দশম শ্রেণির গোলক (Sphere) কষে দেখি ১২

দশম শ্রেণির গোলক (Sphere) কষে দেখি ১২

1. একটি গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 10.5 সেমি হলে, তার সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল হিসাব করে লিখি।

সমাধান:
গোলকটির ব্যাসার্ধ (r) = 10.5 সেমি
∴গোলকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 4πr² বর্গ সেমি
= 4ײ²/₇×10.5×10.5 বর্গ সেমি
= 4ײ²/₇××¹⁰⁵/₁₀××¹⁰⁵/₁₀ বর্গ সেমি
= 4×22××¹⁵/₁₀×¹⁰⁵/₁₀ বর্গ সেমি
= 22×3×21 বর্গ সেমি
= 1386 বর্গ সেমি।
Ans: গোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 1386 বর্গ সেমি।

2. একটি চামড়ার বল তৈরি করতে প্রতি বর্গ সেমি 17.50 টাকা হিসাবে 431.20 টাকা লেগেছে। বলটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

সমাধান:
ধরি, চামড়ার বলটির ব্যাসার্ধ = r সেমি
∴ চামড়ার বলটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 4πr² বর্গ সেমি
বলটি তৈরি করতে প্রতি বর্গ সেমি 17.50 টাকা হিসাবে 431.20 টাকা লেগেছে।
বলটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = ^431.20/_17.50 বর্গ সেমি
= ⁴³¹²⁰/₁₇₅₀ বর্গ সেমি
= ⁶¹⁶/₂₅ বর্গ সেমি
প্রশ্নানুযায়ী,
4πr² = ⁶¹⁶/₂₅
বা, 4ײ²/₇×r² = ⁶¹⁶/₂₅
বা, 4ײ/₇×r² = ⁵⁶/₂₅
বা, ¹/₇×r² = ⁷/₂₅
বা, r² = ^7×7/₂₅
বা, r = ⁷/₅
বা, 2r = 2×⁷/₅ = 2.8
Ans: বলটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 2.8 সেমি।

3. স্কুলে সটপাট খেলার জন্য যে বলটি ব্যবহার করা হয় তার ব্যাসের দৈর্ঘ্য 7 সেমি হলে, বলটিতে কত ঘন সেমি লোহা আছে হিসাব করে লিখি।

সমাধান:
সটপাট বলটির ব্যাসার্ধ (r) = ⁷/₂​সেমি
∴ বলটির আয়তন = ⁴/₃ π×⁷/₂³ ঘন সেমি
= ⁴/₃ ײ²/₇×⁷/₂×⁷/₂×⁷/₂ ঘন সেমি
= ¹/₃×11×7×7 ঘন সেমি
= ⁵³⁹/₃ ঘন সেমি
= 179²/₃ ঘন সেমি
Ans: বলটিতে ​179²/₃ ঘন সেমি লোহা আছে।

4. 28 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসবিশিষ্ট একটি নিরেট গোলক জলে সম্পূর্ণভাবে নিমজ্জিত করলে যে পরিমাণ জল অপসারিত করবে তা নির্ণয় করি।

সমাধান:
নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধ (r) = ²⁸/₂ = 14 সেমি
∴ নিরেট গোলকেটির আয়তন = ⁴/₃ π×14³ ঘন সেমি
= ⁴/₃ ײ²/₇×14×14×14 ঘন সেমি
= ⁴/₃×22××2×14×14 ঘন সেমি
= ³⁴⁴⁹⁶/₃ ঘন সেমি
= 11498 ²/₃ ঘন সেমি
Ans: গোলকটি জলে সম্পূর্ণভাবে নিমজ্জিত করলে ​11498 ²/₃ ঘন সেমি জল অপসারিত করবে।

দশম শ্রেণির গোলক (Sphere) কষে দেখি ১২

5. কোনো গোলাকার গ্যাস বেলুন ফোলাবার সময়ে তার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 7 সেমি থেকে 21 সেমি হলে বেলুনটির পূর্বের ও পরের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত নির্ণয় করি।

সমাধান:
বেলুনটির পূর্বের ব্যাসার্ধ (r₁) = 7 সেমি
∴ বেলুনটির পূর্বের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 4π(r₁)² বর্গ সেমি
= 4π×7×7 বর্গ সেমি
বেলুনটির পরের ব্যাসার্ধ (r₂) = 21 সেমি
∴ বেলুনটির পরের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 4π(r₂)² বর্গ সেমি
= 4π×21×21 বর্গ সেমি
∴ বেলুনটির পূর্বের ও পরের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত
= 4π×7×7 : 4π×21×21
= 1×1 : 3×3
= 1 : 9
Ans: পূর্বের ও পরের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 1 : 9

6. অর্ধগোলাকৃতি একটি বাটি তৈরি করতে 127²/₇ বর্গ সেমি পাত লেগেছে। বাটিটির মুখের ব্যাসের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

সমাধান:
ধরি, অর্ধগোলাকৃতি বাটিটির মুখের ব্যাসার্ধ = r সেমি
∵ বাটিটি নিরেট নয় তাই বাটি তৈরি করতে বক্রতলের পাত লাগে।
∴ বাটিটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πr² বর্গ সেমি
প্রশ্নানুযায়ী,
2πr² = 127²/₇
বা, 2ײ²/₇×r² = ⁸⁹¹/₇
বা, 2×22×r² = 891
বা, 2×2×r² = 81
বা, r² = ⁸¹/₄
∴ r = ⁹/₂
বা, 2r = 9
Ans: বাটিটির মুখের ব্যাসের দৈর্ঘ্য = 9 সেমি।

দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে এখানে ক্লিক করো।

7. একটি নিরেট লোহার গোলার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 2.1সেমি। ওই গোলাটিতে কত ঘন সেমি লোহা আছে তা হিসাব করে লিখি এবং লোহার গোলার বক্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করি।

সমাধান:
নিরেট লোহার গোলকের ব্যাসার্ধ (r) = 2.1 সেমি
∴ নিরেট গোলকের আয়তন = ⁴/₃ π×2.1³ ঘন সেমি
= ⁴/₃ ײ²/₇ײ¹/₁₀ײ¹/₁₀ײ¹/₁₀ ঘন সেমি
= 4×22×¹/₁₀ײ¹/₁₀ײ¹/₁₀ ঘন সেমি
= 38.808 ঘন সেমি
∴ নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 4π×2.1² বর্গ সেমি
= 4ײ²/₇ײ¹/₁₀ײ¹/₁₀ বর্গ সেমি
= 4×22׳/₁₀ײ¹/₁₀ বর্গ সেমি
= 55.44 বর্গ সেমি
Ans: গোলাটিতে 38.808 ঘন সেমি লোহা আছে।
লোহার গোলার বক্রতলের ক্ষেত্রফল 55.44 বর্গ সেমি।

8. একটি নিরেট সিসার গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 14 সেমি। এই গোলকটি গলিয়ে 3.5 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের কতগুলি নিরেট গোলক তৈরি করা যাবে হিসাব করে লিখি।

সমাধান:
নিরেট সিসার গোলকের ব্যাসার্ধ (R) = ¹⁴/₂ = 7 সেমি
∴ গোলকটির আয়তন = ⁴/₃ π×7³ ঘন সেমি
ছোটো নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধ (r) = 3.5 সেমি
∴ ছোটো নিরেট গোলকের আয়তন = ⁴/₃ π×3.5³ ঘন সেমি
ধরি, x টি নিরেট গোলক তৈরি করা যাবে
∴ x× ⁴/₃ π×3.5³ = ⁴/₃ π×7³
বা, x×3.5³ = 7³
বা, x×3.5³ = 7³
বা, x׳⁵/₁₀׳⁵/₁₀׳⁵/₁₀ = 7×7×7
বা, x×⁷/₂×⁷/₂×⁷/₂ = 7×7×7
∴ x = 8
Ans: নিরেট গোলক তৈরি করা যাবে = 8টি।

9. 3 সেমি, 4 সেমি ও 5 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের তিনটি নিরেট তামা গোলক গলিয়ে একটি নিরেট বড়ো গোলক তৈরি করা হলো। বড়ো গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

সমাধান:
তিনটি নিরেট তামার গোলকের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 3 সেমি, 4 সেমি ও 5 সেমি।
∴ তিনটি গোলকের আয়তন যথাক্রমে ⁴/₃ π(3)³ ঘন সেমি, ⁴/₃ π(4)³ ঘন সেমি ও ⁴/₃ π(5)³ ঘন সেমি।
ধরি, বড়ো গোলকটির ব্যাসার্ধ = r সেমি
∴ বড়ো গোলকটির আয়তন = ⁴/₃ πr³ ঘন সেমি
তিনটি নিরেট তামা গোলক গলিয়ে একটি নিরেট বড়ো গোলক তৈরি করা হলো।
∴ বড়ো গোলকটির = তিনটি নিরেট তামার গোলকের আয়তন।
∴ ⁴/₃ πr³ = ⁴/₃ π(3)³ + ⁴/₃ π(4)³ + ⁴/₃ π(5)³
বা, ⁴/₃ πr³ = ⁴/₃ π(27 + 64 + 125)
বা, r³ = 216
বা, r³ = (6)³
∴ r = 6
Ans: বড়ো গোলকটির ব্যাসার্ধ 6 সেমি।

দশম শ্রেণির গোলক (Sphere) কষে দেখি ১২

10. একটি অর্ধগোলাকৃতি গম্বুজের ভূমিতলের ব্যাসের দৈর্ঘ্য 42 ডেসিমি। গম্বুজটির উপরিতল রং করতে প্রতি বর্গ মিটার 35 টাকা হিসাবে কত খরচ পড়বে তা হিসাব করে লিখি।

সমাধান:
অর্ধগোলাকৃতি গম্বুজের ভূমিতলের ব্যাসার্ধ (r) = ⁴²/₂ ডেসিমি
= ​21ডেসিমি
= 2.1 মিটার
∴ গম্বুজটির উপরিতলের ক্ষেত্রফল
= 2πr² বর্গ একক
= 2ײ²/₇×2.1×2.1 বর্গ মিটার
= 2×22×0.3×2.1 বর্গ মিটার
=27.72 বর্গ মিটার
∴ প্রতি বর্গ মিটার 35 টাকা হিসাবে গম্বুজটির উপরিতল রং করতে খরচ পড়বে
= (27.72 × 35) টাকা
= 970.20 টাকা
Ans: রং করতে 970.20 টাকা কত খরচ পড়বে।

LIFE SCIENCE অসম্পূর্ণ প্রকটতা/ Incomplete Dominance CLICK HERE

11. একই ধাতুর পাত থেকে তৈরি দুটি ফাঁপা গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 21 সেমি এবং 17.5 সেমি। গোলক দুটি তৈরি করতে যে পরিমাণ ধাতুর পাত লেগেছে তার অনুপাত নির্ণয় করি।

সমাধান:
প্রথম গোলকটির ব্যাসার্ধ = ²¹/₂ সেমি
∴ প্রথম গোলকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 4π(²¹/₂)² বর্গ সেমি
দ্বিতীয় গোলকটির ব্যাসার্ধ = ^17.5/₂ সেমি
∴ দ্বিতীয় গোলকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 4π(^17.5/₂)² বর্গ সেমি
∴ গোলক দুটি তৈরি করতে যে পরিমাণ ধাতুর পাত লেগেছে তার অনুপাত
= 4π(²¹/₂)² : 4π(^17.5/₂)²
= ²¹/₂ײ¹/₂ : ^17.5/₂×^17.5/₂
= ²¹/₂ײ¹/₂ : ¹⁷⁵/₂₀×¹⁷⁵/₂₀
= 21×21 : ³⁵/₂׳⁵/₂
= 3×3 : ⁵/₂×⁵/₂
= 9 : 25
Ans: গোলক দুটি তৈরি করতে যে পরিমাণ ধাতুর পাত লেগেছে তার অনুপাত 9 : 25

12. একটি ধাতব গোলকের উপরিতল এমনভাবে কেটে নেওয়া হলো যে নতুন গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল আগের গোলকের ঠিক অর্ধেক হয়। কেটে নেওয়া অংশের আয়তনের সঙ্গে অবশিষ্ট গোলকের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় করি।

সমাধান:
ধরি, ধাতব গোলকের ব্যাসার্ধ = R একক এবং কেটে নেওয়া নতুন গোলকের ব্যাসার্ধ = r একক
∴ ধাতব গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল
= 4πR² বর্গ একক
∴ নতুন গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল
= 4πr² বর্গ একক
প্রশ্নানুযায়ী,
^4πR2/₂ = 4πr²
বা, ^R2/₂ = r²
বা, R² = 2r²
বা, R = √2.r
∴ কেটে নেওয়া অংশের আয়তনের সঙ্গে অবশিষ্ট গোলকের আয়তনের অনুপাত = 36 : 25

13. 14 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি ভূগোলকের অক্ষটির বক্রতলে 0.7 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট দুটি বৃত্তাকার ছিদ্র করা হয়েছে। ভূগোলকটির গোলকার অংশের ধাতব পাতের ক্ষেত্রফল হিসাব করি।

সমাধান:
ভূগোলকটির ব্যাসার্ধ = 14 সেমি
∴ ভূগোলকটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল
= 4πr²
= 4π(14)² বর্গ সেমি
= 4ײ²/₇×14×14 বর্গ সেমি
= 4×22×2×14 বর্গ সেমি
= 2464 বর্গ সেমি
ভূগোলকের বৃত্তাকার ছিদ্রের ব্যাসার্ধ = 0.7 সেমি
∴ বৃত্তাকার ছিদ্রের ক্ষেত্রফল
= πr²
= π(0.7)²
= ²²/₇×⁷/₁₀×⁷/₁₀ বর্গ সেমি
= 22×¹/₁₀×⁷/₁₀ বর্গ সেমি
= 1.54 বর্গ সেমি।
∴ দুটি বৃত্তাকার ছিদ্রের ক্ষেত্রফল
= (2 × 1.54) বর্গ সেমি = 3.08 বর্গ সেমি।
∴ ভূগোলকটির গোলকার অংশের ধাতব পাতের ক্ষেত্রফল
= (2464 – 3.08) বর্গ সেমি
= 2460.92 বর্গ সেমি।
Ans: ভূগোলকটির গোলকার অংশের ধাতব পাতের ক্ষেত্রফল 2460.92 বর্গ সেমি।

14. 8 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি নিরেট লোহার গোলককে গলিয়ে 1 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের কয়টি নিরেট গুলি তৈরি করা যাবে হিসাব করে লিখি।

সমাধান:
নিরেট লোহার গোলকের ব্যাসার্ধ = 8 সেমি
∴ নিরেট লোহার গোলকের আয়তন
=  ⁴/₃ π(8)³ ঘন সেমি
1 সেমি ব্যাসার্ধের নিরেট গুলির আয়তন
=  ⁴/₃ π(1)³ ঘন সেমি।
∴ 1 সেমি ব্যাসার্ধের নিরেট গুলি তৈরি করা যাবে
= ⁴/₃ π(8)³ ÷ ⁴/₃ π(1)³
= (8)³ ÷ (1)³ = 512 টি

দশম শ্রেণির গোলক (Sphere) কষে দেখি ১২

15. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)

(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q)

(i) 2r একক দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট নিরেট গোলকের আয়তন
(a) ^32πr3/₃ ঘন একক (b) ^16πr3/₃ ​ ঘন একক (c) ^8πr3/₃​ ঘন একক (d) ^64πr3/₃ ঘন একক

Ans: (a) ^32πr3/₃ ঘন একক
[নিরেট গোলকের আয়তন = ⁴/₃ π(2r)³ ঘন একক
= ^32πr3/₃ ঘন একক]

(ii) দুটি নিরেট গোলকের আয়তনের অনুপাত 1:8 হলে, তাদের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত(a) 1:2 (b) 1:4 (c) 1:8 (d) 1:16

Ans: (b) 1:4
[ধরি, নিরেট গোলক দুটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে r একক ও R একক
∴ তাদের আয়তনের অনুপাত   ⁴/₃ πr³  : ⁴/₃ πR³
প্রশ্নানুযায়ী,
⁴/₃ πr³  : ⁴/₃ πR³ = 1 : 8
বা, r³  : R³ = 1³ : 2³
বা, r : R = 1 : 2
∴ তাদের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত
= 4πr²  : 4πR²
  = r²  : R²
= 1²  : 2² = 1 : 4]

(iii) 7 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি নিরেট অর্ধগোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল (a) 588π বর্গ সেমি (b) 392π বর্গ সেমি (c) 147π বর্গ সেমি (d) 98π বর্গ সেমি

Ans:   (c) 147π বর্গ সেমি
[নিরেট অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধ 7 সেমি
∴ নিরেট অর্ধগোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= 3πr² = 3×π×7²
= 147π বর্গ সেমি ]

(iv) দুটি নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 16:9 হলে, তাদের আয়তনের অনুপাত  (a) 64:27 (b) 4:3 (c) 27:64 (d) 3:4

Ans: (a) 64:27
[ধরি, নিরেট গোলক দুটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে r একক ও R একক
তাদের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত = 4πr²  : 4πR²
প্রশ্নানুযায়ী
4πr²  : 4πR² = 16 : 9
বা, r²  : R² = 16 : 9
বা, r : R= 4 : 3
তাদের আয়তনের অনুপাত
=  ⁴/₃ πr³  : ⁴/₃ πR³
= r³  : R³
= 4³  : 3³ = 64 : 27]

(v) একটি নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল ও 3 গুন আয়তনের সাংখ্যমান সমান হলে, গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য (a) 1 একক (b) 2 একক (c) 3 একক (d) 4 একক

Ans: (a) 1 একক
[ধরি, নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধ r একক
∴ নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 4πr² বর্গ একক
নিরেট গোলকের আয়তন = ⁴/₃ πr³ ঘন একক
[প্রশ্নানুজায়ী,
4πr² = 3×⁴/₃ πr³
বা, r = 1]

(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখিঃ

(i) একটি নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য দ্বিগুন করলে গোলকটির আয়তন দ্বিগুন হবে।

Ans: মিথ্যা
[ধরি, নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধ r একক
∴ নিরেট গোলকের আয়তন = ⁴/₃ πr³ ঘন একক
নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য দ্বিগুন করলে,
গোলকটির আয়তন হবে = ⁴/₃ πr³
= ⁴/₃ π(2r)³
= 8 × ⁴/₃ πr³ ঘন একক]

(ii) দুটি অর্ধগোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 4:9 হলে, তাদের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত হবে 2:3

Ans: সত্য
[ধরি, অর্ধগোলক দুটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে r একক ও R একক
∴ 3πr² : 3πR² = 4 : 9
বা, r² : R² = 4 : 9
বা, r : R = 2 : 3]

(C) শূন্যস্থান পূরণ করিঃ

(i) একটি তল বিশিষ্ট ঘনবস্তুর নাম __________।
Ans: গোলক

(ii) একটি নিরেট অর্ধগোলকের সমতলের সংখ্যা ______।
Ans: 1টি

(iii) একটি নিরেট অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 2r একক হলে সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ________   বর্গ একক।
Ans: 12πr²
[অর্ধগোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= 3πr² বর্গ একক
= 3π(2r)² = 12πr² বর্গ একক]

16. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)

(i) একটি নিরেট অর্ধগোলকের আয়তন এবং সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের সাংখ্যমান সমান। অর্ধগোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।

সমাধানঃ
ধরি, অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধ = r একক।
∴ অর্ধগোলকের আয়তন = ²/₃ πr³ ঘন একক
এবং অর্ধগোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 3πr² বর্গ একক।
প্রশ্নানুসারে,
²/₃ πr³ = 3πr²
বা, 2πr³ = 9πr²
বা, r = ⁹/₂ = 4.5
Ans: অর্ধগোলকটির ব্যাসার্ধ 4.5 একক

(ii) একটি নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল একটি নিরেট লম্ববৃত্তাকার চোঙের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের সমান। চোঙটির উচ্চতা এবং ব্যাসের দৈর্ঘ্য উভয়েই 12 সেমি। গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত তা লিখি।

সমাধানঃ
ধরি, গোলকের ব্যাসার্ধ = r সেমি।
∴ গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 4πr² বর্গসেমি।
চোঙটির উচ্চতা(h) = 12 সেমি
চোঙটির ব্যাসার্ধ(R) = ¹²/₂ = 6 সেমি।
∴ চোঙটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πRh
= 2π×6×12 বর্গসেমি।
প্রশ্নানুসারে,
4πr² = 2π×6×12
বা, r² = 6×6
বা, r = 6
Ans: গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 6 সেমি।

(iii) একটি নিরেট অর্ধগোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল এবং একটি নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল সমান। অর্ধগোলক এবং গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত কত তা লিখি।

সমাধানঃ
ধরি, অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধ = r একক এবং
নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধ = R একক।
∴ অর্ধগোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 3πr² বর্গএকক;
এবং নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 4πR² বর্গএকক।
প্রশ্নানুসারে,

(iv) একটি নিরেট গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = S এবং আয়তন = V হলে, ^S3/_V² ​-এর মান কত তা লিখি। (π-এর মান না বসিয়ে )

সমাধানঃ
ধরি, গোলকের ব্যাসার্ধ = r একক।
∴ গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল S = 4πr²
এবং গোলকের আয়তন V = ⁴/₃ πr³

(v) একটি গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 50% বৃদ্ধি করলে বক্রতলের ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পায় তা লিখি

সমাধানঃ
ধরি, গোলকের ব্যাসার্ধ = r একক।
∴ গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 4πr² বর্গ একক।
ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 50% বৃদ্ধি করলে.
ব্যাসার্ধ হয় = r × ¹⁵⁰/₁₀₀
= ^3r/₂ একক
∴ নতুন গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল
= 4π(^3r/₂)² বর্গ একক।
= 4π×^9r2/₄
= 9πr² বর্গ একক।
ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি হয় = 9πr² – 4πr²
= 5πr² বর্গ একক।
∴ বক্রতলের ক্ষেত্রফল শতকরা বৃদ্ধি পায় = ^5πr2/_4πr² × 100
= 125
Ans: ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায় 125%

Madhyamik Question

MP-2024

▶️ একটি গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ করলে বক্রতলের ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?

MP-2023

▶️ দুটি নিরেট গোলকের আয়তনের অনুপাত 27 : 8 হলে তাদের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত হবে
(a) 1:2 (b) 9:4 (c) 1:8 (d) 1:16

▶️ 1 সেমি ও 6 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট দুটি নিরেট গোলককে গলিয়ে 9 cm বহির্ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি ফাঁপা গোলকে পরিণত করা হলে, নতুন গোলকের অন্তর্ব্যাসার্ধ নির্ণয় করো।

MP-2022

▶️ 2r একক দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট নিরেট গোলকের আয়তন
(a) ^32πr3/₃ ঘন একক (b) ^16πr3/₃ ​ ঘন একক (c) ^8πr3/₃​ ঘন একক (d) ^64πr3/₃ ঘন একক

▶️ কোনো গোলকের ব্যাসার্ধ r এবং আয়তন v হলে, v ∝ __________।
Ans: r³
[গোলকের ব্যাসার্ধ r এবং আয়তন v হলে,
v = ⁴/₃πr³
⇒ v ∝ r³ – – – (∵ ⁴/₃π = ধ্রুবক)]

▶️ একটি গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 50% বৃদ্ধি করলে বক্রতলের ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পায়, তা নির্ণয় করো।

▶️ 8 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের একটি নিরেট লোহার গোলককে গলিয়ে 1 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধের কয়টি নিরেট গোলাকার গুলি তৈরী করা যাবে তা নির্ণয় করো।

MP-2020

▶️ দুটি গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 1: 4 হলে, তাদের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় করো।

MP-2018

▶️ একটি গোলকের ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ হলে গোলকটির প্রথম গোলকের আয়তনের দ্বিগুণ হবে। (সত্য/ মিথ্যা)

▶️ একটি নিরেট অর্ধগোলকের আয়তন 144π ঘনসেমি হলে, গোলকটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য কত?

MP-2017

▶️ একটি নিরেট অর্ধগোলকের সমতল সংখ্যা __________।
Ans: একটি

▶️

▶️ একটি অর্ধগোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 36π বর্গ সেমি ক্ষেত্রফল হলে উহার ব্যাসার্ধ 3 সেমি হবে। (সত্য/ মিথ্যা)
Ans: সত্য
[ধরি, অর্ধগোলকের ব্যাসার্ধ r সেমি
∴ 3πr² = 36π
⇒ r² = 12
⇒ r² = 2√3]

▶️ একটি গোলকের ব্যাস অপর একটি গোলকের ব্যাসের দ্বিগুণ। যদি বড় গোলকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের সাংখ্যমান ছোট গোলকটির আয়তনের সাংখ্যমানের সমান হয়, তবে ছোট গোলকটির ব্যাসার্ধ কত?