দ্বিঘাত করণী কষে দেখি 9.3 QUADRATIC SURD দশম শ্রেণি
দ্বিঘাত করণী || কষে দেখি ৯.২
|| QUADRATIC SURD || KOSHE DEKHI 9.3 || দশম শ্রেণি || গণিত প্রকাশ || CLASS X || GANIT PRAKASH
দ্বিঘাত করণী কষে দেখি 9.3
1. (a) m + 1/m =√3 হলে m2 + 1/m2 এবং (ii) m3 + 1/m3 -এদের সরলতম মান নির্নয় করি।
$$\large{\mathbf{(i)\\Solution}\\m+\frac{1}{m}=\sqrt3\\\therefore m^2+\frac{1}{m^2}\\=(m)^2+\left(\frac{1}{m}\right)^2\\=\left(m+\frac{1}{m}\right)^2-2.m.\frac{1}{m}\\=(\sqrt3)^2-2\\=3-2=1\quad\mathbf{(Ans)}
}$$
$$\large{\mathbf{1.(ii)\\\\Solution}\\m+\frac{1}{m}=\sqrt3\\\therefore m^3+\frac{1}{m^3}
\\=(m)^3+\left(\frac{1}{m}\right)^3\\=\left(m+\frac{1}{m}\right)^3-3.m.\frac{1}{m}.\left(m+\frac{1}{m}\right)\\=(\sqrt3)^3-3.\sqrt3\\=3\sqrt3-3\sqrt3=0\quad\mathbf{(Ans)}}$$
(b) দেখাই যে, √5 + √3/√5 – √3 – √5 – √3/√5 + √3 = 2√15
$$\large{\mathbf{Solution\\L.H.S.}\\=\frac{\sqrt5+\sqrt3}{\sqrt5-\sqrt3}-\frac{\sqrt5-\sqrt3}{\sqrt5+\sqrt3}\\=\frac{(\sqrt5+\sqrt3)^2-(\sqrt5-\sqrt3)^2}{(\sqrt5-\sqrt3)(\sqrt5+\sqrt3)}\\=\frac{4.\sqrt5.\sqrt3}{(\sqrt5)^2-(\sqrt3)^2}\\=\frac{4\sqrt{15}}{5-3}\\=\frac{4\sqrt{15}}{2}\\=2\sqrt{15}\mathbf{=R.H.S\quad(Proved)}}$$
2. সরল করিঃ
$$\large{\mathbf{(a)\quad\frac{\sqrt2(2+\sqrt3)}{\sqrt3(\sqrt3+1)}-\frac{\sqrt2(2-\sqrt3)}{\sqrt3(\sqrt3-1)}\\(b)\quad\frac{3\sqrt7}{\sqrt5+\sqrt2}-\frac{5\sqrt5}{\sqrt2+\sqrt7}+\frac{2\sqrt2}{\sqrt7+\sqrt5}\\(c)\quad\frac{4\sqrt3}{2-\sqrt2}-\frac{30}{4\sqrt3-\sqrt{18}}-\frac{\sqrt{18}}{3-\sqrt{12}}\\(d)\quad\frac{3\sqrt2}{\sqrt3+\sqrt6}-\frac{4\sqrt3}{\sqrt6+\sqrt2}+\frac{\sqrt6}{\sqrt2+\sqrt3}}}$$
$$\large{\mathbf{(a)\\Solution}\\\frac{\sqrt2(2+\sqrt3)}{\sqrt3(\sqrt3+1)}-\frac{\sqrt2(2-\sqrt3)}{\sqrt3(\sqrt3-1)}\\=\frac{\sqrt2}{\sqrt3}\left[\frac{2+\sqrt3}{\sqrt3+1}-\frac{2-\sqrt3}{\sqrt3-1}\right]\\=\frac{\sqrt2}{\sqrt3}\left[\frac{(2+\sqrt3)(\sqrt3-1)-(2-\sqrt3)(\sqrt3+1)}{(\sqrt3+1)(\sqrt3-1)}\right]\\=\frac{\sqrt2}{\sqrt3}\left[\frac{(2\sqrt3-2+3-\sqrt3)-(2\sqrt3+2-3-\sqrt3)}{(\sqrt3)^2-(1)^2}\right]\\=\frac{\sqrt2}{\sqrt3}\left[\frac{(\sqrt3+1)-(\sqrt3-1)}{3-1}\right]\\=\frac{\sqrt2}{\sqrt3}\left[\frac{\sqrt3+1-\sqrt3+1}{2}\right]\\=\frac{\sqrt2}{\sqrt3}\left[\frac{2}{2}\right]\\=\frac{\sqrt2}{\sqrt3}\\=\frac{\sqrt2.\sqrt3}{\sqrt3.\sqrt3}\\=\frac{\sqrt6}{3}\quad\mathbf{(Ans)}}$$
$$\large{\mathbf{(b)\\Solution}\\\frac{3\sqrt7}{\sqrt5+\sqrt2}-\frac{5\sqrt5}{\sqrt2+\sqrt7}+\frac{2\sqrt2}{\sqrt7+\sqrt5}\\=\frac{3\sqrt7(\sqrt5-\sqrt2)}{(\sqrt5+\sqrt2)(\sqrt5-\sqrt2)}-\frac{5\sqrt5(\sqrt7-\sqrt2)}{(\sqrt7+\sqrt2)(\sqrt7-\sqrt2)}+\frac{2\sqrt2(\sqrt7-\sqrt5)}{(\sqrt7+\sqrt5)(\sqrt7-\sqrt5)}\\=\frac{3(\sqrt{35}-\sqrt{14})}{(\sqrt5)^2-(\sqrt2)^2}-\frac{5(\sqrt{35}-\sqrt{10})}{(\sqrt7)^2-(\sqrt2)^2}+\frac{2(\sqrt{14}-\sqrt{10})}{(\sqrt7)^2-(\sqrt5)^2}\\=\frac{3(\sqrt{35}-\sqrt{14})}{5-2}-\frac{5(\sqrt{35}-\sqrt{10})}{7-2}+\frac{2(\sqrt{14}-\sqrt{10})}{7-5}\\=\sqrt{35}-\sqrt{14}-(\sqrt{35}-\sqrt{10})+\sqrt{14}-\sqrt{10}\\=\sqrt{35}-\sqrt{14}-\sqrt{35}+\sqrt{10}+\sqrt{14}-\sqrt{10}\\=0\quad\mathbf{(Ans)}}$$
$$\large{\mathbf{(c)\\Solution}\\\frac{4\sqrt3}{2-\sqrt2}-\frac{30}{4\sqrt3-\sqrt{18}}-\frac{\sqrt{18}}{3-\sqrt{12}}\\=\frac{4\sqrt3(2+\sqrt2)}{(2-\sqrt2)(2+\sqrt2)}-\frac{30(4\sqrt3+\sqrt{18})}{(4\sqrt3-\sqrt{18})(4\sqrt3+\sqrt{18})}-\frac{\sqrt{18}(3+\sqrt{12})}{(3-\sqrt{12})(3+\sqrt{12})}\\=\frac{4(2\sqrt3+\sqrt6)}{(2)^2-(\sqrt2)^2}-\frac{30(4\sqrt3+\sqrt{18})}{(4\sqrt3)^2-(\sqrt{18})^2}-\frac{\sqrt{18}(3+\sqrt{12})}{(3)^2-(\sqrt{12})^2}\\=\frac{4(2\sqrt3+\sqrt6)}{4-2}-\frac{30(4\sqrt3+\sqrt{18})}{48-18}-\frac{\sqrt{18}(3+\sqrt{12})}{9-12}\\=\frac{4(2\sqrt3+\sqrt6)}{2}-\frac{30(4\sqrt3+3\sqrt2)}{30}-\frac{3\sqrt2(3+2\sqrt3)}{-3}\\=2(2\sqrt3+\sqrt6)-(4\sqrt3+3\sqrt2+\sqrt2(3+2\sqrt3)\\=4\sqrt3+2\sqrt6-4\sqrt3-3\sqrt2+3\sqrt2+2\sqrt6\\=4\sqrt6\quad\mathbf{(Ans)}}$$
$$\large{\mathbf{(d)\\Solution}\\\frac{3\sqrt2}{\sqrt3+\sqrt6}-\frac{4\sqrt3}{\sqrt6+\sqrt2}+\frac{\sqrt6}{\sqrt2+\sqrt3}\\=\frac{3\sqrt2(\sqrt6-\sqrt3)}{(\sqrt6+\sqrt3)(\sqrt6-\sqrt3)}-\frac{4\sqrt3(\sqrt6-\sqrt2)}{(\sqrt6+\sqrt2)(\sqrt6-\sqrt2)}+\frac{\sqrt6(\sqrt3-\sqrt2)}{(\sqrt3+\sqrt2)(\sqrt3-\sqrt2)}\\=\frac{3(\sqrt{12}-\sqrt6)}{(\sqrt6)^2-(\sqrt3)^2}-\frac{4(\sqrt{18}-\sqrt6)}{(\sqrt6)^2-(\sqrt2)^2}+\frac{(\sqrt{18}-\sqrt{12})}{(\sqrt3)^2-(\sqrt2)^2}\\=\frac{3(\sqrt{12}-\sqrt6)}{6-3}-\frac{4(\sqrt{18}-\sqrt6)}{6-2}+\frac{(\sqrt{18}-\sqrt{12})}{3-2}\\=\sqrt{12}-\sqrt6-(\sqrt{18}-\sqrt6)+\sqrt{18}-\sqrt{12}\\=\sqrt{12}-\sqrt6-\sqrt{18}+\sqrt6+\sqrt{18}-\sqrt{12}\\=0\quad\mathbf{(Ans)}}$$
দ্বিঘাত করণী কষে দেখি 9.3
3. যদি x = 2, y = 3 এবং z = 6 হয় তবে,
$$\large{\mathbf{\frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}-\frac{4\sqrt{y}}{\sqrt{z}+\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}}\\}
$$
–এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
প্রদত্ত x = 2, y = 3 এবং z = 6 ANS 0
$$\large{\frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}-\frac{4\sqrt{y}}{\sqrt{z}+\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\\=\frac{3\sqrt2}{\sqrt3+\sqrt6}-\frac{4\sqrt3}{\sqrt6+\sqrt2}+\frac{\sqrt6}{\sqrt2+\sqrt3}\\=\frac{3\sqrt2(\sqrt6-\sqrt3)}{(\sqrt6+\sqrt3)(\sqrt6-\sqrt3)}-\frac{4\sqrt3(\sqrt6-\sqrt2)}{(\sqrt6+\sqrt2)(\sqrt6-\sqrt2)}+\frac{\sqrt6(\sqrt3-\sqrt2)}{(\sqrt3+\sqrt2)(\sqrt3-\sqrt2)}\\=\frac{3\sqrt2(\sqrt6-\sqrt3)}{(\sqrt6)^2-(\sqrt3)^2}-\frac{4\sqrt3(\sqrt6-\sqrt2)}{(\sqrt6)^2-(\sqrt2)^2}+\frac{\sqrt6(\sqrt3-\sqrt2)}{(\sqrt3)^2-(\sqrt2)^2}\\=\frac{3\sqrt2(\sqrt6-\sqrt3)}{6-3}-\frac{4\sqrt3(\sqrt6-\sqrt2)}{6-2}+\frac{\sqrt6(\sqrt3-\sqrt2)}{3-2}\\=\sqrt2(\sqrt6-\sqrt3)-\sqrt3(\sqrt6-\sqrt2)+\sqrt6(\sqrt3-\sqrt2)\\=\sqrt{12}-\sqrt6-\sqrt{18}+\sqrt6+\sqrt{18}-\sqrt{12}\\=0\quad\mathbf{Ans}}$$
4. x = √7 + √6 (i) x – 1/x (ii) x + 1/x (iii) x2 + 1/x2 (iv) x3 + 1/x3 -এদের সরলতম মান নির্নয় করি।
(i)
সমাধানঃ
x = √7 + √6
$$\large{\therefore\frac{1}{x}=\frac{1}{\sqrt7+\sqrt6}\\=\frac{\sqrt7-\sqrt6}{(\sqrt7+\sqrt6)(\sqrt7-\sqrt6)}\\=\frac{\sqrt7-\sqrt6}{(\sqrt7)^2-(\sqrt6)^2}\\=\frac{\sqrt7-\sqrt6}{7-6}\\=\sqrt7-\sqrt6\\\therefore x-\frac{1}{x }\\=(\sqrt7+\sqrt6)-(\sqrt7-\sqrt6)\\=\sqrt7+\sqrt6-\sqrt7+\sqrt6\\=2\sqrt6\quad\mathbf{Ans}}$$
(ii)
সমাধানঃ
x = √7 + √6
$$\large{\therefore\frac{1}{x}=\frac{1}{\sqrt7+\sqrt6}\\=\frac{\sqrt7-\sqrt6}{(\sqrt7+\sqrt6)(\sqrt7-\sqrt6)}\\=\frac{\sqrt7-\sqrt6}{(\sqrt7)^2-(\sqrt6)^2}\\=\frac{\sqrt7-\sqrt6}{7-6}\\=\sqrt7-\sqrt6\\\therefore x+\frac{1}{x }\\=(\sqrt7+\sqrt6)+(\sqrt7-\sqrt6)\\=\sqrt7+\sqrt6+\sqrt7-\sqrt6\\=2\sqrt7\quad\mathbf{Ans}}$$
(iii)
সমাধানঃ
x = √7 + √6
$$\large{\therefore\frac{1}{x}=\frac{1}{\sqrt7+\sqrt6}\\=\frac{\sqrt7-\sqrt6}{(\sqrt7+\sqrt6)(\sqrt7-\sqrt6)}\\=\frac{\sqrt7-\sqrt6}{(\sqrt7)^2-(\sqrt6)^2}\\=\frac{\sqrt7-\sqrt6}{7-6}\\=\sqrt7-\sqrt6\\\therefore x+\frac{1}{x }\\=(\sqrt7+\sqrt6)+(\sqrt7-\sqrt6)\\=\sqrt7+\sqrt6+\sqrt7-\sqrt6\\=2\sqrt7\\\therefore x^2+\frac{1}{x^2}\\=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2.x.\frac{1}{x}\\=(2\sqrt7)^2-2.2\sqrt7\\= 28 – 2 = 26
\quad\mathbf{Ans}}$$
(iv)
সমাধানঃ
x = √7 + √6
$$\large{\therefore\frac{1}{x}=\frac{1}{\sqrt7+\sqrt6}\\=\frac{\sqrt7-\sqrt6}{(\sqrt7+\sqrt6)(\sqrt7-\sqrt6)}\\=\frac{\sqrt7-\sqrt6}{(\sqrt7)^2-(\sqrt6)^2}\\=\frac{\sqrt7-\sqrt6}{7-6}\\=\sqrt7-\sqrt6\\\therefore x+\frac{1}{x }\\=(\sqrt7+\sqrt6)+(\sqrt7-\sqrt6)\\=\sqrt7+\sqrt6+\sqrt7-\sqrt6\\=2\sqrt7\\\therefore x^3+\frac{1}{x^3}\\=\left(x+\frac{1}{x}\right)^3-3.x.\frac{1}{x}\left(x+\frac{1}{x}\right)\\=(2\sqrt7)^3-3.2\sqrt7\\=56\sqrt7-6\sqrt7\\=50\sqrt7\quad\mathbf{Ans}}$$
5. সরল করিঃ
$$\large{\mathbf{\frac{x+\sqrt{x^2-1}}{x-\sqrt{x^2-1}}+\frac{x-\sqrt{x^2-1}}{x+\sqrt{x^2-1}}\\}}$$
সরলফল 14 হলে, x -এর মান কী কী হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
$$\large{\frac{x+\sqrt{x^2-1}}{x-\sqrt{x^2-1}}+\frac{x-\sqrt{x^2-1}}{x+\sqrt{x^2-1}}\\=\frac{(x+\sqrt{x^2-1})^2+(x-\sqrt{x^2-1})^2}{(x-\sqrt{x^2-1})(x+\sqrt{x^2-1})}\\=\frac{2[x^2+(\sqrt{x^2-1})^2]}{(x)^2-(\sqrt{x^2-1})^2}\\=\frac{2(x^2+x^2-1)}{x^2-(x^2-1)}\\=\frac{2(2x^2-1)}{x^2-x^2+1)}\\=\frac{(4x^2-2)}{1}\\=4x^2-2}$$
নির্ণেয় সরল ফল 4x2 – 2 (Ans)
প্রশ্নানুসারে,
4x2 – 2 = 14
বা, 4x2 = 16
বা, x2 = 4
⇒ x = ± 2
x –এর মান ± 2 (Ans)
দ্বিঘাত করণী কষে দেখি 9.3
6. যদি a = √5 + 1/√5 -1 ও b = √5 – 1/√5 +1 হয়, তবে নীচের মানগুলি নির্ণয় করি।
$$\large{\mathbf{(i)\quad\frac{a^2+ab+b^2}{a^2-ab+b^2}\quad\quad(ii)\quad\frac{(a-b)^2}{(a+b)^2}\\(iii)\quad\frac{3a^2+5ab+3b^2}{3a^2-5ab+3b^2}\quad\quad(iv)\quad\frac{a^3+b^3}{a^3-b^3}}}$$
$$\large{\mathbf{(i)\\Solution}\\a=\frac{\sqrt5+1}{\sqrt5-1}\\b=\frac{\sqrt5-1}{\sqrt5+1}\\\therefore a+b\\=\frac{\sqrt5+1}{\sqrt5-1}+\frac{\sqrt5-1}{\sqrt5+1}\\=\frac{(\sqrt5+1)^2+(\sqrt5-1)^2}{(\sqrt5-1)(\sqrt5+1)}\\=\frac{2[(\sqrt5)^2+(1)^2]}{(\sqrt5)^2-(1)^2}\\=\frac{2(5+1)}{5-1}\\=\frac{2.6}{4}=3\\a.b\\=\frac{\sqrt5+1}{\sqrt5-1}.\frac{\sqrt5-1}{\sqrt5+1}\\=1}$$প্রদত্ত রাশি$$\large{\frac{a^2+ab+b^2}{a^2-ab+b^2}\\=\frac{a^2+2ab+b^2-ab}{a^2+2ab+b^2-3ab}\\=\frac{(a+b)^2-ab}{(a+b)^2-3ab}\\=\frac{(3)^2-1}{(3)^2-3.1}\\=\frac{9-1}{9-3}\\=\frac{8}{6}\\=\frac{4}{3}\\=1\frac{1}{3}\quad\mathbf{Ans}}$$
$$\large{\mathbf{(ii)\\Solution}\\a=\frac{\sqrt5+1}{\sqrt5-1}\\b=\frac{\sqrt5-1}{\sqrt5+1}\\\therefore a+b\\=\frac{\sqrt5+1}{\sqrt5-1}+\frac{\sqrt5-1}{\sqrt5+1}\\=\frac{(\sqrt5+1)^2+(\sqrt5-1)^2}{(\sqrt5-1)(\sqrt5+1)}\\=\frac{2[(\sqrt5)^2+(1)^2]}{(\sqrt5)^2-(1)^2}\\=\frac{2(5+1)}{5-1}\\=\frac{2.6}{4}=3\\a-b\\=\frac{\sqrt5+1}{\sqrt5-1}-\frac{\sqrt5-1}{\sqrt5+1}\\=\frac{(\sqrt5+1)^2-(\sqrt5-1)^2}{(\sqrt5-1)(\sqrt5+1)}\\=\frac{4.\sqrt5.1}{(\sqrt5)^2-(1)^2}\\=\frac{4\sqrt5}{5-1}\\=\frac{4\sqrt5}{4}=\sqrt5}$$প্রদত্ত রাশি $$\large{=\frac{(a-b)^3}{(a+b)^3}\\=\frac{(\sqrt5)^3}{(3)^3}\\=\frac{5\sqrt5}{27}\quad\mathbf{Ans}}$$
$$\large{\mathbf{(iii)\\Solution}\\a=\frac{\sqrt5+1}{\sqrt5-1}\\b=\frac{\sqrt5-1}{\sqrt5+1}\\\therefore a+b\\=\frac{\sqrt5+1}{\sqrt5-1}+\frac{\sqrt5-1}{\sqrt5+1}\\=\frac{(\sqrt5+1)^2+(\sqrt5-1)^2}{(\sqrt5-1)(\sqrt5+1)}\\=\frac{2[(\sqrt5)^2+(1)^2]}{(\sqrt5)^2-(1)^2}\\=\frac{2(5+1)}{5-1}\\=\frac{2.6}{4}=3\\a.b\\=\frac{\sqrt5+1}{\sqrt5-1}.\frac{\sqrt5-1}{\sqrt5+1}\\=1}$$প্রদত্ত রাশি$$\large{\frac{3a^2+5ab+3b^2}{3a^2-5ab+3b^2}\\=\frac{3(a^2+2ab+b^2)-ab}{3(a^2+2ab+b^2)-11ab}\\=\frac{3(a+b)^2-ab}{3(a+b)^2-11ab}\\=\frac{3(3)^2-1}{3(3)^2-11.1}\\=\frac{27-1}{27-11}\\=\frac{26}{16}\\=\frac{13}{8}\\=1\frac{5}{8}\quad\mathbf{Ans}}$$
$$\large{\mathbf{(iv)\\Solution}\\a=\frac{\sqrt5+1}{\sqrt5-1}\\b=\frac{\sqrt5-1}{\sqrt5+1}\\\therefore a+b\\=\frac{\sqrt5+1}{\sqrt5-1}+\frac{\sqrt5-1}{\sqrt5+1}\\=\frac{(\sqrt5+1)^2+(\sqrt5-1)^2}{(\sqrt5-1)(\sqrt5+1)}\\=\frac{2[(\sqrt5)^2+(1)^2]}{(\sqrt5)^2-(1)^2}\\=\frac{2(5+1)}{5-1}\\=\frac{2.6}{4}=3\\a-b\\=\frac{\sqrt5+1}{\sqrt5-1}-\frac{\sqrt5-1}{\sqrt5+1}\\=\frac{(\sqrt5+1)^2-(\sqrt5-1)^2}{(\sqrt5-1)(\sqrt5+1)}\\=\frac{4.\sqrt5.1}{(\sqrt5)^2-(1)^2}\\=\frac{4\sqrt5}{5-1}\\=\frac{4\sqrt5}{4}=\sqrt5\\a.b\\=\frac{\sqrt5+1}{\sqrt5-1}.\frac{\sqrt5-1}{\sqrt5+1}\\=1}$$
প্রদত্ত রাশি
$$\large{=\frac{a^3+b^3}{a^3-b^3}\\=\frac{(a+b)^3-3ab(a+b)}{(a-b)^3+3ab(a-b)}\\=\frac{(3)^3-3.1.3}{(\sqrt5)^3+3.1.\sqrt5}\\=\frac{27-9}{5\sqrt5+3\sqrt5}\\=\frac{18}{8\sqrt5}\\=\frac{9}{4\sqrt5}\\=\frac{9.\sqrt5}{4\sqrt5.\sqrt5}\\=\frac{9\sqrt5}{20}\quad\mathbf{Ans}}$$
দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে এখানে ক্লিক করো।
দ্বিঘাত করণী কষে দেখি 9.3
7. যদি x = 2 + √3, y = 2 – √3 হয়, তবে নিম্নলিখিতগুলির সরলতম মান নির্নয় করি। (a) (i) x – 1/x (ii) y2 + 1/y2 (iii) x3 – 1/x3 (iv) xy + 1/xy (b) 3x2 – 5xy + 3y2
(i)
সমাধানঃ
x = 2 + √3
$$\large{\therefore\frac{1}{x}=\frac{1}{2+\sqrt3}\\=\frac{2-\sqrt3}{(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)}\\=\frac{2-\sqrt3}{(2)^2-(\sqrt3)^2}\\=\frac{2-\sqrt3}{4-3}\=2-\sqrt3\\\therefore x-\frac{1}{x }\\=(2+\sqrt3)-(2-\sqrt3)\\=2+\sqrt3-2+\sqrt3\\=2\sqrt3\quad\mathbf{Ans}}$$
(ii)
সমাধানঃ
y = 2 – √3
$$\large{\therefore\frac{1}{y}=\frac{1}{2-\sqrt3}\\=\frac{2+\sqrt3}{(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)}\\=\frac{2+\sqrt3}{(2)^2-(\sqrt3)^2}\\=\frac{2+\sqrt3}{4-3}\\=2+\sqrt3\\\therefore y+\frac{1}{y }\\=(2-\sqrt3)+(2+\sqrt3)\\=2-\sqrt3+2-\sqrt3\\=4
}$$প্রদত্ত রাশি$$\large{= y^2+\frac{1}{y^2 }\\=\left(y+\frac{1}{y}\right)^2-2.y.\frac{1}{y}\\=(4)^2-2.1\\=16-2=14\quad\mathbf{Ans}}$$
(iii)
সমাধানঃ
x = 2 + √3
$$\large{\therefore\frac{1}{x}=\frac{1}{2+\sqrt3}\\=\frac{2-\sqrt3}{(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)}\\=\frac{2-\sqrt3}{(2)^2-(\sqrt3)^2}\\=\frac{2-\sqrt3}{4-3}\\=2-\sqrt3\\\therefore x-\frac{1}{x }\\=(2+\sqrt3)-(2-\sqrt3)\\=2+\sqrt3-2+\sqrt3\\=2\sqrt3}$$প্রদত্ত রাশি$$\large{= x^3-\frac{1}{x^3 }\\=\left(x-\frac{1}{x}\right)^3+3.x.\frac{1}{x}\left(x-\frac{1}{x}\right)\\=(2\sqrt3)^3+3.1.2\sqrt3\\=24\sqrt3+6\sqrt3\\=30\sqrt3\quad\mathbf{Ans}}$$
(iv)
সমাধানঃ
x = 2 + √3
y = 2 – √3
∴ x.y = (2 + √3).(2 – √3)
= (2)2 – (√3)2
= 4 – 3 = 1
প্রদত্ত রাশি
= xy + 1/xy
⇒ 1 + 1/1
= 1 + 1 = 2 (Ans)
(b)
সমাধানঃ
x = 2 + √3
y = 2 – √3
∴ x + y = 2 + √3 + 2 – √3
= 4
x.y = (2 + √3).(2 – √3)
= (2)2 – (√3)2
= 4 – 3 = 1
প্রদত্ত রাশি
= 3x2 – 5xy + 3y2
= 3(x2 + 2xy + y2) – 11xy
⇒ 3(x + y)2 – 11xy
= 3(4)2 – 11.1
= 3.16 – 11
⇒ 3.16 – 11
= 48 – 11
= 37 (Ans)
দ্বিঘাত করণী কষে দেখি 9.3
8. x = √7 + √3/√7 – √3 এবং xy = 1 হলে, দেখাই যে, x2 + xy + y2/x2 – xy +y2 = 12/11
$$\large{\mathbf{Solution}\\x=\frac{\sqrt7+\sqrt3}{\sqrt7-\sqrt3}\\y=\frac{1}{x}\\=\frac{1}{\frac{\sqrt7+\sqrt3}{\sqrt7-\sqrt3}}\\=\frac{\sqrt7-\sqrt3}{\sqrt7+\sqrt3}\\\therefore x+y\\=\frac{\sqrt7+\sqrt3}{\sqrt7-\sqrt3}+\frac{\sqrt7-\sqrt3}{\sqrt7+\sqrt3}\\=\frac{(\sqrt7+\sqrt3)^2+(\sqrt7-\sqrt3)^2}{(\sqrt7-\sqrt3)(\sqrt7+\sqrt3)}\\=\frac{2[(\sqrt7)^2+(\sqrt3)^2]}{(\sqrt7)^2-(\sqrt3)^2}\\=\frac{2(7+3)}{7-3}\\=\frac{2.10}{4}=5\\\mathbf{L.H.S.}\\=\frac{x^2+xy+y^2}{x^2-xy+y^2}\\=\frac{x^2+2xy+y^2-xy}{x^2+2xy+y^2-3xy}\\=\frac{(x+y)^2-xy}{(x+y)^2-3xy}\\=\frac{(5)^2-1.1}{(5)^2-3.1}\\=\frac{25-1}{25-3}\\=\frac{24}{22}\\=\frac{12}{11}=\mathbf{R.H.S. \quad (Proved)}}$$
9. (√7 + 1) এবং (√5 + √3) এর মধ্যে কোনটি বড়ো লিখি।
সমাধানঃ
(√7 + 1)2
= 7 + 1 + 2√7
= 8 + 2√7
(√5 + √3)2
= 5 + 3 + 2√15
= 8 + 2√15
2√15 > 2√7
⇒ 8 + 2√15 > 8 + 2√7
⇒ (√5 + √3)2 > (√7 + 1)2
⇒ (√5 + √3) >(√7 + 1)
Ans: (√5 + √3) বড়ো।
দ্বিঘাত করণী কষে দেখি 9.3
10. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.):
(i) x = 2 + √3 হলে, x + 1/x -এর মান (a) √2 (b) 2√3 (c) 4 (d) 2 – √3
Ans: (c) 4
[x = 2 + √3
$$\large{\frac{1}{x}=\frac{1}{2+\sqrt3}\\=\frac{2-\sqrt3}{(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)}\\=\frac{2-\sqrt3}{(2)^2-(\sqrt3)^2}\\=\frac{2-\sqrt3}{4-3}\\=3-2\sqrt2\\\therefore x+\frac{1}{x}\\=2+\sqrt3+2-\sqrt3\\=4]}$$
(ii) যদি p + q = √13 এবং p – q = √5 হয়, তাহলে pq -এর মান (a) 2 (b) 18 (c) 9 (d) 8
Ans: (a) 2
[4pq
= (p + q)2 – (p – q)2
= (√13)2 – (√5)2
⇒ 13 – 5 = 8
∴ pq = 8/4 = 2]
(iii) যদি a + b = √5 এবং a – b = √3 হয়, তাহলে (a2 + b2) -এর মান
(a) 8 (b) 4 (c) 2 (d) 1
Ans: (b) 4
[2(a2 + b2)
= (a + b)2 + (a – b)2
= (√5)2 + (√3)2
⇒ 5 + 3 = 8
∴ (a2 + b2) = 8/2 = 4]
(iv) √125 থেকে √5 বিয়োগ করলে বিয়োগফল হবে
(a) √80 (b) √120 (c) √100 (d) কোনটিই নয়।
Ans: (a) √80
[√125 – √5 = √5×5×5 – √5
= 5√5 – √5 = 4√5
=√16×5 = √80]
(v) (5 – √3)(√3 – 1)(5 + √3)(√3 + 1)-এর গুণফল (a) 22 (b) 44 (c) 2 (d) 11
Ans: (b) 44
[ (5 – √3)(√3 – 1)(5 + √3)(√3 + 1)
= (5 – √3)(5 + √3)(√3 – 1)(√3 + 1)
= {(5)2 – (√3)2}{(√3)2 – (1)2}
⇒ (25 – 3)(3 – 1)
= 22×2 = 44]
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখিঃ
(i) √75 এবং √147 সদৃশ করণী।
√75 = √5×5×3
= 5√3,
√147 = √7×7×3
= 7√3
Ans: সত্য।
(ii) √π একটি দ্বিঘাত করণী।
Ans: মিথ্যা
(C) শূন্যস্থান পূরণ করিঃ
(i) 5√11 একটি __________ সংখ্যা। (মূলদ/ অমূলদ)
Ans: অমূলদ
(ii) (√3 – 5) -এর অনুবন্ধী করণী __________।
Ans: (√3 + 5)
(iii) দুটি দ্বিঘাত করণীর যোগফল ও গুণফল একটি মূলদ সংখ্যা হলে করণীদ্বয় __________ করণী।
Ans: অনুবন্ধী করণী
দ্বিঘাত করণী কষে দেখি 9.3
11. সংক্ষিপ্তধর্মী উত্তর প্রশ্ন (S.A.)
(i) x = 3 + 2√2 হলে, x + 1/x -এর মান লিখি।
সমাধানঃ
x = 3 + 2√2
$$\large{\frac{1}{x}=\frac{1}{3+2\sqrt2}\\=\frac{3-2\sqrt2}{(3+2\sqrt2)(3-2\sqrt2)}\\=\frac{3-2\sqrt2}{(3)^2-(2\sqrt2)^2}\\=\frac{3-2\sqrt2}{9-8}\\=3-2\sqrt2\\\therefore x+\frac{1}{x}\\=3+2\sqrt2+3-2\sqrt2\\=6\quad \mathbf{Ans}}$$
(ii) (√15 + √3) এবং (√10 + √8) -এর মধ্যে কোনটি বড়ো লিখি।
সমাধানঃ
(√15 + √3)2
= 15 + 3 + 2√45
= 18 + 2√45
(√10 + √8)2
= 10 + 8 + 2√80
= 18 + 2√80
2√80 > 2√45
⇒ 18 + 2√80 > 18 + 2√45
⇒ (√10 + √8)2 > (√15 + √3)2
⇒ (√10 + √8) >(√15 + √3)
Ans: (√10 + √8) বড়ো
দ্বিঘাত করণী কষে দেখি 9.3
(iii) দুটি মিশ্র দ্বিঘাত করণী লিখি যাদের গুণফল একটি মূলদ সংখ্যা।
সমাধানঃ
ধরি, দুটি মিশ্র দ্বিঘাত করণী (√5 + 2) ও (√5 – 2)
∴ (√5 + 2)×(√5 – 2)
= (√5)2 – (2)2
= 5 – 2
⇒ 3 যা একটি মূলদ সংখ্যা।
(iv) √72 থেকে কত বিয়োগ করলে √32 হবে তা লিখি।
সমাধানঃ
ধরি, x বিয়োগ করতে হবে।
প্রশ্নানুসারে,
√72 – x = √32
বা, 6√2 – x = 4√2
বা, x = 4√2 – 6√2
⇒ x = 2√2
Ans: √72 থেকে 2√2 বিয়োগ করলে √32 হবে।
$$\large{\mathbf{(v)\quad\left(\frac{1}{\sqrt2+1}+\frac{1}{\sqrt3+\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt4+\sqrt3}\right)}\\}$$-এর সরলতম মান লিখি।
$$\large{\mathbf{(Ans)}\\\frac{1}{\sqrt2+1}+\frac{1}{\sqrt3+\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt4+\sqrt3}\\=\frac{\sqrt2-1}{(\sqrt2+1)(\sqrt2-1)}+\frac{\sqrt3-\sqrt2}{(\sqrt3+\sqrt2)(\sqrt3-\sqrt2)}+\frac{\sqrt4-\sqrt3}{(\sqrt4+\sqrt3)(\sqrt4-\sqrt3)}\\=\frac{\sqrt2-1}{(\sqrt2)^2-(1)^2}+\frac{\sqrt3-\sqrt2}{(\sqrt3)^2-(\sqrt2)^2}+\frac{\sqrt4-\sqrt3}{(\sqrt4)^2-(\sqrt3)^2}\\=\sqrt2-1+\sqrt3-\sqrt2+\sqrt4-\sqrt3\\=-1+2=1}$$
Madhyamik Question
MP-2024
▶️ যদি x = √3 + √2, y = 1/x হয় তবে (x + 1/x)2 + (1/y – y)2 = কত?
MP-2023
▶️ যদি x = 1/2-√3 এবং y = 1/2+√3 হয় তবে 1/xএর মান নির্ণয় করো।
MP-2022
▶️ সরলতম মান নির্ণয় করো:
\(\large{\mathbf{\quad\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}-\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{5}}+\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}}}\)
▶️ m + 1/m= √3 হলে, (a) m2 + 1/m2 এবং (b) m3 + 1/m3 -এদের সরলতম মান নির্ণয় করো?
MP-2020
▶️ x = 2 + √3 এবং x + y = 4 হলে, xy + 1/xy -এর সরলতম মান নির্ণয় করো।
MP-2019
▶️ যদি p+q =√13 এবং p-q= √5 হয়, তাহলে pq -এর মান-
(a) 2 (b) 18 (c) 9 (d) 8
▶️ দুটি দ্বিঘাত করণীর যোগফল ও গুণফল একটি মূলদ সংখ্যা হলে করণীদ্বয় ______ করণী। (শূন্যস্থান পূরণ)
Ans: অনুবন্ধী করনী
▶️ সরল করো:
\(\large{\mathbf{\quad\frac{4√3}{2-√2}-\frac{30}{4√3-√18}-\frac{√18}{3-√12}\\Solution:}}\)
MP-2018
\(\large{\mathbf{▶️\quad √7(√5-√2)-√5(√7-√2)+\frac{2√2}{√5+√7}}}\)
MP-2017
\(\Large{\mathbf{▶️\quad\frac{1}{√2+√3}-\frac{√3+1}{2+√3}+\frac{√2+1}{3+2√2}}}\)
- Boyle’s Law গ্যাসের আচরণ বয়েলের সূত্র
- দশম শ্রেণির ভৌত বিজ্ঞানের সকল সূত্রাবলী
- কষে দেখি 26.4 দশম শ্রেণী রাশিবিজ্ঞান সংখ্যাগুরুমান
- কষে দেখি 26.3 দশম শ্রেণী রাশিবিজ্ঞান: ওজাইভ
- কষে দেখি 26.2 দশম শ্রেণী রাশিবিজ্ঞান মধ্যমা
- Koshe Dekhi 24 Class 10|পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত
- কষে দেখি 25 দশম শ্রেণী | ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ: উচ্চতা ও দূরত্ব
- Solution of Koshe dekhi 22
- Solution of Koshe dekhi 21
- KOSHE DEKHI 17 সম্পাদ্য বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন
- ত্রিভুজের অন্তর্বৃত্ত অঙ্কন কষে দেখি 11.2
- Koshe Dekhi 18-4 Class 10 সদৃশতা
- Koshe Dekhi 18-3 Class 10 সদৃশতা
- Koshe Dekhi 18.2 Class X Similarity সদৃশতা
- Koshe Dekhi 23.3 Class 10 | ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি কষে দেখি- ২৩.৩
- ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি কষে দেখি- 23.2 Class-X
- সম্পাদ্যঃ ত্রিভুজের পরিবৃত্ত অঙ্কন কষে দেখি 11.1
- ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা কষে দেখি 19
- Similarity Class X Koshe Dekhi 18.1 সদৃশতা
- লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু কষে দেখি 16 দশম শ্রেণি Right Circular Cone
Leave a Reply