PROSTUTI

মাধ্যমিকের বিগত বছরের (2017-2026) প্রশ্নপত্রের সম্পূর্ণ সমাধান পেতে এখানে CLICK করুন।

একটি প্রদত্ত সরলরেখা থেকে প্রদত্ত বিন্দুর লম্বদূরত্ব নির্ণয় SEMESTER-2

Straight Line SEMESTER-2 সরলরেখা

Written by

TEAM PROSTUTI

in

, ,

একটি প্রদত্ত সরলরেখা থেকে প্রদত্ত বিন্দুর লম্বদূরত্ব নির্ণয় 
[Determination of the Perpendicular Distance of a Given Point from a Given Line]
SEMESTER-2

একটি প্রদত্ত সরলরেখা থেকে প্রদত্ত বিন্দুর লম্বদূরত্ব নির্ণয় 
[Determination of the Perpendicular Distance of a Given Point from a Given Line]
SEMESTER-2
UNIT 2 CHAPTER 2
PART-II

SEMESTER-2 দুটি সরলরেখার অন্তর্গত কোণ নির্ণয়

একটি প্রদত্ত সরলরেখা থেকে প্রদত্ত বিন্দুর লম্বদূরত্ব নির্ণয় 
[Determination of the Perpendicular Distance of a Given Point from a Given Line]

SEMESTER-2
সূচিপত্র

👉 UNIT-1       বীজগণিত

👉 UNIT-2       স্থানাঙ্ক জ্যামিতি (দ্বিমাত্রিক)

👉 UNIT-3       পরিসংখ্যানবিদ্যা ও সম্ভাবনা

  • 1. চিত্রের মাধ্যমে রাশিতথ্যের উপস্থাপনা
  • 2. কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপ
  • 3. বিস্তৃতির পরিমাপ
  • 4. সম্ভাবনা তত্ত্ব

একটি প্রদত্ত সরলরেখা থেকে প্রদত্ত বিন্দুর লম্বদূরত্ব নির্ণয় 
[Determination of the Perpendicular Distance of a Given Point from a Given Line]

সংক্ষিপ্ত প্রশ্নাবলি
প্রতিটি প্রশ্নের মান 2

1. দেখাও যে, (-8, 3) বিন্দুটি 4x – 3y + 1 = 0 এবং 12x – 5y + 7 = 0 সরলরেখা দুটি থেকে সমদূরবর্তী।

Solution:  (-8, 3) বিন্দু থেকে 4x – 3y + 1 = 0 সরলরেখার দূরত্ব

\( = \frac{|4.(-8) – 3.3 + 1|}{\sqrt{4^2 + 3^2}}\\= \frac{|-32 – 9 + 1|}{\sqrt{16+9}}\\=\frac{|-40|}{\sqrt{25}}\\=\frac{40}{5}=8\)একক

(-8, 3) বিন্দু থেকে 12x – 5y + 7 = 0 সরলরেখার দূরত্ব

\( = \frac{|12.(-8) – 5.3 + 7|}{\sqrt{12^2 + 5^2}}\\= \frac{|-96 – 15 + 7|}{\sqrt{144+25}}\\=\frac{|-104|}{\sqrt{169}}\\=\frac{104}{13}=8\)একক

∴ (-8, 3) বিন্দুটি 4x – 3y + 1 = 0 এবং 12x – 5y + 7 = 0 সরলরেখা দুটি থেকে সমদূরবর্তী। (Proved)

2. প্রমাণ করো যে, (2, 2) বিন্দুটি 4x + 3y – 4 = 0 , 12x – 5y + 12 = 0 এবং 3x – 4y – 8 = 0 সরলরেখা তিনটি থেকে সমদূরবর্তী।

Solution: (2, 2) বিন্দুথেকে 4x + 3y – 4 = 0 সরলরেখার দূরত্ব

\( = \frac{|4.2 + 3.2 – 4|}{\sqrt{4^2 + 3^2}}\\= \frac{|8 + 6 – 4|}{\sqrt{16+9}}\\=\frac{|10|}{\sqrt{25}}\\=\frac{10}{5}=2\)একক

(2, 2) বিন্দুথেকে 12x – 5y + 12 = 0 সরলরেখার দূরত্ব

\( = \frac{|12.2 – 5.2 + 12|}{\sqrt{12^2 + 5^2}}\\= \frac{|24 – 10 + 12|}{\sqrt{144+25}}\\=\frac{|26|}{\sqrt{169}}\\=\frac{26}{13}=2\)একক

একক(2, 2) বিন্দুথেকে 3x – 4y – 8 = 0 সরলরেখার দূরত্ব

\( = \frac{|3.2 – 4.2 – 8|}{\sqrt{3^2 + 4^2}}\\= \frac{|6 – 8 – 8|}{\sqrt{9+16}}\\=\frac{|-10|}{\sqrt{25}}\\=\frac{10}{5}=2\)একক

(2, 2) বিন্দুটি প্রদত্ত সরলরেখা তিনটি থেকে সমদূরবর্তী। (Proved)

3. m -এর মান কত হলে y + mx – 13 = 0 সরলরেখার ওপর মূলবিন্দু থেকে লম্বদূরত্ব 12 একক হবে?

Solution: মূলবিন্দু থেকে y + mx – 13 = 0 সরলরেখার লম্বদূরত্ব

\( = \frac{|0 + m.0 – 13|}{\sqrt{1^2 + m^2}}\\= \frac{|-13|}{\sqrt{1 + m^2}}\)প্রশ্নানুযায়ী,
\(\quad \frac{|-13|}{\sqrt{1 + m^2}} = 12\\⇒\frac{-13}{\sqrt{1 + m^2}} = ±12\)

⇒ ±12(√1 + m2) = -13
⇒ 144(1 + m2) = 169
বা, 144m2 = 169 – 144
⇒ 144m2 = 25
⇒ m2 = 25/144
⇒m = ±5/12
Ans: m -এর মান ±5/12

4. (-3, 4) বিন্দু থেকে 2x – 3y + k = 0 সরলরেখার লম্বদূরত্ব 2√13 একক হলে k-এর মান নির্ণয় করো।

Solution:  (-3, 4) বিন্দু থেকে 2x – 3y + k = 0 সরলরেখার লম্বদূরত্ব

\( = \frac{|2.(-3) – 3.4 + k|}{\sqrt{2^2 + 3^2}}\\= \frac{|-6 – 12 + k|}{\sqrt{4 + 9}}\\= \frac{|-18 + k|}{\sqrt{13}}\\\)প্রশ্নানুযায়ী,\(\\\quad \frac{|-18 + k|}{\sqrt{13}}=2√13\)

⇒ |-18 + k| = 2.13
⇒ -18 + k = ± 26
⇒k = 18 ± 26
⇒ k = 44; k = -8
Ans: k-এর মান -8, 44

5. 12x + ky – 9 = 0 সরলরেখার ওপর (3, -5) বিন্দু থেকে অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য 4 একক হলে k-এর মান নির্ণয় করো।

Solution: 12x + ky – 9 = 0 সরলরেখার ওপর (3, -5) বিন্দু থেকে অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য

\( = \frac{|12.3 + k.(-5) – 9|}{\sqrt{12^2 + k^2}}\\= \frac{|36 – 5k – 9|}{\sqrt{144 + k^2}}\\= \frac{|27 – 5k|}{\sqrt{144 + k^2}}\)

প্রশ্নানুযায়ী,

\(\quad \frac{|27 – 5k|}{144 + k^2} = 4\\ ⇒ (27 – 5k)^2 = 16(144 + k^2)\)

⇒ 729 – 270k + 25k2 = 2304 + 16k2
⇒ 9k2 – 270k – 1575 = 0
বা, k2 – 30k – 175 = 0
⇒ k2 – 35k + 5k – 175 = 0
⇒ k(k – 35) + 5(k – 35) = 0
⇒(k – 35)(k + 5) = 0
∴ k = 35; k = -5
Ans: k-এর মান -5, 35

6. যদি 5x + 12y – 1 = 0 এবং 10x + 24y + k = 0 সরলরেখা দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব 2 একক হয়, তবে k-এর মান কত হবে?

Solution: 5x + 12y – 1 = 0 সরলরেখার প্রবনতা = –5/12 এবং
10x + 24y + k = 0 সরলরেখার প্রবনতা = –10/24 = –5/12
∴ সরলরেখা দুটি পরস্পর সমান্তরাল।
মূলবিন্দু থেকে 5x + 12y – 1 = 0 সরলরেখার দূরত্ব

\( = \frac{5.0 + 12.0 – 1}{\sqrt{5^2 + 12^2}}\\= \frac{- 1}{\sqrt{25 + 144}}= \frac{-1}{13}\) একক।

আবার মূলবিন্দু থেকে 10x + 24y + k = 0 সরলরেখার দূরত্ব

\( = \frac{10.0 + 24.0 + k}{\sqrt{10^2 + 24^2}}\\= \frac{k}{\sqrt{100 + 576}}=\frac{k}{26}\) একক।

সরলরেখা দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব
= k/26 – (-1/13)
= k/26 + 1/13
=k + 2/26 একক।
প্রশ্নানুযায়ী,
k + 2/26 = 2
বা, k + 2 = 52
বা, k = 50
Ans: k-এর মান 50

7. 3x + 4y + 9 = 0 এবং 3x + 4y + 7 = 0 সমান্তরাল সরলরেখা দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?

Solution: 3x + 4y + 9 = 0 সরলরেখার এবং 3x + 4y + 7 = 0 সমান্তরাল সরলরেখা দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব

\(=\frac{|9 – 7|}{\sqrt{3^2 + 4^2}}\\= \frac{|2|}{\sqrt{9+16}}=\frac{2}{5}\)একক।

Ans: সমান্তরাল সরলরেখা দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব 2/5 একক।

8. মনে করো, একটি বর্গাকার চিত্রের দুটি বাহু হল 5x – 2y = 13 ও 5x – 2y + 16 = 0 সরলরেখার দুটি অংশ; তাহলে বর্গাকার চিত্রটির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য কত হবে?

Solution: বর্গাকার চিত্রের দুটি বাহু হল 5x – 2y = 13 ও 5x – 2y + 16 = 0 সরলরেখার দুটি অংশ;
স্পষ্টতই সরলরেখা দুটি পরস্পর সমান্তরাল।
সরলরেখা দুটির মধ্যে দূরত্ব
= বর্গাকার চিত্রটির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য

\(=\frac{|16 – (-13)|}{\sqrt{5^2 + 2^2}}\\= \frac{|16 + 13|}{\sqrt{25+4}}\\=\frac{29}{\sqrt{29}}=\sqrt{29}\)একক।

Ans: বর্গাকার চিত্রটির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য √29 একক।

9. একটি সরলরেখার অক্ষ দুটির ওপর ছেদিতাংশ যথাক্রমে a ও b; মূলবিন্দু থেকে সরলরেখাটির ওপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য p হলে দেখাও যে, \(\frac{1}{p^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}\)

Solution: সরলরেখার অক্ষ দুটির ওপর ছেদিতাংশ যথাক্রমে a ও b;
∴ সরলরেখাটির সমীকরণ:
x/a + y/b = 1
মূলবিন্দু থেকে সরলরেখাটির ওপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য p হলে,

\(\quad p = \frac{|\frac{0}{a} + \frac{0}{b} – 1|}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}}}\\⇒ p = \frac{|- 1|}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}}}\\⇒ p^2 = \frac{1}{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}}\\⇒\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{p^2}\ (Proved)\)

10. (2, 1) বিন্দু থেকে 8x + 6y = 17 এবং 4x + 3y + 1 = 0 সরলরেখা দুটির লম্বদূরত্ব নির্ণয় করো এবং তারপর প্রদত্ত সরলরেখা দুটির মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় করো।

Solution: (2, 1) বিন্দু থেকে 8x + 6y = 17 সরলরেখার লম্বদূরত্ব

\(\quad \frac{|8.2 + 6.1 – 17|}{\sqrt{8^2 + 6^2}}\\= \frac{|16 + 6 – 17|}{\sqrt{64+36}}\\= \frac{5}{\sqrt{100}}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\) একক (Ans)

(2, 1) বিন্দু থেকে 4x + 3y + 1 = 0 সরলরেখার লম্বদূরত্ব

\(\quad \frac{|4.2 + 3.1 + 1|}{\sqrt{4^2 + 3^2}}\\= \frac{|8 + 3 + 1|}{\sqrt{16+9}}= \frac{12}{\sqrt{25}}=\frac{12}{5}\) একক (Ans)

∴ প্রদত্ত সরলরেখা দুটির মধ্যে দূরত্ব

\(=\left| \frac{12}{5}-\frac{1}{2} \right|=\left| \frac{24-5}{10} \right|=\frac{19}{10}\)

Ans: প্রদত্ত সরলরেখা দুটির মধ্যে দূরত্ব 19/10 একক

11. দেখাও যে x cos α + y sin α = a cos 2αএবং x secα + y cosecα = 2a সরলরেখা দুটির ওপর মূলবিন্দু থেকে অঙ্কিত লম্ব দুটির বর্গের সমষ্টি α-র মানের ওপর নির্ভর করে না।

Solution: মূলবিন্দু থেকে x cos α + y sin α = a cos 2α -এর ওপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য

\(= \frac{|0.cos α + 0.sin α – a cos 2α|}{\sqrt{cos^2 α + sin^2 α}} = \left| – a cos 2α\ \right| \)

আবার মূলবিন্দু থেকে x secα + y cosecα = 2a -এর ওপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য

\(= \frac{|0.sec α + 0.cosec α – 2a|}{\sqrt{sec^2 α + cosec^2 α}}\\=\frac{|- 2a|}{\sqrt{\frac{1}{cos^2 α }+ \frac{1}{sin^2 α}}}\\=\frac{|- 2a|}{\sqrt{\frac{sin^2 α + cos^2 α}{cos^2 α.sin^2 α }}}\\=\frac{|- 2a|}{\sqrt{\frac{1}{cos^2 α.sin^2 α}}}\\=\frac{2|-a|}{\frac{1}{cos α.sin α}}\\=2sin α.cos α|-a|=|-a|sin 2α\)

∴ অঙ্কিত লম্ব দুটির বর্গের সমষ্টি
= (|- a cos 2α|)2 + (|- a sin 2α)2
= a2 cos2 2α + a2 sin2 2α
=a2(cos2 2α + sin2 2α)
= a2 – যা α নিরপেক্ষ।
∴ মূলবিন্দু থেকে অঙ্কিত লম্ব দুটির বর্গের সমষ্টি α-র মানের ওপর নির্ভর করে না। (Proved)

বর্ণনামূলক প্রশ্নাবলি 
প্রতিটি প্রশ্নের মান 3

1. A, B ও C বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (4, 6), (-1, 3) এবং (2, -2); B বিন্দু থেকে AC-র ওপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
Solution: A, B ও C বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (4, 6), (-1, 3) এবং (2, -2);
AC সরলরেখার সমীকরণ:

\(\quad \frac{y + 2}{-2-6}= \frac{x -2}{2-4}\\⇒ \frac{y + 2}{-8}= \frac{x -2}{-2}\\⇒ \frac{y + 2}{4}=x-2\)

⇒ 4x – 8 = y + 2
⇒ 4x – y – 10 = 0
B বিন্দু থেকে AC-র ওপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য

\(\quad \frac{|4(-1) – 3 – 10|}{\sqrt{4^2 + 1^2}}\\= \frac{|-4 – 3 – 10|}{\sqrt{16+1}}= \frac{17}{\sqrt{17}}=\sqrt{17}\) একক (Ans)

2. (1,1) এবং (-11, -4) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার ওপর (4, -1) বিন্দু থেকে অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

Solution: (1,1) এবং (-11, -4) বিন্দু দুটির সংযোজক সরলরেখার সমীকরণ:

\(\quad \frac{y + 4}{-4-1}= \frac{x + 11}{-11-1}\\ ⇒ \frac{y + 4}{-5}= \frac{x + 11}{-12}\)

⇒ -12y – 48 = -5x – 55
⇒ 5x – 12y + 7 = 0
(4, -1) বিন্দু থেকে 5x – 12y + 7 = 0 সরলরেখার ওপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য

\(= \frac{|5.4 – 12(-1) + 7|}{\sqrt{5^2 + 12^2}}\\= \frac{|5.4 – 12(-1) + 7|}{\sqrt{25+144}}= \frac{39}{3}= 3\) একক (Ans)

3. একটি সমবাহু ত্রিভুজের ভূমির সমীকরণ x + y = 2 এবং শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক (2, -1); ত্রিভুজটির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
Solution: সমবাহু ত্রিভুজের ভূমির সমীকরণ:
x + y = 2
বা, x + y – 2 = 0
শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক (2, -1);
সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা = শীর্ষবিন্দু থেকে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্ব

\(= \frac{|2 -1 – 2|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-1|}{\sqrt{1 + 1}}= \frac{1}{\sqrt{2}}\)

সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a একক হলে উচ্চতা = √3/2 a একক
∴ √3/2 a = 1/√2
বা, a = 1/√2.2/√3 = √6/3
Ans: ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য √6/3 একক

4. একটি গতিশীল বিন্দু P-এর সব অবস্থানে x + y = 5 এবং 3x – 2y + 7 = 0 সরলরেখা দুটি থেকে তার লম্বদূরত্ব দুটির সমষ্টি সর্বদা 10। প্রমাণ করো যে, P বিন্দুর সঞ্চারপথ একটি সরলরেখা।

Solution: ধরি গতিশীল বিন্দু P-এর স্থানাঙ্ক (h, k)
(h, k) বিন্দু থেকে x + y = 5 এর লম্বদূরত্ব

\(= \frac{|h + k – 5|}{\sqrt{1^2 + 1^2}}= \frac{|h + k – 5|}{\sqrt{2}}\)

আবার (h, k) বিন্দু থেকে 3x – 2y + 7 = 0 এর লম্বদূরত্ব

\(= \frac{|3h – 2k + 7|}{\sqrt{3^2 + 2^2}}= \frac{|3h – 2k + 7|}{\sqrt{13}}\)

প্রশ্নানুযায়ী,

\(\quad\frac{|h + k – 5|}{\sqrt{2}}+ \frac{|3h – 2k + 7|}{\sqrt{13}}=10\\⇒±\frac{h + k – 5}{\sqrt{2}}±\frac{3h – 2k + 7}{\sqrt{13}}=10\\⇒±√13(h + k – 5) ± √2(3h – 2k + 7) = 10√26\\⇒(±√13 ± 3√2)h + (±√13 ± 2√2)k + (±5√13 ± 7√2 – 10√6) = 0\)

∴ P বিন্দুর সঞ্চারপথ:
(±√13 ± 3√2)x + (±√13 ± 2√2)y +  (±5√13 ± 7√2 – 10√6) = 0
এটি একটি সরলরেখার সমীকরণ।
∴ P বিন্দুর সঞ্চারপথ একটি সরলরেখা।(Proved)

5. মূলবিন্দু থেকে  x sin θ+ y cos θ= a/2 sin 2θ এবং x cos θ- y sin θ= a cos 2θসরলরেখার ওপর লম্বের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে P₁ ও P₂ হলে প্রমাণ করো যে, 4P₁² + P₂² = a²

Solution: মূলবিন্দু থেকে  x sin θ + y cos θ = a/2 sin 2θ সরলরেখার ওপর লম্বের দৈর্ঘ্য

\(\quad P_1 = \frac{|0.sin θ + 0.cos θ – \frac{a}{2}sin 2θ|}{\sqrt{sin^2 θ + cos^2 θ}}\\⇒P_1 = |- \frac{a}{2} sin 2θ|\\ ⇒P_1^2 = \frac{a^2}{4}sin^2 2θ\\ ⇒4P_1^2 = a^2 sin^2 2θ . . . (i)\)

মূলবিন্দু থেকে  x cos θ – y sin θ = a cos 2θ সরলরেখার ওপর লম্বের দৈর্ঘ্য

\(\quad P_2 = \frac{|0.cos θ – 0.sin θ – a cos 2θ}{\sqrt{sin^2 θ + cos^2 θ}}\\⇒P_2 = |- a cos 2θ|\\ ⇒P_2^2 = a^2 cos^2 2θ . . . (ii)\)

(i) + (ii) করে পাই,

\(\quad 4P_1^2+P_2^2\\ = a^2 sin^2 2θ+a^2 cos^2 2θ\\= a^2(sin^2 2θ+ cos^2 2θ)= a^2\\\ ∴ 4P₁² + P₂² = a² \ (Proved)\)

6. দেখাও যে, (±4, 0) বিন্দু দুটি থেকে 3x cos θ+ 5y sin θ= 15 সরলরেখার ওপর অঙ্কিত লম্ব দুটির গুণফল θ-র মানের ওপর নির্ভর করে না।

Solution: (4, 0) বিন্দু থেকে 3x cos θ + 5y sin θ = 15 সরলরেখার অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য

\(= \frac{|3.4 cos θ + 5.0 sin θ – 15|}{\sqrt{(3cosθ)^2 + (5sinθ)^2}}\\= \frac{|12 cos θ – 15|}{\sqrt{9cos^2θ + 25sin^2θ}}\)

(-4, 0) বিন্দু থেকে 3x cos θ + 5y sin θ = 15 সরলরেখার অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য

\(= \frac{|3.(-4) cos θ + 5.0 sin θ – 15|}{\sqrt{(3cosθ)^2 + (5sinθ)^2}}\\= \frac{|-12 cos θ – 15|}{\sqrt{9cos^2θ + 25sin^2θ}}\\=\frac{|-(12 cos θ + 15)|}{\sqrt{9cos^2θ + 25sin^2θ}}\\=\frac{|12 cos θ + 15|}{\sqrt{9cos^2θ + 25sin^2θ}}\)
∴ লম্ব দুটির গুণফল \(=\frac{|12 cos θ – 15|}{\sqrt{9cos^2θ + 25sin^2θ}}×\frac{|12 cos θ + 15|}{\sqrt{9cos^2θ + 25sin^2θ}}\\=\frac{|(12 cos θ)^2 – (15)^2|}{\left( \sqrt{9cos^2θ + 25sin^2θ} \right)^2}\\=±\frac{144cos^2 θ – 225}{9cos^2θ + 25sin^2θ}\\=±\frac{144 cos^2 θ – 225(cos^2 θ + sin^2θ)}{9cos^2θ + 25sin^2θ}\\=±\frac{144 cos^2 θ – 225cos^2 θ – 225sin^2θ}{9cos^2θ + 25sin^2θ}\\=±\frac{-225sin^2θ – 81 cos^2 θ}{9cos^2θ + 25sin^2θ}\\=±\frac{-9(9 cos^2 θ + 25sin^2θ)}{9cos^2θ + 25sin^2θ}= ±9\)∴ লম্ব দুটির গুণফল θ-র মানের ওপর নির্ভর করে না। (Proved)

7. (0, a) বিন্দুগামী যে দুটি সরলরেখার ওপর (2a, 2a) বিন্দু থেকে লম্বের দৈর্ঘ্য a একক, তাদের সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution: ধরি, (0, a) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ y – a = m(x – 0) . . .  [যেখানে m সরলরেখাটির প্রবনতা]
বা, y – a = mx
বা, mx – y + a = 0
(2a, 2a) বিন্দু থেকে mx – y + a = 0 সরলরেখার লম্বের দৈর্ঘ্য

\(=\frac{|m.2a – 2a + a|}{\sqrt{m^2 + 1^2}} \\= \frac{|2am – a|}{\sqrt{m^2 + 1}}\)প্রশ্নানুযায়ী, \(\quad \frac{|2am – a|}{\sqrt{m^2 + 1}}=a\\⇒|2am – a|=a\sqrt{m^2 + 1}\)

বা, (2am – a)2 = a2(m2 + 1)
বা, 4a2m2 – 4a2m + a2 = a2m2 + a2
⇒ 4m2 – 4m + 1 = m2 + 1
বা, 3m2 – 4m = 0
বা, m(3m – 4) = 0
∴ m = 0; m = 4/3
m = 0 হলে,
0.x – y + a = 0
বা, y = a
আবার m = 4/3 হলে,
4/3.x – y + a = 0
বা, 4x – 3y + 3a = 0
Ans: সরলরেখা দুটির সমীকরণ:
y = a এবং
4x – 3y + 3a = 0 

8. 2x + 3y = 5 এবং 2x + 3y + 1 = 0 সরলরেখা দুটির মধ্যগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution: 2x + 3y = 5 . . .  (i) এবং
2x + 3y + 1 = 0 . . .  (ii)
স্পষ্টতই (i) এবং (ii) নং সরলরেখা পরস্পর সমান্তরাল।
(i) এবং (ii) নং সরলরেখার মধ্যগামী সরলরেখা সরলরেখাদ্বয়ের সমান্তরাল হবে।
ধরি, নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ: 2x + 3y + k = 0
(i) এবং (iii) নং সরলরেখার মধ্যবর্ত্তী দূরত্ব

=\(\frac{|k + 5|}{\sqrt{2^2 + 3^2}} = \frac{|k + 5|}{\sqrt{13}}\)

আবার   (ii) এবং (iii) নং সরলরেখার মধ্যবর্ত্তী দূরত্ব

=\(\frac{|k – 15|}{\sqrt{2^2 + 3^2}} = \frac{|k – 15|}{\sqrt{13}}\)

শর্তানুযায়ী,
  |k + 5|/√13 =  |k – 1|/√13
বা, |k + 5| =  |k – 1|
বা, (k + 5)2 =  (k – 1)2
⇒ k2 + 10k + 25 = k2 – 2k + 1
⇒ 10k + 2k = 1 – 25
বা, 12k = – 24
বা, k = -2
নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ: 2x + 3y + 2 = 0
Ans: সমদূরবর্তী সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ:
2x + 3y + 2 = 0

9. x + y – 3 = 0 এবং x + y + 1 = 0 সরলরেখা দুটি থেকে সমদূরবর্তী সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution: x + y – 3 = 0 . . .  (i) এবং
x + y + 1 = 0 . . .  (ii)
ধরি, (i) এবং (ii) নং সরলরেখা দুটি থেকে সমদূরবর্তী সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ  x + y + k = 0 . . .  (iii) 
(i) এবং (iii) নং সরলরেখার মধ্যবর্ত্তী দূরত্ব

\(= \frac{|k + 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2}}\\= \frac{|k + 3|}{\sqrt{2}}\)

আবার   (ii) এবং (iii) নং সরলরেখার মধ্যবর্ত্তী দূরত্ব

\(= \frac{|k – 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}}\\= \frac{|k – 1|}{\sqrt{2}}\)

শর্তানুযায়ী,
 |k + 3|/√2 =  |k – 1|/√2
বা, |k + 3| =  |k – 1|
বা, (k + 3)2 =  (k – 1)2
বা,k2 + 6k + 9 = k2 – 2k + 1
বা, 6k + 2k = 1 – 9
বা,8k = – 8
বা, k = -1
নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ:
x + y – 1 = 0
বা, x + y = 1
Ans: সমদূরবর্তী সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ:x + y = 1

10. 2 একক দূরবর্তী দুটি সমান্তরাল সরলরেখার মধ্যগামী সরলরেখার সমীকরণ হয় 12x – 5y + 4 = 0 । সমান্তরাল সরলরেখা দুটির সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution: দুটি সমান্তরাল সরলরেখার মধ্যগামী সরলরেখা সমান্তরাল হবে।
ধরি, নির্ণেয় সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ 12x – 5y + k = 0
দুটি সমান্তরাল সরলরেখার মধ্যবর্ত্তী দূরত্ব 2 একক
∴ নির্ণেয় সমান্তরাল সরলরেখা এবং প্রদত্ত 12x – 5y + 4 = 0 সরলরেখার মধ্যবর্ত্তী দূরত্ব 1 একক

\(∴ \frac{|4 – k|}{\sqrt{12^2 + 5^2}}=1\\⇒ \frac{|4 – k|}{\sqrt{144+25}}=1\\⇒ \frac{|4 – k|}{13}=1\)

বা, 4 – k = ±13
বা, k = 4 ± 13
∴  k = 4 + 13 = 17;
  k = 4 – 13 = -9
k = 17 হলে,সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ:
12x – 5y + 17 = 0;
k = -9 হলে,সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ:
12x – 5y – 9 = 0
বা, 12x – 5y = 9
Ans: সমান্তরাল সরলরেখা দুটির সমীকরণ:
12x – 5y + 17 = 0 এবং
12x – 5y = 9

11. (2, -2) বিন্দু এবং 3x – 4y + 1 = 0 সরলরেখার মাঝখান দিয়ে অঙ্কিত সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution: প্রদত্ত সরলরেখার সমীকরণ 3x – 4y + 1 = 0 . . . (i)
(2, -2) বিন্দু থেকে 3x – 4y + 1 = 0 সরলরেখার লম্ব দূরত্ব

\(= \frac{|3.2 – 4.(-2) + 1|}{\sqrt{3^2 + 4^2}}\\ = \frac{|6 + 8 + 1|}{\sqrt{9 + 16}}\\= \frac{15}{5}\)

= 3 একক
স্পষ্টতই, নির্ণেয় সরলরেখা 3x – 4y + 1 = 0 সরলরেখার সমান্তরাল হবে।
ধরি, সরলরেখাটির সমীকরণ: 3x – 4y + k = 0  . . . (ii)
(i) এবং (ii) নং সরলরেখার মধ্যবর্তী দূরত্ব

\(= \frac{|1 – k|}{\sqrt{3^2 + 4^2}}\\ = \frac{|1 – k|}{\sqrt{9 + 16}}\\= \frac{|1 – k|}{5}\)

প্রশ্নানুসারে,
|1 – k|/5 = 1/2.3
বা, 1 – k = ±15/2
বা, 2 – 2k = ±15
বা,2k = 2 ± 15
বা,k = 1/2(2 ± 15)
∴ k = 17/2; –13/2
এখন, k = 17/2 হলে সরলরেখাটি হয়:
3x – 4y + 17/2 = 0
বা, 6x – 8y + 17 = 0
এটি (2, -2) বিন্দু থেকে 3/2 একক দূরবর্তী নয়।
∴ k ≠ 17/2
k = –13/2 হলে সরলরেখাটি হয়:
3x – 4y – 13/2 = 0
বা, 6x – 8y – 13 = 0
বা, 6x – 8y = 13
Ans: নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ: 6x – 8y = 13

12. 3x + 4y = 15 সরলরেখার সমান্তরাল এবং (1, -2) বিন্দু থেকে 7.5 একক দূরবর্তী সরলরেখা দুটির সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution: 3x + 4y = 15 সরলরেখার সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ: 3x + 4y + k = 0
(1, -2) বিন্দু থেকে 3x + 4y + k = 0 সরলরেখার দূরত্ব

\(= \frac{|3.1 + 4.(-2) + k|}{\sqrt{3^2 + 4^2}}\\ = \frac{|3 – 8 + k|}{\sqrt{9 + 16}}\\= \frac{|k – 5|}{5}\)

প্রশ্নানুযায়ী,
|k – 5|/5 = 7.5
বা, k – 5 = ±37.5
(+) চিহ্ন ধরে পাই,
k – 5 = 37.5
বা, k = 42.5
∴ সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ:
3x + 4y + 42.5 = 0
বা, 6x + 8y + 85 = 0
(-) চিহ্ন ধরে পাই,
k – 5 = -37.5
বা, k = -32.5
∴ সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ:
3x + 4y – 32.5 = 0
বা, 6x + 8y – 65 = 0
বা, 6x + 8y = 65
Ans: সরলরেখা দুটির সমীকরণ:
6x + 8y + 85 = 0 এবং
6x + 8y = 65

13. x + y = 4 সরলরেখার ওপর অবস্থিত এবং 4x + 3y = 10 সরলরেখা থেকে একক লম্বদূরত্ববিশিষ্ট বিন্দুসমূহের স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।

Solution: ধরি, বিন্দুসমূহের স্থানাঙ্ক  (h, k)
(h, k) বিন্দু  x + y = 4 সরলরেখার ওপর অবস্থিত।
∴ h + k = 4
বা,  h + k – 4 = 0  . . . (i)
(h, k) থেকে 4x + 3y = 10 সরলরেখার লম্বদূরত্ব

\(= \frac{|4h + 3k – 10|}{\sqrt{4^2 + 3^2}}\\ = \frac{|4h + 3k – 10|}{5}\\\)প্রশ্নানুযায়ী,\(\quad \frac{|4h + 3k – 10|}{5}=1 \\⇒ 4h + 3k – 10 = ±5\)

(+) চিহ্ন ধরে পাই,
4h + 3k – 10 = 5
বা, 4h + 3k – 15 = 0 . . . (ii)
(-) চিহ্ন ধরে পাই,
4h + 3k – 10 = -5
বা, 4h + 3k – 5 = 0 . . . (iii)
(i)×4 – (ii)×1 করে পাই,
4h + 4k – 16 – (4h + 3k – 15) = 0
⇒ 4h + 4k – 16 – 4h – 3k + 15 = 0
বা, k – 1 = 0
বা, k = 1
(i) নং থেকে পাই,
h + 1 – 4 = 0
বা, h = 3
বিন্দুটির স্থানাঙ্ক (3, 1)
(i)×3 – (iii)×1 করে পাই,
3h + 3k – 12 – (4h + 3k – 5) = 0
বা, 3h + 3k – 12 – 4h – 3k + 5 = 0
বা,-h – 7 = 0
বা, h = -7
(i) নং থেকে পাই,
-7 + k – 4 = 0
বা, k = 11
অপর বিন্দুটির স্থানাঙ্ক (-7, 11)
Ans: বিন্দুসমূহের স্থানাঙ্ক (3,1) ও (-7, 11)

14. একটি গতিশীল বিন্দুর 3x – 4y – 2 = 0 এবং 5x – 12y = 4 সরলরেখা দুটির ওপর লম্বদূরত্ব দুটি সর্বদা সমান হলে গতিশীল বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution: ধরি, গতিশীল বিন্দুটির স্থানাঙ্ক (h, k)
(h, k) থেকে 3x – 4y – 2 = 0 সরলরেখার লম্বদূরত্ব

\(= \frac{|3h – 4k – 2|}{\sqrt{3^2 + 4^2}}\\ = \frac{|3h – 4k – 2|}{\sqrt{9 + 16}}\\ = \frac{|3h – 4k – 2|}{5}\)আবার (h, k) থেকে 5x – 12y – 4 = 0 সরলরেখার লম্বদূরত্ব \(= \frac{|5h – 12k – 4|}{\sqrt{5^2 + 12^2}}\\ = \frac{|5h – 12k – 4|}{\sqrt{25 + 144}}\\ = \frac{|5h – 12k – 4|}{13}\)প্রশ্নানুযায়ী, \(\\\quad \frac{|3h – 4k – 2|}{5} = \frac{|5h – 12k – 4|}{13}\)

বা, 13(3h – 4k – 2) = ±5(5h – 12k – 4)
(+) চিহ্ন ধরে পাই,
13(3h – 4k – 2) = 5(5h – 12k – 4)
বা, 39h – 52k – 26 = 25h – 60k – 20
বা, 14h + 8k – 6 = 0
বা,7h + 4k – 3 = 0
(-) চিহ্ন ধরে পাই,
13(3h – 4k – 2) = -5(5h – 12k – 4)
বা, 39h – 52k – 26 = -25h + 60k + 20
বা,64h – 112k – 46 = 0
বা, 32h – 56k – 23 = 0
Ans: গতিশীল বিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ:
7x + 4y = 3 অথবা 32x – 56y = 23

15. t একটি পরিবর্তনশীল চল হলে (a, 0) বিন্দু থেকে x – ty + a t2 = 0 সরলরেখার ওপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর সঞ্চারপথ নির্ণয় করো।

Solution: ধরি, x – ty + at2 = 0 সরলরেখার ওপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (h, k)
(a, 0) এবং (h, k) বিন্দু সংযোগকারী সরলরেখার প্রবনতা = 0 – k/a – h = – k/a – h
x – ty + at2 = 0 সরলরেখার প্রবনতা = 1/t
∴ –k/a – h×1/t = -1
বা, k/a – h×1/t = 1
বা, t = k/a – h
(h, k) বিন্দুটি x – ty + at2 = 0 সরলরেখার উপর অবস্থিত।
∴ h – tk + at2 = 0
বা, h – (k/a – h).k + a(k/a – h)2 = 0 . . .  [∵ t = k/a – h]
বা, (a – h)2.h – k(a – h).k + ak2 = 0
বা,(a – h)2.h – ak2 + hk2 + ak2 = 0
বা, (a – h)2.h + hk2 = 0
বা, h[(a – h)2 + k2] = 0
∵ (a – h)2 + k2 ≠ 0
∴ h = 0
Ans: অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর সঞ্চারপথ x = 0

আমাদের YOUTUBE CHANNEL “COMPTECH” দেখার জন্য এখানে ক্লিক করো। 

বর্ণনামূলক প্রশ্নাবলি
প্রতিটি প্রশ্নের মান 4

1. ABC ত্রিভুজের AB, BC ও CA বাহুর সমীকরণ যথাক্রমে 3x + 4y + 3 = 0, 2x + y + 1 = 0 , 2x + 3y + 1 = 0 ত্রিভুজটির A বিন্দুগামী উচ্চতার সমীকরণ নির্ণয় করো।  

Solution: ABC ত্রিভুজের,
AB: 3x + 4y + 3 = 0 . . .  (i)
BC: 2x + y + 1 = 0 . . .  (ii) ও
CA: 2x + 3y + 1 = 0 . . .  (ii)
AB ও CA বাহুর ছেদবিন্দু:

\(\quad \frac{x}{4-9} = \frac{y}{6-3} = \frac{1}{9-8}\\⇒\frac{x}{-5} = \frac{y}{3} = 1\)

∴ x=-5; y=3
BC বাহুর প্রবনতা -2
A বিন্দুগামী বাহুর প্রবনতা 1/2
∴ A বিন্দুগামী উচ্চতার সমীকরণ:
y – 3 = 1/2(x + 5)
বা, x – 2y + 11 = 0

2. কোনো ত্রিভুজের দুটি বাহুর সমীকরণ x + 4y = 7 এবং 2x – 5y = 1; তার ভূমির সমীকরণ x + y = 2 হলে, ত্রিভুজটির উচ্চতার দৈর্ঘ্য ও সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution: ত্রিভুজের দুটি বাহুর সমীকরণ:
x + 4y = 7
বা, x = 7 – 4y . . .  (i) এবং
2x – 5y = 1 . . .  (ii)
ভূমির সমীকরণ: x + y = 2
(i) ও (ii) নং সরলরেখার ছেদবিন্দু:
(ii) নং সমীকরণে x = 7 – 4y বসিয়ে পাই,
2(7 – 4y) – 5y = 1
বা, 14 – 8y – 5y = 1
বা,-13y = -13
বা, y = 1
(i) নং সমীকরণে y = 1 বসিয়ে পাই,
x = 7 – 4.1 = 3
∴ (i) ও (ii) নং সরলরেখার ছেদবিন্দু (3, 1)
ভূমির সমীকরণ x + y = 2 . . .  (iii)
(3, 1) বিন্দু থেকে ভূমির লম্বদূরত্ব

\(= \frac{|3 + 1 – 2|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{2}{√2}=√2\ \) একক

x + y = 2 সরলরেখার প্রবনতা -1
∴ ভূমির লম্ব সরলরেখার প্রবনতা 1
(3, 1) বিন্দুগামী এবং 1 প্রবনতাবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ:
y – 1 = 1(x – 3)
বা, x – y – 2 = 0
বা, x – y = 2
Ans: ত্রিভুজটির উচ্চতার দৈর্ঘ্য √‌2 একক
এবং  ত্রিভুজটির উচ্চতার সমীকরণ: x – y = 2

দুটি সরলরেখার অন্তর্গত কোণ নির্ণয়

3. প্রমাণ করো যে \(\left( \sqrt{a^2 – b^2}, 0 \right)\) ও \(\left( -\sqrt{a^2 – b^2}, 0 \right)\)বিন্দু দুটি থেকে \(\frac{x}{a} cos θ + \frac{y}{b } sin θ = 1 \) সরলরেখাটির ওপর অঙ্কিত লম্ব দুটির গুণফল \(b^2\) হবে।
Solution: \( \left( \sqrt{a^2 – b^2}, 0 \right)\) বিন্দু থেকে \( \frac{x}{a } cos θ + \frac{y}{b} sin θ = 1 \) সরলরেখাটির ওপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য \(\\=\frac{\left| \frac{\sqrt{a^2 – b^2}}{a}cos θ + 0- 1 \right|}{\sqrt{\frac{cos^2 θ}{a^2}+\frac{sin^2 θ}{b^2}}}=\frac{\left| \frac{\sqrt{a^2 – b^2}}{a}cos θ – 1 \right|}{\sqrt{\frac{cos^2 θ}{a^2}+\frac{sin^2 θ}{b^2}}} \)\( \left(-\sqrt{a^2 – b^2}, 0 \right)\) বিন্দু থেকে \( \frac{x}{a } cos θ + \frac{y}{b} sin θ = 1 \) সরলরেখাটির ওপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য \(\\=\frac{\left| -\frac{\sqrt{a^2 – b^2}}{a}cos θ + 0- 1 \right|}{\sqrt{\frac{cos^2 θ}{a^2}+\frac{sin^2 θ}{b^2}}}=\frac{\left| \frac{\sqrt{a^2 – b^2}}{a}cos θ + 1 \right|}{\sqrt{\frac{cos^2 θ}{a^2}+\frac{sin^2 θ}{b^2}}}\)

∴ সরলরেখাটির ওপর অঙ্কিত লম্ব দুটির গুণফল

\(=\frac{\left| \frac{\sqrt{a^2 – b^2}}{a}cos θ – 1 \right|}{\sqrt{\frac{cos^2 θ}{a^2}+\frac{sin^2 θ}{b^2}}}×\frac{\left| \frac{\sqrt{a^2 – b^2}}{a}cos θ + 1 \right|}{\sqrt{\frac{cos^2 θ}{a^2}+\frac{sin^2 θ}{b^2}}}\\=\frac{\left| \left( \frac{\sqrt{a^2 – b^2}}{a}cos θ – 1 \right)\left( \frac{\sqrt{a^2 – b^2}}{a}cos θ + 1 \right) \right|}{\left( \sqrt{\frac{cos^2 θ}{a^2}+\frac{sin^2 θ}{b^2}} \right)^2}\\=\frac{\left| \frac{a^2 – b^2}{a^2}cos^2 θ – 1 \right|}{\frac{cos^2 θ}{a^2}+\frac{sin^2 θ}{b^2}}\\=\frac{\left| \frac{a^2cos^2 θ – b^2cos^2 θ-a^2}{a^2} \right|}{\frac{b^2cos^2 θ+a^2sin^2 θ}{a^2.b^2}}\\=\frac{\left| -a^2\left(1-cos^2θ \right) – b^2cos^2 θ \right|}{\frac{b^2cos^2 θ+a^2sin^2 θ}{b^2}}\\=b^2\frac{\left| -\left(a^2sin^2θ+b^2cos^2 θ \right) \right|}{b^2cos^2 θ+a^2sin^2 θ}=b^2\quad (Proved)\)

4. ABC সমবাহু ত্রিভুজের BC বাহুর সমীকরণ 5y = 12x – 3; যদি ত্রিভুr জটির ভরকেন্দ্র (2, -1) হয়, তবে ত্রিভুজটির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।

Solution:

A B         C G(2,-1) 5y=12x-3 D

ABC সমবাহু ত্রিভুজের AD মধ্যমা।
ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্র G(2, -1) AD মধ্যমাকে 2ঃ1 অনুপাতে বিভক্ত করে।
∴  GD = 1/3AD
⇒ AD = 3GD = 3.2 = 6
BC বাহুর সমীকরণ:
5y = 12x – 3
বা, 12x – 5y – 3 = 0
∵ AD ⊥ BC

\(GD = \frac{|12.2 – 5.(-1) – 3|}{\sqrt{12^2 + 5^2}}\\\quad = \frac{|24 + 5 – 3|}{144 + 25} = \frac{26}{13} = 2\)

ধরি, ত্রিভুজটির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য a একক।
∴ √3/2.a = 6
বা, a = 12/√3 = 4√3
Ans: ত্রিভুজটির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য 4√3 একক

5. 3y + 2x + 22 = 0 সরলরেখার সাপেক্ষে (-3, -1) বিন্দুটির প্রতিবিম্ব বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।

Solution: ধরি, A(-3, -1) বিন্দুর প্রতিবিম্ব বিন্দুর স্থানাঙ্ক (h, k)
(-3, -1) ও (h, k) বিন্দুর মধ্যবিন্দু (h-3/2, k-1/2)
এবং (-3, -1) ও (h, k) বিন্দু সংযোগকারী সরলরেখার প্রবনতা(m1) = k+1/h+3
3y + 2x + 22 = 0 সরলরেখার প্রবনতা(m2) = –2/3
প্রদত্ত সরলরেখা এবং (-3, -1) ও (h, k) বিন্দু সংযোগকারী সরলরেখা পরস্পর লম্ব।
∴ m1×m2 = -1
বা, k+1/h+3×(-2/3) = -1
বা, 2(k +1) = 3(h + 3)
বা,2k – 3h – 7 = 0 . . .  (i)
আবার (h-3/2, k-1/2) বিন্দুটি 3y + 2x + 22 = 0 সরলরেখার উপর অবস্থিত।
∴ 3.k-1/2 + 2.h-3/2 + 22 = 0
বা, 3k – 3 + 2h – 6 + 44 = 0
বা, 3k + 2h + 35 = 0 . . .  (ii)
(i) ও (ii)- এর ছেদবিন্দু:

\(\quad \frac{k}{-105+14} = \frac{h}{-21-70} = \frac{1}{4+9}\\⇒\frac{k}{-91} = \frac{h}{-91} = \frac{1}{13}\\⇒ \frac{k}{-7} = \frac{h}{-7} = 1\)

∴ k = -7; h = -7
∴ ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (-7, -7)
Ans: (-3, -1) বিন্দুর প্রতিবিম্ব বিন্দুর স্থানাঙ্ক (-7, -7)

6. x + 3y – 7 = 0 সরলরেখা সাপেক্ষে A(3, 8) বিন্দুর প্রতিবিম্ব নির্ণয় করো।

Solution: ধরি, A(3, 8) বিন্দুর প্রতিবিম্ব বিন্দুর স্থানাঙ্ক (h, k)
(3, 8) ও (h, k) বিন্দুর মধ্যবিন্দু (3+h/2, 8+k/2) এবং
(3, 8) ও (h, k) বিন্দু সংযোগকারী সরলরেখার প্রবনতা(m1) = k-8/h-3
x + 3y – 7 = 0 সরলরেখার প্রবনতা(m2) = –1/3
প্রদত্ত সরলরেখা এবং (3, 8) ও (h, k) বিন্দু সংযোগকারী সরলরেখা পরস্পর লম্ব।
∴ m1×m2 = -1
বা, k-8/h-3×(-1/3) = -1
বা, k-8 = 3h – 9
বা,k – 3h + 1 = 0 . . .  (i)
আবার  (3+h/2, 8+k/2) বিন্দুটি x + 3y – 7 = 0 সরলরেখার উপর অবস্থিত।
∴ 3+h/2 + 3.8+k/2 – 7 = 0
বা, 3 + h + 24 + 3k  – 14 = 0
বা, h + 3k  + 13 = 0
বা,h = -3k  – 13 . . .  (ii)
(i) ও (ii)- এর ছেদবিন্দু:
(i) নং-এ h = -3k  – 13 বসিয়ে পাই,
k – 3(-3k  – 13) + 1 = 0
বা, k + 9k  + 39 + 1 = 0
বা, 10k = -40
বা,k = -4
(ii) নং-এ k = -4 বসিয়ে পাই,
h = -3(-4)  – 13 = 12 – 13 = -1
∴ ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (-1, -4)
Ans: A(3, 8) বিন্দুর প্রতিবিম্ব বিন্দুর স্থানাঙ্ক (-1, -4)

7. মূলবিন্দু থেকে 3x + 4y – 5 = 0 সরলরেখার ওপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।

Solution: 3x + 4y – 5 = 0   . . . (i)
(i) নং সরলরেখার ওপর অঙ্কিত লম্বের সমীকরণ 4x – 3y + k = 0 . . .  (ii)
(ii) নং সরলরেখা (0, 0) বিন্দুগামী।
∴ 0 – 0 + k = 0
বা k = 0
লম্ব সরলরেখার সমীকরণ:
4x – 3y = 0
বা, x = 3y/4  . . .  (iii)
(i) নং সমীকরণে x = 3y/4 বসিয়ে পাই,
3.3y/4 + 4y – 5 = 0
বা, 9y + 16y = 20
বা, 25y = 20
বা,y = 4/5
(iii) নং থেকে পাই, x = 3/4.4/5 = 3/5
Ans: লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (3/5, 4/5)

8. (2, 3) বিন্দু থেকে x + y – 11 = 0 সরলরেখার ওপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।

Solution: x + y – 11 = 0   . . . (i)
(i) নং সরলরেখার ওপর অঙ্কিত লম্বের সমীকরণ x – y + k = 0 . . .  (ii)
(ii) নং সরলরেখা (2, 3) বিন্দুগামী।
∴ 2 – 3 + k = 0
বা k = 1
লম্ব সরলরেখার সমীকরণ x – y + 1 = 0 . . .  (iii)
(i) + (iii) করে পাই,
x + y – 11 + x – y + 1 = 0
বা, 2x = 10
বা, x = 5
(i) নং থেকে পাই,
5 + y – 11 = 0
বা, y = 6
Ans: লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (5, 6)

9. 5x + y + 6 = 0 সরলরেখা সাপেক্ষে (4, -13) বিন্দুর প্রতিবিম্ব নির্ণয় করো।

Solution: 5x + y + 6 = 0  . . . (i)
(i) নং সরলরেখার লম্ব সরলরেখার সমীকরণ x – 5y + k = 0 . . . (ii)
(ii) নং সরলরেখা (4, -13) বিন্দুগামী।
∴ 4 – 5(-13) + k = 0
বা, k = -69
লম্ব সরলরেখার সমীকরণ x – 5y – 69 = 0 . . . (iii)
(i) ও (iii) নং সরলরেখার ছেদবিন্দু:

\(\quad \frac{x}{-69+30} = \frac{y}{6+345} = \frac{1}{-25-1}\\⇒\frac{x}{-39} = \frac{y}{351} = \frac{1}{-26}\\⇒ \frac{x}{3} = \frac{y}{-27} = \frac{1}{2}\\∴ x = \frac{3}{2};\ y = -\frac{27}{2}\)

ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (3/2, –27/2)
ধরি, প্রতিবিম্ব বিন্দুর স্থানাঙ্ক (h, k)
∴ 4+h/2 = 3/2
বা, 4+h = 3
বা, h = -1
এবং k-13/2 = –27/2
বা, k-13 = -27
বা, k = -14
Ans: প্রতিবিম্ব বিন্দুর স্থানাঙ্ক (-1, -14)

10. দেখাও যে 11x – 3y + 11 = 0 সরলরেখার ওপর অবস্থিত যে-কোনো বিন্দু 12x + 5y + 12 = 0 এবং 3x – 4y + 3 = 0 সরলরেখা দুটি থেকে সমদূরবর্তী।

Solution: 12x + 5y + 12 = 0 এবং 3x – 4y + 3 = 0 সরলরেখা দুটির অর্ন্তভুক্ত কোণের সমদ্বিখণ্ডকের সমীকরণ:

\(\quad \frac{12x + 5y + 12} {\sqrt{12^2 + 5^2}} = ±\frac{3x – 4y + 3} {\sqrt{3^2 + 4^2}}\\⇒\frac{12x + 5y + 12} {\sqrt{169}} = ±\frac{3x – 4y + 3} {\sqrt{25}}\\⇒\frac{12x + 5y + 12} {13} = ±\frac{3x – 4y + 3} {5}\)

⇒ 60x + 25y + 60 = ± (39x – 52y + 39)
(+) চিহ্ন ধরে, 
60x + 25y + 60 = 39x – 52y + 39
⇒ 21x + 77y + 21 = 0
⇒ 3x + 11y + 7 = 0
(-) চিহ্ন ধরে,
60x + 25y + 60 = -(39x – 52y + 39)
⇒ 60x +  39x + 25y – 52y + 60 + 39 = 0
⇒ 99x – 27y + 99 = 0
বা 11x – 3y + 11 = 0
∴ 11x – 3y + 11 = 0 সরলরেখা 12x + 5y + 12 = 0 এবং 3x – 4y + 3 = 0 সরলরেখা দুটির অর্ন্তভুক্ত কোণের সমদ্বিখণ্ডক।
অতএব 11x – 3y + 11 = 0 সরলরেখার ওপর অবস্থিত যে-কোনো বিন্দু 12x + 5y + 12 = 0 এবং 3x – 4y + 3 = 0 সরলরেখা দুটি থেকে সমদূরবর্তী। (Proved)

11. 3x – 2y + 5 = 0 সরলরেখার ওপর লম্বভাবে অবস্থিত এমন সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় করো যার মূলবিন্দু থেকে লম্বদূরত্ব, (2, -1) বিন্দু থেকে প্রদত্ত সরলরেখার লম্বদূরত্বের সমান।

Solution: 3x – 2y + 5 = 0 সরলরেখার ওপর লম্ব সরলরেখার সমীকরণ 2x + 3y + k = 0 . . .  (i)
মূলবিন্দু থেকে (i) নং সরলরেখার লম্বদূরত্ব

\(= \frac{|0+0+k|}{\sqrt{2^2+3^2}} = \frac{|k|}{√13}\\\)(2, -1) বিন্দু থেকে প্রদত্ত সরলরেখার লম্বদূরত্ব\(= \frac{|3.2-2.(-1)+5|}{\sqrt{3^2+2^2}} ⇒ \frac{|13|}{√13}=√13\\\)প্রশ্নানুযায়ী, \(\quad \frac{|k|}{√13}=√13\\⇒|k| = 13 \\⇒k = ±13\)

Ans: নির্নেয় সরলরেখার সমীকরণ 2x + 3y ±13 = 0

12. দেখাও যে, 9x + 3y = 20 সরলরেখার ওপর অবস্থিত যে-কোনো বিন্দু থেকে x + 3y = 6 এবং 13x – 9y = 10 সরলরেখা দুটির ওপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য সমান।

Solution: ধরি, (h, k) বিন্দু থেকে x + 3y = 6 এবং 13x – 9y = 10 সরলরেখা দুটির ওপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য সমান।

\(⇒\frac{|h + 3k – 6|} {\sqrt{1^2 + 3^2}} = \frac{|13h – 9k – 10|} {\sqrt{13^2 + 9^2}}\\⇒\frac{|h + 3k – 6|} {\sqrt{10}} = \frac{|13h – 9k – 10|} {\sqrt{250}}\\⇒\frac{|h + 3k – 6|} {\sqrt{10}} = \frac{|13h – 9k – 10|} {5\sqrt{10}}\\⇒\frac{|h + 3k – 6|} {1} = \frac{|13h – 9k – 10|} {5}\)

⇒ 5(h + 3k – 6) = ±(13h – 9k – 10)
(+) চিহ্ন ধরে,
  5(h + 3k – 6) = (13h – 9k – 10)
বা, 5h – 13h + 15k + 9k – 30 + 10 = 0
বা, – 8h + 24k – 20 = 0
বা,2h – 6k + 5 = 0
(-) চিহ্ন ধরে,
  5(h + 3k – 6) = -(13h – 9k – 10)
বা, 5h + 13h + 15k – 9k – 30 – 10 = 0
বা, 18h + 6k – 40 = 0
বা,9h + 3k – 20 = 0
বা, 9h + 3k = 20
সুতরাং (h, k) বিন্দুটি 9x + 3y = 20 সরলরেখাটিকে সিদ্ধ করে।
অতএব  (h, k) বিন্দুটি 9x + 3y = 20 সরলরেখার উপর অবস্থিত।
∴ 9x + 3y = 20 সরলরেখার ওপর অবস্থিত যে-কোনো বিন্দু থেকে x + 3y = 6 এবং 13x – 9y = 10 সরলরেখা দুটির ওপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য সমান। (Proved)

13. (-2, 6) বিন্দু থেকে 2x + 3y = 1 সরলরেখার ওপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো। প্রদত্ত সরলরেখাটির সাপেক্ষে (-2, 6) বিন্দুর প্রতিবিম্ব বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করো।

Solution: 2x + 3y = 1 . . .  (i) সরলরেখার ওপর অঙ্কিত লম্ব সরলরেখার সমীকরণ 3x – 2y + k = 0
সরলরেখাটি (-2, 6) বিন্দুগামী।
∴ 3×(-2) – 2×6 + k = 0
বা, k = 18
∴ লম্ব সরলরেখাটির সমীকরণ: 3x – 2y + 18 = 0 . . .  (ii)
(i) ও (ii) নং সরলরেখার ছেদবিন্দু:

\(\quad \frac{x}{54-2} = \frac{y}{-3-36} = \frac{1}{-4-9}\\⇒\frac{x}{52} = \frac{y}{-39} = \frac{1}{-13}\\⇒ \frac{x}{-4} = \frac{y}{3} = 1\)

∴ x = -4; y = 3
ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (-4, 3)
Ans: অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (-4, 3)
ধরি, (-2, 6) বিন্দুর প্রতিবিম্ব বিন্দুর স্থানাঙ্ক (h, k)
∴ h-2/2 = -4,
বা, h-2 = -8
বা, h = -6,
আবার k+6/2 = 3
বা, k+6 = 6
বা,k = 0
∴ প্রতিবিম্ব বিন্দুর স্থানাঙ্ক (-6, 0)
Ans:  (-2, 6) বিন্দুর প্রতিবিম্ব বিন্দুর স্থানাঙ্ক (-6, 0)

14. কোনো বর্গাকার চিত্রের দুটি বাহুর সমীকরণ যথাক্রমে 5x + 12y – 10 = 0 এবং 5x + 12y + 29 = 0 এবং অন্য একটি বাহু (3, 5) বিন্দুগামী। অন্য বাহু দুটির সমীকরণ নির্ণয় করো।

Solution: দুটি বাহুর সমীকরণ যথাক্রমে
5x + 12y – 10 = 0 এবং
5x + 12y + 29 = 0
  স্পষ্টতই বাহু দুটি পরস্পর সমান্তরাল।
ধরি, ABCD বর্গক্ষেত্রের,
AB বাহুর সমীকরণ: 5x + 12y – 10 = 0 . . .  (i) এবং
CD বাহুর সমীকরণ: 5x + 12y + 29 = 0 . . .  (ii)
BC বাহু AB বাহুর উপর লম্ব।
আরও ধরি, BC বাহুর সমীকরণ: 12x – 5y + k = 0 . . .  (iii)
BC বাহু (3, 5) বিন্দুগামী।
∴ 12.3 – 5.5 + k = 0
বা, 36 – 25 + k = 0
বা, k = -11
∴ BC বাহুর সমীকরণ: 12x – 5y – 11 = 0  . . .  (iv)
CD বাহু BC বাহুর সমান্তরাল।
∴ BC বাহুর সমীকরণ: 12x – 5y + p = 0
ABCD একটি বর্গাক্ষেত্র।
∴ AB ও CD বাহুর দূরত্ব = BC ও DA বাহুর দূরত্ব

\(⇒\frac{|29 – (-10)|} {\sqrt{5^2 + 12^2}} = \frac{|p – (-11)|} {\sqrt{12^2 + 5^2}}\\⇒\frac{|29 +10|} {\sqrt{25 + 144}} = \frac{|p + 11|} {\sqrt{144 + 25}}\\⇒\frac{39} {\sqrt{169}} = \frac{|p + 11|} {\sqrt{169}}\)

⇒ |p + 11| = 39
⇒ p + 11= ±39
∴ p = 39-11, -39-11
= 28, -50
∴ BC বাহুর সমীকরণ:
12x – 5y + 28 = 0 অথবা 12x – 5y – 50 = 0
Ans: অন্য বাহু দুটির সমীকরণ:
12x – 5y – 11 = 0 এবং
12x – 5y + 28 = 0 অথবা 12x – 5y – 50 = 0

15. দেখাও যে, x cos α+ y sin α= p, x sin α- y cos α= -p, x cos α+ y sin α= – p এবং x sin α- y cos α= p সরলরেখা চারটি একটি বর্গাকার চিত্র উৎপন্ন করে।

Solution: সরলরেখা চারটি হলো:
x cos α + y sin α = p . . . .  (i)
x sin α – y cos α = -p . . . .  (ii)
x cos α + y sin α = – p . . . .  (iii) এবং
x sin α – y cos α = p . . . .  (iv)
স্পষ্টতই (i) ও (iii) নং সরলরেখা পরস্পর সমান্তরাল।
আবার (ii) ও (iv) নং সরলরেখা পরস্পর সমান্তরাল।
∴ সরলরেখা চারটি দ্বারা উৎপন্ন চর্তুভূজটি হল একটি সামান্তরিক।
(i) নং থেকে পাই,
x cos α + y sin α = p
বা, y sin α = -x cos α + p
বা, y = -cot α x + p cosec α
∴ (i) নং সরলরেখার প্রবনতা (m1) = -cot α
(ii) নং থেকে পাই,
  x sin α – y cos α = -p
বা, y cos α = x sin α + p
বা, y = tan α x + p sec α
∴ (ii) নং সরলরেখার প্রবনতা (m2) = tan α
∴ m1×m2 = -cot α×tan α = -1
অতএব (i) নং ও (ii) নং সরলরেখা পরস্পর লম্ব সরলরেখা।
সুতরাং সরলরেখা চারটি দ্বারা উৎপন্ন সামান্তরিকটি একটি আয়তক্ষেত্র।
 (i) ও (iii) নং সমান্তরাল সরলরেখার মধ্যে দূরত্ব

\(= \frac{\left| -p – p \right|} {sin^2α + cos^2α} = |-2p| = 2p\\\)(ii) ও (iv) নং সমান্তরাল সরলরেখার মধ্যে দূরত্ব \(= \frac{\left| -p – (-p) \right|} {sin^2α + cos^2α} = |-2p| = 2p\)

∴ সরলরেখা চারটি দ্বারা উৎপন্ন আয়তক্ষেত্রটির বিপরীত বাহুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব সমান।
∴ সরলরেখা চারটি দ্বারা উৎপন্ন চর্তুভূজটি হল একটি বর্গক্ষেত্র। 

সরলরেখা PART-1

Comments

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

More posts

error: Content is protected !!
Verified by MonsterInsights