ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি কষে দেখি- 23.2 Class-X

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি কষে দেখি- 23.2 Class-X

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি কষে দেখি- 23.2 Class-X

Madhyamik Previous Year (2017 – 2024) MATHEMATICS Question with complete solution|
বিগত বছরের (2017 – 2024) মাধ্যমিক গণিত প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নীচের BUTTON-এ CLICK করো|

1. আমাদের বাড়ির জানালায় একটি মই ভূমির সঙ্গে 60° কোণে রাখা আছে। মইটি 2√3 মিটার লম্বা হলে আমাদের ওই জানালাটি ভূমি থেকে কত উপরে আছে ছবি এঁকে হিসাব করে লিখি।

Solution:
ধরি, ভূমি থেকে জানালার উচ্চতা AB এবং
মই (AC) = 2√3 মিটার
এখানে ∠BAC = 60°
∴ ABC সমকোনী ত্রিভুজের

$\quad\frac{AB}{AC}=sin60°\\⇒\frac{AB}{2√3}=\frac{2}{√3}\\∴AB=4$

2. ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠B সমকোণ। AB = 8√3 সেমি. এবং BC= 8 সেমি. হলে, ∠ACB ও ∠BAC-এর মান হিসাব করে লিখি।

$\quad tan∠ACB=\frac{AB}{BC}\\⇒tan∠ACB=\frac{8√3}{8}\\⇒tan∠ACB=√3\\⇒tan∠ACB=tan60^o\\\therefore ∠ACB=60^o$আবার$\quad tan∠BAC=\frac{BC}{AB}\\⇒tan∠BAC=\frac{8}{8√3}\\⇒tan∠BAC=\frac{1}{√3}\\⇒tan∠BAC=tan30^o\\\therefore ∠BAC=30^o$

Ans: ∠ACB = 60^o ও
∠BAC = 30^o

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি কষে দেখি- 23.2 Class-X

3. ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠B = 90^o, ∠A = 30^o এবং AC = 20 সেমি.। BC এবং AB বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।

ABC সমকোণী ত্রিভুজের,
∠B = 90^o, A= 30^o;
AC = 20 সেমি.

$\quad\frac{BC}{AC}=sin45^o\\⇒\frac{BC}{20}=\frac{1}{2}\\⇒BC=10$ আবার $\quad\frac{AB}{AC}=cos30^o\\⇒\frac{AB}{20}=\frac{√3}{2}\\⇒AB=10√3$

Ans: BC বাহুর দৈর্ঘ্য 10 সেমি. ও
AB বাহুর দৈর্ঘ্য 10√3 সেমি.

4. PQR সমকোণী ত্রিভুজের ∠Q = 90^o, R= 45^o; যদি PR = 3√2 মিটার হয়, তাহলে PQ ও QR বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।

PQR সমকোণী ত্রিভুজের,
∠Q = 90^o, R= 45^o;
PR = 3√2 মিটার

$\quad\frac{PQ}{PR}=sin45^o\\⇒\frac{PQ}{3√2}=\frac{1}{√2}\\⇒PQ=3\\$আবার $\quad\frac{QR}{PR}=cos45^o\\⇒\frac{QR}{3√2}=\frac{1}{√2}\\⇒QR=3$

Ans: PQ বাহুর দৈর্ঘ্য 3 মিটার ও
QR বাহুর দৈর্ঘ্য 3 মিটার

দশম শ্রেণীর গণিত প্রকাশ বইয়ের সম্পূর্ণ সমাধান দেখতে নিচের BUTTON-এ ক্লিক করো।

CLICK

5. মান নির্ণয় করি:

(i) sin²45^o – cosec²60^o + sec²30^o

Solution:
প্রদত্ত রাশি
sin²45^o – cosec²60^o + sec²30^o
= (¹/_√2)² – (²/_√3)² + (²/_√3)²
= ¹/₂
Ans: নির্ণেয় মান ¹/₂

(ii) sec²45^o – cot²45^o – sin²30^o – sin²60^o

Solution:
প্রদত্ত রাশি
sec²45^o – cot²45^o – sin²30^o – sin²60^o
= (√2)² – (1)² – (¹/₂)² – (^√3/₂)²
= 2 – 1 – ¹/₄ – ³/₂
⇒1 – ¹/₄ – ³/₂
= ^4-1-3/₄ = ⁰/₄
= 0
Ans: নির্ণেয় মান 0

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি কষে দেখি- 23.2 Class-X

(iii) 3tan²45^o – sin²60^o – ¹/₃cot²30^o – ¹/₈sec²45^o

Solution:
প্রদত্ত রাশি
3tan²45^o – sin²60^o – ¹/₃cot²30^o – ¹/₈sec²45^o
= 3×(1)² – (^√3/₂)² – ¹/₃×(√3)² – ¹/₈×(√2)²
= 3 – ³/₄ – ¹/₃×3 – ¹/₈×2
⇒3 – ³/₄ – 1 – ¹/₄
⇒2 – ³/₄ – ¹/₄
= ^8-3-1/₄
= ⁴/₄ = 1
Ans: নির্ণেয় মান 1

(iv) ⁴/₃cot²30^o + 3sin²60^o – 2cosec²60^o – ³/₄tan²30^o

Solution:
প্রদত্ত রাশি
⁴/₃cot²30^o + 3sin²60^o – 2cosec²60^o – ³/₄tan²30^o
= ⁴/₃×(√3)² + 3×(^√3/₂)² – 2×(²/_√3)² – ³/₄×(¹/_√3)²
= ⁴/₃×3 + 3×³/₄ – 2×⁴/₃ – ³/₄×¹/₃
⇒ 4 + ⁹/₄ – ⁸/₃ – ¹/₄
= ^48+27-32-3/₁₂
= ^75-35/₁₂ = ⁴⁰/₁₂
⇒ ¹⁰/₃ = 3 ¹/₃
Ans: নির্ণেয় মান 3 ¹/₃

$\large{\mathbf{(v)\quad \frac{\frac{1}{3}cos30^o}{\frac{1}{2}sin45^o}+\frac{tan60^o}{cos30^o}}}$

Solution:
প্রদত্ত রাশি $R . H . S .$

$\large{\quad \frac{\frac{1}{3}cos30^o}{\frac{1}{2}sin45^o}+\frac{tan60^o}{cos30^o}}\\=\frac{\frac{1}{3}×\frac{√3}{2}}{\frac{1}{2}×\frac{1}{√2}}+\frac{√3}{\frac{√3}{2}}\\=\frac{\frac{√3}{6}}{\frac{1}{2√2}}+2\\⇒\frac{√3}{6}×2√2+2\\=\frac{√6}{3}+2\\=\frac{√6+6}{2}\quad\mathbf{Ans}$

(vi) cot²30^o – 2cos²60^o – ³/₄ sec²45^o – 4sin²30^o

Solution:
প্রদত্ত রাশি
cot²30^o – 2cos²60^o – ³/₄ sec²45^o – 4sin²30^o
= (√3)² – 2×(¹/₂)² – ³/₄×(√2)² – 4×(¹/₂)²
= 3 – 2×¹/₄ – ³/₄×2 – 4×¹/₄
⇒ 3 – ¹/₂ – ³/₂ – 1
= 2 – ¹/₂ – ³/₂
= ^4-1-3/₂
⇒ ⁰/₂ = 0

Ans: নির্ণেয় মান 0

$\large{\mathbf{(vii)\quad sec^260^o-cot^230^o- \frac{2tan30^ocosec60^o}{1+tan^230^o}}}$

Solution:
প্রদত্ত রাশি

$\large{\quad sec^260^o-cot^230^o- \frac{2tan30^ocosec60^o}{1+tan^230^o}\\=(2)^2-(√3)^2-\frac{2×\frac{1}{√3}×\frac{2}{√3}}{1+(\frac{1}{√3})^2}\\=4-3-\frac{\frac{4}{3}}{1+\frac{1}{3}}\\=1-\frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3}}\\=1-1=0}$

Ans: নির্ণেয় মান 0

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি কষে দেখি- 23.2 Class-X

$\large{\mathbf{(viii)\quad \frac{tan60^o-tan30^o}{1+tan60^otan30^o}+cos60^ocos30^o+ sin60^osin30^o}}$

Solution:
প্রদত্ত রাশি

$\large{\quad \frac{tan60^o-tan30^o}{1+tan60^otan30^o}+cos60^ocos30^o+ sin60^osin30^o\\=\frac{√3-\frac{1}{√3}}{1+√3×\frac{1}{√3}}+\frac{1}{2}×\frac{√3}{√2}+ \frac{√3}{√2}×\frac{1}{2}\\=\frac{\frac{2}{√3}}{2}+\frac{√3}{4}+ \frac{√3}{4}\\⇒\frac{1}{√3}+\frac{√3}{2}\\=\frac{2+3}{√3}\\=\frac{5}{√3}}$

Ans: নির্ণেয় মান ⁵/_√3

$\large{\mathbf{(ix)\quad\frac{1-sin^230^o}{1+sin^245^o}×\frac{cos^260^o+cos^230^o}{cosec^290^o-cot^290^o}÷(sin60^otan30^o)}}$

Solution:
প্রদত্ত রাশি

$\large{=\frac{1-sin^230^o}{1+sin^245^o}×\frac{cos^260^o+cos^230^o}{cosec^290^o-cot^290^o}÷(sin60^otan30^o)\\=\frac{1-(\frac{1}{2})^2}{1+(\frac{1}{√2})^2}×\frac{(\frac{1}{2})^2+(\frac{√3}{2})^2}{(1)^2-(0)^2}÷\frac{√3}{2}×\frac{1}{√3}\\=\frac{1-\frac{1}{4}}{1+\frac{1}{2}}×\frac{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}{1-0}÷\frac{1}{2}\\=\frac{\frac{4-1}{4}}{\frac{2+1}{2}}×\frac{\frac{1+3}{4}}{1}÷\frac{1}{2}\\=\frac{\frac{3}{4}}{\frac{3}{2}}×\frac{1}{1}÷\frac{1}{2}\\=\frac{3}{4}×\frac{2}{3}÷\frac{1}{2}\\=\frac{1}{2}÷\frac{1}{2}=1}$

Ans: নির্ণেয় মান 1

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি কষে দেখি- 23.2 Class-X

6. দেখাই যে,
(i) sin^⁡245^o + cos⁡^⁡245^o = 1

Solution:
L.H.S. = sin^⁡245^o + cos⁡^⁡245^o
= (¹/_√2)^⁡2 + (¹/_√2)^⁡2
⇒ ¹/₂ + ¹/₂
= 1 = L.H.S. (Proved)

(ii) cos⁡60^o = cos⁡²30^o − sin⁡²30^o

Solution:
L.H.S. = cos⁡60^o = ¹/₂
R.H.S. = cos⁡²30^o − sin⁡²30^o
= (^√3/₂)² – (¹/₂)²
⇒ ³/₄ – ¹/₄
= ^3-1/₄ = ²/₄
= ¹/₂ = L.H.S. (Proved)

$\mathbf{(iv)}\large{\quad\sqrt{\frac{1+cos30^o}{1-cos30^o}}=sec60^o+tan60^o}\\$$\mathbf{L.H.S.}\\$$\large{\quad\sqrt{\frac{1+cos30^o}{1-cos30^o}}\\=\sqrt{\frac{1+\frac{√3}{2}}{1-\frac{√3}{2}}}\\=\sqrt{\frac{\frac{2+√3}{2}}{\frac{2-√3}{2}}}\\=\sqrt{\frac{2+√3}{2-√3}}\\=\sqrt{\frac{(2+√3)^2}{(2-√3)(2+√3)}}\\=\sqrt{\frac{(2+√3)^2}{(2)^2-(√3)^2}}\\=\sqrt{\frac{(2+√3)^2}{4-3}}\\=\sqrt{(2+√3)^2}\\=sec60^o+tan60^o=R.H.S.\quad\mathbf{(Proved)}}$

$\large{\mathbf{(v)}\quad\frac{2tan^230^o}{1-tan^230^o}+sec^245^o-cot^245^o=sec60^o}$

$\mathbf{L.H.S.}\\$$\quad\large{\frac{2tan^230^o}{1-tan^230^o}+sec^245^o-cot^245^o\\=\frac{2(\frac{1}{√3})^2}{1-(\frac{1}{√3})^2}+(√2)^2-(1)^2\\=\frac{2×\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}+2-1\\=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}}+1\\=1+1=2\\=sec60^o=R.H.S.\quad \mathbf{(Proved)}}$

(vi) tan² ⁡⁡^π/₄ sin⁡^π/₃ tan ⁡⁡^π/₆ tan² ⁡⁡^π/₃= 1¹/₂

Solution:
L.H.S. = tan² ⁡⁡^π/₄ sin⁡^π/₃ tan ⁡⁡^π/₆ tan² ⁡⁡^π/₃
= (1)² ×^√3/₂ ×¹/_√3 ×(√3)²
⇒ 1×¹/₂ ×3
= ³/₂ = 1¹/₂ = R.H.S. (Proved)

(vii) sin⁡^π/₃tan⁡⁡^π/₆ + sin⁡⁡^π/₂cos⁡^π/₃= 2sin^⁡2⁡^π/₄

Solution:
L.H.S. = sin⁡^π/₃tan⁡⁡^π/₆ + sin⁡⁡^π/₂cos⁡^π/₃
= ^√3/₂×¹/_√3 + 1×¹/₂
⇒ ¹/₂ + ¹/₂ = 1

R.H.S. = 2sin^⁡2⁡^π/₄
= 2×(¹/_√2)^⁡2
⇒ 2×¹/₂ = 1 = L.H.S. (Proved)

7. (i) xsin⁡45^ocos⁡45^otan⁡60^o = tan²⁡45^o − cos⁡60^o হলে, x-এর মান নির্ণয় করি।

Solution:
xsin⁡45^ocos⁡45^otan⁡60^o = tan²⁡45^o − cos⁡60^o
⇒ x×¹/_√2×¹/_√2×√3 = (1)²⁡ − ¹/₂
⇒ x×^√3/₂ = 1⁡ − ¹/₂
= ^x√3/₂ = ¹/₂
⇒ √3x = 1
∴ x = ¹/_√3
Ans: x-এর মান ¹/_√3

$\mathbf{(ii)\quad\large{xsin⁡60^ocos⁡^230^o=\frac{tan^245^osec⁡60^o}{cosec60^o}}}$ হলে, x-এর মান নির্ণয় করি।

Solution:

$\large{\quad xsin⁡60^ocos⁡^230^o=\frac{tan^245^osec⁡60^o}{cosec60^o}\\⇒x×\frac{√3}{2}×(\frac{√3}{2})^2=\frac{(1)^2×2}{\frac{2}{√3}}\\⇒x×\frac{√3}{2}×\frac{3}{4}=2×\frac{√3}{2}\\⇒x×\frac{3√3}{8}=√3\\⇒x×\frac{3}{8}=1\\⇒x=\frac{8}{3}=2\frac{2}{3}}$

Ans: x-এর মান 2²/₃

(iii) x² = sin⁡²30^o + 4cot⁡²45^o − sec²60^o হলে, x-এর মান নির্ণয় করি।

Solution:
x² = sin⁡²30^o + 4cot⁡²45^o − sec²60^o
⇒ x² = (¹/₂)⁡² + 4×(1)⁡² − (2)⁡²
⇒ x² = ¹/₄ + 4 − 4
= x² = ¹/₄
∴ x = ±¹/₂
Ans: x-এর মান ±¹/₂

Fb_Prostuti — **আমাদের লেটেস্ট পোস্টের আপডেট পেতে আমাদের ফেসবুক পেজে জয়েন করতে পারো ।**

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি কষে দেখি- 23.2 Class-X

8. xtan⁡30^o + ycot⁡60^o = 0 এবং 2x – ytan⁡45^o = 1 হলে, x ও y-এর মান হিসাব করে লিখি।

Solution:
xtan⁡30^o + ycot⁡60^o = 0
⇒ x×¹/_√3 + y×¹/_√3 = 0
⇒ ^x+y/_√3 = 0
= x + y = 0
⇒ x = -y – – – – (i)
2x – ytan⁡45^o = 1
⇒ 2x – y×1 = 1
⇒ -2y 1 y = 1 – – – – [∵ x = -y]
বা, -3y = 1
∴ y = –¹/₃
(i) নং থেকে পাই,
x = -(-¹/₃)
∴ x = ¹/₃
Ans: x = ¹/₃; y = –¹/₃

9. যদি A = B = 45^o হয়, তবে যাচাই করি যে,
(i) sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB
(ii) cos(A + B) = cosAcosB – sinAsinB

(i)
Solution:
A = B = 45^o
L.H.S. = sinAcosB + cosAsinB
= sin(A + B)
⇒ sin(45^o + 45^o)
= sin90^o = 1
R.H.S. = sin45^ocos45^o + cos45^osin45^o
⇒ ¹/_√2×¹/_√2 + ¹/_√2×¹/_√2
= ¹/₂ + ¹/₂
= 1 = L.H.S. (Proved)

(ii)
Solution:
A = B = 45^o
L.H.S. = cos(A + B)
= cos(45^o + 45^o)
⇒ cos90^o = 0
R.H.S. = cosAcosB – sinAsinB
= cos45^ocos45^o – sin45^osin45^o
⇒ 1/√2×1/√2 – 1/√2×1/√2
= 1/2 – 1/2
= 0 = L.H.S. (Proved)

10. (i) ABC সমবাহু ত্রিভুজের BD একটি মধ্যমা। প্রমাণ করি যে, tan∠ABD = cot∠BAD

Solution:
ABD সমবাহু ত্রিভুজের BD মধ্যমা।
∴ BD ⊥ AC
∴ ∠BDA = 90^o
L.H.S. = tan∠ABD
= ^লম্ব/_ভূমি
⇒ ^AD/_BD
R.H.S. = cot∠BAD
⇒ ^ভূমি/_লম্ব
= ^AD/_BD = L.H.S. (Proved)

(ii) ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AB = AC এবং ∠BAC = 90^o; ∠BAC-এর সমদ্বিখণ্ডক BC বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করে।

প্রমাণ করি যে, $\mathbf{\frac{sec⁡∠ACD}{sin⁡∠CAD}=cosec^2∠CAD}$

Solution:
△ABC এর
∠BAC = 90^o;
∠BAC-এর সমদ্বিখণ্ডক AD;
∴ ∠BAD = ∠CAD = ^{90^o}/₂ = 45^o
△ABC এর AB = AC
∴ ∠ABD = ∠ACD = ^{(180^o-90^o)}/₂
= ^{90^o}/₂ = 45°
L.H.S.

$\large{=\frac{sec⁡∠ACD}{sin⁡∠CAD}\\=\frac{sec⁡45°}{sin⁡45°}\\=\frac{sec⁡45°}{sin⁡45°}\\=\frac{√2}{\frac{1}{√2}}\\=2\\=(√2)^2\\=cosec^2∠CAD=R.H.S.\quad\mathbf{(Proved)}}$

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি কষে দেখি- 23.2 Class-X

11. θ (0^o ≤θ ≤ 90^o)-এর কোন মান/মানগুলির জন্য 2cos⁡²θ − 3cosθ + 1 = 0 সত্য হবে নির্ণয় করি।

Solution:
2cos⁡²θ − 3cosθ + 1 = 0
⇒ 2cos⁡²θ − 2cosθ – cosθ + 1 = 0
⇒ 2cos⁡θ(cosθ – 1) − 1(cosθ – 1) = 0
= (cosθ – 1)(2cosθ – 1) = 0
হয় cosθ – 1 = 0 নতুবা, 2cosθ – 1 = 0
বা, cosθ = 1 বা, 2cosθ = 1
বা, cosθ = 1 বা, 2cosθ = 1
⇒ cosθ = cos0^o বা, cosθ = ¹/₂
∴ θ = 0^o বা, cosθ = cos60^o
∴ θ = 60^o
Ans: ∴ θ = 0^o, 60^o