PROSTUTI

মাধ্যমিকের বিগত বছরের (2017-2025) প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান পেতে এখানে CLICK করুন।

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি কষে দেখি- 23.1 Class-X

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি কষে দেখি- 23.1 Class-X

Written by

TEAM PROSTUTI

in

,

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি কষে দেখি- 23.1 Class-X

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি কষে দেখি- 23.1 Class-X

কষে দেখি 23.1 || KOSHE DEKHI 23.1 || গণিত প্রকাশ দশম শ্রেণি || Trigonometric Ratios and
Trigonometric Identities CLASS X || ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি কষে দেখি 23.1

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি কষে দেখি- 23.1
ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি কষে দেখি- 23.1
A B C θ অতিভুজ লম্ব ভূমি 90°

ABC সমকোণী ত্রিভুজের,
∠ABC = 90° এবং
∠ACB = θ
∠ACB = θ এর সাপেক্ষে,
AB = লম্ব (∠ACB এর বিপরীত বাহু);
BC = ভূমি (∠ACB এর সংলগ্ন বাহু);
AC = অতিভুজ 

সমকোণী ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দুটি করে বাহু নিয়ে যে ছয়টি অনুপাত পাওয়া যায় তাদের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত বলে।

এই ছয়টি অনুপাত হল –
Sineθ (sinθ), Cosineθ (cosθ) Tangentθ (tanθ) Cosecantθ (cosecθ) Secantθ (secθ) Cotangentθ (cotθ)

⛔ ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলিঃ

$$\Large{(i)\quad sinθ =\frac{AB}{AC}\\(ii)\quad cosθ=\frac{BC}{AC}\\(iii)\quad tanθ=\frac{AB}{BC}\\(iv)\quad cos ecθ=\frac{AC}{AB}\\(v)\quad secθ=\frac{AC}{BC}\\(vi)\quad cotθ=\frac{BC}{AB}}$$

⛔⛔ ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলির মধ্যে সম্পর্কঃ

$$\Large{sinθ=\frac{1}{cosecθ};\quad cosecθ=\frac{1}{sinθ}\\\quad \quad\therefore sinθ.cosecθ=1\\.\\cosθ=\frac{1}{secθ};\quad secθ=\frac{1}{cosθ}\\\quad \quad\therefore cosθ.secθ=1\\.\\tanθ=\frac{1}{cot θ};\quad cotθ =\frac{1}{tanθ}\\\quad \quad\therefore tanθ.cotθ=1\\}$$
$$\Large{👉tanθ =\frac{sinθ}{cosθ}\\👉cotθ=\frac{cosθ}{sinθ}}$$

👉 কোনো সমকোণী ত্রিভুজের একটি সূক্ষ্মকোণের সাপেক্ষে বাহুগুলির দৈর্ঘ্যের অনুপাত ঐ ত্রিভুজের বাহুগুলির দৈর্ঘ্যের উপর নির্ভরশীল নয়। দৈর্ঘ্যের অনুপাতগুলি ঐ ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণের উপর নির্ভরশীল।∵

1. একটি সমকোণী ত্রিভুজ ABC এঁকেছি যার অতিভুজ AB = 10 সেমি, ভূমি BC = 8 সেমি এবং লম্ব AC = 6 সেমি। ∠ABC-এর Sine এবং tangent-এর মান নির্ণয় করি।

A C B 10 6 8 90°

এখানে ABC সমকোনী ত্রিভুজের ∠ACB = 90°, AB = 10 সেমি;BC = 8 সেমি;AC = 6 সেমি।

$$\Large{\mathbf{Ans:}\\Sine∠ABC=\frac{AC}{AB}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}\\tangent∠ABC=\frac{AC}{BC}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}}$$

2. সোমা একটি সমকোণী ত্রিভুজ ABC এঁকেছে যার ∠ABC = 90°, AB = 24 সেমি এবং BC = 7 সেমি। হিসাব করে sinA, cosA, tanA ও cosecA-এর মান লিখি।

C B A 25 7 24 90°

প্রদত্ত ABC সমকোনী ত্রিভুজের ∠ABC = 90°, AB=24 সেমি; BC=7 সেমি।ABC সমকোনী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,AC2 = AB2 + BC2= 242 + 72 = 576 + 49= 625= (25)2∴AC = 25

$$\Large{\mathbf{Ans:}\\sinA=\frac{BC}{AC}=\frac{7}{25}\\cosA=\frac{AB}{AC}=\frac{24}{25}\\tanA=\frac{BC}{AB}=\frac{7}{24}\\cosecA=\frac{AC}{BC}=\frac{25}{7}}$$

3. যদি ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজের ∠C=90°, BC=21 একক এবং AB=29 একক হয়, তাহলে sinA, cosA, sinB ও cosB-এর মান নির্ণয় করি।

B C A 29 21 20 90°

ABC সমকোনী ত্রিভুজের,
∠ACB = 90°
BC = 21 একক
AB = 29 একক
ACB সমকোনী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে,
AC2 + BC2 = AB2
∴ AC2 = AB2 – BC2
= (29)2 – (21)2
= 841 – 441
= 400
∴ AC = 20

$$\Large{\mathbf{Ans:}\\sinA =\frac{BC}{AB}=\frac{21}{29}\\cosA=\frac{AC}{AB}=\frac{20}{29}\\sinB=\frac{AC}{AB}=\frac{20}{29}\\cosB=\frac{BC}{AB}=\frac{21}{29}}$$

4. যদি cosθ = 7/25​ হয়, তাহলে θ কোণের সকল ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের মান নির্ণয় করি।

A B C θ 25k 24k 7k 90°

ABC সমকোনী ত্রিভুজের,
∠ABC = 90°
∠BCA = θ
cosθ = BC/AC​
= 7/25​​
ধরি, BC = 7k একক এবং AC = 25k একক – – – [ যেখানে k > 0]
∴ AB2 = AC2 – BC2
= (25k)2 – (7k)2
= 625k2 – 49k2
= 576k2
∴ AB = 24k

$$\Large{\mathbf{Ans:}\\sinθ =\frac{AB}{AC}=\frac{24k}{25k}=\frac{24}{25}\\tanθ=\frac{AB}{BC}=\frac{24k}{7k}=\frac{24}{7}\\cosecθ=\frac{AC}{AB}=\frac{25k}{24k}=\frac{25}{24}\\secθ=\frac{AC}{BC}=\frac{25k}{7k}=\frac{25}{7}\\cotθ=\frac{BC}{AB}=\frac{7k}{24k}=\frac{7}{24}}$$

5. যদি cotθ = 2 হয়, তাহলে tanθ ও secθ-এর মান নির্ণয় করি এবং দেখাই যে, 1 + tan2θ = sec2θ

C B A θ √5k k 2k 90°

ABC সমকোনী ত্রিভুজের,
∠ABC = 90°
∠BAC = θ
cotθ = AB/BC ​
= 2
= 2/1​
ধরি, AB = 2k একক এবং BC = 1k একক – – – [ যেখানে k > 0]
∴ AC2 = AB2 + BC2
= (2k)2 + (1k)2
= 4k2 + k2
= 5k2
∴ AC = √5 k
∴ tanθ = BC/AB
= k/2K = 1/2
∴ secθ= AC/AB
= √5k/2K = √5/2
L.H.S. = 1 + tan2θ
= 1 + (1/2)2
= 1 + 1/4
= (4+1)/4
= 5/4
= (√5/2)2
= sec2θ = R.H.S
Ans: tanθ এর মান 1/2
secθ এর মান √5/2
1 + tan2θ = sec2θ (Proved)

অধ্যায়বিষয়কষে দেখি
1একচলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ
(Quadratic Equations
with one variable)
কষে দেখি – 1.1
কষে দেখি – 1.2
কষে দেখি – 1.3
কষে দেখি – 1.4
কষে দেখি – 1.5
2সরল সুদকষা (Simple Interest)কষে দেখি – 2
3বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য
(Theorems related to circle)		কষে দেখি – 3.1
কষে দেখি – 3.2
4আয়তঘন
(Rectangular Parallelopiped or Cuboid)		কষে দেখি – 4
5অনুপাত ও সমানুপাত
(Ratio and Proportion)		কষে দেখি – 5.1
কষে দেখি – 5.2
কষে দেখি – 5.3
6চক্রবৃদ্ধি সুদ ও সমহার বৃদ্ধি বা হ্রাস
(Compound Interest and
Uniform Rate of Increase or Decrease)		কষে দেখি – 6.1
কষে দেখি – 5.2
7বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য
(Theorems related to
Angles in a Circle)		কষে দেখি – 7.1
কষে দেখি – 7.2
কষে দেখি – 7.3
8লম্ব বৃত্তাকার চোঙ (Right Circular Cylinder)কষে দেখি – 8
9দ্বিঘাত করণী
(Quadratic Surd)		কষে দেখি – 9.1
কষে দেখি – 9.2
কষে দেখি – 9.3
10বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ সংক্রান্ত উপপাদ্য
(Theorems related to Cyclic Quadrilateral)		কষে দেখি – 10
11সম্পাদ্য : ত্রিভুজের পরিবৃত্ত ও অন্তবৃত্ত অঙ্কন
(Construction : Construction of circumcircle
and incircle of a triangle)		কষে দেখি – 11.1
12গোলক (Sphere)কষে দেখি – 12
13ভেদ (Variation)কষে দেখি – 13
14অংশীদারি কারবার (Partnership Business)কষে দেখি – 14
15বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য
(Theorems related to Tangent to a Circle)		কষে দেখি – 15.1
কষে দেখি – 15.2
16লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু (Right Circular Cone)কষে দেখি – 16
17সম্পাদ্য : বৃত্তের স্পর্শক অঙ্কন
(Construction: Construction of Tangent to a circle)		কষে দেখি – 17
18সদৃশতা (Similarity)কষে দেখি – 18.1
কষে দেখি – 18.2
কষে দেখি – 18.3
কষে দেখি – 18.4
19বিভিন্ন ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা
(Real life Problems related to different Solid Objects)		কষে দেখি – 19
20ত্রিকোণমিতি:
কোণ পরিমাপের ধারণা		কষে দেখি – 20
21সম্পাদ্য : মধ্যসমানুপাতী নির্ণয়
(Construction : Determination of Mean Proportional )		কষে দেখি – 21
22পিথাগোরাসের উপপাদ্য
(Pythagoras Theorem)		কষে দেখি – 22
23ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি
(Trigonometric Ratios and
Trigonometric Identities)		কষে দেখি – 23.1
কষে দেখি – 23.2
কষে দেখি – 23.3
24পূরক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত
(Trigonometric Ratios of Complementrary angle )		কষে দেখি – 24
25ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ : উচ্চতা ও দূরত্ব
(Application of Trigonometric Ratios: Heights & Distances)		কষে দেখি – 25
26রাশিবিজ্ঞান : গড়, মধ্যমা,
ওজাইভ, সংখ্যাগুরুমান
(Statistics : Mean, Median,
Ogive, Mode)		কষে দেখি – 26.1
কষে দেখি – 26.2
কষে দেখি – 26.3
কষে দেখি – 26.4

6. cos θ = 0.6 হলে, দেখাই যে, (5sinθ – 3tanθ) = 0

C B A θ 5k 4k 3k 90°

ABC সমকোনী ত্রিভুজের ∠ABC = 90°
cosθ = AB/AC = 0.6​
= 6/10
= 3/5​
ধরি, AB = 3k একক এবং AC = 5k একক – – – [ যেখানে k > 0]
∴ BC2 = AC2 – AB2
= (5k)2 – (3k)2
= 25k2 – 9k2
= 16k2
∴ BC = 4k
L.H.S. = (5sinθ – 3tanθ)
= 5 × BC/AC – 3 × BC/AB
= 5 × 4k/5K – 3 × 4k/3K
= 4 – 4
= 0 = R.H.S
(5sinθ – 3tanθ) = 0 (Proved)

7. যদি cotA = 4/7.5​ হয়, তাহলে cosA এবং cosecA-এর মান নির্ণয় করি এবং দেখাই যে, 1 + cot2A = cosec2A

C B A 17k 15k 8k 90°

ABC সমকোনী ত্রিভুজের ∠ABC = 90°
cotA = AB/BC = 4/7.5​
= 4×10/75
= 8/15​
ধরি, AB = 8k একক এবং BC = 15k একক – – – [ যেখানে k > 0]
∴ AC2 = AB2 + BC2
= (8k)2 + (15k)2
= 64k2 + 225k2
= 289k2
∴ AC = 17k
∴ cosA = AB/AC
= 8k/17K = 8/17
∴ cosecA = AC/BC
= 17k/15K = 17/15
L.H.S. = 1 + cot2A
= 1 + (8/15)2
= 1 + 64/225
= (225+64)/225
= 289/225
= (17/15)2
= cosec2A = R.H.S
Ans: cosA এর মান 8/17
cosecA-এর মান 17/15
1 + cot2A = cosec2A (Proved)

8. যদি sin⁡C = 2/3​ হয়, তবে cosC × cosecC-এর মান হিসাব করে লিখি।

A B C 3k √5 k 2k 90°

ABC সমকোনী ত্রিভুজের ∠ABC = 90°
sin⁡C = 2/3 = AB/AC
ধরি, AB = 2k একক এবং AC = 3k একক – – – [ যেখানে k > 0]
∴ BC2 = AC2 – AB2
= (3k)2 – (2k)2
= 9k2 – 4k2
= 5k2
∴ BC = √5 k
∴ cosC = BC/AC
= √5 k/3K = √5/3
∴ cosecC = AC/AB
= 3k/2K = 3/2
cosC × cosecC = √5/3 × 3/2
= √5/2
Ans: cosC × cosecC-এর মান = √5/2

Utube_comptech_home
দশম শ্রেণীর ভৌত বিজ্ঞান এবং জীবন বিজ্ঞানের বিভিন্ন অধ্যায়ের উপর ভিডিও টিউটোরিয়াল পেতে আমাদের You Tube চ্যানেল ফলো করুন

9. নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা তা যুক্তি সহকারে লিখি।

(i) tanA-এর মান সর্বদা 1 অপেক্ষা 1 বড়ো।

Ans: মিথ্যা।
কারনঃ tanA = লম্ব/ভুমি
লম্ব, ভুমির থেকে সব সময় বড়ো নাও হতে পারে।
লম্ব, ভুমির থেকে ছোটো হলে tanA-এর মান 1 অপেক্ষা ছোটো হয়।
∴ বিবৃতিটি মিথ্যা।
উত্তর – মিথ্যা।

(ii) cotA-এর মান সর্বদা 1 অপেক্ষা ছোটো।

Ans: মিথ্যা।
কারনঃ cotA = ভুমি/লম্ব
ভুমি, লম্বের থেকে সব সময় ছোটো নাও হতে পারে।
ভুমি, লম্বের থেকে বড়ো হলে cotA-এর মান 1 অপেক্ষা বড়ো হয়।
∴ বিবৃতিটি মিথ্যা।

(iii) একটি কোণ θ-এর জন্য sinθ = 4/3​ হতে পারে।

Ans: মিথ্যা।
কারনঃ sinθ = লম্ব/অতিভুজ
লম্ব সর্বদা অতিভুজের থেকে ছোটো হয়।
কিন্তু 4 > 3
∴ বিবৃতিটি মিথ্যা।

(iv) একটি কোণ α-এর জন্য secα = 12/5​ হতে পারে।

Ans: সত্য।
কারনঃ secα = অতিভুজ/ভূমি
অতিভুজ সর্বদা ভূমির থেকে বড়ো হয়।
12 > 5
∴ বিবৃতিটি সত্য।

(v) একটি কোণ β(Beta)-এর জন্য cosecβ = 5/13​ হতে পারে।

Ans:  মিথ্যা।
কারনঃ cosecβ = অতিভুজ/লম্ব
অতিভুজ সর্বদা লম্বের থেকে বড়ো হয়।
কিন্তু 5 < 13
∴ বিবৃতিটি মিথ্যা।

(v) একটি কোণ θ-এর জন্য cos⁡θ = 3/5 হতে পারে।

Ans: সত্য।
কারনঃ cos⁡θ = ভূমি/অতিভুজ
ভূমি সর্বদা অতিভুজের থেকে ছোট হয়।
3 < 5
∴ বিবৃতিটি সত্য।

Comments

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

More posts

error: Content is protected !!