন করা হল।
∴ AX= ½AC এবং AY=½AD
PQYX চতুর্ভুজের PQIIXY এবং PX||QY – – – [ ∵ উভয়েই CD এর উপর লম্ব]
PQYX একটি সামান্তরিক
∴ PQ =XY= 5 সেমি
∴ CD=AC+AD
⇒ CD= 2AX+ 2AY
⇒ CD= 2(AX+ AY)
বা, CD= 2(5+ 5)
∴ CD= 10
Ans: CD -এর দৈর্ঘ্য 10 সেমি.

MP-2024

▶️ কোনো বৃত্তের দুটি জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী হলে তারা অবশ্যই সমান্তরাল হবে। (সত্য / মিথ্যা)
Ans: মিথ্যা

MP-2022

▶️ ‘O’ কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 13 সেমি. এবং AB একটি জ্যা এর দৈর্ঘ্য 10 সেমি., ‘O’ বিন্দু থেকে AB জ্যা এর দূরত্ব কত?

VIEW ANSER

▶️ O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের AB ও CD দুটি জা-কে বর্ধিত করলে তারা পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করে, প্রমাণ করো যে, ∠AOC – ∠BOD = 2∠BPC

VIEW ANSER

▶️ প্রমাণ করো ব্যাস নয় এরূপ কোনো জ্যা-এর উপর বৃত্তের কেন্দ্র থেকে লম্ব অঙ্কন করা হলে, ঐ লম্ব জ্যা-টিকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

VIEW ANSER

MP-2020

▶️ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ও CD জ্যা দুটির দৈর্ঘ্য সমান, ∠AOB = 60^o হলে, ∠COD-এর মান হবে –
(a) 30^o (b) 60^o (c) 120^o (d) 180
Ans: (b) 60^o
[∵ বৃত্তের সমান দৈর্ঘ্যের জ্যা বৃত্তের কেন্দ্রে সমান সন্মুখ কোণ উৎপন্ন করে।]